Kernestof c 3 udg by Alinea

Af Per Gregersen & Majken Sabina Skov

Kernestof Mat C Lindhardt og Ringhof

KERNESTOF MatC Per Gregersen & Majken Sabina Skov © 2017 Lindhardt og Ringhof Uddannelse, København – et forlag under Lindhardt og Ringhof Forlag A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Jan Krogh Larsen Billedredaktion: Ane Olsen Principlayout og omslag: andresen design Grafisk tilrettelægning: Schnalke Kommunikations-Design Tryk: Livonia Print 3. udgave 1. oplag 2017 ISBN 978 87 7066 835 4 www.lru.dk

Indhold

Forord 4

1. Modeller og variable Ligninger og deres løsninger Overslagsregning og principskitser Modeller med to variable Opgaver til kapitel 1

6 8 10 12 14

2. Lineære funktioner 18 At beregne a og b i forskriften f(x) = ax + b 22

Lineære modeller Lineær regression Lineær regression og residualplot Teori om de lineære funktioner Opgaver til kapitel 2

3. Statistik Diagrammer for ikke-grupperede observationer

24 26 28 30 32

Kvartilsæt for ikke-grupperede observationer Boksplot Grupperede observationer Diagrammer for grupperede observationer Kvartilsæt for grupperede observationer Opgaver til kapitel 3

42 43 44 46 48 49 50

Facitliste

Forord Denne bog præsenterer den første del af matematikken på den gymnasiale uddannelse stx. Den kan bruges alene på C-niveau, eller som første del af undervisningen på B- og A-niveau.

Matematik i opslag Sideopslagene indledes med en kort case, der introducerer det nye område med fokus på anvendelser, og indeholder teori, eksempler og øvelser. Der er facitliste til alle øvelser bagerst i bogen. I mere end 100 screencasts uddybes forklaringerne til begreber, eksempler, formler, sætninger og beviser. Efter hvert kapitel er der opgaver der følger kapitlets og bogens progression.

At forstå matematik Alt, hvad man forsøger at lære, bliver forstået, ved, at hjernen kobler det nye stof til de begreber, den allerede kender. Forståelse er knyttet til hjernens netværk af nerveceller. Hjernen har 125 milliarder nerveceller, der hver er forbundet til 10.000 andre. Når man forstår noget, er der skabt forbindelser mellem hjernecellerne. Hvad skal der til, for at hjernen kan danne disse nye forbindelser mellem de enkelte nerveceller – altså for at man forstår nye ting i matematik? Det er sådan set nemt nok, for det sker ubemærket, mens man kæmper med at bruge det nye begreb på alle mulige måder, tænker over det, prøver det af i alle mulige forbindelser og situationer og tager noter, laver et minilex, regner øvelser og opgaver, forklarer ting til andre i små oplæg eller snakker med em om begreber og opgaver. Stille og roligt hæfter begrebet sig fast de rigtige steder og danner forbindelse til andre relevante begreber.

To typer forståelse Lad os se på de to grundlæggende typer forståelse instrumentel forståelse og relationel forståelse. Instrumentel forståelse er en forståelse, hvor man (kun) ved, hvad man skal gøre for at løse en given problemstilling, men ikke rigtigt, hvorfor det virker. Den indledende forståelse af et nyt emne/matematisk område vil ofte være instrumentel. Forståelsen er ikke særlig dyb, fordi det nye stof (endnu) ikke er koblet til så mange andre begreber. Man genkender måske x + 2 = 3 som "en ligning", men er usikker på, hvad en ligning egentlig er. Man tænker, at nu skal man det der med at "trække over på den anden

Forord

side", og tager så 2-tallet og flytter over på den anden side, og skifter fortegn – sådan er reglen jo. Og der skrives fx: x + 2 = 3, derefter: x = –2 + 3, derefter: x = 1 Relationel forståelse er en forståelse, hvor man har fundet ud af, hvordan ting hænger sammen. Fx at x + 2 = 3 udtrykker en balance mellem to talstørrelser. Man ved nu, at det der med at "trække over på den anden side" er rent vrøvl! Det, der sker, er i virkeligheden, at man trækker 2 fra på begge sider, fordi man derved ikke forstyrrer balancen, samtidigt med at man får isoleret x på den ene side. Man skriver måske nøjagtigt det samme ned på papiret, som man gjorde tidligere, men nu med en dybere forståelse. Man ville nu kunne argumentere for metoden, hvis man blev spurgt.

Gå efter den relationelle forståelse Der er mange fordele ved at opbygge en relationel forståelse af matematik. Blandt andet er det smart at kunne forklare andre (en kammerat, en lærer – eller en censor ...), hvordan en bestemt metode virker. Den største fordel er dog, at en relationel forståelse gør det lettere at koble nye begreber på netværket – og dermed lettere at lære nyt stof. Gamle og nye elementer kan så indgår i en sammenhæng, der giver mening. Hvilken bogstavrække tror du for eksempel, du bedst vil kunne huske?   • "aekljtgjkltvtbtwertbrt" • "prøvathuskedetteher" Den effektive måde at skabe stærke forbindelser mellem begreber er ved aktivitet. Så man skal spørge, svare, forklare, regne, tegne og bruge masser af krussesdullepapir, hvor tankerne flyder, mens man skriver og tegner, hvad man mener, opgaven går ud på. Krussedullepapiret smides ud, når man har forstået det, man skulle. Krussedullepapiret er et frirum, hvor man kan udtrykke sig mere kreativt end på computeren, og man kan med fordel tænke i at have begge dele klar, når der skal arbejdes med matematikken. Nye begreber sidder ikke ordentlig fast, hvis du kun lytter eller læser. Du skal være i målrettet aktivitet. God fornøjelse med bogen. Majken og Per

Forord

1. Modeller og variable

1 Introduktion

Der skal købes is til en klasse.

Hvis der er 30 elever, og stykprisen er 25 kr. bliver udgiften 30 · 25 kr. = 750 kr.

Hvis der er n elever, bliver udgiften i kr. n · 25.

Udgift i kr. = 25 · n

Bogstavet n er her brugt som variabel for antal elever. En variabel er en størrelse, som kan antage forskellige værdier Ved at indføre en variabel kan vi nu regne på forskellige muligheder.

2 Eksempel En elev har 300 kr. og vil give is, der koster 12 kr. pr. styk. Hvor mange må der højst være i klassen, den dag isen skal købes? Variablen n betegner antal elever: 12n = 300

Her er ligningen løst i Geogebra. Det ses at løsningen er 25.

Altså må der højst være 25 elever i klassen.

3 Eksempel En lærer vil give is til 15 kr. pr. styk. til de elever der kommer til tiden en mandag morgen. Hvad vil det koste? Igen lader vi n stå for antal elever, og formlen til beregning af udgiften i kr. er: 15 · n = udgift. Her er udgiften i kr. udregnet for forskellige værdier af n n

udgift

240

255

270

285

300

315

330

345

360

375

390

405

420

435

450

For at kunne regne på sammenhænge fra virkeligheden indføres variable, og herefter beskrives deres sammenhænge med symbolsprog. I matematikken bruger man nogle gange bogstavet n som variabel, når det tal, som n betegner, er et helt tal. I eksemplerne har n stået for et helt antal elever og et helt antal år. De hele tal er tallene (…, –2, –1, 0, 1, 2, …) og denne talmængde har symbolet Z. I arbejdet med ligninger er det dog mere almindeligt at bruge bogstavet x som pladsholder. Talmængden bestående af alle tal kaldes ”de reelle tal”, og symbolet er R.

1. Modeller og variable

4 Eksempel En 1.g’er er 15 år og vil holde en rund fødselsdag sammen med sin 6 år ældre bror. Hun indfører nogle variable og opstiller en sammenhæng for at finde ud af hvor gammel hun vil være, når de fylder 40 år tilsammen: Hendes egen alder benævnes x. Hendes brors alder er dermed x + 6. Deres samlede alder er x + x + 6 = 2x + 6 Hun sætter nu 40 lig med 2x + 6 (som var deres samlede alder). Og løser ligningen 40 = 2x + 6 Vi ser, at løsningen er x = 17. De må altså vente til 1.g’eren er 17 år.

5 Den matematiske modelleringsproces Det er en god ide at lade x betegne den størrelse, man skal bestemme.

Problemstilling

Matematisk beskrivelse

I eksempel 4 var problemstillingen at be-

’ligning med x'

stemme 1.g’erens alder, derfor betegnede vi hendes alder med x. Herefter skal de øvrige oplysninger udtrykkes ud fra x.

Tolkning af x i forhold til problemstillingen

Matematisk løsning ’talværdi af x’

6 Øvelse En elev har 240 kr. og vil give is i en klasse, hvor der er 32 elever. a. Opstil en ligning, der kan bruges til at finde ud af, hvad isene må koste. b. Løs ligningen.

7 Øvelse En person har en 4 år ældre storesøster. Hvor gammel er søsteren, når: a. Personen er 15 år. b. Personen er n år?

8 Øvelse Din hund er 8 år yngre end dig, og du overvejer at fejre jeres ”tilsammen 30 års fødsesdag”. a. Indfør en variabel for din alder målt i år. b. Udtryk hundens alder ud fra variablen. c. Udtryk summen af jeres aldre og forkort udtrykket, så variablen kun optræder et sted. d. Opstil en ligning og løs den. e. H vor gammel er du, og hvor gammel er hunden, når I kan fejre 30-årsfødselsdag sammen?

1. Modeller og variable

Ligninger og deres løsninger

9 Introduktion

Disse to kvinder er i perfekt balance. Et matematisk lighedstegn udtrykker også en perfekt balance.

10 Definition Et lighedstegn er et symbol ’=’, der viser, at talstørrelserne på hver side af tegnet er ens. En ligning er to talstørrelser skrevet på hver sin side af et lighedstegn. Talstørrelserne kan være sammensat af tal og bogstaver. Typisk bruges et x for en ubekendt. En løsning er et tal, der gør ligningen sand, når det indsættes for x.

11 Eksempel 2x = 10 er en ligning, der er nemlig et lighedstegn og talstørrelser på hver side. Ligningen har løsningen 5. Det kan påvises ved at indsætte 5 på x’s plads og kontrollere, om lighedstegnet kommer til at passe: 2 · 5 = 10 10 = 10 Begge sider af lighedstegnet er nu lig med tallet 10, ligningen er sand, og det er vist, at 5 er en løsning. I eksempel 11 blev det påstået, at tallet 5 var en løsning, og det blev kontrolleret at det var sandt. Denne metode har en række ulemper: Det kan nemlig være svært at gætte en løsning, og der kan være flere løsninger end den gættede. For at finde frem til en løsning på en mere sikker måde, kan man omforme ligningen ved at bruge regneoperationer, bare man bruger de samme på begge sider af lighedstegnet.

12 Eksempel Vi løser ligningen 3x + 8 = –x – 4 3x + x + 8 = –x + x – 4

x er lagt til på begge sider

4x + 8 = -4

Ligningen er reduceret

4x + 8 – 8 = –4 – 8

8 er trukket fra på begge sider

4x = –12

Ligningen er reduceret

4 x −12 = 4 4

Begge sider er divideret med 4

x = –3

Løsningen er altså –3

Man kan også løse ligninger grafisk ved at indtegne dem i et koordinatsystem.

1. Modeller og variable

13 Eksempel

7 6

Løsningen på ligningen 2x – 3 = 5 findes ved at aflæse x-værdien til

skæringspunktet mellem linjen y = 5 og linjen y = 2x – 3.

Det ses, at graferne skærer i x = 4. Så x = 4 er løsning til ligningen

2x – 3 = 5

2 1 –1 0 –1

0 1

7 x

8 x

Som vi har set tidligere, kan ligninger også løses ved hjælp af et Computer Algebra System hvilket forkortes CAS. Der er flere forskellige CAS-programmer, og deres skrivemåder (syntax) er lidt forskellige.

14 Eksempel Ligningen 2x + 14 = 2 – 4x kan løses således i programmet Geogebra. Ligningen kan også løses med kommandoen "solve".

15 Øvelse a. Vis, at x = 2 er en løsning til ligningen 4x = 8. Argumenter som i eksempel 11. b. Vis, at x = 5 ikke er en løsning til ligningen 4x = 8

16 Øvelse Løs ligningerne ved omformning og derefter i CAS. a. 4x – 2 = 18 b. 1 + 4x = 2 + 3x c. 3x + 1 = 2x

17 Øvelse På figuren ses graferne for y = –0,5x + 4 og y = x + 1

a. Aflæs løsningen til ligningen –0,5x + 4 = x + 1

7 6

b. Kontroller ved indsættelse, at løsningen er rigtig.

5 4

18 Øvelse

a. Opskriv en ligning, der har tallet 3 som løsning.

2 1 0 –1

0 1

1. Modeller og variable

Overslagsregning og principskitser 19 Introduktion H vor meget væske indtager du på et helt liv? Det er svært at beregne helt præcist, men vi kan lave en overslagsberegning: • Væskeindtag = dagligt indtag · antal levedage. • Dagligt indtag: 2 liter. • Der er 365 dage på et år og 36500 dage på 100 år. Dette afrundes til 35000 dage. Væskeindtag = 35 000 dage · 2 liter pr. dag = 70 000 liter. Overslagsregning handler om at regne sig frem til et kvalificeret gæt på størrelsen af noget uden at have adgang til hjælpemidler. Man kan strukturere processen ved at: • vælge nogle størrelser, som man mener, svaret afhænger af.   • bygge en formel, som viser, hvordan man skal regne med disse størrelser.   • gætte kvalificeret på nogle afrundede værdier af hver størrelse.   • beregne et cirka-svar på spørgsmålet.   • v urdere svaret: Virker cirka-svaret fornuftigt i forhold til spørgsmålet, eller skal formlen og/eller nogle af de kvalificerede gæt på talværdierne laves anderledes?

20 Eksempel Hvor lang tid tager det at tælle til 1 milliard? Vi vil vurdere, hvor mange tal der kan tælles pr. time, og hvor mange timer om dagen man kan tælle. • Det tager omkring 6 sekunder pr. tal, så man kan nå 10 pr. minut og dermed 600 pr. time. • Vi regner med, at man kan tælle 10 timer hver dag. Antal tal pr. dag = 10 timer · 600 tal pr. time = 6 000. Der er cirka 1 000 dage på 3 år, så der kan tælles 1 000 · 6 000 = 6 000 000. Det vil sige, at man kan nå 600 mio. tal på 300 år, og så er vi kun lidt over halvvejs. Et menneske kan altså ikke nå at tælle til 1 milliard på et helt liv. I de to indledende eksempler er der truffet en lang række valg, som indvirker på beregningerne. Usikkerhedsvurdering Det er relativt let at give et bud på usikkerheden ved en overslagsberegning. Eksempelvis kan man regne casen igennem med let ændrede tal.

1. Modeller og variable

21 Eksempel I modellen for, hvor lang tid det tager at tælle til 1 milliard, kan vi ændre tælletiden pr. tal. Måske tælles der hurtigere eller langsommere end 6 sek. pr. tal.? Husk at 90 % af tallene er større end 100 000 000. Prøv selv at tælle et minut, hvor du starter ved 143 736 415 (et hundrede tre og fyrre millioner syvhundrede seks og tredive tusind fire hundrede og femten). Måske mener du, at man ikke kan tælle 10 timer nonstop pr. dag 7 dage om ugen, og vil indføre lidt pauser og ferier osv. Principskitser En principskitse viser en overordnet sammenhæng mellem nogle størrelser.

