Guía de matemática financiera by Lizbeth Vilca

MATEMATICAS FINANCIERAS

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TABLA DE CONTENIDO

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MATEMATICAS FINANCIERAS

OBJETIVO Estudiar y aprender las técnicas usuales de la Matemática Financiera, para aplicarlas a la Administración Pública.

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MATEMATICAS FINANCIERAS

1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE MATEMATICAS FINANCIERAS INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS Por. Cesar Aching Michael Parkin, en su obra Macroeconomía dice: «El dinero, el fuego y la rueda, han estado con nosotros durante muchos años. Nadie sabe con certeza desde cuándo existe el dinero, ni de cuál es su origen». En forma similar nos acompaña la matemática financiera, cuya génesis está en el proceso de la transformación de la mercancía en dinero. Según la teoría del valor: el valor solo existe de forma objetiva en forma de dinero. Por ello, la riqueza se tiene que seguir produciendo como mercancía, en cualquier sistema social. Como el sistema financiero está íntimamente ligado a las matemáticas financieras, describiremos escuetamente su origen. Por el año 1,368 - 1,399 D.C. aparece el papel moneda convertible, primero en China y luego en la Europa medieval, donde fue muy extendido por los orfebres y sus clientes. Siendo el oro valioso, los orfebres lo mantenían a buen recaudo en cajas fuertes. Como estas cajas de seguridad eran amplias los orfebres alquilaban a los artesanos y a otros espacios para que guardaran su oro; a cambio les giraban un recibo que daba derecho al depositante para reclamarlo a la vista. Estos recibos comenzaron a circular como medio de pago para comprar propiedades u otras mercancías, cuyo respaldo era el oro depositado en la caja fuerte del orfebre. En este proceso el orfebre se dio cuenta que su caja de caudales estaba llena de oro en custodia y le nace la brillante idea, de prestar a las personas "recibos de depósitos de oro", cobrando por sus servicios un interés; el oro seguiría en custodia y solo entregaba un papel en que anotaba la cantidad prestada; tomando

MATEMATICAS FINANCIERAS como previsión el no girar recibos que excedieran su capacidad de respaldo. Se dio cuenta de que intermediando entre los artesanos que tenían capacidad de ahorro en oro y los que lo necesitaban, podía ganar mucho dinero. Así es la forma en que nació el actual mercado de capitales, sobre la base de un sistema financiero muy simple, de carácter intermediario.

MATEMÁTICAS FINANCIERAS La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o ingeniería económica. Se relaciona multidisciplinariamente, con la contabilidad, por cuanto suministra en momentos precisos o determinados, información razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por un ente privado o público, que permiten tomar la decisión más acertada en el momento de realizar una inversión; con el derecho, por cuanto las leyes regulan las ventas, los instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros, corretaje, garantías y embarque de mercancías, la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden adquirir, los contratos de compra venta, hipotecas, préstamos a interés; con la economía, por cuanto brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa, podrían obtener mayores beneficios económicos; con la ciencia política, por cuanto las ciencias políticas estudian y resuelven problemas económicos que tienen que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en manos de los gobiernos. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuento a inversiones, presupuestos, ajustes económicos y negociaciones que beneficien a toda la población; con la ingeniería, que controla costos de producción en el proceso fabril, en el cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de los equipos industriales de producción; con la informática, que permite optimizar procedimientos manuales relacionados con movimientos económicos, inversiones y negociaciones; con la sociología, la matemática financiera trabaja con inversiones y proporciona a la sociología las herramientas necesarias para que las empresas produzcan más y mejores beneficios económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad y con las finanzas, disciplina que trabaja con activos financieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones y préstamos otorgados por instituciones financieras, que forman parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras. Por ello, las matemáticas financieras son de aplicación eminentemente práctica, su estudio está íntimamente ligado a la resolución de problemas y ejercicios muy semejantes a los de la vida cotidiana, en el mundo de los negocios. Dinero y finanzas son indesligables.

EL DINERO "El dinero es el equivalente general, la mercancía donde el resto de las mercancías expresan su valor, el espejo donde todas las mercancías reflejan su igualdad y su proporcionalidad cuantitativa". Según la economía habitual, dinero es cualquier cosa que los miembros de una comunidad estén dispuestos a aceptar como pago de bienes y deudas, cuya función específica estriba en desempeñar la función de equivalente general. El dinero surgió espontáneamente en la remota antigüedad, en el proceso de desarrollo del cambio y de las formas del valor. A diferencia de las otras mercancías, el dinero posee la propiedad de ser directa y universalmente cambiable por cualquier otra mercancía. Página 7 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS "Marx procede en este terreno de modo distinto. Cuando analiza el trueque directo de mercancías descubre el dinero en forma germinal.". 1. Funciones del dinero Formas concretas en que se manifiesta la esencia del dinero como equivalente general. En la economía mercantil desarrollada, el dinero cumple las cinco funciones siguientes:     

medida del valor". Con el dinero podemos medir, por ejemplo, el patrimonio que tiene cada ciudadano. Y también podemos medir el precio de cada hora de trabajo social medio. De manera que si expresamos el valor del patrimonio personal en dinero, después debemos expresar este dinero en horas de trabajo." medio de circulación, medio de acumulación o de atesoramiento, medio de pago y dinero mundial.

Siendo su función elemental la de intermediación en el proceso de cambio. El hecho de que los bienes tengan un precio proviene de los valores relativos de unos bienes con respecto a otros. 2. Tipos de dinero  



Dinero mercancía: Consiste en la utilización de una mercancía (oro, sal, cueros) como medio para el intercambio de bienes. La mercancía elegida debe ser: duradera, transportable, divisible, homogénea, de oferta limitada. Dinero signo: Billetes o monedas cuyo valor extrínseco, como medio de pago, es superior al valor intrínseco. El dinero signo es aceptado como medio de pago por imperio de la ley que determina su circulación (curso legal). El dinero signo descansa en la confianza que el público tiene en que puede utilizarse como medio de pago generalmente aceptado. Dinero giral: Representado por los depósitos bancarios.

3. La transformación del dinero en capital "El dinero se transforma en capital cuando con él compramos los factores objetivos y los factores subjetivos para producir riqueza. Los factores objetivos son los medios de producción y los factores subjetivos son la fuerza de trabajo. Por lo tanto, el dinero como capital se diferencia del dinero como simple dinero por la clase peculiar de mercancías que compra: medios de producción y fuerza de trabajo. La economía convencional sólo capta el dinero como medio de cambio, y el dinero que funciona como capital igualmente lo capta como medio de cambio. Y es cierto que el dinero que circula como capital funciona como medio de cambio. La diferencia no estriba, por lo tanto, en la función que desempeña en el mercado, sino en la clase de mercancías que se compra con él. El dinero como simple dinero se emplea como medio de cambio de medios de consumo personal, mientras que el dinero como capital se emplea como medio de cambio de medios de producción y de fuerza de trabajo"...

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MATEMATICAS FINANCIERAS 4. Sistemas monetarios Un sistema monetario es un conjunto de disposiciones que reglamentan la circulación de la moneda de un país. Tradicionalmente, los países eligieron el oro y la plata como la base de un sistema monetario mono metalista. Cuando adoptaron ambos metales a la vez, se trataba de un sistema bimetalista. Actualmente todas las divisas (dólar, Euro, yen, etc.) son dinero fiduciario. En épocas de inflación, la gente trata de desprenderse inmediatamente del dinero que se desvaloriza y de retener aquellos bienes que conservan su valor. 5. Los bancos y el dinero bancario El dinero bancario está constituido por los depósitos en los bancos, cajas de ahorro, compañías financieras o cajas de crédito. Los bancos reciben depósitos de sus clientes y conceden préstamos a las familias y a las empresas. El volumen de los préstamos concedidos es superior al de los depósitos que mantienen sus clientes.

LOS BANCOS Al parecer, la palabra "banco" procede de los que utilizaban los cambistas para trabajar en las plazas públicas en las ciudades italianas medievales. El oficio de cambista era entonces una profesión muy especializada que requería amplios conocimientos ya que las docenas de pequeños Estados existentes entonces mantenían en circulación centenares de diferentes monedas que eran aceptadas para el comercio, no por su valor facial, sino por el peso y ley del metal en que se acuñaban y que sólo un experto discernimiento podía establecer. Evolución histórica. Como señalábamos en la introducción, estas instituciones nacen en la Europa medieval, en las Repúblicas aristocráticas italianas, Venecia, Génova, Florencia, a mediados del siglo XII con la finalidad de prestar servicios de depósito. Al multiplicarse los bancos, amplían sus operaciones, agregan la emisión de certificados, antecedentes de nuestros actuales billetes. Juan Fugger fue el iniciador en Alemania de una familia de banqueros y comerciantes que unió su destino empresarial a la corona. Se constituyó en el prestamista de Carlos V. Desde Italia la prominencia comercial y bancaria pasó a Holanda y al norte de Europa. En 1605 nace el Banco de Amsterdam, primer banco moderno que no tuvo como todos los bancos italianos carácter de sociedad familiar o personal. Integrado por comerciantes a causa de la ubicación geográfica de su ciudad y puerto, fue un factor de primer orden para la economía de Holanda y Alemania. El Banco de Inglaterra fundado en 1694, como consecuencia de los préstamos que otorga, el gobierno le autorizó a emitir billetes.

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CLASES DE BANCOS 1. Según el origen del capital   

Bancos públicos: El capital es aportado por el estado. Bancos privados: El capital es aportado por accionistas particulares. Bancos mixtos o Banca Asociada: Su capital proviene de aportes privados y estatales.

2. Según el tipo de operación    

Bancos corrientes: Los más comunes, sus operaciones habituales incluyen depósitos en cuenta corriente, caja de ahorro, préstamos, cobranzas, pagos y cobranzas por cuentas de terceros, custodia de títulos y valores, alquileres de cajas de seguridad, financiación, etc. Bancos especializados: Tienen una finalidad crediticia específica (Bancos Hipotecarios, Banco Industrial, Banco Agrario). Bancos de emisión: Actualmente representados por bancos oficiales. Bancos Centrales: Son las casas bancarias de categoría superior que autorizan el funcionamiento de entidades crediticias, las supervisan y controlan.

SISTEMA BANCARIO 1. Banco Central Es la autoridad monetaria por excelencia en cualquier país que tenga desarrollado su sistema financiero. Es una institución casi siempre estatal que tiene la función y la obligación de dirigir la política monetaria del gobierno. Funciones.        

Emisión de moneda de curso legal con carácter exclusivo. Es el «banco de los bancos». Los bancos comerciales tienen una cuenta corriente en el Banco Central de igual forma que los individuos tienen las suyas en los comerciales. Es el asesor financiero del gobierno y mantiene sus principales cuentas. Es el encargado de custodiar las reservas de divisas y oro del país. Es el prestamista en última instancia de los bancos comerciales. Determina la relación de cambio entre la moneda del país y las monedas extranjeras. Maneja la deuda pública. Ejecuta y controla la política financiera y bancaria del país.

2. Bancos Comerciales Dedicados al negocio de recibir dinero en depósito, los cuales los presta, sea en forma de mutuo, de descuento de documentos o de cualquier otra forma. Son considerados además todas las operaciones que natural y legalmente constituyen el giro bancario. Página 10 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Funciones  

Aceptar depósitos. Otorgar adelantos y préstamos.

Los depósitos (pasivos) son deudas del banco hacia el público, por las cuales el banco paga un interés. Los préstamos (activos) son deudas del público al banco, por ellos el banco recibe un interés, la diferencia entre ambos constituye la ganancia (spread) que les otorga la actividad de intermediarios financieros. 3. Componentes del dinero y creación monetaria Dinero son los billetes y monedas de circulación legal en un país, en poder del público, más los depósitos bancarios en cuenta corriente movilizados mediante el cheque. O sea, el primer componente es el dinero en efectivo, el segundo es el denominado «dinero bancario» originado en la práctica de los negocios. Los depósitos en cuenta corriente son denominados «depósitos a la vista» y son los que guardan mayor relación con el dinero en efectivo. En los países de elevado desarrollo económico-financiero, la masa de cheques en circulación representa una proporción muy significativa respecto del total monetario. Los depósitos «a plazo» (cajas de ahorro, cuentas especiales, plazo fijo) poseen distintos grados de convertibilidad líquida. Desde el punto de vista de la creación monetaria, existen dos tipos de dinero:  

Base monetaria o dinero primario (emitido por la autoridad financiera). Dinero secundario (inyectado por los bancos a través del poder adquisitivo generado por los préstamos).

Las entidades financieras tienen facultad de dar créditos hasta un determinado porcentaje de los depósitos captados. La autoridad monetaria establece una reserva obligatoria (efectivo mínimo o encaje), el resto puede ser afectado a operaciones de crédito. Un cheque no es dinero, sino simplemente una orden a un banco para transferir una determinada cantidad de dinero, que estaba depositada en él. Los depósitos no son una forma visible o tangible de dinero, sino que consisten en un asiento contable en las cuentas de los bancos. En los países con un sistema financiero desarrollado, los billetes y las monedas representan una pequeña parte del total de la oferta monetaria. 4. La creación del dinero bancario El dinero otorga a su poseedor capacidad de compra. Ese dinero puede ser creado de dos maneras: Página 11 de 170

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Por emisión, dispuesta por la entidad autorizada en cada país. Por los préstamos que otorgan las entidades financieras.

Dado que los depósitos bancarios son convertibles en dinero líquido, los bancos tienen que asegurarse de que en todas las circunstancias se encuentren en posición de hacer frente a las demandas de liquidez (billetes y monedas) por parte de sus depositantes. La práctica bancaria muestra que el uso generalizado de cheques significa que cada día sólo un pequeño porcentaje de los depósitos bancarios son convertidos en dinero efectivo y esos retiros son compensados con los ingresos de efectivo que otras personas realizan. De esta forma, los banqueros han comprobado que pueden crear depósitos bancarios por encima de sus reservas líquidas. Las reservas líquidas legalmente requeridas o encaje bancario es la fracción de depósitos que los bancos deben mantener como reservas. Si en un determinado momento todos los clientes de un banco quisieran a la vez retirar sus depósitos, el banco no podría atender todas las peticiones. Activos financieros. Los activos pueden ser:  

Reales: tienen valor por sí mismos (mercaderías, muebles). Financieros: tienen valor por lo que representan (billetes, depósitos bancarios).

A. Efectivo: activo financiero líquido por excelencia. B. Depósitos bancarios: tienen mayor o menor liquidez según sean a la vista o a término. C. Títulos valores:    

Acciones: títulos emitidos por las sociedades de capital a favor de sus socios, para acreditar su condición de tales. Pagarés: promesas de pago emitidas por una persona (librador) a favor de otra (beneficiario). Letras de cambio: órdenes de pago emitidas por un librador a favor de un beneficiario y a cargo de otra persona. Títulos de deuda, públicos y privados: sus titulares pasan a ser acreedores del ente emisor de aquellos. Reciben una renta fija.

CRÉDITO Y CLASES DE CREDITO Término utilizado en el comercio y finanzas para referirse a las transacciones que implican una transferencia de dinero que debe devolverse transcurrido cierto tiempo. Por tanto, el que transfiere el dinero se convierte en acreedor y el que lo recibe en deudor; los términos crédito y deuda reflejan pues una misma transacción desde dos puntos de vista contrapuestos. Finalmente, el crédito implica el cambio de riqueza presente por riqueza futura.

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MATEMATICAS FINANCIERAS 1. Según el origen: A. Créditos comerciales, son los que los fabricantes conceden a otros para financiar la producción y distribución de bienes; créditos a la inversión, demandados por las empresas para financiar la adquisición de bienes de equipo, las cuales también pueden financiar estas inversiones emitiendo bonos, pagarés de empresas y otros instrumentos financieros que, por lo tanto, constituyen un crédito que recibe la empresa; B. Créditos bancarios, son los concedidos por los bancos como préstamos, créditos al consumo o créditos personales, que permiten a los individuos adquirir bienes y pagarlos a plazos; C. Créditos hipotecarios, concedidos por los bancos y entidades financieras autorizadas, contra garantía del bien inmueble adquirido; D. Créditos contra emisión de deuda pública. Que reciben los gobiernos centrales, regionales o locales al emitir deuda pública; E. Créditos internacionales, son los que concede un gobierno a otro, o una institución internacional a un gobierno, como es el caso de los créditos que concede el Banco Mundial. 2. Según el destino:   

De producción: Crédito aplicado a la agricultura, ganadería, pesca, comercios, industrias y transporte de las distintas actividades económicas. De consumo: Para facilitar la adquisición de bienes personales. Hipotecarios, destinados a la compra de bienes inmuebles,

3. Según el plazo:  

A corto y mediano plazo: Otorgados por Bancos a proveedores de materia prima para la producción y consumo. A largo plazo: Para viviendas familiares e inmuebles, equipamientos, maquinarias, etc.

4. Según la garantía:  

Personal. Créditos a sola firma sobre sus antecedentes personales y comerciales. Real (hipotecas). Prendarias cuando el acreedor puede garantizar sobre un objeto que afecta en beneficio del acreedor.

FINALIDAD DE UNA CARTERA DE CRÉDITOS La cartera de créditos está dividida en: créditos comerciales, créditos a micro empresas (MES), créditos de consumo y créditos hipotecarios para vivienda. Los créditos comerciales y de micro empresas son otorgados a personas naturales o personas jurídicas y los créditos de consumo y créditos hipotecarios para vivienda son sólo destinados a personas naturales. Por lo demás los créditos comerciales, de micro empresas y de consumo, incluyen los créditos otorgados a las personas jurídicas a través de tarjetas de créditos, operaciones de arrendamiento financiero o cualquier otra forma de financiamiento que tuvieran fines similares a los de estas clases de créditos. 

Créditos comerciales: Son aquellos que tienen por finalidad financiar la producción y comercialización de bienes y servicios en sus diferentes fases. Página 13 de 170

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Créditos a las Micro Empresas MES): Son aquellos créditos destinados al financiamiento de actividades de producción, comercio o prestación de servicios siempre que reúnan éstas dos características: Créditos de consumo: Son créditos que tienen como propósito atender el pago de bienes, servicios o gastos no relacionados con una actividad empresarial. Créditos hipotecarios para vivienda: Son aquellos créditos destinados a la adquisición, construcción, refacción, remodelación, ampliación, mejoramiento y subdivisión de vivienda propia, siempre que tales créditos sean otorgados amparados con hipotecas debidamente inscritas, pudiendo otorgarse los mismos por el sistema convencional de préstamo hipotecario, de letras hipotecarias o por cualquier otro sistema de similares características.

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Uno de los principios más importantes en todas las finanzas. El dinero es un activo que cuesta conforme transcurre el tiempo, permite comprar o pagar a tasas de interés periódicas (diarias, semanales, mensuales, trimestrales, etc.). Es el proceso del interés compuesto, los intereses pagados periódicamente son transformados automáticamente en capital. El interés compuesto es fundamental para la comprensión de las matemáticas financieras. Encontramos los conceptos de valor del dinero en el tiempo agrupados en dos áreas: valor futuro y valor presente (P). El valor futuro (F) describe el proceso de crecimiento de la inversión a futuro a un interés y períodos dados. El valor presente describe el proceso de flujos de dinero futuro que a un descuento y períodos dados representa valores actuales.

PORCENTAJE La palabra por ciento significa una cierta cantidad de cada ciento de una cantidad cualquiera. EJEMPLO: 8% =

; significa 8 unidades de cada 100 unidades.

GANANCIAS Y PÉRDIDAS EN TRANSACCIONES COMERCIALES Las ganancias en las transacciones comerciales pueden expresarse en forma de porcentaje. Las pérdidas suelen expresarse en forma de un porcentaje del precio de costo, en tanto que las ganancias pueden expresarse como porcentaje del precio de costo o de venta. EJEMPLO: Un artículo se compra en $100.000 y se vende en $120.000. La ganancia es de $20.000, que expresado en porcentaje será: Datos: Valor del articulo = $100.000 Valor de la venta = $120.000 Ganancia = $20.000 Página 14 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Solución: En este caso se pueden presentar dos situaciones:

1). Porcentaje de ganancia con realción al costo  Porcentaje de ganancia con realción al costo 

Ganancia * 100 Valor de compra

20.000 *100  20 % 100.000

2). Porcentaje de ganancia con realción a la venta  Porcentaje de ganancia con realción a la venta 

Ganancia * 100 Valor de venta

20.000 *100  16 .67 % 120.000

Este resultado significa que la ganancia sobre la inversión ha sido del 20%, o bien que el 16.67% de los ingresos ha sido ganancia. Así mismo, si el artículo costó $100.000 y por circunstancias del mercado se vendió en $80.000, se obtuvo una pérdida de $20.000 sobre el costo, que representa:

Porcentaje de perdida con realción al costo 

Perdida *100 Valor de compra

Porcentaje de perdida con realción al costo 

2 0 .000 *100  20 % 100.000

Para determinar el precio de venta de un artículo se añade al costo una cantidad suficiente para cubrir los gastos de operación y obtener una utilidad. Los gastos de operación son aquellos que la empresa invierte en el proceso de compra y venta del artículo, como por EJEMPLO: salarios, servicios públicos, publicidad, etc. La cantidad que se le agrega al costo del artículo o servicio para cubrir los gastos de operación y obtener una ganancia, se llama utilidad bruta. La ganancia, o sea, lo que queda después de cubrir los gastos de operación se llama utilidad neta. Precio de venta = costo del artículo + utilidad bruta Utilidad bruta = gastos de operación + utilidad neta Precio de venta = costo del artículo + gastos de operación + utilidad neta. TALLER 1: PORCENTAJE DE GANANCIAS Y PÉRDIDAS 1. A. B. C. D.

Convierta cada uno de los siguientes porcentajes en números decimales: 10%, 83.54%, 0.56%, 850%, Página 15 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS E. 250% 2. A. B. C. D. E.

Convierta los siguientes números en porcentajes: 0.25, 0.032, 0.86, 1.50, 0.75

3. A. B. C. D. E.

Calcular los siguientes porcentajes: 20% de 4.728, 0.32% de 3.280, 3% de 15.600, 5% de 35.000, 12% de 234.890

4. Qué porcentaje de 120.000 es 86.000? 5. El arrendamiento de un edificio aumentó un 12%. Si actualmente se pagan $8.500.000, cuál era el valor del arrendamiento? 6. En qué porcentaje se debe incrementar un salario de $500.000 para que se convierta en $ 680.000?. 7. Juan David compró una grabadora cuyo precio es de $380.000. Si le hicieron el 15% de descuento, cuánto pagó? 8. Un comerciante compró un artículo en $200.000. Desea agregarle una utilidad bruta del 40% sobre el costo, para cubrir los gastos de operación y utilidad neta. A qué precio de bebe vender el artículo?

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Significa que una cantidad de dinero ubicada en tiempos diferentes tendrá valores diferentes, así: $ 1.000.000 a un año tendrá valores diferentes en cada mes del año, esto debido a los siguientes factores:  La inflación. Este fenómeno económico hace que el dinero día a día pierda poder adquisitivo, es decir, que el dinero se desvalorice. Dentro de un año recibirá el mismo $ 1.000.000 pero con menor poder de compra de bienes y servicios.  Costo de oportunidad. Si se pierde la oportunidad de invertir el $ 1.000.000 en alguna actividad, logrando que no sólo se proteja la inflación sino que también produzca una utilidad adicional. Este cambio de la cantidad de dinero en el tiempo determinado es o que se llama valor en el tiempo y se manifiesta a través del interés. Una cantidad de dinero en el presente vale más que la misma cantidad en el futuro.

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INTERÉS Para compensar el valor del dinero en el tiempo futuro se utiliza el interés. Entonces el interés es la medida o manifestación del valor del dinero en el tiempo. Si se presta hoy una cantidad de dinero; tiempo presente (P) y después de un tiempo determinado se recibe una cantidad mayor tiempo futuro (F), la variación del valor del dinero de P a F se llama valor del dinero en el tiempo, y la diferencia entre F y P es el interés (I). La operación se representa mediante la siguiente expresión. I = F – P interés F = P + I valor futuro P = F – I valor presente EJEMPLO: Si se deposita en una cuenta de ahorros $ 500.000 y después de 6 meses se tiene un saldo de $ 580.000, calcular el valor de los intereses. Datos: Valor presente P = $ 500.000 Valor futuro F = $580.000 Solución: I = F – P = $ 580.000 - $ 500.000 = $ 80.000 El valor de los intereses durante los 6 meses es de $ 80.000

TASA DE INTERÉS La palabra tasa significa medir; la tasa de interés (i) se expresa en forma de porcentaje para un período de tiempo determinado; la tasa de interés en forma matemática se expresa mediante la siguiente relación:

I = P*i

EJEMPLO: Se deposita en una entidad financiera la suma de $1.000.000 y al cabo de 1 mes se retira $1.030.000. Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés ganada. Datos: Valor presente P = $ 1.000.000 Valor futuro F = $ 1.030.000 Página 17 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Solución: I= F – P = $1.030.000 - $ 1.000.000 = $ 30.000 i

I * 100 = 30 .000 * 100 = 0.03*100 = 3% P 1 . 000 . 000

El valor de los intereses es de $ 30.000 y la tasa de interés es del 3%

EQUIVALENCIA Dos cantidades diferentes ubicadas en fechas diferentes son equivalentes: aunque no sean iguales, si producen el mismo resultado económico. Esto es, $ 100.000 de hoy son equivalentes a $ 140.000 dentro de un año si la tasa de interés es del 40% anual. Un valor presente (P) es equivalente a un valor futuro (F) si el valor futuro cubre el valor presente más los intereses a la tasa exigida por los inversionistas. TALLER 2: INTERESES Y TASAS DE INTERÉS 1. Expresa como número decimal las siguientes tasas de interés: 20% anual, 3% mensual, 18,5% trimestral, 65% semestral, 1% diario, 23.65% anual. 2. Una inversión inicial de $235.000 produce después de 6 meses un resultado de $ 389.560. Calcular: Valor de los intereses ganados, tasa de interés de la operación. 3. Cuanto se debe invertir hoy para tener dentro de un año $ 10.500.000 y se ganen unos intereses por valor de $ 250.000? 4. A. B. C. D. E.

Calcular el valor de los intereses que produce un capital de $ 5.000.000 a las siguientes tasas de interés: 3% mensual, 1.5% quincenal, 18% semestral, 0,25% diario, 25% anual.

FLUJO DE CAJA Todas las operaciones financieras se caracterizan por tener ingresos y egresos. Estos valores se pueden registrar sobre una recta horizontal, la cual puede estar dividida en periodos, que mide el tiempo de duración de la operación financiera. Al registro gráfico de entradas y salidas de dinero durante el tiempo que dura la operación financiera se conoce como flujo de caja o diagrama de línea de tiempo. Los egresos de dinero se representa por flechas hacia abajo; los ingresos por su parte se representan por flechas hacia arriba.

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MATEMATICAS FINANCIERAS Para resolver los problemas de matemáticas financieras, el primer paso y quizá el más importante es la construcción correcta del flujo de caja, porque además de mostrar claramente el problema nos indica las fórmulas que se deben aplicar para la solución.

EJEMPLO: Analizar el siguiente caso, el señor Castro deposita en una entidad financiera el 1º de enero del 2008 la suma de $ 1.000.000 y después de 6 meses retira una cantidad de $ 1.075.000. Construir el flujo de caja. Datos: Deposito el 1º de enero del 2008 la suma de $ 1.000.000 (Valor presente) Tiempo n = 6 meses Retira el 1º de julio una cantidad de $ 1.075.000 (Valor futuro) Solución: El problema se puede solucionar de desde dos puntos de vista:  Primero el flujo de caja para el prestamista (señor Castro)  Segundo para el prestatario (entidad financiera) 1. Punto de vista del prestamista (señor Castro) Julio/08 $1.075.000 1 Enero/08 $1.000.0000 2. Punto de vista de la entidad financiera (prestatario)

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MATEMATICAS FINANCIERAS $1.000.000 1 Enero/08

1 Julio/08

$1.075.000 TALLER 3: CONSTRUYA EL FLUJO DE CAJA 1. El señor Castro compra una casa a una constructora por $ 100.000.000 y se compromete a pagar de la siguiente manera: cuota inicial de $ 20.000.000 y el saldo en 3 cuotas iguales en los meses 3, 6, 9 por valor de $30.000.000 cada una. Construir el flujo de caja para el señor Castro. 2. El banco Ganadero le concede al señor Castro un crédito por valor de $10.000.000 con plazo de un año. Tasa de interés trimestral es de 9%. El banco le exige al señor Castro la restitución del capital al final del año. Construir el flujo de caja para el señor Castro y la constructora. 3. Considerando el ejercicio anterior pero suponiendo que el banco le exige al señor Castro la restitución del capital en 4 cuotas trimestrales iguales además del pago de los intereses sobre los saldos. Construir el flujo de caja para el señor Castro. 4. Usted compra un electrodoméstico que tiene un valor de contado de $ 1.500.000 y lo paga de la siguiente forma: cuota inicial del 10% y el resto en 6 cuotas mensuales iguales de $ 300.000 cada una, usted puede decir que pagó por el electrodoméstico realmente $ 1.950.000?.

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2. INTERES SIMPLE Se llama interés simple aquel en el cual los intereses devengados en un período no ganan intereses en los períodos siguientes, independientemente de que se paguen o no, únicamente sobre el capital se liquidan los intereses sin tener en cuenta los intereses precedentes causados. La liquidación de los intereses se hace sobre el saldo insoluto, es decir, sobre el capital no pagado.

