KonteXt +7, Kernebog/web

matematik kernebog/web niels jacob hansen 路 lars johnsen bent lindhardt 路 henrik thomsen

7 alinea

matematik kernebog/web niels jacob hansen 路 lars johnsen bent lindhardt 路 henrik thomsen

7 alinea

KonteXt+ 7, Kernebog Forfattere: Niels Jacob Hansen, Lars Johnsen, Bent Lindhardt og Henrik Thomsen Ekstern redaktør: Bent Lindhardt Forlagsredaktion: Susanne Schulian Grafisk tilrettelægning: Susanne Gamsgaard og Jesper Frederiksen Omslag: Jesper Frederiksen Illustrationer: Jesper Frederiksen Foto: Forside Ginasanders/Dreamstime, s. 4 Palle H.A. Ankerstjerne Schjerning, s. 21 Scanpix: Mads Jensen, s. 22 Geodatastyrelsen s. 30 Danish Fundamental Metrology, s. 36 Kort og matrikelstyrelsen, s. 41 Colourbox, s. 42 Scanpix: AGE/Rafael Campillo s. 67 Colourbox, s. 68 POLFOTO : fStop/Thomas Christian, s. 89 ThinkstockPhoto:.Photodisc/David De Lossy s. 90 Scanpix: Pixtal, s. 107 ThinkstockPhotos: iStock/Antrey, s. 108 Palle H.A. Ankerstjerne Schjerning s. 123 Palle H.A. Ankerstjerne Schjerning, s. 124 Scanpix: Maria Hedegaard, s. 141 ThinkstockPhotos: iStock Editorial/Alexandralaw1977 s. 142 Hans Jørgen Hvid, s. 143 © Max Bill/billedkunst.dk(2), s. 152 © M. C. Escher/billedkunst.dk, Wikiart: Bird 106+Pegasus 105 s. 159 POLFOTO: Stine Bidstrup Tryk: Livonia Print © 2015 Alinea, København – et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, Egmont 1. udgave, 1. oplag 2015 ISBN: 978 87 23502 711 www.alinea.dk

Videoer, foto og filer til GeoGebra og regneark: Se www.kontextplus.dk GeoGebra-filerne er angivet ved opgaverne med dette symbol Regnearks-filerne er angivet ved opgaverne med dette symbol

Indhold 4

Tallene

22

Forhold og figurer

42

Regn med tallene

68

Data og chance

90

Formler og ligninger

108 Flade og rum 124

SammenhĂŚnge og grafer

142

Mønstre og figurer

4

Tallene Klassesamtalen På fotoet er der to pizzaer nr. 23 og nr. 27.

Nr. 23 har en diameter på 30 cm, og nr. 27 har en diameter på 40 cm.

• Hvor stor en brøkdel af hver af de to pizzaer er spist?

• Hvor stor en procentdel er spist af de to pizzaer?

• Hvor stor en brøkdel er tilbage, hvis man tager halvdelen af det, der er tilbage af hver pizza?

• Hvor stort er arealet af en hel pizza nr. 23 og nr. 27?

• Hvor meget er der spist af hver af de to pizzaer?

Klasseaktivitet: Gæt en rækkefølge materialer: A4 ark med brøktal, decimaltal og procent.

Del klassen i grupper af 4-5.

To grupper skal konkurrere med hinanden.

Resten af klassen er dommere.

Når læreren sætter konkurrencen i gang, trækker hver af gruppens medlemmer et talkort.

Så hurtigt som muligt skal gruppen stille sig, så tallene står i rækkefølge efter størrelse.

Den gruppe, der først laver den rigtige rækkefølge, har vundet.

Er rækkefølgen forkert, bliver det det andet hold, som vinder.

Er begge rækkefølger forkerte, er det uafgjort.

I dette kapitel skal du lære om • • • • • • • •

at sammenligne størrelser på brøker. at skelne mellem et antal og et forholdstal. at brøker kan opfattes som en division mellem tæller og nævner. at dele af noget kan beskrives som både brøk, decimal- og procenttal. at forandringer kan beskrives med procent. at afrunde decimaltal. at decimaltal kan være endelige eller uendelige. at potenstal er en enkel måde at skrive et gangestykke, der består af ens tal.

xxxxxxxx

tallene

5

Populære film Tårnhøj skoles netavis har bedt en gruppe elever i 7.a og 7.b om, at undersøge hvilke filmgenrer, der er mest populære.

I 7.a er der 16 elever, og nogle af deres svar kan ses i tabellen.

Filmgenre 7.a Fordeling af elever

Gyserfilm

Actionfilm

2

8

Splatterfilm

Fantasyfilm

Kærlighedsfilm

4

1

I 7.b er der 24 elever, og nogle af deres svar kan ses i denne tabel.

Filmgenre 7.b Fordeling af elever

Gyserfilm

Actionfilm

1 6

1 8

Splatterfilm

Fantasyfilm

Kærlighedsfilm

1 4

3 8

Opgave 1 Populære film a. Find ud af, hvad der skal stå i de to manglende felter. b. Se på tabellen over 7.b’s svar. Hvorfor er det vanskeligt at sammenligne svarene? c. Tilføj en række i tabellen for 7.b. Omskriv brøktallene, så de er nemmere at sammenligne.

6

tallene

Opgave 2 a. Afgør, hvilken af de to klasser Sara og Eskild går i? b. Hvordan vil tabellen for hver klasse se ud, hvis der var dobbelt så mange elever, men fordelingen var den samme? c. Beskriv forskellen i at vise fordelingen i antal og brøktal.

Eleverne fra 7.a og 7.b mødes for at sammenligne deres tabeller og må indse, at det ikke er så enkelt.

Opgave 3 a. Omregn brøktallene i tabellen for 7.b, så den viser antal af elever. b. Passer det, at der er dobbelt så mange elever i 7.b i forhold til 7.a, som kan lide gyserfilm? c. Forklar, hvorfor denne måde at sammenligne på kan være vanskelig.

Opgave 4 a. Omregn resultaterne i tabellen for 7.a, så de står som brøkdele. b. Hvorfor kan det synes vanskeligt at sammenligne brøktallene for 7.a med brøktallene fra 7.b? c. Forklar, hvorfor fire elever i 7.a og seks elever i 7.b kan være 41 i begge klasser?

Opgave 5 a. Tegn to delestrimler på 24 cm på ternet papir. b. Farv brøkdelene af de fem filmgenrer for hver klasse. c. Omskriv alle brøktallene, så de har samme nævner.

tallene

7

Opgave 6 Undersøg og begrund rigtigheden af følgende påstande: • Eleverne i de to klasser er lige interesseret i actionfilm.

• De er lige interesserede i fantasyfilm.

• De er dobbelt så interesserede i gyserfilm i 7.b end i 7.a • Interessen for kærlighedsfilm er seks gange større i 7.b end i 7.a.

• Gruppen med gys-, splatter- og fantasyfilm i 7.a er en større del af klassen end gruppen action- og kærlighedsfilm i 7.b.

Viktor og Mathilde diskuterer, om man ikke kan gøre noget andet end at bruge brøker, når klasserne skal sammenlignes. ”Jeg plejer bare at lave det om til decimaltal, så er det meget nemmere at sammenligne.” siger Mathilde.

Opgave 7 a. Forklar, hvordan man omregner brøker til decimaltal. Giv eksempler. b. Forklar, hvordan man omsætter decimaltal til brøker. Giv eksempler.

Mathilde har beregnet 61 til 0,1666666667 på en lommeregner.

Viktor har regnet det ud på en reklame-lommeregner og får 0,1666666.

