Hvad er matematik B by Alinea

Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup

Hvad er matematik? ax2 + bx +c

L&R Uddannelse

0. Hvad er matematik?

Hvad er matematik?

B Grundbog Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup

L&R Uddannelse

MateB_00-.indd 1

25-07-2012 16:14:30

Hvad er matematik? B, Grundbog Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun, Olav Lyndrup © 2012 L&R Uddannelse, København -et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Jan Krogh Larsen Billedredaktion: Nina Jensen Grafisk tilrettelægning: Andreas Schnalke, Kommunikations-Design Omslagslayout: Ulla Korgaard, Designeriet Tryk: Livonia Print Sia 1. udgave 1. oplag 2012 ISBN 978-87-7066-494-3 www.lru.dk Bogens illustrationer Forlaget har forsøgt at finde og kontakte eventuelle rettighedshavere, som kan tilkomme honorar i henhold til loven om ophavsret. Skulle der mod forventning være rettighedshavere, som måtte have krav på vederlag, vil forlaget udbetale et sådant, som om der var indgået aftale. Alessio Bernardelli: 49 American Lung Association: 257 Andreas Schnalke: 217nth Andrew Davidhazy: 35ø Anthony Hare: 117n Antoine Taveneaux: 342 Archiv der BBAW: 178n Bjørn Felsager: 18, 99 California Institute of Technology: 336n Carlsberg Danmark: 333ø CartoonStock: 30 W.B. Park Charles Tilford: 43mf Colourbox: 271 Danske Spil/Søren Wesseltoft: 377 Det kongelige Bibliotek: 337 Deutsche Bundesbank: 360 Egmont: 48 Serieforlaget EPFL: 155ø Europe Cultural Heritage: 51, 52, 78, 80n, 81, 150, 179, 326ø Frederiksborgmuseet: 153n Free Press: 361 Gauß-Gesellschaft Göttingen e.V.: 136 A. Wittmann Georg August Universität Göttingen: 213 Getty Images: 395 Time & Life Pictures Epinion: 402 GM Racing Photo: 118 Richard Prince Growth Dynamics: 288 Guido B: 97, 98 Harvest/Capitol: 45nth Hawk Films/Columbia Pictures: 375ntv Information: 214th International Institut of Social History: 253th Internet Archive: 339 iStockPhoto: 117mf, 293, 340 Jørgen Erik Christensen: 333n Keith Flaherty: 117ø Københavns Bymuseum: 371ø

Library of Congress: 262n Library of Congress: 372tv MIT: 305 Museo Galileo: 85 NASA: 22ø NASA: 371nth Nasim Mansurov: 43n National Academy of Science of the United States of America: 260, 262ø New Line Productions, Inc.: 264 One Man/v Jakob Strandberg: 45ø, 47ø, 80 Orion 8: 323 Pat Ballew: 215 Photos.com: 31 Igor Skrynnikov, 32 Jupiterimages, 153ø Jezper Klauzen, 251 Dan Whobrey, 269 Joggie Botma, 279, 280 Oleg Fedorenko, 299tv Fernando Carniel Machado, 299th Stephen Rees, 355 Thinkstock Images , 393 Owen Fraser-Green Polfoto: 46øtv Bettmann, 47 Corbis, 307 SSPL/Science Museum Portsmouth Estate: 178ø Povlonis Innovation: 154ø Regionen Lombardiet - University of Pavia: 217ø Roskilde Universitet: 214tv Scanpix: 35tv Bridgeman Art Library, 46øth SPL, 154n Mary Evans Picture Library Shutterstock: 34 unkreativ, 44 Robert Neumann Stanford University: 378 Statens Museum for Kunst: 111 Sund og Bælt: 189 Søren Madsen The Trustees of the British Museum: 104 Universitetsbibliotek, Frankfurt am Main: 336ø University of California: 300 Irvine physics department: 375nth University of Cambridge: 14 University of Delaware: 253tv University of Oxford: 263th Weidenfeld & Nicolson: 216 White Sands Missile Range/Applied Physics Laboratory: 375ø

MateB_00-.indd 2

25-07-2012 16:14:30

Indholdsfortegnelse

Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0. Hvad er matematik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.

Kan vi bevise det? Om keglesnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Ellipsen og dens brændpunkter: Dandelins store opdagelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ellipsens ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Hvor ﬂadtrykt er ellipsen – ellipsens excentricitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. 2.1 2.2 2.3

Kan vi beregne det? Om iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineære iterationer og spindelvæv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvadratiske iterationer og ﬁgentræer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Feigenbaums vidunderlige opdagelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 23 25 28

3. 3.1 3.2 3.3

Kan vi tro på det? Om Sankt-Petersborg-paradokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De store tals lov og vinderchancer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Den matematiske forventningsværdi til et spil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sankt-Petersborg-paradokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 31 33 35

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

14 19 21

1. Matematisk modellering – Optimeringsproblemer og funktioner . . . 42 1. 1.1 1.2 1.3

Regnbuen – lys og farver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Den matematiske modellering af regnbuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modellering af spredningsvinklen som funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Descartes geometriske modellering af spredningsvinklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 47 48 51

2. Løsning af optimeringsproblemer ved matematisk modellering . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1 Eksempler på optimeringsproblemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.

Funktioner og repræsentationsformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Funktioner og monotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2. Andengradspolynomiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1. 1.1 1.2 1.3 1.4

Ballistik – I krig med matematikken som våben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ulven kommer – om kunsten at skyde med artilleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parablen kommer på banen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Galileis metode og ræsonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fra det frie fald til det skrå kast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 80 82 86

Andengradspolynomiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2. 2.1 Betydning af koefﬁcienterne a, b og c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

MateB_00-.indd 3

25-07-2012 16:14:30

2.2 Parablens symmetri og toppunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prototypen for andengradspolynomiet p1(x) = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andengradspolynomiet pa (x) = a · x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andengradspolynomiet p(x) = a · x2 + b · x + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Bestemmelse af forskrift ud fra graf – andengradsregression . . . . . . . . . . . . . . . .

91 91 91 92 96

Andengradsligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3. 3.1 Graﬁsk løsning af andengradsligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4. 4.1 4.2 4.3 4.4

Anvendelser af andengradspolynomiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hvor bred skal stien være? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cosinusrelationerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Det gyldne snit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parabelsyning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108 108 110 111 113

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3. Polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 1. Moderne design med Bézier-kurver og tredjegradspolynomier . . . . . . . . . . . . . 117 1.1 Syning af en Bézier-kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 1.2 Konstruktion af Beziér-kurven som geometrisk kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2. 2.1 2.2 2.3

Tredjegradspolynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Betydningen af koefﬁcienterne a, b, c og d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vendepunktet og symmetrien for et tredjegradspolynomium (især for A-niveau) . Prototyperne for et tredjegradspolynomium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122 126 128 131

3. 3.1 3.2 3.3 3.4

Vilkårlige polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynomiernes egenskaber og graﬁske forløb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regning med polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faktorisering af polynomier (supplerende stof, især for A-niveau) . . . . . . . . . . . . . Polynomiers division og polynomiumsbrøker (supplerende stof, især for A-niveau)

133 135 140 142 143

4. 4.1 4.2 4.3

Anvendelse af polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regressionsmodeller med polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenstabeller for polynomier (supplerende stof, især for A-niveau) . . . . . . . . . Polynomierne i Pascals trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145 145 146 150

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4. Differentialregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 1. 1.1 1.2 1.3

Hvordan udnytter man vindens energi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Poul la Cour og den danske vindmølletradition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Energien i den luftmængde der rammer en mølle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Betz lov – der er en grænse for, hvor stor en del vi kan udnytte . . . . . . . . . . . . . . . 159

Differentiable kurver og differentialkvotienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 2. 2.1 Væksthastighed og de ﬁre repræsentationsformer for f c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 2.2 Tretrinsreglen og differentiation af x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

MateB_00-.indd 4

25-07-2012 16:14:30

Indholdsfortegnelse

2.3 Tretrinsreglen i praksis – differentiation af x3, x n, ax 2+ bx + c, x a og 1x . . . . . . . . . . . 174 dy 2.4 Differentialregningens oprindelse og betegnelserne f′(x) og dx . . . . . . . . . . . . . . . 178 Regneregler – differentiation af k · f, f + g og f – g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 3. 3.1 Det skal man kunne differentiere på B-niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 4. 4.1 4.2 4.3 4.4

Anvendelser af differentialregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bestemmelse af tangentligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lokale ekstrema og monotoniforhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toppunkter og vendepunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Værktøjer og optimeringsopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

186 186 192 197 198

Sammensatte funktioner – differentiation af f(ax + b) (især for A-niveau) . . . . . . 200 5. 5.1 Differentiation af ex, e kx og a x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Omvendte funktioner – spejling af grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6. 6.1 Differentiation af x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.2 Differentiation af ln(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5. Integralregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 1. 1.1 1.2 1.3

Cirklens kvadratur – det ældste matematiske problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symbolet π – hvad er det for et tal? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Det store spring ud i uendelige processer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wallis introducerer symbolet f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211 213 216 218

Stamfunktioner og ubestemte integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 2. 2.1 Ubestemte integraler (stamfunktioner) man skal kende på B-niveau . . . . . . . . . . . 231 3.

Integralregningens hovedsætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Arealberegninger og bestemte integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 4. 4.1 Arealer af et område mellem to grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Anvendelser af integralregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypotesetest med brug af χ2-fordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ginikoefﬁcienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Middeltal og gennemsnitlig fart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Middeltal og måling af blodtryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Længder af kurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

245 245 246 247 248 249

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

6. Modellering med f ′(supplerende stof til B-niveau) . . . . . . . . . . . . . . 252 1.

Den logistiske vækstmodel – 2 gange glemt – 2 gange genopdaget . . . . . . . . . 1.1 Verhulsts opdagelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Modellen genopdages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Modellen genopstår for 2. gang som prototype for kaosteori . . . . . . . . . . . . . . . . .

253 253 259 263

MateB_00-.indd 5

25-07-2012 16:14:30

2. Differentialligningsmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 2.1 Opstilling af differentialligninger med brug af System Dynamics (SD) . . . . . . . . . . 274 2.2 Lineære og eksponentielle modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Logistisk vækst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 3. 3.1 Fra sproglig form til logisk differentialligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 3.2 Relativ væksthastighed – fra tabelmateriale til logistisk differentialligning (især for A-niveau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 4.

Graﬁsk løsning af differentialligninger (især for A-niveau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

7. Trigonometriske funktioner (især for A-niveau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Tidevandets musik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lyd og lydbølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rene toner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammensatte toner og interferens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kelvins mageløse maskiner til harmonisk analyse og syntese . . . . . . . . . . . . . . . . Fourieranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

299 300 302 302 306 308

2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grader og radianer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Periodiske egenskaber og andre symmetrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometriske grundligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentiation og integration af sinus og cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Harmoniske svingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

309 310 312 316 318 322

3. 3.1 3.2 3.3

Anvendelser af trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Omløbstiden for Jupiters måne Callisto bestemt ved sinus-regression . . . . . . . . . Periodiske fænomener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrisk modellering med trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

326 326 327 330

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

8. Naturens tilfældighed – tilfældighedens natur (supplerende stof) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 1. 1.1 1.2 1.3 1.4

Oprindelsen til den moderne genetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Da Danmark hørte til verdens bedste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arvelighedslæren og genopdagelsen af Mendels love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wilhelm Johannsens arvelighedslære – genotyper og fænotyper . . . . . . . . . . . . . . Eksperimentel arvelighedslære og brug af normalfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . .

333 333 334 335 337

2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Random walk – Tilfældig variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlæggende egenskaber ved en random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pascals trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Standardafvigelsen og de exceptionelle udfald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Random walk-testen – Er der signiﬁkant ﬂere drenge end piger? . . . . . . . . . . . . . .

340 341 343 348 350 354

MateB_00-.indd 6

25-07-2012 16:14:30

Indholdsfortegnelse

Normalfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 3.1 Deﬁnition af normalfordelinger – random walk med et stort antal skridt . . . . . . . . . 3.2 Normalfordelingen repræsenteret som graf og som funktion . . . . . . . . . . . . . . . Anvendelse af metoder fra integralregningen til beregning af middelværdi og spredning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Familien af normalfordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Anvendelser af normalfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel 1: Tilnærmelse af et datasæt med en normalfordeling . . . . . . . . . . . . Eksempel 2: Er investeringsselskaber dygtige eller heldige? . . . . . . . . . . . . . . . . Eksempel 3: Bestemme en tæthedsfunktion og fordelingsfunktion ud fra få oplysninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.

