Kontext 9 kap1 2

MATEMATIK kernebog/web Niels Jacob Hansen · mette christensen Bent Lindhardt · LARS JOHNSEN

9788723514349_indhold.indd 1

9 Alinea

13/06/2017 08.27

KonteXt+ 9, Kernebog/Web Forfattere: Niels Jacob Hansen, Mette Strandgård Christensen, Bent Lindhardt, Lars Busch Johnsen Ekstern redaktør: Bent Lindhardt Forlagsredaktion: Susanne Schulian Redaktionel assistance: Birgitte Lindhardt Billedredaktør: Vibeke Sommer Grafisk tilrettelægning: Jesper Frederiksen Omslag: Jesper Frederiksen Illustrationer: Jesper Frederiksen

Fotos: Forside: Navarone/Dreamstime s. 4 Brian Kalstrup Hougesen s. 21 Wikimedia s. 27 BrianAJackson/iStock/Thinkstock s. 30m De Agostini/C. Sappa/Getty Images s. 30ø Jesper Frederiksen s. 30n Wikimedia (Plimpton 322) s. 32 © The Trustees of the British Museum s. 42 Web Gallery of Art s. 43ø photoaisa/RITZAU s. 43n Wikipedia s. 55 falldown-ekb/iStock/Thinkstock s. 56 Peter Mark/BAM/Scanpix s. 57 TV2 Vejret/TV2 s. 86 Morten Grønnegaard s. 102ø Bent Lindhardt s. 104m www.fotoakuten.se s. 104h Curioso Travel Photography/Colourbox s. 104v My Good Images/Shutterstock s. 107 GuidoB/Wikimedia Commons s. 115 Morten Grønnegaard s. 116 Lyle Zapato/zapatopi.net s. 139v+h DingaLT/iStock s. 140 Morten Grønnegaard s. 163 Tomwang112/iStock/Thinkstock s. 165 Wenn.com/All Over Press Tryk: Livonia Print © 2017 Alinea, Kobenhavn – et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, Egmont 1. udgave, 1. oplag 2017 ISBN: 978 87 23514 349 www.alinea.dk

Videoer, foto og filer til GeoGebra og regneark: Se www.kontextplus.dk GeoGebra-filerne er angivet ved opgaverne med dette symbol Regnearks-filerne er angivet ved opgaverne med dette symbol Screencast er angivet med dette symbol og en QR kode

9788723514349_indhold.indd 2

13/06/2017 08.27

Indhold 4 Afstande og vinkler 30 Tal i store mængder 54 Prøv mundtligheden 1: Skoleboden 56 Data og chance 86 Funktioner 114 Prøv mundtligheden 2: Figurer på sømbræt 116 Formler og ligninger 141 Vækst, procent og økonomi 164 Prøv mundtligheden 3: De olympiske lege 166 Flade og rum 186 Prøv skriftligheden 1-7

9788723514349_indhold.indd 3

13/06/2017 14.49

4

At dele

9788723514349_indhold.indd 4

13/06/2017 08.27

Afstande og vinkler Klassesamtalen • • • •

Beskriv vinklen mellem jordoverfladen og antennemasten.

Hvilke typer trekanter kan I se på billedet?

Hvilke typer trekanter danner bardunerne, antennemasten og jordoverfladen, hvis jordoverfladen er helt vandret?

Hvordan kan man bestemme højden af antennemasten?

Klasseaktivitet: Sortering af trekanter Materialer: Hjælpeark med trekanter, saks, lineal og vinkelmåler Deltagere: 3 - 4 personer

Trekanter kan sorteres efter forskellige egenskaber.

I skal starte med at klippe alle trekanter på de to hjælpeark ud.

Bestem, hvordan I vil sortere trekanterne.

Udarbejd en oversigt, der viser, hvordan I har sorteret trekanterne.

I skal kunne redegøre for de egenskaber, som I har sorteret efter.

I dette kapitel skal du lære om • • • • • •

sammenhænge mellem sidelængder og vinkler i en retvinklet trekant. at beregne afstande i retvinklede trekanter. at bruge den pythagoræiske læresætning. at regne med cosinus, sinus og tangens. at fremstille præcise tegninger. anvende ligedannethed til beregning af afstande og vinkler.

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 5

5

13/06/2017 08.27

Stigen Sonja skal sammen med sin far, Rasmus, male gavlen på deres hus. De har en stige, der er 6 m lang, som de stiller op ad væggen på huset.

Væg Stige

a

70° Jord

6

Opgave 1 a. Hvad hedder den trekanttype, som bliver dannet af væggen, stigen og jorden? b. Hvor mange grader er vinklen mellem jorden og væggen? c. Hvor mange grader er vinklen mellem jorden og stigen?

Opgave 2 a. Forklar, hvordan du ved at måle på tegningen til venstre kan beregne den virkelige afstand fra stigen og ind til væggen. b. Hvor højt når stigen op på væggen? c. Hvor stor er vinklen mellem stigen og væggen?

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 6

13/06/2017 08.27

T

Rasmus og Sonja kan se, at der er en sammenhæng mellem stigens afstand fra væggen og hvor højt stigen kan nå op på væggen.

Opgave 3 Stige og væg, QR 1 a. Brug GeoGebrafilen Stige og væg til at undersøge, hvordan afstanden fra T til jorden ændrer sig, når stigen på 6 m bliver flyttet tættere på eller længere væk fra væggen. Beskriv, hvad du lægger mærke til. b. Brug GeoGebrafilen Stige og væg til at undersøge, hvordan afstanden fra S til væggen ændrer sig, når stigen på 6 m skal nå længere eller kortere op på væggen

S

Opgave 4 a. Brug GeoGebrafilen Stige og væg til at undersøge, hvordan afstanden fra T til jorden ændrer sig, når afstanden fra S til væg er 3 m og stigens længde bliver kortere eller længere. Beskriv, hvad du lægger mærke til. b. Brug GeoGebrafilen Stige og væg til at undersøge, hvordan afstanden fra S til væggen ændrer sig, når stigen skal nå 6 m op og stigens længde bliver kortere eller længere. Beskriv, hvad du lægger mærke til.

Rasmus lægger mærke til, at vinklen mellem jorden og stigen også ændrer sig, når de flytter stigen tættere på væggen.

T

Opgave 5 a. Mål vinklen på tegningen mellem stige og væg. b. Hvor stor er vinklen på tegningen mellem jord og stige?

Opgave 6 a. Beskriv, hvad sker der med vinklen mellem jord og stige, når stigen bliver skubbet ind mod væggen. b. Beskriv, hvad der sker med vinklen mellem stige og væg, når stigen bliver skubbet ind mod væggen.

Opgave 7 a. Hvor lille kan vinklen mellem stige og væg blive? b. Hvordan er stigen placeret i forhold til væggen, hvis vinklen mellem stige og jord er meget lille?

6m

S

B

Opgave 8 a. Beskriv, hvad bogstaverne a, b og c svarer til i situationen med væg, jord og stige. b. Beskriv, hvad bogstaverne A, B og C svarer til i situationen med væg, jord og stige.

c

A

a

b

1

C

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 7

7

13/06/2017 08.27

Den pythagoræiske læresætning B c

A

a

b

C

Hvis trekanten er retvinklet gælder a2 + b2 = c2

”Vi kan også regne ud, hvor højt stigen når op”, siger Rasmus. ”Vi ved, at stigen er 6 m lang, og vi kan måle afstanden fra stigen og ind til væggen.”

Han bruger den pythagoræiske læresætning til at beregne, hvor langt stigen når op ad væggen.

Opgave 9 a. Tegn en retvinklet trekant. b. Giv sider og vinkler navne. c. Undersøg ved beregning om den pythagoræiske sætning passer.

Opgave 10 a. Beregn, hvor højt op på væggen stigen når, hvis afstanden fra væg til stigens fodpunkt er 1,5 m og stigen er 6 m lang. b. Beregn afstanden fra væggen til stigens fodpunkt, når stigen på 6 m når 5 m op ad gavlen.

Opgave 11 a. Beregn, hvor lang stigen skal være, når den skal kunne nå 8 m op og fodpunktet skal stå 3 m fra gavlen.

Sonja og Rasmus’ nabo har en stige, der er 10 m lang.

Opgave 12 a. Beregn, hvor højt op stigen kan nå ved tre forskellige afstande fra stigens fodpunkt til gavlen.

8

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 8

13/06/2017 08.27

T

Ved den anden gavl på Sonjas og Rasmus’ hus skråner jorden lidt i forhold til gavlen. Da de skal male gavlen, måler Sonja og Rasmus, at afstanden fra stigen på 6 m ind til gavlen er 2 m, og at stigen når 5 m op ad gavlen.

5m

6m

Opgave 13 a. Brug den pythagoræiske læresætning til at vise, at en trekant med sidelænger på 6 m, 2 m og 5 m ikke er retvinklet. b. Er trekanten spidsvinklet eller stumpvinklet?

S

2m

Rasmus vil gerne vide, hvordan man kan bruge den pythagoræiske læresætning til at afgøre om en trekant er spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet.

Derfor vil han undersøge forskellige trekanter.

Målene på de trekanter, som han vil undersøge er vist i tabellen herunder. a

b

c

Trekant 1

12

5

13

Trekant 2

14

14

20

Trekant 3

11

10

13

Trekant 4

15

16

17

Trekant 5

14

16

22

a² + b²

c²

Trekanttype

Opgave 14 a. Fremstil en tabel, som den Rasmus har lavet. b. Beregn for hver trekant værdien a2 + b2 og c2. c. Afgør, hvilken trekanttype der er tale om. d. Formuler en regel for, hvordan man ved hjælp af den pythagoræiske læresætning kan afgøre om en trekant er enten spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet.

Udfordringen Sonja og Rasmus har en stige på 5 m og en stige på 6 m, som de stiller som vist på tegningen. a. Hvor langt står stigerne fra hinanden, når afstanden fra toppen af stigerne ned til jorden er 4 m? b. Hvilken type trekant danner jorden og de to stiger?

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 9

9

13/06/2017 08.27

Flere stiger En vinduespudser har ofte brug for en stige, som kan sættes op ad en væg for at nå de øverste vinduer. Stiger kan fås i mange længder og den enkelte stige kan ofte variere i størrelse. Ruby, som er vinduespudser har en stige, som i fuld længde kan blive 5 m.

Opgave 1 a. Hvor højt kan Rubys stige nå op af væggen, når den ene ende skal være på gulvet? b. Hvor langt væk fra væggen kan Ruby sætte stigen, når den anden ende skal røre væggen? a

Opgave 2 a. Tegn en skitse af stigen, så afstanden a er lige så stor som afstanden b. b. Skriv de vinkler stigen danner med væggen og jorden, når den står som i spørgsmål a.

b

10

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 10

13/06/2017 08.27

B

Opgave 3 a. Hvilke vinkler danner stigen med jorden og væggen, hvis afstandene a og b er 4 m og 3 m?