Opgave 8 a. Hvilken af de to udregninger er mest præcis? Hvorfor? b. Hvorfor står der 7 til sidst på Mathildes lommeregner? c. På en lommeregner på mobilen er der plads til 12 cifre.

Forklar hvordan resultatet vil se ud, hvis du udfører beregningen 1 : 11?

Mathilde kigger op på Viktor. ”Jeg afrunder, så der kun er to decimaler.

Så bliver det til 0,17.”

Opgave 9 a. Udvid de to tabeller fra 7.a og 7.b og omskriv brøktallene til decimaltal.

Se forrige side. b. Hvilken skrivemåde er den mest præcise 61 eller 0,167? Hvorfor? c. Har Mathilde ret i, at det er nemmere at sammenligne med decimaltal?

Hvorfor?

8

tallene

Opgave 10 a. Omskriv 113 og 83 til decimaltal og beskriv forskellen. b. Find eksempler på andre brøktal, der ved omskrivning bliver til et uendeligt decimaltal som efter omskrivningen af 113 . c. Find eksempler på andre brøktal, der ved omskrivning bliver til et endeligt decimaltal som efter omskrivningen af 83 .

Klasserne bliver enige om at samle resultaterne fra begge klasser i én undersøgelse.

Genre

Gyserfilm

Actionfilm

Splatterfilm

Fantasyfilm

Kærlighedsfilm

Antal elever Brøk Decimaltal

Opgave 11 a. Hvor mange elever er nu med i undersøgelsen? b. Tegn tabellen og udfyld de manglede felter.

Man kan også vise resultatet af undersøgelsen på en procentstrimmel.

0%

50%

100%

0

20

40

Opgave 12 a. Tegn fem procentstrimler, som fx er 10 cm lange. b. Omregn decimaltallene fra skemaet i opgave 11 til procent. c. Indtegn og skriv procenttallene for hver af de fem filmgenre på procentstrimlerne.

udfordringen Filmselskabet Folkefilms årsindtægt fordelte sig sidste år således: • 31 kom fra kærlighedsfilmen ”To kys og en kindhest”.

• 25 kom fra gyseren ”Den klamme hånd”.

• Resten, 2 mio. kr., kom fra børnefilmen ”007 junior”.

Bestem filmselskabets samlede årsindtægt.

tallene

9

Hvor bliver de unge af?

0%

100%

0

450

Procentdiagram

I Sandby kommune har man i en årrække oplevet at færre og færre unge er med i foreningslivet. Hvad bruger de unge deres tid på i stedet for at deltage i de fritidsaktiviteter der tilbydes?

Janus fra de Unges Fællesudvalg er blevet bedt om at undersøge sagen nærmere.

Janus og Sille starter med tallene fra fodboldklubben Sandby IF, som over 10 år viser en medlemsnedgang blandt de unge fra 450 til 360 medlemmer.

Opgave 1 a. Hvor stor har nedgangen været i antallet af unge medlemmer? b. Beskriv ændringen som en brøk. c. Omskriv det til et procenttal. d. Vis medlemsnedgangen i et 10 x 10 procentdiagram og en procentstrimmel.

Sille undersøger rideklubben Mosegård. De sidste 10 år er der blevet 34 færre medlemmer. Medlemstallet er blevet 41 mindre.

Opgave 2 a. Hvor mange unge medlemmer havde Mosegård for 10 år siden? b. Hvor mange medlemmer er der i dag? c. Beskriv medlemsnedgangen som et procenttal. d. Sammenlign tallene for Mosegård og Sandby IF. Hvilken forening har haft den største medlemsnedgang? Hvorfor?

10

tallene

Det tyder på, at de unge vælger foreningslivet fra, og at det er det samme problem for alle typer af foreninger. Janus og Sille foreslår derfor, at kommunen starter en kampagne for at få de unge tilbage. Første målsætning sættes til 8% medlemstilgang inden for et år.

Opgave 3 a. Omskriv 8% til decimaltal. b. Hvilke af disse regnemåder kan udregne det nye medlemstal, hvis et medlemstal (m) på 400 er steget med 8% til 432 medlemmer?

Gæt og undersøg med lommeregner.

1) 0,08 · m + m 2) m : 100 · 8 + m 3) 1,08 · m 4) m · 0,18 5) m : 0,08 + m 6) m · m · 8.

Opgave 4 a. Beregn medlemstallene i de to foreninger med en 8% stigning? b. Hvad er medlemstallene efter endnu et år med en 8% stigning?

Sille og Janus snakker om, hvor mange år der går, inden man når medlemstallene for 10 år siden hvis stigningen på 8% fortsætter.

Mosegård 1. år

2. år

3. år

4. år

5. år

6. år

5. år

6. år

Sandby IF 1. år

2. år

3. år

4. år

Opgave 5 Tegn skemaerne, udfyld de tomme felter. Afgør, hvor mange år, der går, før man har nået ca. samme medlemstal som for 10 år siden.

udfordringen I nabokommunen har de lavet den samme undersøgelse. I to tilsvarende foreninger har den ene haft en medlemstilbagegang på 10% og den anden har haft en tilbagegang på 15%.

Begge foreninger har haft en tilbagegang på 60 medlemmer.

Hvor mange medlemmer er der i dag i hver af de to foreninger?

tallene

11

Støvmider Albert er sendt til lægen, fordi han nyser voldsomt. ”Hmm”, brummer doktor Hansen, ”det kan være husstøvmider. De er alle vegne”. ”Der kan være mange tusinde støvmider i sengen”, fortsætter han, mens han viser et forstørret billede af en støvmide. ”Og de formerer sig hurtigt!”

Doktor Hansen fortsætter. ”Lidt simpelt, men enkelt kan man sige, at en støvmide bliver til 10 støvmider på en måned. Efter 2 måneder bliver det til 10 gange 10 støvmider og så videre …”

Måned Antal støvmider

Start

1

1

2

3

100

4

5

10 000

100 000

6

7 10 000 000

Opgave 1 a. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter. b. Hvor mange støvmider bliver det til efter 12 måneder?

Opgave 2 Tilføj en ny række i tabellen og skriv antallet af støvmider som potenser af 10.

Eksempel 10 · 10 · 10 = 103 106 = 1 000 000

12

tallene

Måned Antal støvmider Potenstal

Start

1

1 100

2

3

100 101

103

4

5

10 000

100 000

6

106

Efter lægebesøget, googler Albert ”støvmider”. Han finder bl.a. ud af, at et menneske som regel taber 1 g hudskæl om dagen. Det er nok føde til 2 · 103 støvmider.

Opgave 3 a. Forklar eller vis, hvordan 2 · 103 (kort form) kan omskrives til 2000. b. Hvor mange støvmider kan leve, hvis der er to personer i huset?

Hvis der er seks personer i huset?

Opgave 4 a. Hvor mange gram hudskæl skal der til at holde 8000 støvmider i live? b. Hvor mange gram hudskæl skal der til at holde 8 · 104 støvmider i live?

Senere læser Anton om en undersøgelse, man har lavet om støvmideantallet i sengetøjet hos tre familier.

Jensen 4

7,5 · 10

Pallesen 8 · 10

4

Ulriksen 5 · 105

Opgave 5 a. Hvor fandt man flest støvmider? b. Hvor mange færre støvmider er der hos Pallesen end hos Ulriksen? c. Hvor mange færre støvmider er der hos Jensen end hos Ulriksen?

En anden dag lavede man den samme måling. Nu viste det sig, at • Jensen havde 10 gange flere støvmider end ved sidste måling.

• Pallesen havde 10 000 gange flere støvmider end ved sidste måling.

