<<Մխիթար Սեբաստացի>> կրթահամալիր Պրոգրեսիաներ 1. Թվաբանական պրոգրեսիա 2. Երկրաչափական պրոգրեսիա 3. Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա 4. Սովորական կոտորակներ, տասնորդական կոտորակներ 1. Թվաբանական պրոգրեսիա Տեսական նյութ Հաճախ առընչվում ենք այնպիսի հաջորդականությունների հետ, որոնք օժտված են որոշակի օրինչափություններով: Նման կարևոր հաջորդականություններից են պրոգրեսիաները: Պրոգրեսիա հունարեն բառ է, որը նշանակում է շարժում դեպի առաջ:
Սահամնում Թվաբանական պրոգրեսիա կոչվում է այն հաջորդականությունը, որի յուրաքանչյուր անդամը, սկսած երկրորդից, ստացվում է իր նախորդին միևնույն` այդ հաջորդականության համար հաստատուն, թիվը գումարելով: ❑ Այսինքն` a 1 , a 2 , a 3 ,... a n , ... հաջորդականությունը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա, եթե գոյույուն ունի մի այնպիսի d թիվ, որ a n +1=a n + d n=1, 2, 3,. ..
Օրինակ` 1, 2, 3, 4,... հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է, որովհետև եթե նրա յուրաքանչյուր անդամին գումարենք 1 կստանանք նրա հաջորդ անդամը:
Սահմանում Թիվը, որը գումարելով թվաբանական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամին, ստացվում է այդ անդամի հաջորդ անդամը, կոչվում է այդ պրոգրեսիայի տարբերություն: Այսպիսով, ըստ սահմանման` d =a n+1 −a n , որտեղn=1,2,3,. ..
Եթե d >0, ապա պրոգրեսիան կոչվում է աճող, իսկ եթե d <0, ապ ա պրոգրեսիան կոչվում է նվազող: Եթե d =0,պրոգրեսիան ոչ աճող է, ոչ
նվազող:
Թվաբանական պրոգրեսիայի բնութագրիչ հատկությունը a n=
a n−1 + a n+1 2
այսինքն յուրաքանչյուր միջին անդամ հավասար է իր հարևան անդամների թվաբանական միջինին: Ճիշտ է նաև հակադարձը, այսինքն եթե հաջորդականության մեջ յուրաքանչյուր միջին անդամ հավասար է իր հարևանների թվաբանական միջինին, ապա հաջորդականու;յունը թվաբանական պրոգրեսիա է:
Թվաբանական պրոգրեսիայի ընդհանուր անդամի բանաձևը ❑ Եթե a 1 , a 2 , a 3 ,... a n , ... թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը d է , ապա նրա a n n−րդ անդամը որոշվում էհետևյալ բանաձևով . a n=a 1+(n−1)d
:
Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարի բանաձևեր a 1 , a 2 , a 3 ,... a n , ...❑ թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամներիS n գումարը որո ,վում է հետևյալ բանաձևերով .
