Hvad er matematik? 3_OPGAVEBOG by Alinea

Hvad er matematik?

3 Opgavebog Bjørn Grøn Bodil Bruun Olav Lyndrup

Lindhardt og Ringhof

Hvad er matematik? 3, Opgavebog Bjørn Grøn, Bodil Bruun, Olav Lyndrup © 2020 L&R Uddannelse, København - et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Iben Stampe Sletten Grafisk tilrettelægning: Andreas Schnalke, Kommunikations-Design Omslagslayout: Ulla Korgaard, Designeriet Tryk: Livonia Print Sia 1. udgave, 1. oplag ISBN 978 87 7066 918 4 www.lru.dk

Bogens illustrationer: Alamy: 90v Andreas Schnalke: 42, 88, 111 Colourbox: 46, 48, 57, 60, 61, 62n, 66ø, 66n, 71h, 71v, 73, 78ø, 89, 92, 136, 160, 162 Photos.com: 21, 127 Shutterstock: 60, 78n, 90h, 158 Wikipedia: 59

Indholdsfortegnelse

Forord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0. Diskret matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.0 0.1 0.2 0.3

Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 0 . . . . . . . . . 6 Grafteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Fejlfindende og fejlrettende koder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kryptering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1. Trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.0 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 1 . . . . . . . . . Trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentiation af sinus og cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Harmoniske svingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anvendelse af trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandede opgaver og udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 15 16 17 19 21

2. Integralregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.0 2.2 2.3 2.5 2.6 2.7 2.8

Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 2. . . . . . . . . Stamfunktioner og ubestemte integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regneregler for ubestemte integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arealberegninger og bestemte integraler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rumfangsberegninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anvendelse af integralregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandede opgaver og udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 27 30 33 39 43 44

3a. Lineære første ordens differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3a.0 3a.2 3a.3 3a.4

Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 3a . . . . . . . Introduktion til differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksakt løsning af differentialligninger – de lineære typer . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandede opgaver og Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 55 60 65

3b. Ikke-lineære differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3b.0 3b.2 3b.3 3b.4

Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 3b . . . . . . . Den logistiske differentialligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Separable differentialligninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandede opgaver og Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 71 75 76

4. Vektorfunktioner og parameterkurver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.0 Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 4 . . . . . . . . . 79 4.1 Infrastruktur og trafikplanlægning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Vektorfunktioner og banekurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Krumning for en banekurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anvendelser af vektorfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandede opgaver og udfordrende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84 87 88 90

5. Funktioner af to variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 4.3 4.4 4.5

5.0 Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 5. . . . . . . 5.3 Funktioner af to variable og deres grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Snitfunktion og snitkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Niveaukurver og højdekurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Differentiation af funktioner af to variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Tangentplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8–5.9 Ekstrema og arten af stationære punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Blandede opgaver og udfordrende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 100 101 102 102 104 105 108

6. Anden ordens differentialligninger (supplerende stof) . . . . . . . . . . . . . 112 6.0 6.2 6.3 6.4 6.5

Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 6 . . . . . . . Introduktion til anden ordens differentialligninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analytisk løsning af lineære anden ordens differentialligninger . . . . . . . . . . . . Øvrige anvendelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koblede differentialligninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112 118 121 126 128

7. Numeriske metoder og algoritmer (supplerende stof) . . . . . . . . . . . . . 130

7.0 7.2 7.3 7.4 7.5

Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 7 . . . . . . . Numerisk integration – summer og integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anvendelse af integralregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition og differentiation af de trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . . . . Numerisk løsning af differentialligninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130 135 136 139 139

8. Normalfordelingen og statistiske metoder knyttet til denne . . . . . . . . 140

8.0 8.2 8.3 8.4 8.5

Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 8 . . . . . . . Random walk – Tilfældig variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normalfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineær regression som statistisk metode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandede opgaver og udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140 146 153 161 162

9. Regression med lineær algebra (supplerende stof) . . . . . . . . . . . . . . . 164 9.0 Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 9 . . . . . . . 164 9.2 – 9.4 Lineær regression med mindste kvadraters metode . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Facitliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Forord

Opgavebogen er skrevet til grundbogen Hvad er matematik? 3, og følger dennes inddeling i kapitler og afsnit. Alle kapitler har derudover fået en ny facilitet i forhold til de tidligere opgavebøger til C, B og A, nemlig et afsnit 0 med kontrolspørgsmål til det pågældende kapitel: ”Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel [ X ] ” Dette afsnit er først og fremmest tænkt som en hjælp til den daglige lektielæsning og til en afsluttende repetitionsfase. Afsnit 0 retter sig altså i lige så høj grad mod fagets mundtlige dimension som mod den skriftlige. Vi har bestræbt os på at skrive grundbogen, så eleverne faktisk kan læse en matematisk tekst. Men for enhver faglig tekst gælder, at det første gang man læser den, er svært at vide, hvad der er de vigtigste begreber og oplysninger. Hvad er det især, man skal have tilegnet sig, efter at have læst teksten? Det fremgår af spørgsmålene i kapitlets afsnit X.0. Eleverne kan således med spørgsmålene selv evaluere, om de har styr på det faglige emne. Og lærerne kan anvende disse opgaver, når man giver lektier for, ved at udpege de relevante opgaver i afsnit X.0 for eleverne. Endelig kan de anvendes i en repetitionsfase, hvor eleverne med brug af disse opgaver selv kan arbejde stoffet igennem. Alle opgaver i afsnit X.0 kan besvares ved opslag i det pågældende kapitel. Man kan evt. bruge stikordsregistret. Vi har valgt også at lægge spørgsmål ind til alle de indledende fortællinger i afsnit 1 i grundbogens kapitler. Man skal i undervisningen dække både den historiske og den anvendelsesmæssige dimension af det faglige stof, og de indledende fortællinger er velegnede hertil. Men det enkelte hold vil sikkert kun gennemgå nogle få af disse, og der er frit valg her. Derfor har vi lagt spørgsmål ind til alle afsnit. Det er markeret, hvilke spørgsmål der hører til de indledende fortællinger. De fleste kapitler afsluttes med et afsnit med Blandede opgaver og udfordrende opgaver. Disse opgaver har emner udenfor kernepensum eller har en større sværhedsgrad end normalt. Det sidste kan skyldes, at opgaverne indeholder metoder fra flere forskellige dele af pensum. Opgavebogen dækker fuldt og helt pensum til en skriftlig prøve i de faglige emner, der er behandlet i Hvad er matematik? 3.

Bjørn Grøn

Bodil Bruun

Olav Lyndrup

Diskret matematik

0. Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 0. . . . 6 1. Grafteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Fejlfindende of fejlrettende koder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3. Kryptering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.0 T eori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 0 0.0.1 Grafteori Opgave 0.1 Hvad går Königsbergproblemet ud på?

Opgave 0.2 a) Hvad er vejvæsenets problem? b) F orklar forskellen på situationer, hvor der fra et hjørne udgår et lige antal veje, og hvor der fra et hjørne udgår et ulige antal veje.

Opgave 0.3 a) Hvad forstås ved en ”graf” (i grafteori) b) F orklar begreberne: – grad (valens) af et hjørne, – en tur gennem en graf, – en cykel (kreds) i en graf.

6 Hvad er matematik? 3, opgavebog

0. Diskret matematik

Opgave 0.4 a) Hvad er en Eulergraf? b) Hvad er en Eulertur? c) R edegør for, hvordan vi kan afgøre, om en graf er en Eulergraf, eller om der findes en Eulertur gennem grafen, ud fra graden af hjørnepunkterne.

Opgave 0.5 a) Forklar, hvad firfarveproblemet går ud på. Illustrer din forklaring. b) I hvilken sammenhæng blev den første gang præsenteret?

Opgave 0.6 a) Redegør for, hvordan firfarveproblemet kan oversættes til et grafteoretisk problem. b) Firfarvesætningen blev bevist i 1976. Hvilken type bevis blev der givet?

Opgave 0.7 a) Hvad er en Hamiltongraf? b) Hvad er en Hamiltontur? c) F orklar, hvad Travelling salesman problemet går ud på, og hvad sammenhængen er med Hamiltongrafer.

0.0.2 Fejlfindende og fejlrettende koder Opgave 0.8 Stregkoder blev udviklet i 1949.

a) Hvad var den grundlæggende inspirationskilde? b) Hvad svarer de lyse og de mørke streger til? c) Hvorfor er nogle streger tilsyneladende tykke og andre tynde?

Opgave 0.9 Sammen med de mørke og de lyse streger er der 13 cifre.

a) Hvad er sammenhængen mellem stregerne og cifrene?

b) Der er i alt 13 tal. Hvad repræsenterer disse tal?

7 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 0.10 En stregkode har en indbygget kontrol, som kan afsløre, om det er en ægte stregkode. Hvad går kontrollen ud på?

Opgave 0.11 Man skelner mellem fejlfindende og fejlrettende koder. Hvilken kategori hører stregkoder til?

Opgave 0.12 Hvor mange forskellige beskeder kan man lave med 4 bits? Hvor mange forskellige med 8 bits?

Opgave 0.13 Forklar, hvad paritetsregning er, og hvordan man regner med pariteter.

Opgave 0.14 a) Redegør for, hvordan Hamming (7,4) – koden er konstrueret. b) Demonstrer med et eksempel, at H(7,4) (Hamming (7,4)) kan rette én fejl.

Opgave 0.15 a) Hvad står bogstaverne QR for? b) Hvad svarer de små lyse og mørke kvadrater i en QR-kode til? c) R edegør for, hvordan en QR-kode er opbygget. (hint: s. 26 –27. Gå ind i QR-koderne)

Opgave 0.16 a) R edegør for hvordan vi omskriver fra totalssystemet (binære tal) til titalssystemet og tilbage igen. b) I Reed-Solomon-koder udnyttes denne ide til at indkode binære tal som polynomier. Forklar dette.

0.0.3 Kryptering Opgave 0.17 a) Hvad er en ”Cæsar-kode”? b) Hvor mange forskellige Cæsar-koder findes der?

8 Hvad er matematik? 3, opgavebog

0. Diskret matematik

Opgave 0.18 a) Redegør for ideen i modulo-regning. Illustrer med eksempler. b) Hvordan udføres modulo-regning på dit værktøjsprogram?

Opgave 0.19 a) Hvad er den største fælles divisor (sfd(..)) for to tal? b) Hvad vil det sige, at to tal er primiske?

Opgave 0.20 a) H vordan regner man med restklasser modulo n? Forklar addition, subtraktion og multiplikation. b) H vad siger nulreglen? Hvor gælder denne regel i modulo-verdenen, og hvor gælder den ikke? c) Hvad er konsekvenserne af b) mht. division i restklasser modulo n?

Opgave 0.21 a) Hvad er et reciprokt element til et tal? Hvad er et reciprokt element til en restklasse? b) I hvilke tilfælde har en restklasse a(mod n) et reciprokt element? c) Findes der tal n, så alle restklasser (undtagen 0) har et reciprokt element?

Opgave 0.22 Hvad er et public key system?

Opgave 0.23 Hvad er Eulers φ -funktion? Illustrer med eksempler.

Opgave 0.24 a) Hvad menes med udtrykket: ”reducer modulo n”? b) Hvad siger Eulers sætning om modulo-regning?

Opgave 0.25 a) Redegør for ideen i RSA-kryptering. Illustrer din fremstilling med eksempler. b) H vordan bestemmes den offentlige nøgle og hvordan bestemmes den hemmelige nøgle?

9 Hvad er matematik? 3, opgavebog

0.1 Grafteori Via bogens website er der adgang til projektet 10 danske matematikere – 10 matematiske fortællinger. Her finder man bl.a. en film om grafteori, hvor professor Jørgen Bang-Jensen giver en indføring i både lettilgængelige og mere komplekse områder af teorien. Samme sted kan du finde projektmaterialer om grafteori, herunder forberedelsesmaterialet til stxA 2019. Der ligger også afsnit med traditionelle opgaver i projektmaterialet. Der henvises til dette.

0.2 Fejlfindende og fejlrettende koder Via bogens website er der adgang til projektet 10 danske matematikere – 10 matematiske fortællinger. Her finder man bl.a. film om fejlkorrigerende koder, hvor professor mso Olav Geil giver en indføring i både lettilgængelige og mere komplekse områder af teorien. Samme sted kan du finde projektmaterialer om kodningsteori. Der ligger også afsnit med traditionelle opgaver i projektmaterialet. Der henvises til dette.

0.3 Kryptering Via bogens website er der adgang til projektet 10 danske matematikere – 10 matematiske fortællinger. Her finder man bl.a. film om kryptologi, hvor professor og grundlægger af virksomheden CryptoMathic, Peter Landrock, giver en indføring i både lettilgængelige og mere komplekse områder af teorien. Samme sted kan du finde projektmaterialer om kryptologi og talteori, herunder forberedelsesmaterialet til stxA-net 2018. Der ligger også afsnit med traditionelle opgaver i projektmaterialet. Der henvises til dette.

10 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Trigonometriske funktioner

0. Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 1. . . . 11 2. Trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Differentiation af sinus og cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4. Harmoniske svingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5. Anvendelse af trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6. Blandede opgaver og udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.0 Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 1 Afsnit 1.1 Opgave 1.1 a) Hvorfor har tidevandet ikke en fast rytme over årene? b) Hvorfor er der så store udsving i tidevandet fra sted til sted på Jorden?

Opgave 1.2 Den engelske fysiker Kelvin spiller en stor rolle i arbejdet med at tabellægge tidevandsbevægelserne. a) Hvem var Kelvin? (hint: Slå op på Wikipedia, og udnyt QR-koden s. 50, HEM 3). b) Hvor har du ellers mødt Kelvin i undervisningen? (hint: Slå op i Hvad er matematik? 1, kap. 4 – brug stikordsregistret. Og slå evt. op i dine fysik- og kemibøger). Opgave 1.3 Hvordan udbreder lyd sig gennem luft?

11 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 1.4 I grundbogen står der, at ”bølger flytter sig både i tid og rum”. a) F orklar, hvad der menes hermed, idet du tager udgangspunkt i en fysisk bølge i vand.

b) Forklar, hvad der forstås ved de to begreber: svingningstid og bølgelængde.

Opgave 1.5 Hvad forstår vi ved frekvensen af en lydbølge? Hvad er sammenhængen mellem frekvens og svingningstid?

Opgave 1.6 Forklar de to begreber: ren tone og sammensat tone. Illustrer gerne din forklaring med, hvad der er vi hører, når der frembringes toner med et musikinstrument.

Opgave 1.7 Rene toner kan beskrives matematisk ved hjælp af sinusfunktionen, som det er gjort i grundbogen s. 46, hvor vi finder formlen: s(t) = A · sin(2π · f · t). Forklar, hvad symbolerne står for, og redegør for, hvordan man kan skitsere grafen ud fra denne viden.

Opgave 1.8 Når flere bølger befinder sig samme sted til samme tid, så siger vi, at de interfererer. Hvordan kommer dette til udtryk i den matematiske beskrivelse?

Opgave 1.9 Hvordan er det grafiske forløb for hhv. de såkaldte savtakbølger og firkantbølger?

Opgave 1.10 Hvad var det for et fundamentalt spørgsmål om bølger, Fourier løste i 1822?

Opgave 1.11 a) Hvad var kommissoriet (den præcise opgave) for Tidal Committee? b) I sit foredrag om arbejdet i Tidal Committee taler Kelvin om ”The object of the harmonic analysis”, dvs. genstanden for harmonisk analyse. Hvad er det?

12 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 1.12 Kelvin byggede to mageløse maskiner til sit arbejde med at få styr på tidevandsbevægelserne, henholdsvis en harmonisk analyzer og en synthesizer. Hvilke forskellige typer problemer løste de to maskiner?

Opgave 1.13 Hvad menes med begrebet tidevandets musik?

Opgave 1.14 Hvad forstås ved en Fourieranalyse af et signal?

Afsnit 1.2 –1.5

Opgave 1.15 a) Hvorfra stammer den mærkelige enhed, der giver et gradtal for en cirkel på 360º? b) Har man nogensinde prøvet at lave det om?

Opgave 1.16 a) Hvad forstås ved radiantallet for en vinkel? b) Hvordan omregnes mellem grader og radianer? Opgave 1.17 a) Hvad menes med formuleringen, at sinus og cosinus er periodiske funktioner? b) A ngiv nogle overgangsformler knyttet til den retvinklede trekant, og argumenter for dem. c) Angiv nogle overgangsformler knyttet til enhedscirklen, og argumenter for dem. Opgave 1.18 Hvad siger Pythagoras' sætning for sinus og cosinus? Argumenter for den.

Opgave 1.19 a) Skitser graferne for sin og cos i intervallet [0;2π]. b) Angiv monotoniforholdene for de to funktioner.

13 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 1.20 a) Forklar med et eksempel, hvordan man løser en grundligning med sinus. b) Forklar med et eksempel, hvordan man løser en grundligning med cosinus. Opgave 1.21 a) Hvad er de afledede funktioner af henholdsvis sinus og cosinus? b) Hvad er de dobbelt afledede funktioner af henholdsvis sinus og cosinus?

Opgave 1.22 a) Hvad handler Hookes lov om? b) O pskriv Hookes lov på formen som en differentialligning. Hvad har denne lov med de trigonometriske funktioner at gøre? Opgave 1.23 a) E n harmonisk svingning kan skrives få formen: h(x) = A · sin( ω · x + ϕ) + B. Forklar, hvad de forskellige symboler står for. Inddrag det grafiske forløb i din forklaring. b) F orklar ud fra en grafskitse af en harmonisk svingning, hvad vi forstår ved perioden T, og angiv hvordan man bestemmer T ved en grafisk aflæsning. c) D er findes en formelmæssig sammenhæng mellem perioden T og vinkelhastigheden ω . Opskriv denne, og argumenter for den. (hint: praxisboksen, s. 67, HEM 3)

Opgave 1.24 I beskrivelsen af harmoniske svingninger indgår ofte yderligere begreber som bølgelængde og svingningstid. Der er en bestemt sammenhæng mellem de to begreber – hvilken?

Opgave 1.25 a) F or en harmonisk svingning er der formelmæssige sammenhænge mellem amplituden A, ligevægtsværdien B, og funktionens maksimum og minimum. Opstil disse, og argumenter for dem. b) I llustrer, fx med grafskitserne i øvelse 1.23 s. 66, HEM 3, hvorledes disse sammenhænge kan anvendes til en grafisk bestemmelse af A og B. (hint: praxisboksen, s. 67, HEM 3)

14 Hvad er matematik? 3, opgavebog

1. Trigonometriske funktioner

1.2 Trigonometriske funktioner Opgave 1.26

a) Tegn grafen for f(x) = sin(x) med følgende forskellige definitionsmængde

• Dm(f) = [0;2π]

• Dm(f) = [–π;π]

• Dm(f) = [0;4π]

Hvad viser de forskellige grafer om funktionen f?

b) H vad sker der med graferne, hvis dit værktøj regner i grader i stedet for i radianer?

Opgave 1.27 Tegn grafen for f(x) = sin(x) og g(x) = cos(x) i samme koordinatsystem med følgende forskellige definitionsmængder • Dm(f) = [0;2π] • Dm(f) = [–π;π] • Dm(f) = [0;4π] Hvad viser de forskellige grafer om sammenhængen mellem funktionen f og funktionen g?

Opgave 1.28 Løs følgende ligninger grafisk og med brug af et værktøjsprogram:

a) cos(x) = 0,4

i intervallet [0;2π]

b) sin(x) = – 0,6

i intervallet [0;2π]

c) cos(x) = –0,88 i intervallet [0;2π] d) sin(x) = 0,1

i intervallet [0;2π]

Hvilke løsninger ville vi i hvert af de fire tilfælde få, hvis intervallet i stedet var [–π;π]?

Opgave 1.29 Løs følgende ligninger grafisk og med brug af et værktøjsprogram:

a) cos(x) = 0 i intervallet [0;2π]

b) sin(x) = 0 i intervallet [0;2π]

c) cos(x) = 1 i intervallet [0;2π]

d) sin(x) = 1 i intervallet [0;2π]

Hvilke løsninger ville vi i hvert af de fire tilfælde få, hvis intervallet i stedet var [–π;π]?

15 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 1.30 På figuren ses graferne A, B og C for tre harmoniske svingninger: y

f(x) = sin(x)

g(x) = sin(x) + 2

h(x) = 2 · sin(x) + 2

Gør for hver af graferne A, B og C rede for, hvilken af funktionerne f, g og h den hører til. (stx-A maj 2019, uden)

1.3 Differentiation af sinus og cosinus Opgave 1.31 Bestem de afledte funktioner til følgende:

a) f(x) = sin(x) + 67

b) g(x) = 45 + cos(x) c) h(x) = sin(x) + x 2

d) i(x) = ex + cos(x)

Opgave 1.32 Bestem de afledte funktioner til følgende:

a) f(x) = sin(x) · x 3

b) g(x) = (5x + 7) · cos(x)

c) h(x) = sin(x) · e x

d) i(x) = cos(x) · sin(x)

16 Hvad er matematik? 3, opgavebog

1. Trigonometriske funktioner

Opgave 1.33 Bestem de afledte funktioner til følgende:

a) f(x) = sin(4x + 7)

b) g(x) = cos(x) · cos(x)

c) h(x) = (cos(x)) 2

d) i(x) = sin(x) · sin(x)

Opgave 1.34 En funktion f er bestemt ved f(x) = x + 2sin(x) , x ∈ [0;2π].

Løs ligningen f ′(x) = 0, og gør rede for monotoniforholdene for f .

(stx-A eksamen december 2008 med)

1.4 Harmoniske svingninger Opgave 1.35 Bestem for hver af de følgende harmoniske svingninger de 4 konstanter: amplituden A, vinkelhastigheden w, begyndelsesfasen ϕ og ligevægtskonstanten B.

a) f(x) = 5 · sin(x – 2) + 2

b) g(x) = sin(2x + 2) – 3

c) h(x) = 3 · sin(5x + 1) + 0,5

d) i(x) = 3 · sin(1,5x – 2) – 4

Opgave 1.36 Nedenfor ses graferne for tre funktioner af typen

f(x) = A · sin( w · x + ϕ ) + B

Bestem i hvert tilfælde ved aflæsning de 4 konstanter: amplituden A, vinkelhastigheden w, begyndelsesfasen ϕ og ligevægtskonstanten B. y

a) 3

2 1 x –1

3p 10

15 5p

17 Hvad er matematik? 3, opgavebog

y 4

2 1

x 5 –4 -π –p

5 5

2p 2π

3p 10 3π 10

4p 4π

x –4

–p

3p 10

Opgave 1.37 På figuren ses grafen for funktionen f. Funktionens forskrift er af typen

f f(x) = A · sin(b · x) + c Brug figuren til at bestemme konstanterne x A, b og c.

π 4

Benyt eventuelt vedlagte bilag.

(stx-A aug. 2019, uden)

Opgave 1.38 En bold er ophængt i en fjeder i et lokale. Bolden svinger langsomt op og ned. Boldens bevægelse kan beskrives ved den trigonometriske funktion givet ved

f ( t ) = 3 ⋅ sin( 1 π ⋅ t ) + 5 , 2

hvor f(t) betegner boldens afstand over gulvet (målt i dm) til tidspunktet t (målt i sekunder).

f(t)

a) Bestem perioden T for boldens svingning.

b) Tegn grafen for f over to perioder.

(Vejledende eksamensopgaver A1, uden)

18 Hvad er matematik? 3, opgavebog

1. Trigonometriske funktioner

1.5 Anvendelse af trigonometriske funktioner Opgave 1.39 I en model kan vandstanden i en bestemt havn beskrives ved funktionen

f(t) = 0,71 · sin(0,26 · t) + 1,12

0 ≤ t ≤ 24

hvor f(t) betegner vandstanden (målt i meter) til tidspunktet t (målt i timer efter kl. 00.00).

a) Tegn grafen for f i det angivne interval – hvorfor er det netop dette interval?

b) B estem vandstanden ved lavvande og ved højvande, og bestem der ud fra, hvor stort et udsving vandstanden har i løbet af det pågældende døgn.

c) Bestem de tidspunkter på døgnet, hvor vandstanden er 1,5 m.

d) Bestem de tidsrum, hvor vandstanden er under 1 m.

e) Bestem f ′(18), og gør rede for betydningen af dette tal.

Opgave 1.40

ådan står der i rapporten Råvildt og forstyrrelser. Faglig rapport S fra DMU nr. 237 fra 1998.

130 120 Puls (slag/minut)

”Sæsonvariation i aktivitetspuls for uforstyrrede dyr. Sinuskurven er den kurvefunktion, som bedst beskriver materialet. Data repræsenterer i alt 2.071 timers registrering i 96 forskellige døgn.”

110 100 90 80 70 60 1.feb 3.mar 2.apr 2.maj 2.jun 2.jul 1.aug 1.sep 1.okt

( Kilde: www2.dmu.dk/1_viden/2_publikationer/3_fagrapporter/rapporter/FR237.pdf)

Dato

Sinuskurven på figuren kan således anvendes som model for sæsonvariationen i aktivitetspulsen for råvildt. Kurven er graf for funktionen

p(t) = 15,8 · sin(0,038 · t – 4,25) + 93,8

70 ≤ t ≤ 235

hvor p(t) betegner pulsen (målt i antal hjerteslag pr. minut) til tidspunktet t (målt i døgn efter 1. januar)

a) Tegn grafen for p.

b) Bestem p(120), og gør rede for, hvad dette tal betyder.

c) L øs ligningen p(t) = 90, og gør rede for, hvad løsningerne fortæller om rådyrets aktivitetspuls.

d) Bestem den procentvise stigning i rådyrets aktivitetspuls i tidsrummet [120;140].

e) Bestem rådyrets laveste og højeste aktivitetspuls.

19 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 1.41 Når man anvender en symaskine, bevæger nålen sig i forhold til den såkaldte stingplade. Nålespidsens højde over stingpladen kan i en model beskrives ved 3 h( t ) == ⋅· sin(12 h(t) sin(12⋅·ðπ⋅·tt)) 2

hvor h(t) betegner nålespidsens højde (målt i cm) over stingpladen til tidspunktet t (målt i sekunder).

a) Tegn grafen for h.

b) Hvor højt er nålespidsen over stingpladen, når nålen er i højeste stilling?

c) Hvor mange sting sys der i sekundet?

Opgave 1.42 På grund af tidevandet ændres vanddybden over en sandrevle. I et bestemt døgn er vanddybden f(t), målt i meter, bestemt ved

1 f ( t ) = 7 + 5 sin  t − 1 2

0 ≤ t ≤ 24

hvor t angiver antallet af timer efter middag.

a) Bestem den største og den mindste vanddybde over sandrevlen i døgnets løb.

b) Bestem f ′(t), og bestem den hastighed, hvormed vanddybden ændrer sig, til tidspunktet t = 12. (Eksamensopgaver i matematik, gymnasiet, matematisk linje 3 årigt forløb til A niveau, 1999)

Opgave 1.43 Med O(x) betegnes de samlede omkostninger, angivet i mio. kr., ved produktionen af x enheder af en vare. Funktionen O er givet ved

O(x) = 0,2x + 100 + 30sin(0,006x)

x ∈ [0;1000]

a) Vis ved at benytte O ′(x), at O(x) er en voksende funktion af x.

Hver produceret enhed sælges for 0,35 mio. kr. Fortjenesten F som funktion af antallet x af producerede enheder er derfor bestemt ved

F(x) = 0,35x – O(x) b) V is ved at benytte F ′(x), at fortjenesten har en størsteværdi, og bestem denne.

(Eksamensopgaver i matematik, gymnasiet, matematisk linje 3 årigt forløb til A niveau, 1999)

20 Hvad er matematik? 3, opgavebog

1. Trigonometriske funktioner

1.6 Blandede opgaver og udfordrende opgaver Opgave 1.44 n bestemt type skibsdieselmotor har en slaglængde på 2180 mm. E Slaglængden er afstanden mellem øverste og nederste stilling af stempelmotoren. Stemplets afstand fra topstillingen målt i mm er en funktion af tiden målt i sekunder. Denne funktion er af formen f(t) = r (1 – cos(mt)) hvor r og m er positive konstanter. Stemplet udfører 97 gange i minuttet en hel bevægelse fra topstilling til bundstilling og tilbage igen.

a) Bestem konstanterne r og m .

b) Bestem stemplets maksimale fart.

Indsprøjtningen af dieselolie til motoren sker en gang for hver hele stempelbevægelse. Indsprøjtningen begynder, når stemplet befinder sig 1,49 mm fra topstillingen på vej opad, og slutter, når stemplet efter at have passeret topstillingen befinder sig 37,14 mm under denne.

c) Hvor lang tid varer en indsprøjtning?

Opgave 1.45 På www.worldclimate.com kan man finde data for en hel række byers middeltem-peratur på årets forskellige måneder.

a) F ind data for København for årets tolv måneder, og plot dem i et koordinatsystem.

Lad i det følgende T(t) angive middeltemperaturen i København som funktion af t, hvor t angiver antal måneder siden nytårsskiftet 1/1.

b) Bestem vha. trigonometrisk regression en forskrift for T.

c) Bestem ud fra modellen de tidspunkter, hvor middeltemperaturen er 10.

Opgave 1.46 I en have skal anlægges et blomsterbed, der har form som et cirkeludsnit (se figuren). Blomsterbedet skal indhegnes af et særligt hegn, som der er indkøbt 20 m af.

a) Bestem radius som funktion af vinklen υ (målt i radianer).

b) Vis, at arealet af blomsterbedet som funktion af vinklen, er A(υ ) =

c) Bestem υ, så arealet af blomsterbedet bliver størst muligt.

200 υ ( υ + 2)2

(Udgangspunktet er stx-A eksamen december 2009 med)

21 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Integralregning

0. Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 2 . . . 22 2. Stamfunktioner og ubestemte integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3. Regneregler for ubestemte integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5. Arealberegninger og bestemte integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6. Rumfangsberegninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7. Anvendelse af integralregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 8. Blandede opgaver og udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.0 Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 2

Opgave 2.1 a) Hvad går det matematiske problem cirklens kvadratur ud på? b) H vilke hjælpemidler måtte man i den græske matematik anvende til løsning af problemet? c) D enne begrænsning i brugen af hjælpemidler har sin rod i Euklids 5 aksiomer (forudsætninger). Hvad er disse 5 aksiomer?

Opgave 2.2 I den ægyptiske matematik findes en formel til beregning af en cirkels areal. Hvad siger denne formel?

Opgave 2.3 a) Hvad er definitionen på tallet π? b) Redegør for, hvorledes formlen for cirklens omkreds følger af definitionen i a) c) A rchimedes udledte formlen for arealet af cirkel. Redegør for hans argument? Kan du acceptere hans argument, eller synes du der er problemer?

22 Hvad er matematik? 3, opgavebog

2. Integralregning

Opgave 2.4 a) B eskriv en metode til at beregne en tilnærmelse til omkredsen af en cirkel (der er flere metoder, vælg en), og dermed til tallet π. b) I folkeskolen lærer man, at Hvorfra stammer dette?

22 7

er en god tilnærmelse til tallet π.

Opgave 2.5 Begrebet cirklens kvadratur er gået ind i det almindelige sprog. Hvad mener man, når man om et problem siger, at det er som at løse cirklens kvadratur? Opgave 2.6 a) I grundbogen s. 77 omtales, at 2 er et konstruerbart tal. Hvad menes hermed? og 13 13 er konstruerbare tal? Kan du tilsvarende argumentere for, at fx 55 og

Opgave 2.7 a) F orklar, hvad Cavalieris princip går ud på. Giv eksempler på, hvor det går godt, og hvor det går galt, når man anvender dette princip til at bestemme arealer og rumfang. b) I nspireret af Cavalieris princip introducerer Wallis i et værk fra 1656 uendelighedssymbolet ∞. I hvilken sammenhæng gør han det?

Opgave 2.8 a) Forklar Wallis metode til beregning af arealet under en parabelbue, og under grafen for den kubiske funktion. b) Hvordan generaliserer Wallis de fundne resultater? c) F orklar, hvordan Wallis kommer fra at have bestemt arealet under grafen for potensfunktioner til arealet af en cirkel. d) Har Wallis dermed løst cirklens kvadratur? Hvorfor? Hvorfor ikke?

Afsnit 2.2 – 2.7 Opgave 2.9 Givet en positiv funktion i området fra tallet a og fremad. Hvad forstår vi ved arealfunktionen til f ?

23 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 2.10 a) Hvad forstår vi ved en stamfunktion til en funktion f ? b) Angiv stamfunktioner til potensfunktionerne. Argumenter for dit svar.

Opgave 2.11 a) Hvad siger sætningen om samtlige stamfunktioner til en funktion f ? b) Giv en grafisk fortolkning af denne sætning. c) S ætningen giver anledningen til begrebet den kanoniske stamfunktion. Hvad står det for? Opgave 2.12 Forklar, gerne med et eksempel, hvordan man bestemmer en stamfunktion, hvis graf går igennem et bestemt punkt.

Opgave 2.13 a) Hvad forstår vi ved det ubestemte integral til en funktion f ? b) Hvordan er notationen (hvordan skrives det)?

Opgave 2.14 Angiv stamfunktioner til følgende funktioner – og argumenter for din påstand: a) x–1 (eller

1 x)

b) e c · x , c ≠ 0

c) x a, a ≠ –1

d) sin(x) og cos(x)

Opgave 2.15 a) Angiv regneregler for det ubestemte integral af sum, differens og gange med konstant. b) Argumenter for disse regneregler.

Opgave 2.16 a) Forklar regnereglen: integration ved substitution, og argumenter for den. b) Illustrer regnereglen med nogle selvvalgte eksempler.

24 Hvad er matematik? 3, opgavebog

2. Integralregning

Opgave 2.17 a) Forklar regnereglen: delvis integration, og argumenter for den. b) Illustrer regnereglen med nogle selvvalgte eksempler.

Opgave 2.18 a) Hvad siger integralregningens hovedsætning? b) Hvad er den røde linje i beviset (med brug af tretrins-reglen). Opgave 2.19 a) H vordan beregnes arealet under grafen for en positiv, kontinuert funktion i et givet interval? b) Argumenter ud fra hovedsætningen for metoden beskrevet i punkt a).

Opgave 2.20 a) Hvad forstår vi ved det bestemte integral fra a til b af en funktion f ? b) Hvordan er notationen (hvordan skrives det)? c) Hvordan udregnes et bestemt integral i praksis (uden værktøj)? Opgave 2.21 a) Hvad siger indskudssætningen? b) Giv eksempler på dens anvendelse.

Opgave 2.22 a) Angiv regneregler for det bestemte integral af sum, differens og gange med konstant. b) Argumenter for disse regneregler.

Opgave 2.23 a) F orklar regnereglen: integration ved substitution af et bestemt integral, og argumenter for den. b) Illustrer regnereglen i praksis med nogle selvvalgte eksempler.

Opgave 2.24 a) Hvordan bestemmes arealet af et område mellem to grafer? b) H vordan bestemmes arealet af en punktmængde, der ligger helt under x-aksen?

25 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 2.25 a) Hvad er et omdrejningslegeme? b) Hvordan bestemmes rumfanget af et omdrejningslegeme? Opgave 2.26 a) H vordan bestemmes rumfanget af en ring (et område indesluttet mellem to omdrejningslegemer). (hint: Der er to forskellige tilfælde, se grundbogen s. 117).

Opgave 2.27 (kun for htx) Hvordan bestemmes rumfanget af et omdrejningslegeme, hvor vi drejer om y-aksen? Opgave 2.28 a) Hvad er definitionen på Ginikoefficienten? b) Hvordan kan Ginikoefficienten skrives på en formel med brug af integraler?

Opgave 2.29 Hvordan beregnes en gennemsnitlig værdi af en funktion ved hjælp af integralregning?

Opgave 2.30

Hvordan beregnes længden af en kurve, der er givet som en graf, ved hjælp af integralregning?

Opgave 2.31 a) Hvordan defineres den naturlige logaritmefunktion i moderne matematik? b) Vis ud fra definitionen, at ln(1) = 0. c) Vis, at ln(x) er en voksende funktion. Det afgørende skridt i beviset for logaritmeregnereglerne er beviset for den grundlæggende regel: ln(a · b) = ln(a) + ln(b). Antag, vi har vist dette. d) Argumenter ud fra den grundlæggende regneregel for reglen: ln  ba  = ln( a) − ln( b) . e) A rgumenter ud fra den grundlæggende regneregel og d) for, at ln(an ) = n · ln(a) og ln(a –n ) = (–n) · ln(a) for alle naturlige tal n. f) Argumenter ud fra c) og e) for, at ln(x) → ∞ når x → ∞.

26 Hvad er matematik? 3, opgavebog

2. Integralregning

Opgave 2.32 a) Forklar, hvordan man kan definere ex og a x ud fra kendskab til ln(x). b) Argumenter for, at (ex ) ′= ex.

2.2 Stamfunktioner og ubestemte integraler Opgave 2.33

Bestem stamfunktioner til: b) x –1,5

a) x 2,5 e) –3 · sin(2x)

d) 2 · e –x

c) 0 g) x

f) 5

h) –2 · cos(0,5x)

5 x,

x >0

Opgave 2.34 Vi har to funktioner: f(x) = x 2 · sin(x) – 2 · sin(x) + 2 · x · cos(x) og g(x) = x 2 · cos(x) Vis, at f(x) er en stamfunktion til g(x).

Opgave 2.35 To funktioner f og g er givet ved

f( x) = x

− 21

⋅ ln( x ) og g( x ) = 2 x 2 ⋅ ln( x ) − 4 x 2

Gør rede for, at g er en stamfunktion til f.

Opgave 2.36 I det følgende er grafen for en funktion f og en af de mulige stamfunktioner F tegnet. Bestem, hvilken graf der hører til f henholdsvis F. a) y

b) y

–2

x 0 –11

–1

–3 –2

–4 –3 –2

1 –1 –2

x –4 –3 –2 –1

1 –1

–2

x –4 –3 –2

–1

1 –1

–2

27 Hvad er matematik? 3, opgavebog

(2)

Opgave 2.37 På figuren ses graferne for tre funktioner. Det oplyses, at en af graferne er graf for funktionen f, og en anden er graf for en stamfunktion F til f. 5

–5

(1)

a) G ør rede for, hvilken af graferne A, B og C der er graf for f, og hvilken der er graf for F.

–20 B

(Vejledende eksamensopgaver A2, uden)

Opgave 2.38 I denne opgave er vi kun interesseret i de kanoniske stamfunktioner. Gør rede for, at

∫ ln( x ) dx = x ⋅ ln( x ) − x

x ) dx )− x ln(x) + 1)=dxx ⋅=ln(x x⋅ ln(x) ∫ (ln(

Opgave 2.39 En funktion F er givet ved

F( x ) = x6 ⋅ ex + 3

Gør rede for, hvilken af nedenstående funktioner, F er stamfunktion til. f1( x ) = 6 x 5 ⋅ e x f2 ( x ) = 6 x 5 ⋅ e x + x 6 ⋅ e x

f3 ( x ) = 6 x 5 ⋅ e x + x 6

(stx A eksamen maj 2012, uden)

Opgave 2.40 En funktion f er givet ved

f(x) = 4x + 3,

og funktionerne F1, F2 og F3 er givet ved

F1(x) = 2x 2 + 3x + 5

F2 (x) = x 2 + 3x + 6

F3 (x) = 2x 2 + 3x + 10

En af disse tre funktioner er den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(0,10). Gør rede for, hvilken af de tre funktioner der er denne stamfunktion. (stx-B eksamen maj 2012, uden)

28 Hvad er matematik? 3, opgavebog

2. Integralregning

Opgave 2.41 En funktion f er bestem ved

f(x) = 6x2 + 3

Bestem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(2,10). (stx A eksamen maj 2013, uden)

Opgave 2.42 En funktion f er givet ved

f(x) = 4 – 3x2

Bestem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(2,5). (stx A eksamen december 2013, uden)

Opgave 2.43 En funktion f er givet ved

f( x) =

2 x

− 4 x 3, x > 0

Bestem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(1,3). (stx A eksamen net maj 2012, uden)

Opgave 2.44 En funktion er givet ved

f ( x ) = 2 x + 1+ e x

Bestem den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(0,3). (stx A eksamen net maj 2013, uden)

Opgave 2.45 En funktion f er bestemt ved

1 x

f ( x ) = 2 x + , xx >> 00

Bestem den stamfunktion til f, hvis graf går gennem P(1,3).

29 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 2.46 En funktion f er givet ved

1 x

f ( x ) = 10 x 4 + , x > 0

Bestem den stamfunktion F til f, der opfylder, at F(1) = 25.

Opgave 2.47 To funktioner f og g er givet ved

f(x) = x4 · ln(x) + x4 og g(x) = 4x3 · ln(x) + 5x3

a) Gør rede for, at f er en stamfunktion til g.

b) Bestem den stamfunktion til g, hvis graf går gennem P(1,3).

Opgave 2.48 Funktionen f, der er givet ved f(x) = x2 – 2x – 3 har to stamfunktioner, hvis grafer begge har linjen y = 2 som tangent. Bestem en forskrift for hver af de to stamfunktioner til f.

2.3 Regneregler for ubestemte integraler Opgave 2.49 Bestem en stamfunktion til følgende funktioner:

a) f(x) = 1 – 2x + 3x2 – 6x5

b) g(x) = x3 – x2 + x + 5

c) h(x) = x –2 + x –3 + x –10

d) i(x) = 5x –1 – 3x + 0,5x 3

e) j(x) = 4ex – 3e –x

f) k(x) = x + e4x

Opgave 2.50 Bestem en stamfunktion til følgende funktioner:

a) f(x) = x 0,4 + 2 · x 1,5

c) h( x ) =

2 x

+ 4 x

e) j(x) = 5sin(x) – 2cos(x)

b) g(x) = 0,5 · x – 0,5 + 3 · x 0,5 d) i ( x ) =

4 x3

3 ex

f) k(x) = 3sin(2x) + 4cos(0,5x)

30 Hvad er matematik? 3, opgavebog

2. Integralregning

Opgave 2.51 Bestem: a)

∫ ( 3x + 7) dx

∫

−k⋅x

k⋅x

4x + 7 dx x

∫

∫(3 sin( x ) + 4 cos(2 x )) dx

x 3 5⋅ 5–x 5) dx2dx e) ∫ 3 ⋅ 5 dx f) ∫ (x

Opgave 2.52 Bestem integralet

∫ (2 x − 1)

dx .

(stx A eksamen december 2008, uden)

Opgave 2.53 Bestem integralerne:

a) b)

∫ (3 + 5 x ) dx −2 ∫ (2 + 3 x ) dx 9

Opgave 2.54 Bestem integralet

∫ 5 x + 2 dx .

Hvad er definitionsmængden for integranden, og hvad er den for stamfunktionen?

Opgave 2.55 Bestem integralet

∫x

2x 2

dx .

(stx A eksamen maj 2008, uden)

Opgave 2.56 Bestem integralet

2e x

∫e

dx .

Opgave 2.57 Bestem integralet

∫ 2x ⋅ ( x

+ 1)5 dx.

(stx A eksamen juni 2010, uden)

Opgave 2.58 Bestem integralet

∫ 6x

⋅ ( x 3 + 1)5 dx .

31 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 2.59

∫ 5x

Bestem integralet

dx.

(stx A eksamen maj 2009, uden)

Opgave 2.60 Bestem integralet

∫x

dx.

De følgende opgaver løses vha. partiel integration, som ikke er en del af kernestoffet.

Opgave 2.61

Bestem hvert af integralerne:

∫ x ⋅e

∫ x ⋅ sin( x ) dx

∫x

⋅ e x dx

∫x

⋅ cos( x ) dx

Opgave 2.62 Bestem hvert af integralerne:

∫ 2 x ⋅ ln( x ) dx

∫x

∫ 5x

⋅ ln( x ) dx 4

⋅ ln( x ) dx

Opgave 2.63 Bestem integralet

∫ ln( x ) dx .

(hint: Anvend partiel integration, idet ln(x) opfattes som et produkt, hvor den anden faktor er funktionen 1)

Opgave 2.64 Bestem integralet

∫ x ⋅ 10

dx .

32 Hvad er matematik? 3, opgavebog

2. Integralregning

2.5 Arealberegninger og bestemte integraler

Opgave 2.65 Bestem følgende bestemte integraler:

∫ b) ∫ c) ∫ d) ∫ a)

0 2 −3

2 x + 4 dx − x 2 + 16 dx

0 10

e 1 x

0,75

+ x dx

Du skal både bestemme integralet vha. dit integralværktøj, dit grafiske værktøj og stamfunktioner.

Opgave 2.66 Beregn integralet

∫ 0 (3 x

− 10 x ) dx .

(stx A eksamen august 2010, uden)

Opgave 2.67 Bestem integralet

∫ 1 (6 x 2

)

− 2 x dx.

(stx A eksamen maj 2011, uden)

Opgave 2.68 Bestem integralet

∫ 1  2 x + x  dx . 1

Opgave 2.69 a) Bestem integralet

∫

(8 x 3 + 6 x 2 ) dx.

(Vejledende eksamensopgaver A2, uden)

Opgave 2.70

f 2

Grafen for funktionen f(x) = –x + 3x afgrænser sammen med førsteaksen en punktmængde M, der har et areal.

Bestem arealet af M.

x 3

(stx-B eksamen maj 2010, uden)

33 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 2.71

En funktion f er bestemt ved

f(x) = ex + 2

Grafen for f, de to koordinatakser og linjen med ligningen x = 1 afgrænser i 1. kvadrant en punktmængde M (se figur). Bestem arealet af M.

(stx A eksamen august 2013, uden)

Opgave 2.72

f g

To funktioner f og g er givet ved

f(x) = 3x2 + 1 g(x) = 6x + 1 De to grafer afgrænser et område M, der har et areal (se figur). Bestem arealet af M.

(stx A eksamen net maj 2012, uden) x 2

Opgave 2.73 To funktioner f og g er bestemt ved

f(x) = 3x2

g(x) = –3x2 + 24

a) B estem førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og grafen for g.

e to grafer afgrænser i første og anden kvadrant en punktmængde M, D der har et areal.

b) Skitsér området M, og bestem arealet af M.

(stx A eksamen net maj 2013, uden)

Opgave 2.74

På figuren ses grafen for en funktion f(x), der har nulpunkterne –5, –2, 1 og 4. Sammen med førsteaksen afgrænser grafen tre punktmængder M1, M2 og M3, f der henholdsvis har arealerne 12, 7 og 12. M1 –5

M2 –2

M3 1

Bestem x

∫

−2 −5

f ( x ) dx og

∫

4 −5

f ( x ) dx .

(stx-B eksamen maj 2008, uden)

34 Hvad er matematik? 3, opgavebog

2. Integralregning

Opgave 2.75

På figuren ses graferne for to lineære funktioner f og g. 5 5 Det oplyses, at ∫ f ( x ) dx = 12,5 og ∫ g( x ) dx = 7,5 .

Giv en geometrisk fortolkning af integralet

∫

f ( x ) dx .= 12,5

Bestem arealet af trekant ABC.

(stx-B eksamen maj 2011, uden)

Opgave 2.76

En funktion f er givet ved f(x) = 4x3 – 16x2 + 12x

f x

∫0 f ( x ) dx.

a) Bestem

b) D et oplyses, at − ∫ f ( x ) dx =

32 . 3

Gør rede for betydningen af dette tal. (stx A eksamen net maj 2012, uden)

y x=3

x = –3

Opgave 2.77 På figuren ses en skitse af grafen for en funktion f. Grafen afgrænser sammen med førsteaksen og linjerne x = –3 og x = 3 tre punkt7 mængder M, N og R. Arealerne af M og N er begge lig med 6 , mens 16 arealet af R er lig med 3 .

f 1

(–2,0) M

Bestem hvert af integralerne

−2

∫−3 f ( x ) dx, ∫−2 f ( x ) dx

På figuren ses grafen for en funktion f(x). Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen to områder M og N. Det oplyses, at 16 arealet af M er 3 og at

(2,0)

∫−3 f ( x ) dx

Opgave 2.78

∫−2 f ( x ) dx =

f N

125 12 0

∫−2 f ( x ) dx.

a) Bestem

b) Bestem arealet af N.

x (–2,0)

(0,0)

(3,0)

35 Hvad er matematik? 3, opgavebog

(2)

50 M –1

Opgave 2.79

På figuren ses en skitse af graferne for to funktioner f og g.

Graferne for f og g afgrænser en punktmængde M, der har et areal.

Tabellen viser nogle funktionsværdier for funktionerne f, g, F og G, hvor F og G betegner henholdsvis en stamfunktion til f og en stamfunktion til g. (1)

1 –50

g(x)

–47

F(x)

G(x)

–34

–62

a) Bestem arealet af M. (Vejledende eksamensopgaver A1, uden)

x f(x)

Opgave 2.80

På figuren ses graferne for to funktioner f og g. Graferne for de to funktioner afgrænser et område M. f Tabellen viser udvalgte funktionsværdier, hvor F er en stam funktion til f, og G er en stamfunktion til g.

x 1

f(x)

g(x)

F(x)

G(x)

Bestem arealet af M.

Opgave 2.81

På figuren ses graferne for to funktioner f og g. Graferne for de to funktioner afgrænser et område M. f Tabellen viser udvalgte funktionsværdier, hvor F er en stam funktion til f og G er en stamfunktion til g.

8 M

x 1

f(x)

g(x)

F(x)

G(x)

Bestem arealet af M.

36 Hvad er matematik? 3, opgavebog

2. Integralregning

Opgave 2.82

å figuren ses graferne for to funktioner f og g. Graferne for de to P funktioner afgrænser et område M. Tabellen viser udvalgte funktionsværdier, hvor F er en stamfunktion til f, og G er en stamfunktion til g.

f(x)

g(x)

F(x)

G(x)

–1

M 4

x 6

1 2

Bestem arealet af M.

Opgave 2.83 To funktioner g og h er givet ved

g(x) = 4(1 – e –x)

h(x) = ex – 1

a) T egn graferne for g og h i samme koordinatsystem, og bestem førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem de to grafer.

Graferne for g og h afgrænser en punktmængde M, der har et areal.

b) Bestem arealet af M.

(Baseret på stx A eksamen august 2011, med)

Opgave 2.84

(2)

En funktion f er givet ved f( x) = 4 −

x2 4

Grafen for f og førsteaksen afgrænser i første og anden kvadrant en punktmængde M, der har et areal (se figur 1).

f M (1)

a) Bestem arealet af M.

Figur 1

Fra punktmængden M er der udskåret et rektangel (se figur 2).

(2)

b) B estem arealet af det skraverede område på figur 2 udtrykt ved x.

(stx A eksamen maj 2012, med)

( x,f(x) )

(1)

Figur 2

37 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 2.85 En funktion f er bestemt ved f(x) = (4 –x2) · e –x Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen i første og anden kvadrant et område M, der har et areal. Skitsér grafen for f, og bestem arealet af M. (stx A eksamen net maj 2012, med)

Opgave 2.86

(2)

To funktioner f og g er givet ved

100 M g

100

f(x) = –0,015625x2 + 1,25x + 200, x ≥ 0

g(x) = 200 – 0,000032x4, x ≥ 0

a) Bestem nulpunktet for hver af de to funktioner f og g. f Gavlen på et busskur har form som det område M, der afgrænses af graferne for f og g samt førsteaksen i første kvadrant (se skitse). Enheden på hver af akserne er cm. (1) b) Bestem arealet af busskurets gavl.

(stx A eksamen december 2013, med)

Opgave 2.87 Udetemperaturen (°C) i et døgn er en funktion f af tiden x målt i antal timer efter midnat. For et bestemt døgn er f givet ved f ( x ) = 17 − 3 ⋅ sin  π ⋅ x + π  , 0 ≤ x ≤ 24  12 2 Grafen for f ses på figuren sammen med den linje, der har ligningen y = 17. y

y = 17

unktionen f anvendes ved udregning af F det såkaldte graddagetal, som er et mål for den energi, det kræves til rumopvarmning.Graddagetallet for det på1 gældende døgn beregnes som 24 af arealet af den skraverede punktmængde, idet temperaturer over 17°C ikke bidrager til graddagetallet.

Beregn graddagetallet for det pågældende døgn. (Eksamensopgave sommer 1999)

38 Hvad er matematik? 3, opgavebog

2. Integralregning

Opgave 2.88 To funktioner f og g er bestemt ved

f(x) = x2 – k · x

g(x) = k · x

hvor k er et positivt tal. Graferne for f og g afgrænser en punktmængde M, der har et areal. Bestem k, så arealet af M er 36. (stx A eksamen august 2010, med) (2)

Opgave 2.89

To funktioner f og g har forskrifterne f ( x ) = 3 x + 9 og g(x) = x + 3. Graferne for f og g afgrænser i anden kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

N f

a) Bestem arealet af M.

For k > 0 afgrænser graferne for de to funktioner sammen med linjen med ligningen x = k i første kvadrant en punktmængde N.

b) Bestem k, så arealerne af M og N er lige store.

–3

(1) k

2.6 Rumfangsberegninger Opgave 2.90 En funktion f er bestemt ved f(x) = x2 – 10x + 30 Grafen for f, koordinatakserne og linjen med ligningen x = 10 afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

a) Bestem arealet af M.

b) B estem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360° omkring førsteaksen.

(stx A eksamen december 2008, med)

39 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 2.91 En funktion f er givet ved f( x) = 1 + x x

Grafen for f, førsteaksen og linjerne med ligningerne x = 1 og x = 4 afgrænser et område M, der har et areal. Når området M drejes 360° om førsteaksen, fremkommer et omdrejningslegeme. Bestem rumfanget af dette omdrejningslegeme. (stx A eksamen maj 2009, med)

Opgave 2.92 To funktioner f og g er givet ved

(2)

M g

f(x) = x2 – 4x + 7

g(x) = –x2 + 6x – 1

Graferne for f og g afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

a) Bestem arealet af M.

(1)

b) B estem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360° om koordinatsystemets førsteakse.

