Kontext 9 Kernebog, Læseprøve

Niels Jacob Hansen, Mette StrandgĂĽrd Christensen, Bent Lindhardt og Lars Busch Johnsen er en gennemgribende revision af KonteXt, hvor indholdet er skrevet ud fra de FĂŚlles MĂĽl, og tĂŚnkt ind i en lĂŚringsmĂĽlstyret undervisning.

har et øget fokus pü evalueringen af elevprÌstationer gennem EVA-ark og observationer af tegn pü lÌring og der er øget anvendelse af digitale vÌrktøjer.

De afsluttende breddeopgaver er trĂŚningsopgaver suppleret med mere udfordrende opgaver.

Den sidste side, Eftertanken, er ĂŚndret mod mere kompetenceorienterede opgaver.

9 KERNEBOG / WEB

er en del af et fagligt solidt lÌrebogssystem med en gennemtÌnkt og afprøvet struktur.

Elevernes føres fra virkeligheden og et genkendeligt hverdagssprog ind i matematikkens verden af symboler og fagsprog.

Kernebogen indeholder syv undervisningsforløb, der hver har • En klasseintroduktion med fÌlles samtale, indledende aktivitet og synliggørelse af de faglige omrüder. • 2-4 scenarier, hvor de matematiske begreber prÌsenteres i en kontekst • 3-5 aktiviteter hvor eleverne kan bygge, müle, eksperimentere, spille osv. • Viden om-sider, hvor matematikken i scenarierne og aktiviteterne samles op og prÌciseres. • Breddeopgaver med trÌning og udfordrende opgaver • Eftertanken-siden med fokus pü opgaver inden for kommunikations-, rÌsonnements-, problemløsningsog modelleringskompetencerne.

Desuden tre afsnit Prøv mundtligheden og et ottende kapitel med syv Prøv skriftligheden, hvor eleverne vejledes og øver i de to discipliner.

Digitale vÌrktøjer som regneark og GeoGebra inddrages. Se efter som kan vÌre en anbefaling af it som hjÌlpemiddel eller i nogle tilfÌlde refererer til filer pü www.kontextplus.dk. Ikonet henviser til skÌrmoptagelser, der vejleder eleverne i brugen af de digitale vÌrktøjer.

Har du bog, har du web!

• • • •

9 Kernebog/Web er en trykt kernebog og giver lÌrer/elev adgang til www.kontextplus.dk.: �Viden om�-film, der gennemgür det faglige indhold til hvert kapitel Filer knyttet til GeoGebra, Excel, applets og skÌrmoptagelser HjÌlpeark til opgaver i kernebogen Supplerende arbejdsark og aktiviteter

9 LÌrervejledning/Web er en trykt lÌrervejledning. Den giver lÌreren en udvidet adgang til �LÌreren� pü www.kontextplus.dk: • EvalueringssÌt som bestür af EVA-ark med facitliste og kommentarer til hvert kapitel • Supplerende opgaver til afsnittene Prøv mundtligheden og Prøv skriftligheden • Facitliste til kernebogen • HjÌlpeark som supplement til kernebogen og støtte til løsning af opgaver • Oversigt over lÌringsmül og tegn pü lÌring samt ürsplan Tavlebog – en digital udgave af bogen til IWB Til 9. klasse hører følgende materialer: • KonteXt+ 9, Kernebog/Web • KonteXt+ 9, LÌrervejledning/Web Udgives ogsü som I-bog www.kontextplus.dk er dynamisk og udvikles løbende.

9788723514349_omslag.indd 1

kernebog/WEB

9

978-87-23514-349

ISBN

alinea.dk

Matematik ¡ 9. klasse ¡ Elevbog ¡ Web

12/06/2017 07.44

4

At dele

9788723514349_indhold.indd 4

13/06/2017 08.27

Afstande og vinkler Klassesamtalen • • • •

Beskriv vinklen mellem jordoverfladen og antennemasten.

Hvilke typer trekanter kan I se på billedet?

Hvilke typer trekanter danner bardunerne, antennemasten og jordoverfladen, hvis jordoverfladen er helt vandret?

Hvordan kan man bestemme højden af antennemasten?

Klasseaktivitet: Sortering af trekanter Materialer: Hjælpeark med trekanter, saks, lineal og vinkelmåler Deltagere: 3 - 4 personer

Trekanter kan sorteres efter forskellige egenskaber.

I skal starte med at klippe alle trekanter på de to hjælpeark ud.

Bestem, hvordan I vil sortere trekanterne.

Udarbejd en oversigt, der viser, hvordan I har sorteret trekanterne.

I skal kunne redegøre for de egenskaber, som I har sorteret efter.

I dette kapitel skal du lære om • • • • • •

sammenhænge mellem sidelængder og vinkler i en retvinklet trekant. at beregne afstande i retvinklede trekanter. at bruge den pythagoræiske læresætning. at regne med cosinus, sinus og tangens. at fremstille præcise tegninger. anvende ligedannethed til beregning af afstande og vinkler.

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 5

5

13/06/2017 08.27

Stigen Sonja skal sammen med sin far, Rasmus, male gavlen på deres hus. De har en stige, der er 6 m lang, som de stiller op ad væggen på huset.

