Hvad er matematik grundforløbet læseprøve by Alinea

0. Hvad er matematik?

Hvad er matematik?

Grundforløb Bjørn Grøn Bodil Bruun Olav Lyndrup

Lindhardt og Ringhof

Hvad er matematik? GRUNDFORLØB Bjørn Grøn, Bodil Bruun, Olav Lyndrup Hovedforfattere på kapitel 3: 3.1, matematik-fysik: Dorthe Agerkvist og Michael Olesen 3.2, matematik-kemi: Birgit Andresen og Keld Nielsen 3.3, matematik-biologi: Anne Krarup og Susanne Højte 3.4, matematik-samfundsfag: Christina Blach-Hansen og Per Henriksen 3.5, matematik-kulturfag: Bjørn Grøn © 2017 L&R Uddannelse, København -et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Iben Stampe Sletten Grafisk tilrettelægning: Andreas Schnalke, Kommunikations-Design Omslagslayout: Ulla Korgaard, Designeriet Stjernesymbol (kapitel 4): Bjarke Jung Brinch Olesen Tryk: Livonia Print Sia 1. udgave 1. oplag 2017 ISBN 978 87 7066 824 8 www.lru.dk

Bogens illustrationer Forlaget har forsøgt at finde og kontakte eventuelle rettighedshavere, som kan tilkomme honorar i henhold til loven om ophavsret. Skulle der mod forventning være rettighedshavere, som måtte have krav på vederlag, vil forlaget udbetale et sådant, som om der var indgået aftale. Omslag: Colourbox, Scanpix, Polfoto, iStockPhoto, Center for Advanced Biotechnology and Medicine, RSA Security, Kroppedal Museum, Museo Galileo, Wikimedia, Nasa, The Royal Household, Rick Steves, University of British Columbia, Lessing Photo Archive, Wikimedia Tidslinje: Tate, Lessing Photo Archive, Det kongelige Bibliotek, Library of Congress, Scala Archives, Branislev L. Slantcher, Deutsche Bundesbank, National Maritime Museum Carlsberg: 67ø Colourbox: 49, 50, 74 Flickr: 73 Gyldendal: 7ø HK/Danmark: 16ø iStockPhoto: 7 nn, 7n, 8ø, 8n, 15n, 61 Jørgen Strunge: 67n Polfoto: Corbis 8 mf, Pressens Bild 47 Potomac Books: 7nø Segui Vilar: 93 ThinkstockPhotos: 15ø, 53, 56, 70 Wikimedia commons: 9n, 51, 63, 64v, 64h, 66

Indholdsfortegnelse

Indholdsfortegnelse Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.

Grænser for vækst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Uafhængig og afhængig variabel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1 Betegnelsen f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4. Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Koordinatsystemet – en genial idé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Koordinatsystemets indretning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Tabelform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Grafisk form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Sproglig form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Formeludtryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19 20 22 22 22 23 23

6. Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge . . . . . . . . . 6.1 Tabeller og grafer – at indsamle data og at skaffe sig overblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Sprog og formler – at opstille og at tolke formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Grafer og sprog – at beskrive og at skitsere grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Formler og grafer – at tegne grafer og at bestemme en regneforskrift . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25 28 30 33

7. Lineær regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.1 Residualplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 8. Lineære funktioner f(x) = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 8.1 Grafen for lineære funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.2 Regneforskrift for den lineære funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 9.

Ligninger, kurver og funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2. C, B, A – de tre faglige niveauer i matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.

Fra C til B og A: Stadig større udfordringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Fra C til B og A: Matematisk modellering – udvidelse af værktøjskassen af funktioner . . 51

Fra C til B og A: Større viden, flere metoder, bredere palet af anvendelser. . . . . . . . . . . 55

3. Matematik og det faglige samarbejde i studieretningerne. . . . . . . . . . . . 60 1. Matematik og modellering af kraternedslag (matematik – fysik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.

Idealgasligningen – Boyle-Moriottes lov (matematik – kemi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Celler, respiration og gæring (matematik – biologi/biotek). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Efterspørgsel, pris og indkomst (matematik – samfundsfag) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Bygninger, byer og samfund – logistik og akvædukter (matematik – kulturfag) . . . . . . . 73

4. Opgaver til kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.

Uafhængig og afhængig variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2. Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3. De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.

Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge . . . . . . . . . . 80

Lineær regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Lineære funktioner f(x) = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Ligninger, kurver og funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Facitliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Projekter er tilgængelige på bogens website: www.lru.dk\hvadermatematik

Forord

Forord Alle nye gymnasieelever skal fra 2017 starte med et grundforløb, hvor matematik har en central placering. Formålet med grundforløbet er ifølge læreplanen at skabe en hensigtsmæssigt overgang fra folkeskolens beskrivende og forklarende til gymnasiets ræsonnerende og begrundende matematikfaglige aktiviteter. Samtidig skal grundforløbet give eleverne gode forudsætninger for at vælge studieretning. Denne særlige udgivelse i lærebogssystemet Hvad er matematik? er målrettet grundforløbet. Det faglige stof i kapitel 1 omfatter lineære modeller og lineære funktioner. Der gives en grundig indføring i variabelbegrebet via mange eksempler og øvelser, som eleverne i vid udstrækning selv kan arbejde med. Fokus er her de fire repræsentationsformer: tabel, graf, sprog og formel. Gennem arbejdet med de mange eksempler og øvelser trænes eleverne i at ræsonnere og begrunde, hvordan man oversætter frem og tilbage mellem de forskellige former. De lærer kort sagt at tale og skrive matematik. I arbejdet med disse øvelser lærer eleverne også i praksis at anvende det abstrakte funktionsbegreb f(x) og de tilknyttede begreber definitionsmængde og monotoniforhold. Afsnittet om opstilling af lineære modeller via regression på et datasæt er placeret før "2-punktsformlen", dvs. udledningen af funktionsudtrykket på basis af to givne værdier. Hensigten er, at man tidligt i forløbet inddrager overvejelser om matematisk modellering. Her kan man vælge at inddrage datamaterialer genereret i et samarbejde med naturvidenskabeligt grundforløb. Eller man kan vælge at inddrage autentiske data fra eksemplerne i kapitel 3. Læreplanen lægger øget vægt på elevernes evne til at håndtere og fortolke residualerne, og dette har derfor fået sit eget delafsnit, hvor der tilbydes særlige øvelser, man kan fordybe sig i. Kapitel 4 rummer opgaver med facitliste til alle opgaver knyttet til emner i kapitel 1. Valg af studieretning indebærer både overvejelser om fagkombinationer og om det faglige niveau. I kapitel 2 er niveauerne C, B og A eksemplificeret gennem en række øvelser, som samtidig supplerer stoffet i kapitel 1. I kapitel 3 gives eksempler på fagligt samspil mellem matematik og fagene fysik, kemi, biologi og samfundsfag, samt et eksempel på, hvordan matematik også er i spil i et samarbejde med kulturfag som dansk, religion og historie. I lærebogssystemet Hvad er matematik? indledes alle kapitler med en fortælling om begivenheder, hvor matematik har været afgørende for at forstå fænomener fra natur og samfund, eller hvor matematik er bragt i spil for at løse bestemte problemer. Og alle kapitler afsluttes med en række projekter, der er tilgængelige via bogens website. Kapitel 1 i denne bog til Grundforløbet er identisk med kapitel 1 i 3. reviderede udgave af C-bogen og giver adgang til de samme 8 projekter. 3 af disse projekter indeholder grydeklare oplæg til samarbejde mellem matematik og naturvidenskabeligt grundforløb, NV. Bogen igennem er der henvisninger til bogens website, hvor der ligger uddybende materialer, herunder vejledninger i brug af Geogebra, TI Nspire og Maple. Se mere på www.lru.dk/hvadermatematik. Definitioner og sætninger er layoutet, så de er lette at finde, og som en særlig facilitet er i samme format indsat praxis-bokse, hvor notation, god skik og standardfremgangsmåder er oplistet.

Bjørn Grøn

Bodil Bruun

Olav Lyndrup

Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Grænser for vækst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Uafhængig og afhængig variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1 Betegnelsen f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4. Koordinatsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1 Koordinatsystemet – en genial ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2 Koordinatsystemets indretning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5. 5.1 5.2 5.3 5.4

De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabelform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafisk form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sproglig form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formeludtryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 22 22 23 23

6. 6.1 6.2 6.3 6.4

O versættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge. . . . . Tabeller og grafer – at indsamle data og at skaffe sig overblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sprog og formler – at opstille og at tolke formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafer og sprog – at beskrive og at skitsere grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formler og grafer – at tegne grafer og at bestemme en regneforskrift . . . . . . . . . . . .

25 25 28 30 33

7. Lineær regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.1 Residualplot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 8. Lineære funktioner f(x) = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 8.1 Grafen for lineære funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.2 Regneforskrift for den lineære funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 9.

Ligninger, kurver og funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Størrelser som et lands befolkningstal eller en families elforbrug, der kan beskrives med talværdier, kaldes variable. Et stort område af matematikken drejer sig om at undersøge og beskrive sammenhænge mellem variable. Variabelsammenhænge kan være givet som tabel, som graf, som formel eller ved en sproglig beskrivelse. I grundforløbet vil vi undersøge disse fire repræsentationsformer, og hvordan man oversætter fra én form til en anden. Vi sætter særligt fokus på de lineære sammenhænge, der i formelsprog skrives: y = ax + b. I det videre matematikforløb går vi både på C, B og A i dybden med andre variabelsammenhænge. Vi begynder med en fortælling om et forsøg på at beskrive hele verdens tilstand ved brug af variabelsammenhænge.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

1. Grænser for vækst I 1972 udsendte en gruppe forskere knyttet til det amerikanske universitet MIT en bog med titlen Grænser for vækst (engelsk: The Limits to Growth). Det var en rapport om klodens tilstand og menneskehedens truede situation. Der har til alle tider været dommedagsprædikanter, som har forudsagt Jordens snarlige undergang, men denne rapport var anderledes. Forskerne havde konstrueret en global model – der siden er blevet forfinet flere gange – med det formål at undersøge fem centrale forløb af global betydning, som vist nedenfor. Rapporten har påvirket debatten siden. Magasinet Ingeniøren havde et temanummer om emnet i januar 2009, hvor forskere lavede sammenligninger af modellens forudsigelser og den faktiske udvikling: "Som den første har forskeren Graham Turner fra Commonwealth Scientific and Industrial Research Institution i Australien sammenlignet den faktiske udvikling siden udgivelsen af "Grænser for vækst" med de forskellige scenarier i bogen. Sammenligningen viser en god overensstemmelse mellem "standard run"scenariet fra andenudgaven af bogen fra 1974 (grønne kurver) og den faktiske udvikling (lilla kurver). I scenariet "comprehensive technology" (røde kurver) søges bæredygtighedsproblemerne løst kun ved hjælp af teknologi. I scenariet "stabilized world" (blå kurver) benyttes såvel teknologiske som socialpolitiske løsninger for at opnå en form for ligevægtstilstand."

Befolkningstallets udvikling

10 10

2100 2100 2100

2060

2060 2060

2020

2020 2020

22 1980

1900

Stabilized world

Stabilized world Comprehensive tech Comprehensive tech Standard run Standard run Datagrundlag for Datagrundlag for “Grænser vækst” “Grænser forfor vækst” Observerede data Observerede data

1980 1980

1940

1940 1940

Mia. mennesker

Befolkning

12 12

1900 1900

Mia. mennesker

10 Mia. mennesker

Befolkning

Fødevareproduktion og underernæring Befolkning 12

Fødevareproduktion

10 2000

Mia. mennesker Kcal per indbygger per år

2000

Kcal per indbygger pr. år

1600 8 1600

Stabilized world

1200 6 1200

Stabilized world Comprehensive tech Comprehensive tech Standard run Standard run Datagrundlag Datagrundlag for for “Grænser vækst” “Grænser forfor vækst” Observerede data Observerede data

800 4 800

2100 2100 2100

2060

2060 2060

2020

2020 2020

1980

1980 1980

1940 1940

1940

1900 1900

1900

400 2 400

Industrialiseringen og anvendelse af nye teknologier Befolkning

Industriproduktion

mennesker 1.000 dollar (måltMia. i 2007 USA-dollar) 1.000 dollarper (målt i 2007 US dollar) indbygger per år 1900

12 12

10 10

2100 2100 2100

2060

2060 2060

2020

2020 2020

22 1980

1980 1980

Stabilized world

Stabilized world Comprehensive tech Comprehensive tech Standard run Standard run Datagrundlag Datagrundlag for for “Grænser vækst” “Grænser forfor vækst” Observerede data Observerede data

1940 1940

1940

per indbygger per år

1900 1900

Forureningen og forringelsen af miljøet Befolkning

Mia. mennesker Atmosfærisk CO2 ppm

Global forurening

1080 1080

Atmosfærisk CO 2 ppm

950 950

820 820

Stabilized world

Stabilized world Comprehensive tech Comprehensive tech Standard run Standard run Datagrundlag for Datagrundlag for “Grænser vækst” “Grænser forfor vækst” Observerede data Observerede data

690 690

560 560

2100 2100 2100

2060

2060 2060

2020

2020 2020

1980 1980

1980

1940 1940

1940

1900

300 0 300

1900 1900

2 430 430

Forbruget af uerstattelige ressourcer Befolkning

Mia. mennesker Resterenderessourcer ressourcer divideret Resterende divideret 1900-niveauet (estimeret) medmed 1900-niveauet (estimeret)

12 10

Uerstattelige ressourcer

1,0 1,0

0,8 8 0,8

0,6 6 0,6

Stabilized world

Stabilized world Comprehensive tech Comprehensive tech Standard run Standard run Datagrundlag Datagrundlag for for “Grænser vækst” “Grænser for for vækst” Observerede Observerede datadata

4 0,4

2100 2100

2060 2060 2060

2020

2020 2020

1980

1980 1980

1940 1940

1900

1900 1900

0 0 0,0

1940

2 0,2

Disse fem sektorer er indbyrdes forbundne på mange måder, så udviklingen i den ene sektor vil være påvirket af udviklingen i alle de andre.

Øvelse 1.1 Beskriv med ord mindst fem eksempler på, hvordan én sektor er påvirket af andre sektorer.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 1.2 På bogens website kan man finde yderligere materiale herom fra magasinet Ingeniøren.

Årsagen til, at rapporten fik en så enorm betydning og kom til at sætte dagsordenen for diskussionerne om klodens tilstand helt op til i dag, var med forskernes egne ord: "Fordi vores model er matematisk". Men forskergruppen bestod både af matematikere og af videnskabsmænd fra alle mulige andre fag. Samarbejdet på tværs af fagene var nødvendigt for at svare på så komplicerede spørgsmål. Ud fra forskernes viden om indbyrdes sammenhænge opstillede de diagrammer, som er gengivet herunder, hvor pilene betyder, at der er en påvirkning. Enhver påvirkning er forbundet med en vis tilbagekobling, som kan virke positivt eller negativt på den variabel, der påvirkes.

Tilbagekoblingsprocesser der styrer befolknings- og kapitalvækst

Population

(+)

(samlet antal mennesker) (+)

(–) dødsfald/år

fødsler/år

frugtbarhed

industriproduktion

dødelighed (forventet levealder)

Industrikapital

(fabrikker og maskiner) (–)

investering (ny tilført kapital)

nedskrivning (kapital der forældes eller nedslides/år)

investeringsrate

gennemsnitlig levealder for kapital

Den centrale tilbagekoblingsmekanisme i World3-modellen styrer befolkningstilvæksten og industrikapitalens tilvækst. De to positive tilbagekoblinger, der omfatter fødselstal og investeringsrater, genererer eksponentiel vækstadfærd i befolkning og kapital. De to negative tilbagekoblinger, der involverer dødsfald og nedskrivning, har tilbøjelighed til at

virke regulerende på eksponentiel vækst. Den relative styrke af de forskellige tilbagekoblinger afhænger af mange andre faktorer i systemet.

I deres egne videnskabelige arbejdspapirer anvendte forskerne en særlig teknik (kaldet system dynamics forkortet SD) og et særligt symbolsprog, som netop var udviklet på MIT, og som var baggrunden for, at projektet blev placeret på dette universitet. Denne SD-teknik behandles på A-niveau under emnet: differentialligninger.

Jay Forrester (1918-2016) grundlagde i sit arbejde på MIT en helt ny gren af matematikken, System Dynamics.

Figur a Fødevareproduktion Konstateret fødevaremængde

Andel af investeringer til vedligeholdelse af landbrugsjord Landbrugsinvesteringer pr. hektar

Forsinkelse i konstatering af fødevaremangel Konstateret ændring i fødevaremængde Dyrkbar jord

Eksistensminimum

Marginal multiplikator for jordudbytter på grundlag af kapital

Landbrugsinvesteringer

Ændringer i landbrugsinvesteringer

Jordudbytter Fødevaremængde

Fødevarer Dyrkbar jord

Fødevarer pr. individ

Samlet landbrugsinvestering

Befolkning Produktionstab

Løbende landbrugsinvestering

Andel af industriproduktion afsat til landbrug

Andel af høstet landbrugsareal

Tid for iværksættelse af strategi

Indiceret fødevaremængde pr. individ

Gennemsnitlig levetid af landbrugsinvesteringer

Andel af landbrugsinvestering afsat til jordforbedring

Tid for iværksættelse af strategi

Industriproduktion

Industriprodukton pr. individ

Ud fra en sproglig formulering af sammenhænge mellem de enkelte delelementer opstillede de diagrammer som det ovenstående over fødevareproduktionen. Med udgangspunkt i tabeller over sammenhørende værdier for faktorer som forurening og fødselsrater, kornproduktion og fosfatressourcer osv., lavede de grafer og opstillede formler for de indbyrdes sammenhænge. Disse er lagt åbent frem og giver andre forskere muligheder for at efterprøve og kritisere. Endelig havde de fået adgang til computere, der kunne gennemføre de meget komplicerede beregninger og lave prognoser for, hvordan de fem forløb vil være under forskellige forudsætninger. Disse prognoser blev udarbejdet som grafiske forløb og rækker frem til år 2100. Den første kørsel (dvs. beregninger i modellen) skulle illustrere, hvordan de fem sektorer ville udvikle sig, hvis vi intet foretager os, men fortsætter med at producere og leve som hidtil. Sådanne prognoser lavet under bestemte forudsætninger kaldes for scenarier, og processen kaldes for en simulering. På de følgende sider ses resultatet af denne første simulering, kaldet Scenario 1 og derefter Scenario 9, der illustrerer udviklingen, hvis man strategisk vælger at begrænse familiens størrelse og dæmpe industriproduktionen. Ved siden af graferne ses forfatternes egne kommentarer.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Figur b Fødevareproduktion Jordfrugtbarhed Multiplikator for industrikapitalens produktivitet på grundlag af jordudbytteteknologi

Forsinkelse i teknologiudvikling Multiplikator for jordudbytter på grundlag af teknologi

Multiplikator for jordudbytter på grundlag af kapital

Jordudbytter

Grænseproduktivitet som følge af landbrugsinvesteringer

Tid for iværksættelse af luftforureningsstrategi

Multiplikator for landbrugsudbytter som følge af luftforurening

Ændringer i udbytteteknologi Jordudbytte teknologi

Tid for iværksættelse af strategi Tid for iværksættelse af strategi

Multiplikator for ændringer i udbytteteknologi

Industriudbytte

Industriudbytte i 1970

Scenario 1:

Fødevaremængde

Ønsket fødevaremængde

”Standardkørslen” fra Grænser for vækst: ”Business as usual”

Verdenssamfundet fortsætter sin historiske udvikling så længe som muligt uden større ændringer af strategier. Befolkningstallet og industriproduktionen vokser, indtil en kombination af begrænsninger i miljø- og naturressourcer eliminerer kapitalsektorens evne til at klare investeringerne. Industrikapitalen begynder at forringes, hurtigere end nyinvestering kan genoprette den. Efterhånden som den falder, sker der også en nedgang i produktion af fødevarer og i bevillinger til sundhedsvæsenet, så den forventede levealder falder, og dødeligheden stiger.

Scenario 1 Verdens tilstand

Industriproduktion Ressourcer

Population

Fødevarer Forurening

1900

2000

2100

Scenario 9:

Verden sætter sig i 1995 stabile befolkningstal og stabil industriproduktion som mål Hvis verdensbefolkningen sætter både en ønsket familiestørrelse med to børn og en bevidst dæmpet industriproduktion pr. individ som mål, kan den opretholde en materiel levestandard, der er 50% højere end verdensgennemsnittet i 1990, i næsten 50 år. Forureningen fortsætter imidlertid med at vokse og udsætter landbrugsjorden for belastning. Fødevareproduktionen pr. individ falder og sænker efterhånden den forventede levealder og befolkningstallet.

Scenario 9 Verdens tilstand Ressourcer

Industriproduktion

Fødevarer

Population Forurening 1900

2000

2100

Øvelse 1.3 a) D er er ikke afsat enheder på den lodrette akse (2. aksen). Hvad kan forklaringen være på det? b) V ælg to af kurverne ud i hvert af de to scenarier. Beskriv det grafiske forløb med ord som voksende, aftagende, maksimum og minimum. c) Forklar sammenhængen mellem forløbet af de to kurver, du har valgt ud.

Øvelse 1.4 Simuleringen foretages for perioden fra 1900 til 2100. Tallene fra de første ca. 100 år kender man jo. Hvad kan være forklaringen på, at de starter i 1900 og ikke i 1970? Eller at de i den opdaterede rapport ikke starter i 1990?

Øvelse 1.5 På bogens website kan man komme ind til en (engelsk) præsentation af The Limits to Growth, samt af kritikken og debatten herom. Endvidere er der henvisninger til hjemmesider, hvor man selv kan prøve at simulere.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

2. Variable Når vi skal give en matematisk beskrivelse af et fænomen, anvender vi begreber, der kan tildeles talværdier, dvs. de har en størrelse, der kan måles. Sådanne begreber kaldes numeriske variable, eller blot: variable. Eksempler på variable kan være: befolkningstallet, kornproduktionen eller oliereserverne. Det ligger i ordet variabel, at det ikke er en konstant talværdi, men at denne kan variere. For omkring 400 år siden begyndte man at indføre symboler for de variable. Før den tid havde man talt om det med ord og kaldt en variabel for "tingen" eller lignende. Med indførelse af symboler blev det lettere at opstille og behandle ligninger. I matematik bruger vi nogle af de sidste bogstaver i alfabetet, x, y og z som symboler for de variable. Men vi følger også andre fags traditioner, så tiden betegnes ofte med t, temperatur betegnes T, tryk betegnes P, hastighed betegnes v osv. Der er ikke faste regler. I store modeller med flere hundrede variable giver man dem længere navne. I matematiske værktøjsprogrammer indfører man på samme måde de symboler, man synes er mest hensigtsmæssige – det kan være, tiden blot betegnes tid, befolkningstal betegnes bef, temperatur betegnes temp, en vinkel A betegnes va osv. Det er imidlertid ikke så meget størrelsen af befolkningstallet, men mere hvordan dette udvikler sig med tiden, eller under påvirkning af andre faktorer, vi interesserer os for. Det samme med de andre variable. Vi er interesserede i sammenhængen mellem de variable. Er der fx en sammenhæng mellem fødselsrater og udviklingen i befolkningstallet på den ene side og det gennemsnitlige indkomstniveau på den anden? Når vi opdeler de samlede ressourcer i reserverne af olie, kul, tin, fosfat, krom osv., kalder vi af og til dette for en opdeling i kategoriske variable (dvs. inddeling i forskellige kategorier). Det vil normalt være meningsløst at lægge mængden af tin og mængden af fosfat sammen. På samme måde opdeles befolkningstallet efter lande, efter aldersgrupper, efter køn osv. Inddelingen i aldersgrupperne: 0-15, 16-25, 26-40, 41-65, 66-100 er en inddeling i kategoriske variable. Variable, der antager talværdier, kaldes som omtalt numeriske variable. I arbejdet med statistik gør vi udstrakt brug af betegnelserne kategoriske og numeriske variable. For hvert fænomen er der naturligvis en lang række forskellige ting, der kan indgå i en beskrivelse af det pågældende. Tager vi for meget med, bliver det uoverskueligt. Tager vi for lidt med, kan vi ikke bruge beskrivelsen til noget. I den forfinede model, der anvendes i den opdaterede rapport fra 1992, Hinsides grænser for vækst anvendes 225 variable. Modellen kaldes World3. Dette er en model for hele verdens udvikling. Når det drejer sig om mere beskedne fænomener, er der ofte kun nogle få variable i spil (se fx tabellen i øvelse 1.6).

Øvelse 1.6 Betragt denne tabel fra Danmarks statistik over udviklingen i gennemsnitsalderen for nye forældre: Gennemsnitsalder for fødende kvinder og nybagte fædre efter alder og tid 1980

1985

1990

1995

2000

2005

Gnsn.-alder for 1.-gangs-fødende kvinder

24,6

25,5

26,4

27,5

28,1

28,9

Gnsn.-alder for for fædre til nyfødte

30,0

30,8

31,4

32,2

32,6

32,9

a) H vilke variable indgår her, og hvad fortæller tabellen om disse variable? b) Hvilke sammenhænge synes der at være?

De variable, der anvendes i beskrivelsen af et bestemt fænomen, skal vælges ud fra, hvad der er i fokus i vores undersøgelse. I det følgende præsenteres en række situationer og fænomener, og øvelserne går ud på at udpege nogle variable, der må være centrale i beskrivelsen af disse forhold, og samtidig overveje, hvilke variabelsammenhænge der kan være.

