Lars Busch Johnsen, Niels Jacob Hansen og Bent Lindhardt
træningshæfte/WeB
Matematik · 9. klasse · Træningshæfte · Web
9
Til eleven Træningshæftet, du nu skal arbejde med, er en del af matematiksystemet Kontext+. Det er opbygget i to halvdele. • F ørste del er opgaver, som træner dine færdigheder inden for hver af de syv kapitler i kernebog 9. nden del er 12 prøvesæt, som træner dig i at løse opgaver svarende til dem, • A der stilles til prøven uden hjælpemidler. Vi har lagt vægt på, at de fleste opgaver kan klares uden hjælpemidler. Du kan således typisk løse opgaverne ved brug af hovedregning eller enkle tegninger. De opgaver, hvor vi forventer, at du bruger hjælpemidler, er markeret med dette symbol: De enkelte opgaver i den første del er delt op i mindre delopgaver. Når du løser dem, vil du opleve, at de første delopgaver typisk er lettere end de sidste. De 12 prøvesæt ligner meget prøven uden hjælpemidler i 9. klasse. Vi har bl.a. • forsøgt at tilpasse sværhedsgraden. • konstrueret opgavetyper, der ligner. • anvendt samme sprogbrug og symbolbrug Vi har ændret lidt i antallet af opgaver, så der ikke er så mange som ved Prøven uden hjælpemidler. Antallet er tilpasset, så de kan være på to sider pr. prøvesæt.
1
9788723547170_indhold.indb 1
24/03/2020 12.52
Afstande og vinkler Opgave 1 Her er syv forskellige trekanter, hvor størrelsen af sidelængder og vinkler er angivet.
A
3
29°
4 104°
60° 60°
3
37°
3
60°
47°
6 53°
90° E
2
41°
5
4
3
2
D
C
B
3
41°
83°
2
71°
3
4 G
71°
3
41°
56°
F
2
98°
5
45°
3
38°
3
a. Placer trekanterne i de rigtige felter i skemaet. Spidsvinklet
Retvinklet
90°
Stumpvinklet 45°
3 forskellige sidelængder
3
Ligebenet Ligesidet Opgave 2 Bestem størrelsen af vinklerne.
E
A C
35°
a. Vinkel B er
°
b. Vinkel F er
°
c. Vinkel M er
°
d. Vinkel I er
°
e. Vinkel Q er
°
f. Vinkel u er
°
g. Vinkel v er
°
83°
D
?
30°
F
?
I
B K 37°
L
25° 76°
G
41°
J
H
?
u
Q
M
?
30°
N
55° 145°
v
65°
P
O
2
9788723547170_indhold.indb 2
24/03/2020 12.52
Opgave 3 I skemaet er angivet mål på tre trekanter. A
B
C
Trekant 1 Trekant 2
55°
Trekant 3 a. Tegn de tre trekanter.
C a
b
c
3 cm
4 cm
6 cm
75° 4 cm
a
A
5 cm 40°
b
4 cm
c
B
b. Mål størrelsen af de sidelængder og vinkler, der ikke er vist i skemaet, og skriv tallene i skemaet.
3
9788723547170_indhold.indb 3
24/03/2020 12.52
F
Opgave 4 Trekant ABC er ligedannet med trekant DEF. Det lineære forhold mellem trekant ABC og trekant DEF er 1:3. 15
a. Længden af DE er C
b. Længden af EF er c. Længden af AC er
4 A 2 B
Opgave 5 Trekant ABC er ligedannet med trekant DEC, og linjestykket AB er parallelt med linjestykket DE. a. Længden af CE er
D
E E
DE = 8 D BE = 9
CD = 6
b. Længden af AB er B
A
c. Længden af CD er
BC = 3 C Opgave 6 Tegningen viser sekskant ABCDEF og linjestykket GH. a. Tegn sekskant GHIJKL færdig, så den er ligedannet med sekskant ABCDEF. b. Omkredsen af sekskant GHIJKL er gange omkredsen af sekskant ABCDEF.
F
c. Arealet af sekskant GHIJKL er gange arealet af sekskant ABCDEF.
E
D
A
C
B
G
H
Opgave 7 Skitsen til højre viser placeringen af en pind på 2 m, så sigtevinklen mod flagstangens top er 45 grader. a. Flagstangens højde er
m
2m 45°
6m 4
9788723547170_indhold.indb 4
24/03/2020 12.52
Opgave 8 Tegningen til højre viser en retvinklet trekant. Siderne i en retvinklet trekant kaldes for hypotenuse og kateter. a. Skriv navne ved den retvinklede trekants sider.