• Ulriksen havde dobbelt så mange støvmider end ved sidste måling.

Opgave 6 a. Hvor mange støvmider blev der i alt målt i hver af de tre hjem? b. Hvor var der nu flest støvmider?

udfordringen Det viser sig, at visse steder formerer støvmider sig ikke så hurtigt.

Her bliver en støvmide til fem støvmider efter en måned. a. Hvor mange støvmider bliver det til på 2 måneder? 3 måneder?

10 måneder? b. Hvor mange måneder går der inden der er 78 125 støvmider? c. Hvor mange måneder er der gået hvis der er 54 støvmider? d. Hvor mange støvmider er 50 støvmide?

tallene

13

TIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITE Spejlet Materialer: Fire kegler, stopur el. lign., hjælpeark med skema.

• I skal arbejde sammen 3 og 3.

• Elev A og elev B starter midt mellem to kegler. Afstanden mellem A's kegler er kortere end mellem B's kegler.

C har et stopur og et resultatskema, som vist på tegningen.

• A har initiativet og skal så hurtigt som muligt røre en kegle til højre eller venstre. B, som er spejlet, skal gøre det samme.

Det gælder for B om, at røre sin kegle, så kort tid efter A som muligt.

• C måler tiden ved at trykke start på stopuret, når A rører keglen og stop, når B rører sin kegle. Tidsforskellen noteres på skemaet med to decimaler.

Forsøg nr.

1

2

3

4

5

6

Tid i sek.

Forsøg nr.

Hurtigste reaktionstid (H)

Langsomste reaktionstid (L)

Forskel L-H

Tid i sek.

1 a. Hver person har seks forsøg og finder langsomste og hurtigste tid. b. Hvem har den hurtigste reaktionstid?

Variation: A finter, uden at flytte fødderne, inden der sættes afsted mod én af keglerne.

2 a. Gennemfør seks nye forsøg med finter. b. Sammenlign reaktionstiderne med og uden finter.

14

tallene

ETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER Hvor mange riskorn? nogle riskorn. Han forklarede, at han skulle have et riskorn for det første felt, to for det andet felt, fire for det tredje felt osv. Dermed blev antallet af riskorn fordoblet hver gang. Kongen var forundret over vismandens tilsyneladende beskedenhed, men da han ikke ønskede sig andet, gik spillet i gang.

Kongen tabte og skulle altså betale den hellige vismand sine riskorn.

Ifølge en indisk legende forklædte den indiske gud, Krishna, sig engang som en hellig vismand og udfordrede en lokal konge til et spil skak.

Kongen, der var en ivrig skakspiller, tog gladeligt imod udfordringen, men før spillet skulle gå i gang, skulle der aftales en pris til vinderen. Kongen spurgte derfor vismanden, hvad han ønskede sig, hvis han vandt.

Vismanden svarede, at det, han ønskede sig, blot var

1 a. Fremstil en tabel, som viser, hvor mange riskorn der var tale om på de ti første felter.

1

2

3

1

2

4

4

5

6

7

8

9

10

b. Hvornår havde han nået en million riskorn? c. Hvor mange riskorn var der tale om i alt. d. Beskriv det som potenstal.

2 a. Lav en undersøgelse af, hvor meget riskornene vil veje i alt.

Antag vægten eller vej riskorn, så I har et omtrentligt måltal. b. Overvej nu, hvordan I vil beregne, hvor meget riskornene fyldte.

Forestil jer, at vismanden fik 50 øre for det første felt og det dobbelte på det næste osv. – ganske som med riskornene.

3 a. Hvor mange penge vil han så få? b. Hvis det blev omsat til sedler fx 1000 kr. sedler.

Hvor meget vil det så ca. veje og fylde.

Find en god regnemodel.

tallene

15

v om · iden

v om · iden

v om · iden

En brøk er ikke bare en brøk

om · viden

En brøk kan repræsentere forskellige ting. Det kan være • en del af noget fx 23 af en figur, 23 af et antal eller 23 af en værdi.

• et bestemt tal, fx ½ ligger præcist midt mellem 0 og 1 på tallinjen.

• en division mellem to tal, fx er 32 4 det samme som 32 : 4.

Sammenlign brøktal Skal brøktal med forskellige nævnere sammenlignes, gøres det lettest ved, at finde en fællesnævner. Skal man fx finde ud af hvilken af brøktallene 45 og 23 der er størst, kan man gøre følgende:

4 = 12 og 2 = 10 så må 4 være størst.

5 15 3 15 5 Man kan forlænge og forkorte brøker, så de stadig har samme talværdi, men har forskellige brøknavne fx er 43 = 68 = 24 32 osv.

Fra brøker til decimaltal

Eksempel 3,45 = 3 +

4 5 10 + 100

Endelig decimaltal

5 = 1,25 4

”Deci” betyder tiendedele. Pladserne efter kommaet er brøktal, som kan skrives som tiendedele, hundrededele, tusindedele osv.

Brøktal kan omregnes til decimaltal ved at dividere tælleren med nævneren fx 51 = 0,2.

Decimaltal kan være endelige eller uendelige periodiske.

Nogle brøker giver en uendelig decimalrække ved en division.

Uendelige periodiske decimaltal

1 3 = 0,33.... og 5 = 0,714285714285....

7

I tallet 0,33.... er perioden 3 som fortsætter uendeligt I tallet 0,714285.... er perioden 714285.... som fortsætter uendeligt.

16

tallene

Udregningen af til to decimaler.

1 3 til 0,33 er ikke præcis, idet 0,33 er afrundet

Decimaltal kan også omskrives til brøktal fx er 0,20 =

20 1 100 = 5

Fra brøktal og decimaltal til procent Decimaltal kan omskrives til procenttal.

Decimaltallet 0,20 betyder 20 altså 20 i forhold til hundrede og derfor skriver man 20%.

100 0,5 svarer til 0,50 altså 50 ud af hundrede eller 50%.

0%

20%

50%

100%

0,0

0,2

0,5

1,0

1 5

1 2

1 1

5% af 125 kr.: 0,05

2 = 40 5 100

= 40%

125

13 47

6,25

eller

125

5%

= 0,2765957447 ≈ 0,28 = 28%

Potenstal Potenstal er en særlig skrivemåde, når man ganger det samme tal mange gange fx er 10 · 10 · 10 = 103 eller 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 56 Man kalder 5 for roden og 6 for eksponenten.

5

6

Eksponent

Rod

Specielt store tal kan blive mere overskuelige, hvis man skriver dem på kort form (eller på videnskabelig skrivemåde som det også kaldes) • 3 000 000 kan fx skrives som 3 · 106.

• 3 400 000 kan fx skrives som 3,4 ·106.

Læg mærke til, at det første tal i det korte gangstykke altid ligger mellem 1 og 10 dvs. at 37 · 104 vil blive omskrevet til 3,7 · 105.

Hvorfor er 100 det samme som 1?

Man har vedtaget, at 100 = 1.

Den bedste måde, at se det på er ved at lave en tabel, hvor man arbejder sig baglæns ved at dividere med 10 for hver gang.

1000 10

3

100

10

2

1

10

10

1 100

Potens på de digitale værktøjer Hvis man skal lave en formel i regneark, hvor man skal skrive noget som et potenstal bruger man tegnet ^. Fx skrives 23 som 2^3.

tallene

17

BREDDEOPGAVER 1

9

Find et brøktal, der svarer til decimaltallet. a. 0,25 b. 0,10 c. 0,01 d. 0,40 e. 0,13 f. 1,0 10

Omskriv brøkerne til decimaltal.

Figur A

Figur B

a. d.