(stx A eksamen maj 2010, med)

Opgave 2.93 To funktioner f og g er givet ved

f(x) = 17 – x2

g(x) = 8

Graferne for de to funktioner afgrænser et område M, der har et areal.

a) Tegn graferne og marker området.

b) Bestem arealet af M.

c) B estem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360° omkring førsteaksen.

(stx A eksamen maj 2011, med)

40 Hvad er matematik? 3, opgavebog

2. Integralregning

Opgave 2.94

(2) 5

En funktion f er givet ved

f ( x ) = 1x .

Et kvadrat med siden 5 er indlagt i et koordinatsystem (se figur). Kvadratet deles i to punktmængder af grafen for f. Den skraverede punktmængde kaldes M (se figur). a) B estem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360º om førsteaksen.

3 f

2 1

(Vejledende eksamensopgaver A1)

(1) –1

Opgave 2.95 En funktion f er bestemt ved f ( t ) = 1,4 ⋅ sin(0,15t − 3) + 3,6 , 0 ≤ x ≤ 30 Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen, andenaksen og linjen med ligning x = k en punktmængde M. k er et tal, der ligger i intervallet 15 ≤ x ≤ 30. (2)

f M (1) 15

Den indre form af en såkaldt sinus-vase fremkommer ved, at punktmængden M roteres 360° om førsteaksen. Højden af vasen, målt i cm, er lig med k.

a) Bestem, hvor mange cm3 vand, der kan være i en 20 cm høj sinus-vase.

Vasens bund er ved x = 0 og vasens åbning er ved x = k. Vasens åbning har form som en cirkel.

b) B estem vasens højde og diameteren i vasens åbning, når vasen skal indeholde 730 cm3.

41 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 2.96 En funktion f er givet ved

f(x) = 2 · sin(0,05 · p · x – 0,5 · p) + 2

a) Tegn grafen for f i intervallet [0;40].

I en model kan bicepsmusklen hos en bestemt person beskrives (1) ved det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f drejes 360° omkring førsteaksen i intervallet [0;40].

b) Bestem bicepsmusklens volumen.

Styrken i bicepsmusklen er proportional med musklens maksimale tværsnitsareal.

c) Bestem bicepsmusklens maksimale tværsnitsareal.

(stx A eksamen august 2012, med)

Opgave 2.97 To funktioner f og g er bestemt ved

f(x) = –0,15x2 + 2,205x – 0,858

g(x) = –0,12x2 + 1,3x + 4,2

Graferne for f og g afgrænser sammen med koordinatsystemets akser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal. En træskål har form som det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 360° om førsteaksen. Enheden på begge akser er cm.

a) Tegn graferne for f og g, og bestem skålens højde.

b) Hvor stort er rumfanget af det træ, der udgør skålen?

(stx A eksamen august 2013, med)

Opgave 2.98

(2)

På figuren ses grafen for funktionen f(x) = 80x – 10x2

samt to punktmængder M og Mk. Punktmængden M er afgrænset af grafen for f, koordinatsystemets førsteakse samt linjen med ligningen x = 4. Punktmængden Mk er afgrænset af grafen for f, koordinatsystemets f førsteakse samt linjerne med ligningerne x = 4 og x = k, hvor k > 4.

100

Når punktmængderne M og Mk drejes 360º om førsteaksen, fremkommer to omdrejningslegemer med rumfang V og Vk. (1)

1 Bestem V, og bestem k, så Vk = 2 V .

(stx A eksamen august 2009 med)

42 Hvad er matematik? 3, opgavebog

2. Integralregning

Opgave 2.99 En funktion f er bestemt ved

f(x) = x4 – 4x2

Koordinatsystemets førsteakse og grafen for funktionen f afgrænser i fjerde kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

a) Bestem arealet af punktmængden M.

b) B estem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når punktmængden M drejes 360º om førsteaksen.

For ethvert tal t, hvor 0 < t < 2, deler linjen med ligningen x = t punktmængden M i to punktmængder A og B.

c) Bestem den værdi af t , der svarer til, at M og N har samme areal.

2.7 Anvendelse af integralregning Bemærk: Der er flere anvendelsesopgaver i kapitel 7.

Opgave 2.100 På billedet ses Golden Gate Bridge indlagt i et koordinatsystem med enheden meter på begge akser. Koordinatsystemets nulpunkt ligger ved vandoverfladen hos den nordlige pylon til venstre i billedet. Bærekablets monteringspunkter på de to pyloner ligger 220 m over vandoverfladen, og kablets laveste punkt er 80 m over vandoverfladen. Afstanden mellem monteringspunkterne er 1280 m.

(2)

(1)

I en model beskrives bærekablet mellem de to pyloner ved en del af grafen for et andengradspolynomium

f(x) = ax2 + bx + c a) Bestem en forskrift for f.

Det oplyses, at buelængden af grafen for en funktion f(x) i intervallet [x1;x2] er givet ved x2

2 ∫x (f ′( x )) + 1 dx

1 b) B enyt modellen til at bestemme længden af bærekablet mellem de to pyloner.

(stx A eksamen august 2013, med)

43 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 2.101 En funktion f er givet ved

− 15 ≤ x ≤ 0

 6, f( x) =  2  − x + 52 x + 36,

(2)

0 < x ≤ 44. I en model danner grafen for f en kurve, der har samme form som hver af de 47 lameller, der udgør lampen på billedet nedenfor. Alle mål er i cm. a) Tegn grafen for f. b) Bestem længden af den krumme del af én af de 47 lameller. (1)

(Vejledende eksamensopgaver A1)

Opgave 2.102 En funktion f er givet ved

f ( x ) = ( a + x ) 2 , , a > 0 a x> ≥0 0 x ≥ 0

Det oplyses, at længden l af grafen for f fra punktet P ( 0,f(0)) til punktet Q (b,f(b)), hvor b > 0, er bestemt ved b 2 l = ∫ (f ′( x )) + 1 dx 0

a) Bestem for b = 1 længden af grafen for f fra punktet P til punktet Q, når a = 1.

b) B estem for b = 1 den værdi af a, der svarer til, at længden af grafen for f fra punktet P til punktet Q er 4.

Med M betegnes den punktmængde, der afgrænses af koordinatsystemets førsteakse, grafen for f samt linjen med ligningen x = 0 og linjen med ligningen x = b.

c) Bestem for a = 2 og b = 5 omkredsen af M.

2.8 Blandede opgaver og udfordrende opgaver

Opgave 2.103 Om en funktion F(x) gælder, at F(x) er stamfunktion til 3 f(x) = –x + 3x Linjen t med ligningen y = –2x + 8 er tangent til grafen for F, og det oplyses, at røringspunktet for t har negativ førstekoordinat. Bestem en forskrift for F(x). (stx A eksamen august 2009, med)

44 Hvad er matematik? 3, opgavebog

2. Integralregning

Opgave 2.104

y A

På figuren ses graferne for funktionerne f og F. Det oplyses, at F er en stamfunktion til f.

a) Gør rede for hvilken af graferne, der hører til F.

b) Bestem

∫0 f ( x ) dx .

1 x

Opgave 2.105

Bestem integralerne: a)

∫ 2x

∫ 3x

∫x

x3 4

3x + 1 2

+ 2x + 5 3

x +1 4

+ 4x + 1

Opgave 2.106 Bestem integralet

cos( x )

∫ 1 + sin( x ) dx,

x ∈ [0;p].

Opgave 2.107 Bestem hvert af integralerne: (vi undersøger ikke definitionsmængderne i denne opgave) cos( x )

∫

c) ∫ 2 x ⋅ 3 x dx d)

∫

1 − sin( x )

∫ x ⋅ ln( x ) dx

(ln( x ))7 x 4

2x − 1 x2

dx dx

f) ∫ cos( x ) ⋅ esin( x ) dx

Opgave 2.108 En funktion f har forskriften

f(x) = –x3 + 3x2

a) Bestem monotoniforholdene for f.

b) Gør rede for, at x = 0 og x = 3 er de eneste løsninger til ligningen f(x) = 0.

Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

c) Skitsér punktmængden M, og bestem arealet af M.

(stx A eksamen net maj 2013, uden)

45 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 2.109 En funktion f er bestemt ved

f(x) = (x + 1) · e –x a) Bestem monotoniforholdene for f.

Grafen for f afgrænser sammen med koordinatsystemets akser i anden kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

b) Bestem arealet af M.

c) B estem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360° om førsteaksen.

(stx A eksamen juni 2010, med)

Opgave 2.110 En funktion f er bestemt ved

f( x) =

1 ⋅ ln( x ), x

x>0

a) Bestem monotoniforholdene for f.

Grafen for f, koordinatsystemets førsteakse og linjen med ligningen x = 10 afgrænser en punktmængde M, der har et areal.

b) Bestem arealet af M.

(stx A eksamen maj 2011, med)

Opgave 2.111 (2)

5 4 3 x

2 1

–1 0 1 2 3 4 5 6 –1

(1)

venfor ses et billede af bygningen O Fjordenhus samt en todimensional model af et af vinduerne indlagt i et koordinatsystem med enheden meter på begge akser. I modellen har vinduet form som en del af en parabel. Vinduet er 3,7 m bredt forneden og har en højde på 5,5 m. a) O pstil en regneforskrift for den funktion, hvis graf beskriver parablen.

Vinduet er inddelt i fire felter. Det skraverede felt M på figuren er afgrænset af parablen, førsteaksen og linjerne med ligningerne x = 2,3 og y = 3,1.

b) Bestem arealet af feltet M.

(stx A aug 2019)

46 Hvad er matematik? 3, opgavebog

2. Integralregning

Opgave 2.112 (2)

To funktioner f og g er bestemt ved

f(x) = –x3 + x2 + kx + 3

g(x) = x2 + 3

hvor k er et positivt tal.

Graferne for f og g afgrænser for x ≤ 0 et område M, der har et areal, og for x ≥ 0 et andet område N, der har et areal.

(1) M

a) Beregn arealet af de to områder, når k = 2.

b) G ør rede for, at de to områder M og N har samme areal f or alle værdier af k.

(stx A eksamen maj 2009, med)

Opgave 2.113 En funktion f er givet ved

f(x) = 1 + 0,1 · x

(2)

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P (5,f(5)).

Grafen for f og tangenten til grafen for f i punktet P afgrænser sammen med koordinatakserne en punktmængde M (se figur). Formen for en bestemt lerskål fremkommer ved, at punktmængden M drejes 360° omkring førsteaksen.

f M (1)

b) B estem førstekoordinaten til tangentens skæringspunkt med førsteaksen, og bestem skålens lerrumfang.

(stx A eksamen december 2012, med)

Opgave 2.114

(1)

En funktion f er bestemt ved

f(x) = –0,2x2 + 2x + 2,5

I en model af en karaffel har karaflens nedre del form som det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f roteres 360° omkring førsteaksen i intervallet [0;10](se figur). Enheden på akserne er cm. Bemærk, at førsteaksen er lodret på figuren.

a) B estem maksimum for f, og benyt dette til at bestemme bredden af karaflen, der hvor den er bredest.

f 10 h (2)

Der fyldes væske i karaflen, så højden af væsken er h cm fra karaflens bund.

b) B estem volumen af væsken udtrykt ved h, og bestem væskehøjden, når der fyldes 500 cm3 væske i karaflen.

(stx A eksamen maj 2013, med)

47 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 2.115 I forbindelse med en crash-test kan førerdukkens deceleration beskrives ved funktionen a( t ) =

16400 ( t − 68)2 + 400

1480 ( t − 93)2 + 18

, 0 ≤ t ≤ 140

hvor a(t) betegner førerdukkens deceleration (målt i m/s2) til tidspunktet t (målt i ms). a) T egn grafen for a, og bestem førerdukkens største deceleration.

Som et mål for, hvor voldsomt førerens hoved påvirkes af crash'et, anvendes værdien Severity Index (SI), som er bestemt ved

SI =

∫0 ( a(t ))

2,5

dt , hvor T er tiden (målt i ms)

b) Bestem SI, når T = 140 ms.

Kilde Crash Tests and the Head Injury Criterion, HANS-WOLFGANG HENN, TEACHING MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS Volume 17, No. 4, 1998. (stx A eksamen august 2012, med)

48 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Lineære første ordens differentialligninger

3a.

0. Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 3a. . . 49 2. Introduktion til differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3. Eksakt løsning af differentialligninger – de lineære typer . . . . . . . . . . . 60 4. Blandede opgaver og udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

I opgavebogen til Hvad er matematik? 2 kan du i kapitel 6 finde en række yderligere opgaver der kan træne det indledende arbejde med differentialligninger.

3a.0 Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 3a Opgave 3a.1 Hvornår omtrent udfoldede den hollandske renæssance sig, med navne som Rembrandt, Frans Hals og Jan Vermeer?

Opgave 3a.2 a) H vornår gennemførte ”den falske Vermeer”, Hans van Meegeren sine svindelnumre? Fortæl kort noget om hans metode til at male ”gamle” malerier. b) H vorfor var det særligt bemærkelsesværdigt, at ukendte billeder af netop Vermeer dukkede op? c) H vad var Hans van Meegerens cover-up historie, da han præsenterede sine nye ”Vermeer-billeder”? d) Hvornår blev svindelen afsløret? Fortæl kort om, hvordan han blev opdaget. e) U nder retssagen tog Hans van Meegeren et specielt initiativ for at overbevise retten om, at han selv var ophavsmand til de malerier, han havde solgt til museer og fx også til Gøring. Hvad var det han gjorde? Hvorfor gjorde han det?

49 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3a.3 De tekniske analyser koncentrerede sig om farven blyhvidt. Hvorfor?

Opgave 3a.4 a) Hvad er det, der karakteriserer radioaktive stoffer? b) Hvad er en henfaldskæde, fx henfaldskæden for Uran 238? c) Opskriv henfaldsloven som en differentialligning, og forklar med ord, hvad ligningen siger.

Opgave 3a.5 a) Hvad er definitionen på halveringstid? b) Hvad er sammenhængen mellem halveringstid og henfaldskonstant.

Opgave 3a.6 I forbindelse med de videnskabelige undersøgelser af, om malerierne var ægte eller falske, blev der opstillet to hypoteser. Formuler disse.

Opgave 3a.7 Hvorfor er der radioaktive atomer i farven blyhvidt?

Opgave 3a.8 Når vi opstiller en differentialligning for dobbelt radioaktivt henfald, så foretager vi her en vigtig antagelse om en af de variable. Hvilken antagelse er der tale om? Begrund denne antagelse. (hint: se argument og formler s. 135-136)

Opgave 3a.9 Hvad karakteriserer forholdet mellem henfald for Bly-210 og Radium-226 for et gammelt billede i forhold til et nyt billede? (hint: se tabellen og formlerne s. 137)

Opgave 3a.10 Hvad er den grundlæggende ide i de udregninger, der foretages i øvelse 3.5 s. 137, og som giver det afgørende argument vedrørende maleriernes ægthed eller falskneri?

50 Hvad er matematik? 3, opgavebog

3a. Lineære første ordens differentialligninger

Afsnit 3a.2 – 3a.3 Opgave 3a.11 a) Hvad er en differentialligning? b) Hvad menes med begyndelsesbetingelser? c) Hvad er en differentialligningsmodel? Giv eksempler.

Opgave 3a.12 Differentialligninger løses med forskellige metoder.

a) Redegør for, hvad der forstås ved eksakt løsning og ved numerisk løsning.

b) Hvad er forklaringen på, at vi har brug for flere løsningsmetoder?

Opgave 3a.13 a) Hvad forstås ved linjeelementer? b) H vordan anvendes linjeelementer i undersøgelse af en differentialligning? (hint: praxisboksen og eksemplet, HEM 3, s. 143). c) H vad forstås ved en løsningskurve til en differentialligning? Illustrer din forklaring med eksempler.

Opgave 3a.14 a) H vad forstås ved en kvalitativ analyse af en differentialligning? Illustrer din forklaring med eksempler. b) H vordan kan en differentialligning fortælle om monotoniforhold og lokale ekstrema – uden at vi løser ligningen. c) H vordan kan en differentialligning fortælle om krumningsforhold – uden at vi løser ligningen.

Opgave 3a.15 a) N år vi oversætter mellem sprog og formel, hvad er da den sproglige repræsentation af f ′? b) N år vi oversætter mellem sprog og formel, hvad er da den formelmæssige repræsentation af udtrykket: ”er proportional med”? c) G iv en sproglig præsentation af Newtons afkølingslov. Oversæt til en formelrepræsentation og forklar, hvordan du oversætter.

51 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3a.16 SD-diagrammer: Hvis man ønsker at repetere SD-diagrammer er der spørgsmål hertil i Hvad er matematik? Opgavebog 2, kapitel 6.

Opgave 3a.17 a) Hvad forstås ved den fuldstændige løsning til en differentialligning? b) Hvad menes med en partikulær løsning til en differentialligning? Opgave 3a.18 En opgave indeholder følgende formulering: Undersøg om en funktion er en løsning til en differentialligning. Hvordan gribes sådan en opgave an?

Opgave 3a.19 Givet en differentialligning. Hvordan løses følgende opgavetyper (illustrer med selvvalgte eksempler): - Bestem væksthastigheden i et bestemt punkt. - Bestem en tangentligning i et bestemt punkt.

Opgave 3a.20 I udledningen af eksakte løsninger til lineære differentialligninger anvendes monotonisætningen i udstrakt grad. Hvad siger monotonisætningen?

Opgave 3a.21 a) Hvad karakteriserer eksponentiel vækst? b) Hvordan udtrykkes dette i en differentialligning? c) Hvad er den fuldstændige løsning til: y ′= k · y d) Skitser grafisk de forskellige typer af løsninger til ligningen.

Opgave 3a.22 a) B eviset, der giver os den fuldstændige løsning til y ′= k · y, udnytter vores viden om produktreglen og om reglen for sammensat differentiation. Redegør for disse to regneregler. b) F orklar den røde tråd, dvs. gangen i beviset for sætningen om den fuldstændige løsning.

52 Hvad er matematik? 3, opgavebog

3a. Lineære første ordens differentialligninger

Opgave 3a.23 a) N ewtons afkølingslov (se s. 147, HEM3), medicin-indhold i kroppen i en sygdomsbehandling (HEM 2, s. 246ff), blyforgiftning (s. 160, HEM3), forurening af en sø (HEM 2, s. 251) er alle eksempler på forskudt eksponentiel vækst. Forklar de fælles træk i eksemplerne, der giver anledning til samme differentialligning. b) O pstil differentialligningen og begrund i hvert af de fire ovenstående eksempler, hvad kontanterne står for. c) Forklar for hvert af eksemplerne, hvordan det grafiske forløb af løsningskurverne er. d) Giv en fortolkning af den asymptotiske grænse i hvert af eksemplerne. (hint: Slå op på eksemplerne i grundbøgerne).

Opgave 3a.24 Vælg ét af beviserne; det i bogen, hvor der anvendes substitution, eller det på website, hvor der gennemføres udregninger parallelt til beviset for sætning 1. Redegør for gangen i beviset (den røde tråd).

Opgave 3a.25 a) I øvelse 3.26 (s. 160, HEM3) om blyforgiftning tales om halveringstiden for blyindholdet i kroppen. Hvad er definitionen på halveringstid? b

b) L øsningen til det virkelige problem har formen B( t ) = c ⋅ e − a ⋅ t + a . Det afsluttende spørgsmål lyder: Bestem grænseværdien, og giv en fortolkning af dette resultat. Hvad menes hermed?

Opgave 3a.26 Øvelse 3.27, 3.28 og 3.29, s. 161-62, HEM3, handler om løsning til differentialligningen: y ′= f(x) · y. Redegør for den bærende ide i beviset.

Opgave 3a.27 I øvelse 3.31 (s. 164, HEM3) siges, at ”linearkombinationer også er løsninger”. Hvad menes hermed?

Opgave 3a.28 Redegør for den bærende ide i beviset for sætning 4 (s. 165, HEM3), løsning af den generelle lineære differentialligning.

53 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3a.29 Redegør for Gompertz' vækstmodel.

Opgave 3a.30 Ved udslip fra et atomkraftværk er det sundhedsmæssige fokus i særlig grad rettet mod skjoldbruskkirtlen. Hvorfor?

Opgave 3a.31 a) Radioaktivt Jod-131 er en del af en henfaldskæde. Forklar, hvad en henfaldskæde er. b) Hvad er sammenhængen mellem halveringstid og henfaldskonstant. Opgave 3a.32 a) I 2012 gennemførte Felix Baumgartner et udspring fra en ballon i 36,5 km’s højde. Hvad var formålet med udspringet? b) Et sådant spring er underlagt nogle grundlæggende fysiske love. Hvilke? c) H vordan tager man fat på at opstille en matematisk model for springet, når der er så mange variable og sammenhænge i spil? Opgave 3a.33 a) D en mest simple modellering af et frit fald er et fald uden luftmodstand. Hvordan opstilles en model for et sådant fald? b) E n af de vanskelige faktorer, det er svært at få styr på i et fald som Baumgartners, er luftmodstanden. Forklar, hvorledes man modellerer denne. c) Forklar, hvorledes man modellerer lufttætheden? Opgave 3a.34 Lufttætheden er en funktion af højden. Hastigheden er en funktion af tiden. Vi ønsker en model, hvor hastigheden er en funktion af højden. Hvordan gør vi det? Forklar ideen heri, ikke nødvendigvis de tekniske omskrivninger.

Opgave 3a.35 a) H vad ved vi om sammenhængen mellem lydens hastighed og højden over jordoverfladen? b) M ålet med Baumgartners spring var at gennembryde lydmuren. Hvad betyder det at gennembryde lydmuren? c) Hvor i hans spring sker dette gennembrud af lydmuren for Baumgartner?

54 Hvad er matematik? 3, opgavebog

3a. Lineære første ordens differentialligninger

3a.2 Introduktion til differentialligninger

Opgave 3a.36

Til højre er der for tre forskellige begyndelsesværdiproblemer vist et plot af linjeelementer sammen med en løsningskurve.

2. 10

3. 10

0 0

0 10

Hvilket af de tre plot hører til differentialligningen y ′= y, med begyndelsesbetingelsen y(2) = 3?

Opgave 3a.37 Til højre er der for tre forskellige begyndelsesværdiproblemer vist et plot af linjeelementer sammen med en løsningskurve.

3. 10

0 0

Hvilket af de tre plot hører til differentialligningen y ′= 1 med begyndelsesbetingelsen y(1) = 3?

Opgave 3a.38 På figuren ses hældningsfeltet hørende til en differentialligning.

(2) P

Skitsér den løsningskurve, der går gennem punktet P(–2,4). Du kan hente et bilag her [via QR-koden]. (Vejledende eksamensopgaver A1, uden) (1)

55 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3a.39 Beregn linjeelementer i punktet (1,2) for differentialligningerne:

a) y ′= 2 · y · (5 – y)

b) y ′= y – x

og forklar, hvad disse talsæt betyder.

Opgave 3a.40 a) T egn et plot af linjelementer sammen med løsningskurven gennem punktet (1,2) for differentialligningen: y ′= 2 · y · (5 – y) b) T egn et plot af linjelementer sammen med løsningskurven gennem punktet (1,–2) for dif ferentialligningen: y ′= y – x

Opgave 3a.41 Tegn for hver af følgende differentialligninger et plot af linjeelementer, og undersøg, hvilke typer af løsningskurver der findes. Er der blandt løsningskurverne nogle, hvor du kender funktioner med sådanne grafiske forløb?

a) y ′= 2 · y · ( 5 – y)

b) y ′= y – x

c) y ′= –3 · y d) yy′ ′=

y x

Opgave 3a.42 Om en differentiabel funktion f får vi oplyst, at tangenternes hældning er konstant. Opskriv en differentialligning, som f opfylder.

Opgave 3a.43 Om en differentiabel funktion f får vi oplyst, at tangenternes hældning er proportional med f(x). Proportionalitetskonstanten er 0,65. Opskriv en differentialligning, som f opfylder.

Opgave 3a.44 Om en differentiabel funktion f får vi oplyst, at tangenternes hældning er proportional med differensen mellem 30 og f(x). Proportionalitetskonstanten er 0,45. Opskriv en differentialligning, som f opfylder.

56 Hvad er matematik? 3, opgavebog

3a. Lineære første ordens differentialligninger

Opgave 3a.45 Der løber vand fra en vandhane ned i et badekar med en hastighed på 0,4 l/s. Bundproppen i badekaret er lidt utæt, så vandet løber samtidigt ud af badekarret med en hastighed, der er proportional med vandmængden i badekarret (målt i l). Det oplyses, at proportionalitetskonstanten er 0,001 s–1. Indfør passende variable, og opstil en differentialligning, der beskriver, hvordan vandmængden i badekarret ændrer sig med tiden. (stx A eksamen december 2009, uden)

Opgave 3a.46 En steg sættes til langtidsstegning i en ovn. I en model er stegens indre temperatur T (målt i ºC) en funktion af tiden x (målt i minutter). Den hastighed, hvormed stegens indre temperatur stiger til tidspunktet x, er proportional med forskellen mellem ovnens temperatur og stegens indre temperatur. Det oplyses, at ovnens temperatur er 150 ºC, og at proportionalitetskonstanten er 0,011. Opstil en differentialligning, som T må opfylde. (stx A eksamen maj 2013, uden)

Opgave 3a.47 En funktion f er bestemt ved f(x) = ex – x – 1. Undersøg, om f er en løsning til differentialligningen

dy dx

x +1 y

= y + x.

(stx A eksamen maj 2011, uden)

Opgave 3a.48 Gør rede for, at funktionen f(x) = x2 · ex er en løsning til differentialligningen

dy dx

2y x

+ y.

(stx A eksamen december 2009, uden)

Opgave 3a.49 Undersøg, om f(x) = xe x + 3x er en løsning til differentialligningen y ′ = y +

y x

− 3 x.

(stx A eksamen maj 2010, uden)

57 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3a.50 Gør rede for, at funktionen f(x) = x · lnx er en løsning til differentialligningen y ′ =

y x

+ 1.

(stx A eksamen august 2010, uden)

Opgave 3a.51 Gør rede for, at funktionen f(x) = (x + 1) · ex er en løsning til differentialligningen dy = y + y x +1

(stx A eksamen maj 2012, uden)

Opgave 3a.52 Gør rede for, at funktionen f(x) = e2x + 3 er en løsning til differentialligningen (stx A eksamen august 2008, med)

Opgave 3a.53 En funktion f er løsning til differentialligningen dy dx

= x 2 ⋅ ( y − 1), og grafen for f går gennem punktet P(2,5). Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P. (stx A maj 2019, uden)

Opgave 3a.54 En funktion f er løsning til differentialligningen

dy dx

= 3y x 2 ⋅+( y5− 1),

Grafen for f går gennem punktet P(1,4). Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P. (stx A eksamen august 2013, uden)

Opgave 3a.55 En funktion f er løsning til differentialligningen dy y − 1 = , x>0 dx

og grafen for f går gennem punktet P(2,7). Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P. (stx A eksamen december 2012, uden)

58 Hvad er matematik? 3, opgavebog

dy dx

= 2 y − 6.

3a. Lineære første ordens differentialligninger

Opgave 3a.56 En funktion f er en løsning til differentialligningen dy

= + 3x + 1 dx x Grafen for f går gennem punktet P(2,6). Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i P. (Vejledende eksamensopgaver A2, uden)

Opgave 3a.57 I en model kan temperaturudviklingen i et vandbad under afkøling beskrives ved en funktion f, hvor f(t) betegner vandbadets temperatur (målt i ºC) til tidspunktet t (målt i minutter). I modellen er væksthastigheden for vandbadets temperatur proportional med forskellen mellem omgivelsernes temperatur og vandbadets temperatur. Det oplyses, at omgivelsernes temperatur er 22ºC, og at proportionalitetskonstanten er 0,01s –1.

a) B estem væksthastigheden for vandbadets temperatur, når vandbadets temperatur er 50ºC.

b) Opskriv en differentialligning, som f må være en løsning til.

(stx A maj 2019, uden)

Opgave 3a.58 Grafen for en funktion f går gennem punktet P(0,3). Funktionen f har den egenskab, at i ethvert punkt (x,y) på grafen, er tangentens hældningskoefficient proportional med funktionsværdien i punktet. Proportionalitetskonstanten er 0,17. Bestem hældningskofficienten for tangenten til grafen for f i punktet P, og opstil en differentialligning, der har f som løsning. (stx A eksamen december 2011, med)

Opgave 3a.59 I en model antages det, at en bestemt populations vækst er sådan, at antallet N af individer i populationen til tidspunktet t (målt i døgn) tilfredsstiller differentialligningen dN 0, 08 t − 1 = N , t > 0,5 dt

Det oplyses, at antallet af individer i populationen til tidspunktet t = 1 er 1,2 · 106. Benyt modellen til at bestemme populationens væksthastighed til tidspunktet t = 1, og bestem det tidspunkt, hvor antallet af individer i populationen er mindst. (stx A eksamen august 2008, med)

59 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3a.60 I en model kan udviklingen af antallet af bjørne i et bestemt habitat beskrives ved differentialligningen N ′= –0,000001 · N 3 + 0,0051 · N 2 – 0,05 · N,

hvor N(t) betegner antallet af bjørne til tidspunktet t (målt i år).

a) T egn et hældningsfelt for differentialligningen sammen med løsningskurven gennem punktet (0,100).

b) B enyt modellen til at bestemme væksthastigheden for antallet af bjørne, når der er 100 bjørne i habitatet. c) B estem henholdsvis det mindste og det største antal bjørne, der kan være i habitatet, så antallet af bjørne ifølge modellen er voksende.

3a.3 Eksakt løsning af differentialligninger – de lineære typer Opgave 3a.61 En funktion f er løsning til differentialligningen y ′= 0,5 · y Grafen for f går gennem punktet P(0,6).

a) B estem linjeelementet i P, og gør rede for, hvad dette fortæller om grafens forløb.

b) Bestem en forskrift for f.

(stx A aug 2019, uden)

Opgave 3a.62 I en model for koncentrationen af et bestemt rygestopmiddel i blodet hos en person er koncentrationen c(t) (målt i mg/L) som funktion af tiden t (målt i timer efter indtagelsen af stoffet) en løsning til differentialligningen

c ′ = –0,035 · c

a) H vor hurtigt aftager koncentrationen af rygestopmidlet, når koncentrationen i blodet er på 1,5 mg/L?

b) B estem en forskrift for c(t), når det oplyses at koncentrationen af rygestopmidlet er 2,0 mg/L til tidspunktet t = 0.

(stx A eksamen august 2013, med)

60 Hvad er matematik? 3, opgavebog

3a. Lineære første ordens differentialligninger

Opgave 3a.63 Fra et rør løber forurenet vand ned i en tønde med rent vand. Med C(t) betegnes koncentrationen (målt i ppm) af det forurenende stof i tønden til tidspunktet t (målt i minutter). I en model antages det, at C(t) er en løsning til differentialligningen dC = 0,4 − 0,02 ⋅ C dt

Det oplyses, at C(0) = 0.

a) Bestem en forskrift for C(t).

b) S kitsér grafen for C(t), og bestem det tidspunkt, hvor koncentrationen af det forurenende stof i tønden er 10 ppm.

c) B estem C ′(15), og giv en fortolkning af dette tal.

(stx A eksamen december 2011, med)

Opgave 3a.64 I en model kan udviklingen i et barns højde de første 4 leveår beskrives ved differentialligningen dh = 5,24 − 0,045 ⋅ h, 0 ≤ t ≤ 48 dt

hvor t er barnets alder (målt i måneder), og h er barnets højde (målt i cm). I modellen er et barn 50 cm højt ved fødslen.

a) Benyt modellen til at bestemme væksthastigheden, når barnet er 100 cm højt.

b) B estem en forskrift for h, og benyt denne til at bestemme barnets alder, når det er 100 cm højt.

(stx A eksamen maj 2012, med)

Opgave 3a.65 En Pintado fodres med en bestemt slags krebsdyr, hvorved det relative kulstof-13-indhold i Pintadoens muskelvæv forøges. I en model kan udviklingen i det relative kulstof-13-indhold i Pintadoens muskelvæv beskrives ved differentialligningen dM = 5,1742 − 0,1584M dt

hvor M betegner det relative kulstof-13-indhold (målt i promille) til tiden t (målt i døgn efter påbegyndt fodring). Det oplyses, at det relative kulstof-13-indhold var 20 promille, da fodringen blev påbegyndt.

a) Bestem en forskrift for M(t).

b) S kitsér grafen for M, og bestem den øvre grænse for det relative kulstof-13indhold i Pintadoens muskelvæv.

(stx A eksamen net 2012, med)

61 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3a.66 Ved en bestemt sygdom tilføres en patient medicin intravenøst over en femtimers periode. Medicinen tilføres kontinuerligt med en bestemt mængde p (målt i mg) pr. time. Den mængde medicin M (målt i mg), som til tidspunktet t (målt i timer) er i patientens blodbaner, opfylder differentialligningen dM = p − 0,03M dt

Vi går ud fra M(0) = 0. For at kurere sygdommen, skal patienten efter 3 timer have 100 mg af medicinen i blodbanerne. Bestem en forskrift for M som funktion af t udtrykt ved p, og bestem mængden p. (stx A eksamen august 2009, med)

Opgave 3a.67 I et bestemt kredsløb er strømstyrken I(t) (målt i ampere) en funktion af tiden t (målt i sekunder). Det oplyses, at I(t) er løsning til differentialligningen dI 0,4 ⋅ + 10 I = 9 og I(0) = 0. dt

a) Bestem strømstyrkens væksthastighed, når strømstyrken er 0,3 ampere.

b) Bestem en forskrift for I(t).

(stx A eksamen maj 2011, med)

Opgave 3a.68 En beholder er fyldt med en gas under tryk. Fra en lille ventil i toppen af beholderen strømmer gas ud. I en model er trykket i beholderen P (målt i atm) som funktion af tiden t (målt i minutter efter åbning af ventilen) en løsning til differentialligningen dP = − k ⋅ ( P − 1,0) dt

Det oplyses, at trykket til tidspunktet t = 0 er 5,0 atm, og at trykket til tidspunktet t = 25 er 2,0 atm. Bestem en forskrift for P(t), og skitsér grafen for P(t). (stx A eksamen net 2013, med)

Opgave 3a.69 I et akvarium kan temperaturen under opvarmning som funktion af tiden beskrives ved differentialligningsmodellen dT

= 1,54 − 0,259 ⋅ (T − 22), dx hvor T(x) betegner temperaturen (målt i °C) i akvariet til tidspunktet x (målt i timer efter påbegyndt opvarmning). Det oplyses, at tempera-

62 Hvad er matematik? 3, opgavebog

3a. Lineære første ordens differentialligninger

turen i akvariet er 22°C, når opvarmningen starter.

a) B estem temperaturens væksthastighed, når temperaturen i akvariet er 26°C.

Akvariets ejer har købt en sart akvariefisk, der ikke tåler temperaturer under 27°C. b) B enyt modellen til at bestemme, hvor lang tid der går, fra opvarmningen er påbegyndt, til det er sikkert at slippe fisken ned i akvariet. (Vejledende eksamensopgaver A1)

Opgave 3a.70 I en model for sammenhængen mellem længde og alder for atlantiske havkatte antages, at en havkats længde L (målt i cm) som funktion af dens alder t (målt i år) er en løsning til differentialligningen dL = 0,619 ⋅ e −0,22 t ⋅ L dt

I modellen antages, at en 10 år gammel atlantisk havkat er 72 cm lang.

a) Bestem en forskrift for L(t).

b) B estem ved hjælp af modellen længden af en 16 år gammel atlantisk havkat, og bestem, hvor gammel en atlantisk havkat er, når den er 40 cm lang.

Kilde: Northw. Atl. Fish. Sci., Vol. 13 s 53–61, Distribution, Growth and Food Habits of the Atlantic Wolffish (Anarhichas lupus) from the Gulf of Maine-Georges Bank Region, Gary A. Nelson and Michael R. Ross, J. (stx A eksamen december 2008, med)

Opgave 3a.71 I en model for udviklingen af befolkningstallet i Mexico efter 2007 antages det, at den årlige vækstrate r er en funktion af tiden t (målt i antal år efter 2007), som tilfredsstiller differentialligningen

dr dt

= −0,025 r og at r(0) = 0,017.

a) Bestem r som funktion af t.

Endvidere antages det, at befolkningstallet N(t) (målt i mio.) som funktion af tiden t (målt i antal år efter 2007) tilfredsstiller differentialligningen

dN dt

= r ( t ) ⋅ N og at N(0) = 106,5.

b) B estem N som funktion af t, og benyt N til at bestemme, hvor mange år der går fra 2007, til befolkningstallet når op på 200 mio.

(stx A eksamen maj 2010, med)

63 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3a.72 I en model for udviklingen i en bestemt type kræftsvulst er antallet af kræftceller en funktion af tiden, der opfylder differentialligningen dN t dt

= 0,82 ⋅ 0,88 ⋅ N

hvor N er antallet af kræftceller (målt i mio.) til tidspunktet t (målt i døgn). Det oplyses, at N(10) = 266.

a) Bestem væksthastigheden til tidspunktet t = 10.

b) Bestem en forskrift for N(t).

Kilde: IMA Journal of Mathematics Applied in Medicine & Biology (1987) 4, 379. (stx A eksamen august 2011, med)

Opgave 3a.73 En funktion f er løsning til differentialligningen dy 1 = ⋅ y +1 dx

og grafen for f går gennem punktet P(1,4). Bestem en forskrift for f. (stx A eksamen august 2008, med)

Opgave 3a.74 Et kar med saltvand tilføres løbende en saltopløsning, mens der samtidig løber saltvand ud af karret. I en model kan udviklingen i saltmængden i karret beskrives ved en funktion S, der er løsning til differentialligningen dS 2 = 1,5 − ⋅S dt

100 + t

hvor S(t) er saltmængden (målt i kg) til tidspunktet t (målt i minutter). Det oplyses, at der er 30 kg salt i karret til tidspunktet t = 0.

a) Bestem en forskrift for S.

b) Bestem det tidspunkt, hvor der er 60 kg salt i karret.

(stx A eksamen maj 2012, med)

64 Hvad er matematik? 3, opgavebog

3a. Lineære første ordens differentialligninger

Opgave 3a.75 Et vandbad opvarmes fra 20°C til 100°C. Den indre temperatur (målt i °C) i et bestemt objekt, der befinder sig i vandbadet under opvarmningen, er en funktion f af tiden t (målt i sekunder). Det oplyses, at f er en løsning til differentialligningen

y ′ = 0,03 · (g(t) – y)

hvor g(t) er vandbadets temperatur til tiden t. Endvidere oplyses det, at til tidspunktet t = 0 er objektets indre temperatur 10°C, og at g(t) = 20 + 0,25 · t, 0 ≤ t ≤ 320 Bestem objektets indre temperatur, når vandbadets temperatur bliver 100°C. (stx A eksamen maj 2009, med)

3a.4 Blandede opgaver og udfordrende opgaver Opgave 3a.76 a) Undersøg, om f(x) = e4x – 2x2 – x – dy dx

1 4

er en løsning til differentialligningen

= 24y y− + 68x2.

b) B eskriv, i hvilke områder af planen løsningskurverne er voksende, og i hvilke de er aftagende. (stx A eksamen august 2009, uden)

Opgave 3a.77 En funktion f er løsning til differentialligningen gennem punktet P(2,4).

dy dx

x +1 , y

og grafen for f går

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.

b) Beskriv løsningskurvernes monotoniforhold alene ud fra differentialligningen.

c) A nvend et værktøjsprogram til følgende: Tegn linjeelementer, indtegn forskellige løsningskurver, og udfør grafisk kontrol af resultatet i b).

(Baseret på stx A eksamen juni 2010, uden)

65 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3a.78 Om en funktion f oplyses, at punktet P(1,3) ligger på grafen for f, samt at funktionen er løsning til differentialligningen

dy dx

= 22x y −+ 6xy

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.

b) Beskriv løsningskurvernes monotoniforhold alene ud fra differentialligningen.

c) A nvend et værktøjsprogram til følgende: Tegn linjeelementer, indtegn forskellige løsningskurver, og udfør grafisk kontrol af resultatet i b).

(stx A eksamen august 2011, uden)

Opgave 3a.79 I en model er en persons vægt som funktion af tiden en løsning til differentialligningen dm k 42 = − ⋅m dt

7000

hvor m(t) er personens vægt (målt i kg) til tidspunktet t (målt i døgn), og k er personens kostindtag (målt i kcal/døgn). En bestemt person vejer 85 kg og indtager 3300 kcal/døgn.

a) Hvad er væksthastigheden for denne persons vægt?

Om en anden person oplyses, at personen vejer 87 kg til tidspunktet t = 0.

b) Bestem personens vægt udtrykt ved t og k.

c) Bestem k, så personen vejer 80 kg efter 100 døgn.

(stx A eksamen august 2012, med)

Opgave 4.40 I en model for farten af en raket, der skydes lodret op, er rakettens fart som funktion af tiden en løsning til differentialligningen dv dt

−

1 15 − t

⋅v =

300 15 − t

− 9,81, 0 ≤ t ≤ 14

hvor v(t) er rakettens fart (målt i m/s) til tidspunktet t målt i sekunder efter affyring. Til tidspunktet t = 0 er rakettens fart 0 m/s. Bestem en forskrift for v, og bestem det tidspunkt, hvor rakettens fart når op på 1000 m/s. (stx A eksamen december 2012, med)

66 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Ikke-lineære differentialligninger

3b.

0. Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 3b. . . 67 2. Den logistiske differentialligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3. Separable differentialligninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4. Blandede opgaver og udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3b.0 Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 3b

Opgave 3b.1 Vi betragter en enkelt fiskearts udvikling over tid. Hvad er de centrale tilstandsvariable?

Opgave 3b.2

a) Redegør for den grundlæggende ide i modelleringen af vægten af en fisk. b) P å s. 180 (HEM3) og frem gennemføres en modellering af væksthastigheden af vægten af en fisk. Argumenter for de to ligninger for henh. Ud-leddet og Ind-leddet, der er udgangspunktet for modelleringen. c) U d-leddet er proportional med vægten, mens Ind-leddet er proportional med et overfladeareal. Hvordan foregår omskrivningen, så også Ind-leddet er proportional med vægten?

Opgave 3b.3

Bertalanffy-modellen for vægten af en fisk er et specialtilfælde af en større klasse af differentialligninger. Hvad er det for differentialligninger?

Opgave 3b.4

Bernouillis differentialligning har formen: y ′ = g( x ) ⋅ y α − f ( x ) ⋅ y . Argumenter for, at den logistiske differentialligning er et specialtilfælde heraf.

67 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3b.5 a) Hvad er det karakteristiske grafiske forløb for vægtfunktionen af én fisk? b) Hvor har du før mødt funktioner med tilsvarende grafiske forløb?

Opgave 3b.6 a) B etragt en hel årgang af en bestemt fiskeart, og antag der ikke fiskes, og at de ikke jages af rovdyr. Argumenter for, hvilken differentialligning antallet af fisk vil følge under de forudsætninger. b) Hvad dækker begrebet samlet biomasse af fx en årgang af en fiskeart over? c) Hvordan opstilles en formel for samlet biomasse?

Opgave 3b.7 a) Hvad menes med udtrykket: ”det bedste tidspunkt at tage fiskene på”? b) Forklar med egne ord, hvorfor der må være et sådant optimalt tidspunkt.

Opgave 3b.8

Forklar grafen, der er gengivet side 185 (øvelse 3.50) i grundbogen.

Opgave 3b.9 Hvilken matematisk teknik leder os fra at modellere biomassen af én årgang til at se på den samlede biomasse af pågældende art?

Opgave 3b.10

a) Forklar de centrale begreber: fiskeriintensitet og rekrutår. b) Hvordan kan disse reguleres?

Afsnit 3b.2 – 3b.3 Opgave 3b.11 Giv eksempler på fænomener, der følger en logistisk vækstkurve.

Opgave 3b.12 a) V ælg en af de tre former for den logistiske differentialligning, forklar hvad symbolerne står for, og hvordan differentialligningen fremkommer. b) Opskriv løsningsformlen.

68 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3b.13 Linjeelementer kan illustrere de forskellige typer af løsninger til en logistisk differentialligning. Beskriv det grafiske forløb af de forskellige typer. (hint: det grafiske billede s. 189, HEM 3) Opgave 3b.14 Betragt løsningen til en logistisk differentialligning på formen:

M 1+ c ⋅ e

− b⋅ x

, hvor b = a ⋅ M .

Forklar betydningen af parametrene M, b og c for det grafiske forløb. (hint: QR-koden nederst s. 189, HEM 3).

Opgave 3b.15

a) H vad er den grundlæggende ide i beviset for løsningsformlen til den logistiske differentialligning? b) E t sted i beviset anvendes reglen for sammensat differentiation. Hvad siger denne regel? Hvor og hvordan anvendes reglen? Opgave 3b.16 a) Forklar begrebet bæreevne. b) Gør rede for de asymptotiske forhold for logistisk vækst.

Opgave 3b.17

a) Hvor er væksthastigheden for en almindelig logistisk funktion størst? b) Giv et argument for din påstand. Opgave 3b.18 a) G rafen for en almindelig logistisk funktion er symmetrisk om et bestemt punkt. Hvilket? b) Hvad menes med symmetrisk?

Opgave 3b.19

Giv med dine egne ord en beskrivelse af de karakteristiske træk ved de tre vækstformer: Lineær vækst, eksponentiel vækst og logistisk vækst.

69 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3b.20 I øvelse 3.63*, s. 199 (HEM 3) gives en tabel over den relative væksthastighed af en bestemt dyreart. Hvad menes med begrebet relativ væksthastighed?

Opgave 3b.21

Omkring 1920 genopdagede nogle forskere den logistiske vækstmodel. Det var først Raymond Pearl og Lowell Reed, og dernæst parret H.S. Reed og R.H. Holland. Hvad var det for eksempler de illustrerede modellen med? (hint: Afsnit 2.1.1, s. 197 og afsnit 2.1.4, s. 199-201, HEM 3)

Opgave 3b.22

Hvad forstås ved en separabel differentialligning?

Opgave 3b.23

Givet et konkret eksempel – hvilke trin skal man normalt igennem, når man i praksis og uden et værktøjsprogram skal løse en differentialligning ved separation af de variable?

Opgave 3b.24

a) G ivet en separabel differentialligning. Gør rede for løsningsmetoden, som den fremgår af sætning 2, s. 206. b) V i kræver, at definitionsmængden for en løsning til en differentialligning er et sammenhængende interval. For en given separabel differentialligning, hvor der opstår huller i definitionsmængden, hvordan afgør vi da hvilken del af definitionsmængden, der hører til den søgte løsning?

* Der fejlagtigt har nummer 6.39 i bogens 1. oplag.

70 Hvad er matematik? 3, opgavebog

3 b. Ikke-lineære differentialligninger

3b.2 Den logistiske differentialligning I opgavebogen til Hvad er matematik? 2 kan du i kapitel 6 finde en række yderligere opgaver der kan træne arbejdet med den logistiske differentialligning.

Opgave 3b.25 I en model kan antallet af skarvkolonier i Danmark i perioden 1982-2008 beskrives ved en funktion S af tiden t (målt i år efter 1982). Den hastighed, hvormed antallet af skarvkolonier vokser til tidspunktet t, er proportional med produktet af antallet af skarvkolonier til tidspunktet t og forskellen mellem 67 og antallet af skarvkolonier til tidspunktet t. Det oplyses, at proportionalitetskonstanten er k = 0,0029.

a) Opskriv en differentialligning, som S må opfylde.

(Vejledende eksamensopgaver A2, uden)

Opgave 3b.26 I en model er antallet P af individer i en bestemt population en funktion af tiden t (målt i døgn). Den hastighed, hvormed P vokser til tidspunktet t, er proportional med produktet af antallet af individer til tidspunktet t og forskellen mellem 2600 og antallet af individer til tidspunktet t. Det oplyses, at væksthastigheden er 10, når der er 100 individer i populationen. Opskriv en differentialligning, som P må opfylde. (stx A eksamen maj 2008, med)

Opgave 3b.27 I en model antages det, at en populations vækst kan beskrives ved differentialligningen

N ′ = 4 · 10 –6 · N · (K – N)

hvor N er antallet af individer til tiden t (målt i år). Endvidere antages det, at N(0) = 10000 og N ′(0) = 2000.

a) Bestem K.

b) Bestem væksthastigheden, når antallet af individer i populationen er 35000.

(stx A eksamen august 2009, med)

71 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3b.28 I en model kan udviklingen i biltætheden (målt i antal biler pr. 1000 indbyggere) i Danmark i perioden efter 1968 beskrives ved differentialligningen dN = 0,0004 ⋅ N ⋅ (315 − N ) dt

hvor N betegner biltætheden til tiden t (målt i antal år efter 1968). a) B estem en forskrift for biltætheden N som funktion af tiden t, idet det oplyses, at biltætheden i 1968 var 198.

b) G iv ved hjælp af den fundne funktion et skøn over biltætheden i 2008, og kommentér resultatet.

Kilde: Transportrådets Notat 99-02 fra 1999, Personbilparkens udvikling 1955-2010 – bestand, nybilsalg og ophugning. (stx A eksamen maj 2008, med)

Opgave 3b.29 I en model for udviklingen af antallet af individer i en population betegner N(t) antallet af individer til tiden t (målt i døgn). I modellen antages det, at N er løsning til differentialligningen dN = 0,00013·N·(1000 − N ) dt

og, at der er 50 individer i populationen til tidspunktet t = 0. Bestem væksthastigheden til tidspunktet t = 0, og bestem antallet af individer til hvert af de tidspunkter, hvor væksthastigheden er 31 individer pr. døgn. (stx A eksamen maj 2009, med)

Opgave 3b.30 I en model for udviklingen i antallet af bakterier i en bakteriekultur betegner B(t) antallet af bakterier til tiden t (målt i døgn). I modellen antages det, at dB = 1,55 ⋅ 10 −4 ⋅ B ⋅ (2000 − B ) dt

Det oplyses, at der til tidspunktet t = 0 er 50 bakterier i bakteriekulturen. Bestem antallet af bakterier i bakteriekulturen efter 15 døgn. (stx A eksamen december 2009, med)

72 Hvad er matematik? 3, opgavebog

3 b. Ikke-lineære differentialligninger

Opgave 3b.31 I en model betegner V vægten af en gris til tidspunktet t. I modellen antages det, at V er løsning til differentialligningen dV = 0,000193V (139,6 − V ) , dt

hvor V måles i kg, og t måles i døgn efter at grisen er begyndt at indtage fast føde. Grisens vægt er 7,3 kg, når den begynder at indtage fast føde.

a) Bestem en forskrift for V.

b) B estem ved hjælp af modellen grisens vægt til det tidspunkt, hvor væksthastigheden er størst.

Kilde: www.infosvin.dk (stx A eksamen juni 2010, med)

Opgave 3b.32 SARS-epidemiens udvikling i Singapore i 2003 kan beskrives ved differentialligningen dN = 0,00526 ⋅ N ⋅ (209 − N ), dt

hvor N er antal smittede til tidspunktet t (målt i døgn). Det oplyses, at der efter 30 døgn var 103 smittede.

a) Bestem væksthastigheden til det tidspunkt, hvor antal smittede var 100.

b) Bestem N(t), og gør rede for, hvad tallet 209 i modellen fortæller om epidemiens udvikling. (stx A eksamen maj 2011, med)

Opgave 3b.33 I en model betegner N antal traner i en tranebestand i Hokkaidoområdet i Japan. I modellen antages det, at N som funktion af tiden er en løsning til differentialligningen dN = 0,00029N ⋅ (1500 − N ) , dt hvor t er antal år efter 1975.

a) B estem tranebestandens væksthastighed, da der var 500 traner i bestanden.

Det oplyses, at tranebestanden i 1975 var 194 traner. b) Bestem en forskrift for N.

c) B estem det tidspunkt, hvor væksthastigheden for tranebestanden var størst.

ilde: A simple population viability analysis of Tancho (Grus japonensis) in southeastern HokK kaido, Japan, Yoshiyuki Masatomi, Seigo Higashi and Hiroyuki Masatomi, 2007. (stx A eksamen maj 2013, med)

73 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3b.34 I en matematisk model kan udviklingen i antallet af guppyer i et bestemt akvarium beskrives ved differentialligningen dP = 0,0015 ⋅ P ⋅ (150 − P ) dt

hvor P betegner antallet af guppyer i akvariet til tiden t (målt i uger). Det oplyses, at der fra start sættes i alt 12 guppyer af forskelligt køn ned i akvariet.

a) Bestem en forskrift for P, og bestem den tid t, der går, før akvariet indeholder 80 guppyer.

b) T egn grafen for P i et passende interval, og bestem den øvre grænse for antallet af guppyer i akvariet.

c) B estem det tidspunkt, hvor væksthastigheden for antallet af guppyer i akvariet er størst.

(stx A eksamen december 2013, med)

Opgave 3b.35 Over 90% af Kinas perleproduktion kommer fra en bestemt perleøsters, Pinctada martensii. Vægtudviklingen for en af disse perleøsters kan beskrives ved differentialligningen dV = 0,00018 ⋅ V ⋅ (53,63 − V ) dt

hvor V(t) betegner vægten (målt i g) til tiden t (målt i døgn). Det oplyses, at vægten var 0,59 g, da man påbegyndte målingerne.

a) Bestem en forskrift for V(t).

b) Bestem det tidspunkt, hvor vægttilvæksten er størst.

Kilde: Growth of Cultured Pearl Oyster (Pinctada martensii) in Li’an Lagoon, Hainan Island, China, Gu Zhifenget m.fl., Journal of Shellfish Research, 28(3) 465-470. 2009. (stx A eksamen net maj 2012, med)

Opgave 3b.36 I en model for dyrkning af en bestemt afgrøde på en mark kan sammenhængen mellem høstudbyttet M (målt i ton) og mængden af tilført kunstgødning x (målt i kg) beskrives ved differentialligningen

dM dx

= 0, 000369·M ·(15,5 0 − M–),M),0 ≤ 0 0,000369 ·M · (15,50 0 ≤x x≤ ≤100 1000

Det oplyses, at høstudbyttet er 13,1 ton, når der tilføres 400 kg kunstgødning.

a) Bestem en forskrift for M som funktion af x.