Opgave 4 a. Tegn en model af stige, jord og væg fra opgave 3. b. Skriv de manglende sider og vinkler på modellen.

a

C

A

Der er en sammenhæng mellem størrelsen af vinkel A og afstanden a.

Opgave 5 Vinduespudserstigen, QR 1 a. Undersøg denne sammenhæng. Brug GeoGebrafilen Vinduespudserstigen.

Vinkel A

10°

20°

30°

40°

50°

60°

5m

5m

5m

5m

5m

5m

Afstand a Stigens længde (c )

b. Undersøg det samme, hvis stigen kun er 3 m lang Vinkel A

10°

20°

30°

40°

50°

60°

3m

3m

3m

3m

3m

3m

50°

60°

Afstand a Stigens længde (c )

Opgave 6 a a. Undersøg forholdstallet c med to forskellige længder af c.

Vinkel A Forholdstallet Forholdstallet

10°

20°

30°

40°

a

5

a 3

a b. Hvad kan man sige om forholdstallet c ?

Opgave 7 a. Hvor langt op på en væg, når en stige på 4 m (c), hvis vinkel A er 20°. b. Hvor mange grader er vinkel A, hvis en stige på 4 m har en afstand (b) til væggen på 2 m?

Hvis en stige skal stå ordentligt op ad en væg, skal vinklen mellem stigen og jorden være ca. 75°.

Opgave 8 a. Hvordan skal man stille en stige på 8 m, så den står ordentligt op ad væggen? b. Tegn en skitse. c. Indskriv afstande og vinkelmål.

1

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 11

11

13/06/2017 08.27

B Hypotenuse c

A

a Modstående katete

b Hosliggende katete

I retvinklede trekanter kaldes siderne a og b for kateter og siden c for hypotenusen - se tegningen til venstre. Siden a bliver så vinkel A's modstående katete. Siden b bliver vinkel A's hosliggende katete.

C

Opgave 9 a. Hvad hedder den modstående katete til vinkel B? b. Hvad hedder den hosliggende katete til vinkel B? Man kalder forholdstallet ac for sinus i vinkel A. Det skrives som sin A = ac . Det kan også læses som ”sinus til vinkel A er forholdet mellem den modstående katete og hypotenusen i en retvinklet trekant.”

Sin A =

a væg modstående katete = = c stige hypotenusen

Man kan også undersøge sammenhængen mellem stigens længde og afstanden fra stigens fodpunkt hen til muren. Det svarer til forholdet bc – se tegning øverst til venstre.

Opgave 10 a. Undersøg forholdstallet cb med to forskellige længder af c .

Vinkel A

10°

Forholdstallet Forholdstallet

20°

30°

40°

50°

60°

b 5

b 3

b. Hvad kan man sige om forholdstallet cb ?

Opgave 11 a. Hvor langt fra muren vil en stige på 4 m stå, hvis vinkel A er 20°? b. Hvor mange grader er vinkel A, hvis en stige på 4 m har en afstand fra muren på 1 m?

Forholdstallet cb i en retvinklet trekant kalder man for cosinus til vinkel A. Det skrives som cos A = cb . Det kan også læses som ”cosinus til vinkel A er forholdstallet mellem den hosliggende katete og hypotenusen i en retvinklet trekant.”

cos A =

jord hosliggende katete b = = hypotenusen stige c

B

Opgave 12 a. Beregn de manglende sider og vinkler i denne trekant.

75° A

12

6,43

C

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 12

13/06/2017 08.27

sin–1 cos–1 Man kan bruge en lommeregner til at beregne værdier af cosinus og sinus af en vinkel. Man skriver det nogle gange som sin (v), hvor v er vinklens størrelse.

sin

cos

Opgave 13 a. Undersøg, hvordan du kan bruge din lommeregner til at bestemme sinus og cosinus til forskellige vinkler mellem 0° og 90°. b. Tegn denne tabel, og brug lommeregneren til at udregne værdierne.

Grader

10°

20°

30°

40°

50°

60°

70°

80°

90°

sin(v) cos(v)

Opgave 14 a. Undersøg, hvilke taster du skal bruge, hvis du skal finde en vinkel v, hvor sin(v) = 0,57. b. Tegn tabellen og udfyld de manglende felter.

Grader sin(v)

0,2

cos(v)

0,72 0,81

0,95 0,35

0,58

Opgave 15 a. Udregn sin (80°) og sin(89°). b. Undersøg, hvad der sker, når man tager sin(90°)? c. Hvilken situation svarer det til med stigen?

Man kan bruge et cas-værktøj til at beregne værdien af sinus og cosinus til en vinkel.

Opgave 16 Grader, QR 1 a. Undersøg, hvordan du kan bruge et cas-værktøj til at beregne sinus og cosinus til forskellige vinkler mellem 0° og 90°.

Udfordringen Ibrahim har brugt et cas-værktøj til at beregne sin(45°) og cos(45°) og får de resultater, der er vist her. Han tegner en ligebenet retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 1. a. Forklar, hvorfor de to andre vinkler i trekanten begge er 45°. b. Vis med beregninger, at det er rigtigt, at den præcise værdi af både 1 sin(45°) og cos(45°) er √¯ 2.

1

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 13

13

13/06/2017 08.27

Flaske

Hangglider Til sin 16-års fødselsdag fik Dicte en tur som passager på en hangglider.

Sammen med piloten startede hun fra et punkt, der var 30 m over jorden.

Piloten og Dicte svævede i en ret linje, før de landede på jorden 210 m fra det sted, hvor de startede. Skitsen til venstre viser Dictes første svævetur.

30 m 210 m

Piloten fortæller, at en hangglider har et glidetal. Det er forholdet mellem højden man starter fra og den vandrette jordafstand. Jordafstanden kalder man for distancen. Glidetallet for den hangglider, som Dicte prøver, svarer så til 30:210 = 1:7 ≈ 0,14. Andre hangglidere giver andre glidetal.

Dicte får en tur med en anden hangglider. Hun starter i en højde på 20 m og svæver en distance på 180 m.

Opgave 1 a. Tegn en skitse, der viser Dictes svævetur med denne hangglider. b. Beregn glidetallet.

Piloten fortæller Dicte, at vinklen mellem jorden og den stiplede linje, der viser svævet med hangglideren, kaldes glidevinklen.

20 m 180 m

14

Glidevinkel

Opgave 2 a. Konstruer en præcis tegning af svævet og mål en glidevinkel for Dictes svæv fra en højde på 20 m - se opgave 1. b. Bliver det den samme glidevinkel, hvis hun starter højere oppe?

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 14

13/06/2017 08.27

Opgave 3 a. Konstruer en tegning, som viser et svæv fra en hangglider fra en højde på 200 m og med glidetallet 0,2. b. Konstruer en tegning, som viser et svæv fra en anden hangglider fra en højde på 200 m, hvor glidevinklen er 8°.

Tabellen herunder viser glidetallet og glidevinklen for nogle forskellige hangglidere.

Glidetal

0,5

0,25

0,13

Glidevinkel

16°

12°

6°

Opgave 4 a. Tegn tabellen og udfyld de manglende felter i tabellen ved at måle på præcise tegninger.

Den retvinklede trekant til højre viser en tegnet model af svævet.

Det ser ud til, at der er en særlig sammenhæng mellem glidevinkel og glidetal.

Den kalder man for tangens, og skriver den som tan eller tg.

B a

Man kan skrive, at tan A = den modstående katete = a

b

b

hosliggende katete

A

Opgave 5 a. Undersøg, hvordan man beregner tangens til en vinkel på lommeregner. b. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter.

Grader

9°

25°

30°

45°

60°

76°

81°

89°

tan

Opgave 6 a. Undersøg, hvordan man på lommeregneren kan bestemme en vinkels størrelse, hvis man kender tangens til vinklen. b. Udregn vinklen, når tan (v) = 0,38.

Opgave 7 a. Beregn højden på et svæv med en glidevinkel på 10 grader og en distance på svævet på 1100 m.

Udfordringen Dicte får en tur, hvor de starter på et punkt der 68 m over havet. Piloten fortæller, at de lander på et punkt, der er 17 m over havet, og at de har svævet ca. 300 m. a. Bestem glidetallet ved tegning eller ved beregning. b. Bestem glidevinklen.

68 m over havet

300 m

17 m over havet

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 15

15

13/06/2017 08.27

Fuglekasser Astrid og Camilla har bygget en tårnfalkekasse. I en fuglebog har de fundet skitser, der viser de forskellige træstykker, som tårnfalkekassen skal bygges af.

40 cm

Tag

40 cm

Bagside

40 cm

Sidestykke

35 cm Bund

40 cm 1 stk

30 cm 1 stk

30 cm 2 stk

30 cm 1 stk

27 cm

Front

18 cm

30 cm 1 stk

Opgave 1 a. Tegn en præcis tegning af sidestykket til tårnfalkekassen. b. Mål længden af den skrå side på sidestykket. c. Forklar, hvordan du kan beregne længden af den skrå side på sidestykket. d. Beregn alle vinkler i sidestykket.

I byggemarkedet køber Astrid og Camilla en plade, der måler 122 cm x 244 cm.

De vil bygge så mange tårnfalkekasser som muligt af pladen. Camilla begynder at tegne en skitse, der viser, hvordan de kan skære pladen ud.

Opgave 2 a. Tegn en skitse af pladen på 122 cm x 244 cm. b. Undersøg ved at tegne på skitsen, hvor mange tårnfalkekasser, det er muligt at bygge af pladen på 122 cm x 244 cm.

16

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 16

13/06/2017 08.27

Astrid og Camilla vil også bygge nogle andre fuglekasser. I en bog om redekasser til forskellige fugle finder de nogle oplysninger om mål på forskellige fuglekasser.

Tabellen viser de indvendige mål i fuglekassen.

Bredde

Dybde

Højde på front

Hullets diameter

Gråspurv

13 cm

13 cm

20 cm

3,5 cm

Musvit

13 cm

13 cm

20 cm

3,0 cm

Natugle

30 cm

30 cm

70 cm

15 cm

Stær

20 cm

20 cm

15 cm

4,5 cm

Sumpmejse

10 cm

10 cm

15 cm

2,5 cm

8 cm

8 cm

8 cm

3 cm x 8 cm

10 cm

10 cm

15 cm

5 cm x 10 cm

Type 1

Type 2 Gærdesmutte Rødhals

20°

Type 1

Type 2

Astrid og Camilla har en plade, der er 1,6 cm tyk, som de vil bruge til at bygge en ekstra fuglekasse. Taget på fuglekassen skal have en hældning på 20°.

Opgave 3 a. Vælg en fuglekasse, og tegn en skitse med mål på den valgte fuglekasse. b. Tegn skitser af de seks stykker, der skal bruges til fuglekassen. c. Tegn en præcis tegning af et af sidestykkerne.

