Hvad er matematik? og KULTURFAG! by Alinea

Hvad er matematik? OG KULTURFAG! (C) Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun, Olav Lyndrup © 2016 L&R Uddannelse, København - et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copydans regler. Forlagsredaktion: Morten Trolle Billedredaktion: Nina Jensen Faglig redaktion: Bjørn Grøn Grafisk tilrettelægning: Andreas Schnalke, Kommunikations-Design Omslagslayout: Ulla Korgaard, Designeriet Tryk: Livonia Print Sia 1. udgave 1. oplag 2016 ISBN 9788770666664

QR-koder i bogen kan scannes af mobiler og tabletter og linker til bogens ekstramateriale. Du skal bruge en QR-app, fx QR Reader, som kan hentes gratis fra Apples App Store (IOS) og Google Play (Android). Ekstramaterialet kan på en PC findes ved at gå ind på www.lru.dk/hem-kulturfag. Bogens illustrationer Forlaget har forsøgt at finde og kontakte eventuelle rettighedshavere, som kan tilkomme honorar i henhold til loven om ophavsret. Skulle der mod forventning være rettighedshavere, som måtte have krav på vederlag, vil forlaget udbetale et sådant, som om der var indgået aftale. 6 Kop fra Lindos på Rhodos, ca. 750 f. kr. Nationalmuseets Antiksamling, København. 6 Papyrus. Euklids elementer. Wikipedia. 7 Udvalgte motiver på geometriske mønstre. Græsk Kunst, Gads Forlag, 1999 /copydanbilleder.dk 7 Vase fra mykensk tid. Det Arkæologiske Museum, Heraklion, Grækenland. 7 Geometrisk amfora fra Athen, Ny Carlsberg Glyptotek, København 11 Alexander d. Stores rige. Wikimedia. 12 Euklids Elementer. Wikimedia. 15 Potteskår fundet i den ægyptiske by Elephantine. 21, 57 Rafael: Skolen i Athen. Fresco (1508 – 1511). Stanza della Segnatura, Vatikanet, Rom. 23 Thomas Jefferson. www.biography.com 28 Keglesnit. Illustration af forfatteren. 29 Stephen Toulmin, engelsk filosof. Wikipedia. 29 Bogforside. The Uses of Argument, 1958. Wikipedia. 41 Star Wars: Episode V – The Empire Strikes Back © Allstar Picture Library / Polfoto. 42 Karl Popper. Ukendt fotograf. 44 Thomas Kuhn. Ukendt fotograf. 45 Imre Lakatos. Wikipedia. 46-47 Lakatosillustrationer / © Imre Lakatos / copydanbilleder.dk 49 Mars' bevægelse. Ukendt fotograf. 51 Achilleus og skildpadden. www.ibmathsresources.com 51 Zenon cartoon © Thaves / copydanbilleder.dk 57-59 Rafael: Skolen i Athen. Fresco (1508–1511). Stanza della Segnatura, Vatikanet, Rom. 61 Euklid i middelalderen. Den tidligste vesteuropæiske udgave af Euklids elementer, ca. 1310.

61 Euklid i renæssancen. Maleriet fra 1495 tilskrives Jacopo de Barari (1440 – 1515), Capodimonte Museet i Napoli, Italien. 61 Euklid i den tidlige oplysningstid: David Gregorys udgave af Euklids samlede værker, 1703. 61 Euklid i romantikken: Oliver Byrnes farvelagte udgave fra 1847. 62 Pasolini Edipo Re. ARCO FILMS/SOMAFIS / Album / Scanpix. 66 Zeus. Bronzestatue, Nationalmuseet i Athen, Grækenland. 66 Diskoskasteren. Marmorstatue. Museo Nazionale, Palazzo Massimo, Rom. 66 V ognstyreren. Delphis Arkæologiske Museum. Wikipedia. 68 Babylonsk lertavle. Wikimedia. 68 Romersk Abacus. Wikipedia. 70 Babylonsk tabel. Wikipedia. 75 Solformørkelse. Wikimedia og Andreas Schnalke. 76 Fremstilling af Aristoteles og Ptolemaois verdensbillede. 79 Keplers model. Fra Kepplers Mysterium Cosmographicum, 1596. Wordpress.com. 81 Erastothenes kort. www.pinterest.com. 84 Carsten Niebuhr (1733 – 1815). Rejsebeskrivelser fra Arabien og omkringliggende lande. 86 Port du Gard-aquædukten. © Colourbox. 88 Engelsk forside af Sebastiano Serlios: De syv bøger om arkitektur (1475 –1554). 88-89 Søjleordener. Sebastiano Serlios: De syv bøger om arkitektur (1475 –1554). 92 Peterspladsen. Wikimedia. 93-94 Peterspladsen med cirkler og ovaler. Wikimedia. 102 Genre-meter © Lotte Rienecker / copydanbilledkunst.dk

Hvad er matematik? OG KULTURFAG! (C)

Indholdsfortegnelse

Indledning. De lange linjer i kulturhistorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Påvirkninger fra de store flodkulturer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Pythagoræerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Det græske mirakel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hellenismen – Centrum flytter fra Athen til Alexandria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Euklids matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strukturen i Euklids Elementer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Er der huller i Euklids argumentation? Hilberts moderne aksiomsystem (især for A) . . Den euklidiske tankegang i europæisk kulturhistorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel: Homers Iliaden og Odysseen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel: Aristoteles' Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel: Jordens Søjler – Bygning af kirker og klostre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel: Den Amerikanske Uafhængighedserklæring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Hvordan udvikles matematikken – De tre uløste problemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Terningens fordobling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8 10 11 12 16 16 19 19 20 21 23 25 26

Erkendelsesteori – Hvordan vi opnår indsigt om verden . . . . . . . . . . . . . 28

2.1 Toulmins argumentationsmodel – Eksempler fra matematik og andre fag . . . . . . . 2.2 P latons dialog Menon – Hvor kommer ny viden fra? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uddrag af Platons Menon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel: Inkommensurable størrelser i matematik og religion. . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Argumentations- og bevisteknik – Og det udelukkede tredjes princip . . . . . . . . . . 2.4 M atematisk videnskabsteori – Popper, Kuhn, Lakatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uddrag af Lakatos' Proofs and Refutations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Model og virkelighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Achilleus og skildpadden – En fortælling om uendelighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel: Matematik og virkelighed – The unreasonable Effectiveness of Mathematics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel: Geometri som matematisk model af rummet – og Kants Kritik der reinen Vernunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kunst – Hvordan vi tolker verden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1 Billedkunst – Skolen i Athen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Billedkunst – Hvordan Euklids Elementer præsenteres i forskellige epoker . . . . . . 3.3 Kong Ødipus, de græske tragedier og den græske tanke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel: Sofokles' Ødipus – materialer fra fagene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Diskoskasteren – De græske skulpturer og forestillingen om bevægelse . . . . . . . .