Væg Stige

a

70° Jord

6

Opgave 1 a. Hvad hedder den trekanttype, som bliver dannet af væggen, stigen og jorden? b. Hvor mange grader er vinklen mellem jorden og væggen? c. Hvor mange grader er vinklen mellem jorden og stigen?

Opgave 2 a. Forklar, hvordan du ved at måle på tegningen til venstre kan beregne den virkelige afstand fra stigen og ind til væggen. b. Hvor højt når stigen op på væggen? c. Hvor stor er vinklen mellem stigen og væggen?

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 6

13/06/2017 08.27

T

Rasmus og Sonja kan se, at der er en sammenhæng mellem stigens afstand fra væggen og hvor højt stigen kan nå op på væggen.

Opgave 3 Stige og væg, QR 1 a. Brug GeoGebrafilen Stige og væg til at undersøge, hvordan afstanden fra T til jorden ændrer sig, når stigen på 6 m bliver flyttet tættere på eller længere væk fra væggen. Beskriv, hvad du lægger mærke til. b. Brug GeoGebrafilen Stige og væg til at undersøge, hvordan afstanden fra S til væggen ændrer sig, når stigen på 6 m skal nå længere eller kortere op på væggen.

S

Opgave 4 a. Brug GeoGebrafilen Stige og væg til at undersøge, hvordan afstanden fra T til jorden ændrer sig, når afstanden fra S til væg er 3 m og stigens længde bliver kortere eller længere. Beskriv, hvad du lægger mærke til. b. Brug GeoGebrafilen Stige og væg til at undersøge, hvordan afstanden fra S til væggen ændrer sig, når stigen skal nå 6 m op og stigens længde bliver kortere eller længere. Beskriv, hvad du lægger mærke til.

Rasmus lægger mærke til, at vinklen mellem jorden og stigen også ændrer sig, når de flytter stigen tættere på væggen.

T

Opgave 5 a. Mål vinklen på tegningen mellem stige og væg. b. Hvor stor er vinklen på tegningen mellem jord og stige?

Opgave 6 a. Beskriv, hvad sker der med vinklen mellem jord og stige, når stigen bliver skubbet ind mod væggen. b. Beskriv, hvad der sker med vinklen mellem stige og væg, når stigen bliver skubbet ind mod væggen.

Opgave 7 a. Hvor lille kan vinklen mellem stige og væg blive? b. Hvordan er stigen placeret i forhold til væggen, hvis vinklen mellem stige og jord er meget lille?

6m

S

B

Opgave 8 a. Beskriv, hvad bogstaverne a, b og c svarer til i situationen med væg, jord og stige. b. Beskriv, hvad bogstaverne A, B og C svarer til i situationen med væg, jord og stige.

c

A

a

b

1

C

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 7

7

01/11/2017 13.02

Den pythagoræiske læresætning B c

A

a

b

C

Hvis trekanten er retvinklet gælder a2 + b2 = c2

”Vi kan også regne ud, hvor højt stigen når op”, siger Rasmus. ”Vi ved, at stigen er 6 m lang, og vi kan måle afstanden fra stigen og ind til væggen.”

Han bruger den pythagoræiske læresætning til at beregne, hvor langt stigen når op ad væggen.

Opgave 9 a. Tegn en retvinklet trekant. b. Giv sider og vinkler navne. c. Undersøg ved beregning om den pythagoræiske sætning passer.

Opgave 10 a. Beregn, hvor højt op på væggen stigen når, hvis afstanden fra væg til stigens fodpunkt er 1,5 m og stigen er 6 m lang. b. Beregn afstanden fra væggen til stigens fodpunkt, når stigen på 6 m når 5 m op ad gavlen.

Opgave 11 a. Beregn, hvor lang stigen skal være, når den skal kunne nå 8 m op og fodpunktet skal stå 3 m fra gavlen.

Sonja og Rasmus’ nabo har en stige, der er 10 m lang.

Opgave 12 a. Beregn, hvor højt op stigen kan nå ved tre forskellige afstande fra stigens fodpunkt til gavlen.

8

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 8

13/06/2017 08.27

T

Ved den anden gavl på Sonjas og Rasmus’ hus skråner jorden lidt i forhold til gavlen. Da de skal male gavlen, måler Sonja og Rasmus, at afstanden fra stigen på 6 m ind til gavlen er 2 m, og at stigen når 5 m op ad gavlen.

5m

6m

Opgave 13 a. Brug den pythagoræiske læresætning til at vise, at en trekant med sidelænger på 6 m, 2 m og 5 m ikke er retvinklet. b. Er trekanten spidsvinklet eller stumpvinklet?

S

2m

Rasmus vil gerne vide, hvordan man kan bruge den pythagoræiske læresætning til at afgøre om en trekant er spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet.

Derfor vil han undersøge forskellige trekanter.

Målene på de trekanter, som han vil undersøge, er vist i tabellen herunder. a

b

c

Trekant 1

12

5

13

Trekant 2

14

14

20

Trekant 3

11

10

13

Trekant 4

15

16

17

Trekant 5

14

16

22

a² + b²

c²

Trekanttype

Opgave 14 a. Fremstil en tabel, som den Rasmus har lavet. b. Beregn for hver trekant værdien a2 + b2 og c2. c. Afgør, hvilken trekanttype der er tale om. d. Formuler en regel for, hvordan man ved hjælp af den pythagoræiske læresætning, kan afgøre om en trekant er enten spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet.