22 Eksempel I økonomien taler man ofte om udbuds- og efterspørgselskurverne. Bemærk at mængde er afsat ud ad 1.aksen og pris op ad 2.aksen. Lad os se nærmere på

Pris

udbudskurven U, som er den røde opadgående kurve på figuren. Kurven skal ikke aflæses præcist – den viser en principiel sammenhæng: ”jo højere pris – jo større udbud”. Antal

23 Eksempel Kurven viser sammenhængen mellem levetid og højde for et menneske. På tidspunktet 0 fødes vi med en given længde. Herefter stiger højden, efterhånden som

Højde

tiden går, og på et tidspunkt omkring gymnasietiden stopper højdevæksten. I alderdommen falder man lidt sammen.

24 Øvelse a. Regn væskeindtaget fra eksempel 19 igennem med nogle antagelser du

Tid

mener også godt kunne være rigtige, og beregn den absolutte forskel på dine tal og eksemplets tal (dvs. forskellen i liter). Denne forskel er et godt bud på usikkerheden i beregningen.

25 Øvelse Tegn principskitser for: a. Sammenhængen mellem vægten og levetiden for et menneske. b. Årslønnen og levetiden.

26 Øvelse a. Giv et argument for, at den blå efterspørgselskurve er nedadgående.

27 Øvelse a. Hvor lang tid tager det at gå 5 kilometer? b. Hvor mange skridt tager man, når man går 1 kilometer? c. Hvor lang tid tager det at køre 5 kilometer gennem en by?

1. Modeller og variable

Modeller med to variable 28 Introduktion En person drømmer om at åbne en cafe. Han starter med at arbejde hos en ven, og han får 15 kr. pr. kop kaffe, han sælger. Hans indtægt pr. dag er en funktion af hvor meget han sælger pr. dag. Sælger han 20 kopper, tjener han 300 kr.: 20 · 15 kr. = 300 kr. Vi kunne have lavet en principskitse for, hvordan hans indtjening ville stige for hver kop, han solgte. Nu vil vi imidlertid beskrive mere præcist, hvordan to variable afhænger af hinanden. Vi starter med at se på de variable, der er i spil i cafe-eksemplet.

29 Eksempel Vi indfører to variable: x betegner det antal kopper, han sælger pr. dag. y betegner hans samlede indtægt i kr. pr. dag. x y I tabellen her har vi indsat en række valgte tal i x-kolonnen 0

– dvs. vi har udvalgt nogle forskellige antal solgte kopper,

for at regne på forskellige tilfælde.

5 10 50

Når x-værdierne er valgt, kan y-værdierne beregnes. 0 kopper: 15 · 0 = 0 1 kop: 15 · 1 = 15 5 kopper: 5 · 15 = 75, osv. x y 0

150

750

I tabellen her er y-værdierne sat ind.

Da der kun er én y-værdi til hver x-værdi, siger man, at ”y er en funktion af x”. Det kan man også skrive således: ”y = f(x)” Funktionen, der ligger bag tallene i tabellen, er altså y = f(x) = 15x eller blot f(x) = 15x

1. Modeller og variable

30 Definition En funktion er en sammenhæng mellem to variable størrelser: en uafhængig, som vi kalder x, og en, der afhænger af x, som vi kalder f(x) eller y. Sammenhængen beskrives med en regneforskrift, tabel, graf eller tekst. Til ét x må kun være ét f(x). Grafen for en funktion er mængden af punkter (x,y), der opfylder, at y = f(x). Det betyder, at en given y-værdi fremkommer som funktion af en x-værdi. Vi har allerede set tre repræsentationer af den samme funktion. Sprogligt: Værdien af y er 15 gange værdien af x. Med en regneforskrift: f(x) = 15x Med en tabel i eksempel 29. Den fjerde repræsentationsform – den grafiske – ser vi på nu. Vi minder først om et par ting ved koordinatsystemet. y-aksen

31 Definition

4 3

Et koordinatsystem består af to akser, en vandret (første-

2. kvadrant (– , +)

aksen) og en lodret (andenaksen). Normalt kaldes den vandrette akse x-aksen og den lodrette akse y-aksen.

-4

Akserne skærer hinanden i punktet (0,0), og akserne inddeler planen i fire kvadranter.

-3

-2

1. kvadrant (+ , +)

2 1 0

-1

-1 3. kvadrant (– , –) -2

0 1

5 x-aksen

4. kvadrant (+ , –)

-3

32 Eksempel

Til højre ses grafen for funktionen f(x) = 15x Bemærk, at enhederne på de to akser er valgt forskelligt – ellers bliver grafen meget stejl. 10

33 Øvelse a. Hvilke to kvadranter løber grafen igennem?

-1

-10

34 Øvelse En funktion har regneforskriften f(x ) = 3x a. Udfyld en tabel som den viste x f(x)

–1

35 Øvelse a. Tegn grafen for funktionen f(x) = 2x – 3 i et CAS-program.

1. Modeller og variable

Opgaver – 1. Modeller og variable

Opgave 101

Opgave 106

Et tal ganges med 3, og derefter trækkes der 2 fra,

I et andet vægtløft viste vægten 259 kg for Liao og

hvorefter det er lig 10.

jernet tilsammen. Jernet vejede 121 kg mere end

a. Kald tallet x og skriv ligningen op.

Liao. Sæt x = Liaos vægt.

b. Find tallet x.

a. Udtryk ved hjælp af x, hvor meget vægtene vejer. b. Udregn, hvor meget Liao vejer.

Opgave 102

c. Udregn, hvor meget han løftede.

H vis et bestemt tal ganges med 2,5 og der herefter lægges 4 til, så giver det 29.

Opgave 107

a. Bestem tallet.

5 små nødder og 10 g honning vejer 16 g i alt. a. Løs ligningen 5x + 10 = 16

Opgave 103

b. Hvad vejer en nød?

Halvdelen af et tal er dobbelt så stort som 3. a. Bestem tallet?

Opgave 108 a. Opskriv en ligning, der kan bruges til at finde

Opgave 104

den manglende sidelængde for hver af de fire

Antallet af gedekid i Skotland kalder vi x.

firkanter.

a. I Wales er der altid halvt så mange gedekid

x 1) 2)

som i Skotland. Skriv ved hjælp af x, hvor mange gedekid der er i Wales.

A = 16

8 x

A = 16

b. H vis der et år er 5.000.000 gedekid i Skotland, hvor mange gedekid er der så i Wales og Skotland tilsammen?

x 3) 4) 7

A = 41,3

90 x

A = 1 000

Opgave 105 b. Løs hver af de fire ligninger, du opstillede i opgave a., og kontroller, at resultatet passer med arealet.

Opgave 109 Olsens kolonihavehus er 56 m2. Den lange side måler han til 8 m. a. Opstil en ligning for ham, der kan beregne den På billedet ser vi Liao Hui, der repræsenterede Kina i en af mændenes lette vægtklasser ved Olympiaden 2008. Han løfter 190 kg i alt. Stangen og de

huset, undtagen foran døren, der er 1 m bred.

små vægtskiver yderst vejer tilsammen 40 kg.

Hvor langt skal han regne med, at hans rosen-

a. Der er 6 store vægtskiver. Hvad vejer hver af de store vægtskiver? b. Ligningen 6x + 40 = 190 beskriver situationen. Hvad står x for?

manglende sidelængde, og løs den. b. Olsen skal plante roser hele vejen rundt om

1. Modeller og variable

bed bliver? c. Olsen kommer i tanke om, at han allerede har et 12 m langt rosenbed i haven, som han vil flytte over langs huset. Med hvilken ligning

regner han ud, hvor mange meter rosenbed

Opgave 114

han skal købe planter til?

Hvis søslangen i Loch Ness er 40 m plus halvdelen

1) x – 12 = 30 – 1

af sin egen længde, hvor lang er den så?

2) x + 12 = 30 – 1

3) x – 1 = 30

Opgave 115 a. Hvilken talmængde tilhører

Opgave 110 Ole og Line tømmer deres lommer. Ole har 20 kr.,

Opgave 116

men Line har glemt at tælle sine penge. Tilsam-

a. Nævn et tal, der ikke tilhører de hele tal Z.

men har de 45 kr. a. Kald Lines penge for x og opstil en ligning.

Opgave 117

b. Beregn, hvor mange penge Line havde.

a. Hvilken sammenhæng er der mellem længden af en række mursten, og antallet af mursten man bruger?

Opgave 111 Antag, at Line havde 75 kr., og Ole havde 50 kr.

Opgave 118

a. H vor mange penge havde de haft tilsammen,

a. H vilken sammenhæng er der mellem arealet af

hvis Ole havde haft dobbelt så mange penge? b. H vor mange penge skulle Ole have haft, hvis deres samlede beløb skulle være 160 kr.? c. H vor mange penge mangler de for at have

en muret væg og antallet af mursten i den?

Opgave 119 a. H vilken sammenhæng er der mellem antallet af mursten i en stabel, og hvor mange kræfter man

160 kr.?

skal bruge på at lave stablen?

Opgave 112

Opgave 120 a. Definer begrebet ligning.

Opgave 121 Her er ligningen x + 4 = 6 løst: x+4=6 x + 4 – 4 = 6 – 4 x=2 Marco har en butik med håndlavede masker. Han har faste udgifter for 17.500 kr., og han sælger 200 masker om måneden. Han har brug for et over-

a. Forklar, hvad der sker i linjen med de røde tal,

og hvorfor.

b. Løs ligningen x + 3 = 5 på samme måde.

skud på 10.000 kr. om måneden. Hvad skal prisen

Opgave 122

på en maske være?

Her er ligningen 2x – 5 = 7 løst: 2x – 5 = 7

Opgave 113

2x – 5 + 5 = 7 + 5

Francesca bruger 3 dele mælk til en del kaffe. Hun

2x = 12

har 7 dl sødmælk i sin kande, og katten skal have 1

2x 12 = 2 2

dl mælk. Hvor meget kaffe kan hun lave?

x=6

1. Modeller og variable

Opgaver – 1. Modeller og variable

a. Forklar, hvad der sker i linjerne med de røde tal,

Opgave 128

Løs følgende ligninger:

og hvorfor.

b. Løs ligningen 6x +1 = 19 på samme måde.

a. x = 7 b. 2x = 14

Opgave 123

c. 3x = 21

Her er ligningen 2x = 4x – 10 løst:

d. x + 1 = 8

2x = 4x – 10

e. 2x + 2 = 16

2x – 4x = 4x – 4x – 10

f. 3x + 3 = 18

–2x = – 10 –2x –10 = –2 –2

x=5 a. Forklar, hvad der sker i linjerne med de røde tal,

Opgave 129 3 blommer og 85 g ost vejer 145 g i alt. a. Løs ligningen 3x + 85 = 145  b. Hvad vejer en blomme?

og hvorfor.

b. Løs ligningen 2x = x + 3 på samme måde.

Opgave 124 Et tal adderes 5 gange, og resultatet bliver 20. a. Løs ligningen x + x + x + x + x = 20 b. Løs ligningen 5x = 20

Opgave 125 Løs følgende ligninger: a. x + x + x + x = 8 b. 3x = 18 c. 7x – 4 = 3 d. 2x + x = 6

Opgave 130 En motorcykel pakkes med tung, russisk litteratur på 5 kg i den ene sidetaske. I den anden sidetaske skal der ligge en flaske sodavand på 1,5 kg og to lige store madpakker. Motorcyklen skal være i balance. a. Løs ligningen 5 = 1,5 + 2x b. Hvad skal hver af madpakkerne veje?

Opgave 131 Et containerskib lastes med 17 tons mejetærskere og 50 containere til styrbord. Til bagbord er der plads til 215 containere. Skibet skal være i balance.

Opgave 126

a. Løs ligningen 17 + 50x = 215x

x personer gik i biffen en lørdag aften. Billetprisen

b. Hvad skal hver container veje?

var 85 kr. Alle købte popcorn for 30 kr. a. Hvad udregnes med ligningen 85x = 850?

Opgave 132

b. Hvor mange gik i biffen, hvis de købte popcorn

a. Opskriv en ligning, hvor løsningen er 2,5.

b. Opskriv en ligning, hvor løsningen er –7.

for 30x = 420 kr.?

c. Hvad udregnes med udtrykket x(85 + 30) = 1150?

Opgave 127 Løs følgende ligninger: a. 2x + 3 = 4 b. 2x + 4 = 5 c. 2x + 5 = 6 d. 2x + 17 = 18

1. Modeller og variable

Opgave 133 Løs følgende ligninger: a. 9x – 1 = 17 b. 4x + 1 = 5 c. 6 = 3x – 6 d. 2x +1 = 7 e. 3 = 4x + 7

f. 8x – 5 = 19

Opgave 138

g. x + x + x + 7 = 13

Lav et oplæg, hvor du redegør for følgende ved

h. 21 – 5x = 6

hjælp af eksempler:

i. 40 – x = 60

a. B etydningen af et lighedstegn.

b. H vordan man løser en ligning ved hjælp af

Opgave 134

omformning.

Løs følgende ligninger:

c. Betydningen af begrebet en ubekendt størrelse x.

a. 4 + x = 5x

d. H vad ligninger kan bruges til.

b. x + 6 = 3x

e. Opstilling af ligninger som matematisk model-

c. 4x = x + 3

lering.

d. 5x – 2x = 12 e. 6x = 4x + 14

Opgave 139

f. 8x = 8 + 7x

Brug overslagsberegning til at svare på de følgen-

de spørgsmål:

Opgave 135

a. H vor mange på jeres undervisningshold har

Løs følgende ligninger:

fødselsdag i denne måned?

a. 4x + 10 = 2x + 4

b. H vor mange på jeres undervisningshold har

b. 11x + 13 = 17x + 1

fødselsdag i juleferien?

c. 2x + 9 = –x + 12

c. H vor mange kuglepenne er der i rummet til

Opgave 136

d. H vor mange penge tjener du i løbet af hele

jeres undervisningssessioner? Her er graferne for y = –x + 1 og y = –2x – 3

livet?

a. Aflæs løsningen til ligningen –x + 1 = –2x – 3 b. I ndsæt løsningen i ligningen og afgør, om du har læst rigtigt.

Opgave 140 Brug overslagsberegning til at svare på de følgende spørgsmål:

y 6

a. H vor mange penge bruger du i løbet af hele livet?

b. H vor mange timer bruger du på matematik i

4 3

løbet af hele livet?

c. Hvor mange elever kan der gå på din skole?

1 0 –5 –4 –3 –2

-1 0 1 –1

–2 –3

d. H vor mange undervisere er der brug for på din skole?

Opgave 141 Brug overslagsberegning til at svare på de følgen-

Opgave 137

de spørgsmål:

10 æg og et brød skal blive til 5 madpakker.

a. H vor meget maling skal der til at male undervis-

a. Hvor meget er der i hver madpakke? b. Isoler x i ligningen 10a + 1b = 5x

ningslokalet?  b. H vor mange popcorn skal der til at dække gulvet i klasseværelset?

1. Modeller og variable

Opgaver – 1. Modeller og variable

c. H vor mange sukkerknalder kan der være i en sodavandsflaske? d. Hvor meget fylder en million kapsler?

Opgave 146 a. Skitsér en graf, der viser, hvordan længden af et kalenderlys ændrer sig med datoen.

Opgave 142

Opgave 147

Brug overslagsberegning til at svare på de føl-

a. Skitsér en graf, der viser, hvordan vandtempera-

gende spørgsmål:

turen ændrer sig i en tændt elkoger.

a. Hvor meget luft indånder du på en nat?  b. Hvor mange soveværelser luft svarer det til?