Øvelse 1.7 I faget idræt beslutter man at foretage en række målinger og undersøgelser for at få en beskrivelse af, hvor sunde og i hvor god form eleverne er. Undersøgelsen gennemføres for alle 1.g-elever. a) Som kategoriske variable vælges bl.a. køn (dreng/pige), samt ja/nej til spørgsmålet: Spiser du morgenmad? Hvilke øvrige kategoriske variable kunne vi foreslå at undersøge? b) Som numeriske variable vælger man at måle højde, vægt, hvilepuls … Hvilke øvrige numeriske variable kunne vi vælge at måle på? c) Hvilke sammenhænge kunne det være interessant at undersøge? d) Hvilke variable kunne det være interessant at sammenligne på tværs af klasserne?

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 1.8 En forbrugerorganisation ønsker, at stearinlys skal kvalitetsmærkes. a) Hvilke kriterier kunne indgå i en sådan kvalitetsmærkning? b) H vilke kategoriske variable kan vi indføre til at beskrive stearinlys? c) Hvilke numeriske variable kan vi indføre? d) Hvilke værdier kan de numeriske variable antage? e) E r der en sammenhæng mellem nogle af de variable, der er blevet udpeget?

Øvelse 1.9 Man har en række rør i to forskellige materialer (plast og metal). Rørene har desuden forskellige tykkelser og længder. I et eksperiment vil man undersøge, hvilke toner man kan frembringe ved at slå på rørets ene ende. a) Hvilke kategoriske variable indgår i eksperimentet? b) Hvilke numeriske variable indgår i eksperimentet? c) H vilke af de udpegede variable vil vi forvente har en sammenhæng?

Øvelse 1.10

Samarbejde med naturvidenskabelige fag (NV)

(Vend evt. tilbage til øvelsen igen efter afsnit 1.3 og efter afsnit 1.7) I naturvidenskabelige fag opstilles og undersøges hypoteser om sammenhænge mellem variable. a) Hvilke naturvidenskabelige fag indgår i gymnasiets fagrække? Hvilke fælles træk har disse fag? Hvad forstås ved en hypotese? Giv eksempler på hypoteser, som du har mødt i NV eller i naturvidenskabelige fag i folkeskolen. I kapitel 3 er der små uddrag af nogle kapitler om fagligt samarbejde mellem matematik og andre fag. Disse kapitler indgår i Hvad er matematik? C og er tilgængelige på bogens website. Hent et eller flere af eksemplerne: Kraternedslag (matematik og fysik) side 61, Idealgasligningen (matematik og kemi) side 63, samt: Gærcellers respiration (matematik og biologi) side 68. b) H vilke variable er i spil i det eller de eksperimenter, du betragter? Er der flere variable i spil, der kunne påvirke eksperimenterne, end de, der er omtalt i teksterne? c) E t centralt begreb i naturvidenskabelige forsøg er variabelkontrol. Hvad menes med dette? (Se evt. i eksemplerne i kapitel 3).

Øvelse 1.11 På bogens website kan du gennemføre en simulering af epidemimodeller på samme måde, som du gjorde ved modellen Grænser for vækst.

Øvelse 1.12 Vi vil undersøge svingningstiden for penduler. Penduler kan have forskellig længde, og der kan være hængt forskellige lodder på. a) Hvilke variable indgår i eksperimentet? b) Du kan evt. lave et rigtigt eksperiment, gerne i samarbejde med NV eller fysik. Via bogens website kan du finde en simulering af pendulbevægelser. Hold én af de variable fast, skru op og ned for den anden, og udfyld en lille tabel over variabelsammenhængen. c) P lot de sammenhørende værdier af de variable i et koordinatsystem, og beskriv sammenhængen med ord. Galilei opdagede først i 1600-tallet lovene for pendulsvingninger og en række andre naturvidenskabelige sammenhænge. Det omtales nærmere under emnet Potensmodeller.

Øvelse 1.13 Et forskerteam har sat sig for at prøve at sammenligne ungdomsliv og ungdomskulturer for gymnasieelever i forskellige lande. De vil indhente informationer gennem et større spørgeskema. a) Hvilke kategoriske og hvilke numeriske variable kunne det være interessant at indføre? b) E r der blandt disse variable nogle sammenhænge, det kunne være særligt interessant at undersøge?

Øvelse 1.14 Det Økonomiske Råd i Danmark har udviklet en matematisk model efter samme grundlæggende principper, som ligger bag modellen World3, der anvendes af Grænser for vækst-projektet. Vismændenes model hedder SMEC (Simulation Model of the Economic Council), og den er udviklet med henblik på at kunne analysere forskellige scenarier afhængigt af, hvordan den internationale økonomi udvikler sig, hvordan danske økonomiske nøgletal ændrer sig, og hvilke politiske beslutninger der tages i Danmark. På bogens website er der et link til en beskrivelse af modellen samt en række opgaver i tilknytning dertil.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

SMEC er grundlaget for et undervisningsmateriale, der hedder Vismandsspillet, som kan danne udgangspunkt for et studieretningssamarbejde mellem med matematik og samfundsfag. Vismandsspillet kan findes på bogens website.

Øvelse 1.15 Betragt en vilkårlig firkant og indfør variable for hver af de fire vinkler. a) Hvilke værdier kan de variable antage? b) E r der en sammenhæng mellem de variable? Brug fx et værktøjsprogram til at undersøge sammenhængen.

Øvelse 1.16 Betragt en trekant med sidelængder a = 5 og b = 7. a) Indfør en variabel for den sidste side i trekanten.

b=7

b) H vilke værdier kan den variable antage? Brug fx et værktøjsprogram til at undersøge sammenhængen.

a=5

3. Uafhængig og afhængig variabel I mange sammenhænge falder det naturligt at opdele to variable i henholdsvis den uafhængige og den afhængige variabel. Det er fx i de situationer, hvor man kan se, at ændringer i den ene variabel giver anledning til ændringer i den anden. Den anden variabel siges så at være afhængig af den første, som kaldes den uafhængige variabel. En sådan sammenhæng illustreres ofte med en pil: fx x → y, der skal fortælle, at variablen x har indflydelse på variablen y. Prøven er, om man kan danne en fornuftig sætning som: "(Variablen y) afhænger af (variablen x)". Her er et par eksempler: • Vi betragter en bestemt afgrøde. Udbyttet afhænger af den tilførte mængde gødning. • Vi betragter en lyskilde. Lysets intensitet afhænger af afstanden til lyskilden. • Vi betragter en større influenzaepidemi. Antal smittede afhænger af tiden, der er gået siden udbruddet.

Øvelse 1.17 Vend tilbage til øvelse 1.10 og evt. de øvelser i afsnit 2, I har gennemgået. Hvilke par af afhængige og uafhængige variable kan du pege på? Bemærk: Der kan godt være flere typer sammenhænge i de enkelte øvelser.

Der er ikke altid et objektivt svar på, hvilken af de to variable der er den afhængige, og hvilken den uafhængige. Det kan godt skifte, afhængigt af hvad der er i fokus. Eksempelvis kan tiden være begge dele, alt efter hvilken rolle tiden spiller i problemet. Når tiden (forstået som årstal, måneder osv.) indgår som en af de variable, så er dette ofte den uafhængige variabel. Men den tid, der skal bruges til at stege en bøf, hæve et brød, bringe vand til kogepunktet osv., kan godt være den afhængige variabel. Når en variabel y afhænger af en variabel x, siger vi også, at y er en funktion af x, fx: • Den samlede udgift til vand er en funktion af forbruget. • Antallet af bakterier i en bestemt lille skål er en funktion af tiden. Når vi skriver en formel op, som binder x og y sammen, fx y = 4x + 1, så kaldes regneudtrykket, hvori x indgår, for funktionens regneforskrift (eller blot forskrift). Forskrift betyder: Tag en værdi for x, og gør det med x, som udtrykket viser. Eksempelvis udregnes y-værdien svarende til x = 3 som 4 · 3 + 1 = 13. Vi skriver: f(3) = 4 · 3 + 1 = 13.

3.1 Betegnelsen f(x) f

Det er ofte en fordel at kunne huske, hvorfra bestemte y-værdier stammer. Dette gøres ved at bruge funktionsnotation. I stedet for y skriver man f(x), hvis den uafhængige variabel hedder x, eller f(t), hvis den uafhængige variabel hedder t osv. I matematik anvendes normalt f, g og h som navne for funktionsudtryk. Men andre fag har andre traditioner. y = f(x) f(x) er altså en betegnelse eller et kort navn for regneforskriften: f(x) = 4x + 1 Skal vi udregne y-værdien svarede til x-værdien 2, så skriver vi: f(2) = 4 · 2 + 1 = 9 Husk: Talværdien 2 skal indsættes på x’s plads på begge sider af lighedstegnet, dvs. både i f(x) og i 4x + 1. f(x) kan således både betegne den generelle regneforskrift og den konkrete y-værdi hørende til en bestemt x-værdi. For at undgå misforståelser anvendes derfor også blot navnet f for funktionen.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

I brugen af værktøjsprogrammer opdager man hurtigt styrken ved notationen f(x). Her navngiver man ved brug af definerende lighedstegn, som er en kombination af symbolerne kolon (dvs. :) og lighedstegn (dvs. =), således:

f(x) := 4x + 1

Taster man herefter f(2), svarer programmet, at dette er 9.

4. Koordinatsystemet 4.1 Koordinatsystemet – en genial ide Det moderne koordinatsystem er en genial opfindelse til at visualisere variabelsammenhænge. Lad os betragte en simpel sammenhæng mellem to variable, som vi kalder x og y: x

x betegner længden af linjestykket AB. y betegner længden af linjestykke CD, som er dobbelt så langt som AB. Sammenhængen mellem x og y kan illustreres ved at lade punktet B, der bevæge sig langs en akse, være bundet til punktet D på en anden akse, på en sådan måde, at y altid er dobbelt så stor som x.

y = 2x

x A C

B D

y = 2x

Men er variabelsammenhængen blot en smule mere kompliceret, vil en sådan grafisk fremstilling ikke være til megen hjælp. Hvis vi nu i stedet vælger at placere den anden akse lodret, og hvis vi bestemmer, at et punkt i denne plan fastlægges af henholdsvis den vinkelrette afstand x til andenaksen og den vinkelrette afstand y til førsteaksen, så har vi et koordinatsystem. Bindingen mellem de to punkter B og D repræsenteres her af det ene punkt P, som tegner et spor i koordinatsystemet, når B bevæger sig ud af førsteaksen og trækker D med sig. Det samlede "spor", der tegnes i koordinatsystemet kalder vi for grafen for den lineære funktion, der har regneforskriften y = 2x, eller f(x) = 2x. Vi behandler lineære funktioner grundigt i kapitlets afsnit 7 og 8 og vil blot her konstatere, at f(x) er givet ved et udtryk, der afhænger af x. Når x bevæger sig på x-aksen, så bevæger f(x) sig på y-aksen, mens P bevæger sig på grafen. Det centrale er, at det er x, der styrer funktionsværdien f(x).

P(x,y)

y = 2x

C A

4.2 Koordinatsystemets indretning Vi arbejder i matematik og i mange andre fag ustandseligt med koordinatsystemer. Det er derfor vigtigt, at man uden vanskeligheder kan bevæge sig rundt i koordinatsystemer og uden tøven kan afsætte punkter og aflæse på grafer i et koordinatsystem. 2. kvadrant

1. kvadrant

(–,+)

(+,+)

3. kvadrant

4. kvadrant

(–,–)

(+,–)

Definition: Koordinatsystemets kvadranter Akserne inddeler naturligt koordinatsystemet i 4 områder, som kaldes 1., 2., 3., og 4. kvadrant. Omløbsretningen fra 1. til 4. er mod uret, fra (+,+) over (-,+) og (-,-) til (+,-).

Øvelse 1.18 Tegn et koordinatsystem. Afsæt følgende punkter: P1 (2,5), P2 (–3,4), P3 (–2,–6) og P4 (1,–8)

Øvelse 1.19 y

Aflæs på grafen svarene på følgende:

Hvilke af følgende punkter ligger på grafen?

1. Når x = 1, så er y = . . . 2. Når x = –2, så er y = . . . 3. Når x = 0, så er y = . . . 4. Når y = 12, er x = . . . 5. Når y = 0, er x = . . . 6. Når y = 4, er x = . . .

7. (3,–1) 8. (–1,3) 9. (3,1) 10. (–3,–1)

Praxis: Sådan afsættes de variable Når vi undersøger variabelsammenhænge i matematik, afsættes den uafhængige variabel altid ud af den vandrette 1. akse (x-aksen), og den afhængige variabel altid op af den lodrette 2. akse (y-aksen). I andre fag som samfundsfag og fysik, kan man derimod sagtens komme ud for, at den uafhængige variabel i stedet afsættes op ad den lodrette akse.

Øvelse 1.20 På bogens website ligger der eksempler fra fysik og samfundsfag, som viser, hvordan man i disse fag af og til afsætter den uafhængige variabel op ad 2. aksen, og den afhængige ud ad 1. aksen.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Praxis: Nogle regler vedrørende koordinatsystemer • 1. og 2. aksen skærer hinanden i (0,0). Men ofte vil det være uhensigtsmæssigt at tegne koordinatsystemet, så (0,0) er med. I så fald benyttes en koordinatboks, der viser det relevante udsnit af en graf, og hvor (0,0) ikke behøver være med. • Hvis den uafhængige variabel fx er årstal, vil man afsætte de relevante årstal, fx fra 1970 til 2020, og måske markere årstallene 1970, 1980, 1990, 2000, 2010 og 2020. I andre sammenhænge markeres hvert år. • Der skal angives enheder på akserne. • Hvis det drejer sig om grafskitser, markeres af og til blot enheden på hver af de to akser. Enhederne behøver ikke være de samme på de to akser. Men på hver af de to akser skal man anvende samme enhed langs hele aksen.

Øvelse 1.21 I øvelse 1.6 så vi på sammenhængen mellem alderen for førstegangsfødende kvinder og årstallet. Tegn en grafisk fremstilling af dette talmateriale.

Øvelse 1.22 Folketal (summariske tal fra folketællinger)

2004

2000

1996

1992

1988

1984

1980

1976

1972

1960

1940

1921

1901

1850

1840

5.500.000 5.000.000 4.500.000 4.000.000 3.500.000 3.000.000 2.500.000 2.000.000 1.500.000 1.000.000 500.000 1769

Betragt følgende grafiske fremstilling af udviklingen i befolkningstallet i Danmark. Hvad er der galt?

Øvelse 1.23 Tegn grafen for f(x) = 10x + 2 i tre forskellige koordinatsystemer, så billedet af grafen bliver svagt voksende, jævnt voksende og stærkt voksende.

Øvelse 1.24 Find selv en graf i en avis, og overvej, hvordan man kan manipulere med grafen ved at anvende forskellige enheder forskellige steder på akserne, eller ved at zoome ind eller ud.

5. D e 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge I dette afsnit koncentrerer vi os om sammenhængen mellem to numeriske variable. Variabelsammenhænge kan optræde på fire forskellige former. Vi kalder de fire forskellige former for tabel, graf, sprog og formel, og vi giver nu eksempler på de fire former for repræsentationer.

x x x

...!

x x x Tabel

Graf

√x

Sprog

Formel

5.1 Tabelform En variabelsammenhæng kan optræde i tabelform, hvor en række sammenhørende værdier af to variable er stillet overskueligt op i en tabel (af og til kaldet et sildeben). En elev gennemfører en test på en kondicykel, hvor han selv kan regulere belastningen og samtidig aflæse henholdsvis den effekt, han yder og hans puls ved denne effekt. De to variable er her: effekt (målt i watt) og puls (målt i antal hjerteslag i minuttet). Tabellen, der præsenterer de sammenhørende værdier af de to variable, kan se således ud:

Eksempel med måling af kondital

Effekt

100

125

150

175

200

Puls

108

120

131

141

154

Styrken ved tabelform er, at vi her har en præcis dokumentation for alle indsamlede dataværdier. Svagheden er, at det kan være svært at se et mønster i dataværdierne.

1 1

5.2 Grafisk form

En variabelsammenhæng kan optræde i grafisk form, hvor den ene variabels talværdier aflæses på 1. aksen (x-aksen), og den anden variabels talværdier aflæses på 2. aksen (y-aksen). Til venstre ses først et eksempel på et sædvanligt koordinatsystem med begyndelsespunkt (0,0). På næste side ses et med bokskoordinater, som viser et bestemt udsnit af et koordinatsystem, hvor akserne lægges, så det giver den bedste visuelle fremstilling af det grafiske x billede, man ønsker at præsentere.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Styrken i den grafiske form er, at den viser sammenhængen mellem de to variable på en mere dynamisk og overskuelig måde, end en tabel gør. Billedet til højre er en grafisk fremstilling af data fra tabellen i afsnit 5.1. Vi kan også aflæse sammenhørende værdier af de variable. Svagheden er, at nuancerne og de præcise data er skjult, så aflæsning giver normalt tilnærmede værdier. Aviserne er fulde af grafiske fremstillinger, netop fordi disse giver et hurtigt og visuelt overblik. Hvis den ene variabel fx er tiden (årstal), giver det et hurtigt overblik over, hvordan noget udvikler sig i en bestemt periode.

Puls

160 140 120 100 80 60

100

150

200

250

Effekt

Arbejdsløshed, AE’s prognose og nye tal

225 1.000 fuldtidspers. 1.000 Personer

180

200

Ledighed

175

Bruttoled

150

Seneste

125 100

2011

2010

2009

2008

2007

2006

2005

2004

2003

2002

2001

125 100 75 50

2010

2009

2008

2007

2006

2005

2004

2003

2002

2001

2000

En variabelsammenhæng kan optræde i sproglig form, hvor vi med almindeligt sprog 25 formulerer en viden eller en antagelse om en sammenhæng mellem to variable.

2011

5.3 Sproglig form

1.000 fuldtidspers.

2000

75 Betragt grafen på denne figur, hvor de to variable 50 er tiden og arbejdsløshedstallet i Danmark. Her 25 kan man aflæse, at arbejdsløshedstallet nåede sit maksimum i denne periode i 2004, hvor der var ca. Anm.: Bruttoledigheden er ikke opgjort før 2007. 170.000 arbejdsløse, og derefter faldt arbejdsløs-Arbejdsløshed,Kilde: prognose AE’sAE’s prognose og(grundforløb) nye tal marts 2010 og Danmarks Statistik. 225 hedstallet frem til 2008, hvor det igen begyndte at 200 Ledighed stige. Arbejdsløshedstallets minimum i perioden 175 Bruttoledighed var knap 50.000. 150 Seneste udvikling

Anm.: Bruttoledigheden er ikke opgjort før 2007.

De fleste betaler fx for elektricitet på grundlag afAE’s deres forbrug. De tomarts variable her Statistik. Kilde: prognose (grundforløb) 2010 og er Danmarks forbrug og pris. Den sproglige præsentation af variabelsammenhængen kan være: I X-købing Kommune betaler man en fast årlig afgift på 400 kr. for at være tilsluttet elnettet, samt en pris på 1,75 kr. pr. kWh, man forbruger (kWh: kilowatt-time). Styrken i den sproglige form er, at vi alle har et fælles sprog, som vi bruger, når vi kommunikerer med hinanden, med institutioner, gennem medier og mellem fag. Svagheden er, at vi sjældent kan være lige så præcise med den sproglige form som med det matematiske sprog, og at problemstillinger hurtigt kan blive så komplekse, at almindeligt sprog ikke slår til. Det er jo derfor man har matematik. Se eksempler på bogens website.

5.4 Formeludtryk En sammenhæng mellem to variable kan fremtræde som en formel, hvor den ene variabel er lig med et regneudtryk, hvori den anden variabel indgår. Formeludtrykket kan anvendes til at udregne sammenhørende værdier af de to variable.

Eksempel: Ligningsløsning og beregning med formeludtryk For en bestemt kobbertråd kan sammenhængen mellem de to variable, den elektriske modstand i tråden og trådens temperatur, udtrykkes ved formlen: y = 0,218x + 56 hvor x angiver kobbertrådens temperatur (målt i º C, der læses: "grader Celsius"), og y er modstanden (målt i Ω, der læses "Ohm"). I matematik navngiver vi nu y som f(x). Kender man temperaturen, fx x = 30 º C, kan modstanden udregnes ved at erstatte variablen x med værdien 30, dvs. f(30) y = 0, 218 ⋅ 30 + 56 = 6, 54 + 56 = 62, 54 Konklusion: Når temperaturen er 30ºC, er modstanden 62,5 Ohm. Kender man modstanden, fx y = 65 Ohm, kan temperaturen tilsvarende findes ved at løse en simpel ligning, idet vi erstatter variablen y med værdien 65, dvs. 65 65 == 0 0,, 218 218 ⋅⋅ xx ++ 56 56 − 56 = 0 , 218 ⋅ x 65 65 − 56 = 0, 218 ⋅ x 9 9 == 0 0,, 218 218 ⋅⋅ xx 9 9 =x =x , 0 218 0, 218 41 41,, 284 284 == xx Konklusion: Modstanden er 65 Ohm, når temperaturen er 41,3ºC. Bemærkning: Havde vi defineret f(x) := 0,218 · x + 56, kunne vi have løst opgaverne ved henholdsvis at udregne f(30) og at løse ligningen f(x) = 65 med brug af solvekommandoen. I det videre matematikforløb vil vi komme nærmere ind på reglerne for løsning af ligninger. Styrken i formelsproget er, at det ofte afdækker en dybere sammenhæng mellem de variable, end vi umiddelbart kan se af et talmateriale eller en graf. Når sammenhængen er givet ved en formel, kan vi forholdsvis let svare på en lang række spørgsmål, som vi gav eksempler på ovenfor. Svagheden er, at vi med den modellering, der førte til formeludtrykket, har bevæget os fra den virkelige verden ind i matematikkens verden. Det er et nødvendigt skridt for at kunne løse problemer matematisk, men det er vigtigt at huske, at det er en model, som vi vælger at beskrive virkeligheden med, og at resultater beregnet ved hjælp af modellen efterfølgende skal oversættes til naturligt sprog for at give mening i virkeligheden.

Øvelse 1.25 Find eksempler på hver af de fire repræsentationsformer fra andre fag eller fra medierne. Bemærkning: En variabelsammenhæng fra det virkelige liv kan meget sjældent repræsenteres helt præcist med et formeludtryk. Se eksempelvis grafen på forrige side. Men grafen repræsenterer stadigvæk en funktion. Vi behøver altså ikke at have alle

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

fire repræsentationsformer for at have en funktion. Den præcise definition af en lineær funktion gives i afsnit 8. Når vi ikke har et regneudtryk, kan vi imidlertid ofte finde en tilnærmet formelrepræsentation. Vi møder det første eksempel på dette i afsnit 7.

6. O versættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge Vi har ofte brug for at kunne oversætte fra én af de fire former for variabelsammenhænge til en af de tre andre.

√x

x x x x

...!

y x x x

Vi vil i det følgende give en række eksempler på oversættelse mellem disse repræsentationsformer.

6.1 Tabeller og grafer – at indsamle data og at skaffe sig overblik Tabelværdier fra den virkelige verden kan ikke altid forventes at følge en simpel matematisk formel. Har man sådanne tabelværdier, er det normalt en god ide at begynde med at lave en grafisk fremstilling. Det kan så være, at det grafiske billede ligner noget, vi kender. Det illustrerer vi med et eksempel.

Eksempel: Fra tabel til graf Når man gøder jorden med kunstgødning, vokser høstudbyttet indtil et vist punkt. Der er grænser for, hvor stort et udbytte en bestemt afgrøde kan give. Og samtidig overstiger udgifterne til ekstra kunstgødning det beskedne ekstra udbytte. Det er vigtigt at kende denne sammenhæng, når man skal gøde. For en bestemt kornsort har man gennem forsøg fundet følgende sammenhæng: Kvælstofgødning (kg/ha) Høstudbytte (ton/ha)

100

120

1,43

2,31

3,08

3,95

4,65

4,90

5,11

Kilde: Thomas Vils Pedersen: Vækst, Matematiklærerforeningen 2005

For at få overblik laver vi nu et grafisk billede ved at plotte disse data i et passende koordinatsystem.

Høstudbytte (ton/ha)

Sammenhang mellem høstudbytte og gødning 6 5 4

I de simpleste tilfælde ligger punkterne med god tilnærmelse på en ret linje. I sådanne tilfælde kan vi med en teknik, der hedder regression, bestemme en graf, der tilnærmer datapunkterne nogenlunde, og vi kan yderligere bestemme formlen, der ligger bag denne graf.

3 2 1 0

100 120 140 Kunstgødning (kg/ha)

Regression er en vigtig teknik, som vi vil møde mange gange, første gang i afsnit 7: Lineær regression. I dette tilfælde med høstudbyttet ville vi imidlertid miste hele pointen om gødningens effekt, hvis vi tilnærmede datapunkterne med en enkelt ret linje.

Øvelse 1.26 a) Giv en sproglig beskrivelse af det grafiske forløb, vi ser i eksemplet ovenfor. b) Hvorfor ikke tilnærme med en ret linje? Kunne man tilnærme med to linjestykker? Hilket skillepunkt skulle man vælge som forbindelsespunkt mellem de to linjestykker?

Øvelse 1.27 a) Beskriv med ord, hvad tallet 1,43 i tabellen siger om høstudbyttet. b) B etragt intervallet fra 0 til 20 kg kunstgødning. Hvor meget stiger udbyttet med? Hvor meget stiger udbyttet med pr. kg kunstgødning?

I eksemplet ovenfor med kunstgødning kunne vi godt få et nogenlunde klart indtryk af variabelsammenhængen ud fra tabellen, selv om det grafiske plot hjalp betydeligt. Det følgende eksempel illustrerer både tabellernes styrke og deres svagheder. Her er det nemlig ganske svært at se et mønster.