357 357 360 361 362 364 364 366 368

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

9. Tilfældighedernes spil – stokastiske variable og binomialfordelingen (supplerende stof) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 1.

Bomberegn over London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

2. 2.1 2.2 2.3 2.4

Sandsynlighedsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomialmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sandsynlighedsfelter og stokastiske variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Middelværdi og spredning af stokastiske variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tællemetoder og binomialkoefﬁcienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

377 377 381 384 389

Binomialfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 3. 3.1 Det mest sandsynlige udfald i en binomialfordeling (især for A-niveau) . . . . . . . . . 397 4.

Binomialfordelingen og normalfordelingstilnærmelsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

5. 5.1 5.2 5.3 5.4

Anvendelser af binomialfordelingen – testteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opinionsundersøgelser og usikkerhed på stikprøver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomialfordelingstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normalfordelingstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammenhængen mellem binomialfordelingen, normalfordelingen og χ2-fordelingen (især for A-niveau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

402 402 405 407 408

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

10.

Matematik og kultur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i-bog®

11.

Fagligt samarbejde matematik og fysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i-bog®

12.

Fagligt samarbejde matematik og kemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i-bog®

13.

Fagligt samarbejde matematik og biologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i-bog®

14.

Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag . . . . . . . . . . . . . . . . . . i-bog®

MateB_00-.indd 7

25-07-2012 16:14:30

Forord

Matematik har været et centralt fag i hele videnskabens, og kulturhistoriens udvikling. I dag er matematik tilmed et uundværligt redskab for en lang række andre fag. Lærebogssystemet Hvad er matematik? er udarbejdet ud fra den ambition, at det skal være det inspirerende udgangspunkt for matematikundervisningen i gymnasiet. Lærebogssystemet består af grundbøger, opgavebøger og i-bøger. Har man anskaffet sig en grundbog, har man også umiddelbart adgang til den tilsvarende i-bog. I-bogen rummer en digital version af grundbogen med aktive links, opgavebogen med facitliste, 5 ekstra kapitler med stof til samarbejde i studieretningerne og med humanistiske fag samt et stort antal projekter. Lærebogssystemet er skrevet til stx, men via projekter og en række særlige kapitler bliver læreplanerne for hhx og htx også dækket ind. B-bogen dækker sammen med C-bogen alt, hvad man har behov for i undervisningen til B-niveau for at leve op til læreplanens mange forskellige krav mht. kernestof og supplerende stof. Bogen lever også op til læreplanens krav i forhold til arbejdsmetoder; Den har en eksperimenterende tilgang og inddrager projektarbejdsformer, bearbejdning af autentisk talmateriale, matematikhistoriske emner og læsning af matematiske tekster. Den indeholder forløb om matematikkens vekselvirkning med kultur, videnskab og teknologi, inspiration og ideer til studieretningsopgave, forløb i almen studieforberedelse og SRP. Man behøver således ikke gå uden for lærebogssystemet for at hente supplerende materialer. Men har man selv velfungerende forløb eller andre materialer, man gerne vil inddrage i undervisningen, kan disse lægges ind i i-bogen. A-bogen vil tilsvarende (sammen med B- og C-bøgerne) dække alt, hvad man har behov for i undervisningen på A-niveau. Da B-bogen således også er en del af lærebogsmaterialet til A-niveau, er det klart markeret, når bestemte afsnit især henvender sig til A-niveau. Det gælder fx hele kapitel 6 i C-bogen om logaritmer og hele kapitel 7 i Bbogen om trigonometriske funktioner. I B-bogen er det yderligere markeret, at kapitel 6 om vækstmodeller og kapitel 8 og 9 om statistik og sandsynlighedsregning rummer tilbud om supplerende stof på de faglige områder, der speciﬁkt er omtalt i læreplanen.

De indledende fortællinger Hvert kapitel i grundbøgerne indledes med en fortælling fra fortid eller nutid om betydningsfulde natur- og kulturfænomener, hvor matematik har været afgørende for at forstå problemerne, eller hvor matematik er bragt i spil for at løse bestemte spørgsmål. I disse fortællinger ligger også svar på spørgsmål om, hvor de forskellige dele af matematikken kommer fra, og hvad det kan bruges til.

MateB_00-.indd 8

25-07-2012 16:14:30

Forord

Stoffet i resten af kapitlet kan gennemgås uafhængigt af den indledende fortælling. Man kan vælge at introducere et emne vha. denne fortælling, eller man kan vende tilbage til det senere og bruge fortællingen til at perspektivere stoffet. Fortællingerne kan danne grundlag for elevforedrag eller for alternative typer af skriftligt arbejde, ligesom de kan være udgangspunkt for AT-forløb i samarbejde med andre fag. Man kan ikke nå en grundig behandling af alle de indledende fortællinger og må selv foretage et valg. Arbejdet med nogle af fortællingerne kan dække læreplanens krav om at arbejde med matematikhistoriske emner. Kapitel 0 spiller samme rolle for hele lærebogssystemet. Man kan vælge at arbejde med et eller ﬂere af de tre emner som en introduktion til elevprojekter med titlen: Hvad er matematik? Eller man kan vende tilbage til det på et passende tidspunkt for at skabe variation i undervisningen.

Kernestoffet og de skriftlige prøver Kapitel 1-5 i B-bogen rummer sammen med C-bogen kernestoffet til B-niveau. Opgaverne til de skriftlige prøver stilles inden for kernestoffet, og alle emner, sætninger og formler er illustreret med gennemregnede eksempler. For hvert eksempel markerer en overskrift, hvad eksemplet handler om, så det er let at orientere sig. De gennemregnede eksempler demonstrerer samtidig, hvordan besvarelser af skriftlige opgaver kan udformes. Hvad er matematik? inddrager i udstrakt grad værktøjsprogrammer og demonstrerer ofte både en klassisk formelbaseret løsning med passende mellemregninger og en værktøjsorienteret løsning. I bedømmelsen af elevbesvarelser er de forskellige løsningsmetoder, vi demonstrerer, ækvivalente. Lærebogssystemet er ikke knyttet til et bestemt værktøjsprogram. Alle eksempler følges op af øvelser, og efter hvert emne er der henvisninger til yderligere opgaver i tilknytning til emnet. Disse kan både anvendes direkte i undervisningen og som skriftlige hjemmeopgaver. Opgavebogen rummer eksempler på eksamensopgaver til alle emner.

Den matematiske teori og metode Alle deﬁnitioner og sætninger er markeret, så de er lette at ﬁnde, og så man hurtigt kan se, hvilket begreb det drejer sig om. En særlig facilitet i bogen er praxisbokse, hvor vi sammenfatter matematisk notation og terminologi samt regler og god skik. Det giver et bedre overblik over spørgsmål som, hvad fremgangsmåden er, når der skal bestemmes monotoniforhold, eller hvordan gangen er i en matematisk modellering.

MateB_00-.indd 9

25-07-2012 16:14:31

Overalt, hvor det er naturligt, er den eksperimenterende og undersøgende tilgang sat forrest, med henblik på, at eleverne selv skal være med til at opdage sammenhænge og formulere sætninger og regler. Den eksperimenterende tilgang er ofte underbygget med animationer og simuleringer, som eleverne selv kan opbygge ved hjælp af små manualer. Man kan også vælge at hente de færdige versioner, der ligger på hjemmesiden. Beviserne gives altid i umiddelbar tilknytning til sætningerne. De matematiske ræsonnementer og forklaringerne på de matematiske metoder er skrevet så udførligt, at man kan lade eleverne arbejde med dette individuelt i form af lektier eller som et gruppearbejde i timerne. I-bogen rummer den særlige mulighed, at man kan tilføje supplerende kommentarer og stille spørgsmål til teksten i forbindelse med en lektie eller en undervisningssituation. Der er ikke krav om, at man i detaljer gennemgår alle beviser, men man skal ifølge læreplanen gennemføre sammenhængende forløb med vægt på ræsonnement og bevisførelse. Teori og metode er altid illustreret med eksempler, og læringen understøttes af de mange øvelser. Bogen rummer betydeligt ﬂere øvelser, end man normalt vil inddrage i undervisningen, så her må man foretage et valg.

Studieretningssamarbejdet, det supplerende stof og projekterne Ifølge bekendtgørelsen er studieretninger med fysik, kemi, biologi eller samfundsfag på A-niveau bundet til matematik på mindst B-niveau, og der er i læreplanerne direkte krav om, at der foregår et fagligt samarbejde. Samtidig er der et overordnet krav om at sikre samarbejde mellem alle fagene i en studieretning på en måde, så det toner studieretningen. På hjemmesiden ligger de særlige studieretningskapitler 10-14 med overskrifterne: Matematik og Kultur, Matematik og Fysik, Matematik og Kemi, Matematik og Biologi, Matematik og Samfundsfag. Disse kapitler dækker kravene med en række forskellige forslag til fagligt samarbejde. Samtidig er der efter hvert kapitel i grundbogen en række projekter, der kan gennemføres alene i matematik. Mange af dem er også oplagte at inddrage i et fagligt samarbejde. Man kan kun nå en beskeden del af disse mange tilbud, men hvert hold og hver lærer er forskellig og vil derfor vælge forskellige forløb fra studieretningskapitlerne og fra de mange projekter. Ofte kan sådanne forløb integreres i den almindelige undervisning på en sådan måde, at bestemte afsnit i grundbogens kapitler helt eller delvist substitueres af afsnit fra et studieretningskapitel. For hvert kapitel ligger der forslag hertil på hjemmesiden. I læreplanens omtale af supplerende stof hedder det bl.a., at der skal arbejdes med autentisk talmateriale og med matematisk modellering, samt at der skal arbejdes med

MateB_00-.indd 10

25-07-2012 16:14:31

Forord

yderligere mindst en statistisk eller sandsynlighedsteoretisk model ud over χ2-fordelingen, der blev behandlet i C-bogens kapitel 9. Studieretningskapitlerne og mange af projekterne giver fagligt stof til modelleringsforløb. Vi har med kapitel 6 valgt at inddrage differentialligningsmodeller på brugerniveau i B-bogen, da der her rummes mange gode eksempler på fagligt samarbejde. Teorien for løsning af differentialligninger behandles i A-bogen. Kapitlerne 8 og 9 dækker den anden del af kravene til supplerende stof. Her er forløb om random walk, forløb om normalfordelingen, forløb om sandsynlighedsregning samt et forløb om binomialfordelingen, binomialtest og sammenligninger af binomial- og normalfordelingen. Disse afsnit er både skrevet med henblik på hurtigt at nå frem til anvendelser og med sigte mod den mundtlige prøve. Eksempelvis introduceres normalfordelingen, så der her ligger godt teoretisk stof.

Studieretningsopgaver, AT og studieretningsprojekter Hvad er matematik? rummer så mange fortællinger og projekter, at der her kan hentes god inspiration til arbejdet med de større opgaver i gymnasiet. Inden for alle felter har vi lagt stor vægt på at præsentere autentiske talmaterialer og originale kildetekster. I kapitel 10, Matematik og Kultur, er dette udbygget med eksempler på, hvordan man kan arbejde med kildetekster. På hjemmesiden er der mange links til bøger og artikler, der gennem videnskabernes historie har spillet en stor rolle.

Brug af bogen på det treårige forløb til A-niveau På treårige forløb til A-niveau kan man ønske at gennemgå de faglige emner i en anden rækkefølge, end den der deﬁneres af læreplanerne til henholdsvis C, B og A. Derfor har vi dels inddraget meget supplerende stof i B-bogen, dels inddraget særlige kapitler om logaritmefunktionerne i C-bogen og de trigonometriske funktioner i B-bogen og endelig lagt en række materialer ind i B-bogen, der især henvender sig til A-niveau. Man kan eksempelvis ønske at gøre arbejdet med differentialregningen og integralregningen færdig i 2.g. Derfor ligger dette stof, der kommer i A-bogen, i form af en række projekter i kapitel 4 og 5.

Bjørn Grøn Bjørn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup

MateB_00-.indd 11

25-07-2012 16:14:31

Hvad er matematik?

