9 Dorte Kofoed Lene Junge Malene Schott Christensen Stine Dunkan Tina Vrensted Ritter Julie Vangsøe
ALINEA
9 Dorte Kofoed Lene Junge
Malene Schott Christensen Stine Dunkan Tina Vrensted Ritter Julie Vangsøe
ALINEA
Format 9, Elevbog/Web er en flergangsbog til undervisningen i 9. klasse. Elevbogen indeholder 10 faglige kapitler, der hver behandler et fagligt område, som gradvist udvides i de tre bøger i overbygningen. Alle kapitler begynder med en introaktivitet, hvor hele klassen er aktiv. Herefter følger en række alsidige opgaver, som præsenterer eleverne for flere forskellige måder at lære og arbejde på.
Format til udskolingen består af følgende materialer: • Elevbog/Web – inkl. format.alinea.dk med digitale resurser til elevbogen, samt elevdelen af MitFormat, der indeholder digital evaluering og værksteder. • Materialekasse til hele udskolingen. • Lærervejledning/Web – inkl. format.alinea.dk med digitale resurser til elevbogen, samt lærerdelen af MitFormat. • Tavlebog. • Flexbog.
Elevbogen er basisstof, som alle elever arbejder med. På de fleste sider er der indlagt følgende ikoner:
Deltagerikon Viser, hvor mange elever det er hensigtsmæssigt at være til opgaven.
Kopiark Viser, at en opgave løses ved hjælp af kopiarket, eller at der er supplerende opgaver på kopiarket.
GeoGebraikon Viser, at der er udarbejdet en GeoGebrafil, der kan hentes på format.alinea.dk.
Regnearksikon Viser, at der er udarbejdet en regnearksfil, der kan hentes på format.alinea.dk.
Skydeskiveikon Viser, at der bliver introduceret nyt matematisk stof. Det kan være formler eller tegninger. Efterfølgende gives der eksempler.
2
Har du bog, har du web! alle
1.13
Format til mellemtrinnet og udskolingen er omfattet af konceptet Har du bog, har du web! Det betyder, at når du køber Elevbog/Web eller Lærervejledning/Web får du samtidig adgang til en række digitale resurser på websitet format. alinea.dk herunder MitFormat.dk. MitFormat.dk er et website, hvor eleverne arbejder digitalt med evaluering og værksteder.
Indhold
1 Tal
side 4-15
2 Brøker, decimaltal og procent
side 16-27
3 Algebra
side 28-37
4 Funktioner
side 38-47
5 Ligninger og uligheder
side 48-55
6 Geometri
side 56-67
7 Trekanter
side 68-77
8 MĂĽling
side 78-83
9 Statistik og sandsynlighed
side 84-93
10 Kunst og design
side 94-103
3
1 Tal
eller flere tal lagt sammen
rod og en eksponent, fx 103, roden er 10 og
- det kaldes addition.
Leg med tal 1 Begrebsudveksling
En potens består af en
Sum er to
eksponenten er 3.
Hvad er
alle
1.01
summen af 199 og 57?
Træk hver en brik fra kopiarket. Gå rundt mellem hinanden, og find sammen to og to. Den ene starter med at stille et spørgsmål eller en opgave, som passer til brikken. Den anden svarer eller beregner, og kommer med et bud på selve begrebet. Træk en ny brik, og gentag.
2 Ordfyld
1.02
5 Største tal med 3 cifre
Skriv de manglende begreber eller tal på kopiarket.
3 Fuldkomne tal
(44)4=4.294.967.296
a Undersøg, hvad det største tal kan blive, når der
2
Et fuldkomment tal er et tal, der er lig summen af alle de hele tal, der går op i tallet. 28 er et fuldkomment tal, fordi divisorerne i 28 er 1, 2, 4, 7 og 14, og 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. a Undersøg, hvilke af tallene op til 30, der er fuldkomne. b Euklid viste, at funktionen f(n)=(2n–1)2(n-1) giver et fuldkomment tal, hvis 2n–1 er et primtal. Udfyld skemaet i regnearksfilen, og find de 5 første fuldkomne tal. c Undersøg parvis i regnearksfilen, om Euklids påstand i opgave b er sand eller falsk og svar på opgaverne i filen.
4
Fremstil et spil, hvor der indgår bevægelse. Udtænk spillet til jeres klassekammerater, som afprøver det. Målet med spillet er, at I bliver fortrolige med potenser på forskellige måder. Kravene til spillet er, at der skal indgå en spilleplade, tre terninger, hvor den ene repræsenterer et negativt tal, og en spillevejledning. Det er valgfrit, om der skal indgå spillebrikker.
4
Tal
6 Så stor
a Udfyld skemaet i regnearksfilen.
mellem 1 og 10 Videnskabelige tal er tal potenser: tier d me ret lice ltip mu er et helt tal. n og n 10 < x . 10 , hvor 1 < x 10 = 5,5231 . 10 00 0.0 .00 231 55. : pel Eksem
Ny påstand: Funktionen g(n)=(2(n+1)–1) n 2 er et fuldkomment tal, hvis 2(n+1) –1 er et primtal.