Eksempel: Fra tabel til graf Hos en forsøgsperson måles indholdet af insulin i blodet (målt i en enhed, der hedder pmol/l) i løbet af dagen. Målingerne er angivet i skemaet, hvor t er tiden (målt i minutter). Morgenmaden indtages til tiden t = 0 og frokosten til tiden t = 240. Tid (min.)

–15

120

180

240

270 300 360 420 480

Insulin (pmol/l)

285

172

404

213

145

Kilde: Thomas Vils Pedersen og Henrik Laurberg Pedersen, Noter til ’Matematik og databehandling’ ved KVL (Life), 2006.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Den graf, vi har tegnet, giver nu mulighed for at aflæse en værdi for insulinindholdet til ethvert tidspunkt i perioden. Det er en tilnærmet værdi, da vi jo ikke kan vide, om insulinindholdet følger denne kurve i intervallerne mellem de afsatte datapunkter.

Insulinindholdet i blodet Insulin (pmol/l))

Data kopieres ind i et regneark og plottes i et koordinatsystem. Vi vælger her at forbinde målepunkterne med rette linjer (se grafen til højre).

450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

-50

150

250

350 450 Tiden (minutter)

Når vi ikke har en bedre viden om, hvordan en udvikling forløber, forbinder vi normalt målepunkter med rette linjer, fordi det giver den simpleste antagelse, nemlig at ændringen pr. tidsenhed er den samme i hele intervallet. Mange programmer har dog også mulighed for at forbinde datapunkterne med en blød kurve, en såkaldt "spline". Vi vender tilbage til dette i et projekt under emnet differentialregning på B-niveau.

Øvelse 1.28 Lægen vil normalt være interesseret i, hvad patientens eller forsøgspersonens gennemsnitlige insulinindhold i blodet er. a) S e på tabellens tal, og giv et bud på det gennemsnitlige insulinindhold i tidsrummet fra 60 til 120. b) S e på grafen. Tegnes lodrette linjer i 60 og 120, får vi et trapez. Hvad er arealet af dette trapez? c) H vad er sammenhængen mellem arealet af trapezet og udregningen af det gennemsnitlige insulinindhold? d) Benyt tabellens data til at vise, at det gennemsnitlige indhold af insulin over hele perioden er ca. 134. Læg mærke til, at tidsintervallerne ikke er lige lange. e) H vilken sammenhæng er der mellem tallet 134 og det samlede areal under grafen?

I det matematiske område på A-niveau, der hedder integralregning, lærer man bl.a. at udregne arealer afgrænset af mere komplicerede grafer. En beregning af tabelværdier og efterfølgende tegning af en graf kan bidrage til at løse forholdsvis komplicerede problemer. Det illustreres af følgende øvelse, der demonstrerer styrken i variabelbegrebet.

Øvelse 1.29 Overvej undervejs, hvordan opgaven skulle være løst uden at indføre variable og uden brug af et koordinatsystem. Tag et stykke papir, fx et A4-papir. Papiret skal foldes til en "kasse" ved at klippe små kvadrater af hvert hjørne som vist på figuren.

Længde Længde

A afskær 1

Højde Højde

Spørgsmålet er: Hvordan foldes kassen, så rumfanget bliver størst muligt?

Det ville være vanskeligt at svare på uden at indføre variable. Det gør vi nu med det delmål at få udfyldt tabellen nedenfor.

B højde

C længde

D bredde

E rumfang

Papirets længe l og bredde b er faste mål, som kan måles. Sidelængden i de ens kvadrater er den uafhængige variabel, som vi betegner med afskær. Kassens dimensioner er fastlagt ved dens højde, længde og bredde. Rumfanget er endnu en variabel. Vi har nu følgende fem variable i spil: afskæret, højden, længden, bredden og rumfanget af kassen. Overvej, hvilke sammenhænge der er mellem de forskellige variable, og benyt disse sammenhænge til at udfylde en tabel i et regneark som det viste. Giv derefter et bud på dimensionerne for den kasse, der får det største rumfang, idet tabellen benyttes til at fremstille relevante grafer.

6.2 Sprog og formler – at opstille og at tolke formler Der er flere, der kan læse dansk, end der kan læse formler. Når man skal betale for en ydelse som fx forbrug af vand, brug af mobiltelefon eller kørsel med en taxa, er det sjældent, man får prisen eller regningen præsenteret ved hjælp af en formel. Af og til illustreres priserne ved hjælp af en tabel, men oftest sker det på en sproglig form som i følgende eksempel.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Eksempel: Opstil en formel Prisen for at køre med et bestemt taxafirma beregnes ud fra et startgebyr på 25 kr. plus en km-takst på 17,50 kr. for hver kørt km. Vi vil indføre passende variable og opstille en ligning eller en formel, der beskriver sammenhængen mellem de variable. Lad x angive antal kørte km i kr., og lad y angive den samlede pris for hele turen i kr. For hver km skal der betales 17,50 kr. For x km skal der derfor betales: 17,5 . x kr. Så er sammenhængen mellem de to variable udtrykt som en formel: y = 7,5 . x + 25

Øvelse 1.30 En voksen mand forbrænder alkohol med en hastighed af ca. 12 g i timen. En person har drukket meget alkohol og har 100 g alkohol i blodet, da han stopper. Indfør passende variable, og opstil en ligning for, hvordan mængden af alkohol i blodet afhænger af antallet af timer, efter at personen stoppede med at drikke.

Eksempel: Proportionalitet Meget ofte ser man i butikker, at "stykprisen er ...", eller at "prisen pr. kg er ...". Hvis prisen pr. kg æbler er 18,50 kr., så koster x kilo y = 18,5 . x . Generelt siger vi, at når sammenhængen mellem de to variable har formen y = a . x, så er x og y proportionale med proportionalitetsfaktoren a. Det er et fænomen, man også ofte møder i fysik. Vi vender tilbage til dette efter grundforløbet under emnet Potensmodeller.

Øvelse 1.31 Når et legeme, fx en bil, bevæger sig, så bærer det en vis mængde bevægelsesenergi med sig. Kører bilen frontalt ind i et træ eller en mur, udløses hele denne energi på én gang, ofte med dramatiske følger. Hvordan beregner vi den energi? I fysik lærer man, at der gælder følgende: Bevægelsesenergien er både proportional med massen (af bilen) og proportional med kvadratet på hastigheden. Indfør passende variable, og opstil en formel for sammenhængen mellem bevægelsesenergi, hastighed og masse.

Når man har en vis erfaring med at opstille ligninger og formler ud fra sproglig beskrivelse, så lærer man også at "afkode" og fortolke sådanne udtryk. En fortolkning vil normalt indebære, at man beskriver konstanternes betydning. Dette illustreres med det næste eksempel.

Eksempel: Fortolkning af en formel Antallet af landbrug i Danmark kan for perioden 1983-1995 med god tilnærmelse beskrives ved modellen: y = –2600x + 98680 hvor y er antallet af landbrug, og x er antal år efter 1983. Vi vil undersøge, hvad tallene 98680 og –2600 fortæller om udviklingen i antallet af danske landbrug i perioden 1983-1995. Vi opstiller modellens formel som et funktionsudtryk og definerer: f(x) := –2600 · x + 98680. x er 0 i 1983. Hvis vi indsætter x = 0 i f(x), kan vi beregne antallet af landbrug i 1983. Vi kan anvende værktøjsprogrammets udregning af f(0) som kontrol, men her udregner vi det "i hånden" for at se, hvad der sker: f(x) = –2600 . 0 + 98680 f(x) = 98680 Dvs. 98680 er antallet af landbrug i 1983. Vi kalder ofte sådanne tal for startværdien eller begyndelsesværdien, fordi det er værdien, når x = 0. Når x = 1, er der gået 1 år, og årstallet er 1984. y udregnes ved at indsætte x = 1 i f(x): f(x) = –2600 . 1 + 98680 f(x) = 98680 – 2600 = 96080 Antallet af landbrug er altså faldet med 2600. Hvis vi havde udregnet værdien af y, henholdsvis når x = 10, dvs. i år 1993, og når x = 11, dvs. i år 1994, ville vi se det samme: Antallet af landbrug faldt fra 1993 til 1994 med 2600 og tilsvarende for ethvert andet par af årstal med et års mellemrum. Vi kan derfor lave følgende konklusion: I 1983 var der ifølge modellen 98680 landbrug, og antallet er siden faldet med 2600 om året. Vi vender tilbage til dette i afsnit 8, Lineære funktioner.

Øvelse 1.32 I en bestemt kommune kan sammenhængen mellem en families årlige vandforbrug og udgifterne hertil beskrives ved modellen y = 38x + 450, hvor y angiver udgifterne til vand (i kr.), og x angiver vandforbruget (i m3 ). Hvad fortæller tallene 38 og 450 om udgifterne til vand?

6.3 Grafer og sprog – at beskrive og at skitsere grafer I Grænser for vækst finder man det grafiske forløb af et scenario, hvor det antages, at menneskeheden har adgang til dobbelt så store ressourcer, som man kendte i 1990:

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Scenario 2:

Fordoblede ressourcer i forhold til Scenario 1 Scenario 2

Verdens tilstand Ressourcer

Industriproduktion

Forurening

Fødevarer

Population

1900

2000

Hvis vi fordobler den tilgængelige ressourcemængde, vi forudsatte i Scenario 1, kan industrien vokse 20 år længere. Populationen stiger til 9 mia. i 2040. Disse forhøjede niveauer skaber mere forurening, hvilket nedsætter jordens ydeevne og tvinger til meget større investeringer i landbruget. Efterhånden får den faldende fødevaremængde dødeligheden i befolkningen til at stige.

2100

Vi vil beskrive forløbet af to af kurverne: 1) Ressourcer og 2) Population. I beskrivelsen anvendes en række centrale begreber, der helt generelt anvendes, når man skal beskrive et grafisk forløb. For begge kurver løber den uafhængige variabel, tiden, i intervallet fra 1900 til 2100. Det interval, den uafhængige variabel løber i, kalder vi også definitionsmængden. Ad 1) Grafen over ressourcerne Mængden af tilgængelige ressourcer er aftagende i hele perioden. Faldet pr. år bliver større og større indtil ca. 2040, hvorefter det ser ud til, at faldet over en årrække er stabilt. Dette kan ses af, at kurven først krummer nedad – hvis vi lader en lineal følge kurven kan vi se, at denne starter med at være næsten vandret og efterhånden peger mere og mere stejlt nedad indtil ca. 2020 – og derefter med tilnærmelse er retlinjet i intervallet fra 2020 til 2060. Efter ca. 2060 bliver faldet pr. år mindre og mindre – kurven krummer opad – og det kan se ud til, at mængden af tilgængelige ressourcer stabiliserer sig, fordi grafen slutteligt igen nærmer sig vandret. (Det er der naturligvis en ydre forklaring på: Industriproduktion og landbrugsproduktion er faldet dramatisk). Ad 2) Grafen over populationen Populationen (befolkningstallet) er voksende frem til ca. 2040, hvor befolkningskurven har et maksimum, hvorefter populationen er aftagende. Det ser ud til, at populationen når et minimum omkring år 2090 og herefter igen vokser svagt. Dette minimum er stadigvæk højere end befolkningstallet i starten af hele perioden. Et sådant minimum, der ikke er den mindste værdi i hele perioden, kaldes af og til et lokalt minimum. Ikke alene befolkningstallet, men også befolkningstilvæksten pr. år er stigende i de første 100 år. Dette kan ses af, at kurven krummer opad. Under emnet differentialregning på B- og A-niveau, vil vi få nogle værktøjer, hvormed vi mere præcist kan beskrive det grafiske forløb med henblik på vendepunkter og krumning.

Øvelse 1.33 a) F remstil en liste over de begreber, der er anvendt i beskrivelsen ovenfor, og forklar betydningen af hvert enkelt begreb. b) B eskriv det grafiske forløb af de tre andre kurver ved brug af samme begreber, som er anvendt ovenfor.

Øvelse 1.34 Beskriv grafen, der er tegnet i øvelse 1.19 med brug af samme begreber, som er anvendt ovenfor.

Praxis: Monotoniforhold Når vi skal angive monotoniforhold for en variabelsammenhæng, betyder det, at vi skal beskrive det samlede grafiske forløb med brug af begreberne voksende og aftagende.

Den sproglige beskrivelses styrke er, at den i kort form fanger noget væsentligt ved kurven. Selv om det også er dens svaghed, idet beskrivelsen kun fanger nogle få overordnede karakteristika, så er det somme tider tilstrækkeligt til at give et hurtigt visuelt indtryk, som følgende eksempler kan illustrere.

Eksempel: Afkøling

Omg. temp.

Efter at have skænket en kop varm, nybrygget kaffe bliver vi optaget af noget andet, og kaffen afkøles. Vi vil nu uden et tabelmateriale skitsere en mulig graf, der kan beskrive afkølingen. De to variable er kaffens temperatur (målt i grader) og tiden (målt i minutter), der er gået, siden kaffen blev hældt op. Temperaturen afhænger af tiden, så temperaturen er den afhængige variabel, der afsættes op af 2. aksen, og tiden er den uafhængige variabel, der afsættes ud af 1. aksen. Vi kan sætte tal på akserne, svarende til de værdier hver af de to variable vil kunne antage, men i sådanne opgaver er det ikke afgørende, hvor hurtigt kaffen afkøles, men at vi med en grafskitse får fat i det væsentlige. Vores erfaring med afkøling af varme ting siger, at temperaturen falder relativt hurtigt i starten og relativt langsomt, når det allerede er kølet betydeligt ned. Almindelig sund fornuft siger, at kaffen ikke bliver koldere end omgivelsernes temperatur, så der er en nedre grænse for kurven. På baggrund af disse overvejelser får vi et grafisk forløb som vist her.

Øvelse 1.35 Sigtbarheden i vand aftager med dybden. Indfør passende variable, og tegn en grafskitse, der illustrerer sammenhængen mellem sigtbarhed og vanddybde.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

6.4 Formler og grafer – at tegne grafer og at bestemme en regneforskrift Udbyttet af en afgrøde afhænger af mange faktorer: jordbund, klima, vand samt tilførte næringsstoffer i form af gødning. Vi vil se på sammenhængen mellem udbyttet, som vi kalder U (målt i ton pr. hektar), og gødningsmængden, som vi betegner t (målt i ton NPK-gødning pr. hektar). Vi ser således bort fra de øvrige variable. Der er erfaring for, at sammenhængen mellem de to variable kan beskrives ved formlen: 20t + 10 U= t + 1 Hvad er de karakteristiske egenskaber ved denne sammenhæng? Det kan være svært umiddelbart at overskue en sådan variabelsammenhæng. Derfor er det relevant for forståelsen af udtrykket at få tegnet en graf. Et værktøjsprogram udregner internt en passende tabel over datapunkter og forbinder dem med meget korte linjestykker, så grafen fremstår som en blød kurve.

Øvelse 1.36 a) T egn i et værktøjsprogram grafen for udbyttet som funktion af gødningsmængden. Definer fx U som en funktion af t med den givne forskrift: U(t)U:= = 20 t + 10 t +1

b) B eskriv grafens forløb, og overvej, hvilken definitionsmængde der er relevant i denne sammenhæng. c) I formlen indgår tallet 10. Giv en fortolkning af, hvad denne konstant fortæller om gødningsmængden og udbyttet.

Øvelse 1.37

(især for B- og A-niveau)

Opfølgning på øvelse 1.29 a) K onstruer en dynamisk model af den udfoldede kasse i et passende geometriprogram, og benyt denne til at fastlægge det maksimale rumfang. b) O vervej, hvordan højde, længde og bredde afhænger af afskæret x, og benyt dette til at bestemme en regneforskrift for rumfanget V som funktion af afskæret x. c) H vilke værdier kan x antage? Disse tilladte x-værdier kaldes også definitionsmængden for V, og betegnes Dm(V). Spørgsmålet om at bestemme det størst mulige rumfang, kan nu omformuleres til et rent matematisk spørgsmål: Bestem x, så V(x) er størst muligt. d) Tegn grafen for rumfanget V som funktion af afskæret x. Benyt denne til at besvare spørgsmålet. En sådan opgave kaldes en optimeringsopgave, fordi vi skal finde den optimale løsning på et problem. Denne opgavetype vil vi arbejde videre med på B- og A-niveau.

Opgaver I kapitel 4 ligger en række opgaver, der udbygger og træner det, vi har gennemgået i eksemplerne og øvelserne i afsnit 6.

7. Lineær regression (I øvelserne i dette afsnit kan man som nævnt gøre brug af datamateriale fra kapitel 3.) Når ammoniumnitrat opløses i vand, falder vandets temperatur. Temperaturen er således afhængig af, hvor meget ammoniumnitrat, der er opløst. I en forsøgsrække benyttes forskellige mængder ammoniumnitrat, der hver gang opløses i 170 g vand. Vandets starttemperatur er 22 °C. Skemaet viser opløsningens sluttemperatur. Opløst mængde ammoniumnitrat (g) Opløsningens temperatur ( º C)

5,4

11,2

24,3

29,8

38,1

21,0

16,9

13,6

11,1

6,0

Kopier tabellen over i dit værktøjsprogram, så du kan arbejde med data. Lad os betegne mængden af ammoniumnitrat med A og opløsningens temperatur med T. Herunder ses en grafisk fremstilling af de fem målepunkter. Det ser ud som om, de ligger nogenlunde på en ret linje. Frembring punktplottet i dit eget værktøjsprogram. T

I stedet for blot at tegne en graf fra målepunkt til målepunkt, vælger vi at tro på, at der er en lineær sammenhæng mellem de to variable, dvs. at der bag målepunkterne så at sige ligger nogle ideelle teoretiske værdier, som vi ikke umiddelbart kan se. De teoretiske værdier ligger præcist på en ret linje, men bl.a. på grund af måleusikkerhed ligger de målte værdier svarende til datapunkterne spredt tilfældigt rundt omkring denne teoretiske linje.

Værktøjsprogrammerne har en indbygget metode til at tegne den lineære graf, der passer bedst muligt til målepunkterne, samt beregne en regneforskrift for den tilhørende lineære funktion. "Bedst muligt" bygger selvfølgelig på en vedtagelse om, hvordan vi måler dette. Men hvordan afgør programmet, hvad der er "bedst muligt"?

Definition Definition:1Regressionslinje Den linje,inddeler der passer bedst muligt til givne datapunkter, kaldes regressionslinjen Akserne naturligt koordinatsystemet i 4 områder, som kaldes 1., 2., 3., og 4. (af og til tendenslinjen), og fra vi siger, fremkommet ved at og lave lineær kvadrant. Omløbsretningen 1. til 4.aterlinjen mod er uret, fra (+,+) over (-,+) (-,-) til (+,-). regression. Bedst muligt er bestemt ved mindste kvadraters metode.

Mindste kvadraters metode dækker over en kompliceret matematisk teori, som vi behandler på A-niveau, men også løfter lidt af sløret for her.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 1.38

Lineær regression: Graf og formel

a) Plot datapunkterne. Du får nu et billede, der gerne skulle ligne illustrationen ovenfor. b) P lot en linje med ligning y = a · x + b i samme grafiske billede som datapunkterne, og udnyt værktøjsprogrammets mulighed for at eksperimentere med parameterværdierne a og b, så linjen følger punkterne "bedst muligt" ifølge dit øjemål. Noter værdierne og sammenlign i klassen. (Du kan på bogens website finde en vejledning i, hvordan dette udføres i de gængse værktøjsprogrammer). c) U dnyt nu værktøjsprogrammets muligheder til at udføre lineær regression på datamaterialet og til at få tegnet regressionsgrafen sammen med datapunkterne. Dit grafiske billede skal gerne ligne illustrationen nedenfor (evt uden kvadraterne). Dette er en grafisk repræsentation af den matematiske model, som beskriver data "bedst muligt". (Du kan på bogens website finde en vejledning i, hvordan dette udføres i de gængse værktøjsprogrammer). d) Værktøjsprogrammet har samtidig givet dig en regressionsforskrift, der gerne skal være f(x) = –0,42 · x + 22,83. Anvend := til at definere en funktion med regneforskrift lig med den formel, programmet har beregnet, så du kan regne videre med den. Dette er en formel-repræsentation af den matematiske model. e) B enyt funktionsforskriften til at bestemme opløsningens temperatur, når der er opløst 15 g ammoniumnitrat. f) Benyt solvekommandoen til at løse ligningen f(x) = 10, og giv en fortolkning af resultatet.

På figuren er afvigelserne mellem datapunkterne og regressionslinjen repræsenteret ved kvadrater. Summen af kvadraternes areal er et mål for den samlede afvigelse mellem datapunkterne og regressionslinjen. Regressionslinjen er netop valgt, så summen af kvadraterne er mindst mulig. Det er derfor metoden kaldes mindste kvadraters metode. Sammen med regneforskriften for regressionslinjen, udregner værktøjsprogrammet et mål (dvs. et tal) for, hvor godt den matematiske model passer med de oprindelige punkter, dvs med de empiriske værdier. Dette mål, som er tæt knyttet til summen af kvadraternes areal, har i matematik symbolet r 2 og kaldes ofte med et lidt misvisende begreb for forklaringsgraden.

På A-niveau vil vi under emnet differentialregning vende tilbage til teorien og historien bag denne mindste kvadraters metode.

Tallet r 2 ligger altid mellem 0 og 1. Matematisk set er det sådan, at hvis datapunkterne ligger perfekt på regressionslinjen, så er r 2 = 1. Men selv om tallet r 2 er tæt på 1, og regressionslinjen passer godt til punkterne, så der er en fin matematisk sammenhæng, så kan vi ikke vide med sikkerhed, at der også er en egentlig årsagssammenhæng.

Sammenhæng er nemlig normalt et spørgsmål om årsags-sammenhæng, og handler vores målepunkter om noget fra virkeligheden, eller er de resultat af et eksperiment, så skal andre fag bidrage til at afgøre, om der også er tale om en årsagssammenhæng og ikke kun en matematisk sammenhæng.

Gennem 1960’erne og 1970’erne faldt antallet af storke og antallet af fødsler i Danmark på en sådan måde, at de to kurver i en kortere periode til en vis grad matchede hinanden. Men derfor kan vi ikke slutte, at der er en årsagssammenhæng. Til højre er vist den "fine" grafiske sammenhæng.

Antal fødsler

Eksempel: Sammenhæng mellem antal storke og antal fødsler 80 70 60 50 40

Antal ynglende storkepar

Eksempel: Regressionslinjer og statistik Når vi senere på B-niveau lærer statistik og specielt fordyber os i, hvad det vil sige at teste en hypotese, så vil vi møde begreberne observerede og forventede værdier. Dette er også hvad der er i spil her: Datasættet, dvs. de empiriske værdier, svarer til begrebet observerede værdier, mens modelværdierne svarer til begrebet forventede værdier, nemlig forventede under antagelse af hypotesen om, at der faktisk er en lineær årsagssammenhæng.

7.1 Residualplot Tallet r 2 beregnes ved en kompliceret formel, så der er ikke en simpel sammenhæng mellem dette tals størrelse på den ene side, og hvor god den lineære sammenhæng er på den anden side. Du kan på bogens website læse mere om r 2 og om nogle af de fælder man kan falde i, når man fortolker tallet. Et bedre værktøj til at svare på, hvor godt modelværdierne passer med måledata, er det såkaldte residualplot. Et residualplot giver et grafisk billede af forskellen mellem de empiriske dataværdier og de beregnede modelværdier. Vi kan derved få et visuelt indtryk af, om forskellen mellem model og virkelighed kan tilskrives tilfældigheder, eller om den synes at være systematisk og dermed udtryk for, at der er nogle sammenhænge, vi ikke har styr på.

Øvelse 1.39

Lineær regression: Tabel og residualplot

2 1 0

–1 –2

Residualplottet knyttet til datasættet.

a) A nvend regneforskriften, du fandt i øvelse 1.38 d), til at udregne modelværdier for temperaturen svarende til de uafhængige variable (dvs. mængden af opløst ammoniumnitrat) i tabellen. Angiv modelværdierne i din tabel i regnarket. Dette er en tabel-repræsentation af den matematiske model. b) O pstil selv en tabel over residualerne, dvs. forskellen mellem de empiriske værdier og de netop udregnede modelværdier for temperaturen.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

c) P lot residualerne som funktion af den uafhængige variable (den opløste mængde ammoniumnitrat). Det ligner forhåbentlig illustrationen. Dette er residualplottet knyttet til modellen. d) Værktøjsprogrammet kan automatisk udregne residualerne og tegne et residualplot. Få programmet til at udføre dette. Det ligner forhåbentlig det plot, du selv udførte. (Du kan på bogens website finde en vejledning i, hvor0,4 dan dette udføres i de gængse værktøjsprogrammer). 0,2

e) K ommenter kvaliteten af modellen på baggrund af residualplottet. Her omtales som nævnt normalt størrelsen af afvigelserne mellem de empiriske data og modelværdierne, samt om disse afvigelser har en systematisk karakter eller ser tilfældige ud.

0 –0,2

0,5

1,5

2,5

–0,4

Et residualplot, der hører til et andet datasæt og en anden model, hvor r 2 = 0,95. Afvigelserne er systematiske (de ligger på en "kæde"), så modellen er ikke god.

Praxis: Fremgangsmåde ved lineær regression Vi har givet et datasæt. Opgaven går ud på at opstille den bedst mulige lineære model ved anvendelse af regression. Heri ligger et krav om, at vi skal anvende alle punkterne. 1. I ndskriv datapunkternes uafhængige og afhængige værdier i det format dit værktøjsprogram kræver for at udføre regression. 2. Plot datapunkterne som en dokumentation af det rimelige i at udføre lineær regression. 3. Få værktøjsprogrammet til at udføre lineær regression og angiv a og b -værdierne samt regneforskriften som svar på opgavens spørgsmål. 4. B enyt værktøjsprogrammet til at tegne residualplottet, og kommentér, hvorvidt "kravet" om tilfældig fordeling af datapunkterne i forhold til grafen er overholdt.