150

Udfordringen Til den fugl, der hedder en træløber, vil Astrid og Camilla bygge en særlig redekasse. Redekassen har ikke nogen bagside, fordi man sætter den op mod en mur eller et træ, så muren eller træet bliver bagside.

380 240

a. Tegn en præcis tegning af en af sidefladerne i målestoksforholdet 1:10.

150

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 17

17

13/06/2017 08.27

TIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETE Højdemåling Når man skal måle højder af en flagstang eller en antennemast, kan man ikke bruge et målebånd på samme måde, som når man måler længder på jorden.

Derfor er man nødt til bruge forskellige former for snedige metoder.

Ved denne aktivitet skal I arbejde parvis eller i grupper på 3.

Skyggemåling Materialer: Målebånd, pind der kan stikke 1 m op, solskin I skal finde højden af en flagstang i nærheden af skolen eller andre høje genstande ved at måle længden af skygger.

1-32

Gør følgende: • Sæt pinden i jorden, så den stikker præcis 1 m op.

Pinden skal stå lodret.

• Mål længden af pindens skygge.

• Mål længden af flagstangens skygge.

1 a. Hvad er forholdet mellem længden af de to skygger? b. Beregn højden af flagstangen eller en anden høj genstand.

Vinkelmåling Materialer: Vinkelmåler, sigtepind, målebånd

Vinkelmåler Sigtevinkel

Lodret afstand Vandret afstand

Gør følgende • Mål den vandrette afstand hen til træet.

• Mål den lodrette afstand fra øjet ned til jorden.

• Aflæs sigtevinklen til træet.

1 a. Bestem højden af træet ved at måle på en præcis tegning eller ved beregning.

18

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 18

13/06/2017 08.27

VITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER A Afstande som ikke direkte kan måles Materialer: Målebånd, vinkelmåler og pinde Nogle gange kommer man i en situation, hvor man ikke kan bruge et målebånd til at måle afstanden til en genstand. Det kan være, fordi genstanden ligger på den anden side af et vandløb eller en meget befærdet vej. Derfor er man nødt til at bruge forskellige indirekte metoder.

I denne aktivitet skal I arbejde sammen i grupper på 3-4.

De fire pinde D

Gør følgende: • Vælg et træ eller anden synlig genstand uden for klassen, som I vil bestemme afstanden til.

• Sæt pindene A og B med en afstand på 10 m.

• Sæt pinden C, så den ligger på sigtelinjen fra A til træet.

• Sæt pinden D, så den ligger på sigtelinjen fra B til træet.

• Mål længderne A til C, A til D, B til C og B til D. • Tegn en skitse med mål.

• Tilbage i klassen tegner I en præcis tegning og bestemmer afstanden fra A til træet ved at måle på tegningen.

B C

10 m

A

Den retvinklede trekant Gør følgende: • Vælg en synlig genstand uden for klassen, som I vil bestemme afstanden til.

• Sæt først en pind i jorden ved punkt A. • Pinden ved punkt B, skal placeres, så vinklen mellem genstanden, punkt A og punkt B er 90°.

• Mål vinklen mellem punkt A, punkt B og genstanden.

• Mål afstanden mellem punkt A og punkt B. • Beregn afstanden fra punkt A til genstanden.

• Beregn afstanden fra punkt B til genstanden.

Vinkelmåler

?

B 90°

A

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 19

19

13/06/2017 08.27

TIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETE Store konstruktioner Materialer: Hjælpeark, målebånd, flagsnor eller et andet langt reb, vinkelmålere, pinde Når landmåleren skal sætte skelpæle op på en byggegrund eller afsætte grunden til et hus, er det en konstruktion af en geometrisk figur. I denne aktivitet skal I arbejde med nogle tilsvarende konstruktioner.

I skal arbejde sammen i grupper på 3-4.

Gør følgende: • Hent et hjælpeark med en skitse af den figur, som I skal konstruere.

• Diskuter, hvordan I vil konstruere figuren, så den bliver præcis.

• Konstruer figuren ved at afsætte pinde, der markerer figurens hjørner.

1 a. Mål størrelsen af de ukendte sidelængder og vinkelstørrelser, og skriv dem på skitsen af figuren. b. Tegn en præcis tegning af figuren i et passende målestoksforhold, og mål størrelsen af de ukendte sidelængder og vinkelstørrelser. c. Sammenlig størrelsen af de mål I har fra de to konstruktioner, og vurder, hvor præcis jeres store konstruktion er udført.

20

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 20

13/06/2017 08.27

VITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER A Landmåling Materialer: Målebånd, vinkelmåler eller et kompas og pinde Det gamle kort over den tyske delstat Sachsen, viser, hvordan man i gamle dage målte landområder op ved at dele landet op i trekanter, når man skulle tegne et landkort.

Nu bruger man et luftfoto eller et satellitfoto.

I skal arbejde med at tegne et kort over et område tæt ved jeres skole.

Herunder er vist en stor grund, der er målt op ved triangulering. I hvert af hjørnerne A, B, C, D, E af grunden er sat en pind.

Først måler man afstanden fra A til B. Derefter måler man sigtevinklerne BAC, ABC, BCD, CBD, CDE og DCE. Når disse mål er taget, er det muligt at tegne en præcis tegning i et valgt målestoksforhold.

A 12 m

B

C

100°

40° 69°

Gør følgende: • Afmærk et område med fx 5 pinde.

• Mål en længde.

• Mål sigtevinkler mellem de forskellige pinde.

78°

E 79°

41° D

1 a. Tegn en skitse af målingerne. b. Tegn derefter en korttegning af området i et passende målestoksforhold. c. Bestem alle sidelængder ved at måle på kortet. d. Undersøg, ved at måle sidelængder på den rigtige figur, hvor nøjagtigt I har fået tegnet kortet. e. Forklar, hvilke årsager der kan være til, at kortet ikke er helt nøjagtigt. afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 21

21

13/06/2017 08.27

V om · iden

V om · iden

V om · iden

Konstruktion

om · Viden

En konstruktion er i geometrien en præcis tegning, der opfylder nogle givne oplysninger.

En skitse er en form for ”tegnemæssig overslag”. Det er en tilnærmet ikke målfast udgave af en præcis tegning. Det er ofte en god ide at skitsere ved brug af papir og pen.

C a

b

A

B

c

Ligedannede trekanter

C1

To trekanter er ligedannede, hvis forholdet mellem de ensliggende sider er konstant. a1

b1

A1

a a1 B1

c1

b

c

= b = c1 = k 2

Ligedannede trekanter er ensvinklede så derfor gælder, at A = A1 B = B1 C = C1

Pythagoras I en retvinklet trekant gælder, at summen af kateternes kvadrater er lig med hypotenusens kvadrat.

Hvis C = 90° gælder det, at a2 + b2 = c2

C

a

b

A

B

c

Hvis det i en trekant gælder, at summen af kateternes kvadrater er lig med hypotenusens kvadrat, så er trekanten retvinklet.

Hvis a2 + b2 = c2 gælder, at C = 90°.

Trigonometri i den retvinklede trekant Siden b er den hosliggende katete til vinkel A. Siden a er den modstående katete til vinkel A. Siden c er hypotenusen i den retvinklede trekant.

B Hypotenuse c

A

22

b Hosliggende katete

a Modstående katete C

sin A =

modstående katete hypotenusen

=

a c

cos A =

hosliggende katete hypotenusen

=

b c

tan A =

modstående katete hosliggende katete

=

a b

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 22

13/06/2017 08.27

Du ved

1

Du kan beregne

c

Siden a og c

a

b =j' –''a' c''' 2

2

a sin A = c B = 90° – A

C

2

c

Siden b og c

c''' –''b' a =j' 2

b

2

b cos A = c B = 90° – A

C

a

3

Siden a og b

a b

4

A

B = 90° – A

C

c

Siden c og vinkel A

c'2'' +''a'2 c =j'

tan A = b

a = c · sin A b = c · cos A

B = 90° – A

Regn vinkel A ud og se under 4

A = 90° – B

C B

5

c

Siden c og vinkel B

C B

6

b = a · tan B

Siden a og vinkel B

a

a'2'' +''b'2 c =j'

A = 90° – B

C

7

a = b · tan A

Siden b og vinkel A

a'2'' +''b'2 c =j' A

8

b

C

b = tana A

Siden a og vinkel A A

B = 90° – A

C

a'2'' +''b'2 c =j'

B = 90° – A

B

9

b a = tan B

Siden b og vinkel B

c =j' a'2'' +''b'2 b

A = 90° – B

C

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 23

23

13/06/2017 08.27

BREDDEOPGAVER O

F

4

J

C

Q 9

50˚ 21

K 3 H

9

?

?

L

21

12

75˚

75˚

I

M

4 P

N

8

B

A

55˚

D

E

a. Forklar, hvorfor er de to trekanter ligedannede?

1

De blå linjer på de to figurer er parallelle. a. Tegn skitser af de to figurer. b. Beregn de manglende længder ved spørgsmåls­ tegnene.

5 b 6

C 4

5

2

24

B

Tegningen viser et byskilt til Nordrabygd, som er bygget af tre trærafter.

a

10

6m

10 A

E

D

14

20

a. Beregn længden af a og b. b. Beregn længden af DE og BD.

3m

3m

6

Skitsen herunder viser en retvinklet trekant.

8m

C

a. Hvor lange er de trærafter, som er brugt? b. Beregn sidemålene på den plade, hvor der står Nordrabygd.

a

b

A

Birgitte stiller sig, så hun lige kan se toppen af grantræet, når hun sigter hen over lygtepælen.

B

c

3

Tabellen viser sidelængder i forskellige retvinklede trekanter.

Trekant 1

a

b

5 cm

12 cm

Trekant 2 Trekant 3

24 cm 20 cm

c 25 cm 40 cm

a. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter.

3m 1,5 m

16 m

a. Hvor højt er træet?

24

4m

7

I en retvinklet trekant har de to kateter længderne 7 cm og 8 cm. a. Beregn længden af hypotenusen.

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 24

13/06/2017 08.27

8

13

I en retvinklet trekant er hypotenusen 40 cm og den ene katete er 20 cm. a. Beregne længden af den anden katete.

9

a. Tegn et kvadrat, som har en diagonal på 3 cm. b. Beregn længden af siderne med en nøjagtighed på 2 decimaler.

14

Tegningen viser en retvinklet trekant.

A

8 cm

b

30°

4,2 m

C

B

a

a. Beregn længden af siden a. b. Beregn længden af siden b.

5,4 m

a. Hvor lang skal diagonalen være på cementgulvet, for at det er en retvinklet trekant?

15

Tegningen viser en retvinklet trekant.

10

C 17 cm

4,1 m

b

52° A

B c

a. Beregn længden af siden b. b. Beregn længen af siden c.

1,5 m

a. Hvor lang er stigen?