Verdensbilleder – Hvordan vi opmåler verden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 32 33 35 38 42 46 50 50 52 53

56 56 61 62 63 65

4.1 T al, tabeller og andre hjælpemidler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Eksempel: Saros-cyklen og Babyloniernes astronomiske tabeller. . . . . . . . . . . . . . 69

Eksempel: Kalendre – Fastlæggelsen af påsken og andre kalenderproblemer gennem tiderne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Verdensbilleder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel: Oldtidens geocentriske verdensbillede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel: K eplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Opdagelsesrejser og navigation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel: Columbus' fire ekspeditioner til den nye verden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel: Carsten Niebuhrs rejse til det lykkelige Arabien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bygninger, byer og samfund – Hvordan vi indretter os i verden . . . . . . . . 5.1 Logistik og akvædukter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Magtens og demokratiets bygninger – Hvad signaliserer arkitektur? . . . . . . . . . . . Eksempel: Serlios syv bøger om arkitektur – Spiralkonstruktioner. . . . . . . . . . . . . . Eksempel: Arkitekturen som pejling af demokratitanken i den vestlige kultur . . . . . 5.3 Pladser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel: Ovalen som grundmodel for Peterspladsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Demokratiet og argumentets rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel: Afspejler mandatfordelingen stemmetallet? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelbygning: Hvordan opbygges en geometrisk model for mandatfordelingen? .

Læsning af kildetekster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72 74 75 78 81 83 84

85 85 87 87 91 92 92 92 94 97

6.1 Fremgangsmåde ved arbejdet med kildetekster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Hvad handler teksten om?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Hvem er afsenderen, hvem er modtageren af teksten?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Hvilken slags kilde er der tale om? Primær, sekundær eller en helt anden form? . . 98 Hvilken genre er teksten skrevet i? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Hvilken type matematik er repræsenteret i teksten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.2 Eksempler på kildetekster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 a. En kildetekst af Arkimedes: Skriftet Sandtælleren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 b. Kampen om verdensbilledet – Fra oldtiden til moderne naturvidenskab . . . . . 100 c. Florence Nightingale – Den kølige videnskab og det lidenskabelige drama . . . 100 d. A lady tasting tea – Undfangelsen af den bekræftende statistik . . . . . . . . . . . . 100 e. Forebyggelseskommissionens rapport – En kildetekst bag politiske beslutninger . 100 6.3 Kildetekster i Hvad er matematik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Formidling af matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

7.1 Generelle krav til skriftelige besvarelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.2 Genreovervejelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.3 Eksempler på andre typer af skriftlige opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

Indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

Hvad er matematik? OG KULTURFAG! (C)

Forord Hvad er matematik? OG KULTURFAG! (C) er en gennemredigeret og delvis nyskreven version af et af de særlige studieretningskapitler, som indgår i i-bogen til Hvad er matematik? C. Som den detaljerede indholdsfortegnelse viser, så rummer bogen en lang række forløb om matematikkens samspil med den øvrige videnskabelige og kulturhistoriske udvikling, forløb om matematikkens egen indre struktur samt forløb om matematikhistoriske emner. Den samlede fremstilling i bogform gør det lettere at få overblik over det righoldige og ganske omfattende materiale. Den røde tråd i fremstillingen er: Påvirkningen fra den græske kulturkreds, og specielt fra den euklidiske tankegang. Det er en påvirkning, der rækker langt ud over matematikken selv, og som går dybt ind i filosofi og videnskabsteori, som har haft betydning for videnskabens udformningen af verdensbilleder, for udviklingen af det kunstneriske udtryk i litteratur, billedkunst og arkitektur og for demokratiets udvikling. Bogen har en række særlige faciliteter: – Man får adgang til 16 fuldt udarbejdede projekter. Det sker via QR-koder, som du finder de relevante steder i bogen, eller via projektoversigten bagest i bogen og på nettet: www.lru.dk/hem-kulturfag. Projektorienteret undervisning er et krav i matematik. – Man får adgang til 50 forskellige kildeskrifter fra mange forskellige fag og med anvisninger på, hvordan de kan inddrages i undervisningen. Adgangen sker via QR-koder, som du finder de relevante steder i bogen. Arbejdet med autentiske materialer er et krav i alle fag. – Man får vejledning i arbejdet med forskellige skriftlige discipliner, herunder arbejde med kildeskrifter og udformning af større skriftlige opgaver. – Bogen har et meget detaljeret stikordsregister, hvor man fx kan finde alle kildeskrifterne, og hvor man kan finde henvisninger til, hvor der i lærebogssystemet Hvad er matematik? ligger supplerende og yderligere relevante materialer til et givet emne. Angivelsen af C-niveauet i titlen henfører til, at der i bogen ikke anvendes matematiske emner, der udelukkende hører til kernestoffet på B- og A-niveau. Men niveau-betegnelserne A, B og C handler ikke kun om de matematiske emnekredse, men også om den matematiske modenhed og dybden, hvormed emnerne behandles. Mange af bogens forløb og projekter er således også relevante at inddrage på B- og A-niveau. Det gælder naturligvis i et samarbejde med fag som religion og oldtidskundskab, men det gælder også for matematikken selv: Et forløb om den aksiomatisk deduktive metode kan tilrettelægges på både C- , B- og A-niveau. Og materialerne om erkendelsesteori, om Toulmins argumentationsmodel og om matematisk videnskabsteori og Lakatos' udbygning af Poppers og Kuhns videnskabsteoretiske positioner er relevant på alle niveauer, fx når matematik deltager i forløb i almen studieforberedelse. Det moderne gymnasium bygger på en vision om, at fagene åbner sig og er parate til at indgå i et fagligt samspil med andre. Det er håbet, at denne bog sammen med de øvrige i lærebogssystemet Hvad er matematik? kan give inspiration til dette.