Opgave 148

c. Hvor mange brusebade tager du på et liv?

a. Skitsér en graf, der viser, hvordan højden af et

d. Hvor mange blade er der på et træ?

træ udvikler sig.  b. Skitsér en graf, der viser, hvordan et menneskes

Opgave 143

højde udvikler sig.

Brug overslagsberegning til at svare på de følgende spørgsmål:

Opgave 149

a. Hvor mange cornflakes er der i en pakke?

a. Skitsér en graf, der viser, hvordan din indtjening

b. Hvor meget vokser du på en dag?

ændrer sig livet igennem.

c. Hvor meget vokser dit hår på en dag?  d. Hvor meget vokser dine negle på en dag?

Opgave 150 a. Skitsér en graf, der viser, hvordan temperaturen

Opgave 144 Brug overslagsberegning til at svare på de følgende spørgsmål: a. H vor mange omdrejninger når et hjul på en cykel at lave på 1000 km?

i et glas isvand udvikler sig. b. Skitsér en graf, der viser, hvordan dagens længde varierer gennem året. c. Skitsér en graf, der viser, hvordan din økonomi udvikler sig livet igennem.

b. H vor mange omdrejninger når et hjul på en bil at lave på 1000 km?  c. H vor meget benzin når en bil at bruge på 1000 km?

Opgave 151 a. Skitsér en graf, der viser, en bilist og en cyklist, der kører fra København til Sjællands Odde. b. Skitsér en graf, der viser, hvordan en opsparing

Opgave 145

vokser, når der ingen rente er på kontoen, og

Brug overslagsberegning til at svare på de føl-

der indsættes samme beløb pr. tidsenhed (fx

gende spørgsmål:

100 kr. hver måned).

a. H vad er den samlede omkostning ved at have haft en bil i fem år?  b. H vor meget skrald kommer der fra din familie i løbet af et år? c. vor meget skrald kommer der fra din by i løbet af et år?  d. Hvor mange børn lever i fattigdom?

1. Modeller og variable

Opgave 152 a. Afsæt følgende punkter i et koordinatsystem: (–10,1) (–10,5) (–9,2) (–9,4) (–8,3) (–7,4) (–6,5) (–4,2) (–4,4) (–3,1) (–3,5) (–2,2) (–2,4)

Opgave 153

a. Alder og højde på et menneske.

a. Tegn en enkel figur (højst ti punkter) i et

b. Areal og sidelængde i et kvadrat.

koordinatsystem, og sæt koordinater på. b. Giv din sidemand koordinaterne, og lad ham/

c. Alder og højde af børn, der skal til børneundersøgelse.

hende tegne din figur.

Opgave 159 Opgave 154

Vurder i hvert af nedenstående tilfælde, om en

a. Udfyld et sildeben som dette:

forklaring, en tabel, en graf eller en formel er den

x y=

hæng, og giv så et eksempel på, hvordan denne

b. Tegn grafen for y =

bedste repræsentation af den mulige sammenrepræsentation kunne se ud.

x i et passende

koordinatsystem.

a. Tid og antal fisk i en sø.  b. Tid og temperatur i et hus.

c. For hvilke x-værdier er denne graf defineret?

c. Tid og temperatur i en køletaske.

Opgave 155

Opgave 160

En funktion er givet ved forskriften f(x) = 4x2

Vurder i hvert af nedenstående tilfælde, om en

a. Find f(2)

forklaring, en tabel, en graf eller en formel er den

b. Find f(–2)

bedste repræsentation af den mulige sammen-

c. Løs ligningen f(x) = 36

hæng, og giv så et eksempel på, hvordan denne repræsentation kunne se ud:

Opgave 156 Du og vennerne skal ud og køre i limousine. Et firma tager 1100 kr. i timen for en limousine med

a. Tid og forbrug af naturgas til opvarmning af en bolig. b. Tid og hastighed af en bil der accelererer.

chauffør og champagne. a. Hvad koster det at leje limoen i 2 timer?

Opgave 161

b. B estem et regneudtryk, der kan bruges til at

Vurder i hvert af nedenstående tilfælde, om en

beregne prisen ved et givent antal timer, hvori

forklaring, en tabel, en graf eller en formel er den

du bruger de tre størrelser x, y og 1 1 00.

bedste repræsentation af den mulige sammenhæng, og giv så et eksempel på, hvordan denne

Opgave 157

repræsentation kunne se ud:

En kasse har en kvadratisk bund (og låg) med en gi-

a. Tid og indestående på en opsparingskonto.

ven sidelængde. Kassen har et rumfang på 200 cm3.

b. Tid og tilbagebetaling af et lån med rente.

a. Angiv kassens samlede ydre overflade som funktion af sidelængden.

Opgave 158 Vurder i hvert af nedenstående tilfælde, om en forklaring, en tabel, en graf eller en formel er den bedste repræsentation af den mulige sammenhæng, og giv så et eksempel på, hvordan denne repræsentation kunne se ud.

1. Modeller og variable

2. Lineære funktioner 1 Introduktion Når Carmen danser flamenco forsvinder tid og sted, men inde bag overfladen forbrænder hendes krop hvert minut en energi på 20 kJ. Derudover har hun brugt 40 kJ på opvarmningen. Der er en lineær sammenhæng mellem det antal kJ, hun forbrænder, og det antal minutter, hun danser. Hvis x er tiden (målt i antal minutter), og f(x) er energien (målt i antal kJ), kan denne lineære sammenhæng beskrives ved funktionen f(x) = 20x + 40

2 Definition En lineær funktion har en regneforskrift af typen f(x) = ax + b, hvor a og b er reelle tal (dvs. de kan begge være ethvert tal). y 100

3 Eksempel

I tabellen ses, hvor mange kJ Carmen har forbrændt efter forskellige antal minutters dans. På figuren er grafen for funktionen f tegnet for x ≥ 0.

40 20

x [min.] f(x) [kJ]

0 0

4 x

0 40

1 60

2 80

3 100

B emærk, at der er brugt 40 kJ ved 0 minutter, og at det forbrændte antal kJ stiger med 20, for hver gang x vokser med 1 – altså for hver gang, hun har danset et minut.

4 Sætning I en lineær funktion vokser f(x) med et fast tal, hver gang x vokser med et fast tal. Grafen for en lineær funktion er en ret linje. y

5 Eksempel

7 6

E n høj person tager lange skridt, når han går. Hver gang han tager ét skridt,

kommer han 1,5 meter frem.

Vi kan modellere sammenhængen mellem skridt og afstand med funktionen

1,5

f(x) = 1,5x, hvor x er antal skridt, og f(x) er afstanden i meter.

x f(x)

1 0 0 1

2. Lineære funktioner

0 0

1 1,5

2 3

3 4,5

4 6

5 7,5

Bemærk, at en x-tilvækst på 1 enhed giver en f(x)-tilvækst på 1,5 enhed. Det er netop betydningen af konstanten a. I tabellen ses det ved, at når x-værdierne vokser 1, så vokser f(x) værdierne med 1,5.

6 Matematisk modellering af lineære forhold I situationer, hvor et eller andet vokser eller aftager med en bestemt værdi, når noget andet vokser med 1 (fx et beløb, der stiger, hver gang du køber en liter benzin mere, en afstand, der bliver større, hver gang du tager et skridt mere, osv), kan situationen modelleres med den lineære funktion f(x) = ax + b.

Det første skridt er at indføre variable og oversætte den virkelige problemstilling til matematisk symbolsprog.

7 Eksempel På en given crosstrainer forbrændes 60 kJ pr minut. Vi sætter variablen x til antal minutter og variablen f(x) til den samlede forbrænding i kJ, og konstanten 60 er det antal kJ, som forbrændingen stiger, hver gang der går et minut. Den samlede forbrænding kan så modelleres med funktionen f(x) = 60x. Vi har antaget at der trænes med en konstant intensitet.

8 Eksempel Hvis der allerede var forbrændt 210 kJ på opvarmningen, og vi gerne ville regne opvarmningen med i den samlede forbrænding, bliver funktionen f(x) = 60x + 210, idet vi blot lægger de 210 til. Tallet 210 bliver ikke ganget med x, for det tal skal ikke ændres, men bare konstant være 210.

9 Øvelse a. Udfyld resten af tabellen for f(x) = 3x + 1 b. Tegn grafen for f.

–1

f(x)

–2

10 Øvelse Opstil regneudtryk for lineære funktioner, der kan være matematiske modeller for følgende situationer: a. Prisen for småkager er 3 kr. pr. styk købt hos en bager, hvor x er antal kager, og f(x) er den samlede pris. b. Prisen for et givent antal liter benzin til 10,50 kr. pr. liter købt på en tankstation. c. Afstand gået af en person med en skridtlængde 1,2 m, der har taget et givent antal skridt. d. Vandmængden i et badekar, hvor der er 200 liter i starten, hvorefter der løber 5 liter ud, for hvert minut der går.

2. Lineære funktioner

Beregning af a og b i forskriften f(x) = ax + b 11 Introduktion En klasse vil spare op til en vandretur i Norge. Efter 2 måneder har de 800 kr. i klassekassen, og efter 7 måneder har de 2 200 kr. Hvis de fortsætter med den samme opsparingshastighed, hvor mange penge har de så efter 18 måneder (dvs. midt i 2.g)? I nden klassekassens saldo bestemmes, vil vi se på nogle nyttige

sætninger.

2.800

Vi starter med at se på, hvordan man kan bestemme en regne-

2.400 2.000

forskrift for en lineær funktion, ud fra koordinaterne til to punkter

(7,2200)

på grafen.

1.600 1.200 800 (2,800)

400 0 0

12 Sætning Hvis to forskellige punkter ( x1 ,y1) og ( x2 ,y2) ligger på grafen for en lineær funktion f(x) = ax + b, kan hældningskoefficienten a beregnes med formlen: y −y

a = x 2 − x1 2 1

13 Eksempel

Grafen for en lineær funktion går gennem punkterne ( x1 ,y1) = (2,3) og

( x2 ,y2) = (4,9). Vi beregner hældningskoefficienten:

6 4

2 0 0

y 2 − y1 9 − 3 6 = = =3 x 2 − x1 4 − 2 3

Hældningskoefficienten er dermed a = 3

Når hældningskoefficienten a er beregnet, kan konstanten b beregnes ud fra følgende sætning:

14 Sætning Når a er kendt, og punktet ( x1 ,y1) ligger på grafen for den lineære funktion y = ax + b, kan konstantleddet b beregnes med formlen: b = y1 – ax1

2. Lineære funktioner

15 Eksempel I eksempel 13 beregnede vi hældningskoefficienten til 3. Vi vil nu beregne konstanten b for denne funktion. Vi vælger derfor et tilfældigt kendt punkt på grafen, eksempelvis (2,3), og indsætter det i formlen i sætning 14: b = y1 – ax1 = 3 – 3 · 2 = 3 – 6 = –3 Konstanten b er altså –3. Konstanterne a og b i forskriften for den lineære funktion hvis graf går gennem punkterne ( x1 ,y1) = (2,3) og ( x2 ,y2) = (4,9), er altså a = 3 og b = –3. Dermed er forskriften f(x) = 3x – 3.

16 Øvelse Beregn konstanterne a og b for de rette linjer, der går gennem de angivne punkter: a. (1,3) og (4,9). b. (3,5) og (5,17).

17 Øvelse a. Beregn hældningskoefficient og konstantled for den lineære funktion, hvis graf indeholder punkterne (1,7) og (4,22). b. Beregn konstantleddet for en ret linje, der har hældningen a = 3 og går gennem punktet (5,7). c. Bestem forskriften for den lineære funktion, hvis graf går gennem (–1,0) og (1,4).

18 Øvelse a. Beregn konstanterne a og b for klassens opsparingsfunktion i eksempel 11. b. Bestem regneforskriften for klassens opsparing som funktion af antal måneder, siden de startede. c. Benyt regneforskriften til at bestemme, hvor mange penge de har sparet op efter 18 måneder.

19 Øvelse Prisen for en tur med en bestemt cykeltaxa er en lineær funktion af antal kørte km. En tur på 1 km koster 25 kr., og en tur på 2 km koster 35 kr. Antal kørte km betegnes x og prisen i kr. for turen betegnes f(x). Regneforskriften for f(x) er af typen f(x) = ax+b. a. Brug oplysningerne til at beregne konstanterne a og b. b. Hvor meget koster taxaturen pr. km? c. Bestem taxaens startpris. d. Kan man køre en tur på 5 km for 70 kr.?

2. Lineære funktioner

Lineære modeller 20 Introduktion En økologisk høne kan lægge 306 æg om året. Hvor mange æg kan x økologiske høns så lægge? Vi vil opstille en model for dette, og bruge modellen til at besvare forskellige spørgsmål.

21 Lineære modeller En lineær model kan tegnes som en ret linje og opskrives symbolsk som y = ax + b eller f(x) = ax + b.

22 Eksempel Vi vil opstille en lineær model for, hvor mange æg man kan få ved varierende antal økologiske høns. Først vælger vi de variable: 5.000

Antal æg pr. år

4.000

Den ene variabel kaldes x og angiver antallet af økologiske høns i hønsehol-

3.000

det. Den anden variabel kaldes f(x) og betegner det samlede antal æg pr. år. Vi antager, at alle høns lægger det samme antal æg om året. Når antallet af

2.000

høns ganges op, vokser antallet af æg med samme faktor. Så hvis man ved,

1.000

at en høne kan lægge 306 æg om året, kan 2 høns lægge 2 · 306 = 612 æg

0 0

10 12 Antal høns

om året, og x høns kan lægge x · 306 æg om året.

a. Vi får dermed følgende model f(x) = x · 306 Skrevet på formen f(x) = ax + b bliver det f(x) = 306 · x eller kort: f(x) = 306x b. M odellen kan bruges til at forudse, hvor mange æg man vil få om året med 10 høns: f(10) = 306 · 10 = 3 060. Altså 3 060 æg om året. c. M odellen kan også bruges til at løse problemer: Hvor mange høns skal man have for at få en årlig produktion på 5 000 æg? Her drejer det sig om at løse ligningen: 5 000 = 306x 5 000 = 306x

Ligningen, der skal løses.

5 000 = x 306

Der er divideret med 306 på begge sider.

x = 16,33

Brøken er beregnet og afrundet.

Det er altså nødvendigt med 17 høns for at få 5 000 æg om året. (Der findes ikke brøkdele af en høne, så vi må op på 17 hele høns for at være sikre). Modellen med ægproduktionen hos de økologiske høns, er erfaringsbaseret, fordi det ikke er en naturlov, at en høne lægger 306 æg om året. Det er en en observation. I modsætning hertil står de mere teoretiske modeller.

2. Lineære funktioner

23 Definition En model, der udelukkende opstilles på baggrund af teori, matematik og logik, kaldes en teoribaseret model.

24 Eksempel

O=π·d

Vi vil opstille en model for omkredsen af en cirkel som funktion af diameteren. Fra definitionen af tallet π ved vi, at dette tal netop er forholdet mellem omkreds og diameter: π = O d

πd =

O ⋅d = O d

Vi isolerer d i to trin: d

Vi ganger med d på begge sider

Vores model bliver så O = π · d som er en lineær model med d som uafhængig variabel og O som den afhængige variabel.

25 Øvelse a. Brug modellen O = π · d, hvor O er omkreds, og d er diameteren, til at beregne omkredsen af et racercykelhjul, hvor diameteren er 64 cm.