1)
S n=
a1 +a n ⋅n 2
2)
S n=
2 a1 +(n−1)d ⋅n 2
Առաջադրանքներ 1) Գտեք 10; 7; … թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին բացասական անդամը: 2) Գտեք -5; -3;... թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին դրական անդամը: 3) Օգտվելով թվաբանական պրոգրեսիայի բնութագրիչ հատկությունից՝
ապացուցեք, որ 7, 3, -1, -5, -9 հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է: 4) Գտնել -4; -3,5;... թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը: d=-3,5+4=0,5 5) Գտնել -4; -3,5;... թվաբանական պրոգրեսիայի այն անդամի համարը, որի արժեքը 11 է: 6) Գտնել 5,2; 4,6;...թվաբանական պրոգրեսիայի իններորդ անդամը: 7) Գտնել 5,2; 4,6;... թվաբանական պրոգրեսիայի ամենամեծ բացասական անդամը: 8) (a n ) ; վաբանական պրոգրե սիայում a 7 +a 8 +a 9=21: Գտնել a8−ը : 9) Որեշեք
a 1 , a 2 , a 3 ,... a n , ...❑ թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին
n
անդամների գումարը, եթե. ա) a 1=5, a n=105, n=18, 1 21 բ) a 1= 2 , a n = 2 , n=12,
գ) a 1=−10, a n=−20, n=7, դ) a 1=0,1, a n =2, n=14 : 10)Որեշեք
a 1 , a 2 , a 3 ,... a n , ...❑ թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին
անդամների գումարը, եթե. ա) d =10, a n=459, n=40, բ) d =−1/ 4, a n=1, n=23, գ) d =2, a n=−10, n=115, դ)* d =1+ a , a n =28 a +27, n=24 : 11) Գտեք բոլոր եռանիշ թվերի գումարը: 12) Տրված է, գտեք. ա) a 1=18, d =−0,6 : Գտեք a 3−ը , a 20−ը , S 20−ը : բ)
a 36=26, d =0,7 : Գտեք a1 −ը , a 6−ը , S 20 −ը :
2. Երկրաչափական պրոգրեսիա Տեսական նյութ Թվաբանական պրոգրեսիան սերտորեն կապված է գումարման և
n
հանման գործողության հետ, իսկ բազմապատկման և բաժանման գործողության հետ որևէ կապ չկա: Վերջիններիս հետ կապ ունեցող հաջորդականությունները երկրաչափական պրոգրեսիաներն են:
Սահմանում Երկրաչափական պրոգրեսիա կոչվում է 0-ից տարբեր անդամներով այն հաջորդականությունը, որի յուրաքանչյուր անդամը, սկսած երկրորդից, ստացվում է իր նախորդը իր միևնույն՝ այդ հաջորդականության համար հաստատուն, թվով բազմապատկելով: Օրինակ՝ 1, 2, 4, 8 հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է, քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ ստացվում է նախորդը որևէ հաստատուն թվով, այստեղ 2-ով բազմապատկելիս: Թիվը, որի մասին խոսվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի սահմանման մեջ, կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար: Սահմանում Թիվը, որը բազմապատկելով երկրաչափական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամով, ստացվում է այդ անդամի հաջորդ անդամը, կոչվում է այդ պրոգրեսիայի հայտարար: Հայտարարը նշանակում են q տառով:Հասկանալի է, որ հայտարարը չի կարող լինել 0: Օրինակ՝ 1, 4, 16,... երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը՝ q=4:1=4 կամ 16:4=4 Այսպիսով երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարի համար ստանում ենք հետևյալ բանաձևը՝ q=
bn +1 bn
, որտեղ
n=1,2,...
Երկրաչափական պրոգրեսիայի բնութագրիչ հատկությունը Դրական անդամներով երկրաչափական պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ հավասար է իր հարևան անդամների երկրաչափական միջինին: b n=√ bn −1 ⋅ b n+1
,
n=1,2,...
Օրինակ՝ 1, 5, 25, 125 երկրաչափական պրոգրեսիայում 5 և 25 ունեն երկու անմիջական հարևաններ, հետևաբար 5=√ 1 ⋅ 25=5, 25=√ 5 ⋅ 125=√ 625=25 : Երկրաչափական պրոգրեսիայի ընդհանուր անդամի բանաձևը
Իմանալով երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին անդամը և հայտարարը՝ կամայական n բնական թվիհամար կունենք . b n=b1 ⋅ q
n−1
, որտեղ n=1, 2, 3,...
Այսպիսով ստացանք երկրաչափական պրոգրեսիայի n−րդ
անդամի
բանաձևը: Օրինակ b1=5, q=2 առաջին անդամով և հայտարարով երկրաչափական պրոգրեսիայում կարող ենք գտնել ցանկացած անդամ, օրինակ հաշվենք 5-րդ անդամը՝ b5=b1 ⋅ q =5 ⋅ 2 =80 : 4
4
Եվ այսպես մնացածը:
Երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումարը 1-ից տարբեր q հայտարարով b1 , b2 ,... b n , ... երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամներիS n գու մարը որոշվում է հետևյալ բանաձևերով.