Bjørn Grøn

Bjørn Felsager

Bodil Bruun

Olav Lyndrup

1. I ndledning. De lange linjer i kulturhistorien Grækerne er et indoeuropæisk folk, der kom nordfra i flere bølger, og som omkring år 1000 f.Kr. havde gjort sig til herrer over det græske fastland, de omliggende øer og Lilleasiens vestkyst. De organiserede sig i små uafhængige bystater både hjemme i "moderlandet", og hvor de i øvrigt slog sig ned. De udgjorde således en kulturel, men kun sjældent en politisk enhed, i modsætning til de meget centralistiske flodriger i Ægypten og Mesopotamien.

En kop fra ca. 750 f.v.t. med alfabetisk indskrift: Jeg er Korakos' kop.

Vi kender ikke meget til den tidligste historie før og omkring 1000-tallet, den der danner baggrund for de store fortællinger Iliaden og Odysséen, som Homer skrev ned ca. år 800 f.Kr. Der har været et tæt samkvem med andre folkeslag i regionen, og fra fønikerne og de semitiske folk overtog de skriften og skabte det græske alfabet, som resten af Europa siden eftergjorde. Grækerne brugte også bogstaverne som talsymboler. De skrev utroligt meget; men vi har kun meget lidt originalt skriftligt materiale fra denne tidlige periode. Og selv fra højdepunkterne i den græske kultur er det beskedent, hvad der er bevaret af originaltekster. I antikkens Grækenland kender vi således en masse personer; men kun lidt, af hvad de skrev, er bevaret i en form, så vi kan være 100% sikre på, at det, vi har foran os, er lig med det oprindelige. Fra oldtidens Ægypten og ikke mindst fra Mesopotamien har vi derimod et væld af skriftlige overleveringer, men vi aner ikke hvem, der skrev det ned, eller hvem, der tænkte tankerne.

Et af de ældste bevarede fragmenter af "Euklids elementer" (Bog 2, sætning 5) fundet i Oxyrhynchus 150 km syd for Cairo og dateret til ca. 100 efter vor tidsregning.

Påvirkninger fra den minoiske kultur Det første store kulturrige i Europa opstår på Kreta nogenlunde samtidig med, at den ægyptiske kultur vokser frem. Den kaldes den minoiske kultur, opkaldt efter sagnkongen Minos, men af og til betegnes den også paladskulturen, pga. de imponerende paladser, der blev skabt i det forholdsvis lille ø-samfund. Paladset i Knossos havde fx et

Hvad er matematik? OG KULTURFAG! (C)

areal på 20.000 m2 og havde både kloakker og rindende vand. De havde et skriftsprog, som det lykkedes at tyde i 1950'erne, men vi har ikke fundet skriftlige overleveringer om deres matematiske kunnen. Ved at studere deres arkitektur og deres kunstneriske udtryk får vi imidlertid et klart indtryk af en tænkning, der var systematisk og havde et højt abstraktionsniveau. De dyrkede symmetrier og spejlinger og udviklede abstrakte mønstre, ikke mindst spiraler. Når vi tegner mønstre, er det næppe en direkte gengivelse af noget, vi ser i naturen. Men vil vi forstå verden, har vi behov for at skabe orden i kaos, og det gør vi ofte med mønstre. Mønstre er abstrakte, og derved kan tilsyneladende forskellige fænomener illustreres med samme mønster. Mønstergenkendelse er en helt grundlæggende måde, hvormed børn lærer og siden tager deres omverden i besiddelse, og hvormed vi erkender verden. Sådanne abstrakte former er forløbere både for vores talbegreb og for matematikkens geometriske modeller af verden.

Udvalgte eksempler på geometriske mønstre.

Vase fra mykensk tid på Kreta, ca. 1450 f.v.t.. Dekoreret med spiralmønster.

Den minoiske kultur går under omkring 1300 f.v.t., og den beslægtede mykenske kultur på fastlandet gik til grunde et par hundrede år senere. Vi kender ikke årsagerne, og vi ved heller ikke, hvilke folkeslag de var, men deres myter og deres kunstneriske udtryk blev båret videre af de Geometrisk amfora fra Athen, ca. 700 f.v.t. græske stammer, og det i en dekoreret med mange bånd af geometriske sådan grad, at man kalder tifigurer, hvor også de gående krigere og vognoptoget fremtræder som mønstre. den 900 –700 for den geometriske tid. Det er let at forstå, når man ser eksempler som denne amfora. Mønstrene er nu blevet mange og komplicerede, som det illustreres af dette udvalg.

Øvelse 1.1 Udvælg 3 mønstre fra illustrationerne og forklar, hvordan man kunne tegne sådanne mønstre. Hvilke redskaber skulle du evt. bruge. Vi vender tilbage til tegning af spiraler i afsnit 5.2.

Det er også i denne periode, at de mundtlige fortællinger om store bedrifter og om myter bliver til nedskrevet litteratur. Herved fastholdes en lang række ikoniske fortællinger, og de bliver så også gengivet på krukker og vægge af kunstnere og kunsthåndværkere, der udnytter deres tekniske kunnen. Og vi ser allerede her et karakteristisk fælles træk ved kunst og matematik. Stramme regler kan fremme den kreative udfoldelse: At beherske stramme regler giver en større frihed til kreativ udfoldelse.