Kan vi bevise det? Om keglesnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Ellipsen og dens brændpunkter: Dandelins store opdagelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ellipsens ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Hvor ﬂadtrykt er ellipsen – ellipsens excentricitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 14 19 21

2. 2.1 2.2 2.3

Kan vi beregne det? Om iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineære iterationer og spindelvæv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvadratiske iterationer og ﬁgentræer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Feigenbaums vidunderlige opdagelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 23 25 28

3. 3.1 3.2 3.3

Kan vi tro på det? Om Sankt-Petersborg-paradokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De store tals lov og vinderchancer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Den matematiske forventningsværdi til et spil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sankt-Petersborg-paradokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 31 33 35

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Matematik er både en meget gammel og en meget moderne videnskab. I disse tre punktnedslag i matematikken giver vi eksempler fra alle matematikkens epoker. I Kan vi bevise det? ser vi på keglesnittene, der er et klassisk eksempel på et matematisk emne, der oprindeligt blev udviklet som ren matematik, men som siden hen i renæssancen overraskende blev hjørnestenen i modelleringen af det nye verdensbillede. I Kan vi beregne det? ser vi på et stykke moderne matematik, der blev muliggjort med fremkomsten af de programmerbare regnemaskiner i 1970'erne. Ved hjælp af disse kan man nu gå på opdagelse i komplekse ﬁgurer som ﬁgentræet, der visualiserer den kompli-cerede vekselvirkning mellem orden og kaos. I Kan vi tro på det? ser vi nærmere på et af de paradokser, der dukkede op i kølvandet på sandsynlighedsregningen, da man lukkede uendeligheden inden for i spillenes verden og udvidede spillene til at kunne vare uendeligt længe med muligheden for en uendelig stor gevinst.

MateB_0.indd 12

25-07-2012 16:17:13

0. Hvad er matematik?

1. Kan vi bevise det? Om keglesnit I C-bogens kapitel 0 fortalte vi om vinkelsummer, trekanter og polyedre, og om Euklids Elementer, der 300 f.v.t. lagde grundstenen til den såkaldte aksiomatisk-deduktive side af matematikken. At føre bevis for påstande, vi kalder for sætninger, ud fra logiske regler, definitioner og aksiomer indgår i alle grene af matematik. Euklid undersøgte trekanter, firkanter, femkanter osv. samt de rumlige figurer, som disse polygoner kan danne, såsom pyramider og terninger. Ca. 100 år senere skrev Apollonius (ca. 262 - ca. 190 f.v.t.) et tilsvarende værk om keglesnit, der er krumme figurer som cirkler og ellipser, parabler og hyperbler. Det er smukke figurer i sig selv, og studiet af dem giver indblik i matematikkens skønhed. Men i renæssancen viste det sig, at de også havde afgørende anvendelser inden for naturvidenskaberne. Som navnet antyder, fremkommer keglesnittene som snit i en kegle. Nogle af dem kan dog også frembringes som snit i en cylinder. Vi tager udgangspunkt i en retvinklet kegle, dvs. vi roterer en ligebenet retvinklet trekant omkring dens symmetriakse: Symmetriaksen bliver til keglens akse, mens trekantens rette vinkel bliver til keglens åbningsvinkel. Trekantens sider er keglens frembringere. Snittet kan lægges på fem forskellige måder, alt efter vinklen med grundlinjen, hvorved vi frembringer fem forskelige keglesnit:

Matematisk deﬁnition: Keglesnit

Toppunkt

Frembringer

Akse

Parabel: Snittet ligger parallelt med en frembringer, retningsvinkel: 45°.

Cirkel: Snittet ligger vinkelret på aksen med retningsvinklen på 0°.

Ellipse: Snittet ligger skråt med retningsvinkel mellem 0° og 45°.

Hyperbel: Snittet ligger skråt med retningsvinkel mellem 45° og 90°.

Ligesidet hyperbel: Snittet ligger parallelt med aksen med retningsvinklen 90°.

MateB_0.indd 13

25-07-2012 16:17:14

Du kan få en god fornemmelse for de forskellige snit ved at lege med en animation: z

z z y

v = 20 0

Matematisk eksperiment

v = 20 90

Når en dobbeltkegle snittes med en plan, fremkommer et keglesnit. Her ses en dobbeltkegl, der skæres af en plan. Ved at trække i skyderen kan du ændre retningsvinklen mellem planen og vandret. Derved kan du vippe keglen, så du kan se ned fra oven og bedre fornemme skæringskurven. I vinduet til højre ser du en gengivelse af skæringskurven mellem den retvinklede dobbeltkegle og planen. På hjemmesiden kan du hente en animation af keglesnittene.

1.1 Ellipsen og dens brændpunkter: Dandelins store opdagelse

Germinal Dandelin.

Apollonius værk er vanskelig at læse, bl.a. fordi grækerne ikke havde et symbolsprog og koordinatsystemer, som vi kender. Men i matematikkens udvikling sker der også af og til det, at en genial matematiker pludselig indser, at gamle og kendte begreber kan anskues på nye måder, der gør tingene mere simple. Ellipser er en slags fladtrykte cirkler, hvor fladtrykningen billedligt talt har splittet centrum i to såkaldte brændpunkter. I 1828 opdager den belgiske matematiker Germinal Dandelin (1794-1847), at hvis en rund bold hviler på et plant underlag, fx et gulv, så vil skyggen være en ellipse, og bolden hviler lige præcis i et af brændpunkterne. Hvis det er Solens lys, der frembringer skyggen, kan denne ellipse opfattes som skæringen mellem det plane gulv og den cylinder, der udgøres af de solstråler, der netop strejfer den runde bold. Det kan nu vendes om, så vi kan anvende dette til en definition af ellipsens brændpunkter.

Dandelins mageløse opdagelse: Når ellipsen frembringes som en skyggeﬁgur, hviler bolden på brændpunktet.

MateB_0.indd 14

25-07-2012 16:17:16

0. Hvad er matematik?

Solen er sĂĽ langt borte, at strĂĽlerne er parallelle. Hvis vi lyste pĂĽ bolden med en lygte, ville lyskeglen kunne frembringe alle typer keglesnit som skygger for bolden!

Parablen som skyggeďŹ gur.

RĂŚsonnement ud fra geometrisk ďŹ gur

Hyperblen som skyggeďŹ gur.

Vi vil her koncentrere os om ellipsen og vil nu bevise den centrale sĂŚtning om ellipsens brĂŚndpunkter. I beviset fĂĽr vi brug for fĂ¸lgende: Hvis man trĂŚkker en tangent fra et ydre punkt til en cirkel, er der to muligheder, og de to tangentstykker er lige lange. Hvis man trĂŚkker en tangent fra et ydre punkt til en kugle, er der uendeligt mange muligheder, men igen er tangentstykkerne lige lange.

Ă&#x2DC;velse 0.1 PrĂ¸v selv at argumentere for dette ud fra tegningen og ved brug af en kongruenssĂŚtning.

Vi deďŹ nerer en ellipse som et plant snit i en cylinder. To kugler med samme diameter som cylinderen lĂŚgges henholdsvis over og under ellipseplanen. RĂ¸ringspunkterne kaldes for brĂŚndpunkter og F1 betegnes F1 og F2 (se ďŹ gur a). F1 F2 F2 MĂĽlet er at bevise, at summen af brĂŚndpunktafstandene PF1 + PF2 er konstant for en ellipse (se ďŹ gur b). Lad P vĂŚre et punkt pĂĽ ellipsen. Tegn de to tangentstykker til den Ă¸vre kugle (se ďŹ gur c): Figur a Figur b s $ELS DEN LODRETTE TANGENT LANGS CYLINDERm ADEN der gĂĽr fra P til skĂŚringspunktet med ĂŚkvator Q1. s $ELS TANGENTEN LANGS ELLIPSEPLANEN $A KUGLEN TANGERER ELLIPSEPLANEN I brĂŚndpunktet F1, vil dette tangentstykke derfor gĂĽ fra P til F1.

F1 P

Figur c

Figur d

Matematisk bevis

MateB_0.indd 15

25-07-2012 16:17:17

Vi har nu to tangentstykker til den Ă¸vre kugle (se ďŹ gur d). De mĂĽ derfor vĂŚre lige lange: PQ1 = PF1 PĂĽ samme mĂĽde kan vi ďŹ nde to tangentstykker til den nedre kugle: s $ELS KAN VI TRÂ?KKE DEN LODRETTE TANGENT LANGS CYLINDERm ADEN $ETTE TANGENTSTYKKE vil derfor gĂĽ fra P til skĂŚringspunktet med ĂŚkvator Q2. s $ELS KAN VI TRÂ?KKE TANGENTEN LANGS ELLIPSEPLANEN $A KUGLEN TANGERER ELLIPSEPLANEN i brĂŚndpunktet F2, vil dette tangentstykke derfor gĂĽ fra P til F2 (se ďŹ gur d). Vi har nu to tangentstykker til den nedre kugle. De mĂĽ derfor ogsĂĽ vĂŚre lige lange: PQ2 = PF2 Men sĂĽ mĂĽ summen af brĂŚndpunktsafstandene vĂŚre givet ved: PF1 + PF2 = PQ1 + PQ2 = Q1Q2 og da afstanden mellem ĂŚkvatorcirklerne er konstant, er summen af brĂŚndpunktsafstandene konstant. Du kan hente en animation af beviset pĂĽ hjemmesiden.

SĂŚtning 1a: Ellipsen og dens brĂŚndpunkter I en ellipse med brĂŚndpunkterne F1 og F2 er summen af brĂŚndpunktsafstandene konstant: F1P + F2 P = konstant

F1 F2

hvor P er et vilkĂĽrligt punkt pĂĽ randen af ellipsen.

Matematisk sĂŚtning â&#x20AC;&#x201C; ny indsigt

BemĂŚrkning: SĂŚtningen er et godt eksempel pĂĽ, hvad matematik er: Selv om vi i beviset udelukkende argumenterer ud fra velkendte egenskaber, sĂĽ afdĂŚkkes pludselig en viden, vi ikke havde fĂ¸r.

Ă&#x2DC;velse 0.2 At tegne en ellipse i hĂĽnden Du skal have en snor, et stykke papir og en blyant. AfsĂŚt to punkter pĂĽ papiret pĂĽ en sĂĽdan mĂĽde, at snoren er lĂŚngere end afstanden mellem punkterne. Hvordan kan du udnytte sĂŚtning 1a til at tegne en ellipse med de to punkter som brĂŚndpunkter?

Dandelins konstruktion kan som tidligere nĂŚvnt ogsĂĽ gennemfĂ¸res for en kegle og dermed anvendes pĂĽ alle keglesnittene. Det kan man arbejde videre med i et projekt pĂĽ hjemmesiden.

MateB_0.indd 16

25-07-2012 16:17:18

0. Hvad er matematik? b P

Af ellipsens karakterisering ud fra brændpunkterne følger det, at ellipsen er symmetrisk omkring to symmetriakser: Den ene, storaksen med længden 2a, går gennem brændpunkterne, og den anden, lilleaksen med længden 2b, står vinkelret på storaksen gennem midtpunktet C for brændpunkterne. Midtpunktet C fungerer da også som ellipsens symmetricentrum (se ﬁgur a).

a F2

F1 P''

P'''

Figur a

Sætning 1 omtaler, at summen af afstandene fra et punkt til brændpunkterne er konstant. Vi vil nu ﬁnde denne konstant. Ellipsen har et omskrevent rektangel, hvis sider er parallelle med akserne, og som tangerer ellipsen i punkterne S, T, U og V. Hvis vi fra brændpunkterne trækker brændstråler til toppunktet T, følger det af symmetrien, at F1S = F2T, og dermed at summen af brændstrålernes længde er givet ved:

b S

T a

F1T + F2T = F1T + F1S = ST = 2a

F1S

F1T

Figur b

Den konstante sum af brændstrålerne er altså netop storaksen 2a. Se ﬁgur b.

Sætning 1b: Ellipsen og dens brændpunkter I en ellipse med brændpunkterne F1 og F2 er summen af længderne af brændstrålerne lig med storaksen: F1P + F2 P = 2a hvor P er et vilkårligt punkt på randen af ellipsen.

Hvis vi i stedet trækker brændstråler til toppunktet V, følger det af symmetri, at F1V = F2V, dvs. de må begge være givet ved den halve storakse a. Det fører som vist på ﬁguren til en simpel konstruktion af brændpunkterne for en ellipse ved at tegne en cirkel med centrum i ( 0,b) og radius a (se ﬁgur c).

a a

S F1

Figur c

Øvelse 0.3 Argumenter for de forskellige påstande knyttet til de ovenstående ﬁgurer a, b og c.

Sætningen om, at summen af brændstrålerne er konstant, giver anledning til den såkaldte papirfoldningskonstruktion af en ellipse. Prøv selv fx med udgangspunkt i et ﬁlterpapir fra kemi at gennemføre følgende øvelse.