1)
S n=
b n q−b1 q−1
2)
S n=
b 1(q −1) q−1
n
:
Եթե q=1, ապա S n=n ⋅ q : Առաջադրանքներ 1) Գտեք b1 ; 9 ; b3 ; b 4 ; 243 ; ... երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը: 1 2) Երկրաչափական պրոգրեսիայում b3=1,b 6= 8 : Գտեք b9 −ը :
3) Գտեք 3; 6;... երկրաչափական պրոգրեսիայի 100-ից փոքր անդամների քանակը: 4) Գտեք 16; -8; … երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը: 5) Երկրաչափական պրոգրեսիայում b1=3,b 6=96 : Գտնել պրոգրեսիայի հայտարարը: 6)* Հարթության վրա պատկերված է 11 ատամնանիվ, որոնք միացած են շղթայով: Կարո՞ղ են դրանք միաժամանակ պտտվել:
7) Երկրաչափական պրոգրեսիայի մեջ b11=2,b 14=54 : Գտեք պրոգրեսիայի այն անդամի համարը, որի արժեքն է 18: 8) 6 և 24 թվերի միջև տեղավորեք այնպիսի մի թիվ, որը և այդ թվերը միասին կազմում են երկրաչափական պրոգրեսիա: 9) Որեշեք b1 ,b 2 , ... bn ,... երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին ութ անդամների գումարը, եթե ա) b1=3,b 2=−6 բ) b5=−6, b 2=−54 գ) b6 =3, q=3 դ) b6 =25, b8=9 : 10)
b1 ,b 2 , ... bn ,... երկրաչափական պրոգրեսիայում
ա) b 2=384, b6=48: Գտեք S 10−ը : բ) b 4=10, b7=80 : Գտեք S 8−ը : գ)* b5=54,b 8=1458: Գտեք 4000− ից փոքր անդամների գումարը : դ)* b3=12,b 6=96 : Գտեք 500− ից փոքր անդամների թիվը : 3. Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա Տեսական նյութ Մինչ այժմ մենք գործ ենք ունեցել միայն վերջավոր պրոգրեսիաների հետ: Սակայն երբեմն հարկ է լինում առընչվել նաև անվերջ հաջորդականությունների և, մասնավորապես՝ անվերջ պրոգրեսիաների հետ: Անվերջ հաջորդականություններին առընչվող մի շատ հետաքրքիր խնդիր է դիտարկել հույն փիլիսոփա Զենոն՝ մ.թ.ա 5-րդ դարում: Այդ խնդիրը հայտնի է Զենոնի կամ արագավազ Աքիլեսի և կրիայի խնդիր: Խնդիրն այսպիսին է՝ արդյո՞ք կարող է արագավազ Աքիլեսը հասնել
դանդաղաշարժ կիրային՝ վազելով նրա հետևից: Զենոնի դատողությունները տվյալ խնդրի վերաբերյալ այսպիսին են. դիցուք ժամանակի ինչ-որ պահի Աքիլեսը գտնվում է A կետում, իսկ կրիան՝ B կետում: Աքիլեսը կրիային հասնելու համար պետք է հասնի նախ B կետը և ծախսի որոշ ժամանակ: Այդ ընթացքում կրիան կհասնի C կետը: Կրիային հասնելու համար Աքիլեսի հիմա պետք է հասնի C կետը և ծախսի որոշ ժամանակ, իսկ այդ ընթացքում կրիան կհասցնի տեղափոխվել D կետը: Եվ այսպես շարունակ… Ինչքան էլ Աքիլեսը արագ վազի չի հասնի դանդաղաշարժ կրիային: Բնականաբար այստեղ ինչ-որ սխալ կփորձեք փնտրել: Նման որոնումների մեջ էին աշխարհի մեծագույն մտածողները՝ 2000 տարի շարունակ: Իսկ հարցի պատասխանը թաքնված է անվերջ հաջորդականությունների կամ անվերջ քանակությամբ թվերի գումարման հնարավորության մեջ: Իսկապես՝ Աքիլեսի համար նշված ճանապարհներն անցնելու ժամանակահատվածները կազմում եմ անվերջ հաջորդականություն և այդ հաջորդականության անդամների գումարը կարող է լինել ինչ-որ մի թիվ է: Եվ միայն բացառիկ դեպքերում են, որ անվերջ հաջորդականությունները օժտված այս հատկությամբ: Քննարկենք նման մի դեպք, խոսքը իհարկե այն երկրաչափական պրոգրեսիաների մասին է, որոնց հայտարարը՝ q ∈ (−1 ; 1): Այդպիսի պրոգրեսիաները կոչվում են անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիաներ:
Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումարը S=
b1 1−q
b1−ը անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի q−ն հայատարարը :
առաջին անդամն է,
Առաջադրանքներ 1) Հաշվեք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը.
