Kontext+ 8 Læseprøve

matematik kernebog/web niels jacob hansen mette christensen bent lindhardt henrik thomsen

8 alinea

matematik kernebog/web niels jacob hansen ¡ mette christensen bent lindhardt ¡ henrik thomsen

8 alinea

KonteXt+ 8, Kernebog/Web Forfattere: Niels Jacob Hansen, Mette Christensen, Bent Lindhardt, Henrik Thomsen Ekstern redaktør: Bent Lindhardt Forlagsredaktion: Susanne Schulian Grafisk tilrettelægning: Jesper Frederiksen Omslag: Jesper Frederiksen Illustrationer: Jesper Frederiksen Fotos: Forside Shuo Wang/Dreamstime s. 4: Eames Office, LLC s. 4 (baggrund): Thinkstock/Zoonar s. 9 Centers for Disease Control and Prevention - foto: Janice Haney Carr s. 29 Shutterstock/Kokhanchikov s. 30 Wikimedia/Midip s. 55 Sundborg MJ s. 56 Getty Images/Bloomberg/Chip Chipman s. 77 Frederikssunds Private Realskole s. 78 Colourbox/Jesper Frederiksen s. 105 Ark_Pilot s. 106 Scanpix/Jørgen Tue s. 130 Colourbox s. 151 Susanne Schulian s. 152 Scanpix/Torben Christensen s. 176 Danee Gilmartin s. 189 Gonge Danmark Tryk: Livonia Print © 2016 Alinea, København – et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, Egmont 1. udgave, 2. oplag 2016 ISBN: 978 87 23514 356 www.alinea.dk

Videoer, foto og filer til GeoGebra og regneark: Se www.kontextplus.dk GeoGebra-filerne er angivet ved opgaverne med dette symbol Regnearks-filerne er angivet ved opgaverne med dette symbol Screencast er angivet med dette symbol og en QR kode

Indhold 4

Tal i det uendelige

30

Former, linjer og punkter

56

Beskrivende statistik

78

Formler og ligninger

106 Procent og økonomi 130

Chance og tĂŚllemodeller

152

Funktioner og grafer

176

Fra flade til rum

4

at dele

Tal i det uendelige Klassesamtalen • • • • • •

Powers of ten, QR 1

Hvor stort et tal har I navn på?

Hvad betyder Giga? Hvordan kan et Giga-tal skrives?

Hvordan skriver man potenstallet 103 på lang form?

Se filmen Powers of ten.

Beskriv det, der sker i filmen.

Beskriv det mindste og største tal, som indgår i filmen.

Klasseaktivitet: Gæt et potenstal materialer: Hjælpeark med talkort, lommeregner deltagere: 2 personer Skaf en bunke talkort med potenstal på. Se hjælpeark.

Hver deltager skal desuden have to kort, hvor der står henholdsvis ‘Mindst’ og ‘Størst’.

Læg talkortene med bagsiden opad.

Hver deltager trækker et talkort med et potenstal fx 34 og 43.

Hver deltager tager stilling til, hvilket talkort der er størst, og hvilket der er mindst.

Begge lægger derefter enten kortet med mindst eller størst.

Kontroller med lommeregneren, hvem der har ret.

Har man ret, får man et point. Det betyder, at begge kan have ret, en af jer kan have ret eller ingen af jer kan have ret.

Gentag nu spillet, indtil alle kort er trukket.

Vinderen er den, som har fået flest point.

I dette kapitel skal du lære om • • • • • •

at omskrive tal med mange cifre til videnskabelig skrivemåde. at anvende og regne med kvadrat- og kubikrødder. at regne med potenstal. at regne med og anvende brøker. at anvende og regne med negative tal. at anvende primtal og primfaktoropløsninger.

1

tal i det uendelige

5

Teleskoper Potenstal 10 = 10 102 = 10 · 10 1

Pedro og Sacha er på virksomhedsbesøg i Worldzoom, der fremstiller og udvikler store teleskoper til at kigge ud i rummet. Petra Lagerholm er rundviser, og hun viser først gæsterne ind til det store Sternteleskop, der er firmaets stolthed. Forstørrelserne styres med et særligt tastatur. ”Et tryk på tallet 1 resulterer i, at teleskopet forstørrer 10 gange. Tryk på tallet 2 betyder forstørrelse 10 · 10 gange. Tryk på tallet 3 betyder forstørrelse 10 · 10 · 10 osv.,” forklarer hun.

Opgave 1 a. Hvilken tast er der trykket på, når teleskopet forstørrer 10 000 gange? b. Hvilken forstørrelse er der tale om, hvis der trykkes på tasten 6? c. Hvilken knap er der trykket på, hvis teleskopet forstørrer 107 gange?

Hvis man først taster 2 og bagefter 4, forstørrer teleskopet i alt 106.

Opgave 2 a. Forklar, hvorfor det kan være rigtigt. b. Giv et andet eksempel på, hvordan man kan trykke på tasterne for at få en forstørrelse på 100 000.

Opgave 3 a. Hvilke af følgende opgaver viser, at der først er tastet 3 og derefter tastet 2?

1) 103 · 10 2) 103 · 10 · 10 3) 103 · 102 4) 10 · 10 · 10 · 10 b. Hvilke to taster kan man have tastet på for at få en forstørrelse på 108?

6

tal i det uendelige

Opgave 4 a. Beskriv Beskriv, hvorfor 104 · 103 = 107. b. Gælder det også for andre potenstal fx 53 · 54? Hvorfor? c. Formuler en regel, som forklarer, hvordan man kan regne 10a · 10b.

”Hvad nu, hvis jeg fortryder min forstørrelse og vil gøre den mindre?” spørger Sacha. ”Så trykker du på de taltaster, der står minus på,” siger Petra. ”Hvis du fx har forstørret 10 000 gange, og du vil gøre forstørrelsen 10 gange mindre så trykker du på –1. Det betyder, at du nu har en forstørrelse på 1000.”

Andre potenstal

1 10 10–2 = 0,01 = 1 100

10–1 = 0,1 =

Opgave 5 a. Hvorfor kan man sige, at man ganger med 0,1, når man trykker på –1 tasten? b. Hvorfor kan man skrive ændringen i forstørrelsen som 104 · 10–1? c. Hvad vil forstørrelsen blive, hvis man først taster 7 og bagefter –4? d. Beskriv med taster taster, hvordan man først forstørrer 1 000 000 gange og så formindsker med 1000 gange.