Salgsprisen for 1 ton af afgrøden er 700 kr., og 1 kg kunstgødning koster 1,97 kr.

b) S kitsér grafen for fortjenesten (målt i kr.) som funktion af x, og bestem den værdi af x, der giver den største fortjeneste.

Kilde: Mathematical models of crop growth and yield. Allen R. Overman, Richard V. Scholtz, 2002. (stx A eksamen august 2010, med)

74 Hvad er matematik? 3, opgavebog

3 b. Ikke-lineære differentialligninger

3B.3 Separable differentialligninger Opgave 3b.37 Afgør hvorvidt hver af differentialligningerne er separable eller ej

a) y ′′ =

x y

b) y ′ = x – y

c) y ′ = 1 – y

d) y ′′ =

y x

Opgave 3b.38 En funktion f er løsning til differentialligningen dy = − 5x4 ⋅ y2 dx

Grafen for f går gennem punktet P(1,2).

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,2).

b) Bestem forskrift og definitionsmængde for f.

Opgave 3b.39 En funktion f er løsning til differentialligningen dy = 2 y 2 ⋅ ( x − 1) og grafen for f går gennem punktet P(2, − 21 ). dx

a) Bestem en forskrift for f, og bestem definitionsmængden for f.

b) Bestem den værdi af x, for hvilken f(x) antager sin mindsteværdi.

Opgave 3b.40 Om en funktion f oplyses, at f er løsning til differentialligningen

dy dx

= 3 x 2 ⋅ ( y − 1) og at f(1) = 3.

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,3).

b) Bestem forskrift og definitionsmængde for f.

Om en anden løsning g til differentialligningen gælder, at g(0) = 0.

c) Bestem en forskrift for g.

Opgave 3b.41 I en model for en bestemt kemisk reaktion omdannes et stof A. Mængden af stoffet A som funktion af tiden er en løsning til differentialligningen dM = −k ⋅ M2 dt

hvor k er en konstant, og M er mængden af stoffet A (målt i mg) til tidspunktet t (målt i minutter). Til tidspunktet t = 0 er der 70 mg af stoffet A, og til tidspunktet t = 60 er der 20 mg tilbage af stoffet A.

a) Bestem en forskrift for M(t), og bestem konstanten k.

b) Bestem M ′(60), og gør rede for betydningen af dette tal.

75 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3b.42 Om en funktion f oplyses, at f er løsning til differentialligningen dy 2 x − 5 = dx

og at f(0) = –2 .

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(0,–2).

b) Bestem forskrift og definitionsmængde for f.

Opgave 3b.43 En bestemt beholder, der er fyldt med væske, har en aftapningshane i bunden. I en model kan væskehøjden i beholderen beskrives ved dh

−

= −15 ⋅ h 2 ,

dt hvor h(t) betegner væskehøjden (målt i cm) til tidspunktet t (målt i sekunder efter åbning af hanen). Til tidspunktet t = 0 er væskehøjden 30 cm. a) Bestem en forskrift for h. b) Tegn et hældningsfelt sammen med grafen for den fundne løsning.

c) Bestem det tidspunkt, hvor beholderen er tom.

(Vejledende eksamensopgaver A2)

3b.4 B landede opgaver og udfordrende opgaver Opgave 3b.44 Tabellen viser sammenhørende værdier mellem en funktion y og dens afledede y ′.

1,4621

1,7616

1,9051

1,9641

y′

0,3932

0,2100

0,0903

0,0353

a) V i antager, at der er en kvadratisk sammenhæng mellem y og y ′. Bestem ved kvadratisk regression en differentialligning, som y opfylder.

b) Hvilken type differentialligning er der tale om?

76 Hvad er matematik? 3, opgavebog

3 b. Ikke-lineære differentialligninger

Opgave 3b.45 I en model for en bestemt fiskeart antages det, at en fisks længde (målt i cm) er en funktion l af tiden t (angivet i år). Det antages, at l er løsning til differentialligningen dy 1 (1) = 5 − y dt

a) B estem den hastighed, hvormed længden af en fisk vokser på det tidspunkt, hvor fiskens længde er 15 cm.

b) Bestem en forskrift for l, når det oplyses, at l(1) = 8.

I samme model antages det, at en fisks vægt (målt i gram) er en funktion V af tiden t (angivet i år). Det antages, at V er løsning til differentialligningen

dy dt

= 5y 3 − y , 0 < y < 1000 (2) 2

c) G ør rede for, at enhver funktion af typen y = (10 − c ⋅ e

− 61 t 3

)

(3)

er løsning til differentialligningen (2). Det oplyses, at den fuldstændige løsning til differentialligningen (2) udgøres af funktioner af typen (3).

d) Bestem en forskrift for V, når det oplyses, at V(6) = 253.

e) Bestem tallet V∞ = lim V ( t ), og giv en fortolkning af dette tal. t →∞

Opgave 3b.46 Nedenstående tabel viser sammenhørende værdier af befolkningstallet og befolkningstilvæksten i Indien i en periode fra 1960 og frem. Befolkningstal (mio.)

449

498

554

621

697

782

870

960

1053

1144

1231

1309

9,8

11,2

13,4

15,2

17,6

18,0

18,6

18,2

17,4

15,6

Befolkningstilvækst (mio. pr. år)

(Tabellen kan hentes via QR-koden) I en model kan sammenhængen beskrives ved en differentialligning af typen

y ′= a · y2 + b · y + c,

hvor y og y ′ betegner henholdsvis befolkningstallet (målt i mio.) og befolkningstilvæksten (målt i mio. pr. år) til tidspunktet t (målt i år efter 1960).

a) Benyt tabellens data til at bestemme a, b og c.

Det oplyses, at befolkningstallet i Indien i 1960 var 449 mio.

b) T egn et hældningsfelt for differentialligningen sammen med løsningskurven for udviklingen i Indiens befolkningstal efter 1960.

c) B enyt modellen til at bestemme det maksimale befolkningstal i Indien efter 1960.

(stx A maj 2019)

77 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3b.47

I et område lever en bestand af rensdyr. I en model kan udviklingen i antallet af rensdyr i bestanden beskrives ved en løsning til differentialligningen dy dt

= 0,23 ⋅ y ⋅  1 −

 − s ⋅ y,

1073 

h vor y betegner antallet af rensdyr i bestanden (målt i tusinde) til tidspunktet t (målt i år), og s betegner andelen af rensdyr, der bliver skudt om året.

a) Tegn et hældningsfelt når s = 0,01 i vinduet [0;10] × [1;1200].

Det oplyses, at bestanden af rensdyr er 900 tusinde til tidspunktet t = 0.

b) Bestem en løsning til differentialligningen når s = 0,01.

Man ønsker, at bestanden af rensdyr i området holdes konstant på 900 tusinde.

c) Benyt modellen til at bestemme antallet af rensdyr, der skal skydes om året.

(stx A aug 2019)

Opgave 3b.48

I en model kan udviklingen i antallet af bakterier i en bakteriesuppe beskrives ved differentialligningen dy

= 0,00002 ⋅ y ⋅ (10 000 − y ),

hvor y betegner antal bakterier til tidspunktet x (målt i timer). V æksthastigheden for antal bakterier er 250 bakterier pr. time til tidspunktet x = 40.

a) B estem ud fra differentialligningen de mulige antal bakterier i bakteriesuppen til tidspunktet x = 40.

b) B estem den løsning til differentialligningen, hvor bakteriesuppen til tidspunktet x = 40 indeholder færrest bakterier.

Opgave 3b.49 a) V is, at 3 + x F ( x ) = 61 ⋅ ln  , x ∈ ]0; 2[  3 − x er en stamfunktion til 1

f( x) = , x ∈ ]0; 2[ 2 9− x b) Bestem den løsning til differentialligningen dy y = , x ∈ ]0 ;2[ , dx

9− x

hvis graf indeholder punktet P(1,2) . c) Bestem en ligning for tangenten til løsningskurven i punktet P.

78 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Vektorfunktioner og parameterkurver

0. Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 4 . . . 79 1. Infrastruktur og trafikplanlægning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2. Vektorfunktioner og banekurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3. Krumning for en banekurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4. Anvendelser af vektorfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5. Blandede opgaver og udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.0 Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 4 Opgave 4.1 a) Man anslår, at der blev anlagt 400.000 km veje i hele Romerriget. Hvad var formålet? b) O mkring år 0 fremstilles et særligt kort over Romerrigets veje. En del af kortet hugges i sten og opsættes på den centrale plads i Rom. I hvilken forstand er kortet en korrekt gengivelse af Romerrigets infrastruktur? c) Hvor ved vi det fra?

Opgave 4.2 Efter Romerrigets fald forvitrede også den infrastruktur, der var opbygget. Hvad er det næste skridt i samme store skala mht. opbygningen af en infrastruktur i Europa (og nu også i resten af verden)?

Opgave 4.3 Fra 1930’erne begyndte man at anlægge motorveje, først i USA, siden i Europa.

a) Hvad adskiller motorvejsnettet fra det øvrige vejnet?

b) N ævn nogle af de særlige problemer, man skulle løse, for at opfylde kravene til et motorvejsnet.

79 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 4.4 Motorvejsudfletninger krummer i sagens natur.

a) H vorfor anlægges disse ikke som de simplest mulige krumme figurer, nemlig cirkelbuer?

b) H vad er det karakteristiske ved de særlige klotoidebuer, man anvender?

Man havde allerede fra slutningen af 1800-tallet erfaringer med anvendelse af klotoidebuer for at skabe en bedre kørselskomfort.

c) H vor var det, de blev anvendt, og hvad var baggrunden for, at man netop på det tidspunkt begyndte at lede efter andre buer end cirkelbuerne?

d) En bestemt ingeniør formulerede det præcise krav til de buer, de ønskede konstrueret. Hvad var dette for nogle krav, og hvad hed denne ingeniør?

(hint: grundbogen s. 214, citat og QR-kode)

Opgave 4.5 Forklar, hvad krumningscirklen i et bestemt punkt af en kurve er.

Opgave 4.6

a) Opstil en parameterfremstilling for en cirkel med radius R og centrum i Origo.  Parameterfremstillingen kan også tolkes som en forskrift for en vektorfunktion r . b) D ifferentier vektorfunktionen. Til et givet tidspunkt t0 : Tegn en skitse af,   hvordan r (t0 ) og r ′( t0 ) ligger i forhold til hinanden. c) Bestem den anden afledede af vektorfunktionen. Til et givet tidspunkt t0 :   Tegn en skitse af, hvordan r (t0 ) og r ′′(t0 ) ligger i forhold til hinanden. Opgave 4.7 Giv et sprogligt argument for, at med radius R.

1 R

er et godt mål for krumningen af en cirkel

Opgave 4.8 Givet en banekurve for en vektorfunktion.

a) Hvad er definitionen på krumningen i et punkt?

b) Hvorfor indføres differentiation mht. kurvelængde?

80 Hvad er matematik? 3, opgavebog

4. Vektorfunktioner og parameterkurver

Opgave 4.9 I definitionen og i øvelse 4.3, s. 217, HEM 3, er flere variable i spil: e, θ og s. Forklar, hvad hver af disse står for (repræsenterer).

Opgave 4.10 Formlen ddsθ = k ⋅ s i øvelse 4.3 fremkommer ved hjælp af sammensat differentiation. Hvad er den sammensatte funktion?

Opgave 4.11

Tidligere kaldtes klotoider også for Eulers spiral og Cornus spiral. Forklar, hvad klotoider har med spiraler at gøre.

Opgave 4.12

Antag, at en motorvejsudfletning konstrueres ved at lade en ret linje blive efterfulgt af en cirkelbue. Vi forestiller os, at vi kører gennem denne udfletning med jævn fart. Skitsér grafen for krumningen som funktion af tiden ved denne gennemkørsel.

Afsnit 4.2– 4.4

Opgave 4.13 Forklar med ord, gerne med brug af begrebet geometrisk sted, hvad der karakteriserer følgende kurver: • en cirkel • en ellipse • en hyperbel • en cykloide • en archimedisk spiral

Opgave 4.14 a) Hvad forstår vi ved en stedvektor til et punkt P? b) Hvad forstår vi ved en vektorfunktion? c) Hvad er banekurven til en vektorfunktion? d) Hvad forstår vi ved en parameterfremstilling for en kurve?

Opgave 4.15 Giv for en selvvalgt vektorfunktion eksempler på de 4 repræsentationsformer (sprog, tabel, graf, formel).

81 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 4.16 Giv eksempler på, at samme banekurve kan have forskellige parameterfremstillinger (hint: Tænk på forskellige måder, eksempelvis forskellige hastigheder, at gennemløbe en kurve på).

Opgave 4.17 a) Giv en parameterfremstilling for en cirkel med radius R. b) G iv en parameterfremstilling for en ellipse med centrum i C(c1,c2) og akserne a og b. c) G iv en parameterfremstilling for en almindelig graf for en almindelig funktion af én variabel.

Opgave 4.18 a) Hvordan bestemmes en banekurves skæring med akserne? b) Hvad er et dobbeltpunkt, og hvordan bestemmes det?

Opgave 4.19 En banekurve har en parameterfremstilling med et andengradspolynomium som 1. koordinat og et tredjegradspolynomium som 2. koordinat. Skitser banekurvens forløb. Opgave 4.20 a) Hvad er definitionen på, at en vektorfunktion er kontinuert? b) Hvad er definitionen på, at en vektorfunktion er differentiabel? c) H vad er definitionen på en differentiabel vektorfunktions hastighedsvektor og accelerationsvektor?

Opgave 4.21 Vis, at for en vektorfunktion er differentialkvotienten også grænseværdi for en differenskvotient.

Opgave 4.22 a) Hvad er definitionen på en tangent til en banekurve? b) Hvordan bestemmes en banekurves eventuelle lodrette og vandrette tangenter? c) Hvordan bestemmes vinklen mellem tangenterne i et dobbeltpunkt?

82 Hvad er matematik? 3, opgavebog

4. Vektorfunktioner og parameterkurver

Opgave 4.23 a) Hvad forstås ved en logaritmisk spiral? b) Hvad er det for en geometrisk egenskab, der karakteriserer en logaritmisk spiral? Opgave 4.24

 t − sin( t )  Banekurven for vektorfunktionen r ( t ) =  , t ∈ [ −2π ;4 π ] er en cykloide,  1 − cos( t ) se fx grafen s. 220, HEM 3.

a) Argumenter for, at vektorfunktionen er differentiabel.

b) D er er en stor forskel på det grafiske forløb for en almindelig reel differentiabel funktion og det grafiske forløb af cykloiden. Hvilken?

Opgave 4.25

 Givet en vektorfunktion r (t).

 a) O pskriv en formel, hvor hastighedsvektoren v = r ′(t) udtrykkes ved fart og retning.

b) A rgumenter for, at accelerationens retning er vinkelret på hastighedens retning.

(hint: Differentier identiteten ( e(t)) ′= 1, hvor e(t) er en enhedsvektor i hastighedens retning).

Opgave 4.26 Redegør for definitionen (s. 233, HEM 3) af krumningen for en banekurve, herunder for, hvorfor vi differentierer mht. kurvelængden.

Opgave 4.27 a) I sætning 3, s. 233, HEM 3, gives formlen for krumning af en banekurve. Redegør for, hvad den bærende ide i beviset for formlen er. b) Redegør for, hvordan vi får formlen for krumning af en graf (sætning 4, s. 234, HEM 3) ud fra den generelle formel for krumning. Opgave 4.28 Hvordan beregnes længden af et stykke af en banekurve?

Opgave 4.29 Hvordan beregnes arealet af et område afgrænset af en banekurve (Bemærk, der er to versioner, alt afhængig af, hvordan vi afgrænser)?

83 Hvad er matematik? 3, opgavebog

4.1 Infrastruktur og trafikplanlægning Opgave 4.30

B illedet viser firkløveret ved motorvejskrydset vest for Århus. I forbindelse med planlægning af et andet motorvejskryds overvejes en lignende vejføring. E n bil, der kører gennem vejføringen, kan antages at følge bane kurven givet ved for forskriften for vektorfunktionen r (t):  50 sin(k ⋅ t ) ⋅ cos( 1 k ⋅ t )   2 r (t ) =   , t ∈ 0;  −50 sin(k ⋅ t ) ⋅ sin( 1 k ⋅ t )  2

π

k  T iden t måles i sekunder, og vektorfunktionens koordinater er i meter.  Bilens fart afhænger af k, og antages k at være k = 0,5 m –1 kan r (t) skrives som

 50 sin( 1 ⋅ t ) ⋅ cos( 1 ⋅ t )   2 4 r (t ) =   , t ∈ [0;2π ] 1 1  −50 sin( ⋅ t ) ⋅ sin( ⋅ t ) 2

 a) Tegn grafen for r (t).

b) Bestem hastighedsvektoren til tidspunktet t = 2.

Det viser sig, at bilen kører for stærkt gennem kurven for denne værdi af k. Bilen passerer punktet P, når t = 21k .

c) V is, at punktet P’s koordinater er uafhængig af værdien af k, og at koordinaterne altid er (23,226,–5,931).

Farten i P må højst være 50 km/t svarende til 13,889 m/s.

d) Bestem den maksimale værdi, k kan antage, for at farten ikke overskrider 50 km/t.

(htx A eksamen december 2010)

4.2 Vektorfunktioner og banekurver Opgave 4.31

 I et koordinatsystem er en vektorfunktion r givet ved

  2t + 1 r (t ) =  2  .  t − 1  a) Bestem r (1).  b) Undersøg, om punktet Q(7,8) ligger på banekurven for r .

(stx A maj 2019, uden)

84 Hvad er matematik? 3, opgavebog

4. Vektorfunktioner og parameterkurver

Opgave 4.32

 En vektorfunktion r er givet ved forskriften

2  r ( t ) =  t − 4 .  t −3

a) B estem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem koordinat systemets akser og parameterkurven for r .

(stx A august 2019, uden) (2)

Opgave 4.33 I et koordinatsystem bevæger et punkt P sig således, at til tidspunktet t  er stedvektoren r (t) til P givet ved   t 2 + t − 2 r (t ) = ,  t2 

− 4 ≤ t ≤ 4.

Bestem hastighedsvektoren til tidspunktet t = 2.

(1)

(Vejledende prøvesæt A1, maj 2018, uden)

–2

2 –2

Opgave 4.34 I et koordinatsystem bevæger et punkt P sig således, at stedvektoren til P til tidspunktet t er givet ved   3  r ( t ) = 1t 2− t , t ∈ R.  2 t − t

a) Bestem hastighedsvektoren til tidspunktet t = 0.

Linjen l er bestemt ved ligningen

l: x – y = 2 b) Bestem de to tidspunkter, hvor hastighedsvektoren er parallel med l.

(Vejledende prøvesæt A2, maj 2018, uden)

Opgave 4.35

 t   En vektorfunktion er repræsenteret ved følgende formel: r ( t ) = 3  t − 5t + 3  a) Opstil en tabel, der kan repræsentere r (t).

b) T egn en banekurve med et passende parameterinterval, der kan repræsentere  r (t), og indtegn i samme grafiske billede punkterne fra tabellen.

c) Findes der en reel funktion, der har en graf, som er identisk med banekurven?

d) Bestem de punkter på banekurven, hvor tangenten er parallel med vektoren   1 v =  .  7

85 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 4.36 I et koordinatsystem i planen bevæger et punkt P(x,y) sig således, at der til tidspunktet t gælder:

x = t2 – 4 y = t3 – t

, t∈

a) T egn banekurven i parameterintervallet t ∈ [–3;3],

b) B estem koordinatsættet til dobbeltpunktet, og bestem vinklen mellem hastighedsvektorerne i dobbeltpunktet.

Opgave 4.37 I et koordinatsystem i planen bevæger et punkt P(x,y) sig således, at der til tidspunktet t gælder:

x = t2 – 2 y = t – t3

, t∈

a) B estem koordinatsættet til hvert af de punkter, hvori banekurven skærer en af koordinatsystemets akser.

b) K urven har et dobbeltpunkt Q, dvs. et punkt svarende til to forskellige parameterværdier. Bestem dette.

c) Gør rede for, at banekurvens to tangenter i Q er ortogonale.

d) Bestem koordinatsættet til hvert af de punkter, hvori banekurven har  en tangent, der er parallel med vektoren v =  −1 . 1

e) Bestem en ligning for hver af de to tangenter i punkt d).

Opgave 4.38 En partikel følger i et koordinatsystem en banekurve givet ved vektorfunktionen:

   t−2 r (t ) =   , t ∈]2;27] 2  −0,04t + 0,8t 

a) Tegn banekurven.

b) Bestem koordinaterne til banekurvens skæringspunkt med x-aksen.

c) Bestem koordinaterne til det punkt, hvor kurven har vandret tangent.  d) Bestem de t-værdier, hvor r (t) står vinkelret på hastighedsvektoren v (t).

(htx A eksamen maj 2009)

86 Hvad er matematik? 3, opgavebog

4. Vektorfunktioner og parameterkurver

(2)

Opgave 4.39

 En vektorfunktion r er givet ved   t 3 − 12t  r (t ) = 2 , t ∈ .  t − 2t   På banekurven for r er punktet Q et dobbeltpunkt hørende til t-værdierne t = –2 og t = t0.

a) Bestem koordinatsættet til punktet Q, og bestem t0

b) B estem den spidse vinkel mellem banekurvens to tangenter i punktet Q.

2 (1) –10

(Vejledende prøvesæt A1, maj 2018, uden)

–2

Opgave 4.40 En basketballspiller skyder bolden mod kurven, se figuren. Boldens centrum bevæger sig langs banekurven givet ved vektorfunktionen:

y P

4t    r (t ) =   2  − 4,91t + 6 t + 1,6

Positionen måles i meter, tiden i sekunder.

a) Bestem koordinaterne til boldens centrum til tiden t = 0,3.

b) Bestem, hvor højt boldens centrum kommer op.

Ringen i basketballkurven er cirkulær, med centrum i P(3.56,3.05).

c) Bestem boldens fart, når den passerer punktet P.

(htx A eksamen december 2013)

4.3 Krumning for en banekurve

Opgave 4.41 For hver af følgende vektorfunktioner ønskes krumningen af banekurven bestemt i de angivne parameterværdier

   t2 a) r ( t ) =  3  , t = –1, t = 1 og t = 2  t − 5t + 3

 cos( t )   3 b) r ( t ) =  , t =  sin(t)  3

π 2

,t=

2π 3

og t = p

87 Hvad er matematik? 3, opgavebog

  10 sin( t ) c) r ( t ) =  , t=  5 cos(t) 

  sin( t ) d) r ( t ) =  2  , t =  t 

π 2

,t=

2π 3

og t = p

Opgave 4.42 Bestem en formel for krumningen af grafen for følgende reelle funktioner:

a) f(x) = 3x + 2

b) f(x) = x2 + 2x + 5

c) f(x) = x3 – 4x2 + 5x + 2

d) f(x) = e3x

Opgave 4.43

På billede ses en del af en togbane. I et passende valgt koordinatsystem kan en del af togbanen tilnærmelsesvist beskrives ved vektorfunktionen:  450t   r (t ) =   , t ∈[–5;5]  1200 − 30t 2− 7t 3 Alle mål er i meter.

a) Tegn banekurven.

b) Bestem krumningen k(t) for t = 1,808.

c) Bestem t-værdien, hvor krumningen er 10 –4 m –1.

(htx A eksamen maj 2008)

4.4 Anvendelser af vektorfunktioner Opgave 4.44 Bestem længden af banekurven for følgende vektorfunktioner i de angivne t-intervaller:  cos( t )   3      t2 a) r ( t ) =  3 b) r ( t ) =   , hvor 1 ≤ t ≤ 7.  , hvor hvor 0 ≤ t ≤ p.  t − 5t + 3  sin(t)   3 

  10 sin( t ) c) r ( t ) =  , hvor 0 ≤ t ≤ p.  5 cos(t) 

  sin( t ) d) r ( t ) =  2  , hvor –2 ≤ t ≤ 2.  t 

88 Hvad er matematik? 3, opgavebog

4. Vektorfunktioner og parameterkurver

Opgave 4.45 En modelbil, som vist på billedet, følger en bane, der kan beskrives   ved kurven for en vektorfunktion r (t). Forskriften for r (t) er:

  sin( t ) + 2  r (t ) =  , t ∈[0;4p]  3 sin(0,5t ) + 1

Tiden måles i sekunder og afstande i meter.  a) Tegn kurven for r (t).

b) Bestem en forskrift for farten f(t) = |v(t)|, hvor v (t) er hastighedsvektoren.

Længden af kurven for en vektorfunktion er givet ved formlen:

∫a

 v ( t ) dt, hvor t ∈[a;b]

c) Bestem, hvor langt bilen har kørt i det givne interval.

d) Bestem bilens mindste fart i intervallet t ∈[p;2p].

(htx A eksamen maj 2011)

Opgave 4.46 I et koordinatsystem i planen er en kurve givet ved parameterfremstillingen

x = ln(t)

y = –t 2 + 4t – 1,75

a) B eregn koordinatsættet til hvert af kurvens skæringspunkter med førsteaksen.

b) Tegn kurven.

, t>0

  1 For to værdier af t er hastighedsvektoren parallel med vektoren a =   .  1,5 c) Beregn de to værdier af t. Kurven afgrænser sammen med førsteaksen en punktmængde, der har et areal.

d) Beregn dette areal.

Opgave 4.47 I et koordinatsystem bevæger et punkt P sig således, at til tidspunktet t er  stedvektoren r til P givet ved   t2  , –2 ≤ t ≤ 2. r (t ) = 5  t − t Punktet P passerer punktet Q(1,0) til tidspunkterne t1 og t2.

a) Bestem t1 og t2.

Mellem de to tidspunkter t1 og t2 afsnører banekurven i 1. og 4. kvadrant en punktmængde M, der har et areal T. Det oplyses, at t2   T = 21 ∫ r ′( t ) ⋅ rˆ ( t ) dt . t1

b) Bestem arealet T af punktmængden M.

(Vejledende prøvesæt A2, maj 2018)

89 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 4.48 En jæger skyder med bue og pil efter en flyvende gås. I en model i et koordinatsystem med enheden meter på begge akser kan pilespidsens og gåsens bevægelser beskrives ved  65 ⋅ t  OP( t ) =  −4,91⋅ t 2 + 37, 5 ⋅ t + 1,8  − 29 ⋅ t 141 65 ⋅ t  OG( t ) =  OP( t ) =  ,  −4,91⋅ t 2 + 37, 5 ⋅ t + 1,8 46   65 ⋅ t − 29 ⋅ t    141 hvor OP( t ) =og OG( t ) =betegner stedvektorerne til pilespidsens henholdsvis gåsens  , −4,91⋅ t 2 + 37, 546 ⋅ t + 1,8 position t (målt i sekunder efter skuddet).  til tidspunktet 141 − 29 ⋅ t  OG( t ) =   , for pilespidsens og gåsens bevægelser i samme 46 a) T egn banekurverne koordinatsystem.

b) Benyt modellen til at bestemme pilespidsens fart til tidspunktet t = 1.

c) Benyt modellen til at afgøre, om pilespidsen rammer gåsen.

(stx A aug 2019)

4.5 Blandede opgaver og udfordrende opgaver Opgave 4.49

2  t   En vektorfunktion er repræsenteret ved følgende formel: r ( t ) = 3 5 3 t − t +    a) Opstil en tabel, der kan repræsentere r (t).

b) T egn en banekurve med et passende parameterinterval, der kan repræsentere  r (t), og indtegn i samme grafiske billede punkterne fra tabellen.

c) I hvilke punkter skærer banekurven koordinatakserne?

d) Bestem eventuelle dobbeltpunkter.   a e) V is, at for enhver vektor v = findes der punkter på banekurven, hvor  b tangenten er parallel med v .

Opgave 4.50

 cos( t )   En vektorfunktion er givet ved: r (t) =  3  sin( t )  3  a) Opstil en tabel med værdier fra parameterintervallet t ∈ [–2p;2p]  b) T egn en banekurve for r (t) med parameterintervallet t ∈ [–2p;2p],

 c) Giv en sproglig repræsentation af r (t) og dens graf.

(hint: Grafen er en kendt geometrisk figur. Hvilken? anvend cos2(t) + sin2(t) = 1)  10 sin( t ) En anden vektorfunktion er givet ved: s( t ) =   5 cos(t)    10 sin( t ) d) Besvar samme spørgsmål a) – c) for s( t ) = og dens graf.  5 cos(t) 

90 Hvad er matematik? 3, opgavebog

4. Vektorfunktioner og parameterkurver

Opgave 4.51

  t En vektorfunktion er givet ved: r ( t ) = e2 t   a) Hvilke koordinatfunktioner består r (t) af?

b) Opstil en tabel med værdier fra parameterintervallet t ∈ [–2;2].  c) T egn en banekurve for r (t) med parameterintervallet t ∈ [–2;2], og indtegn i samme grafiske billede punkterne fra tabellen.

d) I hvilke punkter skærer banekurven koordinatakserne?

e) Bestem en hastighedsvektor for t = –1, t = 1 og t = 2.

f) Bestem en accelerationsvektor for t = –1, t = 1 og t = 2.

Opgave 4.52 En vektorfunktion er repræsenteret ved følgende formel:

 4 cos(t) − cos(4t)   r (t ) =   4 sin( t ) − sin(4t )  a) Angiv koordinatfunktionerne. b) Opstil en tabel med værdier fra parameterintervallet t ∈[0;2p].  c) T egn en banekurve for r (t) med parameterintervallet t ∈[0;2p], og indtegn i samme grafiske billede punkterne fra tabellen.

d) Vektorfunktionens graf kaldes for en epicykel. Undersøg på nettet, hvorledes epicykler har fundet anvendelser i videnskabshistorien.

e) I hvilke punkter skærer banekurven koordinatakserne?

f) B estem en hastighedsvektor for t = og t = 2p.

g) B estem en accelerationsvektor for t = og t = 2p.

h) Hvad viser f) og g) om bevægelsen?

2π , 3

4π 3

91 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 4.53 (2)

E t hjul bevæger sig på en vandret skinne. På figuren er et lodret snit ned gennem hjul og skinne indtegnet i et koordinatsystem, hvor skinnen er placeret langs førsteaksen. Et punkt P(x,y) på periferien af hjulet bevæger sig, således at der til tidspunktet t gælder, at

P(x,y)

(1)

 x   8t + 5 cos(2 t)  y  =  4 + 5 sin(2t )  , 0 ≤ t ≤ p

Størrelsesforholdene er ikke korrekte

a) Bestem koordinatsættet til P til tidspunktet t = 0. b) Bestem største og mindsteværdi af P’s andenkoordinat. c) Bestem hastighedsvektoren v (t) til tidspunktet t. d) Bestem hastighedsvektoren til det tidspunkt, hvor P’s andenkoordinat er størst mulig. e) Bestem den mindste og største værdi af farten | v (t)|. f) B anekurven kaldes for en cykloide. Undersøg på nettet, hvilken rolle cykloider har spillet i videnskabshistorien. (studentereksamen januar 2003)

Opgave 4.54

Billedet viser en svirreflue, der står stille i luften. P å figuren er svirrefluens vingebevægelse indlagt i et koordinatsystem, hvor kurven viser vingespidsens bevægelse. Vingerne bevæger sig igennem en hel cyklus, med en periode på 0,005. V ingespidsens bevægelse gennem én periode kan tilnærmelsesvis beskrives ved vektorfunktionen  x ( t )  −0,5 sin(800 ⋅ π ⋅ t ) = r (t ) =  , t ∈[0;0,005]  y ( t )  3 cos(400 ⋅ π ⋅ t ) 

hvor t angives i sekunder, og x og y angives i mm.

a) Tegn grafen for vingespidsens bevægelse.

b) Bestem vingespidsens koordinater til tiden t = 0.

c) B estem tidspunktet t, hvor vingespidsen befinder sig i (0,0) for første gang.

d) Bestem farten af vingespidsen til tiden t = 0,00125.

(htx A eksamen maj 2013)

92 Hvad er matematik? 3, opgavebog

4. Vektorfunktioner og parameterkurver

Opgave 4.55 (2)

I et koordinatsystem bevæger et punkt P(x,y) sig således, at der til tidspunktet t gælder:

x = t2

y = 4t – t 5

t∈

a) B eregn koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem banekurven og den rette linje med ligningen x = 4.

Punktet Q er et dobbeltpunkt på kurven, dvs. punktet svarer til to forskellige værdier af t.

b) B eregn arealet af det parallelogram, der udspændes af de to hastighedsvektorer i Q.

c) B eregn koordinatsættet til hvert af de punkter, hvori hastighedsvektoren er parallel med førsteaksen.

(1)

Kurven afgrænser en punktmængde M, der har et areal.

d) Beregn den eksakte værdi af arealet.

(Studentereksamen, højt niveau januar 1998)

Opgave 4.56 y

Figuren viser en kurve, beskrevet ved vektorfunktionen   sin( t )  , t ∈[0;p] r (t ) =   sin(2t )

a) B estem koordinaterne til kurvens skæringspunkter med x- og y-akse. π b) Bestem en ligning for tangenten til kurven for t = 6 .

Kurven afgrænser i første og anden kvadrant et område, der har et areal.

0,5 0 0,2

0,4

0,6

0,8

–0,5 –1

c) Bestem dette areal.

Den del af kurven, der fremkommer, når t gennemløber [0; π ] kan også 2 beskrives som grafen for funktionen f med forskriften:

f ( x ) = 2 x ⋅ 1 − x 2 , x ∈[0;1]

d) Vis dette.

e) Udnyt f(x) til at bestemme arealet af det område, du bestemte i punkt c).

(Baseret på htx A eksamen august 2009)

93 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 4.57 I et koordinatsystem i planen bevæger et punkt P(x,y) sig således, at:

x = 2et 1

y = 2 e2t – t

, hvor –1 ≤ t ≤ 1,5

Banekurven har i punktet T en tangent parallel med førsteaksen.

a) Bestem koordinatsættet til T.

Det oplyses, at længden L af denne del af banekurven er givet ved: 1,5  L = ∫ v ( t ) dt −1 hvor v (t) er hastighedsvektoren.

b) Bestem L.

c) G ør rede for, at banekurven kan beskrives ved ligningen y=

1 8

x 2 − ln( 1 x ) 2

Banekurven afgrænser sammen med førsteaksen, linjen med ligningen x = 2 · e –1 og linjen med ligningen x = 2 · e1,5 en punktmængde, der har et areal.

d) Skitser punktmængden, og beregn arealet.

Opgave 4.58 I planen er givet et koordinatsystem med begyndelsespunkt O. To punkter P og Q bevæger sig således, at der til tidspunktet t gælder:

  2 + 4t  OP =   9 − 2t 

  −5 + 3t  , hvor –10 ≤ t ≤ 10 OQ =   −20 + 5t 

a) Tegn de to parameterkurver i samme koordinatsystem.

b) Giv en sproglig beskrivelse af parameterkurverne.

c) Beregn koordinatsættet til skæringspunktet R mellem de to parameterkurver.

d) Til hvilket tidspunkt befinder P sig i punktet R?

e) Med hvor stor tidsforskel passerer P og Q punktet R?

Afstanden d mellem P og Q er en funktion af tiden t.

f) B estem en forskrift for d, og bestem den værdi af t, hvor afstanden mellem P og Q er mindst.

(Baseret på Studentereksamen maj 1998)

Opgave 4.59 Bestem en formel for krumningen af grafen for følgende reelle funktioner:

a) f(x) = ax + b

b) f(x) = ax2 + bx + c

c) f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

d) f(x) = ekx

94 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Funktioner af to variable

0. Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 5 . . . 95 3. Funktioner af to variable og deres grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4. Snitfunktion og snitkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5. Niveaukurver og højdekurver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6. Differentiation af funktioner af to variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7. Tangentplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8-9. Ekstrema og arten af stationære punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10. Blandede opgaver og udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.0 Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 5 Opgave 5.1 Forklar de forskellige trin i en matematisk modellering. (hint: praxisboksene s. 48 og s. 244 i Hvad er matematik? 2)

Opgave 5.2 a) Hvad er Det økonomiske råd? b) Hvad står SMEC for? c) Hvad anvendes SMEC til?

Opgave 5.3 Hvad er de to centrale variable i en produktionsfunktion?

Opgave 5.4 Hvad forstår man ved partielt afledede?

95 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 5.5 Hvilke tre betingelser skal en funktion af to variable opfylde, for at man kalder det en produktionsfunktion?

a) Formuler svaret med ord.

b) Udtryk svaret med formler.

Opgave 5.6 Hvordan afgøres ved beregning, om grafen for en funktion (af én variabel) krummer opad (eller nedad)?

Opgave 5.7 Hvilken egenskab har en såkaldt homogen funktion af to variable?

Opgave 5.8 Vis, at hvis en potensfunktion af to variable skal være homogen, så skal summen af potenserne være lig med 1.

Opgave 5.9 Hvad er definitionen på en Cobb-Douglas funktion?

Opgave 5.10 Hvad er definitionen på priselasticitet? Forklar det med ord, og opstil den tilsvarende formel.

Opgave 5.11 a) Giv et eksempel på et forbrugsgode, der er stærkt priselastisk. b) Giv et eksempel på et forbrugsgode, der er meget lidt priselastisk. c) Forklar, hvorfor priselasticiteten i alle normale situationer er et negativt tal.

Opgave 5.12 Givet en Cobb-Douglas funktion på formen f(l,A) = k · l α · A1– α . Hvordan kan potenserne α og 1– α fortolkes i relation til elasticitetsbegrebet?

96 Hvad er matematik? 3, opgavebog

5. Funktioner af to variable

Afsnit 5.2–5.9 Opgave 5.13 Hvad forstås ved et højrehåndssystem og et venstrehåndssystem?

Opgave 5.14 a) Hvad er en funktion af to variable? b) Hvad forstår vi ved grafen for en funktion af to variable? c) H vilke af følgende figurer, der kan tegnes i et 3D-koordinatsystem, kan opfattes som graf for en funktion:

• en kugle?

• en kegle?

• en kælkebakke?

• en vindelflade (som ”vejen” op i Rundetårn)?

Opgave 5.15 a) Hvad forstås ved en snitkurve? (Beskriv det geometrisk). b) Hvad forstås ved en snitfunktion? c) Giv et eksempel på, hvordan vi får et formeludtryk for en snitfunktion.

Opgave 5.16 a) Hvad forstås ved en højdekurve? b) Hvad forstås ved en niveaukurve? c) Hvad er sammenhængen mellem højdekurver og niveaukurver? d) Hvad er et konturplot? Opgave 5.17 Hvad er definitionen på, at en funktion (af 2 variable) er differentiabel?

Opgave 5.18 a) G ivet en flade, der er graf for en funktion af to variable. Hvad er definitionen på den retningsafledede i et bestemt punkt og med en bestemt vektors retning? b) Giv et eksempel på beregning heraf.

97 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 5.19 Givet en flade, der er graf for en funktion af to variable. Giv en tolkning af den retningsafledede i et bestemt punkt og i en enhedsvektors retning.

Opgave 5.20 Argumenter for, at en differentiabel funktion har retningsafledede i alle retninger. (hint: Tag udgangspunkt i definitionen på differentiabilitet af henh. en funktion af to variable og af en funktion af én variabel). Opgave 5.21 a) Hvad forstås ved de partielt afledede af en funktion? b) Hvordan er notationen? (dvs.: Hvordan skrives partielt afledede?) c) Giv et eksempel på beregning af partielt afledede. Opgave 5.22 a) Hvad er definitionen på gradienten af en funktion i et bestemt punkt? b) Hvordan er notationen? (dvs.: Hvordan skrives gradienten?) c) Giv et eksempel på beregning af gradienten. d) Hvad er et gradientfelt?

Opgave 5.23 Givet en flade, der er graf for en funktion af to variable, og et punkt P i definitionsmængden.

a) Hvad er sammenhængen mellem gradienten i P og niveaukurven gennem P?

b) Beskriv med ord gradientens betydning for det grafiske forløb.

Opgave 5.24 a) Hvad siger produktreglen for en funktion f(x,y) af to variable? b) Hvad siger kædereglen for en sammensat funktion f (h(t),k(t))? Opgave 5.25 Givet en differentiabel funktion. Hvad er sammenhængen mellem gradienten og den retningsafledede gennem et punkt P og i en vektor v 's retning?

98 Hvad er matematik? 3, opgavebog

5. Funktioner af to variable

Opgave 5.26 Hvad er ”den røde tråd” i beviset for, at gradienten angiver retningen med størst stigning?

Opgave 5.27 Hvad er ”den røde tråd” i beviset for, at gradienterne står vinkelret på niveaukurverne?

Opgave 5.28 Givet en flade, der er graf for en funktion af to variable, og et punkt P på fladen. Hvad er ligningen for tangentplanen i P?

Opgave 5.29 a) Hvad er definitionen på et stationært punkt? b) Argumenter for, at ekstrema er stationære punkter. c) I teorien for funktioner af én variabel har vi begrebet et vendepunkt. Hvad karakteriserer et vendepunkt? Hvad er det tilsvarende begreb i teorien for funktioner af to variable?

Opgave 5.30 a) Hvad forstås ved de dobbelt afledede og de blandede afledede? b) Hvordan er notationen? (dvs.: Hvordan skrives de dobbelt afledede?) c) Giv eksempel på beregning af de dobbelt afledede og de blandede afledede. d) I mange situationer takler man blot om den blandede afledede. Hvorfor gør man det, og hvad er det for situationer?

Opgave 5.31 a) Hvad menes med formuleringen: Bestem arten af de stationære punkter? b) Hvordan løses en sådan opgave med hjælp fra grafiske metoder? c) N år arten af de stationære punkter skal bestemmes ved beregning, udregnes en særlig størrelse, der i formelsamlingen hedder r · t – s2. Hvad står symbolerne r, t og s for, og hvordan kan denne størrelse hjælpe med at bestemme, om der er maksimum, minimum eller saddelpunkt?

99 Hvad er matematik? 3, opgavebog

5.3 Funktioner af to variable og deres grafer

Opgave 5.32 En funktion f af to variable har forskriften

f(x,y) = x3 · y – 3 · x · y + x · y2.

Bestem koordinaterne til det punkt på grafen, der ligger lodret over Q(2,2).

Opgave 5.33 En funktion f er givet ved f(x,y) = 4x + y2 + x · y. Tegn grafen for f i grafvinduet [−5;5] × [ −5;5] × [ −20;70]. (Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

Opgave 5.34 En funktion f af to variable er givet ved

f(x,y) = 3 – ln(x2 + y2 + 1)

a) Tegn grafen for f i [−5;5] × [ −5;5] × [ −5;5] .

Opgave 5.35 Tegn graferne for funktionerne:

a) f(x,y) = x2 + y2 + x · y2 + x2 · y.

b) f(x,y) = x · y · ex+y

c) f(x,y) = 0,1 · y2 + ln(x2 + 1)

d) f(x,y) = 2 · x2 – 3 · x · y + 4 · y2 – 5

Opgave 5.36 I 2001 fandt amerikanske og canadiske forskere, at sammenhængen mellem den oplevede temperatur og den aktuelle temperatur ved forskellige vindhastigheder, det såkaldte ”windchill indeks”, kan beskrives ved

f(t,v) = 13,3 + 0,62 · t – 13,95 · v0,16 0 0,486 · t · v0,16

hvor f(t,v) er ”windchill indekset” (målt i ºC), t er den aktuelle målte temperatur (målt i ºC), og v er vindhastigheden (målt i m/s).

100 Hvad er matematik? 3, opgavebog

5. Funktioner af to variable

a) Bestem f(–5,20) og forklar betydningen af værdien. b) B estem den vindhastighed, der ved en temperatur på –3º C giver et ”windchill indeks” på –10º C. Kilde: www.dmi.dk (Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

5.4 Snitfunktion og snitkurve Opgave 5.37 Bestem snitkurver for funktionerne, når x = 1 henholdsvis y = 2 :

a) f(x,y) = x2 + y2 + x · y2 + x2 · y.

b) f(x,y) = x · y · ex+y

c) f(x,y) = 0,1 · y2 + ln(x2 + 1)

d) f(x,y) = 2 · x2 – 3 · x · y + 4 · y2 – 5

Opgave 5.38 En funktion f af to variable er givet ved f ( x, y ) =

2x ⋅ y x +1 2

a) Tegn grafen for f.

b) Bestem forskriften for snitfunktionen til f, når y = 4.

c) L øs ligningen f(x,4) = 1, og forklar den grafiske betydning af løsningerne.

(Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

Opgave 5.39 En funktion f af to variable er givet ved f(x,y) = 3 – ln(x2 + y2 +1)

a) Bestem forskriften for den snitfunktion h(x), hvor y = 1.

b) Bestem forskriften for den snitfunktion g(y), hvor x = 2.

c) Tegn graferne for snitfunktionerne, og undersøg grafisk, om h og g har ekstrema.

101 Hvad er matematik? 3, opgavebog

5.5 Niveaukurver og højdekurver Opgave 5.40 En funktion f er givet ved

f(x,y) = x2 + (y – 1) 2 – 3.

a) Argumentér for, at niveaukurven f(x,y) = 6 er en cirkel.

b) Bestem de værdier af k, hvor ligningen f(x,y) = k ikke har nogen løsning.

(Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

Opgave 5.41 En funktion f af to variable er givet ved

f ( x, y ) =

x2 + y2 + 2x + 2

a) Tegn grafen for f .

b) Bestem en ligning for niveaukurven svarende til f(x,y) = 3.

c) Gør rede for, at niveaukurven er en cirkel, og bestem centrum og radius i cirklen.

d) For hvilke værdier af k har ligningen f(x,y) = k ingen løsning?

5.6 Differentiation af funktioner af to variable Opgave 5.42

Bestem de partielle afledede af funktionerne:

a) f(x,y) = x2 + y2 + x · y2 + x2 · y.

b) f(x,y) = x · y · ex+y

c) f(x,y) = 0,1 · y2 + ln(x2 + 1)

d) f(x,y) = 2 · x2 – 3 · x · y + 4 · y2 – 5

Opgave 5.43 En funktion f af to variable har forskriften

f(x,y) = x2 · y – 3 · x · y + x · y2.

 Vi ønsker at bestemme den retningsafledede i P (2,2,f(2,2)) i retningen r =  1 .  1 a) Vis, at den tilsvarende snitfunktion er: fr ( t ) = 2 ⋅ t 3 + 9 ⋅ t 2+ 12 ⋅ t + 4 . 3 b) Benyt fr ( t ) = til 2at⋅ tbestemme retningsafledede af f i P. + 9 ⋅ t 2+ 12den ⋅t+4

102 Hvad er matematik? 3, opgavebog

5. Funktioner af to variable

Opgave 5.44 En funktion f af to variable har forskriften f(x,y) = 4 x2 – 3 · ln(y). Vi ønsker at bestemme den retningsafledede i punktet P(0,2) i xy-planen  i retningen r =  0 .  1

a) Vis, at den tilsvarende snitfunktion er: fr ( t ) = 2–3 ln(t ⋅ t·3 + 9 ⋅ +t 22). + 12 ⋅ t + 4

3 b) Benyt fr ( t ) = til 2at⋅ tbestemme retningsafledede af f i P. + 9 ⋅ t 2+ 12den ⋅t+4

c) Bestem gradienten for f i P.

 d) Kontroller, at den retningsafledede i P i r 's retning bliver den samme  med formlen: ∇f(0,2) r .

e) T egn grafen for f, og gør rede for, hvad den retningsafledede og gradienten fortæller om grafens forløb.

Opgave 5.45 En funktion f er givet ved

f(x,y) = 4x + y2 + x · y .

a) B estem gradienten for f i punktet P (1,3,f(1,3)), og forklar, hvad gradienten fortæller om grafens stejlhed i punktet P.

(Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

Opgave 5.46 I en model kan overfladearealet af en menneskekrop beskrives ved

A(m,h) = 0,007184 · m0,425 · h0,725

hvor A(m,h) er personens overfladeareal (målt i m2), m er personens vægt (målt i kg) og h er personens højde (målt i cm). En bestemt person vejer 67 kg og er 170 cm høj.

a) Bestem personens overfladeareal.

b) Tegn grafen for A sammen med punktet P ( 67,170,A(67,170)).

c) Bestem Am (67,170), og forklar betydningen af tallet.

Kilde: http://www-users.med.cornell.edu/~spon/picu/calc/bsacalc.htm (Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

103 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 5.47 Prisen for kørsel med taxa i en given by er givet ved P(x,y) = 8x + 6y + 35 hvor P(x,y) er den samlede pris (målt i kr.), x er den kørte afstand (målt i km) og y er tiden turen tager (målt i minutter).

a) Forklar betydningen af tallene 8, 6 og 35 i forskriften for P.

En bestemt tur kostede 185 kr. og tog 10 minutter.

b) Bestem, hvor langt taxaen kørte.

c) Bestem de partielt afledede, og forklar betydningen af de to tal.

(Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

Opgave 5.48 I en model for overskuddet fra produktionen af et bestemt produkt i en virksomhed er overskuddet som funktion af antal arbejdstimer og investering i maskiner bestemt ved

f(x,y) = 100 · x0,6 · y0,4 – 250 · x – 0,1 · y

hvor f(x,y) betegner overskuddet (målt i kr.), x betegner antallet af arbejdstimer (målt i timer), og y betegner investeringen i maskiner (målt i kr.).

a) B estem overskuddet fra produktionen, når der bruges 2000 arbejdstimer, og der investeres 100 000 kr. i maskiner.

b) B estem gradienten for f, når x = 2000 og y = 100 000, og giv en fortolkning af denne. (stx A maj 2019)

5.7 Tangentplan Opgave 5.49 En funktion f af to variable har forskriften f(x,y) = x2 · y + 4 · x · y – x · y2.

a) Bestem gradienten for f i punktet P (–2,3,f(–2,3)).

b) Bestem en ligning for tangentplanen til grafen for f i punktet P (–2,3,f(–2,3)).

104 Hvad er matematik? 3, opgavebog

5. Funktioner af to variable

Opgave 5.50 En funktion f af to variable har forskriften f ( x, y ) =

ex . 2 y +1

a) Bestem fx ′( 0,1) og fy ′( 0,1).

b) Bestem en ligning for tangentplanen til grafen for f i punktet P ( 0,1,f(0,1)).

(Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

Opgave 5.51 En funktion f af to variable har forskriften f(x,y) = x · e –y. Bestem ligningen for tangentplanen til f i punktet P (2,0,f(2,0)).

Opgave 5.52 En funktion f er givet ved f(x,y) = x4 + p · x2 · y + q · y2 – 8y, hvor p og q er konstanter.

a) Bestem konstanterne p og q, så ∇f (2,1) =  28 .  

b) Bestem en ligning for tangentplanen til grafen for f i punktet P (2,1,f(2,1)).

−8

(Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

5.8 – 5.9 E kstrema og arten af stationære punkter Opgave 5.53 For en funktion f af to variable oplyses, at fxx ′′(x,y) = 6x fyy′′(x,y) = 24y2 fxy ′′(x,y) = 0. Det oplyses, at P(2,–1,8) er et stationært punkt for f. Bestem arten af P. (Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

105 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 5.54 En funktion f af to variable har forskriften f(x,y) = x2 + y4 + exy. Gør rede for, at f har saddelpunkt i P(0,0,1).

Opgave 5.55 Gør rede for, at

a) f(x,y) = ln(x2 + y2 + 1) – 3, har et minimum, og bestem minimumsværdien.

b) f(x,y) = 2 – x2 + y2, har et saddelpunkt, og bestem funktionsværdien i punktet.

c) f(x,y) = 3 – x2 – y2 – 0,2 · ex · y, har et maksimum, og bestem maksimumværdien.

Opgave 5.56 Bestem de stationære punkter for hver af funktionerne, og kontroller, om det stemmer med grafen:

a) f(x,y) = x2 + y2 + x · y2 + x2 · y

b) f(x,y) = x · y · ex + y

c) f(x,y) = 0,1 · y2 + ln(x2+ 1)

d) f(x,y) = 2 · x2 – 3 · x · y + 4 · y2 – 5

Opgave 5.57 En funktion f af to variable er bestemt ved

f(x,y) = x3 – 3x · y + y3 a) Bestem

∂f ∂x

∂f . ∂y

Det oplyses, at grafen for f har netop to stationære punkter.

b) Bestem arten af hvert af de to stationære punkter.

(Vejledende eksamensopgaver A1)

Opgave 5.58 Funktionen f er givet ved x⋅y f ( x, y ) = . x2 + y4 + 1

a) Bestem de dobbelt afledede og den blandede afledede af f.

b) Bestem de stationære punkter for funktionen f.

c) Bestem arten af de stationære punkter for f.

(Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

106 Hvad er matematik? 3, opgavebog

5. Funktioner af to variable

Opgave 5.59 Funktionen f er givet ved

f(x,y) = ex · y2. a) Argumentér for, at funktionen f ikke har nogle stationære punkter.

(Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

Opgave 5.60 En funktion f af to variable har forskriften

f(x,y) = x2 · y + 4 · x · y – x · y2.

a) Bestem de stationære punkter for f.

b) Bestem de dobbelt afledede og den blandede afledede af f.

c) Benyt de dobbelte afledede til at bestemme arten af de stationære punkter for f.

d) Tegn grafen, og kontroller, at resultaterne fra c) passer med grafen.

Opgave 5.61 Skelettet til en kasse består af 12 tynde rør. Den totale længde rør, der benyttes til at konstruere kassen, er 500 cm. Det oplyses, at kassens overfladeareal A er givet ved

A(x,y) = 250x + 250y – 2x2 – 2y2 – 2x · y,

hvor x og y er sidelængderne på kassens bund (målt i cm).

a) B estem overfladearealet for den kasse, hvor bunden har sidelængderne 20 cm og 30 cm.

b) Bestem de dobbelt afledede og den blandede afledede for A.

y x

Det oplyses, at sidelængderne x og y højest kan være 100 cm.

c) Bestem kassens maksimale overfladeareal.

(Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

Opgave 5.62 En funktion f af to variable har forskriften

f ( x, y ) =

x2 + y2 + x + 3 .

a) Bestem de dobbelt afledede af f.

b) Benyt de dobbelte afledede til at rede gøre for, at f har globalt minimum.

c) Bestem den eksakte værdi af det globale minimum.

107 Hvad er matematik? 3, opgavebog

5.10 Blandede opgaver og Udfordrende opgaver Opgave 5.63

En funktion f af to variable har forskriften

f ( x, y ) =

6x . x⋅y+3

a) Tegn grafen for f.

b) Bestem

∂ ∂x

f ( x, y ) og

∂ ∂y

f ( x, y ).

(Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

Opgave 5.64 En funktion f af to variable har forskriften f(x,y) = 4 – x2 + 2 · x · y – 3y2.

b) Bestem gradienten for f.

c) Bestem en ligning for tangentplanen til grafen for f i punktet P ( 0,2,f(0,2)).

d) Tegn grafen for f sammen med tangentplanen i P.

e) B estem funktionsværdien og gradienten i Q(0,0) i xy-planen, og overvej betydningen af de to resultater.

5 5 –5

Figuren viser en model af en vandrutsjebane indtegnet i et koordinatsystem med enheden meter.

–10

a) Bestem de partielle afledede for f.

Opgave 5.65

I modellen er overfladen af vandrutsjebanen grafen for funktionen f givet ved f(x,y) = 0,3 · e0,125x + 12,1 · e –0,125x –3 + y2, 0 ≤ x ≤ 20 og –2 ≤ y ≤ 2, hvor f(x,y) er vandrutsjebanens højde over jordoverfladen.

Punktet A er givet ved ( 0,0,f(0,0)), og punktet B er givet ved x 10 15 (20,0,f(20,0)). 20

a) Bestem, hvor højt punktet A er placeret over jordoverfladen.

Den krumme kant l af vandrutsjebanen fra A til B fremkommer i modellen som snitkurven for f i x-retningen, når y = 0

b) Bestem forskriften for snitkurven som funktion af x.

c) Bestem længden af snitkurven.

(Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

108 Hvad er matematik? 3, opgavebog

5. Funktioner af to variable

Opgave 5.66 En funktion f er givet ved f(x,y) = 2y3 – 3x2 + k · y + 18x + 16, hvor k er en konstant. Det oplyses, at P (3,2,f(3,2)) er et stationært punkt for f.

a) Bestem konstanten k.

b) Bestem arten af det stationære punkt P.

(Vejledende enkeltopgaver stx A, 2019)

Opgave 5.67 En funktion f af to variable har forskriften f(x,y) = x4 – 2 · x · y2 + 6 · x · y.

a) Bestem de partielle afledede af f.

b) Bestem gradienten for f i punktet P(1,0).

 c) Benyt sætning 5 til at bestemme den retningsafledede i P i retningen r =  3  .  −1

d) Bestem koordinatsættene til de to punkter P1 og P2 på grafen for f, hvori f har saddelpunkter.

Funktionen har endnu et stationært punkt P3.

e) B estem arealet af den trekant, der udspændes af de tre punkters projektioner på xy-planen.

Opgave 5.68 En rende med skrå sider fremstilles af en rektangulær blikplade ved at bukke pladen i begge sider, så rendes tværsnit har form som et trapez (se figur). Blikpladens længde og bredde er 1 meter. Pladen bukkes, og længden af ’ombukket’ betegnes x, mens ’ombukningsvinklen’ betegnes v.

x v

a) Overvej, hvilke værdier x og v kan antage i praksis.

b) Bestem trapezets højde udtrykt ved x og v.

c) Bestem længden af hver af trapezets to parallelle sider udtrykt ved x og v.

d) Opstil et udtryk for tværsnitsarealet som funktion af x og v.

e) Bestem rendens højde og bredde, så tværsnitsarealet bliver størst muligt.

x v

109 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 5.69 En fabrik producerer to modeller af en bestemt vare – en standardudgave og en luksusudgave. Det koster 500 kr. at fremstille standardmodellen og 750 kr. at fremstille luksusmodellen. Undersøgelser viser, at når salgsprisen for standardmodellen er x kr., og salgsprisen for luksusmodellen er y kr., så bliver der solgt 500 · (y – x) standardmodeller og 4500000 + 500 · (x – 2y) luksusmodeller. Hvordan skal fabrikken fastsætte priserne på hver af de to varer for at opnå den største fortjeneste?

Opgave 5.70 To virksomheder A og B producerer hver sin udgave af en bestemt vare, og de konkurrerer om at sælge varen på det samme marked. En forøgelse i produktionen hos virksomhed A fører derfor til nedgang i indtægterne hos virksomhed B. Hvis virksomhed A producerer x enheder pr. måned, og virksomhed B producerer y enheder pr. måned, er de månedlige fortjenester i kr. givet ved:

1 2

1 4

1 2

1 6

FA ( x, y ) = 12000 ⋅ x − ⋅ x 2 − ⋅ y 2 FB ( x, y ) = 12000 ⋅ y − ⋅ y 2 − ⋅ x 2

a) Bestem de partielle afledede for hver af de to funktioner.

b) Bestem gradienten for hver af de to funktioner.

Det oplyses, at hvis de to virksomheder samarbejder, så opnås det optimale produktionsniveau, når summen af gradienterne er nulvektor (overvej!).

c) Bestem i dette tilfælde den maksimale fortjeneste for hver af de to virksomheder.

Opgave 5.71

Bredden af hønsegården betegnes med x, længden betegnes med y, og højden betegnes med h. Det oplyses, at det samlede areal af trådnettet er 48 m2.

En kasseformet hønsegård skal indhegnes med trådnet. Hønsegården er placeret langs en mur, så en del af muren udgør hønsegårdens ene side. Den del af hønsegården, der skal indhegnes med trådnet, består således af bunden, toppen og tre sider.

a) G ør rede for, at voluminet V af hønsegården som funktion af x og y er bestemt ved V ( x, y ) = xy ⋅

48 − 2 xy , 2x + y

110 Hvad er matematik? 3, opgavebog

5. Funktioner af to variable

hvor V(x,y) betegner voluminet af hønsegården (målt i m3 ) med bredde x (målt i m) og længde y (målt i m). b) Tegn grafen for V i grafvinduet [0;20] × [0;20] × [0;35].

Det oplyses, at P(2,4,32) er et stationært punkt for V.

c) Bestem arten af P, og forklar, hvad P og arten af P fortæller om hønsegården.

Opgave 5.72 En funktion f af to variable er bestemt ved

f(x,y) = 0,1 · x2 – 0,8 · x + 0,1 · y2. a) Tegn grafen for f.

I en model har lampeskærmen til en bestemt standerlampe form som en del af grafen for f. I modellen er lampen monteret på en stang i punktet P(0,0,0). Stangens endeflade i monteringspunktet P er en del af tangentplanen α til grafen for f i P.

b) Bestem en ligning for α.

Den cirkulære ydre kant af lampen kan i modellen beskrives som niveaukurven, der er givet ved f(x,y) = 0,9.

P z y

c) Bestem radius i denne cirkel.

111 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Anden ordens differentialligninger (supplerende stof)

0. Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 6 . . . 112 2. Introduktion til anden ordens differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3. Analytisk løsning af lineære anden ordens differentialligninger . . . . . . . 121 4. Øvrige anvendelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5. Koblede differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.0 Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 6 Opgave 6.1 Den engelske matematiker og ingeniør Frederick W. Lanchester lancerede i 1916 den differentialligningsmodel, der siden blev opkaldt efter ham. Hvad var det han ønskede at modellere?

Opgave 6.2 Lanchester havde studeret en række af krigshistoriens store slag som grundlag for sin model. Særligt et slag, der havde stor betydning for det engelske imperium spillede en rolle i hans forarbejder. Hvad var det for et slag, og hvad var det ved slaget, der især optog Lanchester?

Opgave 6.3 a) O pstil den generelle Lanchester-model, og forklar, hvorfor koblede differentialligninger volder særlige problemer ift. almindelige differentialligninger. b) F orklar med dine egne ord, hvad det er for en situation, Lanchesters lineære model beskriver. c) F orklar med dine egne ord, hvad det er for en situation, Lanchesters kvadratiske model beskriver. d) Hvis du har gennemgået hele kapitlet, specielt øvelse 6.36 og 6.37 (s. 306, HEM 3), så redegør for de to betegnelser: lineære model og kvadratiske model.

112 Hvad er matematik? 3, opgavebog

6. Anden ordens differentialligninger (supplerende stof)

Opgave 6.4 Giv et kort resume af situationen i 2. Verdenskrig i foråret 1941.

Opgave 6.5 a) G iv et kort resume af udviklingen i operation Barbarossas første år, eksemplificeret med situationen i og omkring Leningrad, Moskva, Stalingrad og Kaukasus. b) Hvad var Nazi-Tysklands strategiske mål med Kursk-slaget? c) Giv et kort resume af udviklingen i slaget over de 14 dage, det varede.

Opgave 6.6 På s. 276 (HEM 3) er opstillet en stor tabel over udviklingen i slaget målt på en række parametre.

a) Hvor stammer data fra?

b) D er er tre kategorier af data, hvoraf den ene, FCUD, er gengivet i bogen, de to øvrige, ACUD og CCUD, findes på bogens website. Forklar, hvad forkortelserne står for, og hvad der ligger bag hver af disse kategorier.

Opgave 6.7 a) I vurderingen af styrkeforholdet udregnes et samlet mål. Hvordan foretages dette? b) Denne vurdering indeholder et subjektivt element, så hvorfor gøres det mon?

Opgave 6.8 a) I øvelse 6.4 (s. 278, HEM 3) har vi i punkt a) valgt at skitsere grafiske forløb, hvor den uafhængige variable er produktet af de variable x og y. Hvad kan begrunde dette valg?

Opgave 6.9 a) I Lanchesters lineære model indgår to parametre, a og b. Hvordan estimeres disse? b) H vordan kan disse parameterværdier anvendes til at sammenligne den teoretiske model med de empiriske data?

Afsnit 6.2 – 6.5 Opgave 6.10 Den klassiske mekanik beskriver, hvorledes legemer bevæger sig, og hvordan de vekselvirker med hinanden. Den grundlæggende naturlov i den klassiske mekanik er Newtons 2. lov. Hvad siger denne, og hvorfor er det, at den giver anledning til 2. ordens differentialligninger?

113 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 6.11 a) Opskriv den generelle form for en lineær 2. ordens differentialligning. b) Hvad menes med begreberne homogen og inhomogen differentialligning? c) Giv en begrundelse for, at differentialligningen kaldes for lineær.

Opgave 6.12 Som hjælpeformler i løsningen af 2. ordens differentialligninger, anvendes: • produktreglen for differentiation, • reglen for sammensat differentiation, • monotonisætningen. Forklar, hvad hver enkelt går ud på.

Opgave 6.13 a) Opstil den fuldstændige løsning til y ′′= k 2 · y. b) Hvad forstås ved en partikulær løsning? c) Hvad menes med at ”gøre prøve”? d) Gør selv prøve med den løsning, du har opstillet!

Opgave 6.14 a) Hvad er den røde tråd i beviset for løsningsformlen til y ′′= k 2 · y? b) I beviset ganges på et tidspunkt med en såkaldt integrationsfaktor. Hvad er ideen hermed? c) F or at kunne anvende produktreglen adderes og subtraheres samme led. Hvordan ræsonnerer vi os til, hvad dette led er? d) Demonstrer omskrivningen, hvor produktreglen anvendes. e) Demonstrer, hvorledes ligningen til sidst omskrives til en 1. ordens differentialligning.

Opgave 6.15 I løsningsformlen indgår to parametre. Hvad kræves der for at bestemme disse tal?

Opgave 6.16 Prototypen på et fænomen, der beskrives med differentialligningen y ′′= k 2 · y, er kædelinjen.

a) Hvad er en kædelinje?

b) Hvilke kræfter virker i et bestemt punkt af en ophængt kædelinje?

114 Hvad er matematik? 3, opgavebog

6. Anden ordens differentialligninger (supplerende stof)

Opgave 6.17

   a) Begrund den vektorligning, F1 + F2 + F3 = 0 , der er givet s. 285 (HEM 3). b) Tyngdekraftens størrelse angives som s · g. Hvad er s?

Opgave 6.18 I opstillingen af differentialligningen for kædelinjen anvendes formlen for en tangents vinkel, α med vandret: tan( α ) = f ′(x). Begrund denne formel.

Opgave 6.19 Argumenter ud fra tegningen s. 285 og den foregående opgave for differentialg ligningen: y ′ =  ⋅ s . |F |

Opgave 6.20 a) Hvad er formlen for længden af et stykke af en graf? b) I øvelse 6.10 (s. 286, HEM 3) anvendes analysens hovedsætning på denne formel. Hvad siger denne sætning?

Opgave 6.21 I øvelse 6.11 (s. 286, HEM 3) foretages i punkt c) en substitution. Hvad menes hermed, og hvorfor gør vi det? Er det en teknik, du har mødt før?

Opgave 6.22 a) Opstil den fuldstændige løsning til y ′′= –k 2 · y. b) Hvad forstås ved en partikulær løsning? c) Hvad menes med at ”gøre prøve”? d) Gør selv prøve med den løsning, du har opstillet!

Opgave 6.23 a) Hvad er den røde tråd i beviset for løsningsformlen til y ′′= –k 2 · y? b) I beviset ganges på et tidspunkt med en såkaldt integrationsfaktor. Hvad er ideen hermed? c) F or at kunne anvende produktreglen adderes og subtraheres samme led. Hvordan ræsonnerer vi os til, hvad dette led er? d) Demonstrer omskrivningen, hvor produktreglen anvendes. e) Demonstrer hvorledes ligningen til sidst omskrives til en 1. ordens differentialligning.

115 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 6.24 I afslutningen af beviset for sætning 2 anvendes lige store koefficienters metode til at løse to ligninger med to ubekendte. Hvad går metoden ud på? Hvad er de to ubekendte?

Opgave 6.25 I løsningsformlen indgår to parametre. Hvad kræves der for at bestemme disse tal?

Opgave 6.26 Prototypen på et fænomen, der beskrives med differentialligningen y ′′= –k 2 · y, er frie udæmpede fjedersvingninger, der følger Hookes lov.

a) Hvad siger denne lov?

b) L øsningsformlen giver en sum af to svingninger. I eksemplet s. 290-91 (HEM 3) foretages en omskrivning til én harmonisk svingning. Hvad er den grundlæggende ide i denne omskrivning?

c) U ndervejs i omskrivningen anvendes en formel, der knytter skalarproduktet mellem to vektorer sammen med vinklen mellem dem. Hvad er det for en formel?

d) Hvis løsningsformlen giver os y = c1 · cos(k · x) + c2 · sin(k · x), hvad bliver da amplituden af den harmoniske svingning?

(hint: praxisboksen s. 291, HEM 3)

Opgave 6.27 Redegør for, hvad der forstås ved fænomenerne: • frie udæmpede fjedersvingninger (s. 292f), • frie dæmpede fjedersvingninger (s. 295ff), • tvungne svingninger (s. 300ff)

Opgave 6.28 I løsningen af den generelle lineære anden ordens differentialligning opstilles det såkaldte karakteristiske polynomium.

a) Hvad er dette?

b) H vilken rolle spiller diskriminanten (positiv, 0 eller negativ), og de eventuelle rødder i polynomiet, når vi skal løse en lineær anden ordens differentialligning?

(hint: s. 293-94, HEM 3)

116 Hvad er matematik? 3, opgavebog

6. Anden ordens differentialligninger (supplerende stof)

Opgave 6.29 Hvad menes med udtrykket: ”Linearkombinationer er også løsninger”?

Opgave 6.30 a) Hvad forstår vi ved en partikulær løsning? b) Kontroller, at du kan bestemme partikulære løsninger med dit værktøjsprogram. Opgave 6.31 For de frie, dæmpede svingninger skelner vi mellem tre typer: • overdæmpning • kritisk dæmpning • almindelig dæmpet svingning

a) Hvad er det i løsningsformlen, der bestemmer typen?

b) Skitser for hver af de tre et muligt grafisk forløb.

Opgave 6.32 a) H vad er sammenhængen mellem løsninger til en inhomogen ligning og til den tilsvarende homogene ligning? b) Hvad menes med at ”anvende gættemetoden”? (hint: s. 298, HEM 3 – se QR-koden)

Opgave 6.33 a) Hvad er et matematisk pendul? b) I den endelige differentialligning bliver sin( θ ) erstattet med θ. Hvad er argumentet for det?

Opgave 6.34 a) H vad forstår vi ved et mekanisk systems egensvingning og ved systemets egenfrekvens? (hint: praxisboksen s. 297 og s. 300f, HEM 3) b) F orklar, hvad det er for en situation, hvor små påtvungne svingninger kan udvikle sig til en katastrofe. (hint: Inddrag begrebet resonans).

Opgave 6.35 I øvelse 6.28 (s. 301, HEM 3) punkt b) kan vi læse argumentet: ”Da dette skal gælde for alle t, må første parentes være lig med ...”. Redegør for, hvorfor vi kan argumentere på den måde.

117 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 6.36 I øvelserne 6.29-6.33 (s. 302-303, HEM 3) er den bærende ide, at vi undersøger amplituden som en funktion. Hvad er den uafhængige variabel? Hvorfor kan denne metode udpege, hvor katastrofen indtræffer?

Opgave 6.37 I afsnit 5.1 (s. 304, HEM 3) foretages en sammenligning mellem anden ordens differentialligninger og koblede differentialligninger. Hvad er metoden i omskrivningen fra den første type til den anden og omvendt fra den anden type til den første?

Opgave 6.38

a) I øvelse 6.36 og 6.37 (s. 306, HEM 3) argumenteres for, hvorfor Lanchesters lineære og kvadratiske modeller har fået disse navne. Giv et resume af argumenterne. b) Hvad er et faseplot?

6.2 Introduktion til anden ordens differentialligninger Opgave 6.39 Undersøg, om funktionen:

f(x) = x4

er en løsning til differentialligningen: yy′′″==

20 x2

⋅y

Opgave 6.40 Vis, at funktionen:

f(t) = 3e2t + 4e3t

er en løsning til

y ″– 5y ′+ 6y = 0

Opgave 6.41 a) Vis, at funktionerne

f1(t) = e2t og f2 (t) = t · e2t begge er løsninger til differentialligningen

y ″– 4y ′+ 4y = 0

118 Hvad er matematik? 3, opgavebog

6. Anden ordens differentialligninger (supplerende stof)

b) Vis, at alle funktioner på formen

g(t) = a · e2t + b · t · e2t er løsninger til differentialligningen

y ″– 4y ′+ 4y = 0

Opgave 6.42 a) Vis, at funktionerne

−t

f1( t ) = e 2 ⋅ cos( 32 ⋅ t ) og f2 ( t ) = e 2 ⋅ sin( 32 ⋅ t ) begge er løsninger til differentialligningen

2y ″+ 2y ′+ 5y = 0

b) Vis at alle funktioner på formen −t

−t

g( t ) = a ⋅ e 2 ⋅ cos( 32 ⋅ t ) + b ⋅ e 2 ⋅ sin( 32 ⋅ t ) er løsninger til differentialligningen

2y ″+ 2y ′+ 5y = 0

Opgave 6.43 Undersøg, om funktionen:

f(x) = 2x2 · in(x)

er en løsning til differentialligningen: 4 yy′′′′″− –− 33 ⋅·⋅ yy′′′++ 422 ⋅⋅·yyy===000 xx

Opgave 6.44 a) Vis, at i intervallet ]0;∞[ er begge funktioner:

f1( x ) =

x og f2 ( x ) =

1 x

løsninger til:

2x2 · y ″+ 3x · y ′– y = 0

b) Vis, at alle funktioner på formen

g( x ) = a ⋅ x + b ⋅

1 x

er løsninger til differentialligningen.

c) Bestem en løsning til begyndelsesværdiproblemet:

2x2 · y ″+ 3x · y ′– y = 0, og y(1) = 0 y ′(1)= 3

119 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 6.45 Undersøg, om funktionen:

u(t) = 1 + t

er en løsning til begyndelsesværdiproblemet: (1 – 2t – t2)u ″= –2(1 + t)u ′ + 2u , u(0) = 1 og u ′(0) = 1

Opgave 6.46 Vis, at funktionen:

f(t) = 9e –2t – 7e –3t

er en løsning til begyndelsesværdiproblemet

y ″+ 5y ′+ 6y = 0, y(0) = 2 og y ′(0) = 3

Opgave 6.47 a) G ør rede for, at hvis man indsætter et andengradspolynomium y = a ⋅ x2 + b ⋅ x + c i venstresiden af differentialligningen y ″+ y ′– 6y = –6x2 + 26x –8, så reducerer venstresiden til et andengradspolynomium. b) G ør rede for, at koefficienterne a, b og c kan tilpasses, så andengradspolynomiet p(x) = a ⋅ x2 + b ⋅ x + c er en løsning til differentialligningen y ″+ y ′– 6y = –6x2 + 26x – 8, og angiv forskriften for det specifikke andengradspolynomium, der løser differentialligningen.

Opgave 6.48 a) B estem til hvert af de følgende fire differentialligninger koefficienterne til andengradspolynomiet a ⋅ x2 + b ⋅ x + c, så det er en løsning til differentialligningen

1) y ″+ y = x2 2) y ″= x2 + 4y

3) y ″– 2y ′+ y = x2

4) y ″– 2x ⋅ y ′+ y = x2 + 2x

Opgave 6.49 a) G ør rede for, at hvis man indsætter en harmonisk svingning på formen y = a ⋅ cos(x) + b ⋅ sin(x) i venstresiden af differentialligningen y ″+ y ′– 6y = cos(x) – 7 ⋅ sin(x), så reducerer venstresiden til en harmonisk svingning. b) G ør rede for, at koefficienterne a og b kan tilpasses, så den harmoniske svingning s(x) = a ⋅ cos(x) + b ⋅ sin(x) er en løsning til differentialligningen y ″+ y ′– 6y = cos(x) – 7 ⋅ sin(x) og angiv forskriften for den specifikke harmoniske svingning, der løser differentialligningen.

120 Hvad er matematik? 3, opgavebog

6. Anden ordens differentialligninger (supplerende stof)

Opgave 6.50 a) G ør rede for, at hvis man indsætter en eksponentiel linearkombination på formen y = a ⋅ e2x + b ⋅ e –2x i venstresiden af differentialligningen y ″+ 3y ′– 4y = e2x – 4 ⋅ e –2x, så reducerer venstresiden til en eksponentiel linearkombination af samme type. b) G ør rede for, at koefficienterne a og b kan tilpasses, så den eksponentielle linearkombination g(x) = a ⋅ e2x + b ⋅ e –2x er en løsning til differentialligningen y ″+ 3y ′– 4y = e2x – 4 ⋅ e –2x, og angiv forskriften for den specifikke eksponentielle linearkombination, der løser differentialligningen.

6.3 A nalytisk løsning af lineære anden ordens differentialligninger Opgave 6.51 Bestem den løsning til differentialligningen y ″– 0,25y = 0 der opfylder, at grafen går igennem A(0,1) og i punktet A har en tangent med hældningen 1.

Opgave 6.52 a) Bestem den løsning til differentialligningen f ″(x) = 4f(x) der opfylder, at grafen går igennem (0,2) og (2,1). b) Tegn grafen for løsningen i et relevant grafvindue. c) Den funktion, der er løsning, har et minimum. Bestem dette.

Opgave 6.53 En funktion f er løsning til differentialligningen

y ″= (in(3)) 2 · y

a) B estem en forskrift for f, idet det oplyses, at grafen går igennem P(0,82) og Q(1,30)

b) Tegn grafen for f i et relevant grafvindue.

c) Bestem mindsteværdien for f.

121 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 6.54 En funktion f er løsning til differentialligningen

y ″= 9y

Grafen for f går gennem punktet P(13,e) og har vandret tangent i dette punkt.

a) Bestem en forskrift for f.

b) Bestem en stamfunktion til f.

Opgave 6.55 a) B estem den løsning til differentialligningen f ″(x) = –4f(x) der opfylder, at grafen går igennem P(0,2) og at tangenthældningen i punktet P er 5. b) Tegn grafen for løsningen i et relevant grafvindue. c) Opskriv løsningen som én harmonisk svingning. d) Bestem perioden. e) Bestem funktionens største og mindsteværdi.

Opgave 6.56 En funktion f er løsning til differentialligningen

1 9

yy''″= − ⋅ y

a) B estem en forskrift for f, idet det oplyses, at grafen går igennem P(0,5), og at tangenthældningen i punktet P er 1.

b) Tegn grafen for f.

c) Bestem største og mindsteværdi for f.

d) Opskriv løsningen som én harmonisk svingning.

y 5

Opgave 6.57

Differentialligningen

d y

2 1

–1 –2 –3 –4

= −2 y dx 2 har to løsninger, hvis grafer indeholder punktet O(0,0), x og som begge har størsteværdien 5 (se figur).

a) Bestem en forskrift for hver af de to løsninger.

b) B estem den eksakte værdi af arealet af det skraverede område.

–5

122 Hvad er matematik? 3, opgavebog

6. Anden ordens differentialligninger (supplerende stof)

Opgave 6.58 a) Bestem den løsning til differentialligningen

y ″+ 0,81y = 0 der opfylder, at grafen går igennem P(2,8), og at tangenthældningen i punktet P er 2.

b) Tegn grafen for løsningen i et relevant grafvindue. c) Opskriv løsningen som én harmonisk svingning.

Opgave 6.59 Bestem den løsning til differentialligningen

y ″(x) – 0,3y(x) = 0

der opfylder, at grafen går igennem P(1,6), og at tangenthældningen i punktet P er –2.

a) Tegn grafen for løsningen i et relevant grafvindue.

b) Bestem eventuelle lokale ekstrema (min og maks) for løsningen.

Opgave 6.60 En funktion f er den løsning til differentialligningen

d y dx 2

== −9y 2y

der opfylder, at f(0) = 6 og f ′(0) = 12.

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P ( 0,f(0)).

b) Bestem en forskrift for f.

c) G ør rede for, at funktionen g(x) = f(x) – 9x2 – 5 er en løsning til differential ligningen

d y dx 2

–= 9y −2 y= 81x2 + 27.

Opgave 6.61 En funktion f er den løsning til differentialligningen y ″– 16y = 0 (*)

a) Bestem en forskrift for f, idet det oplyses at f(0) = 3 og f ( 1 ) = 3e. 4

Om en anden funktion g oplyses, at g også er en løsning til differentialligningen (*). Endvidere oplyses, at punktet P(0,5) ligger på grafen for g, og at grafen for g har vandret tangent i P.

b) Bestem en forskrift for g.

123 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 6.62 a) B estem til differentialligningen y ″(x) + 2y ′(x) + y(x) = 0 løsningstypen ud fra det karakteristiske polynomium. b) B estem til differentialligningen et eksakt udtryk for den løsning, der opfylder, at grafen går gennem P(0,2) og i punktet P har tangenthældningen 0. c) Tegn grafen for løsningen i et relevant grafvindue. d) Bestem monotoniforhold og eventuelle lokale ekstrema for løsningen.

Opgave 6.63 a) Bestem til differentialligningen

y ″+ 2y ′– 3y = 0 løsningstypen ud fra det karakteristiske polynomium.

b) B estem til differentialligningen et eksakt udtryk for den løsning, der opfylder, at grafen går igennem (0,2) og i dette punkt har tangenthældningen 0. c) Tegn grafen for løsningen i et relevant grafvindue.

Opgave 6.64 a) Bestem til differentialligningen y ″(x) + 2y ′(x) + 2y(x) = 0 løsningstypen ud fra det karakteristiske polynomium. b) B estem til differentialligningen et eksakt udtryk for den løsning, der opfylder, at grafen går igennem (0,2) og i dette punkt har tangenthældningen 0. c) Tegn grafen for løsningen i et relevant grafvindue.

Opgave 6.65 a) Bestem den fuldstændige løsning til

y ″+ 5y ′+ 4y = 0

b) Bestem den partikulære løsning f, hvorom der gælder, at f(0) = –4 og f ′(0) = –2.

Opgave 6.66 a) Løs begyndelsesværdiproblemet 4y ″+ 4y ′+ 5y = 0, y(0) = 3 y ′(0) = 2 b) Tegn grafen for løsningen. c) Betegn løsningen f(t). Hvad er lim f (t)? t →∞

124 Hvad er matematik? 3, opgavebog

6. Anden ordens differentialligninger (supplerende stof)

Opgave 6.67 a) Løs begyndelsesværdiproblemet y ″+ 4y ′+ 4y = 0, y(0) = 1 y ′(0) = 3 b) Tegn grafen for løsningen. c) Betegn løsningen f(t). Hvad er lim f (t)? t →∞

Opgave 6.68

To af de fire grafer til højre repræsenterer partikulære løsninger til differentialligningerne:

1) y ″= 0,09y

2 10

2) y ″= –0,09y

x 10

–10

Argumenter for, hvilke der hører sammen uden at løse ligningerne. (hint: Se fx på krumningen af grafen.)

–10

–10 10

x 10 –10

–10

Opgave 6.69

o af de fire grafer til højre repræsenterer partikulære T løsninger til differentialligningerne: 1) y ″ + y ′– y = 0

2 10 y

10 y

2) y ″ – y ′+ y = 0

x 10 –10

–10

Argumenter for, hvilke der hører sammen uden at løse ligningen. ( hint: Find eksempelvis steder på grafen, hvor tangenthældningen eller funktionsværdien er lig med 0. Se på krumningen af grafen disse steder.)

–10

–10 10 y

10 y

x –10

–10

125 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 6.70 1

15 y

1) y ″ = 0,

2) y ″ = –2 + y, y(0) = 3, y ′(0) = –1

x 10 –10

–10

–5

–5 15

D e fire grafer til venstre repræsenterer løsningerne til differentialligningerne

15 y

x 10

–10

3) y ″ = 2 – y,

y(0) = 3, y ′(0) = –1

4) y ″ = 2 – y ′,

y(0) = 3, y ′(0) = –1

i vilkårlig rækkefølge. B estem hvilke grafer, der hører til hvilke differentialligninger uden at løse differentialligningerne.

y(0) = 3, y ′(0) = –1

( hint: Se på krumningen af graferne og sammenhold det med udtrykket for y ″)

–10 –5

–5

6.4 Øvrige anvendelser Opgave 6.71

Bevægelsen af en bestemt løbers arm kan beskrives ved differentialligningen

d y dx 2

=+ −9p 2 y2 · y = 0

hvor y angiver vinklen (målt i radianer) mellem overarmen og lodret, og t angiver tiden (målt i sekunder). Bestem y som funktion af t, når det oplyses, at y har maksimum

π 8

1 for t = .

126 Hvad er matematik? 3, opgavebog

6. Anden ordens differentialligninger (supplerende stof)

Opgave 6.72 En funktion f er løsning til differentialligningen

y ″ = 0,25y

(*)

a) Bestem en forskrift for f, idet det oplyses, at f(0) = 2 og f ′(0) = 0.

I bærende konstruktioner benyttede den spanske arkitekt Antonio Gaudi (1852-1926) ofte buer, der har form som grafer for funktioner af typen

h(x) = k – g(x)

hvor k er en positiv konstant, h ′(0) = 0 og g er en løsning til differentialligningen (*). For en bestemt bue gælder yderligere

h(2) = 0 og h ′(2) = –4 b) B estem for denne bue en forskrift for h, og bestem højden h(0) af denne bue.

Opgave 6.73 Et svingende system, hvor der påtrykkes en ydre kraft, der har sin egen svingningstid, kan meget forenklet beskrives ved en differentialligning af typen:

y ″ = –ω 02 · y + A · cos(ω · t)

hvor y angiver udsvinget fra ligevægt, t angiver tiden, ω 0 angiver systemets egen frekvens, og ω er frekvensen af den ydre påtrykte kraft. I grundbogens afsnit 4.2 undersøges i større detaljer, hvad der kan gå galt i konstruktionen af broer som Milleniumbroen over Themsen. Her vil vi rent matematisk undersøge, hvor følsom en sådan ligning kan være på størrelsen af de parametre, der indgår. I hvert af tilfældene, hvor der løses et begyndelsesværdiproblem, skal du illustrere løsningerne grafisk. Husk at regne i radianer.

a) B estem den fuldstændige løsning til differentialligningen

b) L øs begyndelsesværdiproblemet:

y ″ = – y + 2 · cos(3 · t)

y ″ = – y + 2 · cos(3 · t), y(0) = 0 og y ′(0) = 0 og illustrer løsningen grafisk.

c) S kru nu på parameteren A = 2, fx ved at give den værdier fra –5 til 5. Hvad sker der med løsningskurven?

d) Skru nu en af gangen på de to begyndelsesværdibetingelser. Hvad sker der med løsningskurven?

127 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Vi bemærker, at der ikke sker væsentlige ændringer i løsningskurvernes forløb i tilfældene ovenfor. Vi inddrager nu de øvrige parametre:

e) Løs begyndelsesværdiproblemet:

y ″ = – 4y + 2 · cos(2· t), y(0) = 0 og y ′(0) = 0 og illustrer løsningen grafisk.

Giv en sproglig beskrivelse af, hvad der sker, når t bliver meget stor.

f) Løs begyndelsesværdiproblemet:

y ″ = – 2,25y + 2 · cos(1,5 · t), y(0) = 0 og y ′(0) = 0

og illustrer løsningen grafisk.

Giv en sproglig beskrivelse af, hvad der sker, når t bliver meget stor.

Hvad er det fælles træk ved de to differentialligninger? Hvis du er i tvivl, kan du måske få en ide om svaret, ved at du i differentialligningen i a) ændrer koefficienten til y fra –1 til –9. Vi vil, nu undersøge, hvad der sker, hvis vi opstiller en differentialligning, der næsten følger samme mønster.

g) Løs begyndelsesværdiproblemet: y ″ = – 4y + 2 · cos(2,1 · t), y(0) = 0 og y ′(0) = 0

og illustrer løsningen grafisk. Vælg et grafrum hvor tiden løber til fx 100.

Giv en sproglig beskrivelse af det, du ser. Fænomenet kaldes ”stød”.

h) Opstil selv lignende differentialligninger, hvis grafiske billede viser stød, og skru selv på koefficienten til t.

6.5 Koblede differentialligninger Opgave 6.74 Omskriv følgende til et system af koblede differentialligninger:

a) y ″ – 2y ′– y = 0

b) y ″ – 3y ′+ 5y = 0

c) u ″ + u ′– 0,5u = 0

d) z ″ – 2z ′+ 3z = 0

Tegn retningsfelter (dvs. linjelementer tegnet som vektorpile, der angiver retningen for et gennemløb, når den uafhængige variable opfattes som tiden) for hvert af systemerne.

128 Hvad er matematik? 3, opgavebog

6. Anden ordens differentialligninger (supplerende stof)

Opgave 6.75 Omskriv følgende systemer af lineære koblede differentialligninger til andenordens differentialligninger:

 y ′= z a)  z ′= 3z – y 

 y ′= z b)  z ′= –2z – 2y 

 y ′= z c)  z ′= z – 2y 

 y ′= z d)  z ′= – y 

 y ′= z e)  z ′= 2z + y 

 y ′= z f)  z ′= 2z – y 

Opgave 6.76

a) Tegn retningsfelterne for de koblede systemer i opgave 6.77

I studiet af koblede systemer indgår begrebet ligevægtspunkt som et af de centrale. I et ligevægtspunkt er begge de afledede funktioner 0. Ligevægtspunkter kan være tiltrækkende (stabile) eller frastødende (ustabile), men de kan også være tiltrækkende i én retning og frastødende i en anden retning (saddelpunkt), og yderligere er det interessant at undersøge karakteren af det tiltrækkende og frastødende – er det lokalt lineært eller spiralerer kurverne ind / henholdsvis ud fra ligevægtspunktet?

b) I alle de 6 retningsfelter er punktet (0,0) et ligevægtspunkt (Hvorfor?). Læg begyndelsespunkter på retningsfelterne, hvorved der tegnes eksempler på faseplot. Træk rundt med disse punkter, og giv på baggrund heraf en karakteristik af de 6 ligevægtspunkter med brug af følgende begreber:

a) saddelpunkt b) tiltrækkende (stabilt) ligevægtspunkt c) frastødende (ustabilt) ligevægtspunkt d) centrumspunkt e) spiralt tiltrækkende ligevægtspunkt f) spiralt frastødende ligevægtspunkt

Opgave 6.77 a) L øs de fremkomne andenordens differentialligninger i opgave 8.39, a), b), d) og f).

b) L øs på baggrund af a) systemet af koblede differentialligninger. i opgave 8.39, a) og d).

129 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Numeriske metoder og algoritmer (supplerende stof)

0. Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 7 . . . 130 2. Numerisk integration – summer og integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3. Anvendelse af integralregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4. Definition og differentiation af de trigonometriske funktioner. . . . . . . . . . 139 5. Numerisk løsning af differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.0 Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 7 Opgave 7.1 De reelle tal opdeles i en række forskellige klasser, defineret ud fra bestemte egenskaber. Giv en kort beskrivelse af følgende klasser af tal:’ • de rationale og de irrationale • de algebraiske og de transcendente.

Opgave 7.2 a) Hvad er et normalt tal? b) A rgumenter for påstanden nederst s. 309 (HEM 3): Givet et normalt tal a. Så vil enhver endelig følge bestående af tallene 0, 1, ... ,9 findes et eller andet sted i den uendelige decimaludvikling for tallet a. c) P røv at illustrere med dine egne ord, hvad dette betyder for kompleksiteten af et normalt tal.

130 Hvad er matematik? 3, opgavebog

7. Numeriske metoder og algoritmer (supplerende stof)

Opgave 7.3 Der findes forskellige ”grader” af uendelighed.

a) Hvilke redskaber har vi til at afgøre, om to uendelige mængder er ”lige store”?

b) H vorfor indfører vi et ord som ækvipotent (dansk: mægtighed) – hvad er der galt med bare at sige ”lige store”?

c) Hvad er definitionen på numerabel (dansk: tællelig). Giv eksempler.

Opgave 7.4 Giv med dine egne ord et resume af fortællingen om Hilberts hotel. Du skal kunne demonstrere, hvordan hotellet får plads til én ekstra gæst. Og generelt redegøre for, hvad de kan klare mht. ekstra værelser, og hvad de ikke kan klare!

Opgave 7.5 På s. 312 (HEM 3) er der indsat et lille felt om ”Uendelige tals aritmetik”. Hvad er aritmetik? Og hvad har de forskellige regnestykker med Hilberts hotel at gøre?

Opgave 7.6 a) A rgumenter for, at de rationale tal både kan beskrives som brøker (med hele tal i tæller og nævner) og som periodiske decimaltal. (hint: HEM 1, kapitel 7, s. 259 og 265. Eller HEM 1, projekt 7.4) b) R edegør for ideen i beviset på s. 314 (HEM 3) for, at de rationale tal er tællelige. 4 Hvilket nummer i rækken bliver brøken 3 ?

Opgave 7.7

I 1873 arbejder Cantor på at finde det bevis, der siden i matematikhistorien blev kaldt for Cantors diagonalbevis.

a) H vad er det for en egenskab ved tallene, Cantor er sikker på gælder, og som han vil bevise?

b) Redegør for ideen i Cantors diagonalbevis.

c) Hvad er indholdet i kontinuums-hypotesen?

Opgave 7.8 I diskussionen, om tallinjen er kontinuert eller har huller, omtales sætningen om mellemliggende værdier. Hvad siger denne sætning?

131 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 7.9 Forklar, hvad Dedekinds aksiom for konstruktion af de reelle tal (ved hjælp af Dedekind-snit) går ud på. Illustrer aksiomet med definitionen af tallet 2 .

Opgave 7.10 Forklar, hvad Cantors aksiom for konstruktion af de reelle tal (ved hjælp af intervalruser) går ud på. Illustrer aksiomet med definition af tallet π.

Opgave 7.11 I kapitel 2 (s. 72, HEM 3) indførtes integraler vha. stamfunktioner. Hvad kan så begrunde, at vi skal indføre integralregningen på ny, nu vha. summer?

Opgave 7.12

Givet en begrænset funktion, f, defineret på et interval [a;b].

a) Hvad forstås ved en intervalinddeling af [a;b]?

b) Hvad forstås ved en undersum og en oversum for funktionen f ?

c) H vad er definitionen på, at funktionen f er Riemann-integrabel i [a;b], b og hvad forstås ved Riemann-integralet ∫ f ( x )dx . a

Opgave 7.13 Givet en begrænset funktion, f, defineret på et interval [a;b].

a) Hvad forstås ved en middelsum for f, hørende til en given intervalinddeling?

b) Hvad forstås ved en venstresum, en højresum og en midtsum?

Opgave 7.14 a) T egn en grafskitse af en begrænset, monoton funktion, og giv ved hjælp af den et argument for, at funktionen er Riemann-integrabel. (hint: sætning 1 og beviset s. 321, HEM 3) b) Hvad siger hovedsætningen om Riemann-integralet?

Opgave 7.15 Redegør for de almindelige regneregler for integration.

132 Hvad er matematik? 3, opgavebog

7. Numeriske metoder og algoritmer (supplerende stof)

Opgave 7.16 Hvad siger integralregningens middelværdisætning? Illustrer din forklaring med en grafskitse.

Opgave 7.17 Analysens hovedsætning udtaler sig om sammenhængen mellem integration og differentiation.

a) Giv en præcis formulering af sætningen.

b) R edegør for ideen i beviset for sætningen, herunder for, hvordan integralet opdeles vha. indskudssætningen og vha. regnereglerne, samt for hvordan integralregningens middelværdisætning anvendes i omskrivningen.

Opgave 7.18 a) Hvad er formlen for kurvelængden af en graf? b) I sætning 6, side 328 (HEM 3) anføres, at funktionen f skal være differentiabel, og f ′skal være kontinuert. Hvorfor stilles de krav? c) Skitser beviset.

Opgave 7.19

a) I llustrer grafisk, på en enhedscirkel, hvordan vi definerer arcussinus til et tal y (afsat på 2. aksen). b) arcsin(y) er en buelængde på enhedscirklen. Redegør for, hvordan enhedscirklen kan beskrives som grafen for en funktion, og hvordan denne buelængde derfor kan beregnes. c) Giv nu den præcise analytiske definition af arcsin(y). d) Hvad er den præcise definition af sinus og cosinus til vinkler givet ved radiantal? Opgave 7.20 a) Argumenter for, hvad den afledede funktion af arcsin(y) er. b) P å s. 333 (HEM 3) gennemføres beviset for, at (sin(x)) ′= cos(x). Hvad er den grundlæggende ide i beviset? c) Hvordan udledes formlen for differentiation af cosinus?

133 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 7.21 sin( x )

Sætning 8 (s. 334, HEM 3) siger, at: → 1 når x → 0 . x Giv en grafisk illustration på enhedscirklen af, at ”sætningen må være sand”.

Opgave 7.22 Den grundlæggende ide i en numerisk løsning af differentialligninger fremgår af skemaet s. 335 (HEM 3). Forklar dette skema.

Opgave 7.23 I øvelse 7.19 på s. 335 (HEM 3) er opstillet nogle koblede differentialligninger på vektorform.

a) Opstil de 4 differensligninger, vi får ud fra dette.

b) Redegør for, at vi får vx og v y som i tabellen s. 336.*

c) B rug differensligningerne til at beregne ∆x1 og ∆y1, samt kontrollere værdierne af ∆vx og ∆v y.

d) Udregn nu vha. differensligningerne x1 og y1, samt vx1 og v y1.

e) Udregn v1 og ψ1.

(hint: Vinklen ψ1 kan beregnes ved hjælp af tangens og vx1 og v y1).

f) F orklar, hvordan man udnytter regnearkets egenskaber til at fuldføre beregningerne.

Opgave 7.24 a) Redegør for, hvad vi forstår ved en SIR-model. b) N ederst s. 336 (HEM 3) står formlen: N = S(t) + I(t) + R(t). Hvorfor står der N og ikke N(t)? c) Ø verst s. 337 (HEM 3) står der: ”Antallet af mulige kontakter mellem raske og syge til tiden t er S(t) · I(t)”. Argumenter for det.

Opgave 7.25 a) Redegør for de tre ligninger i den diskrete model, der præsenteres midt på s. 337. b) G rafen på s. 337 (HEM 3) mangler angivelse af, hvilke variable der hører til hvilke grafer. Kan du ræsonne re dig frem til, hvilke der hører sammen?

*Bemærk: I bogens tabel er de første værdier af ∆vx og ∆v y skrevet i række 0. De skal stå nedenfor i række 1.

134 Hvad er matematik? 3, opgavebog

7. Numeriske metoder og algoritmer (supplerende stof)

7.2 N umerisk integration – summer og integraler Opgave 7.26 Betragt funktionen f ( x ) =

1 x

på intervallet [1;2].

Opskriv, og udregn en højresum H5, venstresum V5 og midtsum M5 for funktionen svarende til en inddeling af intervallet i 5 lige store dele. Udnyt et værktøjsprogram til at udregne Hn, Vn og Mn for n lig med 10, 50 og 100. Hvilket tal vil du forvente, at summerne konvergerer mod?

Opgave 7.27 Betragt funktionen f(x) = x2 på intervallet [0;3]. Opskriv, og udregn en højresum H6, venstresum V6 og midtsum M6 for funktionen svarende til en inddeling af intervallet i 6 lige store dele. Udnyt et værktøjsprogram til at udregne Hn, Vn og Mn for n lig med 10, 50 og 100. Hvilket tal vil du forvente, at summerne konvergerer mod?

Opgave 7.28 Betragt funktionen f(x) = ex på intervallet [–2;2]. Opskriv, og udregn en højresum H4, venstresum V4 og midtsum M4 for funktionen svarende til en inddeling af intervallet i 4 lige store dele. Udnyt et værktøjsprogram til at udregne Hn, Vn og Mn for n lig med 10, 50 og 100. Hvilket tal vil du forvente, at summerne konvergerer mod?

Opgave 7.29 Betragt funktionen f(x) = cos(x) på intervallet [0; π2 ] . Opskriv, og udregn en højresum H5, venstresum V5 og midtsum M5 for funktionen svarende til en inddeling af intervallet i 5 lige store dele. Udnyt et værktøjsprogram til at udregne Hn, Vn og Mn for n lig med 10, 50 og 100. Hvilket tal vil du forvente, at summerne konvergerer mod?

135 Hvad er matematik? 3, opgavebog

7.3 Anvendelse af integralregning Opgave 7.30 (2)

(1)

I St. Louis, Missouri, står Eero Saarinen’s “The Gateway Arch” (se foto), som blev bygget I perioden 1963-65. I en model, hvor buen er indlagt i et koordinatsystem, og hvor alle enheder er målt i meter, følger buen den positive del af grafen for funktionen f ( x ) = 211,4885 − 10,4801⋅ (e0,0329x + e −0,0329x )

a) Bestem buens bredde.

Det oplyses, at buelængden af grafen for en differentiabel funktion f i et interval [a;b] kan beregnes ved

2 ∫a (f ′( x )) + 1 dx

b) Bestem buens længde.

Kilde Gateway to Mathematics Equations of the St. Louis Arch, Paul Calter, Nexus Network Journal, Springer, 2006. (stx A eksamen december 2011, med)

Opgave 7.31

En funktion f er givet ved

f(x) = 6,5sin(0,0849x) + 6

Grafen for f afgrænser sammen med koordinatakserne og linjen med ligningen x = 38 et område M, der har et areal.

a) Skitsér grafen for f, og bestem arealet af M.

En loftslampes ydre har samme form, som overfladen af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360° omkring førsteaksen, idet enheden på koordinatsystemets akser er 1 cm. Det oplyses, at overfladen af dette omdrejningslegeme kan beregnes ved integralet

O = 2π ∫

f ( x ) ⋅ 1 + f ′( x )2 dx

b) Bestem lampens overfladeareal.

(stx A eksamen maj 2012, med)

136 Hvad er matematik? 3, opgavebog

7. Numeriske metoder og algoritmer (supplerende stof)

Opgave 7.32 En funktion f er bestemt ved

(2)

f(x) = sin(x) + x + 0,5

Grafen for f, koordinatakserne og linjen med ligningen x = 5 afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

(1)

En vase har form som det omdrejningslegeme, der fremkommer, når punktmængden M drejes 360° om førsteaksen, og enheden i koordinatsystemet svarer til 1 dm.

a) Bestem vasens volumen.

Det oplyses, at den krumme overflade af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f(x), a ≤ x ≤ b drejes 360° omkring førsteaksen, kan beregnes ved b

O = 2 π ⋅ ∫ f ( x ) ⋅ 1 + ( f ′( x )) dx 2

a b) Bestem arealet af vasens krumme overflade.

(stx A Net, prøvesæt 2010/11)

Opgave 7.33 I et vandret terræn skal der anlægges en 100 m lang, lige kanal. Kanalen skal i hele sit forløb have samme lodrette tværsnit. På figuren er dette tværsnit indtegnet i et koordinatsystem, således at førsteaksen ligger i terrænets overflade. Kurven på figuren er en del af grafen for f ( x ) = 1 ⋅ ( − x 4 + 29 x 2 − 100) 50 Punktmængden M1 er et tværsnit af den jord, der skal graves væk, mens M2 og M3 er tværsnit af den jord, der skal fyldes på. Rumfanget af den jord, der skal graves væk, er arealet af M1 gange med kanalens længde.

a) Bestem rumfanget af den nord, der skal graves væk.

b) Bestem, hvor meget jord der skal fyldes på.

(2) meter 2

f M2

M3 (1)

–5

–2

terræn

137 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 7.34 I statistik arbejdes med normalfordelingen, når man eksempelvis vurderer, om børn følger en normal udvikling mht. højde og vægt. Alle normalfordelingskurver er bestemt af 2 parametre, middeltallet og spredningen, og kan derfor alle fremkomme ved at transformere den såkaldte standardnormalfordelingskurve, hvor middeltallet er 0 og spredningen er 1. Den funktion, hvis graf tegner standardnormalfordelingen har forx2 1 skriften ϕ(x) ö ( x) = ⋅ e− 2 . 2π

a) Tegn grafen for denne funktion.

b) K ontroller, at arealet under grafen er lig med 1, svarende til 100%. Vær opmærksom på, at funktionens definitionsmængde er ]–∞;∞[.

c) H vad er arealet under grafen mellem –1 og 1, dvs arealet af området under grafen, der ligger indenfor 1 sprednings afstand fra middeltallet?

d) Hvad er arealet under grafen mellem –2 og 2, dvs arealet af området under grafen, der ligger indenfor 2 sprednings afstand fra middeltallet? Dette område kaldes det normale område. Værdier udenfor dette område opfattes som afvigende fra det normale.

d) Betragt nu intervallet [–3;3] og gennemfør selv en beregning af midtsummer for forskellige inddelinger af intervallet. Hvad ser du?

e) Gennemfør samme undersøgelse med intervallet [–5;5]. Hvad er din konklusion?

Opgave 7.35 I statistik arbejdes med c2-fordelingen, når man eksempelvis vurderer, om der er sket signifikante ændringer i befolkningens holdninger til politiske eller andre spørgsmål. Ud fra den givne stikprøve fastlægger vi antallet af frihedsgrader og er der eksempelvis 6 frihedsgrader, anvendes c2-fordelingen med 6 frihedsgrader. Den funktion, hvis graf beskriver fordelingen, betegnes her (og i mange værktøjsprogrammer) c2 (x,6).

a) Tegn grafen for denne funktion.

b) K ontroller, at arealet under grafen er lig med 1, svarende til 100%. Vær opmærksom på, at funktionens definitionsmængde er [0;∞[.

c) Hvilken x-værdi svarer til et signifikansniveau på 5%?

d) Betragt nu intervallet [0;20], og gennemfør selv en beregning af midtsummer for forskellige inddelinger af intervallet. Hvad ser du?

e) Gennemfør samme undersøgelse med intervallet [0;50]. Hvad er din konklusion?

138 Hvad er matematik? 3, opgavebog

7. Numeriske metoder og algoritmer (supplerende stof)

Opgave 7.36 I en model for glukoseindholdet i blodbanen hos en person er g(t) mængden af glukose (målt i mg), der er absorberet fra mave/tarmsystemet t timer efter indtagelsen af glukosen. Det oplyses, at g ′(t) = 675000 · t · e –3t , 0 ≤ t ≤ 4, g(0) = 0 Hvor meget glukose er der ifølge modellen absorberet fra mave/tarmsystemet 4 timer efter indtagelse af glukosen? (stx A eksamen august 2010, med)

Opgave 7.37 Værdien af en arbejders samlede produktion i løbet af en dag er en funktion P(t) af tiden t, der er gået siden arbejdsdagen startede. Den afledede funktion p(t) = P ′(t) måler den såkaldte produktivitet. Ved et bestemt fabriksarbejde kan produktiviteten modelleres med funktionen

p(t) = – 0,75t 2 – 0,5t + 100

hvor t angiver antal timer, der er gået, siden arbejdsdagen startede.

a) Udregn p(3), og giv en fortolkning af dette tal.

b) T egn grafen for produktiviteten som funktion af tiden for en 8-timers arbejdsdag, og giv en sproglig fremstilling af grafens forløb.

c) Bestem den samlede produktion P(8) for alle 8 timer.

d) Bestem den samlede produktion for de første 4 timer og for de sidste 4 timer.

e) H vor mange procent udgør produktionen de første 4 timer og de sidste 4 timer af produktionen i alle 8 timer? Kommentér resultatet.

7.4 Definition og differentiation af de trigonometriske funktioner Der henvises til opgaver og projekter i kapitel 1.

7.5 Numerisk løsning af differentialligninger Der henvises til kapitel 11, Matematik og Fysik-3, kapitel 5, samt projekterne 7.20, 7.21 og 7.22 om epidemimodeller, spanske syge og influenzamodeller.

139 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Normalfordelingen og statistiske metoder knyttet til denne

0. Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 8 . . . 140 2. Random walk – Tilfældig variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3. Normalfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4. Lineær regression som statistisk metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5. Blandede opgaver og udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.0 T eori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 8 Opgave 8.1 I indledningen s. 339 (HEM 3) fortælles, at Danmark i første del af 1900-tallet havde 4 nobelpristagere indenfor medicin og biologi. Find via fx Wikipedia ud af, hvem det var, og hvilke opdagelser der gav dem prisen.

