LÆSEPRØVE_PENSUM MatC til HF

Page 1

Ny bog til undervisningen i matematik på HF, C-niveau PENSUM – Matematik C til HF Af Jane Drejer

Omfang: ca. 240 sider Pris: ca. 200,- kr Udkommer efterår 2020 I denne udgivelse til matematikundervisningen på HF-uddannelsen er der skåret helt ind til benet. PENSUM er ikke en traditionel grundbog, men en nøgtern og lettilgængelig præsentation af kernestoffet på C-niveau med fokus på, hvad der kræves for at bestå eksamen. De enkelte kapitler er et godt afsæt for underviserens gennemgang af stoffet. Samtidig er fremstillingen så enkel og ligetil, at eleven selv kan læse og forstå teksten – også efter en periode med fravær. Bogen fungerer derfor fint både som opslagsværk og som forberedelse til eksamen. Bogen medtager simple centrale beviser og indeholder også en smule ekstra stof til den dygtige og interesserede elev. Til læreren medfølger der for hvert kapitel et forslag til en modulplan, så tilrettelæggelsen af forløbet tidsmæssigt passer med skoleåret. I tilknytning til bogen udgives en serie opgaveark, der er tilpasset hvert modul.

INDHOLD 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Deskriptiv statistik. Ugrupperede- og grupperede observationer Sandsynlighedsregning og kombinatorik Procent- og rentesregning Trigonometri Lineære funktioner og -modeller Eksponentielle funktioner og -modeller Potensfunktioner og -modeller Monotoniforhold og udvidet regression

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

Indhold KAPITEL 1 Deskriptiv statistik Ugrupperede- og grupperede observationer .............................................. 1 1.1 Hvad er statistik? ................................................................................................................................ 2 1.2 Forskellen på ugrupperede- og grupperede observationer ............................................................... 2 1.3 Ugrupperede observationer ............................................................................................................... 2 1.4 Stolpediagram..................................................................................................................................... 4 1.5 Middelværdi eller middeltal ............................................................................................................... 5 1.6 Fraktiler............................................................................................................................................... 6 1.7 Kvartiler - specielle fraktiler................................................................................................................ 7 1.8 Hvordan finder man kvartilsættet for et ugrupperet datasæt? ......................................................... 7 1.9 Boksplot ............................................................................................................................................ 10 1.10 Grupperede observationer ............................................................................................................. 14 1.11 Histogram ....................................................................................................................................... 16 1.12 Middelværdi eller middeltal ........................................................................................................... 17 1.13 Sumkurve, kvartiler og fraktiler ...................................................................................................... 18 1.14 Sumkurve ........................................................................................................................................ 19 1.14 Kvartiler .......................................................................................................................................... 21 1.15 Fraktiler........................................................................................................................................... 22 1.17 Population og stikprøver ................................................................................................................ 25 1.18 Hvordan man kan opstille, løse og konkludere på en skriftlig eksamensopgave ........................... 27 1.19 Formelsamling ................................................................................................................................ 30

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

KAPITEL 1

Deskriptiv statistik Ugrupperede- og grupperede observationer

© L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

1.1 Hvad er deskriptiv statistik? At lave en statistisk analyse er at undersøge, hvor hyppigt et fænomen forekommer, og hvor typisk eller atypisk det er. Deskriptiv eller beskrivende statistik, er en fællesbetegnelse for en række statistiske metoder, hvor resultatet præsenteres på en enkel måde i tabelform eller som en grafisk fremstilling. Denne grafiske fremstilling er oftest en præsentation af en mere dybdegående statistisk analyse af dataene. Den grafiske fremstilling møder vi mange steder i vores hverdag, uden at vi overhovedet tænker over det. Det kunne være i aviser, i nyhederne, på diverse nyhedssider på nettet, generelt på nettet og på Facebook fx i form af søjlediagrammer eller cirkeldiagrammer. Der skal hjælpe os til bedre at forstå de tendenser undersøgelse viser.

1.2 Forskellen på ugrupperede- og grupperede observationer Vi kommer til at arbejde med to begreber: ugrupperede observationer og grupperede observationer Ugrupperede observationer: Her betragter vi hver observation i datasættet som enkeltobservationer. Bruges oftest på mindre datasæt. Grupperede observationer: Her inddeles vores observationer i intervaller inden vi analyserer det. Derfor bruges det oftest på større datasæt, som ellers ville være sværere at overskue. Langt hen ad vejen arbejder vi med de samme begreber, når vi analyserer de to typer af observationer, men de anvendes på lidt forskellige måder. Herunder beskrives de to analysemetoder hver for sig.

1.3 Ugrupperede observationer Vi skal i dette afsnit tage udgangspunkt i et eksempel. Analyseeksempel A: Antallet af biografbesøg Vi har stået i gågaden en hel dag og har spurgt 30 forskellige mennesker om, hvor mange gange de har været i biografen det sidste år. Her er deres svar: Rå data: 9 4 7 15 6 2

2 6 5 10 4 8

3 8 1 3 2 6

2 11 15 6 7 8

12 3 4 2 6 9

© L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

RĂĽ data er ofte meget uoverskuelige og fortĂŚller os ikke specielt meget. SĂĽ vi vil nu organisere dataene i et mere overskueligt skema, som vi opbygger lidt efter lidt. I de første to kolonner sĂŚtter vi følgende ind: Observationer (đ?’™): Hvilke observationer vi har (i rĂŚkkefølge, mindst til størst). Hyppigheder (đ?’‰): Hvor mange gange den enkelte observation optrĂŚder. Observationer (đ?‘Ľ) Hyppigheder (â„Ž) Frekvens (đ?‘“) Kumuleret frekvens (đ??š) đ?‘Ľ1 = 1 â„Ž1 = 1 đ?‘Ľ2 = 2 â„Ž2 = 5 3 3 4 3 5 1 6 5 7 2 8 3 9 2 10 1 11 1 12 1 15 2 I alt: 30 Vi skal nu have udfyldt de nĂŚste to kolonner med â€?Frekvensâ€? og â€?Kumuleret frekvensâ€?. De to begreber har følgende betydning: Frekvens (đ?’‡): Angiver hvor mange procent en enkelt hyppighed udgør af det samlede antal observationer. Udregnes ved denne formel:

đ?‘“=

â„Žđ?‘Śđ?‘?đ?‘?đ?‘–đ?‘”â„Žđ?‘’đ?‘‘ ¡ 100 đ?‘– đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ą

đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x;

đ?‘“=

â„Ž ¡ 100 đ?‘– đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ą

Kumuleret frekvens (đ?‘­): Den løbende sum af frekvenserne. Udregnes ved denne formel: đ??š1 = đ?‘“1 đ??š2 = đ?‘“1 + đ?‘“2 đ??š3 = đ?‘“1 + đ?‘“2 + đ?‘“3 ‌‌ hvor đ?‘“1 er den første frekvens, đ?‘“2 er den anden frekvens og sĂĽ videre.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Det udfyldte skema ser nu sĂĽledes ud: Observationer (đ?‘Ľ) Hyppigheder (â„Ž) Frekvens (đ?‘“) (%) đ?‘Ľ1 = 1

â„Ž1 = 1

đ?‘“1 =

đ?‘Ľ2 = 2

â„Ž2 = 5

đ?‘“2 =

3

3

4

3

5

1

6

5

7

2

8

3

9

2

10

1

11

1

12

1

15

2

I alt:

30

3 30 3 30 1 30 5 30 2 30 3 30 2 30 1 30 1 30 1 30 2 30

1 30 5 30

Kumuleret frekvens (đ??š) (%)

¡ 100 = 3,33 ¡ 100 = 16,67

đ??š1 = 3,33 đ??š2 = 3,33 + 16,67 = 20

¡ 100 = 10

20 + 10 = 30

¡ 100 = 10

30 + 10 = 40

¡ 100 = 3,33

40 + 3,33 = 43,33

¡ 100 = 16,67

43,33 + 16,67 = 60

¡ 100 = 6,67

60 + 6,67 = 66,67

¡ 100 = 10

66,67 + 10 = 76,67

¡ 100 = 6,67

76,67 + 6,67 = 83,34

¡ 100 = 3,33

83,34 + 3,33 = 86,67

¡ 100 = 3,33

86,67 + 3,33 = 90

¡ 100 = 3,33

90 + 3,33 = 93,33

¡ 100 = 6,67

93,33 + 6,67 = 100

100 %

Vi skal nu se pĂĽ, hvordan vi kan lave en overskuelig grafisk fremstilling af tallene i dette skema.

1.4 Stolpediagram Skemaet ovenfor er ikke sĂĽ let af overskue, og vi vil derfor prĂŚsentere vores data grafisk ved hjĂŚlp af et stolpediagram. Vi kan lave et stolpediagram pĂĽ to forskellige mĂĽder: ĂŠn hvor vi bruger observationer og hyppighed pĂĽ henholdsvis đ?‘Ľ-aksen og đ?‘Ś-aksen, og ĂŠn hvor vi bruger observationer og frekvens.

Biografbesøg

4 2

20 Frekvens (%)

Hyppigheder

6

Biografbesøg

15 10 5 0

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617

Observationer

Observationer

Vi ser, at det ikke gør nogen forskel, om vi bruger hyppighed eller frekvens op ad đ?‘Ś-aksen. BemĂŚrk: ALLE tal skal med pĂĽ observationslinjen, ogsĂĽ de tal der ikke er nogen observationer til, OG der skal vĂŚre lige langt mellem observationerne.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

1.5 MiddelvĂŚrdi eller middeltal NĂĽr man finder middelvĂŚrdien eller middeltallet for et datasĂŚt, svarer det til at finde gennemsnittet af tallene. Vi kan udregne middelvĂŚrdien eller middeltallet pĂĽ to forskellige mĂĽder. Hvilken metode man skal vĂŚlge, afhĂŚnger af de oplysninger, man fĂĽr i opgaven. Som notation for middelvĂŚrdi bruger vi det grĂŚske bogstav đ?œ‡ (udtales my)

Metode 1: Brug af observation og hyppighed Man finder summen af observationerne og deler det med det samlede antal hyppigheder. Udregnes ved denne formel:

đ?œ‡=

đ?‘Ľ1 ¡ â„Ž1 + đ?‘Ľ2 ¡ â„Ž2 + đ?‘Ľ3 ¡ â„Ž3 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› ¡ â„Žđ?‘› đ?‘ đ?‘˘đ?‘š đ?‘Žđ?‘“ â„Žđ?‘Śđ?‘?đ?‘?đ?‘–đ?‘”â„Žđ?‘’đ?‘‘đ?‘’đ?‘&#x;

Husk, at đ?‘Ľ stod for observationer, og â„Ž for hyppigheder.

Metode 2: Brug af observation og frekvens Man finder summen af frekvenserne og deler det med 100. Udregnes ved denne formel:

đ?œ‡=

đ?‘Ľ1 ¡ đ?‘“1 + đ?‘Ľ2 ¡ đ?‘“2 + đ?‘Ľ3 ¡ đ?‘“3 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› ¡ đ?‘“đ?‘› 100

Husk, at đ?‘Ľ stod for observationer, og đ?‘“ for frekvens.

Analyseeksempel A fortsat: Udregning af middelvÌrdi for antallet af biografbesøg Vi prøver at bruge begge metoder til at udregning middelvÌrdien for vores datasÌt over biografbesøg.

Brug af metode 1: đ?œ‡=

1 ¡ 1 + 2 ¡ 5 + 3 ¡ 3 + 4 ¡ 3 + 5 ¡ 1 + 6 ¡ 5 + 7 ¡ 2 + 8 ¡ 3 + 9 ¡ 2 + 10 ¡ 1 + 11 ¡ 1 + 12 ¡ 1 + 15 ¡ 2 30 = 6,2

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Brug af metode 2: đ?œ‡= +

1 ¡ 3,33 + 2 ¡ 16,67 + 3 ¡ 10 + 4 ¡ 10 + 5 ¡ 3,33 + 6 ¡ 16,67 + 7 ¡ 6,67 100

8 ¡ 10 + 9 ¡ 6,67 + 10 ¡ 3,33 + 11 ¡ 3,33 + 12 ¡ 3,33 + 15 ¡ 6,67 = 6,2 100

Konklusion: Det vil sige, at i gennemsnit gür de folk, der indgür i undersøgelsen, i biografen 6,2 gange om üret. Vi ser ogsü, at det ikke gør nogen forskel, om vi bruger den ene eller den anden metode til at udregne middelvÌrdien.

1.6 Fraktiler I statistisk analyse kan vi vÌre interesserede i at undersøge, bestemte procentsatsers betydning for vores datasÌt. Altsü hvilke observationer man ser for en fraktil (en bestemt brøkdel/procentdel) af et ordnet datasÌt. Man kunne for eksempel undersøge hvilke observationer de første 20 % af datasÌttet er, eller de første 40 %, eller hvilken procentsats man nu finder interessant.

Analyseeksempel A (fortsat): Fraktiler for antallet af biografbesøg Vi er interesserede i at undersøge, hvor mange biografbesøg, de første 70 % af de folk, der indgĂĽr i undersøgelsen, har haft det sidste ĂĽr. Dette svarer til spørgsmĂĽlet: â€?Hvad fortĂŚller 70 %-fraktilen om datasĂŚttet?â€? i en opgave. Man kan svare pĂĽ dette ved at opstille alle vores 30 folks antal af biografbesøg pĂĽ ĂŠn lang rĂŚkke, og sĂĽ tĂŚlle os frem til hvornĂĽr vi har den observationer, der svarer til 70 %, her svarer det til person nr. 21 1 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 6 7 7 8 8 8 9 9 10 11 12 15 15 SĂĽ 70 %- fraktilen fortĂŚller, at 70 % af de folk, der blev spurgt, gik i biografen 8 gange om ĂĽret eller derunder.