26 Øvelse En flade har form som et kvadrat, men sidelængden kan variere, så den betegnes med en variabel x.

a. Opstil en model for omkredsen O af fladen udtrykt ved sidelængden x. b. Er modellen lineær?

27 Øvelse En have har form som et rektangel. Længden af den korte side er konstant 5 m, mens længden af den lange side kan variere.

a. Opstil en model for omkredsen O af haven udtrykt ved sidelængden af den aflange side x. b. Er modellen lineær?

28 Øvelse I gennemsnit forbrænder en voksen 0,15 promille alkohol pr. time. a. Opstil en matematisk model for den samlede alkoholpromille, f(x), der bliver forbrændt som funktion af tiden, x, målt i timer. b. Brug modellen til at bestemme, hvor lang tid det tager at forbrænde 1 promille.

29 Øvelse På en indisk restaurant er der et grundgebyr på 75 kr. pr. person, og herefter betaler man 15 kr. pr. 100 gram mad, der bestilles. a. Opstil en model over den samlede pris pr. person, som funktion af antal hundrede gram der bestilles. b. Benyt modellen til at beregne, hvor mange gram der kan bestilles, hvis man har 150 kr.

2. Lineære funktioner

Lineær regression 30 Introduktion En skovfoged passer forskellige naturområder. Han er sikker på, at der en sammenhæng mellem arealet af hvert område og antallet af bævere. Men hvordan kan han undersøge, om det er en lineær sammenhæng?

31 Empiriske modeller En model, der opstilles på baggrund af målte data, kaldes en tilpasset model eller en empirisk model. En tilpasset model kan i nogle tilfælde bruges som en forenklet fremstilling af en sammenhæng mellem to variable.

32 Eksempel

Antal bævere 7

En undersøgelse af antallet af bævere i forskellige naturområder vi-

ser følgende sammenhæng mellem områdets areal og antal bævere:

5 4 3

Areal (km 2)

Antal bævere

2 1

Vi har tegnet tabellens værdier ind som punkter i et koordinatsy-

0 0

Skovstørrelse

stem og ser, at punkterne med tilnærmelse følger en ret linje, som kan tegnes ind på øjemål eller i et regneark.

Når en række datapunkter som her grupperer sig tilfældigt omkring en ret linje, og afvigelserne er små og usystematiske, kalder man sammenhængen tilnærmelsesvis lineær.

33 Lineær regression En mere præcis modelbeskrivelse af punkterne i eksempel 32 kan skaffes ved ”lineær regression”. Ved lineær regression vil et CAS-værktøj udregne ligningen for den linje, der passer bedst muligt med punkterne. I Excel kan lineær regression udføres således: Indtast x-værdierne i en søjle og y-værdierne i søjlen ved siden af. Markér cellerne. Vælg "indsæt" i menuen øverst. Vælg "punktdiagram". Højreklik på et af punkterne, og vælg ”tilføj tendenslinje”. Vælg ”lineær”, og sæt hak ved muligheden "vis ligning i diagram".

34 Eksempel Her er udført lineær regression i Excel på tallene fra eksempel 32, hvor x er arealet målt i km2, og y er antal bævere. Regressionsmodellen er y = 2,4x – 2,5

2. Lineære funktioner

Med denne model kan vi eksempelvis udregne antallet af bævere i en skov på 20 km2 ved at indsætte i modellen: y = 2,4 · 20 – 2,5 = 45,5. Da vi ikke regner med halve bævere, konkluderer vi, at der ifølge modellen vil være 46 bævere i en skov på 20 km2.

35 Eksempel Modelleringsprocessen Der er ofte usikkerhed forbundet med brug af modeller. Man skal – ud fra sit kendskab til det konkrete eksempel – være opmærksom på, om det er sandsynligt, at udviklingen fortsætter. Matematisk model y = ax + b, hvor a=… b=…

Virkelig problemstilling Antal bævere på 20 km 2

Virkelig løsning

Matematisk løsning

Altså er svaret …

tal, graf, figur, eller …

Modelkritik Det er vigtigt at gøre sig klart, at der er tale om en model lavet ud fra 4 optællinger af antallet af bævere i små skovområder. Måske er de 4 optællinger usikre? Måske er sammenhængen mellem antal bævere og skovens areal ikke den samme for store skove på 20 km2 som for de små, der blev brugt til at lave modellen? Sådanne kritikpunkter betyder ikke, at vi skal undlade at modellere, men at vi skal forholde os kritisk til modellens resultater. I sidste ende kan usikkerhederne være så store, at vi måske bør modellere situationen igen med en justeret metode.

36 Øvelse Tabellen viser aktiekursen for cafekæden Starbucks i årene 2009 til 2014. Bemærk, at vi i tabellen har skrevet år efter 2009. Dette indebærer, at fx 0 betyder "0 år efter 2009", altså år 2009. I koordinatsystemet ses punkterne indtegnet.

Aktiekurs

30 20

År efter 2009 Aktiekurs $

7,26

12,18

20,10

26,66

32,76

38,96

a. Antag, at udviklingen er lineær, og udfør lineær regression på alle tabellens tal. b. Angiv værdierne af konstanterne a og b.

10 0 0

4 5 År efter 2009

c. Beregn aktiekursen for Starbucks i år 2018 ifølge modellen. d. Vurder, om den beregnede aktiekurs i år 2018 er realistisk.

2. Lineære funktioner

Lineær regression og residualplot

37 Introduktion

I alderen 5-12 år vokser man næsten lige meget hvert år. Der er altså en tilnærmelsesvis lineær sammenhæng mellem alder og højde i denne periode i livet.

Baggrunden for denne postulerede sammenhæng er ikke teoribaseret, men er baseret på målinger og statistik. Der er ikke tale om eksakt viden, og væksten af det enkelte individ (dig?) kan afvige fra modellen.

Når man står overfor et givet datasæt, kan man ikke vide 100 % sikkert, om det kan modelleres fornuftigt af en matematisk model i form af en forskrift, eller hvilken model der i givet tilfælde er bedst. I opslaget her skal vi se nærmere på, hvordan man vurdere om en given regressionsmodel er fornuftig.

38 Definition Forskellen mellem en faktisk målt værdi og den værdi, modellen forudsiger, kaldes et residual. Et diagram over residualerne kaldes et residualplot. Det kan benyttes til at vurdere, om modellen er en rimelig tilnærmelse til data.

39 Eksempel I en bestemt sportsgren måles præstationen i et pointsystem fra 100 til 200 point. Tabellen viser sammenhørende værdier for en sportsudøvers resultater og antallet af måneder, han har trænet op til en konkurrence. Antal måneder Point

115

119

124

125

132

136

135

140

143

144

147

Tallene fra tabellen er tastet ind i regnearket i Geogebra,

Måned

Point

115

og der er tegnet et tilhørende punktplot og en lineær

119

regressionsmodel.

119

124

x-aksen viser antal måneder, og y-aksen viser antal point.

125

132

136

135

140

143

144

147

Linjen har forskriften y = 3x + 112,06. For at afgøre, om modellen er god, kan vi udregne residualerne. Hertil bruger vi regressionslinjens ligning y = 3x + 112,06 og x-værdierne fra tabellen. I række tre ses modelresultaterne udregnet med ligningen y = 3x + 112,06 og i række fire er residualerne udregnet.

2. Lineære funktioner

Antal måneder Point Modelresultat Residual

115

119

124

125

132

136

135

140

143

144

147

115,06

118,06

121,06

124,06

127,06

130,06

133,06

136,06

139,06

142,06

145,06

148,06

-0,06

0,94

–2,06

–0,06

–2,06

1,94

3,06

–1,06

0,94

-1,06

I Geogebra kan residualdiagrammet tegnes ved at vælge dette i stedet for punktplot. Her ses månederne ud ad x-aksen og residualværdierne op ad y-aksen. Residualplottet viser, at afvigelserne er små, tilfældige og usystematiske. Variationen omkring nullinjen er stort set den samme for alle måneder. På den baggrund kan vi antage, at pointene med tilnærmelse vokser lineært med antal måneder i perioden fra 0 til 12 måneder. Bemærk, at vi ikke kan vide, om det fortsætter på den måde. Modellen kan kun med rimelighed bruges inden for det område, hvor der er data.

40 Eksempel I tabellen ses udviklingen i antal faste kunder for en større forretningskæde målt i år efter 2009. År efter 2009

Antal kunder

1485

1864

2376

2973

3686

4623

5527

6485

7356

På figuren ses punkterne og den lineære regressionsmodels regneforskrift. I dette tilfælde viser residualplottet imidlertid et meget klart mønster, som ikke virker tilfældigt. Derfor må vi antage, at vi har valgt en ubrugelig regressionsmodel. Punkterne ville i dette tilfælde passer meget bedre på en buet graf. Senere introduceres andre regressionsmodeller.

41 Øvelse Et band har lagt en musikvideo på YouTube og har registreret udviklingen i antal afspilninger i ugerne efter upload. Vi antager i første omgang, at udviklingen er lineær. Uger efter upload Tusind afspilninger

140

192

241

284

328

367

401

430

451

a. Lav lineær regression på alle tabellens tal og bestem derved a og b. b. Lav en tabel med residualerne. c. Tegn et residualplot. d. Vurder, om residualerne er små, tilfældige og usystematiske.

2. Lineære funktioner

Teori om de lineære funktioner

42 Introduktion

Et bevis er svaret på spørgsmålet ”Hvorfor?”.

I dette afsnit skal vi se nærmere på definitioner, sætninger og beviser. En definition kan sammenlignes med en navngivning. En sætning derimod er en påstand, der er sand, fordi der findes et matematisk bevis for den.

43 Definition I forskriften f(x) = ax + b kaldes tallet a for hældningstallet eller hældningskoefficienten. Det er nu fastlagt, hvordan vi skal benævne konstanten a i den givne regneforskrift. Men vi har ikke taget stilling til, hvad den kan bruges til, eller hvilke egenskaber den har. Den følgende sætning omhandler en bestemt egenskab ved a.

44 Sætning Hvis to forskellige punkter (x1 ,y1) og (x2 ,y2) ligger på grafen for en lineære funktion f(x) = ax + b, kan hældningskoefficienten a beregnes ved formlen: y −y

a = x 2 − x1 2 1 Vi har tidligere anvendt denne formel til beregning af konstanten a. Men hvordan kan vi give et argument, der er stensikkert i alle situationer, uanset hvordan værdien af a er? Hertil må vi have et argument, der er overbevisende for alle, der har de matematiske forudsætninger. Det er det, vi i matematikken kalder et bevis.

45 Bevis for sætning 44 y1 = ax1 + b

Koordinaterne (x1 ,y1) skal passe i ligningen y = ax + b

y2 = ax2 + b

Punktet (x2 ,y2) ligger også på grafen for y = ax + b

y2 – y1 = ax2 + b –y1

y1 er trukket fra på begge sider af lighedstegnet

y2 – y1 = ax2 + b – (ax1 + b) y1 er erstattet af ax1 + b på højre side y2 – y1 = ax2 + b – ax1 – b

Parentesen er ophævet

y2 – y1 = ax2 – ax1

+b og –b på højre side gik ud

y2 – y1 = a(x2 – x1)

a sættes uden for parentes (a er en faktor i begge led)

y 2 − y1 = a Der divideres på begge sider med tallet x2 – x1 x 2 − x1

Hermed er sætningen bevist

2. Lineære funktioner

46 Definition I forskriften f(x) = ax + b kaldes tallet b for konstantleddet.

47 Sætning Når a er kendt, og punktet (x1 ,y1) ligger på grafen for den lineære funktion y = ax + b, kan konstantleddet b beregnes med formlen: b = y1 – ax1.

48 Bevis for sætning 47 y1 = ax1 + b

(x1 ,y1) ligger på grafen og skal så passe i y = ax + b

y1 – ax1 = b

ax1 trækkes fra på begge sider af lighedstegnet.

Hermed er sætningen bevist.

49 Sætning I forskriften f(x) = ax + b angiver hældningskoefficienten, a, hvor meget y-værdien ændres, når x vokser med 1.

50 Bevis for sætning 49 f(x + 1) = a(x + 1) + b

x + 1 er indsat på x’ets plads i f(x) = ax + b

f(x + 1) = ax + a ·1 + b

Parentesen er udregnet

f(x + 1) = ax + a + b

a ·1 = a

f(x + 1) = ax + b + a

Rækkefølgen af a og b er ændret

f(x + 1) = f(x) + a

ax + b er erstattet af f(x)

Det vil sige, at f(x) ændres med tallet a, når vi lægger 1 til x-værdien. Hermed er sætningen bevist.

51 Sætning I forskriften f(x) = ax + b angiver konstantleddet, b, skæringspunktet med y–aksen.

52 Bevis for sætning 51 På y-aksen har alle punkter x-koordinaten 0. Vi indsætter 0 på x’s plads og udregner funktionsværdien: y = f(0) = a · 0 + b = 0 + b = b. Linjen med ligningen y = ax + b går altså altid gennem punktet (0,b). Hermed er sætningen bevist.

2. Lineære funktioner

Opgaver – 2. Lineære funktioner Opgaver - Ligninger Opgave 201

Opgave 204

a. H vilke to af figurerne er grafer for lineære

Tabellerne repræsenterer hver sin lineære funktion. Tegn tabellerne af, og udfyld det manglende tal.

funktioner? 1. y

3. y

–1

–2

3 8

2 9

10 3

b. Fuldfør, for hver tabel, sætningen ”Når x vokser med 1, så vokser y med _______."

Angiv a og b, hvis variabelsammenhængene er lineære. b. y = –2x + 4 c. y = 2x

d. y = 5 + x2 1

e. y = x + 4

Opgave 205 Udfyld en tabel med funktionsværdier (et sildeben) for hver af de tre funktioner: a. y = 2x + 3 b. y = –3x + 7

f. y = 9x – 5

c. y = 2,5x

Opgave 202

Opgave 206

a. E n graf for en lineær funktion går gennem (1,5) og (2,7). Tegn den. Er den voksende eller aftagende? Forklar, hvordan det ses. b. Går den gennem punktet (3,8)? a. U dfyld et sildeben som det nedenstående, og

Opgave 203 En graf for en lineær funktion går gennem punkterne (123,5746) og (271,767). a. Vil grafen være voksende eller aftagende? Argumenter for dit svar. b. G år den gennem (200 , 6003)? Argumenter for dit svar.

2. Lineære funktioner

tegn grafen for y = 3x – 2 x y = 3x– 2

–5

Opgave 207

Opgave 210

Tegn graferne for følgende fire lineære funktioner

a. Vis, ved beregning, at grafen for y = 6x + 3 går gennem punktet (0,3).

i samme koordinatsystem: 1 2

a. y = x + 2

b. Vis, ved beregning, at grafen for y = 45x + 114 går gennem (0,114).

b. y = –2x + 2 1 2

c. y = x – 2 d. y = –2x

Opgave 211 Om en graf for en lineær funktion oplyses det, at den går gennem punktet (0,3). a. Argumenter for, hvilken forskrift der vil passe

Opgave 208 To forskellige grafer går begge gennem (2,1) og

med grafen.

f(x) = 2x + 1

f(x) = 3x

f(x) = x + 3

(3,3). Den ene er en lineær funktion, men den anden er ikke en lineær funktion.

Opgave 212

a. Tegn to grafer, der passer med teksten, i samme

En pige sælger is på stranden. Hun tjener 8 kr. på

koordinatsystem.

hver is, men skal betale 100 kr. for leje af køleboksen. a. Opskriv hendes fortjeneste som en lineær funktion af antal solgte is.