Opgave 8.2 a) G iv eksempler på den særlige indsats, der gøres i Danmark i årtierne omkring 1900 for at fremme forskning inden for medicin og biologi. b) Beskriv Wilhelm Johannsens egen forskerkarriere. Opgave 8.3 Forskerne på Wilhelm Johannsens tid kunne bygge videre på banebrydende videnskabelige opdagelser i anden halvdel af 1800-tallet, ikke mindst Darwins og Mendels arbejder. Giv en kort præsentation af de vigtigste resultater, der er knyttet til de to videnskabsmænd.

Opgave 8.4 Wilhelm Johannsen indførte begrebet gen og betegnelserne genotype og fænotype. Redegør for, hvad disse to betegnelser står for?

140 Hvad er matematik? 3, opgavebog

8. Normalfordelingen og statistiske metoder knyttet til denne

Opgave 8.5 Wilhelm Johannsen ønskede at udvikle faget biologi til et mere eksakt fag, der som andre naturvidenskabelige fag anvender eksperimenter. Han havde til dette brug for rene linjer indenfor planteavl. Hvad er en ren linje?

Opgave 8.6 a) G altons undersøgelser af sammenhængen mellem fædres og sønners højde får ham til at indføre begrebet regression. Hvad står dette for, og hvorfor anvender han et sådant ord? b) G alton opdager, at børn af meget høje forældre nok bliver høje, men normalt ikke bliver lige så høje som forældrene. Han kaldte dette fænomen ”regression towards the mean”. Hvis Galton har ret, hvorfor bliver vi så ikke generelt mindre? Eller: hvorfor sker der ikke en udjævning, så variationen bliver mindre? Opgave 8.7 a) Hvad er et Galtonbræt? b) W ilhelm Johannsen tegnede et histogram over vægten af sine prinsessebønner og overlejrede diagrammet med en kurve gengivet s. 343. Kurven kaldte han ”die ideale Variationskurve”, eller den såkaldte ”Fehlerkurve”. Hvad er det for en kurve? Hvorfor brugte Johannsen ordet fejlkurve om denne?

Opgave 8.8 a) R edegør for Wilhelm Johannsens forsøg med prinsessebønner. Hvad er det, han finder ud af om gennemsnitsvægten? b) F orklar formuleringen s. 344 (HEM 3): ”Wilhelm Johannsen har altså i første omgang eftervist Galtons regressionslov?” Opgave 8.9 a) I øvelse 8.5 (s. 344, HEM 3) møder vi begrebet z-score. Forklar, hvad dette står for. b) I øvelse 8.5, punkt c) argumenteres for højde og bredde af histogrammets søjler. Forklar disse udregninger.

Opgave 8.10 Wilhelm Johansen påviste, at gener ikke kan ændres via (Mendels) arvelove. Hvad er så hans forklaring på udvikling af nye egenskaber og nye arter?

141 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Afsnit 8.2 – 8.4 Opgave 8.11 a) Hvad er definitionen på en random walk? b) Hvis vi i en random walk er nået til 7 på tallinjen, hvor kan vi så lande i næste trin? c) Hvis en random walk har 6 skridt, hvad er da de mulige slutværdier?

Opgave 8.12 Hvad er et Galtonbræt? (hint: illustrationen s. 348, HEM 3, og den indledende fortælling)

Opgave 8.13 a) Hvad forstås ved et ideelt eksperiment? b) Forklar begreberne forventet frekvens og forventet hyppighed. c) Forklar begreberne forventet slutværdi og forventet slutkvadrat.

Opgave 8.14 På s. 350 (HEM 3) undersøges en random walk med 5 skridt.

a) Forklar, hvorfra vi får tallene i tabellen over hyppigheder.

b) Forklar, hvordan man udregner den forventede slutværdi og det forventede slutkvadrat ud fra en sådan tabel.

Opgave 8.15 Argumenter for, at den forventede slutværdi for en ideel random walk er 0.

Opgave 8.16 a) Hvad er det forventede slutkvadrat for en random walk med n skridt? b) I argumentationen herfor på s. 351-52 (HEM 3) indgår et induktionsbevis. Forklar, hvad et induktionsbevis er. c) Hvad er den grundlæggende ide i udregningen af slutkvadratet efter n + 1 skridt? (hint: Se øverst s. 352, HEM 3). Opgave 8.17 a) Hvad er en generaliseret random walk? b) Hvad er den forventede slutværdi for en generaliseret random walk?

142 Hvad er matematik? 3, opgavebog

8. Normalfordelingen og statistiske metoder knyttet til denne

Opgave 8.18 Der findes mange forskellige forklaringer på opbygningen af Pascals trekant. I definitionen s. 353 (HEM 3) er den knyttet til random walk. Redegør for dette, dvs. redegør for, hvor tallene i den n’te række kommer fra (hint: Se evt. tabellen s. 359 over en random walk med 5 skridt).

Opgave 8.19 a) Hvad siger sumreglen i Pascals trekant? Argumenter for den. b) Konstruer selv efterfølgende rækker ud fra sumreglen. Opgave 8.20 På s. 355 (HEM 3) defineres tallene K(n,r) i relation til definitionen på Pascals trekant.

a) F orklar, hvad vi forstår ved tal som K(7,0), K(7,1) og K(7,4). Anvend fx en formulering som: ”K(7,r) er den ideelle hyppighed for, at man efter ... skridt lander i ... ”

Opgave 8.21 I øvelse 8.16 er K(n,r) defineret som antal måder, man kan vælge r personer eller ting ud fra en samlet population på n. Redegør for sammenhængen mellem de to definitioner på det samme symbol.

Opgave 8.22 Der udføres en random walk med n skridt. Hvad er det mest sandsynlige udfald?

Opgave 8.23 a) A rgumenter for, at i en random walk med n skridt er den forventede afstand mellem slutværdi og middelværdi lig med n (hint: Se først på det forventede afstandskvadrat, se s. 358, HEM 3). b) Hvad er betegnelsen for dette tal, og hvilket symbol anvendes for det? c) Forklar de to begreber: normale udfald og exceptionelle udfald.

Opgave 8.24

I afsnit 2.5 (s. 360, HEM 3) gennemføres en statistisk vurdering af en nulhypotese.

a) Hvad er en nulhypotese?

b) Hvad er den grundlæggende ide i et random walk-test?

143 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 8.25 a) Hvad er en normalfordeling? b) Hvad er en standardnormalfordelingskurve? c) A rgumenter for, at konstruktionen af standardnormalfordelingen medfører, at middelværdien er 0, og spredningen er 1. Opgave 8.26 Vi har en tommelfingerregel for, om et datamateriale er normalfordelt, udtrykt ved andelen af observationer der ligger indenfor en afstand på 1, 2 eller 3 spredninger fra middelværdien.

a) Hvad siger ”reglen”?

b) ” Reglen” bunder i beregninger, vi kan foretage med en random walk. Forklar dette. (hint: Se afsnit 2.4, specielt øvelserne 8.18 og 8.19, s. 359, HEM 3).

Opgave 8.27 a) F orklar med dine egne ord, hvad tæthedsfunktionen for standardnormalfordelingen er. b) Hvad er forskriften for tæthedsfunktionen? c) I tidligere tider kaldtes tæthedsfunktionen ofte for fejlfunktionen (eng.: errorfunction, tysk: Fehlerkurve). Forklar dette. Opgave 8.28 Opskriv med integraler og brug af tæthedsfunktionen, ϕ (x):

a) Middelværdien = 0

b) Spredningen = 1

c) Kontroller dine formler med dit værktøjsprogram.

Opgave 8.29 a) H vad er forskriften for tæthedsfunktionen for en normalfordeling med middelværdi = µ og spredning = σ ? b) G ivet et datasæt med middelværdi = m og spredning = s. Antag, at et histogram over datasættet har areal A. Hvis vi vil prøve at tilnærme med en normalfordelingskurve, hvilken forskrift skal vi så anvende? (hint: praxisboksen s. 369 og eksempel 1 s. 370, HEM 3)*

*Bemærk: På s. 372 og 373 er der ved en fejl skrevet ϕ(x) (der er symbolet for tæthedsfunktionen) i stedet for Φ(x), der er symbolet for fordelingsfunktionen. I praxisboksen s. 374 står det korrekt.

144 Hvad er matematik? 3, opgavebog

8. Normalfordelingen og statistiske metoder knyttet til denne

Opgave 8.30 Givet en normalfordelt stokastisk variabel X N( µ , σ ).

a) Hvad er definitionen på fordelingsfunktionen for X opskrevet med et integral?

b) H vad er definitionen på fordelingsfunktionen for X opskrevet med symbolikken P(X...)? (hint: afsnit 3.5, s. 377-78, HEM 3)

c) H vordan svarer vi på spørgsmål som: ”Bestem den %-del, som ligger over tallet a / ligger under tallet b / ligger mellem a og b”? Hvordan opskriver vi svarene med brug af fordelingsfunktionen Φ (x)? Hvordan opskriver vi svarene med brug af symbolikken P(X...)?

Opgave 8.31 Antag, at et datasæt tilnærmes med en normalfordeling. Tæthedsfunktionen ”svarer” da til et histogram. Hvad svarer fordelingsfunktionen til? (hint: eksempel 2, s. 372, HEM 3)

Opgave 8.32 a) F orklar med udgangspunkt i øvelserne 8.28 og 8.29 (s.273, HEM 3), hvorledes vi med lineariseringsteknikken undersøger, om et datamateriale er normalfordelt. b) F orklar, hvorledes vi med lineariseringsteknikken kan nå frem til en grafisk aflæsning af µ og σ .

Opgave 8.33 a) Redegør for, hvordan vi selv tegner et fraktilplot. (hint: øvelse 8.30, s. 375, HEM 3) b) Redegør for, hvordan vi selv tegner et QQ-plot. (hint: øvelse 8.31, s. 376, HEM 3) c) R edegør for, hvordan vi tegner et QQ-plot med brug af et værktøjsprogram? (hint: s. 376, HEM 3, QR-koden)

Opgave 8.34

Givet en normalfordelt stokastisk variabel X ∼ N( µ , σ ). Antag, at vi har to oplysninger, fx: P(X ≤ 3) = 0,2 og P(X ≥ 10) = 0,3. Hvordan bestemmes µ og σ ?

Opgave 8.35 a) F orklar ideen i bootstrapping som metode til at undersøge kvaliteten af estimaterne på en lineær regression. Inddrag konfidensintervaller i din forklaring. (hint: afsnit 4, s. 378-381, HEM 3) b) R edegør for, hvordan vi bestemmer konfidensintervaller for parametrene med brug af et værktøjsprogram? (hint: s. 381, HEM 3, QR-koden)

145 Hvad er matematik? 3, opgavebog

8.2. Random walk – Tilfældig variation

Opgave 8.36 En beruset person går afsted på en vandresti, der følger retning syd/nord. Personens gang kan modelleres ved en random walk, dvs. at der for hvert skridt er 50% sandsynlighed for, at personen går nordpå, og 50% sandsynlighed for, at personen går sydpå. Hvert skridt nordpå har en værdi på +1, hvert skridt sydpå en værdi på –1. Det sted, personen befinder sig efter et vist antal skridt, kan derfor angives med en koordinatværdi. Personen tager et skridt hvert 5. sekund.

a) H vad er personens normale antal skridt efter 10 minutters gang? Efter en halv time?

b) Hvad er de mulige slutværdier efter en halv time?

Personens skridtlængde er konstant lig med 50 cm.

c) Hvad er de mulige afstande fra udgangspunktet efter en halv time?

d) Personen befinder sig faktisk 20 m fra udgangspunktet. Hvor mange skridt i hver retning har personen taget

e) P ersonens gode ven prøver nu at tage hånd om ham, men han hævder, at han ikke er så beruset. Han bevæger sig jo i den rigtige retning. Lav en simulering af situationen, og giv en vurdering af, om det ville være usædvanligt at nå 20 m frem, hvis der er 50% sandsynlighed for at gå frem og tilbage hver gang.

Opgave 8.37 Vi undersøger en random walk med 9 tilfældige skridt, startværdi 0 og skridtlængden 1.

a) Hvad er de mulige udfald for dette stokastiske eksperiment?

b) G entag eksperimentet 10 gange ved, at du hver gang kaster en mønt 9 gange, og opsaml resultaterne for slutværdien i en antalstabel.

c) Bestem gennemsnittet af slutværdien for de ti gentagelser.

d) Bestem kvadratet af slutværdien for hver af de ti gentagelser, og bestem gennemsnittet for kvadratet af slutværdien.

e) B estem den forventede slutværdi og det forventede slutkvadrat, og sammenlign med de værdier, som du fik fra de ti gentagelser.

146 Hvad er matematik? 3, opgavebog

8. Normalfordelingen og statistiske metoder knyttet til denne

Opgave 8.38 Vi undersøger en random walk med 10 tilfældige skridt, startværdi 0 og skridtlængden 1.

a) Hvad er de mulige udfald for dette stokastiske eksperiment?

b) G entag eksperimentet 10 gange ved, at du hver gang kaster en mønt 9 gange, og opsaml resultaterne for slutværdien i en antalstabel.

c) Bestem gennemsnittet af slutværdien for de ti gentagelser.

d) Bestem kvadratet af slutværdien for hver af de ti gentagelser, og bestem gennemsnittet for kvadratet af slutværdien.

e) B estem den forventede slutværdi og det forventede slutkvadrat, og sammenlign med de værdier, som du fik fra de ti gentagelser.

Opgave 8.39 Vi undersøger en generaliseret random walk med 9 tilfældige skridt, startværdi 5 og skridtlængden 2.

a) Hvad er de mulige udfald for dette stokastiske eksperiment?

b) G entag eksperimentet 10 gange ved, at du hver gang kaster en mønt 9 gange, og opsaml resultaterne for slutværdien i en antalstabel.

c) Bestem gennemsnittet af slutværdien for de ti gentagelser.

d) Bestem kvadratet af slutværdien for hver af de ti gentagelser, og bestem gennemsnittet for kvadratet af slutværdien.

e) B estem den forventede slutværdi og det forventede slutkvadrat, og sammenlign med de værdier, som du fik fra de ti gentagelser.

Opgave 8.40 Vi undersøger en generaliseret random walk med 9 tilfældige skridt, startværdi 5 og skridtlængden 3.

a) Hvad er de mulige udfald for dette stokastiske eksperiment?

b) G entag eksperimentet 10 gange ved, at du hver gang kaster en mønt 9 gange, og opsaml resultaterne for slutværdien i en antalstabel.

c) Bestem gennemsnittet af slutværdien for de ti gentagelser.

d) Bestem kvadratet af slutværdien for hver af de ti gentagelser, og bestem gennemsnittet for kvadratet af slutværdien.

e) B estem den forventede slutværdi og det forventede slutkvadrat, og sammenlign med de værdier, som du fik fra de ti gentagelser.

147 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 8.41 Vi undersøger en generaliseret random walk med 9 tilfældige skridt, startværdi 7 og skridtlængden 3.

a) Hvad er de mulige udfald for dette stokastiske eksperiment?

b) G entag eksperimentet 10 gange ved, at du hver gang kaster en mønt 9 gange, og opsaml resultaterne for slutværdien i en antalstabel.

c) Bestem gennemsnittet af slutværdien for de ti gentagelser.

d) Bestem kvadratet af slutværdien for hver af de ti gentagelser, og bestem gennemsnittet for kvadratet af slutværdien.

e) B estem den forventede slutværdi og det forventede slutkvadrat, og sammenlign med de værdier, som du fik fra de ti gentagelser.

Opgave 8.42 Benyt sumreglen for Pascals trekant til at konstruere 8., 9. og 10. række i Pascals trekant.

Opgave 8.43 L’hombre er et særligt kortspil. Der er 40 kort – 8'erne, 9'erne, 10'erne og jokerne er fjernet. 4 personer deltager, den ene giver kort og sidder selv over. Der fordeles kort til de 3 personer samt til en bunke med byttekort, så hver person og byttebunken får lige mange.

Bestem antallet af måder kortene kan fordeles.

Opgave 8.44 En klasse med 28 elever skal vælge et udvalg på 3 personer til klassens aktiviteter ved skolens årsfest.

På hvor mange måder kan udvalget dannes?

Opgave 8.45 En krukke indeholder 6 grønne og 8 blå kugler, der er nummereret fra 1 til 14. På en tilfældig måde udtages 3 kugler.

a) På hvor mange måder kan de tre kugler udvælges?

b) På hvor mange måder kan 3 grønne kugler udvælges?

c) På hvor mange måder kan 3 blå kugler udvælges?

148 Hvad er matematik? 3, opgavebog

8. Normalfordelingen og statistiske metoder knyttet til denne

d) På hvor mange måder kan 1 grøn kugle og 2 blå kugler udvælges?

e) På hvor mange måder kan 2 grønne kugler og 1 blå kugle udvælges?

f) H vad er sammenhængen mellem resultatet i spørgsmål a) og i de øvrige spørgsmål?

Opgave 8.46 Et indkøbscenter har 5 tøjbutikker, 4 brilleforretninger og 3 elektronikforretninger. På hvor mange måder kan en person gå på indkøb i 3 tøjforretninger, 2 brilleforretninger og 1 elektronikforretning?

Opgave 8.47 Et dommerpanel består af 3 kvinder og 4 mænd udvalgt blandt 7 kvinder og 10 mænd. På hvor mange måder kan dommerpanelet sammensættes?

Opgave 8.48 Et pizzeria har 15 forskellige pizzaer.

a) På hvor mange måder kan en person købe 3 forskellige pizzaer?

b) P å hvor mange måder kan en person købe 3 pizzaer, når de ikke behøves at være forskellige?

Opgave 8.49 Inge har 3 værelser, der skal males, og udvalget i malerbutikken er 30 forskellige farver.

a) P å hvor mange måder kan Inge male de 3 værelser, når de skal have hver deres forskellige farve?

b) P å hvor mange måder kan Inge male de 3 værelser, når de kan have samme farve?

c) P å hvor mange måder kan Inge male de 3 værelser, når de alle skal have samme farve?

d) På hvor mange måder kan Inge male de 3 værelser, når 2 af dem skal have samme farve?

149 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 8.50 Vi undersøger en random walk med 9 tilfældige skridt, startværdi 0 og skridtlængde 1.

a) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

b) Opstil en tabel med kvadratet på de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

c) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og tilhørende sandsynligheder.

d) Bestem det mest sandsynlige udfald og den tilhørende sandsynlighed.

e) Bestem standardafvigelsen.

f) Bestem de normale udfald.

g) Bestem de exceptionelle udfald.

Opgave 8.51 Vi undersøger en random walk med 10 tilfældige skridt, startværdi 0 og skridtlængde 1.

a) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

b) O pstil en tabel med kvadratet på de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

c) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og tilhørende sandsynligheder.

d) Bestem det mest sandsynlige udfald og den tilhørende sandsynlighed.

e) Bestem standardafvigelsen.

f ) Bestem de normale udfald.

g) Bestem de exceptionelle udfald.

Opgave 8.52 Vi undersøger en generaliseret random walk med 9 tilfældige skridt, startværdi 5 og skridtlængde 2.

a) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

b) Opstil en tabel med kvadratet på de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

c) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og tilhørende sandsynligheder.

d) Bestem det mest sandsynlige udfald og den tilhørende sandsynlighed.

e) Bestem standardafvigelsen.

f ) Bestem de normale udfald.

g) Bestem de exceptionelle udfald.

150 Hvad er matematik? 3, opgavebog

8. Normalfordelingen og statistiske metoder knyttet til denne

Opgave 8.53 Vi undersøger en generaliseret random walk med 9 tilfældige skridt, startværdi 5 og skridtlængde 3.

a) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

b) Opstil en tabel med kvadratet på de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

c) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og tilhørende sandsynligheder.

d) Bestem det mest sandsynlige udfald og den tilhørende sandsynlighed.

e) Bestem standardafvigelsen.

f ) Bestem de normale udfald.

g) Bestem de exceptionelle udfald.

Opgave 8.54 I 2010 fordelte børnefødslerne sig på 32466 drenge og 30968 piger i Danmark. Vi vil med en random walk undersøge, om dette kan tilskrives tilfældigheder, eller der må være andre forklaringer.

a) Opstil den nulhypotese, du vil undersøge.

b) Undersøg med en random walk test, om nulhypotesen skal forkastes eller ej.

Opgave 8.55 I et år blev der i et land født 100000 børn. Vi vil med en random walk undersøge, om der statistisk set fødes lige mange drenge og piger i dette land.

a) Opstil nulhypotesen.

b) H vor meget skal fødselstallene for hhv. drenge og piger i dette år afvige fra 50000, for at vi forkaster nulhypotesen?

Opgave 8.56 Vi undersøger et baseball-hold, som er helt gennemsnitligt, dvs. de har 50% sandsynlighed for at vinde en kamp og 50% sandsynlighed for at tabe. I en baseball sæson er der 162 kampe. I det følgende antages, at en random walk kan modellere baseball-holdets spil i sæsonen.

a) Bestem standardafvigelsen for denne random walk.

b) Bestem de normale udfald for dette baseball-hold.

c) Bestem de exceptionelle udfald for dette baseball-hold.

d) Sæsonen endte med, at holdet vandt 90 kampe og tabte 72. Det fik holdets anfører til at udtale til pressen, at nu måtte man kunne se, at holdet var klart over gennemsnittet og hørte til i den bedre del af ligaen. Giv en statistisk vurdering af denne udtalelse.

151 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 8.57

Det viste udklip stammer fra Politikens kronik d. 14. septem-

Nævningekendelser kræver ikke enighed, men ber 1978. Kronikken er skrevet af overlæge Poul Horstmann, kan ske ved flertalsbeslutning, hvor stemmerne og den handler dels om en konkret straffesag, dels om nævmindst skal stå 8-4, for at kendelsen skyldig kan ningeinstitutionen i dansk retsvæsen. Antag i det følgende, at afgives. En enkelt uerfaren nævnings stemme nævningene afgør skyldspørgsmålet tilfældigt, dvs. at sandkan således blive afgørende for, om udfaldet synligheden er 1/2 for, at en vilkårlig nævning stemmer skyldig. bliver langvarig straf eller frifindelse. Man må Så kan vi knytte en random walk med 12 skridt til nævningenes understrege det forhold, at hvis nævningerne afafgørelse, idet vi rykker et skridt til højre, når en nævning stemgjorde sagen ved at slå plat og krone om udfaldet mer skyldig, og et skridt til venstre, når en nævning stemmer — og det ville vel ingen i vore dage finde var uskyldig. udtryk for retfærdighed — så ville udfaldet blive skyldig med 8 stemmer mod 4 i 12 pet. eller 1/8 a) Hvor stor bliver standardafvigelsen? af tilfældene. Afgørelsen kan således bero på b) H vordan skal stemmerne stå, hvis vi skal være uden for en rene tilfældighedsmomenter. Man skal op på et standardafvigelse? To standardafvigelser? Tre standardafstemmetal på 10 eller flere af 12, for at man med vigelser (exceptionel)? nogenlunde sikkerhed kan sige, at afgørelsen ikke er tilfældig, for at der foreligger det, som c) H vad menes der i kronikken med, at afgørelsen er sigman i statistisk fagsprog kalder signifikans. nifikant? Find evt. svaret i bogens kapitel 8, afsnittet om

Random Walk test.

d) Find ved hjælp af Pascals trekant sandsynlighederne for de 13 udfald i en random walk med 12 skridt.

e) I kronikken påstås det, at udfaldet skyldig med 8 stemmer mod 4 forekommer i 12% af tilfældene. Vurder denne påstand.

f) Beregn sandsynligheden for, at 10 eller flere ud af de 12 nævninge stemmer skyldig.

g) G iv en vurdering ud fra statistiske overvejelser af bestemmelsen om, at et stemmeflertal på 8-4 kan afgøre et skyldsspørgsmål.

Opgave 8.58 Det viste udklip stammer fra Politiken d. 17. marts 1989. Artiklen handler om, at drenge tilsyneladende er mere udsat end piger for at få meningitis. a) F orklar, hvordan man kan udføre en random walk-test på tallene i artiklen. b) H vor stor bliver standardafvigelsen? c) K an du ud fra testen konkludere, at drenge har større sandsynlighed end piger for at få meningitis?

152 Hvad er matematik? 3, opgavebog

8. Normalfordelingen og statistiske metoder knyttet til denne

8.3. Normalfordelingen Opgave 8.59 Vi undersøger en ideel random walk med 16 skridt.

a) Bestem slutværdierne og de tilhørende ideelle sandsynligheder.

b) Hvad skal slutværdierne nedskaleres med, for at standardafvigelsen er 1?

c) H vad skal de ideelle sandsynligheder opskaleres med, for at arealet under histogrammet er 1?

d) Tegn histogrammet.

e) Hvilken normalfordeling følger histogrammet?

f ) Tegn normalfordelingen sammen med histogrammet.

g) B estem procentdelen af areal, der ligger inden for en standardafvigelse fra den forventede slutværdi.

h) Bestem procentdelen af areal, der ligger inden for to standardafvigelser fra den forventede slutværdi.

i ) Bestem procentdelen af areal, der ligger uden for tre standardafvigelser fra den forventede slutværdi.

Opgave 8.60 Vi undersøger en ideel random walk med 25 skridt.

a) Bestem slutværdierne og de tilhørende ideelle sandsynligheder.

b) Hvad skal slutværdierne nedskaleres med, for at standardafvigelsen er 1?

c) H vad skal de ideelle sandsynligheder opskaleres med, for at arealet under histogrammet er 1?

d) Tegn histogrammet.

e) Hvilken normalfordeling følger histogrammet?

f ) Tegn normalfordelingen sammen med histogrammet.

g) B estem procentdelen af areal, der ligger inden for en standardafvigelse fra den forventede slutværdi.

h) Bestem procentdelen af areal, der ligger inden for to standardafvigelser fra den forventede slutværdi.

i) B estem procentdelen af areal, der ligger uden for tre standardafvigelser fra den forventede slutværdi.

153 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 8.61 a) Opskriv forskriften for den normalfordeling, der har middelværdi 5 og spredning 1. b) Opskriv forskriften for den normalfordeling, der har middelværdi 2 og spredning 3. c) Opskriv forskriften for den normalfordeling, der har middelværdi 1 og spredning 1. d) Opskriv forskriften for den normalfordeling, der har middelværdi 0 og spredning 2.

Opgave 8.62 Betragt funktionen Φ (x) med forskriften: Φ ( x ) =

1 2π

− 1 x2 2

⋅e

der er tæthedsfunktionen for standardnormalfordelingen, N(0,1) a) Bestem middelværdi og spredning for den normalfordeling, der har forskriften: Φ  x 1− 2  . b) B estem middelværdi og spredning for den normalfordeling, der har forskriften: Φ  2x  . c) B estem middelværdi og spredning for den normalfordeling, der har forskriften: Φ  x − 0, 5  . 



d) Bestem middelværdi og spredning for den normalfordeling, der har forskriften: Φ  3x − 2 .

Opgave 8.63

Nedenstående figur viser graferne for tæthedsfunktionerne hørende til tre normalfordelte stokastiske variable.

ør rede for, hvilken af graferne A, B eller G C der hører til tæthedsfunktionen for den normalfordelte stokastiske variabel, der har middelværdi 52 og spredning 3.

C B

(1) 30

Du kan hente et bilag via QR-koden. (Vejledende eksamensopgaver A2, uden)

Opgave 8.64 En stokastisk variabel X er normalfordelt X ∼ N(10,2), og F er fordelingsfunktionen for X.

a) A rgumentér for, at punkterne (8,0.159), (10,0.5) og (14,0.977) ligger på grafen for F.

b) Skitsér grafen for F.

(Vejledende enkeltopgaver, stx A, efterår 2019, uden)

154 Hvad er matematik? 3, opgavebog

8. Normalfordelingen og statistiske metoder knyttet til denne

Opgave 8.65 En bestemt type korn hældes i poser. Vægten af de enkelte poser med korn noteres. Den stokastiske variabel X angiver den faktiske vægt af korn i en pose (målt i kg). Det oplyses, at X er normalfordelt. På figuren ses grafen for fordelingsfunktionen F for X.

(2) 1

Bestem E(X), og forklar betydningen af dette tal. Du kan hente et bilag via QR-koden.

(1) 0

(Vejledende eksamensopgaver A1, uden)

(2)

Opgave 8.66

Figuren viser grafen for en fordelingsfunktion F hørende til en normalfordelt stokastisk variabel X. Punktet A har koordinatsættet A(14,0.9).

Bestem koordinatsættet til punktet B. –10

(1)

Opgave 8.67 (2)

Figuren viser grafen for en fordelingsfunktion F hørende til en normalfordelt stokastisk variabel X.

a) Bestem middelværdien for X.

0,5

Om F vides, at F(20) = 0,8

b) Løs ligningen F(x) = 0,2.

–10

(1)

Opgave 8.68 En normalfordelt stokastisk variabel X har middelværdien 50. Om fordelingsfunktionen F for X vides, at F(10) = 0,4. Bestem F(90).

Opgave 8.69 En stokastisk variabel X er normalfordelt X ∼ N(5,3).

a) Bestem intervallerne for de exceptionelle udfald for X.

b) Bestem intervallet for de normale udfald for X.

c) Bestem P(X ≤ 2). (Vejledende enkeltopgaver, stx A, efterår 2019, uden)

155 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 8.70 Betragt funktionen Φ (x) med forskriften: − 1 x2 1 Φ ( x) = ⋅e 2 2π

der er tæthedsfunktionen for standardnormalfordelingen, N(0,1).

a) Tegn grafen med et værktøjsprogram.

b) Bestem

∫

c) Bestem

∫

d) Bestem 1 − ∫ Φ ( x )dx . Giv en fortolkning af tallet.

Φ ( x )dx . Giv en fortolkning af tallet.

−1 2

Φ ( x )dx . Giv en fortolkning af tallet.

−2

−3

Opgave 8.71 Bestem tæthedsfunktion og fordelingsfunktion for en normalfordelt variabel X, hvor

a) M iddelværdien er 2, og spredningen er 4. Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem.

b) M iddelværdien er 0, og spredningen er 4. Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem.

c) M iddelværdien er 1, og spredningen er 5. Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem.

d) Middelværdien er 1, og spredningen er 0,5. Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem.

Opgave 8.72 En stokastisk variabel X er normalfordelt X ∼ N(8,6) og f betegner tæthedsfunktionen for X.

a) Forklar, hvad værdien af integralet

∫

f ( x )dx fortæller om X.

(Vejledende enkeltopgaver, stx A, efterår 2019, uden)

Opgave 8.73 Tæthedsfunktionen for en normalfordelt stokastisk variabel er givet ved f( x) =

1 32 π

⋅e

2 − 1 ⋅ ( x − 5)

a) Bestem middelværdien og spredningen for den stokastiske variabel.

b) Giv et skøn over funktionsværdien f(5).

c) Skitsér grafen for tæthedsfunktionen f.

(Vejledende enkeltopgaver, stx A, efterår 2019, uden)

156 Hvad er matematik? 3, opgavebog

8. Normalfordelingen og statistiske metoder knyttet til denne

Opgave 8.74 På et marked sælges der 50 græskar. Vægten af græskar antages at være normalfordelt med middelværdien 12,4 kg og en spredning på 2,31 kg.

a) Opskriv tæthedsfunktionen.

b) O pskriv et integral, der giver sandsynligheden for, at græskar har en vægt, der er mindre end 11 kg. Bestem værdien af integralet.

c) O pskriv et integral, der giver sandsynligheden for, at græskar har en vægt, der er større end 14 kg. Bestem værdien af integralet.

Opgave 8.75 I et land er levealderen normalfordelt med middelværdien 81 år og en spredning på 7 år.

a) Opskriv tæthedsfunktionen.

b) O pskriv et integral, der giver sandsynligheden for, at man lever mere end 92 år. Bestem værdien af integralet.

c) O pskriv et integral, der giver sandsynligheden for, at man lever mellem 78 og 88 år. Bestem værdien af integralet.

Opgave 8.76 Om en normalfordelt variabel X gælder, at spredningen er 3 og sandsynligheden for X ≤ 10 er 0,80.

a) Bestem middelværdien for X.

Opgave 8.77 En normalfordelt stokastisk variabel X er givet ved X ∼ N(5,7).

a) Tegn grafen for fordelingsfunktionen F for X.

Løs ligningen f(x) = 0,8.

(Vejledende enkeltopgaver, stx A, efterår 2019, uden)

Opgave 8.78 En normalfordelt stokastisk variabel X er givet med middelværdi k og spredning 3. Bestem k, når tæthedsfunktionen f opfylder, at f(1) = 0,05. (Vejledende enkeltopgaver, stx A, efterår 2019, uden)

157 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 8.79 Om en normalfordelt stokastisk variabel X oplyses, at P(X ≤ 10) = 0,25 samt at P(X ≤ 20) = 0,75. Bestem middelværdi og spredning for X. (Vejledende enkeltopgaver, stx A, efterår 2019, uden)

Opgave 8.80

t firma producerer kattemad i poser. Vægten af poserne med kattemad E er normalfordelt med middelværdien 5 kg og spredningen 0,11 kg.

a) E n bestemt pose med kattemad fra firmaet vejer 4,85 kg. Afgør, om vægten af denne pose er et normalt udfald.

F irmaet producerer også kattemad i større poser. Firmaet oplyser, at vægten af disse poser er normalfordelt med middelværdien 10 kg. Desuden oplyses, at 10 % af poserne vejer mindre end 9,8 kg.

b) Bestem spredningen for vægten af disse poser.

(stx A aug 2019)

Opgave 8.81 Tabellen viser fordelingen af nogle iltmolekylers hastigheder, målt i m pr. sek., ved en temperatur på 0°C. I de følgende spørgsmål regnes i denne enhed.

Hastighed i m/s

Frekvens

<100

100-200

200-300

17%

300-400

c) T egn den tilnærmede normalfordelingskurve i samme koordinatsystem, 22%

400-500

20%

500-600

15%

600-700

700-800

>800

a) T egn et histogram over frekvenserne for iltmolekylernes hastigheder. b) Bestem middelværdi, spredning og areal under histogrammet.

og vurder, om iltmolekylernes hastigheder med rimelighed kan siges at være normalfordelte.

d) Bestem sandsynligheden for, at iltmolekylernes hastigheder i følge normalfordelingsmodellen er mellem 335 og 425 m pr. sek. e) B estem sandsynligheden for, at iltmolekylernes hastigheder i følge normalfordelingsmodellen er under 250 m pr. sek. (Bygget på Vejledende HF Fællesfag eksamensopgaver fra 1994)

158 Hvad er matematik? 3, opgavebog

8. Normalfordelingen og statistiske metoder knyttet til denne

Opgave 8.82 For bestemte lysstofrør har målinger af deres levetid givet resultatet, som vises i tabellen. I det følgende antages, at levetiden for lysstofrør følger denne fordeling.

Tid t i timer

Procentdel af lysstofrør, der stadig fungerer efter t timer.

5000

a) U ndersøg, om det antal timer, et lysstofrør kan fungere, med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

6000

7000

b) B estem middelværdi og spredning for denne normalfordeling.

8000

9000

10000

11000

12000

13000

14000

15000

c) Bestem sandsynligheden for, at et lysstofrør kan fungere i mere end 12500 timer.

Opgave 8.83 Ved optælling af røde blodlegemer i blodet betragter man under mikroskop et tællekammer fyldt med fortyndet blod. Et tællekammer er et lille fladt rum med glasvægge, der indeholder et ganske bestemt rumfang. Tællekammeret er inddelt i lige store felter på en sådan måde, at man kan tælle antallet af blodlegemer i hvert felt. I skemaet nedenfor ses resultatet af tællingerne i 200 sådanne felter. Antal blodlegemer

Antal felter

a) Bestem middelværdien og standardafvigelsen.

b) B estem den brøkdel af observationerne, der ligger inden for én standardafvigelse fra middelværdien.

c) B estem den brøkdel af observationerne, der ligger inden for to standardafvigelser fra middelværdien.

d) Tegn et histogram med tilhørende normalfordeling og vurder, om antallet af blodlegemer med tilnærmelse kan siges at være normalfordelt.

159 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 8.84 En fabrik udleder en fosforforbindelse i sit spildevand. I en periode undersøges fabrikkens spildevand, og det viser sig, at den dagligt udledte mængde af fosforforbindelsen er normalfordelt med middelværdien 0,53 kg og spredningen 0,20 kg.

a) E n given dag måles en udledning af 1 kg af fosforforbindelsen. Afgør, om denne mængde er et exceptionelt udfald.

b) B estem sandsynligheden for, at der på en tilfældig dag i perioden udledes mindre end 0,70 kg af fosforforbindelsen.

(Vejledende eksamensopgaver A2 )

Opgave 8.85 Fra en bestemt producent har man udtaget en stikprøve på 200 poser med økologiske kartofler. Tabellen viser vægten af hver af de 200 poser.

Vægt (g)

Pose 1

Pose 2

…

Pose 199

Pose 200

1404

1497

…

1505

1523

(Resten af tabellen er tilgængelig via QR-koden) I en model kan vægten af en pose økologiske kartofler fra producenten beskrives ved en stokastisk variabel X.

a) Gør rede for, at X tilnærmelsesvis er normalfordelt.

b) Benyt stikprøven til at bestemme middelværdi og spredning af X.

c) B enyt modellen til at bestemme sandsynligheden for, at en pose økologiske kartofler fra producenten vejer mindre end 1450 g.

(stx A maj 2019)

160 Hvad er matematik? 3, opgavebog

8. Normalfordelingen og statistiske metoder knyttet til denne

Opgave 8.86 I et studie har man undersøgt sammenhængen mellem alder og kolesteroltal hos en række personer. Tabellen herunder viser de målte data fra studiet. Alder (år)

…

Kolesteroltal (mg/dL)

130

118

…

110

160

(Hele tabellen er tilgængelig via QR-koden) I en model antages det, at sammenhængen mellem alder og kolesteroltal kan beskrives ved funktionen f(x) = a · x + b, hvor f(x) betegner kolesteroltallet (målt i mg/dL) for en person, der er x år gammel.

a) Benyt tabellens data til at bestemme a og b.

b) G ør rede for, at residualerne med god tilnærmelse kan siges at være normalfordelte.

c) Angiv middelværdi og spredning for de normalfordelte residualer.

(Vejledende enkeltopgaver, stx A, efterår 2019)

8.4. Lineær regression som statistisk metode

Opgave 8.87 Tabellen viser sammenhørende værdier for arbejdsløshedsraten og inflationsraten i USA. Arbejdsløshedsraten Inflationsraten

4,7

…

4,9

4,4

3,4

2,8

…

1,3

2,1

(Hele tabellen kan du hente via QR-koden)

I en model antages det, at sammenhængen mellem arbejdsløshedsraten og inflationsraten i USA kan beskrives ved f(x) = a · x + b, hvor f(x) betegner inflationsraten (målt i %), og x betegner arbejdsløshedsraten (målt i %).

a) Benyt tabellens data til at bestemme a og b.

b) B estem et 95% konfidensinterval for a, og benyt dette til at afgøre om sammenhængen mellem arbejdsløshedsraten og inflationsraten er aftagende.

161 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 8.88 En kvinde har gennem en periode i forbindelse med sine løbeture noteret sammenhørende værdier af den gennemsnitlige løbetid pr. km og sin vægt umiddelbart før løbeturen. Resultaterne fremgår af tabellen nedenfor.

Vægt (kg)

83,1

83,0

…

75,5

75,2

Gennemsnitlig løbetid pr. km (minutter)

6,59

6,49

…

6,29

6,23

(Tabellen kan du hente via QR-koden) I en model antages det, at den gennemsnitlige løbetid pr. km (målt i minutter) som funktion af vægten (målt i kg) kan beskrives ved en lineær funktion. Modellen bestemmes ved lineær regression på tabellens data.

a) Benyt residualplottet til at vurdere modellen.

b) G ør rede for, at residualerne med god tilnærmelse kan siges at være normalfordelte, og bestem et 95%-konfidensinterval for hældningskoefficienten i modellen.

(Vejledende eksamensopgaver A1)

8.5. Blandede opgaver og udfordrende opgaver

Opgave 8.89 (Sammenligning af forskellige spredningsmål) I Hvad er matematik? 3, kapitel 9 analyseres et datamateriale med informationer om U18 landsholdet i herrehåndbold. Data kan hentes via grundbogen. Vi fokuserer her alene på højderne: 183

192

189

194

191,5

181

200

189,5

195

190

203,5

186

185

192

195,5

195

199

186

198

196

196,5

193

a) T egn et boksplot, og bestem kvartilbredden.

b) D efinitionen på outliers er, at det er dataværdier, der ligger længere væk fra boksen end 1,5 · kvartilbredde. Indeholder datasættet outliers?

c) Vis, at middeltallet h for højderne er 192,3.

162 Hvad er matematik? 3, opgavebog

8. Normalfordelingen og statistiske metoder knyttet til denne

d) Argumenter for, at hvis et datasæt er symmetrisk fordelt, så median = middeltal, så svarer reglen om outliers til, at dette er dataværdier, der ligger længere væk fra middeltallet end 2 · kvartilbredde. Giv en vurdering af, om datasættet kan siges at være symmetrisk.

e) Vis, at spredningen σ(h) er 5,6.

f) T egn et histogram med en passende søjlebredde. Højderne af søjlerne angives som procenttal skrevet som decimaltal. Dette valg kaldes i nogle programmer for tæthed.

g) T egn i samme koordinatsystem grafen for tæthedsfunktionen for normalforde3  ( I nogle værktøjsprolingen med middeltal 192,3 og spredning 5,6: φ  x −5,192, 6  grammer hedder denne normpdf(x,192.3, 5.6)).

h) For normalfordelinger gælder, at - 5 % af observationerne ligger længere væk fra middeltallet, end 2 spredninger, og de ligger symmetrisk – 2,5% til hver side. - 32% af observationerne ligger længere væk fra middeltallet, end 1 spredning, og de ligger symmetrisk – 16% til hver side. Da vi kun har 22 observationer, er vurderingerne naturligvis usikre, men giv alligevel en vurdering af, om højderne kan anses som normalfordelte.

Opgave 8.90 Gennemfør en undersøgelse efter samme opskrift som i foregående opgave af et materiale fra en sundheds- og konditionstest, jeres klasse, eller evt. hele skolen har gennemført. Fokuser fx på kondital. Alternativt: Gennemfør en undersøgelse over U18 landsholdets kondital: 57,5

47,2

57,6

48,5

50,8

59,6

55,9

56,8

49,9

56,1

55,5

56,3

51,9

54,8

42,7

57,7

49,5

57,8

43,7

60,5

163 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Regression med lineær algebra (supplerende stof)

0. Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 9 . . 164 2-4. Lineær regression med mindste kvadraters metode . . . . . . . . . . . . . . . . 167

9.0 Teori, metoder og grundlæggende viden, du skal kende fra kapitel 9 Opgave 9.1 a) H vad menes med formuleringen hos Kepler – og senere astronomer – om, at ”der mangler en planet”?

Opgave 9.2 a) K epler var overbevist om, at solsystemets opbygning og dynamik er styret af harmoniske love, og at han var sat på Jorden for at opdage disse. Blandt de mange, han mente at opdage, var den, vi i dag kalder for Keplers 3. lov. Hvad siger denne? Er det en videnskabelig lov? Hvorfor/hvorfor ikke? b) J agten på den manglende planet fik bl.a. næring af den såkaldte Titius-Bodes lov. Hvad siger denne? Er det en videnskabelig lov? Hvorfor/hvorfor ikke? c) Hvad var Himmelpolitiet for en institution?

Opgave 9.3 Redegør for historien om opdagelsen af Ceres, om dens ”forsvinden” og om Gauss’ bidrag til at den blev genfundet.

164 Hvad er matematik? 3, opgavebog

9. Regression med lineær algebra (supplerende stof)

Opgave 9.4 På s. 385-86 (HEM 3) gengives uddrag af Gauss’ egen fremstilling af sin nye metode.

a) H vorfor er det ifølge Gauss nødvendigt med flere observationer end antallet af ukendte parametre for at bestemme disse med nogenlunde sikkerhed?

b) H vordan bestemmes det mest sandsynlige sæt af værdier for de søgte parametre?

Opgave 9.5 a) Forklar ideen i ligningsløsning med lige store koefficienters metode. b) Metoden kaldes også for ”Gauss-elimination”. Kan du forklare dette navn? Opgave 9.6 Den franske matematiker Legendre havde faktisk fundet mindste kvadraters metode før Gauss. Hvad var det Legendre brugte sin metode til?

Afsnit 9.2 – 9.4 Opgave 9.7 Givet et råt, ubearbejdet datasæt. Hvordan går vi frem i en undersøgelse af, om vi kan gennemføre en matematisk modellering af datasættet?

Opgave 9.8 Formuler og bevis Pythagoras sætning i 3 dimensioner.

Opgave 9.9 Hvordan adderes n-dimensionale vektorer, hvordan ganges en konstant på en n-dimensional vektor, og hvordan udregnes skalarproduktet af to n-dimensionale vektorer?

Opgave 9.10 a) F orklar, hvorledes en kvadratsum, som indgår i mindste kvadraters metode, kan tolkes som kvadratet på afstanden fra en vektor til en linje i et n-dimensionalt rum. b) H vilket tal m giver den mindste afstand i det n-dimensionale rum mellem et datasæt og linjen bestemt ved t · (1,1, ..., 1)? c) Illustrer den geometriske ide i beviset for denne sætning.

165 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 9.11 Givet et datasæt med n værdier.

a) Hvordan bestemmes middeltallet?

b) Hvordan bestemmes variansen og spredningen?

Opgave 9.12 a) Givet to datasæt, x og y. Hvad forstår vi ved covariansen, cov(x,y)? b) H vis vi tror på en lineær afhængighed: Hvordan estimeres da hældningskoefficienten â og konstantleddet b̂?

Opgave 9.13 Givet to datasæt, x og y. Hvad forstår vi ved tyngdepunktet for datasættet?

Opgave 9.14 a) G ivet to datasæt, x og y, hvor vi tror på en lineær afhængighed. Hvad forstår vi ved observerede værdier og forventede værdier? b) Argumenter for, at observerede og forventede værdier har samme middeltal. Opgave 9.15 a) Hvad mener man, når man siger, at ”to datasæt er korrelerede”? b) D er findes et mål for, hvor god korrelationen er. Hvad er definitionen på denne korrelationskoefficient, R?

Opgave 9.16 Hvad forstås ved ”planen udspændt af vektorerne , a og b”.

Opgave 9.17 a) K orrelationskoefficienten kan tolkes som cosinus til en vinkel mellem to planer. Hvilke to planer? b) Argumenter for, at korrelationskoefficienten, R altid ligger mellem –1 og +1.

166 Hvad er matematik? 3, opgavebog

9. Regression med lineær algebra (supplerende stof)

Opgave 9.18 a) Hvad er definitionen på determinationskoefficienten (forklaringsgraden), r 2? b) Hvad er sammenhængen mellem forklaringsgraden og korrelationskoefficienten? c) H vad er sammenhængen mellem forklaringsgraden og graden af afhængighed mellem to variable? Kommenter i den forbindelse udsagn som ”den uafhængige variabel x forklarer 57 % af variationen i den afhængige variabel y ”.

Opgave 9.19 Hvad var statistikeren Francis Anscombes hensigt med at producere sine 4 datasæt?

9.2 – 9.4 Lineær regression med mindste kvadraters metode Opgave 9.20 (Middeltallet er tallet med mindste variation) For en bestemt gruppe på 15 læger blev det undersøgt, hvor ofte de havde udført et kirurgisk indgreb, der medførte fjernelse af livmoderen. Antallet af sådanne operative indgreb var for hver de 15 læger henholdsvis:

27, 50, 33, 25, 86, 25, 85, 31, 37, 44, 20, 36, 59, 34, 28 sum(antal indgreb)

a) Bestem middeltallet: x =

b) Definer: v ( x ) = variationen (antal indgreb) =

15 2

sum((antal indgreb-x ) ) 15

Vis, at v(x) = x2 – 82,67 · x + 2104,8

c) Tegn grafen for v(x).

d) Vis, at middeltallet x = er lig med 1. koordinaten til toppunktet. Udtryk med ord, 15 hvad dette betyder.

e) Bestem variansen v( x )=og spredningen σ = v(x)

f) Vis, at variansen v( x )=er lig med 2. koordinaten til toppunktet.

sum(antal indgreb)

15 sum(antal indgreb) 15

(Baseret på opgave fra de vejledende eksamensopgaver stx A- niveau)

167 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 9.21 (Behandling af datamaterialet i opgaven om de 15 læger ved hjælp af metoderne i lineær algebra.) For en bestemt gruppe på 15 læger blev det undersøgt, hvor ofte de havde udført et kirurgisk indgreb, der medførte fjernelse af livmoderen. Antallet af sådanne operative indgreb var for hver de 15 læger henholdsvis:

27, 50, 33, 25, 86, 25, 85, 31, 37, 44, 20, 36, 59, 34, 28  a) Opret observationerne som en vektor x . Hvilken dimension har vektorrummet?

b) Argumenter for, at opgaven: Bestem den værdi af t, der minimer summen af afstandskvadraterne:

( x1 − t )2 + ( x2 − t )2 + ...( x n − t )2

svarer til opgaven:    Bestem den værdi af t, der minimerer længden af residualvektoren: e = x − t ⋅ d,    e = xhvor − t ⋅ d er diagonalvektoren (1,1,...,1). c) A rgumenter geometrisk for, at denne værdi af t kan bestemmes ud fra pro    e =vektor x − t ⋅ d . Tegn en skitse, der illustrerer dit argument. jektionen af vektor x på       sum(antal indgreb) d) Bestem projektionen x⋅2d ⋅ d , og vis, at x⋅2d ⋅er af obserd lig med middeltallet x = d 15 d vationerne.    e) O pskriv vektoren e = x − x ⋅ d , og udtryk i ord det resultat, vi er nået frem til i punkterne a)– d).

  2 f) Bestem variansen V ( x ) = n1 ⋅ ( x − x ) .     e g) Bestem spredningen σ( x ) = V ( x ) , og vis, at σ ( x ) =  . d h) Udtryk afvigelsen mellem datasættet og middeltallet skrevet på vektorform    e = x −( x ⋅ d ) som en vinkel i det n-dimensionale vektorrum.

Opgave 9.22 (Middeltallet er tallet med mindste variation) Gennemfør en analyse efter samme opskrift som i opgaven om de 15 læger af en eller flere af kategorierne i jeres egne data over sundhed og kondital. Alternativt: Anvend materialet fra U18 landsholdet, og analyser en eller flere af kategorierne: Vægt: 83,5

88,1

83,4

90,2

89,5

68,8

97,0

91,7

83,6

90,2

116,0

71,7

77,7

88,1

85,0

75,0

105,4

82,2

101,7

75,1

108,4

90,0

Fitnesstal: 189

159

190

165

172

187

168

188

167

196

179

180

189

172

177

151

190

173

186

155

204

168 Hvad er matematik? 3, opgavebog

9. Regression med lineær algebra (supplerende stof)

sum(antal indgreb)

a) Bestem middeltallet x =

b) Bestem variationen v(x)

c) Tegn grafen for v(x)

d V is, at middeltallet er lig med 1. koordinaten til toppunktet. Udtryk med ord, hvad dette betyder.

e) Bestem variansen v( x )=og spredningen σ = v(x) .

f) Vis, at variansen v( x )=er lig med 2. koordinaten til toppunktet.

g) B estem spredningen, fremstil et histogram af datamaterialet, og sammenlign med den overlejrede normalfordeling.

sum(antal indgreb)

15 sum(antal indgreb) 15

Opgave 9.23 (Behandling af datamaterialet i opgaven om de 15 læger ved hjælp af metoderne i lineær algebra) Gennemfør en analyse efter samme opskrift som i opgaven om de 15 læger af en eller flere af kategorierne i jeres egne data over sundhed og kondital. Alternativt: Anvend materialet fra U18 landsholdet, og analyser en eller flere af datasættene, der er anført i forrige opgave.

a) Opret observationerne som en vektor. Hvilken dimension har vektorrummet?

b) Argumenter for, at opgaven: Bestem den værdi af t, der minimer summen af afstandskvadraterne: ( x1 − t )2 + ( x2 − t )2 + ...( x n − t )2

svarer til opgaven:

   Bestem den værdi af t, der minimerer længden af residualvektoren: e = x − t ⋅ d,    e = xhvor − t ⋅ d er diagonalvektoren (1,1,...,1).

c) A rgumenter geometrisk for, at denne værdi af t kan bestemmes ud fra projektio    e =vektor x − t ⋅ d . Tegn en skitse, der illustrerer dit argument. nen af vektor x på       sum(antal indgreb) d) Bestem projektionen x⋅2d ⋅ d , og vis, at x⋅2d ⋅er af observad lig med middeltallet x = d 15 d tionerne.    e) O pskriv vektoren e = x − x ⋅ d , og udtryk i ord det resultat, vi er nået frem til i punkterne a) – d).