11

Hvilke af disse trekanter er retvinklede? a. 12 cm, 16 cm og 20 cm b. 28 cm, 12 cm og 36 cm c. 43 cm, 37 cm og 54 cm

16

Skitsen herunder viser nogle målinger, som en gruppe elever har foretaget for at bestemme højden af en antennemast.

12

a. Tegn en ligebenet retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 7 cm. b. Beregn længden af kateterne med en nøjagtighed på 2 decimaler.

68°

25 m

25 m

50 m

a. Beregn antennemastens højde. b. Beregn længden af de barduner, der er vist på tegningen. afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 25

25

13/06/2017 08.27

17

21

De blå linjer er parallelle. a

Skitsen herunder viser en tilfældig trekant.

C

u c

b

v

30°

a 122°

b

A

a. Find de manglende vinkler.

18

Tegn en firkant, hvor en af de indre vinkler er over 180°.

I tabellen herunder er mål på 4 trekanter. a. Konstruer hver af de 4 trekanter, og mål de størrelser, der ikke er angivet i tabellen

19

Her er to firkanter.

66°

61°

84°

111°

v

u 123°

B

c

a

b

c

Trekant 1

6

5

8

Trekant 2

5

A

B

6

Trekant 3

4

Trekant 4

9

C

72° 31°

104°

7

48°

22°

a. Beregn de manglende vinkler.

22

Tegningen herunder viser en skitse af en trekant.

20

B

Tegningen herunder viser en grund.

7,5 cm

14 m

52°

65° A 50 m

C

8 cm

a. Konstruer denne trekant.

23 9 cm

B

C

85°

a. Beregn længden af alle linjestykker i figuren. b. Beregn grundens omkreds. c. Beregn grundens areal.

G F

A

105°

9 cm

m

3 cm

110°

m

5c

D

3c

80° 5 cm

H

E

a. Konstruer de to figurer.

26

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 26

13/06/2017 08.27

24

28

a. Tegn et kvadrat, hvor diagonalerne er 4 cm lange.

25

Udregn. a. sin(35°)

b. sin(5°)

c. cos(90°)

d. sin(90°)

26

Hvis en stige skal stå ordentligt op ad en væg, bør vinklen mellem jord og stige være ca. 75°. a. Hvor langt oppe på væggen vil en stige på 6 m nå, hvis man overholder de 75°? b. Hvor langt fra væggen vil stigens fodpunkt være?

29

Udregn vinklen. a. sin(v) = 0,342 d. sin(v) = 0

b. sin(v) = 0,5 e. cos(v) = 0

c sin(v) = 0,8 f. cos(v) = 0,5

225 cm

27 140 cm

a. Beregn de manglende sider og vinkler.

En wiener-stige har de viste mål. a. Beregn de manglende vinkler og stigens højde.

B B

B

B

C 4,76

30 5°

a. Tan(15°) d. Tan(89°)

A

b. Tan(45°) e. Tan(1°)

c. Tan(80°) f. Tan(89,9°)

69° A

C

31 7,93

B

a. Tan(v) = 0,58

b. Tan(v) = 1,73

c. Tan(v) = 19

D 32

6,40 A

A

C

C

5,19

B

54,45 1,10

78° A

C

E B 75° A 6,43

F

C B

85° A

58°

C 7,34

G

A 16,49

C

A

C 200 m

Vinkel C i den røde trekant er en ret vinkel.

Afstanden AC = 200 m og A = 58°. a. Hvor højt er Eiffeltårnet? afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 27

27

13/06/2017 08.27

33

36

Tegningen herunder er en skitse af en trekant.

A

7 8 cm

4

9 cm

20°

C

13 cm

B

a. Hvor lang er siden AC?

a. Konstruer trekanten. b. Forklar, hvordan du kan beregne de manglende sidelængder i trekanten. c. Beregn trekantens areal.

34

Forholdet mellem længde og bredde på fjernsynsskærmen er 16:9.

Størrelsen på alle skærme angives i engelske tommer.

En engelsk tomme er 2,54 cm.

37

Figuren er opdelt i tre retvinklede trekanter.

5,00 m

3,60 m

26”

146,3° 67,4°

6,50 m

a. Find de manglende sidelængder og vinkler i figuren a. Beregn fjernsynsskærmens længde og bredde i cm.

38 35 ?

0,4

m

Catrine ser toppen af flagstangen gennem spejlet, som ligger på jorden. Se tegningen.

1m

4,2 m

a. Beregn længden af den skrå side (se spørgsmålstegn).

2m

16 m

a. Hvorfor er de to trekanter ligedannede? b. Hvor høj er flagstangen, hvis Catrine er 1,5 m høj?

28

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 28

13/06/2017 08.27

EFTERTANKEN Vis og forklar Vejskilte, som vist her til højre, ser man ofte, når man kører i bjerge. De kan også ses enkelte steder i Danmark.

Når stigningen er 10% betyder det, at vejen stiger 10 m over en vejafstand på 100 m.

Tegn og forklar, hvilken sammenhæng der er mellem stigningen angivet i procent og sinus til en vinkel. Find et eksempel på nettet.

10%

Stjerne

Afstandsmåling i universet Når en astronom skal bestemme afstanden til en stjerne, der ikke er for langt væk, kan han bruge trigonometri.

Tegningen viser princippet i, hvordan det er muligt at beregne afstanden til nogle af de nærmeste stjerner. Når Jorden befinder sig i position 1, bestemmer man retningen til stjernen. Når Jorden et halvt år senere befinder sig i position 2 bestemmer man igen retningen til stjernen. Når man har gjort det, kan man bestemme vinkel v.

v

I tabellen herunder kan du se størrelsen af vinkel v for nogle af de nærmeste stjerner.

Vinkel v kaldes for stjernens parallakse.

Stjernens navn

Størrelse af vinkel v

Alpha Centauri

0,000206°

Procyon

0,000079°

Spica

0,000004° Jorden2

Jorden1 Solen

Problemstilling • Hvordan kan man beregne afstanden til de nærmeste stjerner, når man kender vinkel v?

• Forklar, hvorfor man får næsten samme afstand, hvis man beregner afstanden fra stjernen til Solen.

Arbejdsbeskrivelse • Beskriv, hvilke formler I valgte til jeres beregninger.

• Er der flere måder at udføre beregningerne på?

• Søg på nettet og find oplysninger om parallakser og afstande til andre stjerner.

Mulige hjælpemidler Lommeregner eller et cas-værktøj

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 29

29

13/06/2017 08.27

30

At dele

9788723514349_indhold.indd 30

13/06/2017 08.27

Tal i store mængder Klassesamtalen • Sumererne, der levede i det nuværende Irak, opfandt omkring 3500 f. Kr. en kileskrift med både tal og bogstaver. Se på disse tal og vis, hvordan I vil skrive 67 med kileskrift.

2=

12 =

32 =

52 =

62 =

72 =

• Mayaerne i Mellemamerika brugte fra ca. 400 f. Kr. til ca. 1500 e. Kr. et 20-tals system.

Se på disse tal og vis, hvordan man skrev 67.

20

22

42

52

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

• I computeren i dag bruger man et 2-talssystem til at beskrive alle tegn, tal og bogstaver.

10-talsystemet

0

1

2

3

4

5

6

2-talsystemet

0

1

10

11

100

101

110

Beskriv dette 2-talssystem og skriv tallet 67.

Klasseaktivitet: En mængde tal Materialer: A3-papir og post-it Tal er ikke bare tal. De kan inddeles i mængder og delmængder.

Gå sammen i grupper på 3-4. Lad hver deltager i gruppen skrive 10 forskellige tal - et på hvert post-it.

Alle tallene vises frem, og man aftaler i gruppen, hvordan de skal opdeles i mængder og delmængder.

Eksempler på tal 0,3 56

1 3

√¯ 2 –5

Overvej, om der er talmængder, som I ikke har fået med.

Tegn de mængder, I bliver enige om på A3-papiret og sæt jeres post-it de rigtige steder.

Hver gruppe offentliggør og begrunder deres resultat.

I dette kapitel skal du lære om • • • • • •

10-talssystemet herunder decimaltallene. potenstal og beregning med disse. kvadratrødder og beregning med disse. brøker og brøkberegninger. irrationale tal. beregninger og talbehandling af kvadrat- og kubikrødder.

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 31

31

13/06/2017 08.27

Hvad er en brøk?

Da man tilbage i den babyloniske periode begyndte at skabe bysamfund med større administration, byggeri, handel osv. fik man brug for at regne med tallene. Det gav ikke så store problemer med plus, minus og gange, men der opstod vanskeligheder, når en division af to tal ikke gik op. Der blev brug for at beskrive den rest, der kom, når man fx dividerede 7 med 4.

Senere i historien i det gamle Egypten skrev man med hieroglyffer på papyrus.

De opfandt et system, så divisionen blev beskrevet som en sum af stambrøker dvs. brøker med 1 som tæller. Man kan fx skrive divisionen 2 : 3 = 2 som 1 + 1 .

3 2 6 Stambrøkerne i en sådan sum måtte ikke have samme nævner.

Opgave 1 a. Giv tre eksempler på stambrøker. b. Skriv en stambrøk, som er større end 1 .

4 c. Undersøg, hvilke af disse regneudtryk, der har en stambrøk som resultat.

1)

1 1 3 + 6

2)

1 1 4 + 12

3)

1 1 5 + 20

4)

1 1 6 + 30

d. Brug resultatet fra opgave c til at forklare, hvordan man kan skrive en stambrøk som summen af to andre stambrøker.

Opgave 2 a. Vis, hvorfor 2 = 1 + 1 .

3 2 6 b. Vis, hvorfor 4 = 1 + 1 + 1 .

5 2 4 20 c. Find to stambrøker, hvor summen giver

32

3 4.

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 32

13/06/2017 08.27

I mange år så man brøker som noget andet end tal. Tallene var antal. Dem brugte man til at tælle med. Brøkdele blev anvendt til at beskrive delen af en størrelse fx 3 af en længde.

4 Når man beskrev forholdet mellem forskellige enheder, kunne der indgå brøker. Det gamle danske rummål 1 potte kunne således beskrives som 1 kande.

2

Gamle danske rummål 1 viertel = 4 kander 1 kande = 2 potter 1 potte = 4 pægle 1 pægl svarer ca. til hvad der kan være i en lille sodavand.

Opgave 3 a. Hvor stor en brøkdel er 1 potte af 1 viertel? b. Hvor mange pægle er 3 1 kande?

2 c. Omskriv 3 pægle til en brøkdel af 1 viertel.

Opgave 4 a. Hvor meget mere væske er der i en beholder med 2 3 potte saft end i en 8 beholder med 1 3 potte saft?

4 b. Hvor meget fylder det, hvis man hælder 2 3 potte saft sammen med 1 3 8 4 potte saft? c. Hvor meget saft er fire gange 3 kande saft?

4

Opgave 5 a. Et drikkekrus indeholder ca. 1 kande. Hvor mange drikkekrus med øl kan 4 fyldes, hvis man har 1 viertel øl? b. En beholder med 3 kande øl skal hældes på 5 krus. Der skal være lige 4 meget i hvert krus. Hvor meget øl vil der være i hvert krus?