CÁLCULO DE INTERESES En interés simple, el interés a pagar por una deuda varía en forma directamente proporcional al capital y al tiempo, es decir, a mayor capital y mayor tiempo es mayor el valor de los intereses; para el cálculo de intereses se utiliza la siguiente expresión:

I = P*i*n

Dónde: P = Valor presente I = Intereses i. = Tasa de interés expresada en decimales n. = Tiempo Despejando las diferentes variables de la ecuación anterior se obtiene las expresiones siguientes:

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MATEMATICAS FINANCIERAS Valor presente P=

Tasa de interés

I i. n

Intervalo de tiempo

I P. n

I i. P

EJEMPLO. Juan Pedro tiene un capital de $ 2.000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa del 36% anual simple y el capital restante al 2% mensual. Calcular el valor de los intereses mensuales simple. Datos: El 60% de $ 2.000.000 = 0.60*2.000.000 = $ 1.200.000 o sea: Primer valor presente P = $ 1.200.000 a una tasa del 36% anual simple. Segundo valor presente P = $ 800.000 a una tasa del 2% mensual simple. Solución: 1). Cálculo del interés mensual simple de $ 1.200.000 I = P*i*n

I1 = 1.200.000

0.36 1  $36 .000 12

2). Cálculo del interés mensual simple de $ 800.000 I = P*i*n I2= 800.000*0.02*1 = $16.000 Interés total mensual. I = I1 + I2 = $ 36.000 + $ 16.000 = $ 52.000

INTERÉS COMERCIAL Y REAL Cuando se realiza cálculos financieros que involucren las variables tiempo (n) y tasa de interés (i), surge la duda sobre qué números de días se toma para el año, es decir, si se toma 365 o 360 días. Esto da origen a dos tipos de interés: el interés ordinario o comercial, que es el que se calcula considerando el año de 360 días, y el interés real o exacto que se calcula considerando el año de 365 días, o 366 si se trata de año bisiesto. EJEMPLO: Calcular el interés comercial y el interés real o exacto de $1.500.000 a una tasa de interés del 36% anual simple durante 45 días. Datos: Valor presente P = $1.500.000 Tasa de interés anua del i = 36% Página 22 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Número de días n = 45 Solución: 1. Interés comercial: año 360 días. 0.36 I = P*i * n = 1.500.000 45  $67 .500 360 2. Interés real o exacto: año 365 días.

I = P* i * n = 1.500.000

0 . 36 45  $ 66 . 575 . 34 365

El interés comercial es mayor que el interés real o exacto TALLER 4. 1. Hallar el valor de los intereses y el valor futuro para los siguientes casos: Valor presenta (P) $4.500.000 $14.800.000 $40.500.000 $15.300.000

Tasa de interés (i) 1.5%mensual 1.2%, 1.3%, 1.4%, 1.5% mensual 1.4% mensual 1.8% mensual

Periodos de tiempo (n) 2, 3, 4, 5 y 6 meses 10 meses 1, 1.5, 2, 2.5, 3 años 15, 40, 75, 80 130 días

2. Hallar el valor de los intereses comercial y real, y el valor futuro (F) cuando un capital (P) de $21.000.000 se invierte en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 18% anual para un tiempo de: A. B. C. D. E.

15 días 50 días 75 días 450 días 720 días

CALCULO DEL NÚMERO DE DIAS ENTRE FECHAS Al realizar operaciones financieras la variable tiempo no siempre se expresa en número de días, meses o años, sino que aparece la fecha de iniciación de la operación y la fecha de vencimiento. Para calcular el número de días transcurridos entre las fechas se manejan dos criterios: el cálculo aproximado que toma en cuenta el año comercial y el cálculo exacto (días calendario) considerando el año real, que se realiza con apoyo de las tablas para calcular el número exacto de días o de una calculadora financiera.

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MATEMATICAS FINANCIERAS EJEMPLO. Calcular el número de días entre el 12 de enero y el 23 de octubre del 2007. Para el año comercial y el año real. Año comercial:

Año 2007 2007 0

Fecha final (-)Fecha inicial Resultado

Mes 10 01 09

Día 23 12 11

Son 9 meses y once días: 9*30 +11 = 270 +11 = 281 días TABLA PARA CALCULAR EL NÚMERO EXACTO DE DÍAS Día\mes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151

152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181

182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212

213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243

Septiem Octubre Noviem. .

244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273

274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304

305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334

Diciem.

335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366

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MATEMATICAS FINANCIERAS Año real: días calendario. Procedimiento con la tabla Hasta el 23 octubre marca (-) 12 de enero Resultado

296 días 12 días 284 días

EJEMPLO: La guerra de los Mil días, denominada también Guerra Magna, se desarrolló entre el 18 de octubre de 1899 y el 21 de noviembre de 1902. Cuántos días realmente duró la guerra?. Año comercial y año real. Año comercial Fecha final (-)Fecha inicial Resultado

Año 1902 1899 03

Son 3 años, un mes, 3 días:

Mes 11 10 01

Día 21 18 18

3*360 + 1*30 + 3 = 1.113 días

Año real o exacto. 18 de octubre a 31 de Diciembre 1899 Días del año 1990 Días del año 1901 Del 1 de Enero 1902 a 21 de Noviembre Resultado

365 – 291 = 74 días 365 días 365 días 325 días 1129 días

TALLER 5 Siguiendo un proceso ordenado y lógico hallar el tiempo real y comercial para las siguientes fechas A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. N. O.

Entre el día de hoy y el día de su cumpleaños Entre el día de hoy y el 31 de Diciembre de este año Entre el día de hoy y el 7 de Agosto de este año Entre el día de hoy y el 11 de Noviembre de este año Entre el día de hoy y el 20 de Julio del próximo año Entre el 20 de Julio y el 11 de Noviembre de este año Entre el 6 de Enero y el 31 de Octubre de este año Entre el 20 de Marzo y el 14 de Julio de este año Entre el 11 de Noviembre de este año y el 7 de Agosto del próximo año Entre el 21 de Mayo de este año y el 17 de Diciembre del próximo año Entre el 10 de Noviembre de este año y el 27 de Diciembre del próximo año Entre el 15 de Junio de este año y el 15 de Octubre del próximo año Entre el 1 de Febrero de este año y el 10 de Mayo del próximo año Entre el 2 de mayo del presente año y el 16 de Agosto dentro de tres años Entre el 5 de Abril del presente año y el 20 de Marzo dentro de 4 años

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MATEMATICAS FINANCIERAS

VALOR FUTURO A INTERÉS SIMPLE Consiste en calcular el valor futuro F, equivalente a un valor presente P, después de n períodos a una tasa de interés simple i. El valor futuro es igual al capital prestado más los intereses; su expresión es la siguiente: F = P + P*i*n = P(1+i*n) Dónde: P = Valor presente F = Valor futuro i. = Tasa de interés expresada en decimales n. = Tiempo Una condición importante para utilizar la ecuación anterior, la tasa de interés y el período deben estar expresados en la misma unidad de tiempo; si esto no sucede hay que hacer transformaciones para que coincidan las unidades de tiempo. Desventajas del interés simple:  Su aplicación en el mundo financiero es limitado.  Desconoce el valor del dinero en el tiempo.  No capitaliza los intereses no pagados y, por lo tanto, estos pierden poder adquisitivo. EJEMPLO. Cuál será el valor a cancelar dentro de 10 meses por un préstamo de $ 5.000.000 recibidos en el día de hoy, si la tasa de interés es del 35% mensual simple. Datos: Valor presente P = $5.000.000 Tasa de interés i = 35% Numero de meses n = 10 Solución: F = P + P*i*n F = 5.000.000 + 5.000.000*0.35*10 F = 5.000.000 + 17.500.000 = 22.500.000 F = $ 22.500.000 El valor que debe cancelar dentro de 10 meses es de $ 22.500.000

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MATEMATICAS FINANCIERAS

INTERESES MORATORIOS Cuando una deuda no se paga en la fecha de vencimiento, comienza a ganar intereses llamados intereses de mora, los cuales se calculan con base al capital prestado sobre el saldo insoluto por el tiempo que demora el pago. Por lo general, la tasa de interés moratorio es 1.50 veces la tasa de interés corriente vigente en el momento de presentarse el incumplimiento, sin que se exceda el límite máximo permitido por la ley. EJEMPLO. Un pagaré por valor de $ 500.000 devenga intereses del 2% mensual simple y tiene un plazo de vencimiento de 45 días. Si se cancela 15 días después de su fecha de vencimiento, calcular el interés moratorio y la cantidad total a pagar. La tasa de interés moratoria es del 3% mensual simple. Datos: Valor presente P = $ 500.000 Tasa de interés i = 2% Periodos de tiempo n = 45 días Solución: F = P + P*i*n Si el pagaré se paga en la fecha: F = 500.000 + 500.000

F = $ 515.000

45 * 0 .02  500.000 + 15.000 = $ 515.000 30

Si el pagaré se paga en la fecha de vencimiento, el valor a cancelar es de $ 515.000 Al aplazarse el pago durante 15 días, se generan unos intereses moratorios a una tasa del 3% mensual. I = P*i*n Intereses moratorio I = 500.000

15 * 0 .03  $ 7.500 30

Cantidad total a pagar = F + intereses moratorios Cantidad total a pagar = $ 515.000 + $ 7.500 = $ 522.500 La cantidad total a pagar es de $ 522.500 TALLER 6: USO DE LA EXPRESION I = P*i*n 1. Hallar el valor de los intereses (I) para un capital de $10.000.000 a una tasa de interés mensual del 10%; para 9 meses de tiempo (n) Página 27 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS 2. Hallar el valor presente (P), cuando el valor de los intereses (I) es de $ 3.000.000, en un período de tiempo (n) de 15 meses; cuando la tasa de interés (i) es del 2.5%. 3. Hallar la tasa de interés (i) para un capital (P) de $15.000.000 que ha producido unos intereses (I) de $ 3.000.000 para un período de tiempo de 18 meses. 4. Calcular el período de tiempo (n) para un capital de $ 12.000.000 que produce unos intereses (I) de $ 4.000.000, cuando la tasa de interés toma el valor del 4.0% mensual. 5. Calcular el valor del interés comercial y el interés real o exacto de $ 24.000.000 que sometido a una tasa de interés del $ 36% anual simple; según los siguientes datos. A. Se depositó el día de hoy y se retiró el 30 agosto dos años después B. Se depositó el 9 de abril del 2008 y se retiró el 5 de diciembre tres años después

VALOR PRESENTE A INTERÉS SIMPLE Consiste en calcular un valor presente P equivalente a un valor futuro F, ubicado n períodos adelante a una tasa de interés simple i. F = P(1 + i*n)

entonces el valor presente será

Dónde: F = Valor futuro i. = Tasa de interés expresada en decimales n. = Tiempo EJEMPLO. El señor castro tiene que cancelar dentro de un año y medio un valor de $ 2.500.000: Si la tasa de interés es del 3% mensual simple. Cuál es el valor inicial de la obligación. Datos: Valor futuro F = $ 2.500.000 Tasa de interés mensual i = 3% Periodo de tiempo n = 1 año o 18 meses Solución: La tasa de interés está en una unidad de tiempo diferente al número de períodos, por lo tanto, al aplicar la fórmula se deben convertir los años a meses. Página 28 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS P=

2.500.000 F = = $ 1.623.376.62 (1  i * n ) (1  18 * 0.03)

P = $ 1.623.376.62 La respuesta indica que $ 1.623.376.62 de hoy son equivalentes a $ 2.500.000 dentro de un año y medio, a una tasa de interés del 3% mensual simple. La diferencia entre estos dos valores pertenece a los intereses.

CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS SIMPLE Consiste en calcular la tasa de interés simple (i), que produce una inversión inicial (P) y después de (n) períodos se recibe una cantidad acumulada (F). Despejando (i) de F = P(1 + i*n), se obtiene la expresión correspondiente

Dónde: P = Valor presente F = Valor futuro n. = Tiempo EJEMPLO. Un inversionista en el día de hoy invierte en una corporación $ 1.000.000 y después de 6 meses retira $1.250.000. Calcular la tasa de interés simple ganada. Datos: Valor presente P = $ 1.000.000 Valor futuro F = $ 1.250.000 Periodos de tiempo n = 6 meses Solución:

i

1F  1  1 .250 .000   1  = 0.0417 = 4.17%   1   nP  6  1 .000 .000 

i. = 4.17% La tasa de interés simple es 4.17% mensual

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MATEMATICAS FINANCIERAS

CÁLCULO DEL TIEMPO DE NEGOCIACIÓN Consiste en determinar el número de períodos (n), que se requieren para que una inversión inicial (P) a una tasa de interés simple de (i) produzca un valor futuro (F). Despejando (i) de F = P(1 + in), se obtiene la expresión correspondiente.

Dónde: P = Valor presente F = Valor futuro i. = Tasa de interés EJEMPLO. Cuánto tiempo se debe esperar para que un capital de $1.000.000 se convierta en $ 2.500.000, si la operación se realiza al 4% mensual?.

n. =

1  2.500 .000   1 = 37.5 meses  0.04  1.000 .000 

n. = 37 meses y 15 días El tiempo de espera es de 37 meses y 15 días

OPERACIONES DE DESCUENTO Un descuento es una operación financiera que consiste en cobrar el valor de un título o documento el valor de los intereses en forma anticipada. Esta operación es frecuente en el mundo de los negocios cuando se tienen cuentas por cobrar o títulos valores y se necesita hacerlas efectivas antes de su fecha de vencimiento. En nuestro país esta operación es usual cuando se acude a créditos bancarios de corto plazo. En este caso, en el mismo momento en que recibe el préstamo se cobran los intereses por anticipado. Estos intereses cobrados en forma anticipada se llaman descuento y la cantidad de dinero que recibe el tenedor del título, una vez descontados los intereses, se llama valor efectivo del pagaré. El valor nominal es el monto que aparece en el pagaré. Al vender un pagaré antes de la fecha de vencimiento, el comprador aplica una tasa de descuento sobre el valor nominal del título (valor de vencimiento). Dependiendo de la forma como se aplique la tasa de descuento sobre el valor nominal, resultan dos tipos de descuento:  El descuento comercial  El descuento racional o justo. Página 30 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS El descuento comercial. En una operación con descuento comercial los intereses simples se calculan sobre el valor nominal, que corresponde al monto que aparece en el pagaré. Para tal caso se utiliza la siguiente expresión:

Dónde: Ve = Valor efectivo Vn = Valor nominal n. = Período de tiempo i.= Tasa de interés EJEMPLO. Supóngase que se tiene un documento por cobrar dentro de 12 meses por un valor de $1.000.000, que ya tiene incluido los intereses, y se desea negociar en día de hoy. El intermediario financiero cobra una tasa de descuento del 2% mensual. Se desea conocer el valor efectivo (Ve) a recibir. Datos: Valor nominal Vn = $1.000.000 Periodos de tiempo n = 12 meses Tasa de interés i = 2% mensual Solución:

Ve = Vn (1 - n *i) = 1.000.000 (1 - 12 *0.02) = 1.000.000 *0.76 = $ 760.000 El valor efectivo a recibir el día de hoy es $ 760.000 El descuento racional o justo. En una operación con descuento racional los intereses simples se calculan sobre el valor efectivo. Para tal caso se utiliza la siguiente expresión:

Dónde: Ve = Valor efectivo Vn = Valor nominal n. = Período de tiempo i.= Tasa de interés EJEMPLO. Utilizando los datos del EJEMPLO anterior el valor del descuento racional o justo será: Página 31 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Datos: Valor nominal Vn = $1.000.000 Periodos de tiempo n = 12 meses Tasa de interés i = 2% mensual Solución:

Ve =

Vn 1 . 000 . 000   $ 806.451.61 (1  n * i ) (1  12 * 0 . 02 )

El valor efectivo a recibir $ 806.451.61 Descuento comercial =$1.000.000 – 760.000 = $ 240.000 Descuento racional=$1.000.000 – 806.451.61 = $ 193.548.39 Se observa que para una misma operación financiera, es mayor el descuento comercial que el descuento racional. TALLER 7: USO DE LA EXPRESION F=P(1+i*n) 1. Hallar el valor futuro (F) que produce un capital (P) de $15.550.000 sometido a una tasa de interés del 5% mensual; en 16 meses de tiempo (n). 2. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $12.000.000 si la tasa de interés mensual es 8%; en 19 meses de tiempo (n) 3. Encontrar el valor de un capital (P) que sometido a una tasa de interés (i) del 5% mensual produce una cantidad de dinero (F) de $ 18.600.000 en un tiempo 14 meses. 4. Hallar el valor presente (P), si se desea obtener un valor futuro (F) $ 36.000.000, en un período de tiempo (n) de 22 meses; si la tasa de interés (i) asignada es del 2.5% mensual 5. Hallar el valor de la tasa de interés mensual (i) para un capital (P) de $14.000.000 que ha producido un nuevo capital equivalente de $ 24.250.000 para un período de tiempo de 30 meses TALLER 8: INTERÉS SIMPLE 1. Por medio de un pagaré nos comprometimos a cancelar después de un año y medio un valor de $3.285.000. Si la tasa de interés es del 1.5% mensual simple. Hallar el valor inicial de la obligación. Respuesta: $2.586.614.17 2. Un inversionista estima que un lote de terreno puede ser negociado dentro de 3.5 años por $85.000.000. Cuánto será lo máximo que él está dispuesto a pagar hoy, si desea obtener un interés del 18% semestral simple?. Respuesta $ 37.610.619.47 Página 32 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS 3. Hallar la tasa de interés mensual simple que obtenemos cuando invertimos $ 210.000.000 y al cabo de 10 meses podemos retirar $ 311.650.000. Respuesta 4.84% 4. Se compra un lote de terreno por valor de $ 9.000.000. Si se espera venderlo dentro de un año en $12.00.000. Cuál es la tasa de interés mensual simple que rinden los dineros allí invertidos?. Respuesta 2.78% 5. Una caja de ahorros reconoce el 5% trimestral simple. Si hoy deposito $ 250.000. Cuánto tiempo debo esperar para retirar $ 325.000?. Respuesta 6 trimestres 6. Se invirtieron $ 2.000.000 y después de 3 años se recibieron $ 3.600.000. Qué tasa trimestral simple produjo la operación financiera?. Respuesta 6.67% trimestral 7. hace 8 meses disponía de $ 2.000.000 y tenía las siguientes alternativas de inversión: a) Comprar un inventario de ropa por este valor, que a precios de hoy valen $ 3.300.000. b) Invertirlos en una entidad que me paga el 2.8% mensual simple. Después de consultarlo, me decidí por la primera alternativa. Fue acertada la decisión?. Respuesta sí; explique.

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MATEMATICAS FINANCIERAS

3. INTERES COMPUESTO El interés compuesto (llamado también interés sobre interés), es aquel que al final del período capitaliza los intereses causados en el período, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital sobre el cual se calculan los intereses. Capitalización es el proceso mediante el cual los intereses que se van causando periódicamente se suman al capital anterior. El período de capitalización es período pactado para convenir el interés.

CARACTERÍSTICAS DEL INTERÉS COMPUESTO  El capital inicial cambia en cada período porque los intereses que se causan se capitalizan o sea, se convierten en capital.  La tasa de interés siempre se aplica a un capital diferente.  Los intereses periódicos siempre serán mayores.

VALOR FUTURO E INTERÉS COMPUESTO Consiste en calcular el valor equivalente de una cantidad P, después de estar ganando intereses por (n) períodos, a una tasa de interés (i). Por lo tanto, el valor futuro equivalente a un valor presente está dado por la siguiente fórmula:

Dónde: P = Valor presente i. =Tasa de interés Página 34 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS n. = Periodos de tiempo Esta fórmula es conocida como la fórmula básica de las matemáticas financieras debido a que, la mayoría de las operaciones financieras se realizan con su aplicación. El factor (1 + i )n se conoce con el nombre de factor de capitalización en pago único. VALOR PRESENTE Final del primer mes Final del segundo mes Final del tercer mes Final del cuarto mes Final del quinto mes Final del sexto mes Final del séptimo mes Final del octavo mes Final del noveno mes Final del décimo mes Final del décimo primer mes Final del décimo segundo mes

10.000.000 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12

F = P(1 + I )n = = = = = = = = = = = =

INTERESES ACUMULADOS AL FIN DE CADA MES

TALLER 9. Se invierten $ 10.000.000 durante 12 meses en una corporación que reconoce una tasa de interés del 3% mensual compuesta. Se desea saber, cuánto dinero se tendrá acumulado al final de cada mes?.

VALOR PRESENTE CON INTERÉS COMPUESTO Consiste en calcular el valor P, equivalente hoy a una cantidad futura F, ubicada (n) períodos adelante, considerando una tasa de interés compuesta i. Esta operación de calcular el valor actual de un capital equivale a lo pagado en el futuro, se presenta con mucha frecuencia en los negocios y se conoce como el procedimiento para descontar una deuda.

F = P(1 + i ) n  Dónde: F = Valor futuro i. =Tasa de interés n. = Periodos de tiempo EJEMPLO. Don Pedro necesita disponer de $3.000.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula de hijo. Si una corporación le ofrece el 3.5% mensual, cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo?. Página 35 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Datos: Valor futuro F = $ 3.000.000 Periodos de tiempo n = 6 meses Tasa efectiva de interés i = 3,5% Solución: F 3 .000 .000 3 .000 .000 3 .000 .000     2 .440 .502 n 6 6 1 .229255326 (1  i ) (1  0 .035 ) (1 .035 ) P= $ 2.440.502 P

Don Pedro deberá depositar hoy $ 2.440.502 para lograr su objetivo

TASA DE INTERÉS COMPUESTA En algunos casos se conoce la cantidad invertida y la recibida después de un número de períodos determinado, y se desea conocer la tasa de interés. Cuando sólo existe una única cantidad invertida y una única recibida, la tasa de interés no se puede calcular por solución directa aplicando la ecuación F = P(1 + i )n; para este caso la ecuación se transforma en:

Dónde: F = Valor futuro n. = Periodos de tiempo P = Valor presente EJEMPLO. Si el día de hoy se invierten $ 10.000.000 y después de año y medio se tienen acumulados $30.500.000. Qué tasa de interés produjo la operación?. Datos: Valor futuro F = $30.000.000 Valor presente P = $ 10.000.000 Tiempo n = 18 meses Solución:

i. = n

F 30.500.000  1  18  1  18 3.05  1  1.063911606 - 1 = 0.063911606 = 6.39% P 10.000.000 Página 36 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS i. = 6.39% La tasa de interés que produjo la operación es de 6.39%

TIEMPO DE NEGOCIACIÓN Con frecuencia se hace una inversión inicial a una conocida tasa de interés con el propósito de obtener una cantidad futura determinada, y se desea conocer en cuánto tiempo se obtendrá esta cantidad futura. Desde el punto de vista matemático, se plantea el problema de la siguiente forma: conocidos el valor presente (P), el valor futuro (F) y la tasa de interés (i), se desea calcular el número de períodos (n).

F = P(1 + i ) n  Dónde: F = Valor futuro P = Valor presente i. =Tasa de interés EJEMPLO. Si se realiza una operación financiera con una tasa de interés del 4% mensual, cuánto tiempo (n) se debe esperar para que $ 5.000.000 de hoy se conviertan en $ 7.116.560?. Datos: Valor futuro F = $ 7.116.560 Valor presente P = $ 5.000.000 Tasa de interés i = 4% Solución: n



LogF  LogP Log 7 .116 .560  Log 5 .000 .000  Log (1  i ) Log (1  0 .04 )

6.852270115  6.698970004 0.15330011   9.0000 0.01733339 0.01733339

n.= 9 meses El tiempo espera para que $ 5.000.000 de hoy se conviertan en $ 7.116.560, es de 9 meses

VALOR FUTURO CON TASA VARIABLE Por lo general la tasa de interés para todos los períodos de cálculo no es siempre la misma. Por EJEMPLO, las tasas de interés que pagan los bancos por las cuentas de ahorros y los CDT son fluctuantes en períodos Página 37 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS cortos de tiempo, por lo que los cálculos de rentabilidades realizados con la aplicación de la fórmula básica F=P(1+i)n resultan irreales. La fórmula para calcular el valor futuro con interés compuesto, cuando la tasa de interés para cada período proyectado es diferente, queda de la siguiente forma:

Dónde: P = Valor presente i1 = Tasa de interés del primer período i2 = Tasa de interés del segundo período in = Tasa de interés del período n EJEMPLO. Blanca Helena desea invertir $ 2.500.000 durante 6 meses. La tasa de interés inicial que le reconocen es del 1% mensual. Si se espera que cada mes la tasa de interés aumente 0.20%, cuánto recibirá al final del semestre? Datos: P = $ 2.500.000 i1 = 1.0%, i2 = 1.20%, i3= 1.40%, i4=1.60%, i5 = 1.80%, i6 = 2.00% Solución: Reemplazando estos valores se obtendrá: F = 2.500.000(1.010)(1.012)(1.014)(1.160)(1.180)(1.020)= $ 2.733.515.29 Al final del semestre recibirá $ 2.733.515.29

VALOR PRESENTE CON TASA VARIABLE Al hacer los cálculos del valor presente en la vida práctica las tasas de interés varían período a período lo que nos indica que la fórmula básica F = P(1 + i )n no es aplicable. Para este nuevo caso la fórmula matemática es:

Dónde: F = valor futuro i1 = tasa de interés del primer período Página 38 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS i2 = tasa de interés del segundo período i3 = tasa de interés del tercer período in = Tasa de interés del período n EJEMPLO. Un padre de familia necesita tener disponibles $ 2.000.000 dentro de 6 meses. Calcular el valor del depósito inicial si se esperan las siguientes tasas de interés para los próximos 6 meses. Datos: Valor futuro F = $ 2.000.000 Periodos de tiempo n = 6 meses Tasa de interés variable

0.50%

0.60%

0.70%

0.80%

0.90%

1.00%

Solución: Mes

Mes1

Mes2

Mes3

Mes4

Mes5

Mes6

Tasa

0.50%

0.60%

0.70%

0.80%

0.90%

1.00%

P

2.000.000 F = = (1  i1 )(1  i 2 )(1  i 3 )...( 1  i n ) (1  0.005)(1  0.006)(1  0.007)(1  0.008)(1  0.009)(1  0.01)

P = $ 1.912.332.52 El valor del depósito inicial es de $ 1.912.332.52 TALLER 10: INTERÉS COMPUESTO

F=P(1+i)n

1. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $10.000.000 sometido si tasa de interés mensual es el 10%; en un tiempo (n) de 8 meses 2. Hallar el valor presente (P), cuando el valor futuro (F) es de $ 30.000.000, en un período de tiempo (n) de 15 meses; cuando la tasa de interés (i) toma el valor del 3.0% mensual 3. Hallar la tasa de interés compuesta (i) para un capital (P) de $15.000.000 cando su valor equivalente (F) es de $ 63.000.000 para el período de tiempo de 46 meses 4. Calcular el período de tiempo (n) para un capital de $ 14.000.000 cuando su valor equivalente (F) es de $120.000.000, cuando la tasa de interés compuesta toma el valor del 2.5.0% mensual 5. Hallar el valor futuro (F) que produce un capital (P) de $12.550.000 sometido a una tasa de interés compuesta del 6% mensual en el tiempo (n) 10 años.

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MATEMATICAS FINANCIERAS 6. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $18.000.000 si la tasa de interés mensual es del 9%; en un intervalo de tiempo (n) de 48 meses 7. Encontrar el valor del capital que sometido a una tasa de interés (i) del 36% anual produce una cantidad de dinero (F) de $28.600.000 en un tiempo de 26 meses. 8. Hallar el valor presente (P), si se desea obtener un valor futuro (F) $ 38.600.000, en un período de tiempo (n) de 20 meses; si la tasa de interés (i) es del 2.0% mensual 9. Hallar el valor de la tasa de interés mensual (i) para un capital (P) de $17.000.000 que ha producido un nuevo capital equivalente (F) de $ 34.250.000 para un tiempo de 30 meses. 10. Calcular el período de tiempo (n) para un capital (P) de $ 18.000.000; que después de un tiempo el capital equivalente (F) es $ 34.600.000, cuando la tasa de interés compuesta toma el valor del 48% anual.

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MATEMATICAS FINANCIERAS

4. TASAS DE INTERES La tasa de interés es el precio del dinero tanto para el que lo necesita porque paga un precio por tenerlo, como para el que lo tiene porque cobra un precio por prestárselo al que lo requiere. El dinero es una mercancía que tiene un precio y, como tal, su valor lo fija el mercado como resultado de la interacción entre la oferta y la demanda. La tasa de interés está presente cuando se abre una cuenta de ahorros, se utiliza una tarjeta de crédito, o se hace un préstamo de dinero. Su nivel debe ser la preocupación diaria de cualquier persona o empresa, porque mide el rendimiento como el costo del dinero. El nivel de las tasas de interés está afectado por diversas variables, a saber: la inflación, la devaluación, la oferta y la demanda y el riesgo empresarial. Estas variables, en conjunto, o individualmente, determinan en un momento determinado el costo del dinero.