4 Spiludvikling
anvendes tre 2-taller. Benyt regnearternes hierarki og potensregning. b Undersøg, hvordan tallet 19.683 er fremkommet af tre 2-taller ved hjælp af regnearternes hierarki og potensregning.
Halveringstid Halveringstid er den tid, der går, før mængden af et radioaktivt stof reduceres til det halve. Thorium-232 tager 14.000.000.000 år, Uran-238 tager 4.500.000.000 år og Kalium-40 tager 1.280.000.000 år. Proxima Centauri er Solens nærmeste stjerne, og den ligger ca. 4,2 lysår væk. Solen er en stor energikilde. I kernen af Solen omdannes hydrogenkernen til heliumkerne, og der frigives energi i form af lys, varme og andre strålingsformer. Denne proces kaldes for fusion. På et sekund omdannes 5.000.000 t til energi. Solen kan afgive energi i 5.000.000.000 år endnu. Kernetemperaturen er 15.000.000 °C. Overfladetemperaturen er 5.700 °C. Kilde: Citat Energiens Univers 2, forlaget Matematik
b Beregn afstanden i kilometer fra stjernen til Solen. Et lysår (forkortet ly) er 9.467.020.800.000 km. Skriv en forklaring på din fremgangsmåde. c Skriv halveringstiderne med den videnskabelige skrivemåde.
2
10 Kvotientrækker
Mindste fælles multiplum, mfm Mfm for to eller flere tal er det mindste tal, som alle tallene går op i. Mfm for tallene a og b skrives mfm(a,b). 1 1 Mfm er den mindste fællesnævner for brøkerne: og a b Eksempel: mfm(2,3) = 6
Størst fælles divisor, sfd
Kvotientrække En kvotientrække er en talfølge, hvor hvert tal divideret med det foregående giver samme kvotient. Eksempel: 1, 3, 9, 27, 81
Sfd for to hele tal er det største hele tal, der går op i dem begge. Sfd for tallene a og b skrives sfd(a,b). a Sfd er det største tal, som brøken kan forkortes med. b Eksempel: sfd(12,18) = 6
Primfaktoropløsning Et naturligt tal kan opløses i primfaktorer, når det er skrevet som produkt af primtal. Resultatet kaldes for tallets primfaktoropløsning.
hvor
3 9 27 81 == = = 3 1 3 9 27
a Fremstil en kvotientrække med kvotienten 4, og skriv herefter det n’te tal. b Undersøg, hvordan regneark kan benyttes til at finde talfølgen for kvotienten 4, og for et vilkårligt tal n. c Beskriv jeres fremgangsmåde i en skærmoptagelse fx i Explain Everything i SkoleTube, så en elev fra 8. klasse kan forstå det. d Vurder, hvilket hjælpemiddel, der er mest hensigtsmæssigt, når en kvotientrække skal findes.
30 = 2 . 3 . 5
Eksempel:
Differensrække En differensrække er en talfølge, hvor der er samme forskel (differens) mellem ethvert led og det foregående. Summen S af n på hinanden følgende led i en differensrække findes med formlen: n S= ⋅ ( a1 + an ) 2
7 Mindste fælles multiplum Find mindste fælles multiplum for følgende tal. mfm(5,14) mfm(9,15) mfm(4,18)
a1 er værdien af det første led, an er værdien for det sidste led, og n er antallet af led.
mfm(6,72)
mfm(8,13) mfm(11,5)
Eksempler: 3, 6, 9, 12, 15 (differens 3)
8 Største fælles divisor
2, 1, 0, –1 (differens –1)
Find den største fælles divisor for følgende tal. sfd(12,84)
sfd(18,27)
sfd(18,54)
sfd(8,48)
sfd(21,49)
sfd(20,125)
sfd(90,135)
sfd(110,132)
sfd(120,144)
a Beregn den manglende
a Beskriv forskellen på et sammensat tal og et primtal. b Skriv primfaktoropløsningen af nedenstående tal.
105
2
11 Differensrækker
9 Primfaktoropløsning
30
5 (3 + 15) = 45 2 4 S = ⋅ (2 + ( −1)) = − 4 2
S=
45
60
64
120
189
256
variabel på skiltene. b Fremstil et regneark, hvor summen kan beregnes, når antallet af led, værdien af første led og værdien af sidste led er opgivet. c Giv en kort vurdering af fordele og ulemper ved brugen af regneark og lommeregneren, når S skal beregnes.
n = 10, a1 = 12, an = 15 n = 7, a1 = – 4, an = 10
n = 5, a1 = 7, an = –13
S = 99, a1 = 5, an = 13 S = 32, n = 4, a1 = 6 S = 112, n = 14, an = 18
Tal
5
Leg med tal
14 Stregregning 4
12 Rummi-rækker Jeg har to brikker,
som passer sammen.