Påvirkninger fra de store flodkulturer Omkring år 600 f.Kr. bliver presset fra perserne mod Jonien – kolonierne på Lilleasiens (det nuværende Tyrkiets) syd- og vestkyst og øerne ud for – så truende, at stadigt flere emigrerede. De fleste rejste vestpå, hvor de slog sig ned langs middelhavskysten, og specielt grundlagde de en række kolonier i Syditalien. Jonien havde samtidig været det område, hvor påvirkningen fra de kulturelt højerestående folkeslag var mest umiddelbar. Derfor er de første store filosoffer og matematikere, vi hører om, næsten alle fra disse joniske kolonier, fx Thales (ca. 625 – ca. 547) som kom fra Milet, og Pythagoras (ca. 560 – ca. 450) som kom fra øen Samos. Begge tog fra deres hjemstavn og besøgte på lange rejser de to store flodriger. I kapitel 3 af Hvad er matematik? C fortælles om Thales' rejser til Ægypten, og om tunnellen på Pythagoras' fødeø, Samos, der blev konstrueret i denne periode. Om Pythagoras opstod der allerede i oldtiden mange myter, bl.a. fordi kredsen omkring ham var et lukket broderskab, præget af religiøse forestillinger. Ifølge overleveringen måtte de ikke skrive noget ned om deres viden og indsigt, da det så kunne falde i hænderne på uvidende, der ville misbruge det. Men tager vi det med nogle gran salt, kan hans historie måske alligevel illustrere, hvordan den græske matematik blev til. Under rejser til Mesopotamien har han sikkert fået indtryk af matematikkens høje stade der, men denne matematik er snarere en stor samling regler og tabeller, opsamlet pr. erfaring gennem tusind år og nedskrevet på små lertavler, end det er egentlig videnskab eller grundlag for filosofisk overvejelse. Når man nysgerrigt spørger til, om der ikke er en dybere årsag til bestemte regler, så går man analytisk til værks. Man vil forstå og have en forklaring. Det blev en central del af den græske tanke.

1.1 Pythagoræerne Da Pythagoras kommer til Syditalien, samler han en kreds om sig, og de organiserer sig i et lukket, religiøst præget broderskab. Et medlem af inderkredsen i det pythagoræiske broderskab blev kaldt en matematiker, ud fra ordet matematik, der i sin græske version betød "det, der kan læres eller vides". Matematik var altså betegnelsen for det pensum, som Pythagoras underviste sine elever i.

Hvad er matematik? OG KULTURFAG! (C)

Opdagelser som fx den smukke sammenhæng mellem sidelængderne i retvinklede trekanter, eller at tonehøjden i musik kunne karakteriseres ud fra længden af en svingende streng, kan have bestyrket Pythagoras i den opfattelse, at alt i verden styres af og kan beskrives ved hjælp af enkle regler. Udsagnet alt er tal er blevet tillagt ham.

Øvelse 1.2 a) Pythagoræerne ledte efter mønstre i talrækken, som kunne afdække noget om verdens indretning. De interesserede sig bl.a. for de såkaldte figurtal. Find via nettet ud af, hvad dette er, og hvilke sammenhænge der gælder for fx trekanttal, kvadrattal og femkanttal. b) I Hvad er matematik? C findes i kapitel 3, afsnit 5.1 og projekt 3.7 seks forskellige beviser for Pythagoras' sætning. På nettet findes mange flere. Find to forskellige beviser, som du kan gennemgå for din gruppe.

Men ifølge overleveringen opdagede pythagoræerne også på et tidspunkt, at der findes såkaldt inkommensurable størrelser, der geometrisk set svarer til opdagelsen, at der blandt tallene findes irrationale tal, dvs. tal, der ikke kan skrives som brøker. En matematikhistoriker Proklos, der skrev i det 5. århundrede evt., fortæller, at pythagoræerne mente, de havde afsløret en brist i gudernes konstruktion, og de svor, at de aldrig ville afsløre deres hemmelige opdagelse. Men sådan noget slipper jo ud. "De, der bragte disse størrelser frem i det åbne, omkom ved skibbrud alle som én. For det uudsigelige og formløse må nødvendigvis hemmeligholdes". Proklos er en af vore vigtigste kilder, på trods af at han først levede og skrev omkring 1000 år efter begivenhederne. Proklos havde nemlig adgang til en mængde af de skrifter, der siden er gået tabt, og har været så betænksom over for eftertiden at bringe lange citater fra sine kildeskrifter. Ifølge traditionen skulle især den sidstnævnte opdagelse af de inkommensurable størrelser have kastet den pythagoræiske skole ud i en krise, der af mange blev anset for et afgørende vendepunkt i matematikkens historie. Reelt ved vi imidlertid ikke meget konkret om den pythagoræiske skole, og den berømte krise kan meget vel have været en langt senere tids pædagogiske dramatisering af begivenhederne. I afsnit 2.3 vender vi tilbage til opdagelsen af de inkommensurable størrelser. Mange af historierne om Pythagoras skal som sagt læses med et gran salt. De fleste stammer fra en kilde Lamblichus, der først er nedskrevet mere end 900 år efter Pythagoras levede. Og næsten samtidige kilder, som fx Aristoteles' værker, der omtaler Pythagoræerne i rimeligt omfang, giver ikke belæg for forestillingen om en omfattende krise. Du kan hente The complete Pythagoras via hjemmesiden. Værket indeholder al den viden, vi har om Pythagoras.

Øvelse 1.3 I en podcast (engelsk) af Peter Adamson, Kings College i London, som du kan hente på hjemmesiden, diskuterer han Pythagoras' og Pythagoræernes rolle i matematik og filosofi. Giv med udgangspunkt i Peter Adamsons kildekritiske præsentation en kort beskrivelse af Pythagoras som matematiker og filosof.