F C

MateB_0.indd 17

25-07-2012 16:17:19

Øvelse 0.4 Fold en ellipse Prøv i første omgang at læse punkterne igennem og tegn samtidig på papir en skitse af, hvad der foregår. R Q P

a) Konstruer en cirkel med centrum i C og radius 2a. Afsæt et punkt F inde i cirklen. Afsæt også et frit punkt Q på randen af cirklen. b) Konstruer midtnormalen m til FQ. Konstruer det geometriske sted for midtnormalen m drevet af punktet Q. Forklar, hvad dette geometriske sted har med papirfoldningen at gøre.

C F

c) Midtnormalen m skærer radien CQ i punktet P. Opskriv en ligning, der udtrykker, at P ligger på midtnormalen. d) Konstruer det geometriske sted for skæringspunktet P drevet af punktet Q. Argumenter for, at PC + PF = 2a. Argumenter for, at det betyder, at du nu har konstrueret en ellipse med brændpunkter i C og F og storakse 2a. e) Gør rede for, at midtnormalen m må være en tangent til ellipsen: Vis, at det for ethvert punkt R på midtnormalen m bortset fra P gælder, at CR + FR > CQ, dvs. CR + FR > 2a. Heraf følger, at R er et ydre punkt for ellipsen. f) Gør rede for, at en stråle udsendt fra det ene brændpunkt, der rammer ellipsens kant, vil spejles og sendes gennem det andet brændpunkt.

Teoretisk indsigt – Praktisk anvendelse

Bemærkning: Den sidste egenskab ved ellipsen er et godt eksempel på, hvad matematik er: En teoretisk indsigt, fra ren matematik giver anledning til praktiske anvendelser et helt andet sted som i følgende eksempel.

I en nyrestensknuser placeres patienten, så stenene, der skal knuses, er i det Beholder med væske ene af brændpunkterne for en ellipse (det er en ellipF1 Spejl Spejl soide, dvs. en omdrejningsellipse, men argumentet er Ultralydsender det samme). Fra det andet brændpunkt udsendes nu Princippet bag en nyrestensknuser. En moderne hospitalsudgave. kraftige lydbølger i alle retninger. Når disse ramme ellipsoidens overﬂade, kastes de tilbage og bevæger sig mod brændpunktet inde i patientens krop. Her sker der en koncentration af alle bølgerne, så stenene knuses, uden at man har været nødt til at skære patienten op. Nyresten F2

På hjemmesiden er der et projekt om andre lignende anvendelser af ellipsens egenskaber, fx i astronomiske spejlkikkerter, hviskegallerier, lamper i biografprojektører osv.

MateB_0.indd 18

25-07-2012 16:17:21

0. Hvad er matematik?

1.2 Ellipsens ligning I C-bogens undersøgelse af variabelsammenhænge så vi styrken i at arbejde med forskellige repræsentationsformer. Det T samme gælder for keglesnit. Ellipsen, der V a a V er defineret som en bestemt kurve, fik i C Q R Q sætning 1 en sproglig repræsentation. C b P0 Med det moderne koordinatsystem kan U U S vi også finde et formeludtryk, der repræS senterer ellipsen. Ellipsen er defineret som et skråt snit i en lodret cylinder. b b Cylinderens radius kaldes b, så det tilsvarende vandrette snit i cylinderen frembringer en cirkel med radius b. Da ellipsen har to symmetriakser, kan vi bruge dem som koordinatakser. Halvaksen langs x-aksen ST kaldes a, og halvaksen langs y-aksen UV har vi kaldt for b. Tilsvarende har vi et koordinatsystem i cirklens plan, hvor x-aksen er QR og y-aksen er UV. Fra et punkt P0 på y-aksen kan vi trække en linje i cirklens plan til P1 og en skrå linje i ellipsens plan til P2 . Derved fremkommer en rød retvinklet trekant med grundvinkel lig med vinklen mellem snitplanerne. Alle trekanter er derfor ensvinklede. Ved at sammenholde den gule trekant CRT og den røde trekant P0 P1 P2 slutter vi, at

T P2 b

Forskellige repræsentationsformer

y V

b S

y P2(x, y)

P0 U

b a

P0 P1

dvs. P0 P1

P0 P2

b P P a 0 2

Hvis P2 har koordinaterne (x,y), så har P1 har koordinaterne:

x1, y1 ¤¥¦ ba x, y ³´µ

(*)

V b

Pythagoras sætning giver:

y1 P0

x12 y12 b2

b x1

P1(x1 , y1)

¤ b x ³ y 2 b2 ¥¦ a ´µ

Indsæt (*)

Matematisk symbolsprog

b a2

x 2 y 2 b2

b x a2

y 2 b2

Udnyt potensregel

Udnyt brøkregel

Divider med b

MateB_0.indd 19

25-07-2012 16:17:24

Vi har derfor vist: y

Sætning 2: Ellipsens ligning En ellipse med centrum i (0,0) og halvakserne a og b langs x-aksen, henholdsvis y-aksen har ligningen x

1 eller

¤ x³ ¤ y³ ¥¦ a ´µ ¥¦ b ´µ 1

P(x,y) b x a

Øvelse 0.5 Tegn ellipserne med ligningerne: a)

x2 9

y2 25

x2 36

y2 4

Øvelse 0.6 Geometrisk konstruktion af ellipsen

E(x1,y1) b P(x,y)

y1 y

a) Konstruer to cirkler med samme centrum C og med radier a og b. Afsæt et frit punkt P på cirklen med radius a. Afsæt en halvlinje fra C gennem P. Den skærer den anden cirkel i Q. Konstruer nu en lodret linje gennem P og en vandret linje gennem Q. De skærer hinanden i punktet E. Hvis P har koordinaterne (x,y), argumenter så for, at E har koordinaterne:

x1, y1 ¥¦¤ x, ba y ´µ³ b) Når du trækker i punktet P, gennemløber punktet E en kurve. Konstruer den gerne som et geometrisk sted drevet af punktet P. Punktet P's koordinater opfylder Pythagoras sætning 2 2 2 x + y = a . Vis, at punktet E's koordinater opfylder sætning 2, dvs. E beskriver en ellipse. c) Indlæg et koordinatsystem med begyndelsespunkt i C. Tegn graferne for cirkelfunktionerne f ( x ) o a2 x 2 og b ellipsefunktionerne g( x ) o a a2 x 2 . Konklusion?

På hjemmesiden kan du ﬁnde opgaver om tangenter til cirkler og ellipser og om beregning af ellipsens areal.

MateB_0.indd 20

25-07-2012 16:17:25

0. Hvad er matematik?

1.3 Hvor ﬂadtrykt er ellipsen – ellipsens excentricitet Det var Keplers store opdagelse, at planeterne i deres bane omkring Solen med rigtig god tilnærmelse fulgte ellipsebaner med Solen i det ene brændpunkt – og ikke som tidligere antaget kombinationer af cirkelbaner. Det var således Kepler, der satte fokus på brændpunktet. Da Solen ikke ligger i centrum for ellipsebanen, siger vi at den ligger excentrisk. Vi indfører et mål for denne excentricitet: e

CF1 a

CF2 a

V a

b C

a·e

, hvor a er den halve storakse

Heraf får vi: CF1 CF2 a e Af den retvinklede trekant F1CV følger nu en vigtig formel for ellipser: a 2 b 2 a 2 e 2 b 2 a 2 a 2 e 2

b2 a 2 1 e 2 b a

1 e2

Bemærkning: I formlen indgår den halve lilleakse i tælleren, den halve storakse i nævneren. Lå ellipsen lodret, ville formlen derfor være: a

1 e2

Øvelse 0.7 a) I hvilket interval ligger tallet e, dvs. hvor lille og hvor stort kan tallet e være? b) Beskriv med ord, hvordan ellipser med en lille, henholdsvis en stor excentricitet ser ud. c) Beregn excentriciteten for de to ellipser i øvelse 0.5 d) På hjemmesiden ligger en tabel med oplysninger om planetbanerne. Beregn excentriciteten for Jorden, Mars og Pluto.

På hjemmesiden er der et projekt, hvor vi ﬁnder en formel for brændstrålernes længde og med afsæt heri undersøger Keplers anden lov.

MateB_0.indd 21

25-07-2012 16:17:27

2. Kan vi beregne det? Om iteration I det følgende vil vi se på simple dynamiske systemer med en enkelt tilstandsvariabel xn, som vi kan tænke på som størrelsen af en population, hvor størrelsen af det næste års population xn+1 alene afhænger af størrelsen af den foregående, dvs. xn+1 = f(xn )

Da Sally Ride i 1983 som den første kvindelige amerikanske astronaut blev sendt op og svæve i rummet med en rumfærge, var hun ledsaget af den uundværlige lommeregner – ikonet på den moderne naturvidenskab.

Vi kalder funktionen f for fremskrivningsfunktionen og ligningen for fremskrivningsligningen. Vi siger også, at vi itererer (dvs. gentager regneoperationen), når vi benytter fremskrivningsligningen mange gange for at se, hvordan populationen udvikler sig i det lange løb: x1 = f(x0 ) x2 = f(x1)

Matematiske eksperimenter

x3 = f(x2) osv. Iterationer ﬁk en stor opblomstring i 70'erne med fremkomsten af slagkraftige lommeregnere, der gjorde det nemt at gentage udregninger og dermed at eksperimentere med iterationer. Feigenbaum var en af dem, der var i fuld gang med at gå på opdagelse i iterationernes verden og med hans egne ord "gøre vidunderlige opdagelser" – opdagelser, der, når han først havde forstået dem rigtigt, "ville gøre ham til en berømt mand".

Feigenbaum i 70'erne. I 1974 ﬁk han sin første programmerbare lommeregner, den legendariske HP65, og startede øjenlikkeligt sin udforskning af iterationernes verden.

Øvelse 0.8 Iteration 2³ 1 ¤ a) Prøv fx at vælge startværdien x0 = 1 og gentag iterationen x l 2 ¥ x x ´ mange ¦ µ gange. Hvad sker der? a³ 1 ¤ b) Opret en skyder for parameteren a. Hvad sker der i iterationen x l 2 x x for ¦ µ forskellige værdier af a?

Hjælp: I mange værktøjsprogrammer kan man gentage beregninger automatisk ved at taste ENTER.

MateB_0.indd 22

25-07-2012 16:17:29

0. Hvad er matematik?

2.1 Lineære iterationer og spindelvæv Hvis fremskrivningsfunktionen f er lineær, f(x) = a · x + b, fås en lineær iteration. Hvordan populationen udvikler sig, afhænger nu af størrelsen af parameteren a, dvs. hældningskoefﬁcienten for fremskrivningsfunktionen.

Øvelse 0.9 Lineær iteration a) Opret skydere for a og b, hvor a kan antage værdier i intervallet fra –2 til 2, mens b kun kan antage positive værdier, fx fra 0 til 5. Vælg en passende startværdi, fx x0 = 2 og opret et passende regneark, der viser populationens udvikling i de første 100 år/ generationer. Find selv ud af, hvordan dit værktøjsprogram håndterer iterationer. b) Opret tidsserie-grafen for xn som funktion af generationsnummeret n. Hvordan afhænger populationens opførsel af a og b? Illustrer opførslen med billedet af typiske grafer.

xn+1 x1

xn+1

xn+1 y=x

(x0 ,x1)

(x1,x1)

y=x

(x0 ,x1)

(x1,x1)

y=x

(x0 ,x1)

(x1,x1)

x3 (x2 ,x2)

(x1,x2)

y=f(x)

Første iteration: x0→ x1

(x1,x2) y=f(x)

y=f(x)

xn x1

(x2 ,x2)

xn x0

Anden iteration: x1→ x2

Spindelvæv: xn→ xn+1

Når man skal undersøge opførslen graﬁsk, bruges ofte et returplot også kaldet et webdiagram (spindelvæv), fordi det i nogle sammenhænge kan minde lidt om et edderkoppespind. I et returplot afbildes xn+1 op ad andenaksen og xn ud ad førsteaksen. Grafpunktet (xn,xn+1) ligger da netop på grafen for fremskrivningsfunktionen f, som derfor tegnes med ind i diagrammet. Endelig tegner man også diagonalen y = x. Første iteration: Man vælger nu en tilfældig startværdi x0 på førsteaksen. Derefter trækkes en lodret linje op til grafen for fremskrivningsfunktionen f. Den tilhørende y-værdi er da netop x1. Traditionelt overføres den til y-aksen, men her skal vi have den tilbage til x-aksen. Vi trækker derfor en vandret linje hen til diagonalen. Den tilhørende x-værdi er da netop x1. Anden iteration: Derefter gentages processen (iteration), dvs. der trækkes en lodret linje til grafen for fremskrivningsfunktionen f. Traditionelt gøres det fra x-aksen, men her gør vi det fra diagonalen. Den tilhørende y-værdi er da netop x2. Traditionelt overføres den til y-aksen, men her skal vi have den tilbage til x-aksen. Vi trækker derfor en vandret linje hen til diagonalen. Den tilhørende x-værdi er da netop x2. Spindelvæv: Fortsættes på denne måde, får vi nu spundet web-diagrammet på samme måde, som en edderkop spinder sit spind.