ա)
1 1 1, , ,... 3 9
բ)
16, 4,1, ...
գ) դ) ե) զ)
1 −2,−1,− ,... 2 1 9,1, , ... 9 ❑ 4 , 4 , 4 , ... ❑ 5 25 125 1 1 2,− , , ... 2 8
2) Հաշվեք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը. 1 ա) √ 3 ,−1, √ 3 ,...
բ)
2 √ 2 , 2, √ 2 , ...
գ)
3 √ 5 , 3,
դ)
3 √5 , ... 5 1 1 , ,... 2− √ 2 2
Կրկնության խնդիրներ 1 1) Գտնել b1 ,3, b 3 , b4 ,−10 8 երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին
անդամը: 2) Նշվածներից որն է թվաբանական պրոգրեսիա. ա) 1; 2; 4 բ) 3; 7; 13 գ) դ)
1 1 1 ; ; 3 6 9 1 5 1 ; ;1 8 8 8
:
3) Գտնել -19,3; -17,8;... թվաբանական պրոգրեսիայի բացասական անդամների քանակը:
4) Գտնել (a n ) թվաբանական պրոգրեսիայի 100-ից փոքր անդամների գումարը, եթե a 1=15, d =7: 5) Գտնել 3; 1; … անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը: 6) Գտնել 10; x; 4; … թվաբանական պրոգրեսիայի երկրորդ անդամը: 7)* Գտնել բաց թողած թիվը.
4. Սովորական կոտորակներ, տասնորդական կոտորակներ Տեսական նյութ Ինչպես գիտենք ցանկացած սովորական կոտորակ կարելի է գրել տասնորդական կոտորակի տեսքով՝ կոտորակի համարիչը անկյունաձև բաժանելով հայտարարի վրա: 1
1
Օրինակ՝ 4 =0,125 , 3 =0,333333...=0,(3) Վերջին թիվը անվերջ տասնորդական պարբերական կոտորակ է: Հակառակ գործողությանը նույնպես ծանոթ ենք, այսինքն, թե ինչպես կարելի է տասնորդական կոտորակը դարձնել սովորկան կոտորակ: 15 3 Օրինակ՝ 1,15=1 100 =1 20 : Իսկ ինչպե՞ս կարելի անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակը
դարձնել սովորական կոտորակ: Այստեղ օգնության է գալիս անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիան և նրա գումարի բանաձևը: տեսեք, թե ինչպես: Օրինակ՝ 0,(7)=0,777777...=0,7+ 0,07+0,007+... =
իսկ, 0,7; 0,07; 0,007;... անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա է, հետևաբար դրանց գումարը կարելի է հաշվել անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևով՝ S= 0,7
0,7
7
0,06 17 =2 1−0,1 30
:
b1 => 1−q
7
= 1−0,1 = 0,9 = 9 : Այսպիսով, 0,(7)= 9 : Մեկ այլ օրինակ՝ 2,5(6)=2,566…=2,5+0,06+0,006+0,0006+...=2,5+
+
Առաջադրանքներ 1) Սովորական կոտորակը գրեք տասնորդական կոտորակի տեսքով.
ա) բ) գ) դ)
4 6 10 11 100 6 7 8 :
2) Անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակը գրեք սովորական կոտորակի տեսքով. ա) 0,(8) բ) 2,(4) գ) 1,3(5) դ) 12,(23) ե) 9,(2) զ) 6,101(6): 3) Որոշել բազմանդամի աստիճանը. −¿ (x2)3+510-(x3)4
4) Գտնել անհավասարման լուծումների բազմությունը. 2(1-3x)>9+4x