Vi kan ogsĂĽ finde denne oplysning ved at kigge i skemaet under de kumulerede frekvenser. Her finder vi rĂŚkkerne, hvor den kumulerede frekvens ligger lige under og lige over 70 %. Nemlig 7 8

60 + 6,67 = 66,67 66,67 + 10 = 76,67

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

1.7 Kvartiler – specielle fraktiler Kvartiler er ogsĂĽ fraktiler. Det er blot nogle bestemte fraktiler, vi spørger til. Ordet â€?kvartâ€? betyder en fjerdedel, og nĂĽr vi snakker om at finde kvartiler i et datasĂŚt, hvor frekvenserne jo tilsammen udgør 100 %, menes der 25 %-, 50 %- og 75 %-fraktilerne. 50 %-fraktilen, som ogsĂĽ kaldes 2. kvartil, er det samme som medianen.

đ?&#x;?đ?&#x;“ %

đ?&#x;“đ?&#x;Ž %

đ?&#x;•đ?&#x;“ %

Median

1.kvartil Nedre kvartil

De tre vÌrdier kalder vi samlet for kvartilsÌttet. Hvis vi yderligere tager den mindste og den største vÌrdi i datasÌttet med, sü har vi det udvidede kvartilsÌt.

3.kvartil Ă˜vre kvartil

KvartilsĂŚt

Udvidet kvartilsĂŚt Mindste vĂŚrdi Nedre kvartil Nedre kvartil Median Median Ă˜vre kvartil Ă˜vre kvartil Største vĂŚrdi

1.8 Hvordan finder man kvartilsÌttet for et ugrupperet datasÌt? For et ugrupperet datasÌt finder man kvartilsÌttet ved at tÌlle sig frem. Det er vigtigt, at observationerne er opstillet i rÌkkefølge med det mindste tal først. Vi vil nedenfor gennemgü fire forskellige eksempler pü, hvordan man tÌller sig frem, afhÌngig af hvor mange observationer der er i datasÌttet. 1) Et hvor vi har et ulige antal observationer i datasÌttet og efter at have fundet medianen igen har et ulige antal observationer pü hver side af medianen. 2) Et hvor vi har et ulige antal observationer i datasÌttet og efter at have fundet medianen igen har et lige antal observationer. 3) Et hvor vi har et lige antal observationer i datasÌttet og efter at have fundet medianen, har et ulige antal observationer pü hver side af medianen. 4) Til slut vil vi kigge pü et eksempel med et lige antal observationer i datasÌttet, hvor vi efter at have fundet medianen igen har et lige antal observationer pü hver side af medianen.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Südan tÌller du dig frem til kvartilsÌttet Eksempel 1: Ulige-Ulige Vi har følgende datasÌt med 7observationer (ulige antal) 2 4 5 5 6 7 7 Vi starter nu ved at finde medianen som er den midterste observation. 2 4 5

â?&#x; 5

6 7 7

������

Vi har nu tre observationer pĂĽ begge sider, det vil sige et ulige antal, og blandt disse skal vi finde 1. kvartil og 3. kvartil. Igen finder vi den midterste observation pĂĽ begge sider af medianen. 2

â?&#x; 4

5

1.đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™

Det samlede kvartilsĂŚt hedder nu:

5â?&#x;

6

������

â?&#x; 7

7

3.đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™

(4, 5, 7).

Eksempel 2: Ulige-Lige Vi har følgende datasÌt med 9 observationer (ulige antal) 2 2 4 5 5 7 8 8 9 Vi starter nu ved at finde medianen som den midterste observation. 2 2 4 5

â?&#x; 5

7 8 8 9

������

Da vi her har et lige antal observationer pü begge sider af medianen, finder vi først de to midterste observationer og udregner gennemsnittet af dem. 2

2 â?&#x; 4

5

2+4 1.đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™ = =3 2

Det samlede kvartilsĂŚt hedder nu:

â?&#x; 5 đ?‘€đ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›

7

8 â?&#x; 8

9

8+8 3.đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™ = =8 2

(3, 5, 8).

Eksempel 3: Lige-Ulige Vi har følgende datasĂŚt med 10 observationer (lige antal) 2 2 3 4 4 6 7 7 8 9 Vi starter nu med at finde medianen, da der er et lige antal observationer, finder vi først de to midterste og udregner sĂĽ gennemsnittet af dem. 2 2 3 4 4â?&#x; 6 7 7 8 9 đ?‘€đ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘› =

4+6 =5 2

PĂĽ hver side af denne median - som vi altsĂĽ selv har skabt - har derfor nu 5 observationer. Dette er et ulige antal, og vi kan altsĂĽ nemt finde 1. kvartil og 3. kvartil, som er det midterste af de fem. Vi har derfor 2 2

â?&#x; 3 1.đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™

Det samlede kvartilsĂŚt hedder nu:

4

4â?&#x; 6 4+6 đ?‘€đ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘› = =5 2

7

â?&#x; 7

8 9

3.đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™

(3, 5, 7)

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Eksempel 4: Lige-Lige Vi har følgende datasÌt med 12 observationer (lige antal) 2 3 3 4 5 6 6 7 8 9 9 9 Vi starter nu med at finde medianen, da der er et lige antal observationer, udregner vi medianen som gennemsnittet af de to midterste tal. 2 3 3 4 5

6â?&#x; 6

7 8 9 9 9

6+6 ������ = =6 2

Vi har ligesom i eksempel 3 skabt os en ny kunstig midterste observation, og vi har dermed 6 observationer pĂĽ begge sider af medianen. Dette er ogsĂĽ et lige antal, sĂĽ her finder vi 1. kvartil og 3. kvartil ved igen af udregne gennemsnittet mellem de to midterste tal. 2 3

3 â?&#x; 4

5

3+4 1.đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™ = = 3,5 2

Det samlede kvartilsĂŚt hedder nu:

6â?&#x; 6

7

6+6 ������ = =6 2

8 â?&#x; 9

9 9

8+9 3.đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™ = = 8,5 2

(3.5, 6, 8.5).

Metode: -

NĂĽr antallet af observationer er ulige, tĂŚller vi os frem til det midterste tal. NĂĽr antallet af observationer er lige, tĂŚller vi os frem til de to midterste tal og udregner gennemsnittet af disse.

Analyseeksempel A (fortsat): KvartilsÌt for antallet af biografbesøg Vi vil nu prøve at finde kvartilsÌttet for datasÌttet fra undersøgelsen af antal biografbesøg. Vi starter med at skrive alle observationerne op pü en lang rÌkke: 1 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 6 7 7 8 8 8 9 9 10 11 12 15 15 Der er 30 observationer (et lige antal) Vi tÌller os nu frem til de to midterste tal og udregner medianen som gennemsnittet af disse 1 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 6

6 â?&#x; 6

6 6 7 7 8 8 8 9 9 10 11 12 15 15

6+6 ������ = =6 2

Der er 15 observationer pü hver side af medianen, da vi selv har tilføjet en kunstig midterste observationer. Det er et ulige antal, sü her finder vi 1. kvartil og 3. kvartil ved at tÌlle os frem til det midterste tal 1 2 2 2 2 2 3

â?&#x; 3

3 4 4 4 5 6

6 â?&#x; 6 6+6 đ?‘€đ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘› = =6 2

1.đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™

Det samlede kvartilsĂŚt hedder dermed:

6 6 7 7 8 8

â?&#x; 8

9 9 10 11 12 15 15

3.đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™

(3, 6, 8)

Hvis vi skal angive det udvidede kvartilsÌt, tager vi ogsü den mindste og den største observation med. Det udvidede kvartilsÌt hedder dermed:

(1, 3, 6, 8, 15)

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

1.9 Boksplot Når vi laver en statistisk analyse, vil vi gerne fremstille vores data på en overskuelig måde, så alle kan få et indtryk af, hvordan resultatet ser ud. En god måde at gøre det mere overskuelig, er ved at vi tegne et boksplot. Boksplottet illustrerer kvartilsættet, og dermed fordelingen af vores data. For at kunne tegne et boksplot skal vi kende det udvidede kvartilsæt, altså: • • • • •

Minimumsværdien af datasættet 1. kvartil/Nedre kvartil Median 3. kvartil/Øvre kvartil Maksimumsværdien af datasættet

Alle disse oplysninger tegnes ind i en tegning på følgende måde:

Her angiver ”boksen” de 50 % af datasættet som ligger mellem nedre kvartil og øvre kvartil, mens de to haler visualiserer de 25 % der ligger over og under nedre- og øvre kvartil. Inde i boksen tegnes medianen. Som det ses på skitsen oven for, vil et boksplot sjældent være symmetrisk, da udseendet afhænger af det enkelte datasæt. Selve udseendet af boksplottet kan også variere fra computerprogram til computerprogram.

OBS: på linjen med observationer, SKAL alle observationer indgå, OGSÅ tallene imellem, OG der SKAL være lige langt imellem alle observationer. Hvornår er boksplot smart? Boksplot er ofte smart til at sammenligne flere datasæt med hinanden.

© L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

Analyseeksempel A (fortsat): Boksplot over antallet af biografbesøg Vi vil her først prøve at lave boksplottet over antallet af biografbesøg fra vores undersøgelse i WordMats statistik skabeloner. En anden klasse har lavet den samme undersøgelse en anden dag. Vi kan herefter sammenligne de to undersøgelsers resultater ved at tegne de to boksplot i samme diagram. Datasæt over antallet af biografbesøg: Vi laver boksplottet for vores datasæt med antallet af biografbesøg. Ovenfor beregnede vi det udvidede kvartilsæt til: Minimumsværdien af datasættet: 1. kvartil/Nedre kvartil: Median: 3. kvartil/Øvre kvartil: Maksimumsværdien af datasættet:

1 3 6 8 15

Antal biografbesøg

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Antallet af biografbesøg og biografbesøg 2: Her har vi tegnet boksplottene for de to datasæt i samme diagram. Derved er de nemmere at sammenligne Biografbesøg 2

Antal biografbesøg

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

© L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

15

16

Sammenligning: Først og fremmest kan vi se, at de to grupper af folk, der er blevet spurgt om deres biografvaner er forskellige. Da de to boksplot ligger forskellige steder i diagrammet. Vores undersøgelse viser, at folk gĂĽr i biografen mellem 1 og 15 gange, altsĂĽ en variansbredde pĂĽ 14, mens undersøgelse 2 er i biografen mellem 0 og 10 gange, altsĂĽ en variansbredde pĂĽ 10 (se definition nedenfor). Vi ser, at den nedre kvartil i vores undersøgelse svarer til medianen i gruppe 2. Det vil sige, at i vores undersøgelse gĂĽr 25 % i biografen mellem 1 og 3 gange, men i undersøgelse 2 gĂĽr 50 % i biografen mellem 0 og 3 gange. Det er altsĂĽ en forskel pĂĽ 25 %. Vi ser desuden, at den mindste vĂŚrdi af vores undersøgelse svarer til den nedre kvartil for den anden undersøgelse. Hvis man kigger pĂĽ de to undersøgelsers kvartilbredde (se definition nedenfor), ser man, at for vores undersøgelse er den pĂĽ 8 − 3 = 5, mens den for den anden undersøgelse er pĂĽ 7 − 1 = 6. De midterste 50 % dĂŚkker altsĂĽ over en større antal besøg for undersøgelse 2 end i vores undersøgelse. I vores undersøgelse kan vi ogsĂĽ se, at vi har snakket med en person, der elsker at gĂĽ i biografen. Hele 15 gange har personen vĂŚret afsted, mens det kun er 10 gange for den der har vĂŚret mest afsted i den anden undersøgelse. Vi kan derfor fĂĽ lyst til at undersøge om 15 er en outlier (se definition nedenfor) i vores undersøgelse. Vi skal dermed undersøge om 15 er mere end halvanden gange sĂĽ stor som den øvre kvartil pĂĽ 8. Ă˜đ?‘Łđ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™ + đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘‘đ?‘‘đ?‘’ ¡ 1,5 = 8 + 5 ¡ 1,5 = 15,5 SĂĽ det viser sig, at 15 ikke er en outlier for dette datasĂŚt. Nogle gange kunne man overveje om en outlier skulle tages ud af datasĂŚttet. Det ville man gøre i det tilfĂŚlde, hvor observationen er pĂĽvirket af en ydre pĂĽvirkning. Det kunne vĂŚre i det tilfĂŚlde, at en sportsudøver prĂŚsterede dĂĽrligere ĂŠn dag end normalt pga. sygdom, ikke fordi trĂŚneren gjorde noget forkert. Vi husker, at vi i sin tid udregnede middelvĂŚrdien til at vĂŚre đ?œ‡ = 6,2, det vil sige, at vores datasĂŚt er en smule højreskĂŚvt (Se definition nedenfor), da middelvĂŚrdien er en smule større end medianen pĂĽ 6. NĂĽr man laver disse sammenligninger, kan der vĂŚre meget at kommentere pĂĽ. Det er aldrig det samme man skal skrive fra opgave til opgave. Nedenfor er der derfor samlet en oversigt med inspiration til hvad man kunne kommentere pĂĽ.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Gode rĂĽd til hvad man kan kommentere pĂĽ: -

Ting der er ens for de to datasĂŚt. Ting der er markant forskellige for de to datasĂŚt. De ting man sammenligner, kan fx vĂŚre: o Variationsbredden = Afstanden mellem mindstevĂŚrdien og maksimumsvĂŚrdien (max - min) o Kvartilbredden = Afstanden mellem 1. kvartil og 3. kvartil (đ?‘˛đ?&#x;‘ − đ?‘˛đ?&#x;? ) o Afstanden mellem forskellige kvartiler for begge sĂŚt. o Om datasĂŚttene ligger meget forskudt i forhold til hinanden enten den ene eller anden vej. Dette hedder ogsĂĽ højre-/venstreskĂŚv â—ź DatasĂŚttet er højreskĂŚvt, hvis middelvĂŚrdien er større end medianen. (đ?? > đ?’Žđ?’†đ?’…đ?’Šđ?’‚đ?’?đ?’†đ?’?) â—ź DatasĂŚttet er venstreskĂŚvt, hvis middelvĂŚrdien er mindre end medianen (đ?? < đ?’Žđ?’†đ?’…đ?’Šđ?’‚đ?’?đ?’†đ?’?) o Om der er en outliers i datasĂŚttet, det vil sige en vĂŚrdi som er markant større eller mindre end de andre. Nogle gange vĂŚlger man at tage denne vĂŚrdi ud af datasĂŚttet. â—ź Definition af en outlier: en vĂŚrdi der er mere en 1,5 gange

kvartilbredden mindre/større end vĂŚrdien af den nedre/øvre kvartil. Udregning: đ?‘›đ?‘’đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘’â „øđ?‘Łđ?‘&#x;đ?‘’ ∓ đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘‘đ?‘‘đ?‘’ ¡ 1,5

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

1.10 Grupperede observationer Vi skal nu se et eksempel pĂĽ den anden type af observationer, hvor data er grupperet i intervaller. Analyseeksempel B: Antallet af aborter i forhold til alder PĂĽ websitet Statistikbanken.dk kan man finde mange interessante tal, man kan lege med i en statistisk analyse. I en undersøgelse af antallet af aborter har man opgjort hyppigheden for forskellige aldersgrupper i et bestemt ĂĽr (2014) Observationerne er her kvindens alder ved aborten og hyppigheder er hvor mange aborter der er sket. Informationerne ses i skemaet nedenfor. Observationer (đ?‘Ľ) Alder i ĂĽr ]15, 20] ]20, 25] ]25, 30] ]30, 35] ]35, 40] ]40, 45] ]45, 50] I alt:

Hyppigheder (â„Ž) Antal aborter 2051 4023 3324 2609 2045 967 78 15 097

Frekvens i % (đ?‘“ )

Kumuleret frekvens (đ??š )

Midtpunkt af interval (đ?‘š)

Med et datasÌt, der bestür af 15 097 observationer, er det besvÌrligt at bruge de samme �tÌllemetoder�, som vi anvendte til at behandle et ugrupperet datasÌt. Vi skal derfor udvikle nogle nye metoder til at beregne nogle af de samme ting eller tilsvarende.