Diagrammer viser strukturen og giver overblik.

MateB_0.indd 23

25-07-2012 16:17:29

Øvelse 0.10 a) Undersøg, hvordan dit værktøjsprogram håndterer web-diagrammer. Hvis det ikke er indbygget som en mulighed, kan du i stedet forskyde listen med populationsværdierne på passende vis og så selv bygge grafen op. På hjemmesiden er der hjælp til, hvordan man gør. b) Opret igen skydere for parametrene a og b. Hvilken indﬂydelse har a på spindets udseende? Hvilken indﬂydelse har b?

Definition: Fixpunkt Et punkt, hvorom det gælder, at det afbildes i sig selv, kaldes for et fixpunkt. Er vi i to dimensioner, og ser vi på den grafiske repræsentation, så fremtræder et fixpunkt som skæringspunktet (x∗ , x∗) mellem grafen for fremskrivningsfunktionen f og diagonalen y = x. I et sådant punkt gælder der åbenlyst x∗ = f ( x∗ ).

Matematisk deﬁnition

Hvis vi vælger x∗ som startværdi, ﬁnder vi

y=x

x1 = f(x0 ) dvs. f(x∗ ) = x∗

y=f(x)

(x∗,x∗ )

x x0

x2 = f(x1) dvs. f(x∗ ) = x∗ osv. Dvs. populationen ændres ikke. En sådan løsning kaldes derfor også for et stationært punkt. Der findes to slags fixpunkter, idet de kan være tiltrækkende, (hvor nærtliggende x-værdier bevæger sig ind mod fixpunktet), eller de kan være frastødende, (hvor nærtliggende x-værdier bevæger sig væk fra fixpunktet). For en lineær iteration gælder åbenbart (jfr. øvelse 0.9):

Sætning 2: Tiltrækkende og frastødende ﬁxpunkter Matematisk sætning

Hvis parameteren a er mellem -1 og 1 (dvs. | a| < 1), så er ﬁxpunktet tiltrækkende. Hvis parameteren a er numerisk større end 1, dvs. | a| > 1, så er ﬁxpunktet frastødende.

Hvis parameteren a har den numeriske værdi 1, dvs. | a| = 1, så er iterationen stationær.

MateB_0.indd 24

25-07-2012 16:17:30

0. Hvad er matematik?

Bevis Vi udregner afstanden til ﬁxpunktet: x n 1 x* f ( x n ) f ( x* )

Anvend deﬁnitionen på fremskrivningsformlen og på et ﬁkspunkt

a x n b a x* b

a x n a x*

a x n x*

Indsæt forskriften for fremskrivningsfunktionen f Reducer

Matematisk bevis

Sæt parameteren a uden for en parentes

Konklusion: Afstanden fra populationen til ﬁxpunktet bliver ganget med a ved hver iteration. Afstanden vokser altså eksponentielt med grundtallet | a|. Vores viden om eksponentielle udviklinger giver så konklusionen. Lineær iteration kan åbenbart føre til eksponentiel vækst! Det viser sig, at det også kan føre til meget andet. På hjemmesiden kan du ﬁnde projekter herom.

2.2 Kvadratiske iterationer og ﬁgentræer Vi vender os derefter mod iterationer, hvor fremskrivningsfunktionen ikke er lineær, men er et andengradspolynomium på formen f(x) = a · x · (1– x). Grafen for fremskrivningsfunktionen er en parabel, der skærer x-aksen i x = 0 og x =1. I kapitel 2, Andengradspolynomier, går vi i dybden med parabler. Af grafen fremgår det, at parablen har toppunkt i x = 1 med 2 funktionsværdien f 21 = a ⋅ 21 ⋅ 1 − 21 = 4a . Startværdien x0 for populationen ligger mellem 0 og 1. Hvis de følgende iterationer også skal ligge mellem 0 og 1, må vi forlange, at der gælder: 0 ≤ a ≤ 4.

()

(

y=x

1 y = a · x · (1– x) a 4

)

x 1 2

Denne type iteration kaldes ofte for kvadratisk iteration. Men til ære for Feigenbaum, der gjorde sine "vidunderlige opdagelser" med netop denne type iteration, kaldes den også for Feigenbaum-iteration. I kapitel 6 vender vi tilbage til den under emnet logistisk vækst, og her kaldes den for logistisk iteration.

Øvelse 0.11 a) Opret skydere for a og startværdien x0, hvor a kan antage værdier i intervallet fra 0 til 4, mens x0 kan antage værdier fra 0 til 1. Opret et passende regneark, der viser populationens udvikling i de første 100 år/generationer. Hvordan kan du se i regnearket, om populationens udvikling stabiliseres i et bestemt mønster? b) Opret tidsserie-grafen for xn som funktion af generationsnummeret n. Hvordan afhænger populationens opførsel af a og x0? Illustrer opførslen med billedet af typiske grafer.

MateB_0.indd 25

25-07-2012 16:17:30

Øvelse 0.12 a) Opret skydere for a og startværdien x0, hvor a kan antage værdier i intervallet fra 0 til 4, mens x0 kan antage værdier fra 0 til 1. b) Opret web-diagrammer for xn+1 som funktion af xn. Illustrer igen opførslen med billedet af typiske grafer. Angiv også passende udsnit af regnearket, der illustrerer opførslen.

Øvelserne illustrerer, at den kvadratiske iteration afhængigt af parameteren a kan have et tiltrækkende fixpunkt. Så længe der er et tiltrækkende fixpunkt, er dynamikken meget overskuelig, idet alle startværdier mellem 0 og 1 før eller siden suges ind til fixpunktet. Men hvad sker der for andre værdier af parameteren a? Matematiske eksperimenter åbner for ny indsigt

a4 = 3,49856169933 n

0,5000000000

0,8746404248

0,3835982305

0,8272371111

0,5000000000

Som du måske så i øvelse 0.12 dukker der tiltrækkende periodiske punkter op efter a = 3. De kaldes også for cykler. Tabellen viser en typisk firecykel {x1, x2, x3, x4}, med periode 4, dvs. alting gentager sig efter netop fire iterationer: x1 → f ( x1 ) = x2 → f ( x2 ) = x3 → f ( x3 ) = x4 → f ( x4 ) = x1 Havde vi startet et lidt andet sted, ville vi hurtigt være blevet tiltrukket af denne firecykel.

Øvelse 0.13 a) Hvordan ser en typisk tiltrækkende to-cykel ud i et tidsseriediagram? I et Webdiagram? b) Hvordan ser en typisk tiltrækkende ﬁre-cykel ud i et tidsseriediagram? I et webdiagram?

En ny type diagram kan hjælpe os med at forstå dynamikken, efter vi har passeret a = 3. Ideen er: For en given værdi af a er vi interesseret i, hvad der sker på langt sigt, dvs. når vi gentager iterationerne mange gange. Vi springer derfor de første 100 iterationer over og ser kun på de næste 100. For nogle værdier af a vil alle 100 celler have samme tal, for andre værdier af a vil der være to, tre, ﬁre osv. forskellige tal. 1 Vi bruger hver gang startværdien 2 . Man kan nemlig vise, at er der en tiltrækkende 1 cykel, vil den med sikkerhed tiltrække 2 . (Det er et vanskeligt bevis, vi ikke vil komme ind på). I diagrammet afsættes nu parameteren a op ad den lodrette andenakse. På den vandrette linje y = a afsættes de x-værdier, der ﬁndes i de 100 celler hørende til a-værdien. For a-værdier under 3 afsættes således kun et punkt.

MateB_0.indd 26

25-07-2012 16:17:31

0. Hvad er matematik?

Øvelse 0.14 Dynamikken i den kvadratiske iteration a) Opret et regneark med tilhørende graf og skyder for parameterværdien a. I regnearket oprettes tre søjler: Først en for selve den kvadratiske iteration, der udføres 200 gange med startværdi 12 . Derefter en for a-værdien, der hentes fra skyderen og gentages de første 100 gange. Endelig en for den langsigtede opførsel af iterationen, dvs. værdierne af de sidste 100 elementer i den første søjle. b) Afbild søjlen for parameterværdierne lodret (med værdier fra 0 til 4) og søjlen med den langsigtede opførsel vandret (med værdier fra 0 til 1). Varier parameteren a i trin af 0.001. Noter interessante værdier for parameteren a undervejs!

Kan vi få tegnet alle banerne for de forskellige værdier af parameteren a på en gang, fås et diagram som dette. Det kræver typisk adgang til specialprogrammer. Det fremkomne diagram minder om et træ – med en stamme, grene og løv, og har derfor fået kælenavnet figentræet, idet Feigenbaum på tysk netop betyder figentræ. Stammen svarer til det tiltrækkende fikspunkt. Det afløses af en tiltrækkende 2-cykel, der igen afløses af en tiltrækkende 4-cykel, en tiltrækkende 8-cykel osv. Denne kaskade af periodefordoblinger er meget karakteristisk for dynamikken. Derefter opstår der et stort område, løvet, der er karakteriseret ved vinduer, hvor nye tiltrækkende cykler dukker op. Inde i parameter-intervallet mellem 3,8 og 3,9 kan man finde et vindue med en 3-cykel. Kigger man godt efter, kan man finde en 5-cykel i parameterintervallet mellem 3,7 og 3,8 samt en 6-cykel i parameterintervallet mellem 3,6 og 3,7.

4,0 3,9 3,8 3,7 3,6 3,5 3,4 3,3 3,2 3,1 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 2,4 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Med en passende applet, der kan hentes på hjemmesiden, kan man nu gå på opdagelse i figentræet og finde vinduer med vilkårlige cykellængder. Man vil også opdage figentræets fraktale struktur: I hvert vindue ligger der kopier af det store figentræ.

Matematiske diagrammer – omfattende information i et billede

Der zoomes ind på 3-vinduet og derefter på det midterste babytræ i 3-vinduet. Læg mærke til, at træet nu ligger vandret.

MateB_0.indd 27

25-07-2012 16:17:32

2.3 Feigenbaums vidunderlige opdagelse Det var inde i dette diagrams komplekse fraktale struktur, at Feigenbaum gjorde sin vidunderlige opdagelse: At periodefordoblingerne følger et karakteristisk universelt mønster, styret af nye universelle naturkonstanter. For at kunne følge i hans fodspor, bliver vi nu nødt til at lære at regne på cykler. For udvalgte parameterværdier vil toppunktsværdien x = 21 selv være et element i en tiltrækkende cykel, dvs. hvis vi itererer x = 21 , vil den vende tilbage til sig selv efter et vist antal iterationer. Af grunde, som vi forklarer nærmere om på hjemmesiden, kaldes sådanne cykler for supertiltrækkende cykler. Vi vil nu undersøge følgende spørgsmål: For hvilke a-værdier er der supertiltrækkende cykler?

Øvelse 0.15 Grafisk undersøgelse af supertiltrækkende cykler Spørgsmålet kunne principielt godt undersøges grafisk. At x = 21 er med i en tiltrækkende cykel betyder, at den lodrette linje med ligning x = 21 skærer træet (ligger figentræet ned, er x = 21 en vandret linje – det er tilfældet i eksemplerne nedenfor). Vi kan se, at det sker ved a = 2, samt igen ved a ≈ 2,25. I stedet for at gå videre her vil vi anvende det grafiske billede til at kontrollere de følgende udregninger.

Eksempel 1 1-cykel, dvs. x = 21 er ﬁxpunkt og skal vende tilbage efter en enkelt iteration:

1 x 0,5

1 2→

a ⋅ 21 ⋅ (1 − 21 ) = 4a 0

x = 21 skal være et ﬁxpunkt, så: 1 2

1 ·a 4

1 2

a 4

, der har løsningen: a = 2

For a = 2 har vi altså et supertiltrækkende ﬁxpunkt.

