1.ี ีฅึ ีปีกีพีธึ ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีถีฅึ
ิฒีกีฆีดีธึ ีฉีตีกีถ ีฃีกีฒีกึ ีกึ ีซีถ ีกีผึ ึ ีตีก ีฏีตีกีถึ ีธึ ีด ีกีผีถีนีพีธึ ีด ีฅีถึ ีกีดีฅีถีธึ ึ :ิตึ ีข ีญีธีฝึ ีง ีฌีซีถีธึ ีด ีฐึ ีกีบีกึ ีกีฏีธึ ีด ีฐีกีพีกึ ีพีกีฎ ีดีกึ ีคีฏีกีถึ ีกีดีขีธีญีซ ีฏีกีด ีฌีฝีกึ ีกีถีธึ ีด ีถีฅึ ีฏีก ีฝีธีพีธึ ีธีฒีถีฅึ ีซ ีญีดีขีซ ีดีกีฝีซีถ, ีกีดีฅีถ ีกีถีฃีกีด ีดีฅีถึ ีฐีกีพีกีฝีกึ ีกีบีฅีฝ ีฏีกึ ีธีฒ ีฅีถึ ึ ีฃีฟีกีฃีธึ ีฎีฅีฌ << ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถ >> ีขีกีผีจ: ี ีกีฉีฅีดีกีฟีซีฏีกีตีธึ ีด ีฐีกีณีกีญ ีฃีธึ ีฎ ีฅีถึ ีธึ ีถีฅีถีธึ ีด ีฉีพีฅึ ีซ , ีฏีฅีฟีฅึ ีซ, ีธึ ีฒีซีฒีถีฅึ ีซ,ึ ีธึ ีถีฏึ ีซีกีถีฅึ ีซ ึ ีดีกีฉีฅีดีกีฟีซีฏีกีฏีกีถ ีกีตีฌ ึ ีขีตีฅีฏีฟีถีฅึ ีซ ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีถีฅึ ีซ ีฐีฅีฟ: ี ีขีตีฅีฏีฟีถีฅึ ีจ,ีธึ ีธีถึ ีซึ ีฏีกีฆีดีพีกีฎ ีง ีฟีพีตีกีฌ ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ,ีฏีธีนีพีธึ ีด ีฅีถ ีกีตีค ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีกีถ ีฟีกึ ึ ีฅึ :ี ีกีณีกีญ ีธึ ีถีฅีถีกีฌีธีพ ีฟีพีตีกีฌ ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีกีถ ีฝีบีกีผีซีน ีถีฏีกึ ีกีฃีซึ ีจ, ีดีฅีฆ ีฐีกีปีธีฒีพีธึ ีด ีง ีฃีฟีถีฅีฌ ีฟีกึ ึ ีฅึ ีซ ีฝีฟีธึ ีตีฃ ึ ีกีถีกีฏีจ:ิตีฉีฅ ีกีตีถ ีกึ ีฟีกีฐีกีตีฟีพีธึ ีด ีง ีพีฅึ ีปีกีพีธึ ีฉีพีธีพ,ีกีบีก ีกีตีค ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ ีกีถีพีกีถีธึ ีด ีฅีถ ีพีฅึ ีปีกีพีธึ : 1 1
1
ิฑีตีชีด ีคีซีฟีกึ ีฏีฅีถึ ีฐีฅีฟึ ีตีกีฌ ีฉีพีกีตีซีถ ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจี A={1, 2 , 3 โ ฆ 100} ึ N0={1,2,3 โ ฆ 100} ีขีถีกีฏีกีถ ีฉีพีฅึ ีซ ีฅีถีฉีกีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ:ี ีฏีกีฟีธึ ีด ีฅีถึ ีธึ ีธีทีกีฏีซ ีฐีกึ ีกีขีฅึ ีธึ ีฉีตีธึ ีถ ีกีตีฝ 2 ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีถีฅึ ีซ ีดีฅีป ึ ีฐีกีดีกีบีกีฟีกีฝีญีกีถีธึ ีฉีตีธึ ีถ A ึ N0 ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีกีถ ีฟีกึ ึ ีฅึ ีซ ีดีซีปึ :ิฑีตีค ีฐีกีดีกีบีกีฟีกีฝีญีกีถีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ ( ีกึ ีฟีกีบีกีฟีฏีฅึ ีธึ ีดีจ) ีถีทีกีถีกีฏีฅีฌีธีพ f ีฟีกีผีธีพ ีฏีธึ ีถีฅีถีกีถึ ,ีธึ f:N0 โ ถA: f ีกึ ีฟีกีบีกีฟีฏีฅึ ีธึ ีดีจ (ึ ีธึ ีถีฏึ ีซีกีถ ) ีกึ ีฟีกีฐีกีตีฟีธึ ีด ีง ีฐีฅีฟึ ีตีกีฌ ีบีกึ ีฆีกีฃีธึ ีตีถ ีขีกีถีกีฑึ ีธีพี
1
f(n)= an=๐ f ีกึ ีฟีกีบีกีฟีฏีฅึ ีธึ ีดีจ ึ ีธีญีดีซีกึ ีชีฅึ ีกึ ีฟีกีบีกีฟีฏีฅึ ีธึ ีด ีง: ิฑีตีชีด A ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ ีบีกีฟีฏีฅึ ีฅีถึ ีฐีฅีฟึ ีตีกีฌ ีฟีฅีฝึ ีธีพี
1 1
1
A={1, 2 , 3 โ ฆ 100} N0= { 1, 2, 3 โ ฆ 100} A= {๐ ๐ } ีกีถีพีกีถีฅีถึ ีฉีพีกีตีซีถ ีฐีกีปีธึ ีคีกีฏีกีถีธึ ีฉีตีธึ ีถ:
ิฑีตีฝ ีคีฅีบึ ีธึ ีด ี ีกีฟ ีฐีกีณีกีญ ีกีถีฐึ ีกีชีฅีทีฟีธึ ีฉีตีธึ ีถ ีง ีกีผีกีปีกีถีธึ ีด ีฟีพีกีฎ A ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีกีถ ีฐีกีดีกึ ีฃีฟีถีฅีฌ
f(n) ีฏีกีด an
ีขีกีถีกีฑึ ีจ,ีธึ ีซ ึ ีฃีถีธึ ีฉีตีกีดีข ีฏีธึ ีถีฅีถีกีถึ ีขีถีกีฏีกีถ ีฉีพีฅึ ีซ ีกึ ีฟีกีบีกีฟีฏีฅึ ีธึ ีดีจ
ีดีฅึ A ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีกีถ ีพึ ีก: ี ึ ีซีกีถีกีฏ 1:
A={ 5, 9,
13,17, โ ฆ ,49} an= 4n+1
ิฑีถีดีซีปีกีบีฅีฝ ีถีฏีกีฟีธึ ีด ีฅีถึ ,ีธึ f(n) =an= 4n+1, ีธึ ีฟีฅีฒี n=1,2,โ ฆ,12:
ี ึ ีซีถีกีฏ 2 ิดีซีฟีกึ ีฏีฅีถึ A={1,
4 6 8
, , , โ ฆ } ีพีฅึ ีปีกีพีธึ ึ ีกีถีกีฏีซ ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถ
3 4 5
ิณีฟีถีฅีถึ an, ีธึ ีธีพ ีฏีธึ ีถีฅีถีกีถึ ีขีถีกีฏีกีถ ีฉีพีฅึ ีซ ีกึ ีฟีกีบีกีฟีฏีฅึ ีธึ ีดีจ ีกีตีฝ ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีกีถ ีพึ ีก:
f(n) =an=
2๐
๐ +1
ี ึ ีซีถีกีฏ 3 ิดีซีฟีกึ ีฏีฅีถึ A={0,2,0,2,0, โ ฆ } ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ,ีกีบีกี
f(n) =an=1+(-1)n ี ึ ีซีถีกีฏ 4 ิดีซีฟีกึ ีฏีฅีถึ A={1,3,1,3,1, โ ฆ } ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ,ีกีบีกี
f(n) =an=2+(-1)n+1
2.ินีพีกีขีกีถีกีฏีกีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีก ิดีซีฟีกึ ีฏีฅีถึ ีฐีฅีฟึ ีตีกีฌ