Senere i matematikkens historie indførte man brøker som en del af talsystemet. Brøken 1 blev ikke bare en del af noget, men også et tal, som har sin 3 egen værdi og plads på tallinjen. Det betød, at brøker som 1 og 4 så forskel2 8 lige ud, men har samme værdi.

Opgave 6 a. Giv eksempler på fire brøker, som ligger samme sted på tallinjen som 2 .

3 b. Hvorfor kan man sige, at der er uendelig mange brøker, som svarer til værdien 2 ?

3

Opgave 7 a. Tegn en hensigtsmæssig tallinje og afsæt disse brøker på tallinjen.

1 3

5 6

3 4

7 12

15 12

Opgave 8 a. Find de næste tre tal i disse talrækker.

1)

3 1 1 4 12 2 4 ? ? ?

2)

1 1 1 12 6 4 ? ? ?

3)

1 5 2 4 2 ? ? ?

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 33

33

13/06/2017 08.27

Når brøker opfattes som tal, må nogle være større end andre. Det er imidlertid ikke altid nemt at bedømme om fx 35 er større eller mindre end 23 . Det kræver omskrivning af brøktallene, så de har samme nævner fx 159 og 10 15 .

Opgave 9

13 8

a. Sorter disse brøktal efter størrelse:

b. Find to brøktal, som ligger midt mellem

21 13

1 1 3 og 2 .

34 21

2 3

3 5

Opgave 10 a. Find et brøktal, som ligger halvvejs mellem 41 og 31 . b. Find alle brøker mindre end 1 og større end 0, hvor nævneren er 2, 3 eller 4. c. Skriv brøkerne fra opgave b i rækkefølge.

Man har vedtaget at kalde tallet a og omvendte tal til 3 er 1 .

a1

for hinandens omvendte tal dvs. at det

3

Opgave 11 a. Skriv det omvendte tal til 6. b. Skriv det omvendte tal til 53 . c. Hvilket tal har ikke et omvendt tal?

Opgave 12 Division med brøk, QR 1 a. Hvorfor er nedenstående beregning rigtig? Forklar nedenstående beregninger til en anden. Se evt. filmen "Division med brøk".

2 : 2 = 2· = 2 = 1 3 32 6 3 b. Beregningerne herunder viser, hvordan man kan dividere et tal med en brøk.

Forklar metoden for en fra klassen.

2 = 5 = 5 ·3 = 5 ·3 = 5 · 3 3 23 23 · 3 2 2 4 : 2 = 4· 2 = 5 4· 2 = 5 ·42· ·3 = 4 ·· 3 = 12 5 3 5 3 3 5 2 10 3 3

5:

b. Vis, hvordan det kan gøres med disse brøker.

1)

4:2 5

2) 5 :

1 5

3)

1 3

:

1 2

4)

3 4

:

2 3

5)

6 1 2

6)

6 2 3

7)

2 3 2 4

1

Mange mente, det var for vanskeligt at regne med brøker, så gennem tiden har der været forskellige forslag til at gøre noget andet.

34

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 34

13/06/2017 08.27

I 1585 skrev en hollandsk matematikinteresseret ingeniør Simon Stevin en bog, som kom til at hedde ”decimal aritmetik”. Han beskrev her, hvor meget nemmere det er at omforme alle brøker til tiendedele, hundrededele osv. I stedet for at skrive 51 ændrede han det til 0,2 2 . Dvs. at 53,42 kan skrives som additionen 5 · 10 + 3 · 1 + 4 · 1 + 2 · 1 . svarende til 10 10 100 Opgave 13 1 som et decimaltal. a. Skriv 5 · 1000 + 5 · 10 + 9 · 1 + 4 · 101 + 9 · 1000 b. Skriv decimaltallet 205,501 som ovenover.

Når en brøk skal omskrives til decimaltal, forsøger man at forlænge eller forkorte den, så 75 og dermed 0,75. Det nævneren bliver 10, 100, 1000 el. lign. Brøken 43 kan fx skrives som 100 kaldes for et endeligt decimaltal. Det svarer til at beregne 3 : 4 på lommeregner.

Nogle brøker kan ikke forlænges eller forkortes til brøker med 10, 100, 1000 ... el. lign. i nævneren. Brøken 23 svarer til 2 : 3 som giver 0,666 .... Cifret 6 gentages i det uendelige.

Derfor kalder man 6 for decimaltallets periode og tallet for et periodisk decimaltal. Det betyder ofte, at disse tal afrundes, så de er lettere at regne med.

Opgave 14 a. Omskriv følgende brøker til decimaltal.

1 4

3 4

1 3

2 6

3 5

5 8

1 9

b. Hvilke af disse decimaltal er periodiske, og hvilke er endelige?

Opgave 15 a. Omsæt brøktallene 27 og 132 til decimaltal og skriv perioden for begge tal.

Brug evt. lommeregner til hjælp.

Opgave 16 a. Skriv et decimaltal, som ligger mellem 0,3 og 0,4. b. Hvor mange decimaltal er det muligt at finde, som ligger mellem 0,3 og 0,4?

Begrund dit svar.

Opgave 17 Periodiske decimaltal, QR 1 a. Se på ligningen i den grønne ramme og find ud af, hvad der sker. b. Hvad beviser man med denne ligning?

Ligesom der er et decimaltal til alle brøktal, er der også et brøktal til alle decimaltal. Der må fx findes en brøk, som passer til 0,515151 …

Opgave 18 a. Gennemgå ligningen i den røde ramme og find ud af, hvad der sker. b. Find de brøktal, som svarer til disse periodiske decimaltal: 1) 0,363636…

2) 0,444 …

3) 0,915915915 …

Udfordringen a. Giv eksempler på tal, der kan stå i nævneren på en uforkortelig brøk, så det tilhørende decimaltal er et endeligt decimaltal. b. Undersøg, hvad der er fælles for disse tal.

x = 0,9999999 …

10x = 9,9999…

10x – x = 9,99999 … – 0,99999 …

9x = 9 x=1

x = 0,515151 …

100x = 51,515151...

100x – x = 51,515151 … – 0,515151 …

99x = 51 x=

1

51 99

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 35

35

13/06/2017 08.27

√−2 er ikke et brøktal 1

1

a

Den græske matematiker Pythagoras, som var født ca. 570 f. kr. på øen Samos, blev en samlingsfigur for et samfund af matematikere. De kaldte sig pythagoræerne og har lagt navn til den pythagoræiske læresætning. De havde den forståelse, at tallene kunne udledes af den verden, som var omkring dem. Alt kunne beskrives med hele tal og brøkdele af disse.

De fik imidlertid et problem, som de havde svært ved at forstå.

De tegnede et kvadrat med sidelængden 1 og en længde a på diagonalen. Hvis man brugte den pythagoræiske læresætning, kunne man udregne 12 + 12 = a2 eller 2 = a2. Efter hvad pythagoræerne troede, måtte der være et brøktal som ganget med sig selv ville blive 2, men det viste sig ikke at være så enkelt.

Opgave 1 2 2 a. Undersøg, hvor tæt brøktallene ( 23 ) og ( 43 ) er på 2. b. Hvilket af de to brøktal kom tættest på 2? Begrund det. c. Find et nyt brøktal q, hvor q2 kommer tættere på 2 end i opgave a.

Kvadreret Kvadreret betyder at et tal sættes i anden Fx er 3 kvadreret 9 Det svarer til 32

36

Opgave 2 a. Undersøg, hvilke af decimaltallene 1,4 og 1,5 som kvadreret kommer tættest på tallet 2. b. Undersøg, hvilke af decimaltallene 1,41 og 1,42 som kvadreret kommer tættest på tallet 2.

1 fra tallet 2. c. Find et trecifret decimaltal, som kvadreret er under 1000

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 36

13/06/2017 08.27

Opgave 3 a. Brug en lommeregner til at tage kvadratroden af 2 og beskriv, hvor mange decimaler, der vises. b. Undersøg andre lommeregnere, hvis du har mulighed for det.

Opgave 4 a. Undersøg, hvad man skal skrive for at få regnearket til at udregne kvadratrod 2. b. Hvor mange decimaler indgår der i resultatet på regnearket?

Man måtte til sidst erkende, at der fandtes tal, som ikke var brøktal. Disse ”umålelige tal” kaldte man for de irrationale tal. Man brugte med tiden forskellige tegn for kvadratrødder men endte med det tegn, som vi kender som M .

Opgave 5 a. Beregn kvadratroden af 10 på lommeregner og angiv de viste decimaler. b. Brug Kvrod-funktionen i regneark og udregn kvadratroden af 10 med så mange decimaler som muligt. c. Find tre eksempler på tal, hvor kvadratroden er hele tal. d. Hvad særligt er der ved disse tal?

Opgave 6 a. Kan man tage kvadratroden af nul? b. Hvorfor kan man ikke tage kvadratroden af et negativt tal?

Opgave 7 a. Er det rigtigt, at 2j' 2 er det samme somj' 8 ? Hvorfor? j' 4 4 ? Hvorfor? b. Er det rigtigt, at j = ' 16 ' ' s

16

Udfordringen Det er muligt at give et ret præcist overslag på kvadratrødder, uden at bruge lommeregner. Prøv med j' '.

17 j' ' ligger mellemj' ' som er 4 ogj'' 17 16 25 der er 5. j' ' ligger tættere påj' ' end påj'' 17 16 25.

Forskellen mellem 16 og 25 er 9. j' ' ligger 91 fraj' ' hvilker svarer til ca. 0,11.

17 16 Et overslag kunne derfor være, atj' ' er ca. 4,11.

17 Med lommeregner fås at 4,11 · 4,11 = 16,89, hvilket er tæt på 17. a. Undersøg på samme måde j' '' .

2 , j'' 35 , j' 123

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 37

37

13/06/2017 08.27

Ud med matematikken I en landsdækkende TV-kanal har man besluttet sig for en ny serie som kommer til at hedde TV Viden. TV værten Daniella har kaldt sine udsendelser for ”Ud med matematikken”, idet hun tænker, at matematikken skal forklares, så den kommer ud til alle.

Hendes første udsendelse kommer til at handle om tal i potens. ”Man kan skrive et tal ganget med sig selv flere gange på en enkelt måde.

6 · 6 · 6 · 6 kan man skrive som 64 og omtale som ”6 i fjerde”.

Daniella viser en række eksempler.

Opgave 1 a. Udregn 67 og 54. b. Udregn 210. Gæt først og brug bagefter tasten xy, yx eller ^ på lommeregneren til at udregne tallet.

Potens

Rod

6

4

Eksponent

Opgave 2 a. Hvilket tegn anvender GeoGebra og regneark, når man skal udregne et potenstal? b. Udregn 1010 og 76 i regneark. c. Hvilket tal er der tale om, når lommeregner eller regnearket skriver tallet 5,14 E+05?