TASA DE INTERES NOMINAL Es una tasa de referencia que existe solo de nombre porque no nos determina la verdadera tasa de interés que se nos cobra en una operación financiera. La tasa nominal se representa por ( j ); el número de veces o periodos que el interés se convierte en capital se denomina capitalización y se simboliza con (m) EJEMPLO. Tasa de interés nominal. 1

INTERES NOMINAL J =15% NM

LECTURA Se lee 15% nominal mensual

CAPITALIZACION Donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12)

J =18% NM

Se lee 18% nominal mensual

Donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12)

J =24% NM

Se lee 24% nominal mensual

Donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12)

J =30% NM

Se lee 30% nominal mensual

Donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12)

J =36% NM

Se lee 36% nominal mensual

Donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12)

J =24% NT

Se lee 34% nominal trimestral

Donde el interés se convierte 4 veces en capital (m=4)

J =24% NB

Se lee 24% nominal bimestral

Donde el interés se convierte 6 veces en capital (m=6)

J =30% ND

Se lee 30% nominal diaria

Donde el interés se convierte 360 veces en capital (m=360)

J =12% NS

Se lee 12% nominal semestral

Donde el interés se convierte 2 veces en capital (m=2) Página 41 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS

TASA DE INTERES PERIODICA Es aquella tasa que en realidad se aplica a un capital en un periodo de tiempo que puede ser: un día, una semana, un mes, un bimestre, un trimestre, un semestre, un año. EJEMPLO. Tasa de interés periódica efectiva

1 2 3 4 5

TASA NOMINAL MENSUAL J =15% NM J =18% NM J =24% NM J =30% NM J =36% NM

LECTURA La tasa efectiva mensual correspondiente será La tasa efectiva mensual correspondiente será La tasa efectiva mensual correspondiente será La tasa efectiva mensual correspondiente será La tasa efectiva mensual correspondiente será

TASA PERIODICA EFECTIVA MENSUAL i = J/m = 15%/12 = 1.25% i = J/m = 18%/12 = 1.50% i = J/m = 24%/12 = 2.00% i = J/m = 30%/12 = 2.50% i = J/m = 36%/12 = 3.00%

TALLER 11: Hallar la tasa efectiva periódica ( i ) para: 1 2 3 4

TASA NOMINAL J =12% NS J =24% NT J =24% NB J =30% ND

LECTURA

TASA PERIODICA EFECTIVA

TASA EFECTIVA La tasa nominal es la tasa que se pacta, mientras que la tasa efectiva es la que se paga. Esta tasa mide el costo efectivo de un crédito o la rentabilidad efectiva de una inversión, y resulta de capitalizar o reinvertir los intereses que se producen cada periodo. Cuando se habla de tasa efectiva se involucra el concepto de interés compuesto, ya que resulta de la reinversión periódica de los intereses. La tasa de interés nominal está relacionada con un interés simple, mientras que la tasa de interés efectiva está relacionada con un interés compuesto. EJEMPLO. Juan José deposita $10.000.000 en una entidad financiera el día de hoy que reconoce una tasa de interés del 1,5% mensual. Juan José desea saber cuánto dinero se tendrá acumulado después de un tiempo de 12 meses, bajo dos aspectos: a) interés simple, b) interés compuesto.

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MATEMATICAS FINANCIERAS SOLUCION a) EN INTERÉS SIMPLE: Cuando se habla de interés simple produce un interés nominal iN. Se debe utilizar la siguiente expresión:

Dónde:

iN =

F −1 P

F = Valor futuro P = Valor presente iN = (

Dónde:

)−1

i. = Tasa de interés efectiva n. = Periodos de tiempo Datos: Valor presente P = $10.000.000 Tasa de interés mensual i = 1,5% = 0,015, tasa periódica Tiempo de capitalización n = 12 meses Valor futuro F= ? Solución El valor futuro será: F = P + P.i.n.

o también F = P(1 + in)

Reemplazando los valores se obtiene F = 10.000.000(1 + 0,015*12) F = 10.000.000(1,18) = 11.800.000 F = $ 11.800.000 Al final de los 12 meses Juan José recibe $ 11.800.000; pero él desea saber cuál fue el rendimiento anual (tasa anual nominal), para lo cual se puede calcular de la siguiente forma: iN =

F −1 P

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MATEMATICAS FINANCIERAS 11.800.000 − 1 = 1,18 -1 = 0,18 10.000.000 iN = 18%, tasa anual nominal iN =

iN = .

= .

∗

= .

= 18%

La tasa nominal se simboliza por ( J ), en donde sus componentes son tasa periódica ( i ) y el número de periodos (m); que se puede escribir de la siguiente manera J = Tasa periódica (i). Número de periodos (m) b) PARA INTERÉS COMPUESTO. Cuando se habla de interés compuesto se obtiene un interés efectivo y se puede hacer sus cálculos con la siguiente expresión:

Dónde:

ie =

F −1 P

F = Valor futuro P = Valor presente ie = (1+ i)n − 1

Dónde:

F = 10.000.000(1+ 0,015) 12 F = 10.000.000(1,015)

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MATEMATICAS FINANCIERAS F = 10.000.000(1,195618171) F = $11.956.181.71 Al final de los 12 meses Juan José recibirá $ 11.956.181,71; pero si él desea saber cuál fue el rendimiento efectivo anual, debe calcular de la siguiente forma: ie = ( 1+ i )n − , o también ie =

F −1 P

11.956.181.71 − 1 = 1,1956 -1 = 0,1956 10.000.000 ie = 19,56%, tasa efectiva anual (TEA) TEA = 19,56%, tasa efectiva anual ie =

ECUACION DE LA TASA EFECTIVA. Esta ecuación permite calcular las equivalencias entre tasas de interés periódicas; en esta ecuación no interactúan ni valor presente ni futuro únicamente la tasa periódica (i) y los periodos de capitalización (n) que es un tiempo, veamos para el caso anterior:

Dónde:

TE = ( 1+ i )n −

i. = Tasa de interés efectiva n. = Periodos de tiempo EJEMPLO: Juan José deposita $10.000.000 en una entidad financiera el día de hoy que reconoce una tasa de interés del 1,5% mensual. Juan José desea saber cuánto dinero se tendrá acumulado después de un tiempo de 12 meses, bajo dos aspectos: TE = ( 1+ i )n − 1 = ( 1+ 0,015 )12 − 1 TE = 1,195618171 − 1 = 0,195618171 TE = 0,195618171 = 19,56% TE = 19, 56%, tasa efectiva anual

Los valores de la tasa efectiva anual encontrados mediante dos procedimientos son iguales. La ecuación de la tasa efectiva permite encontrar tasas efectivas de acuerdo a diferentes periodos de capitalización, pueden ser las siguientes: A. TEA = Tasa efectiva anual Página 45 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS B. C. D. E. F.

TES = Tasa efectiva semestral TET = Tasa efectiva trimestral TEB = Tasa efectiva bimensual TEM = Tasa efectiva mensual TED = Tasa efectiva diaria

EJEMPLO. El señor Juan José, presta $10.000.000 a una tasa de interés del 18% Nominal mensual. Calcular. a) El valor futuro que recibe al final del primer trimestre, b) Intereses del primer trimestre c) Tasa de interés efectivo trimestral Datos: Valor presente P = $10.000.000 Tasa de interés i = 18% nominal mensual SOLUCION i=

18% = 1,5% = 0,015 12

a) Valor futuro n

F = P( 1+ i ) = 10.000.000( 1+ 0,015 ) F = 10.000.000( 1,045678375) F = $10.456.783,75 b) Intereses del primer trimestre

= − = 10.456.783,75=10.000.000= 457.783,75 = $ 457.783,75

c) Tasa de interés efectivo trimestral ie =

F 10.456.783,75 −1 = − 1 = 1,045678375 − 1 = 0,045678 = 4,57% P 10.000.000

ie = 4,57%

El mismo resultado se puede hallar utilizando la ecuación de la tasa efectiva: Tasa efectiva periódica = i Las veces que se capitaliza la tasa efectiva periódica n = 3 (trimestre); reemplazando se tiene: TE = ( 1+ i )n − TE = 4,57%

= ( 1+0,015 ) − 1 = (1,045678375) − 1 = 0,045678375 = 4,5678%

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MATEMATICAS FINANCIERAS Los dos valores son equivalentes o iguales. TALLER 12. Ahora don Juan José, dese saber si presta $10.000.000 a una tasa de interés del 18% Nominal mensual; las tasas efectivas para los siguientes casos: A. B. C. D. E.

TES = Tasa efectiva semestral TET = Tasa efectiva trimestral TEB = Tasa efectiva bimensual TEM = Tasa efectiva mensual TED = Tasa efectiva diaria

Utilizando los dos procedimientos desarrollados anteriormente para hacer sus respectivas comprobaciones.

TASAS EQUIVALENTES Dos tasas son equivalentes cuando las dos, obrando en condiciones diferentes producen la misma tasa efectiva anual o el mismo valor futuro. El concepto de operaciones en condiciones diferentes hace referencia a que ambas capitalizan en períodos diferentes, o que una de ellas es vencida y la otra anticipada: en el sistema financiero actual se encuentran diferentes casos de tasas equivalentes: A. B. C. D.

De tasa efectiva a tasa efectiva De tasa nominal a tasa efectiva De tasa efectiva a tasa nominal De tasa nominal a tasa nominal

1. DE TASA EFECTIVA A TASA EFECTIVA En este caso se pueden presentar dos alternativas: tasa efectiva de menor a una tasa efectiva mayor o tasa efectiva mayor a tasa efectiva menor y se puede calcular mediante:

Dónde: n1. = Números de periodos de la nueva capitalización n2 = Números de periodos de capitalizaciones iniciales i2 = Tasa efectiva inicial (conocida) i1. = ? Nueva tasa efectiva (desconocida) EJEMPLO. Hallar la tasa efectiva mensual (TEM) para una tasa del 15% efectiva anual (TEA) Página 47 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Datos: n1 = 12 nuevas capitalizaciones en un año n2 = 1 capitalización dada en un año TEA =i2 = 15% = 0.15 i1= ? nueva tasa efectiva Solución: Reemplazando y haciendo operaciones se tiene: 1 12

TEM = 1  TEA   1 = 1  0 . 15 

1 12

 1 = 1.011714917 – 1 = 0.011714917 = 1.17% efectivo mensual

EJEMPLO. Se tiene una tasa del 2.5% efectivo mensual (TEM) y desea convertir en una nueva tasa efectiva anual (TEA) Datos: n1 = 1 nuevo número de capitalizaciones en un año n2 = 12 número de capitalizaciones dadas por año TEM = i2 = 2,5% = 0.025 i1. =? nueva tasa efectiva Solución: Reemplazando y haciendo operaciones en, se tiene: n2

i1  1 i 2  1 n1

TEA = i1  1  TEM 

TEA = i1  1  0.025  1

2 1

1

TEA = i1  1.025  1 TEA = i1  1.3449 - 1 TEA = i1 = 0.3449 = 34. 49% efectivo anual 12

TALLER 13. 1. Hallar la tasa efectiva mensual para los siguientes casos: A. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 20% (TEA) B. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 22% (TEA) C. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 24% (TEA) Página 48 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS D. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 36% (TEA) 2. Se tiene una tasa efectiva anual 42% (TEA) y se desea convertir a las siguientes tasas: (escriba el nombre de cada tasa encontrada); teniendo en cuenta que: n1 = Nuevo número de capitalizaciones en un año n2 = Número de capitalizaciones dadas por año TEA = Tasa de interés efectiva conocida i1. = Tasa de interés efectiva desconocida n2

TEA = 1  TEA  TES = 1  TEA  TET = 1  TEA 

1 =

n2 n

1 =

n2 n1

TEB = 1  TEA 

1 =

TEM = 1  TEA  TED = 1  TEA 

1 =

n2 n1

1 =

3. Se tiene una tasa del 2.5% efectivo mensual (TEM), convertir en tasa efectiva: anual, semestral, trimestral, bimestral y mensual n2

TEA = 1  TEM  TES = 1  TEM  TET = 1  TEM 

1 =

n2 n1

1 =

n2 n1

TEB = 1  TEM  TEM = 1  TEM 

1 =

n2 n1

1 =

n2 n1

1 =

2. DE TASA NOMINAL A TASA EFECTIVA Conocida la tasa nominal del crédito se necesita conocer la tasa efectiva periódica equivalente. Esta situación se presenta con frecuencia en el sector financiero, debido a que las entidades financieras suelen expresar, por lo general, las tasas de interés de colocación en forma nominal y el deudor necesita conocer tanto la tasa efectiva periódica (que es la tasa que determina el valor de los intereses) como la tasa efectiva anual del crédito. Página 49 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS

Dónde: n1. = Número de periodos de la nueva capitalización m = Números de periodos de capitalizaciones iniciales j. = Tasa nominal (conocida) i. = ?Nueva tasa efectiva (desconocida) EJEMPLO. Se tiene una tasa nominal mensual del 36% (NM) y se desea convertir a una tasa efectiva anual (TEA) Datos: n1. = 1 número de periodos de la nueva capitalización m = 12 número de capitalizaciones dadas en un año j = 36%NM = 0.36 Solución: Reemplazando y haciendo operaciones se tiene: m

J  n1  TEA = 1    1 =  1  0 . 36  1  1 12   m  TEA = 0.4258 = 42.58 efectivo anual EJEMPLO. Se tiene una tasa nominal mensual de 36% (NM) y se desea convertir en una tasa efectiva bimensual (TEB) Datos: n1. = 6 números de periodos de la nueva capitalización m = 12 número de capitalizaciones dadas en un año j = 36%NM = 0.36 Solución: Reemplazando y haciendo operaciones se tiene: m

J  n1 6  TEB = 1    1 =  1  0 . 36   1 = 0.0609 = 6.09% efectivo bimensual 12   m  Página 50 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS EJEMPLO. Se tiene una tasa nominal trimestral del 24% (NT) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM) Datos: n1. = 12 números de periodos de la nueva capitalización m = 4 número de capitalizaciones dadas en un año j = 24%NM = 0.24 Solución: Reemplazando y haciendo operaciones se tiene: m

12 J  n1 12  TEM. = 1    1 =  1  0 . 24   1 = 1.06   1 = 0.01961 = 1.96% efectiva trimestral 4   m 

TALLER 14 1. Se tiene una tasa nominal mensual del 36% (NM) y se desea convertir en las siguientes tasas: (escriba el nombre de cada tasa encontrada) m

J  n1  TEA = 1    1 =  m m

J  n1  TES = 1    1 =  m m

J  n1  TET = 1    1 =  m m

J  n1  TEB = 1    1 =  m m

J  n1  TEM = 1    1 =  m 2. Se tiene una tasa nominal semestral del 18% (NS) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM) m

J  n1  TEM = 1    1 =  m 3. Se tiene una tasa nominal bimestral del 8% (NS) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM)

Página 51 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS m

J  n1  TEM = 1    1 =  m 5. Se tiene una tasa nominal anual del 30% (NA) y se desea convertir en las siguientes tasas (escriba el nombre de cada tasa encontrada): m

J  n1  TEA = 1    1 =  m m

J  n1  TES = 1    1 =  m m

J  n1  TET = 1    1 =  m m

J  n1  TEB = 1    1 =  m m

J  n1  TEM = 1    1 =  m

3. DE TASA EFECTIVA A TASA NOMINAL Conocida una tasa efectiva se puede calcular una tasa nominal equivalente. Para este caso se utiliza la siguiente expresión.

Dónde: n. = Número de capitalizaciones dadas m = Número de capitalizaciones nuevas en un año i = Tasa efectiva periódica (conocida) J = ?Tasa nominal a buscar (desconocida) EJEMPLO. Se tiene una tasa efectiva mensual del 2.5% y se desea convertir en una tasa nominal trimestral (TNT) Datos: n. = 12 números de capitalizaciones dadas en un año Página 52 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS m = 4 números de capitalizaciones nuevas en un año j = ? tasa nominal i = 2.5% tasa efectiva periódica = 0.025 Solución: Reemplazando y haciendo operaciones se tiene: TNT. = m 1  i  trimestral.









= 41  0.025 4  1 = 4 1.025 1 = 4(0.07689) = 0.3076 = 30.76% nominal   

m  1

TALLER 15. 1. Se tiene una tasa efectiva mensual del 1.8% y se desea convertir a las siguientes: Tasa nominal semestral (TNS) n TNS. = m 1  i m  1 =   Tasa nominal trimestral (TNT) n TNT. = m 1  i m  1 =   Tasa nominal bimestral (TNB) n TNB. = m 1  i m  1 =   Tasa nominal anual (TNA) n TNA. = m 1  i m  1 =   2. Se tiene una tasa efectiva mensual del 2.5% y se desea convertir a las siguientes: Tasa nominal semestral (TNS), n TNS = m 1  i m  1 =   Tasa nominal trimestral (TNT) n TNT = m 1  i m  1 =   Tasa nominal bimestral (TNB) Página 53 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS TNB = m 1  i 

m  1 n



Tasa nominal anual (TNA). n TNA = m 1  i m  1 =   3. Una entidad financiera ofrece pagar por los ahorros una tasa de interés del 22% capitalizable mensualmente, y otra ofrece pagar el 23% capitalizable semestralmente. Qué opción se debe elegir? 4. *A partir de una tasa nominal del 36% (TNA) calcular la: A. Tasa efectiva mensual B. Tasa efectiva bimestral C. Tasa efectiva trimestral D. Tasa efectiva semestral E. Tasa efectiva anual 5. *Se desea elegir entre estas dos opciones para aceptar un crédito bancario: 30%MV o 30% TV; realizar su proceso correspondiente.

4. DE TASA NOMINAL A TASA NOMINAL Muchas veces se necesita, por razones de liquidez u otra circunstancia, cambiar el período de capitalización de la tasa de interés nominal con que se pactó una operación financiera. Este caso conduce a calcular una tasa nominal conocida otra nominal mediante la siguiente expresión:

Dónde: J1 = tasa nominal a buscar m1. = nuevos periodos de capitalización J2 = tasa nominal dada m2. = periodos de capitalización dados EJEMPLO. Una entidad financiera aprueba a Don Pepe un crédito a una tasa del 36% con capitalización mensual (36%TNM), quien solicita quiere que le conviertan esa tasa en una nueva tasa nominal pero capitalizable trimestralmente. Hallar esta nueva tasa equivalente.

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MATEMATICAS FINANCIERAS Datos: J1 = ? tasa nominal a buscar m1. = 4 nuevos periodos de capitalización en el año J2 = 36% tasa nominal dada = 0.36 m2. = 12 periodos de capitalización dados Solución: Reemplazando en la expresión correspondiente se tiene:

  J J 1  m 1   1  2  m2 

m2   m1   1   

12   4 0 . 36 3    J1  4 1  1 =4 1 0.03 1 =4 1.0927271 =  12    





= 4(0.092727)=0.3709=37.09% tasa nominal capitalizable trimestralmente J1 = 37.09% TNT TALLER 16. 1. Dada una tasa nominal del 30%TNV calcular una tasa nominal TMV 2. Se tiene una tasa del 30% con capitalización mensual (36%TNM), se quiere convertir en una nueva tasa nominal capitalizable: A. Bimestral B. Trimestralmente C. Semestral D. Anual

EQUIVALENCIAS ENTRE TASAS ANTICIPADAS Y VENCIDAS Cuando se cobra la tasa de interés en forma anticipada, primero se cobran los intereses y luego se permite utilizar el dinero, lo que en realidad significa que se presta una cantidad menor, y esto se traduce en un mayor costo del crédito. Las tasas anticipadas pueden ser Nominales o periódicas efectivas. Las tasas nominales son las que se capitalizan más de una vez en el año.

1. CONVERSIÓN DE TASA PERIODICA ANTICIPADA A TASA VENCIDA Consiste en diseñar una expresión que permita calcular la tasa periódica vencida equivalente a una tasa periódica anticipada. La ecuación que permite realizar esta operación es la siguiente: Página 55 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS

Dónde: iv = tasa efectiva periódica vencida ia = tasa efectiva periódica anticipada EJEMPLO. Le ofrecen un préstamo de $ 100.000 que debe pagar después de un mes pero le cobran intereses del 5% mensual, pagaderos en forma anticipada. Como usted necesita la totalidad de los $100.000, le solicita a quien le presta el dinero que le cobre intereses mensuales vencidos, pues si son anticipados sólo recibirá $ 95.000. Se necesita conocer la tasa mensual vencida equivalente a una tasa del 5% mensual anticipado. Datos: ia. = 0.05 Solución:



ia 0.05   5.26% (1 i a ) (1 0.05)

iv = 5.26% mensual Al hacer la operación con esta tasa del 5.26% mensual, usted recibirá los $ 100.000 y al finalizar el mes entregaría $ 105.260, valor que se descompone en $ 100.000 de capital más $ 5.260 de interés (100.000*0.0526)

2. CONVERSIÓN DE TASA PERIODICA VENCIDA A TASA ANTICIPADA Ahora estamos ante una situación contraria a la analizada anteriormente. Al conocerse una tasa periódica vencida se necesita calcular la tasa periódica anticipada equivalente.

Dónde: iv = tasa efectiva periódica vencida ia = tasa efectiva periódica anticipada Página 56 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Algunos autores simbolizan la tasa periódica vencida como: iv = i EJEMPLO. Si usted le va a prestar a un cliente una determinada cantidad de dinero al 2% mensual y le exige el pago de intereses anticipados. Calcular esa tasa de interés. Datos: iv = 0.02 Solución:



iv 0.02   0.019607843  1.96% (1 i v ) (1 0.02 )

ia = 1.96% anticipados

3. CONVERSIÓN DE TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA EFECTIVA VENCIDA

Dónde: m. = número de capitalizaciones dadas en un año n. = número de capitalizaciones nuevas en un año J = tasa nominal dada iv = ? tasa efectiva vencida EJEMPLO. Se tiene una tasa del 30% (TNMA) y se desea pasar a una tasa efectiva anual vencida (TEAV). Datos: m. = 12 número de capitalizaciones dadas en un año n = 1 número de capitalizaciones nuevas en un año j = 30% TNMA = 0.30 TEAV = ? Solución: Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

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MATEMATICAS FINANCIERAS



m    12 12   m n 12 =   12   1  = 1 . 025641020 1   TEAV     1 =    1  m  J     12  0 . 30     11 . 70      

12

1



TEAV = 0.3550 = 35.50%, TEAV = 35.50% tasa efectiva anual vencida

EJEMPLO. Se tiene una tasa del 32% TNTA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV). Datos: m. = 4 número de capitalizaciones dadas en un año n = 12 número de capitalizaciones nuevas en un año j = 32% TNTA = 0.32 Solución: Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:   m TEMV     m  

=0.02818=2.82%,

m 4 4      12 12 4 4 n     = =      =  1 . 086956522  1  1  1         4  0 . 32     3 . 68    J     

12

  1 

TEMV = 2.82% tasa efectiva mensual vencida TALLER 17. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Se tiene una tasa del 36% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva semestral vencida (TESV). Se tiene una tasa del 48% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral vencida (TETV). Se tiene una tasa del 18% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva bimestral vencida (TEBV). Se tiene una tasa del 12% TNSA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV). Se tiene una tasa del 15% TNBA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV). Se tiene una tasa del 12% TNTA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).

4. CONVERSIÓN DE TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA NOMINAL VENCIDA

Dónde: m1. = número de capitalizaciones dadas en un año m2 = número de capitalizaciones nuevas en un año Página 58 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS j1 = tasa nominal dada j2. = ? tasa nominal a buscar EJEMPLO. Se tiene una tasa del 24% NBA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral vencida (TNTV). Datos: m1. = 6 números de capitalizaciones dadas en un año m2 = 4 números de capitalizaciones nuevas en un año j1 = 24% TNTA = 0.24 j2 . = ? Solución: Reemplazando y haciendo operaciones se tiene: m2   6 6   m1     m 4 6   1   4 6    =4   J 2  m 2   1 =4   =  m 2  J 1     6  0 . 24   1 4  5.76   1  1 . 041666667       =0.2525

4

 1  

J2 = 25.26%, TNTV = 25.26% tasa nominal trimestral vencida TALLER 18 1. Se tiene una tasa del 12% NBA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral vencida (TNTV). 2. Se tiene una tasa del 18% NTA y se desea pasar a una tasa nominal semestral vencida (TNSV). 3. Se tiene una tasa del 20% NBA y se desea pasar a una tasa nominal semestral vencida (TNSV).

5. CONVERSIÓN DE TASA EFECTIVA VENCIDA A TASA EFECTIVA ANTICIPADA

Dónde: n1. = número de capitalizaciones dadas en un año n2 = número de capitalizaciones nuevas en un año iv= tasa efectiva vencida dada ia. = ? tasa anticipada a buscar

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MATEMATICAS FINANCIERAS EJEMPLO. Se tiene una tasa del 35% TEAV y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral anticipada (TETA). Datos: n1. = 1 número de capitalizaciones dadas en un año n2 = 4 número de capitalizaciones nuevas en un año TEAV = iv = 35% = 0.35 ia . = ? Solución: Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:    1 1    TETA  1   1 n1  1  4 n2    ( 1  0 . 35 ) (1  TEAV )    TETA = 7.23% TETA = ia.= 7.23% tasa efectiva trimestral anticipada

  1   1  1     (1 . 35 ) 4

   0.07228  

= 7.23%

TALLER 19. 1. Se tiene una tasa del 20% TETV y se desea pasar a una tasa efectiva bimestral anticipada (TEBA). 2. Se tiene una tasa del 12% TESV y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral anticipada (TETA). 3. Se tiene una tasa del 18% TEAV y se desea pasar a una tasa efectiva semestral anticipada (TESA).

6. CONVERSIÓN TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA NOMINAL ANTICIPADA

Dónde: m1. = número de capitalizaciones dadas en un año m2 = número de capitalizaciones nuevas en un año) j1 = tasa nominal mes anticipada j2= ? tasa nominal anticipada a buscar EJEMPLO. Se tiene una tasa del 24% TNMA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral anticipada (TNTA). Página 60 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Datos: m1. = 12 números de capitalizaciones dadas en un año m2 = 4 números de capitalizaciones nuevas en un año TNMA =j1 = 24% = 0.24 TNTA = j2= ? Solución: Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:   m  J1 TNTA  m 2 1   1   m1 

m1 12 12       m 2  =   12  0.24  4  =   11.76  4  = 41  0.941192  = 40.058808  4 1  4 1        12     12         

=02352=23.52% TNTA = 23.52% nominal trimestral anticipada TALLER 20.

1. Se tiene una tasa del 12% TNSA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral anticipada (TNTA). 2. Se tiene una tasa del 18% TNTA y se desea pasar a una tasa nominal bimestre anticipada (TNBA). 3. Se tiene una tasa del 28% TNSA y se desea pasar a una tasa nominal mensual anticipada (TNMA). TALLER 21: FINAL 1. Hallar la tasa trimestral anticipada equivalente a: A. Al 26% efectiva vencida anual B. Al 35% efectiva anticipada año C. Al 34% nominal trimestre vencida D. Al 4% anticipada de bimestre E. Al 31% efectivo vencido anual 2. Hallar la tasa efectiva mensual equivalente a: A. Al 15% efectiva semestral B. Al 20% nominal bimestral C. Al 24% nominal trimestral anticipada D. Al 25% anticipada año DESCUENTO POR PRONTO PAGO Los proveedores se constituyen en una importante fuente de financiamiento de corto plazo para cualquier empresa. Evidentemente, el crédito es un factor de demanda de un producto. Aunque lo ideal para las empresas comerciales y manufactureras sería vender los productos al contado, ya se ha constituido en una práctica comercial no exigirles a los compradores que paguen por las mercancías al momento de su entrega, sino que se les conceden un corto período de aplazamiento para hacerlo. Página 61 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Los proveedores plantean los descuentos por pronto pago de sus productos indicando los descuentos por medio de fracciones, cuyo numerador señala el porcentaje de descuento y denominador se refiere al tiempo dentro del cual el comprador tiene la opción de pagar, para tener derecho al descuento señalado en el numerador. EJEMPLO. Un proveedor factura una mercancía por valor de $ 500.000 con el siguiente plan de descuento por pronto pago: 4/10 neto 30. Calcular el costo para el comprador si se acoge o no al descuento por pronto pago. La expresión 4/10 neto 30 significa que si el comprador paga la mercancía dentro de los primeros 10 días tendrá derecho a un descuento del 4%, de lo contrario pagará a los 30 días el valor neto de la factura. Descuento = i*500.00 = 0.04*500.000 = $ 20.000 Costo a pagar dentro de los 10 primeros días = 500.000 – 20.000 = $ 480.000 Si no se acoge al descuento pagará a los 30 días el valor neto de la factura $ 500.000

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MATEMATICAS FINANCIERAS

5. ANUALIDADES O SERIES Una anualidad es un conjunto de pagos iguales (constantes) hechos a intervalos de tiempo. El término anualidad parece significar que los pagos se hacen anualmente. En el sentido estricto de la expresión, esto no necesariamente es así. En matemáticas financieras, anualidad significa pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, que pueden ser anuales, trimestrales, mensuales, quincenales, diarios, etc. El estudio de las anualidades es de mucha importancia en finanzas, entre otras razones, porque es el sistema de amortización más común en los créditos comerciales, bancarios y de vivienda. Este sistema de pagos permite que el financiador, cada vez que recibe el pago de la cuota, recupere parte del capital prestado. Las clases de anualidades más comunes son las siguientes:     

Anualidades vencidas Anualidades anticipadas Anualidades diferidas Anualidades perpetuas Anualidad con interés global

1. ANUALIDADES VENCIDAS Son aquellas cuotas en donde los pagos se hacen al final del período: así, por EJEMPLO, el salario mensual de un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en la compra de vehículos y electrodomésticos, son casos de anualidades vencidas.