Opgave 6 a. Hvilke af disse regneudtryk viser den samme forstørrelse?

1) 10 · 10 · 10 2) 10 · 10 · 100 3) 102 · 10 4) 10 · 10 · 102 b. Hvilke af disse regneudtryk viser den samme forstørrelse?

1) 108 · 10–1 · 10 · 10 2) 109 · 10–6 3) 105 · 10–3 · 10 4) 1010 · 10–6 c. Skriv resultatet af regneudtrykkene i opgave b i lang form.

Opgave 7 105 100 000

104

100

10–1

1000

10–2

10–4

0,01

a. Hvorfor er 1000 : 100 det samme som 1000 · 0,01? b. Hvorfor er 103 · 10–2 = 103–2? c. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter.

udfordringen Undersøg, hvad der sker, når man bytter om på roden og eksponenten.

Fx er 45 = 1024 og 54 = 625. a. Er der et mønster mønster, når forskellen mellem tallene for eksponenten og rod er store fx 310 og 103? b. Er der et mønster mønster, når forskellen mellem tallene for eksponenten og rod kun er 1 fx 34 og 43?

Rod

5

4

Eksponent

tal i det uendelige

7

Tuberkulose Tuberkulose er en livstruende og smitsom sygdom, der er meget svær og slidsom at behandle. En tredjedel af verdens befolkning bærer tuberkulosebakterien i kroppen, og af dem udvikler 10 ud af 100 sygdommen. Den har tidligere været en frygtet sygdom i Danmark, men der er i dag kun få tilfælde.

En tuberkulosebakterie overføres ved dråber af en slags. Når den er inde i kroppen, vokser den i antal ved at dele sig ca. hver 20. time.

Deling Antal bakterier Potenstal

0 (start)

1

2

3

1

2

4

8

1

2

2

4

5

6

7

2

Opgave 1 a. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter. b. Hvor mange bakterier vil der være efter 10 delinger? 20 delinger? c. Hvor mange delinger har der været, når der er 128 bakterier?

Opgave 2 a. Brug skemaet til at vise, at 23 · 24 = 27. b. Undersøg om sammenhængen gælder med andre tal. c. Forklar, hvorfor man kan opstille regnereglen 2m · 2n = 2m + n. d. Forklar tilsvarende hvorfor 2m : 2n = 2m – n.

Opgave 3 Man skriver nogle gange 23 som 2^3 (2 hat 3) fx i regneark. a. Omskriv disse regneudtryk, hvor du bruger ^.

1) 33 · 54 · 22 2) 34 · 75 + 120 3) 55 – 900 + 106.

8

tal i det uendelige

Deling nr.

0

1

5

10

15

Antal bakterier

1

2

32

1024

32 768

20

25

30

35

40

1,07 E+09

Opgave 4 Bakterier, QR 1 a. Fremstil en tabel som ovenfor i et regneark. b. Skriv antallet af bakterier efter 15 delinger som et potenstal. c. Skriv en formel, der beskriver antallet af bakterier efter n delinger.

Opgave 5 a. Omskriv antallet af bakterier efter 15 delinger til videnskabelig skrivemåde. b. Se tabellen. Hvordan skrives 1,07 · 109 i et regneark? c. Skriv 1,07 · 109 som et tal på lang form.

En tuberkulosebakterie kan have en længde på ca. 0,000002 m eller ca. 2 · 10–6 m.

Videnskabelig skrivemåde 3,5 · 105 kaldes ofte for den videnskabelige skrivemåde.

Det kan også skrives som 3,5 E+05.

Opgave 6 a. Hvordan skriver man 10–6 som et decimaltal? b. Hvordan skriver man 10–6 som et brøktal? c. Hvordan skriver man 2 · 10–6 som et brøktal?

I et mikroskop kan man forstørre bakterien. Hvis man forstørrer den 10 gange, ser den ud til at være 2 · 10–5 m.

Opgave 7 a. Forklar, hvorfor 10 · 2 · 10–6 = 2 · 10–5. b. Hvor stor vil bakterien se ud, hvis man forstørrede den 1000 gange?

Skriv det som videnskabelig skrivemåde. c. Hvor mange gange er bakterien forstørret, hvis den ser ud til at være 0,0002 m?

Opgave 8 a. Vis og begrund, hvorfor reglerne fra opgave 2 også fungerer, når n og m er negative.

udfordringen Kvadrattallene kan skrives som a2 fx 32 og 72.

Kubiktallene kan skrives som a3 fx 33 og 73. a. Undersøg, hvilke af disse tal som kan omskrives til et kvadrattal eller kubiktal eller måske begge dele.

211 512 77 88 39

1

tal i det uendelige

9

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 16

16

TA L O G S T Ø R R E L S E R

I fliseforretningen 1

2

3

4

1

2

3

4

Fliseforretningen Eva og Troels har besluttet sig for, at de skal have nyt flisegulv til deres stue. Gulvet Eva og Troels har besluttet sig for, at de skal have nyt flisegulv. Gulvet er er kvadratisk, og siderne er 6 m lange. De er derfor på besøg hos FliseHans for se kvadratisk og siderne er 6 m lange. De er derfor på besøg hos FliseHans for at påsemulighederne. på mulighederne.

Eva har er kvadratisk, kvadratisk,såskal Eva harsagt, sagt,at at når når gulvet gulvet er skalfliserne fliserneogså også være være det. det.

Hos hvor man kan se, antallet af fliser HosFliseHans FliseHanser er der der en en kvadrattavle, tavle med forskellige størrelser af hvordan kvadratfigurer 2 3 kræver 9 fliser forøges.

Vælger man kvadrat , skal man bruge 4 fliser, kvadrat bygget op af små kvadratfliser. Vælger man kvadratfigur 2, skal man bruge osv.

4 kvadratfliser, kvadratfigur 3 kræver 9 kvadratfliser osv.