Opgave 9 I en retvinklet trekant gælder, at summen af kateternes kvadrater er lig med hypotenusens kvadrat. Tegningen til højre viser en retvinklet trekant med sidernes kvadrater. 25
a. Arealet af det mindste kvadrat er b. Længden af hypotenusen er 21
c. Længden af den største katete er
?
Opgave 10 Hvis og kun hvis summen af de to korteste siders kvadrater er lig med den største sides kvadrat, så er trekanten retvinklet. I skemaet er angivet sidelængder for tre trekanter. a
b
c
Trekant 1
4
5
6
Trekant 2
5
4
3
Trekant 3
12
13
5
Ja
Nej
a. Afgør hvilke af de tre trekanter, der er retvinklede. Sæt kryds i skemaet.
Opgave 11 Skitsen viser en situation, hvor en stige står op til underkanten af et vindue. a. Hvor lang skal stigen være, når den skal stå 2 m fra væggen og vinduet sidder 4 m oppe?
m
b. Hvor højt oppe sidder vinduet, når stigen er 4,5 m lang og står 1,5 m fra væggen?
m
stige
c. Hvor langt fra væggen står stigen, når den er 6 m lang,
højde
og der er 6 m fra jorden op til underkanten af vinduet? m afstand til væg
5
9788723547170_indhold.indb 5
24/03/2020 12.52
Opgave 12 I en retvinklet trekant er der særlige navne for forholdstallene mellem sidelængderne. a. sin A =
b. cos A =
c. tan A =
d. sin B =
e. cos B =
f. tan B =
B
c
a
C b
A Opgave 13 a. sin (45°) =
b. sin (89°) =
c. cos (1°) =
d. tan (80°) =
Opgave 14 Trekant HIJ til højre er retvinklet.
I
a. sin H =
=
b. sin J =
=
c. cos H =
=
d. cos J =
=
e. tan H =
=
f. tan J =
8
H
6
J
10
=
Opgave 15 Trekant ABC er retvinklet. Beregn længden.
C
a. Når vinkel A er 60° og c er 8, så er a =
a b
b. Når vinkel A er 32° og c er 10, så er b =
B
c. Når vinkel B er 55° og c 12, så er b = d. Når vinkel A er 62° og a er 5, så er b =
A
c
Opgave 16 Tegningen viser Hannah, som er ved at måle højden af et træ. a. Hvor højt er træet, når v er 32° og afstanden til træet er 12 m?
m
b. Hvor langt står Hannah fra træet, når v er 59° og træets højde er 15 m?
m
sigtelinje træets højde
V 1,6 m
c. Hvor stor er vinkel v, når træet er 10 m højt og Hannah står 8,4 m fra træet?
°
afstand til træ
6
9788723547170_indhold.indb 6
24/03/2020 12.52
Opgave 17 Skitsen herunder viser de seks træstykker, der skal bruges til en mejsekasse.
13 cm
For– stykke 13 cm
13 cm
Bag– side
13 cm
13 cm
20 cm
13 cm
Sidestykke
13 cm
20 cm
Sidestykke
13 cm
17 cm
20 cm
20 cm
Tag
Bund 11 cm
a. Tegn en præcis tegning af et sidestykke i målestoksforholdet 1:2.
Astrid har en træplade på 50 cm · 50 cm. b. Undersøg ved at tegne en skitse, om det er muligt at bygge en mejsekasse af træpladen.
7
9788723547170_indhold.indb 7
24/03/2020 12.52
Tal i store mængder Opgave 1 Skriv tallet. a. Ni tusind og atten
b. Syvogfyrre tusinde og fem
c. Tre tusinde og fem
d. Fire og en halv
Opgave 2
7 1 99 5 4 5 100 8
a. Sorter disse brøker efter størrelse.
b. Skriv fire brøker, der er større end 0,5 og mindre end 1.
0
2 5 5 4
3 4
c. Afsæt følgende brøker på tallinjen.
0,5
d. Hvilken brøk ligger præcis mellem
9 5
1
1 4
og
1,5
2
3? 8
Opgave 3 a.
7+5= 9 9
b. 1 –
2= 3
c.
3+2= 4 8
3 2 4
d. 3 1 –
=
Opgave 4 a.
4·2= 5 3
b.
e.
1 :2= 2
f. 3 : 2 =
2 ·4= 5
c. 3 1 · 5 =
d. 2 1 · 2 1 =
2
g. 6 :
4
2
1= 2
h.
2
1:1= 2 4
Opgave 5 Omskriv til decimaltal. a.
1= 4
b.
5= 4
c.