Frekvens (đ?’‡): Angiver, hvor mange procent en enkelt hyppighed udgør af det samlede antal. Udregnes ved denne formel:

đ?‘“=

â„Žđ?‘Śđ?‘?đ?‘?đ?‘–đ?‘”â„Žđ?‘’đ?‘‘ ¡ 100 đ?‘– đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ą

đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x;

đ?‘“=

â„Ž ¡ 100 đ?‘– đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ą

Kumuleret frekvens (đ?‘­): Den løbende sum af frekvenserne. Udregnes ved denne formel: đ??š1 = đ?‘“1 đ??š2 = đ?‘“1 + đ?‘“2 đ??š3 = đ?‘“1 + đ?‘“2 + đ?‘“3 ‌‌ hvor đ?‘“1 er den første frekvens, đ?‘“2 er den anden frekvens og sĂĽ videre.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Som en ny ting i forhold til et ugrupperet datasÌt skal vi ogsü udfylde kolonnen �Midtpunkt af interval�, dette skal bruges til at udregne middelvÌrdien for et grupperet datasÌt.

Midtpunkt af interval (đ?’Ž):

đ?‘š=

(â„Žøđ?‘—đ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘’đ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘˘đ?‘›đ?‘˜đ?‘Ą − đ?‘Łđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘’đ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘˘đ?‘›đ?‘˜đ?‘Ą) 2

Skemaet ser nu sĂĽledes ud: Observationer (đ?‘Ľ) Alder i ĂĽr ]15, 20]

]20, 25] ]25, 30] ]30, 35] ]35, 40] ]40, 45] ]45, 50] I alt:

Hyppigheder (â„Ž) Antal aborter â„Ž1 = 2051

â„Ž2 = 4023 3324 2609 2045 967 78 15 097

Frekvens i % (đ?‘“ ) đ?‘“1

2051 = ¡ 100 15097 = 13,59 đ?‘“2 = 26,65 22,02 17,28 13,55 6,41 0,52 100

Kumuleret frekvens (đ??š )

Midtpunkt af interval (đ?‘š)

đ??š1 = 13,59

đ?‘š1 = 17,5

đ??š2 = 40,24 62,26 79,54 93,09 99,5 100,02

đ?‘š2 = 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5

Ligesom før vil vi nu se pü hvordan, vi kan omdanne dette skema til en grafisk fremstilling, som er nemmere at overskue.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

1.11 Histogram Da vi arbejdede med ugrupperede observationer tegnede vi stolpediagrammer for at gøre vores datasæt mere overskueligt. Ved grupperede observationer vil vi i stedet tegne et histogram med samme formål. Hvis vi tegner et histogram i hånden, kan det gøres på to forskellige måder, én hvor vi bruger observationer og hyppighed og én hvor vi bruger observationer og frekvens. Når du tegner i hånden: ALLE tal skal med på observationslinjen, også de tal der ikke er nogen observationer til, OG der skal være lige langt mellem observationerne. Men bruger man i stedet et computerprogram som fx WordMat vil det i stedet tegne histogrammet som det ses nedenfor, hvor et tern dækker over en procent.

et tern er 4%

Histogram - Alder ved abort

15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 Observationer

Til en skriftlig eksamen vil man altid tegne i et computerprogram.

© L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

1.12 MiddelvĂŚrdi eller middeltal NĂĽr man finder middelvĂŚrdien eller middeltallet for et datasĂŚt, svarer det til at finde gennemsnittet af tallene. Vi kan udregne middelvĂŚrdien eller middeltallet pĂĽ to forskellige mĂĽder. Hvilken metode man skal vĂŚlge, afhĂŚnger af de oplysninger, man fĂĽr i opgaven. Som notation for middelvĂŚrdi bruger vi det grĂŚske bogstav đ?œ‡ (udtales my)

OBS: Vi bruger midtpunktet af intervallet i stedet for observation nür vi arbejder med grupperede observationer. Da observationerne er inddelt i intervaller, har vi ikke en decideret observation vi kan bruge som vi gjorde med ugrupperede observationer, vi har derfor �opfundet� en ny observation ved hjÌlp af midtpunktet. Vi vÌlger at bruge midtpunktet under den antagelse at dataene fordeler sig ligeligt i hvert interval, og derfor kan vi bruge midtpunktet som en middelvÌrdi over dataene. Metode 1: Brug af midtpunkt og hyppighed Man finder summen af midtpunkterne og deler det med det samlede antal hyppigheder. Udregnes ved denne formel:

đ?œ‡=

đ?‘š1 ¡ â„Ž1 + đ?‘š2 ¡ â„Ž2 + đ?‘š3 ¡ â„Ž3 + â‹Ż + đ?‘šđ?‘› ¡ â„Žđ?‘› đ?‘ đ?‘˘đ?‘š đ?‘Žđ?‘“ â„Žđ?‘Śđ?‘?đ?‘?đ?‘–đ?‘”â„Žđ?‘’đ?‘‘đ?‘’đ?‘&#x;

Husk, at đ?‘š stod for midtpunkt af interval, og â„Ž for hyppigheder.

Metode 2: Brug af midtpunkt og frekvens Man finder summen af frekvenserne og deler det med 100. Udregnes ved denne formel:

đ?œ‡=

đ?‘š1 ¡ đ?‘“1 + đ?‘š2 ¡ đ?‘“2 + đ?‘š ¡ đ?‘“3 + â‹Ż + đ?‘šđ?‘› ¡ đ?‘“đ?‘› 100

Husk, at đ?‘š stod for midtpunkt af interval, og đ?‘“ for frekvens.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Analyseeksempel B (fortsat): MiddelvÌrdi for aborter i forhold til alder Vi prøver at bruge begge metoder til at udregne middelvÌrdien for vores undersøgelse af sammenhÌngen mellem kvinders alder og antallet af aborter.

Brug af metode 1: đ?œ‡=

17,5 ¡ 2051 + 22,5 ¡ 4023 + 27,5 ¡ 3324 + 32,5 ¡ 2609 + 37,5 ¡ 2045 + 42,5 ¡ 967 + 47,5 ¡ 78 15097 = 28,09

Brug af metode 2: đ?œ‡ 17,5 ¡ 13,59 + 22,5 ¡ 26,65 + 27,5 ¡ 22,02 + 32,5 ¡ 17,28 + 37,5 ¡ 13,55 + 42,5 ¡ 6,41 + 47,5 ¡ 0,52 100 = 28,09 =

Konklusion: Det vil altsü sige, at i gennemsnit er kvinderne 28 ür, nür de für en abort. Igen kan vi se, at det ikke gør nogen forskel, hvilken af de to metoder vi bruger til at udregne middelvÌrdien.

1.13 Sumkurve, kvartiler og fraktiler Ved grupperede observationer er vi stadig interesserede i at undersøge, bestemte procentsatsers betydning for vores datasĂŚt. AltsĂĽ hvilke observationer en fraktil dĂŚkker over (en bestemt brøkdel/procentdel) i et ordnet datasĂŚt. Man kunne for eksempel undersøge hvilke observationer de første 20 % af datasĂŚttet er, eller de første 40 %, eller hvilken procentsats man nu finder interessant. MEN, da vores â€?tĂŚlle-metoderâ€? ikke lĂŚngere er brugbare fordi datasĂŚttet er sĂĽ meget større mĂĽ vi tage nogle nye metoder i brug. Vi skal derfor lĂŚre at tegne det der hedder en sumkurve, hvorpĂĽ man kan aflĂŚse fraktiler og kvartiler direkte.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

1.14 Sumkurve NĂĽr vi arbejder med grupperede observationer, skal vi først tegne det, der kaldes en sumkurve før vi kan finde kvartilsĂŚttet og diverse fraktiler. For at tegne en sumkurve skal vi skemaets informationer om observationer og kumuleret frekvens. Observationer (đ?‘Ľ) alder i ĂĽr Kumuleret frekvens (đ??š) i % ]15, 20] 13,59 ]20, 25] 40,24 ]25, 30] 62,26 ]30, 35] 79,54 ]35, 40] 93,09 99,5 ]40, 45] ]45, 50] 100 Vi tegner først et koordinatsystem med â€?Observationerâ€? pĂĽ đ?‘Ľ-aksen og â€?Kumuleret frekvensâ€? pĂĽ đ?‘Śaksen. Vi starter đ?‘Ľ-aksen, der hvor vores intervaller starter, altsĂĽ ved 15, sĂĽ vi kun ser pĂĽ den del af aksen, hvor vi har observationer. Vi har dog sagt at 15 ikke er med i intervallet, men vi siger, at ved 15 sĂŚtter vi den kumulerede frekvens til 0 %, da vi endnu ikke har haft nogle af vores data i dette interval. Dette svarer til at vi siger, at 0 % af kvinderne, der fik en abort, var 15 ĂĽr eller derunder. Det er altsĂĽ en mĂĽde teknisk at starte sumkurven pĂĽ.

Sumkurve 100% 75% 50% 25% 0% 15

20

25

30

35

40

45

50

Herefter indsĂŚtter vi observationen 20 og angiver den kumulerede frekvens til 13,59 %, herefter indsĂŚtter vi observationen 25 og den kumulerede frekvens 40,24 % og sĂĽ videre, til alle vores punkter er blevet tegnet ind.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Vores sumkurve kommer derved til at se sådan ud.

Sumkurve - Alder ved abort Kumuleret frekvens

100% 75% 50% 25% 0% 15

20

25

30

35

40

45

50

Observationer

Bemærk: Vi tegner rette linjer imellem punkterne, idet vi antager at observationerne er ligeligt og pænt fordelt i intervallerne.

BEMÆRK: Observationslinjen indeholder ALLE tal i intervallerne, OG der er lige langt mellem alle tallene.

© L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

1.14 Kvartiler Kvartilerne reprĂŚsenterede jo bestemte procentsatser, nemlig 25 %, 50 % og 75 %. De har prĂŚcis samme betydning som for ugrupperede observationer, men hvor vi ved ugrupperede observationer talte os frem til dem, skal vi ved grupperede observationer aflĂŚse dem pĂĽ sumkurven.

Analyseeksempel B (fortsat): AflĂŚsning af kvartiler Vi aflĂŚser kvartilsĂŚttet (1. kvartil, median, 3. kvartil) ved at gĂĽ ind pĂĽ đ?‘Ś-aksen ved henholdsvis 25 %, 50 % og 75 %. Herefter tegner man en vandret linje hen og ramme grafen, i skĂŚringen med grafen, tegnes linjen lodret ned pĂĽ đ?‘Ľ-aksen hvor vĂŚrdien aflĂŚses. Dette ses gjort pĂĽ følgende sumkurve.

Sumkurve - Alder ved abort 100%

75%

50%

25%

0% 15

20

25

30

35

PĂĽ sumkurven kan vi ca. aflĂŚse kvartilsĂŚttet til: (22.1, 27.2, 33.7). Ved brug af computerprogrammer fĂĽr man tallene helt prĂŚcist.

Konklusion: 25 % af kvinderne er 22,1 ĂĽr eller derunder, nĂĽr de fĂĽr en abort. 50 % af kvinderne er 27,2 ĂĽr eller derunder, nĂĽr de fĂĽr en abort. 75 % af kvinderne er 33,7 ĂĽr eller derunder, nĂĽr de fĂĽr en abort.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

40

45

50

1.15 Fraktiler Ligesom for de ugrupperede observationer kan fraktiler reprÌsentere en hvilken som helst procentsats, man har lyst til at undersøge. I matematikopgaver om fraktiler møder vi oftest tre typer af spørgsmül. Selve formuleringen kan variere lidt, men opgavespørgsmülene stiler efter det samme.

Tre typer af spørgsmül: -

Hvad fortĂŚller en bestemt procentsats om datasĂŚttet? AltsĂĽ, hvad er den tilsvarende observation til en bestemt procentsats?

-

Hvor mange procent ligger der under en bestemt observation?

-

Hvor mange procent ligger der over en bestemt observation?