2
1.03
I dag skal vi prøve en kinesisk metode for
Jeg har kvotient-
Mine brikker passer ikke
tallet 4. Jeg ta’r
sammen med dem på bor-
jokeren og
det. Jeg trækker en brik.
gemmer den.
multiplikation, hvor man tegner streger.
Vi vil finde resultatet af 12 multipliceret med 23.
12 23
12 23
276
276
Punkterne længst til højre viser
enere, og punkterne til venstre viser
Tegn de to tal med
streger som vist her. Jeg kan lægge
8 2
til.
Klip brikkerne fra kopiarket ud, og læg dem med bagsiden opad i en bunke på bordet. Spil Rummi-rækker ud fra reglerne på kopiarket.
hundrederne. I midten står ti’erne. Resultatet er 276.
12 23
12 23
276
276
2
13 Russisk bondealgoritme
a Afprøv metoden fra
En russisk bondealgoritme er en metode til at
multiplicere to tal.
14 . 12 123 . 321 tegningen på tre af opgaverne til højre. b Fremstil en tegneserie fx 212 . 13 27 . 31 i Pixton i SkoleTube, der viser metoden til at 456 . 432 multiplicere med to 3-cifrede tal. I jeres tegneserie 412 . 223 skal I inddrage regning med tierovergang.
15 Et lille trick a Skriv en opskrift på, hvordan den russiske bondealgoritme fungerer ved at tage udgangspunkt i regnemetoden i skemaet. b Udregn følgende opgaver ved hjælp af den russiske bondealgoritme, og tjek herefter facit med en lommeregner.
72 . 20
21 . 12
c Forklar i en lydoptagelse, hvor fordobling og halvering inddrages, hvordan I regner en af opgaverne fra den russiske bondealgoritme ved hjælp af jeres opskrift fra opgave a.
6
Tal
Skriv et 3-cifret tal. Skriv tallet igen, så I har et 6-cifret tal. Dividerer jeres 6-cifrede tal med 7. Dividerer det nye tal med 11. Prøv til sidst at dividere tallet med 13. Hvilket tal ender I med?
84 . 14
23 . 45
19 . 6
alle
a Følg parvis opskriften og noter tallet, som I ender med. b Vælg tre tal, og undersøg om opskriften gælder for disse. Diskuter med nabogruppen, hvordan I kan overbevise andre om, at opskriften gælder for alle tal. c Opstil din egen opskrift, og lad den indgå i klassens fælles Kahoot. Afprøv kammeraternes opskrifter, og foretag en mobil afstemning om den bedste opskrift.
2-3
16 Fuglemønster
Sløjfe En sløjfe (eller en opskrift) beskriver regneoperationerne, som kan udføres på et tal, fx x 1 x → + 1 , hvis x = 1, så bliver sløjfen 1 → + 1 = 1,5 2 2
V-mønster
Sløjfen gentages et bestemt antal gange, fx tre gange Trin
1
2
3
4
Antal fugle
3
5
7
9
n Start tal
a b c d
Beskriv V-mønstrets udvikling ved hjælp af et regneark. Find antallet af fugle i trin 9, og forklar fremgangsmåden. Find formlen for antallet af fugle i V-mønsteret. Undersøg, om det er muligt at tegne et V-mønster med 35.778 fugle. e Fremstil en præsentation, hvor I formidler jeres resultater med billeder og mundtlige forklaringer. I kan fx benytte PowToon i SkoleTube.
2. gang
3. gang
x=1
x = 1,5
x = 1,75
1 1,5 1,75 1 → + 1 = 1,5 1,5 → + 1 = 1,75 1,75 → + 1 = 1,875 2 2 2 Sløjfen 1 1,5 1,75 1 → + 1 = 1,5 1,5 → + 1 = 1,75 → + 1 = 1,875 2 2 2 2
19 Sløjfeopgaver
x + 1 i regnearksfilen. 2 b Hvad kan konkluderes efter 10 gentagelser?
a Færdiggør sløjfen x →
c Undersøg, hvordan det vil gå med disse sløjfer.
17 W-mønster
a Udfyld skemaet i regnearksfilen. b Find en formel, hvor n benyttes, så nummer 25 kan beregnes.
18 Strimler
1. gang
2
a Udfyld skemaerne i regnearksfilen. b I skal undervise 8. klasse i talfølger, hvor det centrale er fremgangsmåden til at finde tallene i en talfølge og den generelle formel. I bestemmer selv, hvilken præsentationsform I benytter.
x →3 −
x 2
x→
x 1 + 2 x
x→
x +1 2
d Bliver konklusionen den samme i opgave b og c? 4
20 Talrækketrækspillet
Talfølgeliste: 1. 2. 3. 4.