A={๐ 1, ๐ 2,โ ฆ, ๐ ๐ }
ีฉีพีกีตีซีถ ีฐีกีปีธึ ีคีกีฏีกีถีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ:
ี ีกีฐีดีกีถีธึ ีด1: ิฑีตีฝ ีฐีกีปีธึ ีคีกีฏีกีถีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ ีฏีกีถีพีกีถีฅีถึ ีฉีพีกีขีกีถีกีฏีกีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีก,ีฅีฉีฅ ีกีตีถ ีขีกีพีกึ ีกึ ีธึ ีด ีง ีฐีฅีฟึ ีตีกีฌ ีบีกีตีดีกีถีซีถ.ิฟีกีดีกีตีกีฏีกีถ ีกีถีคีกีดี ีฝีฏีฝีกีฎ ีฅึ ีฏึ ีธึ ีคีซึ , ีฐีกีพีกีฝีกึ ีง ีซึ ีถีกีญีธึ ีค ีกีถีคีกีดีซีถ ีฃีธึ ีดีกึ ีกีฎ ีดีซึ ีถีธึ ีตีถ ีฐีกีฝีฟีกีฟีธึ ีถ ีฉีพีธีพี (d), ีธึ ีถ ีกีถีพีกีถีธึ ีด ีฅีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีกีตีซ ีฟีกึ ีขีฅึ ีธึ ีฉีตีธึ ีถ: ิธีฝีฟ ีฝีกีฐีดีกีถีดีกีถี ๐ ๐ = ๐ ๐ โ 1 +d ,ีธึ ีฟีฅีฒ i=2,...n ิทีฌีถีฅีฌีธีพ ีฝีกีฐีดีกีถีธึ ีดีซึ , ีฏีกึ ีธีฒ ีฅีถึ ีฃึ ีฅีฌ ,ีธึ
๐ 1 = ๐ 1 ๐ 2 = ๐ 1 + ๐ ๐ 3 = ๐ 2 +d=a2+d ... an=a1+(n-1)d=an-1+d (1)
(1) ีขีกีถีกีฑึ ีจ ีฏีธีนีพีธึ ีด ีง ีฉีพีกีขีกีถีกีฏีกีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีกีตีซ ีจีถีคีฐีกีถีธึ ึ ีกีถีคีกีดีซ (an) ีขีกีถีกีฑึ ี ีกึ ีฟีกีฐีกีตีฟีพีกีฎ ีกีผีกีปีซีถ ีกีถีคีกีดีธีพ(a1) ,ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีกีตีซ ีฟีกึ ีขีฅึ ีธึ ีฉีตีกีดีข (d) ึ ีกีถีคีกีดีถีฅึ ีซ ีฉีพีธีพ: ิฑีตีชีด ีคีซีฟีกึ ีฏีฅีถึ , ีฉีฅ ีซีถีนีบีซีฝีซ ีฐีกีฟีฏีธึ ีฉีตีธึ ีถีถีฅึ ีธีพ ีฅีถ ึ ีชีฟีพีกีฎ ีฉีพีกีขีกีถีกีฏีกีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีกีถีฅึ ีจ: ิดีซึ ีธึ ึ ีธึ ีถีฅีถึ ี
A={๐ 1, ๐ 2 , ๐ 3,โ ฆ, ๐ ๐ }
ีถึ ีก ีฟีกึ ีขีฅึ ีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ ีถีทีกีถีกีฏีถีฅึ d:
ินีฅีธึ ีฅีด 1: ิฟีกีดีกีตีกีฏีกีถ i-ึ ีค ีกีถีคีกีด ีฐีกีพีกีฝีกึ ีง ีซึ ีถีกีญีธึ ีค ึ ีฐีกีปีธึ ีค ีกีถีคีกีดีถีฅึ ีซ ีฏีซีฝีกีฃีธึ ีดีกึ ีซีถ (ีดีซีปีซีถ ีฉีพีกีขีกีถีกีฏีกีถีซีถ): ๐ +๐ ๐ ๐ = ๐ โ 1 2 ๐ +1 (2) ิฑีบีกึ ีธึ ีตึ : ๐ ๐ โ 1 , ๐ ๐ , ๐ ๐ +1 ีกีถีคีกีดีถีฅึ ีจ ีกึ ีฟีกีฐีกีตีฟีฅีถึ ๐ 1 ึ d ีฐีฅีฟึ ีกีขีกึ ีฏีธึ ีถีฅีถีกีถึ ี ai=a1+(i-1)d ai-1=a1+(i-2)d ai+1= a1+id