1.2 Det græske mirakel Den græske matematik er først og fremmest kendt gennem værker af Euklid, Arkimedes, Apollonius og Ptolemaios. Ingen af dem arbejdede i Athen. Men Athen og Athens korte, intense storhedstid var en forudsætning. Selve den grundlæggende idé hos Euklid, nemlig først at klargøre præcis hvilke forudsætninger (= aksiomer) og definitioner, vi bygger på, og derefter logisk udlede (= deducere) sætninger herudfra, udvikles i 400-tallet af en række store filosoffer og matematikere (de fleste var begge dele dengang). Metoden kaldes den aksiomatiskdeduktive metode, og den har ikke alene præget al matematik siden, den har også spredt sig langt ud over matematikkens område. Metoden vandt tilsyneladende så stærkt frem, som tilfældet var, på grund af et meget frugtbart samspil mellem filosofien, matematikken og udviklingen af demokratiet. Rammen var Athen, der med sin autoritet og stærke økonomi efter sejren i Perserkrigene (omkring 480 f.v.t.) fremstod som den absolut førende blandt de græske bystater. Den ledende politiker i Athen var Perikles (495 – 429 f.v.t.). Han kom selv fra en af de store adelsslægter, men han var drivkraften i indførelse af de første elementer af demokrati, hvor nogle af de ledende nu skulle vælges af en folkeforsamling. Det blev Perikles selv, der år efter år blev valgt, og dermed kunne optræde på en stærkere baggrund. For at vinde folk for deres synspunkter, i store som små forsamlinger, studerede politikerne retorik og veltalenhed hos filosofferne. Perikles gjorde en aktiv indsats for at få kunstnere og filosoffer, forfattere og naturvidenskabsmænd til at flytte til byen. Det lykkedes, og det skabte grundlag for den enestående kulturelle blomstring, der fandt sted især i 400-tallet f.v.t.. Filosoffen og matematikeren Anaxagoras fra Klazomenae blev hentet for at være særlig rådgiver for Perikles. Historikeren Herodot fra Halikarnassos fik til opgave at få nedskrevet historien om perserkrigene, sikkert ud fra samme filosofi som da Saxo i Valdemartiden blev sat til at skrive Danmarks historie – historien skulle også bruges til moralsk oprustning og til at fremme bestemte politiske synspunkter. Også kunstnere som billedhuggeren Fidias og skuespilforfatteren Sofokles kom til Athen på opfordring fra Perikles.

Hvad er matematik? OG KULTURFAG! (C)

Vi taler om det græske mirakel, fordi der her på et begrænset område og i en befolkning, der ikke talte voldsomt mange, på bare 150 år var en koncentration uden lige inden for kunst og videnskab. Det var en historisk set kort periode. Allerede efter den peloponnesiske krig og nederlaget til Sparta (år 404 f.v.t.) går det kunstneriske liv i Athen ind i sit efterår. Naturvidenskaberne fortsætter dog flugten mod tinderne et par hundrede år endnu.

Hellenismen – Centrum flytter fra Athen til Alexandria Nedgangen for Athen fører til opløsning af forbundet af græske bystater og dermed nyt pres fra Perserriget. Men sidst i 300-tallet f.v.t. træder nye aktører fra en af de nordlige græske provinser, Makedonien, ind på banen. Alexander den Store (356 – 323 f.v.t.), der havde filosoffen Aristoteles (384 – 322 f.v.t.) som huslærer, besejrede grækernes traditionelle fjende Perserne i tre store slag. Og han fyldte magttomrummet, der herved opstod, og skabte det største sammenhængende rige, verden endnu havde set. Det strakte sig langt ind i Asien og dækkede dele af det nordvestlige Indien. Det fik stor betydning for udvekslingen mellem græsk kultur og indisk kultur, der optog den græske astronomi, men senere udviklede sig selvstændigt i andre retninger end den græske matematik. I Ægypten anlagde Alexander en ny hovedstad for sit ægyptiske rige – Alexandria. Efter Alexanders tidlige død overtog en af hans makedonske generaler lederskabet i Ægypten og udråbte sig som kong Ptolemaios – ikke at forveksle med den berømte astronom Ptolemaios, der kom til at arbejde i Alexandria. Han byggede Museion (hvorfra vi har navnet museum), der var en enorm forskningsinstitution med tilhørende bibliotek i Alexandria. Her samledes al denne tids viden, og her arbejdede i de næste 700 år en ubrudt kæde af de bedste videnskabsmænd – samt en enkelt videnskabskvinde – på at bevare og udbygge denne viden, enten gennem helt nyskrevne værker eller via omfattende kommentarer til de mest betydende værker.

Illy n

Det K

r ie

Aralsøen

r te

havet

Massageter

pis

Makedonien

Sogdiana

Armenien

Frygien

Baktrien

Kappadokien Kilikien

Grækenland

Bitynien

Medien

vet

Partien

Mesopotamien

Kreta

Kypern

Indien Superior

Arien

r ie

Assyrien

Persis

Arabien

n Pe

Ægypten

sk e

Indien

Karmanien Gedrosien

Rød

Aleksanders tog Slag Belejring Byer grundlagt af Aleksander Afvikling af eksisterende by Bjergpass Græsk koloni Persisk kongelig vej Aleksandria

Indien Inferior

Babylonien

ALEKSANDER D. STORES RIGE 334 – 323 f. Kr.

t I n d i s ke H a v

Aleksander den Stores rige (334 – 323 f. Kr.).

1.3 Euklids matematik Det var i Alexandria, at Euklid omkring 300 f.v.t., som en af de første matematikere her, skrev sit hovedværk, Elementer, der samlede og systematiserede den tids matematiske viden og kanoniserede den geometriske tilgang til matematikken. Euklids Elementer består af følgende 13 bøger: Bog I: Elementære konstruktioner Bog II: Geometrisk Algebra Bog III: Cirklens Geometri Bog IV: Regulære Polygoner Bog V: Størrelseslæren Bog VI: Ligedannethed Bog VII: Grundlæggende Talteori Bog VIII: Ligedannetheder ("kædebrøker") i talteori Bog IX: Talteori Bog X: Irrationale tal Bog XI: Rumgeometri Bog XII: Areal og Volumen Bog XIII: Konstruktion af de 5 regulære polyedre Euklid gav ikke selv de 13 bøger særskilte titler. Så disse titler er givet for at angive de enkelte bøgers indhold. Du kan via hjemmesiden finde en samlet og kommenteret præsentation af alle definitioner, sætninger og konstruktioner, der rummes i de 13 bøger, der udgør hans Elementer. Bog I begynder med 23 definitioner, 5 postulater og 5 aksiomer, som er grundlaget for hele den Euklidiske geometri. Hele denne samling er gengivet på siden overfor. Tilsvarende åbner de følgende bøger med definitioner, der knytter sig til det pågældende emne. Vi vil i det følgende illustrere den aksiomatiskdeduktive metode med øvelse 1.4, der rummer en detaljeret gennemgang af beviset for den allerførste sætning i Elementerne, og med øvelse 1.5, der illustrerer strukturen i opbygningen af den euklidiske matematik med gennemgang af de næste 4 sætninger. Dernæst vil vi give en række eksempler på, hvorledes den euklidiske matematik har påvirket tænkningen siden.