Opgave 209

b. Beregn fortjenesten ved salg af 56 is.

To kammerater har aftalt,

c. Tegn grafen for funktionen.

at de vil forsøge at tabe

d. Brug grafen til at finde ud af, hvor mange is hun

sig. Den ene løber en tur

skal sælge for at have en positiv fortjeneste.

og forbrænder 250 kcal. Han sætter sig derefter i

Opgave 213

vennens have og drikker

En brandsprøjte indeholder 15.000 liter vand og

hvidvin. Herved indtager

skyder 750 liter ud i minuttet, indtil den er tom.

han ca. 4 kcal pr. minut.

a. Opskriv vandmængden y i brandsprøjten som

Hans ven har lige spist

en rejemad på 100 kcal i

b. Hvor mange minutter går der, før beholderen

alt. Han er irriteret over

at være bagud i kalorieregnskabet og stiller sig

c. Hvis sprøjten starter kl. 13.00, hvad tid løber

derfor op og sjipper, hvorved han forbrænder 9

en funktion af tiden x. indeholder 4.000 liter? den så tør?

kcal i minuttet. a. Forklar, hvordan funktionerne y = 4x – 250 og

y = –9x + 100 hænger sammen med situationen ovenfor.

b. Redegør for betydningen af variablene x og y. c. Beregn skæringspunktet mellem de to linjer. d. Forklar, hvad skæringspunktet betyder for ham,

der sjipper.

Opgave 214 a. I et land koster strømmen 2 kr. pr. kWh og 1.000 kr. i årlig fast afgift. Opskriv en lineær funktion, der beskriver stømprisen som funktion af antal kWh. b. En rottefænger får 500 kr. for at møde op samt 20 kr. for hver død rotte, hun kan fremvise. Opskriv en lineær funktion, der beskriver hendes løn som funktion af antal rotter, hun fanger.

2. Lineære funktioner

Opgaver – 2. Lineære funktioner Opgaver - Ligninger c. E n elev strikker i matematiktimerne. Han har

Opgave 216

allerede 70 cm halstørklæde, og han kan strikke

Bestem a og b for de lineære funktioner y = ax + b,

10 cm, for hver time, der går. Opskriv længden

hvor grafen går gennem punkterne:

af hans halstørklæde som en funktion af antal-

a. (2,4) og (4,6)

let af matematiktimer.

b. (0,–1) og (5,4)

d. E n oktoberdag var kursen (prisen) på en dollar

c. (–2,–2) og (4,10)

5,40 kr. I en vekselforretning var gebyret 18 kr.

d. (2,7) og (5,10)

Opstil en lineær model y = ax + b, der beskriver,

e. (–2,7) og (5,–10)

hvor mange dollars y der kan købes for x kr.

f. (–3,5) og (–4,12) g. (1.001, 3.765) og (1.003, 3.761)

Opgave 217

e. En ung mand har lige fået kørekort og låner en rød Fiat. Fiaten har kørt 35 000 km. Han har lyst til en god pizza og sætter derfor kursen mod Italien med en gennemsnitsfart på 100 km/t. Opskriv antallet af kilometer y, som bilen har kørt i alt, som en lineær funktion af tiden målt i timer x. f. Find selv på en historie, der kan vises med en

En bonde har en ko. Den spiser 60 kg foder om dagen.

lineær model. Udfyld sildebenet.

Opgave 215 a. Tegn et koordinatsystem, og afsæt punkterne

(–3,2) og (3,–1).

x (antal dage) y (antal kg)

30 1.200

3.000

b. Tegn den linje, som går gennem de to punkter. c. Ligger punktet (1,2) på linjen? d. Gør (–1,1)? e. Passer punkterne (–3,2) og (3,–1) ind i ligningen y = 10x – 3? f. Passer punkterne (–3,2) og (3,–1) ind i ligningen y = –0,5x + 0,5? g. Hvilken ligning passer til grafen, som du tegnede i spørgsmål b.?

2. Lineære funktioner

b. Opskriv en formel, der beregner, hvor meget foder han skal købe ind til x dage. Koen giver 26 liter mælk om dagen. c. O pskriv en forskrift for den funktion, der beskriver antal liter, den giver på x dage. En anden bonde har 80 lige så højtydende køer. d. H vad kan han udregne med forskriften y = 80 · 26 · x?

Opgave 218

En anden lineær funktions graf har samme hæld-

Hvorfor kan man ikke finde hældningskoefficien-

ning, men går gennem punktet (1,8).

ten for en linje, der går gennem (3,5) og (3,7)?

b. H vilket tal i forskriften kan du nøjes med at ændre i forhold til den første funktion: Er det

Opgave 219

Aflæs a og b på nedenstående tre grafer.

c. Tegn de to grafer i samme koordinatsystem.

a eller b?

Opgave 223 y

3 2

-4

-3

-2

-1

1 0 -1

-2 -3 -4

En maratonløber med et kunstigt ben får et forspring fra resten af feltet. Han løber med en

Opgave 220

konstant hastighed. Efter 1 time er han nået 18 km

Om en graf for en lineær funktion oplyses det, at

fra startlinjen. Efter 1,5 time er han nået 22 km fra

den er voksende.

startlinjen.

a. Argumenter for, hvilken forskrift der vil passe

a. H vilken hastighed løber han med, og hvor stort et forspring fik han?

med grafen. f(x) = 2x + 1

f(x) = –3x

f(x) = 6

b. Hvad bliver hans tid 42 km fra startlinjen?

Opgave 221

Opgave 224

Om en graf for en lineær funktion oplyses det, at

På en fabrik faldt produktionen af majspiber med

den er aftagende og går gennem (0,1).

21 000 stk. om året i perioden 1979-1982. I 1979

a. Argumenter for, hvilken forskrift der vil passe

producerede fabrikken 200 000 stk. a. Opstil en model for antallet af majspiber y pr.

med grafen.

f(x) = –2x – 1 f(x) = –3x f(x) = x + 1

f(x) = – 2

år, hvor x er antal år efter 1979.

b. Hvor mange produceredes i 1982? x + 1

c. Hvis udviklingen fortsatte, hvornår ophørte

produktionen så helt?

Opgave 222 En lineær funktion har forskriften f(x) = 2x + 5. a. Kontroller om dens graf vil gå gennem punktet (1,7).

2. Lineære funktioner

Opgaver – 2. Lineære funktioner Opgaver - Ligninger Opgave 225 (fortsættelse af opgave 224)

Opgave 228

Produktionen af cigaretpakker af mærket PINK steg med 12 000 stk. om året i perioden 19801983. I 1983 producerede fabrikken 140 000 stk. a. Opstil en model for antallet af cigaretpakker y

pr. år, hvor x er antal år efter 1980.

b. Hvor mange produceredes i 1982? c. Hvis udviklingen fortsatte, hvornår oversteg antallet af cigaretpakker antallet af majspiber?

Opgave 226

Grafen viser en ung mands efterspørgselskurve

Modeller

efter cheeseburgere.

a. Forklar, hvad en lineær model er, og giv et

y 16

eksempel.

b. Forklar betydningen af a og b i din lineære

model.

c. G ennemgå et eksempel, hvor din model bruges

til at beregne en y-værdi.

d. G ennemgå et eksempel, hvor din model bruges

4 2 0

til at beregne en x-værdi.

0 5

25 30

50 x

Opgave 227 a. Bestem regneforskriften for funktionen. b. Funktionen viser, hvor mange burgere han

efterspørger som funktion af prisen på dem.

Hvad er x, og hvad er y?

c. Hvor mange burgere vil han efterspørge, hvis

prisen er 7 kr.?

d. Hvor mange færre burgere vil han efterspørge,

når prisen sættes 1 kr. op?

e. Hvad er den maksimale pris, han vil give for en burger? Kokkefirmaet Chef lejer en kok ud til festlige

f. Hvor mange burgere vil han højst spise pr. dag?

lejligheder. Det koster 3 000 kr. i startgebyr, og derefter koster det et beløb pr. gæst. 21 gæster

Opgave 229

koster 8 250 kr. i alt.

Den unge mand fra opgave 228 bor i en mindre

a. Opstil en lineær funktion, der beskriver den

by, hvor der er 200 unge i hans aldersgruppe.

En model for hele gruppens efterspørgsel fås

samlede pris som en funktion af antallet af

gæster.

ved at gange konstanterne a og b i ligningen

b. Hvor mange gæster kan man invitere for

y = 15 ⋅ x + 15 med 200. Den samlede efterspørgsel 50

10 000 kr.? c. Hvor meget er prisen, hvis der er 50 gæster?

2. Lineære funktioner

y (antal burgere) kan så beskrives ved funktionen: y = –60x + 3 000, hvor x er prisen.

a. Hvor mange færre burgere bliver der spist, hvis

Opgave 232

a. Aflæs skæringspunktet mellem y = –4x + 3 og

prisen sættes op fra 6 kr. til 7 kr.?

b. Hvor mange flere burgere vil der blive spist,

b. Beregn skæringspunktet mellem graferne.

hvis prisen sættes ned fra 11 kr. til 10 kr.?

y = –3x + 2

c. Hvad er den maksimale pris, nogen i byen vil

give for en burger?

y 3

d. Hvilken usikkerhed er der forbundet med

denne model?

2 1

Opgave 230

En lystfisker fanger hornfisk. Han ved af smertelig

–2

-1

erfaring, at rensningen og nedpakningen i fryse-

–1

poser tager ham 12 min. pr. fisk. Vi betegner nu

–2

antallet af fisk med x. Så tager det x · 12 min. at rense fangsten på x styk fisk.

Opgave 233 Beregn skæringspunktet mellem a. y = 7x – 3 og y = 4x + 9 b. y = –2x + 2 og y = 3x– 8 c. y = –7x + 27 og y = 3x + 17

Opgave 234 Graferne for to givne lineære funktioner er parallelle. Den ene graf har ligningen y = 6x + 8. Den a. Hvad betegner y i ligningen y = 12 · x?

andens graf går gennem punktet (3,4). Find lignin-

b. H an havde glemt at indregne de 5 minutter, det

gen for den anden graf.

tog at gøre køkkenbordet klar til rensningen. Hvad kan han regne ud med denne funktion:

Opgave 235

y = 12x + 5?

a. Bestem forskrifterne for de to lineære funktio-

c. H vor lang tid skal han rense fisk, hvis han fanger 15 hornfisk? d. H vad bliver forskriften, hvis han i stedet fanger

ner på figuren.

b. Bestem koordinaterne til skæringspunktet, og

kontroller dem ved indsættelse i forskrifterne.

sild, som han kan rense på 2 min. pr. styk? y 6

Opgave 231 a. Isoler x i ligningen ax + b = cx + d

b. Forklar, hvad den formel, der fremkommer,

kan bruges til, når man har to rette linjer, linje 1

og linje 2, hvor linje 1 har forskriften y = ax + b,

og linje 2 har forskriften y = cx + d

0 –4

–2

–2 –4 –6

2. Lineære funktioner

Opgaver – 2. Lineære funktioner Opgaver - Ligninger Opgave 236

År

En fabrik, der fremstiller fyrværkeri målrettet til

Kilo

pensionister, kostede 70 mio. kr. at bygge, men

60,9

62,7

64,1

65,4

giver hvert år en indtægt til ejerne. Sammenhængen mellem tiden og ejernes cashflow er afbildet i

a. Indsæt tallene som punkter i et koordinat-

dette skema. Antal år Cashflow (mio. kr.)

system. 0 –70

1 –55

2 –43

3 –31

4 –18

b. Punkterne ligger tilnærmelsesvist på en ret linje.

Find en lineal, og tegn den bedst mulige linje.

Aflæs a og b, og opskriv ligningen. c. Den studerende mener ikke selv, at der er tale

om en udvikling hen mod en højere vægt.

Hun ser de forskellige resultater som tilfældige

udsving. Er du enig?

d. Den ligning, du har fundet, er en lineær model.

Hvad kan den studerende bruge denne model til?

Opgave 238 En kvinde kan løbe 4 km på en halv time. Hun vil gerne i bedre form og beslutter sig for at holde a. Afsæt punkterne i et punktdiagram i et regne-

sit løbetempo og samtidig øge løbetiden med

ark.

10 min. hver uge. Hun laver følgende målinger på

b. Indsæt en tendenslinje og få et regneark til at

sine næste fem løbeture:

beregne ligningen.

c. Beregn cashflowet efter 9 år.

Tid i min.

d. Brug grafen til at finde ud af, hvor mange år der

Antal km

5,8

6,4

går, før ejerne har et positivt cashflow.

Opgave 237

a. Afsæt punkterne i et punktdiagram i et regneark. b. Indsæt en tendenslinje og få arket til at beregne ligningen. c. Du har nu opstillet en lineær model. Forklar, hvad den er model for. d. For hvilke x–værdier synes du, at modellen

giver mening?

e. Kvinden ville gerne holde sit løbetempo, hvor hun løb 4 km på 30 min. Hvad skulle a have En studerende vejer sig 1. januar hvert år.

været, hvis hun skulle have opfyldt sit

Resultatet er vist i følgende skema.

mål? f. Tegn et residualplot for regressionen.

2. Lineære funktioner

Opgave 239

Opgave 241

En glaspuster får 80 kr. i timen. Derudover får

En lineær funktion er givet ved f(x) = ax + b. a. Vis at f(x + k) = f(x) + ak

hun 20 kr. pr glas, der kan sælges. Hun har la-

Opgave 242

vet et regnskab over sin

En lineær funktion er givet ved f(x) = ax + b.

gennemsnitlige timeløn

a. Vis at f(1) = a + b

de første 8 uger. Uge 0 er den første uge efter

Opgave 243

hendes ansættelse.

En lineær funktion er givet ved f(x) = ax + b. a. Vis at grafen for f skærer x-aksen i punktet S( −ab ,0)

Uge

Timeløn

110

120

Opgave 244 a. Argumenter for, at linjerne med ligningerne x = m og y = n skærer hinanden i punktet S(m,n).

a. Afsæt punkterne i et punktdiagram i et regneark.

Opgave 245

b. Indsæt en tendenslinje, og få et regneark til at

a. Tegn to parallelle skrå linjer, og to lodrette linjer

beregne ligningen.

c. H vad vil glaspusteren i følge modellen tjene i timen efter 100 uger?

med afstanden 1 imellem sig. b. Argumenter for, at de to skrå linjer må have samme hældningskoefficient.

d. Hvad tjente hun efter 5 uger ifølge modellen? e. For hvilke x-værdier er modellen en god model? f. T egn et residualplot for regressionen, og vurder på den baggrund modellens brugbarhed.

Opgave 240 Hvis to forskellige punkter (x1 ,y1) og (x2 ,y2) ligger på grafen for en lineære funktion f(x) = ax + b, kan hældningskoefficienten a beregnes ved formlen: y −y

a = x 2 − x1 2 1 a. Vis, at a også kan beregnes med formlen y −y

a = x 1 − x2 1 2

2. Lineære funktioner

3. Statistik

Ikke-grupperede observationer

1 Introduktion

I en løbeklub tog man en stikprøve, hvor 30 løberes puls blev målt lige efter en træningstur: 147, 156, 176, 157, 155, 167, 138, 167, 176, 159, 165, 181, 148, 169, 156, 167, 165, 147, 154, 153, 172, 132, 163, 170, 152, 160, 153, 174, 148, 175. Det er svært at se det overordnede mønster i tallene. Statistik handler blandt andet om at beskrive sådanne tal på en overskuelig måde.