169 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 9.24 (Den bedste proportionalitet – Følgende er et uddrag fra kapitel 12, matematik-kemi i Hvad er matematik? 1) I forbindelse med undersøgelse af en vandprøve vil man undersøge indholdet af nitrit. Nitrit omdannes normalt hurtigt videre til nitrat i vand. Hvis man finder nitrit i en vandprøve, er det ofte tegn på, at der ikke er dioxygen nok i vandet. Nitrit er et giftstof for dyr, der lever i vand. I fiskevand med gydning må indholdet af nitrit ikke overstige 0,1 mg NO2– /L, og i laksevand må nitrit ikke overstige 0,03 mg NO2– /L. (Kilde: I.C. Petersen Naturundersøgelser 1. De ferske vande, Nucleus, 1995, 1. udgave, 1.oplag) . Nitrit kan ved en kemisk reaktion danne et rødt farvestof, og derfor vælges at benytte spektrofotometri som kemisk metode. I tabellen kan ses de målte værdier for sammenhængen mellem absorbans og indholdet af nitrit (i mg/L) i standardprøverne: Koncentration af nitrit (mg NO2– /L)

0,092

0,184

0,276

0,368

0,460

0,552

Absorbans

0,103

0,198

0,304

0,404

0,503

0,607

Modellen bør følge Lambert-Beers lov, hvilket betyder, at der er proportionalitet mellem koncentration af nitrit, som betegnes x, og absorbansen, som betegnes y. Opgaven går derfor ud på at bestemme det tal k, der giver den bedste proportionalitet: y = k · x.

a) H vis værktøjsprogrammet har en facilitet, der kan give den bedste rette linje, som går gennem (0,0), så anvend den. Ellers udfør lineær regression. I begge tilfælde noterer vi os hældningskoefficienten til den rette linje.   b) O pskriv de to datasæt som vektorer, x og y . Hvilken dimension har vektorrummet?

Det tal k, der giver den bedste proportionalitet, må være det tal, der minimerer læng  den af vektoren y − k ⋅ x . Dette tal vil vi nu bestemme.

c) Definer: v ( k ) = variationen ( k ) =

sum((y − k ⋅ x ) ) 6

Vis, at v(k) = 0,12837 · k2 – 0,2816 · k + 0,15448

d) Tegn grafen for v(k), og bestem grafisk, hvor v(k) har minimum.

e) B estem ved beregning, hvor andengradspolynomiet v(k) har minimum. Drag en foreløbig konklusion ved at sammenligne med resultatet fra punkt a).

2 1  f) A rgumenter for, at v ( k ) = 6 ⋅ ( y − k ⋅ x ) og vis ved anvendelse af vektorregning, at:     v(k ) = 1 ⋅ x 2 ⋅ k 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ x ⋅ y ⋅ k + 1 ⋅ y 2 6 6 6     = x2 ⋅ k2 − 2⋅ x ⋅ y ⋅ k + y2

170 Hvad er matematik? 3, opgavebog

9. Regression med lineær algebra (supplerende stof)

g) Vis, at den k-værdi, der giver den bedste proportionalitet er k* =

  x⋅y 2 x

  x⋅y h) Udregn værdien af k* ,=ogkonkluder ved at sammenligne med 2 x de tidligere resultater.

Opgave 9.25 (Den bedste rette linje) Tabellen viser sammenhørende værdier af trykket P, målt i Pa, og temperaturen t, målt i ºC. t P

5,0

10,1

29,9

40,0

70,2

90,1

231,1

235,1

251,1

260,2

285,1

301,5

a) Plot datasættet i et koordinatsystem.

2 cov( t,var( P ) =t ) (=t −( t t−) ⋅t()P − P .) b) Bestem middelværdierne og

c) G ennemfør regression med et værktøjsprogram, og undersøg om tyngdepunktet ligger på regressionsgrafen.

d) Bestem variansen af temperaturen t: var( t ) = ( t − t )2 .

e) B estem covariansen af temperatur og tryk: cov( t, P ) = ( t − t ) ⋅ ( P − P ) .

f) Bestem parametrene a og b med brug af formlerne for bedste rette linje: cov( t, P ) b = P − a⋅ t a= var( t ) og sammenlign med værktøjsprogrammets regressionsfomel.

Opgave 9.26 (Behandling af datamaterialet i foregående opgave ved hjælp af metoderne i lineær algebra) 2 t,var( P ) =t ) (=t −( t t−) ⋅t()P − P ,) samt diagonalvektoren a) O pskriv de to datasætcov( på vektorform, og    e = x − t ⋅ d = (1,1,...,1). Hvilken dimension har vektorrummet?     b) Vis, at td = t ⋅ d og Pd = P ⋅ d .    c) I ndsæt tabelværdierne, og bestem normalprojektionerne t⊥ = t − td    og P⊥ = P − Pd .

d) Kombiner b) og c), og argumenter teoretisk for, at     1 t ⋅ P⊥ = cov( t , P ), samt at n1 ⋅ t⊥ 2 = var( t ). n ⊥  2 1  1  2 e) Bestem tallene og ⋅ t , =P⊥var( t )n t⊥ ⋅ P⊥. n ⊥

171 Hvad er matematik? 3, opgavebog

f) A rgumenter for, at den bedste rette linje er den linje y = a · x + b, der minimerer     længden af vektoren z = P − a ⋅ x − b, hvilket er ensbetydende med at minimere 2 z .

g) V is, at 2 z = 15667,07 ⋅ a2 + 490,6 ⋅ a ⋅ b − 137250,14 ⋅ a + 6 ⋅ b2 − 3128,2 ⋅ b + 411618,73 2 h) Vis, at hvis z betragtes som et andengradspolynomium i b, så optræder minimum for en given værdi af a, når:

b = 260,6833 – 40,8833 · a

2 i) Indsæt dette udtryk for b, og opskriv z som et andengradspolynomium i a: 2 z = A · a2 + B · a + C

j) V is, at koefficienterne A, B, og C i overensstemmelse med den teoretiske gennemgang i grundbogen svarer til værdierne, vi fandt i e):     A = t⊥ 2 , B = 2 ⋅ t⊥ ⋅ P⊥, C = P⊥ 2

k) Bestem korrelationskoefficienten r, og giv en geometrisk tolkning af dette tal som en vinkel i vektorrummet.

(Baseret på opgave fra de vejledende eksamensopgaver stx A-niveau)

Opgave 9.27 Vi vil undersøge, om der er en lineær sammenhæng mellem vægt og kondital. Udgangspunktet er U18 landsholdets data, men disse data kan udskiftes med klassens egne. vægt

83,5

88,1

83,4

90,2

89,5

68,8

97,0

91,7

83,6

90,2

116,0

kondital

57,5

47,2

57,6

48,5

50,8

59,6

49,0

55,9

56,8

49,9

55,0

vægt

71,7

77,7

88,1

85,0

75,0 105,4

82,2

101,7

75,1 108,4

90,0

kondital

56,1

55,5

56,3

51,9

54,8

57,7

49,5

57,8

60,5

42,7

43,7

a) A fsæt dataværdierne i et koordinatsystem med kondital som den afhængige variabel y og vægten som den uafhængige variabel x.

b) G ennemfør lineær regression med værktøjsprogrammet og vis at regressionsformlen giver: y = –0,2565x + 76,028.

c) Beregn selv formlen for den bedste rette linje, og kontroller du får samme resultat.

d) Beregn korrelationskoefficienten r = programmets beregning.

cov( x , y ) , σ ( x ) ⋅σ ( y)

og sammenlign med værktøjs-

172 Hvad er matematik? 3, opgavebog

9. Regression med lineær algebra (supplerende stof)

e) A fsæt tyngdepunktet T ( x , y ) i koordinatsystemet, og kontroller, at det ligger på regressionslinjen.

Selvom den lineære sammenhæng langt fra fortæller om en eksakt sammenhæng, er der dog en tydelig tendens. Denne vil vi nu undersøge nærmere, idet vi vil gennemføre en eksperimentel undersøgelse af nulhypotesen: Der er ingen sammenhæng mellem vægt og kondital, dvs vi antager hældningskoefficienten er 0, og at vores observationer kan forklares som tilfældige udsving.

f) H old kolonnen med kondital fast og gennemfør en ”omrøring” af værdierne i kolonnen med vægt, dvs vi tager de 22 værdier, blander dem og lægger dem tilbage igen. Derefter beregnes hældningskoefficienten for den bedste lineære sammenhæng mellem de simulerede vægte og konditallene. Anvend formlen for bedste ”a-tal”.

g) H istogrammet viser, at denne fordeling ikke giver anledning til en sammenligning med en normalfordeling, da fordelingen tydeligvis er meget skæv. Dette bekræftes også af et standard normalfordelingsplot. 8

sum(antal indgreb)

x = 88,2864

Hyppighed

0 60

100

110

z-score

µ + 2σ

µ+σ

–1

µ–σ

x – 88,2864 11,9098

µ – 2σ

–2 60

120

Vægt

90 Vægt

100

110

h) Undersøg for din egen simulering, hvor mange værdier, der er lig med eller lavere end den observerede værdi på –0,2565. Hvad er din konklusion vedr nulhypotesen?

173 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Vi kan vælge et histogram som grafisk repræsentation og tilnærme dette med en normalfordeling. Dertil skal vi estimere middelværdi og spredning. Hvordan vil du estimere disse værdier ud fra dine simulerede værdier? Resultatet kan se således ud: µ – 2σ

µ + 2σ

Hyppighed

160

120

Observeret hældningstal a

200

0 –0,4

–0,3

–0,2

–0,1

0,1

0,2

0,3

0,4

Simulerede hældningstal a

(Da estimeringen foretages på basis af simuleringen vil de konkrete værdier være en anelse forskellige for hvert eksperiment)

i) Undersøg nulhypotesen ved hjælp af et normalfordelingstest med brug af den normalfordeling, du er nået frem til. I et normalfordelingstest undersøger vi, hvordan den observerede værdi ligger i forhold til middelværdi ± 2 spredninger. Disse grænser giver os de kritiske værdier, der adskiller acceptområdet fra forkastelsesområdet. Bestem de kritiske værdier. Hvad er konklusionen?

174 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

Ovenfor ses cosinus og sinus tegnet for de forskellige intervaller. Man ser, de to funktioner er identiske på nær en translation: π cos ( x ) = sin  x +  2

Kapitel 0 Opgaver 0.1– 0.25

Opgave 1.28

Ingen facitliste. Opgaverne fungerer som kontrolspørgsmål og/eller oplæg til diskussion i klassen.

a) b) c) d)

Kapitel 1 Opgaver 1.1–1.25 Ingen facitliste. Opgaverne fungerer som kontrolspørgsmål og/eller oplæg til diskussion i klassen.

Opgave 1.26 a) N edenfor ses f tegnet for de forskellige intervaller. Man ser, at sinus er en periodisk funktion med periode 2p. b) R egner man i grader, bliver graferne rette linjer. 1

sin x 0

–0,5

–2

Opgave 1.27

og og og og

x = 5,12 x = 5,64 x = 3,64 x = 3,04

Brugte man intervallet [–p,p], ville løsningerne i d) være uforandrede. Løsningerne ville i a) være x = –1,16 og x = 1,16, i b) være x = – 0,70 og x = –2,50 og i c) være x = –2,65 og x = 3,04

Opgave 1.29 a) H ar løsningerne x = π2 og x = 32π . π x =– π2 I [–p;p]: x = 2 og b) H ar løsningerne x = 0, x = p og x = 2p. I [–p;p]: x = –p, x = 0 og x = p c) H ar løsningerne x = 0 og x = 2p. I [–p;p]: x = 0 d) Har løsningerne x = π2 . I [–p;p]: x = π2

cos x

sin x

Grafen C hører til funktionen f, da f er den eneste med nulpunkt i x = 0. Grafen B er en lodret parallelforskydning af grafen C og hører derfor til funktionen g. Derfor må grafen A høre til funktionen h. Vi kan også se, at grafen A har det største maksimum. x =f( π2 ) = 1,x g( = π2 ) = 3, x h( = π2 ) = 4, så A hører til h. Og

Opgave 1.31 a) b) c) d)

0,5

f ′(x) = cos(x) g ′(x) = –sin(x) h ′(x) = cos(x) + 2x i ′(x) = e x – sin(x)

Opgave 1.32

–0,5

–1

x = 1,16 x = 3,79 x = 2,65 x = 0,10

Opgave 1.30

0,5

–1

Har løsningerne Har løsningerne Har løsningerne Har løsningerne

–2

a) b) c) d)

f ′(x) = x 2 (cos (x) x + 2sin(x)) g ′(x) = 5cos(x) – (5x + 7) sin(x) h ′(x) = ex (cos(x) + sin(x)) i ′(x) = cos2 (x) – sin2 (x)

175 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 1.33 a) b) c) d)

Opgave 1.39

f ′(x) = 4cos (x + 7) g ′(x) = –2cos(x) sin(x) Samme som ovenfor i ′(x) = 2cos(x) sin(x)

Vandstand 2 0,71 · sin(0,26t) + 1,12

1,5

Opgave 1.34

ff '′(x) ( x )==00·⋅ xx == 23π ∨ x = 43π . f er voksende i interπ vallet 0, 23 π, aftagende i intervallet  23π , 43π  og voksende i intervallet  43π ,2π  . π

Opgave 1.35 Funktion

–2

–3

0,5

1,5

–2

–4

Funktion

Opgave 1.36 f

– 0,07

–3,02

1,5

1,12

Vi aflæser: maks = 4, min = –2. Ligevægtspunktet c er middeltallet af de to, så c = 1. Amplituden A er udsvinget fra ligevægt, så A = 3. Ved at tælle tern finder vi perioden T = π. 2π 2π Deraf får vi b = ω = = π = 2. T

Opgave 1.38 2π

2π π 2

Timer

a) Grafen er tegnet ovenfor. Vi har valgt vores interval, så det svarer til et døgn (24 timer). b) Når der er lavvande, er vandstanden 0,41 m, og når der er højvande, er den 1,83 m. Udsvinget er altså på 1,42 m. c) Vandstanden er på 1,5 m kl. 2.10 og kl. 9.54. d) Vandstanden er under 1 m mellem kl. 12.44 og kl. 23.30. e) f ′(t) = – 0,006. Dvs. at efter 18 timer falder vandstanden med 0,6 cm i timen.

Opgave 1.40 Aktivitetspuls 110 105 100 95 90 85

15,8 · sin(0,038t – 4,25) + 93,8

80 60

100

120

140

160

180 200

220 240 Dag efter nytår

b) p (120) = 98,6. Dvs. den 30. april er aktivitetspulsen på 98,6. c) p (t) = 90 ⇔ t = 105,2 ∨ t = 270,8. Dvs. rådyret havde både 16. april og 28. august en aktivitetspuls på 90. d) Aktivitetspulsen steg med 9,2%. e) D en højeste aktivitetspuls var 109,6, og den laveste var 78.

π 2

2 x=

Opgave 1.37

a) T = ω =

0,5

2π

3π

176 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

Opgave 1.41

Opgave 1.44 π a) r = 1090 og m = 9730⋅ b) Stemplets maksimale fart er 11072 mm/sek. c) Det varer 0,03 sek.

a) 3 ⋅ sin(12 ⋅ p ⋅ t ) 2

Højde i cm 1,5 1

Opgave 1.45

0,5

a) D ata for København, hentet fra www.worldclimate.com

0 –0,5 –1 –1,5 –1

–0,5

0,5

Jan

Feb

Mar

Apr

Maj

Jun

-0,4

1,3

5,8

11,1

15,4

Jul

Aug

Sep

Okt

Nov

Dec

17,1

16,6

13,3

8,8

4,1

1,3

°C

Tid i sekunder

b) Nålen er højst 1,5 cm over stingpladen. c) Der sys 12 sting i sekundet.

°C

b) Graf:

Opgave 1.42 a) Den mindste vanddybde er 2 m, og den højeste er 12 m over sandrevlen. b) ff ' ′((t) t ) = 52 cos  21 t − 1 . Vandet steg med 0,71 m i timen efter 12 timer.

16 14 12 10 8

Opgave 1.43 a) D a O ′(x) = 0,2 + 0,18cos(0,006x) ≥ 0,2 – 0,18 = 0,02 > 0 følger af monotonisætningen, at O er voksende i hele sin definitionsmængde. b) Man finder, at F ′(x) = 0 ⇔ x = 949,6 ∨ x = 97,6 i intervallet [0,1000]. Af grafen nedenfor ses, at x = 949,6 er et maksimum med en fortjeneste på 59,0 millioner. Fortjeneste i mio 60 –30 · sin(0,006x) + 0,15 · x – 100 40

6 4 2 –2 –1 0 –2

x 1 2

3 4 5 6 7 8 9 10

–4

Sinusregression giver: T (t) = 8,99 sin (0,55t – 2,19) + 8,27, hvor 0 ≤ t ≤ 12. c) Ud fra modellen er t = 4,3 eller t = 9,3.

Opgave 1.46

a) Da omkredsen er 20, er 2r + r · v = 20. Dvs. r = 220 . 2 +v v 20 b) A realet bliver A( v ) = 2 π π ⋅  2 + v  eller

0 –20 –40 –60

A( v ) =

–80 –100

200v

( v + 2)2

, hvor 0 ≤ v ≤ 2p .

c) v = 2.

–120 0

200

400

600

800 1000 Antal enheder

177 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Kapitel 2

Opgaver 2.1– 2.32 Ingen facitliste. Opgaverne fungerer som kontrolspørgsmål og/eller oplæg til diskussion i klassen.

Opgave 2.33 a)

1 ⋅ x 3,5 3, 5

c) k e) g)

b) –2 · x–0,5 + k

3 ⋅ cos(2 x ) + k 2 1 ⋅ x 22 + k 22

Opgave 2.38

d) –2 · e –x + k

et minimum og et maksimum i samme x-værdi (længst til højre). Så de to kan ikke høre sammen. Da den røde, A, heller ikke har nulpunkt i denne x-værdi, kan hverken B eller C være stamfunktion, derfor må F være A med den røde graf. Hvor denne har vandret tangent (tre steder), har både B og C nulpunkter. Men hvor F (den røde) er aftagende, skal f være negativ. Det er kun opfyldt for den blå, B, som derfor er f.

f) 5x + k

h) –4 · sin(0,5x) + k

i) 5 · ln(x) + k

Udnyt produktreglen for differentiation: a) ( x ⋅ ln(x) – x) ′ = 1 ⋅ ln(x) + x ⋅ 1x – 1 = ln(x) + 1 – 1 = ln(x) b) ((x ⋅ ln(x)) ′ = 1 ⋅ ln(x) + x ⋅ 1x = ln(x) + 1

Opgave 2.39

Opgave 2.34

Differentier F(x) og se, at det giver f2 (x).

Differentier f: (f(x)) ′ = (x2 · sin(x)) ′– (2 · sin(x)) ′+ (2 · x · cos(x)) ′ = (2x · sin(x) + x2 · cos(x)) – 2 · cos(x) + 2 · cos(x) + 2 · x · ( –sin(x)) = x2 · cos(x) Så f er en stamfunktion til g.

Opgave 2.35

Opgave 2.40 Vi har, at ( F1(x)) ′= ( F3 (x)) ′= f(x), og dermed er den søgte stamfunktion en af disse to. Da F1(1) = 10, er det F1, som er den søgte stamfunktion.

Opgave 2.41  ′ ''

1 13 1 1 1  F(x) −− 1 = 2x −− 1 + 3x – 12 −− 12 −− 1 −− 1 1 ' 22 x) == 22xx ⋅⋅ln ln ln( xx) ++ 22xx ⋅⋅ 1 −− 22xx 22 == xx 22 ⋅⋅ln ln( xx) ++ 22xx 2 −− 22xx 22 == xx 22 ⋅⋅ln ln( xx) ln(x) ggg' (′(xx) xx) −− 44xx  == 2 ⋅⋅ xx ⋅⋅ln ( xx 2 '' 11 11 11 11 11 11 11 11  11 − − − − − − − − − − − − Opgave 2.42 22 g''( xx) == 22xx22 ⋅⋅ln ln( xx) −− 44xx22 == ⋅⋅ xx 22 ⋅⋅ln ln ln(x) ( xx) ++ 22xx22 ⋅⋅ 1x1x −− 22xx 22 == xx 22 ⋅⋅lnln( xx) ++ 22xx 22 −− 22xx 22 == xx 22 ⋅⋅lnln( xx) 22 F(x) = 4x – x3 + 5 1 1 1 1 1 1 11 −−1 −− 1 −− 1 −− 1 −− 1 −− 1 22 22 11 22 22 22 22 22 ln((xx))++22xx ⋅⋅ −−22xx ==xx ⋅⋅ln ln ln((xx)) xx ⋅⋅ln ln(x) ln(x) ((xx))++22xx −−22xx == xx ⋅⋅ln 11 22

11 22

1 −−12 2

11 22

Opgave 2.43

Opgave 2.36

F(x) = 2ln(x) – x4 + 4

I alle fire opgaver er stamfunktionen polynomiet af højeste grad. a) f har den blå graf, og F har den røde graf. b) f har den blå graf, og F har den røde graf. c) f har den blå graf, og F har den røde graf. d) f har den blå graf, og F har den røde graf.

Opgave 2.44 F(x) = x2 + x + ex + 2

Opgave 2.45 F(x) = x2 + ln(x) + 2

Opgave 2.37

Opgave 2.46

Hvis grafen for F har vandret tangent, skal f have et nulpunkt. Den blå, B, og den grønne, C, har henholdsvis

F(x) = 2x5 + ln(x) + 23

178 Hvad er matematik? 3, opgavebog

)

Facitliste

Opgave 2.47

(

Opgave 2.52

)

'′

f ' ′((x) x ) = x 4 ln ( x ) + x 4 = 4 x 3 ln ( x ) + x 4 3

= 4 x ln ( x ) + x

4 1

+ 4 x = 4 x ln ( x ) + x + 4 x

1 x

+ 4 x 3 = 4 x 3 ln ( x ) + x 3 6+ 4 x 3 ∫ (2 x − 1) dx =

= 4 x 3 ln ( x ) + 5 x 3 = g( x ) Indsættes P, fås G(x) = x4 ⋅ ln(x) + x4 + 12

Opgave 2.48 1 3

∫ (3 + 5 x )

∫ (2 + 3 x )

−2

x4 −

( )

∫x

2x 2

(

1 4

x 2 + e4 x

2e x

x 1,4 +

4 5

x 2,5

8 3

(

∫ 5x

e) J(x) = –5cos(x) – 2sin(x) 3 2

∫x

Opgave 2.51 7

dx ==∫3ln dx = 4 x + 7ln x + k x ++7∫xx+dxk ∫ ( x3 x+ 7)dx x 4x + 7 4x 7 ∫ x dx = ∫ x dx + ∫ x dx = 4 x + 7ln x + k 4x + 7 4x 7 = ∫= e dx− +e ∫ dx = 4 x + 7ln x + k + k ∫ e x +2 edx dx x 2⋅ k x k⋅x

k⋅x

4x + 7

dx+ =4cos(2x) dx = 4 x ++7ln x + k+ k 2sin(2x) ∫ (3sin(x) ∫ x dx)+dx∫ =x –3cos(x) x 4 x +x7 7 34 x x ∫ 3 · x5 dxdx==ln∫(5x) 5dx++k ∫ x dx = 4 x + 7ln x + k

∫

a) b)

4x + 7 4 x 11 5 76 dx == 1 xdx =4 (x5x– 5)dx −+ xx dx + 25 x x++k7ln 11x 3

∫

+ 1)5 dx =

(

)

6 1 22 (xx ++ 11) 6 ++kk 6

⋅ ( x 3 + 1)5 dx =

(

)

6 1 33 (xx ++ 1 1) 6 ++ kk 3

dx = e x

x +k

dx =

1 x 3 +1 e + 3

Opgave 2.61

−k⋅x

Opgave 2.60

f) KK(x) cos(2x) 8 sin(0,5 x ) ( x ) = − cos (2 x )++ 8sin(0,5x)

)

dx = 2ln (e ex + 11)++kk

Opgave 2.59

( x ) == −2 x −2 − 3e− x d) II(x)

∫ 6x

3 2

c)HH(x) 2ln|x| ( x ) ==2ln | x | + x

4x + 7

)

Opgave 2.58

b) G G(x) ( x ) = x 0,5 + 2 x 1,5

∫ 2x ⋅ ( x

Opgave 2.50

−k⋅ x

Opgave 2.56

Opgave 2.57

c) d)

2 5

dx = ln (xx22 ++ 1) 1 ++ kk

f) KK(x) ( x ) ==

−1

1 3

Opgave 2.55

∫e

dx = − ((2 2 ++33x) x ) –1 ++kk

e) J(x) = 4ex + 3e –x

5 7

10 x ) 10 ++ kk ((33 ++55x)

Definitionsmængde for stamfunktion: x > – 5

1 3 1 2 x + x + 5x 3 2 1 −2 1 9 −1 x == − x − x − x c) HH(x) 2 9 3 2 1 4 x ) ==55ln|x| ln | x | − x + x d)I(I(x) 2 8

a) FF(x) ( x) =

1 50

Definitionsmængde for integrand: x ≠ –

a) F(x) = x – x2 + x3 – x6

1 2

dx =

2)) ++ kk 5x + 2 ∫ 5 x + 2 dx = 5 ln ((5x

Opgave 2.49 1 4

+ kk

Opgave 2.54

F(x) = 31 x3 – x2 – 3x + 11

b) G G(x) ( x ) ==

)

Opgave 2.53

G(x) = f(x) + k

F(x) = 31 x3 – x2 – 3x +

(

7 1 (2x 2 x –− 1) 1 14

1) e ++ k ∫ x ⋅ e dx = ((xx –− 1)e 2 x 2) exx ++ kk ( x22–−2x2 x++ 2)e ∫ x ⋅ e dx = (x sin ( x )–−xx⋅⋅ cos(x) cos ( x )++ kk ∫ x ⋅ sin( x ) dx = sin(x) x

∫x

⋅ cos( x ) dx = x 2 ⋅ sin ( x ) + 2 x ⋅ cos ( x ) − 2 sin ( x ) + k

x2 ⋅ sin(x) + 2x ⋅ cos(x) – 2sin(x) + k

179 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 2.62

Opgave 2.71

Bestem hvert af integralerne

∫0 e

∫ b) ∫ c) ∫

( )

1 ln(x) 2 x ⋅ ln( x ) dx = x 2 ⋅ ln x − x2 + k 2 11 11 xx22 ⋅⋅ln xx −− xx33 ++ kk ln((xx)) dx dx == xx33 ⋅⋅ln ln ln(x) 33 99 11 ln(x) 5 x 44 ⋅ ln( x ) dx = x 55 ⋅ ln x − x 55 + k 55

( )

+ 2 dx = e + 1

Opgave 2.72 Førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og grafen for g: x = 0 og x = 2 2

Opgave 2.63

Areal = ∫ g( x ) − f ( x ) dx = 4

n ( x ) –− xx ++ k ∫ ln( x ) dx = xx ⋅ lln(x)

Stamfunktion: –x3 + 3x2

Opgave 2.73

Opgave 2.64

∫ x ⋅ 10

dx =

x ⋅ 10

−

ln ( 10 )

a) F ørstekoordinaterne til skæringspunkterne: x = –2 og x = 2 b) Graferne: y

Opgave 2.65 10

∫ 2 x + 4dx = 140

∫−x

−3 10

∫e

∫

+ 16dx =

−0,75 x

205 3

20 f

dx = 1,33

15 64

1 99 + xdx = ln (10) + 2 x

10 g

Opgave 2.66 2

∫ 0 (3 x

− 10 x ) dx = −12

Opgave 2.67

(6 x ∫ 1 (6x 2

Areal =

)

2 x dx==11 11 –−2x)dx

Opgave 2.68 2

∫1

–1

∫−2 g( x ) − f ( x ) dx = 64

Stamfunktion: –2x3 + 24x

Opgave 2.74

 2 x + 1  dx = 3 + ln ln(2) (2) x 

Opgave 2.69

∫

–2

8 x 3 + 6 x 2 dx = 44

Opgave 2.70 9

Arealet af M er 2 .

∫

−2 −5

f ( x )dx = 12 og

∫ f ( x ) dx = 31 −5

Opgave 2.75 Da f(x) ≥ 0 for 0 ≤ x ≤ 5, betyder at arealet af trekant BCO er 12,5.

Da arealet af trekant ABC svarer til arealet mellem de to grafer for f og g i intervallet [0,5], kan arealet bestemmes som 5

∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 12,5 − 7,5 = 5. 0

180 Hvad er matematik? 3, opgavebog

∫ f ( x ) dx = 12,5,

Facitliste

Opgave 2.76

Opgave 2.83 1

a) Areal = ∫ f ( x ) dx = 0 3 16 Stamfunktion: x 4 − x 3 + 6 x 2 5

a) G rafen: Skæringspunkterne har førstekoordinaterne x = 0 og x = ln(2)

b) − ∫ f ( x ) dx = 1 3

− ∫ f ( x ) dx = 1

∫1 0 − f ( x ) dx = 32 3

32 , 3

så

betyder, at arealet af områ-

3 – 5ln(2)

det mellem x-aksen og grafen for f(x) mellem 3

x = 1 −og ∫ fx( x=) 3dxer= 1

32 3

3 2

. 1

Opgave 2.77

ln(2)

−2

7 − , 6

∫−3 f ( x ) dx =

∫−3 f ( x ) dx = − 6 +

∫−2 f ( x ) dx = 16 3

−

7 6

16 3

0 0,5

b) Areal =

Opgave 2.78 0

ln(2)

∫0

x 1,5

g( x ) − h( x ) dx = 3 − 5 ⋅ ln(2)

Opgave 2.84

a) N ulpunkterne for f(x) er lig med x = –4 og x = 4. 3 0 3 N ) = 64 b) ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = −areal( M ) + areal(Areal 3 −2 −2 0 0 3 b) A real af skraverede område = ∫−2 f ( x ) dx + ∫0 f ( x ) dx = −areal( M ) + areal( N ), så Areal(M) – Areal(rektangel) = 125 16 189 63 3 3 64 64 areal( N ) = + = = 64 64 12 3 12 – 2x –8x 4 f) (=x=)643= 2−x++8⋅ x2xf (+x)x2= 64 ⋅ fx⋅(⋅xf(x) 3 − 3 2−x 2 3 −− 38 x 3

dx = [ G( x ) −

∫−2 f ( x ) dx = −

Opgave 2.79 Areal =

∫

16 3

Opgave 2.85

f ( x ) − g( x ) dx = [ F ( x ) − G( x )]02 =

a) G rafen:

y 8

Opgave 2.80 Areal =

x3 2

( F (2) − G(2)) − ( F (0) − G(0)) = (66 − ( −62)) − (0 − 0) = 128

6 F ( x )] 0

− 8x +

∫0 g( x ) − f ( x ) dx = [G( x ) −

6 F ( x )] 0

= (G(6) − F (6)) − (G(0) − F (0)) = (24 − 16) − 0 = 8 4

= (G(6) − F (6)) − (G(0) − F (0)) = (24 − 16) − 0 = 8

2e2 + 6e –2

2 x

Opgave 2.81 Areal = 3

∫0 g( x ) − f ( x ) dx = [G( x ) − F ( x )] 0 = (G(3) − F (3)) − (G(0) − F (0)) = (20 − 18) − 0 = 2 –2

dx = [ G( x ) − F ( x )] 0 = (G(3) − F (3)) − (G(0) − F (0)) = (20 − 18) − 0 = 2

Areal =

b) Nulpunkter for f(x): x = –2 og x = 2

Opgave 2.82 Areal =

–1

∫−2 f ( x ) dx = 2e

+ 6e −2

∫2 g( x ) − f ( x ) dx = [G( x ) − F ( x )] 2 = (G(6) − F (6)) − (G(2) − F (2)) = (27 − 27) − ( −1 − 15) = 16

dx = [ G( x ) − F ( x )] 2 = (G(6) − F (6)) − (G(2) − F (2)) = (27 − 27) − ( −1 − 15) = 16

F (6)) − (G(2) − F (2)) = (27 − 27) − ( −1 − 15) = 16

181 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 2.86

Opgave 2.92

a) N ulpunkt for f(x): x = 160 Nulpunkt for g(x): x = 50

b) A real = 160

∫0

f ( x ) dx − ∫

50 0

160

∫0

f ( x ) dx − ∫

50 0

g( x ) dx = 18666, 7 cm

g( x ) dx = 18666, 7 cm2

∫1 g( x ) − f ( x ) dx = 9

4 4 2 2 b) π ⋅  ∫ ( g( x )) − ∫ ( f ( x )) dx  = 99 π = 311,02  1  1

Opgave 2.93

Opgave 2.87

Grænserne for arealerne findes ved at løse f(x) = 17: x = 6 og x = 18 Graddagetallet = 1  6 ⋅ 17 − f ( x ) dx 24  0

∫

+ ∫ 17 − f ( x ) dx  =  18

36 10

3 π

Førstekoordinaten til grafernes skæringspunkter: x = 0 og x = 2k 2⋅ k

Opgave 2.88

∫0

–4 –3 –2 –1

g( x ) − f ( x ) dx = 36 giver k = 3

0 1

b) Førstekoordinaten til skæringspunkterne: x = –3 og x = 3.

Opgave 2.89

Areal =

Førstekoordinaten til grafernes skæringspunkter: x = –3 og x = 0

∫−3 7 − x

dx = 36

2 3 3 c) Rumfang = π ⋅  ∫ (17 − x 2 ) dx − ∫ 82 dx  = −3  −3  0 2 3 2  3= (3  4176 π 2 a) Areal = ∫ f ( x ) − g( xπ) ⋅dx ) ⋅ = 2623, 86 dx − ∫ 8 dx  =  ∫−3 217 − x 5 −3 −3  t 7 3 b) ∫ g( x ) − f ( x ) dx = giver k =

Opgave 2.94

Rumfanget udregnes som summen: 2 1 5 1 5 V = π ⋅ ∫ 52 dx + π ⋅ ∫ 1  x  dx , hvor grænsen 0 5

Opgave 2.90 a) Grafen ligger helt over x-aksen. Areal =

∫0

x 2 − 10 x + 30 dx = 10

)

(

)

− 10 x + 30 dx =

7000 ⋅ π 3

V = π · 5 + π · 4,8 = 9,8 · π = 7330,38

Opgave 2.95

= 7330,38

Opgave 2.91 Rumfang = π ⋅ ∫

a) D et indre rumfang = 20

π⋅∫

(1,4 ⋅ sin(0,15 x − 3) + 3,6)2 dx = 458,626 cm3

3 π ⋅ ∫ (21,4 ⋅ sin(0,15 49 ⋅ π x − 3) + 3,6 ) dx = 458,626 cm 0x dx 38,48 + = = k x  2 4 b) π ⋅ ∫ (1,4 ⋅ sin(0,15 x − 3) + 3,6) dx = 730 cm3

4 1

1 5

kommer fra løsningen af f(x) = 5.

400 3

10 x++ 30) 30 2 dx dx== b) Rumfang = π ⋅ ∫ (xx22–−10x 7000 ⋅ π

4176 ⋅π 5

giver k = 25,09 Diameter: 2 ⋅ f(25,09) = 9,14 cm

182 Hvad er matematik? 3, opgavebog

= 2623, 86

Facitliste

Opgave 2.96

Opgave 2.98

a) Grafen:

2 V = π ⋅ ∫ ( f ( x ) ) dx =

a) N ulpunkter for f(x): x = 0, x = –2, x = 2

Arealet af M:

∫0 0 − f ( x ) = 15

b) R umfang:

π ⋅ ∫ ( f ( x ))2dx = 4096 ⋅ π = 40,85

315

b) B icepsmusklens volumen: 0

Opgave 2.99

π⋅∫

= 171573,85

0,5 ⋅ π ⋅ ∫ (f ( x )) dx = π ⋅ ∫ (f ( x )) dx giver k = 5,12

163840 π 3

(2 ⋅ sin(0,05 ⋅ π ⋅ x − 0,5 ⋅ π ) + 2)

∫0 f ( x ) dx = ∫t f ( x ) dx giver

t = 1,286

dx = 753,98 cm

π ⋅ x − 0,5 ⋅ π ) + 2) dx = 753,98 cm3 2

Opgave 2.100

c) f (x) har maksimum i x = 20. Bicepsmusklens maksimale tværsnitsareal = p ⋅ f(20) 2 = 50,27 cm2.

a) U dfør fx andengrads regression på punkterne: (0,220), (1280,220) og (640,80): f ( x ) = 0,000342 ⋅ x 2 − 0,4375 ⋅ x + 220

Opgave 2.97

b) Længden =

a) G raferne: y

1280

∫0

(f ′( x ))2 + 1 dx = 1319,73

Opgave 2.101

a) Grafen:

y 30

4 20

2 7,41 0

Ligningen: f(x) = g(x) giver højden = 7,41 cm

–10

x 0

b) R umfang = π⋅∫

7,41 0

7,41

( g( x ))2 dx − π ⋅ ∫ 0 (f ( x ))2 dx = 485,2 cm3

b) Længden af den krumme del af en lamel:

∫

1 + (f ′( x )) dx = 55,62 2

183 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 2.102

3 2

a) f1( x ) = (1 + x ) , x ≥ 0 1

∫0 (f1′ ( x ))

Længde =

+ 1 dx = 2,09

3 2

b) fa ( x ) = ( a + x ) , x ≥ 0 1

∫0 (fa′ ( x ))

+ 1 dx = 4 giver a = 6,17

c) O mkredsen = Omkredsen = ∫

(f2′ ( x ))

+ 1 dx + f2 (5) + 5 + f2 (0) = 42,84

Opgave 2.203 1 4 x + 32 x2 + 35 4 4

F(x) =

Opgave 2.104 a) G rafen A har vandret tangent i x = 3 og hører i øvrigt til en voksende funktion. B er graf for en ikke-negativ funktion, der er 0 i x = 3. Derfor hører F(x) og A sammen. b) F(3) – F(0) = 3 – 0 = 3

a) b)

∫ 2x

∫ 3x

dx =

3x + 1 2

+ 2x + 5

(

dx =

x3 + 1

(

)

[0;p] dx = ln 1 + sin( x ) + k, x ∈ [0; π]

cos( x ) 1 − sin( x )

(ln( x ))

∫

∫ 2x ⋅ 3

x x2

sin( x )

dx = esin( x ) + k

Opgave 2.108 a) f er aftagende i ]–∞;0] og i [2;∞[, mens funktionen er voksende i [0;2]. b) T redjegradspolynomier vender højest to gange. I dette tilfælde vendes i x = 0 og x = 2. Da x = 0 også er en rod, ligger vendepunktet på x-aksen. Derfor er der højest to rødder. Ved indsættelse ses det nemt, at x = 3 også er rod. c) Areal =

∫0 − x

+ 3 x 2 dx = 6,75

f 27 4

x 2

Opgave 2.109 a) f er voksende i ]–∞;0] og aftagende i [0;∞[. b) N ulpunkter for f(x): x = –1 Areal =

∫−1 f ( x ) dx = e − 2

c) R umfang = 0 π ⋅ ∫ ( f ( x ))2 dx = π ⋅  1 e2 − 5  = 1,876 4 4 −1

dx = −2 1 − sin ( x ) + k

)

Opgave 2.107

∫

∫ cos( x ) ⋅ e

x3 +

dx =

1 ln (3x 3 x22 ++ 2x 2 x + 55) ++ kk 2

Opgave 2.106

∫

∫ x ⋅ ln( x ) dx = 2ln (ln ( x )) + k

)

(

1 x

1 ln (2x 2 x44 + 3 3) ++ kk 8

dx = ln (xx44 ++ 4x 4 x –−7) 7 +k c) ∫ 4 4 x + 4x + 1

cos( x ) 1 + sin( x )

2 3

∫

Opgave 2.105 x3

2x4 − 1

1 8

dx = dx =

(ln ( x ))8 + k x2

3 ln(3)

+ k

Opgave 2.110 a) f er voksende i ]0;e] og aftagende i [e;∞[. b) N ulpunkter for (x): x = 1 Arealet =

∫1

f ( x ) dx =

(ln(10))

184 Hvad er matematik? 3, opgavebog

= 2,6509

Facitliste

Opgave 2.111

Opgave 2.115

a) R egneforskriften kan bestemmes ved kvadratisk regression på tre punkter: (0,0), (3.7,0), (1.85,5.5), hvor det sidste er koordinater for toppunktet. Regneforskrift: p(x) = 1,61x2 + 5,95x. b) P arablen og linjen y = 3,1 skærer hinanden for x lig med løsningen til p(x) = 3,1. Dette x er lig med: 3,07. Arealet af M udregnes som: Arealet af kassen afgrænset fra x = 2,3 til x = 3,07 + arealet under grafen fra x = 3,07 til 3,7:

a) G rafen:

3,7

(3,07 − 2,3) ⋅ 3,1+ ∫3,07 p( x ) dx

Deceleration i m/s2 100

(92.91,98.26)

80 60 40 20

9,83 ⋅ 105 0 20

Tid i ms

80 100 120 140

Den største deceleration er 98,26 m/s2

2,387 + 1,046 = 3,433

b) SI =

140

∫0

( a( t ))2,5 dt = 9,83 ⋅ 105

Opgave 2.112 a) F ørstekoordinaten til grafernes skæringspunkter: x = 0, x = − 2, x = 2 0

Areal af M =

∫−

Areal af N =

∫0

2 2

g( x ) − f ( x ) dx = 1

Opgave 2.113 a) y = x – 1,5 b) F ørstekoordinaten til tangentens skæringspunkt med førsteaksen: x = 1,5 Rumfang = π ⋅ ∫ (1 + 0,1⋅ x 0

2 2)

Kapitel 3a Opgaver 3a.1– 3a.35

f ( x ) − g( x ) dx = 1

b) F ørstekoordinaten til grafernes skæringspunkter: x = 0, x = − k , x = k Det kan herefter bevises, at begge integraler 1 giver k 2.

dx − π ⋅ ∫ ( x − 1,5 ) dx = 16,62

Ingen facitliste. Opgaverne fungerer som kontrolspørgsmål og/eller oplæg til diskussion i klassen.

Opgave 3a.36 Funktionen er voksende, og løsningskurven skal gå gennem punktet (2,3) samt have hældningen 2 i det punkt. Det er tilfældet i figur nr. 1.

Opgave 3a.37 Figur nr. 2 er den korrekte, da den har hældningen 1 i punktet (1,3).

1,5

Opgave 3a.38 Opgave 2.114 a) M aksimum for f(x) indtræffer i x = 5,

med værdi: f(5) = 7,5. Maksimale bredde = 15 cm.

y(t) 5

2 b) π ⋅ ∫ ( −0,2 x 2 + 2 x + 2,5 ) dx = π ⋅ ( 0,008 ⋅ h5 − 0,2 ⋅ h4 + h3 + 5 ⋅ h2 + 6,25 ⋅ h) 0

−0,2 x 2 + 2 x + 2,5 ) dx = π ⋅ ( 0,008 ⋅ h5 − 0,2 ⋅ h4 + h3 + 5 ⋅ h2 + 6,25 ⋅ h ) h

Sæt fx π ⋅ ∫ ( −0,2 x 2 + 2 x + 2,5 ) dx = 500 . 0

Ligningen giver h = 4,61 cm.

–3

–2

–1

t 1

185 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3a.39 a) (1,2,12) b) (1,2,1)

Opgave 3a.40 a)

y(t)

–2

5 –3

4 3

b) D er findes tre typer af løsningskurver – på illustrationen har vi valgt de tre begyndelsesbetingelser (0,2), (0,1) og (0,–1). Den midterste genkender vi som grafen for en lineær funktion med forskrift y = x + 1. Ved indsættelse ser man, at dette er en løsning. Løsningskurver i området over den lineære løsningskurve er voksende, da y ′= y – x > x + 1 – x = 1 > 0. Løsningskurver i området under den lineære løsningskurve har alle et globalt maksimum, da y ′= 0 på linjen y = x. Differentialligningen er grundigt analyseret i bogens afsnit 3a.2.

t 0,5

1,5

y(x) 3 2 1 x –4

–3

–2

–1

–1 –2

–3

Opgave 3a.41

a) D er findes 4 typer af løsningskurver – på illustrationen har vi valgt de 5 begyndelsesbetingelser (0,–1), (0,0), (0,2), (0,5) og (0,6), hvor de to, nemlig (0,0) og (0,5) giver de to konstante funktioner. Den midterste genkender vi som en traditionel logistisk løsningskurve. Den øverste og den nederste kurve har begge en lodret asymptote. Alle disse tre har samme type løsningsformel, men i den øverste og nederste medfører begyndelsesbetingelsen, at konstanten c i nævneren bliver negativ, så nævneren har et nulpunkt. Dette er netop, hvor graferne får lodret asymptote.

–10

–6

c) D er findes tre typer af løsningskurver – på illustrationen har vi valgt de tre begyndelsesbetingelser (0,–2), (0,0) og (0,2). Den midterste er den trivielle y = 0. Den øverste genkendes som graf for en eksponentielt aftagende funktion, den nederste løsningskurve er en spejling af den øverste og genkendes også som graf for en forskudt eksponentiel funktion, hvor den vandrette asymptote er y = 0.

186 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

Opgave 3a.44

f ′( x) = 0,45 ⋅ (30 – f(x))

Opgave 3a.45 x –3

M(t): Vandmængden (målt i l) til tidspunktet t (målt i sekunder). dM = 0,4 – 0,001 ⋅ M eller M ′(t) = 0,4 – 0,001 ⋅ M(t) dt

Opgave 3a.46

–5

T ′(x) = 0,011 ⋅ (150 – T(x))

d) Her ser vi, at alle løsningskurver er af samme type, grafer for lineære funktioner, med konstantled 0, dvs. proportionaliteter med forskriften y = a ⋅ x, dog med et enkelt forbehold som fremgår nedenfor. Skrives differentialligningen på formen: y ′= 1x ⋅ y, genkendes den som modellen y ′= f(x) ⋅ y med løsningen y = c ⋅ eF(x) . Da en stamfunktion til 1 x er ln|x| ser vi ved nogle få omskrivninger, at den fuldstændige løsning netop er funktioner med forskriften y = a ⋅ x. Der er en vigtig detalje, som grafværktøjet ikke nødvendigvis afslører: Da funktionen 1x ikke er defineret for x = 0, er løsningerne til differentialligningen heller ikke. Derfor er definitionsmængden til en løsningen enten ]–∞;0[ eller ]0;∞[, afhængig af begyndelsesbetingelsen. Løsningskurverne går derfor ikke gennem (0,0), men er halv-linjer. y 35

Opgave 3a.47 f ′( x) = ex – 1 y + x = ex – x – 1 + x = ex – 1 Da begge sider giver samme resultat, er f(x) en løsning til differentialligningen.

Opgave 3a.48 f ′( x) = 2x ⋅ ex + x2 ⋅ ex 2y x

+y=

2x e x

+ x 2e x = 2 xe x + x 2e x

Begge sider giver det samme, altså er f en løsning.

Opgave 3a.49

f ′( x) = ex + x ⋅ ex + 3 x

xe + 3 x

y + − 3 x = xe x + 3 x + − 3 x = xe x + e x + 3 x x Begge sider giver det samme, altså er f en løsning.

Opgave 3a.50 f ′( x) = ln(x) + x ⋅

(–15,10)

(15,10)

–50

x 50

(15,–20)

(–15,–20) –35

y x

+1=

x ln ( x ) x

1 x

= ln(x) + 1

+ 1 = ln ( x ) + 1

Begge sider giver det samme, altså er f en løsning.

Opgave 3a.51 f ′( x) = ex + (x + 1) ⋅ ex = 2ex + xex

Opgave 3a.42

f ′( x) = k

y x +1

= ( x + 1) e x +

( x + 1) e x x +1

= 2e x + xe x

Da begge sider giver samme resultat, er f(x) løsning til differentialligningen.

Opgave 3a.43 f ′( x) = 0,65 ⋅ f(x)

187 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3a.52 f ′( x) = 2e 2y – 6 = 2(e2x – 3) + 3 = 2e2x Begge sider giver det samme, altså er f en løsning. 2x

Grafen for y(N) = –0,00001 · N3 + 0,0051 · N2 – 0,05 · N : y 200

Opgave 3a.53

100

Vi anvender formlen: y = f(x0 ) + f ′( x0 ) · (x – x0 ), hvor x0 = 2, f(x0 ) = 5 og f ′( x0 ) = 22 · (5 – 1) = 16: y = 5 + 16 · (x – 2) = 16x – 27

Opgave 3a.54

x 100

300

600

–100

a) Væksthastighed = (228 – 50) · 0,01 = –0,28 dy b) = (T − y ) ⋅ 0,01, hvor T er omgivelsernes dx temperatur, og y er vandbadets temperatur.

–0,00001 · N3 + 0,0051 · N2 – 0,05 · N > 0 giver: 10 < N(t) <500, så svaret er 10 og 500. Opgave 3a.61 a) L injeelementet i P er ( 0,6, f ′( 0)) = (0,6,3). Grafens forløb gennem P er voksende, med en tangenthældning på 3. b) f(x) = 6 · e0,5x Opgave 3a.62 a) Koncentrationen aftager med –0,0525 i timen. b) c(t) = 2 ⋅ e –0,035t

Opgave 3a.58

Opgave 3a.63

Tangentens hældning: 0,51 y ′= 0,17 ⋅ y

a) C(t) = 20 – 20 ⋅ e –0,02t b) G rafen:

y = 17x – 13

Opgave 3a.55 y = 3x + 1

Opgave 3a.56 y = 10x – 14

Opgave 3a.57

Opgave 3a.59 Væksthastighed til t = 1: –1,104 ⋅ 106 individer/døgn N(t) er aftagende frem til t = 12,5, derefter voksende. Derfor er der et globalt minimum for t = 12,5.

16 12

500 400

N(t)

a) Hældningsfelt: b) V æksthastighed = 36,0 c) N (t) er voksende, når N ′( t) > 0:

300 200 100

t 2

(34.66,10)

Opgave 3a.60 600

C(t)

C = 0,30t + 0,74 t

–20

0 20

100 120

t = 34,66 c) C ′(15) = 0,30, dvs. koncentrationen stiger med 0,30 ppm i det 15. minut.

188 Hvad er matematik? 3, opgavebog

140

Facitliste

Opgave 3a.64

Opgave 3a.69

a) Væksthastighed: 0,74 cm/måned b) h (t) = 116,444 – 64,444 ⋅ e –0,045t Barnet er 100 cm højt efter 31 måneder.

a) Væksthastighed er 0,504. b) L øsningen til differentialligningen er T(x) = 27,95 – 5,946 · e –0,2590 · x. T(x) har værdien 27 efter 7,08 timer, eller: ca. 7 timer og 5 minutter.

Opgave 3a.65 a) M(t) = 32,665 – 12,665e –0,1584t b) G rafen: Når t går mod ∞, vil sidste led i M(t) gå mod 0. Derfor er der øvre grænse 32,665 promille. M

M = 32,665

Opgave 3a.70 –0,22t

a) y = 98,34 ⋅ e –2,81 ⋅ e b) H avkatten er 90,5 cm lang, når den er 16 år. Efter 5,2 år er havkatten 40 cm lang.

Opgave 3a.71

M(t)

a) r(t) = 0,017e –0,025t –0,025t b) N (t) = 210,22e –0,68 ⋅ e Der går 104,5 år før befolkningstallet bliver 200 mio.

Opgave 3a.72 a) V æksthastighed: 60,75 mio/døgn t b) N(t) = 1588 ⋅ e –6,415 ⋅ 0,88

t 0

Opgave 3a.73 Opgave 3a.66 M(t) = 33,33p – 33,33e p = 34,85 mg

–0,03t

f(x)= (ln(x)+4) ⋅ x

⋅p

Opgave 3a.74

a) S (t) = 50 +

Opgave 3a.67

1 2

x−

200000 ( 100 + x )

b) Karret indeholder 60 kg salt efter 40,3 min.

a) Væksthastighed: 14 ampere/sekund b) I(t) = 0,9 – 0,9e –25t

Opgave 3a.75

Opgave 3a.68

Vandbadets temperatur er 100°C, når t = 320. Den indre temperatur 91,7°C.

a) P (t) = 1 + 4e –0,0554t Grafen:

Opgave 3a.76

a) f ′( x) = 4e4x – 4x – 1 4y + 8x2 = 4(e4x – 2x2 – x – 14 ) + 8x = 4e4x – 4x – 1 Begge sider giver det samme, altså er f en løsning. b) F unktionen er voksende, når 4y + 8x2 > 0, dvs. i området, hvor y > –2x2. Aftagende, hvor y < –2x2.

(5,0) 4 P(t) (25,2)

t 0

189 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3a.77 9

Opgave 3a.79

a) y = x − 4 2 b) y > 0: Voksende, når x > –1 og aftagende, når x < –1 y < 0: Voksende, når x < –1 og aftagende, når x > –1 Er ikke defineret for y = 0 c) P å en illustration af linjeelementer er indtegnet en løsningskurve, hvor y > 0 og en, hvor y < 0. Vi ser, at løsningskurvernes forløb er i overensstemmelse med punkt b).

a) Væksthastighed: –0,0386 kcal/døgn 1 k 42

b) M ( t ) =

− 3 t 500

⋅ (87 −

1 k) 42

c) k = 304,33

Opgave 3a.80 a) v ( t ) = −

152, 85t − 4, 905t t − 15

Efter 12,36 sekunder er hastigheden 1000 m/s.

Kapitel 3b

P (2,4)

Opgaver 3b.1– 3b.24 x –4

Ingen facitliste. Opgaverne fungerer som kontrolspørgsmål og/eller oplæg til diskussion i klassen.

Opgave 3b.25 S ′( t) = 0,0029 · S(t) · ( 67 – S(t))

–4

Opgave 3b.26 Opgave 3a.78

P ′(t) =

a) y = 5x – 2 b) F unktionen er voksende, når 2x + x ⋅ y > 0. Dvs. når x(2 + y) > 0. Det gælder, når: y > –2 og x > 0 eller når y < –2 og x < 0. Tilsvarende bliver funktionen aftagende, når: x > 0 og y < –2 eller x < 0 og y > –2. c) P å en illustration af linjeelementer er indtegnet en løsningskurve, hvor y > –2 og en, hvor y < –2. Vi ser, at løsningskurvernes forløb er i overensstemmelse med punkt b). y d) 4 P (1,3)

190

P(t) ⋅ (2600 – P(t))

Opgave 3b.27 a) I ndsæt de oplyste værdier for N og N ′ til tidspunktet t = 0. Løses ligningen, fås: K = 60000. b) Væksthastighed: 3500 individer/år.

Opgave 3b.28 a) N ( t ) =

315 1 + 0, 591e

−0,126 t

b) N (40) = 313,8, altså meget tæt på den øvre grænse, som jo er 315.

Opgave 3b.29 x

–4

1 25000

Væksthastighed: 6,175 individer/døgn. Væksthastigheden er 31, når N = 392,6 og når N = 607,4 (afrundes til 392 og 607).