ี ีฅีฒีกีคึ ีฅีฌีธีพ (2) ีขีกีถีกีฑีซ ีดีฅีป ีฏีฝีฟีกีถีกีถึ ี a1 +(iโ 1)d+a1 +id
a1+(i-1)d=
2
ี ีกีพีกีฝีกึ ีดีกีถ ีถีทีกีถีซ ีกีป ีดีกีฝีจ ีฑึ ีกึ ีธีญีฅีฌีธีพ ีฏีฝีฟีกีถีกีถึ ีถีธึ ีตีถีธึ ีฉีตีธึ ีถี a1+(i-1)d=ai+(i-1)d ิฑีตีฝ ีถีธึ ีตีถีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ ีกึ ีฟีกีฐีกีตีฟีธึ ีด ีง (2) ีขีกีถีกีฑึ ีซ ีณีทีดีกึ ีฟีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ: ิดีซีฟีกึ ีฏีฅีถึ ai ีกีถีคีกีดีจ ึ ีถึ ีกีถีซึ ีกีป ึ ีฑีกีญ ีกีถีคีกีดีถีฅึ ีจ, ีกีบีก ี
๐ ๐ = ิฑีบีกึ ีธึ ีตึ : ai-1=a1+(i-k-1)d ai+k= a1+(i+k-1)d a1+(iโ kโ 1)d+ a1+(i+kโ 1)d
a1+(i-1)d=
2
a1+(i-1)d= a1+(i-1)d
๐ ๐ โ ๐ + ๐ ๐ +๐ 2
ีฝีฟีกีถีกีถึ ีถีธึ ีตีถีธึ ีฉีตีธึ ีถ,ีธึ ีถ ีกึ ีฟีกีฐีกีตีฟีธึ ีด ีง ีพีฅึ ีธีฐีซีทีตีกีฌีซ ีณีทีดีกึ ีฟีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ ิดีซีฟีกึ ีฏีฅีถึ ี
A={๐ 1, ๐ 2,โ ฆ, ๐ ๐ , โ ฆ , ๐ ๐ } B={๐ 1, ๐ 2,โ ฆ, ๐ ๐ ,โ ฆ ๐ ๐ }
d1 ีฟีกึ ีขีฅึ ีธึ ีฉีตีกีดีข d2 ีฟีกึ ีขีฅึ ีธึ ีฉีตีกีดีข
ิฑีบีก C=A+B ีฐีกีปีธึ ีคีกีฏีกีถีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ, ีธึ ีฟีฅีฒ ci=ai +bi ีถีธึ ีตีถีบีฅีฝ ีฉีพีกีตีซีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีก ีง ึ ีถึ ีก d0=d1+d2: ีบีกึ ีฆีพีธึ ีด ีง,ีธึ ึ ีกีถีฏีกึ ีกีฎ A*ฮฑ ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ ีถีธึ ีตีถีบีฅีฝ ีฉีพีกีขีกีถีกีฏีกีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีก ีง ึ ีถึ ีก d0= ฮฑ*d ี ีกีฐีดีกีถีธึ ีด:d>0, ีกีบีก ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีกีถ ีกีถีพีกีถีธึ ีด ีฅีถึ ีกีณีธีฒ,ีฐีกีฏีกีผีกีฏ ีคีฅีบึ ีธึ ีดี d<0, ีกีบีก ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีกีถ ีฏีธีนีพีธึ ีด ีง ีถีพีกีฆีธีฒ:
A={๐ 1, ๐ 2,โ ฆ, ๐ ๐ } d ีฟีกึ ีขีฅึ ีธึ ีฉีตีกีดีข ีฉีพีกีตีซีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีก ีง: ิดีซีฟีกึ ีฏีฅีถึ sn= ๐ 1 + ๐ 2 + โ ฏ + ๐ ๐ ีกึ ีฟีกีฐีกีตีฟีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ,ีกีตีถ ีกีถีพีกีถีฅีฌีธีพ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีกีตีซ ิดีซึ ีธึ ี ึ