OPGAVE Opgave11

Flise A: 100 cm2

Beskriv antalletafaffliser, kvadratfliser, skal bruges til kvadratfigurerne a.a.Beskriv antallet der skalder bruges til kvadraterne fra 1-10. fra 1-10. b. Beskriv sammenhængen mellem kvadratets nummer og antallet af fliser. b. Beskriv sammenhængen mellem kvadratfigurens nummer og antallet af c. Hvad sker der med arealet af kvadratet, hvis man fordobler sidelængden?

fliser. c. Hvad sker der med antallet af kvadratfliser, hvis man fordobler sideI et andet rum kan man se tre forskellige fliser: flise A, flise B og flise C. Der står længden?

størrelsen i kvadratcentimeter.

Flise B: 200 cm2

Flise C: 300 cm2

10

tal i det uendelige

I et andet rum kan man se tre forskellige kvadratfliser: flise A, flise B og flise C. Kvadratflisernes størrelse er angivet i kvadratcentimeter til venstre.

OPGAVE 2

a. Skitser de tre fliser, og skriv arealmålet på. b.Opgave Gæt på2 længden af siderne, og skriv resultatet. a.

Gæt pålængden længdenafafsiderne siderneved og skriv det på en skitse af de tre fliser. c. Beregn at bruge kvadratrodstegnet på din lommeregner.

Udregn arealet dit gæt og sammenlign medHvem de angivne arealer til d.b.Sammenlign dit ud gætframed en anden fra klassen. er tættest på? venstre.

Hvem kom tættest på? e. Aftal med en anden fra klassen et areal på et kvadrat. Gæt sidelængden, og c.undersøg Find et tal medlommeregneren, ca. 2 decimaler, som kommer på arealet med hvem der er tæt tættest på. af de tre fliser.

Opgave 3 a. Beregn længden af siderne på fliserne A, B og C ved at bruge kvadratrodstegnet på din lommeregner. b. Sammenlign resultaterne med dine udregninger i opgave 1. Hvor stor forskel er der?

Opgave 4 a. Der er en flise, hvor udregningen i opgave 3b passer og to fliser, hvor udregningen ikke passer. Hvad er der særligt ved det tal, hvor det passer? b. Giv tre eksempler på tal, som altid har ét præcist resultat, når man tager kvadratroden af tallet. c. Giv tre eksempler på tal, som aldrig giver et præcist resultat, når man tager kvadratroden af tallet.

Eva og Troels gætter også på sidelængden af flise B. Eva foreslår 14,2, mens Troels gætter på 14,8.

Opgave 5 a. Undersøg hvilket af tallene, som bedst passer til de 200 cm2. b. Overvej, om det er muligt at finde et decimaltal for sidelængden, som helt præcis passer til et fliseareal på 200 cm2.

Opgave 6 a. Hvis man tager kvadratet på et helt tal, vil man så altid få et helt tal?

Giv mindst tre eksempler, som underbygger dit svar. b. Hvis man tager kvadratroden af et helt tal, vil man så altid få et helt tal?

Giv mindst tre eksempler på dit svar. c. Kan man tage kvadratet af et negativt tal? Giv mindst tre eksempler. d. Prøv at tage kvadratroden af et negativt tal på lommeregneren.

Hvad sker der?

Opgave 7 a. Undersøg kvadratroden af 5, 10, 36, 41 og 169. b. Hvilke tal fra 1 - 100 kan man tage kvadratroden af, så det bliver et helt tal?

tal i det uendelige

11

TA L O G S T Ø R R E L S E R

se B, som er 200 cm2. dækkes. Eva lægger et mønster med tre

Både Eva og Troels har besluttet sig for flise B, som er 200 cm2.

De er dog ikke sikre på, at hele gulvet skal dækkes. Eva lægger et mønster med tre fliser ved siden af hinanden.

TA L O G S T Ø R R E L S E R

Opgave 8 a. Hvorfor er den ene sidelængde i dette mønster 3 · ¯ √200 cm lang? b. Skriv et regneudtryk for det samlede areal af de tre fliser.

mønster flise B

se B, som er 200 cm2. dækkes. Eva lægger et mønster med tre

Opgave 9 a. Beskriv sidelængden på dette mønster. b. Skriv et regneudtryk for arealet af mønstret.

stret. mønster flise B

flise C

flise B

stret.

riv sidelængder på. vv vvv0v · avv vv vvv0v ?

20 30 er avv flise C

·100? a · avv b= ratrødder, fx avv flise B

nårsidelængder man læggerpå. kvadratrødder sammen. riv avv vv v v v v avv vv v v v v er 200 · 300 ? ad du har fundet ud af i opgave a. avv ·100? a vvv = a avv b fx avv a · avv b= ratrødder, b n trækker kvadratrødder fra hinanden.

når man lægger kvadratrødder sammen.

ad du har fundet ud af i opgave a. avv a vvv = a avv b b

n trækker kvadratrødder fra hinanden. tal i det uendelige 12

Eva prøver et andet mønster, hvor både flise B og flise C indgår.

Hun tegner en skitse og skriver mål på.

Opgave 10 a. Tegn en skitse som ovenstående og skriv sidelængder på. b. Hvorfor er arealet af de hvide rektangler ¯ √200 · ¯ √300? c. Beregn arealet af de hvide arealer. d. Hvorfor kan arealet udregnes som √¯ 6 · 100? e. Beskriv en regel for at gange med kvadratrødder, fx √¯ a · √¯ b. f. Prøv reglen fx med √¯ 4 · √¯ 9.

Opgave 11 a. Undersøg, om den samme regel findes, når man lægger kvadratrødder ¯ ¯ sammen. Er det rigtigt, at √¯ 25 + √ 36 = √ 61 ? b. Giv tre andre eksempler, som viser, hvad du har fundet ud af i opgave a. a a c. Undersøg, om følgende regel virker: √¯ = ;b √¯ b d. Undersøg, om der er en regel, når man trækker en kvadratrod fra en anden kvadratrod.

Opgave 12 a. Gør sådan: • Klip et kvadrat med siden 16 cm og arealet 256 cm2. Kald det kvadrat 1.

• Afmærk midten i kvadrat 1.

• Fold hvert hjørne indtil midten, så der dannes et nyt kvadrat 2.

• Skriv kvadratets areal og sidelængde. b. Gentag processen, så langt du kan. c. Tegn tabellen herunder og udfyld de manglende felter.

Kvadrat

1

Sidelængde cm

16

Areal cm2

256

2

3

128

64

4

5

6

7

8

Opgave 13 a. Beregn arealet af dine kvadrater ved at bruge den målte sidelængde.