Opgaver I kapitel 4 findes en række opgaver om emnet lineær regression.

8. Lineære funktioner f(x) = ax + b Vi skal i dette afsnit se nærmere på den lineære funktion og dennes karakteristiske egenskaber. For at gøre det, er vi nødt til at have en præcis sprogbrug.

Definition Definition:1Lineær funktion En variabel y siges at være en lineær funktion af en anden variabel x, hvis der findes to tal a og b, så Akserne inddeler naturligt koordinatsystemet områder, som 3., og Omløbsretvi kan skrive sammenhængen på formen: y i=4ax + b eller f(x)kaldes = ax +1., b,2., fordi f(x)4.=kvadrant. y. ningen fra 1. til 4. er mod uret, fra (+,+) over (-,+) og (-,-) til (+,-). Vi kalder b for konstantleddet (eller begyndelsesværdien) og a for hældnings-koefficienten (eller stigningstallet). Bemærk, at ax altid betyder a · x.

Øvelse 1.40 Angiv konstantled og hældningskoefficient for følgende lineære funktioner: 1) f(x) = 7x + 23

2) f(x) = 3,9x – 12

3) f(x) = 0,2x

4) f(x) = –2,2x + 0,5

5) f(x) = x – 100

6) f(x) = –x + 5

7) f(x) = 5

8) f(x) = 0

Definition: Grafen for en funktion Grafen for en funktion, der er givet ved en regneforskrift, består af alle de punkter (x,y), der passer ind i regneforskriften.

At et talpar passer ind i regneforskriften betyder, at ligningen er sand, når vi indsætter talparret. Betragt fx den lineære funktion f(x) = 4x + 7. Punktet (2,15) tilhører grafen, fordi f(2) = 4 . 2 + 7 = 15, og y = 15. Punktet (–3,–6) ligger ikke på grafen, fordi f(–3) = 4 . (-3) + 7 = –5, og y = –6.

Øvelse 1.41 Betragt den lineære funktion f(x) = –3x + 10. Bestem tre punkter, der tilhører grafen.

Øvelse 1.42 Betragt den lineære funktion f(x) = 2x – 3. a) Hvad er konstantleddet, og hvad er hældningskoefficienten? b) Udfyld sildebenet nedenfor. -3 -2 -1 0 1 2 x

y = f(x) c) Forklar ud fra sildebenet betydningen af b og a. d) Afsæt punkterne i et koordinatsystem, hvor x afsættes ud ad 1. aksen, og y op ad 2. aksen. e) Hvad er den grafiske betydning af konstantleddet b? f) Hvad er den grafiske (geometriske) betydning af hældningskoefficienten a?

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 1.43 Vi vil her eksperimentelt undersøge, hvilken indflydelse a og b har på grafens forløb. Benyt dit værktøjsprogram til at tegne grafen for en funktion med forskriften f(x) = a · x + b, hvor værdien af de to konstanter a og b fastlægges ved hjælp af "skydere". Lad fx b løbe i intervallet fra –10,0 til 10,0, og lad a løbe i intervallet fra –4,0 til 4,0. a) Anvend variabelkontrol, hvor a holdes fast og b varieres. Hvilken betydning har b for grafens forløb? b) Anvend variabelkontrol, hvor b holdes fast, og a varieres. Hvilken betydning har a for grafens forløb?

Eksempel: Bevis for a- og b-tallenes betydning Betragt en lineær funktion med forskriften f(x) = ax + b Det præcise argument for konstantleddets og for hældningskoefficientens egenskab er følgende: Konstantleddet b. Hvis vi indsætter x = 0 i formlen, får vi f(x) = a · 0 + b = 0 + b = b Konklusion: b er y-værdien, når x-værdien er 0. Hældningskoefficienten a. Se på et vilkårligt punkt på grafen med koordinater (x1, y1). Da punktet ligger på grafen, må der ifølge definitionen på en graf gælde, at y1 = a ⋅ x1 + b . Lad nu x1 vokse med 1, dvs. vi går 1 frem på x-aksen og når derved frem til punktet (x2, y2 ), hvor x2 = x1 + 1. Den tilsvarende y-værdi, som vi altså kalder y2, er derfor givet ved y2 = a · x2 + b Ifølge forskriften y2 = a · (x1 + 1) + b Vi har indsat x2 = x1 + 1 y2 = a · x1 + a · 1+ b Parentesen er ganget ud y2 = a · x1 + b + a Leddene byttes rundt De første to led på højre side genkender vi som højre side i ligningen med y1, så vi indsætter y1 i stedet for disse to led og får: y2 = y1 + a Konklusion: Når den uafhængige variabel x vokser med 1, vokser den afhængige variabel y med a. Bemærk: Hvis a er et negativt tal, vil y-værdien aftage, når x-værdien vokser. Gennemfør selv argumentet for følgende: Når x-værdien vokser med 2, så vokser y-værdien med 2a. Når x-værdien vokser med 3, så vokser y-værdien med 3a. En tilvækst i x-værdien kaldes ofte ∆x, og tilsvarende kaldes en tilvækst i y-værdien ∆y. Når x-værdien generelt vokser med ∆x, så vokser y-værdien med a ⋅ ∆x , dvs. ∆y = a ⋅ ∆x . y-tilvæksten er altså proportional med x-tilvæksten.

Vi sammenfatter dette afsnit i en sætning.

Definition Sætning 1:1 Den grafiske betydning af a og b for funktioner med forskrift f(x) = ax + b. 1. Grafen skærer y-aksen i punktet (0,b). Akserne naturligt i 4 områder, 2. Når ainddeler er positiv, er f(x)koordinatsystemet = ax + b en voksende funktion.som kaldes 1., 2., 3., og 4. kvadrant. Omløbsretningen fra 1, 1. vokser til 4. er y-værdien mod uret, fra (+,+) Når x-værdien vokser med med a. over (-,+) og (-,-) til (+,-). Når x-værdien vokser med ∆x, så vokser y-værdien med a . ∆x, dvs. ∆y = a . ∆x. 3. Når a er negativ, er f(x) = ax + b en aftagende funktion. Når x-værdien vokser med 1, aftager y-værdien med a. Når x-værdien vokser med ∆x, så aftager y-værdien med a . ∆x, dvs. ∆y = a . ∆x. 4. Når a er 0, er y = ax + b en konstant funktion y = b.

8.1 Grafen for lineære funktioner Selv om man kunne synes, det ligger i navnet, at grafen for en lineær funktion må være en ret linje, så skal man passe på. Det er bare et navn, vi har givet bestemte funktioner, nemlig dem, der kan beskrives ved en forskrift af typen f(x) = ax + b. Men følgende sætning fortæller at navnet lineær funktion er velvalgt.

Sætning 2 1. Enhver ret linje, der ikke er lodret, er graf for en lineær funktion. 2. Grafen for en lineær funktion er en ret linje, der ikke er lodret.

Bevis (især for A-niveau) Beviset kan ses på bogens website.

Øvelse 1.44 Man kan anvende sætning 1 til at oversætte fra graf til formel og hurtigt skitsere grafer ud fra regneforskrifter, når det drejer sig om lineære funktioner. a) B estem en forskrift for hver af de lineære funktioner, der har følgende rette linjer som grafer: y

x 1

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

C 1

x 1

b) T egn i hånden graferne for: 2 y = 2 x + 3 2) f(x) y = − x − 2 3) f(x) 1) f(x) y = x +1 3

8.2 Regneforskrift for den lineære funktion Hvis der i et koordinatsystem er givet to punkter, bestemmer de en ret linje, og hvis en sådan ret linje ikke ligger lodret, er den graf for en bestemt lineær funktion f(x) = ax + b. Regneforskriften for denne lineære funktion må derfor kunne bestemmes, dvs. vi må kunne finde tallene a og b. Når en opgave lyder, bestem den lineære funktion, hvis graf går gennem to givne punkter, betyder det, at vi skal bestemme de to konstanter a og b og konkludere ved at opskrive formlen f(x) = ax + b, med de to konstanter indsat.

Eksempel: Beregning af forskriften ud fra 2 punkter Vi vil bestemme forskriften for den lineære funktion, hvis graf går gennem punkterne (3,5) og (8,15). Metode 1 Forskriften for den lineære funktion er f(x) = ax + b. Først danner man sig et overblik ved hjælp af en tabel, idet vi husker, at y = f(x). Ud fra tabellen ser vi, at når x-værdien vokser med 5, så vokser y-værdien med 10. Dvs. 5 . a = 10 og derfor er a = 2, hvorfor forskriften er f(x) = 2x + b. Vi bestemmer b ved at indsætte et punkt. Der er frit valg – vi indsætter (8,15): 15 = 2 · 8 + b 15 = 16 + b 15 – 16 = b b = –1 y = 2 x − 1. Konklusion: Den lineære funktion har forskriften: f(x)

+5 · a

Metode 2 Punkterne ligger på grafen og passer derfor ind i forskriften. Vi indsætter de to punkter i hver sin ligning og får:

15 = a · 8 + b 5=a·3+b

Dette kalder vi for et system af to ligninger med to ubekendte, nemlig a og b. Hvis vi trækker den nederste ligning fra den øverste, kan vi se, at b forsvinder, så vi ender med én ligning med én ubekendt: 15 – 5 = 8a – 3a 10 = 5a a = 10 = 2 5

Nu kan vi indsætte a i en af de to ligninger ovenfor og bestemme b. Der er frit valg – vi indsætter i den øverste: 15 = 2 · 8 + b 15 = 16 + b 15 – 16 = b b = –1 y = 2x − 1 . Konklusion: Den lineære funktion har forskriften: f(x) Havde vi indsat a i den anden ligning, havde vi fået samme b-værdi. Ofte anvendes det andet punkt som kontrol: Hvis det er den korrekte ligning, så skal y = 2 x − 1: punktet (3,5), der ligger på grafen, også opfylde ligningen. Indsæt (3,5) i f(x)

5=2·3–1 5=5

Eksempel: Regler for ligningsløsning De regler for ligningsløsning, vi har anvendt ovenfor, er kendt fra folkeskolen. I det videre matematikforløb i gymnasiet vil du møde en mere systematisk gennemgang af ligningsløsning med og uden værktøjsprogrammer.

Øvelse 1.45 Bestem regneforskrifterne for de lineære funktioner, hvis grafer går gennem:

1) (0,4) og (20,9)

2) (5,12) og (–11,36)

3) (7,9) og (28,9)

4) (17,68) og (42,218)

5) (–3,7) og (7,–3)

6) (–15,–23) og (0,2)

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 1.46 Bestem en ligning for den lineære funktion, hvis graf: a) går gennem (0,–5) og har stigningstallet a = 4,2. b) går gennem (321,467) og har stigningstallet a = –1. c) går gennem (–34,0) og har stigningstallet a = 1,5.

Øvelse 1.47 Med et værktøjsprogram kunne vi også bestemme regneforskriften ved at anvende lineær regression på de to punkter. Med to punkter vil linjen og regressionslinjen selvfølgelig stemme 100% overens (overvej hvorfor!). Hvis linjen er vandret, vil forklaringsgraden r2 ikke være defineret, fordi y-værdien i dette tilfælde er uafhængig af x-værdien. Bestem forskriften ved hjælp af lineær regression for et par af opgaverne i øvelse 1.45.

Rette linjer spiller en stor rolle, også som en tilnærmelse til grafer der ikke er lineære. Det skyldes, at stort set alle grafer er lineære "lokalt", dvs. hvis vi zoomer ind på et meget lille område af en graf, så vil den fremtræde mere og mere som en ret linje. Bl.a. derfor er vi interesserede i en formel for hældningskoefficienten fordi den også kan fortælle noget om egenskaber ved funktioner, der ikke er lineære.

Definition Sætning 31 Hvis grafen for den lineære funktion f(x) = ax b går gennem punkterne y1 ) Akserne inddeler naturligt koordinatsystemet i 4+områder, som kaldes 1., 2.,(x 3., 1, og ogkvadrant. (x2 ,y2 ), kan hældningskoefficienten med 4. Omløbsretningen fra 1. til 4.beregnes er mod uret, fraformlen: (+,+) over (-,+) og (-,-) til ∆y (+,-). y2 − y1 a = eller a = ∆x x 2 − x1

a= x1,y1

∆y ∆x a=

x2 ,y2

∆y ∆y a = ∆x ∆x x

Bevis Vi går frem som i eksemplets Metode 2. Punkterne ligger på grafen og passer derfor ind i ligningen y = ax + b. Vi indsætter de to punkter i hver sin ligning og får: y2 = a ⋅ x2 + b y1 = a ⋅ x1 + b Hvis vi trækker den nederste ligning fra den øverste, kan vi se, at b forsvinder, så vi ender med én ligning med én ubekendt: y2 − y1 = ( a ⋅ x2 + b) − ( a ⋅ x1 + b) y2 − y1 = a ⋅ x2 + b − a ⋅ x1 − b Parentesregler y2 − y1 = a ⋅ x2 − a ⋅ x1 Reduktion y2 − y1 = a ⋅ ( x2 − x1 ) a sættes uden for parentes y2 − y1 = a a isoleres ved at dividere (x2 – x1) over x2 − x1 Husk, at hele tallet y2 – y1 divideres med hele tallet x2 – x1. Hermed er formlen vist.

500

Eksempel: Hastighed som hældningskoefficient

Ved en bevægelse med konstant hastighed v vil sammenhængen mellem strækningen s og tiden t være lineær, og hastigheden er netop hældningskoefficienten:

400

∆s

300 ∆s

200 100

∆t

400 m

m v= = = 20 ∆t sek 20 sek Hvis de involverede variable er størrelser med enheder, bør hældningen også anføres med enheder. Hvis fx strækningen måles i meter og tiden i sekunder, m bør hastigheden, dvs. hældningen, derfor som vist angives med enheden sek . 25 t

sek

100 m

200 m

300 m

400 m

500 m s

V 1

Eksempel: Densitet som hældningskoefficient

I et laboratorium vejer man forskellige portioner af en bestemt væske. Der laves en grafisk fremstilling af tabelværdierne over sammenhængen mellem væskens masse m og dens rumfang V. Sammenhængen er en ligefrem prom portionalitet og hældningen vil netop angive væskens densitet: V mL

ρ=

∆m 118 g g = = 0,79 ∆V 150 mL mL

Hvis de involverede variable er størrelser med enheder, bør hældningen også anføres med enheder. Hvis fx massen måles i gram og rumfanget i milliliter, bør densiteten/hældningen derfor angives med enheden g/mL.

Øvelse 1.48 Anvend formlen i sætning 3 til at bestemme nogle af hældningskoefficienterne i øvelse 1.45.

Opgaver I kapitel 4 findes en række opgaver om lineære funktioner.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

9. Ligninger, kurver og funktioner Fra barnets første tilegnelse af sprog og leg med ord og sætninger, via kommunikation og udvidelse af ordforråd og sprogforståelse, og op gennem de mange års undervisning og uddannelse danner vi – og lærer vi – hele tiden nye og mere abstrakte begreber. Sådan er det også i matematik. Første gang man mødte algebra i form af bogstavregning og ligninger, var det måske svært at se, hvad det skulle bruges til. Klarer vi os måske ikke godt nok med aritmetikken, som rummer reglerne for regning med tal? Men bogstavregning kan vise, at det altid er samme formel og metode, vi bruger til at bestemme fx hældningskoefficienter for rette linjer. Og samtidig giver dette mulighed for at løfte matematikken op på et nyt niveau, som når vi anvender vores viden om rette linjer til at indføre et nyt begreb som væksthastighed og stigningstal for krumme kurver under emnet differentialregning på B-niveau. Nogle begreber som funktionsbegrebet har været meget længe undervejs. Det er det mest centrale begreb i moderne matematik. Hver gang man lærer nye områder af matematikken at kende, vil man møde funktionsbegrebet fra nye vinkler og opdage, hvor effektivt og produktivt et begreb det er. Det er et moderne begreb, fordi det udtrykker vores opfattelse af verden som dynamisk og ikke statisk. En funktionssammenhæng udtrykker, hvordan én variabel afhænger af en anden eller af flere andre variable. Forskellen mellem det klassiske og det moderne kan illustreres således: • Variabelsammenhænge kan ofte udtrykkes med ligninger og repræsenteres af kurver, der kan betragtes som geometriske objekter.

• Funktionssammenhænge kan ofte udtrykkes med regneforskrifter og repræsenteres af grafer, der kan betragtes som dynamiske objekter.

En regneforskrift er karakteriseret ved, at den leverer en bestemt y-værdi, når den fodres med en bestemt x-værdi. Man kan naturligvis ikke se, at en graf er dynamisk, men i konteksten taler vi ofte om grafiske forløb, og ser for os, hvordan grafen tegnes, mens den uafhængige variable gennemløber definitionsmængden.

Øvelse 1.49 a) L igningerne: 1) x2 + y2 = 25,

2) y2 – x = 0, og

3) x3 · y – y3 · x = 9

udtrykker hver for sig variabelsammenhænge mellem x og y. Anvend dit værktøjsprogram til for hver af de tre ligninger at tegne kurver, der er bestemt af netop de punkter, der opfylder ligningerne. (Du kan på bogens website finde en vejledning i, hvordan dette udføres i de gængse værktøjsprogrammer)

b) Regneforskrifterne: 1) f(x) = 1,5x – 2,

2) g(x) = 0,5x2 + 2x – 4, og

3) h(x) =

udtrykker, hvorledes funktionerne f, g og h afhænger af variablen x. Tegn grafer for hver af de tre funktioner. c) H vilke principielle forskelle er der mellem forløbet af kurverne i a) og forløbet af graferne i b)?

På den lange vej til det moderne funktionsbegreb skulle der løses mange problemer og overvindes mange gamle tænkemåder. I de foregående afsnit har vi arbejdet meget med de fire repræsentationsformer for variabelsammenhænge. Meget af dette har være kendt langt tilbage og er alt sammen forudsætninger for det moderne funktionsbegreb:

• De første tabeller over astronomiske observationer, hvor oldtidens astronomer eftersøgte regelmæssigheder i himmellegemernes bevægelser for 4000 år siden, repræsenterer variabelsammenhænge. • Den græske astronom og matematiker Ptolemaios udviklede for 2000 år siden komplicerede dynamiske kurver til at beskrive planeternes bevægelser. • I 1600-tallet analyserede Galilei og siden mange efter ham dynamiske bevægelser som projektilers banekurver, symbolerne går deres sejrsgang i matematikken, og Descartes lægger grunden til det moderne koordinatsystem.

Men det moderne funktionsbegreb er ikke bare summen af de fire repræsentationer, formuleret i et moderne sprog. En funktion er et mere abstrakt og mere generelt begreb:

Definition Definition:1 Funktion En funktion f fra en mængde A til en mængde B er en forskrift, der til ethvert element Akserne inddeler naturligt koordinatsystemet i 4 områder, som kaldes 1., 2., 3., og x i A knytter præcis ét element y i mængden B. Vi skriver i så fald y = f(x) og siger, at 4. kvadrant. Omløbsretningen fra 1. til 4. er mod uret, fra (+,+) over (-,+) og (-,-) til y er funktionsværdien af x. A kaldes for definitionsmængden for f, og vi skriver: (+,-). A = Dm(f )

I forlængelse heraf giver vi også en generel definition på, hvad vi forstår ved en graf:

Definition Definition:1 Grafen for en funktion f

Akserne inddeler naturligt Grafen for en funktion f erkoordinatsystemet de punkter (x,y), i 4 områder, som kaldes 1., 2., 3., og 4. fra 1. til 4. er mod uret, fraf(x) (+,+) over (-,+) og (-,-) til derkvadrant. opfylder,Omløbsretningen at y = f(x). P(x,y) (+,-). Man kalder f(x) for funktionsværdien i x.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Eksempel: Forskrift og regneforskrift En grafisk fremstilling af, hvordan ungdomsarbejdsløsheden (målt i procent) har udviklet sig måned for måned over de seneste 5 år, vil repræsentere en funktion: Mængden A svarer her til alle månederne i det angivne tidsrum. Mængden B svarer til alle procenttal fra 0 til 100. Ikke alle procenttal optræder i arbejdsløshedsstatistikken, men det er heller ikke et krav. Til et givet tidspunkt t er funktionsværdien f(t) lig med det procenttal, vi kan aflæse på grafen som y-koordinat i det punkt, der ligger lodret over tidspunktet t. Dermed har vi med grafen angivet en forskrift, som anført i definitionen. Men det er indlysende, at der ikke findes en regneforskrift her. En forskrift kan være en regneforskrift, men behøver altså ikke være det.

Eksempel: Euler og Dirichlet – det moderne funktionsbegreb vokser frem Det moderne funktionsbegreb blev udviklet i 17- og 1800-tallet. Selv om den meget produktive schweiziske matematiker Leonard Euler (1707-1783) ofte får æren, så dækkede hans funktionsbegreb ikke et eksempel som det, vi anførte ovenfor: Euler krævede at funktionsværdierne kunne beregnes ved en eller anden regneforskrift, at definitionsmængden skulle omfatte alle tal og opererede i øvrigt kun med kontinuerte funktioner, dvs. funktioner, hvis grafer er sammenhængende. Andre matematikere udvidede funktionsbegrebet ved at acceptere, at en regneforskrift kunne være en sum af uendeligt mange led. Og her opstår de første sære eksempler, idet det viser sig, at en uendelig sum af kontinuerte funktioner godt kan være diskontinuert! Men den endelige overgang til det moderne funktionsbegreb bliver først foretaget af Peter D. G. Dirichlet (1805-1859), der præsenterer en funktion, der er overalt diskontinuert:  1 når x er rational f( x) =   0 når x er irrational

Dirichlet gav i forlængelse heraf en definition, der meget ligner den, vi har givet her. Det viser sig i øvrigt, at denne mærkelige funktion, der er navngivet efter Dirichlet, faktisk kan beskrives ved en uendelig sum af pæne udtryk! Den historie fortælles i Hvad er matematik? A-niveau-bogen.

Dirichlet (1805-1859)

C, B, A – De tre faglige niveauer i matematik

Fra C til B og A: Stadig større udfordringer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Fra C til B og A: M atematisk modellering – udvidelse af værktøjskassen af funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Fra C til B og A: Større viden, flere metoder, bredere palet af anvendelser . . . . . . 55

På hvert af de tre faglige matematik-niveauer i gymnasiet arbejdes der med de tre faglige emnekredse: • funktioner • geometri • statistik og sandsynlighedsregning Når man bevæger sig fra C gennem B op til A, vil man møde større faglige udfordringer og komme til at arbejde med mere komplekse problemstillinger. Man tilegner sig naturligvis en større viden om matematik i form af kendskab til flere funktioner og en dybere forståelse af deres egenskaber, et indblik i flere forskellige geometriske verdener og en mere omfattende indsigt i de statistiske metoder. Men der er ikke kun tale om større viden, man tilegner sig samtidig nye metoder, der giver en bredere palet for anvendelser af matematik i andre fag. I dette kapitel giver vi nogle få illustrative eksempler på forskellene mellem de tre niveauer.

2. C, B, A – De tre faglige niveauer i matematik

1. Fra C til B og A: Stadig større udfordringer Øvelse 2.1

Regneforskrifter og grafer – fra det konkrete til det abstrakte

Den samlede udgift for kørsel med taxaselskabet "Sikkert afsted" kan beskrives ved funktionen f(x) = 15,25x + 37, hvor x er antal kørte kilometer. Den samlede udgift for kørsel med et andet taxaselskab "Rar kørsel" kan beskrives ved funktionen

g(x) = 16,95x + 22, hvor x er antal kørte kilometer.

Opgave på C-niveau a) Tegn graferne for f og g i samme koordinatsystem. b) Bestem skæringspunktet mellem de to grafer for f og g. c) Hvad fortæller skæringspunktet om de to taxaselskaber? Vi ændrer nu forskriften for f, så konstantleddet bestemmes af en skyder. d) Hvilken værdi skal konstantleddet have, for at taxaselskabet "Rar kørsel" er billigst, så længe antallet af kørte kilometer er under 50? Vi ændrer nu forskriften for f, så hældningen bestemmes af en skyder. e) H vilken værdi skal stigningstallet have, for at taxaselskabet "Rar kørsel" er billigst, så længe antallet af kørte kilometer er under 50?

Opgave på B-niveau a) Løs ligningen f(x) = g(x). b) Hvad fortæller løsningen om de to taxaselskaber? c) Hvad fortæller ulighederne f(x) > g(x) og f(x) < g(x) om de to taxaselskaber? Lad konstantleddet i f være b. d) Hvilken værdi skal b have, for at taxaselskabet "Rar kørsel" er billigst, så længe antallet af kørte kilometer er under 50?

Opgave på A-niveau Vi generaliserer de to forskrifter, så den samlede udgift for kørsel hos "Sikkert afsted" kan beskrives ved funktionen f(x) = ax + b, og den samlede udgift hos "Rar kørsel " kan beskrives ved funktionen g(x) = cx + d, hvor x angiver antallet af kørte kilometer.

Vi lader a < c og d < b. a) Forklar betydningen af a < c og d < b. b) Løs ligningen f(x) = g(x) mht. x. c) Hvad fortæller løsningen om de to taxaselskaber? d) Hvad fortæller ulighederne f(x) > g(x) og f(x) < g(x) om de to taxaselskaber? e) Løs ligningen f(50) = g(50) mht. b. Forklar løsningen. f) Løs ligningen f(50) = g(50) mht. a. Forklar løsningen.