Pythagoras' sætning i den græske udgave af Euklids Elementer. Den ældste samlede version af Euklids Elementer er fra 888. Den befinder sig i dag på Bodleians bibliotek i England. En scannet version er lagt ud på nettet i en form, så man kan slå op via en moderne udgave og finde den tilsvarende sætning eller definition i Bodleian versionen. Versionen kan tilgås via hjemmesiden. Alle kan således nu med selvsyn gennemse ophavet til alle de udgaver af Euklids Elementer, der findes.

Hvad er matematik? OG KULTURFAG! (C)

Definitioner 1. 2. 3. 4.

Et punkt er det, der ikke kan deles. En linje er en længde uden bredde. En linjes begrænsninger er punkter. En ret linje er en linje, som ligger lige mellem punkterne på den. 5. En flade er det, der kun har en længde og en bredde. 6. En flades begrænsninger er linjer. 7. E n plan flade er en flade, som ligger lige mellem de rette linjer i den. 8. En plan vinkel er hældningen mellem to linjer, der ligger i samme plan, har et punkt fælles og ikke ligger på en ret linje. 9. Når de linjer, der indeslutter vinkler, er rette, kaldes vinklen retlinjet. 10. Når en ret linje er oprejst på en anden, så at de ved siden af hinanden liggende vinkler bliver lige store, er enhver af de lige store vinkler ret; og denne rette linje, der er oprejst på den anden, kaldes vinkelret på denne. 11. E n stump vinkel er en vinkel, som er større end en ret. 12. En spids vinkel er en vinkel, som er mindre end en ret. 13. En omkreds er begrænsningen af noget. 14. En figur er det, der indesluttes af en eller flere omkredse. 15. En cirkel er en plan figur, indesluttet af en sådan linje (som kaldes periferien), at alle de rette linjer, der kan trækkes ud til den fra et inden for figuren liggende punkt, er indbyrdes lige store. 16. Dette punkt kaldes centrum i cirklen. 17. En diameter i cirklen er en ret linje, trukket gennem centrum og begrænset til begge sider af cirkelperiferien, og den halverer også cirklen. 18. En halvcirkel er en figur, som indesluttes af en diameter og den af diameteren afskårne periferi. Halvcirklens centrum er det samme som cirklens. 19. R etlinjede figurer er sådanne, som indesluttes af rette linjer: tresidede, som indesluttes af tre, firesidede af fire, flersidede af flere end fire rette linjer. 20. Af tresidede figurer kaldes den, der har alle tre sider lige store, en ligesidet, den som kun har to sider lige

store, en ligebenet, og den, som har alle tre sider ulige store, en skæv trekant. Af tresidede figurer kaldes endvidere den, der har en ret vinkel, en retvinklet, den, der har en stump vinkel, en stumpvinklet, den, der har alle tre vinkler spidse, en spidsvinklet trekant. 21. Af firesidede figurer kaldes den, der både er ligesidet og retvinklet, et kvadrat, den, der er retvinklet, men ikke ligesidet, et rektangel, den, der er ligesidet, men ikke retvinklet, en rhombe, den, der både har modstående sider og vinkler lige store, men hverken er ligesidet eller retvinklet, en rhomboide, de øvrige firesider kunne kaldes trapezer. 22. Parallelle linjer er rette linjer, der ligger i samme plan, og som, når de forlænges ubegrænset til begge sider, ikke mødes til nogen af siderne.

Postulater Lad det være forudsat: 1. At man kan trække en ret linje fra et hvilket som helst punkt til et hvilket som helst andet punkt. 2. A t man kan forlænge en begrænset linje til en ret linje, så de går ud i ét. 3. At man kan tegne en cirkel med et hvilket som helst centrum og en hvilken som helst radius. 4. At alle rette vinkler er lige store. 5. At når en ret linje skærer to rette linjer og de indvendige vinkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linjer, når de forlænges ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler, der er mindre end de to rette, ligger.

Almindelige begreber (Aksiomer) 1. Størrelser, der er lige store med samme størrelse, er indbyrdes lige store. 2. N år lige store størrelser lægges til lige store størrelser, er summerne lige store. 3. Når lige store størrelser trækkes fra lige store størrelser, er resterne lige store. 4. Størrelser, der kan dække hverandre, er indbyrdes lige store. 5. Det hele er større end en del deraf.

Ovenstående er gengivet fra Thyra Eibes oversættelse, der stadig er den eneste samlede oversættelse til dansk. Der er foretaget enkelte redaktionelle ændringer for at bringe teksten i overensstemmelse med moderne sprogbrug. Bemærk specielt, at ordet rhomboide næppe anvendes mere, mens ordet trapez har en anden betydning i dag.

Øvelse 1.4

Bevis for Euklids første sætning

Du skal nu gennemføre beviset for sætning 1.1: "At konstruere en ligesidet trekant på en begrænset ret linje." Find selv undervejs de få udvalgte definitioner, postulater og aksiomer, der er nødvendige for at kunne bevise denne sætning. a) Find først sætningen og beviset gengivet i Bodleians udgave på hjemmesiden, og overvej, hvorfor den viste figur netop resulterer i konstruktionen af en ligesidet trekant. Nedenfor er beviset for sætningen angivet med kommentarer (grøn tekst) og den tilhørende konstruktion. b) Gennemarbejd beviset ved samtidigt at gennemføre konstruktionen i dit dynamiske geometriprogram: Bevis: Konstruktion: Lad AB være den givne rette linje. Der skal nu konstrueres en ligesidet trekant på AB.

Kommentar: Linjestykket AB er altså afsat tilfældigt. Lad cirkel BCD være tegnet med A som centrum og AB som radius [ifølge Postulat 3], … Kommentar: Punktet B er altså et randpunkt. Punktet C er slet ikke konstrueret endnu, og punktet D indføres kun for at kunne referere til cirklen som cirklen BCD!