Analyseeksempel B (fortsat): Fraktiler over alder for abort Vi prøver her at stille nogle typiske spørgsmĂĽl med fraktiler. 1) Hvor gamle var de yngste 60 % af de kvinder, der fik foretaget en abort? Vi gĂĽr ind pĂĽ đ?‘Ś-aksen ved 60 % og aflĂŚser den tilhørende đ?‘Ľ-vĂŚrdi. Her ser vi, at 60 % af kvinderne var 29,5 ĂĽr eller derunder. 2) Hvor mange procent at kvinderne var over 35 ĂĽr, da de fik foretaget en abort? Vi gĂĽr ind pĂĽ đ?‘Ľ-aksen ved 35 ĂĽr og aflĂŚser den tilhørende đ?‘Ś-vĂŚrdi. Her ser vi, at 79,6 % af kvinderne var højst 35 ĂĽr, da de fik en abort. Man kan derfor regne ud, at 100% − 79,6% = 20,4% af kvinderne var over 35 ĂĽr, da de fik foretaget en abort.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

1.16 Boksplot Vi vil igen prøve at tegne boksplottet over vores datasæt, da vi ønsker at fremstille det på en overskuelig måde, så man bedre kan få et indtryk af hvordan resultatet ser ud. Da vi ikke har en veldefineret mindste- og største værdi for et grupperet datasæt, vælger vi at sige, at den mindste værdi er vores første intervalendepunkt, og den største værdi er vores sidste intervalendepunkt, da vores data er ligeligt, og pænt fordelt i intervallerne.

Analyseeksempel B (fortsat): Boksplot over antallet af aborter Vi laver boksplottet for vores datasæt over antallet af aborter. Vi har det udvidede kvartilsæt og det tilhørende boksplot: Minimumsværdi: 15 1. Kvartil: 22,1 Median: 27,2 3. Kvartil: 33,7 Maksimumsværdi: 50

Alder for at få abort i 2014

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

Vi finder nu det tilsvarende datasæt for antallet af aborter for et andet år (her 1981) og vil nu undersøge dem i forhold til hinanden. I 2014 var der 15 097 kvinder, der fik foretaget en abort, mens der i 1981 var 22 779 kvinder der fik foretaget en abort. Det vil sige, at der har været et fald på 7 682 aborter.

Alder ved abort i 1981

Mængden af observationer er altså meget forskellige, men hvis vi sammenligner boksplottet for de to datasæt, viser de sig at være stort set identiske.

Alder ved abort i 2014

0

10

20

30

© L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

40

50

Så matematisk set er der ikke så meget spændende ved at sammenligne disse to datasæt. Men statistik handler i høj grad om at beskrive verden. Så hvis vi i stedet tager den samfundsvidenskabelige kasket på, er der et hav af ting at gribe fat i. Vi kan se, at antallet af aborter er faldet med 7 682 aborter over en periode på 23 år. Men vi ser, at kvartilsættene er stort set identiske. Det betyder, at den procentvise fordeling af kvinder der får foretaget en abort, er konstant inden for aldersgruppen. Så man kan ikke sige at der er et fald i bestemte aldersgrupper i forhold til hvem der får foretaget en abort, for faldet er jævnt fordelt over aldersgrupperne. Man kunne så begynde at dykke ned i hvad faldet i aborter på 7 682 kunne skyldes, og hvilke samfundsmæssige ændringer der ligger til grund for dette, så som: -

Hvordan har holdningen til abort ændret sig over årene? Positivt/negativt.

-

Hvilken betydning har øgede kampagner omkring prævention haft? Herunder ”Uge sex” i folkeskolen?

-

Har kvinders øgede tilstedeværelse på arbejdsmarkedet haft en påvirkning? Og det faktum at kvinder i dag i højere grad vælger at gøre karriere fremfor familieliv.

-

Ville man se samme tendens i andre lande, eller skyldes resultaterne den danske politik?

© L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

1.17 Population og stikprøver I forhold til statistisk analyse er der rigtig mange faldgruber, og man oplever tit at diverse nyhedsbureauer falder i flere af disse og fejlfortolker resultater uden at have et statistisk belæg for deres påstande. Vi skal her se på én faktor som tit skaber problemer i diverse meningsmålinger. Definition: Population: En population er en større mængde af ensartede individer, objekter eller enheder fx den danske befolkning. Stikprøve: En stikprøve er en delmængde af populationen fx befolkningen i din hjemby. Når man skal lave en statistisk undersøgelse, vil man ofte gerne undersøge hele populationen. Men da den ofte er MEGET stor og svær at håndtere, forsøger man i stedet at udtage en repræsentativ stikprøve fra populationen og undersøge denne i stedet. Udtagning af stikprøve: -

Man skal forsøge at udtage en stikprøve, der så godt som muligt ligner populationen.

-

Man skal undgå systematiske fejl ved udtagningen, så dele ikke bliver under- eller overrepræsenteret.

-

Man skal undgå tilfældige målefejl ved udtagningen.

Systematiske fejl betyder, at man måler forkert på en bestemt måde. Man rammer altså konsekvent og systematisk ”forbi skivens centrum”.1 Tilfældige målefejl betyder, at man rammer forkert på en tilfældig, men ret forudsigelig måde. Man rammer altså ”inden for en bestemt afstand af skivens centrum.” Det optimale er en undersøgelse, hvor BÅDE de systematiske og tilfældige målefejl er minimeret. Eksempel på en systematiks fejl: Målinger med en metallineal vil give forskellige resultater ved forskellige temperaturer på grund af at materialer udvides ved øget temperatur. Men hvis alle målinger foretages samtidig, vil det være den samme fejlmargin man arbejder med ved alle målinger. Systematiske fejl vil oftest kunne minimeres. Eksempel på en tilfældig fejl: Hver gang man træder op på en badevægt, vil man stille sig en smule anderledes end forrige gang. Tilfældige fejl er sværere at minimere.

1

https://www.sa.dk/wp-content/uploads/2018/03/GuideTilSpoergeskemaer_Rigsarkivet_2018.pdf

© L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

Eksempel på udtagning af stikprøve og dens problemer: Undersøgelse 1: Nogle elever vil gerne undersøge holdningen til en bestemt type kriminalitet hos befolkningen i den by de bor i. De stiller sig derfor op på byens strøg en onsdag formiddag og udvælger tilfældige forbipasserende til deres stikprøve. På baggrund af de svar de indsamler vil de sammenligne deres svar med en tilsvarende undersøgelse lavet på landsplan. Hvordan kan man undgå systematiske fejl? -

Stå på strøget en hel dag, i stedet for kun en formiddag.

-

Stå på strøget i flere hele dage.

Ved at ændre på disse to faktorer vil man ramme en bredere del af befolkningen, og dermed vil stikprøven være mere repræsentativ.

Undersøgelse 2: En flok samfundsfagslærere vil gerne til et folketingsvalg prøve om man kan forudsige landsresultatet ved at lave en stikprøve indsamling i skolens kommune. De vælger derfor at sende deres elever hen til det nærmeste valgsted i løbet af et modul. Hvordan kan man undgå systematisk fejl? -

Man kunne i stedet for et enkelt modul afsætte en hel dag til undersøgelsen.

-

I stedet for blot at vælge det nærmeste valgsted kan man sende grupper rundt til mange valgsteder i kommunen. Så hele kommunen bliver repræsenteret.

© L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

1.18 Sådan kan du opstille, løse og konkludere på en skriftlig eksamensopgave Nedenfor er gennemgået tre type-opgaver inden for statistik. Opgave 1: (2019, 28. maj, hf C, opg. 7) På Fjordby Gymnasium og hf har man opgjort alle lærernes alder. Alder

24

25

…

64

64

Tabel 1: Resten af tabellens data ses i den original opgave

a) Bestem det udvidede kvartilsæt for aldersfordelingen for Fjordby-lærerne. Vi behandler datasættet som et ugrupperet datasæt og indsætter derfor vores data i WordMats skabelon for ugrupperede observationer. Deskriptorer

Ugrupperede Observationer

Obs. Hyp. 24 1 25 1 27 3 28 3 29 1 30 6 32 7 33 2

Kum. Frekvens Frekv.

1% 1% 3% 3% 1% 7% 8% 2%

Kvartilsæt 1% Nedre 32 2% Median 40 6% Øvre 58 9% Obs. Fraktil 10% 17% 25% Middeltal 44,4 28% Spredning 12,8

34

3

3%

31%

35

3

3%

34%

36

4

5%

39%

37

2

2%

41%

38

3

3%

45%

Ovenfor og til højre ses datasættet fra Fjordby Gymnasium og hf behandlet. Nedenstående tabel viser det udvidede kvartilsæt for aldersfordelingen for lærerne på naboskolen Vesterby Gymnasium og hf.

39

4

5%

49%

40 41 46 47 49 52 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

3 1 2 1 2 2 1 2 5 2 4 1 6 5 3 1 3

3% 1% 2% 1% 2% 2% 1% 2% 6% 2% 5% 1% 7% 6% 3% 1% 3%

53% 54% 56% 57% 60% 62% 63% 66% 71% 74% 78% 79% 86% 92% 95% 97% 100%

Vesterby Fjordby

Mindste Nedre Median Øvre Største

I tabellen til højre ses de to udvidede kvartilsæt for de to datasæt.

© L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

28 35 40 47 64

24 32 40 58 64

b) Tegn et boksplot for hver af de to aldersfordelinger på samme figur. Nedenfor ses et boksplot over de to datasæt.

Fjordby

Vesterby

18

28

38

48

58

68

c) Sammenlign de to aldersfordelinger. Inddrag kvartilbredden i din sammenligning. Vi ser at aldersfordelingen fra Fjordby generelt spreder sig mere, fra den yngste på 24 år til den ældste på 64 år, mens aldersfordelingen fra Vesterby kun spreder sig fra 28 år til 64 år. Dette er dog kun en lille forskel. Samtidig har de også samme median på 40 år. Den store forskel ses ved, at kvartilbredde på Fjordby er på 58 − 32 = 26 mens den for Vesterby er på 47 − 35 = 12. Så 50 % af lærerne på Vesterby er født indenfor en årrække på 12 år, mens dette ikke gør sig gældende for Fjordby. Så spredningen af lærernes alder er størst på Fjordby.

Opgave 2: (2019, 15. august, hf C, opg. 8) En kunde køber 25 almindelige kartofler. Nedenstående tabel viser vægten i gram af de 25 kartofler. 33 38 43 44 47 55 57 65 65 66 68 68 72 6 78 80 80 81 82 98 116 142 150 a) Bestem det udvidede kvartilsæt for fordelingen af kartoflernes vægt. Det udvidede kvartilsæt findes ved at tælle sig frem. Først findes medianen som den midterste observation og derefter nedre- og øvre kvartil. 33 38 43 44 47 55 57 65 65 66 68 68 72 76 78 80 80 81 82 82 98 116 120 142 150 33 Minimum Nedre kvartil 56 72 Median 82 Øvre kvartil 150 Maksimum

© L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

En anden kunde køber 25 aspargeskartofler. Nedenstående figur viser et boksplot for vægtfordelingen af aspargeskartoflerne.

b) Undersøg, om hver af de 25 % tungeste af de almindelige kartofler vejer mere end den tungeste aspargeskartoffel. Vi tegner begge datasæt ind i det samme diagram så de er nemmere at sammenligne.

Asparges kartofler Alm. Kartofler 0

20

40

60

80

100

120

140

160

Vi ser, at den øvre kvartil for den almindelige kartoffel er på 82 gram, mens den største aspargeskartoffel vejer 75 gram. Dermed kan vi bekræfte at de 25 % tungeste almindelige kartofler vejer mere end den største aspargeskartoffel. Opgave 3: (2019, 6. december, hf C, opg. 2) Eleverne i en hf-klasse med 23 elever svarede på spørgsmålet: Hvor mange fætre og kusiner har du? Svarene ses i nedenstående tabel. 2 3 3 3 4 4 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 9 9 11 11 15 a) Bestem det udvidede kvartilsæt for antallet af fætre og kusiner. b) Undersøg ved hjælp af kvartilbredden, om 15 er en outlier. Vi regner kvartilbredden til 8 − 4 = 4 og ganger denne med 1,5, så 4 · 1,5 = 6 og lægger til den øvre kvartil. 8 + 6 = 14. Vi kan hermed konkludere, at 15 er en outlier da 15 er større end 14.