Opgave 3 a. Hvad er 50 og 170? b. Gælder det samme for a0?

Opgave 4 a. Udregn følgende negative tal opløftet i potens.

1) –32 2) –15 3) –50 4) –75 b. Hvornår bliver resultatet negativt, og hvornår bliver det positivt?

38

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 38

13/06/2017 08.27

4

”Man kan også have brøker opløftet i potens fx er 31 · 31 · 31 · 31 = ( 31 )4 = 1 4 = 14 .

3 3 Daniella vil tegne og skitsere tingene for seerne. ”Her har jeg en strimmel” siger hun og viser den frem. ”Forestil jer, at jeg hele tiden halverer stykket.”

1 1 1 1 1 1 Opgave 5 2 4 8 16 32 a. Hvis brøken 41 kan skrives som 12 hvordan vil du så skrive brøkerne 81 , 161 og 2 1 32 ? b. Hvilken brøk svarer til 18 ?

2

Daniella skriver på tavlen. ”Man har vedtaget at skrive brøktallet ( 15 ) som 2–5 ” 2 Hun fortsætter: ”Hvis vi skar en tredjedel af strimlen væk i stedet for halvdelen,” hun tegner en tabel, ”så vil det sådan her ud.”

Trin

0

Brøkdel

1

Potens

30

1

2

3

4

1 –5 5 = 2 2

5

1 33 3–1

Opgave 6 a. Tegn tabellen og udfyld de manglende felter. b. Omskriv brøktallene til potenstal.

”Der er særlige regneregler for potenstal, når man ganger og dividerer”, fortæller Daniella og skriver nogle eksempler på tavlen.

1) 45 · 46 = 411 2) 56 : 52 = 54 3) (33)2 = 36 4) 925 = 93 9 5) 59 · 5–3 = 56 6) (34)–2 = 3-8 7) 60 · 6–1 = 6–1 8) 53 · 43 = (20)3 Opgave 7 a. Redegør for, hvorfor udsagnene fra 1) - 8) er rigtige. b. Skriv en række regneregler for regning med potenstal med udgangspunkt i opgave a.

Udfordringen Daniella afslutter sit foredrag med at stille en særlig opgave. a. Regn ud, hvad tallet giver. b. Byt rundt på cifrene 4, 3, 2, 1 og find det størst mulige tal.

)

-1 -3 -2

((4

)

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 39

39

13/06/2017 08.27

2-13

tegning af nedenstående tekst vise rnogle guldgravere som er ude at måle område op

Guldgraverne I januar 1848 fandt James Marshall guld i Californien. James var ved at bygge en vandpumpe, der kunne pumpe vand fra en flod op til hans marker. I vandet fra floden fandt han noget skinnende metal, der viste sig at være guld. James marker lå omkring floden, så i stedet for at grave selv lejede han jordstykker ud til andre guldgravere. Han gav hver guldgraver et reb på præcis 100 m og fire træstokke til at afmærke området. Hver guldgraver skulle bruge stokkene og rebet til at afmærke et rektangulært stykke land.

Opgave 1 a. Tegn skitser og skriv mål på tre forskellige jordstykker, der har en omkreds på 100 m. b. Hvilken af de tre skitser har det største areal? c. Vis med andre eksempler, at et kvadrat vil give det største areal, hvis omkredsen skal være den samme.

Man fandt ud af, at arealerne blev forskellige, så guldgraverne fik i stedet for at vide, at de kunne leje et stykke på 800 m2.

Opgave 2 a. Hvad er sidelængden på et kvadrat på 800 m2? Skriv det både som et afrundet decimaltal og en kvadratrod. b. Hvilken af de to skrivemåder er den mest præcise? Begrund det.

40

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 40

13/06/2017 08.27

Fire guldgravere er gået sammen om et kvadrat-jordstykke på 800 m2 og deler det op i fire mindre kvadrat-jordstykker.

Opgave 3 200 ? a. Hvorfor bliver sidelængden på hver af de fire mindre jordstykkerj''' 200 = j''' 800 ? b. Hvordan kan man ud fra tegningen sige, at 2 ·j''' 200 = 2 ·j' c. Hvorfor er det rigtigt, at 2 ·j''' 2 ·j100? ''' d. Hvorfor er det rigtigt, at 2 · j' 2 ·j100 ''' = 20 ·j' 2?

800

800

200

200

200

200

?

Opgave 4 200 ? a. Hvorfor er omkredsen af de små kvadrater 4 ·j''' 3200 ? b. Hvorfor svarer det tilj'''' c. Beskriv omkredsen af det store kvadrat.

Nogle guldgravere har placeret deres kvadrat-jordstykker på 800 m2 ved siden af hinanden.

Opgave 5 7200 m? a. Hvorfor vil tre jordstykker tilsammen have en længde påj'''' b. Hvis man ved, at længden af nogle jordstykker placeret ved siden af 20 000 m, hvorfor kan man så regne sig til antallet af hinanden erj''''' 20 000 : j''' 800 ? kvadrat-jordstykker med regneudtrykket j''''' c. Vis, hvorfor følgende regnestykke er rigtigt:

j''''' 20 000 j''' 800

= 5.

000 . d. Vis, at man også kunne have regnet det ud som s20 '''

800

300

800

800

800

800

800

800

200

200

200

200

200

200

200

200

800

?

Fire andre guldgravere har delt et kvadrat-jordstykke, så den ene af dem får et kvadrat-jordstykke på 300 m2.

?

300

Opgave 6 a. Begrund, hvorfor den røde længde på tegningen er resultatet af regne800 –j''' 300 stykket j''' 800 –j''' 300 ikke erj''' 500. b. Vis på lommeregner, at j''' c. Beregn arealet af hvert de andre tre jordstykker.

300

Udfordringen Mange år senere bliver disse guldgravere enige om at lave et stort monument, som skal symbolisere deres kamp for at finde guld. Det skal være en kube, som har et rumfang på 800 dm3.

800 dm3

3

800 dm? a. Hvorfor er sidelængden på den gule kube j''' 3 100 dm? b. Hvorfor kan det beskrives som 2j''' c. Hvorfor kan arealet af hver af fladerne på det gule kvadrat beskrives som 3 10 ' dm2?

40j' TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 41

41

13/06/2017 08.27

TIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETE Tal kan være smukke Gennem historien har arkitekter og kunstnere ofte tænkt i særlige forholdstal, som gjorde billeder og bygninger smukke.

Af en eller anden grund har vi “et æstetisk øje”, som foretrækker visse forholdstal frem for andre. Et af disse forhold er det gyldne snit også kaldet den gyldne brøk.

Leonardo Da Vinci (1452-1519) var meget optaget af det gyldne snit. Han forestillede sig, at forholdstallet også indgik i proportionerne hos det ”perfekte” menneske. Hans forhold så sådan ud.

b

Fod til navle Højde = Navle til top Fod til navle

a

1 a. Undersøg, om forholdet passer på dig og dine klasse­ kammerater.

2 a. Konstruer en lignende tegning som til højre med passer og lineal. Indtegn afstandene a og b. b. Omskriv sætningen under billedet med bogstaverne a og b.

Der er kun ét forholdstal ba , som opfylder den sætning, I har skrevet i opgave b. Dette tal skriver man med det græske bogstav  (fi). Forholdstallet  minder om π, idet det også er et irrationelt tal. En tilnærmet værdi er ca. 1,62.

3 a. Hvis længden af a er 8 cm, hvor lang vil så b være? b. Hvis længden af b er 10 cm, hvor lang vil så a være? c. En linje er 21 cm lang. Hvor vil du sætte et mærke på linjen, så du har delt den i det gyldne snit? d. Hvis længden på et rektangel er 21 cm, hvad skal bredden så være for, at siderne forholder sig til hinanden, som det gyldne snit? Giv et andet eksempel på et gyldent rektangel.

Tegnet  er fra det græske alfabet og udtales "fi".

4 a. Vis ved udregning, at værdien for  ca. er 1,62. b. Regn de følgende opgaver, og beskriv nogle egenskaber ved .

1)

42

1 

2)  – 1

3) 2

4)  + 1

5)  –

Nøjagtig værdi for  er 1+2j'5 .

1 

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 42

13/06/2017 08.27

VITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER A I kunst-, design- og medieverdenen bruger man ofte det gyldne snit. Siderne i rektanglet, som danner maleriet til højre er delt op i forholdet 1 : 1,62. Det svarer til, at sidelængderne er ganget med 0,62. Som det kan ses er centrale elementer placeret efter det gyldne snit.

5 a. Tegn et rektangel fx på 8 cm x 13 cm. b. Inddel rektanglet efter det gyldne snit ved at tegne linjer som på billedet. c. Undersøg forskellige reklamebilleder, kunstbilleder eller lignende, og indtegn på samme måde det gyldne snit (0,62 · længden). Har man komponeret billedet i forhold til det gyldne snit? Begrund det. d. Mål på forskellige ting omkring dig. Undersøg, om de indeholder forhold, der passer til det gyldne snit.

Man kan genfinde det gyldne snit i naturen, fx i en særlig spiral.

6 Prøv dette: • Tegn spiralen.

• Tegn det gyldne rektangel med målene 21 cm og 13 cm.

Brug ternet papir. Tegn kvadratet på 13 x 13 cm.

• Tegn det nye kvadrat på 8 x 8 cm.

• Tegn et nyt kvadrat på 5 x 5 cm.

• Bliv ved at tegne kvadrater, så længe du kan.

• Tegn cirkelbuerne som på den sidste tegning.

13 cm 13 cm

13 cm

21 cm 8 cm 8 cm

5 cm 5 cm

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 43

43

13/06/2017 08.27

TIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETE Undersøgelse af tal

Primtal Alle naturlige tal har et antal divisorer, som går op i tallet. Fx har tallet 12 seks divisorer og tallet 7 har kun to divisorer. De tal, der kun har to divisorer, er primtallene, som man gennem hele den matematiske historie har været fascineret af, ikke mindst fordi man stadig finder nye primtal, man ikke har kendt før.

1 a. Hvilke af disse tal er primtal: 17, 42, 47, 71 og 91. b. Alle tal kan skrives som faktorisering, hvor der kun indgår primtal.

Fx er 12 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32

2

Primtal, QR 1

a. Brug GeoGebras CAS del og find divisorerne til tallet 112. b. Brug GeoGebra til at faktorisere tallet 1632. c. Undersøg om 787 er et primtal. Prøv med andre tal.

3 Man ved, at der er uendeligt mange primtal, men man har ikke fundet en formel for dem, selv om man har prøvet gennem tiden. Man ved at nogle af primtallene kan skrives som 2n – 1 også kaldet Mersennetallene. Det sidste man har fundet (januar 2017) er 274 207 281 – 1, som udregnet giver et tal med 22 mio. cifre. a. Kontroller på nettet om ovenstående er det sidste nye mersennetal. b. Hvilke af primtallene mellem 1 og 100 er mersennetal?