… og endvidere cirkel ACE med B som centrum og BA som radius, … Kommentar: Punktet A er altså et randpunkt for cirklen. Punktet C er stadigvæk ikke indført, og punktet E indføres kun for at kunne referere til cirklen ACE!

Hvad er matematik? OG KULTURFAG! (C)

… og lad de rette linjer CA og CB være trukket fra punktet C hvor cirklerne skærer hinanden, til punkterne A og B [ifølge Postulat 1]. Kommentar: Først til allersidst røbes det, at C er et skæringspunkt mellem de to cirkler, hvilket selvfølgelig fremgår af den færdige figur. Derefter kan vi trække linjestykkerne CA og CB fra C til henholdsvis A og B. Herefter er den ligesidede trekant ABC færdigkonstrueret.

Da punktet A er centrum i cirklen CDB, er AC lig AB [i følge Definition 15]; og da punktet B er centrum i cirklen CAE, er BC lig BA. Og det blev også bevist, at CA er lig AB; Både CA og CB er altså lig AB. Men de (størrelser) som er lig samme tredje (størrelse), er lig hinanden [ifølge Aksiom 1]. Altså er CA lig CB. De tre linjer CA, AB og BC er altså lige store. Derfor er trekant ABC ligesidet [ifølge Definition 20]. Og den er konstrueret på den rette linje AB. Hvilket skulle gøres. Kommentar: Denne sidste del er en minutiøs godtgørelse af, at trekanten som påstået faktisk er ligesidet – måske svarer den til dit svar i spørgsmål a)?

Potteskår fundet i den ægyptiske by Elephantine. Inskriptionen er et lille fragment fra Euklid. Potteskåret er dateret 1– 200 år efter Euklid skrev sit værk. Det er givetvis fra en undervisningssituation.

Til de følgende øvelser, hvor vi hele tiden refererer til Euklids matematik, kan det være en fordel at have et vist overblik over hans system og at have orienteret sig i det på forhånd. Du kan via hjemmesiden få en god indføring i Euklids matematik, med forklaringer på alle definitioner og aksiomer og med en demonstration af metoden via en gennemgang af de forskellige sætninger og konstruktioner.

Strukturen i Euklids Elementer Øvelse 1.5 Læs de første 4 propositioner (sætninger) i kapitel I, enten via den danske oversættelse, eller ved at gå ind på førnævnte hjemmeside, og udfyld et skema, hvor du krydser af, hver gang Euklid anvender definitioner, forudsætninger eller allerede viste sætninger. Skemaet, der er gengivet her, kan hentes via hjemmesiden. Hos Euklid skelnes mellem postulater, der er ting, vi tager for givet i et bestemt område, som her plangeometri, og aksiomer, der er ting, vi tager for givet i al matematik. I moderne matematik skelner vi ikke – det hele kaldes aksiomer. Notér også ned, hvis Euklid bruger noget, du mener, han ikke har belæg for. Definitioner

Postulater

Skriv nummer

Aksiomer 4

Sætninger eller konstruktioner 3

5 1 Konstruktion af ligesidet trekant 2 Flytning af liniestykke 3 Afsætn. af liniestykke 4 Kongruenssætn 5 6

Er der huller i Euklids argumentation? Hilberts moderne aksiomsystem (især for A) Ambitionen med Euklids Elementer var at opbygge en aksiomatisk deduktiv teori, især inden for geometrien. En teori, hvor alle ræsonnementer bygger på definitioner og aksiomer, der er fastlagt fra starten, samt på de tidligere sætninger, der er vist undervejs. Teorien kom til at danne skole for andre dele af matematik og for andre fag. Men holder projektet? Omkring år 1900 udarbejdede datidens største matematiker David Hilbert (1862 –1943) et bud på et moderne aksiomsystem. Den ene type af spørgsmål gik på, om man kunne nøjes med mindre end de 5 postulater og 5 aksiomer. Gennem hele matematikhistorien har man drøftet, om parallel-postulatet mon ikke kunne bevises ud fra de andre aksiomer. De utallige forsøg strandede altid, men forsøget på at vise det medførte meget positivt for matematikkens udvikling. Striden blev afgjort, da matematikere i det 19. århundrede konstruerede ikke-euklidiske geometrier. Historien om parallelpostulatet vender vi tilbage til på B- og A-niveau.

Hvad er matematik? OG KULTURFAG! (C)

Den anden type af spørgsmål gik på, om der ikke var mangler, om man ikke havde brug for flere postulater. Allerede den græske kommentator Proklos fra ca. 410 – 485 skrev en kritisk kommentar til Euklid, hvor han påpegede adskillige svagheder. I årene omkring 1900 begyndte en række filosoffer og matematikere at give nye bud på en fuldstændig Euklid uden huller, hvilket igen førte til mange nye overvejelser omkring aksiomsystemerne og deres rolle. På A-niveau vil vi beskæftige os mere grundigt med forskellige aksiomsystemer, men her kan du selv prøve at gå på opdagelse og lege detektiv: Hvor er der huller i Euklids argumentation, hvor bruger han resultater, han ikke har redegjort for? Hele Hilberts aksiomsystem kan du finde i projekt 10.1 på hjemmesiden. Nedenfor er gengivet et uddrag.

Hilberts 16 aksiomer – Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri (Bemærk, at der nogle steder anvendes begreber, der skal defineres, fx i nr. 4 anvendes begrebet: at ligge på samme / modsatte side af en linje. I Hilberts aksiomsystem indgår derfor også en lang række definitioner.) Skæringsaksiomer 1. Hvis P og Q er to forskellige punkter, findes der præcis én linje som indeholder både P og Q. 2. For hver linje, l findes der mindst to forskellige punkter på l. 3. D er findes tre forskellige punkter med den egenskab, at ingen linje indeholder alle tre. Beliggenhedsaksiomer 1. Hvis punktet B ligger mellem A og C, så er de tre punkter forskellige og ligger på samme linje, og B ligger også mellem C og A. 2. Hvis B og D er to forskellige punkter, så findes der yderligere tre punkter A, C og E på linjen gennem B og D, således at: - B ligger mellem A og D. - C ligger mellem B og D. - D ligger mellem B og E. 3. Hvis A, B og C er tre forskellige punkter, der ligger på samme linje, så er der præcis ét af punkterne, der ligger mellem de andre to. 4. Hvis l er en linje og A, B og C er tre forskellige punkter, der ikke ligger på l, så gælder: - Hvis A og B ligger på samme side af l, og B og C ligger på samme side af l, så ligger A og C på samme side af l. - Hvis A og B ligger på modsat side af l, og B og C ligger på modsat side af l, så ligger A og C på samme side af l.