Øvelse 2.2

Variabelsammenhænge – algebra og abstraktion

En kugles rumfang V kan udregnes med formlen: V = 4 ⋅ π ⋅ r 3 , 3 En kugles overfladeareal kan udregnes med formlen: A = 4 · π · r 2. Omkredsen af kuglen, hvor den er størst, kan udregnes med formlen L = 2 · π · r. r angiver i alle formler kuglens radius. Vi regner uden enheder. Et kunstværk indeholder to kugler: en lille kugle med rumfang 33,51, og en stor kugle med radius på 6.

Opgave på C-niveau a) Bestem radius i den lille kugle. Kuglernes overflade skal forgyldes. b) Hvor mange gange mere materiale skal man bruge til den store end til den lille?

Opgave på B-niveau Den store kugle består af en kerne med radius 5 og en skal med tykkelse på 1. a) Hvor stor en %-del af det samlede rumfang udgør skallen? Vægtfylden af kernen er 4, vægtfylden af skallen er 3. b) Hvor meget vejer kuglen?

Opgave på A-niveau En snor lægges stramt om den store kugle på det tykkeste sted ("ækvator"). Snoren forlænges med 1 enhed og skal udgøre omkredsen i en lidt større kugle. a) Hvor meget større bliver radius i den nye kugle end i den store kugle med radius 6? b) L øs derefter en mere generel version: Om en perfekt kugle med radius r lægges et snor stramt om ækvator. Snores forlænges med 1 enhed. Hvis denne snor løftes lige meget over ækvator hele vejen rundt, hvor højt er så det stykke, den kan løftes?

2. C, B, A – De tre faglige niveauer i matematik

Ekstra udfordring til A-niveau Jorden er en kugle med en radius på 6371 km. Vi befinder os i Dubai i verdens højeste tårn, der er 828 m højt. Vi står og kigger ud fra en platform 555 meter oppe over havets overflade og antager, at vi kan kigge ud over et spejlblankt hav. Hvor langt er der til horisonten?

2. Fra C til B og A: Matematisk modellering – udvidelse af værktøjskassen af funktioner Øvelse 2.3

Vækstmodeller

Opgave på C-niveau Når vi på C-niveau skal opstille matematiske modeller ud fra givne empiriske værdier, eller ud fra data fra eksperimentelle forsøg, så har vi som udgangspunkt rådighed over de lineære funktioner med forskrift: f(x) = a · x + b, de eksponentielle funktioner med x a forskrift: g(x) = b · a og potensfunktionerne med forskrift: h(x) = b · x . a) Funktionerne f og g repræsenterer de to klassiske vækstmodeller. Tegn i samme koordinatsystem graferne af de to funktioner: f1(x) = 3 · x + 10, og x g1(x) = 10 · 1,12 , hvor du lader x løbe i intervallet fra –20 til 20. Hvilke fælles træk, og hvilke forskelle springer i øjnene, når vi sammenligner de to grafiske forløb? b) E ksponentiel vækst kaldes også for procent-vækst: Når x vokser med 1, vokser g1(x) med 12%. Giv en tilsvarende karakteristik af den lineære model. c) G iv eksempler på fænomener, som beskrives ved hjælp af lineære og eksponentielle modeller. Via websitet kan du finde eksempler i et projekt om alkohol og hash. I mange naturvidenskabelige sammenhænge giver hverken lineære eller eksponentielle funktioner gode matematiske modeller. Se fx på eksemplet i afsnit 3.1 (s. 61), hvor vi undersøger sammenhængen mellem kraterdiameteren og bevægelsesenergien af det meteor, der slog ned. Eller eksemplet fra afsnit 3.2 (s. 63) om sammenhængen mellem tryk, temperatur og rumfang. Her får vi brug for en ny funktionstype, der også introduceres på C-niveau, potensfunktionerne. Vi vil undersøge, om der er en sammenhæng mellem planeternes middelafstand til Solen og deres omløbstid om Solen. Vi har følgende data, hvor vi har skaleret ned, så Jorden svarer til 1 enhed:

Merkur

Venus

Jorden

Mars

Jupiter

Saturn

Uranus

Neptun

Pluto

Afstand

0,387

0,723

1,524

5,203

9,539

19,18

30,06

39,44

Omløbstid

0,241

0,615

1,881

11,862

29,458

84,014

164,793

248,43

Omløbstid

Fremstil et punktplot af dataværdierne i et værktøjsprogram. Prøv at udføre eksponentiel regression på dataværdierne. Giver det mening? e) D ataværdierne kan beskrives ved hjælp af en ny type funktion, der kaldes potensfunktioner. Udfør potensregression, hvor vi sætter afstand til at være den uafhængige variabel. Du får en regneforskrift som h1(x) = 1 · x1,5

250 200 150 100 50 0 5

10 15

20 25 30 40 45

f) T egn grafen sammen med punkterne. Du skulle få et billede, der ligner illustrationen.

Afstand

Øvelse 2.4

Polynomier

Opgave på B-niveau Næsten alle de funktioner, vi møder på C-niveau er monotone, dvs. enten konstant voksende eller konstant aftagende. Vi møder dog også andengradspolynomier, hvis grafer kaldes parabler. På B-niveau går vi i dybden med disse og flere andre funktioner. Men de færreste fænomener i verden er rent monotone. Kaster vi en bold op, falder den ned igen, blodtryk stiger og falder igen, priser og aktiekurser går op og ned. Vi har kort sagt brug for en større palet af funktioner til brug for en matematisk modellering af sådanne sammenhænge. Vi vil her se på, hvordan en metode, som vi har lært allerede i grundforløbet, fortsat er anvendelig i det videre forløb til B-niveau.

Højde

a) E n bold kastes, og dens bane optages på video. Derefter måles på enkeltbilleder (frames) ved gentagne stop af filmen, hvor langt/højt bolden har bevæget sig fra udgangspunktet. Vi får her følgende datapunkter der illustrerer den kurve, bolden har fulgt (enheden er meter): x

0,77 1,23 1,64 2,09 2,53 3,10 3,56 4,02 4,48 4,92 5,39 5,84 6,30 6,98 7,32

0,97 1,50 1,90 2,32 2,68 3,08 3,30 3,50 3,63 3,70 3,72 3,68 3,60 3,37 3,20

Illustrer boldens bane med et punktplot af datasættet.

b) I et samarbejde med fysik kan man vise, at en sådan bold vil følge en bane, der kaldes en kasteparabel. Udfør andengradsregression på datasættet, og bestem en regneforskrift for det andengradspolynomium, der beskriver datapunkterne bedst muligt. Du skulle få en regneforskrift som: p(x) = –0,132 · x 2 + 1,412 · x – 0,044

3 2 1 0

7 8 Længde

c) T egn grafen sammen med punkterne. Du får et billede der ligner illustrationen. d) I spillet Angry Birds ser det ud, som om fuglene følger parabler. Via bogens website kan du finde en undersøgelse af dette.

2. C, B, A – De tre faglige niveauer i matematik

Polynomier af højere grad anvendes ofte i design, fx ved konstruktion af en profil af en ny bilmodel med de såkaldte Bezierkurver. Polynomier anvendes også til at opstille modeller, hvor vi ikke har nogen chance for at finde "den korrekte" model. Fx i opstilling af en model for bestemt idrætspræstation som et 100 m løb. Når man anvender polynomier hertil, er det for at få en blød kurve, som kan analyseres med henblik på spørgsmål som: Hvor foregår den største acceleration?

Øvelse 2.5

Omvendte funktioner, specielt logaritmer

Opgave på B-niveau Logaritmefunktioner blev skabt i 1600-tallet som regnetekniske funktioner. I dag, hvor vi har adgang til lommeregnere og matematiske værktøjsprogrammer, er der mere fokus på andre af logaritmefunktionernes egenskaber. Først og fremmest at de er såkaldte omvendte eller inverse funktioner til eksponentialfunktionerne. Det betyder, at disse funktioner gensidigt kan ophæve hinanden som plus og minus eller gange og dividere, eller som at opløfte i anden og tage kvadratroden (når vi nøjes med at se på positive tal). x

Der er en logaritmefunktion til enhver eksponentialfunktion. Den, der hører til 10 , kaldes for ti-talslogaritmen og har symbolet log10 (x), eller hvis det fremgår klart af kontekx sten, blot log(x). Da den er invers til 10 , så ophæver de hinanden, dvs. log10 (106 ) = 6. Tilsvarende gælder log10 (10) = 1 og log10 (0,001) = –3 1 –3 fordi 10 = 10 og 0,001 = 10 . x

Generelt gælder der: log10 (10 ) = x og 10

log10 (x)

=x x

a) T egn i samme koordinatsystem et grafisk billede af funktionerne 10 og log10 (x) sammen med grafen for linjen med ligningen y = x. Vælg fx grafvindue fra –3 til 5 på begge akser. b) Beskriv med ord, hvad der springer i øjnene, når man betragter dette grafiske billede.

10-tals logaritmefunktionen anvendes til at beskrive så forskellige fænomener som niveauet af den lyd, vi hører (der måles i decibel), energiudladningen ved jordskælv (der måles i Richter), styrken af en given syre (der måles i pH) og stjerners størrelsesklasse (der er et mål for stjernens lysstyrke). Alle disse skalaer er logaritmiske, og det er valgt sådan, netop fordi der er en enorm skalafaktor eksempelvis fra lydtrykket, der kommer fra blade, der rasler lidt ved en sagte vind (10 decibel) til lyden af en jetmotor der varmer op 50 meter fra, hvor vi står (140 decibel). For at vi kan orientere os i en verden med så voldsomme skaleringer, har vores hjerne gennem evolutionen udviklet sig, så en stor del af vores sanseapparat opfatter verden logaritmisk!

Øvelse 2.6

Trigonometriske funktioner

Opgave på B- og A-niveau Mange fysiske fænomener udvikler sig som bølger i havet, i en stadig gentagelse af bevægelser op og ned. Ofte er denne bevægelse virtuel, idet vi ikke ser bevægelsen som en funktion af tiden. Tænk på et pendul, der svinger, en fjeder der bevæger sig op og ned, en lyd fra et orkester der udbreder sig gennem luften, en bølge i undergrunden som følge af et jordskælv og meget andet. Alle sådanne fænomener kan modelleres ved hjælp af sinus- og cosinus-funktionerne, som vi undersøger grafisk på B-niveau og går i dybden med på A-niveau. a) D efiner en funktion s(x) := A · sin( ω · x + ϕ ) + b og gennemfør ved hjælp af "skydere" i dit værktøjsprogram en undersøgelse af parametrenes betydning for grafens udseende. Vælg fx et grafvindue, hvor x og y begge løber fra –10 til 10 .

b) K onkluder på din undersøgelse ved at redegøre for betydningen af amplituden A og ligevægtspunktet b for det grafiske forløb. c) T egn et grafisk billede af to sinussvingninger: s1(x) := 5 · sin(2 · x) og s2(x) := 5 · sin(10 · x). Sammenlign forløbet af de to grafer, og giv en fortolkning af tallene 2 og 10.

Øvelse 2.7

Logistiske funktioner

Opgave på A-niveau Eksponentiel vækst er ikke alene monotont voksende eller aftagende i hele sin definitionsmængde. Måden, denne vækst foregår på, er også den samme hele vejen: Kurven krummer op ad over alt. Det er klart urealistisk ift. virkelige fænomener, hvor der altid er en øvre grænse. Derfor må vækstkurverne også flade ud. En meget vigtig klasse af sådanne vækstfunktioner er de såkaldte logistiske funktioner. Lad os som eksempel se på et datasæt over en solsikkes vækstforløb: 7

Tid (målt i dage)

Højde

Højde (målt i cm)

a) U dfør logistisk regression på datasættet. Du får en regneforskrift som: h ( t ) : =

261

1 + 20, 21⋅ e

200

−0,0877⋅ t

b) T egn grafen sammen med punkterne. Du får et billede, der ligner illustrationen.

100

0 0

17,93 36,36 67,76 98,10 131,00 169,50 205,50 228,30 247,10 250,50 253,80 254,50

300

100 Tid

c) Beskriv ligheder og forskelle mellem den eksponentielle og den logistiske vækstmodel (Hint: Udfør fx regression på de første 6 datapunkter for sig).

2. C, B, A – De tre faglige niveauer i matematik

Eksempel A-niveau – Statistik med normalfordelingen Normalfordelingen er som navnet antyder den statistiske fordeling, man oftest møder. Den kurve, der fremkommer, hvis man måler højderne af alle drengebørn på 2 år, tegner et histogram over fordelingen og dernæst lader intervalbredderne i histogrammet blive stadigt smallere, så det grafiske billede nærmer sig billedet af en blød sammenhængende kurve – den kurve er en normalfordelingskurve. Den er graf for en funktion, der har en ret kompliceret forskrift, som vi vil studere nærmere på A-niveau.

0,4 0,3 0,2 0,1

–3

–2

–1

Eksempel A-niveau – Funktioner af to variable og vektorfunktioner På A-niveau vil vi yderligere udvide paletten af funktioner til brug i modelleringssammenhænge ved at inddrage funktioner af to variable, hvis grafer bliver til flader i rummet over og under xy-planen. Og endelig vil vi introducere vektorfunktioner, der fx kan anvendes til at beskrive en partikel, der bevæger sig, og hvor bevægelsen ikke behøver at følge grafen for en funktion, men fx kan være en cirkel eller en spiral eller en kurve, der skærer igennem sig selv. Via websitet kan du finde dokumenter, hvor du kan eksperimentere med de to funktionstyper.

3. Fra C til B og A: Større viden, flere metoder, bredere palet af anvendelser Øvelse 2.8

Optimeringsproblemer – modellering med brug af funktioner og grafer

Optimeringsproblemer drejer sig om at finde optimale løsninger i form af størst muligt areal under givne betingelser, mindst muligt materialeforbrug osv.

Opgave på C-niveau En viadukt under en jernbanelinje har et tværsnit, der har form som en parabel. Med vejbanen i tværsnittet som x-akse og med en y-akse lodret op midt i vejbanen kan 2 denne parabel beskrives som graf for funktionen f(x) = –x + 6,25. a) Tegn en model af dette parabelformede tværsnit. b) V iadukten passeres i ét spor. En lastvogn, der er 3,5 m bred og 3 meter høj, vil køre igennem. Kan det lade sig gøre?

Opgave på B-niveau En stor lagerhal har et tværsnit formet som en parabel. Med gulvet i lagerhallens tværsnit som x-akse og med en y-akse lodret op i lagerhallens midterakse kan 2 denne parabel beskrives som graf for funktionen f(x) = –0,1x + 6. a) Tegn en model af dette parabelformede tværsnit, og bestem hvor bred lagerhallen er. b) I gavlen skal sættes en rektangulær port. Indfør passende variable, og opstil et udtryk for arealet af denne port. c) Bestem den udformning af porten, der giver størst muligt areal. Et stort åbent akvarium skal have form som vist på figuren, hvor endefladerne skal være kvadratiske. Akvariet skal kunne rumme 2 m3. x

O = Overfladeareal = Glasareal

a) I ndfør en variabel for sidelængderne i kvadratet, og gennemfør med anvendelse af en skyder en eksperimentel undersøgelse af, hvordan det samlede glasareal afhænger af denne sidelængde. b) B estem akvariets mål, så glasforbruget bliver mindst muligt.

På B- og A-niveau vil man løse denne opgave med anvendelse af differentialregning.

Øvelse 2.9

Modelleringsopgave – Geometri med spaghetti

(Øvelsen bygger på projekt 1.7 til kapitel 1 af Hvad er matematik? C. Projekterne kan tilgås via websitet)

Opgave på C-niveau a) Hver elev knækker et stykke spaghetti tilfældigt i tre stykker. b) K om med et bud på, hvad der kræves af spaghettistykkerne, for at de kan danne en trekant. c) D iskuter, hvordan man kan knække et stykke spaghetti i tre stykker, så tilfældigt som muligt. d) Gentag nu punkt a) 10 gange, og noter, hvor mange gange der faktisk kunne dannes en trekant. e) Optæl antallet af trekanter fra alle elever på holdet. f) B estem andelen af trekanter set i forhold til antallet af spaghettier, der faktisk resulterede i netop 3 stykker. g) O pstil en regel for, hvornår tre stykker spaghettier kan danne en trekant ud fra længde rne af de tre stykker.

2. C, B, A – De tre faglige niveauer i matematik

Opgave på B-niveau Lad alle spaghettierne have længden 1. a) Simuler i et regneark to tilfældige tal mellem 0 og 1. b) H vad kan de to tilfældige tal svare til i forhold til en simulering af et knækket spaghetti? (Hint: Tænk på knækstederne).

Spaghetti

0,889

0,082

længde 1

længde 2

længde 3

ulighed 1

ulighed 2

ulighed 3

0,995

0,889

0,106

0,005

true

false

true

0,449

0,882

0,367

0,551

false

true

c) Bestem længden af hvert de tre stykker spaghetti i regnearket. d) Afgør ud fra længderne, om de tre stykker danner en trekant. Ovenstående er et eksempel på simuleringer af to tilfældigt knækkede spaghettier, hvor de tre stykker ikke danner en trekant. e) Udfør simuleringer af 1000 tilfældigt knækkede spaghettier. f) Bestem ud fra simuleringerne, hvor stor en andel der giver trekanter.

Opgave på A-niveau Lad det ene stykke hedde x, det næste stykke y, og dermed resten 1-x-y, idet man forinden har indset, at man uden tab af generalitet kan sætte spaghettiernes længde til 1. a) Hvad betyder ulighederne x ≥ 0, y ≥ 0 og 1 – x – y ≥ 0 ? b) Tegn et koordinatsystem, hvor 1 svarer til 10 cm. c) Hvilke punkter i koordinatsystemet opfylder de tre uligheder fra a)? d) Hvilken ulighed skal summen x + y opfylde, for at de tre stykker skal danne en trekant? e) H vilken ulighed skal summen x + 1 – x – y opfylde, for at de tre stykker skal danne en trekant? f) H vilken ulighed skal summen y + 1 – x – y opfylde, for at de tre stykker skal danne en trekant? g) Indtegn de områder af punkter, der opfylder hver af de tre uligheder fra d), e) og f). h) Gennemfør en arealbetragtning, og kom med et bud på, hvor stor en andel der giver trekanter, når spaghetti knækkes tilfældigt i tre stykker.

Øvelse 2.10

Indkomstfordeling undersøgt med statistiske metoder

(Eksemplet er foldet ud i Hvad er matematik? B, kapitel 14, Fagligt samarbejde matematik-samfundsfag. Kapitlet kan tilgås via websitet) For nogle år siden var indkomstfor.delingen i Danmark således: (1) Indkomstgruppe

(2) Andel af indkomst

(3) Akkumuleret gruppe

(4) Akkumuleret indkomst

0-20 (fattigste 20 %)

20 %

20-40

40 %

40-60

60 %

60-80

80 %

80-100 (rigeste 20 %)

100 %

100

Opgave på C-niveau

Pct af samlet disponibel indkomst

a) U dform en grafisk fremstilling af datamaterialet i tabellen med brug af histogram og sumkurve, hvor andel af indkomst afbildes som afhængig variabel, og andel af befolkningen afbildes som uafhængig variabel. 100

b) Aflæs median samt øvre og nedre kvartil.

Diagonal (Maximal lighed)

A 40

Lorenzkurve

20 Maximal ulighed

0 0

60 80 100 Pct af befolkning

Du skulle gerne få en sumkurve, der ligner denne graf, hvor vi også har indtegnet grafen for en fuldstændig lige fordeling af al indkomst. Denne sumkurve kaldes en Lorenz-kurve. Gini-koefficienten, der er et mål for den samlede ulighed, beregnes således: A

. G= A+B c) L æg et kvadratnet over din sumkurve, og giv ved optælling et skøn over Gini-koefficienten.

Opgave på B-niveau a) T egn sumkurven som under C-niveau. Tegn ved hjælp af polynomiel regression yderligere en graf, der følger indkomstfordelingen bedre end den kantede sumkurve. Diskuter rimeligheden i denne metode. b) O pstil en funktion, der måler forskellen mellem den fuldstændigt lige fordeling og regressionskurvens fordeling. Argumenter først rent logisk for, at der må være præcis et sted, R, hvor denne forskel er størst, og for, at hvis der skulle ske en fuldstændig omfordeling, så skulle indkomstgrupperne over R aflevere noget, og indkomstgrupperne under R modtage noget. Tallet R kaldes for Robin Hood-indekset. c) B estem grafisk tallet R. Tallet kan beregnes ved hjælp af differentialregning, der er det faglige hovedemne på B-niveau.

2. C, B, A – De tre faglige niveauer i matematik

Opgave på A-niveau a) T egn sumkurven, gennemfør polynomiel regression, og bestem Robin Hood-indekset grafisk, som under B. b) B rug dit værktøjsprogram til at bestemme arealet af områderne A og B – og dermed af Gini-koefficienten – ved hjælp af "numerisk integration". Disse arealer kan beregnes ved hjælp af integralregning, der er et af hovedemnerne på A-niveau. c) P å A-niveau lærer man, hvordan man kan "gøre det omvendte", dvs. bestemme en funktion og en graf, der kan illustrere uligheden i et samfund, selv om vi kun har givet et tal, nemlig Gini-koefficient.

Matematik og det faglige samarbejde i studieretningerne

Matematisk modellering af kraternedslag (matematik – fysik). . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Idealgasligningen – Boyle-Mariottes lov (matematik – kemi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Celler, respiration og gæring (matematik – biologi/biotek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Efterspørgsel, pris og indkomst (matematik – samfundsfag). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Bygninger, byer og samfund – logistik og akvædukter (matematik – kulturfag) . . . . 73

Matematik har som selvstændigt fag sine helt egne metoder, der ikke kendes i samme form i andre fag. Men matematik er også det mest anvendte redskabsfag. Traditionelt er matematik blevet anvendt af de naturvidenskabelige fag og ingeniørfagene, men i vor tid er økonomi og samfundsfag, sundhedsvidenskabelige, veterinære og farmakologiske fag utænkelige uden matematik. Også psykologi, musik, arkæologi og lingvistik anvender matematik. Derfor skal man også i sin studieretning i gymnasiet møde eksempler på fagligt samarbejde mellem matematik og de andre fag. På de følgende sider gives fem forskellige eksempler på et fagligt samarbejde, hvor den anvendte matematik er på C-niveau. De studieretningskapitler, der henvises til, er alle tilgængelige via websitet.

3. Matematik og det faglige samarbejde i studieretningerne

1. Matematisk modellering af kraternedslag (uddrag af Hvad er matematik? C, kapitel 11, fagligt samarbejde matematik-fysik) Mange steder rundt på Jorden kan man finde kratere efter nedslag af meteorer. Et af de mest berømte kratere er Barringer-krateret i Arizona. Det har en diameter på ca. 1,2 km og er 50.000 år gammelt. Meteoren, der lavede krateret, var en jern-nikkelmeteorit med en udstrækning på ca. 50 m. Energien ved nedslaget vurderes til at være ækvivalent til ca. 16 10 megatons TNT (ca. 4,2 · 10 J), svarende til ca. 800 Hiroshima-atombomber. Det meste af meteoren fordampede ved nedslaget, men der findes stadig lidt tilbage. Resterne af meteoren kaldes Canyon Diablo.

Barringer-krateret i Arizona.

Det menes, at dinosaurerne uddøde som følge af et kæmpe meteornedslag i Mexico for ca. 65 mio. år siden. Krateret efter dette kaldes Chicxulub-krateret og har en diameter på ca. 180 km. Generelt for nedslag og kraterdannelse gælder, at jo større kinetisk energi meteoren har ved nedslaget, jo større diameter får krateret. Sammenhængen mellem kraterdiameteren og energien af meteoren er en potenssammenhæng

E=k·D ,

hvor E er den kinetiske energi af meteoren, D er kraterdiameteren, og k er en konstant. I dette eksperiment skal I undersøge denne sammenhæng. Fremgangsmåde Man skal bruge en papkasse eller plastikkasse med sand i. Desuden skal man bruge sten (helst runde) eller kugler i forskellige størrelser. Stenene vejes, og derefter laves to forsøgsserier. Anvend tabeller som dem nedenfor til at registrere forsøgsdata. Tabellerne kan hentes på websitet. Man kan alternativt hente data fra et faktisk gennemført forsøg, se nedenfor. Serie 1: Masse af stenen/kuglen _____________________________ Højde

Kraterdiameter

(m)

1 (cm)

2 (cm)

3 (cm)

Kraterdiameter

Energi

Gn.snit (m)

(J)

Kraterdiameter

Energi

Gn.snit (m)

(J)

Serie 2: Højden er _____________________________ Masse

Kraterdiameter

(kg)

1 (cm)

2 (cm)

3 (cm)

1) Samme sten falder fra forskellige højder, og man måler hver gang kraterdiametren. Der laves mindst 3 gentagelser af forsøget for hver højde pga. usikkerheden, og gennemsnittet af kraterdiameteren beregnes. 2) Forskellige sten falder fra samme højde, og man måler kraterdiameteren igen. Dette gentages også mindst 3 gange med hver sten. Databehandling Hent evt. data på websitet, hvis du ikke selv har lavet forsøget. 2 Den kinetiske energi af hvert nedslag beregnes normalt som Ekin = 1 · m · ν , hvor m er 2 massen af meteoren, og ν er hastigheden. I stedet for stenens hastighed måler vi her den højde, som stenen falder fra. Hvis man antager, at den mekaniske energi er bevaret, vil stenens kinetiske energi ved nedslaget være lig den potentielle energi af stenen, når denne slippes i en vis højde. Den potentielle energi beregnes som Epot = m · g · h, hvor g er tyngdeaccelerationen, og h er højden. Udvid din tabel med energiangivelser. 1) Tegn energien som funktion af kraterdiameteren (gennemsnittet) i jeres værktøjsprogram ud fra formlen. Beskriv grafen med ord. 2) U dfør en potensregression, og bestem et udtryk for energien som funktion af kraterdiameteren. Sammenlign den fundne potens med teorien om, at energien vokser som den 3. potens af kraterdiameteren. Chicxulub-krateret i Mexico har en diameter på ca. 180 km. 3) Hvilken energi svarer det til ifølge jeres model? 23

4) V idenskabsmænd har estimeret energien til at være 4 · 10 J eller svarende til 14 10 tons TNT. Sammenlign med jeres resultat. Den energi, der skabte Chicxulub-krateret, svarer til 5-10 milliarder Hiroshima atombomber. På bogens website kan man finde en tabel over alle kratere, som man kender til her på Jorden. Udvælg selv et krater i denne tabel. 5) B eskriv krateret og forklar, hvorfor du valgte netop dette krater. 6) Bestem den frigivne energi for dette krater vha. din model ud fra diameteren. 7) Hvordan kan man forbedre forsøget? Er der noget, man kunne tage hensyn til, som vi ikke har gjort? 8) G iv et bud på usikkerheden af kraterdiameteren ud fra dine målinger. Formulér en konklusion over dit forsøg. Kom herunder ind på, hvad du fandt ud af, og om formålet er opfyldt.