2 Definition En stikprøve består af nogle elementer udvalgt fra en population. Populationen er den mængde, der er genstand for undersøgelsen. Samlingen af observationer i stikprøven kaldes et datasæt eller observationssæt. I et ordnet observationssæt er observationerne ordnet i stigende rækkefølge.

3 Eksempel a. I en klasse lavede man et skema med elevernes skostørrelser. Hvis man opskriver skostørrelserne i ordnet rækkefølge 35, 35, 36, 37, 37, 38 … osv., får man et ordnet observationssæt. b. Løbeklubbens målinger i stikprøven på 30 løbere er et datasæt med enkeltstående tal, der ikke er ordnet i rækkefølge.

4 Definition I et ikke-grupperet observationssæt beskrives observationerne med enkeltstående tal, farver, rejsemål eller lignende. Ikke-grupperede observationer kan beskrives med forskellige tal, såkaldte statistiske deskriptorer. Den simpleste er observationssættets størrelse, N . Hvis alle observationerne er tal, er variationsbredden lig med forskellen på værdien af den største og mindste observation.

5 Eksempel Blandt 25 elever undersøgte man elevernes antal søskende. Svarene var: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4. Forskellen på det største og det mindste tal er 4 – 0 = 4, så variationsbredden er altså 4. Observationssættet har størrelsen N = 25.

6 Definition Hyppigheden h(x) af en observation x er det antal gange, som observationen forekommer i observationssættet, og frekvensen f(x) er den brøkdel eller procentdel, hyppigheden udgør af hele observationssættets størrelse. Den kumulerede hyppighed H(x) og den kumulerede frekvens F(x) af en observation x er summen af hyppighederne eller frekvenserne af alle de observationer, der er mindre eller lig med x.

3. Statistik

7 Eksempel Observationssættet med antal søskende fra eksempel 5 kan skrives op i en hyppighedstabel, hvori vi har beregnet de ovennævnte deskriptorer: Observation

Hyppighed

Kumuleret hyppighed

Frekvens

Kumuleret frekvens

0 1 2 3 4

4 8 6 4 3

4 12 18 22 25

4/25 = 0,16 = 16 % 32 % 24 % 16 % 12 %

16 % 48 % 72 % 88 % 100 %

8 Definition Et observationssæts typetal, er den observation, der optræder flest gange. Gennemsnittet eller middelværdien, x , er summen af observationerne divideret med observationssættets størrelse, N.

9 Eksempel Typetallet for observationssættet: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2,2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4 er lig med 1, fordi tallet 1 er det tal med den største hyppighed i datasættet. Gennemsnittet er x=

0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 44 = = 1,76 25 25

10 Øvelse a. Opstil observationerne fra stikprøven i eksempel 1 i rækkefølge (omform til et ordnet observationssæt). b. Beregn variationsbredden og gennemsnittet.

11 Øvelse a. Slå op på 20 forskellige sider i denne bog og tæl antallet af billeder på siden. b. Stil observationerne op på en række i et ordnet observationssæt. c. Opstil en tabel med observationer, hyppigheder, frekvenser, og de kumulerede hyppigheder og frekvenser.

12 Øvelse a. Opstil en tabel med observationer, hyppigheder, frekvenser, og de kumulerede hyppigheder og frekvenser for observationssættet: 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9.

13 Øvelse a. Bestem typetallet og gennemsnittet for observationssættet: 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9.

3. Statistik

Diagrammer og kvartilsæt 14 Introduktion Et malet portræt viser noget væsentligt om en person, men er mindre detaljeret end et fotografi. På samme måde viser statistiske diagrammer væsentlige træk ved et observationssæt uden at give alle detaljer.

15 Definition I et stolpediagram eller pindediagram vises observationernes hyppighed eller frekvens som længde på stolper eller pinde. De kumulerede hyppigheder eller frekvenser kan afbildes i et trappediagram, hvor trappens højde på hvert trin er proportional med den kumulerede hyppighed/frekvens.

16 Eksempel En lille tebutik registrerede i 20 dage i træk, hvor mange kunder der kom i begyndelsen af åbningstiden fra kl. 10–11. Resultaterne fremgår af tabellen og er vist som et stolpediagram for hyppighederne og et trappediagram for den kumulerede frekvens. På trappediagrammet er trappetrinnene høje, når de tilsvarende stolper er høje. Observation

Hyppighed h(x)

Kumuleret hyppighed H (x )

Frekvens f(x)

Kumuleret frekvens F (x )

0,05

0,10

0,15

0,20

0,35

0,25

0,60

0,30

0,90

0,10

1,00

Kumuleret frekvens 6

Hyppighed

0,8

5 4

0,6

0,4

2 0,2

1 0

0 –1

3. Statistik

8 10 Antal kunder

Kvartilsæt for ikke-grupperede observationer 17 Definition For ikke-grupperede observationer i et ordnet observationssæt defineres kvartiler således:   Medianen, M, eller anden kvartil, Q2, er den midterste observation. Ved et lige antal observationer vil der ikke være en midterste observation. Så tager man gennemsnittet af de to midterste. Første kvartil, Q1, er medianen af de observationer, der står til venstre for M.  Tredje kvartil, Q3, er medianen af de observationer, der står til højre for M. Tilsammen udgør de tre tal kvartilsættet (Q1, Q2 , Q3 ). Kvartilafstanden er Q3 – Q1 (kaldes også kvartilbredden).   I regneark og programmer som Geogebra kan du også udregne kvartilsættet. Tallene kan afvige lidt fra dem, der fås manuelt, fordi beregningsmetoden kan variere en lille smule mellem programmerne. Endvidere kan et kvartilsæt aflæses på diagrammer.

18 Eksempel Herunder ses højden i meter på et udvalg af 6 høje egetræer. 23,4

24,1 28,0

31,7

31,9

33,8

Medianen er gennemsnittet af de to midterste grå tal M = (31,7 + 28,0)/2 = 29,85 og de andre kvartiler er lig med de blå tal Q1 = 24,1 og Q3 = 31,9

19 Øvelse Herunder ses højden i meter for en gruppe på 9 høje træer. 23,4 24,1 28,0 31,7 31,9 32,9 33,1 33,8 37,2 a. Opskriv kvartilsættet for dette nye datasæt.

20 Øvelse a. Tegn et stolpediagram og et trappediagram for besøgene om formiddagen på en kaffebar. Observationerne for 100 dage fremgår af tabellen: Antal kunder, x Hyppighed, h(x)

0 5

1 5

2 20

3 30

4 20

5 10

6 10

21 Øvelse 5 gamle fjender møder hinanden hver onsdag i kiosken, hvor de kan skule til hinanden, mens de spiller lotto. En uge ser gevinsterne i kr. således ud: 0, 0, 43, 1 000 000. a. Bestem medianen. b. Beregn gennemsnittet og forklar, hvad forskellen er på de to begreber median og gennemsnit.

3. Statistik

Boksplot

22 Introduktion

En elev vil gerne skabe sig et overblik over de karakterer, hun fik ved sin hf-eksamen, det kan hun gøre med et boksplot.

23 Definition

De fem værdier: mindste værdi, første kvartil, median, tredje kvartil og største værdi kaldes det udvidede kvartilsæt.  Et boksplot er en grafisk fremstilling af de fem værdier.

24 Eksempel En student fik eksamenskaraktererne: 00, 02, 02, 02, 02, 02, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 7, 7, 10, 10. Det udvidede kvartilsæt er (0, 2, 4, 5,5, 10).

25 Eksempel Sådan kan et boksplot tegnes: Tegn en tallinje, hvor værdien af observationerne er afsat. Sæt 5 lodrette streger ovenover: ud for (1) mindste værdi, (2) nedre kvartil, (3) median, (4) øvre kvartil og (5) største værdi. Tegn en boks rundt om selve kvartilsættet og en streg ud fra enderne af boksen til mindste og største værdi. Boksens højde har ingen betydning. Mange matematikprogrammer kan også tegne boksplot. Studenten fra eksempel 24 fik eksamenskarakterer med det udvidede kvartilsæt (0, 2, 4, 5.5, 10). Studentens kammerat tegnede på den baggrund dette boksplot over karaktererne i studenterhuen:

–3

–2

–1

Sammenligning af to datasæt, fx for to elevers karakterer, sker ved at tegne de to boksplot over den samme værdiakse, sådan som det er vist nedenfor. Man kan derefter fx sammenligne niveauforskelle ved at sammenligne medianerne. Man kan sammenligne spredningsforskelle, ved at sammenligne variationsbredderne eller sammenligne kvartilafstandene (Q3 – Q1) altså boksenes bredde. Kender man yderligere middelværdien af de enkelte datasæt, kan man også undersøge symmetriforskelle: højre-/venstreskævhed (middelværdiens placering i forhold til medianen). Ligger middelværdien fx til højre for medianen, kaldes fordelingen højreskæv.

3. Statistik

26 Eksempel To klasser registrerede deres karakterer efter 1.g. Resultaterne blev illustreret med boksplot.

–4 –3

–2

–1

• Sammenligner man boksplottene herover, ser man først, at der er en niveauforskel, idet medianen på det øverste er 4, mens den er 7 i det nederste. Niveauet er altså en del højere på det nederste. • Kvartilafstanden er 5,5 – 2 = 3,5 på det øverste, mens det er 10 – 4 = 6 på det nederste, der dermed har en større variation end det øverste. • Dette understøttes også ved at se, at variationsbredden er 10 på det øverste, men 15 på det nederste. • M iddelværdien i det øverste datasæt kan ud fra tallene i eksempel 24 udregnes til 4,24. Da gennemsnittet er større end 4 og derved ligger til højre for medianen på 4, er dette datasæt højreskævt, det kan måske også anes ved at bemærke den store afstand fra medianen, 4, til størsteværdien, 10. Vi kender ikke middelværdien af det nederste datasæt og kan derfor ikke sammenligne de to sæt med hensyn til skævhed.

27 Øvelse En dyrlæge udarbejder sin egen lille kvantitative undersøgelse af granddanoishundes levealder (målt i antal år). Registreringerne i notesbogen er:  5, 6, 4, 8, 7, 6, 9, 8, 9, 7, 7, 5, 9, 11, 8, 12, 6, 8 a. Beregn det udvidede kvartilsæt.   b. Tegn boksplottet.

28 Øvelse Dyrlægen i øvelse 27 fik blod på tanden og besluttede sig for også at undersøge levealderen hos de gadekryds, der havde været tilknyttet lægeklinikken. Her var det udvidede kvartilsæt (1, 9, 12, 14, 17).  a. Tegn boksplottet og sammenlign de to undersøgelser.

29 Øvelse a. Aflæs største- og mindsteværdi. b. Aflæs kvartilsættet. c. Hvad fortæller medianen om datasættet? 6

3. Statistik

Grupperede observationer

30 Introduktion

I bogen ”Da Vinci mysteriet” af Dan Brown påstår hovedpersonen, at højden af et menneske divideret med afstanden fra navlen til gulvet er lig tallet 1,618 (Det gyldne snit). For at undersøge det, kan man jo måle efter på nogle tilfældigt valgte mennesker. Hvis der er mange mennesker med i undersøgelsen, kan man med fordel samle resultaterne i grupper for at få et bedre overblik.

31 Definition I et grupperet observationssæt samles observationerne i intervaller. Grupperede observationssæt bruges fortrinsvis til store datasæt med mange observationer, der er tal. Ligger en observation netop på grænsen mellem to intervaller, tælles observationen med i det nærmeste lavere interval. Intervalhyppigheden er antallet af observationer i intervallet, intervalfrekvensen er den brøkdel eller procentdel, som intervalhyppigheden udgør af observationssættets størrelse. Den kumulerede intervalhyppighed og den kumulerede intervalfrekvens er summen af intervalhyppigHøjde i cm 166 159 173 173 170 192 158 183 188 175 184 171 174 177 180 185 170 169 159 182 176 163

hederne eller frekvenserne i intervaller op til og med det aktuelle interval.

32 Eksempel En klasse på en ungdomsuddannelse ville undersøge menneskekroppens proportioner og startede med at måle hinandens højder. Resultatet ses i tabellen til venstre. Derefter samlede de observationerne i intervaller (åbne til venstre og lukkede til højre) og beregnede værdien af deskriptorerne intervalhyppighed, kumuleret intervalhyppighed, intervalfrekvens og kumuleret intervalfrekvens for de enkelte intervaller som vist i tabellen herunder: Højdeinterval; cm

Intervalhyppighed

Kumuleret intervalhyppighed

]155, 165]

4 22

= 0,18

0,18

9 22

= 0, 41

0,59

7 22

= 0, 32

0,91

2 22

= 0, 09

1,00

]165, 175] ]175, 180] ]185, 195] Antal i alt

9 7 2 22

Intervalfrekvens

Kumuleret intervalfrekvens

1,00

33 Definition Et grupperet observationssæts typeinterval, er det interval, der har flest observationer. Gennemsnittet eller middelværdien, x , beregnes ved at gange midtpunktet af hvert interval med intervalhyppigheden, lægge alle resultaterne sammen og dividere det hele med observationssættes størrelse. Alternativt kan man beregne middelværdien ved at gange hvert intervalmidtpunkt med den tilsvarende intervalfrekvens og lægge resultaterne sammen.

3. Statistik

34 Eksempel I tabellen i eksempel 32 er typeintervallet ]165, 175]. Den gennemsnitlige højde fra navle til gulv beregnes til x =

160 ⋅ 4 + 170 ⋅ 9 + 180 ⋅ 7 + 190 ⋅ 2 = 173,2 22

35 Øvelse På et gymnasium fordelte den samlede gennemsnitlige månedlige indtægt blandt de 692 elever sig således: Månedsindtægt i kr.

]0;2000]

]2000;4000]

]4000;6000]

]6000;8000]

384

207

Antal (hyppighed)

a. Bestem typeintervallet. b. Beregn middelværdien.

36 Øvelse 22 elever målte afstanden mellem navle og gulv og fik resultaterne (målt i cm): 100, 95, 104, 104, 100, 116, 97, 114, 116, 105, 107, 103, 109,108,114,116,106, 102, 95, 109, 108, 94 a. Grupper observationerne i passende intervaller og opstil en hyppighedstabel. b. Bestem typeintervallet og beregn middelværdien.

Formler for beregning af gennemsnit 37 Sætning Gennemsnittet x af tallene i en grupperet stikprøve med intervalmidtpunkter m1, m2, m3 … og de tilsvarende intervalhyppigheder h1, h2, h3 eller intervalfrekvenser f1, f2, f3 kan beregnes med formlen: x=

m1 ⋅ h1 + m2 ⋅ h2 +  , eller x = m1 ⋅ f1 + m2 ⋅ f22+ + . . ., hvor N er observationssættets N

samlede størrelse, og hvor alle intervalmidtpunkter og deres hyppigheder eller frekvenser regnes med.