VALOR DE LA CUOTA VENCIDA EN FUNCION DEL VALOR PRESENTE Para hallar el valor de una anualidad o cuota (A) se utiliza la siguiente fórmula: Página 63 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS

Dónde: Valor presente = P Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Numero de cuotas por periodo = n EJEMPLO. Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 12 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y el valor total pagado. Datos: Valor del lote = $20.000.000 Cuota inicial 10% del valor del lote Valor presente P = $18.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 12 Tasa de interés efectiva i = 2% Solución: Valor a financiar = $ 20.000.000 - $ 2.000.000 = $ 18.000.000  i (1  i ) n   0.02 (1  .0.02 )12  = A = P  18.000.000   = $ 1.702.072.74 n 12 ( 1  i )  1 ( 1  0 . 02 )  1    

A = $ 1.702.072.74 valor de la cuota mensual. Total a pagar = (A)*(12)+2.000.000 (1.702.072.74)*(12)+2.000.000=20.424.872.88+2.000.000=$22.424.872.88

Total a pagar = $ 22.424.872.88

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD O CUOTA VENCIDA El valor presente de una anualidad vencida es equivalente a una serie de pagos iguales y periódicos. Desde el punto de vista matemático, es la suma de los valores presentes de todos los pagos. Para hallar el valor presente de una anualidad vencida se utiliza la siguiente expresión:

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Dónde: Valor presente = P Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n EJEMPLO. Se compró un vehículo con una cuota inicial de $1.000.000 y 60 cuotas mensuales iguales $500.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo. Datos: Cuota inicial $ 1.000.000 Número total de cuotas mensuales n = 60 Valor de cuota mensual A = $500.000 Tasa efectiva de interés i = 2.5% Solución:









 3.399789748   1  i) n  1   1  0.025 ) 60  1  500.000 P = A 500 . 000 =  = n 60  =  0.025(4.399789748)   i (1  i )   0.025 (1  0.025 )  P = $ 15.454.328.24 Valor del vehículo = $15.454.328.24 + $ 1.000.000 = $ 16.454.328.24

VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD O CUOTA VENCIDA Es valor ubicado en la fecha del último pago, equivalente a toda la serie de pagos iguales y periódicos. En forma matemática, es el valor final que resulta de sumar todos los valores llevados al futuro. Su fórmula para este caso es:

Dónde: Valor futuro = F Valor de la primera cuota = A Página 65 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n EJEMPLO. Catalina deposita $ 400.000 cada fin de mes, durante 2 años, en una entidad financiera que paga una tasa de interés del 4% mensual. Cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo?. Datos: Cuota mensual $400.000 Numero de cuotas mensuales n = 24 Tasa efectiva de interés i = 4% Solución:

 (1  0.04) 24  1  (1.563304165)   (1  i ) n  1  F = A  = 400.000  = 400.000   = $ 15.633.041,65 0.04 0.04 i      F = $ 15.633041.65 Al final de los dos años Catalina tendrá acumulada $ 15.633.041,65.

VALOR DE LA CUOTA VENCIDA EN FUNCIÓN DEL VALOR FUTURO Conocidos el valor futuro equivalente de una serie de pagos iguales (F), la tasa de interés efectivo periódico (i) y el número de pagos (n), se desea calcular el valor de la cuota igual y periódica. Su fórmula es la siguiente:

Dónde: Valor futuro = F Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n EJEMPLO. Dayana desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes, durante dos años, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 10% mensual para reunir la suma de $17.000.000? Datos: Valor futuro F = $17.000.000 Tasa efectiva de interés mensual i = 10% Numero cuotas mensuales n = 24 Página 66 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Solución:     i 0 .1 A F  17 . 000 . 000     17 . 000 . 000 n 24  (1  i )  1   (1  0 . 1)  1  A= $192.096.20 Dayana debe depositar al final de cada mes $192.096.20

  0 .1  ( 8 . 849732676 )   

NUMERO DE PAGOS O DE UNA ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCION DEL (F) Es el número de cuotas necesarias para amortizar una obligación. Para las anualidades vencidas, el tiempo de la operación, medido en número de períodos, algunas veces coincide con el número de pagos, lo cual no siempre se cumple. El número de cuotas o tiempo de negociación la podemos calcular a partir de la fórmula de valor presente o de la fórmula del valor futuro, dependiendo de qué valor de ellos se conocen en la operación. La fórmula es la siguiente:

Dónde: Valor futuro = F Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n EJEMPLO. Cuántos depósitos mensuales vencidos de $560.000 se deben hacer en una institución financiera que paga el 12% mensual, para tener un valor acumulado de $ 15.000.000 Datos Cuota mensual A = $560.000 Valor futuro F = $15.000.000 Tasa efectiva de interés n = 12% Solución Log ( F* i  A)  LogA Log (15 .000 .000 * 0.12  560 .000 )  Log (560 .000 ) = = Log (1  i ) Log (1  0.12 ) Log (2.360.000)  Log (560.000) 6.372912003 5.748188027 0.624723975 = =  = 12.69299216 Log (1.12) 0.049218022 0.049218022

n. =

n. = 12.69299216 = 13 pagos mensuales.

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MATEMATICAS FINANCIERAS

NUMERO DE PAGOS O DE UNA ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCION DE (P) Teniendo en cuenta el conocimiento del valor presente (P), las cuotas o anualidades (A) y la tasa de interés, además de un modelo matemático tal como:





 1  i) n  1  P = A n   i(1  i)  A partir de esta expresión utilizando las propiedades de los logaritmos se puede calcular una nueva expresión fórmula matemática que permita calcular el número de cuotas, que es la siguiente:

Dónde: Valor presente =P Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n EJEMPLO. A Juan José el día de hoy le hacen un préstamo de $90.000.000 y se compromete a pagar cuotas de $5.000.000 mensuales; la entidad financiera reconoce una tasa de interés de 1.5% mensual. Se desea conocer el número de cuotas Datos P = $90.000.000 A = $5.000.000 i.= 1.5% mensual Solución Log ( A)  Log ( A - i * P) Log (5.000.000)  Log (5.000.000 - 0.015 *90.000.000 )  Log (1  i ) Log (1  0.015) Log (5.000.000)  Log (3.650.000) n Log (1.015) 6.69897000 4  6.56292864 n 0.00646604 2249 0.13667713 9 n  21,13768109 0.00644660 42249 Aproximadamente 21.13768109 cuotas mensuales. n

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MATEMATICAS FINANCIERAS

CÁLCULO DEL SALDO INSOLUTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA El saldo que se debe de una obligación en cualquier momento de su plazo. Conocer su monto, es importante para efectos de control financiero y para el prepago de una deuda. Para estos casos se utiliza la siguiente fórmula:

Dónde: Valor futuro =P Número de pagos que o Número de cuotas que faltan por pagar = n Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i EJEMPLO. Un electrodoméstico que tiene un valor de contado de $ 4.500.000, se financia con 24 pagos mensuales de $ 265.713.37, cobrando una tasa de interés de financiación del 3% mensual. Calcular el saldo de la deuda después de cancelada la cuota 17. Procedimiento: El saldo de la deuda es igual al valor presente de una anualidad vencida conformada por 7 pagos mensuales iguales de $ 265.713.37, a una tasa del 3% mensual. Los 7 pagos corresponden al número de cuotas que faltan por pagar. Datos: Cuota mensual A = $265.713.37 Numero de cuotas n = 7 Tasa efectiva de interés i = 3% Solución





 1  i) n  1   1  0.03) 7  1  0 .229873865 Saldo a cuota 17 = P = A 265 . 713 . 37 = = 265.713.37 *  n  7 0 .036896215  i(1  i)   0.03(1  0.03)  Saldo a la cuota 17 = $ 1.655.469.48 TALLER 22: ANUALIDADES O CUOTAS VENCIDAS 1. Una casa cuesta $80.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 15% de la cuota inicial y 180 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y el valor total pagado.

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MATEMATICAS FINANCIERAS 2. Se compró un vehículo con una cuota inicial de $500.000 y 72 cuotas mensuales iguales $600.000. La agencia cobra el 3.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo. 3. Rosa María deposita $ 500.000 cada fin de mes, durante 2.5 años, en una entidad financiera que paga una tasa de interés del 10% mensual. Cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo?. 4. David desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes, durante tres años, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 11% mensual para reunir la suma de $38.000.000? 5. Cuántos depósitos mensuales vencidos de $380.000 se deben hacer en una institución financiera que paga el 60% mensual, para tener un valor acumulado de $ 150.000.000 6. Al comprar un carro sin cuota inicial queda debiendo $ 35.000.000 que se los financian a una tasa de interés del 3.5% mensual por medio de 60 cuotas mensuales iguales. Se desea calcular el valor de cada pago con interés global. 7. Un negocio que tiene un valor de contado de $ 45.000.000, se financia con 48 pagos mensuales de $ 1.000.000, cobrando una tasa de interés de financiación del 2% mensual. Calcular el saldo de la deuda después de cancelada la cuota: a) 12 b) 24 c) 36 d) 40 e) 45

2. ANUALIDADES ANTICIPADAS. Es aquella en cual los pagos se hacen al principio de cada período. Son Ejemplos de anualidades anticipadas pos pagos de arrendamientos anticipados, pagos de cuotas por el financiamiento de electrodomésticos. Un EJEMPLO real de esta clase de anualidades se presenta en algunos créditos comerciales en los que se le manifiesta al cliente que no le cobrarán cuota inicial, pero en el mismo momento en que se hace la negociación se le exige el pago de la primera cuota del conjunto de cuotas que tiene que pagar.

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA El valor presente de una serie de pagos iguales anticipados será el valor, que en el momento de realizada la operación financiera, sea equivalente a toda la serie, sus fórmulas para encontrar estos valores son:

Dónde: Valor presente =P Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Numero de cuotas por periodo = n

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MATEMATICAS FINANCIERAS EJEMPLO. Se tiene una obligación que en un momento se había pactado cancelar con 18 cuotas iguales de $15.000 cada mes una por cada mes por anticipado. Se decide, a última hora, cancelar de contado. Si la tasa de interés acordado es del 3% mensual, hallar este valor. Datos: Cuota mensual A = $15.000 Tasa efectiva de interés i = 3% Número total de cuotas n = 18 Solución

 (1  i ) n  1   (1  0.03)18  1     = 212.449.78 P  A(1  i ) 15 . 000 ( 1  0 . 03 ) = n  18   i (1  i )   0.03(1  0.03)  P = $ 212.449.78 Comprobar con la segunda fórmula, si el resultado es igual o no.

VALOR DE LA CUOTA EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCION DEL (P) Corresponde al valor de la cuota, de una serie de cuotas, que se pagan al principio del período. La expresión que nos permite calcular su valor es la siguiente:

Dónde: Valor presente = P Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n EJEMPLO. Se recibe un préstamo de $ 10.000.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 4% de interés mensual, calcular el valor de las cuotas. Datos: Valor presente P = $10.000.000 Numero de cuotas n = 12 Tasa efectiva de interés i = 4% Página 71 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Solución A

P 10 .000 .000 = n  (1  i )  1   (1  0.04 ) 12  1  (1  i )  ( 1  0 . 04 ) n  12  i (1  i )   0.04 (1  0.04 )

  

= 1.024.540.12

A= $ 1.024.540.12 Comprobar el valor de la cuota para la segunda fórmula.

NUMERO DE PAGOS O DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCION DEL (P) Es el número de pagos, pagaderos al principio de período, necesarios para amortizar una obligación. Se puede calcular en función del valor presente o del valor futuro. Sus fórmulas son las siguientes:

Dónde: Valor presente = P Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n EJEMPLO. Una obligación de $ 2.000.000 se va cancelar con pagos mensuales iguales anticipados de $358.441.75. Si se cobran una tasa de interés del 3% mensual, calcular el número de pagos necesarios para cancelarla. Datos Valor presente P = $2.000.000 Cuota mensual A = $358.441.75 Tasa efectiva de interés i = 3% Solución: n=

LogA  Log  A  i ( P  A) 1= Log (1  i )

Log 358 .441 .75  Log 358 .441 .75  0.03( 2.000 .000  358 .441 .75)  1 Log (1  0.03)

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MATEMATICAS FINANCIERAS n=

5.55442  5.49023 1= 6 0.01284

n = 6 número de cuotas. Realizar el mismo ejercicio utilizando la segunda fórmula.

VALOR FUTURO EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA Para encontrar este valor se utiliza la siguiente expresión:

Dónde: Valor futuro = F Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n EJEMPLO. Elena recibe al principio de cada mes la suma de $ 100.000 por concepto del arriendo de una bodega de su propiedad. En el mismo momento en que recibe el pago del arriendo deposita la mitad en una cuenta de ahorros que le reconoce una tasa de interés del 3% mensual. Ella desea saber cuánto tendrá disponible en la cuenta final del año. Datos: Cuota mensual A = $50.000 Numero de cuotas n = 12 Tasa efectiva de interés i = 3% Solución:

 (1  i) n 1  (1  i)  (1 0.03)121  (1 0.03) F  A = 730.889.52  = 50.000 i 0.03  

F = $ 730.889.52

TALLER 23: ANUALIDAD O CUOTA ANTICIPADA 1. Don Pedro tiene una obligación que había pactado cancelar con 36 cuotas iguales de $90.000 cada mes una por cada mes por anticipado. Se decide, a última hora consigue unos dineros y decide cancelar de contado. Si la tasa de interés acordado es del 2.5% mensual, hallar este valor.

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MATEMATICAS FINANCIERAS 2. Don José se recibe un préstamo para compra de casa por valor de $ 90.000.000 para pagarlo en 180 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 2% de interés mensual, calcular el valor de las cuotas y el valor futuro. 3. Según el caso anterior otras personas desean saber cuál será el valor de las cuotas y el valor futuro a pagar en: A. 10 años, B. 2 años, C. 20 años 4. Carlos adquiere una obligación de $ 18.000.000 y se compromete a cancelar con pagos mensuales iguales anticipados de $ 1.433.767. Calcular el número de pagos necesarios para cancelar. Si se cobran una tasa de interés del: A. 3.5% mensual, B. 3.0% mensual 5. Doña María recibe al principio de cada mes la suma de $ 2.200.000 por concepto del arriendo de varios inmuebles. Ella deposita la mitad de sus ingresos en una cuenta de ahorros en donde le reconocen a una tasa de interés del 3% mensual. Ella desea saber cuánto tendrá disponible en su cuenta final de: A. 1 año, B. 2 años, C. 3 años, D. 4 años, E. 5 años TALLER 24: COMPLEMENTARIO Para los siguientes casos hacer uso de las formulas pertenecientes a las anualidades o series de tiempo 1. En un Municipio Z se propone comprar un terreno para realizar un polideportivo que cuesta $820.000.000 la propuesta de compra consiste de la siguiente manera; cuota inicial del 20% y 40 cuotas mensuales con una tasa de interés del 1.5% mensual. Calcular el valor de las cuotas (A) y el valor total pagado; para: a) Una anualidad vencida, b) Una anualidad anticipada 2. Un Municipio X negocio maquinaria de trabajo pesado; y se comprometió cancelar una cuota inicial de $35.000.000 y 60 cuotas mensuales iguales $1.750.000. La casa distribuidora cobra el 1.8% mensual sobre saldos. La administración desea saber el valor presente (P) de la maquinaria al pago de la última cuota para: a) Una anualidad vencida., b) Una anualidad anticipada, 3. Juanito realiza un depósito de $1 400.000 al final de cada mes, durante 6 años, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 1.2% mensual. Juanito desea saber cuánto dinero tendrá acumulado (F) al final de este tiempo?, para: a) Una anualidad vencida. b) Una anualidad anticipada 4. Cuántos depósitos mensuales (n) vencidos de $5.600.000 se deben hacer en una institución financiera que paga el 1.8% mensual, para tener un valor acumulado de $ 1.500.000.000.

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MATEMATICAS FINANCIERAS 5. Don José adquiere una obligación (P) de $ 220.000.000 y se comprometió cancelar en cuotas mensuales iguales de manera anticipada por un valor de $3.580.000. Se cobra a una tasa de interés del 1.5% mensual. Don José desea calcular el número (n) de pagos que debe hacer para cancelar la obligación. 6. La Administración de un Municipio compra maquinaria sin cuota inicial y queda debiendo $ 2000.000.000 que son financiados a una tasa de interés del 1.2% mensual por medio de 40 cuotas mensuales iguales. La administración desea saber el valor de cada cuota con interés global. 7. Una entidad estatal compro material para construcción de contado por un valor de $ 450.000.000, se financia a 36 pagos mensuales de $ 2.650.000, cobrando una tasa de interés de financiación del 1.25% mensual. Calcular el saldo de la deuda después de cancelada la cuota número 28. 8. A. B. C. D.

En los problemas siguientes hallar el valor presente de la anualidad vencida dada: $ 5.000.000 por año durante 5 años a la tasa del 8% compuesto. $ 1.000.000 cada 6 meses durante 4 años a la tasa del 10% compuesto semestralmente. $ 2.000.000 por trimestre durante 4.5 años a la tasa del 8% compuesto trimestralmente. $ 1.500.000 mensual durante 15 meses a la tasa del 9% compuesto.

9. En los problemas siguientes encuentre el valor presente de la anualidad anticipada dada. A. $ 8.000.000 pagaderos al inicio de cada 6 meses durante 6 años a la tasa del7% compuesto semestral. B. $ 10.000.000 pagadero al inicio de cada trimestre durante 5 años a la tasa del 6% compuesto trimestralmente. 10. En los problemas siguientes encuentre el valor futuro de la anualidad vencida dada. A. $ 2.000.000 mensual durante 3 años a la tasa de interés del 15% compuesto mensual. B. $ 6.000.000 por trimestre durante 4 años a la tasa del 8% compuesto trimestral. C. $ 5.000.000 por año durante 20 años a la tasa del 7% compuesto anual. D. $ 2.000.000 cada 6 meses durante 10 años a la tasa del 6% compuesto semestralmente. 11. En los siguientes problemas encuentre el valor futuro de la anualidad anticipada dada. A. $ 1.200.000 cada año durante 12 años a la tasa del 8% compuesto anual. B. $ 5.000.000 cada trimestre durante 5.5 años a la tasa del 9% compuesto trimestralmente.

3. ANUALIDADES DIFERIDAS Hasta el momento se ha considerado que el pago de las rentas se inicia inmediatamente después de que se plantea la operación; no obstante, existen transacciones donde los pagos o rentas se realizan después de haber pasado cierta cantidad de periodos, en estos casos la operación se denomina anualidad diferida.

VALOR PRESENTE DE LAS ANUALIDADES DIFERIDAS Para hallar el valor presente de la anualidad diferidas se puede utilizar la formula siguiente.

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MATEMATICAS FINANCIERAS

Dónde: Valor de los pagos =A Número de pagos mensuales = n Tasa de interés efectiva mensual = i EJEMPLO: Una empresa acepta que un cliente le pague el valor de una compra realizada el día de hoy, en seis cuotas mensuales de $800.000 a partir del séptimo mes. Si la empresa aplica una tasa efectiva de interés del 2,5% efectiva mensual. ¿Cuál será el valor de la venta? Datos: Valor de los pagos A = $800.000 A partir del mes 7 el número de pagos mensuales n = 6 Tasa de interés efectiva mensual i = 2,5% Solución:  (1  i ) n  1  P  A 2* n   i (1  i )   (1  0 . 025 ) 6  1  P  8 00000  2 *6   0.025 (1  0 . 025 )   (1 . 025 ) 6  1  P  8 00000  12   0.025 (1 . 025 ) 

 0 . 159693418  P  8 00000   0 . 03362222  P  $ 3 . 799 . 711 ,38

El valor de la venta por la empresa es de $ 3.799.711,38

VALOR FUTURO DE LAS ANUALIDADES DIFERIDAS En este caso se halla el valor presente de la anualidad m e d i a n t e la siguiente formula

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MATEMATICAS FINANCIERAS Dónde: Valor de los pagos = A Número de pagos mensuales = n Tasa de interés efectiva mensual = i EJEMPLO: Si un padre inicia un ahorro mensual de $50.000, cuando su hijo cumple 1 año, ¿Cuál será el valor ahorrado, cuando este cumpla 18 años, si el banco donde hace el depósito le reconoce un interés anual del 0,6% efectivo mensual? Datos: Valor de los pagos A = $50.000 Numero de pagos: 204 mensuales, a partir del mes n = 12 Tasa de interés efectiva mensual i = 0,6% Solución: Calcular el valor presente en periodo 11, por medio de la siguiente ecuación.

 (1  i ) n  1  F  A  (1  i ) i    (1  0 . 006 ) 204  1  F  5 0 . 000   (1  0 . 006 ) 0.006    (1 . 006 ) 204  1  F  5 0 . 000   (1 . 006 ) 0.006   F  5 0 . 000 398 . 0580764 (1 . 006 ) F  $ 20 .022 .321, 24 El valor del ahorro cuando el hijo cumpla 18 años es de $ 20.022.321,24

4. ANUALIDADES PERPETUAS Cuando el número de pagos de una anualidad es muy grande, o cuando no se conoce con exactitud la cantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua. Al deducirse los modelos matemáticos se debe tener en cuenta que solo existe el valor presente ya que por tratarse de una anualidad perpetua el valor futuro de este tipo de anualidades sería infinito.

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MATEMATICAS FINANCIERAS ; Para i



Dónde: Valor de los pagos = A Número de pagos mensuales = n Tasa de interés efectiva mensual = i Partiendo del valor presente formula de la anualidad se puede hallar el limite cuando n tiende a infinito, teniendo en cuenta la definición de anualidad perpetua.

; Para i



0 ojo

Dónde: Valor de los pagos = A Tasa de interés efectiva anual = i Para calcular el valor presente una anualidad perpetua se puede utilizar la siguiente expresión: ; Para i



0 ojo

Dónde: Valor de los pagos = A Número de pagos: = n Tasa de interés efectiva anual = i EJEMPLO: El consejo municipal de Santa Fe de Antioquia resuelve crear un fondo para proveer a perpetuidad las reparaciones del puente colonial de esa población que se estima tendrá un costo anual de $91.000.000, doce años después de una reparación general. ¿Cuánto se deberá colocar en el fondo al momento de terminar la reparación general, si la tasa de interés de colocación del mercado es del 7% anual? Datos: Valor de los pagos A = $91.000.000 Numero de pagos: infinitos, a partir del año n = 12 Página 78 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa de interés efectiva anual i = 7% Solución:

A i(1  i) n 91.000.000 P 0.07(1  0 . 07 ) 12 91.000.000 P 0.07(1 . 07 ) 12 P  $ 557 . 215 . 547 En el fondo se deben colocar $ 577.215.547 P

5. ANUALIDAD O CUOTA CON INTERÉS GLOBAL Las personas que prestan dinero al interés y las casas comerciales que financian electrodomésticos diseñan, en forma permanente sistemas de amortización de créditos que en últimas persiguen crear sobre costos invisibles en las negociaciones que realizan con sus clientes, al plantearles una tasa de interés y cobrarles en realidad una tasa mayor. Es el caso del sistema de amortización de créditos con interés global, que supone el pago de cuotas periódicas iguales, pero en el que los intereses se calculan sobre el capital prestado inicialmente, desconociendo el abono que se le hace a la deuda cada período. La fórmula para encontrar esta anualidad es la siguiente:

Dónde: Valor presente = P Número de cuotas mensuales = n Tasa efectiva de interés mensual = i EJEMPLO. Al comprar una lavadora sin cuota inicial queda debiendo $ 5.000.000 que se los financian a una tasa de interés del 4% mensual por medio de 4 cuotas mensuales iguales. Se desea calcular el valor de cada pago con interés global. Datos: Valor presente P = $5.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 4 Tasa efectiva de interés mensual i = 4%

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MATEMATICAS FINANCIERAS Solución:

P  P*i = 5.000.000  5.000.000*0.04 = 1.250.000 + 200.000 = 1.450.000 n 4

A= $ 1.450.000 cada cuota

Valor total a pagar = (4)(1.1450.000) = $ 5.800.000 RESUMEN DE FORMULAS DE ANUALIDADES O CUOTAS ANUALIDAD VENCIDA ANUALIDAD ANTICIPADA  i (1  i ) n  A  P  n  (1  i )  1 

1. VALOR DE LA CUOTA

  i A  F  n ( 1  i )  1  





2. VALOR PRESENTE

 (1  i ) n  1  P  A  n  i (1  i ) 

2. VALOR PRESENTE

3. VALOR FUTURO

 (1  i ) n  1 F  A  i  

3. VALOR FUTURO

4. CÁLCULO DEL TIEMPO

Log ( F* i  A )  LogA Log (1  i )

4. CÁLCULO DEL TIEMPO

5. ANUALIDAD CON INTERÉS GLOBAL

6. CÁLCULO DEL SALDO INSOLUTO O SALDO DE LA DEUDA

A

P  (1  i ) n  1   (1  i ) n   i (1  i ) 

 (1  i ) n  1   P  A (1  i )  n  i (1  i ) 

F  A

n

(1  i ) n  1  (1  i ) i

LogA  Log  A  i ( P  A )  1 Log (1  i )

A



P  P*i n



 (1  i ) n  1  P  A  n  i (1  i ) 

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MATEMATICAS FINANCIERAS

6. GRADIENTE Para la preparación y desarrollo de esta temática se tomaron temas tratados y resueltos por los autores Carlos Mario Morales y Jhonny de Jesús Meza Orozco; quienes trabajaron el tema de gradientes y afirman que, son operaciones financieras en las cuales se pacta entre una persona natural y jurídica y la entidad financiera para cubrir la obligación en una serie de cuotas o pagos crecientes o decrecientes, que están relacionados con el pago anterior, en una cantidad constante en pesos o en un porcentaje; estos pagos deben cumplir unas condiciones que son las siguientes:    

Los pagos deben tener una ley de formación Los pagos deben ser periódicos La serie de pagos deben tener un valor presente (P) equivalente en el valor futuro (F). El número de periodos debe ser igual al número de pagos.

En las entidades financieras el gradiente más utilizado es el aritmético y el geométrico. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente:  

Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético; por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en $200.000 mensuales. Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geométrico; por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 1.5% mensual.

1. GRADIENTE ARITMETICO Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior, más una constante K; la cual puede ser positiva en cuyo caso las cuotas son crecientes, negativa lo cual genera cuotas decrecientes. En el caso de que la constante sea cero, los pagos son uniformes, es decir se tiene el caso de una anualidad. De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior más una constante. Para Página 81 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un préstamo se paga en una serie de cuotas formada a través de un gradiente aritmético, a una tasa de interés efectiva por periodo i, durante n periodos. A A2=A + K A3=A2 + K = A + 2K A4=A3 + K = A + 3K ………………………. An = A + (n-1)K

Primer pago Segundo pago Tercer pago Cuarto pago …………… Ultimo pago

GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO (GACV) Cuando los flujos de caja crecen en una cantidad fija periódicamente, se presenta un gradiente lineal creciente vencido, sí los flujos de caja se pagan al final de cada periodo. VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO Para el desarrollo de esta temática se tendrá símbolos y nombres de las siguientes variables: F: valor futuro P: valor presente A: valor del primer pago K: valor del incremento (gradiente aritmético) n: número de pagos i: tasa de interés del período Página 82 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS En matemática financiera cada uno de los símbolos anteriores tienen su respectiva función; por lo tanto les corresponde una expresión matemática que los relaciona entre sí, unas más complejas que otras; permitiendo desarrollar cálculos matemáticos y obtener resultados exactos acordes con el sistema financiero. Para calcular el valor presente se puede utilizar cualquiera de las dos fórmulas siguientes:



  K  (1  i)

 (1  i ) n  1 P = A n  i (1  i )

1 P= i(1  i) n

 



1 n    n i  i (1  i ) (1  i ) n  n





 K (1  i) n - 1 - ni  n A (1  i)  1   i  





Dónde: Número de cuotas = n Valor de la primera cuota = A Tasa efectiva de interés = i Gradiente aritmético = K EJEMPLO: Guillermo compro compró un vehículo con una cuota inicial de $1.000.000 y 60 cuotas mensuales iguales de $500.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo hoy si se paga una serie de cuotas crecientes mes vencido de $20.000. Datos Cuota inicial = $1.000.000 Numero de cuotas n = 60 Valor de la primera cuota A = $500.000 Tasa efectiva de interés i = 2.5% Gradiente aritmético K = $20.000 Solución

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MATEMATICAS FINANCIERAS

1 P= i(1  i) n





 K (1  i) n - 1 - ni  n A (1  i)  1   i  









 1 2 0 . 000 (1 . 025 ) 60 - 1 - 60 * 0.025  500 . 000 (1 . 025 ) 60  1   60  0 . 025 (1 . 025 )  0.025 

1 0 .109995

P =

1 0 . 109995

1 3219726 .673  0 .109995





2 0 .000 3 .399790 - 1.5     500 .000 3 .399790    0.025 2 0 .000 1 .899789749    1699894 .874   0.025

1699894

. 874  1519831 . 799



P = 29 .271.573,0 1  1.000.000

P = $30.271.573,01 El valor de carro al día de hoy es de $30.271.573,01 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO DADO (P)

1 A= (1  i) n - 1









 K (1  i) n - ni - 1  n P(1  i) i  i  

Dónde: Valor presente = P Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Gradiente aritmético = K EJEMPLO: Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 12 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas ( A ) si se paga una serie de cuotas crecientes mes vencido de $30.000.y el valor total pagado. Datos Valor presente P = $20.000.000 - $2.000.000 =$18.000.000 Cuota inicial = $2.000.000 Numero de cuotas n = 12 Página 84 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa efectiva de interés i =2.0% Gradiente aritmético K = $30.000 Solución

1 (1  i) n - 1









 K (1  i) n - ni - 1  n P ( 1  i ) i   i  





 1 3 0 . 000 (1  0 . 02 ) 12 - 1 - 12 * 0.02  12 1 8 . 000 . 000 ( 1  0 . 02 ) 0.02 *   (1  0 , 02 ) 12 - 1  0.02  12  1 3 0 . 000 (1 . 02 ) - 1 - 12 * 0.02   A = 18.000.000 (1 . 02 ) 12 * 0.02   12 (1, 02 ) - 1   0.02 





1 0.268241794



0 .268241794 

456567.046

- 4 2362.69184



414204 .3542 

A = $1.544.145,48 2

EL valor de la cuota a pagar es de $1.544.145,482 El valor total a pagar es de = ( A ) (12) + $2.000.000 = $(1.544.145,482(12) + $2.000.000 = $20.529.745,78 El valor total a pagar es de = $20.529.745,78

Página 85 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS VALOR DE LA CONSTANTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO

K =

(1  i )

i n

P (1  i ) - ni - 1 



i - A (1  i ) n - 1



Dónde: Valor presente = P Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A EJEMPLO: Juan José desea comprar una finca que cuesta $120.000.000, la entidad financiera le ofrece pagar en un plazo de 60 cuotas mensuales de $2.000.000. Cuanto deberá incrementar el comprador mensualmente para poder realizar la compra si la tasa efectiva de interés mensual es de 1.2%. Datos Valor presente P = $120.000.000 Cuota mensual A = $2.000.000 Tasa efectiva de interés i = 1.2% Numero de cuotas n = 60 Solución:

(1  i)

i n

P(1  i) i - A(1  i) - 1 - ni - 1 n

Página 86 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS





0.012 120.000.000(1.012)60* 0.012 - 2.000.000 (1.012)60 - 1 - 60*0.012 - 1 0.012 2945732,066 - 2091294.536  K= 0.325647268 

(1.012)

0.012 854437 ,53 0.325647268 

0.012 854437,53 0.325647268 



K = $31.485,7558 1

El valor del gradiente aritmético creciente vencido es de $31.485,76 VALOR DE CUALQUIER CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO Para calcular el valor de cualquier cuota en la serie es la siguiente:

C n = A  (n - 1) K Dónde: Cn = Valor de la cuota n n.= Numero de la cuota A = Valor de la primera cuota K = Variación de cada cuota EJEMPLO: El valor de una maquina procesadora de arroz se está cancelando con 24 cuotas mensuales que aumentan cada mes en $10.000, y el valor de la primera cuota es de $150.000. Si la tasa de interés que se está cobrando es del 3% mensual, calcular el valor hoy (P) de la máquina y la cuota número 23 y 24. Datos: Valor de la cuota A = $ 150.000 Incremento constante cada mes K = $ 10.000 Tasa efectiva de interés i = 3% Numero de cuotas mensuales n = 24

Página 87 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Solución:

a). Valor de presente de la máquina.