© L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

Udvidede kvartilsæt Mindste værdi Nedre kvartil Median Øvre kvartil Største værdi

2 4 6 8 15

1.19 Formelsamling

Begreber der er fĂŚlles for grupperede og ugrupperede observationer: Frekvens â„Žđ?‘Śđ?‘?đ?‘?đ?‘–đ?‘”â„Žđ?‘’đ?‘‘ đ?‘“= ¡ 100 đ?‘– đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ą Kumuleret frekvens đ??š1 = đ?‘“1 đ??š2 = đ?‘“1 + đ?‘“2 đ??š3 = đ?‘“1 + đ?‘“2 + đ?‘“3 ‌‌ Det udvidede kvartilsĂŚt og boksplot (Mindste vĂŚrdi, 1. kvartil, Median, 3. kvartil, Største vĂŚrdi)

Gode rĂĽd til hvad man kan kommentere pĂĽ: -

Ting der er ens for de to datasĂŚt. Ting der er markant forskellige for de to datasĂŚt. De ting man sammenligner, kan fx vĂŚre: o Variationsbredden = Afstanden mellem mindstevĂŚrdien og maksimumsvĂŚrdien (max - min) o Kvartilbredden = Afstanden mellem 1. kvartil og 3. kvartil (đ?‘˛đ?&#x;‘ − đ?‘˛đ?&#x;? ) o Afstanden mellem forskellige kvartiler for begge sĂŚt. o Om datasĂŚttene ligger meget forskudt i forhold til hinanden enten den ene eller den anden vej. Dette hedder ogsĂĽ højre-/venstreskĂŚv â—ź DatasĂŚttet er højreskĂŚvt, hvis middelvĂŚrdien er større end medianen. (đ?? > đ?’Žđ?’†đ?’…đ?’Šđ?’‚đ?’?đ?’†đ?’?) â—ź DatasĂŚttet er venstreskĂŚvt, hvis middelvĂŚrdien er mindre end medianen (đ?? < đ?’Žđ?’†đ?’…đ?’Šđ?’‚đ?’?đ?’†đ?’?) o Om der er en outlier i datasĂŚttet, det vil sige en vĂŚrdi i datasĂŚttet, som er markant større eller mindre end de andre. Nogle gange vĂŚlger man at tage denne vĂŚrdi ud af datasĂŚttet. â—ź Definition af en outlier: en vĂŚrdi der er mere en 1,5 gange

kvartilbredden mindre/større end vĂŚrdien af den nedre/øvre kvartil. Udregning: đ?‘›đ?‘’đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘’â „øđ?‘Łđ?‘&#x;đ?‘’ ∓ đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘‘đ?‘‘đ?‘’ ¡ 1,5

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Ugrupperede observationer: MiddelvĂŚrdi = middeltal = gennemsnit Observation og hyppighed: đ?œ‡=

đ?‘Ľ1 ¡ â„Ž1 + đ?‘Ľ2 ¡ â„Ž2 + đ?‘Ľ3 ¡ â„Ž3 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› ¡ â„Žđ?‘› đ?‘ đ?‘˘đ?‘š đ?‘Žđ?‘“ â„Žđ?‘Śđ?‘?đ?‘?đ?‘–đ?‘”â„Žđ?‘’đ?‘‘đ?‘’đ?‘&#x;

Observation og frekvens: đ?œ‡=

đ?‘Ľ1 ¡ đ?‘“1 + đ?‘Ľ2 ¡ đ?‘“2 + đ?‘Ľ3 ¡ đ?‘“3 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› ¡ đ?‘“đ?‘› 100

Kvartiler Man skal tĂŚlle sig frem. Se metode s. 9 - 10

Grupperede observationer: MiddelvĂŚrdi = middeltal = gennemsnit Midtpunkt og hyppighed: đ?‘š1 ¡ â„Ž1 + đ?‘š2 ¡ â„Ž2 + đ?‘š3 ¡ â„Ž3 + â‹Ż + đ?‘šđ?‘› ¡ â„Žđ?‘› đ?œ‡= đ?‘ đ?‘˘đ?‘š đ?‘Žđ?‘“ â„Žđ?‘Śđ?‘?đ?‘?đ?‘–đ?‘”â„Žđ?‘’đ?‘‘đ?‘’đ?‘&#x; Midtpunkt og frekvens: đ?œ‡=

đ?‘š1 ¡ đ?‘“1 + đ?‘š2 ¡ đ?‘“2 + đ?‘š ¡ đ?‘“3 + â‹Ż + đ?‘šđ?‘› ¡ đ?‘“đ?‘› 100

Sumkurve Se metode til hvordan det tegnes s. 18 - 19. Kvartiler og fraktiler AflĂŚses pĂĽ sumkurven, se metode s. 19 - 20.

Population og stikprøver Population: en population er en større mÌngde af ensartede individer, objekter eller enheder fx den danske befolkning. Stikprøve: En stikprøve er en delmÌngde af populationen fx befolkningen i din hjemby.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

KAPITEL 2

Procent- og rentesregning

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

Indhold KAPITEL 2 Procent- og rentesregningKAPITEL 2 ................................................................................................................ 1

Procent- og rentesregning ................................................................................................................................. 1 2.1 Fremskrivningsfaktor ............................................................................................................................... 2 2.2 At lægge procenter til eller trække procenter fra ................................................................................... 6 2.3 Procentdel af et andet tal ........................................................................................................................ 2 2.4 Procentvis ændring - stigning eller fald ................................................................................................... 3 2.5 Mere om fremskrivningsfaktoren............................................................................................................ 5 2.6 Renteformlen........................................................................................................................................... 7 2.7 Potenser og rødder .................................................................................................................................. 9 2.8 Logaritme og logaritmeregneregel .......................................................................................................... 9 2.9 Renteformlen - De forskellige størrelser (bevis) ................................................................................... 10 2.10 Procentvis ændring i forskellige tidsrum (Kort periode ↔ lang periode) ........................................... 13 2.11 Gennemsnitlig rente - Variabel rente .................................................................................................. 16 2.12 Annuitetsopsparing ............................................................................................................................. 18 2.13 Annuitetslån - Gryn formlen .................................................................................................................. 0 2.14 Indekstal ................................................................................................................................................ 3 2.15 Formelsamling ....................................................................................................................................... 5

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

2.1 Hvad skal vi bruge procentregning til? Emnet procenter er blevet behandlet mange gange i løbet af din folkeskoletid, sü man skulle mere at der efterhünden ikke var mere at lÌre om procenter. Men det er ikke sandt! Procentregning og regning med procenter er en essentiel del af vores hverdag. Det er ikke sikkert at vi lige lÌgger mÌrke til det hele tiden og sü igen, for meget foregür i det skjulte. Nür du handler, tÌnker du müske over om prisen pü en vare er faldet eller steget, og specielt ved udsalg bliver du bombarderet med gule skilte. Hvis du har en opsparing i banken, er du ogsü interesseret i at renten er sü høj som mulig. Eller hvis du pü et tidspunkt skal optage et lün, ønsker du at det skal vÌre sü billigt som muligt, altsü en lav rente. Følger dine lønstigninger den generelle udvikling i samfundet eller ej, altsü er den rigtigt indekseret. Alle disse spørgsmül og problemstillinger vil vi beskÌftige os med og forsøge at finde svar pü. Vi starter med basal procentregning for at fü en forstüelse af procenter inden vi arbejder med opsparing, lün og indekstal.

2.2 Procentdel af et andet tal Vi er tit interesseret i at vide, hvor mange procent ĂŠt tal udgør at et andet tal. Lad os som eksempel undersøge, hvor mange procent 37 kr. udgør af 50 kr. Metode: 37 đ?‘? = ( ) ¡ 100 = 74 % 50 37 er et mindre tal end 50, og derfor er procenttallet mindre end 100.

Man kan ogsü regne ud, hvor mange procent 50 kr. udgør af 37 kr.

50 đ?‘? = ( ) ¡ 100 = 135,1 % 37

50 er et større tal end 37, og derfor er procenttallet større end 100.

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

2.3 Procentvis Ìndring - stigning eller fald Nür vi skal udregne en procentvis stigning eller et procentvist fald imellem to talvÌrdier, gør vi det pü følgende müde: Metode:

đ?‘?=(

đ?‘›đ?‘Ś đ?‘ŁĂŚđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘–−đ?‘”đ?‘Žđ?‘šđ?‘šđ?‘’đ?‘™ đ?‘ŁĂŚđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘– đ?‘”đ?‘Žđ?‘šđ?‘šđ?‘’đ?‘™ đ?‘ŁĂŚđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘–

) ¡ 100 = procentvis Ìndring

Den procentvise ĂŚndring kan vĂŚre enten positiv eller negativ. Hvis den er positiv, er der tale om en stigning Hvis den er negativ, er der tale om et fald.

Eksempler: 1) Der sker en stigning fra 240 til 400. Hvad er den procentvise ĂŚndring? đ?‘?=(

400 − 240 ) ¡ 100 = 66,67 % 240

Tallet 240 er blevet 66,67 % større. Stigningen er altsü pü 66,67 %.

2) Der sker et fald fra 500 til 150, hvad er den procentvise ĂŚndring? đ?‘?=(

150 − 500 ) ¡ 100 = −70 % 500

Tallet 500 er blevet 70 % mindre. Faldet er altsĂĽ pĂĽ 70 %.

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

2.4 Fremskrivningsfaktor PĂĽ en videregĂĽende uddannelse bruger vi en anden mĂĽde, end den du kender fra folkeskolen, nĂĽr vi udregner procentvise ĂŚndringer. Lad os se pĂĽ et eksempel: En trøje koster normalt 500 kr., men der er udsalg med 25 %. Hvad er prisen sĂĽ nu? I folkeskolen ville man starte med at finde ud af hvor mange penge 25 % var, altsĂĽ 125 kr. og sĂĽ trĂŚkke dette beløb fra de 500 kr., sĂĽ prisen ender pĂĽ 375 kr. Denne metode er det intet i vejen med. Men vi vil fremadrettet lĂŚre en metode der er hurtigere og som gĂĽr igen i alt hvad vi skal arbejde med. Nemlig at bruge det der hedder fremskrivningsfaktoren. Vi siger, at vi fremskriver noget, fordi vi kigger pĂĽ, hvordan situationen kommer til at se ud i fremtiden. Fremskrivningsfaktoren kan beregnes pĂĽ to forskellige mĂĽder, afhĂŚngig af hvilken information vi fĂĽr givet. De information vi kan fĂĽ er: procenten (đ?‘?), begyndelsesvĂŚrdien (đ??ľ) eller slutvĂŚrdien (đ?‘†). SĂŚtning 1: Fremskrivningsfaktoren đ??š = fremskrivningsfaktor đ?‘? = procenten đ??ľ = begyndelsesvĂŚrdi đ?‘† = slutvĂŚrdi đ??š =1Âą

đ??š=

đ?‘? 100

đ?‘ đ?‘™đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘ŁĂŚđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘– đ?‘† = đ?‘?đ?‘’đ?‘”đ?‘Śđ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘™đ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘ŁĂŚđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘– đ??ľ

Det er sjĂŚldent fremskrivningsfaktoren i sig selv vi er interesserede i, men i stedet đ??ľ, đ?‘† eller đ?‘?.

Hvis vi bruger +: Der vil vĂŚre en positiv fremskrivning, det vil sige, det tal vi arbejder med, vil blive større. Hvis vi bruger −: Der vil vĂŚre en negativ fremskrivning, det vil sige, det tal vi arbejder med, vil blive mindre. Betydningen af đ?&#x;?-tallet: I folkeskole-metoden skal vi først finde ud af hvor meget procentdelen udgør og sĂĽ lĂŚgge dette til det oprindelige beløb. Men det slipper vi for her. For 1-tallet har den betydning at det oprindelige beløb automatisk bliver lagt oveni.

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

2.5 Mere om fremskrivningsfaktoren Det er sjĂŚldent fremskrivningsfaktoren i sig selv vi er interesserede i, men i stedet begyndelsesvĂŚrdien, slutvĂŚrdien eller selve procenten. Vi vil derfor kombinere de to mĂĽder at regne fremskrivningsfaktoren, og derved udvikle nogle formler til at beregne vĂŚrdierne đ??ľ, đ?‘† og đ?‘?.

De to mĂĽder at beregne fremskrivningsfaktoren fra før vil give det samme resultat, vi kan derfor starte med at sĂŚtte de to metoder lig hinanden: đ??š=đ??š đ?‘† đ?‘? =1Âą đ??ľ 100 Vi isolerer nu đ?‘† i denne formel ved at gange đ??ľ over pĂĽ den anden side: đ?‘† = đ??ľ ¡ (1 Âą

đ?‘? )=đ??ľÂˇđ??š 100

Vi isolerer nu đ??ľ i denne formel ved at dividere med parentesen pĂĽ den anden side: đ??ľ=

� (1 ¹

đ?‘? ) 100

=

đ?‘† đ??š

Vi isolerer nu đ?‘? i den oprindelige formel og fĂĽr: đ?‘† đ?‘? =1+ đ??ľ 100 đ?‘† đ?‘? −1= đ??ľ 100 đ?‘† ( − 1) ¡ 100 = đ?‘? đ??ľ đ?‘† đ?‘? = ( − 1) ¡ 100 đ??ľ

Vi kan nu bruge disse formler nür vi kender to af størrelserne og skal finde den sidste.

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

2.6 At lÌgge procenter til eller trÌkke procenter fra Hvis vi gerne vil lÌgge procenter til eller trÌkke procenter fra et tal, kan det gøres pü forskellige müder, som det ses nedenfor.

At lÌgge procenter til: Vi arbejder i det følgende med et eksempel, hvor vi har et startbeløb pü 150 kr. der vokser med 14 % Metode 1: (Folkeskole-metoden) Vi finder først ud af, hvad 14 % af 150 kr. er: 150 100

¡ 14 = 21 kr.

Vi lĂŚgger nu dette beløb til de oprindelige 150 kr. đ?‘ đ?‘Śđ?‘Ą đ?‘?đ?‘’đ?‘™øđ?‘? = 150 + 21 = 171 kr. Det nye beløb er altsĂĽ 171 kr., som er 21 kr. mere end startbeløbet. Metode 2: (Fremskrivningsfaktor-metoden) Vi kunne ogsĂĽ finde frem til det nye beløb ved at bruge fremskrivningsfaktoren đ?‘ đ?‘Śđ?‘Ą đ?‘?đ?‘’đ?‘™øđ?‘? = 150 ¡ (1 +

14 100

) = 150 ¡ 1,14 = 171 kr.

Vi ser, at vi kommer frem til det samme nye beløb som før, men pü en hurtigere og mere elegant müde.

At trÌkke procenter fra: Vi arbejder i det følgende med det samme eksempel, vi har et startbeløb pü 160 kr. der falder/aftager med 10 % Metode 1: (Folkeskole-metoden) Vi finder først ud af hvad 10 % er af 160 kr. 160 100

¡ 10 = 16 kr.

Vi trĂŚkker nu dette beløb fra det oprindelige beløb: đ?‘ đ?‘Śđ?‘Ą đ?‘?đ?‘’đ?‘™øđ?‘? = 160 − 16 = 144 kr. Det nye beløb er altsĂĽ 144 kr., som er 16 kr. mindre end startbeløbet. Metode 2: (Fremskrivningsfaktor -metoden) Vi bruger fremskrivningsfaktoren đ?‘ đ?‘Śđ?‘Ą đ?‘?đ?‘’đ?‘™øđ?‘? = 160 ¡ (1 −

10 100

) = 160 ¡ 0,90 = 144 kr.

Vi ser, at vi kommer frem til det samme nye beløb som før, men pü en hurtigere og mere elegant müde.