3= 20
d. 2
3= 4
Opgave 6 Afrund til 2 decimaler. a. 345,5243 =
b. 45,66578 =
c. 2,997 =
d. 0,00932 =
Opgave 7 Saftevandet skal blandes i forholdet 1:4. En del saft til fire dele vand. a. Hvor meget saft skal der i en kande med 1 liter vand? b. Hvor meget saft skal der i et glas, der i alt kan rumme 5 dl?
L dL
1:4
8
9788723547170_indhold.indb 8
24/03/2020 12.52
Opgave 8 a. 20 · 70 =
b. 12,7 : 100 =
c. 0,6 · 200 =
d. 0,2 · 0,2 · 0,2 =
b. 9 – 3,4 =
c. 5 – 0,09 =
d. 0,1 + 0,99 =
Opgave 9 a. 1,5 + 2,25 =
Opgave 10 a.
1 5
af 200 kr. =
b.
kr.
2 3
af 15 kg =
c.
kg
3 10
af 70 m =
m
Opgave 11 a. 15 – 10 =
e. 12 – (–10) =
b. 10 – 15 =
f. – 5 – (–5) =
c. –7 – 7 =
d. –36 + (–46) =
g. (–10) + 8 =
h. –16 – 15 – (–3) =
Opgave 12 a. –5 · 7 = e. –60 : 5 =
b. 6 · (–10) =
c. –8 · (–6) =
f. 20 : (–5) =
g. –100 : (–5) =
d. –4 · (–3) · (–5) =
h. –0,5 : 2 =
Opgave 13 I tabellen ses temperaturen målt kl. 14 fem dage i træk i december. Mandag
Tirsdag
Onsdag
Torsdag
Fredag
1° C
–3° C
4° C
–6° C
–2° C
a. Marker de fem dages temperaturer på termometeret. b. Beregn temperaturforskellen på den varmeste og koldeste dag. Ændringen i temperatur regnes i de følgende opgaver for negativ, hvis det er blevet koldere. c. Opstil en udregning, der viser ændringen i temperatur fra mandag til onsdag.
5
d. Opstil en udregning, der viser ændringen i temperatur fra onsdag til torsdag.
0
e. Opstil en udregning, der viser ændringen i temperatur fra torsdag til fredag.
–5
Opgave 14 a. –22 + 4 · (–6) =
b. 7 · (–5) + 9 : (–3) =
c. 8 – (–6) – 5 · (–2) =
9
9788723547170_indhold.indb 9
24/03/2020 12.52
Opgave 15 En flodhesteunge vejer 50 kg ved fødslen. Det første halve år af sit liv kan den fordoble sin vægt på 3 måneder. a. Hvad vejer flodhesten efter et halvt år?
kg
b. Hvad ville flodhesten veje efter 2 år, hvis vægtforøgelsen kg
fortsatte?
c. Udfyld de tomme felter i tabellen. Alder i måneder Vægt i kg Vægt som potens
3
6
9
12
24
100
50 · 21
50 · 22
En elefantunge vejer 95 kg ved fødslen og fordobler det første halve år sin vægt på 2 måneder. d. Angiv en potens, der viser elefantens vægt efter et halvt år. Heldigvis fortsætter denne vægtforøgelse ikke. e. Hvad ville elefanten veje efter 10 år, hvis vægtforøgelsen fortsatte?
kg
Opgave 16 Udregn potenserne. a. 23 =
b. 40 =
c. 0,52 =
e. 5–3 =
f. 10–2 =
b. 102 · 106 · 104 =
c. 44 · 4–3 · 45 =
b. 107 : 102 · 104 =
c. 107 : 10–3 =
d. 2–2 = Opgave 17 Skriv som potens. a. 53 · 54 = Opgave 18 Skriv som potens. a. 58 : 53 = Opgave 19 Forkort brøkerne. a. 3⁴ =
3
b. 5⁴2 =
5
c.
105 106
=
d. 2105 =
2
Opgave 20 a. √400 =
b. √25 + 24 =
c. √ 9 · 3 · 3 =
d. √ 6 · 2 + 13 =
10
9788723547170_indhold.indb 10
24/03/2020 12.52
Opgave 21 Eksempel: √ 80 = √ 16 · 5 = 4 √ 5. Omregn som i eksemplet. a. √ 27 =
b. √ 200 =
c. √ 40 =
d. √ 10 · 5 =
e. √ 25 + 100 =
f. √ 250 : 5 =
Opgave 22 Sæt inden for kvadratrodstegnet. a. 5 √ 5 =
b. 10√ 3 =
c. 2√ 5 =
d. 5 √ 2 =
b. √ 20 · √ 5 =
c. √ 128 : √ 2 =
d. 3√ 5 · √ 45 =
Opgave 23 a. √ 6 · √ 6 = Opgave 24 3
a. √ 8 =
3
b. √ 64 =
3
3
c. √ –1 =
Opgave 25 På billedet ses kvadrat ABCD og EFGH.
d. √ –27 =
D
a. Beregn afstanden fra A til C. b. Beregn afstanden fra E til G. c. Beregn omkredsen af trekant ABO. d. Beregn omkredsen af trapez AEFB.