Træk det samme tal fra hele tiden. Tallet springer altid med det samme kvadrattal. Multiplicer tallet med et primtal. Lad hver anden ….
a Skriv videre på listen over forskellige måder, en talfølge kan være fremkommet på. Inddrag gerne nogle af begreberne fra opgave 1. b Opstil ud fra din liste på hver sit stykke papir tre talfølger, der indeholder mindst fire tal, og de generelle formler. Byt herefter gruppens talfølger og den generelle formel til disse talfølger med nabogruppen. c Læg nabogruppens talfølger og de generelle formler med forsiden opad. Træk på skift et af papirerne med en talfølge, find systemet i talfølgen og skriv de næste 3 tal. Herefter findes papiret med de generelle formler på talfølgen. Hvis gruppens medlemmer kan godkende de to stykker papirer gives 3 point. Fortsæt spillet, indtil alle papirerne har været i spil. Vinderen er den med flest point.
Tal
7
Den n’te rod
23 Begrundelse 2
21 Find par
1.04
9⋅ 9 =9 2 ≠2
16 + 9 = 25
Definition af den n’te rod a
Begrund, hvorfor nedenstående udsagn er sande. 16 + 9 ≠ 25
Klip brikkerne på kopiarket ud, og spil Find par.
n
2
n er rodeksponenten, a er radikanden.
2
24 Gæt og regn
Hvis n er lige og større end 0: n a = b hvis og kun hvis b > 0 og bn = a
Hvilke to hele tal ligger 7
imellem? Og hvilket decimaltal svarer 7 til?
Hvis n er ulige og større end 0: n a = b hvis og kun hvis bn = a Desuden defineres: n 0 = 0 Eksempler: 4 16 = 2 da 2 > 0 og 24 = 16 (rodprøve) 5 −243 = −3 da (–3)5 = –243 (rodprøve)
Godt bud. Fortsæt opgaven
- der er fire opgaver mere:
3
65
84
119
Vi gætter på, at 7 ligger
mellem 2 og 3 vores bud er 2,45.
alle
22 Match 25 ⋅ 4 144
81 9
225 25
169
4⋅ 9 100
100 ⋅ 9 36 4
3 6 10
a Gæt i fællesskab på, hvilke to hele tal kvadratrødderne ligger imellem. Skriv herefter decimaltallet (2 decimaler) til hver kvadratrod. b Udregn kvadratrødderne. Hvor langt var jeres gæt fra kvadratrøddernes facit? c Skriv en kort forklaring på fremgangsmåden i opgave a i jeres formelsamling under kvadratrødder. d Hvilken talmængde tilhører disse tal?
25 Kvadratrødder på messe
alle
12 13 30 Til hvert udtryk i de grønne bokse findes der en blå boks med samme værdi. Værdien af brikkerne i den blå boks kan benyttes flere gange. a Match et grønt udtryk med en blå værdi. b Benyt regnereglerne i træet til at finde den rigtige regel til det matchende par. c Foretag en rodprøve på mindst to af de matchende par. d Fremstil en quiz, der omhandler regnereglerne og eksempler, som hele klassen kan deltage i.
8
Tal
a Vælg to af kvadratrodsreglerne. Redegør trin for trin for, hvad der sker matematisk, når kvadratrodsreglen anvendes. Gennemgå reglerne med et taleksempel. b Fremlæg som en stand på en messe. Alle grupper viser deres arbejde samtidigt. I skiftes til at fortælle om jeres egne kvadratrodsregler med tilhørende taleksempler og til at gå rundt og besøge de andre stande.
2
26 Kubiktal
a Find mindst to eksempler fra jeres omverden, hvor kubiktal benyttes. Søg gerne på internettet. b En terning har rumfanget 3,375 cm3. Bestem terningens overflade. c En kasse har rumfanget 0,768 m3, en højde på 1,2 m og en kvadratisk grundflade. Bestem sidelængden på grundfladen. d Per og Marie vil prøve at beregne ( 25 + 24) 2 uden brug af lommeregner. Per siger, at resultatet er 7, mens Marie holder på 49. Begrund hvert af svarene og afgør, om det er Per eller Marie, der har ret.
29 Sammenhæng
a Beskriv sammenhængen mellem kubikrod og potenstal ud fra de fire eksempler.
3
8 23
3
Klip brikkerne på kopiarket ud, og fremstil jeres eget spil.
3
216
28 Rod i mailen
3
8. 000
2
64 53
512 3
3
343
3
1. 000
3. 375
3
1. 331
1. 728
Definition af potens med stambrøk som eksponent En stambrøk har altid tælleren 1.
Hej
1
Her er opgaverne fra matematiktimen. Skriv udtryk og regn ud når: • Rodeksponenten er 3, og radikanden er 216. • Rodeksponenten er 4, og roden er 5.
an = n a 1 Ved kvadratrod skrives formlen således: a 2 = a
Eksempler: 1
1
= 81 2
1= . 0003
• Roden er 9, og radikanden er 6561.