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

2.7 Renteformlen Renteformlen er en formel til at beregne sammenhĂŚngen mellem en startkapital, en fast rente og en fast tidsperiode. Vi kan se renteformlen som et eksempel pĂĽ en meget simpel opsparingskonto, hvor vi indsĂŚtter ĂŠt beløb ĂŠn gang og lader dette beløb trĂŚkke renter med den samme procentsats hele tiden. Vi skal i det følgende huske det, der hedder â€?renters renteâ€?: Hver gang der tilskrives renter, vokser det beløb, der stĂĽr i banken. NĂŚste gang tilskrives renten derfor af et højere beløb. Vi vil gennem et eksempel selv prøve at udvikle formlen i stedet for blot at prĂŚsentere den. For at gøre det tager vi udgangspunkt i formlen for slutvĂŚrdi fra før. đ?‘† = đ??ľ ¡ (1 Âą

đ?‘? ) 100

Eksempel: Vi har en begyndelsesvĂŚrdi pĂĽ 1000 kr. og en procentsats pĂĽ đ?‘? = 1 % p.a. (pro anno - pr. ĂĽr). Vi ser nu pĂĽ hvordan slutvĂŚrdien udvikler sig ĂĽr efter ĂĽr Ă…r 0:

�0 = 1000 kr.

Ă…r 1:

đ?‘†1 = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž ¡ (1 +

100

Ă…r 2:

đ?‘†2 = 1010 ¡ (1 +

100

Ă…r 3:

đ?‘†3 = 1020,1 ¡ (1 +

1

) = 1010 kr.

1

) = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž ¡ (đ?&#x;? +

1 100

đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž

) ¡ (1 +

đ?&#x;?

) = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž ¡ (đ?&#x;? +

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž

1 100

) ¡ (đ?&#x;? +

) = 1020,1 kr.

đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž

) ¡ (1 +

1

) = 1030,301 kr.

100

Vi kan se, at for hvert ĂĽr der gĂĽr, stiger beløbet, men pĂĽ grund af renters rente er det ikke den samme stigning hvert ĂĽr. Vi ser ogsĂĽ, at der ved hver udregning kan bruges dele af den forrige udregning, dermed tegner der sig et generelt mønster i udregningen, hvor vi hver gang ganger fremskrivningsfaktoren pĂĽ igen. đ?‘†3 kunne fx vĂŚre beregnet som đ?‘†3 = 1000 ¡ (1 +

1

3

) = 1030,301 kr.

100

SĂŚtning 2: Renteformlen đ??ž0 = Startbeløbet đ?‘› = Antallet af terminer (gange der bliver tilskrevet renter) đ?‘&#x;=

đ?‘? 100

= Rentesatsen pr. termin (som decimaltal)

đ??žđ?‘› = Slutbeløbet efter đ?‘› terminer đ??žđ?‘› = đ??ž0 ¡ (1 + đ?‘&#x;)đ?‘›

đ??žđ?‘› đ??ž0 = (1 + đ?‘&#x; ) đ?‘›

đ?‘›

đ?‘&#x;= √

đ??žđ?‘› −1 đ??ž0

đ??žđ?‘› ) đ??ž0 đ?‘›= đ?‘™đ?‘œđ?‘”(1 + đ?‘&#x;)

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

đ?‘™đ?‘œđ?‘” (

Eksempler pĂĽ brug af renteformlen 1) Vi kender startbeløbet đ??ž0 = 1000 kr., procenten er đ?‘? = 1 %, sĂĽ rentesatsen er đ?‘&#x; =

1 100

= 0,01 og

antallet af terminer er đ?‘› = 3. Vi ser, at det eneste vi ikke kender er slutbeløbet đ??ž3 , sĂĽ vi indsĂŚtter nu i formlen og udregner slutbeløbet efter de 3 terminer: đ??ž3 = 1000 ¡ (1 +

1

3

) = 1030,301 kr.

100

2) Vi kender slutbeløbet đ??ž7 = 15 000 kr., procenten er đ?‘? = 0,5 %, sĂĽ rentesatsen er đ?‘&#x; =

0,5 100

= 0,005

og antallet af terminer er đ?‘› = 7. Vi ser, at det eneste vi ikke kender er startbeløbet đ??ž0 , sĂĽ vi indsĂŚtter nu i formlen og udregner startbeløbet: 15000

đ??ž0 = (1+0,005)7 = 14485,34 kr.

3) Vi kender slutbeløbet K n = 10 000 kr., startbeløbet er đ??ž0 = 5000 kr. og procenten er đ?‘? = 1,5 %, sĂĽ rentesatsen er đ?‘&#x; =

1,5 100

= 0,015.

Vi ser, at det eneste vi ikke kender er antallet af terminer đ?‘›, sĂĽ vi indsĂŚtter i formlen og udregner antallet af terminer. đ?‘›=

10000 ) 5000

log(

log(1+0,015)

= 46,56 ĂĽr

4) Vi kender slutbeløbet đ??ž8 = 13 000 kr., startbeløbet đ??ž0 = 3000 kr. og antallet af terminer đ?‘› = 8. Vi ser, at det eneste vi ikke kender er rentesatsen đ?‘&#x;, sĂĽ vi indsĂŚtter i formlen og udregner rentesatsen. 8

đ?‘&#x;=√

13000 − 1 = 0,2011653 3000

SĂĽ procentsatsen er đ?‘? = đ?‘&#x; ¡ 100 = 0,2012 ¡ 100 = 20,12 %.

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

2.8 Potenser og rødder Vi vil gerne kunne vise, at vi ud fra den generelle renteformel kan komme frem til formlerne for đ??ž0 , đ?‘&#x;/đ?‘? og đ?‘›. Men for at kunne det er vi nødt til at have noget mere matematik pĂĽ banen. I matematik findes der nogle regneoperationer som er hinandens modsĂŚtninger. Plus og minus ophĂŚver hinanden, og det samme gĂŚlder fx potenser og rødder. Eksempler: NĂĽr 32 = 3 ¡ 3 = 9

sĂĽ er

2

Nür 42 = 4 ¡ 4 = 16

sĂĽ er

√16 = 4

Nür 33 = 3 ¡ 3 ¡ 3 = 27

sĂĽ er

3

Nür 25 = 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 = 32

sĂĽ er

5

√9 = √9 = 3

√27 = 3 √32 = 2

Generelt gĂŚlder der, at hvis đ?‘Ś = đ?‘Ľ đ?‘› (hvis đ?‘Ś er lig den đ?‘›â€™te potens af đ?‘Ľ) SĂĽ er đ?‘Ľ = đ?‘›âˆšđ?‘Ś (sĂĽ er đ?‘Ľ lig den đ?‘›â€™te rod af đ?‘Ś)

2.9 Logaritme og logaritmeregneregel Der findes flere andre regneoperationer, der ligesom potenser og rødder er hinandens modsĂŚtninger. Det gĂŚlder fx eksponentielle funktioner og logaritmer. Logaritmen er defineret som den omvendte funktion af 10đ?‘Ľ . Eksempler: NĂĽr 102 = 100

sĂĽ er

log(100) = 2

NĂĽr 104 = 10 000

sĂĽ er

log(10 000) = 4

Generelt gĂŚlder der, at hvis đ?‘Ś = 10đ?‘Ľ

(hvis � er lig den �’ne potens af 10)

đ?‘Ľ = log (đ?‘Ś)

(sĂĽ er x lig logaritmen af y)

SĂĽ er

Der gĂŚlder ogsĂĽ en regneregel for logaritmer som vi kommer til at skulle bruge rigtig meget, nemlig: log(đ?‘Ž đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ ¡ log (đ?‘Ž) PopulĂŚrt siger man, at logaritmen har den evne, at den kan â€?lokkeâ€? potensen ned foran.

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

2.10 Renteformlen - De forskellige størrelser (bevis) Vi har de fire forskellige størrelser i renteformlen đ??ž0 = Startbeløbet đ?‘› = Antallet af terminer (gange der bliver tilskrevet renter) đ?‘&#x;=

đ?‘? 100

= Rentesatsen pr. termin (som decimaltal)

đ??žđ?‘› = Slutbeløbet efter đ?‘› terminer

Bevis for sĂŚtning 2: Renteformlen Et bevis er en udledning af en formel eller et udtryk og har til formĂĽl at retfĂŚrdiggøre at formlen faktisk ser ud som pĂĽstĂĽet. Et bevis bestĂĽr af en rĂŚkke argumenter, der overbeviser lĂŚseren om, at udregningerne faktisk gĂŚlder i hvert eneste skridt fra starten til den endelige formel. Vi skal herunder bevise de fire formler vi arbejder med i renteformlen, nemlig đ??žđ?‘› , đ??ž0 , đ?‘&#x; og đ?‘›. Vi tager dem ĂŠn ad gangen.

Finde đ?‘˛đ?’? : For at finde formlen for đ??žđ?‘› bruger vi tankegangen fra vores indledende eksempel, hvor vi tog udgangspunkt i formlen đ?‘† = đ??ľ ¡ (1 Âą

đ?‘?

). SĂĽ vi indsĂŚtter nu:

100

đ??ž1 = đ??ž0 ¡ (1 + đ?‘&#x;) đ??ž2 = đ??ž0 ¡ (1 + đ?‘&#x;) ¡ (1 + đ?‘&#x;) đ??ž3 = đ??ž0 ¡ (1 + đ?‘&#x;) ¡ (1 + đ?‘&#x;) ¡ (1 + đ?‘&#x;) Og sĂĽ videre. Vi kan gange fremskrivningsfaktoren pĂĽ đ?‘› gange og fĂĽr: đ??žđ?‘› = đ??ž0 ¡ (â?&#x;1 + đ?‘&#x;) ¡ (1 + đ?‘&#x;) ¡ ‌ ¡ (1 + đ?‘&#x;) đ?‘› đ?‘”đ?‘Žđ?‘›đ?‘”đ?‘’

Hvilket samlet set giver os formlen đ??žđ?‘› = đ??ž0 ¡ (1 + đ?‘&#x;)đ?‘›

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Finde đ?‘˛đ?&#x;Ž : Vi tager udgangspunkt i renteformlen, som vi lige har argumenteret for er korrekt ovenfor đ??žđ?‘› = đ??ž0 ¡ (1 + đ?‘&#x;)đ?‘› Vi vil gerne have đ??ž0 til at stĂĽ alene, og dividerer derfor đ??žđ?‘› med hele parentesen (1 + đ?‘&#x;)đ?‘› som er ganget pĂĽ đ??ž0 . Vi fĂĽr sĂĽ: đ??žđ?‘› = đ??ž0 (1 + đ?‘&#x; )đ?‘› Hvilket er det samme som:

đ??ž0 =

đ??žđ?‘› (1 + đ?‘&#x; )đ?‘›

Finde đ?’“ eller đ?’‘: Vi tager igen udgangspunkt i renteformlen đ??žđ?‘› = đ??ž0 ¡ (1 + đ?‘&#x;)đ?‘› Vi dividerer først đ??ž0 over pĂĽ den anden side đ??žđ?‘› = (1 + đ?‘&#x; ) đ?‘› đ??ž0 Vi tager nu den đ?‘›â€™te rod pĂĽ venstresiden đ?‘›

đ??žđ?‘› =1+đ?‘&#x; đ??ž0

đ?‘›

đ??žđ?‘› −1=đ?‘&#x; đ??ž0

√

Vi trĂŚkker nu 1 fra pĂĽ venstresiden √

Eller vendt om

For at finde procentsatsen direkte đ?‘›

đ?‘&#x;= √

đ??žđ?‘› −1 đ??ž0

ganger vi nu med 100

đ?‘›

đ?‘? = đ?‘&#x; ¡ 100 = ( √

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

đ??žđ?‘› − 1) ¡ 100 đ??ž0

Finde đ?’?: Vi tager igen udgangspunkt i renteformlen đ??žđ?‘› = đ??ž0 ¡ (1 + đ?‘&#x;)đ?‘› Vi dividerer først đ??ž0 over pĂĽ den anden side đ??žđ?‘› = (1 + đ?‘&#x; )đ?‘› đ??ž0 Vi tager nu logaritmen pĂĽ begge sider log (

đ??žđ?‘› ) = log((1 + đ?‘&#x;)đ?‘› ) đ??ž0

Vi bruger nu logaritmeregnereglen đ??žđ?‘› log ( ) = đ?‘› ¡ log (1 + đ?‘&#x;) đ??ž0 Vi dividerer nu venstresiden med log (1 + đ?‘&#x;) đ??žđ?‘› ) đ??ž0 =đ?‘› log (1 + đ?‘&#x;) log (

Eller omvendt đ??žđ?‘› ) đ??ž0 đ?‘›= log (1 + đ?‘&#x;) log (

Vi har hermed füet argumenteret for, at alle fire formlen ser ud som de gør.

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

2.11 Procentvis ændring i forskellige tidsrum (Kort periode ↔ lang periode) I forrige afsnit arbejdede vi med renteformlen, som kan opfattes som en simpel opsparingskonto, fordi man kun indsætter ét beløb, og ser hvordan beløbet udvikler sig med den samme rente over tid. Men verden er sjældent helt så simpel. Går vi eksempelvis ned i en bank, så kan de både snakke om månedsvise renter, kvartalsvise renter eller årlige renter. Men hvordan kan vi egentlig sammenligne forskellige renter, der har forskellige tidshorisonter? Og dermed vurdere, hvad der er mest favorabelt for os at vælge. Vi vil i dette afsnit undersøge, hvordan man kan sammenligne to forskellige renter der har forskellige tidshorisonter. Vi skal i det følgende huske det, der hedder ”renters rente”: Hver gang der tilskrives renter, vokser det beløb, der står i banken. Næste gang tilskrives renten derfor af et højere beløb.

Problematik: Hvis man ændrer fx sit lån fra at der tilskrives renter én gang om måneden til én gang om året, hvad er den tilsvarende årlige rente så? Eller omvendt hvis vi ændrer fra at tilskrive renter én gang om året til én gang om måneden, hvad er den tilsvarende månedlige rente da? Vi vil i det følgende tage udgangspunkt i et eksempel, hvor vi regner frem og tilbage mellem år og måned.