1 P= i(1  i) n





 K (1  i) n - 1 - ni  n A (1  i)  1   i  









 1 0 . 000 (1  0 . 03 ) 24 - 1 - 24 * 0.03  24 1 50 . 000 ( 1  0 . 03 )  1    0.03  

1 0 . 03 (1  0 . 03 ) 24

 1 0 .000 (1 .03 ) 24 - 1 - 24 * 0.03  1 24 1 50 . 000 ( 1 . 03 )  1    0 .03 (1 .03 ) 24  0.03 









P = 1 6.39779121 154919 . 116  104264 . 7022





P = $4.250.042, 136

El valor de la maquinaria hoy es de $ 4.250.042,136 b). Valor de cuota 23. C n = A  (n - 1) K C 23 = 150.000  (23 - 1) 10.000

C 23 = $370.000 El valor de cuota número 23 es de $370.000 c). Valor de cuota 24. C n = A  (n - 1) K Página 88 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS C 24 = 150.000  (24 - 1) 10.000

C 24 = $ 380.000 El valor de cuota número 24 es de $380.000 VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO Para hallar el valor futuro (F) de un gradiente aritmético se utiliza la siguiente expresión matemática









 (1  i) n  1  K  (1  i) n  1  F = A   n  i   i i    





1 K (1  i) n - ni - 1  n F = A (1  i)  1   i i 





Dónde: Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A EJEMPLO: Catalina deposita $ 400.000 cada fin de mes, durante 2 años, en una entidad financiera que reconoce una tasa efectiva de interés del 4% mensual. Cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo, si además se compromete hacer un incremento de constante de $18.000 mensuales?. Datos Cuota mensual A = $400.000 Tasa efectiva mensual i = 4%l Gradiente aritmético creciente K = $18.000 Numero de cuotas n = 24 Solución

Página 89 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS





1 K (1  i) n - ni - 1  F =  A (1  i) n  1   i i 









1 8 . 000 (1  0 . 04 ) 24 - 24 * 0.04 - 1  1  24  4 00 . 000 (1  0 . 04 )  1   0.04  0.04 

F =

1 8 . 000 (1 . 04 ) 24 - 24 * 0.04 - 1  1  24  4 00 . 000 (1 . 04 )  1   0.04  0.04 

1 625321 .666  271486 .8742  0.04













F = $22.420.213,51

Al final de los 24 meses Catalina tendrá acumulado $22.420213,51 VALOR PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO DADO (F)

1 A= (1  i ) n - 1









 K (1  i ) n - ni - 1)   Fi  i  

Dónde: Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés =i Valor futuro = F Página 90 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS EJEMPLO: Margarita desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes, durante tres años, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 2.5% mensual para reunir la suma de $34.000.000?. Además Margarita se compromete hacer un incremento constante de $25.000 mensuales. Datos: Valor futuro F = $34.000.000 Tasa de interés efectiva i = 2.5% Numero de cuotas mensuales n = 36 Gradiente aritmético K = $25.000 Solución:

1 A= (1  i) n - 1



A= A =







 K (1  i) n - ni - 1)  Fi  i  

1 (1  0 . 025 ) 36 - 1





  34.000.000 

 1 34.000.000 (1 . 025 ) 36 - 1 



A =

1 1 . 432535316

1 1 .432535316



* 0.025 -

0.025 -





25.000 (1 . 025 ) 36 - 36 * 0.025 - 1)   0.025 

25.000  0 . 532535315  850000   0.025



25.000 (1  0 . 025 ) 36 - 36 * 0.025 - 1)   0.025 

 

317464 .6843 

A = $ 2 21.610.37

El valor de la cuota que debe depositar Margarita es de $221.610,37 Página 91 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS VALOR DE LA CONSTANTE (K) GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO DADO (F)

(1  i)

i n

Fi - A(1  i) - 1 - ni - 1 n

Dónde: Valor de la primera cuota = A Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor futuro = F EJEMPLO: Juanita desea obtener $20.000.000 en un tiempo de 5 años, acude a una entidad financiera y esta le ofrece depositar $150.000 al finalizar cada mes a una tasa efectiva de interés de 1.5%. Cuanto deberá incrementar mensualmente (K) Juanita para cumplir con sus deseos?. Datos: Valor futuro F = $20.0000.000 Cuota mensual A = $150.000 Tasa efectiva de interés i = 1.5% Numero de cuotas mensuales n = 60 Solución

(1  i)

i n

Fi - A(1  i) - 1 - ni - 1 n

Página 92 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS K=



0.015 20.000.000 (1  0 . 015 ) 60 - 60 * 0.015 - 1





0.015 20.000.000 (1 . 015 ) - 60 * 0.015 - 1



0.015 0 .543219775



0.015 0 .543219775



300.000



0.015 - 150.000 (1  0 . 015 ) 60 - 1



0.015 - 150.000 (1 . 015 ) 60 - 1



- 216482 .9664 

83517 .03365 

K = $ 2306.17

Juanita debe depositar un valor constante (K) de $2.306,17

GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE ANTICIPADO (GACA) Si los flujos de caja ocurren al comienzo de cada período se está frente a un gradiente lineal creciente anticipado. VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE ANTICIPADO









 1  i) n  1  K  1  i) n  1 n  P = A     n- 1 n- 1 (1  i) n - 1   i(1  i)  i  i(1  i) (1  i ) P= i (1  i ) n





 K (1  i ) n - ni - 1  n  A (1  i )  1   i  





Dónde: Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A EJEMPLO: Juan Pedro tiene una obligación financiera, que en un momento había pactado cancelar con 36 cuotas iguales de $150.000 cada mes por anticipado y además un incremento constante mensual de $2.500. A última hora, cambia su manera de pensar y decide cancelar de contado. Si la tasa de interés acordado es del 2% mensual, hallar el valor hoy de la obligación. Datos: Cuota mensual A = $150.000 Página 93 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Numero de cuotas mensuales n = 36 Tasa efectiva de interés i = 2% Gradiente aritmético K = $2.500 Solución:

(1  i) P= i(1  i) n





 K (1  i) n - ni - 1  n A (1  i)  1   i  



(1  0 . 02 ) 0 . 02 (1  0 . 02 ) 36

(1 . 02 ) 0 . 02 (1 . 02 ) 36







 2 . 500 (1  0 . 02 ) 36 - 36 * 0.02 - 1  36 150 . 000 (1  0 . 02 )  1   0.02  









 2 . 500 (1 . 02 ) 36 - 36 * 0.02 - 1  36 150 . 000 ( 1 . 02 )  1    0.02  





P = 2 5.00138067 155983 . 31016  39985 . 91796



P = $4.899.501,27

La obligación hoy es de $ 4.899.501,27 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE ANTICIPADO





 P (1  i ) n i K (1  i ) n - ni - 1  1  (1  i ) n - 1  (1  i ) i 





Dónde: Gradiente aritmético = K Página 94 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor presente = P EJEMPLO: José Antonio recibe un préstamo de $ 100.000.000 para pagarlo en 24 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 1.4% de interés mensual; si además José Antonio decide incrementar un valor constante cada mes de $ 5.000, calcular el valor de la primera cuota. Datos: Valor presente P = $100.000.000 Numero cuotas mensuales n = 24 Tas efectiva de interés i = 1.4% Gradiente aritmético creciente anticipado K = $5.000 Solución:

A= A=





 P(1  i) n i K (1  i) n - ni - 1  1   i (1  i) n - 1  (1  i) 









 1 00 . 000 . 000 (1  0 . 014 ) 24 * 0.014 5. 000 (1  0 . 014 ) 24 - 24 * 0.014 - 1  1   (1  0 . 014 ) 0.014 (1  0 . 014 ) 24 - 1  





A = 2 .524729886 1 927529.354 - 2 1457.84826



A = $ 4 .812.447,16 5

El valor de la cuota mensual que debe pagar es de $4.812.447,165

Página 95 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS VALOR DE LA CONSTATANTE DE GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE ANTICIPADO

 P(1  i) n i  K=  A (1  i) n - 1   n (1  i) - ni - 1  (1  i)  i





Dónde: Valor de la primera cuota = A Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor presente = P EJEMPLO: A Juan Carlos le ofrecen la compra una pequeña fábrica que cuesta $240.000.000, acude a una entidad financiera que le ofrece pagar en un plazo de 48 cuotas mensuales de $4.000.000 por anticipado. Cuanto deberá incrementar el comprador mensualmente para poder realizar la compra; si la tasa efectiva mensual de interés es del 0.9%. Datos: Valor presente P = $240.000.000 Cuota mensual A = $4.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 48 Tasa efectiva de interés i = 0.9%

Solución:

 P (1  i) n i   A (1  i) n - 1   n (1  i) - ni - 1  (1  i) 









Página 96 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS  2 40 .000 .000 (1  0 .009 ) 48 * 0 .009  0.009  4 .000 .000 (1  0 .009 ) 48 - 1   48 (1  0 .009 ) - 48 * 0.09 - 1  (1  0 .009 ) 







 2 40 .000 .000 (1 .009 ) 48 * 0 .009  0.009  4 .000 .000 (1 .009 ) 48 - 1   48 (1 .009 ) (1 .009 ) - 48 * 0.09 - 1  







K = 0 .085420257 3291080 .947  2149445 .696 

1141634

K = 0 .085420257

. 304 

K = $97.518, 69569

El valor constante que se debe consignar mensual es de $97.518.70

GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE (GAD) VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE Para calcular el valor presente se utiliza la formula siguiente:



  K  1  i)

 1  i) n  1 P = A n  i (1  i ) 1 P= i (1  i ) n

 



1 n   i  i (1  i ) n (1  i ) n  n





 K (1  i ) n - ni - 1  n  A (1  i )  1   i  





Dónde: Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A EJEMPLO: Para la compra de una vivienda se pacta cancelar en 18 cuotas mensuales que decrecen en $ 10.000 cada mes, siendo la primera cuota de $2.500.000. Si la tasa de financiación que se está cobrando es del 3%, calcular el valor de la vivienda. Datos: Valor de la primera cuota A = $2.500.000 Numero de cuotas mensuales n = 18 Cuota mensual decreciente K = $10.000 Tasa efectiva de financiación i = 3% Página 97 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Solución:





1  K (1  i) n - ni - 1  n P= A (1  i)  1   i(1  i) n  i 









 1 0 . 000 (1  0 . 03 ) 18 - 18 * 0.03 - 1  1 18 2 . 500 . 000 ( 1  0 . 03 )  1    0 . 03 (1  0 . 03 ) 18  0.03 

1 0 . 03 (1 . 03 ) 18

1 0 . 051072991









 1 0 . 000 (1 . 03 ) 18 - 18 * 0.03 - 1  18 2 . 500 . 000 ( 1 . 03 )  1    0.03  





1624 . 330612   1756082 . 653   0.03

P = $33.323.646,53

El valor de la vivienda es de $ 33.323.646,53 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE DADO P

1 (1  i ) n - 1









 K (1  i ) n - ni - 1  n P ( 1  i ) i    i  

Dónde: Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor presente = P Página 98 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS EJEMPLO: Juan Carlos recibe un préstamo hoy por $ 35.000.000 y se compromete cancelar en 24 cuotas mensuales que decrecen en $ 10.000 cada mes. Si la tasa de financiación que se está cobrando mensual es del 3%, calcular el valor de la primera cuota. Datos: Valor presente P = $ 35.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 24 Cuota mensual decreciente K = $10.000 Tasa de interés efectiva mensual i = 3% Solución:

1 A= (1  i) n - 1



A= A=





1 (1 . 03 ) 24





 1 0 . 000 (1  0 . 03 ) 24 - 24 * 0.03 - 1  24 3 5 . 000 . 000 ( 1  0 . 03 ) 0.03  *   0.03   24  1 0 . 000 (1 . 03 ) - 24 * 0.03 - 1  24  3 5 . 000 . 000 (1 . 03 ) * 0.03   0.03 -1  

1 (1  0 . 03 ) 24 - 1





 K (1  i) n - ni - 1  n P(1  i) i   i  



A = 0 .968247198



2 134433.381



2  1 04264.7022





A = $ 2.167.613, 147 El valor de la primera cuota es de $ 2.167.613,147

VALOR DE LA CONSTANTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE

(1  i)

i n

 A(1  i) - 1 - P(1  i) i - ni - 1 n

Página 99 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Dónde: Valor presente = P Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A EJEMPLO: A Cándida le hacen un préstamo hoy por un valor $ 65.000.000 y se compromete cancelar en 48 cuotas mensuales de $ 2.500.000. Si la tasa de financiación que se está cobrando mensual es del 2.5%, calcular el valor del gradiente en esta operación financiera. Datos: Valor presente P = $ 65.000.000 Valor de la primera cuota A = $ 2.500.000 Numero de cuotas mensuales n = 48 Tasa de interés efectiva mensual i = 2.5% Solución:

(1  i)

i n

 A (1  i) - 1 - P(1  i) i - ni - 1 n



0.025 2.500.000 (1  0 . 025 ) 48 - 1 - 65.000.000 (1  0 . 025 ) 48 * 0.025 (1  0 . 025 ) 48 - 48 * 0.025 - 1 0.025 K = 2.500.000 (1 . 025 ) 48 - 1 - 65.000.000 (1 . 025 ) 48 * 0.025 (1 . 025 ) 48 - 48 * 0.025 - 1

K =











K = 0,023332005  5678723.390 2 - 5316170.536  K = 0,023332005 362552 .8539  K = $ 8459.085

El valor del gradiente en esta operación financiera es $ 8.459,09 Página 100 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS VALOR DE CUALQUIER CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE

C n = A - (n - 1) K Dónde: Número de cuotas = n Gradiente aritmético = K Valor de la primera cuota = A EJEMPLO: Juan Carlos recibe un préstamo hoy por $ 35.000.000 y se compromete cancelar en 24 cuotas mensuales que decrecen en $ 10.000 cada mes. Si la tasa de financiación que se está cobrando mensual es del 3%, calcular el valor de la cuota 15, 20 y 23. Si el valor de la primera cuota es de $ 2.167.613,147 Datos: Valor presente P = $ 35.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 24 Cuota mensual decreciente K = $10.000 Tasa de interés efectiva mensual i = 3% Valor de la primera cuota A = $ 2.167.613,147 Solución:

C n = A - (n - 1) K

El valor de la cuota 15 será:

C 15 = 2.167.613, 147 - (15 - 1) 10.000 C 15 = 2.167.613, 147 - 140000 C 15 = $2.027.613 ,147 Página 101 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS El valor de la cuota 15 es de $ 2.027.613,147 El valor de la cuota 20 será:

C 20 = 2.167.613, 147 - (20 - 1) 10.000 C 20 = 2.167.613, 147 - 190000 C 20 = $1.977.613 ,147 El valor de la cuota 20 es de $ 1.977.613,147 El valor de la cuota 23 será:

C 23 = 2.167.613, 147 - (23 - 1) 10.000 C 23 = 2.167.613, 147 - 220000 C 23 = $1.947.613 ,147 El valor de la cuota 23 es de $ 1.947.613,147 VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE Para hallar el valor futuro ( F ) de un gradiente aritmético se utiliza la siguiente expresión matemática









 1  i) n  1  K  1  i) n  1  F = A    n  i i   i  





1 K (1  i ) n - ni - 1  F =  A (1  i ) n  1   i i 





Dónde: Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A EJEMPLO: Se realiza un primer depósito por $ 500.000 en el día de hoy, en una entidad financiera que reconoce por el dinero una tasa de interés del 2% mensual. Cada mes se hacen depósitos que disminuyen en $10.000. Cuál será el valor acumulado después de hacer 6 depósitos. Datos: Valor de la primera cuota A = $500.000 Tasa efectiva de interés i = 2% Deposito decreciente K = $10.000 Página 102 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Numero de meses n = 6 Solución: $500.000

$490.000

$480.000

$470.000

3 i = 2%

 



1 K (1  i) n - ni - 1  n F = A (1  i)  1   i i 





1 0000 (1  0 . 02 ) 6 - 6 * 0.02 - 1  1  6 5 00000 ( 1  0 . 02 )  1    0.02  0.02 





















 1 0000 (1 .02 ) 6 - 6 * 0.02 - 1  6 5 00000 ( 1 . 02 )  1    0.02   6 1 0000 (1 .02 ) - 6 * 0.02 - 1  1  6 F=  5 00000 (1 .02 )  1   0.02  0.02  1 63081 .20963  3081 .20963  F= 0.02 F=

1 0.02

F = $ 3.000.000

El valor acumulado después de hacer 6 depósitos es de $ 3.000.000 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE DADO (F)

1 (1  i ) n - 1









 K (1  i ) n - ni - 1  Fi    i  

Dónde: Valor futuro = F Número de cuotas = n Página 103 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa efectiva de interés = i Gradiente aritmético = K EJEMPLO: Don Luis se propone ahorrar para lo cual realiza un primer depósito en el día de hoy, en una entidad financiera que reconoce por el dinero una tasa de interés del 2% mensual. Cada mes se hacen depósitos que disminuyen en $100.000. Si durante 12 meses el valor acumulado es de$ 30.000.000; Cuál será el valor de la primera cuota. Datos: Valor futuro F = $ 30.000.000 Tasa efectiva de interés i = 2% Deposito decreciente K = $100.000 Numero de meses n = 12 Solución:

1 A= (1  i) n - 1





1 (1  0 . 02 ) 12 - 1



1 (1 . 02 ) 12 - 1









 K (1  i) n - ni - 1  Fi   i  







 1 0000 (1  0 . 02 ) 12 - 12 * 0.02 - 1  30000000 0.02  *   0.02  





 1 0000 (1 . 02 ) 12 - 12 * 0.02 - 1  30000000 0.02  *   0.02  

A = 3 .727979831 600.000  1 4120.89728



A = $2.289.430, 319

Bajo estas condiciones el valor de la primera cuota es de $ 2.289.430,319

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MATEMATICAS FINANCIERAS VALOR DE LA CONSTANTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE DADO F

(1  i)

 A(1  i) - 1  Fi - ni - 1

Dónde: Valor futuro = F Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés =i Valor de la primera cuota = A EJEMPLO: Juan Pedro está dispuesto a realizar unos ahorros para lo cual realiza su primer depósito por $ 5.000.000 en el día de hoy, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 2% mensual y durante 20 meses el valor acumulado es de $ 90.000.000. Juan Pedro necesita saber el valor de cada depósito que disminuye constantemente. Datos: Valor futuro F = $ 90.000.000 Tasa efectiva de interés i = 2% Numero de meses n = 20 Valor de la primera cuota A = $4.000.000 Solución:

 A (1  i) - 1  Fi  - ni - 1

(1  i)

K =

(1  0 . 02 )

0.02 - 20 * (0.02 ) - 1

  4.000.000 (1  0 . 02 )



- 1  9 0 . 000 . 000 * (0 . 02 )

 Página 105 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS K=

(1 .02 )

0.02 - 20 * (0.02) - 1



 4.000.000 (1 .02 )



- 1  9 0 . 000 . 000 * (0 . 02 )



K = 0.232700476 5943789 .584  1800000  K = $ 964.261,81 08 El valor de cada depósito que disminuyen y es de aproximadamente $ 964.261,80

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE INFINITO Cuando se habla de pagos de gradientes matemáticos infinitos, solo tiene sentido hablar del valor presente, como equivalente de dichos pagos. La principal aplicación de dicha serie es el cálculo del costo de capital.

A K  i i2

Dónde: Gradiente aritmético = K Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A EJEMPLO: Que valor deberá cancelar una persona un año antes de su retiro para recibir anualmente una pensión de $30.000.000, la cual se incrementa $2.000.000 cada año?. El fondo de pensiones reconoce una tasa de interés efectiva del 6.5% anual. Datos: Valor de la cuota A = $30.000.000 Gradiente creciente de K = $2.000.000 Tasa de interés efectiva anual i = 6.5% Numero de pagos: infinitos = ∞ Solución:

Página 106 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS

A K  i i2

2.000.000 (0 . 065 ) 2 2.000.000 P = 461538461. 5  0 . 004225 P =

30.000.000 0.065



P = 461538461. 5  473372781 .1

P = $934.911.242 ,60 El futuro pensionado deberá cancelar $ 934.991.242,60

TALLER COMPLEMENTARIO 1. Un padre de familia está dispuesto a realizar el ahorro que se muestra en la gráfica; de cuánto debería ser la inversión hoy para igualar dicho ahorro, sí el banco reconoce una tasa de interés del 5% semestral.

2. ¿Qué valor recibirá una persona que realiza el ahorro semestral que se indica en la gráfica? El banco donde se realiza el ahorro reconoce una tasa de interés del 6% semestral.

3. ¿Qué valor deberá cancelar una persona un año antes de su retiro para recibir anualmente una pensión Página 107 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS de $30.000.000, la cual se incrementara $2.000.000 cada año? El fondo de pensiones reconoce una tasa de interés del 6,5% anual.

Ejercicios tomados del Grupo de Investigación GNÓSIS de la Universidad Libre sede Cartagena GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO 4. El valor de un torno se cancela en 18 cuotas mensuales, que aumentan cada mes en $ 30.000, y el valor de la primera es de $ 220.000. Si la tasa de interés es del 3,5% mensual, hallar el valor del torno. 5. Una deuda de $ 60.000.000 se va a financiar en 36 cuotas mensuales, que aumentan en $ 30.000 cada mes. Si la tasas de interés es del 2,8% mensual, determinar el valor de la primera cuota y el valor de la cuota 24. 6. En qué valor debe aumentar el valor de 48 cuotas mensuales, si se está financiando una obligación financiera que tiene un valor de $ 60.000.000, si se exige una primera cuota de $ 400.000 y se cobra una tasa de interés del 3% mensual. 7. Calcular el valor de un préstamo que se está cancelando en 12 pagos mensuales que aumentan cada mes en $ 40.000, pero el primer pago por valor de $ 500.000 se realizó 9 meses después de la fecha de la negociación, y la tasa de interés es del 3% mensual. Durante los primeros 9 meses se cobró una tasa de interés del 2,5% mensual. 8. El caso que se presenta a continuación, se refiere a una serie gradiente aritmética anticipada, en la cual los flujos de caja cada período crecen en una cantidad constante de pesos con respecto al flujo anterior, pero el primer pago se realiza en el mismo momento en que se la operación financiera. ¿Cuál será el valor de un artículo que se financia en 36 cuotas mensuales anticipadas, que crecen cada mes en $ 40.000, si la primera cuota tiene un valor de $ 150.000 y se paga el mismo día de la negociación?. La tasa de interés es del 3% mensual.

Página 108 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS 9. En una institución financiera que reconoce una tasa de interés del 15% semestral, se hacen depósitos semestrales, que aumentan cada semestre en $ 20.000, durante 12 años. Si el valor del primer depósito es de $ 300.000, calcular el valor acumulado al final del año doce. 10. Financiar una vivienda que tiene un valor de $ 150.000.000 a una tasa de interés del 2,5% mensual, por medio de 60 cuotas mensuales que aumenten cada mes $ 20.000. Calcular el valor de la primera cuota y el saldo de la deuda después de cancelar la cuota No 45. 11. Un vehículo que al final de dos años tiene un valor de $ 30.000.000 se adquirirá haciendo depósitos mensuales durante los dos años, que aumentan cada mes en $ 50.000, si la entidad financiera reconoce el 2,5% mensual. ¿Cuál debe ser el primer depósito?. 12. Una persona se dispone invertir en una institución financiera depósitos mensuales que aumentan cada mes en $ 70.000. Si comienza hoy con $ 800.000, ¿ Cuál será el valor de la inversión al término de un año, sabiendo que le pagan un 2,5% mensual?. 13. Una persona desea comprar un automóvil que cuesta hoy $ 25.000.000; para lo cual hará depósitos mensuales durante 18 meses, que aumenten cada mes a $ 45.000, en una entidad financiera que le reconoce el 2,8% mensual, Si la inflación promedio mensual es del 1,2%. ¿Cuál será el valor de la primera cuota?. GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE VENCIDO 14. Una vivienda se está cancelando con 120 cuotas mensuales que decrecen en $ 20.000 cada mes, siendo la primera cuota $ 3900.000. Si la tasa de financiación que se cobra es del 2,5% mensual, calcular el valor de la vivienda. 15. En el ejercicio anterior, calcule la cuota 80. 16. Una persona realiza depósitos en una institución bancaria que disminuyen en $ 15.000 cada mes, si se devenga un interés del 2,5% mensual, ¿cuál será el valor que se tendrá acumulado al cabo de 12 meses, si el depósito del primer mes es $ 600.000. 17. En el ejercicio anterior calcule la cuota No 6

2. GRADIENTE GEOMETRICO Para el gradiente geométrico, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior, multiplicado por una constante (1+G); si G es positiva el gradiente será con cuotas crecientes, si G es negativo el gradiente será decreciente y si G es igual a 0, los pagos son uniformes, es decir se tiene el caso de una anualidad. Para la deducción de modelo matemático se considera una operación en la cual un préstamo o valor presente (P) se paga en una serie de cuotas formadas a través de un gradiente geométrico, a una tasa de interés efectiva por periodo i, durante n periodos. Página 109 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS A A2 = A (1 + G) A3 = A2(1 + G) = A (1 + G)2 A4 = A3(1 + G) = A (1 + G)3 ………………………. An = A (1 + G) (n-1)

Primer pago Segundo pago Tercer pago Cuarto pago …………… Ultimo pago

Para esta clase de series de pagos se utiliza por lo general las siguientes variables, que posteriormente se convertirán en expresiones matemáticas que permiten el cálculo de procesos financieros: F: valor futuro P: valor presente A: valor del primer pago n: número de pagos i: tasa de interés del período G: tasa de incremento por período (gradiente geométrico)

GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO (GGV) En el caso en que los flujos de caja aumenten en cada período en un porcentaje y se realizan al final de cada período se tiene un gradiente geométrico creciente vencido VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO Para calcular el valor presente de un gradiente geométrico se puede calcular bajo dos condiciones:

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MATEMATICAS FINANCIERAS 1) Si G  i, entonces:

A  (1  G ) n  P=  1 (G - i)  (1  i) n 

2) Si G = i; entonces:

n *A (1  i)

Dónde: Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G EJEMPLO: Una obligación se está cancelando mediante el pago de una cuota inicial de $5.000.000 y 24 cuotas mensuales que aumentan un 5% cada mes. Si el valor de la primera cuota es de $1.500.000 y se cobra una tasa de interés del 4% mensual. Calcular: a) Valor de la obligación b) Valor de cuota 22 Datos: Cuota inicial = $5.000.000 Valor de la primera cuota A = $1.500.000 Numero de cuotas n = 24 Tasa de incremento por periodo G = 5% Tasa de interés por periodo i = 4% Solución:

Página 111 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS

A  (1  G ) n   1 (G - i)  (1  i) n 

 1.500.000  (1  0 . 05 ) 24  1  24 (0.05 - 0.04)  (1  0 . 04 )  24  1.500.000  (1 .05 ) P=  1  24 (0.01)  (1 .04 )  P=

1.500.000  3 . 225099944   1 (0.01)  2 . 563304165  1.500.000 0 .258180745  P= (0.01)

P = $38.727.111, 75 El valor de la obligaciones $5.000.000 + $38.727.111,75 = $43.727.111,75

EJEMPLO: En el caso anterior si las dos tasas son iguales (G = i); entonces la expresión apropiada es la siguiente:

n *A (1  i)

Dónde: Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de interés del período = i 24 *1 . 500 . 000 36000000  (1  0 . 04 ) (1 . 04 ) P = $ 34 . 615 . 384 , 62 P=

 34 . 615 . 384 , 62

El valor de la obligaciones $5.000.000 + $34.625.384.62= $39.615.384,62 PARA EL CACULO DE CUALQUIER CUOTA.