3. Matematik og det faglige samarbejde i studieretningerne

2. Idealgasligningen - Boyle-Mariottes lov (uddrag af Hvad er matematik? C, kapitel 12, fagligt samarbejde matematik-kemi) Fagligt indhold Kemi: Mængdeberegninger, gassernes tilstandsligning. Matematik: Variabelsammenhænge, funktioner og modellering af potensmodeller (regression og residualplot). Projektets mål Projektets mål er at opnå fortrolighed med modelbegrebet. Arbejdet omfatter: modelafgrænsning, at opstille og udføre forsøg, modellere (analysere forsøg), tolke forsøgsresultater, samt eventuelt opstilling en ny model. Kort om idealgasligningen En ideal gas kan beskrives ved følgende sammenhæng:

p · V = n · R · T,

hvor n er et mål for stofmængden. Desuden indgår rumfanget V, trykket p og temperaturen T. R er en konstant. Denne matematiske model kaldes idealgasligningen. Der indgår altså 4 variable. Kender man de 3 af de 4 variable, kan man altid beregne den sidste.

Boyle-Mariottes lov har fået navn efter den irsk-engelsk kemiker og fysiker Robert Boyle (1627-91, på billedet) og den franske fysiker Edmé Mariotte (ca. 1620-84), som i begyndelsen af 1660’erne begge formulerede sammenhængen.

Øvelse 3.1 a) I gasfase er der relativ stor afstand mellem molekylerne, og de påvirker hinanden i langt mindre grad end stof, der findes på væskeform eller fast form. Undersøg, hvilke forudsætninger der opstilles, for at en gas kan betragtes som en ideal gas. Forklar, hvad der menes med begrebet model. b) B eskriv betydningen af de indgående størrelser i idealgasligningen (husk enheder). c) Angiv for hver af de 4 størrelser, hvorfor der er tale om en variabel og ikke en konstant. d) Vis med brug af dit værktøjsprogram, hvorledes man ud fra kendskab til tre af de variable kan bestemme den fjerde.

Hvis man holder stofmængden n konstant, kan man opskrive 3 specialtilfælde af idealgasligningen. • Boyle-Mariottes lov: Temperaturen T holdes konstant. Det vil sige: p · V = konstant • Gay-Lussacs lo: Volumen V holdes konstant. Det vil sige: p = konstant · T. • Charles lov: Trykket p holdes konstant. Det vil sige: Altså: V = konstant · T.

Øvelse 3.2 a) Beskriv, hvad det betyder, at størrelsen n holdes konstant i de tre specialtilfælde. b) B eskriv, hvad det eksperimentelt betyder, at henholdsvis T, p og V holdes konstant, samtidig med at stofmængden er den samme i de tre tilfælde. c) Angiv, hvilken type proportionalitet der er mellem de variable i de tre love. d) Bestem konstanten i hver af de tre tilfælde ud fra idealgasligningen.

Jacques Charles var en af pionererne inden for ballonflyvning. Det var under hans mange eksperimenter med ballonflyvning, at han opdagede de vigtige sammenhænge mellem ballonens rumfang og dens temperatur. Samtidig illustration fra 1783.

Boyle-Mariottes lov Sammenhængen kan skrives på følgende måder (a er lig med konstanten): p⋅V = a

a p

a V

Først skal Boyle-Mariottes lov eftervises. Der udføres en række forsøg med atmosfærisk luft som idealgas. En sprøjte med en mængde atmosfærisk luft benyttes. I sprøjten vil der være en bestemt mængde gaspartikler. Temperaturen holdes konstant, og der måles sammenhørende værdier af volumen og tryk. Til forsøget skal bruges en tryksensor med ventil, en sprøjte med stempel, et stykke plastslange til at forbinde sprøjten med tryksensoren samt dataopsamlingsudstyr. Alternativ Hvis man ikke ønsker selv at lave forsøget, kan man anvende nedenstående data. 3 Her blev sprøjten nulstillet ved V = 20 cm . Resultaterne fra forsøget blev: V (cm 3)

p (bar)

2,41

2,11

1,71

1,51

1,33

1,21

1,09

1,00

Tabellen kan hentes på bogens website. I de følgende øvelser arbejdes i et værktøjsprogram med egne resultater eller med dem i tabellen.

3. Matematik og det faglige samarbejde i studieretningerne

Øvelse 3.3 a) O pstil en hypotese om sammenhængen mellem de målte tal ud fra Boyle-Mariottes lov. b) Udregn produktet af sammenhørende værdier for V og p. c) Hvad forventes om disse 8 produkter? Bliver hypotesen bekræftet? d) Er afvigelserne tilfældige eller systematiske?

Øvelse 3.4 p ⋅ Vpå = formen a V= Undersøgelse af Boyle-Mariottes lov

a a eller Vp = a · p –1 p V

a) Plot data som (p,V), og lav potensregression (y = b · x a ). b) Hvad forventes om eksponenten? Bliver hypotesen bekræftet? c) Fremstil et residualplot. Hvad viser dette?

Øvelse 3.5 Undersøgelse af Boyle-Mariottes lov ved hjælp af linearisering a) Udregn tabelværdier for p−1 =

1 . p

b) Plot sammenhørende værdier af (p–1,V). c) Udfør lineær regression (y = a · x + b ). d) Hvad forventes om konstantleddet b? Bliver hypotesen bekræftet? e) F remstil et residualplot. Sammenhold resultaterne med resultaterne i punkt c) i øvelse 3.4.

Øvelse 3.6 Da forsøget blev udført, var der en ukendt mængde af gas i gummislangen og tryksensoren. Dette volumen kaldes V0. a) Opstil på baggrund af denne information en ny model. V0 skal indgå i den nye model. b) Isoler V i den nye model. c) K an man nu forklare, hvorfor den lineære regression fra øvelse 3.5 ikke går gennem punktet (0,0)? d) Kan man ud fra den lineære regression i øvelse 3.5 bestemme V0? e) K orriger de målte volumener i tabellen ved at lægge V0 til. Plot derefter sammenhørende værdier af ((V + V0 ), p), og udfør potensregression. f) Passer denne model bedre med Boyle-Mariottes lov? Forklar!

Øvelse 3.7 Ny hypotese: Undersøgelse af Boyle-Mariottes lov på formen p · (V + V0 ) = a : a) Udregn produktet af sammenhørende værdier for (V+V0 ) og p. b) Bliver hypotesen fra øvelse 3.6 nu bekræftet? c) Er afvigelserne tilfældige eller systematiske?

Gay-Lussacs lov Sammenhængen kan skrives på følgende måder (a er lig med konstanten): p =a T

p = a⋅T

Først skal Gay-Lussacs lov eftervises. Samtidig skal det absolutte nulpunkt bestemmes. Dertil måles sammenhørende værdier af tryk og temperatur. Overvej, hvordan man kunne lave en række forsøg med det formål at eftervise denne lov.

Gay-Lussacs lov har fået navn efter den franske kemiker og fysiker Joseph Louis GayLussac (1778–1850), som 1809 fremsatte loven om sammenhængen mellem en gas’ tryk og temperatur.

Til forsøget skal bruges en tryksensor med ventil og slanger, en speciel flaske med tynd bøjet hals, isterninger, dyppekoger, vandbad samt dataopsamlingsudstyr. Alternativ Hvis man ikke ønsker selv at lave forsøget, kan man anvende nedenstående data. Her blev flasken nulstillet ved t = 40 °C. Resultaterne fra forsøget blev: t (°C) p (bar)

10,1

20,2

30,1

40,0

49,7

59,8

69,9

80,2

0,904

0,936

0,962

1,002

1,032

1,064

1,096

1,128

Tabellen kan hentes på bogens website. I det følgende arbejdes i et værktøjsprogram med egne resultater eller med dem i tabellen.

Øvelse 3.8 a) Plot sammenhørende værdier (t, p). b) Lav lineær regression samt residualplot. c) Bekræfter modellen Gay-Lussacs lov? Forklar! d) Bestem ud fra modellen det absolutte nulpunkt og kommenter resultatet.

3. Matematik og det faglige samarbejde i studieretningerne

3. C eller, respiration og gæring (uddrag af Hvad er matematik? C, kapitel 13, fagligt samarbejde matematik-biologi/biotek)

Indledning Som introduktion til biologiske arbejdsmetoder udføres et eksperiment med gærceller. Den biologiske viden om celler, respiration og gæring findes i biologibogen. Den anvendte matematik findes i kapitel 1 i denne bog.

Introduktion til eksperiment I eksperimentet observeres gærcellernes aktivitet ved seks forskellige temperaturer, henholdsvis 10, 20, 30, 40, 50 og 60 °C. Der forberedes seks forskellige forsøgsopstillinger. Hver af forsøgsopstillingerne består af et termostatreguleret vandbad, hvori der placeres to kolber. I hver kolbe tilsættes 100 mL vand og 10 g glucose. I den ene af de to kolber opløses 5 g bagegær. Kolberne forsynes med en prop med et gærrør med vand, så gærcellernes aktivitet kan måles ved at tælle antallet af bobler, der kommer op gennem gærrøret. De seks vandbade indstilles til henholdsvis 10, 20, 30, 40, 50 og 60 °C. Tiden måles med et stopur. Efter fem minutter tæller man for hvert minut i de følgende 15 minutter, hvor mange bobler der kommer op gennem gærrøret i hver af kolberne.

Gæropløsning Kontrol

Thermostat

Tænd/sluk

Hypotesen Øvelse 3.9 Inden forsøget skal de enkelte hold opstille en hypotese, der omhandler deres forventninger til sammenhængen mellem gærcellernes aktivitet og vandets temperatur.

Variabelsammenhænge og kontrollerede forsøg I forbindelse med det enkelte eksperiment i biologi er det altid vigtigt at være opmærksom på variabelsammenhænge og kontrolforsøg. I biologi siger man, at der er tale om variabelkontrol, hvis vi kun varierer en variabel af gangen, mens evt. andre variable holdes fast. Den variabel, vi varierer, kaldes den uafhængige variabel. I dette eksperiment med gærcellers aktivitet varieres temperaturen, og antallet af bobler pr. minut tælles. Alle andre forhold i forsøget er konstante eller ens i alle seks opstillinger.

Kontrolforsøg I hver opstilling indgår et kontrolforsøg. Kolben uden gæropløsning fungerer som kontrol. Hvis der observeres bobler i en af kontrolkolberne, kan måling af bobler ikke bruges som mål for gærcellers aktivitet.

Øvelse 3.10 a) Hvilke variable indgår i dette eksperiment med gærcellers aktivitet? b) Hvilken variabel er den afhængige, og hvilken er den uafhængige? c) Er der tale om variabelkontrol? d) Kan denne variabelsammenhæng beskrives ved hjælp af matematiske variable? e) Hvilken rolle spiller kontrolforsøgene?

Resultaterne Forsøgsresultaterne opstilles i en tabel som den følgende: Minut

10 °C

20 °C

30 °C

40 °C

50 °C

60 °C

6 7 …

Som alternativ til selv at gennemføre forsøget, kan man hente data på bogens website fra et faktisk gennemført forsøg.

Databehandling Resultater skal nu præsenteres på en passende måde, så data bliver overskuelige.

Øvelse 3.11 a) F remstil en passende graf, der viser gæraktiviteten som funktion af tiden for de forskellige temperaturer i et passende koordinatsystem. Overvej følgende: 1. I hvilke intervaller løber værdierne for de to variable? 2. Hvad er definitionsmængden? 3. Hvad er maksimum og minimum ved de forskellige temperaturer? 4. Hvilke kvadranter er relevante at have med i den grafiske fremstilling? 5. Hvilken enhed har du på x-aksen og på y-aksen? Hvorfor? b) Beskriv og forklar grafen med din biologiske viden. c) B eskriv og forklar grafen med din matematiske viden, dvs. ved hjælp af matematiske begreber. d) Hvilke sammenhænge og forskelle er der i de to sidste svar?

3. Matematik og det faglige samarbejde i studieretningerne

Vi indfører middeltal I krydsfeltet mellem biologi og matematik vil der ofte opstå et behov for at komprimere data, så vi kan fokusere på datamaterialets niveau i stedet for datamateriales spredning. Til det kan anvendes middeltallet af et datasæt. Middeltallet kaldes også for gennemsnittet og udregnes som: summen af observationerne divideret med antallet af observationer, der her er 15.

Øvelse 3.12 Vi arbejder videre med datamaterialet fra øvelse 3.11. a) Bestem boblernes middeltal for hver temperatur. b) A fbild derefter boblernes middeltal som funktion af temperatur i et passende koordinatsystem. Overvej følgende: 1. I hvilke intervaller løber værdierne for de to variable? 2. Hvad er definitionsmængden? 3. Hvad er maksimum og minimum? 4. Hvilke kvadranter er relevante at have med i den grafiske fremstilling? 5. Hvilken enhed har du på x-aksen og på y-aksen? Hvorfor? c) Beskriv og forklar grafen med din biologiske viden. d) Beskriv og forklar grafen med din matematiske viden, dvs. ved hjælp af matematiske begreber. Følgende begreber skal overvejes og indgå: 1. uafhængig/ afhængig variabel 2. definitionsmængde 3. voksende/ aftagende 4. globalt /lokalt maksimum/minimum e) U dfør lineær regression på datamaterialet i intervallet fra 10 °C til 40 °C og tegn grafen. f) Ligger grafen tilfredsstillende i forhold til de virkelige målepunkter? g) Kunne andre matematiske modeller være relevante? Hvilke? h) Sammenhold din biologiske og matematiske beskrivelse af grafen: Hvordan bidrager hvert af fagene?

4. Efterspørgsel, pris og indkomst (uddrag af Hvad er matematik? C, kapitel 14, fagligt samarbejde matematik-samfundsfag) Hver uge udsender de fleste supermarkedskæder tilbudsaviser med ugens tilbud. En række varer er sat ned i pris i håbet om, at forbrugerne vil købe flere af den pågældende vare. Tilbud bygger altså på den antagelse, at jo lavere pris, jo flere enheder af den

pågældende vare vil forbrugerne købe. Og samtidig også, at såkaldte ’lokke-til’ tilbud vil få forbrugerne til at købe andre varer, som ikke er på tilbud, og hvor fortjenesten for butikken er større.

Efterspørgselskurven Du er på vej hjem fra skole og er sulten. På det lokale pizzeria køber du et stykke pizza til 30 kroner. Du er ikke helt mæt efter at have spist det og overvejer at købe et stykke mere, men synes omvendt ikke, at du er så sulten, at du vil købe et stykke mere. Havde prisen været 25 kroner, ville du nok have købt to stykker (det første stykke og stykke nr. 2). Da pizzaerne er ret velsmagende, ville du måske have købt tre stykker ved en pris på 20 kr. De tre punkter (1, 30), (2, 25) og (3, 20) kan plottes ind i et diagram, som vist på figuren. Kurven afbilder efterspørgslen efter pizza (antal stykker), som en funktion af prisen.

Efterspurgt mængde (m)

Efterspørgsel efter pizza 3,5

Bemærk: I faget økonomi afbildes efterspørgselskurven normalt i et diagram med prisen som den uafhængige variabel ud af y-aksen og mængden som den afhængige variabel ud af x-aksen. Det er ret forvirrende i forhold til matematik, hvor den afhængige variabel altid vises på y-aksen.

3 2,5

2 1,5

1 0,5 0 5

20 Pris (p)

Hvor mange stykker pizza du vil købe, er bestemt af prisen. Prisen (p) er uafhængig variabel og den efterspurgte mængde (m) er afhængig variabel.

Øvelse 3.13 a) B estem forskriften for efterspørgselskurven for pizza ovenfor ved at indtaste de tre punkter i dit værktøjsprogram og udføre lineær regression. b) Beskriv efterspørgselskurven i sproglig form. c) E r efterspørgselskurven realistisk? Afprøv med en pris på fx 5 kroner og en pris på 50 kroner.

Efterspørgselskurven aftager fra venstre mod højre: Jo højere pris, jo mindre efterspørgsel. Økonomer argumenterer for denne sammenhæng, ved at nytten af det første stykke pizza vil være større end nytten af det næste stykke pizza, hvorfor man som forbruger er villig til at betale mere for det første stykke. Sammenhængen antages at gælde generelt. Altså:

m = –a · p + b,

hvor m er mængden, og p er prisen på varen, hvis der er tale om en lineær efterspørgselskurve.

3. Matematik og det faglige samarbejde i studieretningerne

Eksemplet ovenfor var konstrueret! Det kan være vanskeligt at finde data fra den virkelige verden for sammenhængen mellem pris og efterspurgt mængde.

Eksperiment Klassen kan på skolen evt. afprøve sammenhængen mellem prisen og den efterspurgte mængde, fx ved at sælge kage i kantinen. Dag 1 sælges til fx 20 kroner pr. stykke kage (det er ret afgørende, at prisen 1. dag ikke rammer helt skævt), og det noteres, hvor mange stykker der er solgt. Dag 2 sænkes prisen til 15 kroner osv. Selve forløbet af eksperimentet skal selvfølgelig holdes hemmeligt, således at en beslutning om køb/ ikke køb ikke påvirkes af viden om de fremtidige priser. I tabellen er vist sammenhængen mellem prisen på vand og forbruget, der kan bruges som udtryk for den faktiske efterspørgsel.

Eksempel: Sammenhæng mellem pris og forbrug af vand Pris pr.kubikmeter

Forbrug (liter/døgn)

13,49

155

18,28

149

20,64

145

23,20

139

26,07

136

30,16

133

30,94

132

32,08

131

33,83

128

34,67

122

36,00

125

45,52

117

52,30

114

Tabellens data stammer fra Århus Amt i perioden 1993-2003 og hele landet 2007 og 2008 og viser forbruget i liter pr. indbygger pr. døgn, altså et gennemsnitstal og prisen som et gennemsnit af vandværkernes pris i området. Tabellen kan hentes på bogens website.

Øvelse 3.14 a) U ndersøg derhjemme – spørg din mor eller far – hvad prisen er på vand, og hvad jeres årlige forbrug er. Passer din familie ind i forhold til tallene i tabellen? b) P lot tabellens data i et diagram med prisen på x-aksen og forbrug ud af y-aksen. Bestem den bedste rette linje. Formulér verbalt, hvad den bedste rette linje viser. Husk, at prisen skal være den uafhængige variabel. c) F orskriften for den bedste rette linje kan siges at være en model, der beskriver sammenhængen mellem den efterspurgte mængde og prisen. Afprøv modellen under forskellige priser (pris på 0 kroner, pris på 50 kroner, pris på 100 kr.) d) Diskutér, om modellen er realistisk – hvilke andre faktorer end prisen kan tænkes at påvirke forbruget af vand i husholdningerne?

Priselasticitet: Hvor følsom er den efterspurgte mængde overfor ændringer i prisen? Den grafiske fremstilling til venstre viser efterspørgslen efter vand. Som det fremgår af figuren, så aftager kurven kun svagt i det område, hvor vi har datapunkter.

Forbrug i liter pr. døgn

180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 10

En så beskeden hældning af efterspørgselskurven betyder, at der skal ret store prisændringer til for at ændre i forbruget. Et gode som vand er jo en nødvendighedsvare, og det er meget vanskeligt at skære ned i vandforbruget (bad, toilet) på kort sigt. En flad efterspørgselskurve er udtryk for, at den 30 40 50 60 70 Pris pr. kubikmeter efterspurgte mængde ikke er ret følsom overfor ændringer i prisen. Fx vil prisstigningen fra den første værdi til den sidste værdi i tabellen på ca. 38,81 kr. (dvs. en prisstigning på ca. 288 %) kun givet et fald i forbruget på 41 liter, hvilket kun er et fald i forbruget på ca. 26 %. Modsat findes der varer, hvor efterspørgslen er meget følsom, dvs. der skal kun en lille prisændring til at ændre meget i den efterspurgte mængde.

Øvelse 3.15 a) S kitser en efterspørgselskurve, hvor selv ret små prisændringer vil udløse store ændringer i den efterspurgte mængde. b) Kom med eksempler på goder med en stejl efterspørgselskurve.

Til at måle, hvor følsom en ændring i den efterspurgte mængde er over for en ændring i prisen, anvender økonomer begrebet priselasticitet. Priselasticiteten defineres som den relative ændring i den efterspurgte mængde divideret med den relative ændring i prisen. Når prisen på vand fx hæves fra 26,07 kr. til 30,16 kr., så falder den efterspurgte mængde ifølge tabellen fra 136 liter til 133 liter. Elasticiteten (E) kan da udregnes som: E=

133 − 136 136 30,16 − 26, 07 26, 07

= − 0,14

Resultatet på – 0,14 kan tolkes således: når prisen stiger med 1 %, så falder den efterspurgte mængde på vand med 0,14 %. Mere generelt ser formlen således ud: m −m E=

∆m m ∆p p

p2 − p1 p1

Læg mærke til, at begge de relative ændringer er størrelser uden enheder, hvorfor også elasticiteten er en størrelse uden enhed, dvs. en ren talstørrelse. Da de relative ændringer er uforandrede, hvis vi ændrer enheden for prisen eller forbruget, gælder det samme for elasticiteten.

3. Matematik og det faglige samarbejde i studieretningerne

Blandt økonomer skelner man mellem tre forskellige typer goder med hensyn til elasticitet: E < –1: Efterspørgslen med hensyn til prisen er elastisk E = –1: Efterspørgslen er neutralelastisk –1 < E < 0: Efterspørgslen er uelastisk

Øvelse 3.16 a) Udregn priselasticiteterne for vand i alle intervallerne. b) Afbild i et diagram priselasticiteten som en funktion af prisen. c) Hvad betyder det, at elasticiteten er positiv i et interval? d) Hvorfor er elasticiteten ikke den samme i alle intervaller?

5. B ygninger, byer og samfund – logistik og akvædukter (Uddrag af Hvad er matematik? C, kapitel 10, fagligt samarbejde matematik-kulturfag. Du kan hente yderligere information i et materiale af Poul Nielsen om Roms vandforsyning, som også kan hentes på websitet.) Når mennesker etablerer bysamfund, opstår der en række logistiske problemer. Der skal transporters vand og fødevarer ind til byen, og der skal transporteres affald væk fra byen. Da Romerriget er på sit højeste, har Rom ca. 1 million indbyggere. Korn til at lave brød blev hentet langvejs fra, og sikring af en stabil kornforsyning var til enhver tid et centralt spørgsmål for magthaverne. Uden brød ville der komme oprør. Endnu mere afgørende var det at sikre vandforsyningen. Da Rom var en lille by, har folk selv skaffet sig vand fra kilder og måske fra floden Tiberen, der løber gennem Rom. Men floden blev også brugt til at skaffe affald væk med, og vandet herfra blev således også en sundhedsrisiko. Der skulle findes en anden løsning. Rom ligger i et lavland ved floden og er omgivet af højland på tre sider. Her er der rigeligt med kildevand, men hvordan får man det ind til byen? I 312 fvt. tager romerne fat på at løse dette med en ingeniørmæssig bedrift, der stadig står som noget af det mest imponerende, menneskene har skabt: De bygger den første akvædukt (vandkanal), som blev kaldt Aqua Appia. En akvædukt er en vandledning, der fører vandet fra kilden over dale og gennem bjerge frem til byen, og som er konstruereret sådan, at vandet løber afsted alene ved tyngdekraftens hjælp.

Mange af de gamle romerske drikkevandsfontæner fungerer den dag i dag.

Dvs. der er et større eller mindre fald hele vejen. Den første akvædukt var 16,5 km lang og løb hovedsageligt under jorden. De underjordiske kanaler var bygget så store, at man kunne rense og vedligeholde dem. De fortsatte med at bygge disse akvædukter til Rom indtil 226 evt., hvor den sidste blev bygget. På dette tidspunkt er der 11 akvædukter.

Roms 11 akvædukter Akvædukt

Anlagt år

Aqua Appia Aqua Anio Vetus Aqua Marcia Aqua Tepula Aqua Julia Aqua Virgo Aqua Alsietina Aqua Claudia Aqua Anio Novus Aqua Trajana Aqua Alexandrina

312 f.v.t. 269 f.v.t. 143 f.v.t. 125 f.v.t. 33 f.v.t. 19 f.v.t. 2 f.v.t. 47 e.v.t. 52 e.v.t. 109 e.v.t. 226 e.v.t.

Total kanallængde (km) 16,55 63,60 90,83 18 22,8 20,86 32,73 68,6 86,8 58 22

Vandmængde i (m 3 /døgn) 73 000 176 000 188 000 18 000 48 000 100 000 15 000 184 000 190 000 140 000 21 000

Øvelse 3.17 Hent filmen Roman Engineering - Aqueducts på bogens website, og giv på baggrund af den en præsentation af, hvordan romerne løste vandforsyningsproblemet.