4 Der findes en formodning - Goldbachs formodning - som siger, at alle lige tal kan skrives som summen af to primtal. Man har stadig ikke bevist den, så hvis du har en ide til et bevis er berømmelsen lige om hjørnet. a. Vis, at Goldbachs formodning passer for alle lige tal mellem 10 og 20.

44

1

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 44

13/06/2017 08.27

VITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER A Sum af brøker

1+2 2 1

2+3 3 2

3+4 4 3

4+5 5 4

5+6 6 5

6+7 7 6

?

?

a. Hvad skal der stå i de to næste felter af tabellen? b. Udregn summerne og beskriv et mønster i resultaterne.

Kædebrøker Herunder ser du fire kædebrøker. a. Forklar, hvorfor 2 1 er det samme som 25 .

2 b. Forklar, hvorfor 11 kan skrives som 1 · 2 = 2.

1

2

1 2

1

2+

1 2

2+

1

1

2+

1 2

2+

1 2+

1

1

2+

1 2

osv...

c. Undersøg, om der er et særligt system i ovenstående kædebrøker.

Kvadrer

Forskellen på kvadrattal Prøv dette - se eksemplet på tegningen til højre.

• Vælg et tal fra 3-tabellen.

• Læg 1 til tallet og kvadrer det • Træk 1 fra tallet og kvadrer det.

• Find forskellen mellem de to tal. a. Undersøg forskellige tal i 3-tabellen. Hvad er systemet? b. Vis, at det altid må være sådan. c. Undersøg, om det er det samme for 5-tabellen.

4

16

+1

3

16 – 4 = 12

Find forskellen

–1

2

4 Kvadrer

Undersøg summen på kvadrattal a. Kan det passe, at summen af to kvadrattal gange 2 er lig med summen af to andre kvadrattal?

Her er to eksempler: 2(52+ 32) = 2(25 + 9) = 68 = 64 + 4 = 82 + 22 2(72+ 42) = 2(49 + 16) = 130 = 121 + 9 = 112 + 32 b. Giv tre andre eksempler. c. Kig efter et mønster i kvadrattallene. Kan I forudsige, hvad det skal give med 2(92 + 52)?

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 45

45

13/06/2017 08.27

V om · iden

V om · iden

V om · iden

Brøktallene

om · Viden

Brøktallene skrevet med en brøkstreg kan repræsentere forskellige ting • en division fx kan 3 : 4 skrives som 43 • en del af helhed fx 43 af en kage • et bestemt tal som på tallinjen, så man kan placere dem efter størrelse og regne med dem. Fx vil afstanden 31 + 31 give afstanden 23 på tallinjen.

Man omtaler 31 som det omvendte tal til 3, fordi Dvs. at det omvendte tal til – 21 er –2.

1 3 · 3 = 1.

Regning med brøker Brøk som division 6:4=

6 4

=

3 2

= 11

2

Addition og subtraktion med brøker

2+3 5 5 2+1 5 4

= =

2+3 = 5 = 1 5–4 5 5 10 10 2 ·· 4 + 1 ·· 5 = 8 + 5 = 13 5 4 4 5 20 20 20

=

5–4 = 1 10 10 4 – 1 = 4 ·· 4 – 1 ··5 5 4 54 45

=

16 – 5 20 20

10 18

=

=

11 20

Multiplikation med brøker

4 = 2·4 = 8 = 1 1 7 7 7 7 · 2 · 5 = 2 · 5 = 10 = 5 3 6 3 6 18 9

2·

eller

2·4:7 = 8:7 = 11

eller

(2 · 5) : (3 · 6) = 10 : 18 =

7 5 9

Division med brøker

2 : 2 = 2 · 1 = 2· = 2 = 1 3 3 2 32 6 3 · 5 : 2 = 52 = 52 3 = 15 = 7 1 3 3 3 ·3 2 2 4 : 2 = 4· 2 = 54· 2 = 54· 2· ·3 = 4 ·· 3 5 3 53 52 3 3 3

46

=

12 10

= 1 2 = 11

10

5

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 46

13/06/2017 08.27

Decimaltallene Decimaltallene er en form for brøktal med den fordel, at man nemmere kan sammenlige tallene.

Cifrene efter kommaet omtales som decimaler.

Der findes 3 typer af decimaltal: • Decimaltal med et endeligt antal decimaler.

• Decimaltal med et uendeligt antal decimaler, hvor cifrene gentager sig efter et bestemt talmønster en såkaldt periode fx 112 = 0,181818 …, hvor perioden er 18 og periodens længde er 2. Det skrives 0,18.

• Decimaltal med et uendeligt antal decimaler, hvor der ikke er talmønster i den måde cifrene kommer på. Fx er √¯ 2 ≈ 1,414213562373 ...

At beregne 0,2 af 250 kr. svarer til regneudtrykket 0,2 · 250 kr. = 50 kr.

Når man dividerer 5 med 0,2 bliver det 25. (5 : 0,2 = 50 : 2 = 25) Der er uendelige mange decimaltal mellem 0,4 og 0,5 fx 0,42 eller 0,435 eller ..

Tallet 0,45 er mindre end 0,5. Det kan ses, hvis man skriver lige mange decimaler i begge tal - her 0,45 og 0,50.

Primtallene De naturlige tal kan opdeles i tre slags tal, dem, der kaldes de sammensatte tal og dem, der kaldes primtal, samt tallet 1.

De sammensatte tal består af alle de naturlige tal, der har mere end to divisorer.

Det vil sige alle de tal, som kan divideres med mindst tre forskellige naturlige tal.

Primtal er tal, der kun har to divisorer – tallet selv og tallet 1.

Man kan beskrive et naturligt tal ved dets divisorer fx har tallet 18 følgende divisorer: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Man kan også faktorisere tallet ved at finde de primtal, som ganget med hinanden giver tallet. Tallet 18 kan skrives som 2 · 3 · 3 eller 2 · 32.

Negative tal Det modsatte tal til 7 er –7. Tallet –10 er mindre end –5. De negative tal udgør sammen med 0 og de naturlige tal talmængden de hele tal.

–9 – 3 = –12 9–3= 6 –9 + 3 = –6 9 – (–3) = 12

9 · 3 = 27 9 · (–3) = –27 (–9) · 3 = –27 (–9) · (–3) = 27

9:3=3 9 : (–3) = –3 (–9) : 3 = –3 (–9) : (–3) = 3

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 47

47

13/06/2017 08.27

V om · iden

V om · iden

V om · iden

Tal i potens

om · Viden

Tal i potens er det samme tal ganget med sig selv et antal gange.

34 er et tal i potens svarende til multiplikationen 3 · 3 · 3 · 3 Det udtales ”3 i fjerde”.

3 kaldes for roden eller grundtallet og 4 kaldes for eksponenten.

Skal man udregne 34 på lommeregner kan man anvende tasten xy eller evt. ^.

I regneark skal man anvende ^. Potenstallet 34 skal således skrives som 3^4.

I denne tabel vokser tallene gange 3 mod højre og divideret med 3 mod venstre.

3–2

3–1

30

31

32

33

1 32

1 31

1

3

9

27

Som det ses vil 30 have værdien 1.

Som det også ses står 3–1 for 1 : 3 eller 31 .

Det betyder, at 3 –4 svarer til 1 : 34 = 14

3

Særlig skrivemåde Store eller små tal kan skrives på videnskabelig skrivemåde.

Skrivemåden er produktet af et starttal mellem 1-10 og en tierpotens.

Fx kan tallet • 345 000 000 skrives 3,45 · 108 eller 3,45 E+08.

• 0,00000000237 skrives som 2,37 · 10–9 eller 2,37 E–09.

Regning med potenstal Der er særlige regneregler ved regning med potenstal.

1) 23 · 25 = 28 svarende til an · am = an + m Bemærk, at det kun gælder, når roden er den samme – ikke ved 22 · 53.

2) 26 : 22 = 24 svarende til an : am = an – m Bemærk, at det kun gælder, når roden er den samme – ikke ved 26 : 52.

3) (23)2 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 26 svarende til (an)m = an · m 4)

3

( 2 ) = 2 · 2 · 2 = 233 3 3 3 3 3

a n

svarende til at ( b ) =

an bn

Der er en særlig regel, når eksponenten er den samme.

53 · 23 = 5 · 5 · 5 · 2 · 2 · 2 = (5 · 2) · (5 · 2) · (5 · 2) = (5 · 2)3

48

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 48

13/06/2017 08.27

Kvadratrødder og kubikrødder j'' 49 udtales som kvadratroden af 49 eller den anden rod af 49.

Kvadratroden af 49 er det positive tal, som ganget med sig selv giver 49.

Man kan ikke tage kvadratroden af et negativt tal, idet der ikke findes et tal som ganget med sig selv, giver et negativt tal.

Der findes kvadratrødder, som ikke kan beskrives med et bestemt brøktal eller decimaltal. Det betyder, at man oftest må afrunde det tal, man får på lommeregner eller regneark. j' 2

j' 3

j' 4

j' 5

j' 6

1,41

1,73

2

2,24

2,45

3

j' 125 '' udtales som kubikroden af 125 eller den tredje rod af 125.

At finde kubikroden af 125 svarer til at finde et tal som ganget med sig selv tre gange giver 125, som er 5.

3 –27 '' = –3.

Man kan godt tage kubikroden af et negativt tal fx er j' 3 j'5 kan også skrives 5 31 .

5

32 ' = 2, fordi 25 = 32 Eksempler på andre rødder: j'

10

j'2 ≈ 1,0718

Der er særlige regler ved regning med kvadratrødder: 16 100 = 4 · 10 = 40 som svarer til at ' ·j''' 1) j' j' 16 100 = j' 16 1600 ' ·j''' ''·'100 ''' =j' '''' = 40 Altså j' a ·j' a'' ·' b b = j' 100 :j' 4 = 10 : 2 = 5 som svarer til at 2) j ''' j''' 100 :j' 4 = j' 100 :' 4 = j' 25 ''''' ' = 5 Altså j' a :j' a'' :' b hvis b ikke er nul. b = j' 12 4 ·j' 3 = 2 ·j' 3 ' = j' Man kan sætte tal udenfor kvadratrodstegnet fxj' - eller omvendt.

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 49

49

13/06/2017 08.27

BREDDEOPGAVER 1

11

a. Angiv en brøk, som ligger mellem brøken

Skriv hele tallet. a. Syv tusinder og sytten enere b. Tre millioner og femhundrede c. Syv tusinder og fire tiere

12

a. 2 +

4+4 7 7 7 c. 3 1 + 5 3 – 2 1 4 4 4

2

Afrund tallene til nærmeste tiendedele. a. 0,34 b. 1,89 c. 3,054 d. 0,072

13

1+ 1 5 10 d. 1 + 1 + 1 4 5 6

a. F orlæng brøktallet 2 . Giv tre eksempler.