Figur C

1 5 6 50

b. e.

1 16 3 100

c.

2 8

f.

3 200

11

Hvor stor en del af hver figur er farvet?

Omskriv decimaltallene til procent.

Afrund evt. til to decimaler. a. 0,24 b. 0,05 d. 0,6 e. 0,9

2

a. Skriv brøktallet syv niendedele. b. Skriv brøktallet tretten femtedele.

c. 0,375 v 1,20

12 3

Skriv et decimaltal som svarer til a.

2 10

b.

3 5

c.

3 8

d.

7 25

13

4

Skriv fem forskellige brøktal, som alle har værdien 2 .

3

5

l en flaske er der 3 dl vand. Det svarer til 1 af rum3 indholdet i hele flasken.

Hvor meget vand kan der være i hele flasken?

d.

3 af spaltepladsen i Dagens Nyheder er nyhedsstof og 2 5 10

er sport. a. Hvad fylder mest? Nyhedsstof eller sport? b. Beregn forskellen på spaltepladsen.

14

Skriv tallene i rækkefølge efter størrelse.

0,625 0,25 0,3753 0,125 0,5

6

a.

Find decimaltal, der passer til regnestykket. a. _ + _ = 0,5 b. _ + _ = 1,03 c. _ + _ = 17,4 d. _ + _ = 0,07

2+1 6 6 8–4 5 5

b. e.

2+1 4 4 2+5 7 7

c. f.

5–4 9 9 3 + 10 9 9

15

Beregn. a.

7

Hvor mange liter sodavand er der i en kasse med 12 stk.

1 1 liter sodavand?

2

1 3

d.

18

tallene

b. e.

5+2 6 3 11 +21 2 4

c. f.

3–1 8 4 32 –11 5 5

b.

2 3

af 144 kg

c.

3 5

af 271 kg

2 5

c.

5 11

·2

1 1 4·4

c.

1 3 3·7

Beregn. a. 3 ·

3+5 4 8 4–2 5 3

af 32 kg

16

8

a.

0,050

1 7

b. 4 ·

17

Beregn. a.

1 1 2·4

b.

18

28

Omsæt brøkerne til decimaltal med to decimaler. a.

Beregn for hvert produkt priserne på a.

1 2 kg

b.

c.

3 4 kg.

Hvilket brøktal er størst? b.

2 eller 1 5 3

c.

4 eller 5 3 4

20

b.

5 13

7 5

c.

35 7

21

Disse tal udgør 25%, hvad vil det hele så svare til? a. 7 kr. b. 16,5 m c. 1 dl

3 4

b.

2 8

c.

2 10

Hvilket tal skal der stå i stedet for spørgsmålstegnet? a.

34 5

c.

30

Omskriv til blandede tal. a.

4 7

Tegn en passende tallinje.

Afsæt følgende brøktal på tallinjen. a.

5 2 6 eller 3

b.

29

1 3 kg

19

a.

2 6

2 6

=

?

3

b.

7 35

= ?1

c.

5 45

= ?1

31

I en 7. klasse er der 27 elever. 94 af eleverne er piger. a. Hvor stor en brøkdel er drenge? b. Hvor mange drenge er der i klassen? c. Hvis to piger rejser, hvor stor en brøkdel er så drenge i klassen?

22

Hvor meget skal man betale for 1,5 kg æbler, hvis kilogramprisen er 16,90 kr.?

32

Jimmy sover 1 af døgnet.

3 Hvor mange timer svarer det til?

23

Beregn. a. 25

33

b. 83

c. 101

24

Skriv på lang form. b. 100 a. 103

Hvor mange minutter er a. en tiendedel af en time? b. en tredjedel af en time? c. en femtedel af en time?

c. 107 34

En tredjedel af et tal er 6.

Hvor meget er halvdelen af tallet?

25

Skriv på kort form. a. 2400 b. 37 000 000 000

35

Find et brøktal, som ligger mellem

26

a.

Omskriv til gangestykker a. 35

b. 103

1 1 5 og 7

b.

1 1 2 og 3

c.

1 2 3 og 3

1 10

c.

1 2

c. 232 36

Find det dobbelte af b. a. 2

27

Forkort brøktallene så meget som muligt. a.

15 25

b.

14 26

c.

64 512

3

tallene

19

37

47

Find det halve af b. a. 1

4

2 10

c.

3 5

38

Hvor meget er a. 200% af 7?

b. 150% af 0,1?

c. 1000% af 1?

48

a. Skriv tre tal, som ligger mellem 3,4 og 3,5. b. Skriv tre tal, som ligger mellem 0,04 og 0,5.

Temperaturen er faldet fra 23 grader til 19 grader. a. Hvor mange grader er temperaturen faldet? b. Hvor meget er temperaturen faldet i procent?

39

a. 3,4 · 100

b. 23 : 100

c. 0,9 · 1000 49

40

To ud af tre TV-seere, så krimiserien ”Mordet i mosen”.

Hvor mange så udsendelsen, hvis der er 1,2 mio TV-seere den dag?

I det Døde hav har man målt saltindholdet til 24,3%.

Hvor meget salt fik man ud af at inddampe 6 kg vand fra det Døde hav?

50

41

Foreningen ”Gymnadrengene” har øget deres medlemstal fra 234 til 312. a. Hvor stor har stigningen været i antal medlemmer? b. Hvor stor har den procentvise stigning været?

42

Afrund til en decimal. a. 26,785 b. 132,4499

c. 0,08673

En parkeringsplads er fyldt halvt op af biler. Den sidste halvdel er på vej til at blive fyldt op.

• En time efter er 31 af den resterende plads fyldt op.

• Et kvarter efter er 41 af den resterende plads fyldt op.

• Ti minutter efter er 51 af det sidste af pladsen fyldt op.

Beskriv med en brøk, hvor meget plads der nu er tilbage af den sidste halvdel af parkeringsplads.

51

Mark og Liza stå hver på den modsatte side af et cirkulært springvand. De løber begge med uret rundt om springvandet. Marks hastighed er 98 af Lizas hastighed.

Hvor mange omgange har Liza løbet før Mark har indhentet hende?

43

Skriv et decimaltal med a. 3 tiendedele og 2 hundrededele. b. 4 hundrededele. c. 3 hele og 5 hundrededele.

52 44

Skriv det tal, som er 0,3 større end b. 0,04 a. 3,2

c. 5

45

Hvor meget er 75% af b. 4,80 kr.? a. 400 kr.?

53

c. 100 000 kr.?

46

Hvis dette er 20%, hvor meget er så det hele? a. 5 kr. b. 17 æg c. seks tokroner

20

tallene

En tønde, som er 70% fyldt, er 30 L mere, end når den er 30% fyldt.

Hvor mange liter indeholder tønden, når den er helt fyldt?

En ødelagt lommeregner viser ikke tallet 1. For eksempel, hvis vi skriver i antallet 3131, vises kun 33 uden mellemrum. Mike har skrevet et 6-cifret nummer, men kun 2007 blev vist på displayet.

Hvor mange forskellige numre kan have Mike indtastet?

EFTERTANKEN Vis og forklar Vis med tegninger, modeller, beregninger og eksempler, hvorfor det er rigtigt at: • 31 er større end 41 .

7 er mindre end 1 men større end 1 .

• 24 3 4 • 31 er større end 0,3.

Den store familiefest Caroline og Hector går i syvende klasse. Caroline skal konfimeres, og Hector skal holde en stor familiefest.