= 83
Find selv på et udtryk som din makker løser. Opstil
Ved hjælp af potensregneregler:
udtrykkene på samme måde som ved definitionen af den n’te rod, og beregn det manglende element i hver
3
1
1
Beregn den n’te rod af tallene og foretag rodprøven:
64 3 −8 3 8 5 5 −189 16 189 Håber, du snart bliver frisk igen. Vi ses
= 1. 000 10
3
⋅n
n ( a n= ) n a= a1 = a 1
opgave. 3
3
stående udtryk.
1.05
a Løs opgaverne i mailen.
33
125 43
3 4
27
b Gæt først, og beregn herefter værdien af neden-
3
27 Spil med regneregler
3
1
⋅3
3 3 3 Eksempel: ( 4= ) 4= 41 = 4
3
−64
4
Jeg er lærer. Vi arbejder med potens og den n’te rod.
Et eksempel: 4 opløftet i 5 er lig med 625, og
3
0, 0429
Jeg taster 5 ^ 4 og trykker Enter. Det er lig med 625. Så tastes 4 2nd ^ 625 og Enter. Det er lig med 5.
4. rod af 625 er lig med 5.
2
30 Stambrøker
a Reducer udtrykkene mest muligt ved hjælp af reglerne i den grå boks. 1
1000 3
1 3
125
9
512
1
1 6 6
(8 )
( 9 3) 3 4
625
b Find på 3 opgaver, hvor der benyttes en 5. rod, 6. rod b En af jer er læreren, der forklarer til den anden, eleven, hvordan sammenhængen er mellem potens og den n’te rod er ud fra opgaverne i mailen. Byt rolle efter hver opgave. c Giv en forklaring på, at 4 −16 ikke kan beregnes.
og n’te rod. Byt med nabogruppen, og løs deres opgaver. Udvælg den bedste opgave i forhold til den grå boks. Optag i fællesskab en lydoptagelse med fremgangsmåden, den udvalgte opgave og brugen af potensregneregler I kan fx benytte Explain Everything i SkoleTube.
Tal
9
De reelle tal (R)
alle
34 Din plads
1.07
4
31 Kan I huske?
a Sæt individuelt kryds i det blå skema ved N, Z, Q eller R ud for tallene i regnearksfilen. Gennemgå herefter krydsernes placering med din makker. b Indsæt parvis selvvalgte tal i det grønne skema i regnearksfilen, så tal og krydser passer sammen.
Jeg skal stå i midten.
Hvem skal stå først?
Jeg har vist det
mindste tal, så det er mig.
a I får hver især udleveret en brik fra kopiarket. Stil jer i talrækkefølge, og start med det mindste tal. b Gå sammen i små grupper af seks, og fortsæt aktiviteten som beskrevet på kopiarket.
c Gå sammen med et andet par, og skriv alle jeres tal fra skemaet ind i GeoGebrafilen. Husk at gemme filen, da den skal bruges i andre opgaver. d Beskriv de forskellige talmængder (N, Z, Q og R) og skriv taleksempler i formelsamlingen.
32 Forskellige slags tal
Nævn 3 decimaltal.
alle
1.06
Opstil et regneudtryk, hvor svaret er –5,5.
Find svarene på opgaverne på kopiarket ved at spørge hinanden.
10
Tal
–6
–5
–4 Q
–3 Z
–2
–1
0
1
2
3 N
4
5
6
Indsæt tallene på en tallinje i GeoGebra. Skriv ved hvert tal, hvilken talmængde tallet tilhører. –3
Indsæt tallene i den rigtige talmængde i regnearksfilen.
33 Spørg hinanden
35 Tallinje
π
2 2,15
3
14
3,5
5
2,65 2,25
Mængdeangivelse En samling af elementer (fx tal eller bogstaver), kaldes en mængde. Når en mængde er defineret benyttes Tuborgklammen {} til angivelse af de elementer, der tilhører mængden. Eksempel: Mængden, der indeholder elementerne 1,2 og 3 skrives: {1,2,3} Eksempel: {x ∈ N x 2 < 20} er mængden af naturlige tal , hvis kvadrat er mindre end 20. Den vertikale linje inde i mængden er symbolet for, at der er en beskrivelse af elementernes egenskab efter linjen. { x ∈ N x 2 < 20} = {1, 2, 3, 4} læses således: x er et element i mængden N, for hvilket det gælder, at x2 er mindre end 20.
2
36 x-værdierne
a Find x-værdierne i de tre talmængder.
4
38 Mængdediagram
a Opstil to eksempler på mængdediagrammer, hvor tallene fra grundmængden i den grå boks benyttes.