C n = A (1  G)

n-1

Dónde: Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G Página 112 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS EJEMPLO: Para calcular el valor de la cuota 22

Cn = A (1  G) n- 1 C 22 = 1.500.000 (1  0.05) C 22 = 1.500.000 (1 .05)

22 - 1

C 22 = $4.178.943,886

El valor de cuota número 22 es de $ 4.178.943,886 VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO Para hallar el valor futuro (F), de un gradiente geométrico se puede utilizar, bajo dos condiciones: 1). Si G  i, entonces:



A (1  G) n  (1  i) n (G - i)

2). Si G = i, entonces:



F = n * A 1  i 

n 1

Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G EJEMPLO: Cuál será el valor final de un ahorro durante 36 semestres iniciando con un pago de $3.000.000 con un incrementos del 4%?. Suponga que se reconoce una tasa de interés del 3.5% efectivo semestral. Datos: Valor de la primera cuota A = $3.000.000 Numero de pagos semestrales n = 36 Tasa de interés efectiva semestral i = 3.5% El gradiente tiene un crecimiento G = 4% Solución:

Página 113 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS

Si G  i, entonces





A (1  G) n  (1  i) n (G - i)

3.000.000 (1  0.04) 36  (1  0.035) 36 (0.04 - 0.035)

3.000.000 (1 .04 ) 36  (1 .035 ) 36 (0.005)

3.000.000 4.103932554  3.450266111  (0.005)

3.000.000 0 .653666442 (0.005)





F = $392.199.865,50

El valor del ahorro es de $ 392.199.865,50 Ahora si consideramos que las dos tasas de interés son iguales, G = i; entonces el valor futuro será: EJEMPLO: Cuál será el valor final de un ahorro durante 36 semestres iniciando con un pago de $3.000.000 con un incrementos del 4%?. Suponga que se reconoce una tasa de interés del 3.5% efectivo semestral.

Página 114 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Datos: Valor de la primera cuota A = $3.000.000 Numero de pagos semestrales n = 36 Tasa de interés efectiva semestral i = 3.5% El gradiente tiene un crecimiento G = 4% F = n * A 1  i 

n 1

Dónde: Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Datos: Valor de la primera cuota A = $3.000.000 Numero de pagos semestrales n = 36 Tasa de interés efectiva semestral i = 3.5% El gradiente tiene un crecimiento G = 4% F = 36 *3 000000 1  0 .035 

3 6 1

F = 36 *3000000 1.035  F = $360.027.76 8,20 Cuando G = i, el valor futuro es de $ 360.027.768.20 35

VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO DADO (P)

 G - i 1  i n  A = P n n   (1  G)  (1  i )  Dónde: Valor presente = P Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G EJEMPLO: Don Pablo compro el día de hoy una finca productiva por el valor de $ 450.000.000, se compromete cancelar en 72 cuotas cada mes la entidad financiera le propone incrementos del 3.5% mensual; Página 115 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS además esta entidad reconoce una tasa de interés del 2.5% efectivo mensual. Don Pablo quiere saber el valor de primera cuota. Datos: Valor presente P = $ 450.000.000 Numero de pagos semestrales n = 72 Tasa de interés efectiva semestral i = 2.5% El gradiente tiene un crecimiento G = 3.5% Solución:

 G - i 1  i n  A = P n n   (1  G)  (1  i)   0.035 - 0.025 1  0 .025 72  A = 450000000  72 72   (1  0 .035 )  (1  0 .025 )   0.035 - 0.025 1 .025 72  A = 450000000   72 72  (1 .035 )  (1 .025 )  0 . 05917228  A = 450000000   11 . 90433624  5 . 917228062

 

A = $4.447.477,014

El valor de primera cuota (A) es de $ 4.447.477,014 Página 116 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO DADO F

  G - i A = F n n  (1  G)  (1  i)  Dónde: Valor futuro = F Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G EJEMPLO: Anita hizo un ahorro y obtuvo una cantidad de $ 120.000.000 durante 48 meses, la entidad financiera le propuso incrementos del 4% mensual; además esta entidad reconoce una tasa de interés del 3.5% efectivo mensual. Anita quiere saber el valor de primera cuota. Datos: Valor futuro F = $ 120.000.000 Numero de pagos mensuales n = 48 Tasa de interés efectiva mensual i = 3.5% El gradiente tiene un crecimiento G = 4% Solución:

Página 117 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS

  G - i A = F n n  (1  G)  (1 i) 

  0.04 - 0.035  A = 12000000  48 48   (1  0 . 04 )  (1  0 . 035 ) 

A = 12000000

A = 120000000

  0.04 - 0.035    (1 . 04 ) 48  (1 . 035 ) 48   

0.005   6 . 570528242  5 . 213588981

A = $ 442.171,60 El valor de primera cuota es $ 442.171,60.

 

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO AL INFINITO Para calcular el valor presente de un gradiente geométrico cuando el número de cuotas tiende al infinito, para este caso se puede calcular bajo dos aspectos: 1) Si, G < i, entonces

A (i - G)

2) Si, G  i, entonces

P =

Dónde: Valor del primer pago = A Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G EJEMPLO: Cual será el valor de la prima de un seguro que pretende realizar pagos de forma indefinida, iniciando en $4.000.000 con incrementos mensuales del 1%. Suponga que se reconoce una tasa de interés del 1.5% efectivo mensual. Datos: Valor de la primera cuota A = $4.000.000 Numero de pagos: infinitos Tasa de interés efectiva mensual i = 1.5% El gradiente tiene un crecimiento del G = 1% Solución:

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MATEMATICAS FINANCIERAS

A (i - G)

4.000.000 (0.015 - 0.01) 4.000.000 P= (0.005)

P = $800.000.000 El valor del ahorro es de $800.000.000

GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO (GGA) Si los flujos ocurren al inicio de cada período, se tiene un gradiente geométrico creciente anticipado. VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO

(1  i)  (1  G ) n  P=A  1 (G - i)  (1  i) n  Dónde: Valor del primer pago = A Número de pagos = n Página 119 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G EJEMPLO: Juan Pedro realiza un compromiso financiero de cancelar con 36 cuotas iguales de $450.000 cada mes por anticipado, además la entidad financiera le propuso incrementos del 2.5% mensual. Si la tasa de interés acordado es del 1.2% mensual. A última hora, cambia de parecer y decide cancelar de contado; hallar este valor. Datos: Valor de la primera cuota A = $ 450.000 Numero de cuotas mensuales n = 36 Tasa de interés efectivo mensual i = 1.2% Gradiente o tasa de crecimiento G = 2.5% Solución:

P=A

 (1  i)  (1  G ) n  1  n (G - i)  (1  i ) 

P = 450000

 (1  0 . 012 )  (1  0 . 025 ) 36  1  36 (0.025 - 0.012)  (1  0 . 012 ) 

P = 450000

 (1 .025 ) 36  (1 .012 )  1  36 (0.025 - 0.012)  (1 .012 ) 

 2 . 432535316 P = 3 5030769.23   1 . 53637931

  1 

P = $ 20.433.127,44

El valor que debe cancelar de contado $20.433.127,44.

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MATEMATICAS FINANCIERAS VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO



A(1  i) (1  G) n  (1  i) n (G - i)



Dónde: Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G EJEMPLO: Carlitos decide ahorrar al principio de cada mes la suma de $ 980.000 en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 2% mensual; además la entidad financiera propone incrementos del 2.5% mensual. El desea saber cuánto dinero tendrá disponible en la cuenta de ahorros final de un año y medio. Datos: Cuota mensual A = $980.000 Numero de cuotas mensuales n = 18 Tasa efectiva de interés i = 2% Tasa de incremento o gradiente G = 2.5% Solución:



A(1  i) (1  G ) n  (1  i) n (G - i)

 Página 121 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS



9 80000 (1  0 . 02 ) (1  0 . 025 ) 18  (1  0 . 02 ) 18 (0.025 - 0.02)

9 80000 (1 . 02 ) (1 . 025 ) 18  (1 . 02 ) 18 (0.025 - 0.02)

999600 1 .559658718  1 .428246248 0.005





 

F = $ 26.271.981,09

El dinero disponible en la cuenta de ahorros final de un año y medio es de $ 26.271.981,09 VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO DADO (P) n P  G - i1  i  A= 1  i (1  G)n  (1 i)n 

Dónde: Valor presente = P Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G EJEMPLO: Don Chucho recibe un préstamo hoy de $ 100.000.000 para pagarlo en 48 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 1.5% de interés mensual, además la entidad financiera le propone incrementos del 2.3% mensual; calcular el valor de las cuotas. Datos: Valor presente P = $100.000.000 Numero de cuotas n = 48 Tasa efectiva de interés i = 1.5% Tasa de incremento o gradiente G = 2.3% Solución

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MATEMATICAS FINANCIERAS

n  P  G - i 1  i   n n  1  i   (1  G)  (1  i) 

100000000 1 .015 

 0.023 - 0.015 1 . 015  48    48 48  (1 . 023 )  (1 . 015 ) 

100000000  0 . 008 * 2 . 043478289   1 .015   2 .978725053  2 .043478289  100000000  0.016347826 A= 1.015  0.935246764 A=

A = $1.722.137,241 El valor de la primera cuota es de $ 1.722.137,24

VALOR PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO DADO (F)

 G - i F  1  i (1  G)n  (1 i)n 

Dónde: Valor futuro = F Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G EJEMPLO: Carlitos decide ahorrar al principio de cada mes una suma determinada, en una entidad financiera que le reconoce una tasa de interés del 2% mensual; además la entidad financiera le propuso incrementos del Página 123 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS 2.5% mensual. Si el dinero disponible en la cuenta de ahorros al fin de año y medio es de $ 26.271.981,09. Calcular la suma que debe deposita al iniciar cada mes. Datos: Valor futuro F = $ 26.271.981,09 Numero de cuotas mensuales n = 18 Tasa efectiva de interés i = 2% Tasa de incremento o gradiente G = 2.5% Solución:

 G - i F   n n 1  i  (1  G)  (1 i) 

 0.025 - 0.020  26.271.981 ,09   18 18  1  0 . 020   (1  0 . 025 )  (1  0 . 020 )   0.025 - 0.020   26271981.0 9  A =  18 18  1 . 020   (1 . 025 )  (1 . 020 ) 

A =

26271981.0 9  0.005  1 . 020   1 . 559658718  1 . 428246248 26271981.0 9  0.005  A =  0 . 13141247  1 . 020 

A =

 

A = $ 980.000

La suma que debe deposita al iniciar cada mes es $ 980.000

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MATEMATICAS FINANCIERAS

3. GRADIENTE ARITMETICO DIFERIDO Se conoce como gradiente diferido aquella serie en la que el primer pago de la serie se hace varios períodos después de iniciada la operación financiera. El lapso de tiempo durante el cual no hay movimiento de efectivo se denomina período de gracia o tiempo muerto, y se identifica con ( r ) y el lapso de tiempo durante el cual se dan los movimientos de efectivo, se identifica con ( s ).

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DIFERIDO Este gradiente resulta de la suma del valor presentes de la serie uniforme más el valor presente de la serie variable

A  (1  i) s  1  K  (1  i) s  1 s  P=   r  s  r  s (1  i)  i(1  i)  i(1  i)  i(1  i) (1  i) s 

  (1  i) s  1   1 s  A ( 1  i)  1  K  s    (1  i) r (1  i) s i  i  





Dónde: Tasa periódica de interés = i Número total de meses = n Número de meses muertos = r Número de meses de movimientos de efectivo = s Valor primera cuota = A Cuota adicional constante = K EJEMPLO: Don Pedro solicita un préstamo hoy en el Banco Agrario y se compromete cancelar en 42 meses de la siguiente manera: le dan un lapso de tiempo durante el cual no hay movimiento de efectivo denominado período de gracia o tiempo muerto de 6 meses ( r ) con una tasa de interés del 2.5%; después de este lapso de tiempo empieza a cancelar el complemento de los meses 36 (s); además el valor de la primera cuota es de $250.000 y un gradiente de $75.000. Don Pedro necesita saber el valor del préstamo. Datos: Tasa periódica de interés i = 2.5% Número total de meses n = 42 Número de meses muertos r = 6 Número de meses de movimientos de efectivo s = 36 Valor primera cuota A = $250.000 Página 125 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Cuota adicional constante K = $75.000 Solución:

  (1  i)s  1  1 s P=  s  A (1  i)  1  K (1  i) r (1  i)s i  i  





  (1  0 .025 ) 36  1  1 36  2 50000 ( 1  0 . 025 )  1  75000  3 6    6 36 0.025 (1  0.025) (1  0 .025 ) 0 .025    36   (1 .025 )  1  1 36 P=  3 6    2 50000 (1 .025 )  1  75000  6 36 0.025 (1 .025) (1 .025 ) 0 .025   



P = 1 4.17939317



2 50000 1 . 432535316   75000 57 . 30141263

P = 1 4.17939317 358133 . 829  1597605 . 947 

 3 6 

P = $27.731.203.22

El préstamo que don Pedro adquirió el día de hoy es de $ 27.713.203,22

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DIFERIDO En algunas ocasiones cuando hay tiempo muerto tiene y una tasa de interés diferente a la tasa de interés en el número de meses de movimientos de efectivo; para este caso se debe utilizar la siguiente expresión:

(1  i )



1 r (1  i r ) i s (1  i s ) s s

 1  s   A  K   s i (1  i )  1 s s   

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MATEMATICAS FINANCIERAS Dónde: Número total de meses = n Tasa periódica de interés en tiempo muerto = ir Número de meses muertos = r Número de meses de movimientos de efectivo = s Tasa de interés en el tiempo de movimiento efectivo=is Valor primera cuota = A Cuota adicional constante = K EJEMPLO: Suponiendo que Don Pedro solicita un préstamo hoy en el Banco Agrario y se compromete cancelar en 42 meses de la siguiente manera: le dan un lapso de tiempo durante el cual no hay movimiento de efectivo denominado período de gracia o tiempo muerto 6 meses ( r ) a una tasa de interés de 1.5%; después de este lapso de tiempo empieza a cancelar el complemento que son 36 meses (s) en este periodo de tiempo la tasa de interés es de 2.5%; el valor de la primera cuota es de $250.000 y un gradiente aritmético diferido de $75.000. Don Pedro necesita saber el valor del préstamo. Datos: Número total de meses n = 42 Tasa periódica de interés en tiempo muerto ir = 1.5% Número de meses muertos r = 6 Número de meses de movimientos de efectivo s = 36 Tasa de interés en el tiempo de movimiento efectivo is = 2.5% Valor primera cuota A = $250.000 Cuota adicional constante K = $75.000 Solución: $2.950.000 $325.000 $250.000

ir =1.5%

***

iS =2.5%

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MATEMATICAS FINANCIERAS

P= P= P=

(1  i )



1 r (1  i r ) i s (1  i s ) s s

(1  0.025 )

 1  s  A  K    i (1  i ) s  1  s  s   36



1 (1  0.015) 0.025(1  0 .025 ) 36 6

(1 .025 )



1 (1 .015) 0.025(1 . 025 ) 36 6

  1  36     2 50000  7 5000  36  0.025 (1  0 .025 )  1   

  1  36     2 50000  7 5000  36  0.025 (1 . 025 )  1   

1 .432535316 250000  75000 40  25 .13027051  0 .070524879 1 .432535316 250000  1115229 .712  P= 0 .066495983 P = $ 29.411.397 ,33 Bajo las nuevas condiciones el préstamo que don Pedro adquirió el día de hoy es de $ 29.411.397,33 P=

VALOR DE LA PRIMERA CUOTA GRADIENTE ARITMÉTICO DIFERIDO  i (1  i s ) s  1  s A = P(1  i r ) r  s   K   s s  (1  i s )  1   i s (1  i s )  1  Dónde: Valor presente = P Número de periodos mensuales = n Tasa de interés en el tiempo muerto = ir Tasa de interés en el tiempo no muerto = is Número de periodos muertos = r Número de periodos no muertos = s Incremento constante mensual = K EJEMPLO: Don Carlos solicita un préstamo hoy en el Banco Agrario de $ 150.000.000 y se compromete cancelar en 36 meses de la siguiente manera: le dan un lapso de tiempo muerto de 6 meses a una tasa de interés del 2%; después de este tiempo de 30 meses empieza a cancelar de la siguiente manera: tasa de interés 2.5%; además el valor de un gradiente aritmético diferido de $500.000. Don Carlos necesita saber el valor de la primera cuota a cancelar. Datos: Valor presente P = $150.000.000 Numero de periodos mensuales n = 36 Tasa de interés en el tiempo muerto ir = 2% Página 128 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa de interés en el tiempo no muerto is = 2.5% Numero de periodos muertos r = 6 Numero de periodos no muertos s = 30 Incremento constante mensual K = $500.000 Solución: A+30*$500.000 A+1*$500.000 A+0*$500.000

***

iS =2.5%

ir = 2%

$150.000.000

 i (1  i s ) s  1  s A = P(1  i r ) r  s   K   s s  (1  i s )  1   i s (1  i s )  1   0.025(1  0 . 025 ) 30   1  30 A = 150000000( 1  0.02) 6     5 00000  30 30 (1  0 . 025 )  1   0.025  (1  0 . 025 )  1   0.025(1 . 025 ) 30   1  30 A = 150000000( 1.02) 6     5 00000  30 30 (1 . 025 )  1   0.025  (1 . 025 )  1 

A = 168924362. 9 0 . 04777764

  5 00000 40  27 .33316888 

A = 8 070807.397  6333415 . 56

A = $ 1.737.391,817

El valor de la primera cuota a cancelar es de $ 1.737.391,817

4. GRADIENTE GEOMÉTRICO DIFERIDO (GGD) Se tendrá un gradiente geométrico creciente diferido, si los flujos se presentan en períodos posteriores a la fecha de realizada la operación financiera

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MATEMATICAS FINANCIERAS

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO DIFERIDO





A ( G  1) s  (1  i) s ( G - i)(1  i) r (1  i) s

Dónde: Tasa periódica de interés = i Número de periodos mensuales = n Número de mensuales muertos = r Tiempo de movimiento de efectivo = s Valor de la primera cuota = A Tasa de interés en el movimiento efectivo = G EJEMPLO: A Tomas le hacen un préstamo y desea conocer el valor presente si se compromete bajo un gradiente geométrico diferido del 1%; si el valor de la primera cuota es de $ 1.200.000 pagaderos en un tiempo de 42 meses, la entidad financiera da un tiempo muerto de 6 meses y en los restantes 36 se incrementa en forma geométrica; la tasa periódica de interés es del 1.5% efectivo mensual. Datos: Tasa periódica de interés i = 1.5% Numero de periodos mensuales n = 42 Numero de mensuales muertos r = 6 Tiempo de movimiento de efectivo s = 36 Valor de la primera cuota A = $ 1.200.000 Tasa de interés en el movimiento efectivo G = 1% Solución:

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MATEMATICAS FINANCIERAS





A ( G  1) s  (1  i) s ( G - i)(1  i) r (1  i) s

1200000 ( 0 . 01  1) 36  (1  0 . 015 ) 36 6 36 ( 0.01 - 0.015)(1  0 . 015 ) (1  0 . 015 )

1200000 ( 0 . 01  1) 36  (1 . 015 ) 36 6 36 ( 0.01 - 0.015)(1 . 015 ) (1 . 015 )

1200000 1 . 430768784  1 . 709139538 ( 0.01 - 0.015)(1 . 015 ) 6 (1 . 015 ) 36



P = 1 28421419.9

1 . 430768784









 1 . 709139538



P = $35.748.767,49

El préstamo hoy de Tomas es de $ 35.748.767,49

VALOR DE LA PRIMERA CUOTA GRADIENTE ARITMÉTICO DIFERIDO

P(1  i) r ( G - i)(1  i) s A= ( G  1) s  (1  i) s Página 131 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Dónde: Tasa periódica de interés = i Número total de periodos = n Número de periodos muertos = r Número de periodos activos = s Gradiente geométricos = G Valor presente = P EJEMPLO: Anita solicita un préstamo en una entidad financiera por un valor de $ 35.748.768; la entidad financiera le propone cancelar las 42 cuotas según las condiciones siguientes: la da un tiempo muerto de 6 meses y los restantes 36 según un gradiente que se incrementa en forma geométrica con una tasa de interés de 1%. Anita desea conocer el valor de la primera cuota. Datos: Tasa periódica de interés i = 1.5% Número total de periodos n = 42 Numero de periodos muertos r = 6 Numero de periodos activos s = 36 Gradiente geométricos G = 1% Valor presente P = $35.748.768 Solución:

P(1  i) r ( G - i)(1  i) s A= ( G  1) s  (1  i) s Página 132 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS A=

35748768(1  0.015) 6 ( 0 . 01 - 0.015)(1  0 . 015 ) 36 ( 0 . 01  1) 36  (1  0 . 015 ) 36

35748768 (1 .015) 6 ( 0 . 01 - 0.015)(1 . 015 ) 36 (1 . 01 ) 36  (1 . 015 ) 36

35748768 (1 .015) 6 (  0 . 005 )(1 . 015 ) 36 (1 . 01 ) 36  (1 . 015 ) 36  334044 . 9097 A= 1 . 430768784  1 . 709139538  334044 . 9097 A=  0 . 278370754 A=

A = $ 1.200.000

El valor de la primera cuota que debe Anita es de $ 1.200.000. TALLER COMPLEMENTARIO 1. ¿Cuál será el valor hoy de una pensión de un trabajador que le pagaran durante su época de jubilación 24 pagos anuales iniciando en $2´000.000 y con incrementos del 10% anual? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 7% efectivo anual

2. ¿Cuál será el valor hoy de una pensión de un trabajador que le pagaran durante su época de jubilación 24 pagos anuales iniciando en $2´000.000 y con incrementos del 10% anual? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 10% efectivo mensual

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MATEMATICAS FINANCIERAS 3. ¿Cuál será el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con un pago de $3´000.000 e incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 3,5% efectivo semestral.

4. ¿Cuál será el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con un pago de $3´000.000 e incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 4% efectivo semestral

5. ¿Cuál será el valor de la prima de un seguro que pretende realizar pagos de forma indefinida, iniciando en $4´000.000 con incrementos mensuales del 1%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 1,5% efectivo mensual

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MATEMATICAS FINANCIERAS Ejercicios tomados del Grupo de Investigación GNÓSIS de la Universidad Libre sede Cartagena GRADIENTE GEOMETRICO CRECIENTE 6. Una obligación se está cancelando en 24 cuotas mensuales que aumentan un 10% cada mes. Si el valor de la primera cuota es $ 850.000 y se cobra una tasa de interés del 3% mensual, calcular: a) El valor de la obligación, b) El valor de la cuota 18. 7. Una persona desea comprar un apartamento que tiene un valor de $ 65.000.000, se le plantea el siguiente plan: 20% de cuota inicial, 24 cuotas que aumentan cada mes en el 1,5% mensual, y un abono extraordinario en el mes 18 por valor de $ 5.000.000, si la tasa de financiación es del 2,8 mensual, calcular el valor de la primera cuota. 8. Calcular el valor futuro equivalente a 18 pagos que aumentan cada mes en el 2% si se cobra una tasa del 3% mensual, siendo el primer pago de $ 2.500.000 9. Se hacen depósitos trimestrales que crecen en un 4% durante 3 años, en una institución financiera que paga el 7,5% trimestral, si se desea tener disponible $ 5.000.000, determinar el primer pago. GRADIENTE GEOMETRICO DECRECIENTE 10. Calcular el valor presente de 18 pagos semestrales que disminuyen cada semestre en el 2,5%, siendo el primer pago de $ 650.000. La tasa de Interés es del 24% NS. 11. Encuentre la cuota 12 del ejercicio anterior 12. Calcular el valor que se tendrá ahorrado en una institución financiera si se hacen 12 depósitos trimestrales que decrecen en un 4%, siendo el primer depósito de $ 3.200.000 y se devenga una tasa de interés del 6% trimestral. Encontrar la cuota 7. 13. Un préstamo de $ 20.000.000 se cancela con 15 cuotas mensuales que disminuyen en 1,8% cada mes, determinar el primer pago o cuota si la tasa de financiación es del 2% mensual. GRADIENTE ARITMETICO PERPETUO 14. Encontrar el valor presente de una serie de flujos de caja a perpetuidad que crecen en $ 10.000, si el primer flujo vale $ 200.000 y la tasa de interés es del 2,5%. 15. Actualmente las acciones de una empresa cuestan $ 10.000 y están pagando un dividendo mensual de $ 100. Por experiencia de los últimos 5 años se sabe que cada mes el valor del dividendo se viene incrementando en $ 1 y se espera mantener esta tendencia en el futuro. Calcular el costo de capital en estas condiciones.

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MATEMATICAS FINANCIERAS GRADIENTE GEOMETRICO PERPETUO 16. Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen en un 10%, si la tasa de interés es del 20% y el primer pago es $ 300.000. 17. El valor comercial de una acción de una empresa es actualmente de $ 8.000 y desea hacerse una nueva emisión de acciones, manteniendo la tendencia de aumentar los dividendos mensualmente, en un 1,5%. ¿Cuál será el costo de capital, si el dividendo actual es de $ 75 por mes y por acción?.

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MATEMATICAS FINANCIERAS

7. AMORTIZACIONES Una amortización financiera se define como el proceso por medio del cual se cancela una deuda, junto con sus respectivos intereses, mediante una serie de pagos en un tiempo determinado. En términos concretos, amortizar una deuda es pagarla con sus respectivos intereses. Por lo general, cada cuota de pago que amortiza una deuda tiene dos componentes: intereses y abono a capital. Al diseñar un plan de amortización de una deuda se acostumbra construir la tabla de amortización, que registra período a período la forma como se va pagando la deuda. Una tabla de amortización debe contener como mínimo 5 columnas: la primera muestra los períodos de pago, la segunda muestra el valor de la cuota periódica, la tercera el valor los intereses, la cuarta muestra el abono a capital y la quinta columna muestra el saldo de cada período. No

CUOTA (A)

INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

SALDO

0 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTALES

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MATEMATICAS FINANCIERAS

SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN Cuando se adquiere una obligación, su pago se pacta con una serie de condiciones mínimas que determina el comportamiento que debe asumir el deudor. Para que se pueda hablar de la existencia de un sistema de amortización, es necesario conocer cuatro datos básicos:  Valor de la deuda. P  Plazo durante el cual estará vigente la obligación n  Costo financiero que debe asumir el deudor en la cancelación de la deuda. Este costo financiero es la tasa de interés cobrada en la operación financiera i.  El patrón de pago del crédito. Se debe especificar la forma de pago de las cuotas A.