Udfordringen Sonja og Rasmus har en stige på 5 m og en stige på 6 m, som de stiller som vist på tegningen. a. Hvor langt står stigerne fra hinanden, når afstanden fra toppen af stigerne ned til jorden er 4 m? b. Hvilken type trekant danner jorden og de to stiger?

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 9

9

01/11/2017 13.03

Flere stiger En vinduespudser har ofte brug for en stige, som kan sættes op ad en væg for at nå de øverste vinduer. Stiger kan fås i mange længder og den enkelte stige kan ofte variere i størrelse. Ruby, som er vinduespudser har en stige, som i fuld længde kan blive 5 m.

Opgave 1 a. Hvor højt kan Rubys stige nå op af væggen, når den ene ende skal være på gulvet? b. Hvor langt væk fra væggen kan Ruby sætte stigen, når den anden ende skal røre væggen? a

Opgave 2 a. Tegn en skitse af stigen, så afstanden a er lige så stor som afstanden b. b. Skriv de vinkler stigen danner med væggen og jorden, når den står som i spørgsmål a.

b

10

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 10

13/06/2017 08.27

B

Opgave 3 a. Hvilke vinkler danner stigen med jorden og væggen, hvis afstandene a og b er 4 m og 3 m?

Opgave 4 a. Tegn en model af stige, jord og væg fra opgave 3. b. Skriv de manglende sider og vinkler på modellen.

a

C

A

Der er en sammenhæng mellem størrelsen af vinkel A og afstanden a.

Opgave 5 Vinduespudserstigen, QR 1 a. Undersøg denne sammenhæng. Brug GeoGebrafilen Vinduespudserstigen.

Vinkel A

10°

20°

30°

40°

50°

60°

5m

5m

5m

5m

5m

5m

Afstand a Stigens længde (c )

b. Undersøg det samme, hvis stigen kun er 3 m lang Vinkel A

10°

20°

30°

40°

50°

60°

3m

3m

3m

3m

3m

3m

50°

60°

Afstand a Stigens længde (c )

Opgave 6 a a. Undersøg forholdstallet c med to forskellige længder af c.

Vinkel A Forholdstallet Forholdstallet

10°

20°

30°

40°

a

5

a 3

a b. Hvad kan man sige om forholdstallet c ?

Opgave 7 a. Hvor langt op på en væg, når en stige på 4 m (c), hvis vinkel A er 20°. b. Hvor mange grader er vinkel A, hvis en stige på 4 m har en afstand (b) til væggen på 2 m?

Hvis en stige skal stå ordentligt op ad en væg, skal vinklen mellem stigen og jorden være ca. 75°.

Opgave 8 a. Hvordan skal man stille en stige på 8 m, så den står ordentligt op ad væggen? b. Tegn en skitse. c. Indskriv afstande og vinkelmål.

1

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 11

11

13/06/2017 08.27

B Hypotenuse c

A

a Modstående katete

b Hosliggende katete

I retvinklede trekanter kaldes siderne a og b for kateter og siden c for hypotenusen - se tegningen til venstre. Siden a bliver så vinkel A's modstående katete. Siden b bliver vinkel A's hosliggende katete.

C

Opgave 9 a. Hvad hedder den modstående katete til vinkel B? b. Hvad hedder den hosliggende katete til vinkel B? Man kalder forholdstallet ac for sinus i vinkel A. Det skrives som sin A = ac . Det kan også læses som ”sinus til vinkel A er forholdet mellem den modstående katete og hypotenusen i en retvinklet trekant.”

Sin A =

a væg modstående katete = = c stige hypotenusen

Man kan også undersøge sammenhængen mellem stigens længde og afstanden fra stigens fodpunkt hen til muren. Det svarer til forholdet bc – se tegning øverst til venstre.

Opgave 10 a. Undersøg forholdstallet cb med to forskellige længder af c .

Vinkel A

10°

Forholdstallet Forholdstallet

20°

30°

40°

50°

60°

b 5

b 3

b. Hvad kan man sige om forholdstallet cb ?

Opgave 11 a. Hvor langt fra muren vil en stige på 4 m stå, hvis vinkel A er 20°? b. Hvor mange grader er vinkel A, hvis en stige på 4 m har en afstand fra muren på 1 m?

Forholdstallet cb i en retvinklet trekant kalder man for cosinus til vinkel A. Det skrives som cos A = cb . Det kan også læses som ”cosinus til vinkel A er forholdstallet mellem den hosliggende katete og hypotenusen i en retvinklet trekant.”

cos A =

jord hosliggende katete b = = hypotenusen stige c

B

Opgave 12 a. Beregn de manglende sider og vinkler i denne trekant.

75° A

12

6,43

C

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 12

13/06/2017 08.27

sin–1 cos–1 Man kan bruge en lommeregner til at beregne værdier af cosinus og sinus af en vinkel. Man skriver det nogle gange som sin (v), hvor v er vinklens størrelse.

sin

cos

Opgave 13 a. Undersøg, hvordan du kan bruge din lommeregner til at bestemme sinus og cosinus til forskellige vinkler mellem 0° og 90°. b. Tegn denne tabel, og brug lommeregneren til at udregne værdierne.