C
10 8
H
G
6 O
4 2
E
F B
A
2 4 6 8 10 Opgave 26 a. Tegn en trekant, hvor siderne har længderne: |AB| = 2
3
|AC| = 2
2
|CB| = √ 8
1 0
Opgave 27
1 2 3 4 5
a. Hvilke divisorer har 12?
b. Hvilke divisorer har 30?
c. Faktoriser 72 i primtal.
d. Faktoriser 125 i primtal.
e. Skriv et tal, der har 4 divisorer.
f. Skriv et tal, der har 5 divisorer.
11
9788723547170_indhold.indb 11
24/03/2020 12.52
Data og chance Opgave 1 9. årgang på Fjernkøbing Skole har undersøgt, hvor mange gange hver elev køber frokost i skoleboden på en uge. Antal køb
0
1
2
3
4
5
Antal elever
9
17
6
6
7
5
a. Hvor mange elever deltager i undersøgelsen?
b. Undersøgelsens typetal er
c. Undersøgelsens mindsteværdi er
d. Undersøgelsens median er
e. Hvor mange gange om ugen køber en elev i gennemsnit frokost i boden? f. Tegn et søjlediagram, der viser fordelingen af elevernes køb i skoleboden.
Opgave 2 Eleverne i 8.a på Fjernkøbing Skole udfører samme undersøgelse om køb af frokost i skoleboden som 9. årgang. Der deltager 20 elever i undersøgelsen. Undersøgelsen giver disse deskriptorer: Mindsteværdi
Variationsbredde
Gennemsnit
Typetal
Median
0
4
1,5
1
1
a. Undersøgelsens størsteværdi er
b. Hvor mange frokoster købte klassen i alt?
c. Udfyld tabellen med dit bud på, hvor mange frokoster hver af de 20 elever har spist i løbet af ugen. Elev
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 15
16
17
18 19 20
Frokoster
12
9788723547170_indhold.indb 12
24/03/2020 12.52
Opgave 3 En gruppe på 10 elever har udarbejdet et boksplot over deres karakterer fra en matematikprøve.
2
4
7
10
12
Find ud fra boksplottet følgende deskriptorer: a. Median =
b. 1. kvartil =
c. 3. kvartil =
d. Størsteværdi =
e. Mindsteværdi =
f. Variationsbredde =
g. Giv et bud på de 10 karakterer, når det oplyses, at gennemsnittet af elevernes karakterer var 7,3. Elev
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Karakter Opgave 4 Herunder ses en karakterliste med 20 elevers karakterer til projektopgaven. Elev
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14 15 16 17
18 19 20
Karakterer
7
2
10
4
4
12 10
7
4
10 12
4
2
4
7
7
7
10
7
10
a. Udfyld hyppigheds– og frekvenstabellen over elevernes karakterer. Karakter
Hyppighed h(x)
Frekvens f(x)
Summeret frekvens F(x)
2 4 7 10 12 b. Brug oplysningerne fra hyppigheds– og frekvenstabellen til at udarbejde et boksplot over elevernes karakterer.
13
9788723547170_indhold.indb 13
24/03/2020 12.52
træningshæfte/Web er et supplerende materiale til KonteXt+ 9 kernebog. Hæftet kan dog også anvendes som selvstændigt træningsmateriale uafhængig af den anvendte lærebog. Træningshæftet består af to dele • Første del er opgaver, som træner elevens færdigheder inden for hver af de syv kapitler i kernebog 9. • Anden del er 12 prøvesæt, som træner eleven i at løse opgaver svarende til dem, der stilles til prøven uden hjælpemidler. Der er lagt vægt på, at de fleste opgaver kan klares uden hjælpemidler. Eleven kan således typisk løse opgaverne ved brug af hovedregning eller enkle tegninger. De opgaver, der forudsætter brug af hjælpemidler, er markeret med Der, hvor opgavenumre har delnumre, vil der oftest være en stigende sværhedsgrad. De 12 prøvesæt er bygget op, som man sædvanligvis kender fra prøven uden hjælpemidler og tilpasset sværhedsgraden med de seneste års prøvesæt. Sprogbrug og udformning af opgaver er så identisk, de kan blive. Har du bog, har du web!
KonteXt+ 9, Træningshæfte/Web er et engangshæfte på 64 sider, som samtidig giver adgang til www.træning.kontextplus.dk. På hjemmesiden indgår der en facitliste.
Se mere om systemet alinea.dk