{x ∈ Z x 2 ≤ 49}
{x ∈ R x 2 = 25}
{x ∈ Z x 2 < 20}
b Beskriv jeres fremgangsmåde i opgave a. 2
37 Interval og talmængder
a En af jer er læreren, mens den anden er eleven. Eleven tager udgangspunkt i et af intervallerne i formelsamlingen. Eleven forklarer Intervaller kan kobles intervallet for læreren sammen med de reelle ved hjælp af begreberne: talmængder, fx [ 2 ;7=] { x ∈ R 2 ≤ x ≤ 7} åben, lukket, halvåben, tallinje, større end, mindre end osv. Når eleven har været omkring begreberne til det udvalgte interval, og læreren har godkendt, byttes roller. Fortsæt, til I har forklaret alle intervallerne. b Skriv eksempler på talmængder til intervallerne ved brug af tallene 2 og 7. c I skal stå for undervisningen i en 7. klasse, hvor det faglige indhold er intervaller. Krav til undervisningens indhold er: de fire intervaltyper, talmængde og tegning på tallinje samt minus uendelig og uendelig. Vælg og begrund hvilken præsentationsform, I vil anvende. Det kan fx være fra SkoleTube.
b Hvad har tallene i mængden A tilfælles? c Hvad har tallene uden for talmængden A tilfælles? d Fremstil en grundmængde med otte tal og en
talmængde A. Opstil spørgsmål til jeres mængdediagram, og benyt begreberne: tilhører og tilhører ikke mængden A. e Byt opgave med nabogruppen, og løs opgaverne.
Fællesmængde Mængde A
Mængde B A∩B
Mængden af de fælles elementer for mængden A og mængden B kaldes for fællesmængden, og symbolet er ∩. Eksempel: Hvis A = {1,3,5,7,9}, og B = {1,3,6,9,12}, så er A ∩ B = {1,3,9}
Mængde B
Mængde A 7
9
5
1 12
3
6
A∩B
Mængdediagram Et mængdediagram er en illustration af en eller flere mængder, hvor mængden omkredser de elementer, der tilhører mængden. Hvert element angives med et punkt. G = grundmængde ∈ = tilhører mængden ∉ = tilhører ikke mængden
.11 .4 .6
A .9 .8
.19
G
39 Fællesmængde
.21 .10 .7
Eksempel: 7 ∈ A betyder: 7 tilhører mængden A 11∉ A betyder: 11 tilhører ikke mængden A
.13 Mængde A 3
8 14 1
9
Mængde B
2
16
5
4
A∩B
11
17
a Angiv elementerne i mængden A og B samt fællesmængden. Skriv besvarelsen på samme måde som i den grå boks. b Løs opgaverne i GeoGebrafilerne.
Tal
11
De reelle tal (R) 2
40 Indkøb
Irrationale tal Et irrationalt tal er et tal, der ikke kan skrives som en brøk med hel tæller og nævner. Eksempler: π og 2
Pr. stk./kr. Sandwich 86,00 ost ke/ 2 × skin 93,00 laks et røg × 1 83,50 2 × tun/karry /kr. stk. Pr. Drikkevarer 0 22,5 nd eva 1 × kild 0 37,5 ies oth smo × 2 0 22,5 1 × lille sodavand 0 43,4 nd 1 × stor sodava
43 Opfølgning
a Beskriv de irrationale tal, og angiv taleksempler. b Skriv mindst fire irrationale tal i den rigtig talmængde i GeoGebrafilen fra opgave 31.
I alt
a Giv et overslag på regningen, og beregn den endelige
44 Talmængder i stort format
alle
pris. Hvor stor var forskellen?
b I arbejder som tjenere på en restaurant på Strøget. I skriver en regning på samme måde, som illustrationen viser. Restauranten tager 10 % for service, som lægges oven i regningen. Naboparret skriver et overslag på regningen og beregner herefter den endelig pris. I godkender til sidst regningen.
41 Metode Giv først et overslag på resultaterne, og beregn efterfølgende med lommeregner. 33,453 + 25,82
17,75 + 16,047
125,991 + 347,36
49,45 – 21,71
93,8 – 25,6
186,35 – 68,9
125,39 . 22,06
126,4 . 9,9
15,2 . 5,9
36,8 : 8,4
134,72 : 6,7
169,54 : 19,2
42 Lørdag aften
a Fremstil i fællesskab en stor talmængde, som hænges
4
a Kurt køber ind til
lørdag aften. Han fylder indkøbskurven med en stor pose chips til 18,75 kr., slik for 23,90 kr., sodavand til 9,90 kr. + 1,50 kr. i pant og en pizza til 48,95 kr. Giv et overslag over Kurts køb, og beregn den samlede pris. Hvor stor er differensen? b I står for at arrangere en fest for klassen og skal sørge for indkøb. Beregn en cirkapris per elev.
12
Tal
på væggen i klassen Der skal være god plads, da der skal være plads til følgende talmængder: N, Z, Q og R. b Gå sammen i grupper på 4-5. Udtænk et spil, som jeres klassekammerater afprøver. Kravene til spillet er, at talmængderne, bevægelse og spillevejledning indgår.