Passer det med tallene fra tabellen? b. Hvordan kan du ved brug af lommeregner regne dig til en mere præcis sidelængde? c. Ved udregning på lommeregner får man sidelængden på kvadrat 2 til 11,3137085. Prøv at tage kvadratet af dette tal og se, hvad der sker.

udfordringen Den kvadratiske flise med sidelængden 40 cm, har fået skåret et hjørne af ud fra to midtpunkter. a. Hvad er arealet af denne del af flisen? b. Tegn et nyt kvadrat med den stiplede linje som sidelængde. Find et hjørne i dette kvadrat som før. Hvor stort er arealet af hjørnet? Fortsæt med andre kvadrater.

40 cm

40 cm

tal i det uendelige

13

Hofskrædderen Længdemål 1 favn = 3 alen 1 alen = 2 fod 1 fod = 12 tommer

Christian d. 5 underskrev i 1683 en lov, som skulle sikre en ensartethed i de længde- og vægtmål, man brugte rundt i landet. Hofskrædder Ludvigsen var godt tilfreds. Når han fremover skulle købe stof til tøj, vidste han bedre, hvad han fik. Især de kostbare stoffer med guld i vævningen og stærke farver, ville han gerne være helt sikker på, havde den ønskede længde – hverken mere eller mindre. Nu skulle han blot huske, hvordan de forskellige mål var inddelt.

Opgave 1 a. Hvor mange fod svarer til 1 favn? b. Hvor mange tommer svarer til 1 favn?

Opgave 2 a. Hvis Ludvigsen køber 12 alen stof, som koster skal han så betale?

1 2 daler pr. alen, hvor meget

Et stykke stof bliver målt til at være 6 alen og et andet til at være 20 fod langt.

Opgave 3 a. Hvor lange er de to stykker stof tilsammen? b. Hvor stor forskel er der mellem de to stykker stofs længder?

14

tal i det uendelige

Opgave 4 a. Tegn en linje (fx 12 cm), som svarer til 1 favn. Inddel linjen i alen og fod. b. Hvor stor en brøkdel er 2 alen af 1 favn? c. Hvor stor en brøkdel er en tomme af en favn? d. Hvor stor en brøkdel er en tomme af en alen?

Opgave 5 a. Hvor mange fod svarer til 21 favn stof? b. Hvor mange fod svarer til 2 21 favn stof? c. Hvor mange tommer svarer til 31 fod?

Opgave 6 a. Hvor meget er tre længder på hver 4 tommer? b. Hvorfor kan det skrives som regneudtrykket 31 +

1 1 3 + 3?

20 = 5 .

36 9

Opgave 8 a. Hvor stor en brøkdel af hele stoffet vil et stofstykke på 23 · 31 være? b. Hvor stor en brøkdel af hele stoffet vil halvdelen af dette stofstykke være?

‹- 1 fod -› ‹- 1 fod -›

Opgave 7 a. Hvor stor en brøkdel er 5 fod af en favn? 4 fod? b. Forklar, hvorfor det stofstykke, som skal klippes ud, svarer til Brug tegningen til højre.

‹-------------- 1 favn ---------------› ‹-------------- 1 favn ---------------›

Ludvigsen har et stykke stof på 1 favn x 1 favn, hvorfra han skal klippe et stykke på 5 fod x 4 fod.

Ludvigsens kjoler er særligt populære. Ikke mindst hans flotte og farvestrålende pyntebånd vækker interesse, så der er kommet mange bestillinger.

På sit lager kan han se, at der kun er ca. 6 favne tilbage. Han bruger ca. 23 favn til hver kjole. Så er der til fire kjoler, regner han ud.

Opgave 9 a. Fremstil en tegning, som viser, at 6 : 23 = 9. b. Beskriv, hvordan man kan regne sig til at 6 :

1-10 B

2 = 9.

3

Opgave 10 a. Pyntebåndene på 23 favn klippes op i tre dele. Hvor stor en brøkdel er hver del? b. Vis din beregning ved brug af en tegning.

tal i det uendelige

15

Længdemål 1 favn = 3 alen 1 alen = 2 fod 1 fod = 12 tommer

Hofskrædderen har tre ruller stof liggende, som han skal bruge til en ny kjole til dronning Charlotte Amalie.

Han skal bruge: 1) 2 stykker a 3 31 alen af det blå mønstrede stof 2) 4 stykker a 1 23 alen af det røde stof.

3) 5 stykker a 1 alen 1 fod af det gule stof.

Opgave 11 a. Hvor meget af det blå stof skal der bruges i alt? Det røde stof? Det gule stof? b. Hvilket af de tre stoffer blev der brugt mest af?

Dronningen ønsker, at balkjolen skal have et slæb på kjolen, der er 2 alen 1 fod og 4 tommer langt.

Opgave 12 a. Skriv længden af slæbet i enheden fod? b. Hvorfor kan det også skrives som 2 alen + 21 alen + c. Hvorfor kan det også skrives som 2 23 alen?

16

tal i det uendelige

4 24 alen?

Dronningen havde først overvejet, at bestille et slæb, der var end 2 23 alen.

1 2 gang længere

Opgave 13 a. Vis med en skitsetegning og brøker, hvor langt slæbet så vil være. b. Vis, hvordan man kan regne sig til resultatet.

Ludvigsen har arbejde for hoffet 61 af sin årlige arbejdstid. Men næste år skal hoffet spare, og han skal derfor dele halvdelen af sin tid med en frisør.

Opgave 14 a. Hvor stor en brøkdel af hans årlige arbejde, vil han nu have ved hoffet? b. Forklar eller tegn, hvorfor 61 : 2 = 121 .

Omkring år 1900 forlader man de gamle mål til fordel for metersystemet. I dette system er enhederne bygget op som tiendedele. Det betyder, at man kan at beskrive brøkdele af længdemål lettere end med de gamle mål.

Opgave 15 2 m + 40 m? a. Hvorfor er 3 m 2 dm og 4 cm det samme som 3 m + 10 100 b. Omsæt 2 m 1 dm 8 cm til meter med brug af decimaltal. c. Udregn 2 alen 1 fod 8 tommer til alen.

1 alen svarer i dag til ca. 62,8 cm.

Opgave 16 a. Hvor meget er 1 fod skrevet i metersystemet? b. Hvor meget er 1 tomme skrevet i metersystemet? c. Hvor langt var slæbet i meter i opgave 12?

Opgave 17 a. Omskriv, så præcist som muligt 24 m til gamle mål. b. Bestem hvilken størrelse, der er længst, 11 m eller 5 favne og 2 alen.

udfordringen Det var muligt, at måle i mindre enheder end tommer.

En tomme var 12 linjer. Sammenlign størrelsen på en linje og en millimeter.

tal i det uendelige

17

Hvor er du negativ? ”De er mærkelige – de der negative tal. Jeg forstår det bare ikke,” siger Victor til sin klassekammerat Dina. De klarer af og til lektierne i fællesskab. ”Se nu her,” begynder Dina og tegner en tallinje.

Opgave 1 a. Tegn en tallinje og marker, hvor tallet –5 ligger. b. Giv et eksempel på et negativ tal, som er mindre end –5. c. Hvilket tal er det modsatte af –5? d. Hvilket af tallene –9 og –118 er størst? Begrund hvorfor. ”Ja, ja, det forstår jeg godt, men hvorfor er –(–5) det samme som + 5,” Victor ser spørgende på Dina. ”Her har jeg nogle røde og nogle blå knapper,” svarer Dina. ”De røde er negative og de blå er det modsatte – nemlig positive. En rød går derfor ud med en blå, så man får nul.”

Dina tager nogle røde og blå knapper frem og lægger dem som her.

+ Opgave 2 a. Hvorfor bliver resultatet 0? b. Tegn eller farv et andet eksempel, som giver 0? c. Tegn eller farv et eksempel, som er på +3. d. Tegn og farv et eksempel, som giver –2. ”Lad os prøve at udregne (–3) + (+7). Det kunne se sådan her ud,” siger Dina og lægger nogle propper.

+ Opgave 3 a. Hvordan vil du vise (–5) + (+6)? b. Hvilket regneudtryk viser disse knapper?

+ c. Tegn eller farv regneudtrykket (–4) + (–6)

18

tal i det uendelige

”Nu kommer vi til (–5) – (–3),” siger Dina. ”Her er de knapper, som indgår i regneudtrykket.”

– Dina peger: ”Der skal altså trækkes 3 røde fra de 5 røde. Det må give 2 røde.

Altså er –5 – (–3) = –2. Dvs. at –5 – (–3) ligner regneudtrykket –5 + 3.”

Opgave 4 Negative tal 1, QR 1 a. Tegn og farv et eksempel på følgende regneudtryk 1) –6 – (–2) 2) –12 – (–10) 3) –4 – (–4) b. Hvilket regneudtryk er dette et udtryk for?

– ”Men hvad nu, hvis der er denne situation –2 – (–5)?” Siger Victor.

– ”Det klarer vi også med knapperne. Vi kan lægge tre ekstra røde og tre ekstra blå knapper til –2. Det svarer til at skrive –2 + 0, så det ændrer ikke noget.

Nu ser sådan ud.” Dina peger på knapperne.

– ”Nu bliver det muligt at fjerne fem røde knapper, så der bliver tre blå tilbage.

Regneudtrykket –2 – (–5) er derfor +3,” fortæller Dina ivrigt.

Opgave 5 Negative tal 2, QR 2 a. Tegn og farv disse regneudtryk 1) –3 – (–4) 2) 4 – 3 4 ) (–4) – 3 5) (–4) – (–3)

3) 3 – 4 6) 4 – (–3)

Multiplikation med 3 · (–3) kan vises med tre gange tre røde knapper.

+

+

Opgave 6 a. Hvad er resultatet af regneudtrykkene 3 · (–3) og (–23) · 5?

1

udfordringen Undersøg mulige forklaringer på at 1) –5 · 4 = –20 2) –3 · –3 = 9

2

3) –40 : 5 = –8

4) –100 : –20 = 5 tal i det uendelige

19

TIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITE Primtal og hemmelige koder Primtal spiller en vigtig rolle i kryptering, som er måder til at lave hemmelige koder.

Om primfaktorer Man kan opløse alle naturlige tal i primfaktorer.

‘At opløse’ et tal betyder, at man finder de primtal, som er divisorer i tallet.

Tallet 525 har 3, 5 og 7 som primfaktorer, idet 525 = 3 · 5 · 5 · 7.

525 5

525

105 5

1 a. Brug hver af de to metoder til at opløse tallet 294 i primfaktorer. b. Afgør, hvilken måde I synes bedst om eller om I vil vælge en hel anden metode. c. Brug jeres valg til at opløse 3465 i primfaktorer.

21 3

7

3

175

5

35

5

7

7

1

Fremstil en hemmelig kode Bogstaverne, i den tekst man vil kryptere, kan oversættes til tal, hvor der indgår store primfaktorer.

Det kan være svært at ‘knække’ den slags koder.

Eksempel Vi vælger ordet KAT, som skal krypteres.

Bogstavernes nummer i alfabetet kaldes kodetallene, fx a = 1, b = 2 … å = 29.

Når de ganges med et hemmeligt primtal, fås koden, der sendes til modtageren.

Han skal derefter dividere kodetallet med det hemmelige primtal (her 3469) for at læse koden.

2 a. Hvis bogstavernes kodetal er ganget med 2519. b. Hvad står der så her? 17633 37785 10076 50380

3 a. Fremstil en bogstavkode ved hjælp af et primtal. b. Giv tallene til en klassekammerat, som skal knække koden.

20

tal i det uendelige

K

A

T

11

1

20

· 3469 38159

3469

69380

ETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER Brug digitale værktøjer

Undersøg CAS, QR 1

I skal undersøge digitale værktøjer som kan udregne og reducere regneudtryk.

I kan bruge GeoGebra eller andre programmer, som I finder på nettet.

Vi viser, hvordan det foregår i GeoGebra – I kan undersøge, hvordan det foregår i det program, I bruger.

CAS som lommeregner Du vil udregne

Skriv

Klik på

Vist resultat

245 : 5

245 5

=

49

=

214 5

2 3 2 3 + 12,4 + 3

3 + 12.4 + 2/3

3 + 12,4 +

3 + 12.4 + 2/3

16.07

CAS og brøker Du vil udregne

Skriv

Klik på

Vist resultat

12 64 Brøk til decimaltal 12 64 2·4 3 7 2:1 3 2

12/64

=

3 16

Forkort brøken

2+1

1 2

+ 31

4

12/64

0.19

2/3 · 4/7

=

(2/3) / (1/2)

=

2 + 1 + 1/2 + 3 + 1/4

=

0.35

15 3·5

Decimaltal til brøk: 0,35

8 21 4 3 23 4 7 20

CAS og primfaktorer Skriv tallet

Tryk på knappen

Vist resultat

200

15 3·5

23 · 52

412

15 3·5

22 · 103

1 a. Prøv de forskellige opgaver i skemaet. b. Opfind jeres egne opgaver og prøv dem i jeres CAS program. I kan også prøve disse: 1) Forkort brøken

105 135

4) 0,245 til brøk

4:7 5 8 5) 43 + 5 62 + 3 125 2)

1 4 6) 5 31 · 43

1

3) 4,5 :

7) Find primfaktorer til 512. tal i det uendelige

21

v om · iden

v om · iden

v om · iden

om · viden Talmængder

De irrationale tal N

3

2

– 34

5

–34 2 5

–9

23

–2,5

Q

R

0

7% 20

Z

0,53

De irrationale tal er alle de tal, som ikke er rationale. Det vil sige alle de tal, der ikke kan skrives som en bestemt brøkdel eller de decimaltal, som er uendelige og ikke periodiske. De betegnes med bogstavet I. Eksempler på irrationale tal er: √¯ 2 = 1,4142135…, √¯ 5 = 2,2360679… og π = 3,142857…

De reelle tal De naturlige tal

De reelle tal består af de rationale tal og de irrationale tal. De betegnes med bogstavet R.

De naturlige tal er 1, 2, 3, 4, … Man bruger bogstavet N som betegnelse for disse tal. Tallet 0 er ikke et naturligt tal. En del af de naturlige tal er primtallene. Det er tal, som er større end 1, og som kun kan deles med 1 og tallet selv. Det vil sige, at de første primtal er 2, 3, 5, 7, 11 og 13.

Om primtallene

De hele tal De hele er tal er mængden af naturlige tal, nul og de negative tal.

Man kalder mængden for Z. Det vil sige, at tallene omkring nul ser sådan ud … –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …

De rationale tal De rationale tal indeholder alle de hele tal samt de tal, der er dele af de hele tal som fx brøker som 35 eller – 35 Det vil sige, at decimaltal som 0,4 og procenttal som 14% også indgår.

Ratio er latin og betyder forhold. Derfor betegnes rationale tal nogle gange som forholdstal. Rationale tal har betegnelsen Q. Brøker kan omsættes til decimaltal. Det kan blive: - endelige decimaltal fx 0,25 - uendelige periodiske decimaltal fx 0,424242 … Her er perioden 42.

22

tal i det uendelige

Man kan opløse alle naturlige tal i primfaktorer fx kan 396 opløses i primfaktorerne 2, 3 og 11, idet 396 = 2 · 2 · 3 · 3 · 11 = 22 · 32 · 11.

Om brøker og brøkregning Brøker skrives med en brøkstreg, en tæller og en nævner fx 65 .

• Hvis nævneren er større end tælleren, kaldes det en ægte brøk.

• Hvis tælleren er større end nævneren, kaldes det en uægte brøk.

• Hvis den uægte brøk 65 skrives som 1 51 , kaldes det for et blandet tal.

• To brøker som 25 og 31 kan omskrives, så de får samme nævner. Man kan finde fællesnævneren ved at gange de to nævnere med hinanden. I dette eksempel bliver fællesnævneren 3 · 5 = 15. Det vil sige, at 25 ændres til 6 1 5 15 og 3 ændres til 15 .

Når man lægger brøktal sammen:

Når man trækker brøktal fra brøktal:

1 1 3 2 5 4 + 6 = 12 + 12 = 12

1 1 3 2 1 4 – 6 = 12 – 12 = 12

Når man ganger brøktal med brøktal:

Når man ganger brøktal med et helt tal:

2 4

1 6

5·

2 = 10 3 3

=31

3

1 2 2 6 · 4 = 24 Når man dividerer med brøktal:

1 2

1 2

1 4

1 4

1 4

1 4

1 1 2 1 2 : 4 = 4 : 4 =2 Når man dividerer et helt tal med brøktal: 1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

2 : 41 svarer til, at man tæller op hvor mange fjerdedele der kan være i to hele – altså er svaret 8.

Når man dividerer et brøktal med et helt tal: 1 4

1 4

1 4

1 1 8 8

1 4 : 2 svarer til, at man deler en brøk yderligere op – her

i to dele.

1 4 : 2 er altså

1 8.

Fra brøktal til decimaltal Man kan betragte en brøk som en division fx er 37 det samme som 3 : 7.

Ved beregning fås det uendelige periodiske decimaltal 0,428571 … .

Ofte vælger man at afrunde sådanne decimaltal fx til 2 decimaler, der i dette tilfælde bliver 0,43. Brøktallet 37 er derfor ikke præcist det samme som 0,43 men cirka dette tal.

tal i det uendelige

23

v om · iden

v om · iden

v om · iden

om · viden Negative tal

Potenstal – en særlig skrivemåde

De negative tal er de hele tal, som ligger til venstre for 0 på tallinjen.

Et potenstal er en kort beskrivelse af et gangestykke, hvor det samme tal ganges flere gange fx 3 · 3 · 3 · 3.

Det skrives som 34. Det læses som 3 i fjerde.

På lommeregner og i regneark bruger man nogle gange ^ (hat) så 34 = 3^4.

Når man regner med negative tal, kan minustegnet betyde to ting.

• Et fortegn for den negative værdi. –3 er det modsatte af +3.

• Et regnetegn for at ”trække fra”.

Tallet 3 i eksemplet kaldes for grundtallet eller roden og tallet 4 kaldes for eksponenten.

Et særligt tilfælde er a0 = 1.

Eksempel 30 = 1 1390 = 1 100 = 1 10 = 1

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Eksempel 7 – (–3) kan oversættes til afstanden fra –3 og til + 7, som er 10.

Dvs. at 7 – (–3 ) = 7 + 3 = 10.

Når man ganger og dividerer med negative tal gælder følgende fortegnsregler: +

–

+

+

–

–

–

+

·

3

–5

2

6

–10

–4

–12

20

:

2

–5

10

5

–2

–20

–40

100

Roden kan nogle gange være et negativ tal eller brøktal.

(–3)3 = –3 · –3 · –3 = –9 ( 21 )3 = 21 · 21 · 21 = 81 Eksponenten kan være både negativ og positiv: Positiv fx 103 = 10 · 10 · 10 53 = 5 · 5 · 5 1 = 0,001 5–3 = · 1 · Negativ fx 10–3 = 1000

555

Regn med potenser Der er særlige regler for regning med potenstal.

Eksempel: 23 · 22 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 23 + 2 = 25 24 : 22 = 2 · 2 · 2 · 2 : 2 : 2 = 24 – 2 = 22 Man kalder de potenstal, der kan skrives som a2 (”a i anden”) for kvadrattallene fx 52, 92, 102, 452 osv.

Man kalder de positive potenstal, der kan skrives som a3 (”a i tredje”) for kubiktallene fx 53, 93, 103, 453.

Når man dividerer med et potenstal, bruger man en negativ eksponent.

Eksempel 52 · 5–2 = 1, fordi 5–2 kan skrives som 12 .

5 5–2 · 5–3 = 12 · 13 = 15

5

24

tal i det uendelige

5

5

Den videnskabelige skrivemåde Tal kan blive så store, at de er svære at overskue, når man skriver dem med alle cifre.

Afstanden til Solen er ca. 150 000 000 km. Det kan skrives som et tal mellem 1 og 10 ganget med en potens af ti. Det svarer til 1,5 · 108.

Man skriver det også som 1,5E + 08.

Man kalder skrivemåden for ”den videnskabelige skrivemåde”.

Små decimaltal kan også skrives på videnskabelig skrivemåde.

Tallet 0,000005 skrives som 5 · 10–6 eller 5E–06.

Denne skrivemåde anvendes ofte i regneark, når der ikke er plads til at skrive tallet helt ud i cellen.

Herunder er et eksempel på en række tal, som er udregnet i femte potens.

Rødder Kvadratroden af et tal er det tal, der, ganget med sig selv, giver tallet. a

4

5

6

7

8

9

10

√¯ a

2

≈2,24

≈2,45

≈2,65

≈2,83

3

≈ 3,16

Når man udregner kvadratroden af et tal, giver det nogle gange præcise resultater og andre gange findes det præcise tal ikke – det er irrationale tal. I det sidste tilfælde er der ofte behov for at afrunde tallet fx som i skemaet.

I matematisk sammenhæng vil √¯ 4 have to løsninger idet både 2 · 2 og –2 · –2 giver fire. I den virkelige verden indgår der oftest kun positive tal, så her er den sidste løsning ikke interessant.

x3

x

x2

x

x

Kubikroden af et tal er det tal, der, ganget med sig selv tre gange, giver tallet.

3

a

4

5

6

7

8

9

10

√¯ a

≈ 1,59

≈ 1,71

≈1,82

≈1,91

2

≈2,08

≈2,15 x2

x x3

x

¯ Kvadratroden af negative tal er ikke mulig dvs. man kan ikke udregne √ –4 3¯ Kubikroden af et negativt tal er muligt fx er √–27 = –3 Man kan regne med kvadratrødder: √¯ 3 · √¯ 4 =¯ √3 · 4 = √¯ 12 √¯ 10 : √¯ 5 =¯ √10 : 5 = √¯ 2

x

x x

tal i det uendelige

25

BREDDEOPGAVER 1

12

Skriv hele tallet. a. Seks millioner og femten. b. Otte hundredetusind firehundrede og fem.

Skriv som potenstal. a. 100 b. 500 000 c. 12 000 000 000

2

Skriv tallene i rækkefølge med det mindste først. a. 5 –21 –15 –1 7 0 b. –2,8 113 –3,095 1,003 0,5 0,6 c. 0,821 –90,1 –1,005 5½ –8,0 –0,5

13

Skriv som potenstal. a. To millioner b. Seks tusinde c. Femogtredive milliarder.

3

a. 64 · 40

b. 1300 · 60

c. 5 · 40,2

4

a. 5 ·

2 3

b. 9 ·

1 3

c. 5 ·

7 8

Omsæt disse kvadrattal til potenstal. a. 9 b. 49 c. 625 d. 10 000

e. 62 500

15

a. Hvad er 1 milliard gange 1 million? b. Skriv opgave a som potenstal.

5

Hvor stor er forskellen mellem tallene? a. 6 og 8 b. –10 og –2

14

c. –4,3 og 5 16

6

Afrund til 2 decimaler. a. 0,734 b. 4,05

c. 2,999

Omskriv til potenstal. a. 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 b. 9 · 9 · 9 · 7 · 7 · 7 c. 10 · 10 · 10 · 10 · 5 · 5

7

a. 13,2 + 43,1 · 2 – 1,3 c. 2,8 + 1,4 – 0,8 · 3

b. 8,7 – 0,4 · 12 + 1,8 d. 0,56 – 0,9 + 7 · 3,2

8

a. 2,8 : 4 d. 100 : 0,10

b. 0,6 · 8 e. 2,5 : 5

c. 0,20 · 0,7 f. 0,09 · 5

a. Skriv et potenstal med roden 5 og eksponenten 4. b. Omskriv 100 000 til en potens af 10. c. Hvor mange gange større er 108 end 103?

18

Omskriv til gangestykke og skriv tallet på lang form. a. 53 b. 84 c. 123

9

a. 223 – (–112) b. –522 – 212 c. 734 – (–105) d. –5000 – (–22) – (–22) – (–7) e. (–32) – (–32) – (–32)

19

Omskriv de store tal til videnskabelig skrivemåde. a. 755 000 b. 30 000 000 000 c. 3,3 mio.

10

a. 4 · –12

17

b. –5 · –15

c. –7 · 14 20

11

a. 3 · 3 · –3 · –3

26

b. 5 · –5 · –5 · –5

tal i det uendelige

c. 3 · –5 · –2 · 2

Omsæt decimaltallene til videnskabelig skrivemåde. a. 0,0006 b. 0,05 c. 0,00000753

21

31

Omsæt til decimaltal. a. 4 · 10–5 b. 1,3 · 10–3

c. 0,5 · 10–4

a.

1 1 1 5+5+5

b.

2 3 4 9+ 9 –9

1 1 2 +44

b. 3 2 + 4

1 1 2 –26

c.

3+7–2 5 5 5

32 22

a. 1

Sæt brøktallene i rækkefølge med det mindste tal først. a. c.

1 1 1 1 1 4 , 12 , 10 , 30, 6 1 3 1 7 8 , 16 , 4 , 16

b. d.

33

4 2 1 3 7 6 , 6 , 4 , 8 , 16 2, 5 , 3, 3 3 12 6 4

a.

103 10

b.

105 102

c.

1034 10

10-3 10

b.

10-25 10

c.

10-37 10

34

23

a.

Hvilket tal er størst a. 77,9 eller 77,82?

3

b. 9,02 eller 9,2?

35

Forkort brøkerne så meget som muligt 24

a.

Find tre forskellige brøknavne til disse brøktal. a.

1 7

b.

5 15

c.

12 48

25 100

b.

16 64

c.

198 1122

36

Skriv tallet med a. 14 hundrededele + 7 tiendedele + 13 enere. b. 25 tiere + 5 hundrededele + 4 tusindedele.

25

Afrund tallene til nærmeste hele tal. a. 7,88 b. 72,9 c. 8763,6

37 26

Beregn 0,3 af a. 74 kr.

Gør tallet 0,3 større. a. 6,5 b. 0,9

c. 0,07

b. 2,45 kr.

c. 560 kr.

d. 9,999 38

27

Opløs i primfaktorer. a. 205 b. 184

Afrund til 2 decimaler. a. 8,654 b. 34,005

c. 0,590

c. 365

d. 456

d. 9,999 39

28

a. 7,492 + 0,54 d. 0,9 – 0,19

b. 0,0017 + 0,8 e. 10 – 0,95

c. 32,9 – 8,77 f. 3,56 – 0,5

29

d. 37 523

40

Omskriv brøktallene til decimaltal. a.

Opløs tallene i primfaktorer. a. 5328 b. 42 964 c. 64 033 e. Var der primtal imellem disse tal?

3 5

b.

5 12

c.

3 7

d.

3 125

e.

2 3

Beregn sidelængden i kvadraterne ved hjælp af lommeregnerens kvadratrodstast.

30

a. 53,2 : 10 d. 0,06 · 100 · 10

b. 0,06 : 100 e. 151 : 1000

c. 0,067 · 100 f. 1,5 · 1000

12 cm2 1 cm2

5 cm2

tal i det uendelige

27

41

51

Beregn og afrund til 2 decimaler. a. √¯ 57 b. √¯ 63 c. √¯ 43

Indsæt tallene på en passende tallinje: d. √¯ 17

¯ √ 24

3

1 4

√¯ 12

2,75

42

a. √¯ 62

b. ¯ √ 132

c. √¯ 78

52

a. Hvad er halvdelen af en tredjedel af en fjerdedel?

43

a. Udregn √¯ 3 + √¯ 4 og ¯ √3 + 4. Er der forskel? b. Udregn √¯ 12 – √¯ 7 og¯ √ 12 – 7. Er der forskel?

44

a. Udregn √¯ 5 · √¯ 8 og¯ √5 · 8. Er der forskel? b. Udregn √¯ 5 : √¯ 8 og ¯ √5 : 8. Er der forskel?

Det er danseaften i den lokale tangoklub. Et dansepar består af en mand og en kvinde. På et tidspunkt danser 3 4 4 af mændene med 5 af kvinderne. a. Giv et eksempel på, hvor mange mænd og kvinder der kan danse sammen på det tidspunkt?

54

45

Udregn kubikroden af a. 8 b. 1000

53

c. 100

d. 2

46

Et kvadratisk maleri med sidelængden 1,5 m er vurderet til 10 125 000 kr. a. Hvor meget er hver kvadratcentimeter værd?

47

Beregn sidelængden på følgende kvadrater. a. Et areal på 10 m2 b. Et areal på 40 m2 c. Et areal på 400 m2 48

Sæt uden for kvadratrodstegn fx: √¯ 20 =¯ √5 · 4 = √¯ 5 · √¯ 4 = √¯ 5 · 2 = 2√¯ 5 a. √¯ 18 b. √¯ 40 c. √¯ 24 d. √¯ 50

a. Hvilket brøktal ligger midt mellem tallinjen?

1 1 3 og 4 på

55

a.

532 5

b. 5–3 · 52

c. 53 · 5–2

d. 5–3 · 5–2

56

a. (–7)–2

b. (–0,5)–3

c. (–7)3

d.

902 9

57

To forskellige terninger har tilsammen rumfanget 407 cm3. a. Hvor stor kan sidelængderne på de to terninger være?

58

49

En æske har målene 40 cm x 35 cm x 15 cm. a. Beregn æskens overflade.

50

En pose plænegødning kan række til 200 m2 græsplæne. a. Hvor mange gange kan en cirkelformet græsplæne med en diameter på 7,5 m få gødning?

28

tal i det uendelige

Bogstavet T består af 12 kvadrater. a. Hvor stor en brøkdel udgør arealet af det røde område?

EFTERTANKEN Vis og forklar Beskriv regneregler for, hvordan man ganger potenstal med potenstal, som har samme grundtal.

Fremstil en kort film med jeres begrundelser og eksempler.

En kube bliver større og større

I kender sikkert en centicube.

Forestil jer, at den hver time vokser i antal og bliver til en større og større terning.

Problemstilling Undersøg for hver gang, hvad der sker med antallet af centicubes, med de flader man kan se på terningen og med terningens vægt.

Arbejdsbeskrivelse • Fremstil et regneark eller en tabel som denne. Find ud af, hvordan tallene i tabellen er fremkommet.

Time

Kuber i alt

Overflade

0 synlige flader*

1 synlig flade

2 synlige flader

3 synlige flader

0

1

6

0

0

0

0

1

8

24

0

0

0

8

• Tabellæg de første 10 timer. Brug evt. regneark.

• Gør rede for nogle regneregler for, hvordan tallene vokser.

• En lastbil kan have en last, som vejer 25 tons. Hvor mange timer går der inden terningen vejer så meget? Kan den være i en lastbil?

Mulige hjælpemidler og materialer Hjælpeark, regneark,

* 0 synlige flader er det antal centicubes i terningen, hvor der ingen synlige flader er.

Kuben vokser

tal i det uendelige

29