De har fundet på at lægge et budget for de to forskellige familiefester. Caroline drømmer om en fest, hvor pengene ikke betyder noget – en fest med frit valg til de ønsker man kan have. ”Fint,” siger Hector. ”Så prøver jeg at lægge budget for en lavprisfest. Den skal være så billig som mulig.”

Begge regner med, at de i alt er 30 til familiefesten.

Problemstilling Hvordan vil et budget for en lavprisfamiliefest og en luksusfamiliefest se ud?

Hvordan kan budgetterne stilles op, så de bagefter er sammenlignelige?

Hvad er udgifterne pr. gæst?

Arbejdsbeskrivelse Udarbejd to regneark, der kan bruges til at budgetlægge afholdelsen af en lavprisfamiliefest og en luksusfamiliefest.

Udarbejd en præsentation af de to budgetter til fremlæggelse for resten af klassen.

Hints Eksempler på udgiftsposter, som kan indgå i opgaven: tøj, transport, underholdning og musik, assistance af kok/serveringsfolk, leje af borde og stole, telte, menu, leje af festlokaler, fotograf, frisør, sange, gaver m.v.

Mulige hjælpemidler og materialer Find relevante hjemmesider på nettet. Brug regneark til hjælp.

tallene

21

0

100

1000 m

Forhold og figurer Klassesamtalen På luftfotoet er der markeret en rød vej, et hvidt, blåt og gult område.

• Hvordan kan man ved at måle på luftfotoet beregne den virkelige længde af vejen, der er markeret med rødt?

• Hvilket forhold er der ca. mellem længden af et linjestykke på luftfotoet og længden af linjestykket i virkeligheden?

• Beskriv det hvide og blå område.

• Beskriv det gule område.

• Forklar, hvordan man kan finde det virkelige areal af det gule område.

Klasseaktivitet: Tegn et sted materialer: Måleredskaber som målebånd, målehjul og vinkelmålere samt papir til at tegne skitser på.

I skal arbejde sammen to og to.

Udvælg et sted i nærheden af skolen, som I vil tegne set oppefra som på et kort.

Tag de nødvendige mål.

Lav en skitse af det, I har målt og skriv målene på.

Vælg et målestoksforhold og tegn en formindsket udgave af det, I har målt.

Sammenlign klassens tegninger.

Forklar forskelle og ligheder mellem de forskellige tegninger.

I dette kapitel skal du lære om • • • • • • •

at måle og bestemme længde, omkreds og areal af figurer i virkeligheden ud fra et bestemt målestoksforhold. at tegne og aflæse skitser. at tegne og beregne forhold i ligedannede figurer. sammenhængen mellem længdeforhold og arealforhold. sammenhængen mellem forskellige måleenheder. beregninger af arealet af sammensatte figurer. konstruktion af enkle figurer på papir og med digitalt værktøj.

forhold og figurer

23

Havnen Byrådet i Korsbæk har besluttet, at der på havnen skal bygges boliger og være områder, der kan bruges til fritidsaktiviteter. Det røde linjestykke er en vej, som i virkeligheden er ca. 750 m lang.

Opgave 1 a. Forklar, hvordan du ved at måle på kortet kan beregne, at den røde vej er 750 m i virkeligheden. b. Hvor langt er det blå rektangel? c. Hvor mange meter er 1 cm på kortet i virkeligheden?

Korsbæk kommune har fået tegnet havnen i målestoksforholdet 1:10 000.

Opgave 2 a. Forklar, hvordan du kan vide, at 1 cm på kortet er det samme som 100 m i virkeligheden, når målestoksforholdet er 1:10 000. b. Hvor lang vil 1 cm på kortet være, hvis målestoksforholdet er 1:1000 eller 1:25000?

24

forhold og figurer

I det blå område, der ligger ved den røde vej, skal der være fire rektangulære områder, hvor der skal bygges boliger. Hvert område skal være 50 m bredt og 100 m langt.

Opgave 3 a. Beregn længden og bredden af det blå område i virkeligheden. b. Tegn det blå område på et stykke papir. På kortet skal 1 cm være 25 m i virkeligheden. c. Hvad er forholdet mellem en længde på kortet og den tilsvarende længde i virkeligheden? d. Hvor bredt og hvor langt bliver hvert område på kortet? e. Indtegn de fire områder på din tegning.

I det røde rektangulære område vil kommunalbestyrelsen gerne have forslag til forskellige anlæg, der kan bruges til fritidsaktiviteter.

Kommunalbestyrelsen udskriver en konkurrence for eleverne i kommunens 7. klasser.

• Klassen skal tegne et kort over området, hvor 1 cm på tegningen skal være 1000 cm i virkeligheden.

• Der skal være et cirkelformet område til boldspil. Cirklens radius skal være mellem 20 m og 25 m.

• Der skal være et kvadratisk område med plads til gynger og karrusseller.

Kvadratets sidelængde skal være 40 m.

• Der skal være et trekantet område, hvor der skal opstilles borde og bænke.

Det trekantede område skal have en omkreds på mindst 100 m.

Opgave 4 a. Hvor langt og hvor bredt er det røde område i virkeligheden? b. Tegn et kort, der opfylder konkurrencebetingelserne.

forhold og figurer

25

Øerne Almas farfar, Palle, har sommerhus på Ærø. Alma og Palle sejler nogle gange rundt om både Ærø og Tåsinge. Efter at have sejlet en tur ser de på et kort, hvor man både kan se Ærø og Tåsinge. Kortet er tegnet, så det er muligt at sammenligne længder. Men på kortet er det svært at se, hvilken af de to øer, Tåsinge og Ærø, der har den længste kystlinje og det største areal.

Troense

Tåsinge

10 km

0

Ærø

Ærøskøbing

Marstal

Havnen Opgave 1 a. Hvilken af de to øer, tror du, har den længste kystlinje? b. Hvilken af de to øer, tror du, har det største areal?

Opgave 2 a. Undersøg ved at måle og tegne på et kort, hvilken af de to øer, der har den største omkreds. Se evt. hjælpeark. b. Undersøg ved at måle og beregne, hvilken af de to øer, der har det største areal. Se evt. hjælpeark.

26

forhold og figurer

For at finde ud af, hvordan man kan finde arealet af øerne tegner Almas farfar en ø, der har form som et kvadrat.

Almas farfar fortæller, at øen i virkeligheden har en sidelængde på 100 m.

Opgave 3 a. Hvor mange meter er vejen, der går ind til huset midt på øen i virkeligheden? b. Hvad er forholdet mellem en længde på tegningen og en længde i virkeligheden?

Opgave 4 a. Hvor mange cm² er øen på kortet? b. Hvor mange cm² er øen i virkeligheden? c. Hvad er forholdet mellem arealet af den tegnede ø og arealet af den virkelige ø?

udfordringen a. Tegn to kvadrater, hvor forholdet mellem sidelængderne er 1: 2, fx 5 cm og 10 cm. b. Hvad bliver forholdet mellem arealet af de to kvadrater? c. Tegn to kvadrater, hvor forholdet mellem sidelængderne er 2:3, fx 4 cm og 6 cm. d. Hvad bliver forholdet mellem arealet af de to kvadrater? e. Forklar, hvordan du kan finde forholdet mellem arealerne af to kvadrater, når du kender forholdet mellem sidelængderne af de to kvadrater.

10 m

forhold og figurer

27

Flagstænger Torben arbejder på en fabrik, hvor de fremstiller flagstænger i forskellige længder. Foran fabrikken er der opstillet to flagstænger, hvor den ene er dobbelt så høj som den anden. På en dag, hvor Solen skinner fra en skyfri himmel, ser flagstængernes skygge ud som vist på tegningen.

Skyggen, flagstangen og den stiplede linje danner en retvinklet trekant.