Grader

10°

20°

30°

40°

50°

60°

70°

80°

90°

sin(v) cos(v)

Opgave 14 a. Undersøg, hvilke taster du skal bruge, hvis du skal finde en vinkel v, hvor sin(v) = 0,57. b. Tegn tabellen og udfyld de manglende felter.

Grader sin(v)

0,2

cos(v)

0,72 0,81

0,95 0,35

0,58

Opgave 15 a. Udregn sin (80°) og sin(89°). b. Undersøg, hvad der sker, når man tager sin(90°)? c. Hvilken situation svarer det til med stigen?

Man kan bruge et cas-værktøj til at beregne værdien af sinus og cosinus til en vinkel.

Opgave 16 Grader, QR 1 a. Undersøg, hvordan du kan bruge et cas-værktøj til at beregne sinus og cosinus til forskellige vinkler mellem 0° og 90°.

Udfordringen Ibrahim har brugt et cas-værktøj til at beregne sin(45°) og cos(45°) og får de resultater, der er vist her. Han tegner en ligebenet retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 1. a. Forklar, hvorfor de to andre vinkler i trekanten begge er 45°. b. Vis med beregninger, at det er rigtigt, at den præcise værdi af både 1 sin(45°) og cos(45°) er √¯ 2.

1

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 13

13

13/06/2017 08.27

Flaske

Hangglider Til sin 16-års fødselsdag fik Dicte en tur som passager på en hangglider.

Sammen med piloten startede hun fra et punkt, der var 30 m over jorden.

Piloten og Dicte svævede i en ret linje, før de landede på jorden 210 m fra det sted, hvor de startede. Skitsen til venstre viser Dictes første svævetur.

30 m 210 m

Piloten fortæller, at en hangglider har et glidetal. Det er forholdet mellem højden man starter fra og den vandrette jordafstand. Jordafstanden kalder man for distancen. Glidetallet for den hangglider, som Dicte prøver, svarer så til 30:210 = 1:7 ≈ 0,14. Andre hangglidere giver andre glidetal.

Dicte får en tur med en anden hangglider. Hun starter i en højde på 20 m og svæver en distance på 180 m.

Opgave 1 a. Tegn en skitse, der viser Dictes svævetur med denne hangglider. b. Beregn glidetallet.

Piloten fortæller Dicte, at vinklen mellem jorden og den stiplede linje, der viser svævet med hangglideren, kaldes glidevinklen.

20 m 180 m

14

Glidevinkel

Opgave 2 a. Konstruer en præcis tegning af svævet og mål en glidevinkel for Dictes svæv fra en højde på 20 m - se opgave 1. b. Bliver det den samme glidevinkel, hvis hun starter højere oppe?

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 14

13/06/2017 08.27

Opgave 3 a. Konstruer en tegning, som viser et svæv fra en hangglider fra en højde på 200 m og med glidetallet 0,2. b. Konstruer en tegning, som viser et svæv fra en anden hangglider fra en højde på 200 m, hvor glidevinklen er 8°.

Tabellen herunder viser glidetallet og glidevinklen for nogle forskellige hangglidere.

Glidetal

0,5

0,25

0,13

Glidevinkel

16°

12°

6°

Opgave 4 a. Tegn tabellen og udfyld de manglende felter i tabellen ved at måle på præcise tegninger.

Den retvinklede trekant til højre viser en tegnet model af svævet.

Det ser ud til, at der er en særlig sammenhæng mellem glidevinkel og glidetal.

Den kalder man for tangens, og skriver den som tan eller tg.

B a

Man kan skrive, at tan A = den modstående katete = a

b

b

hosliggende katete

A

Opgave 5 a. Undersøg, hvordan man beregner tangens til en vinkel på lommeregner. b. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter.

Grader

9°

25°

30°

45°

60°

76°

81°

89°

tan

Opgave 6 a. Undersøg, hvordan man på lommeregneren kan bestemme en vinkels størrelse, hvis man kender tangens til vinklen. b. Udregn vinklen, når tan (v) = 0,38.

Opgave 7 a. Beregn højden på et svæv med en glidevinkel på 10 grader og en distance på svævet på 1100 m.

Udfordringen Dicte får en tur, hvor de starter på et punkt der 68 m over havet. Piloten fortæller, at de lander på et punkt, der er 17 m over havet, og at de har svævet ca. 300 m. a. Bestem glidetallet ved tegning eller ved beregning. b. Bestem glidevinklen.

68 m over havet

300 m

17 m over havet

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 15

15

13/06/2017 08.27

TIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETE Højdemåling Når man skal måle højder af en flagstang eller en antennemast, kan man ikke bruge et målebånd på samme måde, som når man måler længder på jorden.

Derfor er man nødt til bruge forskellige former for snedige metoder.

Ved denne aktivitet skal I arbejde parvis eller i grupper på 3.

Skyggemåling Materialer: Målebånd, pind der kan stikke 1 m op, solskin I skal finde højden af en flagstang i nærheden af skolen eller andre høje genstande ved at måle længden af skygger.

1-32

Gør følgende: • Sæt pinden i jorden, så den stikker præcis 1 m op.

Pinden skal stå lodret.