Eksempel 2

2-cykler. Her skal x = 21 vende tilbage efter to iterationer, dvs. 1 2 1 2

→

a ⋅ ⋅ (1 − ) =

a 4

→

x 0,5 1

a ⋅ 4 ⋅ (1 − 4 ) = 4 ⋅ a2 −

1 16

⋅ a3

skal være element i en to-cykel, så: 1 2

1 2 1 3 ·a – · a 4 16

1 2

0 0

2 a

1+√5

1 1 = 4 ⋅ a2 − 16 ⋅ a3 , der har løsningen: a = 2 og a = 1 ± 5

dvs. parameterværdien a skal løse en tredjegradsligning. For a = 2 genfinder vi det supertiltrækkende fikspunkt, idet x = 21 selvfølgelig også vender tilbage til sig selv efter to iterationer. Men derudover er der kun en relevant supertiltrækkende 2-cykel svarende til parameterværdien a = 1 + 5 . I hele figentræet er der derfor kun et sted med en supertiltrækkende 2-cykel. I kapitel 3 ser vi nærmere på tredjegradsligninger.

MateB_0.indd 28

25-07-2012 16:17:34

0. Hvad er matematik?

Øvelse 0.16 Supertiltrækkende 3-cykler og 4-cykler a) Opstil nu selv de tilsvarende ligninger for de supertiltrækkende 3-cykler og 4-cykler. b) Hvor mange 3-cykler findes der? Hvor mange 4-cykler findes der? c) Illustrer de fundne cykler med tidsseriediagrammer, webdiagrammer og marker også deres placering i figentræet.

Feigenbaum, der udelukkende arbejdede numerisk på sin programmerbare HP65, fokuserede på periode-fordoblingen: Hvor splitter stammen til grenene for den tiltrækkende 2-cykel? Hvor splitter grenene for den tiltrækkende 2-cykel til grenene for den tiltrækkende 4-cykel osv. Det indebærer løsningen af stadigt mere komplicerede polynomiale ligninger med stadigt flere skinløsninger: Når man leder efter 2-cykler, finder man også fikspunkter, når man leder efter 4-cykler, finder man også fikspunkter og 2-cykler osv. Det er derfor vigtigt at kunne dirigere løsningsprocessen rimeligt præcist ved at angive en startværdi lige i nærheden af den søgte løsning. Feigenbaum lagde nu mærke til, at de enkelte vinduer bliver kortere og kortere med en typisk faktor, der ligger mellem 4 og 5. Kalder vi parameterværdien, hvor 2-cyklen opstår for a2, hvor 4-cyklen opstår for a4, hvor 8-cyklen opstår for a8 osv., så gælder der med god tilnærmelse: a8 a4

− a4 ≈ − a2

a16 a8

− a8 ≈ − a4

a32 a16

− a16 ≈ − a8

a8 ≈ a4 + 0,214 ⋅ ( a4 − a2 ),

1 4, 669...

≈ 0,214...

a16 ≈ a8 + 0,214 ⋅ ( a8 − a4 ),

8-vindue

4-vindue

2-vindue

Matematike beregninger åbner for ny og overraskende indsigt

a32 ≈ a16 + 0,214 ⋅ ( a16 − a8 ), ...

Men det betyder også, at vi kan ﬁnde et bud på den næste i rækken, y 0≤r≤1 når vi først har fundet de første tre splitpunkter, og skalafaktoren bliver 1 mere og mere præcist bestemt ud fra de tre foregående løsninger. y = r· sin(π ·x) Feigenbaum var langt fra den første, der opdagede denne skalering af fordoblingspunkterne. Fx havde biologen Robert May også bemærket den, men ikke tillagt den synderlig betydning. Men nu skete miraklet: Feigenbaum vidste, at det ikke var afgørende for at frembringe periodefordoblinger, at iterationen var præcist givet ved et andengradspolynomium. Fx ville en sinus iteration frembringe en tilsvarende periodefordobling (og et tilsvarende ﬁgentræ). Ligningerne ville blot blive meget 0 mere komplicerede at løse, ikke mindst på den, set med vores øjne, 0 primitive programmerbare HP65. Det blev derfor endnu mere afgørende at kunne gætte, hvor det næste fordoblingspunkt dukkede op. Feigenbaum satsede derfor på, at de opfyldte en tilsvarende skalering. Stor var hans forbavselse, da de ikke blot skalerede lige så pænt som fordoblingspunkterne for den kvadratiske iteration, men skalafaktoren var præcis den samme! Feigenbaum havde

y=x

x 1

MateB_0.indd 29

25-07-2012 16:17:34

altså opdaget en mystisk naturkonstant 4,669…, der regulerede overgangen mellem den systematiske periodefordobling og det efterfølgende kaos. Og konstanten syntes ikke at være beslægtet med de allerede kendte naturkonstanter som π, e osv. På hjemmesiden kan du finde et projekt, hvor du kan gå i Feigenbaums fodspor og selv finde konstanten. Her slutter vi lidt mere jordnært. Studiet af simple dynamiske systemer har vist, hvor kompleks deres opførsel kan være. Og det har været en øjenåbner. Feigenbaum-iterationen kaldes også logistisk iteration, fordi den for 1 < a < 3 er tæt beslægtet med den logistiske vækst, der til at begynde med vokser eksponentielt med vækstfaktoren a og derefter flader ud og nærmer sig sin bæreevne, svarende til fixpunktet. Længe mente man, at de reproduktive cykler i naturen holder sig inden for dette parameterområde, så den logistiske model giver en god beskrivelse af, hvordan naturlige systemer opfører sig. Men i dag ved man, at der er dyr, der reproducerer sig så voldsomt, at vækstfaktoren ryger op over 3. Et godt eksempel er lemmingen. Men hvis den får en vækstfaktor, der ligger helt oppe i det kaotiske område, vil det resultere i voldsomme uforudsigelige fluktuationer i populationen med store populationer det ene år og næsten forsvindende det næste. Dette besynderlige fænomen, at det kan vrimle med lemminger det ene år, og at de kan være næsten forsvundet det næste, førte tidligere til vandrehistorien/myten om lemmingernes kollektive selvmord, hvor lemminger i tusindtal styrter sig i havet. Men den virkelige forklaring er altså den komplekse opførsel af simple dynamiske systemer, når parameteren vokser ind i de kaotiske områder. Historien om lemmingerne er fx fortalt i BBC-filmen The Code af den engelske matematiker Marcus du Sautoy.

3. Kan vi tro på det? Om Sankt-Petersborg-paradokset Sandsynlighedsteoriens opgave er at beskrive, forudsige og regelsætte tilfældige hændelser. Da tilfældige hændelser er karakteriseret ved, at de er umiddelbart ubeskrivelige, uforudsigelige og tilsyneladende kaotiske, kan sandsynlighedsteoriens opgave formuleres således: Beskriv det ubeskrivelige, forudsig det uforudsigelige, og find orden, hvor ingen orden findes. Det lyder paradoksalt; hvordan skal man kunne det? Men ikke desto mindre er det faktisk lykkedes at skabe en velfungerende sandsynlighedsteori. Vi vil se på et par historiske eksempler, hvoraf det sidste til en vis grad stadig finder anvendelse inden for økonomisk risikovurdering.

MateB_0.indd 30

25-07-2012 16:17:34

0. Hvad er matematik?

3.1 De store tals lov og vinderchancer I C-bogens kapitel 9 omtalte vi de store tals lov, som kan udtrykkes: Hvis en spiller i et stort antal uafhængige spil spiller på, at den samme hændelse indtræffer, så vil hans chance for at vinde samlet set være lig med sandsynligheden for hændelsen. Som eksempel på de store tals lov betragter vi et spil roulette. På en roulette i et dansk kasino er der 37 felter i alt – 18 røde og 18 sorte samt et "0", som hverken er rødt eller sort (normalt grønt). De røde og sorte felter er nummererede fra 1 til 36. Kuglen kan altså havne på 37 forskellige felter, dvs. der er i alt 37 forskellige udfald. Hvis rouletten er korrekt konstrueret og korrekt opstillet, vil alle 37 tal have lige stor sandsynlighed for at forekomme. Over lang tid og mange spil vil vi derfor forvente, at tallet 0 kommer ud ca. hver 37´te gang, tallet 1 ca. hver 37'te gang osv.

Matematisering af eksperimenter

I et stort antal spil bør antallet af gange, kuglen lander på fx tallet 7, derfor være 37 af det samlede antal spil. Det kan man da også iagttage i praksis. Hvis man over en lang aften på et kasino tæller op, hvor ofte tallet 7 kommer ud, så vil man opdage, at antallet af spil, hvor kuglen havner på tallet 7, set i forhold til det samlede antal spil den aften, faktisk lander ret tæt på 1 = 0,027 . Ser vi fx på 10000 spil, så vil antallet 37 af gange, hvor kuglen havner på 7 være relativt tæt på: 10000 ⋅ 1 = 10000 ⋅ 0,027 = 270 37

I stedet for at gå på kasino kan vi naturligvis også simulere et spil roulette i et værktøjsprogram – selvom det måske ikke er helt så festligt!

Matematisk teknik: Simulering

Øvelse 0.17 Simulering af et roulettespil a) Opret i dit regneark en liste over de 37 mulige udfald i et roulettespil, dvs. {0, 1, 2, …, 36}. b) Opret en liste over de 37 gevinster i et roulettespil, hvor vi satser på feltet 1 med en indsats på 1 kr., dvs. {0, 36, 0, …, 0}, idet en gevinst giver indsatsen tilbage ganget med 36. c) Opret en liste med 1000 tilfældige udfald af spillet (fx med brug af en randomfunktion) – svarende til at du spiller roulette 1000 gange, og afbild udfaldene i et histo1000 i histogrammet. Gentag simuleringen. gram. Tegn også den vandrette linje y = 37 Konklusion? d) Udregn den samlede gevinst for de 1000 spil. Konklusion? e) Hvis du har mod på det, så udfør en opsamling af gevinsten for 1000 spil og gentag simuleringen 1000 gange, så du får opsamlet gevinsterne i 1000 gentagelser af 1000 spil. Du kan hente en animation af opsamlingen på hjemmesiden. Hvad bliver gennemsnitsgevinsten for de 1000 gentagelser?

MateB_0.indd 31

25-07-2012 16:17:35

Før en hardcore-spiller gider spille et bestemt spil, skal der være en fair chance for at vinde. Et helt fair spil deﬁneres som et spil, hvor den gennemsnitlige gevinst pr. spil i det lange løb ("uendeligt mange" spil) netop matcher spillerens indsats pr. spil. Et sådant spil ville ingen udbyde.

Eksempel: Roulettespil På en roulette får man pengene 36 gange tilbage, hvis man spiller og vinder på fx tallet 7. I det lange 1 løb vinder man altså 36 kr. på 37 af spillene og ingenting i resten af spillene. Hvis vi ser på 1000 spil med en indsats på 1 kr. pr. spil, giver det en forventet gevinst på i alt: 36 ⋅ 1000 ⋅

1 37

= 972,97 kr.

Hvis vi så trækker indsatsen fra, så vil vores forventede gevinst efter de 1000 spil være: 972,97 – 1000 = –27,02 kr. Dvs. der er tale om et tab på 27,02 kr.! Altså er roulette-spillet ikke helt fair, fordi man taber ca. 2,7 % af sin indsats i det lange løb. Problemet ved roulette er jo, at man kun 1 1 får 36 kr. igen, selvom der 37 felter, og chancen for at vinde er 37 og ikke 36 – gevinsten står altså ikke mål med indsatsen. Ellers var der jo heller ingen grund til at bestyre et kasino.

Øvelse 0.18 På den amerikanske udgave af rouletten indgår også feltet "00", som har samme status som "0". Hvad er den forventede gevinst for 1000 spil på denne type roulette med en indsats på 1 kr. pr. spil?

Eksempel: Kan man sprænge banken? Hvad nu hvis rouletten ikke er helt rigtig indstillet? Hvis man fx over en hel dag i et kasino noterer alle udfald og observerer en vis skævhed i udfaldene, så kan det jo være fordi, rouletten ikke er helt afbalanceret. Antag fx, at tallet 7 forekommer en smule oftere end alle andre tal på rouletten i løbet af dagen, således at sandsynligheden for 7 er 0,029 i stedet for 0,027, som vi så ovenfor. En så lille forskel vil kun ganske få spillere (og ansatte) opdage, men det er ret afgørende for en spiller, der satser højt! Hvis en spiller i stedet for 1 kr. fx satser 100 kr. pr. spil over 1000 spil, så vil han ifølge de store tals lov vinde ca. 29 gange – i stedt for 27 gange – og tabe ca. 971 gange. Hans gevinst for hvert af de vundne spil vil være 36 · 100 = 3600 kr., dvs. hans samlede gevinst over de 1000 spil vil være: 29 · 3600 – 100 · 1000 = 4400 kr.