Eksempel: Vi tager en tur i banken for at optage et lån, bankrådgiveren giver os to muligheder at vælge imellem Lån 1: En månedlig rente på 1,1 % Lån 2: En årlig rente på 13 % Vi vil nu undersøge hvilket af disse to lån der er det billigste at vælge.

Sådan skal det ALDRIG udregnes: Det ville være dejligt hvis man kunne omregne ”Lån 1” til en årlig rente ved at gange den månedlige rente med 12, eller omregne ”Lån 2” til en månedlig rente ved at dividere med 12, altså bare at kunne sige: 12 · 1,1 % = 13,2 %

eller

13 % 12

= 1,08 %

Men det må man ikke, fordi der i denne udregning ikke bliver taget højde for renters rente.

GØR DET ALDRIG!!!

Så for at kunne svare korrekt på spørgsmålet om hvilket lån, der er billigst, det vil sige, hvor det årlige rentebeløb er mindst, vil vi for Lån 1 beregne den tilsvarende årlige rente – og for Lån 2 se på hvad den tilsvarende månedlige rente er.

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

Fra mĂĽnedlig til ĂĽrlig rente I LĂĽn 1 er der en mĂĽnedlig rente pĂĽ 1,1 %. Hvilken ĂĽrlig rente svarer det til?

Eksempel:

Generel metode:

Vi finder først den münedlige fremskrivningsfaktor

Find den mĂĽnedlige fremskrivningsfaktor

đ??šđ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ = 1 +

đ?‘?đ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ 1,1 =1+ = 1,011 100 100

Herudfra udregner vi den ĂĽrlige fremskrivningsfaktor (husk 12 mĂĽneder pĂĽ et ĂĽr) đ??šĂĽđ?‘&#x; = (đ??šđ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ )12 = (1,011)12 = 1,140286

đ??šđ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ = 1 +

Find herudfra den tilsvarende ĂĽrlige fremskrivningsfaktor đ??šĂĽđ?‘&#x; = (đ??šđ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ )12 Vi finder nu den ĂĽrlige procentsats

Vi skal nu finde den tilsvarende ĂĽrlige procentsats đ?‘?ĂĽđ?‘&#x; 100 đ?‘?ĂĽđ?‘&#x; 1,140286 = 1 + 100 đ?‘?ĂĽđ?‘&#x; 1,140286 − 1 = 100

đ?‘?đ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ 100

đ?‘?ĂĽđ?‘&#x; 100 đ?‘?ĂĽđ?‘&#x; đ??šĂĽđ?‘&#x; − 1 = 100 đ??šĂĽđ?‘&#x; = 1 +

đ??šĂĽđ?‘&#x; = 1 +

(đ??šĂĽđ?‘&#x; − 1) ¡ 100 = đ?‘?ĂĽđ?‘&#x; đ?‘?ĂĽđ?‘&#x; = (đ??šĂĽđ?‘&#x; − 1) ¡ 100

0,140286 ¡ 100 = đ?‘?ĂĽđ?‘&#x; đ?‘?ĂĽđ?‘&#x; = 14,03 % Vi ser altsĂĽ, at den mĂĽnedlige procentsats pĂĽ 1,1 % svarer til at betale en ĂĽrlig procentsats pĂĽ 14,03 %.

Samlet formel:

đ?‘?ĂĽđ?‘&#x; = ((1 +

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

đ?‘?đ?‘šĂĽđ?‘’đ?‘‘ 12 ) − 1) ¡ 100 100

Fra ĂĽrlig til mĂĽnedlig rente I LĂĽn 2 er den ĂĽrlige rente 13 %. Hvad er den tilsvarende mĂĽnedlige rente?

Eksempel:

Generel metode:

Vi finder først den ürlige fremskrivningsfaktor

Find den ĂĽrlige fremskrivningsfaktor

đ??šĂĽđ?‘&#x; = 1 +

đ?‘?ĂĽđ?‘&#x; 13 =1+ = 1,13 100 100

Herudfra udregner vi den mĂĽnedlige fremskrivningsfaktor (husk 12 mĂĽneder pĂĽ et ĂĽr)

đ??šĂĽđ?‘&#x; = 1 +

Find den tilsvarende mĂĽnedlige fremskrivningsfaktor đ??šđ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ = 12√đ??šĂĽđ?‘&#x;

12

đ??šđ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ = 12√đ??šĂĽđ?‘&#x; = √1,13 = 1,010237 Vi skal nu finde den tilsvarende mĂĽnedlige procentsats đ?‘?đ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ 100 đ?‘?đ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ 1,010237 = 1 + 100 đ?‘?đ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ 1,010237 − 1 = 100 đ??šđ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ = 1 +

đ?‘?ĂĽđ?‘&#x; 100

Vi finder nu den mĂĽnedlige procentsats đ?‘?đ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ 100 đ?‘?đ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ đ??šđ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ − 1 = 100 đ??šđ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ = 1 +

(đ??šđ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ − 1) ¡ 100 = đ?‘?đ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ đ?‘?đ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ = (đ??šđ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ − 1) ¡ 100

0,010237 ¡ 100 = đ?‘?đ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ đ?‘?đ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ = 1,02 % Vi ser altsĂĽ, at den ĂĽrlige procentsats pĂĽ 13 % har en tilsvarende mĂĽnedlig procentsats pĂĽ 1,02 %.

Samlet formel: 12

đ?‘?đ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ = ( √1 +

đ?‘?ĂĽđ?‘&#x; − 1) ¡ 100 100

Konklusion: Vi mĂĽ konkludere, at lĂĽn 2 er billigst, da den har en mĂĽnedlig rente pĂĽ 1,02 % og en ĂĽrlig rente pĂĽ 13 %, hvorimod lĂĽn 1 har en mĂĽnedlig rente pĂĽ 1,1 % og en ĂĽrlig rente pĂĽ 14,03 %.

Forskellige tidsrum man kunne undersøge: Müned: Der er 12 müneder pü et ür. Kvartal: Et ür kan inddeles i 4 kvartaler. Og Êt kvartal bestür dermed af 3 müneder.

PĂĽ nĂŚste side laver vi pĂĽ tilsvarende mĂĽde formler til at regne mellem mĂĽnedlig rente og kvartalsvis rente, og kvartalsvis rente og ĂĽrlig rente.

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

Fra mĂĽnedlig til kvartalsvis rente

Fra kvartalsvis til mĂĽnedlig rente

Generel metode:

Generel metode:

Find den mĂĽnedlige fremskrivningsfaktor

Find den kvartalsvise fremskrivningsfaktor

đ??šđ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ = 1 +

đ?‘?đ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ 100

Find den tilsvarende kvartalsvise fremskrivningsfaktor đ??šđ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = (đ??šđ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ )3

đ??šđ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = 1 +

đ?‘?đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ 100

Find den tilsvarende mĂĽnedlige fremskrivningsfaktor đ??šđ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ = 3√đ??šđ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™

Vi finder nu den kvartalsvise procentsats

Vi finder nu den mĂĽnedlige procentsats

đ?‘?đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = (đ??šđ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ − 1) ¡ 100

đ?‘?đ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ = (đ??šđ?‘šĂĽđ?‘›đ?‘’đ?‘‘ − 1) ¡ 100

Fra kvartalsvis til ĂĽrlig rente

Fra ĂĽrlig til kvartalsvis rente

Generel metode:

Generel metode:

Find den kvartalsvise fremskrivningsfaktor

Find den ĂĽrlige fremskrivningsfaktor

đ??šđ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = 1 +

đ?‘?đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ 100

Find den tilsvarende ĂĽrlige fremskrivningsfaktor đ??šĂĽđ?‘&#x; = (đ??šđ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ )4 Vi finder nu den ĂĽrlige procentsats

đ??šĂĽđ?‘&#x; = 1 +

đ?‘?ĂĽđ?‘&#x; 100

Find den tilsvarende kvartalsvise fremskrivningsfaktor đ??šđ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = 4√đ??šĂĽđ?‘&#x; Vi finder nu den kvartalsvise procentsats

đ?‘?ĂĽđ?‘&#x; = (đ??šĂĽđ?‘&#x; − 1) ¡ 100 đ?‘?đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = (đ??šđ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ − 1) ¡ 100

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

2.11 Gennemsnitlig rente - Variabel rente I det foregĂĽende har vi set pĂĽ eksempler, hvor rentesatsen er den samme gennem hele lĂĽneperioden – men ved nogle lĂĽntyper er renten variabel, altsĂĽ at den kan ĂŚndre sig løbende over tid. Vi vil nu se pĂĽ to metoder, der kan bruges til at beregne, hvad den gennemsnitlige rente har vĂŚret over en tidsperiode. Metode 1 kan bruges, nĂĽr vi pĂĽ forhĂĽnd kender rentesatsen for alle terminerne. Metode 2 bruges, nĂĽr vi kun kender start- og slutbeløbet.

Metode 1: Vi kender procentsatserne pĂĽ forhĂĽnd

Eksempel:

Generel metode: 1,5

Ă…r 1:

đ?‘?1 = 1,5 %

đ??š1 = 1 +

100

Ă…r 2:

đ?‘?2 = −2 %

đ??š2 = 1 −

100

Ă…r 3:

đ?‘?3 = 4 %

đ??š3 = 1 +

2 4 100

= 1,015 = 0,98

Vi kender procentsatserne đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?3 , ‌ ‌ Beregn de tilhørende fremskrivningsfaktorer

= 1,04

Vi udregner nu den samlede fremskrivningsfaktor đ??šđ?‘ đ?‘Žđ?‘šđ?‘™đ?‘’đ?‘Ą = 1,015 ¡ 0,98 ¡ 1,04 = 1,034488 Vi udregner nu den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor 3

đ??šđ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą = √1,034488 = 1,011366 Vi udregner nu den gennemsnitlige procentsats đ?‘?đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą 1,0113661 + 100 đ?‘?đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą 1,011366 − 1 = 100 (1,011366 − 1) ¡ 100 = đ?‘?đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą đ?‘?đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą = (1,011366 − 1) ¡ 100 = 1,1366 %

đ??š1 , đ??š2 , đ??š3 , ‌ ‌ Udregn den samlede fremskrivningsfaktor đ??šđ?‘ đ?‘Žđ?‘šđ?‘™đ?‘’đ?‘Ą = đ??š1 ¡ đ??š2 ¡ đ??š2 ¡ ‌ ¡ đ??šđ?‘› Udregn den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor đ??šđ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą = đ?‘›âˆšđ??šđ?‘ đ?‘Žđ?‘šđ?‘™đ?‘’đ?‘Ą Udregn den gennemsnitlige procentsats đ?‘?đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą 100 đ?‘?đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą đ??šđ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą − 1 = 100 đ??šđ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą = 1 +

(đ??šđ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą − 1) ¡ 100 = đ?‘?đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą đ?‘?đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą = (đ??šđ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą − 1) ¡ 100

Samlet formel: đ?‘›

đ?‘?đ?‘”đ?‘›đ?‘ = ( √(1 Âą

đ?‘?1 đ?‘?2 đ?‘?3 đ?‘?đ?‘› ) ¡ (1 Âą ) ¡ (1 Âą ) ¡ ‌ ¡ (1 Âą ) − 1) ¡ 100 100 100 100 100

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Metode 2: Vi kender start- og slutbeløbet pü forhünd

Eksempel:

Generel metode:

Vi kender

Vi kender BegyndelsesvĂŚrdi = 240

đ??ľ, đ?‘† og đ?‘›

SlutvĂŚrdi = 500

Beregn fremskrivningsfaktoren

Antal terminer = 5

đ??šđ?‘› =

Vi udregner fremskrivningsfaktoren

Beregn den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor

đ?‘† 500 đ??š5 = = = 2,083333 đ??ľ 240

đ??šđ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą = đ?‘›âˆšđ??šđ?‘›

Vi udregner den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor 5

đ?‘† đ??ľ

Beregn den gennemsnitlige procentsats

5

đ??šđ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą = √đ??š5 = √2,083333 = 1,158115 Vi udregner den gennemsnitlige procentsats đ?‘?đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą 100 đ?‘?đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą 1,158115 − 1 = 100

đ?‘?đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą 100 đ?‘?đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą đ??šđ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą − 1 = 100 đ??šđ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą = 1 +

(đ??šđ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą − 1) ¡ 100 = đ?‘?đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą

1,158115 = 1 +

đ?‘?đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą = (đ??šđ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą − 1) ¡ 100

(1,158115 − 1) ¡ 100 = đ?‘?đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą đ?‘ƒđ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘›đ?‘’đ?‘šđ?‘ đ?‘›đ?‘–đ?‘Ą = (1,158115 − 1) ¡ 100 = 15,81 %

Samlet formel: đ?‘›

đ?‘?đ?‘”đ?‘›đ?‘ = ( √

đ?‘†đ?‘™đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘ŁĂŚđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘– − 1) ¡ 100 đ??ľđ?‘’đ?‘”đ?‘Śđ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘™đ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘ŁĂŚđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘–

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

2.12 Annuitetsopsparing I afsnit 2.7 om renteformlen har vi arbejdet med en simpel opsparingskonto, hvor rentesatsen, tidsperioden og antallet af terminer ligger fast. NĂĽr vi snakker om annuitetsopsparing arbejder vi med en mindre simpel opsparingskonto. Tog vi ogsĂĽ et kig pĂĽ vores egen opsparingskonto i banken er den alt andet end simpel. Vi tager et hurtigt kig pĂĽ forskelle og ligheder mellem renteformen, annuitetsopsparing og vores egne opsparinger. Renteformlen: -

Antallet af terminer er fastlagt pü forhünd og tidsperioden kan ikke variere. Der indsÌttes Êt beløb. Der er Ên fast rente.