• Mål længden af pindens skygge.

• Mål længden af flagstangens skygge.

1 a. Hvad er forholdet mellem længden af de to skygger? b. Beregn højden af flagstangen eller en anden høj genstand.

Vinkelmåling Materialer: Vinkelmåler, sigtepind, målebånd

Vinkelmåler Sigtevinkel

Lodret afstand Vandret afstand

Gør følgende • Mål den vandrette afstand hen til træet.

• Mål den lodrette afstand fra øjet ned til jorden.

• Aflæs sigtevinklen til træet.

1 a. Bestem højden af træet ved at måle på en præcis tegning eller ved beregning.

18

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 18

13/06/2017 08.27

VITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER A Afstande som ikke direkte kan måles Materialer: Målebånd, vinkelmåler og pinde Nogle gange kommer man i en situation, hvor man ikke kan bruge et målebånd til at måle afstanden til en genstand. Det kan være, fordi genstanden ligger på den anden side af et vandløb eller en meget befærdet vej. Derfor er man nødt til at bruge forskellige indirekte metoder.

I denne aktivitet skal I arbejde sammen i grupper på 3-4.

De fire pinde D

Gør følgende: • Vælg et træ eller anden synlig genstand uden for klassen, som I vil bestemme afstanden til.

• Sæt pindene A og B med en afstand på 10 m.

• Sæt pinden C, så den ligger på sigtelinjen fra A til træet.

• Sæt pinden D, så den ligger på sigtelinjen fra B til træet.

• Mål længderne A til C, A til D, B til C og B til D. • Tegn en skitse med mål.

• Tilbage i klassen tegner I en præcis tegning og bestemmer afstanden fra A til træet ved at måle på tegningen.

B C

10 m

A

Den retvinklede trekant Gør følgende: • Vælg en synlig genstand uden for klassen, som I vil bestemme afstanden til.

• Sæt først en pind i jorden ved punkt A. • Pinden ved punkt B, skal placeres, så vinklen mellem genstanden, punkt A og punkt B er 90°.

• Mål vinklen mellem punkt A, punkt B og genstanden.

• Mål afstanden mellem punkt A og punkt B. • Beregn afstanden fra punkt A til genstanden.

• Beregn afstanden fra punkt B til genstanden.

Vinkelmåler

?

B 90°

A

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 19

19

13/06/2017 08.27

V om · iden

V om · iden

V om · iden

Konstruktion

om · Viden

En konstruktion er i geometrien en præcis tegning, der opfylder nogle givne oplysninger.

En skitse er en form for ”tegnemæssig overslag”. Det er en tilnærmet ikke målfast udgave af en præcis tegning. Det er ofte en god ide at skitsere ved brug af papir og pen.

C a

b

A

B

c

Ligedannede trekanter

C1

To trekanter er ligedannede, hvis forholdet mellem de ensliggende sider er konstant. a1

b1

A1

a a1 B1

c1

b

c

= b = c1 = k 2

Ligedannede trekanter er ensvinklede så derfor gælder, at A = A1 B = B1 C = C1

Pythagoras I en retvinklet trekant gælder, at summen af kateternes kvadrater er lig med hypotenusens kvadrat.

Hvis C = 90° gælder det, at a2 + b2 = c2

C

a

b

A

B

c

Hvis det i en trekant gælder, at summen af kateternes kvadrater er lig med hypotenusens kvadrat, så er trekanten retvinklet.

Hvis a2 + b2 = c2 gælder, at C = 90°.

Trigonometri i den retvinklede trekant Siden b er den hosliggende katete til vinkel A. Siden a er den modstående katete til vinkel A. Siden c er hypotenusen i den retvinklede trekant.

B Hypotenuse c

A

22

b Hosliggende katete

a Modstående katete C

sin A =

modstående katete hypotenusen

=

a c

cos A =

hosliggende katete hypotenusen

=

b c

tan A =

modstående katete hosliggende katete

=

a b

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 22

13/06/2017 08.27

Du ved

1

Du kan beregne

c

Siden a og c

a

b =j' –''a' c''' 2

2

a sin A = c B = 90° – A

C

2

c

Siden b og c

c''' –''b' a =j' 2

b

2

b cos A = c B = 90° – A

C

a

3

Siden a og b

a b

4

A

B = 90° – A

C

c

Siden c og vinkel A

c'2'' +''a'2 c =j'

tan A = b

a = c · sin A b = c · cos A

B = 90° – A

Regn vinkel A ud og se under 4

A = 90° – B

C B

5

c

Siden c og vinkel B

C B

6

b = a · tan B

Siden a og vinkel B

a

a'2'' +''b'2 c =j'

A = 90° – B

C

7

a = b · tan A

Siden b og vinkel A

a'2'' +''b'2 c =j' A

8

b

C

b = tana A

Siden a og vinkel A A

B = 90° – A

C

a'2'' +''b'2 c =j'

B = 90° – A

B

9

b a = tan B

Siden b og vinkel B

c =j' a'2'' +''b'2 b

A = 90° – B

C

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 23

23

13/06/2017 08.27

BREDDEOPGAVER O

F

4

J

C

Q 9

50˚ 21

K 3 H

9

?

?

L

21

12

75˚

75˚

I

M

4 P

N

8

B

A

55˚

D

E

a. Forklar, hvorfor er de to trekanter ligedannede?