Romerne anlagde akvædukter, hvor de anlagde byer, så overalt i romerriget så man disse imponerende bygningsværker.

Den såkaldte Pont du Gard Akvædukt, som førte vand ind til antikkens Nimes. Her føres ledningen over floden Gard. Vandet løb i en rende helt øverst. Den nedre del har senere tider udvidet en smule, så den kan bruges som en bro.

3. Matematik og det faglige samarbejde i studieretningerne

Øvelse 3.18 a) Hvor meget vand blev transporteret til Rom hver dag? b) Hvor meget vand var i gennemsnit til rådighed pr indbygger i Rom om året? c) H vor meget vand bruger en dansker gennemsnitligt om året? Spørg evt. i din egen familie. d) Hvad brugte Rom denne overdådighed af vand til?

Øvelse 3.19 Professor Peter Ørsted har i sit værk Romerne foretaget det kunstgreb, at lade en romersk soldat, udstationeret i England, vandre hjem for at besøge sin familie i det nuværende Tyrkiet. Soldater bandt sig for 10-15 år, så det er længe siden, han har været hjemme eller i det hele taget været andre steder end ved imperiets frontlinje mod barbarerne. Han vandrer afsted på de romerske veje; der er fred inde i det store rige, og han går fra by til by og tager bl.a. ophold i en by, der er vokset op om en romersk lejr ved Donau, og som ligger hvor det nuværende Budapest ligger. Her i byen Aquincum, hvor der er fundet 12 termer (badeanstalter), beskriver Ørsted via sin soldats oplevelser det romerske badeliv. Du kan hente et uddrag på bogens website. Læs det, og gør rede for den særlige romerske bade-kultur med brug af de store termer.

Øvelse 3.20 Akvædukten Aqua Julia henter vand fra en kilde, der udspringer 350 m over havoverfladen og lander i Rom på en plads, der ligger ca. 59 meter over havet. a) Hvad er det gennemsnitlige fald pr km? Hvad er det pr meter? b) H vis man tegner det i profil, og hvis vandledningen har samme hældning hele vejen, hvor stor er så vinklen med vandret? c) T il at bygge akvædukter med en sådan nøjagtighed udviklede de romerske ingeniører forskellige hjælpemidler, bl.a. en såkaldt chorobat. Hent Poul Nielsens artikel om Roms vandforsyning, og find heri en beskrivelse af chorobaten og af, hvordan den kan anvendes til at bygge med en bestemt hældning.

Opgaver til kapitel 1

Mindstekravsopgaver er markeret med 1.

Uafhængig og afhængig variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Koordinatsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge . . . . . . . . . . . . . . . . 79

O versættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge. . . . 80

Lineær regression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Lineære funktioner f(x) = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Ligninger, kurver og funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Facitliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

1. Uafhængig og afhængig variabel Opgave 1 Døgnets temperatur ændres med tidspunktet på døgnet.

a) I ndfør passende variable, og tegn en grafskitse, der illustrerer sammenhængen mellem den målte temperatur og det tidspunktet på døgnet, hvor temperaturen er målt – se eventuelt www.dmi.dk.

Opgave 2 På en hjemmeside for mobilfirmaet CBB står:

a) I ndfør passende variable, og tegn en grafskitse, der illustrerer sammenhængen mellem antal sms’er og den samlede pris om måneden.

4. Opgaver til kapitel 1

Opgave 3 Forestillingen om, at man bliver mere sund af at tage store mængder næringsstoffer om det så er vitaminer, mineraler eller urter - stammer fra den fejlopfattelse, at dosis er ligefrem proportional med den formodede virkning. Eller med andre ord: Mange tror, at jo større mængde man tager, jo bedre virkning opnår man. At det ikke er tilfældet, er ganske tydeligt, hvis man kigger på insulin. I små doser sænker insulin blodsukkerniveauet ved at fremme glucosens transport ind i cellen. Men i store doser ændres virkningen af insulin, så blodsukker øges. Derfor har en højere dosis insulin en farmakologisk skadelig virkning i stedet for en fysiologisk virkning. Kilde: www.helsenyt.com

a) I ndfør passende variable, og skitser en mulig graf over sammenhængen mellem insulinmængde og blodsukkerniveau.

2. Koordinatsystemet Opgave 4 På figuren ses grafen for en funktion. y

x 1

a) U dfyld tabellen nedenfor ved aflæsning af sammenhørende værdier af x og y på grafen. x y

–5

–2 0

0 2

b) Afgør, om punkterne (-4,-1), (-2,2), (0.5, 3.5) og (1,5) ligger på grafen.

Opgave 5 På figuren ses graferne for to funktioner f og g. y

f g

x 1

a) Aflæs x-koordinaten i de punkter, hvori de to grafer skærer hinanden.

b) A flæs de intervaller af x-værdier, hvor grafen for g (den grønne) ligger over grafen for f (den røde).

Opgave 6 På figuren ses grafen for en funktion. y

x 1

a) Aflæs y-værdierne svarende til de fire x-værdier –1, 0, 1, 2 og 3.

b) Beskriv med ord, hvordan y-værdierne ændres, når x-værdien stiger med 1.

4. Opgaver til kapitel 1

3. De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge Adoptioner efter tid. Sydkorea (Antal)

Opgave 7

500 450

På Danmarksstatistik under statistikbanken www.statistikbanken.dk kan man finde denne graf.

400 350 300 250

a) I ndfør passende variable, og beskriv med ord betydningen af det grafiske forløb i henhold til udviklingen i antal adoptioner fra Sydkorea i den angivne periode.

200 150 100 50 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005

Opgave 8

Nøgletal om befolkningen efter tid. Skilsmisse (Antal)

På Danmarksstatistik under statistikbanken www.statistikbanken.dk findes denne graf.

16000 14000

a) I ndfør passende variable, og beskriv med ord betydningen af det grafiske forløb i henhold til udviklingen i skilsmisseantallet i den givne periode.

12000 10000 8000 6000 4000 2000 1901 1910 1919 1929 1939 1948 1958 1968 1977 1987 1996 2006

På www.cdc.gov kan man finde denne grafiske repræsentation for udviklingen af influenza over en fire-årig periode. a) I ndfør passende variable, og beskriv med ord betydningen af det grafiske forløb for udviklingen af influenza i perioderne 2007-2008 samt 2008-2009, og sammenlign disse.

% of visits for ILI

Opgave 9 7

Flu from 2 years ago

H1N1 Flu

5 4 H1N1 Flu begins

3 2 1

39 Week

2006-7

2007-8

2008-9

National Baseline

4. Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge Opgave 10 En pose med 8 rosinboller koster 16,95 kr. i et supermarked.

a) I ndfør passende variable, og tegn en grafskitse, der illustrerer sammenhængen mellem antal poser og den samlede pris.

Opgave 11 To firmaer "Straks" og "UdenForsinkelse" transporterer varer af enhver slags for alle kunder. Prisen afhænger af det antal kilometer, der skal køres under transporten (se grafer).

"Straks"

Pris

a) B enyt graferne til at bestemme den transportafstand, som de to firmaer udbyder til samme pris.

"UdenForsinkelse"

b) O pstil en tabel, der viser prisen for en transport på 10, 20, 30, 40 og 50 km for hvert af de to firmaer.

100 10

Afstand

c) U ndersøg ved hjælp af graferne på hvilke strækninger, det bedst kan betale sig at benytte firmaet "UdenForsinkelse".

Opgave 12 På figuren ses grafen for en funktion.

a) A fsæt fem punkter på grafen, således at x-værdien stiger med 2 hver gang. Dvs. hvis man vælger at starte med x = 4, så skal næste værdi være x = –2 osv. b) B eskriv med ord, hvordan y-værdien ændres, når xværdien ændres med dette faste tal. 2 5

4. Opgaver til kapitel 1

Opgave 13 I et koordinatsystem er der givet tre forskellige grafer (se figur).

a) A flæs for hver af de tre grafer tre punkter på grafen, således at x-værdien stiger med 1 hver gang.

b) B eskriv med ord, hvordan y-værdien ændres, når xværdien ændres med 1, og sammenlign ændringen for hver af de tre grafer.

1 1

Opgave 14 På www.statistikbanken.dk kan man finde nedenstående tabel, der viser udviklingen i antal passagerer, der transporteres med tog på banenettet i Danmark.

Banenettet i alt (1000 passagerer)

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

160.600

165.700

167.032

165.285

185.989

202.100

207.477

a) Indfør passende variable, og tegn en graf, hvor punkterne forbindes med linjestykker.

Opgave 15 Et uddrag af en tabel fra Fiskeridirektoratets hjemmeside viser følgende: Konsumlandinger Landet vægt i ton Årstal

Blåhvilling

Brosme Hvilling

Kuller

Kulmule

Lange

Lyssej

Mørksej

Torsk

Anden torskefisk

2000

122882

248

274

3526

762

780

591

14626

5872

2001

123599

291

294

4880

995

900

432

17479

51262

2002

146489

236

352

9647

1113

895

696

26607

40499

2003

287991

239

427

6376

1154

1061

533

26838

33416

2004

273986

177

323

4483

1328

852

364

22605

35100

2005

251772

153

591

3698

1279

868

477

21494

37009

2006

183157

168

513

2568

1461

772

350

20790

31714

2007

165429

105

505

2795

1391

591

508

18389

2656

2008

70502

250

2315

1972

649

477

25478

25314

2009

3584

273

2801

2401

761

420

26078

24626

a) O vervej hvilke sammenhænge, tabellen kan give anledning til at undersøge.

b) K opier de data fra tabellen, der er relevante for din undersøgelse, over i et regneark, og tegn de relevante grafer, hvor punkterne forbindes med rette linjer.

c) B eskriv med ord, hvad grafen fortæller om den sammenhæng, du ønskede at undersøge.

Opgave 16

a) Udfyld en tabel, hvor værdier af kvadratet x2 beregnes for 7 forskellige værdier af x.

b) U dfyld en tabel, hvor værdier af produktet 2 · x beregnes for 7 forskellige værdier af x (vælg de samme x-værdier som i tabellen for x2).

c) S ammenlign de to tabeller, og kommenter forskellen på, hvordan værdierne for x2 og 2 · x ændrer sig.

Opgave 17

a) Udfyld en tabel, hvor værdier af x3 beregnes for 7 forskellige værdier af x.

b) U dfyld en tabel, hvor værdier af produktet 3 · x beregnes for 7 forskellige værdier af x (vælg de samme x-værdier som i tabellen for x3 ).

c) S ammenlign de to tabeller, og kommenter forskellen på, hvordan værdierne for x3 og 3 · x ændrer sig.

Opgave 18

a) Udfyld en tabel, hvor værdier af potensen 2x beregnes for 7 forskellige værdier af x.

b) U dfyld en tabel, hvor værdier af produktet 2 · x beregnes for 7 forskellige værdier af x (vælg de samme x-værdier som i tabellen for 2x).

c) S ammenlign de to tabeller, og kommenter forskellen på, hvordan værdierne for 2x og 2 · x ændrer sig.

Opgave 19 Der er givet tabellen:

a) O vervej, hvilket mønster tabellen afspejler, og opskriv sammenhængen mellem x og y som en formel.

4. Opgaver til kapitel 1

Opgave 20 Der er givet tabellen: x

y 29 25 21 17 13 9 5 a) O vervej, hvilket mønster tabellen afspejler, og opskriv sammenhængen mellem x og y som en formel.

Opgave 21 Der er givet den lineære sammenhæng y = 4x + 17 .

a) Hvilken betydning har konstanterne i den lineære sammenhæng.

Opgave 22 Der er givet den lineære sammenhæng y = x – 8 .

a) Hvilken betydning har konstanterne i den lineære sammenhæng.

Opgave 23 Der er givet den lineære sammenhæng y = –3x + 2 .

a) Hvilken betydning har konstanterne i den lineære sammenhæng.

Opgave 24 En familie får vand fra Vandcenter Syd. De betaler en fast årlig målerafgift på 600 kr. inkl. moms. Prisen pr. m3 er 41,75 kr. inkl. moms.

a) I ndfør passende variable, og opskriv en sammenhæng mellem familiens årlige vandforbrug og dens samlede udgift til Vandcenter Syd.

(stx-A-net eksamen maj 2010)

Opgave 25 Antallet af medlemmer i Dansk Tennis Forbund er siden 1999 med god tilnærmelse faldet med 2100 om året. I 1999 var medlemstallet 77688.

a) B enyt disse oplysninger til at opstille en lineær model, der beskriver udviklingen i medlemstallet i årene efter 1999.

Kilde: Dansk Tennis Forbund. (hf-C eksamen december 2006)

Opgave 26 Et taxafly koster 500 kr. i startgebyr og 50 kr. pr. minut i luften.

a) O pstil en lineær model, der beskriver sammenhængen mellem udgiften til flyveturen og antallet af minutter i luften.

Opgave 27 Udbringning af en pakke koster 100 kr. i startgebyr og 5 kr. pr. km.

a) O pstil en lineær model, der beskriver sammenhængen mellem udgiften til udbringningen og antallet af kilometer, som pakken skal fragtes.

Opgave 28 15 En sammenhæng mellem to variable x og y er givet ved y = . 1+ x a) Udfyld en tabel med sammehørende x- og y-værdier.

b) Skitser på baggrund af tabellen en graf.

c) T egn i dit værktøjsprogram grafen, og sammenlign med den graf, som du skitserede.

d) Forklar den grafiske betydning af konstanten 15.

Opgave 29 En sammenhæng mellem to variable t og U er givet ved U =

20 + 50 . t +1

a) Udfyld en tabel med sammehørende t- og U-værdier.

b) Skitser på baggrund af tabellen en graf.

c) T egn i dit værktøjsprogramj grafen, og sammenlign med den graf, som du skitserede.

d) Forklar den grafiske betydning af konstanterne 20 og 50.

4. Opgaver til kapitel 1

5. Lineær regression Opgave 30 (Opgaven er inspireret af Thomas Vils' Væksthæfte. Data i dette eksempel er taget fra Practical statistics for environmental and biological scientists af John Townsend (Wiley, 2002).) Forsøg har vist, at udklækningstiden for flueæg aftager, når luftfugtigheden øges. Konkret har man i et forsøg foretaget følgende målinger af sammenhængen: Luftfugtighed (%)

100

Udklækningstid (timer)

23,2

22,7

22,0

21,7

20,2

19,6

18,2

18,3

17,4

16,6

a) U dregn for hver forøgelse på 6% af luftfugtigheden (dvs. fra 46% til 52%, fra 52% til 58% osv.) det tilsvarende fald i udklækningstiden, og angiv disse tal i nederste række i skemaet. Hvad kan du konkludere? Luftfugtighed (%)

100

Udklækningstid (timer)

23,2

22,7

22,0

21,7

20,2

19,6

18,2

18,3

17,4

16,6

Fald i udklækningstid (timer)

b) A fsæt målingerne i et koordinatsystem med luftfugtigheden ud ad førsteaksen og udklækningstiden ud ad andenaksen, og tegn den bedste rette linje.

c) V i betegner luftfugtigheden målt i % med L og udklækningstiden målt i timer med U. Bestem to tal a og b, så der med god tilnærmelse gælder: U = a ⋅ L + b .

d) Hvilken sammenhæng er der mellem tallet a og de fald i udklækningstiden, som du udregnede i spørgsmål a)?

e) H vilken udklækningstid vil du forvente, når luftfugtigheden er 80%?

f) Hvor høj skal luftfugtigheden være, for at udklækningstiden bliver 20 timer?

Opgave 31 Forbruget af kartofler har i perioden 1994-2004 udviklet sig som vist i tabellen nedenfor. År

1994

1995

Forbrug af kartofler i mio. kg

296,2 297,0

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

299,0 300,7 301,4 302,7 303,7 304,5 305,8 306,5 307,3

a) B estem med regression den lineære model, der med god tilnærmelse beskriver udviklingen i kartoffelforbruget i perioden 1994-2004.

b) H vad beskriver a og b i modellen?

c) Hvad vil forbruget af kartofler være i 2010 ifølge modellen?

d) Hvornår vil vi bruge 320 mio. kg kartofler om året ifølge modellen?

Kilde: Danmarks Statistik

Opgave 32 En bilist vil undersøge sin bils benzinøkonomi og har derfor lavet et benzinregnskab som det følgende, hvor variablen triptæller angiver, hvor langt bilen har kørt i km, og påfyldt benzin, hvor mange liter benzin, der påfyldes ved hver optankning, idet benzintanken fyldes helt op ved hver påfyldning. 0

400

Påfyldt benzin

fuld tank

41,1

Benzinforbrug

Triptæller

689

1085

1420

1650

a) U dfyld resten af søjlen for benzinforbruget i tabellen.

29,7 40,7 34,4 23,6

b) A fbild benzinforbruget som funktion af antal kørte km.

41,1 70,8

c) T egn en ret linje, der så vidt muligt går gennem datapunkterne på grafen.

d) Bestem ligningen for den tilhørende rette linje, der beskriver benzinforbruget som funktion af den kørte strækning.

e) Hvilken betydning har hældningen?

Opgave 33 Nedenstående data stammer fra en DSB-køreplan, hvor variablen strækning måles i km, og variablen køretid måles i minutter. Tog 1 standser ved alle stationer, mens tog 2 kører direkte igennem på strækningen fra Nivå til Klampenborg. Strækning

Station

Tog 1

Køretid 1

Tog 2

Helsingør 5.04 0 6.28

Snekkersten

Espergærde 5.12 8 6.36

5.08

6.32

Humlebæk

5.17

6.41

Nivå

5.22

6.45

Kokkedal

5.26

–

Rungsted kyst 5.31 –

Vedbæk

Skodsborg 5.40 –

5.35

–

Klampenborg

Østerport

41 44

5.45 7.00 5.55

7.10

Nørreport

5.58

7.13

København H.

6.02

7.17

a) Udfyld køretiden for tog 1. b) A fbild punktplottet, der viser sammenhørende værdier af strækning og køretid for tog 1. c) T egn en ret linje, der så vidt muligt går gennem datapunkterne på grafen. d) Hvad bliver ligningen for denne rette linje? e) E r det rimeligt på denne måde at beskrive sammenhængen som lineær? f) H vilken praktisk betydning har hældningen a? g) A fbild på samme måde punktplottet, der viser sammenhørende værdier af strækning og køretid for tog 2 i det samme koordinatsystem. Sammenlign de to grafer.

4. Opgaver til kapitel 1

Opgave 34 For et digitalt kamera kan blænden x (i F-værdier) og lukketiden y (i sekunder) ændres, når et billede tages. Følgende data gælder for et digitalkamera:

1/1000

1/500

1/250

1/125

1/60

1/30

1/15

1/8

2,8

5,6

a) B enyt tabellens data til at bestemme den lineære model, der beskriver sammenhængen mellem x og y.

b) Bestem forklaringsgraden for den lineære model.

c) B estem et residualplot, og vurder om punkterne er tilfældigt fordelt, eller der er en systematisk afvigelse. Hvad vil du konkludere ud fra residualplottet om den lineære model?

Kilde: De Veaux, Velleman, og Bock, Intro Stats (Pearson Addison Wesley, 2009), side 179.

Opgave 35 Følgende data gælder for den uafhængige variabel x og den afhængige variabel y:

a) B enyt tabellens data til at bestemme den lineære model, der beskriver sammenhængen mellem x og y.

b) B estem et residualplot, og vurder, om punkterne er tilfældigt fordelt, eller der er en systematisk afvigelse. Hvad vil du konkludere ud fra residualplottet om den lineære model?

Opgave 36 Følgende data gælder for den uafhængige variabel x og den afhængige variabel y:

5,9

6,3

7,5

14,8

12,9

15,2

21,5

26,0

22,2

24,5

a) B enyt tabellens data til at bestemme den lineære model, der beskriver sammenhængen mellem x og y.

b) B estem et residualplot, og vurder, om punkterne er tilfældigt fordelt, eller der er en systematisk afvigelse. Hvad vil du konkludere ud fra residualplottet om den lineære model?

Opgave 37 Følgende data gælder for den uafhængige variabel x og den afhængige variabel y x

2,3

2,6

5,7

11,2

15,9

29,6

26,3

22,7

21,2

18,3

a) B enyt tabellens data til at bestemme den lineære model, der beskriver sammenhængen mellem x og y.

b) B estem et residualplot, og vurder, om punkterne er tilfældigt fordelt, eller der er en systematisk afvigelse. Hvad vil du konkludere ud fra residualplottet om den lineære model?

Opgave 38 Følgende data gælder for den uafhængige variabel x og den afhængige variabel y x

5,4

8,6

7,5

11,9

3,7

27,0

0,9

40,6

55,7

-2,8

a) B enyt tabellens data til at bestemme den lineære model, der beskriver sammenhængen mellem x og y.

b) B estem et residualplot, og vurder, om punkterne er tilfældigt fordelt, eller der er en systematisk afvigelse. Hvad vil du konkludere ud fra residualplottet om den lineære model?

6. Lineære funktioner y = ax + b Opgave 39 På figuren ses graferne for 4 lineære funktioner, som alle har en forskrift af typen f(x) = ax + b. a) O pskriv forskrifter for de lineære funktioner n og k, idet hældningskoefficienten a og konstantleddet b aflæses på figuren.

y n m

1 1

x l

b) O pskriv forskriften for de lineære funktioner l og m, idet hældningskoefficienten a og konstantleddet b aflæses på figuren. c) Afgør ud fra graferne, om følgende punkter ligger på graferne: (2,5), (–10,7), (10,–3) og (–4,7). d) Afgør ud fra forskrifterne, om de følgende punkter ligger på graferne: (30,19), (2,–15).

4. Opgaver til kapitel 1

Opgave 40 Det øverste lag af Jorden kaldes for skorpen. Under skorpen befinder kappen sig. Ved en bestemt målestation er skorpen 40 km tyk. Temperaturen ved jordoverfladen er 20°C, og ved overgangen til kappen er den 500 °C. I en temperaturmodel går man ud fra, at temperaturen i skorpen vokser lineært med dybden.

a) I ndfør passende variable, og opstil et funktionsudtryk for temperaturen som funktion af dybden.

Kilde: www.vandcenter.dk (stx-A-net terminsprøve november 2008)

Opgave 41 Den årlige omsætning på spil i Danmark kan for perioden 2000-2004 med tilnærmelse beskrives ved modellen y = 2, 5 x + 10, 5 , hvor y er omsætningen målt i mia. kr., og x er antal år efter 2000.

a) H vad fortæller tallene 2,5 og 10,5 om omsætningen på spil?

(hf-C eksamen december 2007)

Opgave 42 Prisen på vareudbringning med et transportfirma er givet ved f(x) = 15x + 75, hvor f(x) er prisen angivet i kr. for at transportere varer x km.

a) B estem prisen for at transportere varer 10 km. Beskriv, hvad konstanterne 15 og 75 fortæller om prisen på vareudbringningen.

(baseret på stx-B eksamen juni 2010)

Opgave 43 Vand løber ind i en beholder, således at sammenhængen mellem tiden t (målt i minutter) og vandhøjden h (målt i cm) kan beskrives ved ligningen h = 2t + 10.

a) B estem vandhøjden, når t = 5, og beskriv hvilken information, konstanterne 2 og 10 giver om vandhøjden i beholderen.

(stx-B eksamen august 2009)

Opgave 44 For en bestemt væskesøjle er sammenhængen mellem trykket P og dybden d under væskens overflade givet ved P = 0,087 · d + 1,113 , når trykket måles i bar og dybden måles i meter. a) Bestem trykket i dybden 9,0 m, og bestem den dybde, hvor trykket er 2,0 bar.

b) Gør rede for, hvad konstanterne i ligningen fortæller om trykket i væskesøjlen.

(stx-B eksamen december 2007)

Opgave 45 Af Folkesundhedsrapporten fra 2007, udgivet af Statens Institut for Folkesundhed, fremgår det, at udviklingen i forbruget af antal sengedage for børn under 16 år på danske hospitaler kan beskrives ved funktionen f(x) = –9959x + 650584, hvor x betegner antal år efter 1978.

a) B eskriv hvilken information, funktionen giver om udviklingen i antal sengedage for børn under 16 år på danske hospitaler.

(stx-B eksamen december 2008)

Opgave 46 I en lineær sammenhæng er stigningstallet 4,5.

a) Hvis x-værdien vokser med 1, hvad ændres y-værdien så med?

b) Hvis x-værdien vokser med 5, hvad ændres y-værdien så med? I en lineær sammenhæng er stigningstallet a.

c) Hvis x-værdien vokser med 1, hvad ændres y-værdien så med?

d) Hvis x-værdien vokser med 5, hvad ændres y-værdien så med?

e) Hvis x-værdien vokser med k, hvad ændres y-værdien så med?

Opgave 47 Vi har y = 3x + 4.

a) Hvis x vokser med 2, hvad er så ændringen i y?

b) Hvis x vokser med 11, hvad er så ændringen i y?

c) Hvis x vokser med k, hvad er så ændringen i y?

Opgave 48 Vi har y = ax + b.

a) Hvis x vokser med 2, hvad er så ændringen i y?

b) Hvis x vokser med 11, hvad er så ændringen i y?

c) Hvis x vokser med k, hvad er så ændringen i y?

Opgave 49 Vi har y = 3x + 4.

a) Hvis y vokser med 21, hvad er så ændringen i x?

b) Hvis y vokser med 50, hvad er så ændringen i x?

c) Hvis y vokser med c, hvad er så ændringen i x?

4. Opgaver til kapitel 1

Opgave 50 Vi har y = ax + b.

a) Hvis y vokser med 21, hvad er så ændringen i x?

b) Hvis y vokser med 50, hvad er så ændringen i x?

c) Hvis y vokser med c, hvad er så ændringen i x?