n ีฐีกีฟ ีกีถีคีกีดีถีฅึ ีซ ีฃีธึ ีดีกึ :
sn ีฃีธึ ีดีกึ ีจ ีฃีฟีถีฅีฌีธึ ีฐีกีดีกึ ีคีซีฟีกึ ีฏีฅีถึ ีฐีฅีฟีตีกีฌ ึ ึ ีซีถีกีฏีจี S100= 1 + 2+ 3+...+100 S100=100+99+98+... +1 ิฑีบีกี 2S100= (1+100)+(2+99)+...+(100+1) ี ีฅีฟึ ีกีขีกึ ีฐีกีพีกีฝีกึ ีดีกีถ ีกีป ีดีกีฝีธึ ีด ีฏีธึ ีถีฅีถีกีถึ 100 ีฐีกีฟ ีฃีธึ ีดีกึ ีฅีฌีซ, ีกีตีค ีคีฅีบึ ีธึ ีดี
2S100=100*(100+1) 100โ (100+1)
S100=
2
ี ีธึ ีตีถ ีฝีฏีฆีขีธึ ีถึ ีธีพี Sn=a1+a2+...+an-1 +an
Sn=an+an-1 +...+a2+a1 2Sn=n*(a1+an) ิฑีตีฝีฟีฅีฒีซึ ีฐีฅีฟึ ีธึ ีด ีง,ีธึ (๐ 1 +๐ ๐ )
Sn=
2
ี ีกีถีซ ีธึ
*n an=a1 +d(n-1), ีกีบีก Sn=
[2๐ 1+ (๐ โ 1)๐ ] 2
*n
3. ิตึ ีฏึ ีกีนีกึ ีกีฏีกีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีก ิดีซึ ีธึ ึ ีธึ ีถีฅีถึ B={b1,b2,โ ฆ,bn} ีฉีพีกีตีซีถ ีฐีกีปีธึ ีคีกีฏีกีถีธึ ีฉีตีธึ ีถ: ี ีกีฐีดีกีถีธึ ีด: ินีพีกีตีซีถ ีฐีกีปีธึ ีคีกีฏีกีถีธึ ีฉีตีธึ ีถ ีจ ีฏีกีถีพีกีถีฅีถึ ีฅึ ีฏึ ีกีนีกึ ีกีฏีกีถ,ีฅีฉีฅ ีถึ ีก ีตีธึ ึ ีกึ ีกีถีนีตีธึ ึ ีกีถีคีกีดี ีฝีฏีฝีกีฎ ีฅึ ีฏึ ีธึ ีคีซึ ีฐีกีพีกีฝีกึ ีง ีถีกีญีธึ ีค ีกีถีคีกีดีจ ีขีกีฆีดีกีบีกีฟีฏีกีฎ ีดีซึ ีถีธึ ีตีถ ีฐีกีฝีฟีกีฟีธึ ีถ ีฉีพีธีพ` (q): ิฑีตีค ีฉีซีพีถ ีกีถีพีกีถีธึ ีด ีฅีถึ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีกีตีซ ีฐีกีตีฟีกึ ีกึ : ิตึ ีข q=1, ีฉีพีกีตีซีถ ีฐีกีปีธึ ีคีกีฏีกีถีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ ีฏีกีฆีดีพีกีฎ ีง ีฌีซีถีธึ ีด ีถีธึ ีตีถ ีฟีกึ ึ ีฅึ ีธีพ, ึ ึ ีซีถีกีฏ`A={2,2,2,2,2} ึ ีกีตีถ ีธึ ีฝีธึ ีดีถีกีฝีซึ ีฅีฌีธึ ีกีถีฐึ ีกีชีฅีทีฟีธึ ีฉีตีธึ ีถ ีนีธึ ีถีซ,ีธึ ีฝีฟีซ ีฏีกึ ีธีฒ ีฅีถึ ีบีกีตีดีกีถ ีคีถีฅีฌ,ีธึ ีฅึ ีฏึ ีกีนีกึ ีกีฏีกีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีกีตีซ ีฐีกีตีฟีกึ ีกึ ีจี q-ีถ ีดีฅีฏีซึ ีฟีกึ ีขีฅึ ีฉีซีพ ีง: ี ีกีฐีดีกีถีธึ ีดีซึ ีฐีฅีฟึ ีธึ ีด ีง,ีธึ bi=bi-1*q,ีกีบีกี b1=b1 b2=b1*q b3=b2*q=b1*q2 โ ฆ bn=bn-1*q=b1*qn-1 (1) i-1