45 Begrundelse Skriv din begrundelse for, hvorfor nedenstående udsagn er sande. 16 + 9 =
25
16 + 9 ≠ 25
2 3+3 3 = 5 3 5 ⋅ 3 =⋅ 5 3
2≠2
3
3 ≠ 3 2+3 2+ 3
2
46 Blandet
3-4
49 Skydeskive
7 6 a Find tre rationale tal, der ligger mellem og . 13 13 b Find fem irrationale tal mellem 5 og 7.
c Find decimaltallene for følgende brøker: 8 2 1 1 1 100 , , , , , 3 5 7 13 19 13 d Bestem, hvilke af nedenstående tal, der er irrationale og rationale. Gå sammen med en makker og diskuter, om I er enige.
–5
2, 89
6
18 %
0, 01
10
3
1
0
2-3
47 Kvadrater
Forholdet mellem længderne a af to linjestykker kan ikke altid angives ved hjælp af et rationalt tal. Sådanne linjer kaldes a b inkommensurable, og deres forhold siges at være irrationalt. Forholdet mellem diagonalen og en af siderne i et kvadrat er a2 + a2 = b2 irrationalt. a Tegn et kvadrat med sidelængden 1 i GeoGebra, og angiv diagonalens længde. b Undersøg andre kvadrater, hvor forholdet mellem diagonalen og sidelængden er et irrationalt tal. c Skriv en konklusion af undersøgelsen. 2-3
48 Det gyldne snit a = 16
16 = 1,6 10 φ = (√5 + 1) 2
b = 10
Hver gruppe tegner en dartskive med fire cirkler på A3-papir. Vælg syv reelle tal inden for følgende interval [ − 2, π ]. Skriv tallene på dartskiven, så der står et tal i centrum og to tal i hver sin side af de tre ringe uden om centrum. Læg dartskiven med en afstand på ca. 1,5 m til gruppen. Kast på skift med to små genstande på dartskiven. Rundens point er de to tal, der rammes multipliceret med hinanden, og dette noteres i pointskemaet, som I selv fremstiller. Alle starter med 40 point. Jeres point, trækkes fra den samlede score og noteres i et skemaet. Vinderen er den, som først kommer ned på 5 point eller mindre.
50 Tal er ikke bare tal Talmængder
R
Vores tal er delt op i forskellige talmængder, bl.a. naturlige tal, hele tal, rationale tal N og reelle tal. Den sidstnævnte talmængde I Z Q indeholder alle tal, som kan skrives som en endelig decimalbrøk eller en uendelig decimalbrøk. De reelle tal udgør punkterne på en tallinje, hvorefter det siges, at tallinjen efterlader ”huller” mellem de rationale tal, dvs. at de irrationale tal udgør ”hullerne”. De irrationale tal er en del af de reelle tal. Det vil altså sige, at de reelle tal er alle de tal, som man kan komme i tanke om. Ordet irrational kommer af latin irrationalis, som betyder ufornuftig. De irrationale tal er de tal, der ikke kan skrives som en brøk på formen
p , hvor p og q er hele tal, og q ≠ 0. Måske er det derfor, q
disse kaldes ufornuftige.
a Søg information om det gyldne snit og det gyldne rektangel på internettet. b Fremstil en præsentation af jeres søgningsresultat, og vis den for nabogruppen. c Find to malerier eller plakater på internettet, indsæt disse i GeoGebra. Tegn linjerne for det gyldne snit, og beskriv motivet, der er placeret i eller meget tæt ved et af de fire krydser.
a Udvælg en navngiven person, som du vil formidle fagteksten til. Du skal kort beskrive træk ved personen, som får betydning for dit ordvalg. b Omskriv fagteksten ovenover til den udvalgte person. c Skriv ud fra din nye tekst tre opgaver, som din udvalgte person kan regne. Du skal selv kende resultatet på opgaverne.
Tal
13
Det binære talsystem
2
55 Additionstavle
51 Talsystemer I 1679 beskrev Gottfried Wilhelm von Leibniz et talsystem, som kun består af cifrene 0 og 1. Dette kaldes totalssystemet eller det binære talsystem. Talsystemet spiller en stor rolle i programmeringen af computere. Vores titalssystem består af enere, tiere, hundreder osv., mens det binære talsystem består af enere, toere, firere, ottere osv. I titalssystemet vokser antallet af cifre ved 10, 100, 1.000, 10.000 osv. Det binære talsystem er opbygget på den måde, at værdierne (0 eller 1) læses fra højre mod venstre. Yderst til højre i første position findes 1’erne, i anden position 2’erne, i tredje 4’erne osv. Hver plads mod venstre svarer til 2n.
a Hvilken sammenhæng har bi med det binære talsystem? b Undersøg, på hvilken måde det binære talsystem
+
0
1
2
0
0
1
10
1
1
10
11
2
10
11
100
3
11
100
101
a I tabellen er tallene i de orange felter skrevet i titalssystemet, og de hvide felter er facit af additionsstykket omskrevet til det binære talsystem. Fortsæt additionstabellen op til tallet 10 i titalsystemet. b Forklar fremgangsmåden i en skærmoptagelse, fx i Screencast-O-Matic i SkoleTube, så en elev i 8. klasse kan løse additionsopgaver med binære tal. 3-4
56 Addition
Man lægger sammen
benyttes i computere. c Åbn regnearksfilen og udfyld skemaet.
på samme måde, som
vi gør i titalssystemet. Det kræver bare mere plads.