A

B

Opgave 1 a. Hvor lang er skyggen af flagstang A i forhold til længden af skyggen af flagstang B? b. Sammenlign vinklerne i de to trekanter, som dannes for flagstang A og B. På Torbens fabrik fremstiller de flagstænger i mange forskellige længder. På udstillingsarealet foran butikken står mange flagstænger i forskellige højder.

Hvis Torben bliver i tvivl om hvor høj en flagstang er, måler han længden af flagstangens skygge og vinklen mellem sigtelinjen og flagstangen.

28

forhold og figurer

Ved flagstang C måler Torben en dag, at længden af skyggen 8 m og vinklen mellem skyggen og sigtelinjen er 30°.

Opgave 2 a. Tegn flagstang C med skygge i et passende målestoksforhold. b. Hvor høj er flagstang C?

Ved flagstang D måler Torben en anden dag, at længden af skyggen er 2 m og vinklen er 70°.

Opgave 3 Skyggen a. Tegn flagstang D i samme målestoksforhold som flagstang C. b. Hvor høj er flagstand D?

Torben tænker, at der må være en lettere måde at bestemme højder på. Han tænker, at der må være en sammenhæng mellem størrelsen af vinklen mellem skyggen og sigtelinjen (sigtevinklen) og på højden af flagstangen.

Flagstang Opgave 4 a. Brug filen FLAGSTANG til at undersøge sammenhængen mellem størrelsen af sigtevinklen og højden af flagstangen. b. Fremstil en tabel, der viser sammenhængen mellem størrelsen af sigtevinklen og højden.

Sigtevinkel

5°

Højde

10°

15°

20°

25°

2,91

Opgave 5 a. Forklar, hvordan du kan bruge både tabellen og filen FLAGSTANG til at bestemme højden af en flagstang. b. Beskriv sammenhængen mellem størrelsen af sigtevinklen og højden af flagstangen, når skyggen er 8 m. c. Beskriv sammenhængen mellem højden af flagstangen og længden af skyggen, når sigtevinklen er 35°.

udfordringen Torben har lagt mærke til, at der på hans lommeregner er en knap, hvor der står tan på. Det står for tangens. Denne knap kan bruges til beregning af højder.

• Undersøg sammenhængen mellem tangens til sigtevinklen og højden af flagstangen. Du kan bruge tabellen fra opgave 5.

• Forklar, hvordan du kan bruge tan-tasten, når du skal beregne højder.

forhold og figurer

29

Normalmeteren Under et klassebesøg på Danmarks tekniske museum i Helsingør får 7.b et foredrag om målingens historie. På rundvisningen fortæller guiden Thomas: ”Da man i Danmark i 1912 vedtog, at meteren skulle være den måleenhed, man brugte til længder i Danmark, fik vi den kopi af normalmeteren, som vi har udstillet her. Den bliver nogle gange kaldt platinmeteren, fordi den er fremstillet af 90% platin og 10% af et andet grundstof, der hedder irridium.

Man har lavet normalmeteren i platin og irridium, fordi den så ikke ændrer længde, når temperaturen falder eller stiger”. ”Men”, fortsætter Thomas, ”meteren kan ikke være den eneste målenhed.

Det ville være besværligt at bruge den, hvis man skulle måle store afstande eller små længder. Man opfandt derfor nye enheder, som enten var ti gange større eller ti gange mindre – og se det er ganske smart” Opgave 1 a. Giv eksempler på de længdeenheder, som man kan bruge, når man skal måle længden af små genstande. b. Giv eksempler på længdeenheder, som kan bruges til at måle store afstande.

Opgave 2 Forklar, hvorfor det er smart at dele meteren ind i tiendedele fremfor fx tredjedele.

30

forhold og figurer

Navn Enhed

kilo-meter

hekto-meter

deka-meter

meter

deci-meter

centi-meter

milli-meter

1 km

1 hm

1 dam

1m

1 dm

1 cm

1 mm

1000 m

100 m

10 m

1m

0,1 m

0,01 m

0,001 m

Efter sit foredrag runddeler Thomas nogle ark, som klassen skal svare på.

Her kan man se, hvordan 1 m kan omskrives til de andre længdeenheder i metersystemet. De blå felter i tabellen er de mest brugte i Danmark.

Opgave 3 a. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter. b. Forklar, hvordan man kan omskrive fra kilometer til meter. c. Forklar, hvordan man kan omskrive fra millimeter til decimeter.

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

4 3 100 7 12

”Og så,” fortæller Thomas videre, ”bruger vi også meteren til at fortælle om størrelsen af arealer. Tidligere brugte man fx mål som tøndeland, men nu bruger man altså meteren. I kan se det i den næste tabel, jeg sender rundt.”

Navn

kvadrat-kilometer

hektar

kvadrat-meter

kvadrat-decimeter

kvadrat-centimeter

Enhed

1 km²

1 ha

1 m²

1 dm²

1 cm²

2

1 000 000 m

2

10 000 m

2

1m

2

0,01 m

0,0001 m2

Opgave 4 a. Hvor mange hektar er 1 km²? b. Hvor mange kvadratcentimeter er 1 dm2? c. Hvor mange km² er 500 000 m²? d. Hvor mange ha er 1 km2? e. Hvor mange cm² er 7000 mm²?

Opgave 5 a. Forklar, hvordan du vil omskrive et arealmål fra km² til m². b. Forklar, hvordan du vil omskrive et arealmål fra cm² til m².

udfordringen Selvom man i Danmark har brugt metersystemet siden 1912, er der stadig nogle som bruger andre måleenheder til at angive længder. Fx bliver størrelsen af fjernsynsskærme angivet i tommer.

Undersøg, hvor stort et fjernsyn på 50 tommer er i centimeter.

forhold og figurer

31

TIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITE Fra tegning til konstruktion Når man skal tegne figurer, mønstre eller kort, er det ofte nødvendigt at kunne tegne helt præcist. Når man i geometri tegner helt præcist, kaldes det at konstruere, og tegningen kaldes en konstruktion. En konstruktion kan udføres med passer og lineal eller med et digitalt værktøj som fx GeoGebra.

1

4

Konstruktion

Tegningen af trekanten er en skitse, som man ikke kan måle på.

Skitsen herunder viser mål på en skolegård.

Skitse

a. Konstruer trekanten på skitsen herover både på papir og i GeoGebra. b. Bestem størrelsen på hver af de tre vinkler.

2 Her er en skitse af en anden trekant.

Skitse

Skitse

Det vil kræve et meget stort stykke papir, hvis man skulle tegne en nøjagtig tegning af skolegården.

Derfor tegner man den i et målestoksforhold, så den kan være på det stykke papir, man har. a. Tegn en nøjagtig tegning af skolegården i et passende målestoksforhold.

5 a. Konstruer figuren på papir og i GeoGebra. b. Bestem størrelsen af de manglende sidelængder. c. Bestem størrelsen af den sidste vinkel.

3 Her er en skitse af en firkant.

Skitse

a. b. c. d.

32

Konstruer firkanten på papir og i GeoGebra.

Bestem størrelsen af de manglende vinkler.

Bestem arealet af firkanten.

Sammenlign jeres firkant med andres. Er de ens eller forskellige?

forhold og figurer

a. Find et område på jeres skole. Mål nødvendige længder og vinkler. Fremstil evt. en simpel vinkelmåler til udendørs brug – se hjemmesiden. Tegn samtidig en skitse over området. b. Tegn en nøjagtig tegning i et passende målestoksforhold. Vælg selv, om I vil bruge GeoGebra eller papir. c. Bestem størrelsen af alle vinkler og længdemål.

ETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER Undersøg figurers størrelse I skal gå på opdagelse i egenskaber ved figurer, som ser ens ud, men som er større eller mindre.

1 B

A

C

D

F

E

H

G

Trekanterne herover er tegnet, så de parvis har lige store vinkler. a. Undersøg hvilke trekanter, der har parvis lige store vinkler. Brug eventuelt hjælpeark. b. Mål sidelængderne i trekanterne, og sammenlign forholdet mellem sidelængderne i de trekanter, der har parvis lige store vinkler.

a. Formuler en regel om sammenhængen mellem ensvinklede og ligedannede trekanter.

2 B

A

3

9

9

6 11,25

Hvis to figurer er ligedannede, er forholdet mellem sidelængderne den samme.

7,5 13,5

4 Trekant B er tegnet, så alle sidelængder i trekant A er ganget med et bestemt tal.

a. Hvilket tal er sidelængderne i trekant A ganget med?

Brug eventuel hjælpeark. b. Mål og sammenlign størrelsen af vinklerne i de to trekanter.

To trekanter, hvor vinklerne er lige store, kaldes for ensvinklede trekanter.

To trekanter, hvor de har samme form men forskellig størrelse, kaldes ligedannede.

a. Tegn trekant ABC, hvor sidelængderne er 5, 8 og 11. b. Trekant DEF er ligedannet med trekant ABC, og forholdet mellem sidelængderne er 1:3. Tegn trekant DEF.

5 a. Undersøg om det er muligt, at tegne ensvinklede trekanter, som ikke er ligedannede. Undersøgelsen kan laves i GeoGebra ved at tegne en trekant med bestemte vinkler. Derefter tegnes en større eller mindre trekant med de samme vinkler. b. Gentag forsøget nogle gange. Diskuter jeres resultater i klassen.

forhold og figurer

33

TIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITE Softballbane

Skolen skal være vært ved et softball-stævne for kommunens 7. klasser.

De skal derfor have lavet en række softballbaner på skolens boldbaneområde.

En softballbane er formet som en kvart cirkel med en diameter på mellem 65 og 75 m.

Det område hvor deltagerne løber fra base til base kaldes diamanten.

Afstanden mellem hver base er 18,3 m.

• Tegn et område på 10 000 m², hvor der kan være flest mulige softballbaner.

• Vælg et område på skolen, hvor der kan være plads til en softballbane.

• Marker banen med kegler eller pinde.

Softballbane

Base 2

Base 3

Base 1

Home Base

34

forhold og figurer

ETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER AKTIVITETER Gæt en længde

I skal undersøge, hvor gode I er til at vurdere længder eller afstande på forskellige genstande.

• Vælg en afstand eller en genstand.

• Gæt på længden.

• Vælg et passende måleredskab og mål længden.

• Beregn forskellen på den målte længde og den gættede længde.

• Beregn den procentvise forskel.

• Tegn en tabel, som vist herunder, og skriv resultaterne af undersøgelsen.

• Beskriv, hvornår I synes, at et gæt er godt.

Genstand

Enhed

Gæt

Målt

Forskel

Procentvis forskel

Blyant Skolebordet Længden af klasseværelset

Hvor lang er 1 km?

Svaret er selvfølgelig 1000 m, men hvor præcist kan I beskrive en afstand omkring skolen, som er præcis 1 km i virkeligheden?

• Kom med et bud på en afstand mellem to punkter, som, I mener, er 1 km.

• Diskuter i klassen, hvordan I kan tilrettelægge en undersøgelse af, hvor gode I er til at bedømme en afstand på 1 km.

• Gennemfør undersøgelsen.

• Vurder hvor præcist jeres resultat har været.

• Diskuter de strategier I brugte med resten af klassen.

forhold og figurer

35

v om · iden

v om · iden

v om · iden

om · viden

Ligedannethed To figurer er ligedannede, hvis de har præcis samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse.

Alle cirkler er ligedannede. Alle kvadrater er ligedannede.

To polygoner er ligedannede, hvis den ene er en forstørrelse af den anden.

Hvis to figurer er ens er de kongruente og selvfølgelig ligedannede.

Forhold mellem længder De to firkanter her er ligedannede.

Det lineære forhold mellem figur A og figur B er a: b.

Ved at måle på figurerne kan man bestemme forholdet, som i dette tilfælde er 3:1.

B

A

Målestoksforhold På kortet til højre er tegnet en målestok.

Forholdet mellem længden af målestokken og længden i virkeligheden, kaldes for kortets målestoksforhold.

Kortet er tegnet i målestoksforholdet 1:10 000. Det betyder, at 1 cm på kortet er 10 000 cm = 100 m i virkeligheden.

Kort 1:10.000

Længde og arealforhold Sidelængderne i figur B er 2 gange større end i figur A. Længdeforholdet er 1:2.

Arealet i figur A er 1 cm · 3 cm = 3 cm2 Arealet i figur B er (2 · 1 cm ) · (2 · 3 cm) = 22 · 1 cm · 3 cm = 12 cm2 Arealforholdet er altså 22 gange større, hvis længdeforholdet er 2 gange større.

A

B

Måling af længde Enheden til måling af længder er i Danmark og 1 km mange andre lande meteren. Meteren var tidligere 1000 m fastsat som en brøkdel af afstanden fra Paris til ækvator.

103 m I tabellen til højre er en oversigt over metersystemet.

Enheder, der bruges sjældent er markeret med anden farve.

36

forhold og figurer

1 hm

1 dam

1m

1 dm

1 cm

1 mm

100 m

10 m

1m

0,1 m

0,01 m

0,001 m

2

1

0

-1

-2

10-3 m

10 m

10 m

10 m

10 m

10 m

Måling af areal Enheden til måling af areal er i Danmark kvadratmeteren.

En kvadratmeter er arealet af et kvadrat med sidelængden 1 m.

1 km2

1 hm2

1 dam2

1 m2

1 dm2

1 cm2

1 mm2

1 000 000 m2

10 000 m2

100 m2

1 m2

0,01 m2

0,0001 m2

0,000 001 m2

106 m2

104 m2

102 m2

100 m2

10-2 m2

10-4 m2

10-6 m2

1 ha

1 ar

Måling af rumfang I Danmark bruger vi 1 km3 1 hm3 1 dam3 to enheder til måling 1 000 000 000 m3 1 000 000 m3 1000 m3 af rumfang.

109 m3 106 m3 103 m3 En kubikmeter, som er rumfanget af terning med sidelængden 1 m, og en liter, som er rumfanget af en terning med 1 m3 sidelængden 10 cm.

1 kL 1 hL 1000 L

100 L

1 m3

1 dm3

1 cm3

1 mm3

1 m3

0,001 m3

0,000 001 m3

0,000 000 001 m3

100 m3

10-3 m3

10-6 m3

10-9 m3

1000 L

1L

1 ml 1 dm3

1 cm3

1 daL

1L

1 dL

1 cL

1 mL

10 L

1L

0,1 L

0,01 L

0,001 L

Konstruktion Når man i geometri tegner helt præcist, kaldes det at konstruere, og tegningen kaldes en konstruktionen.

En konstruktion kan du udføre med passer og lineal eller med et digitalt værktøj som fx GeoGebra.

10 dL 100 cL 1000 dL

Oplægget til konstruktionen kan være givet ved en sproglig beskrivelse eller ved en skitse.

Sproglig beskrivelse Tegn en trekant, hvor en side er 7 cm, en anden side 9 cm og den mellemliggende vinkel er 50°.

Skitse Skitsen er tegning der viser, hvilke mål man kender.