CLASES DE AMORTIZACIONES 1. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN CON PAGO UNICO DEL CAPITAL AL FINAL DEL PLAZO En este sistema, se pagan periódicamente los intereses y al final del plazo del crédito se devuelve el capital prestado. EJEMPLO. Una deuda de $20.000.000 se va a financiar a 6 meses a una tasa de interés del 2.5% mensual. Los pagos mensuales serán únicamente intereses y el capital se pagará al final del plazo del crédito. Construir la tabla de amortización. Datos: Valor presente P = $ 20.000.000 Tasa efectiva de Interés i = 2.5% Tiempo de financiación 6 meses Solución: Calcular el valor de los intereses mensuales. I = P*i I = 20.000.000*0.025 = 500.000 I = $ 500.000 Abono capital = cuota – interés; Cuota = abono a capital + interés

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MATEMATICAS FINANCIERAS AMORTIZACIÓN CON PAGO ÚNICO DEL CAPITAL AL FINAL DEL PLAZO No

20.000.000,00 CUOTA (A)

2,50% INTERESES ( I )

0 1 2 3 4 5 6

500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 $ 20.500.000,00

500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 $ 500.000,00

ABONO A CAPITAL (A – I)

SALDO

$ 20.000.000,00

20.000.000,00 20.000.000,00 20.000.000,00 20.000.000,00 20.000.000,00 0

2. SISTEMA DE CUOTA FIJA Este sistema, llamado también sistema de amortización simple o crédito plano, tiene la característica que los pagos son iguales y periódicos, o sea, que hace referencia a la anualidad o serie uniforme. En la vida práctica es el sistema más utilizado por los Bancos y casas comerciales para financiamiento de artículos de consumo, créditos bancarios y de vivienda. Tiene la particularidad que desde el pago de la primera cuota, el saldo de la deuda empieza a disminuir hasta llegar a cero, debido a que siempre el valor de la cuota sobre pasa el costo financiero. EJEMPLO. Un electrodoméstico que vale de contado $ 5.000.000 se financia de la siguiente forma: una cuota inicial (Ci) de $ 500.000 y el saldo en 6 cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés de financiación que se cobra es del 30% capitalizable mensualmente, calcular el valor de las cuotas y construir la tabla de amortización. Datos: Valor presente P = $5.000.000 Cuota inicial Ci = $500.000 Tasa de interés capitalizable mensualmente del 30% Numero de cuotas n = 6 Solución: i. = 0.30/12 = 0.025 = 2.5%

 i (1  i ) n  A = (P-Ci)   n  (1  i )  1 ) 6  =4.500.000  0 . 025 (1 . 025 ) 6  =  130465 . 55095  =$ 816.974,87 A=(5.000.000-500.000)  0 . 025 (1  0 . 025   (1 . 025 ) 6  1   0 . 159693418  6   (1  0 . 025 )  1    

A = Abono a capital + Intereses = $ 816.974,87 Página 139 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS TABLA: SISTEMA DE CUOTA FIJA 5.000.000,0 No 0 1 2 3 4 5 6

2,50% CUOTA (A) 500.000,00 816.974,87 816.974,87 816.974,87 816.974,87 816.974,87 816.974,87 $ 5.401.849,22

INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

112.500,00 94.888,13 76.835,96 58.332,49 39.366,43 19.926,22 $ 401.849,22

704.474,87 722.086,74 740.138,91 758.642,38 777.608,44 797.048,65 $ 4.500.000,00

SALDO 4.500.000,00 3.795.525,13 3.073.438,39 2.333.299,48 1.574.657,09 797.048,65 0,00

3. SISTEMA DE CUOTA FIJA CON CUOTAS EXTRAORDINARIAS Básicamente casi es el mismo sistema de amortización con cuota fija, pero con la diferencia de que en el plazo del crédito se hacen abonos adicionales al capital, para lograr disminuir el valor de las cuotas periódicas. EJEMPLO. Un vehículo que tiene un valor de contado $ 20.000.000 se piensa financiar de la siguiente forma: cuota inicial de $ 2.000.000 y el saldo en 12 cuotas mensuales iguales de $1.500.000 y 2 cuotas extraordinarias de 1.994.324.21 en los meses 6 y 12; construir la tabla de amortización. Datos: Valor de contado = $ 20.000.000 Cuota inicial Ci = $ 2.000.000 Numero de cuotas n = 12 Cuotas mensuales A = $1.500.000 Cuotas extraordinarias = 2 CUOTA FIJA CON CUOTAS EXTRAORDINARIAS 20.000.000,0 No

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3,00% CUOTA (A)

2.000.000,00 1.500.000 1.500.000 1.500.000 1.500.000 1.500.000 3.494.324 1.500.000 1.500.000 1.500.000 1.500.000 1.500.000 3.494.324 23.988.648

1.994.324 INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

540.000 511.200 481.536 450.982 419.512 387.097 293.880 257.696 220.427 182.040 142.501 101.776 3.988.648

960.000 988.800 1.018.464 1.049.018 1.080.488 3.107.227 1.206.120 1.242.304 1.279.573 1.317.960 1.357.499 3.392.548 18.000.000,0

SALDO

18.000.000,00 17.040.000 16.051.200 15.032.736 13.983.718 12.903.230 9.796.002 8.589.882 7.347.579 6.068.006 4.750.046 3.392.548 0 Página 140 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS

4. SISTEMA DE CUOTA FIJA CON PERIODO DE GRACIA El período de gracia o tiempo muerto es un período en el cual no hay amortización de capital, pero si hay causación de intereses. Si los intereses se pagan periódicamente, el capital inicial permanece constante y sobre éste mismo se calculan las cuotas. Si los intereses causados no se pagan, estos se capitalizan y la deuda habrá aumentado al final del período de gracia y sobre este nuevo capital se calculan las cuotas de amortización. EJEMPLO. Una deuda de $ 20.000.000 se va a cancelar con 4 pagos trimestrales iguales, a una tasa del 9% trimestral, con un período de gracia de 6 meses. Calcular el valor de las cuotas trimestrales y construir la tabla de amortización, suponiendo: Datos: Valor presente P = $ 20.000.000 Numero de cuotas trimestrales n = 4 Tasa de interés i = 9% Periodo de gracia = 6 Solución: 4.1 Durante el período de gracia los intereses causados se pagan periódicamente. En este caso, cada trimestre se debe pagar los intereses causados por la obligación inicial a la tasa de interés pactada. Como los intereses se pagan, el capital inicial no cambia. I = P.i I = 20.000.000*0.09 = 1.800.000 I = $ 1.800.000 trimestral

 i (1  i ) n  A = P  n  (1  i )  1 4 4 A = 20.000.000  0 . 09 (1  0 .409 )  = 20.000.000  0 . 09 (1 .409 )  =  2 . 540 . 846 . 90  = 6.173.373.24

 (1  0 . 09 )  1 

A = $ 6.173.373.24

 (1 . 09 )  1 

 0 . 411581609 

SISTEMA DE CUOTA FIJA CON PERIODO DE GRACIA 20.000.000,0 No 0 1 2

9,00% CUOTA (A) 1.800.000,00 1.800.000,00

INTERESES ( I ) 1.800.000,00 1.800.000,00

ABONO A CAPITAL (A – I)

SALDO

20.000.000,00 20.000.000,00 20.000.000,00 Página 141 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS 3 4 5 6

6.173.373,24 6.173.373,24 6.173.373,24 6.173.373,24 $ 28.293.492,96

1.800.000,00 1.406.396,41 977.368,49 509.728,07 $ 8.293.492,97

4.373.373,24 4.766.976,83 5.196.004,75 5.663.645,17 $19.999.999,99

15.626.626,76 10.859.649,93 5.663.645,18 0,01

4.2 Los intereses causados durante el período de gracia se capitalizan. Este caso despierta confusión entre los usuarios de un préstamo, porque al no hacer el pago periódico de cuotas durante el período de gracia creen que siempre están debiendo el capital inicial. En verdad, al no pagar los intereses durante el período de gracia, estos se capitalizan aumentando nominalmente el valor del préstamo sobre el cual se hará el cálculo de las cuotas periódicas. En este caso los intereses causados durante el período de gracia se capitalizan de tal forma que, al final del mes 6 el capital inicial se ha transformado en: Construimos la tabla de amortización. 20.000.000,0 No 0 1 2 3 4 5 6

9,00% CUOTA (A)

INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

7.334.584,75 7.334.584,75 7.334.584,75 7.334.584,75 $ 29.338.339,00

1.800.000,00 1.962.000,00 2.138.580,00 1.670.939,57 1.161.211,51 605.607,91 $ 9.338.338,99

1.800.000,00 1.962.000,00 5.196.004,75 5.663.645,18 6.173.373,24 6.728.976,84 $ 20.000.000,01

SALDO 20.000.000,00 21.800.000,00 23.762.000,00 18.565.995,25 12.902.350,07 6.728.976,83 -0,01

F = P(1 + i)n F = 20.000.000 *(1 + 0.09)2 F = $ 23.762.000 Con este nuevo capital calculamos el valor de cada una de las cuotas trimestrales.

 i (1  i ) n   0 . 09 (1  . 0 . 09 ) 4  = $ 7.334.584.75 A = P  = 23.762.000  n  4  (1  i )  1  (1  0 . 09 )  1  A = $ 7.334.584.75

5. SISTEMA DE ABONO CONSTANTE A CAPITAL Este es uno de los sistemas de amortización utilizados por los bancos para sus créditos ordinarios y de consumo, como también para la amortización de los créditos de vivienda. Aunque los intereses pueden ser cobrados en forma vencida o anticipada, la amortización al capital es constante, es decir, cada período se Página 142 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS abona al capital una cantidad constante igual al monto del préstamo dividido entre el número de períodos de pago. En el siguiente EJEMPLO se analizará los intereses en forma vencida y en forma anticipada. 5.1 Con intereses vencidos EJEMPLO. El Banco Ganadero concede un crédito por valor de $ 100.000.000 a una tasa de interés del 36% trimestre vencido, con un plazo de 1 año. La restitución del capital se hará en 4 cuotas trimestrales iguales. Calcular el valor de las cuotas y construir la tabla de amortización. Datos: Valor presente P = $ 100.000.000 Tasa de interés trimestre vencido i = 36% Plazo de = 1 año Numero de cuotas trimestrales n = 4 Solución: Calculamos las 4 cuotas, mediante la siguiente ecuación con intereses vencidos: Ck =

P  P*i n

 K  1 1  n  , Dónde: Ck = valor de cada una de las cuotas para: k = 1,2,3,4,…

La primera cuota: C1 = 100 . 000 . 000  100 . 000 . 000 * 0 . 09 1  1  1  ,   4



4 

C1 = 25.000.000 + 9.000.000 = 34.000.000 La segunda cuota: C2 = 100 . 000 . 000  100 . 000 . 000 * 0 . 09 1  2  1  ,   4



4 

C2 = 25.000.000 + 6.750.000 = 31.750.000 CON INTERESES VENCIDOS 100.000.000,0

9,00%

No 0 1 2 3 4

CUOTA (A)

INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

34.000.000,00 31.750.000,00 29.500.000,00 27.250.000,00 $ 122.500.000,00

9.000.000,00 6.750.000,00 4.500.000,00 2.250.000,00 $ 22.500.000,00

25.000.000,00 25.000.000,00 25.000.000,00 25.000.000,00 $ 100.000.000,00

SALDO 100.000.000,00 75.000.000,00 50.000.000,00 25.000.000,00 Página 143 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS La tercera cuota: C3 = 100 . 000 . 000  100 . 000 . 000 * 0 . 09 1  3  1  ,   4



C3 = 25.000.000 + 4.500.000 = 29.500.000

4 

La cuarta cuota: C4 = 100 . 000 . 000  100 . 000 . 000 * 0 . 09 1  4  1  ,   4



C4 = 25.000.000 + 2.250.000 = 27.250.000



5.2 Con intereses anticipados Este es el caso utilizado con mayor frecuencia por los bancos para amortizar los créditos a corto plazo. La amortización del capital se hace con cuotas constantes pagaderas al final del período, pero los intereses son cobrados en forma anticipada. EJEMPLO. Con los datos del EJEMPLO anterior, calcular el valor de las cuotas, valor de intereses y construir la tabla de amortización, pero asumiendo una tasa del 36% trimestre anticipado. Dividimos la tasa nominal: i. = j/m = 0.36/4 = 0.09 = 9% En el momento de hacer el desembolso del préstamo, momento 0, se cobran los intereses, cuyo valor es: I = P.i = 100.000.000*0.09 = $ 9.000.000 Luego calculamos las 4 cuotas mediante la siguiente ecuación: Ck =

P  P*i n

 K 1  n  ,

Dónde: Ck = valor de cada una de las cuotas para cada valor de k = 1,2,3,4,… La primera cuota: C1 = 100 . 000 . 000  100 . 000 . 000 * 0 . 09 4

1  1  4 

2  1  4 

C1 = 25.000.000 + 6.750.000 = 31.750.000 La segunda cuota: C2 = 100 . 000 . 000  100 . 000 . 000 * 0 . 09 4

C2 = 25.000.000 + 4.500.000 = 29.500.000

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MATEMATICAS FINANCIERAS La tercera cuota: C3 =

3 100 . 000 . 000   100 . 000 . 000 * 0 . 09 1   4 4 

C3 = 25.000.000 + 2.250.000 = 27.250.000 La cuarta cuota: C4 = 100 . 000 . 000  100 . 000 . 000 * 0 . 09 4

C4 = 25.000.000 + 0 = 25.000.000

4  1  4 

La tabla de amortización será: CON INTERESES ANTICIPADOS 100.000.000,0 No 0 1 2 3 4

9,00% CUOTA (A)

31.750.000,00 29.500.000,00 27.250.000,00 25.000.000,00 $ 113.500.000,00

INTERESES ( I ) 9.000.000,00 6.750.000,00 4.500.000,00 2.250.000,00 $ 13.500.000,00

ABONO A CAPITAL (A – I) 25.000.000,00 25.000.000,00 25.000.000,00 25.000.000,00 $ 100.000.000,00

SALDO 100.000.000,00 75.000.000,00 50.000.000,00 25.000.000,00 -

CUOTAS FIJA MES ANTICIPADO EJEMPLO. Se obtiene una obligación de $ 212.491.72 y pacta cancelar con 18 cuotas iguales de $ 15.000 cada una por mes anticipado, construir la tabla de amortización correspondiente. SISTEMA DE CUOTA FIJA MES ANTICIPADO 212.491,78 No 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

3,00% CUOTA (A) 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00

INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

5.924,75 5.652,50 5.372,07 5.083,23 4.785,73 4.479,30 4.163,68 3.838,59 3.503,75 3.158,86 2.803,63 2.437,74 2.060,87 1.672,69

9.075,25 9.347,50 9.627,93 9.916,77 10.214,27 10.520,70 10.836,32 11.161,41 11.496,25 11.841,14 12.196,37 12.562,26 12.939,13 13.327,31

SALDO 197.491,78 188.416,53 179.069,03 169.441,10 159.524,33 149.310,06 138.789,37 127.953,05 116.791,64 105.295,39 93.454,25 81.257,88 68.695,61 55.756,48 42.429,17 Página 145 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS 15 16 17

15.000,00 15.000,00 15.000,00 $ 270.000,00

1.272,88 861,06 436,89 $ 57.508,22

13.727,12 14.138,94 14.563,11 $ 197.491,78

28.702,05 14.563,11 0,00

6. SISTEMA DE CUOTA FIJA CON INTERÉS GLOBAL Este sistema de pagos consiste en abonar una porción al capital, los intereses se siguen cobrando sobre el capital prestado inicialmente. Lo importante es diseñar la tabla de amortización para observar el comportamiento del crédito. EJEMPLO. Se propone prestar $ 10.000.000 para cancelar por medio de 4 cuotas trimestrales iguales con interés global del 6% trimestral. Calcular el valor de las cuotas y diseñar la tabla de amortización. Datos: Valor presente P = $ 10.000.000 Numero de cuotas trimestrales n = 4 Tasa de interés global i = 6% Solución: A

P  P*i = 10 . 000 . 000  10 . 000 . 000 * 0 . 06 = $ 3.100.000 n 4

SISTEMA DE CUOTA FIJA (CON INTERÉS GLOBAL) 10.000.000,0 No 0 1 2 3 4

6,00% CUOTA (A)

INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

3.100.000,00 3.100.000,00 3.100.000,00 3.100.000,00 $ 12.400.000,00

600.000,00 600.000,00 600.000,00 600.000,00 $ 2.400.000,00

2.500.000,00 2.500.000,00 2.500.000,00 2.500.000,00 $ 10.000.000,00

SALDO 10.000.000,00 7.500.000,00 5.000.000,00 2.500.000,00 -

EJEMPLO. Se compró un vehículo con una cuota inicial de $ 1.000.000 y 12 cuotas mensuales iguales de $ 200.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor de vehículo y la tabla de amortización correspondiente.(PAG 210 E5.2) Datos: Cuota inicial Ci = $ 1.000.000 Numero de cuotas mensuales n =12 Valor de las cuotas mensuales A = $ 200.000 Tasa de interés mensual i = 2.5% Página 146 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Solución:  (1  i ) n  1   P  Ci  A  n  i (1  i )   (1  0 . 025 ) 12  1 P  1 . 000 . 000  200 . 000  12  0 . 025 (1  0 . 025 )

 = 3.051.552.92  

TABLA DE AMORTIZACION 3.051.552,92 No 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2,50% CUOTA (A) 1.000.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 $ 3.400.000,00

INTERESES ( I ) 51.288,82 47.571,04 43.760,32 39.854,33 35.850,69 31.746,95 27.540,63 23.229,14 18.809,87 14.280,12 9.637,12 4.878,05 $ 348.447,08

ABONO A CAPITAL (A – I) 148.711,18 152.428,96 156.239,68 160.145,67 164.149,31 168.253,05 172.459,37 176.770,86 181.190,13 185.719,88 190.362,88 195.121,95 $ 2.051.552,92

SALDO 2.051.552,92 1.902.841,74 1.750.412,79 1.594.173,11 1.434.027,43 1.269.878,12 1.101.625,07 929.165,70 752.394,84 571.204,71 385.484,83 195.121,95 0,00

EJEMPLO. Se compra un artículo con una cuota inicial de$ 3.387.108,42 y 24 cuotas mensuales de $ 800.000. La tasa de interés de financiación es del 3% mensual. Calcular el valor del artículo y la tabla de amortización correspondiente (PAG 214 E5.3) Datos: Cuota inicial Ci = $3.387.108,42 Numero de cuotas n = 24 Cotas mensuales A = $ 800.000 La tasa de interés de financiación i = 3% Solución:  (1  i ) n  1   P  Ci  A  n  i (1  i )   (1  0 . 03 ) 24  1 P  3 . 387 . 108 . 42  800 . 000  24  0 . 03 (1  0 . 03 )

 = 16.935.542,12  

Página 147 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS TABLA DE AMORTIZACION 16.935.542,12 No 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

3,00% CUOTA (A) 3.387.108,42 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 800.000,00 $ 22.587.108,42

INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

406.453,01 394.646,60 382.486,00 369.960,58 357.059,40 343.771,18 330.084,31 315.986,84 301.466,45 286.510,44 271.105,76 255.238,93 238.896,10 222.062,98 204.724,87 186.866,61 168.472,61 149.526,79 130.012,59 109.912,97 89.210,36 67.886,67 45.923,27 23.300,97 $ 5.651.566,30

393.546,99 405.353,40 417.514,00 430.039,42 442.940,60 456.228,82 469.915,69 484.013,16 498.533,55 513.489,56 528.894,24 544.761,07 561.103,90 577.937,02 595.275,13 613.133,39 631.527,39 650.473,21 669.987,41 690.087,03 710.789,64 732.113,33 754.076,73 776.699,03 $ 13.548.433,70

SALDO 13.548.433,70 13.154.886,71 12.749.533,31 12.332.019,31 11.901.979,89 11.459.039,29 11.002.810,46 10.532.894,78 10.048.881,62 9.550.348,07 9.036.858,51 8.507.964,27 7.963.203,19 7.402.099,29 6.824.162,27 6.228.887,14 5.615.753,75 4.984.226,36 4.333.753,16 3.663.765,75 2.973.678,72 2.262.889,08 1.530.775,76 776.699,03 -0,00

EJEMPLO. Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 12 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y la tabla de amortización. (PAG 217 E5.5) Datos: Valor del terreno = $20.000.000 Cuota inicial Ci = 10% Valor presente P = $18.000.000 Tasa de interés mensual i = 2% Solución:  i (1  i ) n   A  P  n  (1  i )  1 

Página 148 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS  0 . 02 (1  0 . 02 ) 12 A  18 . 000 . 000  12  (1  0 . 02 )  1

 = 1.702.072,74  

TABLA DE AMORTIZACION 20.000.000,0 No 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2,00% CUOTA (A) 2.000.000,00 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 22.424.872,87

INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

360.000,00 333.158,55 305.780,26 277.854,41 249.370,05 220.315,99 190.680,86 160.453,02 129.620,62 98.171,58 66.093,56 33.373,98 2.424.872,87

1.342.072,74 1.368.914,19 1.396.292,48 1.424.218,33 1.452.702,69 1.481.756,75 1.511.391,88 1.541.619,72 1.572.452,11 1.603.901,16 1.635.979,18 1.668.698,76 18.000.000,00

SALDO 18.000.000,00 16.657.927,26 15.289.013,07 13.892.720,59 12.468.502,26 11.015.799,57 9.534.042,82 8.022.650,94 6.481.031,22 4.908.579,10 3.304.677,94 1.668.698,76 -0,00

EJEMPLO. Se tiene un crédito de $5.000.000 para pagarlo en 18 cuotas mensuales de $ 50.000 más dos cuotas extras de $ 2.802.277,50 pagaderos en los meses 6 y 12. Si la operación financiera se realiza con un interés del 3% mensual, construir la tabla de amortización. (PAG 219 E5.6) Datos: Valor presente P = $5.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 18 Valor de la cuota mensual A = $ 50.000 Dos cuotas extras de = $ 2.802.277,50 en los mese 6 y 12 Tasa de interés mensual i = 3% Solución: TABLA DE AMORTIZACION 5.000.000,0 No 0 1 2 3 4 5 6 7 8

3,00% CUOTA (A)

2.802.277,50 INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 2.852.277,50 50.000,00 50.000,00

150.000,00 153.000,00 156.090,00 159.272,70 162.550,88 165.927,41 85.336,90 86.397,01

100.000,00 103.000,00 106.090,00 109.272,70 112.550,88 2.686.350,09 35.336,90 36.397,01

SALDO 5.000.000,00 5.100.000,00 5.203.000,00 5.309.090,00 5.418.362,70 5.530.913,58 2.844.563,49 2.879.900,39 2.916.297,41 Página 149 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

50.000,00 50.000,00 50.000,00 2.852.277,50 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 6.204.555,00

87.488,92 88.613,59 89.772,00 90.965,16 8.125,79 6.869,56 5.575,65 4.242,92 2.870,20 1.456,31 1.475.414,57

37.488,92 38.613,59 39.772,00 2.761.312,34 41.874,21 43.130,44 44.424,35 45.757,08 47.129,80 48.543,69 4.729.140,43

2.953.786,33 2.992.399,92 3.032.171,91 270.859,57 228.985,36 185.854,92 141.430,57 95.673,48 48.543,69 0,00

EJEMPLO. Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% de la cuota inicial y 12 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y el valor total pagado. Datos: Valor del terreno = $20.000.000 Cuota inicial Ci = 10% costo del terreno Numero de cuotas mensuales n = 12 Tasa de interés i = 2% Solución: Valor a financiar = $ 20.000.000 - $ 2.000.000 = $ 18.000.000 n 12 A = P  i (1  ni )  = 18.000.000  0 . 02 (1  . 0 .1202 )  = $ 1.702.072.74

 (1  i )  1 

 (1  0 . 02 )

1 

A = $ 1.702.072.74 valor de la cuota mensual. Total a pagar=A*12+2.000.000=1.702.072.74*12+2.000.000=20.424.872.88+2.000.000= $22.424.872.88 Total a pagar = $ 22.424.872.88 PAGINA ANUAMORTIZA 1 UN LOTE DE TERRENO 20.000.000,0 No 0 1 2 3 4 5 6 7

2,00% CUOTA (A) 2.000.000,00 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74

1.702.072,74 INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

360.000,00 333.158,55 305.780,26 277.854,41 249.370,05 220.315,99 190.680,86

1.342.072,74 1.368.914,19 1.396.292,48 1.424.218,33 1.452.702,69 1.481.756,75 1.511.391,88

SALDO 18.000.000,00 16.657.927,26 15.289.013,07 13.892.720,59 12.468.502,26 11.015.799,57 9.534.042,82 8.022.650,94 Página 150 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS 8 9 10 11 12 TOTAL

1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 1.702.072,74 22.424.872,87

160.453,02 129.620,62 98.171,58 66.093,56 33.373,98 2.424.872,87

1.541.619,72 1.572.452,11 1.603.901,16 1.635.979,18 1.668.698,76 20.000.000,00

6.481.031,22 4.908.579,10 3.304.677,94 1.668.698,76 0,00

EJEMPLO. Se compró un vehículo con una cuota inicial de $1.000.000 y 60 cuotas mensuales iguales $500.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo. Datos: Cuota inicial Ci = $1.000.000 Numero cuotas mensuales n = 60 Valor de la cuota mensual A = $500.000 Tasa de interés mensual 2.5% Solución:





 1  i) n  1  = P = A  n  i (1  i )   1  0 . 025 ) 60  1  =  500 . 000  60   0 . 025 (1  0 . 025 )   3 . 399789748   =  500 . 000    0 . 025 ( 4 . 399789748 ) 





P = $ 15.454.328.24 Valor del vehículo = $15.454.328.24 + $ 1.000.000 = $ 16.454.328.24 PAGINA ANUAMORTIZA 2 COMPRÓ VEHICULO 16.454.328,24 No 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2,50% CUOTA (A) 1.000.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00

INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

386.358,21 383.517,16 380.605,09 377.620,22 374.560,72 371.424,74 368.210,36 364.915,62 361.538,51 358.076,97 354.528,90 350.892,12 347.164,42 343.343,53

113.641,79 116.482,84 119.394,91 122.379,78 125.439,28 128.575,26 131.789,64 135.084,38 138.461,49 141.923,03 145.471,10 149.107,88 152.835,58 156.656,47

SALDO 15.454.328,24 15.340.686,45 15.224.203,61 15.104.808,70 14.982.428,92 14.856.989,64 14.728.414,38 14.596.624,74 14.461.540,36 14.323.078,87 14.181.155,84 14.035.684,74 13.886.576,85 13.733.741,28 13.577.084,81 Página 151 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 TOTAL

500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 500.000,00 31.000.000,00

339.427,12 335.412,80 331.298,12 327.080,57 322.757,59 318.326,53 313.784,69 309.129,31 304.357,54 299.466,48 294.453,14 289.314,47 284.047,33 278.648,51 273.114,72 267.442,59 261.628,66 255.669,37 249.561,11 243.300,14 236.882,64 230.304,71 223.562,32 216.651,38 209.567,67 202.306,86 194.864,53 187.236,14 179.417,05 171.402,47 163.187,53 154.767,22 146.136,40 137.289,81 128.222,06 118.927,61 109.400,80 99.635,82 89.626,71 79.367,38 68.851,57 58.072,86 47.024,68 35.700,29 24.092,80 12.195,12 14.545.671,76

160.572,88 164.587,20 168.701,88 172.919,43 177.242,41 181.673,47 186.215,31 190.870,69 195.642,46 200.533,52 205.546,86 210.685,53 215.952,67 221.351,49 226.885,28 232.557,41 238.371,34 244.330,63 250.438,89 256.699,86 263.117,36 269.695,29 276.437,68 283.348,62 290.432,33 297.693,14 305.135,47 312.763,86 320.582,95 328.597,53 336.812,47 345.232,78 353.863,60 362.710,19 371.777,94 381.072,39 390.599,20 400.364,18 410.373,29 420.632,62 431.148,43 441.927,14 452.975,32 464.299,71 475.907,20 487.804,88 15.454.328,24

13.416.511,93 13.251.924,73 13.083.222,84 12.910.303,42 12.733.061,00 12.551.387,53 12.365.172,21 12.174.301,52 11.978.659,06 11.778.125,53 11.572.578,67 11.361.893,14 11.145.940,47 10.924.588,98 10.697.703,70 10.465.146,30 10.226.774,95 9.982.444,33 9.732.005,44 9.475.305,57 9.212.188,21 8.942.492,92 8.666.055,24 8.382.706,62 8.092.274,29 7.794.581,14 7.489.445,67 7.176.681,81 6.856.098,86 6.527.501,33 6.190.688,86 5.845.456,08 5.491.592,49 5.128.882,30 4.757.104,36 4.376.031,97 3.985.432,76 3.585.068,58 3.174.695,30 2.754.062,68 2.322.914,25 1.880.987,10 1.428.011,78 963.712,08 487.804,88 0,00

Pรกgina 152 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS EJEMPLO. Catalina deposita $ 400.000 cada fin de mes, durante 2 años, en una entidad financiera que paga una tasa de interés del 4% mensual. Cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo? Datos: Cuota mensual A = $ 400.000 Numero de cuotas mensuales n = 24 Tasa de interés mensual i = 4% Solución:  (1 .563304165 )  $ 15.633041.65  (1  i ) n  1   (1  0 . 04 ) 24  1  F = A  = 400.000   = 400.000  = 0 .04 i 0 . 04      

F = $ 15.633041.65 PAGINA ANUAMORTIZA 3 CATALINA No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 TOTAL

4,00% CUOTA 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 400.000,00 9.600.000,00

INTERES

DEPOSITO+INTERESES

16.000,00 32.640,00 49.945,60 67.943,42 86.661,16 106.127,61 126.372,71 147.427,62 169.324,72 192.097,71 215.781,62 240.412,89 266.029,40 292.670,58 320.377,40 349.192,50 379.160,20 410.326,61 442.739,67 476.449,26 511.507,23 547.967,52 585.886,22 6.033.041,65

416.000,00 432.640,00 449.945,60 467.943,42 486.661,16 506.127,61 526.372,71 547.427,62 569.324,72 592.097,71 615.781,62 640.412,89 666.029,40 692.670,58 720.377,40 749.192,50 779.160,20 810.326,61 842.739,67 876.449,26 911.507,23 947.967,52 985.886,22 15.233.041,65

SALDO 400.000,00 816.000,00 1.248.640,00 1.698.585,60 2.166.529,02 2.653.190,18 3.159.317,79 3.685.690,50 4.233.118,12 4.802.442,85 5.394.540,56 6.010.322,19 6.650.735,07 7.316.764,48 8.009.435,06 8.729.812,46 9.479.004,96 10.258.165,15 11.068.491,76 11.911.231,43 12.787.680,69 13.699.187,92 14.647.155,43 15.633.041,65

Página 153 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS EJEMPLO. Dayana desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes, durante dos años, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 10% mensual para reunir la suma de $17.000.000? Datos: Valor futuro F = $17.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 24 Tasa de interés mensual i = 10% Solución:   i A = F  = 17 . 000 . 000 n  (1  i )  1 