2
52 Omsætningstabel
a Fremstil en omsætningstabel, så de arabiske tal kan sammenlignes med de binære tal i regnearksfilen.
b Forklar i en lydoptagelse, hvordan et arabertal omskrives til et binært tal. 4
53 Find makkere
Fremstil og klip 16 lige store brikker. Tag hver 4 brikker, vælg 2 arabertal og omskriv disse til binære tal. Skriv arabertal og binære tal på hver sin brik. Brikkerne blandes og lægges med bagsiden opad. Find nu på skift makkerpar, som består af et arabertal og et tilsvarende binært tal ved at vende to brikker ad gangen.
54 Største tal Hvilken værdi har det binære tal 101101 mon? Det binære talsystem
32’er
16’er
8’er
4’er
2’er
1’er
101101
1
0
1
1
0
1
Titalssystem
32
0
8
4
0
1
32 + 0 +8 + 4 + 0 +1 = 45 Potens
25 + 0 + 23 + 22 + 0 + 20
a Hvad er det største tal, der kan skrives med otte cifre i det binære talsystem? b Skriv det binære tal fra opgave a med potenser, hvor roden er 2.
14
Tal
a På hvilken måde benyttes mente, når to binære tal adderes?
b Benyt samme metode til at beregne de binære tal. 1011+1100 100 +10000 1111+100 1011+1110 c Tjek jeres svar med nabogruppen. Hvis der er uenighed omkring svarene, så gå til en ny nabogruppe og få svaret og en forklaring på resultatet.
57 Systemspillet
3-4
a Forklar og vis ved beregning, at 2315 i 4-talssystemet b c d e
er 185 i 10-talssystemet. Udfyld skemaet med 4-talssystemet i regnearksfilen. Spil Systemspillet i regnearksfilen. Udfyld skemaet med 2-talssystemet i regnearksfilen med formler som i opgave b. Skriv i en fælles Padlet en kort vurdering af arbejdet med at indsætte formler i regneark dets styrke og svaghed.
58 Superliga
alle
1.08
a Skriv hver to opgaver til et superligaspil. Svaret skal skrives nederst på brikken på kopiarket. Opgavernes matematiske indhold skal være fra dette kapitel. b Placer jer parvis på to rækker som vist på tegningen. Følg instruktionen på kopiarket og se, hvem der ender i Superligaen.
Skriftlig problemløsning
1.09
1.10
1 På indkøb
2 Handel på internettet
Sofies mor køber ind i det lokale supermarked. På hendes indkøbsseddel står følgende varer: kakao, smør og æg. Hun finder sine varer, og priserne er herunder:
Sofies mor køber ofte fødselsdagsgaver på internettet. I år ønsker Sofie sig en taske. Hendes mor har fundet tre forskellige tasker, som kunne være en gaveidé til Sofie.
Kakao 1 liter 10,50 kr. Top Smart smør 250 g 11,85 kr., kg pris 47,40 kr. Top Light smør 125 g 5,85 kr., kg pris 46,80 kr. Æg 10 stk. Nu 19,95 kr., Spar 40%
14
,50 $
0$ 14,5
0$ 14,5
31,2
55,9
9$
31,2
9$
5$
31,2
55,9
5$
55,9
9$
1.1 Sofies mor køber 4 L kakao. Hvad koster de 4 L kakao i alt? 1.2 Vis med beregning, at kiloprisen på Top Smart smør og Top Light smør er rigtige på prisskiltene. 1.3 Sofies mor har set i tilbudsavisen, at hun kan spare 40 % af normalprisen ved at købe 10 æg til 19,95 kr. i denne uge. Beregn normalprisen for 10 æg.
2.1 Beregn forskellen mellem den dyreste og den billigbillig ste taske i danske kroner, når kursen er 705.
2.2 Netbutikken tilbyder 20 % i rabat. Hvad koster den næstdyreste taske i dollars?
2.3 Det er et firma i Rusland, der sælger taskerne. Valutaen i Rusland kaldes russiske rubler (RUB). Kursen for dollars (USD) i Rusland er 6.615. Tegn en graf, der viser sammenhæng mellem dollars (USD) og rubler (RUB). 2.4 Find forskriften for linjen.
Tal
15
5$