–4

Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

Opgave 3b.30

Opgave 3b.36

Bestem B(t) ved at løse differentialligningen. B (15) = 1456,8, dvs. afrundet 1456.

a) M ( x) =

c) U (x) = M(x) ⋅ 700 – 1,97x Grafen for U(x):

139, 6 1 + 18,123 e

−0,02694 t

Største væksthastighed optræder ved halvdelen af den maksimale vægt, dvs. ved 69,8 kg.

Opgave 3b.32

Fortjeneste i kr. (694.8,9125.1)

10000 8000

a) Væksthastighed: 57 smittede/døgn b) N ( t ) =

−0,005720 x

b) Fortjenesten betegnes U(x):

Opgave 3b.31 a) V ( t ) =

15, 5 1 + 1, 8052e

6000

209 14 −1,09934 t

1 + 2,165610

U(x)

4000

209 er den øvre grænse for antallet af smittede. 2000

Opgave 3b.33

Kunstgødning i kg

a) Væksthastighed: 145 traner/år b) N ( t ) =

1 + 6, 7320 e

−0,435 t

Opgave 3b.34 150 1 + 11, 5 e

600

800

1000

Opgave 3b.37

−0,225 t

Der går 11,45 uger inden der er 80 guppyer. b) Den øvre grænse er 150 guppyer. c) Ved 10,85 uger er væksthastigheden størst. P P = 150

150 125

a) y = –20x + 22 b) f ( x) =

P = 80

(11.45,80)

a) J a, funktionerne er f(x) = x og g(y) = 1y b) Nej c) Ja, funktionerne er f(x) = 1 og g(y) = 1 – y d) Ja, funktionerne er f(x) = 1x og g(y) = y

Opgave 3b.38

P(t)

100

2x5 − 1

Definitionsmængde: ]] 5 0,5; ∞[

(10.85,75)

Opgave 3b.39

25 t 0

Opgave 3b.35 a) V ( t ) =

400

Størst fortjeneste bestemmes ved grafisk metode, da definitionsmængden er lukket og begrænset: Maksimum indtræffer ved 694,8 tons kunstgødning.

c) t = 30,3, dvs. i år 2005

a) P ( t ) =

200

1500

53, 63 1 + 89, 898 e

−0,00965 t

b) Efter 466 døgn er vægttilvæksten størst.

a) f ( x) = −

1 x2 − 2x + 2

(Nævneren bliver aldrig 0) Definitionsmængden er  b) D ifferentialligningen viser: y ′< 0, når x < 1 og y ′> 0, når x > 1. Derfor antager funktionen globalt minimum i x = 1.

191 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 3b.40

Indsæt på højre side af (2):

a) y = 6x – 3 3 b) f(x) = 1 + 2e –1 ⋅ ex Definitionsmængde:  3 c) g(x) = 1 – ex

5 y 3 − 21 y = 5((10 − c ⋅ e = 5(10 − c ⋅ e

Opgave 3b.41

k bestemmes af ligningen M(60) = 20: 1 1680

Indsæt k: M ( t ) =

70 1 t +1 24

b) M ′(60) = 0,238. Dvs. i det 60. minut falder mængden af stoffet med 0,238 gram.

Opgave 3b.42 5 4

a) y =

) ) 3 − 21 (10 − c ⋅ e

− 61 t 2

= (10 − c ⋅ e

− 61 t

= (10 − c ⋅ e

− 61 t

) − 21 (10 − c ⋅ e

)

− 61 t 3

)2 ( 5 − 21 (10 − c ⋅ e )2 ⋅ 21 c ⋅ e

− 61 t 3

)

− 61 t

))

− 61 t

D a begge sider giver det samme, er funktionen løsning til differentialligningen.

a) M(t) = 70 ⋅ k ⋅ t + 1 k=

− 61 t 3

− 16 t 3

d) V ( t ) = ( 10 − 9,99e

)

e) E ksponenten i det sidste led går mod –∞, når t går mod ∞. Derfor er V∞ = 103 = 1000. Det betyder, at fiskens maksimale vægt er 1 kg.

Opgave 3b.46 a) Vi foretager kvadratisk regression: p(x) = –0,0000322 · x2 + 0,0658 · x – 15,1 y(x) b)

x −2

b) f ( x ) = − − x 2 − 5 x + 4 Definitionsmængde: [–5,701;0,701[

2000

Opgave 3b.43

1500

a) h(t) = 0,25 · (157700 – 1200 · t) 0,4 b) y(t)

100 500 x

50 100 150 200 250 c) G rafisk ser den øvre grænse ud til at være ca. 1800. Ved at løse differfenbtialligningen finder vi værdien ved 250 til: 1780.

20 10 t 0

100

150

c) h(t) = 0 giver t = 131,42

Opgave 3b.47

a) 1200 1000

Opgave 3b.44

800

a) y ′= 0,5 ⋅ y + y = y(1 – (–0,5) ⋅ y) b) Typen y ′= y ⋅ (b – ay), altså logistisk vækst. 2

Opgave 3b.45

a) Væksthastighed: 2,5 cm/år. b) I(t) = 30 – 25,991e –0,16667t c) I ndsæt på venstre side af (2): y′=

1 2

y(t)

− 61 t

(10 − c ⋅ e

) ⋅ c⋅e

−

1 t 6

600 400

200

t 2

b) y ( t ) =

1,062 ⋅ 10

10350 + 1453 ⋅ e

−0,22 ⋅ t

c) F ormlen er y(t) – 900. Det er klart, at når vi bringer det ned på 900 hvert år, er det det samme tal, der skal skydes: y(1) – 900 = 100

192 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

Opgave 3b.48

  6,811  b) r ′(2) =   15,707

a) 0 ,00002 · y · (10000 – y) = 0 giver: y = 1464, y = 8536 b) V i løser med startværdi 1464: 613 y (t ) = 0, 0613 + 1070 ⋅ e

 50sin( 1 )cos( 1 )    23,226 2 4  c) r  1  =   =  −5,931 2k 1 1  −50sin( )sin( )  2 4   1 d) Løser r ′'( 2k ) = 13,889 , og det giver

−0,2 x

k = 0,305.

Opgave 3b.49 a) FF' (′( x) x ) == − x − ( −1)(3 + x )

(3 − x )2

1 1 6 ⋅ ⋅ 6 3+ x 3− x

1 3 − x 3 − x − ( −1)(3 + x )

⋅

(3 − x )2

6 3+ x 1

(3 + x )(3 − x )

⋅ ⋅ 6 3+ x 3− x

b) D ifferentialligningen er af typen y ′( x) = f(x)⋅ y med løsningsformlen y = c ⋅ eF(x) . Brug nu svaret fra a) til at bestemme løsningen: 1 ⋅ln( x + 3 ) x −3

eller: y = 2 6 ⋅ 6

c) y =

1 5

x )(3 − x ) (3 + Opgave

9 − x2 4.31

 2 ⋅ 1 + 1  3 a) r (1) =  2 =  1 − 1   0

9 − x2

Altså er F(x) stamfunktion til f(x).

y = 2 6 ⋅ e 6

x+3 x−3

  2 ⋅ 3 + 1  7 = b) r (3) = , så Q ligger på kurven  32 − 1   8

Opgave 4.32 Skæring med 1. aksen: t – 3 = 0 giver t = 3 og punkt: P3 = (32 – 4,3 – 3) = (5,0) Skæring med 2. aksen: t 2 – 4 = 0 giver t = 2 og t = –2 og punkterne: P2 = (0,–1) og P–2 = (0,–5)

9 5

Kapitel 4

Opgave 4.33

Opgaver 4.1– 4.29

  2t + 1   2 ⋅ 2 + 1  5 r ′( t ) = , r ′(2) = =  2t   2 ⋅ 2   4

Ingen facitliste. Opgaverne fungerer som kontrolspørgsmål og/eller oplæg til diskussion i klassen.

Opgave 4.34

Opgave 4.30

  3t 2 − 1   −1 a) r ′( t ) = , r ′(0) =  t −1   −1

 a) Grafen for r ( t ) y x –5 –10 –15 –20 –25

0 5

15 20

Det giver: t = 0 og t =

P1= P

 r (′(1) t)

 r (t )

1 3

22,74 m/s

 r (′(2) t)

–30 –35 –40

30 35 40

  1 b) R etningsvektor for l: a = . Parallelle, når  1 determinanten er 0:    3t 21− 1 det( r ′( t ) ,=a )== 3t 2 – 1 – (t – 1) = 0 ⇔ 3t 2 – t = 0  t 1−1 

P3 17,12 m/s

k = 0,5 km –1

193 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 4.35

Opgave 4.36

 a) Tabelværdier for r ( t ) :

a) Banekurven: y

–2

–1

–2  y r (′(–2) t) 5

–1

 r (″(2) t)

 b) B anekurven for r ( t ) :

 r (′(2) t) 10



r (′(2) t)

5  r (″t(1) )  r (′(1) t)

–5

P±1

P–2

 r (t )

–10

 r (′(1) t)

–4 –2 0 2 4

 r (″t(–1) )

8 P–1

–15

P–2 4

–20

P–3

2 P2 –2

 r (′(–1) t)

 r (t )

2 P1

b) L øsning af ligningssystemet giver dobbeltpunkt for t = ±1, dvs. der er dobbeltpunkt i (–3,0).

Opgave 4.37 y

c) Ja: f(x) = x – 5x + 3   1  d) Hastighedsvektoren r ′( t ) =  2  er pa 3t − 5  1 rallel med v =   , når deres determinant er  7 0, hvilket giver t = –2 og t = 2. Dvs. punkterne: (–2,5) og (2,1)

2 P–

  1 v =  1  7

 1 r (′(– t) 3) P0

–3

 r (t )

P–1

P±1

–1

 r (′(–1) t)

 r (′(1) t)

–2

a) x -aksen skæres i (–2;0) og (–1;0), mens y-aksen skæres i (0;– 2 ) og (0; 2 )

194 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

b) L øsning af ligningssystemet giver dobbeltpunkt for t = ±1, dvs. dobbeltpunktet ligger i (–1,0). c) H astighedsvektorens koordinater:  x ′( t ) =  2t   y ′( t )  1 − 3t 2  Indsæt t = ±1: De to hastighedsvektorer i Q  2  −2 er  −2 og  −2 . Skalarproduktet mellem disse to vektorer giver 0, hvorfor vektorerne er ortogonale. d) Vektorerne er parallelle, når determinanten er 0: 3t2 – 2t – 1 = 0 giver t = 1 eller t = − 1 . Dvs. 3 −17 −8 , punkterne er ( −1,0) og .

( 18

)

 1 e) Normalvektor til begge er −v =   .  1 For t = 1: x + y + 1 = 0 For t = − 1 : x + y − 3

67 54

Opgave 4.39

a) I ndsæt –2: Q = (16,8).   r ( t0 ) = OQ giver t0 = 4 b) Den spidse vinkel = 180º – 99,4º = 80,6º.

Opgave 4.40

  a) r ((0,3) (1.2,2.958) t0 ) = = OQ b) Højden = 3,43 meter   c) B estem t, ved at løse r ((t) t0 )==P: OQt = 0,89.   Udregn | r ((0,89)| = 4,85 m/s2 t0 ) = OQ

Opgave 4.41

π 2 π : 2

c) t = : −

a) Banekurven:

d) t =

y P10 P11,60

2 5

2π : –0,173 3 2π t = : 0,035 3

0,101

a) 0

2 P19,10

0 1

t = p: −

1 20

t = p: –0,008

Opgave 4.42

–1

1    2 t −2 c) r ′( t ) =    −0,08t + 0,8 Vandret tangent, hvor –0,08t + 0,8 = 0, dvs. t = 10: (2.828,4) d) t = 11,604 eller t = 19,101

a) t = –1: 0,707 t =1: 0,707 t = 2: 0,0649 b) Krumningen er 3 i alle punkter.

Opgave 4.38

b) (4.263,0)

(

6x − 8

(

1+ 3x − 8x + 5

))

3 2 2

)

3 2 2

1 + ( 2 x + 2) 9e

(1 + 9e )

3 6x 2

–2 –3 –4

 r (t )

–5 –6 –7

195 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 4.43

Opgave 4.46

a) Banekurven:  r (t )

1500

P–1,916

a) (–0.693,0) og (1.253,0) b) Banekurven:

 r (′(–1,916) t) 1000

P1,808  r (′(–1,808) t)

500

x –2000 –1500 –1000 –500 0 500 1000 1500 2000 –500

 r (′(1,5) t)

 r (′(0,5) t)

P1,5

 ar ( t )

–1000 –1500

–2000

P0,5

–2500

b) Krumningen = –0,0000676 m –1 c) I det angivne interval er der en løsning: t = –1,916

Opgave 4.44 a) b) c) d)

Kurvelængde = 317,93 Kurvelængde = 1,047 Kurvelængde = 24,221 Kurvelængde = 8,827

Opgave 4.45 a) Banekurven:

–1

 r (t )

P4,11

y 3 2

r ′(4,11)

 r (t )

0,5

0 1 r ′(10,40)

P10,40

P8,45 r ′(8,45)

b) f ( t ) = (cos ( t ))2 + 2,25(cos (0,5t ))2 c) Bilen tilbagelægger 15,48 m i intervallet. d) Bilens mindste fart i intervallet er 0,90 m/s.

1,5

–2 –3

Integranden: 5   2t r ′( t ) • rˆ ( t ) =  4  •  − t 2+ t   5t − 1  t 

= 3t 6 + 4t 3 + t 2 T =

1 2

∫ (3t 1

−1

)

+ 4t 3 + t 2 dt = 0,762

196 Hvad er matematik? 3, opgavebog

–1

–2

–1

 1   c) H astighedsvektoren v ( t ) =  t   −2t + 4  er parallel med a, når determinanten er 0. Det giver t = 0,5 eller t = 1,5. d) Areal = 2,595 Opgave 4.47   1 a) r (1) = r ( −1) =    0

P2,17

–1

r ′(2,17)

b) Et udsnit af grafen:

P3,5

Facitliste

Opgave 4.48 a)

  2t  e) R etningsvektor for tangenten: r ′( t ) =  2   3t − 5    2t  = parallel r ′( t ) er med v , når deres determinant  3t 2 − 5 er 0. Det giver ligningen: 3a ⋅ t2 – 2b ⋅ t – 5a = 0 Diskriminanten: d = 4b2 + 60a2 > 0, da a og b ikke samtidig er 0. Derfor er der altid løsninger t og dermed punkter på banekurven, hvor tangenten er parallel med en given vektor.

y 60

100

Opgave 4.50

150

 65   = 70,65 b) OP ′(1) =  −9,82 + 37, 5   c) S æt OP( t ) = OG( s ) . t og s bliver forskellige, dvs.: Pilen og gåsen er ikke i samme punkt til samme tid.

a) x ( t ) =

–2

–1

og y ( t ) =

 Tabelværdier for r ( t ):

Opgave 4.49

 a) Tabelværdier for r ( t ):

cos ( t ) 3

sin ( t ) 3

0,5p

0,333

–0,333

0,333



b) Banekurven for r ( t ):

–1

 r (t )

0,2

 b) Banekurven for r ( t ): P0

 r (t )

P–1

–0,2

0,2

P2p

–0,2

P–2 4 P0

(5,3)

P±

P3p 2

2 P2 (0.431,0) 0

2 P1

c) Da x 2 + y 2 =

(6.205,0)

(3.364,0) 6

x2 + y2 =

(

) +( )

cos( t ) 2 3

c) y-aksen skæres i (0,3), mens x-aksen skæres i (0.431,0), (3.364,0) og (6.205,0) d) Løsning af ligningssystemet giver dobbeltpunkt for t = ± 5 , og dermed dobbeltpunkt i (5,3).

sin( t ) 2 3

(

) +(

cos( t ) 2 3

)

sin( t ) 2 3

1 =   ⋅ (cos( t )) 2+ (sin( t )) 2 3

)

(

)

1 1 =   ⋅ (cos( t )) 2+ (sin( t )) 2 =   3 3 2 2 1 1 =   ⋅ 1 =   3 3

s er vi, at banekurven er en cirkel med cen1 trum i (0,0) og med radius på 3 .

197 Hvad er matematik? 3, opgavebog

d) a) x(t) = 10sin(t) og y(t) = 5cos(t)  Tabelværdier for r ( t ):

d) x -aksen skæres i (1,0). y-aksen skæres ikke, da et = 0 ikke har nogen løsning.

0,5p

–5

  t e) r ′( t ) =  e  . Indsæt t-værdier:  2t   7,389  0,368  2,718 t = –1:  t = 1:  t = 2:   4   −2   2    et  f) r ′′( t ) =   . Indsæt t-værdier: 2 

 b) Banekurven for r ( t ):

 0,368  2,718 t = –1:   t = 1:  2  t = 2: 2 

 r (t )

Opgave 4.52

–10

–5

0 –5

P2p

a) x (t) = 4cos(t) – cos(4t) , og y(t) = 4sin(t) – sin(4t)  b) Tabelværdier for r ( t ):

x 10

P3p 2

c) D a

 x  10 

+ 

y 5

(

= (sin( t )) + (cos( t ))

)=1

ser vi, at banekurven er en ellipse med stor-akse på 10, lilleakse på 5 og med centrum i (0,0).

π 2

3π 2

–1

–5

–1

–4

c) Banekurven: y

 r (″t( 2)3p )

Opgave 4.51

a) x(t) = et og y(t) = t2  b) Tabelværdier for r ( t ):

–2

–1

0,135

0,368

2,718

7,389

Pp –5

 r (″t( 4)3p )

 r (′(2) t)

8 6

 r (′(1) t) P–2   r (″t(1) ) r (″t(–1) ) P–1

 r (″t(2) )

 r (t )

(1,0)

P0 2

 r (′(–1) t)

P1,385

P2p

P4p

P3p

c) Banekurven:

 7,389  2 

 r (t ) 5

 r (″t(2) p) 10

P4,898

–10

d) Epicykler indgik i oldtidens verdensbillede, der især tilskrives Aristoteles og Ptolemaios, og som blev matematiseret af Ptolemaios. Det er bl.a. omtalt i Hvad er matematik 1, projekt 10.9. e) x -aksen skæres i (–5,0) og (3,0), mens y-aksen skæres i (0,4.607) og (0,–4.607)

198 Hvad er matematik? 3, opgavebog

x 15

Facitliste

  −4 sin(t) + 4 sin(4 t)  f) r ′( t ) =  . Indsæt:  4 cos( t ) − 4 cos(4t ) t=

2π : 3

 0  0

4π : 3

 0  0

Opgave 4.54 a) B anekurven: r(0) = (0,3) y

0 t = 2p:    0

 −4 cos(t) + 16 cos(4 t) g) r ′′( t ) =  . Indsæt:  −4 sin( t ) + 16 sin(4t )  t=

2π : 3

 −6   10,39

4π : 3

 r (t )

 −6   −10,39

1 P0,00125

12 t = 2p:    0

–1

0 –1

h) Hastigheden i de tre punkter er 0, da det er der, hvor kurven vender (de tre spidser). Accelerationsvektoren peger i den retning, hvor der accelereres ud af spidsen, fx i den højre spids, hvor der accelereres ud langs den positive del af x-aksen (se figuren ovenfor).

Opgave 4.53

1 1 1000 ·

 r (′(0,00125) t)

–2 –3

= 0,00125 b) t = 800  c) | r (0,00125)| = 3978,8 (t ) Altså er farten 3,97 m/s.

a) P 0 (5,4) b) s in(2t) løber mellem –1 og +1, så 4 + 5sin(2t) løber mellem 4 – 5 = –1 og 4 + 5 = 9   8 − 10sin(2t ) c) v ( t ) =   10 cos ( 2t ) 

Opgave 4.55 a) Skæringspunkter: (4,–24) og (4,24) b) Areal af parallelogram = 90,510 c) H astighedsvektoren er parallel med førsteaksen i (0.894,3.026) og (0.894,–3.026) d) Areal af M = 8,620

 π  −2 d) v   =   4  0  Opgave e) v ( t ) = 64 + 100((sin(2t ))2 + 100(cos(2t ))2 − 160 ⋅ sin(2 t ) = 4.56 164 − 160 ⋅ sin(2t )  a) S kæringspunkter med x- og y-akse i (0,0) v ( t ) = 64 + 100((sin(2t ))2 + 100(cos(2t ))2 − 160 ⋅ sin(2t ) = 164 − 160 ⋅ sin(2t ) samt med x-aksen i (1,0) (cos(2t ))2 − 160 ⋅ sin(2t ) = 164 − 160 ⋅ sin(2t )  −2cos(2 ⋅ π )  −1  π  6 = r ( ) ′ b) N ormalvektor: ,   = Heraf ses, at den laveste fart er 2, mens den 6  cos( π )   3   2 6 højeste fart er 18. 3 1 y− f) Studiet af cykloiden var central i infinitesimalLigning: − x + =0 2 4 1 4 regningens første periode, læs øvelse 4.23 i c) A real i førte2kvadrant f ( x ) dx = ∫ 3 0 bogens kapitel 4, afsnit 2.3, side 231. d) Indsætter x = sin(t): f(x) = 2sin(t) 1 − ( sin ( t )) = 2

2sin(t) ⋅ cos(t) = sin(2t) Undervejs er formlerne (cos(x)) 2 + (sin(x)) 2 = 1 (fra enhedscirklen) og sin(2x) = 2sin(x)cos(x) benyttet. 1

e) 2 ∫ f ( x ) dx =

4 3

199 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 4.57 a)

c) Skæringspunktet: (10,5) d) Til tiden t = 2 e) Q passerer R til tiden t = 5, så der er en tidsforskel på 3.

1 T(2, 2 )

b) L = 12,475

f) d (t) = 50 t 2 − 392t + 890

c) I ndsætter x = 2et: y= =

1 8

( ) 2e

(2e ) − ln  21 2e  = 21 e 1 − ln ( e ) = e − t 2

1 8

1  1 t − ln  2et  = e2t 2  2 d) Areal = 24,03

( )

− ln et =

1 2t e 2

Afstanden mellem P og Q er mindst, når

−t

98 25

= 3,92 3,92.

Opgave 4.59

a) 0

c) 6

(

1 + 3 ax + 2bx + c

 OP

(1 + (2ax + b) )

3 2 2

2 kx

6 ax + 2b 2

))

3 2 2

k e

(1 + k e )

3 2 2 kx 2

4 24,03 2

P–1

 OP ′(0) 4

Opgaver 5.1– 5.31

Ingen facitliste. Opgaverne fungerer som kontrolspørgsmål og/eller oplæg til diskussion i klassen.

Opgave 4.58 a) Parameterkurverne: y

 OP

Opgave 5.32

f(2,2) = 4

R Q5

–40 –30 –20 –10 –10

Kapitel 5

P2 P98

0 10 Q 98

Opgave 5.33

–20 –30



OQ OP

70 40

–40

–50

–60 –70

b) D e to parameterkurver beskriver to rette linjer. Den første går gennem (2,9) og har  4 retningsvektoren r =   , mens den anden  −2 linje går gennem (–5,–20) og har retnings  3 vektoren s =  5 .

–4

–2 x

–4

–2

200 Hvad er matematik? 3, opgavebog

4 y

Facitliste

Opgave 5.34

d) 100

–2

–4

–2 0 2 4 x

–4

4 0 2 –4 –2 y

–2

–4

–2 0

2 y

Opgave 5.35

Opgave 5.36

a) f (–50,20) = –19,16, dvs. ”windchill-indekset” er 19,16º C, når den målte temperatur er –5º C, og vindhastigheden er 20 m/s. b) v = 5,16 m/s. Opgave 5.37 a) f(1,y) = 1 + y + 2y2 og f(x,2) = 3x2 + 4x + 4 b) f(1,y) = y · e1+y og f(x,2) = x · 2 · ex+2 c) f(1,y) = 0,1 · y2 + ln(2) og f(x,2) = 0,4 + ln(x2 + 1) d) f(1,y) = 4 · y2 – 3 · y – 3 og f(x,2) = 2 · x2 – 6 · x + 11

100 50 0 –50 –4

–2

–4

–2

4 y

Opgave 5.38 a) f ( x,4) =

8⋅ x x2 + 1

100 50

–50

–4

–5 –2

–4

–2

–10

–5

10 –10

–5

5 y

c) b) x = − 15 + 4 ∨ x = 15 + 4 , dvs. grafen for f, snitkurven og den vandrette plan z = 1 skærer hinanden i punkterne ( − 15 + 4,4,1) og ( 15 + 4,4,1) .

20 15 10 5 5 –10 –5 0 0 5 –5 y 10 –10 x

201 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 5.39

Opgave 5.42

a) h(x) = 3 – ln(x2 + 2) b) g(y) = 3 – ln(x2 + 5) c) h (x): y

a) fx ′ ( x, y ) = 2 ⋅ x + y 2 + 2 ⋅ x ⋅ y og fy ′ ( x, y ) = 2 ⋅ y + 2 ⋅ x ⋅ y + x 2 b) fx ′ ( x, y ) = y ⋅ e x + y + x ⋅ y ⋅ e x + y og fy ′ ( x, y ) = x ⋅ e x + y + x ⋅ y ⋅ e x + y

3 2 1 –20

–10

–1

og fy ′ ( x, y ) = 0,2 ⋅ y

d) fx ′ ( x, y ) = 4 ⋅ x − 3 ⋅ y og fy ′ ( x, y ) = 8 ⋅ y − 3 ⋅ x

Opgave 5.43

 x   2  1  2 + t a) I ndsæt  y  =  2 + t ⋅  1 =  2 + t i funktionen og reducér.

–3

h(x) her et globalt maksimum d) g (y): y

b) fr ′ (0) = 12

3 2

Opgave 5.44

1 –10

2x x2 + 1

–2

–20

c) fx ′ ( x, y ) =

–1

–2

x 0 0 0  a) I ndsæt   =   + t ⋅   =   y   2  1  2 + t  i funktionen og reducér.

b) fr (0) = −

–3

3 2

 8 ⋅ x c) ∇f ( x, y ) =  − 3  .  y

g(y) her et globalt maksimum

Opgave 5.40

a) f (x,y) = 6 omskrives til x2 + (y – 1) 2 = 32, dvs. en cirkel med centrum i (0,1) og radius 3. b) k < –3

Opgave 5.41

  0   0 3 =− . d) ∇f (0,2) • r =  3  • 2   1 −  2 e) G rafen med punktet P afsat. Vi ser, at den største stigning/det største fald, når vi bevæger os ud fra P, er i y-aksens retning:

a) 200

150

100

5 –10

b) 3 =

0 –4 –5 x

10 –10

–5

10 y

x2 + y2 + 2x + 2 2

c) 8 = (x + 1) + y , dvs. en cirkel med centrum i C(–1,0) og radius r = 8 d) k2 – 1 = (x + 1) 2 + y2 og k ≥ 0, dvs. k ≥ 1.

–2

10 y

Opgave 5.45 ∇f (1,3) =  7 , dvs. i punktet P er grafen for f  7  7 , dvs. stejlest i positiv henseende i retningen ∇f (1,3) =  7 langs linjen med ligningen y = x i xy-planen.

202 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

Opgave 5.46 a) A (67,170) = 1,78, dvs. personens overfladeareal er 1,78 m2. b) Graf: 2,5 2

dvs. overskuddet stiger med 36,9 kr. pr. ekstra arbejdstime, mens overskuddet stiger med 3,7 kr. pr. ekstra investeret krone, netop når der bruges 2000 arbejdstimer, og der investeres 100000 kr. i maskiner.

Opgave 5.49

1,5

2 a) ∇f ( x, y ) =  2 2⋅ x ⋅ y + 4 ⋅ y − y  .  x + 4 ⋅ x − 2 ⋅ x ⋅ y

1 0,5 200 150 100 50 x

b) z = –9 · x + 8 · y – 36

20 40

60 80

100

Opgave 5.50

a) fx ′(0,1) =

c) Am ′(67,170) = 0,011268 , dvs. for hver kilo, personen tager på, bliver overfladearealet 0,011 m2, svarende til 112,68 cm2, større.

b) z =

x 2

−

1 2

y 2

1 2

og fy ′( x, y ) = − .

+ 1 .

Opgave 5.51 z=x–2·y

Opgave 5.47 a) P (0,0) = 35, dvs. startgebyret er 35 kr., mens det koster 8 kr. pr. kørt km og 6 kr. pr minut, turen varer. b) x = 11,25, altså er der kørt 11,25 km. c) P x ′(x,y) = 8 og Py ′(x,y) = 6, dvs. gradienten er den samme i ethvert punkt. Det betyder, at uanset hvor mange kilometer man kører, så vil prisen øges med 8 kr. for hver ekstra kørt km og med 6 kr. for hver ekstra minut, turen tager.

Opgave 5.48 Graf:

Opgave 5.52 a) p = –1 ∧ q = 2 b) z = 28 · x – 8 · y – 42

Opgave 5.53

a) r · t – s2 = 288 > 0 og r = 12 > 0, altså er der tale om et minimum.

Opgave 5.54 Stationært punkt i P(0,0), hvor r · t – s2 = –1 < 0, altså er der tale om et saddelpunkt, og funktionsværdien er: f(0,0) = 1.

Opgave 5.55 2 · 10 6

1,5 · 10 6 1 · 10 6 0,5 · 10 6 100000 80000 60000 40000 20000 x

1000

2000

3000 y

a) f (x,y) = 446352,50, dvs. overskuddet er 446352,50 kr., når der bruges 2000 arbejdstimer, og der investeres 100000 kr. i maskiner. b) ∇f (2000,100000) =

 36,91 ,  3,73 

a) S tationært punkt i P(0,0), hvor r · t – s2 = 4 > 0 og r = 2 > 0, altså er der tale om et minimum, og minimumsværdien er: f(0,0) = –3. b) S tationært punkt i P(0,0), hvor r · t – s2 = –4 < 0, altså er der tale om et saddelpunkt, og funktionsværdien er: f(0,0) = 2. c) S tationært punkt i P(0,0), hvor r · t – s2 = 3,96 > 0 og r = –2 < 0, altså er der tale om et maksimum, og maximumsværdien er: f(0,0) = 2.

203 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 5.56

Opgave 5.59

Tegn selv graferne. 2 2 a) P1( − 5 + 1, 5 + 1) , P2 ( − , − ) , P3 (0,0), 3 3 P4 ( 5 + 1, − 5 + 1). b) P1(–1,–1), P2 (0,0). c) P(0,0). d) P(0,0).

a) ∇f ( x, y ) =

 e x ⋅ y 2   0 =  2 ⋅ e x ⋅ y   0 har løsninger af typen (c,0), hvor c er et tal. I (c,0) gælder der: r · t – s2 = 0, dvs. arten er ukendt.

Opgave 5.60 4 4 3 3 3 2 4 2 4 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ ( x − 3 ⋅ y − 3) −4 ⋅ x ⋅ y ⋅ (5 ⋅ x − 3 ⋅ y + 5)

a) P1(–4,0), P2 ( − , ), P3 (0,0), P4 (0,4).

Opgave 5.57

b) fx ′′ ( x, y ) == 2 · y og fy ′′ ( x, y ) = –2 · x og − x +( x12+⋅ yx ⋅+y1) + ( y + 1) ⋅ (3 ⋅ y ( x− 1)+ y fxy ′′ ( x, y ) = 2 · x – 2 · y + 4

∂f ∂x

a) ( x, y ) = 3 ⋅ x 2 − 3 ⋅ y og ∂f ∂y

4 2

b) S tationært punkt i P1(0,0), hvor r · t – s2 = –9 < 0, altså er der tale om et saddelpunkt. Stationært punkt i P2 (1,1), hvor r · t – s2 = 27 > 0 og r = 6 > 0, altså er der tale om et minimum.

fy ′′ ( x, y ) = fxy ′′ ( x, y ) =

2 ⋅ x ⋅ y ⋅ ( x − 3 ⋅ y − 3) 4

( x + y + 1) 3

−4 ⋅ x ⋅ y ⋅ (5 ⋅ x − 3 ⋅ y + 5) 2

( x + y + 1) 4

( x + y + 1)

> 0,

–2 –4 –4 –2 0 2 x 4

P1P(4−( 2,,–1), −1)P1P(5−( 2,,1). −1) 1

c) P1( − 2, −1) : r ⋅ t − s2 = > 0 og r = 8 altså er der tale om et maximum. 1 8

−1) r ⋅ t − s = > 0 og r = P21( − 2,,1): altså er der tale om et minimum.

− 2 8 2 8

< 0,

P3 (0,0): r · t – s2 = –1 < 0, altså er der tale om et saddelpunkt. 1

P1P(4−( 2,,–1): −1) r ⋅ t − s2 = > 0 og r = 8 altså er der tale om et minimum. 1

8 3

P1P(5−( 2,,1): −1) r ⋅ t − s2 = > 0 og r = 8 altså er der tale om et maximum.

−1)P3 (0,0), b) P1( − 2, −1) , P21( − 2,,1),

+ 1)

P4 (0,4), hvor r · t – s2 = –16 < 0, altså er der tale om et saddelpunkt.

− x + 12 ⋅ x ⋅ y + ( y + 1) ⋅ (3 ⋅ y − 1) 2

P3 (0,0), hvor r · t – s2 = –16 < 0, altså er der tale om et saddelpunkt.

4 4

> 0 og r = P2 ( − , ), hvor r ⋅ t − s2 = 3 3 3 altså er der tale om et minimum.

c) P 1(–4,0), hvor r · t – s2 = –16 < 0, altså er der tale om et saddelpunkt.

Opgave 5.58 2

( x + y + 1)

( x, y ) = −3 ⋅ x + 3 ⋅ y 2

a) fx ′′ ( x, y ) =

2 8

− 2 8

< 0, < 0,

–2

d) Vi tegner grafen og de 4 punkter ”løftet op” på grafen, sammen med planen z = 0, så vi kan se, at de tre ligger der. Vi ser grafen nedefra, og ser minimumspunktet P2.

Opgave 5.61 a) A (20,30) = 8700, dvs. overfladearealet er 8700 cm2. 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ ( x − 3 ⋅ y − 3)−4 ⋅ x ⋅ y ⋅ (5 ⋅ x − 3 ⋅ y b) fx ′′ ( x, y ) == –4 og fy ′′ ( x, y ) = –4 og − x +( x12+⋅ yx ⋅+y1) + ( y + 1) ⋅ (3 ⋅( yx −+ 1)y + 1) fxy ′′ ( x, y ) = 2 ( x 31250 + y +1) 125 125 c) M aksimum i  , dvs. kassens , , 3 3 3  maksimale overfladeareal er 10416,7 cm2. 2

4 2

2 4

Hvad er matematik? 3, opgavebog

–4

+ 5)

Facitliste

Opgave 5.62

4 ⋅ y + 11

a) fx ′′ ( x, y ) =

4 ⋅ ( x + y + x + 3)

x + x+3

fy ′′ ( x, y ) = 2

( x + y + x + 3)

fxy ′′ ( x, y ) =

3 2

og –10

y − 2⋅ x ⋅ y 3

2 ⋅ ( x 2 + y 2 + x + 3) 2

1 S tationært punkt i P( − ,0), hvor 2 4 2 ⋅ 11 r ⋅ t − s2 = > 0 og r = > 0, 11 11

altså er

–4 –8

–2 –4

–6 x

0 e) f (0,0) = 4, ∇f ( x, y ) =   , vandret tangentplan   0

der tale om et globalt minimum.

med ligningen z = 4 i Q.

c) z = . 2

Opgave 5.65 a) f (0,0) = 9,4, dvs. A er placeret 9,4 meter over jordoverfladen. b) f (x,0) = 0,3 · e0,125x + 12,1 · e –0,125x – 3 . c) F or g(x) = f(x,0) fås:

Opgave 5.63 8 6 4 2 0 –2 –4 –6 8

∫

1 + g′( x )2 dx = 23,15 , dvs. snitkurven mellem A og B er 23,15 meter lang. 0

Opgave 5.66 a) k = –24 b) r · t – s2 = –144 < 0, altså er P(3,2,11) et saddelpunkt.

4 y

6 8 –4 2 4 –2 0 –4 x –8 –8 –6

a) D a funktionen har en række punkter, hvor den ikke er defineret, vil grafen omkring disse steder få en ”flosset karakter”. Bemærk aksernes orientering, der er valgt for at illustrere slugterne i landskabet. ∂

b) f ( x, y ) = ∂x

18 ( x ⋅ y + 3)

∂ ∂y

f ( x, y )

−6 ⋅ x

( x ⋅ y + 3)

Opgave 5.67 a) fx ′ ( x, y ) = 2 4 ⋅· xx3+–y22 + · y22⋅ +x ⋅6y· y og 6 ⋅· yx +– 24⋅·xx⋅ ·yy+ x 2 fy ′ ( x, y ) = 2 4 b) ∇f (1,0) =   .  6

 4 3 c) ∇f (1,0) • r =   •   = 6 .  6  −1 d) P1(0,0), P2 (0,3).

Opgave 5.64

⋅ x ⋅ fyy ′ ( x, y ) = 2 ⋅· yx +– 26⋅·xy⋅ y + xe) T = a) fx ′ ( x, y ) = 2 ⋅· xy +– y2 · +x 2og 2

2 ⋅ y − 2 ⋅ x b) ∇f ( x, y ) =   2 ⋅ x − 6 ⋅ y

c) z = 4 · x – 12 · y + 16

3⋅3 2

3 2

= 3,12.

Opgave 5.68 a) D a pladens bredde er 1 meter, så må ’ombukket’ være: 0 < x < 0,5 . Da tværsnittets øverste kant skal være længere end den nederste, så må ’ombukningsvinklen’ være: π 0<v< . 2

205 Hvad er matematik? 3, opgavebog

b) h = x · sin(v). c) N edre kant: l1 = 100 – 2 · x. Øvre kant: l2 = 100 – 2 · x + 2 · x · cos(v). d) Areal: A = x · sin(v) · (x · cos(v) – 2 · x + 100 ). e) x =

100 3

og v =

π . 3

Opgave 5.72 30 20 10 0 –10

Opgave 5.69

Opstil en funktion, der beskriver fortjenesten f ( x, y ) = −500 ⋅ x 2 + x ⋅ (1000 ⋅ y − 100000) −1000 ⋅ y 2 + 855555 ⋅ y − 270000000 . Stationært punkt P(650,750), hvor r · t – s2 = 1000000 > 0 og r = –1000 < 0, altså er der tale om et maksimum, og maximumsværdien er: f(650,750) = 16250000.

Opgave 5.70

y a) FA x ′( x, y ) = 12000 − x og FA y ′( x, y ) = − . 2

FB x ′( x, y ) = −

x 3

og FA y ′( x, y ) = 12000 − y

 12000 − x  . b) ∇FA ( x, y ) =   − y  2  −x  3 ∇FB ( x, y ) =    12000 − y  . c) x = 9000 og y = 8000.

–5 0 0 5 5 10 –10 –5 y

a) b) z = –0,8 · x. c) 0 ,9 = 0,1 · x2 – 0,8 · x + 0,1 · y2 omskrives til (x – 4) 2 + y2 = 25, dvs. en cirkel med C(4,0) og radius r = 5.

Kapitel 6 Opgaver 6.1– 6.38 Ingen facitliste. Opgaverne fungerer som kontrolspørgsmål og/eller oplæg til diskussion i klassen.

Opgave 6.39 f ″(x) = 12x 2

20 x

Opgave 6.40

a) O verfladearealet: 2 · x · h + 2 · x · y + y · h = 48,

f ′(t) = 6e2t + 12e3t y ″ – 5y ′ + 6y =

−2 ⋅ x ⋅ y + 48 , 2⋅ x + y

volumenet: v = x ⋅ y ⋅

og dermed bliver 48 − 2 ⋅ x ⋅ y 2⋅ x + y

= 20 x 2

f ″(t) = 12e12t + 36e3t

12e12t + 36e3t – 5(6e2t + 12e3t ) + 6(3e2t + 4t3t ) = 0 Konklusion: f(x) er en løsning.

Opgave 6.41 a) f 1′(t) = 2e2t og f1″(t) = 4e2t y ″ – 4y ′ + 4y = 4e2t – 4 ⋅ 2e2t + 4e2t = 0 f2′(t) = e2t + t ⋅ 2e2t og f2″(t) = 2e2t + 2e2t + t ⋅ 4e2t y ″ – 4y ′ + 4y =

30 20 10 0

20 x

Konklusion: f(x) er ikke løsning til ligningen.

Opgave 5.71

dvs. h =

5 x

20 10 15 10 15 20 5 y

b) c) r · t – s2 = 12 > 0 og r = –8 < 0, altså er der maksimum i P(2,4,32). Det betyder, at hønsegårdens største volumen på 32 m3 opnås, når bredden er 2 meter, længden er 4 meter, og højden er 4 meter.

2e2t + 2e2t + t ⋅ 4e2t – 4(e2t + t ⋅ 2e2t) + 4t ⋅ e2t = 0 Konklusion: f1(x) og f2 (x) er begge en løsning b) I følge bogens kapitel 6, øvelse 6.5 er alle linearkombinationer af løsninger til en homogen, lineær differentialligning selv en løsning.

206 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

Opgave 6.42

b) I følge bogens kapitel 6, øvelse 6.5 er alle a) ( ) − linearkombinationer af løsninger til en homogen, lineær differentialligning selv en løsning. t t − 6 − 3 3 1 ff1''1″((t) t ) = e 2 sin  t  − 2e 2 cos  t  g ( x) = a⋅ x + b⋅ x c) 4 2 2 Ligningssystemet g(1) = t t 0 og g ′(1) = 3t 6 −t  1 −t − − 3  3  3  3 −2 3  3    '' ' 2 2 2 2y 2 y″ ++ 2y 2 y ′ + 55yy = 2  e sin  t  − 2e cos  t   + 2giver cos  løsning: t − e sin  t   + 5e 2 cos  t  = 0  − 2 efølgende 2 2  2  2 2  2 4  1 gg(x) ( x ) =t 2 x − 2 x t t t t 6 −  1 − − − 3 3  3 3 − 3  3 5 y = 2  e 2 sin  t  − 2e 2 cos  t   + 2  − e 2 cos  t  − e 2 sin  t   + 5e 2 cos  t  = 0 2 2 2 2 2 4 2 Opgave 6.45 2     t

1 −2 e 2

f1f '1′(t) t =

3 3 − 3 cos  t  − e 2 sin  t  2 2 2

t t   1 −t − 3  3 −  3  3   + 2  − 2 e 2 cos  2 t  − 2 e 2 sin  2 t   + 5e 2 cos  2 t  = 0    t 1 −2 2

f2f'2(′(t) t) = − e

3 3 − 3 sin  t  + e 2 cos  t  2 2 2

t −t 6 − 3 3 ff2''2″((t) t ) = − e 2 cos  t  − 2e 2 sin  t  4

u(t) opfylder klart, at u(0) = 1 og u ′(0) = 1. Ved indsættelse af u(t), u ′(t) = 1 og u ″(t) = 0 ses også, at u(t) er en løsning til differentialligningen.

Opgave 6.46

f(t) = 9t – 7 = 2 og t t  6 −t  opfylder  1 − tklart, 3at f(0)  − − 3  3  3 −2 3 3   2 2 2 ′ 2 y ′ + 55y y = 2  − e cos t − 2e sin t f (0)= sin= 3.t + e cos  t   + 5e 2 sin  t  = 0 + 2 − 22yy″ ++ 2y –18e+ 21 2  2   2  2  2  2–2t    4  2 Ved indsættelse af f(t), f ′(t) = –18e + 21e –3t t t t  6 −t   1 −t  − − = 36e3–2t – 63e –3t ses også, at f(t) er en 3 3 3 3 − 3 og f ″(t) = 2  − e 2 cos  t  − 2e 2 sin  t   + 2  − e 2 sin  t  + e 2 cos  t   + 5e 2 sin  t  = 0  2  2  2  2 løsning 2  2   4  2  til differentialligningen. ''

t t   1 −t − 3  3 −  3  3   + 2  − 2 e 2 sin  2 t  + 2 e 2 cos  2 t   + 5e 2 sin  2 t  = 0   

Opgave 6.47

a) Ved indsættelse af y = a ⋅ x2 + b ⋅ x + c på venstre side fås: b) I følge bogens kapitel 6, øvelse 6.5 er alle y ″ + y ′ – 6y = linearkombinationer af løsninger til en homoy ′′ + y ′ − 6 y = −6 a ⋅ x 2 + (2a − 6 b) ⋅ x + (2a + b − 6c ) gen, lineær differentialligning selv en løsning. altså et andengradspolynomium. b) E n løsning til y ″ + y ′ – 6y = –6x2 + 26x – 8 Opgave 6.43 k an vi få ved at løse ligningerne: f ′(x) = 4x ⋅ ln(x) + 2x −6 a = −6 og 2a − 6 b = 26 og 2a + b − 6c = −8 −6 a + =6 −6 og 2a − 6 b = 26 og 2a + b − 6c = −8 f ″(x) = 4ln(x) + 4 + 2 = 4ln(x) 3 4 3 44 3 4 3 L øsningen yy''″''–−− yy'′'+++ 22 yy ===(((4ln 4ln(x) 4ln((xx))+++66)))−–− ((44xxln ln((xx))++22xx))++ 22 22xx22ln ln ((xx))==00 giver: a2= 1, b = –24, c = 20, dvs. xx xx xx xx forskriften er y = x – 24x + 20 3 44 44 4ln((xx))++66))−− 3 (((4xln(x) ln((xx)+ 2xx22ln(x) ln((xx))===000 )++2x yy == ((4ln 44xxln 22xx) ))+ ++ 22 22x ln 22 x Konklusion: f1(x) og f2 (x) er begge en løsning

Opgave 6.48

Konklusion: f(x) er en løsning

a) y = x 2 − 1 2

Opgave 6.44 x) = a) f1f ′1(′(x) 2

1 2

x−

1 2

f1f′′1″((x) x) = − 1 x− 4

3 2

2x y ″ + 3xy ′ – y = 1  1 −3 1 − 2 x 2 y'' + 3 xy' − y = 2 x 2  − x 2  + 3 x x 2 − x = 0 4 2 –2 ′ ″ f2 (x) = –x f2 (x) 2x–3

b) y = −

1 4

x2 − 1 8

c) y = x 2 + 4 x + 6 1 2 d) y = − x 2 − 2 x + 3

2x2y ″ + 3xy ′ – y = 2 x 2 y'' + 3 xy' − y = 2 x 2 ( 2 x −3 ) + 3 x ( − x −2 ) −

1 x

Konklusion: f1(x) og f2 (x) er begge en løsning

207 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 6.49

Opgave 6.53

a) V ed indsættelse af y = a ⋅ cos(x) + b ⋅ sin(x) på venstre side fås: y ″ + y ′ – 6y = (b – 5a) ⋅ cos(x) + (–a – 5b) ⋅ sin(x) altså en harmonisk svingning. b) E n løsning til y ″ + y ′ – 6y = cos(x) – 7 ⋅ sin(x) kan vi få ved at løse ligningerne: b – 5a = 1 og –a – 5b = –7.

a) yy(x) ( x ) = a ⋅ e − ln(3)⋅ x + b ⋅ eln(3)⋅ x = a ⋅ 3− x + b ⋅ 3 x. A nvend, at y(0) = 82 og y(1) = 30, og bestem a og b: y = 81 3 –x + 3x b) Grafen: y 80 70 60

18 18 1 Løsningen giver: ,⋅ cos( y = ya1 =⋅ cos( xb) = + x ) ,+⋅ dvs. sin(⋅ xsin( ) x)

forskriften er y

13 13 13 13 18 1 = ⋅ cos( x ) + ⋅ sin( x ). 13 13

a) V ed indsættelse af y = a ⋅ e2x + b ⋅ e –2x på venstre side fås: y ″ + 3y ′ – 4y = 7a ⋅ e2x + 3b ⋅ e –2x altså en eksponentiel linearkombination af samme type. b) E n løsning til y ″ + 3y ′ – 4y = e2x – 4 ⋅ e –2x kan vi få ved at løse ligningerne: 7a = 1 og 3b = –4.

−

−1x 2

yy(x) ( x) =

3 2

og y ′(13) = 0, og bestem a og b: 1 40 −3 x 1 e e + e−38 e3 x 2 2 1 1 − e40 e−3 x + e−38 e3 x 6 6

Opgave 6.55

+ b ⋅ e 2 . Anvend, at y(0) = 1 og − 1x 2

a) y (x) = a ⋅ e –3x + b ⋅ e3x. Anvend, at y(13) = e

b)Yy(x) ( x) =

Opgave 6.54

33 4 −2 x ⋅e 3

y ′(0)= 1, og bestem a og b:y y(x) ( x ) == − 1 e

c) Minimum: (x,y) = (2,18)

Opgave 6.51 yy(x) ( x) = a ⋅ e

(2,18) 0

−−22xx Løsningen giver: ayy== 11,⋅ ⋅ee b22x=x−−44⋅,⋅eedvs.

forskriften er y =

Opgave 6.50

77 1 2x ⋅e 7

+ e2

Opgave 6.52 a) y (x) = a ⋅ e –2x + b ⋅ e2x. Anvend, at y(0) = 2 og y(2) = 1, og bestem a og b: f(x) = 0,01765 ⋅ e2x + 1,9823 ⋅ e –2x b) Grafen: y

a) y (x) = a ⋅ cos(2x) + b ⋅ sin(2x). Anvend, at y(0) = 2 og y ′(0) = 5, og bestem a og b: 5 sin(2x) ff(x) cos (2 x )++ ⋅⋅sin ( x )==22⋅⋅ cos(2x) (2 x ) 2 b) G rafen for f (med punktet og tangenten som kontrol) y

(0.448,3.202)

3 2

2,5

f(x)

x 1,5

–1

1 –2

0,5 x

(1.180,0.374)

0,5

1,5

–3

2,5

c) Minimum: (x,y) = (1.180,0.374)

(2.019,–3.202)

c) f f(x) ( x) =

1 2

⋅ cos(2x – 0,8961) 41cos(2 x − 0,8961)

208 Hvad er matematik? 3, opgavebog

π 2

Facitliste

d) T = p 41 e) M indste værdi: − 2 = −3,202

b) G rafen (med punktet og tangenten som kontrol): y

3,202 Største værdi:− 2 = 3−,202

Opgave 6.56

( )

(3 )

a) yy(x) ( x ) == a ⋅ cos 31 x + b ⋅ sin 31 x . Anvend, at y(0) = 5 og y ′(0) = 1, og bestem a og b:

f f(x) ( x ) = 5 ⋅ cos 1 x + 3 ⋅ sin 1 x

b) Grafen for f: y –5 (1.621,5.831) 5

P x 0

c) y(x) = 8,303 ⋅ cos(0,9x – 2,071)

Opgave 6.59

–5

= a ⋅ e − 0,3 x + b ⋅ e 0,3 x . Anvend, at a) yy(x) ( x ) = y(1) = 6 og y ′(1) = –2, og bestem a og b: y(x) = 0,6790 ⋅ e0,5477x + 8,3452 ⋅ e –5477x b) G rafen (med punktet og tangenten som kontrol):

(11.046,–5.831)

c) M indste værdi: − 32 + 52 = − 34 = −5,831 Største værdi:

32 + 52 = 34 = 5,831

1 1 d) f f(x) ⋅ cos cos( − 0,5404) cos( x −x0,5404) ( xf )( x=) =3434 3 3

Opgave 6.57 8

(x ) = a ⋅ cos ( 2 ⋅ x ) + b ⋅ sin ( 2 ⋅ x ) a) yy(x) Anvend, at y(0) = 0, og bestem a = 0:

y (x ) = a ⋅ cos ( 2y(x) ⋅ x )=+ b ⋅ sin ( 2 ⋅ x ).

Størsteværdien lig med 5 giver de to løsninger:

Arealet = π π 2 2

π 2

∫0

f1( x ) − f2 ( x ) dx =

π π 2 2

π 2

∫0

10 sin( 2 ⋅ x ) dx =

f1( x ) − f2 ( x ) dx =

∫0

2020

⋅ sin( 2 2⋅ x⋅ )xdx ) dx= =∫ ∫ 1010sin( ) dx= = ∫0∫0f1(f1x( )x−) −f2f(2x( )xdx 22 00 π 2

(2.290,4.761)

y (x ) = a ⋅ cos ( f2 1(x) ⋅ x )=+5b⋅⋅ sin y ((x )2=⋅ xa)⋅ cos og ( f22(x)⋅ x=) + –5b⋅⋅ sin ( 2 ⋅ x ) π b) Grænserne er a = 0 og b = .

(resultatet findes fx ved substitution 20 t = 2 ⋅ x ) dx = 10 sin( 2

Opgave 6.58

x 0

c) M inimum i (2.290,4.761). Der er intet lokalt maksimum.

a) y (x) = a ⋅ cos(0,9x) + b ⋅ sin(0,9x). Anvend, at y(2) = 8 og y ′(2) = 2, og bestem a og b: y(x) = –3,9817 ⋅ cos(0,9x) + 7,2859 ⋅ sin(0,9x)

209 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 6.60

Opgave 6.63

a) y = 12x + 6 b) y (x) = a ⋅ e –3x + b ⋅ e3x. Anvend, at y(0) = 6 og y ′(0) = 12, og bestem a og b: f(x) = e –3x + 5 ⋅ e3x c) V i ved om f, at den indsat på venstre side giver 0. Vi kontrollerer så blot, at y = –9x2 – 5 opfylder differentialligningen.

a) d = 16, så løsningsformen er y(x) = c1⋅ ex1 · x + c2 ⋅ ex2 · x, hvor x1 og x2 er rødder: y(x) = c1e –3x + c2ex b) A nvend, at y(0) = 2 og y ′(0) = 0, og bestem c1 og c2:

Opgave 6.61

yy(x) ( x ) = e −3 x + e x 1 2

3 2

c) G rafen (med punktet og tangenten som kontrol): y

a) y (x) = a ⋅ e –4x + b ⋅ e4x. Anvend, at y(0) = 3 og y( 14 ) = 3e, og bestem a og b: f(x) = 3e4x b) y (x) = a ⋅ e –4x + b ⋅ e4x. Anvend, at y(0) = 5 og y ′(0) = 0, og bestem a og b: gg(x) ( x) =

5 −4x e 2

+ 52 e4 x

Opgave 6.62

a) d = 0, så løsningen har formen −b y y((x) x ) = c1 ⋅ e x0 ⋅ x + c2 ⋅ x ⋅ e x0 ⋅ x , hvor x0 = : 2a y y((x) x ) = c1 ⋅ e − x + c2 ⋅ x ⋅ e − x b) A nvend, at y(0) = 2 og y ′(0) = 0, og bestem c1 og c2: y y((x) x ) = 2e − x + 2 xe − x c) G rafen (med punktet og tangenten som kontrol):

1 x

–1

Opgave 6.64 a) d = –4, så løsningen har formen yy(x) ( x ) == e 2 a ⋅ x ⋅ (c1 ⋅ cos( ω ⋅ x ) + c 2 ⋅ sin( ω ⋅ x )), −b

−d : 2a

y(x) = e –x ⋅ (c1 ⋅ cos(x) + c2 ⋅ sin(x)) b) A nvend, at y(0) = 2 og y ′(0) = 0, og bestem c1 og c2:

–1

hvor ω =

x 0

y(x) = e –x ⋅ (2cos(x) + 2sin(x)) c) G rafen (med punktet og tangenten som kontrol): y

–2

d) Funktionen er voksende i ]–∞;0] og aftagende i [0;∞[. Der er globalt maksimum i punktet (0,2).