1

De blå linjer på de to figurer er parallelle. a. Tegn skitser af de to figurer. b. Beregn de manglende længder ved spørgsmåls­ tegnene.

5 b 6

C 4

5

2

24

B

Tegningen viser et byskilt til Nordrabygd, som er bygget af tre trærafter.

a

10

6m

10 A

E

D

14

20

a. Beregn længden af a og b. b. Beregn længden af DE og BD.

3m

3m

6

Skitsen herunder viser en retvinklet trekant.

8m

C

a. Hvor lange er de trærafter, som er brugt? b. Beregn sidemålene på den plade, hvor der står Nordrabygd.

a

b

A

Birgitte stiller sig, så hun lige kan se toppen af grantræet, når hun sigter hen over lygtepælen.

B

c

3

Tabellen viser sidelængder i forskellige retvinklede trekanter.

Trekant 1

a

b

5 cm

12 cm

Trekant 2 Trekant 3

24 cm 20 cm

c 25 cm 40 cm

a. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter.

3m 1,5 m

16 m

a. Hvor højt er træet?

24

4m

7

I en retvinklet trekant har de to kateter længderne 7 cm og 8 cm. a. Beregn længden af hypotenusen.

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 24

13/06/2017 08.27

8

13

I en retvinklet trekant er hypotenusen 40 cm og den ene katete er 20 cm. a. Beregne længden af den anden katete.

9

a. Tegn et kvadrat, som har en diagonal på 3 cm. b. Beregn længden af siderne med en nøjagtighed på 2 decimaler.

14

Tegningen viser en retvinklet trekant.

A

8 cm

b

30°

4,2 m

C

B

a

a. Beregn længden af siden a. b. Beregn længden af siden b.

5,4 m

a. Hvor lang skal diagonalen være på cementgulvet, for at det er en retvinklet trekant?

15

Tegningen viser en retvinklet trekant.

10

C 17 cm

4,1 m

b

52° A

B c

a. Beregn længden af siden b. b. Beregn længen af siden c.

1,5 m

a. Hvor lang er stigen?

11

Hvilke af disse trekanter er retvinklede? a. 12 cm, 16 cm og 20 cm b. 28 cm, 12 cm og 36 cm c. 43 cm, 37 cm og 54 cm

16

Skitsen herunder viser nogle målinger, som en gruppe elever har foretaget for at bestemme højden af en antennemast.

12

a. Tegn en ligebenet retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 7 cm. b. Beregn længden af kateterne med en nøjagtighed på 2 decimaler.

68°

25 m

25 m

50 m

a. Beregn antennemastens højde. b. Beregn længden af de barduner, der er vist på tegningen. afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 25

25

13/06/2017 08.27

17

21

De blå linjer er parallelle. a

Skitsen herunder viser en tilfældig trekant.

C

u c

b

v

30°

a 122°

b

A

a. Find de manglende vinkler.

18

Tegn en firkant, hvor en af de indre vinkler er over 180°.

I tabellen herunder er mål på 4 trekanter. a. Konstruer hver af de 4 trekanter, og mål de størrelser, der ikke er angivet i tabellen

19

Her er to firkanter.

66°

61°

84°

111°

v

u 123°

B

c

a

b

c

Trekant 1

6

5

8

Trekant 2

5

A

B

6

Trekant 3

4

Trekant 4

9

C

72° 31°

104°

7

48°

22°

a. Beregn de manglende vinkler.

22

Tegningen herunder viser en skitse af en trekant.

20

B

Tegningen herunder viser en grund.

7,5 cm

14 m

52°

65° A 50 m

C

8 cm

a. Konstruer denne trekant.

23 9 cm

B

C

85°

a. Beregn længden af alle linjestykker i figuren. b. Beregn grundens omkreds. c. Beregn grundens areal.

G F

A

105°

9 cm

m

3 cm

110°

m

5c

D

3c

80° 5 cm

H

E

a. Konstruer de to figurer.

26

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 26

13/06/2017 08.27

24

28

a. Tegn et kvadrat, hvor diagonalerne er 4 cm lange.

25

Udregn. a. sin(35°)

b. sin(5°)

c. cos(90°)

d. sin(90°)

26

Hvis en stige skal stå ordentligt op ad en væg, bør vinklen mellem jord og stige være ca. 75°. a. Hvor langt oppe på væggen vil en stige på 6 m nå, hvis man overholder de 75°? b. Hvor langt fra væggen vil stigens fodpunkt være?

29

Udregn vinklen. a. sin(v) = 0,342 d. sin(v) = 0

b. sin(v) = 0,5 e. cos(v) = 0

c sin(v) = 0,8 f. cos(v) = 0,5

225 cm

27 140 cm

a. Beregn de manglende sider og vinkler.

En wiener-stige har de viste mål. a. Beregn de manglende vinkler og stigens højde.

B B

B

B

C 4,76

30 5°

a. Tan(15°) d. Tan(89°)

A

b. Tan(45°) e. Tan(1°)

c. Tan(80°) f. Tan(89,9°)

69° A

C

31 7,93

B

a. Tan(v) = 0,58

b. Tan(v) = 1,73

c. Tan(v) = 19

D 32

6,40 A

A

C

C

5,19

B

54,45 1,10

78° A

C

E B 75° A 6,43

F

C B

85° A

58°

C 7,34

G

A 16,49

C

A

C 200 m

Vinkel C i den røde trekant er en ret vinkel.