A = $192.096.20

  0 .1   0 .1   = 17 . 000 . 000  (8 . 849732676 )  24    (1  0 . 1)  1 

PAGINA ANUAMORTIZA 4 DAYANA No 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 TOTAL

10,00% CUOTA

INTERES

DEPOSITO+INTERESES

192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 192.096,20 4.610.308,75

19.209,62 40.340,20 63.583,84 89.151,85 117.276,65 148.213,93 182.244,95 219.679,06 260.856,59 306.151,87 355.976,67 410.783,96 471.071,98 537.388,79 610.337,29 690.580,64 778.848,33 875.942,78 982.746,68 1.100.230,96 1.229.463,68 1.371.619,67 1.527.991,25 12.389.691,25

211.305,82 232.436,40 255.680,04 281.248,04 309.372,85 340.310,13 374.341,15 411.775,26 452.952,79 498.248,07 548.072,87 602.880,16 663.168,17 729.484,99 802.433,49 882.676,84 970.944,52 1.068.038,98 1.174.842,87 1.292.327,16 1.421.559,88 1.563.715,87 1.720.087,45 17.000.000,00

SALDO 192.096,20 403.402,02 635.838,42 891.518,45 1.172.766,50 1.482.139,35 1.822.449,48 2.196.790,62 2.608.565,88 3.061.518,67 3.559.766,74 4.107.839,61 4.710.719,77 5.373.887,94 6.103.372,93 6.905.806,42 7.788.483,26 8.759.427,79 9.827.466,77 11.002.309,64 12.294.636,80 13.716.196,68 15.279.912,55 17.000.000,00

Página 154 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS EJEMPLO. Cuántos depósitos mensuales vencidos de $560.000 se deben hacer en una institución financiera que paga el 12% mensual, para tener un valor acumulado de $ 15.000.000 Datos: Valor de la cuota mensual A = $560.000 Tasa de interés mensual i = 12% Valor futuro F = $ 15.000.000 Solución: n.= Log ( F* i  A )  LogA = Log (15 .000 .000 * 0 .12  560 .000 )  Log 560 .000 = Log (1  i )

Log (1  0 . 12 )

n.= Log ( 2 .360 .000 )  Log 560 .000 = 6 . 372912003  5 . 748188027 = 0 . 624723975 =12.69299216 Log (1 . 12 )

0 . 049218022

n. = 12.69299216 pagos mensuales. PAGINA ANUAMORTIZA 5 n DEPOSITOS No 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 TOTAL

12,00% CUOTA

560.000,00 560.000,00 560.000,00 560.000,00 560.000,00 560.000,00 560.000,00 560.000,00 560.000,00 560.000,00 560.000,00 560.000,00 560.000,00 560.000,00 560.000,00 560.000,00 560.000,00 560.000,00

INTERES

67.200,00 142.464,00 226.759,68 321.170,84 426.911,34 545.340,70 677.981,59 826.539,38 992.924,10 1.179.275,00 1.387.988,00 1.621.746,56 1.883.556,14 2.176.782,88 2.505.196,83 2.873.020,44 3.284.982,90

DEPOSITO+INTERES

SALDO

627.200,00 702.464,00 786.759,68 881.170,84 986.911,34 1.105.340,70 1.237.981,59 1.386.539,38 1.552.924,10 1.739.275,00 1.947.988,00 2.181.746,56 2.443.556,14 2.736.782,88 3.065.196,83 3.433.020,44 3.844.982,90

560.000,00 1.187.200,00 1.889.664,00 2.676.423,68 3.557.594,52 4.544.505,86 5.649.846,57 6.887.828,16 8.274.367,53 9.827.291,64 11.566.566,64 13.514.554,63 15.696.301,19 18.139.857,33 20.876.640,21 23.941.837,04 27.374.857,48 31.219.840,38

EJEMPLO. Al comprar una lavadora sin cuota inicial queda debiendo $ 5.000.000 que se los financian a una tasa de interés del 4% mensual por medio de 4 cuotas mensuales iguales. Se desea calcular el valor de cada pago con interés global. Página 155 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Datos: Valor presente P = $ 5.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 4 Tasa de interés mensual i = 4% Solución:

P  P*i = 5 . 000 . 000  5 . 000 . 000 * 0 . 04 = 1.250.000 + 200.000 = 1.450.000 n 4 A= $ 1.450.000 cada cuota Valor total a pagar = 4*1.1450.000= $ 5.800.000 A=

PAGINA ANUAMORTIZA 6 INTERES GLOBAL LAVADORA 5.000.000,00 No 0 1 2 3 4 TOTAL

4,00% CUOTA (A)

INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

1.450.000,00 1.450.000,00 1.450.000,00 1.450.000,00 5.800.000,00

200.000,00 200.000,00 200.000,00 200.000,00 800.000,00

1.250.000,00 1.250.000,00 1.250.000,00 1.250.000,00 5.000.000,00

SALDO 5.000.000,00 3.750.000,00 2.500.000,00 1.250.000,00 -

EJEMPLO. Se tiene una obligación que en un momento se había pactado cancelar con 18 cuotas iguales de $15.000 cada mes una por cada mes por anticipado. Se decide, a última hora, cancelar de contado. Si la tasa de interés acordado es del 3% mensual, hallar este valor. Datos: Numero de cuotas mensuales n = 18 Valor de la cuota mensual A = $15.000 Tasa de interés mensual i = 3% Solución:  (1  i ) n  1  =  (1  0 . 03 ) 18  1   P  A (1  i )  15 . 000 ( 1  0 . 03 ) n 18   i (1  i )   0 . 03 (1  0 . 03 )

P = $ 212.449.78

 = 212.449.78  

PAGINA ANUAMORTIZA ANTICIPADOS UNA OBLIGACIÓN 212.491,78 No 0 1 2 3

3,00% CUOTA (A) 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00

INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

5.924,75 5.652,50 5.372,07

9.075,25 9.347,50 9.627,93

SALDO 197.491,78 188.416,53 179.069,03 169.441,10 Página 156 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 TOTAL

15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00 15.000,00

5.083,23 4.785,73 4.479,30 4.163,68 3.838,59 3.503,75 3.158,86 2.803,63 2.437,74 2.060,87 1.672,69 1.272,88 861,06 436,89

9.916,77 10.214,27 10.520,70 10.836,32 11.161,41 11.496,25 11.841,14 12.196,37 12.562,26 12.939,13 13.327,31 13.727,12 14.138,94 14.563,11

270.000,00

57.508,22

197.491,78

159.524,33 149.310,06 138.789,36 127.953,04 116.791,63 105.295,38 93.454,24 81.257,87 68.695,61 55.756,48 42.429,17 28.702,05 14.563,11 -

EJEMPLO. Se recibe un préstamo de $ 10.000.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 4% de interés mensual, calcular el valor de las cuotas. Datos: Valor presente P = $ 10.000.000 Numero de cuotas mensuales n = 12 Tasa de interés mensual i = 4% Solución: A

P  (1  i )  1   (1  i )  n  i (1  i )  n

A= $ 1.024.540.12

10 .000 .000  (1  0 .04 ) 12  1 (1  0 .04 )  12  0 .04 (1  0 .04 )

  

= 1.024.540.12

PAGINA ANUAMORTIZA ANTICIPADOS RECIBE UN PRÉSTAMO 10.000.000,00 No 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4,00% CUOTA (A) 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12 1.024.540,12

INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

359.018,40 332.397,53 304.711,82 275.918,69 245.973,83 214.831,18 182.442,82 148.758,93 113.727,68

665.521,73 692.142,60 719.828,30 748.621,43 778.566,29 809.708,94 842.097,30 875.781,19 910.812,44

SALDO 8.975.459,88 8.309.938,15 7.617.795,56 6.897.967,26 6.149.345,82 5.370.779,53 4.561.070,59 3.718.973,30 2.843.192,11 1.932.379,67 Página 157 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS 10 11 TOTAL

1.024.540,12 1.024.540,12 12.294.481,46

77.295,19 39.405,39 2.294.481,46

947.244,94 985.134,73 8.975.459,88

985.134,73 0,00

EJEMPLO. Una obligación de $ 2.000.000 se va cancelar con pagos mensuales iguales anticipados de $358.441.75. Si se cobran una tasa de interés del 3% mensual, calcular el número de pagos necesarios para cancelarla. Datos: Valor presente P = $ 2.000.000 Cuota mensual anticipada A = $358.441.75 Tasa de interés mensual i = 3% Solución: LogA  Log  A  i ( P  A )  1= Log (1  i ) n= Log 358 . 441 . 75  Log 358 . 441 . 75  0 . 03 ( 2 . 000 . 000  358 . 441 . 75 )   1 Log (1  0 . 03 ) n = 5 .55442  5 .49023 = 6, n = 6 número de cuotas. 0 .01284 n

PAGINA ANUAMORTIZA ANTICIPADOS OBLIGACIÓN DE 2.000.000 2.000.000,00 No 0 1 2 3 4 5

3,00% CUOTA (A) 358.441,75 358.441,75 358.441,75 358.441,75 358.441,75 358.441,75 2.150.650,50

INTERESES ( I )

ABONO A CAPITAL (A – I)

49.246,75 39.970,90 30.416,77 20.576,02 10.440,05 150.650,49

309.195,00 318.470,85 328.024,98 337.865,73 348.001,70 1.641.558,26

SALDO 1.641.558,25 1.332.363,25 1.013.892,39 685.867,42 348.001,69 0,01

EJEMPLO. Elena recibe al principio de cada mes la suma de $ 50.000 por concepto del arriendo de una bodega de su propiedad. En el mismo momento en que recibe el pago del arriendo deposita la mitad en una cuenta de ahorros que le reconoce una tasa de interés del 3% mensual. Ella desea saber cuánto tendrá disponible en la cuenta final del año. Datos: Valor de la cuota mensual A = $ 50.000 Numero de cuotas mensuales n = 12 Tasa de interés mensual i = 3% Solución: Página 158 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS  (1  i ) n  1  (1  i )  F  A  i  

= 50 .000

(1  0.03)12 1  (1  0.03) = 730.889.52 0.03

PAGINA ANUAMORTIZA ANTICIPADOS ELENA No 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TOTAL

3,00% CUOTA 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00 50.000,00

600.000,00

INTERES

DEPOSITO+INTERESES

1.500,00 3.045,00 4.636,35 6.275,44 7.963,70 9.702,61 11.493,69 13.338,50 15.238,66 17.195,82 19.211,69 21.288,04 130.889,52

51.500,00 53.045,00 54.636,35 56.275,44 57.963,70 59.702,61 61.493,69 63.338,50 65.238,66 67.195,82 69.211,69 21.288,04 680.889,52

SALDO 50.000,00 101.500,00 154.545,00 209.181,35 265.456,79 323.420,49 383.123,11 444.616,80 507.955,31 573.193,97 640.389,78 709.601,48 730.889,52

Página 159 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS

RESUMEN DE FÓRMULAS MÁS COMUNES EN MATEMÁTICAS FINANCIERAS

FORMULAS interés simple

F=PI P= F- I I= F- P

I = P*i*n I = P*i*n I = P*i*n

I i.n

I P.n

I i.P

F = P(1 + i*n)

F (1  i * n)

i

1F    1 nP 

PROPOSITO Valor futuro P = Valor presente I = Intereses Valor presente F = Valor futuro I = Intereses Intereses F = Valor futuro P = Valor presente Intereses P = Valor presente i. = Tasa de interés expresada en decimales n. = Tiempo Intereses comercial P = Valor presente i. = Tasa de interés expresada en decimales n. = Tiempo año de 360 días Intereses real o exacto P = Valor presente i. = Tasa de interés expresada en decimales n. = Tiempo año de 365 días Valor presente I = Valor de los intereses i. = Tasa de interés expresada en decimales n. = Tiempo Tasa de interés I = Valor de los intereses P = Valor presente n. = Tiempo Número de periodos de tiempo I = Valor de los intereses P = Valor presente i. = Tasa de interés expresada en decimales Valor futuro P = Valor presente i. = Tasa de interés expresada en decimales n. = Tiempo Valor presente F = Valor futuro i. = Tasa de interés expresada en decimales n. = Tiempo Tasa de interés F = Valor futuro n. = Tiempo P = Valor presente Página 160 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS

1 F  n   1 iP 

Ve = Vn (1 - n *i)

Ve =

Vn (1  n.i)

FORMULAS interés compuesto

F = P(1 + i ) n P

F (1  i) n

in

F 1 P

LogF  LogP Log(1  i)

n

F  P(1 + i 1 )(1 + i 2 )(1 + i 3 ) … (1 + i n ) P

F (1  i1 )(1  i 2 )(1  i 3 )...( 1  i n ) FORMULAS Tasas de interés

iN = − 1 , P

iN = ( F

ie = − 1, P

) − 1 = in

Tiempo de negociación F = Valor futuro i. = Tasa de interés expresada en decimales P = Valor presente Descuento comercial, Ve = Valor efectivo Vn = Valor nominal n. = Período de tiempo i.= Tasa de interés Descuento racional o justo Ve = Valor efectivo Vn = Valor nominal n. = Período de tiempo i.= Tasa de interés

PROPOSITO Valor futuro P = Valor presente i. =Tasa de interés n. = Periodos de tiempo Valor presente F = Valor futuro i. =Tasa de interés n. = Periodos de tiempo Tasa de interés F = Valor futuro n. = Periodos de tiempo P = Valor presente Tiempo de negociación F = Valor futuro P = Valor presente i. =Tasa de interés Valor futuro con tasa variable P = Valor presente i1, i2, i3, i4 …… =Tasa de interés variable Valor presenta con tasa variable F = Valor futuro i1, i2, i3, i4 …… =Tasa de interés variable

PROPOSITO Tasa de interés nominal, interés simple iN = ?Tasa de interés nominal F = Valor futuro P = Valor presente Tasa de interés nominal, interés simple iN = ?Tasa de interés nominal i. = Tasa de interés efectiva n. = Periodos de tiempo Tasa de interés efectivo, interés compuesto ie = ?Tasa de interés efectivo F = Valor futuro Página 161 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS P = Valor presente ie = (1+ i)n − 1 n

i 1  1  i 2 J   i  1   m 



m n1

2 1

1

n   J  m 1  i m  1  

  J J 1  m 1   1  2  m2 

ia (1  i a )



iv  (1  i v )

m2   m1   1   

De tasa periódica vencida a tasa anticipada ia = ?Tasa efectiva periódica anticipada iv = Tasa efectiva periódica vencida

m   n m       1   m  J    

m2    m 1  m1   J 2  m 2   1   m 2  J 1    

 1   1  n1 n  (1  i v ) 2

m1  m2   m  J 1  J 2  m 2 1   1   m 1  

Tasa de interés efectivo, interés compuesto ie = ?Tasa de interés efectivo i. = Tasa de interés efectiva n. = Periodos de tiempo De tasa efectiva a tasa efectiva n1. = Números de periodos de la nueva capitalización n2 = Números de periodos de capitalizaciones iniciales i2 = Tasa efectiva inicial (conocida) i1. = ? Nueva tasa efectiva (desconocida) De tasa nominal a tasa efectiva n1. = Número de periodos de la nueva capitalización m = Números de periodos de capitalizaciones iniciales j. = Tasa nominal (conocida) i. = ?Nueva tasa efectiva (desconocida) De tasa efectiva a nominal n. = Número de capitalizaciones dadas m = Número de capitalizaciones nuevas en un año i = Tasa efectiva periódica (conocida) J = ?Tasa nominal a buscar (desconocida) De tasa nominal a tasa nominal J1 = ?Tasa nominal a buscar m1. = Nuevos periodos de capitalización J2 = Tasa nominal dada m2. = Periodos de capitalización dados De tasa periódica anticipada a tasa vencida iv = ?Tasa efectiva periódica vencida ia = Tasa efectiva periódica anticipada

   

De tasa nominal anticipada a tasa efectiva vencida iv = ? Tasa efectiva vencida m. = Número de capitalizaciones dadas en un año n. = Número de capitalizaciones nuevas en un año j = Tasa nominal dada De tasa nominal anticipada a tasa nominal vencida j2. = ? Tasa nominal a buscar m1. = Número de capitalizaciones dadas en un año m2 = Número de capitalizaciones nuevas en un año j1 = Tasa nominal dada De tasa efectiva vencida a tasa efectiva anticipada ia. = ? Tasa anticipada a buscar n1. = Número de capitalizaciones dadas en un año n2 = Número de capitalizaciones nuevas en un año iv = Tasa efectiva vencida dada Tasa nominal anticipada a tasa nominal anticipada j2 = ? Tasa nominal anticipada a buscar m1. = Número de capitalizaciones dadas en un año m2 = Número de capitalizaciones nuevas en un año) j1 = Tasa nominal mes anticipada

Página 162 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS FORMULAS anualidades o series

PROPOSITO

 i (1  i ) n  A = P   n  (1  i )  1 





 1  i) n  1  P = A n   i(1  i)   (1  i ) n  1 F = A  i     i A  F  n  (1  i )  1 

n

Log ( F* i  A)  LogA Log (1  i )

n

Log ( A)  Log ( A - i * P) Log (1  i )





 1  i) n  1  P  A  n  i (1  i )   (1  i) n  1   P  A(1  i) n   i(1  i)  A

 (1  i )  

P (1  i ) n  1   i (1  i ) n 

 (1  i ) n 1  1   P  A  A n 1   i (1  i )  A

P  (1  i ) n 1  1   1   n 1   i (1  i ) 

Valor de la cuota vencida en función del valor presente Valor de la primera cuota = A Valor presente = P Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n Valor presente de una anualidad o cuota vencida Valor presente = P Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n Valor futuro de una anualidad o cuota vencida Valor futuro = F Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n Valor de la cuota vencida en función del valor futuro Valor de la primera cuota = A Valor futuro = F Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n Número de pagos o de una anualidad vencida en función del (F) Número de cuotas por periodo = n Valor futuro = F Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de pagos o de una anualidad vencida en función de (P) Número de cuotas por periodo = n Valor presente =P Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Cálculo del saldo insoluto de una anualidad vencida Valor presente =P Número de cuotas que faltan por pagar = n Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Valor presente de una anualidad anticipada Valor presente = P Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n Valor de la cuota en una anualidad anticipada en función del (P) Valor de la primera cuota = A Valor presente = P Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n Página 163 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS n 

n

LogA  Log  A  i ( P  A )  1 Log (1  i )

Número de pagos o de una anualidad anticipada en función del (P) Número de cuotas por periodo = n Valor presente = P Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Valor futuro en una anualidad anticipada Valor futuro = F Valor de la primera cuota = A Tasa de interés efectiva = i Número de cuotas por periodo = n Valor presente de las anualidades diferidas Valor presente = P Valor de los pagos =A Número de pagos mensuales = n Tasa de interés efectiva mensual = i Valor futuro de las anualidades diferidas Valor futuro = F Valor de los pagos = A Número de pagos mensuales = n Tasa de interés efectiva mensual = i Valor presente de una anualidad perpetua Valor presente = P Valor de los pagos = A Número de pagos mensuales = n Tasa de interés efectiva mensual = i Valor presente de una anualidad perpetua Valor presente = P Valor de los pagos = A Tasa de interés efectiva anual = i Valor presente una anualidad perpetua Valor presente = P Valor de los pagos = A Número de pagos: = n Tasa de interés efectiva anual = i Anualidad o cuota con interés global Valor de los pagos = A Valor presente = P Número de cuotas mensuales = n Tasa efectiva de interés mensual = i

Log  A (1  i )   Log  A (1  i )  Pi  Log (1  i )

(1  i)n 1  (1  i) FA i  (1  i ) n  1  P  A 2n   i (1  i )   (1  i) n  1 F  A  (1  i) i  

 (1  i ) n  1  P  A n   i (1  i )  P

A i

P

A i(1  i) n

A 

Para i



Siempre i



P  P* i n FORMULAS de gradientes aritméticos



  K  (1  i)





 (1  i ) n  1 P = A n  i (1  i )

 



1 n    n i  i (1  i ) (1  i ) n  n





 A (1  i) n  1 K (1  i) n - 1 - ni  P=    n i ( 1  i ) i 2 (1  i) n  





 P(1  i) n i K (1  i) n - ni - 1  A=  n ( 1  i ) 1 i (1  i) n - 1  









PROPOSITO Valor presente de un gradiente aritmético creciente vencido Valor presente = P Número de cuotas = n Valor de la primera cuota = A Tasa efectiva de interés = i Gradiente aritmético = K Valor de la primera cuota de un gradiente aritmético creciente vencido dado (P) Valor de la primera cuota = A Valor presente = P Página 164 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS





i P (1  i ) n i - A (1  i ) n - 1 K = (1  i ) n - ni - 1





Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Gradiente aritmético = K Valor de la constante de un gradiente aritmético creciente vencido Gradiente aritmético = K Valor presente = P Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A Valor de cualquier cuota de un gradiente aritmético creciente vencido Valor de cualquier cuota = Cn Número de cuotas = n Gradiente aritmético = K Valor de la primera cuota = A Valor futuro de un gradiente aritmético creciente vencido Valor futuro = F Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A



C n = A  (n - 1) K









 (1  i) n  1  K  (1  i) n  1  F = A   n  i   i i     n 1 K (1  i) - ni - 1  F = A (1  i) n  1   i i 









 Fi K (1  i ) n - ni - 1)  A= n ( 1  i ) 1 i. (1  i ) n - 1  





(1  i)

i n





Fi - A(1  i) - 1 - ni - 1 n









 1  i) n  1  K  1  i) n  1 n  P = A     n- 1 n- 1 (1  i) n - 1   i(1  i)  i  i(1  i) P=

(1  i ) i (1  i ) n





 K (1  i ) n - ni - 1  n A ( 1  i )  1    i  









 P (1  i ) n i K (1  i ) n - ni - 1  A= n i. (1  i ) n - 1   (1  i ) (1  i ) - 1









Valor primera cuota de un gradiente aritmético creciente vencido dado (F) Valor de la primera cuota = A Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés =i Valor futuro = F Valor de la constante de un gradiente aritmético creciente vencido dado (F) Gradiente aritmético = K Valor de la primera cuota = A Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor futuro = F Valor presente de un gradiente aritmético creciente anticipado Valor presente = P Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A Valor de la primera cuota de un gradiente aritmético creciente anticipado Valor de la primera cuota = A Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor presente = P

Página 165 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS

 P(1  i) n i  K=  A (1  i) n - 1   n (1  i) - ni - 1  (1  i)  i













 1  i) n  1  K  1  i) n  1 n  P = A    n  n (1  i ) n   i (1  i )  i  i (1  i )  1 K (1  i ) n - ni - 1  n P= A (1  i )  1   i (1  i ) n  i 



1 (1  i ) n - 1



(1  i)



i n











 K (1  i ) n - ni - 1  n P ( 1  i ) i    i  

 A(1  i) - 1 - P(1  i) i - ni - 1 n

C n = A - (n - 1) K









 1  i) n  1  K  1  i) n  1  F = A    n  i i   i   n 1 K (1  i ) - ni - 1  F =  A (1  i ) n  1   i i 





1 A= (1  i ) n - 1



(1  i)



i n









 K (1  i ) n - ni - 1  Fi    i  

 A(1  i) - 1  Fi - ni - 1 n

Valor de la constante de gradiente aritmético creciente anticipado Gradiente aritmético = K Valor de la primera cuota = A Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor presente = P Valor presente de un gradiente aritmético decreciente Valor presente = P Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A Valor de la primera cuota de un gradiente aritmético decreciente dado P Valor de la primera cuota = A Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor presente = P Valor de la constante de un gradiente aritmético decreciente Gradiente aritmético = K Valor presente = P Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A Valor de cualquier cuota de un gradiente aritmético decreciente Valor de cualquier cuota = Cn Número de cuotas = n Gradiente aritmético = K Valor de la primera cuota = A Valor futuro de un gradiente aritmético decreciente Valor futuro = F Gradiente aritmético = K Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A Valor de la primera cuota de un gradiente aritmético decreciente dado (F) Valor de la primera cuota = A Valor futuro = F Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés = i Gradiente aritmético = K Valor de la constante de un gradiente aritmético decreciente dado F Gradiente aritmético = K Valor futuro = F Número de cuotas = n Tasa efectiva de interés =i Valor de la primera cuota = A Página 166 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Valor presente de un gradiente aritmético creciente infinito Valor presente = P Gradiente aritmético = K Tasa efectiva de interés = i Valor de la primera cuota = A

A K P=  2 i i

FORMULAS de gradientes geométricos vencidos

Si G

 i:

Si G = i:

A  (1  G ) n  P=  1 (G - i)  (1  i) n  P=

C n = A (1  G)

n *A (1  i) n-1



A (1  G) n  (1  i) n (G - i)

F = n * A 1  i 

n 1

Si G = i, entonces

 G - i 1  i n  A = P n n   (1  G)  (1  i ) 

  G - i A = F n n  (1  G)  (1  i) 

A (i - G)

 Si G  i, entonces

Si, G < i, entonces

PROPOSITO Valor presente de un gradiente geométrico vencido Valor presente = P Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G Valor presente de un gradiente geométrico vencido Valor presente = P Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Para el caculo de cualquier cuota Valor de cualquier cuota = Cn Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G Valor futuro de un gradiente geométrico vencido Valor futuro = F Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G Valor futuro de un gradiente geométrico vencido Valor futuro = F Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Valor de la primera cuota de un gradiente geométrico vencido dado (P) Valor del primer pago = A Valor presente = P Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G Valor de la primera cuota de un gradiente geométrico vencido dado (F) Valor del primer pago = A Valor futuro = F Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G Valor presente de un gradiente geométrico vencido al infinito Valor presente = P Valor del primer pago = A Tasa de interés del período = i Página 167 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G Valor presente de un gradiente geométrico vencido al infinito

P = G  i, entonces FORMULAS de gradientes geométricos anticipados

(1  i)  (1  G ) n  P=A  1 (G - i)  (1  i) n 



A(1  i) (1  G) n  (1  i) n (G - i)



n P  G - i1  i  A= 1 i (1  G)n  (1 i)n 

 G - i F   n n 1  i (1  G)  (1 i) 

FORMULAS de gradientes aritméticos diferidos

  (1  i) s  1   1 s P=  s    A (1  i)  1  K  (1  i) r (1  i) s i  i  



A (1  i) r



 (1  i) s  1  K  i(1  i) s   i(1  i) r  

(1  i )



1 (1  i r ) i s (1  i s ) s r

 (1  i) s  1 s   i(1  i) s  (1  i) s   

 1  s  A  K   s i (1  i )  1 s  s  

PROPOSITO Valor presente de un gradiente geométrico anticipado Valor presente = P Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G Valor futuro de un gradiente geométrico anticipado Valor futuro = F Valor del primer pago = A Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G Valor de la primera cuota de un gradiente geométrico anticipado dado (P) Valor del primer pago = A Valor presente = P Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G Valor primera cuota de un gradiente geométrico anticipado dado (F) Valor del primer pago = A Valor futuro = F Número de pagos = n Tasa de interés del período = i Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G

PROPOSITO Valor presente de un gradiente aritmético diferido Valor presente = P Tasa periódica de interés = i Número total de meses = n Número de meses muertos = r Número de meses de movimientos de efectivo = s Valor primera cuota = A Cuota adicional constante = K Valor presente de un gradiente aritmético diferido Valor presente = P Número total de meses = n Tasa periódica de interés en tiempo muerto = ir Número de meses muertos = r Número de meses de movimientos de efectivo = s Tasa de interés en el tiempo de movimiento efectivo=is Valor primera cuota = A Cuota adicional constante = K Página 168 de 170

MATEMATICAS FINANCIERAS

 i (1  i s ) s  1  s A = P(1  i r )  s   K   s s  (1  i s )  1   i s (1  i s )  1  r

FORMULAS de gradientes geométricos diferidos P=





A ( G  1) s  (1  i) s ( G - i)(1  i) r (1  i) s

P(1  i) r ( G - i)(1  i) s A= ( G  1) s  (1  i) s

Valor de la primera cuota gradiente aritmético diferido Valor primera cuota = A Valor presente = P Número de periodos mensuales = n Tasa de interés en el tiempo muerto = ir Tasa de interés en el tiempo no muerto = is Número de periodos muertos = r Número de periodos no muertos = s Incremento constante mensual = K

PROPOSITO Valor presente de un gradiente geométrico diferido Valor presente = P Tasa periódica de interés = i Número de periodos mensuales = n Número de mensuales muertos = r Tiempo de movimiento de efectivo = s Valor de la primera cuota = A Tasa de interés en el movimiento efectivo = G Valor de la primera cuota gradiente geométrico diferido Valor primera cuota = A Tasa periódica de interés = i Número total de periodos = n Número de periodos muertos = r Número de periodos activos = s Gradiente geométricos = G Valor presente = P

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MATEMATICAS FINANCIERAS

BIBLIOGRAFIA 1) Meza Orozco Jhonny de Jesús. MATEMATICAS FINANCIERAS APLICADAS 2) Haeussleir Jr. Ernest. MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION, ECONOMIA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA 3) Arévalo Niño José Abdenago. MATEMATICA FINANCIERA APLICADA A LA ADMINISTRACION PUBLICA 4) Carlos Ramírez Molinares. FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS FINANCIERAS 5) Carlos Mario Morales. INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS FINANCIERAS 6) Rafael Serna Espitia. MAMNUAL DIDACTICO DE MATEMATICAS FINANCIERAS

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