(1) ีขีกีถีกีฑึ ีถ ีกีถีพีกีถีธึ ีด ีฅีถึ ีฅึ ีฏึ ีกีนีกึ ีกีฏีกีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีกีตีซ ีจีถีคีฐีกีถีธึ ึ ีกีถีคีกีดีซ ีขีกีถีกีฑึ ,ีกึ ีฟีกีฐีกีตีฟีพีกีฎ ีกีผีกีปีซีถี (b1) ีกีถีคีกีดีธีพ , ีฐีกีตีฟีกึ ีกึ ีธีพี (q) ึ ีกีถีคีกีดีถีฅึ ีซ ีฉีพีธีพ: ิดีซีฟีกึ ีฏีฅีถึ B={b1,b2,โ ฆ,bn} ีฅึ ีฏึ ีกีนีกึ ีกีฏีกีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีก,ีธึ ีซ ีฐีกีตีฟีกึ ีกึ ีจ q-ีง,ีกีบีกึ ีธึ ึ ีฅีถึ ,ีธึ bi2=bi-1*bi+1 (2) ีฏีกีด bi=โ ๐ ๐ โ 1 โ ๐ ๐ +1 (3) ิฟีกีดีกีตีกีฏีกีถ i-ึ ีค ีกีถีคีกีดีจ ีฐีกีพีกีฝีกึ ีง ีซึ ีถีกีญีธึ ีค ึ ีฐีกีปีธึ ีค ีกีถีคีกีดีถีฅึ ีซ ีดีซีปีซีถ ีฅึ ีฏึ ีกีนีกึ ีกีฏีกีถีซีถ: bi =b1*qi-1 bi-1=b1*qi-2 b i+1 =b1*qi ี ีฅีฒีกีคึ ีฅีฌีธีพ ( 2) โ ีธึ ีด ีฏีฝีฟีกีถีกีถึ ี bi2*q2q-2 =b1*qi-2*b1*qi
bi2*q2q-2= bi2*q2q-2 ี ีฟีกึ ีพีกีฎ ีถีธึ ีตีถีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ ีกีบีกึ ีธึ ึ ีธึ ีด ีง ีดีฅึ ีบีดีคีธึ ีดีจ: ิฑีตีฝ ีบีถีคีธึ ีดีจ ีจีถีคีฐีกีถีธึ ึ ีคีฅีบึ ีธึ ีด ีฏีธึ ีถีฅีถีก ีกีตีฝีบีซีฝีซ ีฟีฅีฝึ ี
bi2= b i-k* b i+k ีฏีกีดีกีตีกีฏีกีถ ีฅึ ีฏีธึ ีฅึ ีฏึ ีกีนีกีฉีกีฏีกีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีกีตีซ ีกึ ีฟีกีคึ ีตีกีฌ ( ึ ีกีถีธึ ีค) ีฅึ ีฏึ ีกีนีกึ ีกีฏีกีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีก ีง,ีธึ ีซ q0=q1*q2 (๐ 0 =
๐ 1 ๐ 2
):
ิตีถีฉีกีคึ ีฅีถึ ีธึ ีถีฅีถึ ีฅึ ีฏีธึ ีฅึ ีฏึ ีกีนีกีฉีกีฏีกีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีก B={๐ 1, ๐ 2,โ ฆ, ๐ ๐ }, ๐ 1 ีฐีกีตีฟีกึ ีกึ ีธีพ C={๐ 1, ๐ 2,โ ฆ, ๐ ๐ } , ๐ 2 ีฐีกีตีฟีกึ ีกึ ีธีพ , ีกีบีกี D=B*C={(๐ 1 ๐ 1 ,โ ฆ, (๐ ๐ ๐ ๐ )} ีฅึ ีฏึ ีกีนีกึ ีกีฏีกีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีก ีง,ีธึ ีซ ีฐีกีตีฟีกึ ีกึ ีจ ีฐีกีพีกีฝีกึ ีงี ๐ 0 = ๐ 1 โ ๐ 2 : ิดีซีฟีกึ ีฏีฅีถึ B={๐ 1, ๐ 2,โ ฆ, ๐ ๐ }, q ีฐีกีตีฟีกึ ีกึ ีธีพ ีฅึ ีฏึ ีกีนีกึ ีกีฏีกีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีก ึ ๐ 0 = ๐ ๐ ีฐีกีตีฟีกึ ีกึ ีธีพ C={๐ 1๐ , ๐ 2๐ , โ ฆ , ๐ ๐ ๐ } ีฅึ ีฏึ ีกึ ีกีฏีกีถ ีบึ ีธีฃึ ีฅีฝีซีกType equation here.