Opgave 51 En funktion har forskriften f(x) = 7x + b, hvor b er et tal. Punktet P(3,31) ligger på grafen for funktionen.

a) Bestem tallet b.

(stx-B eksamen august 2010).

Opgave 52 På figuren ses grafen for en lineær funktion f(x) = ax + b. Grafen for funktionen går som vist på figuren gennem punkterne P(2,5) og Q(4,11). y Q(4,11)

P(2,5)

a) Bestem a og b.

(stx-B eksamen maj 2010)

Opgave 53 Grafen for en lineær funktion går gennem punkterne P(1,–6) og Q(–2,3).

a) Bestem en forskrift for funktionen.

b) Bestem koordinatsættet til grafens skæringspunkt med y-aksen.

c) Bestem koordinatsættet til grafens skæringspunkt med x-aksen.

(stx-A eksamen august 2009)

Opgave 54 Antal spilleautomater

20000

10000

A ntallet af spilleautomater i Danmark er i perioden 2003-2006 steget. Figuren viser, at udviklingen med god tilnærmelse kan beskrives ved en lineær funktion y = ax + b, hvor x er antal år efter 2003, og y er antal spilleautomater. Det oplyses, at grafen for denne lineære funktion går gennem punkterne (0,17800) og (3,24500).

a) Bestem tallet a.

b) H vad fortæller tallet a om udviklingen i antallet af spilleautomater?

c) B estem antallet af spilleautomater i 2009, hvis udviklingen fortsætter.

Antal år efter 2003

d) I hvilket år vil antallet af spilleautomater overstige 40000, hvis udviklingen fortsætter? (hf-C eksamen august 2008)

Opgave 55 Hos en bestemt vognmand kan man købe stabilgrus. Nedenstående tabel viser sammenhængen mellem mængden af stabilgrus og den samlede pris inkl. kørsel. Stabilgrus (m3)

Samlet pris (kr.)

2270

4820

Det oplyses, at sammenhængen mellem prisen og mængden af stabilgrus kan beskrives ved y = ax + b, hvor x er mængden af stabilgrus (m3 ), og y er den samlede pris (kr.).

a) Bestem tallene a og b.

b) H vad fortæller tallet a om prisen for stabilgrus?

Hos en anden vognmand koster stabilgrus 300 kr. pr. m3. Desuden skal man betale 750 kr. for kørsel.

c) H vor mange m3 stabilgrus skal man købe, før den første vognmand er den billigste?

(hf-C eksamen december 2009)

4. Opgaver til kapitel 1

Opgave 56 Tabellen viser det daglige antal personrejser over Øresundsbroen i årene 2001 og 2005. Antal år efter 2001

Dagligt antal personrejser

35359

50118

Det daglige antal personrejser over Øresundsbroen i perioden 2001-2005 kan med god tilnærmelse beskrives ved modellen y = ax + b, hvor y er det daglige antal personrejser, og x er antal år efter 2001.

a) Bestem tallene a og b.

b) K ommenter modellen, idet det oplyses, at det daglige antal personrejser over Øresundsbroen i 2007 var 67159.

Kilde: www.oresundsbron.com (hf-C eksamen december 2008)

Opgave 57 Figuren viser fagforeningen FOA’s skøn over udviklingen i antallet af manglende socialog sundhedsmedarbejdere i perioden 2006-2015.

Vi mangler flere og flere socialog sundhedsmedarbejdere

35 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

a) O pstil en lineær model, der beskriver den viste udvikling.

(hf-B eksamen august 2008)

2006:

På landsplan 30 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ mangler vi 8000 SOSU'er

25 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 20 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2015:

På landsplan 15 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ mangler vi 35 000 SOSU'er

10 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5000

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

7. Ligninger, kurver og funktioner Opgave 58 To lineære funktioner er givet ved f(x) = 3x + 6 og g(x) = –4x + 8.

a) Tegn graferne for f og g.

b) Forklar den grafiske betydning af f(0) og f(10).

c) Forklar betydningen af g(x) = 32 og g(x) = 0.

d) Forklar betydningen af f(x) = g(x).

Opgave 59 En lineær funktion er givet ved f(x) = 5x + 19.

a) Tegn grafen for f.

b) Forklar den grafiske betydning af f(x+1) – f(x).

c) Forklar den grafiske betydning af f(x+2) – f(x).

d) Forklar den grafiske betydning af f(x+k) – f(x).

Opgave 60 Alder (år)

Længde (cm)

310

348

386

424

462

500

536

572

610

Tabellen viser sammenhørende værdier af alder og længde for en population af spækhuggere. I en model er sammenhængen mellem længden L (målt i cm) og alderen t (målt i år) en funktion af typen L(t) = at + b.

a) Bestem tallene a og b ved hjælp af tabellens data.

b) G iv en fortolkning af tallene a og b, og benyt modellen til at bestemme alderen af en 700 cm lang spækhugger.

Kilde: Duffield, D.A. and K.W. Miller, 1988. Demographic Features of Killer Whales in Oceanaria in the United States and Canada, 1965-1987. Rit Fiskideildar. 11: 297-306. (stx-B eksamen maj 2008)

4. Opgaver til kapitel 1

Opgave 61 I forbindelse med optagelse på College i USA skal der aflægges en særlig test. Resultatet af testen angives ved et testtal. Følgende tabel angiver testtallene i matematik for nogle udvalgte år: År

Testtal

1963

1967

1970

1974

1977

502

492

488

480

470

Sammenhængen mellem testtallene og antal år efter 1963 kan med god tilnærmelse beskrives ved en lineær funktion f.

a) Bestem en forskrift for f.

I 1980 var testtallet i matematik 466.

b) F orklar, hvad de tal, der indgår i forskriften for f, fortæller om udviklingen af testtallene, og kommenter, hvor godt det faktiske testtal i 1980 stemmer overens med det testtal, som kan beregnes ved hjælp af funktionen f.

(stx-A eksamen december 2008)

Opgave 62 I tabellen er angivet antallet af svært overvægtige voksne danskere over 16 år for perioden 1987-2005. Antal år efter 1987

Antal svært overvægtige

252036

343759

407931

473526

Udviklingen i antallet af svært overvægtige kan beskrives ved en funktion af typen

f(x) = a · x + b,

hvor f(x) er antallet af svært overvægtige danskere over 16 år til tidspunktet x (antal år efter 1987).

a) Benyt tabellens data til at bestemme en forskrift for f.

b) Bestem ved hjælp af f antallet af svært overvægtige 25 år efter 1987.

Kilde: www.dst.dk (stx-B eksamen august 2010)

Opgave 63 Tabellen nedenfor viser tiderne for verdensrekorderne i maratonløb (målt i sekunder) for mænd i perioden 1981-2007.

År

1981

1984

1985

1988

1998

1999

2002

2003

2007

Tid

7698

7685

7632

7610

7565

7542

7538

7495

7466

Udviklingen i verdensrekorderne for en maraton i perioden 1981-2007 kan beskrives ved en model af typen W(t) = at + b, hvor t betegner tiden målt i år efter 1981, og W betegner verdensrekorden målt i sekunder.

a) Bestem tallene a og b.

b) F orklar betydningen af tallet a, og benyt modellen til at bestemme det år, hvor man kan forvente, at en maraton løbes på under 7200 sekunder, dvs. under 2 timer.

Kilde: www.marathonguide.com (stx-B eksamen maj 2009)

Opgave 64 To funktioner f og g er givet ved f(x) = 4x + 5 og g(x) = –2x + 12.

a) Bestem f(5), og løs ligningen g(x) = 16.

b) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem graferne for de to funktioner.

(stx-B eksamen maj 2010)

Opgave 65 To funktioner er givet ved f(x) = x + 200 og g(x) = –3x + 600.

a) Løs ligningen f(x) = g(x), og beskriv den grafiske betydning af resultatet.

(stx-B eksamen december 2008)

4. Opgaver til kapitel 1

Opgave 66 Hvis to variable, fx Danmarks BNP og antallet af ingeniørstuderende i Danmark, begge er funktioner af den samme uafhængige variabel, fx tiden, så kan det være interessant at undersøge, om der er en indbyrdes sammenhæng mellem de to variable. Det er problemstillingen i denne opgave, hvor vi betragter generelle funktionsudtryk. Der er givet to lineære funktioner: f(x) = 2x + 1 og g(x) = x + 5

Opgave på C-niveau

a) Tegn graferne for de to funktioner f og g i samme koordinatsystem.

c) O pret et andet punkt B på den anden graf med samme førstekoordinat som A.

d) Opret spor af begge punkter A og B i et regneark.

e) U ndersøg vha. lineær regression sammenhængen mellem de to afhængige variable f(x) og g(x) ud fra værdierne i regnearket.

f) Opstil den ligning, der bestemmer sammenhængen mellem f(x) og g(x).

b) Marker et variabelt punkt A på en af graferne.

Opgave på B-niveau

a) O pfat g(x) = x + 5 som en ligning, og isoler x i ligningen.

c) Hvilken funktionstype beskriver sammenhængen mellem f(x) og g(x) ?

d) Udfør den omvendte øvelse, så du får g(x) udtrykt ved f(x).

b) Indsæt dette i forskriften for f.

Opgave på A-niveau Der er givet to lineære funktioner: f(x) = ax + b og g(x) = cx + d

a) Opfat g(x) = cx + d som en ligning, og isoler x i ligningen.

b) Indsæt dette i forskriften for f.

d) Udfør den omvendte øvelse, så du får g(x) udtrykt ved f(x).

c) Hvilken funktionstype beskriver sammenhængen mellem f(x) og g(x) ?

8. Facitliste 1. Uafhængig og afhængig variabel Opgave 2 Sæt x = antal SMS'er på en måned og y = pris i kroner for en måned. Så er y = 0,01x + 49.

2. Koordinatsystemet Opgave 4 b) V ed indsættelse ses, at punkterne (–4,–1) og (5,8) ligger på grafen.

Opgave 5 a) x-koordinaten til skæringspunkterne er –5,1 og 3. b) G rafen for g ligger over grafen for f i intervallerne ] − ∞, −4[ og ]1, 3[

Opgave 6 y-værdierne svarende til de fem x-værdier aflæses til 1,2,4,8 og 16. Det ses, at y-værdierne fordobles, hver gang x-værdien stiger med 1.

let [0,44], hvorefter y med god tilnærmelse er konstant i intervallet [44,67]. y-værdierne vokser så igen i intervallet [67,72]. Herefter svinger yværdierne tiden ud.

4. Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge Opgave 10 Sæt x = antal poser rosinboller og y = antal kroner brugt på rosinboller. Så er y = 16,95x

Opgave 11 a) D et aflæses, at prisen er den samme for de to transportfirmaer ved 40 km. c) D et kan bedst betale sig at bruge Straks, hvis transportafstanden er mindre end 40 km, og UdenForsinkelse, hvis transportafstanden er mere end 40 km.

Opgave 12 b) y -værdien ændres med 3, hver gang x-værdien ændres med 2.

Opgave 13 b) D et ses, at y ændres med henholdsvis –1,0 og 2, når x ændres med 1.

Opgave 7 Sæt x = år efter 1985 og y = antal adoptioner fra Sydkorea. Det ses, at y-værdierne stiger i intervallet [0,1] og antager deres maksimale værdi på 465. Herefter falder y-værdierne til en værdi på 25 med undtagelse af en lille stigning omkring x = 10

Opgave 8 Sæt x = år efter 1901 og y = antal skilsmisser om året. Det ses, at y-værdierne stiger i interval-

Opgave 14 Antal passagerer i 1000

3. De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge

250000 Serie 2

200000 150000 100000 50000

Serie 1

0 1

5 6 7 År efter 1999

Opgave 16 c) M an ser, at når x vokser med en, vokser x2 med 2x + 1, mens 2x vokser med 2.

Facitliste

Opgave 18 x

c) M an ser, at når x vokser med en, fordobles 2 , mens 2x vokser med 2.

Opgave 19 Man opdager proportionaliteten y = 4x

Opgave 20 Man opdager den lineære sammenhæng y = –4x + 29

Opgave 24 Sæt x = månedligt vandforbrug i kubikmeter og y = samlede udgifter til Vandcenter syd. Så er y = 41,75x + 600

Opgave 25 Sæt x = år efter 1999 og y = antal medlemmer af Dansk Tennisforbund. Så er y = –2100x + 77688

5. Lineær regression

Udklækningstid i timer

Opgave 30 25 20

fortæller os, at forbruget er vokset med 1,13 mio. kg om året i perioden 1994-2004. c) Forbruget vil være 314,6 mio. kg i 2010. d) Forbruget af kartofler vil være på 320 mio. kg i år 2015.

Opgave 32 d) Sæt x = antal kørte km og y = benzinforbrug i l. Så er y = 0,1027x + 0,0215 e) H ældningen viser, at man bruger 0,1027 liter benzin pr. kørt kilometer. Det fortæller os, at bilen kører 9,7 km på literen.

Opgave 33 e) S æt x = tilbagelagt strækning målt i km og y = køretid i minutter. Så er y = 1,31x – 0,3 f) D a punkterne med god tilnærmelse ligger på en ret linje, kan sammenhængen ovenfor beskrives ved en lineær model. g) H ældningen viser, at toget i gennemsnit bruger 1,31 minut på at køre én kilometer. h) For det andet tog bliver den tilsvarende sammenhæng y = 1,06x – 0,3. Det andet tog bruger 1,06 minut pr. kørt kilometer og derfor ikke overraskende kører hurtigere end det tog, der stopper ved alle stationer.

Opgave 34

a) y = 227,5x + 5,38 b) r 2 = 0,96 c) P unkterne beskrives godt med en lineær sammenhæng.

10 5

100 150 Luftfugtughed i procent

c) Det aflæses, at U = –0,1274L + 29,29 d) Man kan forvente en udklækningstid på 19,1 time ved en luftfugtighed på 80%. e) L uftfugtigheden skal være 72,9%, for at udklækningstiden bliver 20 timer.

Opgave 31 a) S æt x = år efter 1994 og y = forbrug i mio. kg. Så er y = 1,125x + 296,6. b) b -værdien fortæller os, at forbruget af kartofler var 296,6 mio. kg i 1994, mens a-værdien

Opgave 35 a) y = 9,92x – 21,0 b) r 2 = 0,88 c) P unkterne beskrives nogenlunde med en lineær sammenhæng.

Opgave 36 a) y = 2,10x 5,41 b) r 2 = 0,92 c) P unkterne beskrives nogenlunde med en lineær sammenhæng.

Opgave 37

Opgave 45

a) y = 2,16x + 4,99 b) P unkterne beskrives dårligt med en lineær sammenhæng.

a) Funktionen giver os, at der var 650584 sengedage i 1978 og derefter er faldet med 9959 sengedage om året.

Opgave 38

Opgave 46

a) y = 2,17x + 5,19 b) P unkterne beskrives dårligt med en lineær sammenhæng.

a) 4,5 b) 22,5 c) a d) 5a e) ka

6. Lineære funktioner f(x) = ax + b Opgave 39 a) L injen k er givet ved y = -3x-5, linjen l er givet ved y = –0,5x + 2, linjen m er givet ved 3 y = x − 1, og linjen n er givet ved y = 2x + 1 4 b) P unktet (2,5) ligger på grafen for n, og punktet (–10,7) ligger på l.

Opgave 40 a) S æt x = dybde i km under jorden og y = temperatur x km under skorpen. Så er y = 12x + 20, hvor 0 ≤ x ≤ 40

Opgave 41 a) I følge modellen var omsætningen på 105 mia. kr. i 2000 og voksede med 2,5 mia. kr. om året hvert år indtil 2004.

Opgave 43 Efter fem minutter er vandhøjden 20 cm. Sammenhængen fortæller os, at vandhøjden til at begynde med er 10 cm og derefter vokser med 2 cm i minuttet.

Opgave 44 a) I ni meters dybde er trykket 1,896 bar. Trykket er 2 bar i 10,2 meters dybde. b) Sammenhængen giver, at trykket ved overfladen er 1,113 bar og øges med 0,087 bar for hver meter under overfladen.

100

Opgave 47 a) 6 b) 33 c) 3k

Opgave 48 a) 2a b) 11a c) ka

Opgave 49 a) 7 b) 50 3 l c) 3

Opgave 50 a)

21 a

50 a

l a

Opgave 51 b = 10

Opgave 52 a = 3 og b = –1

Opgave 53 a) y = –3x – 3

Facitliste

b) Grafen skærer y-aksen i punktet (0,–3). c) Grafen skærer x-aksen i punktet (–1,0).

Opgave 54 6700 = 2233, 3 3 b) Dette fortæller, at antallet af spilleautomater er vokset med 2233,3 maskiner om året i perioden 2003-2006. a) a =

c) Der vil være 31200 spilleautomater i Danmark i 2009. d) Der vil være mere end 40.000 spilleautomater i Danmark i 2013.

Opgave 55 a) a = 255 og b = 1250. b) a-værdien fortæller, at det foruden startgebyret koster 255 kr. pr. kubikmeter stabilgrus. c) Man skal købe mere end 11,1 ton stabilgrus, før den første vognmand er billigst.

Opgave 56 a) a = 3689,75 og b = 35359. b) I følge modellen vil der være 57497 daglige antal personrejser i 2007. Det virkelige tal på 67159 er væsentligt højere, hvorfor modellen ikke passer godt så langt ude i fremtiden.

Opgave 57 Sæt x = år efter 2006 og y = antal manglende SOSU. Så er y = 3000x + 8000

7. Ligninger, kurver og funktioner Opgave 58 a) f (0) og f(10) giver os y-koordinaterne til punkterne på grafen med x-koordinat 0 og 10. b) g (x) = 32 og g(x) = 0 giver os x-koordinaterne til punkterne på grafen med y-koordinat 32 og 0. c) f (x) = g(x) giver os x-koordinaten til skæringspunktet mellem graferne f(x) og g(x).

Opgave 59 b) f (x + 1) – f(x) = 5 giver os, at y-koordinaten vokser med 5, når x vokser med 1. c) f (x + 2) – f(x) = 10 giver os, at y-koordinaten vokser med 10, når x vokser med 2. d) f (x + k) – f(x) = 5k giver os, at y-koordinaten vokser med 5k, når x vokser med k.

Opgave 60 a) Sæt t = alder i år og L(t) = længde i cm. Så er L(t) = 37,47t + 273,56 b) Modellen giver, at en spækhugger, når den fødes, er 273,56 cm lang og vokser med 37,47 cm om året. En spækhugger skal være 12 år gammel, før den bliver 7 m lang.

Opgave 61 a) S æt x = år efter 1963 og f(x) = testtal. Så er f(x) = –2,169x + 502,0 b) A f regneforskriften fremgår, at testtallet i 1963 var 502 og derefter er faldet med 2,17 point om året. Ifølge modellen burde testtallet i 1980 være 465. Det faktiske tal var 466, og dermed stemmer modellen godt overens.

Opgave 62 a) Sæt x = år efter 1987 og f(x) = antal svært overvægtige. Så er f(x) = 12149,1x + 253896. b) Ifølge modellen vil der være 557624 overvægtige i 2012.

Opgave 63 a) Sæt t = år efter 1981 og W(t) = Verdensrekord i sekunder. Så er W(t) = -8,188t + 7688 b) M odellen viser, at verdensrekorden siden 1981 hvert år er blevet forbedret med 8,2 sekunder. Man kan, hvis denne udvikling holder, forvente, at man løber under to timer i 2041.

Opgave 64 a) f(5) = 25, og ligningen har løsning x = –2  7 29  b) Graferne skærer hinanden i punktet  ,  6 3 

101

Opgave 65 a) L igningen har løsningen x = 300. Dette betyder, at x-koordinaten til skæringspunktet mellem de to linjer er 300.

Opgave 66 C-niveau a) - d) S e illustrationen til opgaven. e) LinReg (x) = 0,5x + 4,5 f) I ndsæt f(x) på x's plads og se, at g(x) = 0,5 · f(x) + 4,5 B-niveau a) x = g(x) – 5 b) f(x) = 2 · g(x) – 9 c) Lineær sammenhæng d) Isoler x i f(x) = 2x + 1 : x = 0,5 · f(x) – 0,5 Indsæt i g(x): g(x) = 0,5 · f(x) + 4,5 A-niveau 1

x = c ⋅ g( x ) − c b) f ( x ) = a ⋅  1 ⋅ g( x ) − d  + b = a ⋅ g( x ) +  b − a ⋅ d  c  c c c  a)

c) Lineær sammenhæng 1 b c c ⋅ b gd)( x )g(x) = c=⋅  ⋅ f ( x ) −  + d = ⋅ f ( x ) +  d − a a a a 

102

Register afhængig variabel 17, 18, 32, 39 afkølingslov, (Newtons) Projekt 1.5 aftagende funktion 12, 40 akvædukter 73ff andengradspolynomier 52 andengradsregression 52 Anscombes data 36 bedste rette linje 71, 85 begyndelsesværdi 30, 37 Boyle, Robert (1627-91) 63ff Boyle-Mariottes lov 63ff Charles, Jacques A.C. (1746-1823) 64 Charles’ lov 63f datasæt, behandling af et 7f, 22f, 25ff, 33ff, 37, 51f, 54, 61f, 64, 68f, 71f, 82, 85ff, 94f deﬁnitionsmængde 31, 33, 45, 68f densitet 44; Projekt 1.1 Dirichlet, Peter D.G. (1805-1859) 47 efterspørgselskurve 70ff eksponentiel vækst 9, 51, 54 ekstrema, se maksimum og minimum energi, bevægelses- 29, 51, 53, 61f Euler, Leonhard (1707-1783) 47 Forrester, Jay (1918-2016) 9 forklaringsgrad r2 35ff, 87 funktion, definition af 18f, 21, 24f, 45ff funktion af to variable 55 funktionsbegreb, det moderne 45ff Galilei, Galileo (1564-1642) 16, 46 Gay-Lussacs lov 63, 66 Ginikoefficient 58f graf, definition af 38, 46 grafisk forløb 10, 26, 30ff, 51, 53, 54, 55 grafisk løsning 23, 27, 49, 58f grafisk repræsentationsform 22ff, 25ff, 35f, 44 Grænser for vækst 7ff, 11, 16, 30 hældningskoefficient 37ff, 43ff, 49, 72, 75 hældningskoefficient, formel for 43 idealgasligningen 63f implicitplot 45f konstantled i lineære funktioner 37ff, 49, 65

kontrolforsøg 67f korrelationskoefficient 36 koordinatboks 21 koordinatsystem 45ff - kvadranter 45, 68f - omløbsretning 45 kuglens rumfang og overflade 50 ligningsløsning, regler for 24, 42 Limits to Growth, se Grænser for vækst linearisering 65 lineær regression 26, 34ff, 43, 65f, 69f; Projekt 1.3 lineær vækst 26, 34ff, 39, 43, 51, 65f, 69f lineære funktioners egenskaber 37, 39ff lineære modeller 26, 34ff, 39, 43, 51, 65f, 69f; Projekt 1.4 - opstille 28ff, 37 - fortolke konstanter 29f, 35, 54 - vurdere kvaliteten 37 logaritmefunktioner 53 logaritmisk skala 53 logistisk funktion 54 Lorenz-kurve 58 maksimum 12, 23, 31, 68f Mariotte, Edmé (ca. 1620-1684), 63 massetiltrækning, se tyngdekraft Meadows, Dennis L. (f. 1942) 33ff meteornedslag 61f middeltal 69 mindstekravsopgaver, se markeringerne i kapitel 4 mindste kvadraters metode 60ff minimum 12, 23, 31, 68f modellering, matematisk 51f, 55f, 61, 63 monotoniforhold 32 naturvidenskabelige metode, den 15, 51 NV, samarbejdsprojekter, matematik og Projekterne 1.1, 1.2, 1.3 normalfordelingen 55 omvendt funktion (logaritmer) 53 optimeringsproblemer 33, 55 parabel 52, 55f planettabel 51

103

potensmodel 16, 29, 51, 62, 63, 65 priselasticitet 72f proportionalitet (ligefrem) 29, 44, 64 Ptolemaios (100-168) 46 regneforskrift 18f, 33f, 35ff, 40ff, 45ff regression - eksponentiel 52f - lineær 26, 34ff, 43, 65f, 69f, s. 39, 51 - andengrads 52 - polynomiel 58f - potens 51, 62, 63, 65 repræsentationsformer, de fire 25, 46 residualer 36f residualplot 36f, 66ff Robin Hood indeks 58f Rom, oldtidens 73ff Romerne, Peter Ørsted 75 Roms Vandforsyning, Poul Nielsen 73ff scenarie 7, 10, 12, 16 SD-teknik, se System Dynamics simulering 10, 12 - af en epidemimodel 16 - af et scenarie 10 - af world3 modellen 16 - af Økonisk Råds model (SMEC) 16 sinussvingninger 54 spaghetti-matematik Projekt 1.7 SMEC 16f

104

startværdi, se begyndelsesværdi statistisk beskrivelse af talmateriale 55, 58 stigningstal, se hældningskoefficient sumkurve 58f System Dynamics 9 tendenslinje, se regression tilbagekobling 9 to ligninger med to ubekendte 42 trigonometriske funktioner 54 uafhængig variabel, se variabel variabelkontrol 15, 39, 62f variabelsammenhæng 7, 14, 16, 19ff, 32, 45f, 50, 63, 67f variable, kategoriske og numeriske 13ff variable, uafhængige og afhængige 17f, 20f, 28, 31f, 33f, 36f, 39, 45, 52, 58, 67ff, 70f Vismandsspillet 17 vismændenes model, se SMEC voksende funktion 12, 55ff væksthastighed 45 vækstmodeller 51 - eksponentiel 9, 51, 54 - lineær 26, 34ff, 39, 43, 51, 65f, 69f - logistisk 54 - potens 51 World3-modellen 9, 13, 16 Økonomiske Råd, det 16