Kongruensaksiomer De følgende aksiomer fastlægger, hvad vi forstår ved kongruens. Det er i overensstemmelse med vores intuitive opfattelse af, hvad det vil sige, at to objekter er kongruente: Det betyder, at man kan "flytte" det ene objekt, så det præcis dækker det andet. Men i et aksiomsystem fastlægges betydningen af ordet præcis af de følgende aksiomer. 1. Hvis A og B er to forskellige punkter, og A' er et vilkårligt tredje punkt, så vil der på hver halvlinje der udgår fra A', findes præcis et punkt B', der er forskellig fra A', og så AB er kongruent med A'B'. Vi siger: "Linjestykker kan flyttes." Notation: Vi bruger symbolet ≅ for kongruens, dvs. : AB ≅ A'B'

…

4. G ivet en vinkel ∠BAC og en halvlinje A'B', der udgår fra et punkt A', så findes der på hver side af linjen A'B' præcis én halvlinje A'C', således at ∠BAC = ∠B'A'C'. Vi siger: "Vinkler kan flyttes. " … Kontinuitetsaksiomer 1. Hvis en cirkel C har et punkt indenfor og et andet punkt udenfor en anden cirkel C', så vil de to cirkler skære hinanden i to punkter. 2. Hvis et linjestykke har det ene endepunkt inden for en cirkel og det andet endepunkt uden for cirklen, så skærer linjestykket cirklen i et punkt. … Eksempler på Hilberts definitioner Tegn selv figurer, der illustrerer hver af definitionerne. … Definition af indre punkt i en vinkel Hvis vi har givet en vinkel ∠CAB, så kaldes et punkt D for et indre punkt i vinklen, hvis D ligger på samme side af linjen AC, som B gør, og hvis D ligger på samme side linjen AB, som C gør. … Definition af det indre i en trekant Det indre i en trekant er mængden af alle punkter, der er indre i hver af de tre vinkler. Et ydre punkt er et punkt, som hverken er indre eller ligger på trekantens sider. Definition af det indre i en cirkel Givet en cirkel med centrum O og radius OR. Et punkt P kaldes et indre punkt, hvis OP < OR og kaldes et ydre punkt, hvis OP > OR.

Øvelse 1.6 Hilberts og Euklids aksiomsystemer a) Udfør tegninger, der kan illustrere Hilberts aksiomer og definitioner, der er gengivet ovenfor. Kan du begrunde, at de er nødvendige? b) Kan du ved hjælp af Hilberts aksiomer finde huller i Euklids system, som vi undersøgte i øvelse 1.5?

Hvad er matematik? OG KULTURFAG! (C)

Den euklidiske tankegang i europæisk kulturhistorie Euklids Elementer den verdslige bog, der er mest udbredt, og som er oversat til flest sprog. Den metode, vi finder i Euklids Elementer, og som kaldes den aksiomatiskdeduktive metode, blev i oldtiden formuleret i sin reneste form af Euklid, men Euklid sammenfattede blot, hvad der i den græske kulturkreds gennem flere hundrede år var udkrystalliseret som normer for videnskab og ræsonnement. Metoden kan i forskellige udtryksformer også findes i litteratur og kunst, og i retorik og filosofi i det græske samfund. Euklids Elementer blev den vigtigste undervisningsbog inden for geometri, da bogen vendte tilbage til Europa efter middelalderens kulturelle formørkelse. Geometri blev et obligatorisk fag for al videregående skoleundervisning og kom også til at indgå i alle universitetsstudier. Enhver, der startede på et europæisk universitet efter 1200-tallet, skulle tage 7 obligatoriske fag, 4 inden for naturvidenskab – astronomi, geometri, aritmetik og musik, der udgjorde det såkaldte quadrivium – og 3 inden for de humanistiske videnskaber – retorik, grammatik og logik, der udgjorde det såkaldte trivium. Det betyder, at enhver, der tog en universitetseksamen, om det var som teolog eller læge eller inden for jura eller naturvidenskab, havde studeret både Euklid og Aristoteles. Dermed kom den euklidiske tankegang til at påvirke hele den europæiske kulturkreds. Med euklidisk tankegang menes den måde at ræsonnere på, hvor man bygger på en række (mere eller mindre klart formulerede) definitioner og aksiomer, og hvor ny naturvidenskabelig, filosofisk eller samfundsvidenskabelig indsigt udledes (deduceres) logisk ud fra de oprindelige aksiomer. De grundlæggende definitioner og aksiomer sætter også rammen for skabelsen af arkitektur og for kunstnerisk aktivitet. Nedenstående eksempler er fra projekt 10.2: Den euklidiske tankegang i europæisk kulturhistorie, som du kan hente via hjemmesiden. Projektet omfatter både eksempler fra Euklids forgængere indenfor filosofi og litteratur – Aristoteles' Logik og Homers Iliade – og eksempler på sådanne skelsættende værker med tydelige euklidiske fingeraftryk som Spinozas Etik, Newtons Optik, Den amerikanske uafhængighedserklæring og Russels og Whiteheads Principia Mathematica. Vælg selv ud blandt disse eksempler, hvad der kan passe naturligt ind i et fagligt samarbejde. Eller inddrag et eller flere af disse eksempler som illustration i matematikundervisningen.

Eksempel: Homers Iliaden og Odysseen Homers Iliaden og Odysseen er skrevet i den samme kulturkreds, som siden frembragte matematikken. De to store fortællinger er skrevet på vers efter ganske bestemte principper, såkaldte heksametre. Også Otto Steen Dues nyoversættelse følger de klassiske krav. Første linjer af Iliaden lyder:

Syng os, gudinde, om vreden der greb Peleiden Achilleus, vreden, den fæle, som voldte Achaierne tusinde kvaler,