ิฟีธีดีขีซีถีกีฟีธึ ีซีฏีก ิดีซึ ีธึ ึ ีธึ ีถีฅีถึ A=
{๐ 1, ๐ 2, ๐ 3 , ๐ 4 }
, ีกีบีก ีฏีกึ ีธีฒ ีฅีถึ ีบีถีคีฅีฌ,ีธึ A ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ
ีฏีกีฆีดีพีกีฎ ีง 4 ีฟีกึ ึ ีฅึ ีซึ ; ี ีกีฐีดีกีถีธึ ีด 1: ิดีกีฟีกึ ีฏ ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ ีกีถีพีกีถีธึ ีด ีฅีถึ ีกีตีถ ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ, ีธึ ีจ ีฟีกึ ึ ีฏีกีด ีงีฌีฅีดีฅีถีฟ ีนีซ ีบีกึ ีธึ ีถีกีฏีธึ ีด: ิฑีตีค ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ ีถีทีกีถีกีฏีธึ ีด ีฅีถึ โ ี ีกีฐีดีกีถีธึ ีด 2:A ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ ีฏีธีนีพีธึ ีด ีง ีฐีกีดีกีบีกีฟีกีฝีญีกีถ B ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีกีถีจ ( ีถีธึ ีตีถีกีฏีกีถ, ีฏีกีด ีฐีกีดีกึ ีชีฅึ ), ีฅีฉีฅ A ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีกีถ ีขีธีฌีธึ ีฟีกึ ึ ีฅึ ีจ ีบีกึ ีธึ ีถีกีฏีธึ ีด ีงีซีถ B ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีกีถีจ, ึ ีจีถีคีฐีกีฏีกีผีกีฏีจี B -ีซ ีขีธีฌีธึ ีฟีกึ ึ ีฅึ ีจ ีบีกึ ีธึ ีถีกีฏีธึ ีด ีงีซีถ A: ิฑีตีฝ ีคีฅีบึ ีธึ ีด ีฃึ ีธึ ีด ีฅีถึ A โ ชโ ฉโ โ โ โ ฅโ ฅ B
ี ีกีฐีดีกีถีธึ ีด 3:A ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ ีจีถีฏีกีฎ ีง B-ีซ ีดีฅีป,ีฅีฉีฅ A ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีกีถ ีขีธีฌีธึ ีงีฌีฅีดีฅีถีฟีถีฅึ ีจ ีจีถีฏีกีฎ ีง B ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีกีถ ีดีฅีป ึ ีจีถีคีฐีกีฏีกีผีกีฏ ีบีกีตีดีกีถีจ ีบีกึ ีฟีกีคีซึ ีนีง: ิฑีบีก ีกีตีฝ ีคีฅีบึ ีธึ ีด A ีกีถีพีกีถีธึ ีด ีฅีถ B ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีกีถ ีฅีถีฉีกีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถ: ิฑีตีฝ ีฝีกีฐีดีกีถีธึ ีดีถีฅึ ีซึ ีฐีฅีฟึ ีธึ ีด ีง.
1.โ โ A 2.Aโ A 3.Aโ B,Bโ A, ีกีตีฝีฟีฅีฒีซึ ีฐีฅีฟึ ีธึ ีด ีง,ีธึ A โ กB 4. Aโ B, Bโ C ,ีกีตีฝีฟีฅีฒีซึ ีฐีฅีฟึ ีธึ ีด ีง ,ีธึ Aโ C A ึ B ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีถีฅึ ีซ ีดีซีกีพีธึ ีธึ ีด ( ีฃีธึ ีดีกึ ) ีกีถีพีกีถีธึ ีด ีฅีถึ ีกีตีถ C ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ C= ,ีธึ ีซ ีตีธึ ึ ีกึ ีกีถีนีตีธึ ึ ีฟีกึ ึ ึ ีฏีกี ีด ีบีกีฟีฏีกีถีธึ ีด ีง A ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีกีถีจ,ีฏีกี ีด ี B: C=Aโ ชB:
A ึ B ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีถีฅึ ีซ ีฐีกีฟีธึ ีด ( ีกึ ีฟีกีคึ ีตีกีฌ) ีกีถีพีกีถีธึ ีด ีฅีถึ ีกีตีถ C ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ,ีธึ ีซ ีฟีกึ ึ ีฅึ ีจ {ci} ีบีกีฟีฏีกีถีธึ ีด ีง ึ ี A ึ ี B ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีกีถีจ: C=Aโ ฉB
A ึ B ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ ีฅีฉีฅ ีนีธึ ีถีฅีถ ีจีถีคีฐีกีถีธึ ึ ีฟีกึ ึ ,ีกีบีก Aโ ฉB=โ A ึ B ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีถีฅึ ีซ ีฟีกึ ีขีฅึ ีธึ ีฉีตีธึ ีถ ีกีถีพีกีถีธึ ีด ีฅีถึ ีกีตีถ C ีขีกีฆีดีธึ ีฉีตีธึ ีถีจ,ีธึ ีซ
տարրերը պատկանում են միայն և միայն բազմությանը: C=A/ B Սահմանում: A վերջավոր բազմության երկարություն անվանենք այդ բազմության տարրեի քանակը