Afstanden AC = 200 m og A = 58°. a. Hvor højt er Eiffeltårnet? afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 27

27

13/06/2017 08.27

33

36

Tegningen herunder er en skitse af en trekant.

A

7 8 cm

4

9 cm

20°

C

13 cm

B

a. Hvor lang er siden AC?

a. Konstruer trekanten. b. Forklar, hvordan du kan beregne de manglende sidelængder i trekanten. c. Beregn trekantens areal.

34

Forholdet mellem længde og bredde på fjernsynsskærmen er 16:9.

Størrelsen på alle skærme angives i engelske tommer.

En engelsk tomme er 2,54 cm.

37

Figuren er opdelt i tre retvinklede trekanter.

5,00 m

3,60 m

26”

146,3° 67,4°

6,50 m

a. Find de manglende sidelængder og vinkler i figuren a. Beregn fjernsynsskærmens længde og bredde i cm.

38 35 ?

0,4

m

Catrine ser toppen af flagstangen gennem spejlet, som ligger på jorden. Se tegningen.

1m

4,2 m

a. Beregn længden af den skrå side (se spørgsmålstegn).

2m

16 m

a. Hvorfor er de to trekanter ligedannede? b. Hvor høj er flagstangen, hvis Catrine er 1,5 m høj?

28

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 28

13/06/2017 08.27

EFTERTANKEN Vis og forklar Vejskilte, som vist her til højre, ser man ofte, når man kører i bjerge. De kan også ses enkelte steder i Danmark.

Når stigningen er 10% betyder det, at vejen stiger 10 m over en vejafstand på 100 m.

Tegn og forklar, hvilken sammenhæng der er mellem stigningen angivet i procent og sinus til en vinkel. Find et eksempel på nettet.

10%

Stjerne

Afstandsmåling i universet Når en astronom skal bestemme afstanden til en stjerne, der ikke er for langt væk, kan han bruge trigonometri.

Tegningen viser princippet i, hvordan det er muligt at beregne afstanden til nogle af de nærmeste stjerner. Når Jorden befinder sig i position 1, bestemmer man retningen til stjernen. Når Jorden et halvt år senere befinder sig i position 2 bestemmer man igen retningen til stjernen. Når man har gjort det, kan man bestemme vinkel v.

v

I tabellen herunder kan du se størrelsen af vinkel v for nogle af de nærmeste stjerner.

Vinkel v kaldes for stjernens parallakse.

Stjernens navn

Størrelse af vinkel v

Alpha Centauri

0,000206°

Procyon

0,000079°

Spica

0,000004° Jorden2

Jorden1 Solen

Problemstilling • Hvordan kan man beregne afstanden til de nærmeste stjerner, når man kender vinkel v?

• Forklar, hvorfor man får næsten samme afstand, hvis man beregner afstanden fra stjernen til Solen.

Arbejdsbeskrivelse • Beskriv, hvilke formler I valgte til jeres beregninger.

• Er der flere måder at udføre beregningerne på?

• Søg på nettet og find oplysninger om parallakser og afstande til andre stjerner.

Mulige hjælpemidler Lommeregner eller et cas-værktøj

afstande og vinkler

9788723514349_indhold.indd 29

29

13/06/2017 08.27

PRØV MUNDTLIGHEDEN 1

Prøv mundtligheden skal give jer mulighed for at bruge en arbejdsform, som vil ligne det, I kan opleve ved den mundtlige prøve. I skal arbejde i mindre grupper på 2-3 personer. I skal organisere klassen, så hver gruppe har mulighed for at tale sammen og se, hvad de andre i gruppen arbejder med. I skal have papir, så I kan tage notater, tegne skitser mm. I får også brug for én computer.

I skal arbejde med en matematisk undersøgelse ved at beskrive, analysere og besvare en problemstilling ved at bruge matematik. I skal planlægge og gennemføre en matematisk undersøgelse. Dvs. I skal kunne forklare, hvad I har valgt at undersøge, hvordan I vil undersøge det og til sidst vurdere resultatet af undersøgelsen. Arbejdet med undersøgelsen er delt op i tre faser. I får at vide, hvor lang tid, der er til hver fase, og hvordan den fælles opsamling foregår.

Fase 1: I denne fase skal I sætte jer ind i problemstillingen og diskutere • hvilke oplysninger man skal bruge for at svare på problemstillingen.

• hvordan I forestiller jer, at man kan svare på problemstillingen.

Fase 2: I denne fase skal I besvare problemstillingen ved at arbejde med deloplæggene. Mens I arbejder, kan I blive bedt om at redegøre for jeres tanker og arbejde med problemstillingen. Brug hjælpemidler og materialer.

Fase 3: I denne fase skal I fremlægge jeres arbejde for hinanden i klassen. I fremlæggelsen skal I udover jeres matematiske resultater have særligt fokus på følgende: • Hvordan fungerede jeres samarbejde i gruppen?

• Lykkedes det jer at få svaret tydeligt på alle dele af problemstillingen?