38 Sætning Gennemsnittet x af tallene i en ikke-grupperet stikprøve med hyppigheder h(x) og samlet størrelse N kan beregnes med formlen: x=

x1 ⋅ h( x1 ) + x 2 ⋅ h( x 2 ) +  , hvor h(x1) er hyppigheden af observation x1 osv. N

39 Øvelse a. H yppighedstabellen viser hvilepulsen hos 50 unge. Brug formlen i sætning 37 til at beregne gennemsnits-hvilepulsen ud. Hvilepulsinterval ]40, 60] ]60, 80] ]80, 100] Antal i alt

Intervalhyppighed 21 18 11 50

Kumuleret intervalhyppighed 21 39 50

Intervalfrekvens 0,42 0,36 0,22 1,00

Kumuleret intervalfrekvens 0,42 0,78 1,00

3. Statistik

Diagrammer for grupperede observationer 40 Introduktion I en hyggelig lille dansk by var der et år 100 fødsler. Hvis mødrenes alder samles i intervaller på 5 år, vil man ikke kunne beregne median og kvartilsæt på samme måde som i et ugrupperet datasæt. I stedet for kan vi bruge den såkaldte sumkurve til at aflæse kvartilerne. Sumkurven er en af de grafer, vi ser nærmere på her.

41 Definition I et histogram eller søljediagram vises observationernes hyppighed eller frekvens som arealet af søjler, der er tegnet med samme bredde som intervallerne. Hvis intervallerne har samme bredde, viser søjlernes højde observationernes hyppighed/ frekvens i det pågældende interval. De kumulerede hyppigheder eller frekvenser kan afbildes i en sumkurve, med punkter, hvor x-koordinaten er intervallernes højre endepunkt, og y-koordinaten er intervallernes kumulerede frekvens. Den højeste værdi på y-aksen er altså 100 %. Punkterne forbindes med rette linjestykker.

42 Eksempel Herunder ses en grupperet opgørelse over 100 mødres alder med tilsvarende histogram og sumkurve. Alder

]15;20]

]20 ;25]

]25 ;30]

]30 ;35]

]35 ;40]

]40 ;45]

Frekvens

12 %

38 %

32 %

11 %

Kumuleret frekvens

17 %

55 %

87 %

98 %

100 %

Kumuleret frekvens [%]

Frekvens 100 90 75 % 80 70 60 50 % 50 40 30 25 % 20 10 0

35 30 25 20 15 10 5 0 10

45 Alder

3. Statistik

25 Q1

30 M

45 Alder

Kvartilsæt for grupperede observationer 43 Definition (flere deskriptorer for grupperede datasæt) Kvartilerne aflæses på x-aksen i en sumkurve ud fra y-værdierne 25% , 50% og 75% • Første kvartil, Q1, er det tal, der skiller de mindste 25 % af observationerne fra resten.   • M edianen, M, eller andet kvartil, Q2, er det tal, der skiller de mindste 50 % af observationerne fra de største 50 %.   • Tredje kvartil, Q3, er det tal, der skiller de mindste 75% af observationerne fra resten. • Kvartilsættet er talsættet (Q1; M; Q3) • Kvartilafstanden er Q3 – Q1 (kaldes også kvartilbredden).

44 Eksempel I eksempel 42 ovenfor aflæses kvartilsættet på x–aksen i sumkurven ud fra y-værdierne 25 % , 50 % og 75 %. Vi får: Q1 = 26, M = 29,3 og Q3 = 33.

45 Øvelse I et boligkvarter i København fordelte de barslende kvinder sig således mht. alder: Alder (år)

]15;20]

]20;25]

]25 ;30]

]30 ;35]

]35 ;40]

]40 ;45]

Frekvens

3 %

11 %

35 %

28 %

19 %

4 %

Kumuleret frekvens

3 %

14 %

49 %

77 %

96 %

100 %

a. Tegn et histogram over frekvenserne og en sumkurve over de kumulerede frekvenser.

46 Øvelse a. Aflæs kvartilsættet på sumkurven fra øvelse 45. b. Sammenlign kvartilerne med kvartilerne i eksempel 42. Hvad siger det om forskellen på storbyen og den lille by?

47 Øvelse En pakkecentral registerede vægten i kg af 50 pakker:

7 19 24 38 34 11 5 12 14 33 4 28 4 18 13 14 3

6 16

31 2 32 17 7 21 19 23 20 5 26 9 22 36 29 10 4 13 14 22 21 15 8 21 17 12 4 10 7 16 a. Grupper observationerne i fire grupper og opstil en hyppighedstabel. b. Tegn sumkurven. c. Aflæs kvartilsættet på sumkurven. d. Bestem den vægt, der afgrænser de letteste 75% fra de tungeste 25%.

3. Statistik

Opgaver – 3. Statistik Opgaver - Kapitalfremskrivning Opgave 301

d. Bestem største og mindste værdi.

Hans opdrætter høns. Han har en hane, ni høns,

e. Bestem variationsbredden.

der ruger på æg, og en enkelt høne, som er pen-

f. Bestem typetallet.

sioneret. Antallet af æg i rederne en dag i maj er

g. Bestem gennemsnittet.

0, 3, 4, 5, 4, 4, 4, 3, 4, 4

h. Bestem medianen.

Opgave 303 En cyklist synes altid, der er rødt, når hun skal over et bestemt kryds, og beslutter sig for at finde ud af, om det er en rigtig formodning. Ud af 42 gange hun ankom til krydset, var der rødt 21 gange, gult 4 gange og grønt 17 gange. a. Hvad er observationerne? a. Hvilke tal skal der stå i den nederste række i

b. Opstil resultaterne i et skema, hvor hyppighe-

skemaet?

derne fremgår.

c. Hvorfor kan gennemsnittet ikke beregnes? Antal æg

Hyppighed

Opgave 304 I opgaven med den irriterede cyklist kunne gen-

b. Hvad er antallet af observationer (observati-

nemsnittet ikke beregnes. Hvis nu vi sætter

0 = rød, 1 = gul og 2 = grøn, så går det bedre.

onssættets størrelse)?

c. R edegør for, at det er et ikke-grupperet observationssæt.

a. Hvad er observationerne nu? b. Udregn gennemsnittet.

d. Beregn gennemsnittet af æg i rederne.

c. Hvilken farve er gennemsnitslyset?

e. Find største og mindste værdi, samt typetal.

d. Bestem typetallet.

Opgave 302

Opgave 305

Foreningen af Gymnasiale Knallertkørere spurgte klasserne på et gymnasium, hvor mange der havde kørt på deres egen knallert til skole i løbet af året. Svarene fra de forskellige klasser var: 1, 6, 4, 4, 8, 7, 3, 2, 4, 6, 2, 3, 7, 8, 2, 0, 5, 2, 4, 1, 3, 0, 6, 3, 3, 1, 0, 3, 1, 2 Observation Hyppighed

En tidligere erhvervsøkonomielev inspireres af sin a. Udfyld skemaet.

lærer og åbner en genbrugsbutik med modetøj.

b. Hvor mange klasser er der på gymnasiet?

Eleven kan stadig høre lærerens belæring om at en

c. R edegør for, at det er et ikke-grupperet obser-

”lærende organisation” udfører systematiske kunde-

vationssæt.

3. Statistik

undersøgelser. Eleven spørger derfor en tilfældig

dag sine kunder om, hvor mange kilometer de har

a. Lav en tabel for de forskellige tider med hyppigheder, frekvenser og kumulerede frekvenser.

kørt for at besøge butikken. Svarene i km var:

b. Tegn et stolpediagram over stikprøvens

11, 3, 5, 9, 8, 21, 14, 6, 1, 4, 2, 4, 2, 27, 7, 4, 4

frekvenser.

a. Bestem kvartilsættet. b. Forklar, hvad kvartilsættet fortæller om hendes

c. Find typetal og gennemsnit.

d. H vor stor forskel er der på typetal og gennem-

kunders afstand til butikken.

c. Budskabet i tallene er stadig lidt uklart for den

snittet fundet i spørgsmål c.?

friske iværksætter. Du bedes tegne et plot, så det ses tydeligt, hvordan kundernes afstande

Opgave 310

fordeler sig.

a. Tæl antallet af bogstaver i hvert hele ord i denne opgave.

Opgave 306

b. Lav så en tabel over antal bogstaver med

I et samfund besad de rigeste 10 % af befolknin-

frekvenser og kumulerede frekvenser.

gen 90% af den samlede kapital. Vil medianen el-

c. Tegn et stolpediagram.

ler gennemsnittet være det bedste tal at beskrive

d. Tegn et trappediagram.

indkomsterne med?

e. Find kvartilerne og kvartilafstanden.

Opgave 307

Opgave 311

Halvdelen af de handlende kvinder på en mode-

Tabellen viser alderen på 13 unge i alderen 18–21

messe var 25 år eller derunder. Hvad er medianen?

år, der i et lille landdistrikt afsluttede en ungdomsuddannelse i 2015

Opgave 308 I statistikafdelingen på et lille analysebureau lavede man et forsøg med at opsætte en automat med chokoladeknapper. Direktøren, som holdt meget af den slags undersøgelser, foretog en rundspørge

Alder i år 18 19 20 21

Antal 1 3 5 4

over forbruget på en tilfældig dag. 2 medarbejdere

a. Tegn et stolpediagram.

havde ikke fået chokoladeknapper den dag, 3 hav-

b. Bestem kvartilerne.

de smagt mellem 1 og 5 knapper, og 3 havde spist

c. Beregn gennemsnitsalderen på de 13 unge.

mellem 25 og 30. a. Direktøren vil gerne have et enkelt tal, der kan

Opgave 312

måle interessen for chokoladeknapper. Er me-

11 unge har målt deres armlængde fra skulder til

dianen eller gennemsnittet mon det bedste tal?

fingerspidser i dm. Resultaterne blev: 7, 7, 8, 8, 8, 9, 6, 8, 7, 7, 8, 8, 8, 7,

Opgave 309

8, 8, 7, 7, 7, 7, 8, 7.

30 ansatte samler Legofigurer på tid. Tabellen

a. Tegn et stolpediagram.

viser deres tider for at samle en bestemt Legofigur

b. Tegn et trappediagram.

(i minutter).

c. Bestem kvartilsættet.

11 17 16

15 13 19

15 15 10

14 12 15

18 14 15

10 13 12

16 11 17

12 18 13

14 17 15

12 13 16

3. Statistik

Opgaver – 3. Statistik Opgaver - Kapitalfremskrivning Opgave 313

Opgave 316

En skeptisk tilskuer har fået lov til at undersøge en

To naboveje i et finere villakvarter i det østlige

tryllekunstners terning. Han slår 20 tilfældige kast

Jylland battlede om, hvem der havde den nyeste

med terningen og får følgende resultater (i ordnet

bilpark. Her er bilernes aldre på de to veje angivet:

rækkefølge). A

1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6 a. Tegn et stolpediagram. b. Tegn et trappediagram.

c. Bestem medianen. d. Tror du, terningen er fair, eller er den måske

præpareret til at vise flere 6’ere? Begrund svaret.

a. Skriv kvartilsættet op for de to boksplot. b. Sammenlign de to boksplot.

Opgave 314

c. Skriv en kort overskrift på undersøgelsen set

Her er et boksplot.

fra vej A’s side, hvor du inddrager ordene

a. Marker kvartilsættet med stiplede linjer, og

median, største og mindste værdi.

d. Gør det samme set fra vej B’s side, hvor du ind-

opskriv det på formen (Q1 ,M,Q 3).

drager ordene variationsbredde og øvre kvartil.

Opgave 317 I to klasser – en med sproglige studieretningsfag 30 35 40 45 50 55 60 65

og en med naturvidenskabelige studieretningsfag – blev skostørrelsen undersøgt. Resultaterne frem-

Opgave 315

går af de to boksplot.

Her er en række svar på spørgsmålet ”Hvor mange

a. Opskriv det udvidede kvartilsæt for begge klasser.

søskende har du?” 1, 0, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 4, 0, 7, 0, 1, 2, 1

b. S ammenlign resultaterne, der er vist i de to boksplot.

a. Bestem kvartilsættet. b. Tegn boksplottet. Resultaterne af en anden søskendeundersøgelse ses i dette boksplot.

32 34 36 38 40 42 44 46 48

Opgave 318 0 1 2 3 4

a. Tegn et boksplot over de afsluttende karakterer

til eksamen, som en elev angiver i dette

c. Bestem kvartilsættet for den anden undersø-

udvidede kvartilsæt (0, 2, 4, 7, 12).

gelse.

b. Tegn et boksplot mere. Denne gang over en

d. Sammenlign resultaterne af de to undersøgelser.

3. Statistik

elev, der fik ”bedre” karakterer.

Opgave 319

En elev kom for sent

I et land måltes følgende antal badedage i juni

på trods af store,

måned:

sunde fødder.

År

Badedage

1999

2000

2001

2002

2003

2004

h. Ændres typetallet?

2005

i. Hvor mange af de fem størrelser der indgår i

2006

2007

2008

Opgave 321

2009

Her er døgnlængden for otte af solsystemets pla-

2010

neter målt i jorddøgn (tallene er afrundede).

2011

Merkur: 176

Jupiter: 0,4

Venus: 117

Saturn: 0,4

Jorden: 1

Uranus: 0,7

Mars: 1

Neptun: 0,7

a. Bestem det gennemsnitlige antal badedage i

juni måned.

b. Bestem kvartilsættet.

g. Hvor meget ændres gennemsnittet, hvis vi

indregner én elev mere, og denne elev bruger

størrelse 46?

boksplottet ændres (begrund svaret)?

j. Hvad ændres i stolpediagrammet?

c. Vis resultaterne i et boksplot.

a. Hvad er et jorddøgn i timer?

d. Er det korrekt, at der i over halvdelen af årene

b. Beregn gennemsnittet af døgnlængden i timer.

c. Lav et boksplot.

var mere end 15 badedage?

Opgave 320

Opgave 322

På et biologihold registreredes elevernes sko-

a. Forklar, hvad et boksplot viser, som et stolpediagram ikke viser.

størrelser i forbindelse med et forsøg. Observationerne var:

b. Forklar, hvad man hurtigt ser på stolpediagram-

43, 37, 38, 37, 36, 39, 39, 43, 43, 38, 39, 44, 43, 38

a. Udregn gennemsnittet.

c. Kan man tegne et boksplot, hvis man kun har et

met, som man ikke lige ser på boksplottet. stolpediagram?

b. Udregn kvartilsættet. c. Angiv typetallet.

d. Kan man tegne et stolpediagram, hvis man kun

d. Tegn en hyppighedstabel.

har boksplottet?

e. Tegn et stolpediagram. f. Tegn et boksplot.

3. Statistik

Opgaver – 3. Statistik Opgaver - Kapitalfremskrivning Observations- Intervalinterval hyppighed

Opgave 323

Intervalfrekvens

Kumuleret intervalfrekvens

]8;11] ]11;14] ]14;17] ]17;20] ]20;23] Sum

100 100

b. Bestem typeintervallet. Sidsel opdrætter røde slanger. Hun har 110 ny-

Opgave 325

udklækkede unger, hvor længderne i cm fordeler

I NYT fra Danmarks Statistik nr. 320 fra 2011 kan

sig på følgende intervaller:

man se en opgørelse over danskernes foretrukne

Længde i cm ]10 ; 13] ]13 ; 16] ]16 ; 19] ]19 ; 22] ]22 ; 25] Hyppighed

feriesteder i udlandet (med mindst 4 overnatninger) i 2010.

Vi har indtastet i Excel, markeret cellerne og fået a. E r det et grupperet eller et ikke-grupperet

og indsat et diagram.

observationssæt? b. Hvad er observationssættets størrelse? c. Bestem typeintervallet. d. Beregn gennemsnittet.