A={𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 } n(A)=n B={𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 , … , 𝑎𝑛 } n(B)=m Ենթադրենք A∩B=∅
Այս դեպքում n(A∪B)=n(A)+n(B)=n+m Այժմ դիտարկենք մի նոր հասկացողություն: Դիցուք ունենք. A={1,2,3} n(A)=3 B={4,7,8,9} n(B)=4 դիտարկենք զույգերի բազմություն,որը բաղկացած է մեկ տարր A բազմությունից, և մեկ տարր b բազմությունից՝ (1,4) ,(1,7),(1,8),(2,4)…: Այս բազմությունը նշանակենք C={(ai,bj)} զույգերի բազմությունը,որոնց համար կունենանք կունենանք հետևյալ աղուսյակը (1,4), (1,7), (1,8), (1,9) C= {(2,4), (2,7), (2,8), (2,9) (3,4), (3,7), (3,8), (3,9)
հետևաբար n(c)=n(A)*n(B)=4*3=12 Որտեղ C կարող ենք նշանակել AXB: Այժմ ենթադրենք A և B բազմությունը ունի հետևյալ տեսքը՝
A={𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 } B={𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 , … , 𝑎𝑛 }
n(A)=n n(B)=m
Սահմանում:C=AXB զույգերի բացմությունն է,որի յուրաքանչյուր տարր բաղկացած է մեկ տարր A բազմությունիցi և մեկ տարր B բազմությունից և C={(ai,bj)}, որտեղ i=1,2,…,n, j=1,2,…,m: Ըստ վերոհիշյալ դատողությունների n(C) =n(A)*n(B)=n*m: C բազմությունն անվանենք A և B բազմությունների դեկարտյան արտդրյալ,իսկ (ai,bj) անվանենք հավաքծու: և ընդհանրապես,եթե ունենք A1,A2,…,Ak բազմություններ, ընդ որում Ai∩Aj=∅, որտեղ i≠j
ապա C=A1xA2x…xAk, , n(A1xA2x…xAk)=n(A1)xn(A2)x…x(Ak),իսկ եթե A1 ≡A2 ≡Ak, ապա՝ n(Ak)=[n(A)]k: Դիտարկենք հետևյալ օրինակը A={8,2,4,5,1,9} n(A)=6 կազմեք բոլոր ծածկագրերը,որոնք բաղկացած են 4 նիշերից ,ընդ որում ծածկագրում կարող են կրկնվել: Դիտարկենք հետևյալ 4 տեղանոց արկղ
Հետևաբար n(A1xA2xA3xA4)=n(A1)xn(A2)xn(A3)xn(A4)=n(A4)=[n(A)]4=64
A1
A2
A3
A4
I արկղ IIարկղ IIIարկղ IVարկղ n(A1)=6 n(A2)=6 n(A3)=6
n(A4)=6
A1
A2
A3
I արկղ
IIարկղ
IIIարկղ
n (A1)=5
n (A2)=5
n (A3)=5
Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ: Ունենք A={1,2,5,8,9} n(A)=5 կազմենք բոլոր եռանիշ թվերը ( թվերը կարող են կրկնվել):Նորից դիտարկենք արկղը՝ բաղկացած երեք մասից.
n(A1xA2xA3)=n(A1)xn(A2)xn(A3)=[n(A)]3=53=125 Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ: Ունենք A={1,2,5,8,9} n(A)=5 կազմենք բոլոր եռանիշ թվերը,որտեղ թվնշանները չեն կրկնվում:
A1
A2
A3
I արկղ
IIարկղ
IIIարկղ
n (A1)=5
n (A2)=4
n (A3)=3
n(A1xA2xA3)=n(A1)xn(A2)xn(A3)=5x4x3=60 Այսինքն մեր հավաքածուների բազմությունն ունի 60 տարր: Խնդիր: Դիցուք ունենք 5 տարբեր գույնի գնդակներ և 2 երեխա:Քանի՞ եղանակով կարելի է այդ գնդակները բաժանել 2 երեխաների միջև:
A1
A2
A3
A4
A5
n(A1)=2 n(A2)=2 n(A3)=2 n(A4)=2 n(A5)=2
Հետևաբար M=(n(A1)xn(A2)x…xn(A5))=25=32 Այս խնդիրը լուծենք այլ եղանակով: Առաջին երեխային տանք որոշակի քանակությամբ գնդակ,ապա մնացածը կմնա երկրորդ երեխային: տարբերակ
I երեխա
II երեխա
I
Ոչ մի գնդակ
1 տարբերակ
II
1 գնդակ
5 տարբերակ
III
2 գնդակ
10տարբերակ
IV
3գնդակ
10տարբերակ
V
4 գնդակ
5տարբերակ
VI
5 գնդակ
1 տարբերակ
Հետևաբար կունենանք՝ M=1+5+10+10+5+1=32=25 Այսպիսով 5 տարրից բաղկացած բազմության բոլոր հնարավոր ենթաբազմությունների ( հավաքածուների) բազմությունը բաղկացած է 25 տարրերից: և ընդհանրապես,եթե ունենանք n տարրերից բաղկացած բազմություն,ապա նրա բոլոր
ենթաբազմությունների բազմությունը հավասար է 2n: