Kontext + 9

matematik kernebog/web niels jacob hansen ¡ mette christensen bent lindhardt ¡ lars johnsen

9788723514349_indhold.indd 1

9 alinea

13/06/2017 08.27

KonteXt+ 9, Kernebog/Web Forfattere: Niels Jacob Hansen, Mette Strandgård Christensen, Bent Lindhardt, Lars Busch Johnsen Ekstern redaktør: Bent Lindhardt Forlagsredaktion: Susanne Schulian Redaktionel assistance: Birgitte Lindhardt Billedredaktør: Vibeke Sommer Grafisk tilrettelægning: Jesper Frederiksen Omslag: Jesper Frederiksen Illustrationer: Jesper Frederiksen

Fotos: Forside: Navarone/Dreamstime s. 4 Brian Kalstrup Hougesen s. 21 Wikimedia s. 27 BrianAJackson/iStock/Thinkstock s. 30m De Agostini/C. Sappa/Getty Images s. 30ø Jesper Frederiksen s. 30n Wikimedia (Plimpton 322) s. 32 © The Trustees of the British Museum s. 42 Web Gallery of Art s. 43ø photoaisa/RITZAU s. 43n Wikipedia s. 55 falldown-ekb/iStock/Thinkstock s. 56 Peter Mark/BAM/Scanpix s. 57 TV2 Vejret/TV2 s. 86 Morten Grønnegaard s. 102ø Bent Lindhardt s. 104m www.fotoakuten.se s. 104h Curioso Travel Photography/Colourbox s. 104v My Good Images/Shutterstock s. 107 GuidoB/Wikimedia Commons s. 115 Morten Grønnegaard s. 116 Lyle Zapato/zapatopi.net s. 139v+h DingaLT/iStock s. 140 Morten Grønnegaard s. 163 Tomwang112/iStock/Thinkstock s. 165 Wenn.com/All Over Press Tryk: Livonia Print © 2017 Alinea, Kobenhavn – et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, Egmont 1. udgave, 1. oplag 2017 ISBN: 978 87 23514 349 www.alinea.dk

Videoer, foto og filer til GeoGebra og regneark: Se www.kontextplus.dk GeoGebra-filerne er angivet ved opgaverne med dette symbol Regnearks-filerne er angivet ved opgaverne med dette symbol Screencast er angivet med dette symbol og en QR kode

9788723514349_indhold.indd 2

13/06/2017 08.27

Indhold 4

Afstande og vinkler

30 Tal i store mængder 54

Prøv mundtligheden 1: Skoleboden

56

Data og chance

86

Funktioner

114

Prøv mundtligheden 2: Figurer på sømbræt

116

Formler og ligninger

141

Vækst, procent og økonomi

164 Prøv mundtligheden 3: De olympiske lege

9788723514349_indhold.indd 3

166

Flade og rum

186

Prøv skriftligheden 1-7

13/06/2017 14.49

4

at dele

9788723514349_indhold.indd 4

13/06/2017 08.27

Afstande og vinkler Klassesamtalen • • • •

Beskriv vinklen mellem jordoverfladen og antennemasten.

Hvilke typer trekanter kan I se på billedet?

Hvilke typer trekanter danner bardunerne, antennemasten og jordoverfladen, hvis jordoverfladen er helt vandret?

Hvordan kan man bestemme højden af antennemasten?

Klasseaktivitet: Sortering af trekanter materialer: Hjælpeark med trekanter, saks, lineal og vinkelmåler deltagere: 3 - 4 personer

Trekanter kan sorteres efter forskellige egenskaber.

I skal starte med at klippe alle trekanter på de to hjælpeark ud.

Bestem, hvordan I vil sortere trekanterne.

Udarbejd en oversigt, der viser, hvordan I har sorteret trekanterne.

I skal kunne redegøre for de egenskaber, som I har sorteret efter.

I dette kapitel skal du lære om • • • • • •

sammenhænge mellem sidelængder og vinkler i en retvinklet trekant. at beregne afstande i retvinklede trekanter. at bruge den pythagoræiske læresætning. at regne med cosinus, sinus og tangens. at fremstille præcise tegninger. anvende ligedannethed til beregning af afstande og vinkler.

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 5

5

13/06/2017 08.27

Stigen Sonja skal sammen med sin far, Rasmus, male gavlen på deres hus. De har en stige, der er 6 m lang, som de stiller op ad væggen på huset.

Væg Stige

a

70° Jord

6

afstande og vinkler

Opgave 1 a. Hvad hedder den trekanttype, som bliver dannet af væggen, stigen og jorden? b. Hvor mange grader er vinklen mellem jorden og væggen? c. Hvor mange grader er vinklen mellem jorden og stigen?

Opgave 2 a. Forklar, hvordan du ved at måle på tegningen til venstre kan beregne den virkelige afstand fra stigen og ind til væggen. b. Hvor højt når stigen op på væggen? c. Hvor stor er vinklen mellem stigen og væggen?

T

Rasmus og Sonja kan se, at der er en sammenhæng mellem stigens afstand fra væggen og hvor højt stigen kan nå op på væggen.

Opgave 3 Stige og væg, QR 1 a. Brug GeoGebrafilen Stige og væg til at undersøge, hvordan afstanden fra T til jorden ændrer sig, når stigen på 6 m bliver flyttet tættere på eller længere væk fra væggen. Beskriv, hvad du lægger mærke til. b. Brug GeoGebrafilen Stige og væg til at undersøge, hvordan afstanden fra S til væggen ændrer sig, når stigen på 6 m skal nå længere eller kortere op på væggen

S

Opgave 4 a. Brug GeoGebrafilen Stige og væg til at undersøge, hvordan afstanden fra T til jorden ændrer sig, når afstanden fra S til væg er 3 m og stigens længde bliver kortere eller længere. Beskriv, hvad du lægger mærke til. b. Brug GeoGebrafilen Stige og væg til at undersøge, hvordan afstanden fra S til væggen ændrer sig, når stigen skal nå 6 m op og stigens længde bliver kortere eller længere. Beskriv, hvad du lægger mærke til.

Rasmus lægger mærke til, at vinklen mellem jorden og stigen også ændrer sig, når de flytter stigen tættere på væggen.

T

Opgave 5 a. Mål vinklen på tegningen mellem stige og væg. b. Hvor stor er vinklen på tegningen mellem jord og stige?

Opgave 6 a. Beskriv, hvad sker der med vinklen mellem jord og stige, når stigen bliver skubbet ind mod væggen. b. Beskriv, hvad der sker med vinklen mellem stige og væg, når stigen bliver skubbet ind mod væggen.

Opgave 7 a. Hvor lille kan vinklen mellem stige og væg blive? b. Hvordan er stigen placeret i forhold til væggen, hvis vinklen mellem stige og jord er meget lille?

6m

S

B

Opgave 8 a. Beskriv, hvad bogstaverne a, b og c svarer til i situationen med væg, jord og stige. b. Beskriv, hvad bogstaverne A, B og C svarer til i situationen med væg, jord og stige.

c

A

a

b

C

afstande og vinkler

1

7

Den pythagoræiske læresætning B c

A

a

b

C

Hvis trekanten er retvinklet gælder a2 + b2 = c2

”Vi kan også regne ud, hvor højt stigen når op”, siger Rasmus. ”Vi ved, at stigen er 6 m lang, og vi kan måle afstanden fra stigen og ind til væggen.”

Han bruger den pythagoræiske læresætning til at beregne, hvor langt stigen når op ad væggen.

Opgave 9 a. Tegn en retvinklet trekant. b. Giv sider og vinkler navne. c. Undersøg ved beregning om den pythagoræiske sætning passer.

Opgave 10 a. Beregn, hvor højt op på væggen stigen når, hvis afstanden fra væg til stigens fodpunkt er 1,5 m og stigen er 6 m lang. b. Beregn afstanden fra væggen til stigens fodpunkt, når stigen på 6 m når 5 m op ad gavlen.

Opgave 11 a. Beregn, hvor lang stigen skal være, når den skal kunne nå 8 m op og fodpunktet skal stå 3 m fra gavlen.

Sonja og Rasmus’ nabo har en stige, der er 10 m lang.

Opgave 12 a. Beregn, hvor højt op stigen kan nå ved tre forskellige afstande fra stigens fodpunkt til gavlen.

8

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 8

13/06/2017 08.27

T

Ved den anden gavl på Sonjas og Rasmus’ hus skråner jorden lidt i forhold til gavlen. Da de skal male gavlen, måler Sonja og Rasmus, at afstanden fra stigen på 6 m ind til gavlen er 2 m, og at stigen når 5 m op ad gavlen.

5m

6m

Opgave 13 a. Brug den pythagoræiske læresætning til at vise, at en trekant med sidelænger på 6 m, 2 m og 5 m ikke er retvinklet. b. Er trekanten spidsvinklet eller stumpvinklet?

S

2m

Rasmus vil gerne vide, hvordan man kan bruge den pythagoræiske læresætning til at afgøre om en trekant er spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet.

Derfor vil han undersøge forskellige trekanter.

Målene på de trekanter, som han vil undersøge er vist i tabellen herunder. a

b

c

Trekant 1

12

5

13

Trekant 2

14

14

20

Trekant 3

11

10

13

Trekant 4

15

16

17

Trekant 5

14

16

22

a² + b²

c²

Trekanttype

Opgave 14 a. Fremstil en tabel, som den Rasmus har lavet. b. Beregn for hver trekant værdien a2 + b2 og c2. c. Afgør, hvilken trekanttype der er tale om. d. Formuler en regel for, hvordan man ved hjælp af den pythagoræiske læresætning kan afgøre om en trekant er enten spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet.

udfordringen Sonja og Rasmus har en stige på 5 m og en stige på 6 m, som de stiller som vist på tegningen. a. Hvor langt står stigerne fra hinanden, når afstanden fra toppen af stigerne ned til jorden er 4 m? b. Hvilken type trekant danner jorden og de to stiger?

afstande og vinkler

9

Flere stiger En vinduespudser har ofte brug for en stige, som kan sættes op ad en væg for at nå de øverste vinduer. Stiger kan fås i mange længder og den enkelte stige kan ofte variere i størrelse. Ruby, som er vinduespudser har en stige, som i fuld længde kan blive 5 m.

Opgave 1 a. Hvor højt kan Rubys stige nå op af væggen, når den ene ende skal være på gulvet? b. Hvor langt væk fra væggen kan Ruby sætte stigen, når den anden ende skal røre væggen? a

b

10

afstande og vinkler

Opgave 2 a. Tegn en skitse af stigen, så afstanden a er lige så stor som afstanden b. b. Skriv de vinkler stigen danner med væggen og jorden, når den står som i spørgsmål a.

B

Opgave 3 a. Hvilke vinkler danner stigen med jorden og væggen, hvis afstandene a og b er 4 m og 3 m?

Opgave 4 a. Tegn en model af stige, jord og væg fra opgave 3. b. Skriv de manglende sider og vinkler på modellen.

a

C

A

Der er en sammenhæng mellem størrelsen af vinkel A og afstanden a.

Opgave 5 Vinduespudserstigen, QR 1 a. Undersøg denne sammenhæng. Brug GeoGebrafilen Vinduespudserstigen.

Vinkel A

10°

20°

30°

40°

50°

60°

5m

5m

5m

5m

5m

5m

Afstand a Stigens længde (c )

b. Undersøg det samme, hvis stigen kun er 3 m lang Vinkel A

10°

20°

30°

40°

50°

60°

3m

3m

3m

3m

3m

3m

50°

60°

Afstand a Stigens længde (c )

Opgave 6 a a. Undersøg forholdstallet c med to forskellige længder af c.

Vinkel A Forholdstallet Forholdstallet

10°

20°

30°

40°

a

5

a 3

a b. Hvad kan man sige om forholdstallet c ?

Opgave 7 a. Hvor langt op på en væg, når en stige på 4 m (c), hvis vinkel A er 20°. b. Hvor mange grader er vinkel A, hvis en stige på 4 m har en afstand (b) til væggen på 2 m?

Hvis en stige skal stå ordentligt op ad en væg, skal vinklen mellem stigen og jorden være ca. 75°.

Opgave 8 a. Hvordan skal man stille en stige på 8 m, så den står ordentligt op ad væggen? b. Tegn en skitse. c. Indskriv afstande og vinkelmål.

1

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 11

11

13/06/2017 08.27

B Hypotenuse c

A

a Modstående katete

b Hosliggende katete

I retvinklede trekanter kaldes siderne a og b for kateter og siden c for hypotenusen - se tegningen til venstre. Siden a bliver så vinkel A's modstående katete. Siden b bliver vinkel A's hosliggende katete.

C

Opgave 9 a. Hvad hedder den modstående katete til vinkel B? b. Hvad hedder den hosliggende katete til vinkel B? Man kalder forholdstallet ac for sinus i vinkel A. Det skrives som sin A = ac . Det kan også læses som ”sinus til vinkel A er forholdet mellem den modstående katete og hypotenusen i en retvinklet trekant.”

Sin A =

a væg modstående katete = = c stige hypotenusen

Man kan også undersøge sammenhængen mellem stigens længde og afstanden fra stigens fodpunkt hen til muren. Det svarer til forholdet bc – se tegning øverst til venstre.

Opgave 10 a. Undersøg forholdstallet cb med to forskellige længder af c .

Vinkel A

10°

Forholdstallet Forholdstallet

20°

30°

40°

50°

60°

b 5

b 3

b. Hvad kan man sige om forholdstallet cb ?

Opgave 11 a. Hvor langt fra muren vil en stige på 4 m stå, hvis vinkel A er 20°? b. Hvor mange grader er vinkel A, hvis en stige på 4 m har en afstand fra muren på 1 m?

Forholdstallet cb i en retvinklet trekant kalder man for cosinus til vinkel A. Det skrives som cos A = cb . Det kan også læses som ”cosinus til vinkel A er forholdstallet mellem den hosliggende katete og hypotenusen i en retvinklet trekant.”

cos A =

jord hosliggende katete b = = hypotenusen stige c

B

Opgave 12 a. Beregn de manglende sider og vinkler i denne trekant.

75° A

12

6,43

C

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 12

13/06/2017 08.27

sin–1 cos–1 Man kan bruge en lommeregner til at beregne værdier af cosinus og sinus af en vinkel. Man skriver det nogle gange som sin (v), hvor v er vinklens størrelse.

sin

cos

Opgave 13 a. Undersøg, hvordan du kan bruge din lommeregner til at bestemme sinus og cosinus til forskellige vinkler mellem 0° og 90°. b. Tegn denne tabel, og brug lommeregneren til at udregne værdierne.

Grader

10°

20°

30°

40°

50°

60°

70°

80°

90°

sin(v) cos(v)

Opgave 14 a. Undersøg, hvilke taster du skal bruge, hvis du skal finde en vinkel v, hvor sin(v) = 0,57. b. Tegn tabellen og udfyld de manglende felter.

Grader sin(v)

0,2

cos(v)

0,72 0,81

0,95 0,35

0,58

Opgave 15 a. Udregn sin (80°) og sin(89°). b. Undersøg, hvad der sker, når man tager sin(90°)? c. Hvilken situation svarer det til med stigen?

Man kan bruge et cas-værktøj til at beregne værdien af sinus og cosinus til en vinkel.

Opgave 16 Grader, QR 1 a. Undersøg, hvordan du kan bruge et cas-værktøj til at beregne sinus og cosinus til forskellige vinkler mellem 0° og 90°.

udfordringen Ibrahim har brugt et cas-værktøj til at beregne sin(45°) og cos(45°) og får de resultater, der er vist her. Han tegner en ligebenet retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 1. a. Forklar, hvorfor de to andre vinkler i trekanten begge er 45°. b. Vis med beregninger, at det er rigtigt, at den præcise værdi af både 1 sin(45°) og cos(45°) er √¯ 2.

1

afstande og vinkler

13

Flaske

Hangglider Til sin 16-års fødselsdag fik Dicte en tur som passager på en hangglider.

Sammen med piloten startede hun fra et punkt, der var 30 m over jorden.

Piloten og Dicte svævede i en ret linje, før de landede på jorden 210 m fra det sted, hvor de startede. Skitsen til venstre viser Dictes første svævetur.

30 m 210 m

Piloten fortæller, at en hangglider har et glidetal. Det er forholdet mellem højden man starter fra og den vandrette jordafstand. Jordafstanden kalder man for distancen. Glidetallet for den hangglider, som Dicte prøver, svarer så til 30:210 = 1:7 ≈ 0,14. Andre hangglidere giver andre glidetal.

Dicte får en tur med en anden hangglider. Hun starter i en højde på 20 m og svæver en distance på 180 m.

Opgave 1 a. Tegn en skitse, der viser Dictes svævetur med denne hangglider. b. Beregn glidetallet.

Piloten fortæller Dicte, at vinklen mellem jorden og den stiplede linje, der viser svævet med hangglideren, kaldes glidevinklen.

20 m 180 m

14

Glidevinkel

Opgave 2 a. Konstruer en præcis tegning af svævet og mål en glidevinkel for Dictes svæv fra en højde på 20 m - se opgave 1. b. Bliver det den samme glidevinkel, hvis hun starter højere oppe?

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 14

13/06/2017 08.27

Opgave 3 a. Konstruer en tegning, som viser et svæv fra en hangglider fra en højde på 200 m og med glidetallet 0,2. b. Konstruer en tegning, som viser et svæv fra en anden hangglider fra en højde på 200 m, hvor glidevinklen er 8°.

Tabellen herunder viser glidetallet og glidevinklen for nogle forskellige hangglidere.

Glidetal

0,5

0,25

0,13

Glidevinkel

16°

12°

6°

Opgave 4 a. Tegn tabellen og udfyld de manglende felter i tabellen ved at måle på præcise tegninger.

Den retvinklede trekant til højre viser en tegnet model af svævet.

Det ser ud til, at der er en særlig sammenhæng mellem glidevinkel og glidetal.

Den kalder man for tangens, og skriver den som tan eller tg.

B a

Man kan skrive, at tan A = den modstående katete = a

b

b

hosliggende katete

A

Opgave 5 a. Undersøg, hvordan man beregner tangens til en vinkel på lommeregner. b. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter.

Grader

9°

25°

30°

45°

60°

76°

81°

89°

tan

Opgave 6 a. Undersøg, hvordan man på lommeregneren kan bestemme en vinkels størrelse, hvis man kender tangens til vinklen. b. Udregn vinklen, når tan (v) = 0,38.

Opgave 7 a. Beregn højden på et svæv med en glidevinkel på 10 grader og en distance på svævet på 1100 m.

udfordringen Dicte får en tur, hvor de starter på et punkt der 68 m over havet. Piloten fortæller, at de lander på et punkt, der er 17 m over havet, og at de har svævet ca. 300 m. a. Bestem glidetallet ved tegning eller ved beregning. b. Bestem glidevinklen.

68 m over havet

300 m

17 m over havet

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 15

15

13/06/2017 08.27

Fuglekasser Astrid og Camilla har bygget en tårnfalkekasse. I en fuglebog har de fundet skitser, der viser de forskellige træstykker, som tårnfalkekassen skal bygges af.

40 cm

Tag

40 cm

Bagside

40 cm

Sidestykke

35 cm Bund

40 cm 1 stk

30 cm 1 stk

30 cm 2 stk

30 cm 1 stk

27 cm

Front

18 cm

30 cm 1 stk

Opgave 1 a. Tegn en præcis tegning af sidestykket til tårnfalkekassen. b. Mål længden af den skrå side på sidestykket. c. Forklar, hvordan du kan beregne længden af den skrå side på sidestykket. d. Beregn alle vinkler i sidestykket.

I byggemarkedet køber Astrid og Camilla en plade, der måler 122 cm x 244 cm.

De vil bygge så mange tårnfalkekasser som muligt af pladen. Camilla begynder at tegne en skitse, der viser, hvordan de kan skære pladen ud.

Opgave 2 a. Tegn en skitse af pladen på 122 cm x 244 cm. b. Undersøg ved at tegne på skitsen, hvor mange tårnfalkekasser, det er muligt at bygge af pladen på 122 cm x 244 cm.

16

afstande og vinkler

Astrid og Camilla vil også bygge nogle andre fuglekasser. I en bog om redekasser til forskellige fugle finder de nogle oplysninger om mål på forskellige fuglekasser.

Tabellen viser de indvendige mål i fuglekassen.

Bredde

Dybde

Højde på front

Hullets diameter

Gråspurv

13 cm

13 cm

20 cm

3,5 cm

Musvit

13 cm

13 cm

20 cm

3,0 cm

Natugle

30 cm

30 cm

70 cm

15 cm

Stær

20 cm

20 cm

15 cm

4,5 cm

Sumpmejse

10 cm

10 cm

15 cm

2,5 cm

8 cm

8 cm

8 cm

3 cm x 8 cm

10 cm

10 cm

15 cm

5 cm x 10 cm

Type 1

Type 2 Gærdesmutte Rødhals

20°

Type 1

Type 2

Astrid og Camilla har en plade, der er 1,6 cm tyk, som de vil bruge til at bygge en ekstra fuglekasse. Taget på fuglekassen skal have en hældning på 20°.

Opgave 3 a. Vælg en fuglekasse, og tegn en skitse med mål på den valgte fuglekasse. b. Tegn skitser af de seks stykker, der skal bruges til fuglekassen. c. Tegn en præcis tegning af et af sidestykkerne.

150

udfordringen Til den fugl, der hedder en træløber, vil Astrid og Camilla bygge en særlig redekasse. Redekassen har ikke nogen bagside, fordi man sætter den op mod en mur eller et træ, så muren eller træet bliver bagside.

380 240

a. Tegn en præcis tegning af en af sidefladerne i målestoksforholdet 1:10.

150

afstande og vinkler

17

IVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITE Højdemåling Når man skal måle højder af en flagstang eller en antennemast, kan man ikke bruge et målebånd på samme måde, som når man måler længder på jorden.

Derfor er man nødt til bruge forskellige former for snedige metoder.

Ved denne aktivitet skal I arbejde parvis eller i grupper på 3.

Skyggemåling materialer: Målebånd, pind der kan stikke 1 m op, solskin I skal finde højden af en flagstang i nærheden af skolen eller andre høje genstande ved at måle længden af skygger.

1-32

Gør følgende: • Sæt pinden i jorden, så den stikker præcis 1 m op.

Pinden skal stå lodret.

• Mål længden af pindens skygge.

• Mål længden af flagstangens skygge.

1 a. Hvad er forholdet mellem længden af de to skygger? b. Beregn højden af flagstangen eller en anden høj genstand.

Vinkelmåling materialer: Vinkelmåler, sigtepind, målebånd

Vinkelmåler Sigtevinkel

Lodret afstand Vandret afstand

Gør følgende • Mål den vandrette afstand hen til træet.

• Mål den lodrette afstand fra øjet ned til jorden.

• Aflæs sigtevinklen til træet.

1 a. Bestem højden af træet ved at måle på en præcis tegning eller ved beregning.

18

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 18

13/06/2017 08.27

ETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER Afstande som ikke direkte kan måles materialer: Målebånd, vinkelmåler og pinde Nogle gange kommer man i en situation, hvor man ikke kan bruge et målebånd til at måle afstanden til en genstand. Det kan være, fordi genstanden ligger på den anden side af et vandløb eller en meget befærdet vej. Derfor er man nødt til at bruge forskellige indirekte metoder.

I denne aktivitet skal I arbejde sammen i grupper på 3-4.

De fire pinde D

Gør følgende: • Vælg et træ eller anden synlig genstand uden for klassen, som I vil bestemme afstanden til.

• Sæt pindene A og B med en afstand på 10 m.

• Sæt pinden C, så den ligger på sigtelinjen fra A til træet.

• Sæt pinden D, så den ligger på sigtelinjen fra B til træet.

• Mål længderne A til C, A til D, B til C og B til D. • Tegn en skitse med mål.

• Tilbage i klassen tegner I en præcis tegning og bestemmer afstanden fra A til træet ved at måle på tegningen.

B C

10 m

A

Den retvinklede trekant Gør følgende: • Vælg en synlig genstand uden for klassen, som I vil bestemme afstanden til.

• Sæt først en pind i jorden ved punkt A. • Pinden ved punkt B, skal placeres, så vinklen mellem genstanden, punkt A og punkt B er 90°.

• Mål vinklen mellem punkt A, punkt B og genstanden.

• Mål afstanden mellem punkt A og punkt B. • Beregn afstanden fra punkt A til genstanden.

• Beregn afstanden fra punkt B til genstanden.

Vinkelmåler

?

B 90°

A

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 19

19

13/06/2017 08.27

IVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITE Store konstruktioner materialer: Hjælpeark, målebånd, flagsnor eller et andet langt reb, vinkelmålere, pinde Når landmåleren skal sætte skelpæle op på en byggegrund eller afsætte grunden til et hus, er det en konstruktion af en geometrisk figur. I denne aktivitet skal I arbejde med nogle tilsvarende konstruktioner.

I skal arbejde sammen i grupper på 3-4.

Gør følgende: • Hent et hjælpeark med en skitse af den figur, som I skal konstruere.

• Diskuter, hvordan I vil konstruere figuren, så den bliver præcis.

• Konstruer figuren ved at afsætte pinde, der markerer figurens hjørner.

1 a. Mål størrelsen af de ukendte sidelængder og vinkelstørrelser, og skriv dem på skitsen af figuren. b. Tegn en præcis tegning af figuren i et passende målestoksforhold, og mål størrelsen af de ukendte sidelængder og vinkelstørrelser. c. Sammenlig størrelsen af de mål I har fra de to konstruktioner, og vurder, hvor præcis jeres store konstruktion er udført.

20

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 20

13/06/2017 08.27

ETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER Landmåling materialer: Målebånd, vinkelmåler eller et kompas og pinde Det gamle kort over den tyske delstat Sachsen, viser, hvordan man i gamle dage målte landområder op ved at dele landet op i trekanter, når man skulle tegne et landkort.

Nu bruger man et luftfoto eller et satellitfoto.

I skal arbejde med at tegne et kort over et område tæt ved jeres skole.

Herunder er vist en stor grund, der er målt op ved triangulering. I hvert af hjørnerne A, B, C, D, E af grunden er sat en pind.

Først måler man afstanden fra A til B. Derefter måler man sigtevinklerne BAC, ABC, BCD, CBD, CDE og DCE. Når disse mål er taget, er det muligt at tegne en præcis tegning i et valgt målestoksforhold.

A 12 m

B

C

100°

40° 69°

Gør følgende: • Afmærk et område med fx 5 pinde.

• Mål en længde.

• Mål sigtevinkler mellem de forskellige pinde.

78°

E 79°

41° D

1 a. b. c. d. e.

Tegn en skitse af målingerne.

Tegn derefter en korttegning af området i et passende målestoksforhold.

Bestem alle sidelængder ved at måle på kortet.

Undersøg, ved at måle sidelængder på den rigtige figur, hvor nøjagtigt I har fået tegnet kortet.

Forklar, hvilke årsager der kan være til, at kortet ikke er helt nøjagtigt. afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 21

21

13/06/2017 08.27

v om · iden

v om · iden

v om · iden

Konstruktion

om · viden

En konstruktion er i geometrien en præcis tegning, der opfylder nogle givne oplysninger.

En skitse er en form for ”tegnemæssig overslag”. Det er en tilnærmet ikke målfast udgave af en præcis tegning. Det er ofte en god ide at skitsere ved brug af papir og pen.

C a

b

A

B

c

Ligedannede trekanter

C1

To trekanter er ligedannede, hvis forholdet mellem de ensliggende sider er konstant. a1

b1

A1

a a1 B1

c1

b

c

= b = c1 = k 2

Ligedannede trekanter er ensvinklede så derfor gælder, at A = A1 B = B1 C = C1

Pythagoras I en retvinklet trekant gælder, at summen af kateternes kvadrater er lig med hypotenusens kvadrat.

Hvis C = 90° gælder det, at a2 + b2 = c2

C

a

b

A

B

c

Hvis det i en trekant gælder, at summen af kateternes kvadrater er lig med hypotenusens kvadrat, så er trekanten retvinklet.

Hvis a2 + b2 = c2 gælder, at C = 90°.

Trigonometri i den retvinklede trekant Siden b er den hosliggende katete til vinkel A. Siden a er den modstående katete til vinkel A. Siden c er hypotenusen i den retvinklede trekant.

B Hypotenuse c

A

22

b Hosliggende katete

a Modstående katete C

a

sin A =

modstående katete hypotenusen

= c

cos A =

hosliggende katete hypotenusen

= c

tan A =

modstående katete hosliggende katete

=b

b a

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 22

13/06/2017 08.27

Du ved

1

Du kan beregne

c

Siden a og c

a

b =j' –''a' c''' 2

2

a sin A = c B = 90° – A

C

2

c

Siden b og c

c'2'' –''b' a =j' 2

b

b cos A = c B = 90° – A

C

a

3

Siden a og b

a b

4

A

B = 90° – A

C

c

Siden c og vinkel A

c'2'' +''a'2 c =j'

tan A = b

a = c · sin A b = c · cos A

B = 90° – A

Regn vinkel A ud og se under 4

A = 90° – B

C B

5

c

Siden c og vinkel B

C B

6

b = a · tan B

Siden a og vinkel B

a

a'2'' +''b'2 c =j'

A = 90° – B

C

7

a = b · tan A

Siden b og vinkel A

a'2'' +''b'2 c =j' A

8

b

C

b = tana A

Siden a og vinkel A A

B = 90° – A

C

a'2'' +''b'2 c =j'

B = 90° – A

B

9

b a = tan B

Siden b og vinkel B

c =j' a'2'' +''b'2 b

A = 90° – B

C

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 23

23

13/06/2017 08.27

BREDDEOPGAVER O

F

4

J

C

Q 9

50˚ 21

K 3 H

9

?

?

L

21

12

75˚

75˚

I

M

4 P

N

8

55˚

D

B

A

E

a. Forklar, hvorfor er de to trekanter ligedannede?

1

De blå linjer på de to figurer er parallelle. a. Tegn skitser af de to figurer. b. Beregn de manglende længder ved spørgsmålstegnene.

5 b 6

C 4

5

2

24

B

Tegningen viser et byskilt til Nordrabygd, som er bygget af tre trærafter.

a

10

6m

10 A

E

D

14

20

a. Beregn længden af a og b. b. Beregn længden af DE og BD.

3m

3m

6

Skitsen herunder viser en retvinklet trekant.

8m

C

a. Hvor lange er de trærafter, som er brugt? b. Beregn sidemålene på den plade, hvor der står Nordrabygd.

a

b

A

Birgitte stiller sig, så hun lige kan se toppen af grantræet, når hun sigter hen over lygtepælen.

B

c

3

Tabellen viser sidelængder i forskellige retvinklede trekanter.

Trekant 1

a

b

5 cm

12 cm

Trekant 2 Trekant 3

24 cm 20 cm

c 25 cm 40 cm

a. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter.

3m 1,5 m

16 m

a. Hvor højt er træet?

24

afstande og vinkler

4m

7

I en retvinklet trekant har de to kateter længderne 7 cm og 8 cm. a. Beregn længden af hypotenusen.

8

13

I en retvinklet trekant er hypotenusen 40 cm og den ene katete er 20 cm. a. Beregne længden af den anden katete.

9

a. Tegn et kvadrat, som har en diagonal på 3 cm. b. Beregn længden af siderne med en nøjagtighed på 2 decimaler.

14

Tegningen viser en retvinklet trekant.

A

8 cm

b

30°

4,2 m

C

B

a

a. Beregn længden af siden a. b. Beregn længden af siden b.

5,4 m

a. Hvor lang skal diagonalen være på cementgulvet, for at det er en retvinklet trekant?

15

Tegningen viser en retvinklet trekant.

10

C 17 cm

4,1 m

b

52° A

B c

a. Beregn længden af siden b. b. Beregn længen af siden c.

1,5 m

a. Hvor lang er stigen?

11

Hvilke af disse trekanter er retvinklede? a. 12 cm, 16 cm og 20 cm b. 28 cm, 12 cm og 36 cm c. 43 cm, 37 cm og 54 cm

16

Skitsen herunder viser nogle målinger, som en gruppe elever har foretaget for at bestemme højden af en antennemast.

12

a. Tegn en ligebenet retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 7 cm. b. Beregn længden af kateterne med en nøjagtighed på 2 decimaler.

68°

25 m

25 m

50 m

a. Beregn antennemastens højde. b. Beregn længden af de barduner, der er vist på tegningen. afstande og vinkler

25

17

21

De blå linjer er parallelle.

Skitsen herunder viser en tilfældig trekant.

C

u

b

v

30°

a 122°

b

A

a. Find de manglende vinkler.

18

Tegn en firkant, hvor en af de indre vinkler er over 180°.

I tabellen herunder er mål på 4 trekanter. a. Konstruer hver af de 4 trekanter, og mål de størrelser, der ikke er angivet i tabellen

19

Her er to firkanter.

66°

61°

84°

111°

v

u 123°

B

c

a

b

c

Trekant 1

6

5

8

Trekant 2

5

A

B

6

Trekant 3

4

Trekant 4

9

C

72° 31°

104°

7

48°

22°

a. Beregn de manglende vinkler.

22

Tegningen herunder viser en skitse af en trekant.

20

B

Tegningen herunder viser en grund.

7,5 cm

14 m

52°

65° A 50 m

C

8 cm

a. Konstruer denne trekant.

23 9 cm

B

C

85°

a. Beregn længden af alle linjestykker i figuren. b. Beregn grundens omkreds. c. Beregn grundens areal.

G F

A

105°

9 cm

m

3 cm

110°

m 5c

D

3c

80° 5 cm

H

E

a. Konstruer de to figurer.

26

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 26

13/06/2017 08.27

24

28

a. Tegn et kvadrat, hvor diagonalerne er 4 cm lange.

25

Udregn. a. sin(35°)

b. sin(5°)

c. cos(90°)

d. sin(90°)

26

Hvis en stige skal stå ordentligt op ad en væg, bør vinklen mellem jord og stige være ca. 75°. a. Hvor langt oppe på væggen vil en stige på 6 m nå, hvis man overholder de 75°? b. Hvor langt fra væggen vil stigens fodpunkt være?

29

Udregn vinklen. a. sin(v) = 0,342 d. sin(v) = 0

b. sin(v) = 0,5 e. cos(v) = 0

c sin(v) = 0,8 f. cos(v) = 0,5

225 cm

27 140 cm

a. Beregn de manglende sider og vinkler.

En wiener-stige har de viste mål. a. Beregn de manglende vinkler og stigens højde.

B B

B

B

C 4,76

30 5°

a. Tan(15°) d. Tan(89°)

A

b. Tan(45°) e. Tan(1°)

c. Tan(80°) f. Tan(89,9°)

69° A

C

31 7,93

B

a. Tan(v) = 0,58

b. Tan(v) = 1,73

c. Tan(v) = 19

D 32

6,40 A

A

C

C

5,19

B

54,45 1,10

78° A

C

E B 75° A 6,43

F

C B

85° A

58°

C 7,34

G

A 16,49

C

A

C 200 m

Vinkel C i den røde trekant er en ret vinkel.

Afstanden AC = 200 m og A = 58°. a. Hvor højt er Eiffeltårnet? afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 27

27

13/06/2017 08.27

33

36

Tegningen herunder er en skitse af en trekant.

A

7 8 cm

4

9 cm

20°

C

13 cm

B

a. Hvor lang er siden AC?

a. Konstruer trekanten. b. Forklar, hvordan du kan beregne de manglende sidelængder i trekanten. c. Beregn trekantens areal.

34

Forholdet mellem længde og bredde på fjernsynsskærmen er 16:9.

Størrelsen på alle skærme angives i engelske tommer.

En engelsk tomme er 2,54 cm.

37

Figuren er opdelt i tre retvinklede trekanter.

5,00 m

3,60 m

26”

146,3° 67,4°

6,50 m

a. Find de manglende sidelængder og vinkler i figuren a. Beregn fjernsynsskærmens længde og bredde i cm.

38 35 ?

0,4

m

Catrine ser toppen af flagstangen gennem spejlet, som ligger på jorden. Se tegningen.

1m

4,2 m

a. Beregn længden af den skrå side (se spørgsmålstegn).

2m

16 m

a. Hvorfor er de to trekanter ligedannede? b. Hvor høj er flagstangen, hvis Catrine er 1,5 m høj?

28

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 28

13/06/2017 08.27

EFTERTANKEN Vis og forklar Vejskilte, som vist her til højre, ser man ofte, når man kører i bjerge. De kan også ses enkelte steder i Danmark.

Når stigningen er 10% betyder det, at vejen stiger 10 m over en vejafstand på 100 m.

Tegn og forklar, hvilken sammenhæng der er mellem stigningen angivet i procent og sinus til en vinkel. Find et eksempel på nettet.

10%

Stjerne

Afstandsmåling i universet Når en astronom skal bestemme afstanden til en stjerne, der ikke er for langt væk, kan han bruge trigonometri.

Tegningen viser princippet i, hvordan det er muligt at beregne afstanden til nogle af de nærmeste stjerner. Når Jorden befinder sig i position 1, bestemmer man retningen til stjernen. Når Jorden et halvt år senere befinder sig i position 2 bestemmer man igen retningen til stjernen. Når man har gjort det, kan man bestemme vinkel v.

v

I tabellen herunder kan du se størrelsen af vinkel v for nogle af de nærmeste stjerner.

Vinkel v kaldes for stjernens parallakse.

Stjernens navn

Størrelse af vinkel v

Alpha Centauri

0,000206°

Procyon

0,000079°

Spica

0,000004° Jorden2

Jorden1 Solen

Problemstilling • Hvordan kan man beregne afstanden til de nærmeste stjerner, når man kender vinkel v?

• Forklar, hvorfor man får næsten samme afstand, hvis man beregner afstanden fra stjernen til Solen.

Arbejdsbeskrivelse • Beskriv, hvilke formler I valgte til jeres beregninger.

• Er der flere måder at udføre beregningerne på?

• Søg på nettet og find oplysninger om parallakser og afstande til andre stjerner.

Mulige hjælpemidler Lommeregner eller et cas-værktøj

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 29

29

13/06/2017 08.27