MateB_0.indd 32

25-07-2012 16:17:36

0. Hvad er matematik?

Dvs. han får et solidt overskud på sine mange spil. Valgte han i stedet at satse 1000 kr. pr. spil, ville han opnå et samlet overskud på 44000 kr., hvilket må siges at være en ret stor sum penge! Men skal man "sprænge banken", så skal der en væsentlig højere indsats til, og da man jo også skal spille rigtig mange spil, så er det kun de færreste, der kan være med. Og hvad nu hvis man gætter forkert… hvis observationerne af roulettens opførsel den ene dag er forskellig fra roulettens opførsel den næste dag? Eller de bytter rundt på rouletterne? Så kan man ende med meget store tab!

3.2 Den matematiske forventningsværdi til et spil Ved den matematiske forventningsværdi for en tilfældigt varierende størrelse knyttet til et spil forstås: Den gennemsnitlige værdi af størrelsen set over "uendeligt mange" spil (dvs. i det lange løb). Den matematiske forventningsværdi betegnes med E (for det engelske ord expected value). Hvis vi kalder sandsynligheden for at vinde pvinder i et bestemt spil, så er det en konsekvens af de store tals lov, at den matematiske forventningsværdi for udbyttet, der jo varierer tilfældigt fra spil til spil, er givet ved:

Matematiske deﬁnitioner

E(udbytte) = pvinder· gevinst – indsats For rouletten ovenfor bliver den matematiske forventningsværdi for udbyttet derfor: E ( udbytte pr. spil) = 1 ⋅ 36 kr. − 1kr. = − 1 kr. = −0,027 kr. 37

I en 37'de del af spillene vinder vi nemlig 36 kr., i resten af spillene vinder vi ingenting, men hver gang betaler vi 1 kr. for at deltage. Da sandsynligheden for at vinde hver gang er den samme, og da gevinsten for hvert spil også er den samme, så kan vi beregne det forventede negative overskud på 1000 spil til: Forventet udbytte på 1000 spil = – 0,027 · 1000 kr. = –27 kr.

Øvelse 0.19 a) Hvad er sandsynligheden for at kuglen rammer et sort felt? b) Hvis vi satser 10 kr. på "sort", hvad er så den matematiske forventningsværdi for udbyttet af spillet, idet et sort felt giver indsatsen dobbelt tilbage? c) Antag nu, at vi spiller 1000 spil, hvor vi satser 10 kr. på "sort". Hvad er så den matematiske forventningsværdi for udbyttet af disse 1000 spil?

MateB_0.indd 33

25-07-2012 16:17:36

Øvelse 0.20 På et dansk kasino ser roulettebordet ud som på billedet. a) Overvej, hvilke andre muligheder det giver for at spille, end de allerede nævnte. b) Overvej, hvad sandsynligheden er for at vinde i disse spil. c) Find ud af, hvad gevinsterne er for hvert af disse spil. Beregn derefter det forventede udbytte for hvert af disse spil.

Ovenfor har vi set på meget simple spil, hvor gevinsten er knyttet til et bestemt udfald af spillet. Men der er også spil, hvor der er forskellige gevinster knyttet til forskellige udfald. Det gælder fx lotterier.

Eksempel: Klasselotteriet I Klasselotteriet er der hver måned 440000 lodder med i lodtrækningen. Gevinstplanen fremgår af tabellen. Det koster 144 kr. at købe et enkelt lod. Når vi skal ﬁnde det forventede udbytte, går vi derfor frem på følgende måde: E (udbytte) =

2 440000

⋅ 1700000 +

7 440000

⋅ 1062500 + ... +

422446 440000

⋅ 0 − 144

= 7,73 + 16,90 + 2,41 + 1,93 + 1,93 + 2,32 + 3,86 + 5,80 + 37,67 − 144 = 52,55 − 144 = −91,45 Den forventede gevinst udregnes således: I to ud af 440000 lodder vinder du 1 million 7 hundrede tusinde kr. Det giver en gennemsnitlig gevinst pr. lod på 7,73 kr. Således fortsættes udregningen gennem alle de forskellige gevinsttyper, og den samlede gennemsnitlige gevinst ﬁndes som summen af de enkelte bidrag. Den samlede gennemsnitlige gevinst pr. lod er derfor 52,55 kr. Formler – Matematikens sprog

I almindelighed udregnes det forventede udbytte pr. spil derfor ved hjælp af formlen: E (udbytte) =

∑p

gevinst

⋅ gevinst − indsats

Antal lodder

Gevinst

1700000 kr.

1062500 kr.

212500 kr.

85000 kr.

42500 kr.

17000 kr.

200

8500 kr-

1000

2550 kr.

16250

1020 kr.

422446

0 kr.

hvor vi altså udregner summen af alle de forventede gevinster for de forskelige gevinsttyper og til slut trækker indsatsen fra.

MateB_0.indd 34

25-07-2012 16:17:37

0. Hvad er matematik?

3.3 Sankt-Petersborg-paradokset Et klassisk problem inden for sandsynlighedsregning er det såkaldte Sankt-Petersborg-paradoks: En spiller kaster en mønt, og banken går med til at betale 2 kr. til spilleren, hvis spilleren får krone i første kast, 4 kroner, hvis spilleren først får krone i andet kast osv., således at gevinsten bliver fordoblet, hver gang udfaldet krone lader vente på sig. Spørgsmålet er så: Hvad vil være en rimelig indsats for spilleren i dette spil? Rent matematisk spørger vi: Hvad er den matematiske forventnings-værdi for gevinsten i dette spil? Og på den baggrund, hvad er så en rimelig indsats for en spiller i dette spil? Spillet optræder første gang i sandsynlighedsregningens historie i 1738. Diskussionen udsprang af en korrespondance mellem den schweiziske matematiker Nicolaus Bernoulli (1687-1759) i Basel – og den franske matematiker Pierre Remond de Montmort (1678-1719) i Paris. Senere kom også brevvekslinger med Gabriel Cramer (1704-1752) og Daniel Bernoulli (1700-1782) til, og i 1738 blev problemet endeligt løst. Bernoulli familien Nicolaus 1623-1708

Jacob(I) 1654-1705

Nicolaus 1662-1716

Johann(I) 1667-1748

Nicolaus(I) 1687-1759

Brødrene Montmort: Pierre var ophavsmand til en tidlig version af SanktPetersborg-paradokset.

Nicolaus(II) 1695-1726

Daniel(I) 1700-1782

Johann(II) 1710-1790

Johann(III) 1744-1807

Daniel(II) 1751-1834

Jacob(II) 1759-1789

Bernoullifamilien fra Schweiz: Ingen anden familie har produceret så mange berømte matematikere.

Nicolaus Bernoulli, der korresponderede med Montmort om problemer i hasardspil.

Daniel Bernoulli, der endeligt løste Sankt-Petersborgparadokset i 1738.

Montmort havde i 1708 skrevet bogen med titlen "Essay d'analyse sur les jeux de hazard", som Nicolaus Bernoulli var meget interesseret i, herunder specielt Montmorts Problem 5 på side 402, der beskriver Sankt-Petersborg Spillet i en meget tidlig version. Brevvekslingen begynder allerede i 1713, hvor Nicolaus Bernoulli stiller en række spørgsmål til Montmort.

MateB_0.indd 35

25-07-2012 16:17:39

Øvelse 0.21 Vi vil senere i denne bogs kapitel 10 vende tilbage og se på brevvekslingen, som førte frem til dette problem, som skal vise sig at ende i et sært paradoksalt problem. ... 5. kast 1/2 4. kast

Sandsynlighed = 1/32 Gevinst = 32 kr. 1/2 Sandsynlighed = 1/16 Gevinst = 16 kr.

1/2

Vi vil nu undersøge problemet med et simpelt tælletræ. Med et tælletræ kan man tælle sig frem til sandsynligheden for et givet udfald af spillet. I hvert nyt kast er der mulighed for plat eller krone med samme sandsynlighed. Hvis det bliver krone stopper spillet. Ellers fortsætter det. Ethvert af de mulige udfald ender altså med en krone i sidste kast, og for at ﬁnde sandsynligheden skal vi gange de enkelte sandsynligheder på vejen gennem træet sammen. Sandsynligheden for at få krone i 3. kast er således:

1/2 Sandsynlighed = 1/8 Gevinst = 8 kr. 1/2

3. kast 1/2

Sandsynlighed = 1/4 Gevinst = 4 kr.

2. kast 1/2 1. kast

1/2

Sandsynlighed = 1/2 Gevinst = 2 kr.

1/2

PLAT

KRONE

1 1 1 1 ⋅ ⋅ = 2 2 2 8

Forestiller vi os nu, at spilleren får plat i de første n – 1 kast efterfulgt af krone i det n'te 1 1 1 1 1 1 n 1 kast, så vil sandsynligheden for dette udfald være: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 = n , hvor n 2 er et positivt helt tal.

()

Ser vi nu på gevinsterne, som fordobles hver gang vi undgår at kaste krone, vil udviklingen være følgende: Tabelrepræsentation

Krone i kast nr.

Sandsynlighed

1 2

1 1 ⋅ 2 2

1 1 1 ⋅ ⋅ 2 2 2

1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2

1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2

… n …

Gevinst i kr. 2

( 21 )

1 4

1 23

1 8

( 21 )

1 24

1 16

( 21 )

1 2

( 21 )

2 · 2 = 22 = 4

2 · 4 = 2 · 2 2 = 23 = 8

1 32

… 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2

…

2 · 8 = 2 · 2 = 2 = 16

2 ·16 = 2 · 24 = 25 = 32 …

... ⋅ 21 ⋅ 21 =

( 21 )

1 n

2 · 2n–1 = 2n …

MateB_0.indd 36

25-07-2012 16:17:40

0. Hvad er matematik?

Ser vi på den graﬁske repræsentation, så fremgår det måske endnu mere klart, at sandsynlighederne ret hurtigt bliver meget små, svarende til at gevinsterne ret hurtigt bliver meget store:

Graﬁsk repræsentation

1200 0,6 1000

0,4

Gevinst

Sandsynlighed

0,5

0,3

800 600

0,2

400

0,1

200

0,0

0 0

5 6 7 Antal kast

Hvis vi så udregner den forventede gevinst af spillet, så får vi følgende regnestykke: 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 22 2 4

+ 1 ⋅ 23 + 1 ⋅ 24 + 1 ⋅ 25 + ... + 1n ⋅ 2n + ... = 8

1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 + 1 ⋅ 8 + 1 ⋅ 16 + 1 ⋅ 32 + 2 8 16 32 4

... + 1n ⋅ 2n + ... = 2

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... Denne række af 1-taller fortsætter jo i det uendelige, og ved at lægge tilstrækkeligt mange 1-taller sammen, så kan man opnå et tal, der er større end ethvert andet tal. Det er i sig selv indlysende, og derfor er den matematiske forventning til gevinsten ved spillet en gennemsnitlig gevinst pr. spil på uendeligt mange kroner. Men så er en fair pris for dette spil en uendelig stor indsats! Det betyder paradoksalt nok samtidigt, at ligegyldigt hvor stor en indsats spilleren tilbyder banken at spille for, så vil banken mene, det er for lidt! Med en forventning om uendelig rigdom – hvad skal da indsatsen være? Og kan et sådant spil overhovedet være fair? Giver det fx reelt nogen mening at udregne forventningsværdien: E=

∑p

vinder

⋅ gevinst − indsats = ∞ - ∞ = ?

Lad os starte med at fastslå, at det ikke som sådan er de uendeligt mange muligheder for at afslutte spillet, der er problemet. Fx kan vi nemt kontrollere, at summen af sandsynlighederne er 1, sådan som vi må forvente det: 1 2

1 4

1 8

+ ... = 1

MateB_0.indd 37

25-07-2012 16:17:40

Det fremgår fx af en ﬁgurbetragtning, hvor vi bliver ved med at halvere et linjestykke med længden 1. Summen af linjestykkerne vil da svare til hele linjestykket, som er 1. Dette er netop den ovenstående uendelige sum.