Men skitsen viser ikke en nøjagtig tegning af figuren.

Konstruktion Til højre er vist den nøjagtige konstruktion af trekanten.

forhold og figurer

37

BREDDEOPGAVER 1

4

En dør er 240 cm høj og 80 cm bred.

Dørkarmen er 10 cm. a. Tegn døren i målestoksforholdet 1:20.

5

1:3 a. Hvor langt er sømmet i virkeligheden? b. Hvor stor er sømmets diameter?

6

De to figurer på tegningen har samme form, men forskellig størrelse.

0

50

100

150 km

a. Bestem afstanden mellem Milano og Venezia. b. Bestem afstanden mellem Livorno og Rimini. c. Bestem afstanden mellem Venezia og Livorno.

2,5 cm

2

a. Forklar, hvordan du finder forholdet mellem sidelængderne af de to figurer. b. Bestem forholdet mellem længdemålene i de to figurer.

7

0,3 cm

3 cm

Længdeforholdet mellem to kvadrater er 1: 10.

Sidelængden i det mindste kvadrat er 5 cm. a. Beregn omkredsen af det mindste kvadrat. b. Beregn sidelængden i det største kvadrat. c. Beregn forholdet mellem arealerne af de to kvadrater.

8

Taburetten er tegnet i målestoksforholdet 1:20.

Sædet er rundt. a. Hvor høj er taburetten i virkeligheden? b. Hvor stor er sædets diameter?

De to trekanter er ligedannede i forholdet 1:3.

B A 2 cm

9 cm

3

a. Mål din bordplade. b. Tegn bordpladen i et passende målestoksforhold, så den kan være på et A4-papir. c. Forklar, hvordan du beregner det målestoksforhold, som du tegner bordpladen i.

38

forhold og figurer

12 cm

a. Beregn længden af siden i trekant B. b. Beregn længden af omkredsen af trekant A.

9

15

Firkant ABCD er ligedannet med firkant AB1C1D1.

A

AB = 3

Konstruer trekanten, der er vist på skitsen herunder.

B1

B BC = 1,5

D

C

B1C1 = 6

16

C1

DD1 = 6

Konstruer en trekant, hvor den ene side er 4,5 cm, den anden side 6 cm og den tredje side 8 cm.

C1D1 = 10 17

D1

Konstruer firkanten, der er vist på skitsen herunder. a. Beregn det længdeforholdet mellem firkant ABCD og firkant AB1C1D1. b. Beregn de manglende sidelængder. c. Beregn omkredsen af begge firkanter.

10

18

Bestem målestoksforholdet, når 1 cm på et kort i virkeligheden er a. 10 m b. 1 km c. 25 km d. 100 km

De to trekanter herunder er ligedannede.

D

56°

11

A

Et kvadrat har sidelængden 1 mm. a. Fremstil en tegning af kvadratet i målestoksforholdet 100:1. b. Bestem længden af diagonalen i kvadratet med sidelængden 1 mm ved at måle på din tegning.

6

4 82° B

C

E

12

Omskriv længdemålene til cm. a. 2,34 m b. 12 dm

15

a. Bestem størrelsen af alle vinkler. b. Bestem størrelsen af de manglende sidelængder. c. 12 mm

19

Tegn to ligedannede trekanter, hvor forholdet mellem sidelængderne i de to er trekanter 1:4. a. Bestem størrelsen af alle vinkler.

14

Omskriv længdemålene til km a. 62 500 m b. 23 m d. 72 hm e. 520 dam

F

c. 35 mm

13

Omskriv længdemålene til m. a. 62,5 cm b. 3,02 km

12

c. 10,4 dm f. 730 dm

forhold og figurer

39

26

20

Tegn to ligedannede firkanter, hvor forholdet mellem længderne af linjestykkerne i de to er firkanter 1:4.

21

Kortet herunder viser en have, der er tegnet I målestoksforholdet 1:1000. Rundt om hele haven skal der plantes en hæk.

a. Tegn en kvadratisk blomsterhave på 10 000 m2 i målestoksforholdet 1:1000. b. Tegn et rektangulært blomsterbed på 5000 m2 i målestoksforholdet 1:1000 b. Tegn en cirkelformet græsplæne på ca. 7500 m2 i målestoksforholdet 1:1000.

27

To rektangler er ligedannede i forholdet 2:5.

Forholdet mellem længde og bredde i de to rektangler er 3:7.

Den korteste sidelængde i de to rektangler er 6 cm. a. Bestem omkredsen af begge rektangler. b. Bestem arealet af begge rektangler. c. Hvad bliver forholdet mellem arealet af rektanglerne?

1 : 1000 a. Hvor mange meter hæk skal der plantes?

Der skal bruges tre hækplanter pr. meter hæk. b. Hvor mange hækplanter skal der bruges?

28

To trekanter er ligedannede i forholdet 3:4.

Forholdet mellem sidelængderne i den ene trekant er 2:3:4.

En af trekanterne har en sidelængde på 9 cm. a. Hvilke sidelængder kan de to trekanter have? b. Tegn de to trekanter.

22

Omskriv størrelsen af arealerne til m2. b. 250 cm2 c. 3,5 km2 a. 10 000 cm2 23

Omskriv størrelsen af arealerne til cm2. b. 2500 mm2 c. 45 dm2 a. 2,3 m2 24

Omskriv størrelsen af arealerne til km2. b. 25 ha c. 203,4 m2 a. 5000 m2

25

Omskriv størrelsen af arealerne til ha (hektar). a. 20 000 m² b. 5 000 m² c. 25 km²

40

forhold og figurer

29

Forholdet mellem længderne i trekant 1 og trekant 2 er 2:3. Omkredsen af trekant 2 er 36 cm. a. Hvor stor er omkredsen af trekant 1?

Sidelængderne i trekant 2 er hele tal. Forskellen mellem den korteste side og den længste side er 2 cm. b. Hvor lange er hver af de tre sider?

30

Her er hjørnerne skåret af en ligesidet trekant.

Hver af disse er også ligesidede trekanter.

Den store ligesidede trekant har en sidelængde på 6 cm.

Omkredsen af de tre små trekanter svarer til omkredsen på den blå sekskant. a. Hvor stor er sidelængden på de små trekanter?

EFTERTANKEN Vis og forklar Konstruer en firkant med siderne 7 cm, 9 cm, 6 cm og 5 cm.

Vis og forklar flere løsninger, hvor I også bruger digitale værktøjer.

Indhegning af hønsegård Torben har købt nogle høns, som han skal lave en hønsegård til. Torben har 40 m hønsenet, som han kan bruge til hønsegården. Han har også nogle stolper til at sætte hønsenettet op på. Dem sætter han med en afstand på 2 m.

Torben overvejer nu, hvordan han skal stille stolperne, så hønsene får det største areal at være på. Han vælger i første omgang, at det skal være en firkant.

Problemstilling Hvordan kan Torben lave sin hønsegård, så arealet bliver størst mulig?

Arbejdsbeskrivelse Vælg nogle forslag til Torbens hønsegård og tegn dem i et passende målestoksforhold.

Beregn arealet for de forskellige forslag, og undersøg om forskellige former giver forskellige arealer.

Hints Vælg et passende målestoksforhold som 1:100 til jeres tegning.

Start med at undersøge rektangler med forskellig form.

Prøv med andre firkanter.

Bemærk, at der altid skal være 2 m mellem stolperne, så en side i en mangekant kan mindst være 2 m.

Mulige hjælpemidler og materialer Snor på 40 m og et antal pinde, GeoGebra, 1 cm ternet papir.

forhold og figurer

41