1 x 0

–1

–1 –2

210 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

Opgave 6.65 a) d = 9, så løsningsformen er y(x) = c1ex1 · x + c2ex2 · x, hvor x1 og x2 er rødder. Den fuldstændige løsning: y(x) = c1e –4x + c2e –x b) A nvend, at y(0) = –4 og y ′(0) = –2, og bestem c1 og c2:

c) G rafen (med punktet og tangenten som kontrol): y

1,5 1

y = 2e –4x + 6e –x

0,5

Opgave 6.66

a) d = –64, så løsningen har formen −b y ( x ) = e 2 a ⋅ x ⋅ (c1 ⋅ cos( ω ⋅ x ) + c 2 ⋅ sin( ω ⋅ x )), −d : 2a

hvor ω = y( x ) = e−

1 2

0,5

1,5

d) lim f ( t ) = 0 , da e –2x dominerer over 5x og går t →∞

hurtigere mod 0, når x → ∞.

⋅ ( c1 ⋅ cos( x ) + c2 ⋅ sin( x ))

Anvend, at y(0) = 3 og y ′(0) = 2, og bestem c1 og c2: − 21 x

y( x ) = e ⋅ ( 3 cos( x ) + 3,5 sin( x )) b) G rafen (med punktet og tangenten som kontrol):

Opgave 6.68 1) hører til graf nr. 3, fordi: Når y < 0 vil grafen være konkav (nedad hul), da y ″ < 0. Herefter vil grafen være konveks (opad hul). y

4 3 2 x

1 –1 –1

x 0 1

–10

–2 –3

–10

–4

c) lim f ( t ) = 0 , da sin og cos er begrænsede og t →∞

2) hører til graf nr. 2, fordi: Når løsningskurven er over y-aksen, vil den være konkav (nedad hul), da y ″ < 0 og så konveks (opad hul), når løsningskurven er under y-aksen.

y ( x ) = e − 2 x ⋅→ cos(når x ) +x 3,5 sin( x )) ( 3 0, → ∞. 1

y 10

Opgave 6.67 a) d = 0, så løsningen har formen −b y(x) = c1 · ex0 · x + c2 · x · ex0 · x, hvor x0 = : 2a y(x) = c1 · e –2x + c2 · x · e –2x Anvend, at y(0) = 1 og y ′(0) = 3, og bestem c1 og c2:

x –10

y(x) = e –2x + 5x · e –2x –10

211 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 6.69

Opgave 6.70

1) Når y ′= 0 er y ″ = y. Dvs. løsningskurven skal være konveks over y-aksen og konkav under y-aksen i punkterne med vandret tangent. Det udelukker graf 2 og 4, og måske graf 3. Når y = 0 er y ″ = –y ′. Dvs. løsningskurven skal være konveks ved positiv hældning og konkav ved negativ hældning, når løsningen skærer xaksen. Det udelukker graf nr. 3. Egenskaberne passer altså kun med graf 1.

Differentialligning nr. 1 hører til graf nr. 4, fordi rette linjer har krumning 0. Differentialligning nr. 2 hører til graf nr. 1, fordi krumningen er positiv, når –2 + y > 0 , dvs. når y > 2. Differentialligning nr. 3 hører til graf nr. 2, fordi krumningen er positiv, når y < 2, og negativ, når y > 2. Differentialligning nr. 4 hører til graf nr. 3, fordi krumningen er positiv, når y ′< 2, specielt når y ′, dvs. tangenthældningen, er negativ. Grafen ser ud til at være tilnærmelsesvis lineær i første kvadrant, og linjen, der er skrå asymptote, har hældning 2, dvs. y ′≈ 2 eller 2 – y ′≈ 0. En tilnærmelsesvis ret linje har krumning tæt på 0, og det stemmer overens med, at y ″ ≈ 0.

y 10

x –10

Opgave 6.71 y(x) = a ⋅ cos(3p · x) + b ⋅ sin(3p · x). Anvend, at y ( 1 ) = π og y ′( 1 ) = 0 , og bestem a og b:

–10

2) Når y ′= 0 er y ″ = –y. Dvs. løsningskurven skal være konveks under y-aksen og konkav over y-aksen i punkterne med vandret tangent. Når y = 0 er y ″ = y ′. Dvs. positiv hældning giver konveks, mens negativ hældning giver konkav. Derfor passer kun graf 2. y 10

2 8 2 1 π 1 sin(3p yy(x) ( ) = ⋅og y ′( )· x) =0 2 8 2

Opgave 6.72 a) y (x) = a ⋅ e –0,5x + b · e0,5x. Anvend, at y(0) = 2 og y ′(0) = 0, og bestem a og b: f(x) = e –0,5x + e0,5x b) g er en løsning, der opfylder y(2) = k og y ′(2) = 4, dvs. g(x) g ( x )==

k −8 2e −1

⋅ e−0,5 x +

k + 8 0,5 x e 2e

h ′(0) = 0 giver g ′(0) = 0. Her ud fra x 10

–10

bestemmes: k =

8e + 8e e−e

−1

≈ 10,504.

Indsæt k: h(x) = 10,504 – 3,404e –0,5x – 3,404e0,5x Højden af buen: h(0) = 3,70 –10

212 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

Opgave 6.73 sin (t ) –− a) yy(t) cos(t) (t ) == cc11cos (t ) + cc22sin(t) y ( t()t )=+cc1b) sin (t )t –)− cos(3t ) y(t) y ( t ) = c1 cos sin cos(3 (t )=+− c12cos(t) 2cos 4

o større t bliver, jo større bliver udsvingene. J Matematisk set går udsvingene mod uendelig.

1 cos(3t ) 4

1 4

f) yy(t) (t ) = t ⋅ sin( t ) 2 3

3 2

0,4

0,3

0,2

0,1 –0,1

x 0

–10 –8 –6 –4 –2 –2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

–0,2

–4

–0,3

–6

x 0

8 10

Jo større t bliver, jo større bliver udsvingene. c) Æ ndring på A har udelukkende betydning Matematisk set går udsvingene mod uendelig. for det maksimale udsving. Ved negative ADet fælles karakteristiske træk ved de to difværdier spejles funktionen i x-aksen i forhold ferentialligninger er, at w0 = w , dvs. systetil ovenstående figur. mets egen frekvens w0 og frekvensen af den d) Begyndelsesbetingelsen ydre påtrykte kraft w er lige store. I dette y(0) = k og y ′(0) = 0 tilfælde bliver den partikulære løsning til den inhomogene differentialligning, nemlig på Løsningsformlen: 1 1 1  ) − 1 cosc( 3· tt)· sin(w0 · t). y ( t ) =yy(t) sin ( t ) –− cos cos(3 cos(t) = ( k(t+) + )c⋅2cos (ct1)cos (3tt)) = k ⋅ cos ( t ) +  4 ⋅ cos ( tformen 4 4 4 200 200 21 1 1 1 1 g) y(t) = y t = cos ( 2 x ) − cos( x )   ( ) ) ⋅ cos ( t ) − cos ( 3t ) = k ⋅ cos ( t ) +  ⋅ cos ( t ) − cos ( 3t ) 41 41 10 4 4 4 4 Det grafiske billede illustrerer situationen, Jo større numerisk k-værdi, jo mere udviskes hvor et helt antal perioder af den ene svingde små udsving. Ved k = 0 er de små udning svarer til et (andet) helt antal perioder af sving størst. Jo større numerisk k-værdi jo den anden svingning. Så vil det overordnede større udsving. billede blive gentaget efter et vist antal peBegyndelsesbetingelsen rioder. Er det en model for lydsvingninger, vil y(0) = 0 og y ′(0) = k man opleve det som gentagne stød. Løsningsformlen: –0,4

yy(t) cos (tt)+ sin (t ) –− cos(3t ) = y ( t ) = c1 cos (t ) + c2 sin cos(3 ) +kc2⋅ sin(t) ((tt))=− c11cos(t) 1 4

1 ) ⋅ cos 4

(t ) − 41 cos (3t ) = k ⋅ cos ( t ) +  41 ⋅ cos ( t ) − 41 cos ( 3t )

Udsvinget er størst ved store k-værdier. Funktionen har altid rod i x = p · p, hvor p er et helt tal. e) yy(t) (t ) =

–40

–20

–2

x 0

–6

y 4 2 t

–4

–60

–4

1 t ⋅⋅sin(2 sin(2t) t) 2

–8 –6

–2 –2

h) y ″ = –4y + 2cos(1,1x) giver en løsning, der umiddelbart ser mere kompliceret ud, men også her ser vi, at efter et vist antal perioder gentages hele det overordnede billede.

–4

213 Hvad er matematik? 3, opgavebog

c) u ′ = z og z ′ = –z + 0,5u

1,5 20

1 0,5 x –40

–20

–0,5

40 20

–20

–1 –1,5

Prøv selv at eksperimentere med irrationale tal, fx: y ″ = –2y + 2 · cos(a · x), y(0) = 0 og y ′(0) = 0 hvor a er en tilnærmelse med et vist antal fdecimaler til 2 .⋅ x 1 ( x ) = 5 ⋅ sin

)

(

–20

d) z ′ = p og p ′ = 2p – 3z p 5

Opgave 6.74 a) y ′ = z og z ′ = 2z + y

–5

y 20

–20

Opgave 6.75 a) y ″ + 3y ′ + y = 0 c) y ″ – y ′ + 2y = 0 e) y ″ – 2y ′ – y = 0

–20

b) y ′ = z og z ′ = 3z – 5y

Opgave 6.76

z 20

y 20

–20

b) y ″ + 2y ′ + 2y = 0 d) y ″ + y = 0 f) y ″ – 2y ′ + y = 0

–20

Svar på a) og b) samlet: (0,0) er ligevægtspunkt i alle 6 retningsfelter, da indsættelse af y ′ = 0 og z ′ = 0 i alle de 6 ligninger giver, at y = 0 og z = 0. Retningsfelter med eksempler på faseplot: Ved at trække rundt med kurverne ser vi, at ligevægtspunktet (0,0) kan karakteriseres som angivet (bemærk, at de spiralt tiltrækkende og frastødende bevarer denne egenskab, hvis vi zoomer ind).

214 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

y –4

–6

–4

a) Tiltrækkende

e) Saddelpunkt z

y –6

–4

b) Spiralt tiltrækkende

f) Frastødende

Opgave 6.77

a) De fuldstændige løsninger til differentialligningerne er −3− +3 +5 5 ⋅x ⋅x 2

y –6

1) y(x) y (yx= ()x=c) 1=c⋅1ec1e 2

−3−3 −5 5 ⋅x ⋅x 2

+c +22ce⋅2e 2

2) yy(x) ( x ) = e − x ⋅ (c1 ⋅ cos( x ) + c2 ⋅ sin( x )) 4) yy(x) ( x ) = c1 ⋅ cos( x ) + c2 ⋅ sin( x )

–4

6) yy(x) ( x ) = c1 ⋅ e x + c2 ⋅ x ⋅ e x b) Løsningerne til de koblede differentialligninger er:

c) Spiralt frastrødende z 4

−3− +3 +5 5 ⋅x ⋅x 2

1) y(x) y (yx= ()x=c) 1=c⋅1ec1e 2 z(x) = y ′(x) =

y –6

−3−3 −5 5 ⋅x ⋅x 2

+c +22ce⋅2e 2

z ( x ) = y ′( x ) = c1 ⋅

−3 + 5 2

⋅e

−3 + 5 ⋅x 2

+ c2 ⋅

−3 − 5 2

⋅e

−3 − 5 ⋅x 2

2) yy(x) ( x ) = e − x ⋅ (c1 ⋅ cos( x ) + c2 ⋅ sin( x )) z(x) = y ′(x) =

–4

d) Centrumspunkt

z ( x ) = y ′( x ) = e − x ⋅ (( c1 + c2 ) ⋅ cos( x ) − ( c1 + c2 ) ⋅ sin( x )) y ( x4) e − x =⋅ ( c1 ⋅ cos( x ) + c2 ⋅ sin( x )) ) =y(x)

z(x) = y ′(x) = c1 ⋅ cos(x) – c2 ⋅ sin(x) 6) yy(x) ( x ) = c1 ⋅ e x + c2 ⋅ x ⋅ e x

z(x) = y ′(x) =y(c ( x1)+=cc21) ⋅ e x + c2 ⋅ x ⋅ e x

215 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Kapitel 7

Opgave 7.29

Opgaver 7.1–7.25

H5 =

π ⋅f 10

 π  π  2π  π  3 π  π  4 π  π  5 π   10  + 10 ⋅ f  10  + 10 ⋅ f  10  + 10 ⋅ f  10  + 10 ⋅ f  10  = 0,8347

π π π π 2π  3π 4π 5π  π  + π som Ingen facitliste. Opgaverne H5 = ⋅ ffungerer ⋅ f  kon+ ⋅ f   + ⋅ f   + ⋅ f   = 0,8347 10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  trolspørgsmål og/eller oplæg til diskussion i π π π π π π 2π 3π 4π klassen. V5 = ⋅ f ( 0 ) + f ⋅   + ⋅ f   + ⋅ f   + ⋅ f   = 1,1488 10 10 10 10 10 10 10 10 10

 2 π π  3 π π  4 π  10  + 10 ⋅ f  10  + 10 ⋅ f  10  = 1,1488 H5 = 0,2 ⋅ f ( 1,2 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,4 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,6 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,8 ) + 0,2 ⋅ fH(2) += V 0,6456 M5 = 5 5 = 0, 9918 2 2 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,4 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,6 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,8 ) + 0,2 ⋅ f (2) = 0,6456 H10 = 0,9194 V10 = 1,0765 M10 = 0,9980 V5 = 0,2 ⋅ f ( 1) + 0,2 ⋅ f ( 1,2 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,4 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,6 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,8 ) = 0,7456 H50 = 0,9842 V50 = 1,0156 M50 = 0,9999 1) + 0,2 ⋅ f ( 1,2 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,4 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,6 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,8 ) = 0,7456 H100 = 0,9921 V100 = 1,0078 M100 =1,0000 H +V M5 = 5 5 = 0, 6956 2 Summerne vil konvergere mod 1 (arealet). H10 = 0,6688 V10 = 0,7188 M10 =0,6938 H50 = 0,6882 V50 =0,6982 M50 =0,6931 Opgave 7.30 H100 = 0,6907 V100 = 0,6957 M100 =0,6932 a) N ulpunkter for f(x): x = –91,253 og x = 91,253 Summerne vil konvergere mod 0,6931 (arealet). Bredde = 182,5m

Opgave 7.26

V5 =

π ⋅f 10

(0) +

π f 10

⋅ 

π 10 

π ⋅f 10

91,253

2 ∫−91,253 (f ′( x )) + 1 dx = 451,5 m

b) Længde =

Opgave 7.27

H5 = 0,5 ⋅ f (0,5 ) + 0,5 ⋅ f (1) + 0,5 ⋅ f ( 1,5 ) + 0,5 ⋅ f ( 2) + 0,5 ⋅ f ( 2,5 ) + 0,5 ⋅ f ( 3 ) = 11,375 Opgave 7.31 0,5 ) + 0,5 ⋅ f (1) + 0,5 ⋅ f ( 1,5 ) + 0,5 ⋅ f ( 2) + 0,5 ⋅ f ( 2,5 ) + 0,5 ⋅ f ( 3 ) = 11,375 a) Grafen: V5 = 0,5 ⋅ f (0 ) + 0,5 ⋅ f ( 0,5 ) + 0,5 ⋅ f (1) + 0,5 ⋅ f (1,5 ) + 0,5 ⋅ f (2 ) +y0,5 ⋅ f ( 2,5 ) = 6,875 ( 0 ) + 0,5 ⋅ f ( 0,5 ) + 0,5 ⋅ f (1) + 0,5 ⋅ f (1,5 ) + 0,5 ⋅ f (2 ) + 0,5 ⋅ f ( 2,5 ) = 6,875 M5 =

H5 + V5 2

H6 = 11,3750 H10 = 10,3950 H50 = 9,2718 H100 = 9,1354

V6 = 6,875 V10 = 7,695 V50 = 8,7318 V100 = 8,8655

M6 = 9,1250 M10 = 9,0450 M50 = 9,0018 M100 = 9,0004

Summerne vil konvergere mod 9 (arealet).

Opgave 7.28 H5 = 1⋅ f ( −1) + 1⋅ f ( 0 ) + 1⋅ f (1) + 1⋅ f ( 2 ) = 11,4752 V5 = 1⋅ f ( −2 ) + 1⋅ f ( −1) + 1⋅ f ( 0 ) + 1⋅ f ( 1) = 4,2215 M5 =

H5 + V5 2

V10 = 5,8994 V50 = 6,9674 V100 = 7,1096

x = 38

380,85

4 x 0

Areal =

10 38

∫0

b) O = 2π ∫

6,5 ⋅ sin(0,0849x ) + 6 dx = 380,85

f ( x ) ⋅ 1 + f ′( x )2 dx = 2545,64

Opgave 7.32 5

= 7,8484

H10 = 8,8009 H50 = 7,5477 H100 = 7,3998

= 9,125

M10 = 7,3502 M50 = 7,2576 M100 = 7,2547

Summerne vil konvergere mod 7,2537 (arealet).

a) Areal = π ⋅ ∫ (sin( x ) + x + 0,5)2 = 169,69 dm3 0

b) O = 2 π∫ f ( x ) ⋅ 1 + f ′( x )2 dx = 125,82 dm2

216 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

Opgave 7.33 2

d) J o finere inddeling, jo tættere kommer resultatet på 0,997. Dvs. sandsynligheden for at få en værdi større end 20 er ca. 0,3%. e) J o finere inddeling, jo tættere kommer resultatet på 1. χ2-funktionen konvergerer således hurtigt mod 0. En forsvindende del af arealet ligger udenfor x = 50. Dvs. sandsynligheden for at få en værdi større end 50 er stort set 0.

a) Graves væk: 100 ⋅ ∫ − f ( x ) dx = 516, 27 m

−2

b) Grafen er symmetrisk om andenaksen, så: Fyldes på: 2 ⋅ 100 ⋅ ∫

−2

−5

f ( x ) dx = 849,6 m3

Opgave 7.34 a) Grafen y 0,4

ϕ (x) =

0,3 0,2

1 2π

⋅e

Opgave 7.36

2 − x

g(t) = 75000 – 75000 ⋅ (3t + 1) ⋅ e –3t g(4) = 74994 mg.

Opgave 7.37

0,1

x –4 –3 –2 –1

0 1

a) p (3) = 91,75 dvs. efter 3 timers arbejde er produktiviteten på 91,75. b) Produktivitet

∞

∫ dx = 1

100

−∞

c) 0,6827

d) 0,9545

d) Jo finere inddeling, jo tættere kommer resultatet på 0,9973. Dvs. sandsynligheden for at få en værdi, der er mere end 3 spredningsafstande fra middeltallet, er ca. 0,27%. e) J o flere intervaller, der opdeles i, jo tættere kommer resultatet på 1,0000. Dvs. sandsynligheden for at få en værdi, der er mere end 5 spredningsafstande fra middeltallet, er stort set 0.

Opgave 7.35 a) Grafen y f(x) = χ2 (x,6)

0,15

x = 12,591587 Arealet til højre for x er 0,05 = 5%

0,1 1

0,05

x 0

–0,75x 2– 0,5x+100

40 20 0

8 Tid

D et ses, at man i starten af dagen arbejder med en produktivitet på 100. Efterhånden falder produktiviteten. Ved arbejdsdagens slutning er man ca. halvt så produktiv som ved dens start. c) P(8) = 656,0. d) Produktiviteten de første fire timer er 380 og 276 de fire sidste timer. e) P roduktiviteten de første fire timer udgør 57,9% og 42,1% de sidste fire timer. Selv om man er mest produktiv i starten, bliver der stadig bestilt noget efter frokost.

∞

∫ f ( x) = 1 0

c) x = 12,591587. Dermed bliver

∫

∞

f ( x ) = 0, 05 .

12,592

217 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Kapitel 8

Opgave 8.42 1

Opgaver 8.1– 8.35

Ingen facitliste. Opgaverne fungerer som kontrolspørgsmål og/eller oplæg til diskussion i klassen.

1 1 1 1

Opgave 8.36

1 1 1 1

1 4

10 20

35 56

10 15

28 36

8 9

3 4

a) E n person tager 120 skridt på 10 minutter og 360 skridt på 30 minutter. b) D e mulige slutværdier er –360, –358, –356, …, 356, 358 og 360. c) D e mulige afstande er –180, –179, …, 179 og 180 m. d) Personen har taget 200 skridt i den ene retning og 160 m den anden retning. e) D er er 4,0% chance for, at han er endt 20 m eller mere fra udgangspunktet.

1 2

15 35

1 5

1 6

21 56

126 126

28 84

120 210 252 210 120

1 9

1 10

Opgave 8.43 Kortene kan gives på 4,7 · 1021 måder.

Opgave 8.44 Der kan dannes 3276 forskellige udvalg.

Opgave 8.37 a) De mulige udfald er –9, –7, …, 7 og 9. e) Den forventede slutværdi er 0. Slutkvadratet er 9.

Opgave 8.38 a) De mulige udfald er –10, –8, …, 8 og 10. e) D en forventede slutværdi er 0. Slutkvadratet er 10.

Opgave 8.45 a) b) c) d) e) f)

Opgave 8.39 a) De mulige udfald er –13, –7, …, 19 og 23. e) D en forventede slutværdi er 5. Slutkvadratet er 36.

De tre kugler kan vælges på 364 måder. 20 56 168 120 S ummen af resultaterne i b) til e) giver facit i a), da det er det samlede antal måder, man kan vælge tre kugler på.

Opgave 8.46 180

Opgave 8.47

Opgave 8.40

7350

a) De mulige udfald er –22, –16, …, 26 og 32. e) D en forventede slutværdi er 5. Slutkvadratet er 81.

Opgave 8.48

Opgave 8.41

Opgave 8.49

a) De mulige udfald er –20, –14, …, 28 og 34. e) D en forventede slutværdi er 7. Slutkvadratet er 81.

a) b) c) d)

a) 455 b) 680

24360 27000 30 2610

218 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

Opgave 8.50

Opgave 8.52

a) – c)

Slutværdi

±9

±7

±5

±3

±1

Hyppighed

126

Sandsynlighed

512

128

256

Kvadrat på slutværdi

Hyppighed

252

168

d) De mest sandsynlige udfald er –1 og 1. 63 Begge med en sandsynlighed på 256 . e) Standardafvigelsen er 3. f) De normale udfald er –5, –3, –1, 1, 3 og 5. g) Der er ingen exceptionelle udfald.

a) – c) Slutværdi

±10

±8

±6

±4

±2

Hyppighed

120

210

252

105

1024

512

1024

128

512

256

Kvadrat på slutværdi

100

Hyppighed

252

420

240

d) Det mest sandsynlige udfald er 0 med en 63 sandsynlighed på 256 . e) Standardafvigelsen er 10 . f) D e normale udfald er – 6 til 6 (begge inklusive). g) –10 og 10 er exceptionelle udfald.

Hyp- Sandsynpighed lighed

–13

–9

–5

–1

126

Opgave 8.51

Sandsynlighed

Slutværdi

Kvadrat på Hyppigslutværdi hed

1 512 9 512 9 128 21 128 63 256 63 256 21 128 9 128 9 512 1 512

162

135

121

169

225

361

469

d) De mest sandsynlige udfald er 3 og 7. 63 Begge er med en sandsynlighed på 256 . e) Standardafvigelsen er 9 ⋅ 4 = 6 . f ) De normale udfald er –5, –1, 3, 7, 11 og 15 g) Der er ingen exceptionelle udfald.

Opgave 8.53 a)Slut– c) Hyppig- Sandsynværdi

hed

–22

–16

–10 –4 2 8 14

36 84 126 126 84

lighed

Kvadrat på Hyppigslutværdi hed

1 512 9 512 9 128 21 128 63 256 63 256 21 128 9 128 9 512 1 512

126

100

196

256

400

484

676

1024

219 Hvad er matematik? 3, opgavebog

d) De mest sandsynlige udfald er 2 og 8. 63 Begge er med en sandsynlighed på 256 . e) Standardafvigelsen er 9 ⋅ 9 = 9 . f ) De normale udfald er –10, –4, 2, 8, 14, 20 g) Der er ingen exceptionelle udfald.

e) J f. beregningerne ovenfor stemmer det godt. f) B aseret på udregningerne ovenfor svarer det til ca. 2,0%. g) M ed basis i statistik er 8 – 4 for lidt. Derimod ville 9 – 3 ud fra svaret i f) være signifikant.

Opgave 8.54

Opgave 8.58

a) N ulhypotesen er, at der er samme sandsynlighed for drenge- og pigefødsler. b) E n random walk-test viser, at nulhypotesen skal forkastes.

a) V ed at se det som en random walk med 43 trin. b) Standardafvigelsen er 6,6. c) F orskellen på smittede drenge og piger er 17. Dette tal er større end den dobbelte standardafvigelse. Dvs. der er en forskel – drenge bliver smittet oftere.

Opgave 8.55 a) N ulhypotesen er, at der er samme sandsynlighed for drenge- og pigefødsler. b) A ntallet af pige- og drengefødsler skal afvige med 633 eller mere.

Opgave 8.59 a)

Slutværdi

Sandsynlighed i %

Opgave 8.56

±16

0,0015

a) Standardafvigelsen er 12,7. b) D e normale udfald er mellem 56 og 106 sejre. c) D e exceptionelle udfald er 120 sejre eller mere og 42 sejre eller mindre. d) Med basis i observationerne ovenfor viste holdet ikke mere, end der kan forklares med statistisk usikkerhed, dvs. at de ikke var blevet bedre.

±14

0,024

±12

0,18

±10

0,85

±8

2,77

±6

6,67

Opgave 8.57 a) Standardafvigelsen er 3,46. b) U den for en standardafvigelse skal der stå 8 – 4 eller mere. Uden for to standardafvigelser skal der stå 10 –2 eller mere. Eneste exceptionelle udfald er 12– 0 (enstemmighed). c) A t en afgørelse er signifikant betyder, at den ikke kan forklares som en tilfældighed. d) 12 – 0 har en sandsynlighed på 0,02%, 11–1 har en sandsynlighed på 0,3%, 10 – 2 har en sandsynlighed på 1,6%, 9 – 3 har en sandsynlighed på 5,4%, 8 – 4 har en sandsynlighed på 12,1%, 7– 5 har en sandsynlighed på 19,3% og 6 – 6 har en sandsynlighed på 22,6%.

±4

12,22

±2

17,46

±0

19,63

b) S lutværdierne skal nedskaleres med 4, for at standardafvigelsen er 1. c) De ideelle sandsynligheder skal opskaleres med 2, for at arealet under histogrammet er 1. e) N(0,1) g), h), i) For fordelingerne inden for en, to og tre standardafvigelser – se sætning 4, s. 365.

220 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

Opgave 8.60

Opgave 8.64

a) N edenfor er nævnt sandsynlighederne for udfald mellem –15 og 15.

a) F ordelingsfunktionen angiver kumulerede sandsynligheder, og grafen er symmetrisk om middelværdien, så der ligger 50 % til hver side af 10. Derfor er (10,0.5) på grafen for F. Ifølge formelsamlingen ligger der ca. 15,9 % henh. til venstre for µ – σ og til højre for µ + σ. Derfor er (8,0.159) på grafen. Og der ligger ca. 2,23 % til hver side af henh. µ – 2σ og µ + 2σ. Derfor er (14,0.977) på grafen. y b)

Slutværdi

Sandsynlighed i %

±15

0,16

±13

0,53

±11

1,43

±9

3,22

±7

6,09

±5

9,74

±3

13,28

±1

15,50

b) S lutværdierne skal nedskaleres med 5, for at standardafvigelsen er 1. c) De ideelle sandsynligheder skal opskaleres 5 med 2 , for at arealet under histogrammet er 1. e) N(0,1) g), h) og i) F or fordelingerne inden for en, to og tre standardafvigelser – se sætning 4, s. 365.

Opgave 8.61 a) Φ ( x − 5) b)

0,6 0,4 0,2

x 2

12 14 16 18

Opgave 8.65 Grafen for F er symmetrisk omkring middelværdipunktet på grafen (µ, F( µ )), som samtidig er et vendepunkt. Vi ser, at F(20) = 1 – F(30), hvorfor middelværdien må være 25.

B(2,0.1)

Opgave 8.67

1  x Φ 2  2

a) Middelværdi = 16 b) x = 12

Opgave 8.62 a) b) c) d)

0,8

Opgave 8.66

1  x − 2 Φ 3  3 

c) Φ ( x − 1) d)

µ = 2 og σ = 1 µ = 0 og σ = 2 µ = 0,5 og σ = 2 µ = 6 og σ = 3

Opgave 8.63 Da grafen er symmetrisk omkring middelværdien, er B udelukket. Da grafen har vendepunkt i en afstand på 1 spredning = 3 enheder fra middelværdien, må den søgte graf være C.

Opgave 8.68 F(90) = 1 – 0,40 = 0,6

Opgave 8.69 a) Exceptionelle: ]–∞;–4[ og ]14;∞[ b) Normale: [–1;11] c) P(X ≤ 2) = 15,9 %

221 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 8.70

b) ∫ Φ ( x ) dx = 0,6827, dvs. der er 68,27%

1,1

−1

chance for at havne inden for én standardafvigelse.

f8 (x) = normCDF(– ∞, x, 0,5) f 7(x) = normPDF(

c) ∫ Φ ( x ) dx = 0,9545, dvs. der er 95,45%

x–1 0,5

)

−2

chance for at havne inden for to standardafvigelser.

d) ∫ Φ ( x ) dx = 0,9973 , dvs. der er 99,73% 3

–12

−3

chance for at havne inden for tre standardafvigelser.

y 1,08

y = normCDF(– ∞,x,2,4) f1(x) = normPDF(

x–2 4

Opgave 8.72 Tallet 2 er 1 spredning til venstre for middelværdien 8. Sandsynligheden for at ligge til venstre for 2 er derfor 15,9 %. Tallet 20 er to spredninger til højre for middelværdien. Sandsynligheden for at ligge til højre for 20 er derfor 2,23 %. Integralet angiver derfor sandsynligheden.

Opgave 8.71 a)

–0,1

)

Opgave 8.73 a) Ved omskrivningen: f( x) =

x –12,1

–0,096

12,1

b) f (5) =

2π ⋅

1 32 ⋅ π

f4 (x) = normCDF(– ∞,x,0,4) x 4

32 π 1

⋅e

−

1 2 ⋅ ( x − 5) 32 1 ( x − 5) − ⋅ 2 16

⋅e

1 2π ⋅ 4

≈

1 100

1 10

)

0,10 0,08 0,06

x –12

–0,093

0,04 0,02

x –10

1,06

Opgave 8.74 f6 (x) = normCDF(– ∞,x,1,5) x–1 f5 (x) = normPDF 5

(

)

x –12

–0,081

⋅e

1  x − 5 − ⋅  2  4 

afkodes: middelværdi = 5, spredning = 4

1,09

f 3 (x) = normPDF(

1 x − 12, 4  Φ 2, 31  2, 31 

∫

1 x − 12, 4  Φ 2, 31  2, 31 

dx = 0,2722

1 x − 12, 4  Φ 2, 31  2, 31 

dx = 0,2443

−∞

∞

222 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

Opgave 8.75 a)

1 Φ 7

∫

∞

92 88

∫

Opgave 8.81

 x − 81  7 

f1 (x) =

a), c)

1  x − 81 Φ 7  7 

dx = 0,0580

0,18

1  x − 81 Φ 7  7 

dx = 0,5072

0,12

100 x – 417 · normPDF 174,39 174,39

(

)

0,06

Opgave 8.76

Middelværdi = 7,475

Hastighed

b) M iddelværdien er 417, og spredningen er 174,39. Arealet er 100. d) 0,1992 e) 0,1691

Opgave 8.77 a)

100 200 300 400 500 600 700 800 900

y 0,10 0,8

Opgave 8.82 a)

0,5 0,3

1000 x – 10306,1 · normPDF 2929,99 2929,99

(

f1 (x) = –

)

0,12

0,1

–20 –5 0 5 10 15 20 25 30 35 b) V i løser vha. solve: x = 10,89. Godkendt med grafisk kontrol.

0,09 0,06 0,03 0

4000

6000

8000

Opgave 8.78 Vi løser vha. solve: k = 5,93

Opgave 8.79 Vi løser vha. solve: middelværdi = 15, spredning = 7,41

Opgave 8.80

a) D e normale udfald ligger i intervallet [5 – 2 · 0,11; 5 + 2 · 0,11] = [5,78 ; 5,22]. Vægten af posen er derfor et normalt udfald. b) Spredningen er 0,156 kg.

10000 12000 14000 16000 Tid

b) M iddelværdien er 10306,1, og spredningen er 2930,0. c) 0,2169

Opgave 8.83 a) M iddelværdien er 6,2, og standardafvigelsen er 2,2. b) 0,735 c) 0,93 d) 200 x – 6,21 f1 (x) =

2,25

· normPDF(

2,25

)

0 –1

9 10 11 12 13 Blodlegemer

223 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 8.84 a) D e exceptionelt høje udfald ligger over µ + 3 · σ = 0,53 + 3 · 0,20 = 1,13, dvs. 1 kg er ikke exceptionelt. b) Sandsynligheden er P(X < 0,70) = 80,2%

Opgave 8.85 a)

residual

residualQQ-plot

0,08

0,04

76 78 80

–0,04

–1 –2

–0,08

–0,04

–0,08

Konklusion: Vægtene af de 200 økologiske kartoffelposer ligger med god tilnærmelse på en ret linje i et QQ-plot. Dermed er X tilnærmelsesvis normalfordelt. Histogrammet over de grupperede data underbygger denne påstand, da histogrammet med god tilnærmelse følger en klokkeformet fordeling. b) Middelværdi = 1500,9, spredning = 31,6. c) P (X ≤ 1450) = 0,054 = 5,4% Konklusion: Sandsynligheden for, at en pose økologiske kartofler vejer under 1450 g, er 0,05.

c) V i får en middelværdi meget tæt på de 0, hvilket vi også skal have ifølge den lineære regression model. Og vi bestemmer spredning til 46,6.

Opgave 8.87 a) V ed lineær regression får vi a = –0,25 og b = 3,71. b) V i udfører et blackbox konfidensinterval for a og får 95% konfidensintervallet: [–0,56;0,06]. D a intervallet rummer både positive tal, negative tal og 0, kan vi ikke slutte noget om sammenhængen.

Opgave 8.88 a) V i undersøger residualplottet: Fordelingen af residualerne i residualplottet viser ikke nogen systematik. Vi konkluderer, at den lineære regressionsmodel har opfanget den sammenhæng, der er mellem vægt og gennemsnitlig løbetid. residual 0,08 0,04 0

Opgave 8.86

b) Q Q-plottet over residualerne viser, at disse med god tilnærmelse er normalfordelt. residualQQ-plot 2 1 0

residualQQ-plot

–1

1 0 –1 –2

–50

–0,08

a) V ed lineær regression får vi: a = 1,8109 og b = 150,53. b) R esidualerne ligger med god tilnærmelse på en ret linje i et QQ-plot. Dvs. vi med god tilnærmelse kan sige, at residualerne er normalfordelte.

76 78 80

–0,04

50 100

–2

–0,04 –0,08 5% konfidensintervallet for hældningskoef9 ficienten i model bestemmes til [0,037;0,046]. Der er dermed belæg for at sige, at sammenhængen mellem vægt og gennemsnitlig løbetid er voksende.

224 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

Opgave 8.89

µ + 2σ

µ+σ

Med Maks Q1

z-score

Min Q3

–1

Kvartilbredde

x – 192,295 5,74593

µ–σ µ – 2σ

–2 180

185

190

195

200

205

180

184

188

192

Højde

Kvartilbredde: 196 – 189 = 7 b) G rænserne for outliers er: 189 – 1,5 · 7 = 178,5 Ingen outlier her 196 + 1,5 · 7 = 206,5 Ingen outlier her c)

183 + 192 + … + 193 22

= 192,3

d) Hvis datasættet er symmetrisk, vil fordelingen omkring middeltallet ligeledes være symmetrisk, og dermed må den midterste værdi (medianen) være identisk med middeltallet. Fra middelværdien til nedre/øvre være 0,5 kvartilbredde pga. symmetrien, og derfor må eventuelle outliers ligge 2 kvartilbredder fra middeltallet. Median = 192,5, så middelværdi og median er ikke helt identiske. Afstanden fra nedre kvartil til median og fra median til øvre kvartil er begge 3,5. Afstand fra mindste værdi til median og fra median til øverste værdi varierer kun med 0,5. Så data er nogenlunde symmetrisk. e) σ (h) =

(h ) = (192 − 192,3)2 + … + (193 − 192,3)2 f) Hyppighed

= 5,6

x = 192,295

µ+σ

µ–σ

4 2 0 180

184

188

196

200

204

Højde

192 Højde

196

200

204

h) Dvs. 95% af alle målinger skal ligge mellem 192,3 – 2 · 5,6 = 181,1 og 192,3 + 2 · 5,6 = 203,5. Der er kun en person uden for dette interval (181 cm). Det svarer til 1 ⋅ 100 = 4,5%. Så denne betingelse passer 22 fint. 32 % af målinger skal ligge under 192,3 – 5,6 = 186,7 eller over 192,3 + 5,6 = 197,9. Der er 7 personer der 7 ⋅ 100 = 31,8%. Så gør, og det svarer til 22 denne betingelse passer fint. Så data er tilnærmelsesvist normalfordelt.

Opgave 8.90 Resultater vedrørende U18 landsholdets kondital: Med Maks

Min Q1

Kvartilbredde

50 Kondital

a) Kvartilbredde: 57,5 – 49,5 = 8 b) G rænserne for outliers er: 49,5 – 1,5 · 8 = 37,5 Ingen outlier her 57,5 + 1,5 · 8 = 69,5 Ingen outlier her c) Middeltal = 53,38 d) Median = 55,25, så middelværdi og median ligger noget fra hinanden. Afstanden fra nedre kvartil til median er 5,75, mens

225 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Opgave 9.20 afstanden fra median til øvre kvartil er 2,25. Så man kan ikke sige, at data er symmetrisk a) x = 41,3 fordelt. Det bekræftes også af boksplot fra a). b) Variationen 1 e) Spredning = 4,91. v ( x) = (27 − x )2 + (50 − x )2 + (33 − x )2 + (25 − x )2 + (86 − x )2 + (2 15 f) 1 v ( x ) =x = 53,3773 (27 − x )2 + (50 − x )2 + (33 − x )2 + (25 − x )2 + (86 − x )2 + (25 − x )2 + (85 − x )2 + (31 − x )2 + (37 − x )2 + (4 8 15

(

((27 − x ) + (50 − x ) + (33 − x ) + (25 − x ) + (86 − x ) + (25 − x ) + (85 − x ) + (31− x ) + (37 − x ) + (44 − x ) + (20 − x ) + (36 − x ) + (59 − x ) + (3 + (86 − x ) + (25 − x ) + (85 − x ) + (31 − x ) + (37 − x ) + (44 − x ) + (20 − x ) + (36 − x ) + (59 − x ) + (34 − x ) + (28 − x ) ) 2

Hyppighed

6 4

R eduktion giver det ønskede: v(x) = x2 – 82,67 · x + 2104,8

0 40

52 56 Kondital

2500 2000

g) Giver ikke nogen mening her.

V(x) 1500

µ + 2σ

1000

µ+σ

1 z-score

500 (41.33,396.35)

–1

x – 53,3773 5,02583

µ–σ µ – 2σ

–2 40

52 Kondital

Kapitel 9 Opgaver 9.1– 9.19 Ingen facitliste. Opgaverne fungerer som kontrolspørgsmål og/eller oplæg til diskussion i klassen.

x 75

d) Toppunktets koordinater bestemmes: Se figur i c) V i ser, at middeltallet er 1. koordinaten til toppunktet. Tolkning: Vi får bekræftet, at middeltallet er tallet med den mindste variation. e) v( x )==41,3 396,4 og σ = 19,9 f) Se figuren i c)

Opgave 9.21 a) V ektoren er en 1 × 15-vektor. Vektorrummet er 15-dimensionalt. b) Hver koordinat i vektoren har formen xi – t ⋅ 1. Kvadratsummen (x1 – t) 2 + . . . + (xn – t) 2 svarer derfor til kvadratet på længden af    e = x − t ⋅ d . Kvadratsummen har derfor    minimum, præcis når længden af e = x − t ⋅ d har det.

226 Hvad er matematik? 3, opgavebog

Facitliste

   c) L ængden af vektoren e = x − t ⋅ d bliver    mindst mulig, når vektoren er ortogonal e = x −påt ⋅ d .    e =når x − t ⋅ d svarer til projekDette er tilfældet,      e = xe = x − t ⋅ d − t ⋅ d e = x − t ⋅ d tionen af på . e = x −t⋅d

Opgave 9.22 Vi anvender her datamaterialet: Vægt a) M iddeltallet: x =

1942, 3 22

= 88,29

b) Variationen: v(x) = x2 – 176,57x + 7929,88 c) Grafen for v(x): y

e = x–t· d

sum af data 22

800 600 xd = t · d

V(x)

400 200

(88.29,135.37) 0

  x⋅d  d)  2 ⋅ d = d

 1 … =    1

27 ⋅ 1 + 50 ⋅ 1 + … + 28 ⋅ 1  2

1 +…+1

  x⋅d 2 d

620 15

 1 ⋅  … .    1

620

t -værdien er derfor: t = = = 41,3 , 15    = x .− t ⋅ d hvilket netopeer   27 − 41,3 ⋅ 1 … e) R esidualvektoren e =  .    28 − 41, 3 ⋅ 1

d) Vi ser af grafen, at middeltallet er lig med 1. koordinaten til toppunktet (se figuren ovenfor). Tolkning: Vi får bekræftet, at middeltallet er tallet med den mindste variation. e) v ( x )==41,3 135,39 og σ = 11,64 f) Se figuren i c) g) D enne fordeling giver ikke anledning til en sammenligning med en normalfordeling.

Konklusionen på a) – d) er: Residualvektoren har den korteste længde, Opgave 9.23 når t er lig med middeltallet for observatioa) V ektoren er en 1 × 22-vektor. Vektorrummet nerne.  er 22-dimensionalt.   ⋅d f)e = v( x )−=t 396,4  b) H ver koordinat i vektoren har formen xi – t ⋅1.   ⋅d g)e σ =( x )−=t 19,9 Kvadratsummen (x1 – t) 2 + . . . + (xn – t) 2 2 2  27 − 41, 3 + … + 28 − 41, 3 ( ) ( ) e  2 2 e 1 svarer derfor til kvadratet på længden af σ ( x ) = ( x ) =  = (27 − 41,3  ) + … + (28 − 41,3) 2 15 d d 2 2 e = x − t ⋅ d . Kvadratsummen har derfor 1 +…+1    2 2 minimum, præcis når længden af e = x − t ⋅ d (27 − 41, 3) + … + (28 − 41, 3) 2 2 1 = (27 − 41,3) + … + (28 − 41,3) 2 har det. 15 2 2       1 +…+1 e = x −ogt ⋅diagonald h) Vinklen mellem datasættet c) L ængden af vektoren e = x − t ⋅ d bliver       e = x − t ⋅ d er v = 25,72 °. vektoren mindst mulig, når vektoren er ortogonal e = x −påt ⋅ d .    e =når x − t ⋅ d svarer til projekDette er tilfældet,    == xx −−på tt ⋅⋅ dd. tioneneeaf

227 Hvad er matematik? 3, opgavebog

d) Grafen:

0,0008 e = x–t· d

0,0006

V(k)

0,0004 0,0002 (1.097,0.00000424)

xd = t · d

0 0,25

d) Ved udregning finder vi    x⋅d  1942, 3  ⋅ d = 88,29 ⋅ d , og 88,29 2 ⋅ d = d

0,50

0,75

1,25

V i aflæser toppunktets 1. koordinat: k = 1,097 e) L øser v ′(k) = 0 og får k = 1,097. Passer fint med a). f) Variansen er pr. definition 1 n

er middeltallet.

(( y − kx ) + … + ( y 2

− kx n )

)

De enkelte led er kvadratet på koordinaterne   i vektoren y − k ⋅ x . Dette fås netop ved at   prikke vektoren y − k ⋅ x med sig selv. Ved at udnytte skalarproduktets regler fås:         v(k ) = 1 ⋅ x 2 ⋅ k 2 − 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ k + y 2 = 1 ⋅ x 2 ⋅ k 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ x ⋅ y ⋅ k + 1 ⋅ y 2 =

  83,5 − 88,28 ⋅ 1 … e) e =     90 − 88,28 ⋅ 1 

(

)

Konklusionen på a)-d) er: 6 6 6 Residualvektoren har den korteste længde, når t   2 2 2    1 2 2 1 2 2 1   1 2 k ) =observationerne. ⋅ x ⋅ k − 2⋅ x ⋅ y ⋅ k + y = ⋅ x ⋅ k − 2⋅ ⋅ x ⋅ y ⋅ k + ⋅ y = x ⋅ k − 2⋅ x ⋅ y ⋅ k + y2 er lig med middeltalletv (for 6 6 6 6    t ⋅d  v( x )−=135,39 f)e =           2 ⋅ x ⋅ y ⋅ k + y 2 = 1 ⋅ x 2 ⋅ k 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ x ⋅ y ⋅ k + 1 ⋅ y 2 = x 2 ⋅ k 2 − 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ k + y 2 v ( k ) = 1 ⋅ x 2 ⋅ k 2 − 6 6 6 6 ⋅d g)e σ=( x )−=t 19,9 Den sidste omskrivning følger af definitionen h) Vinklen findes som:       af x 2 , x ⋅ y og y 2 .   x⋅d 1942, 3 = ° v = arccos     = arccos  73,2    x d  2060957, 38 ⋅ 22  k ) = 2 x 2 k − 2 xy = 0. g) V i skal løse v ′(k) = 0: vv' (′(k)

(

v = arccos  

  x⋅d   x d

(

)

 = arccos   

1942, 3 2060957, 38 ⋅

)

  = 73,2° 22 

Når k isoleres, fås som forventet k = h) Ved udregning af 1,097.

Opgave 9.24 a) y = 1,098x – 0,00033 dvs. hældningskoefficient på 1,098.

 xy  xx

a) Plot af datasættet: P (Pa) y = 0,830x + 226,8 300

Vektorrummet er 6-dimensionalt. c) I ndsættes dataværdierne i

P = P = 260,68 (40.8833,260.683)

sum((y − k ⋅ x ) ) 6

200

får vi efter en reduktion: v (k ) = 0,12837 ⋅ k 2 − 0,2816 ⋅ k + 0,15448

t = t = 40,88 100

t (°C) 0

228 Hvad er matematik? 3, opgavebog

fås som forventet

Opgave 9.25

  0,092   0,103 b) x =  …  og y =  …   0,552  0,607

v ( k ) = variationen ( k ) =

1 6 1 6

 xy 2 x

Facitliste

b) t = 40,88 og P = 260,68 c) R egressionslinje P(t) = 0,8299t + 226,75 P(40,88) = 260,68 Ja, punktet ligger på linjen. d) var(t) = 939,73 e) cov(t,P) = 779,91 f) a =

779, 9081 939, 7314

    længden af vektoren z = P − a ⋅ x − b bestående af de 6 punkter indsat:  −5 a − b + 231,1   −10,1a − b + 235,1        −29, 9 a − b + 251,1 z = P − a⋅ x − b =  −40 a − b + 260, 2     −70, 2a − b + 285,1   −90,1a − b + 301, 5 

= 0,8299

b = 260,6833 – 0,8299 ⋅ 40,8833 = 226,75 Der er fin overensstemmelse mellem de to resultater.

Opgave 9.26   1   5,0    231,1 a) t =  …  , P =  …  og d =  …  301,5  90,1  1

2 Denne kan vi minimere ved at minimere z . g) V ed udregning af prikproduktet       ( P − a ⋅ t − b ) ⋅ ( P − a ⋅ t − b ) fås det angivne resultat.   b Bemærk, at b =  … .    b h) Når der differentieres mht. b, fås 12b + 490,6a – 31282. Løses nu ligningen 12b + 490.6a – 31282 = 0 med hensyn til b, fremkommer det ønskede. 2 i) z = 5638,39a2 – 9358,90a + 3883,93

Vektorrummet er 6-dimensionalt.      5, 0 + 10,1 + … + 90,1  b) td = t⋅ d2 d = d = t ⋅d 6 d  Beregningerne for Pd foregår på samme 90 måde. j) 9358, = 4579,45, så påstandene passer ved  −29,58 2  −35,88 c) sammenligning med e). −−35,88      −−29,58 25,58 30,78 −30,78   −25,58  ( ) cov t, P 779, 9081  −10,89    = = 0,99996 k) r =       −9,58 σ ( t ) ⋅ σ (P ) 30, 65504 ⋅ 25, 44251 t⊥t⊥ == −10,89  P⊥P⊥ ==  −9,58   0,88 − − 0,48 − 0,48 0,88 −       Ligningen cos(v) = 0,9996 giver vinklen  29,32    24,42 24,42  29,32     0,53°.  49,22    40,82    40,82   49,22  Tolkning: Datasættet og korrelationspunkter        1  1 t⊥ ⋅ligger P⊥ meget tæt ved hinanden, da vinklen d) cov ( t , P ) = ( t − t ) ⋅ ( P − P ) = ( t − t ⋅ d ) ⋅ ( P − P ⋅ d ) = ne

    t,P )= (t − t )⋅( P − P ) =

1 n

    (t − t ⋅ d)⋅(P − P ⋅ d ) =

1 2 1 t = n t⊥ n ⊥

 ⋅ t⊥ =

1 ( ⋅ t n

1 t n ⊥

 ⋅ P⊥

   − t ⋅ d )⋅(t − t ⋅ d )

Og det giver præcis variansen, når prikpro-

er så lille.

Opgave 9.27 a) Plot af dataværdierne: 65

duktet udregnes.   60 e) t⊥ 2 = 5638,39, P⊥ 2 = 3883,93,   t⊥ ⋅ P⊥ = 4679,45 55         kondital = kondital 1  1 ( t − t ) ⋅ ( Pmellem ( t − t ⋅ d ) ⋅ ( P −og cov ( t , f) P ) =F − P ) = ndatasættet P det ⋅ d ) =til-n t⊥ ⋅ P⊥ orskellen (88.28,53.38) svarende sæt af regressionspunkter på linjen 50 skal være mindst mulig. Dvs. længden af y = 0,256x + 76,003 45 vektoren, der forbinder de to sæt af værdier, vægt = vægt skal være mindst mulig. 1. koordinat for den40 ne vektor er 231,1 – a ⋅ 5,0 – b. Tilsvarende 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 for de øvrige punkter. Den samlede afstand b) Værktøjsprogrammet giver det anførte. for alle disse punkter kan bestemmes som

229 Hvad er matematik? 3, opgavebog

c) a =

cov ( v, k ) V (v)

=−

764, 217 2978, 69

= −0,257

b = 53,377 – (–0,2566) ⋅ 88,286 = 76,003 cov (v, k )

d) r = σ σ = ( v)⋅ ( k )

−764, 217 2978, 686 ⋅

530, 439

= −0,608

Identisk med svar fra værktøjsprogram. e) T yngdepunktet (88.186,53.277) Tyngdepunktet er det grønne punkt på figuren. Se tegningen i e). f) o g g) Efter at have gennemført 1000 simuleringer af beregningen af a-tallene under nulhypotesen konstaterer vi, at det er en meget usædvanlig hændelse at få et resultat som det observerede, idet betydeligt under 1% af tilfældene lander på en tilsvarende eller mindre værdi. h) Resultatet af simuleringerne og beregningerne af a-tallene kaldes for ”målinger”. Vi estimerer middelværdien og spredningen af normalfordelingstilnærmelsen som middeltallet og spredningen af målingerne. i) I et normalfordelingstest ligger de kritiske værdier for 5%-signifikansniveauet ved middelværdien ± 2 ⋅ spredningen . Med en middelværdi på –0,00395 og en spredning på 0,0946 er den nedre kritikske værdi: –0,00395 – 2 ⋅ 0,0946 = –0,193. Så også dette medfører, at nulhypotesen forkastes. Den observerede værdi ligger tæt ved grænsen for 3 spredninger. Samlet konklusion: Trods det spredte billede dataplottet gav, forkastes nulhypotesen om, at der ikke er en sammenhæng, og at tendensen kunne forklares som tilfældige udsving. Det kan den ikke. Der er en sammenhæng, vi kan ikke udtale os nærmere om hvilken, men der er grundlag for at eftersøge en sådan sammenhæng.

230 Hvad er matematik? 3, opgavebog