1 1 2

1 4

1 8

1 16

Hvordan ville situationen være, hvis vi ændrede Sankt-Petersborg-spillet til, at banken ikke fordoblede beløbet, men betalte en krone mere, for hver gang udfaldet krone lod vente på sig, dvs. 1 krone, hvis spillet slutter efter første kast, 2 kroner, hvis spillet slutter efter andet kast, 3 kroner, hvis spillet slutter efter tredje kast osv.

Øvelse 0.22 a) Opstil et tælletræ som det ovenstående, og bestem såvel sandsynligheder som gevinster for hvert af de mulige udfald af spillet: Krone efter første kast, krone efter andet kast, krone efter tredje kast osv. b) Overfør tælletræet til et regneark, og giv et skøn over den forventede gevinst, idet du inddrager fx op til 10 kast, op til 25 kast, op til 50 kast i dit skøn. c) Hvad er en fair indsats i dette spil?

Et beslægtet spørgsmål til den forventede gevinst kunne nu være at ﬁnde det forventede antal kast. I halvdelen af spillene afsluttes spillet efter det første kast. I en fjerdedel af spillene afsluttes det efter andet kast. I en ottendedel af spillene afsluttes spillet efter det tredje kast osv. Det forventede antal kast er derfor givet ved: 1 1 1 1 ⋅ 1 + ⋅ 2 + ⋅ 3 + ⋅ 4 + ... = 2 4 8 16

Fra den foregående øvelse skulle du have en god fornemmelse for hvad summen er, men hvordan ﬁnder man den? Uendelige summer af denne type var netop noget, man legede med blandt de samme matematikere, som diskuterede spillene så lidenskabeligt. Her er et typisk trick, de kunne bruge til at udregne summen med – se ﬁguren på næste side: 1 1 1 1 ⋅ 1 + ⋅ 2 + ⋅ 3 + ⋅ 4 + ... 2 4 8 16 1 2

1 4

1 8

1 16

+ ...

1 4

1 8

1 16

+ ...

1 8

1 16

+ ...

1 16

+ ...

De to kvarte skrives nedenunder hinanden, de tre ottendedele skrives nedenunder hinanden osv.

MateB_0.indd 38

25-07-2012 16:17:41

0. Hvad er matematik?

1 + 1 2

+ 1 4

+ 1 8

1 +

1 =

+ ...

Den fĂ¸rste rĂŚkke giver, som vi lige har set, 1. 1 I den anden rĂŚkke mangler 2 , sĂĽ den giver 1 kun 2 . 1 I den tredje rĂŚkke mangler ydermere 4 , sĂĽ 1 den giver kun 4 osv. 1 1 1 Den samlede rĂŚkker er altsĂĽ 1 + + + + ... , 2

men det er netop 1+1, dvs. 2.

Den forventede gevinst er altsĂĽ kun 2 kr., hvorfor en fair indsats i dette tilfĂŚlde netop er 2 kr.

Men kan det virkelig betale sig at spille en uendelig stor indsats pĂĽ et spil af Sankt-Petersborg-typen, hvor den forventede gevinst er uendelig stor? Nej, det kan det naturligvis ikke! Uanset hvilket belĂ¸b, spilleren vinder, vil det vĂŚre en begrĂŚnset sum penge â&#x20AC;&#x201C; medmindre spillet fortsĂŚtter for evigt ved, at spilleren bliver ved med at slĂĽ plat, og i dette tilfĂŚlde vinder en uendelig sum penge, som han dog er nĂ¸dt til at vente uendelig lang tid pĂĽ at fĂĽ! SĂĽ det er altsĂĽ dumt at betale en uendelig stor indsats for at spille! Af ovenstĂĽende fĂ¸lger ogsĂĽ, at lige meget hvor stor en endelig indsats, man vĂŚlger at gĂĽ ind i spillet med, sĂĽ vil den altid vĂŚre mindre end den gevinst, man kan forvente at opnĂĽ! Spillerens chance for at fĂĽ en stor gevinst er selvfĂ¸lgelig meget lille, men for nogle er gevinsten mĂĽske sĂĽ stor, at det kompenserer for den lille chance, der er for succes.

8 16

1 ...

8 16

1 16

8 1 16

Betragter vi spillet som et praktisk problem, sĂĽ er de summer, der indgĂĽr, begrĂŚnset af to faktorer, som den matematiske model slet ikke tager i betragtning: s $EN STÂ&#x2019;RSTE GEVINST SOM BANKEN RENT FAKTISK KAN BETALE s (VOR LANG TID DER ER TIL RĂ?DIGHED TIL AT SPILLE SPILLET n HÂ&#x2019;JST EN MEN neskelig levetid.

...

Figuren viser et puslespil i form af et rektangel med arealet 2, der opdeles i den uendelige sum 1 1 + 2â&#x2039;&#x2026; 2 4

1 8

+ 3â&#x2039;&#x2026; + 4â&#x2039;&#x2026;

1 16

+ ...

Desuden foranlediger problemet nogle mere ďŹ losoďŹ ske overvejelser: s (VOR RIMELIG ER DEN MATEMATISKE FORVENTNINGSVÂ?RDI TIL GEVINSTEN for spillet, nĂĽr spilleperioden er langt lĂŚngere, end nogen spiller rent faktisk vil kunne spille i? s 2ISIKOVURDERING ER MEGET MERE NUANCERET END DEN RENE MATEMA tiske beregning af spillets forventede gevinst, og nuancerne i en sĂĽdan vurdering er sĂŚrdeles vigtige, nĂĽr gevinsten (eller tabet) er meget stor, og sandsynligheden for gevinst er meget lille.

MateB_0.indd 39

25-07-2012 16:17:41

Øvelse 0.23 a) Opret i dit regneark en liste med de to udfald: 0 for "Plat" og 1 for "Krone". b) Opret en liste med hundrede tilfældige møntkast trukket fra udfaldene – eller tusinde osv. I praksis er vi nødt til at afskære spillet til et endeligt antal gange, når vi simulerer på det i et regneark. c) Opret en liste hvor celle nr. n er summen af udfaldene af alle møntkast fra nr. 1 til nr. n. Overvej, at antallet af nuller i denne liste netop giver det antal platter, der slås før den første krone! d) Du kan nu ﬁnde ud af, hvor mange kast det faktiske spil brugte ved at lægge 1 til antallet af plat i starten. e) Gennemfør en simulering af spillet 1000 gange, idet du opsamler antallet af kast i hvert enkelt spil. Tegn et histogram over antallet af kast i de 1000 simuleringer. Hvad er det gennemsnitlige antal gange, der kastes med mønten? f) Samme spørgsmål for gevinsten!

På hjemmesiden kan du også hente en animation af Sankt-Petersborg-spillet. Analyse af Sankt-Petersborg-spillet med loft over banken Hvis man bliver tilbudt en fifty-fifty chance for at vinde 2 kr., så er chancen rimeligvis 1 kr. værd, svarende til halvdelen af de 2 kr. En indsats på 2 kr. vil være overkommelig for de fleste – man bliver ikke ruineret, og man er sikker på, at banken faktisk kan betale gevinsten, hvis man vinder. En indsats på flere millioner ville ruinere de fleste og sandsynligvis også sprænge banken i tilfælde af gevinst! Vi vil se på, hvad spillet er værd for spilleren, når vi tager hensyn til, hvad banken rent faktisk kan betale. Banken har jo ikke "uendeligt mange penge", og vi vil derfor antage, at banken har m endeligt mange penge, nemlig 2 kr. Ser vi nu igen på den matematiske forventning til spillet, så sker der det, at hvis spilleren først kaster krone i et senere spil end det m´te spil, så vil gevinsten ikke længere kunne fordobles, fordi banken jo ikke har flere penge m end de 2 kr., som er gevinsten ved krone i det m'te kast. Den forventede gevinst kan da beregnes ved: 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 + 1 ⋅ 8 + 1 ⋅ 16 + 1 ⋅ 32 + 2 8 16 32 4 1

... + 1m ⋅ 2m + m1+1 ⋅ 2m + m1+2 ⋅ 2m + m1+3 ⋅ 2m + ... =

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + m+1 ⋅ 2 + m+2 ⋅ 2 + m+3 ⋅ 2 + ... =

2 2 2 m

m gange

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 + 12 + 13 + ... =

2 2 2 m gange

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 + 1 + 1 + ... =

2 4 8 m gange

m +1

MateB_0.indd 40

25-07-2012 16:17:42

0. Hvad er matematik?

Det sidste lighedstegn fremkommer af, at vi jo ved, at 1+ 1 2 4

+ 81 + ... = 1.

På denne måde bliver spillets værdi ikke "uendeligt mange penge", men i stedet netop m + 1 kr. Opstiller vi en tabel over forskellige scenarier for bankens midler (bankens endelige mængde af penge), får vi den til højre:

0 1 2 4

Dvs. i denne situation er svaret på det indledende spørgs mål, at det i almindelighed ved spil mellem venner vil være ret risikabelt at satse mere end 11 kr. i dette spil, fordi ens venner nok kunne betale gevinsten på 1024 kr., men næppe ville være villig til at betale en gevinst på 4000 kr. eller mere. Men forestiller vi os, at vi møder en professionel gambler, som nok ville være mindst 65000 kr. værd, så ville en indsats på 17 kr. nok være passende. En indsats på omkring 30 kr. er spillet mildest talt ikke værd i nogen sammenhæng, fordi hvilket kasino ville kunne udbetale en gevinst på over 1 mia. kr.?

Spillets værdi for spilleren = m +1

Bankens midler i kr.

6 8

20 =1

2 =2 2 =4 2 =16 2 = 64 2 = 256 10

2 =1024

212= 4096

14 16 30 32

2 =16384 2 = 65536 30

2 =1073741824 32

2 = 4,3 · 10

31 33

4. Projekter På hjemmesiden ligger der en række projekter, der knytter sig til kapitel 0. På hjemmesiden ligger yderligere særlige studieretningskapitler med oplæg til samarbejde mellem studieretningsfagene, samt kapitel 10, Matematik og kultur, med materialer og projekter, der kan anvendes i et samarbejde mellem humanistiske fag eller i selvstændige forløb.

MateB_0.indd 41

25-07-2012 16:17:42

Hvad er matematik? gĂ¸r matematikken levende og vedkommende gennem fortĂŚllinger, eksempler, opgaver, projekter og studieretningskapitler. Kapitlerne indledes med fortĂŚllinger fra fortid og nutid, hvor matematik har spillet en rolle. De afrundes med en rĂŚkke detaljerede projektoplĂŚg. Den matematiske teori er grundigt behandlet og bringes i spil i mange anvendelser og med omfattende inddragelse af matematiske vĂŚrktĂ¸jsprogrammer.

i-bogenÂŽ

studieretningskapitler til: â&#x20AC;&#x201C; matematik-kultur â&#x20AC;&#x201C; matematik-fysik â&#x20AC;&#x201C; matematik-kemi â&#x20AC;&#x201C; matematik-biologi â&#x20AC;&#x201C; matematik-samfundsfag Skrevet af: Michael Olesen Dorthe Agerkvist (mat-fys) Keld Nielsen Birgit Andresen (mat-kemi)

B-bogens emnefelt: Polynomier og trigonometriske funktioner, differentialregning, integralregning og vĂŚkstmodeller, sandsynlighedsregning og binomialfordelinger, random walk og normalfordelinger.

Anne Krarup Peter Wulff Susanne HĂ¸jte (mat-bio) Christina Blach Hansen Per Henriksen (mat-samf)

www.lru.dk

Hvor meget vind kan vi hĂ¸ste?

DiďŹ&#x20AC;erentiation med tretrinsreglen

Fourieranalyse

DiďŹ&#x20AC;erentialligninger pĂĽ brugerniveau

FigentrĂŚer og fraktaler

Tidevandets musik

Ballistik â&#x20AC;&#x201C; matematikken gĂĽr i krig

Sct Petersborg paradokset

Pascals trekant

System Dynamics

Sandsynlighedsregning

Cirklens kvadratur

Integralregning â&#x20AC;&#x201C; sĂĽdan bestemmes arealer

Keglesnit

StikprĂ¸ver og binomialtest

SommerfugleeďŹ&#x20AC;ekten

Optimeringsproblemer

Bezierkurver

V2 bomberne over London

Logistisk vĂŚkst

Wilhelm Johannsens arvelighedslĂŚre

Harmoniske svingninger

Tredjegradspolynomier

SĂĽdan bestemmes monotoniforhold

Random walk og normalfordelingen

Regnbuen

Parabler og andengradsligninger

ISBN 978-87-7066-494-3