• Hvordan anvendte I den tildelte tid? Brugte I tiden fornuftigt?

54

PRØV MUNDTLIGHEDEN 1

9788723514349_indhold.indd 54

13/06/2017 08.28

Skoleboden Hvert år i den første uge af september fejrer Søkildeskolen sin fødselsdag med en stor skolefest.

Det er jer, som står for salg af is og sodavand. Overskuddet fra salget går til klassen selv. Klassens mål er at få et overskud på ca. 10 000 kr.

Problemstilling I skal udarbejde et realistisk budget for den kommende skolefest, så målet på et overskud på ca.

10 000 kr. kan nås.

Deloplæg 1 Materialer: Hjælpeark 1 På hjælpeark 1 finder I et skema over hvor mange børn og forældre, der har været til skolefesten de sidste fem år.

Brug det til at lave et oplæg om, hvor mange gæster der kan forventes at komme til skolefesten.

Deloplæg 2 Materialer: Hjælpeark 2 På hjælpeark 2 er der en oversigt over salget sidste år. Eleverne får at vide, at de ikke solgte varer kan leveres retur.

Find ud af, hvad tallene fra sidste år kan bruges til.

Diskuter, hvordan salget af is og sodavand afhænger af det deltagende antal børn og voksne.

Deloplæg 3 Materialer: Hjælpeark 3 Beslut ud fra overvejelserne i deloplæg 1 og 2, hvilke varer I vil sælge til dette års skolefest.

Find selv nye indkøbs- og salgspriser og opstil et budget i et regneark. Budgettet skal indeholde realistiske priser på de valgte varer. På hjælpeark 3 er der priser fra tre firmaer, som alle leverer sodavand til tapning i automat. Her finder I også priser på forskellige plastikkrus.

PRØV MUNDTLIGHEDEN 1

9788723514349_indhold.indd 55

55

13/06/2017 08.28

PRØV SKRIFTLIGHEDEN 1

På loppemarked

Henrik står hver lørdag på det lokale loppemarked i byen, hvor han sælger bøger. Denne lørdag har han en kunde, som køber tre bøger til 95 kr.

1

G iv et forslag til prisen på hver af de tre bøger, hvis de koster noget forskelligt.

En anden kunde fortæller, at han har afsat 500 kr. til at købe bøger for. Han har indtil videre fundet bøger for 327 kr. og købt kaffe og kage for 24,50 kr.

2

H vor mange penge har han tilbage at købe bøger for?

Da det er ved at være lukketid, sætter Henrik et skilt frem, hvor der står:

15% rabat på alle bøger Betina køber tre bøger for henholdsvis 35 kr., 41 kr. og 125 kr.

3

H vor mange penge skal Betina betale?

Betina er lidt i tvivl om, hvordan hun skal beregne prisen med rabat og prøver forskellige måder.

4

186

T ag stilling til hvilke af de følgende beregningsmetoder, som kan bruges og begrund, hvorfor de kan omskrives til n – 0,15 · n.

Den variable n er prisen uden rabat.

15 100 . n – 15 n 100

a) n · 0,85

b) n –

c) n – n · 15

d) 0,15 · n – n

e)

f) n · 85 : 100

100

PRØV SKRIFTLIGHEDEN 1

9788723514349_indhold.indd 186

13/06/2017 08.29

PRØV SKRIFTLIGHEDEN 2

Drivhus og regnvand

2,5 m

Familien Johansen har købt et drivhus med et grundareal på 12 m .

Se målene på fotografiet. De modtager det som et samlesæt af metalskinner og glas.

2

1

Hvor meget glas er der cirka brugt til dette drivhus?

1,5 m

De vil tilslutte en regnvandsbeholder til hver side af taget.

Familien har fået at vide, at de skal regne med at bruge mindst 4500 liter vand på en sæson til at vande planterne i drivhuset.

4m

Her er en oversigt over forventet forbrug af vand til drivhuset fra april til oktober i procent af den samlede mængde på 4500 liter.

2

April

Maj

Juni

Juli

August

September

Oktober

5%

10%

20%

30%

20%

10%

5%

3m

Hvor meget vand skal der bruges til at vande med i juli måned?

I et byggemarked kan familien købe tre forskellige regnvejrsbeholdere, der alle har form som en cylinder.

Beholder

Højde

Radius

A

70 cm

50 cm

B

90 cm

40 cm

C

115 cm

35 cm

3

Hvor mange liter regnvand kan der være i hver af de tre beholdere?

Familien vælger at købe to type C regnvandsbeholdere.

4

vor mange liter regnvand kan de to beholdere tilsammen opsamle fra H en flade på 12 m2 en dag, hvor der er faldet 10 mm regn?

I de første par uger får de fyldt beholderne, så der er ca. 300 liter vand i hver beholder. Den efterfølgende uge ser regnmængden ud som vist i skemaet.

Ugedag

1

2

3

4

5

6

7

Nedbør i mm

8

12

5

0

0

15

12

Familien bruger hver dag 30 liter vand i drivhuset.

5

ndersøg ved beregninger, om de to regnvandsbeholdere på et tidsU punkt i den efterfølgende uge kan være løbet over.

PRØV SKRIFTLIGHEDEN 2

9788723514349_indhold.indd 187

187

01/11/2017 15.46