3

b. e.

1+1 3 9 3 1 + 12 3 2 4

c. f.

2+3–1 5 10 2 5–11 3

14

a. Angiv det halve af 5 .

7 b. Angiv det dobbelte af 2 .

4

Forkort følgende brøktal mest muligt. a. 90 b. 66 c. 2904

99

3+1–5 13 13 13 d. 5 – 4 – 1 11 11 11

b.

a.

3

230

2 og 4 .

3 5

8

9240

15

1·1 3 3 d. 5 · 2 5 a.

5

Afgør, hvilke tal der er primtal. a. 17 b. 133 c. 121 d. 127 e. 354 f. 103

b. e.

3·5 4 6 1 af 165 kr.

3

1 ·21 4 4 3 · 10 · 2 · 1 3 2

c. 1 f.

16

a. 4 :

6

Opløs tallene i primtalsfaktorer fx 12 = 22 · 3. a. 368 b. 256 c. 435

d.

7

5 6

3 4

7 6

9

1 : 10 5

f.

2 5

2 :8 5

3 liter kan der blive ud af 4

Beregn følgende a. 1 af 250 kr.

b.

c.

d.

Sæt brøktallene i rækkefølge med det mindste først.

2 12 4 3

1 12 7 6

5 12 14 10

b. d.

3 7 13 4

10

a. Skriv brøken

50

c. 8 :

18

a. Afsæt følgende tal på den samme tallinje.

3 12 c. 1 1 2

e.

1 5

a. Hvor mange flasker på 6000 liter saft?

8

a.

1 :4 2

b. 10 :

17

Skriv det sammensatte tal, der kan skrives som: a. 22 · 32 · 112 b. 53 · 32 · 72

1 3

1 2

3 med nævneren 60.

5

2 5 7 5

3 4 8 6

3 6 11 2

3 3 af 4,2 L vand 2

2 af 15 m 3 1 af 0,42 4

19

Skriv tallet med a. 7 hundrededele + 3 tiendedele + 3 enere. b. 15 tiere + 13 hundrededele + 5 tiendedele. c. 5 hundrede + 27 tiendedele + 10 enere. d. Skriv et decimaltal med 3 decimaler.

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 50

13/06/2017 08.27

20

30

Afrund til 2 decimaler. a. 0,2555 b. 2,3094

c. 6,33333

21

Omskriv brøktallene til decimaltal. Afrund evt. til 2 decimaler. a. 3 b. 4 c. 6 d. 7

8

12

13

5

Regn uden lommeregner. a. 0,5 + 0,45 b. 42,4 : 4 d. 45 · 0,2 e. 0,4 · 0,6 g. 33,1 – 2,9 h. 2,4 : 4

c. 6 – 0,93 f. 50 : 0,2 i. 0,5 : 0,2

31

Hvor stor er forskellen mellem tallene? a. 116 og –83 b. –108 og –23 c. –24,3 og 2,8

22

a. Sæt decimaltallene i rækkefølge efter størrelse 0,3 0,29 0, 099 0, 188 0,281

32

a. –23 + 13 d. 35 – 91 + 210

b. –9 – 9 – 9 e. –267 – 765

c. 123 – 150 f. –312 + 35

23

a. Giv et eksempel på et periodisk decimaltal, som har en periodelængde på fire decimaler.

33

a. 7 · –5 d. 255 : –5

b. –4 · –10 e. –45 · –2

c. –24 : –6 f. –2 : –2

24 34

Gør tallene 0,18 mindre. a. 3,44 b. 7,02 c. 0,2

d. 5

a. 50 – (–53) b. –62 – (+8) c. –29 – (–61) d. –3 – (–5) – (–7) – 9 e. 45 + (–34) – 19 + (–16)

25

Beregn a. 0,3 af 35 kr.

35

b. 1,5 af 72 kr.

c. 0,25 af 620 kr.

Omskriv til potenstal. a. 3 · 3 · 3 · 3 · 3 b. 12 · 12 · 12 · 12 · 12

26

Ved støbning af en mur indgår der en blanding af cement, sand og sten i forholdet 1 : 2 : 3. a. Hvor stor en brøkdel udgør cementen? b. Beregn mængden af de tre ingredienser i en blanding på 3 m3.

Udregn potenstallene til et helt tal. a. 44 b. 93 c. 25 37

Skriv som potenstal med grundtallet 10. a. 100 000 b. 10 000 000 000 c. 100 000 000 d. 10 mio.

27

Omsæt til decimaltal. a. 4 · 10–3 b. 2,6 · 10–2

36

c. 1,5 · 10–4 38

28

Omsæt decimaltallene til tierpotenstal. a. 0,0009 b. 0,0005 c. 0,00000396

Omskriv til lang form. a. 1,2 · 10 b. 433 · 105

c. 1,0074 · 103

39 29

Regn uden lommeregner. a. 200 · 334000 b. 3000 · 0,34 d. 2300 : 100 : 10 e. 2,3 : 100

c. 0,2 · 100 · 0,4 · 0,1 f. 0,2 : 10

Omskriv til ét potenstal. a. 4 · 43 b. 53 · 53 · 53 c. 70 · 71 · 73 3 0 4 3 2 d. –3 · –3 · –3 e. 0,5 · 0,5 · 0,51

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 51

51

13/06/2017 08.27

40

49

Omskriv til ét potenstal. a. 52 · 53 · 5–3 b. 32 · 31 · 3–3 c. 7–3 · 7–2 · 7–1 d. 210 · 2–10 · 21

Sæt inden for kvadratrodstegnet.

3 4 5 a. 3j' b. 4j' c. 2j' 50

41

Omsæt til brøktal eller blandede tal.

Udregn. a. (–5)3 + 32 d. (–5)2 · (–3)4

b. 8 + (–3) c. 3 – 5 e. (0,5)2 – (0,2)2 4

2

4

2

j4' j' 9

a.

j b. 5 '3 2j' 3

j d. 2 4'

c. 11

j' 16 '

3j' 2

e.

j5' j'' 25

51 42

a. Skriv det potenstal, som har roden 5 og eksponenten 4. b. Skriv det potenstal, hvor eksponenten er 3 og roden er –7.

Sæt uden for kvadratrodstegnet, hvis det kan lade sig gøre.

300 375 108 '' '' a.j''' b.j' c.j' 52

43

Udregn kubikroden.

3 3 27 125 ' '' a. j' b. j' 3 3 1728 –27 d. j''' e. j'''

Skriv om til ét potenstal. a. 53 : 5 b. 56 : 54 2 1 c. 5 : 5 d. 54 : 50

3

343 c. j''' 3 –2197 f. j'''''

53

32 ' ·j'8 a. j' c. 3j'5 · 2j'2

44

Forkort brøken. a. 23 b. 56 2 53 5 e. 10 f. 103 105 105

c. 35 36 g. 30 30

d. h.

1023 10 10053 10

54 5

a.j6'5

4

''2 b.j0,5

4

23 c.j'

d. 5 31

e. 5– 31

55

45

Beregn. a. (53)3

200 · 2j'5 b. j''' 10 · 4j'8 d. 5j''

Hvor meget er b. (22)2

c. (24)–2

d. ((25)2)2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 af 3 af 4 af 5 af 6 af 7 af 8 af 9 af 10 af 10 000?

46

Omskriv kvadratrødderne til naturlige tal.

34 38 a.j4'2 b.j' c.j' 47

Udregn. ' ·j4 ' a.j4

16 9 ' ·j' b.j'

81 100 ' ·j''' c.j'

56

Astrid blander sig et glas saft. Halvdelen er saft og resten er vand.

Peter tager et dobbelt så stort glas, bruger en fjerdedel saft og resten vand.

De to glas bliver hældt sammen. a. Hvor stor en del af denne blanding er saft?

48

Omskriv kvadratrødderne til decimaltal. Afrund til 2 decimaler.

2 143 2,5 a.j' b.j''' c.j''

52

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 52

13/06/2017 08.27

EFTERTANKEN Vis og forklar Her er en række beregninger med potenser og kvadratrødder, som er forkerte.

Undersøg, hvilke mulige misforståelser der kan være grunden til fejlene, og beskriv dem på en lille film.

Hvor mange brikker?

Materialer: Brikker

Rasmus’ brikker Josefines brikker

Kaspers brikker

Rasmus, Kasper og Josefine spiller et spil, hvori der indgår en æske med 40 brikker. De bruger kun nogle af dem.

Hver af dem har en bunke med brikker.

På samme tid lægger Rasmus en tredjedel af sine brikker til Kasper, Kasper lægger en fjerdele af sine til Josefine og Josefine lægger en femtedel af sine brikker til Rasmus. Efter disse træk har alle lige mange brikker.

Undersøg, hvor mange brikker hver af dem havde fra starten af.

Er der flere løsninger?

Er der andre løsningsmuligheder, hvis man forøger antallet af brikker til 80?

TAL I STORE MÆNGDER

9788723514349_indhold.indd 53

53

13/06/2017 08.27

PRØV MUNDTLIGHEDEN 1

Prøv mundtligheden skal give jer mulighed for at bruge en arbejdsform, som vil ligne det, I kan opleve ved den mundtlige prøve. I skal arbejde i mindre grupper på 2-3 personer. I skal organisere klassen, så hver gruppe har mulighed for at tale sammen og se, hvad de andre i gruppen arbejder med. I skal have papir, så I kan tage notater, tegne skitser mm. I får også brug for én computer.

I skal arbejde med en matematisk undersøgelse ved at beskrive, analysere og besvare en problemstilling ved at bruge matematik. I skal planlægge og gennemføre en matematisk undersøgelse. Dvs. I skal kunne forklare, hvad I har valgt at undersøge, hvordan I vil undersøge det og til sidst vurdere resultatet af undersøgelsen. Arbejdet med undersøgelsen er delt op i tre faser. I får at vide, hvor lang tid, der er til hver fase, og hvordan den fælles opsamling foregår.

Fase 1: I denne fase skal I sætte jer ind i problemstillingen og diskutere • hvilke oplysninger man skal bruge for at svare på problemstillingen.

• hvordan I forestiller jer, at man kan svare på problemstillingen.

Fase 2: I denne fase skal I besvare problemstillingen ved at arbejde med deloplæggene. Mens I arbejder, kan I blive bedt om at redegøre for jeres tanker og arbejde med problemstillingen. Brug hjælpemidler og materialer.

Fase 3: I denne fase skal I fremlægge jeres arbejde for hinanden i klassen. I fremlæggelsen skal I udover jeres matematiske resultater have særligt fokus på følgende: • Hvordan fungerede jeres samarbejde i gruppen?

• Lykkedes det jer at få svaret tydeligt på alle dele af problemstillingen?

• Hvordan anvendte I den tildelte tid? Brugte I tiden fornuftigt?

54

PRØV MUNDTLIGHEDEN 1

9788723514349_indhold.indd 54

13/06/2017 08.28