Opgave 324 Gennem 42 år havde en metrolog registreret minimumstemperaturerne i juni måned. Her er resultaterne i grader celsius: 12,2

13,5

15,3

16,3

12,1

10,2

9,4

15,4

11,4

10,4

9,5

17,3

9,4

12,6

15,3

8,2

11,3

16,3

12,9

14,3

17,9

15,2

20,3

17,2

14,4

18,4

22,6

15,4

18,4

12,8

22,5

16,4

16,9

19,3

18,5

19,6

13,6

21,6

20,1

17,3

14,7

19,4

a. G rupper data fra ovenstående skema som fore- slået i efterfølgende tabel og udfyld resten af den.

3. Statistik

a. Er der tale om et søjlediagram eller om et histogram? b. Begrund dit svar i spørgsmål a.

Opgave 326

Histogrammet viser aldersfordelingen i en

Opgave 328

forening.

En dyreværnsforening, der kæmper for flere frit-

a. Udfyld tabellen.

gående svin, undersøgte aldersfordelingen blandt

Alder i år

15-30 30-45 45-60 60-75 75-90

deres medlemmer:

Intervalfrekvens Kumuleret intervalfrekvens

b. Tegn sumkurven. c. Hvor mange procent af foreningens medlem-

mer er under 40 år?

d. Hvor mange procent af foreningens medlem-

mer er over 67 år? Alder i år

Opgave 327

30-45

45-60

60-75

75-90

370

1.549

2.031

963

462

Antal

Et band har nu 11 egne numre, der varer mellem 3 og 7 min. Deres gennemsnitlige nummer varer

15-30

a. B estem intervalfrekvenser og kumulerede

3:47 min. (3 min. og 47 sek.). De undersøger, hvor

intervalfrekvenser for observationerne.

lang tid 93 tilfældigt udvalgte sange varer på You-

b. Tegn et histogram for denne fordeling.

Tube i deres favoritgenre: ”stonerrock”.

c. Tegn sumkurven for fordelingen.

Resultaterne ses i dette histogram:

d. Hvor mange procent af medlemmerne er over

50 år?

e. Bestem kvartilsættet for fordelingen. f. Forklar, hvad nedre kvartil fortæller om

fordelingen af medlemmernes alder.

Opgave 329 2

Numrenes varighed

a. Udfyld på baggrund af histogrammet en tabel,

hvor den kumulerede intervalfrekvens fremgår.

b. Tegn sumkurven. c. Brug sumkurven til at aflæse, hvor mange pro-

a. Tegn sumkurven for observationssættet her. b. Hvad fortæller kurvens udseende om observationerne? Observation

]0 ; 10]

Hyppighed

]10 ;20] ]20 ; 30] ]30 ;40] ]40 ;50] 5

cent af "stonerrock"-sangene, der varer mere end 4 min. d. H vor mange procent af sangene varer mindre end 3 min.?

3. Statistik

Opgaver – 3. Statistik Opgaver - Kapitalfremskrivning Opgave 330

Opgave 332

Her ses en sumkurve over et grupperet observa-

En ven til mekanikeren fra opgave 331 foreslår

tionssæt over nogle skruers længde.

ham at se på de klagende kunders alder i stedet for bilernes alder:

100

Kundens alder i år

90 80 70

]20 ;30] ]30 ;40] ]40 ;50] ]50 ;60] ]60 ;70] ]70 ;80]

Antal klager

60 50

a. Opstil en hyppighedstabel med intervalfre-

kvens og kumuleret frekvens for observations-

sættet i tabellen.

10 0

b. Tegn sumkurven. 0 5

c. Aflæs kvartilsættet for observationerne, idet

a. Den mindste fjerdedel af skruerne skal kasse-

du viser, hvordan du aflæser det, ved at sætte

stiplede pile på sumkurven.

res. Hvilke længder er det?

d. Skriv en overskrift til mekanikerens næste

b. Halvdelen af skruerne er under længden x.

nyhedsbrev, hvor du inddrager ordet ”median”.

Bestem x. c. Hvilken skruelængde adskiller de korteste 75 %

Opgave 333

af skruerne fra de længste 25 % ?

Læs opgaverne 331 og 332, hvis du ikke allerede

Opgave 331

har regnet dem.

En mekaniker registrerer antal klager fra sine

Er der belæg for at påstå følgende:

kunder. Han mistænker, at det er dem med ældre

a. At mekanikeren har mindst én kunde over 70 år?

biler, der klager, og at han dermed ikke har hele

b. At mekanikeren ikke har kunder under 20 år?

skylden i hvert fald.

c. At ingen af mekanikerens kunder kører i en bil,

a. Opstil en hyppighedstabel med intervalfre-

kvens og kumuleret frekvens for observations-

d. At mekanikerens unge kunder kører i gamle

sættet i tabellen (bilens alder er målt i år):

biler?

der er over 23 år gammel?

Bilens alder ]2;5] ]5;8] ]8;11] ]11;14] ]14;17] ]17;20] ]20;23]

Opgave 334

Antal klager

Et nystartet ungdomshus afholder forskellige

koncerter og undersøger aldersfordelingen af b. Tegn sumkurven.

koncertgæsterne:

c . Aflæs kvartilsættet for observationerne, idet

du viser, hvordan du aflæser det, ved at sætte

stiplede pile på sumkurven.

Alder i år

10-15

15-20

20-25

25-30

Procent

31 %

42 %

18 %

d. I sit nyhedsbrev skriver mekanikeren:

a. Bestem de kumulerede frekvenser.

”Kundetilfredsheden afhænger af bilens alder!

b. Tegn en sumkurve.

En undersøgelse viser, at 75 % af klagerne kom-

c. Bestem kvartilsættet.

mer fra dem af jer, der har biler, der er mere end

d. Gør rede for, hvad medianen fortæller om

10 år gamle.” Er det korrekt?

3. Statistik

ungdomshusets koncertgæster.

Opgave 335

Opgave 337

En dag med strålende solskin i juli måned kom der

a. Opstil en hyppighedstabel med intervalfrekvens

319 tilskadekomne ind på en skadestue i Danmark.

og kumuleret intervalfrekvens for observations-

Skemaet herunder viser de tilskadekomnes alder.

sættet i tabellen:

Alder i år

]0;20]

]20;40]

]40;60]

]60;80]

Observation

]0 ; 3]

]3 ; 6]

Antal

163

Hyppighed

]6 ; 9] ]9 ; 12] ]12 ;15] 13

a. Tegn en sumkurve og aflæs kvartilsættet.

b. Tegn sumkurven.

b. Tegn et histogram.

c. Aflæs kvartilsættet for observationerne, idet

du viser, hvordan du aflæser det, ved at sætte

En regnfuld dag i januar måned kom der på

stiplede pile på sumkurven.

samme skadestue 240 tilskadekomne.

d. Aflæs på sumkurven, hvor mange procent af

Alder i år

]0;20]

Antal

observationerne, der er større end 10.

]20;40] ]40;60] ]60;80] 47

c. Tegn en sumkurve og aflæs kvartilsættet. d. Tegn et histogram.

Opgave 338 a. Tegn denne sumkurve af på kvadreret papir. b. Tegn en hyppighedstabel og udfyld rækkerne:

observationsintervaller og kumuleret frekvens.

e. Sammenlign de to observationssæt. 100

f. Hvorfor er de forskellige? g. Hvorfor har skadestuer interesse i denne slags

statistik?

60 40

Opgave 336

En hyppighedstabel har typisk fire kolonner: 1. Observationsinterval

2. Intervalhyppighed

3. Intervalfrekvens

4. Kumuleret frekvens

En af kolonnerne kan ikke udfyldes på baggrund af sumkurven alene, men de andre tre kan.

0 0

100

c. Kan kolonnen med frekvens udfyldes? d. Kan kolonnen med hyppighed udfyldes?

a. Tegn en hyppighedstabel og udfyld, hvad du

Opgave 339

a. Tegn kurven herunder af på kvadreret papir, og

kan på baggrund af sumkurven.

120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

skriv tal på akserne.

b. Tegn en hyppighedstabel og udfyld, hvad du

200

400

600

800

kan, på baggrund af sumkurven.

1.000

3. Statistik

Opgaver - Kapitalfremskrivning Facitliste

1. Modeller og variable

25 a. Der er flere rigtige svar fx

Vægt

a. 240 = 32x b. x = 7,5

8 a. Alderen kaldes x (måles år) Alder

b. Hundes alder er x – 8 år c. Sum af alder er x + x – 8 d. 2x – 8 = 30

Vægten stiger, når man vokser, og til sidst skrum-

e. x = 19

per mange i alderdommen.

f. Du er 19 år, og hunden er 11 år.

Årsløn

15 a. 2 er løsningen, fordi 2 · 4 = 8 b. 5 er ikke løsningen, fordi 2 · 5 = 10 og ikke lig med 8. Alder

16 a. x = 4

Som barn er der ingen eller lille løn, som teenager

b. x = 1

mere, voksen endnu mere og på pension måske

c. x = –1

mindre igen.

a. x = 2

a. Når prisen (y) falder, er der flere (x), der vil købe produktet.

18 a. Der er mange rigtige svar fx 2x – 1 = 5

27 Der er flere forskellige rigtige svar fx

a. 1,7 time

a. Vi kunne eksempelvis regne med 30 000 dage

b. 1 333 skridt på en km.

a 2,5 liter.

c. 6 min, medmindre der er meget trafik

Dette vil give 75 000 liter.

eller stoplys.

E n absolut forskel på 75 000 – 70 000 = 5 000 liter.

33 a. Grafen ligger i kvadrant I og III. 34. x f(x)

Facit

–1 –3

0 0

1 3

2 6

3 9

a. a = 280 og b = 240

b. 5 280 kr.

f(x) = 2x – 3

6 4

2 0 –2

–2

0 2

a. a = 10 og b = 15

10 12 14 16 18

b. 10 kr. pr. km

–4

c. 15 kr. d. Ja (den vil koste 65 kr.).

2. Lineære funktioner

25 a. O = 201 cm

9 a.

–1

f(x)

–2

26 a. O = 4x b. Ja.

27 a. O = x + 5 + x + 5 = 2x + 10

b. Ja.

28 a. f(x) = 0,15x 2

b. 6,67 timer eller 6 timer og 40 minutter.

a. f(x) = 3x

a. f(x) = 15x + 75

b. f (x) = 10,5x , hvor x er antal liter, og f(x) er den

b. x = 5.

samlede pris

Dvs. 500 gram mad.

c. f (x) = 1,2x , hvor x er antal skridt, og f(x) er den tilbagelagte afstand i m d. f (x) = –5x + 200, hvor x er antal minutter efter

36 a. –

proppen er taget ud, og f(x) er antal liter i

b. a = 6,48 og b = 6,79

badekarret.

c. 65,11 $ d. Den lineære tendens virker overbevisende i

koordinatsystemet. Men pas på. Den lineære

a. a = 2 og b = 1

tendens kan ikke antages at fortsætte ud over

b. a = 6 og b = –7

årene i tabellen (2009-2014).

17 a. a = 5 og b = 2 b. b = –8

Facit

Opgaver - Kapitalfremskrivning

a. Svarene af hænger af valgte sider, de kan fx være: b. 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4 c. Observationer Hyppighed Frekvenser Kumulerede hyppigheder Kumulerede frekvenser

b. Uger efter Tusinde y=39,35x+157,49 Residual upload afspilninger 0

140

157,49

17,49

192

196,84

4,84

241

236,19

–4,81

284

275,54

–8,46

328

314,89

–13,11

367

354,24

–12,76

401

393,59

–7,41

430

432,94

2,94

451

472,29

21,29

0 1 2 3 4 1 6 9 2 2 0,05 0,30 0,45 0,10 0,10 1

0,05 0,35 0,80 0,90 1,00

12 a. Observationer Hyppighed Frekvenser Kumulerede hyppigheder Kumulerede frekvenser

5 2 0,2

6 1 0,1

7 4 0,4

8 2 0,2

9 1 0,10

0,2

0,3

0,7

0,9

1,00

13 a. Typetallet er 7, gennemsnittet er 6,9.

19 Q1 = 26,1; Q2 = 31,9; Q3 = 33,5

20 a.

Hyppighed

30 25 20 15

d. R esidualplottet viser en klar systematik. Derfor kan vi ikke bruge vores lineære regression. Sammenhængen er ikke lineær.

3. Statistik

10 5 0 –1

120

5 6 Antal kunder

Kumuleret hyppighed

100

a. 1 32, 138, 147, 147, 148, 148, 152, 153, 153, 154, 155, 156, 156, 157, 159, 160, 163, 165, 165, 167, 167, 167, 169, 170, 172, 174, 175, 176, 176, 181 b. Variationsbredde (181 – 132) = 49, gennemsnit: x = 160,1

60 40 20 0 0

Facit

10 12 Antal kunder

a. M = 21,5

a. 13 og 7

b. x = 250010,75 . Medianen svarer til den mid-

b. (9 , 10 , 12)

terste observation i et ordnet datasæt, mens

c. At halvdelen af observationerne er mindre

gennemsnittet er summen af observationer delt

end eller lig med 10.

med antallet af observationer. Hvis den største observation bliver udskiftet med en dobbelt så

stor observation, vil medianen være uændret,

a. Typeintervallet er ]0; 2000]

mens gennemsnittet bliver større.

b. Middelværdien er x = 2248,6

a. Min = 4, Q1 = 6, M = 7,5, Q3 = 9, Max = 12

Interval i cm

Hyppighed

]90, 95] ]95, 100] ]100, 105] ]105, 110] ]110, 115] ]115, 120] 2

3 3 5 6 2 3

b. Typeintervallet er ]105; 110].

Middelværdien er x = 2248,6 96,36

28 45 4

I det nederste boksplot ses det udvidede kvartilsæt

Frekvens

0,3

for gadekrydsene. Det fremgår klart, at levealderen her generelt er højere, idet hele boksen er på et

0,2

højere niveau: Eksempelvis er Q1 for gadekrydsene på niveau med Q3 for granddanois, og 50 % af gade-

0,1

krydsene bliver ældre end den ældste granddanois. Endvidere er spredningen større for gadekrydsene.

0 15

Mindsteværdien af levealderen for gadekryds var kun et år. Der er dog stor sandsynlighed for, at det er et enkelttilfælde, da observationen er en ”outlier”.

Alder

90 80

danois, mens den er 16 (17 – 1) for gadekryds.

større end for granddanois, hvor den var 3. Vi kan

100

Variationsbredden er således 8 (12 – 4) for grandKvartilafstanden er 5 for gadekryds, hvilket også er

60 50 40

ikke beregne gennemsnittet for gadekrydsene, så

skævheden kommenteres ikke.

20 10 0

Q1 15

Q3 35

Facit

Opgaver - Kapitalfremskrivning

46 a. Q1 = 26, M = 30,5, Q3 = 34,5 b. F ørste kvartil er ens, så 25 % af kvinderne, der føder, er i begge byer under 26 år gamle. I det store og hele er de fødende kvinder i København lidt ældre end i den lille by. Fx er halvdelen af kvinderne under 29 år gamle i den lille by, mens halvdelen af kvinderne er under 30,5 år gamle i København. Andelen af kvinder, der føder i en sen alder (over 40 år), er dobbelt så stor i København som i den lille by.

47 a.

Kumuleret Vægt IntervalintervalIntervalinterval hyppighed hyppighed frekvens

Kumuleret intervalfrekvens

[0 ; 10]

0,3

]10 ; 20]

0,36

0,66

]20 ; 30]

0,22

0,88

]30 ; 40]

0,12

b. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

c. (8,3, 15,6, 24,1) d. 2 4,1 kg. dvs. 75% af pakkerne vejer mindre end eller lig med 24,1 kg.

Facit