Annuitetsopsparing: -

Antallet af terminer og tidsperiodens lÌngde er fastlagt pü forhünd og kan ikke variere. Der indsÌttes det samme beløb til hver termin (altsü flere gange). Der er Ên fast rente.

Jeres egen bank opsparing: -

Antallet af terminer kan variere og tidsperioden kan variere. Der kan indsÌttes variable beløb. Renten kan variere.

Eksempel: Annuitetsopsparing Der indsĂŚttes 2000 kr. pĂĽ en annuitetskonto med en ĂĽrlig rente pĂĽ 1 %. Vi laver nu et skema for bedre at kunne overskue, hvad der sker pĂĽ kontoen ĂĽr for ĂĽr. Dato 02.01.19

2000

02.01.20

TrĂŚkker renter

2000

02.01.21

TrĂŚkker renter

TrĂŚkker renter

2000

02.01.22

TrÌkker renter 2000 ¡ 1,013 = 2060,60

TrÌkker renter 2000 ¡ 1,012 = 2040,2

TrÌkker renter 2000 ¡ 1,01 = 2020

VĂŚrdi

Saldo pĂĽ kontoen d. 03.01.22:

�4 = 2000 + 2020 + 2040,2 + 2060,60 = 8120,80 kr.

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

2000 2000

SĂŚtning 3: Annuitetsopsparing đ?‘› = antallet af indbetalinger đ?‘&#x;=

đ?‘? 100

= renten som decimaltal

đ?‘? = den faste indbetaling đ??´đ?‘› = saldoen efter sidste indbetaling

đ??´đ?‘› = đ?‘? ¡

đ?‘?=

(1 + đ?‘&#x; )đ?‘› − 1 đ?‘&#x;

đ?‘›=

đ??´đ?‘› ¡ đ?‘&#x; (1 + đ?‘&#x; )đ?‘› − 1

đ??´đ?‘› ¡ đ?‘&#x; + 1) đ?‘? log(1 + đ?‘&#x;)

log (

đ?‘&#x; = der findes ingen formel til at beregne r, men man kan prøve sig frem i đ??´đ?‘› -formlen med forskellige vĂŚrdier for đ?‘&#x; og se hvornĂĽr man er tĂŚt pĂĽ. (se eks. 4 nedenfor)

Eksempler pĂĽ brug af formlerne for annuitetsopsparing: 1) Vi kender den fast indbetaling đ?‘? = 500 kr., renten som er đ?‘? = 2 %, sĂĽ đ?‘&#x; = 0,02 og antallet af indbetalinger đ?‘› = 6. Bestem, hvor mange penge der stod pĂĽ kontoen efter sidste indbetaling. Det vil sige, beregne saldoen efter den 6. indbetaling đ??´6 : (1+0,02)6 −1

đ??´6 = 500 ¡

0,02

= 3154,06 kr.

2) Vi kender saldoen efter 5. indbetaling đ??´5 = 1000 kr., renten som er đ?‘? = 1 %, sĂĽ đ?‘&#x; = 0,01 og antallet af indbetalinger đ?‘› = 5. Bestem størrelsen pĂĽ den faste indbetaling. Det vil sige, bestem vĂŚrdien af đ?‘?: 1000¡0,01

đ?‘? = (1+0,01)5

−1

= 196,04 kr.

3) Vi kender saldoen efter den sidste indbetaling đ??´đ?‘› = 40 000 kr., den faste indbetaling đ?‘? = 2000 og renten đ?‘? = 3 %, sĂĽ đ?‘&#x; = 0,03. Bestem, hvor lang tid der gĂĽr, før saldoen er det angivne. Det vil sige, bestem antallet af indbetalinger đ?‘›: đ?‘›=

40000¡0,03 +1) 2000

log(

log(1+0,03)

= 15,90 ĂĽr

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

4) Vi kender saldoen efter den 4. indbetaling đ??´4 = 10 000 kr., den faste indbetaling đ?‘? = 1000 kr. og antallet af indbetalinger đ?‘› = 4. Vi skal altsĂĽ have bestemt hvilken rente der har vĂŚret. Da vi ikke har en formel for đ?‘&#x; indsĂŚtter vi oplysningerne i đ??´đ?‘› -formlen og se hvad vi kan gøre: 10000 = 1000 ¡

(1 + đ?‘&#x; )4 − 1 đ?‘&#x;

10000 (1 + đ?‘&#x;)4 − 1 = 1000 đ?‘&#x; 10 =

(1 + đ?‘&#x; )4 − 1 đ?‘&#x;

Vi kan se, at hvis vi prøver med at indsĂŚtte nogle forskellige vĂŚrdier for đ?‘&#x; pĂĽ højresiden af formlen, sĂĽ skal det give 10. Vi prøver os nu frem med nogle forskellige vĂŚrdier for đ?‘&#x; đ?‘? = 1 %: đ?‘? = 10 %: đ?‘? = 50 %: đ?‘? = 60 %: đ?‘? = 66 %: đ?‘? = 66,08 %:

(1+0,01)4 −1 0,01 (1+0,1)4 −1 0,1 (1+0,5)4 −1 0,5 (1+0,6)4 −1 0,6

stadig for lille

= 8,125

stadig for lille

≈ 9,256

stadig for lille

≈ 9,989896

(1+0,6608)4 −1 0,6608

for lille i forhold til at den skulle give 10

≈ 4,641

(1+0,66)4 −1 0,66

≈ 4,060401

≈ 9,999969

tĂŚt pĂĽ tĂŚttere pĂĽ 10 kommer vi vist ikke ikke

Vi kan konkludere at procentsatsen mĂĽ vĂŚre pĂĽ ca. đ?‘? = 66,08 %.

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

2.13 AnnuitetslĂĽn - Gryn formlen Ud over at oprette en opsparingskonto, kan vi ogsĂĽ gĂĽ i banken og optage et lĂĽn eller sĂŚtte os i gĂŚld pĂĽ anden vis, fx via kviklĂĽn. Vi vil i dette afsnit se lidt pĂĽ, hvordan lĂĽn og gĂŚld fungerer. Vi skal se pĂĽ det der kaldes et annuitetslĂĽn. Lige som ved annuitetsopsparing er de lidt nemmere at regne pĂĽ end fx lĂĽn med variabel rente. GĂĽr man fx i banken og optager et huslĂĽn med fast rente, vil det faktisk vĂŚre et annuitetslĂĽn man optager. Formlen til beregninger i et annuitetslĂĽn kaldes ogsĂĽ for Gryn-formlen. Betegnelsen â€?Grynâ€? kommer af betegnelserne for de fire størrelser der indgĂĽr i formlen, nemlig hovedstolen (đ??ş), renten (đ?‘&#x;), ydelsen (đ?‘Ś) og antallet af terminer (đ?‘›). Vi tager et hurtigt kig pĂĽ forskelle og ligheder mellem et fastforrentet lĂĽn (annuitetslĂĽn) og et lĂĽn med variabel rente. AnnuitetslĂĽn: -

LĂĽn afvikles sĂĽledes, at banken hver termin tilskriver renter, og at lĂĽntageren derefter betales en fast ydelse. Ydelsen betaler af pĂĽ bĂĽde de tilskrevne renter og selve afdraget. Rentesatsen er den samme gennem hele lĂĽneperioden Antallet af terminer er fastlagt pĂĽ forhĂĽnd.

BanklĂĽn med variabel rente: -

Rentesatsen kan variere. Ydelsen kan variere (man kan vÌlge at betale mere end det aftalte beløb af). Man kan indbetale oftere end pükrÌvet.

Eksempel: Annuitetslün Vi lüner 15 000 kr. i banken. Der er en münedlig ydelse pü 4000 kr. og en rente pü 2 %. Vi opstiller nu et skema, for at kunne se, hvad der sker med lünet müned for müned. Start - det beløb vi lüner 1. müned Renter tilskrives Ydelsen betales

15 000 15000 ¡ 1,02 = 15300 15300 − 4000 = 11300

2. mĂĽned Renter tilskrives Ydelsen betales

11300 ¡ 1,02 = 11526 11526 − 4000 = 7526

Renter tilskrives Ydelsen betales

7526 ¡ 1,02 = 7676,52 7676,52 − 4000 = 3676,52

Renter tilskrives Ydelsen betales

3676,52 ¡ 1,02 = 3750,05 3750,05 − 3750,05 = 0

3. mĂĽned

4. mĂĽned

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Vi kan se, at den sidste mĂĽneds ydelse faktisk kun er pĂĽ 3750,05 kr. for at lĂĽnet er betalt helt ud i stedet for de 4000 kr.

Vi kan reprÌsentere skemaet grafisk ved hjÌlp af et søjlediagram. Her kan vi se, hvordan det beløb, vi skylder banken, bliver mindre og mindre for hver müned.

Annuitetslün - eksempel Beløbets størrelse

Vi ser ogsĂĽ, at det vil tage os 4 mĂĽneder at fĂĽ betalt hele lĂĽnet tilbage. I den periode har vi sammenlagt betalt 15750,05 kr. tilbage. Det har altsĂĽ kostet os 750,05 kr. at have lĂĽnet i de 4 mĂĽneder.

16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 Start

1. mĂĽned 2. mĂĽned 3. mĂĽned 4. mĂĽned

Antal terminer

Vi kan beregne de forskellige størrelser i et annuitetslün ved hjÌlp af den sükaldte Gryn-formel.

SĂŚtning 4: AnnuitetslĂĽn / Gryn formlen đ??ş = det oprindelige lĂĽnebeløb (hovedstolen) đ?‘&#x;=

đ?‘? 100

= renten som decimaltal

đ?‘Ś = den faste ydelse pr. termin đ?‘› = antallet af terminer (antal indbetalinger)

1 − (1 + đ?‘&#x;)−đ?‘› đ??ş =đ?‘ŚÂˇ đ?‘&#x;

đ?‘Ś=

đ??şÂˇđ?‘&#x; 1 − (1 + đ?‘&#x;)−đ?‘›

đ??şÂˇđ?‘&#x; ) đ?‘Ś đ?‘™đ?‘œđ?‘”(1 + đ?‘&#x;)

đ?‘™đ?‘œđ?‘” (1 − đ?‘›=−

đ?‘&#x; = der findes ingen formel til at beregne r, men man kan prøve sig frem i đ??ş-formlen med forskellige vĂŚrdier for đ?‘&#x; og se hvornĂĽr man er tĂŚt pĂĽ. (se eks. 4 nedenfor)

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Eksempler pĂĽ brug af Gryn-formlen ved beregning i et annuitetslĂĽn: 1) Vi kender ydelsen đ?‘Ś = 5000 kr., renten đ?‘? = 3 %, sĂĽ đ?‘&#x; = 0,03 og antallet af terminer đ?‘› = 30 Vi skal beregne gĂŚldens oprindelige størrelse og indsĂŚtter derfor i formlen for đ??ş: đ??ş = 5000 ¡

1−(1+0,03)−30 0,03

= 98002,21 kr.

2) Vi kender det oprindelige lĂĽnebeløb đ??ş = 50 000 kr., renten đ?‘? = 2 %, sĂĽ đ?‘&#x; = 0,02 og antallet af terminer đ?‘› = 15 Vi skal beregne den faste ydelse og indsĂŚtter derfor i formlen for đ?‘Ś: đ?‘Ś=

50000¡0,02 1−(1+0,02)−15

= 3891,27 kr.

3) Vi kender det oprindelige lĂĽnebeløb đ??ş = 75 000 kr., ydelsen đ?‘Ś = 4000 kr. og renten đ?‘? = 1,5 %, sĂĽ đ?‘&#x; = 0,015 Vi skal beregne antallet af terminer og indsĂŚtter derfor i formlen og đ?‘›: đ?‘›=−

log(1−

75000¡0,015 ) 4000

log(1+0,015)

= 22,18 terminer

4) Vi kender det oprindelige lĂĽnebeløb đ??ş = 10 000 kr., ydelsen đ?‘Ś = 2000 kr. og antallet af terminer đ?‘› = 10 Da der ikke er en fast formel for renten indsĂŚtter vi vores størrelser i formlen for đ??ş, og fĂĽr: 10000 = 2000 ¡

1 − (1 + đ?‘&#x;)−10 đ?‘&#x;

10000 1 − (1 + đ?‘&#x;)−10 = 2000 đ?‘&#x; 5=

⇕

1 − (1 + đ?‘&#x;)−10 đ?‘&#x;

Ligningen løses for r vha. CAS-vÌrktøjet WordMat.

đ?‘&#x; = −1,794545

∨

đ?‘&#x; = 0,1509842

Det viser sig altsĂĽ, at procentsatsen er 15,10 %.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

2.14 Indekstal Indekstal bruges til at sammenligne udviklingen i forskellige størrelser inden for den sammen tidsperiode. Det kunne fx vÌre at undersøge om stigningen i lønninger over ürene har vÌret den samme som stigningen i huspriser. Umiddelbart kan det vÌre svÌrt at sammenligne lønninger og huspriser, da det er meget forskellige tal. Men man siger at man indekserer størrelserne, det betyder at man omregner det til procenter, og man ser derfor pü Ìndringen i procenter. Hermed er det nemmere at se pü hvordan to størrelser har udviklet sig i forhold til hinanden. Man siger fx at noget har indeks 120, det vil sige, at der har vÌret en stigning pü 20 % i forhold til et valgt basisür. Indekstal bruges i meget høj grad indenfor virksomhedsøkonomi og samfundsøkonomi til at beskrive udviklinger og tendenser i samfundet, det kunne fx vÌre i sammenhÌng med lønninger, priser pü varer, fremgang/tilbagegang i produktion og sü videre. Sü faktisk er det samfundsfag der har den største interesse i indekstal. Principper i forhold til indekstal: -

BasisĂĽret kan vĂŚlges frit og sĂŚttes altid til indekstal 100.

-

Ændringer i indekstallet ses büde i forhold til basisüret, men ogsü ürene omkring.

Beregninger med indekstal: I opgaver med indekstal fĂĽr man enten opgivet en tabel eller skal selv opstille en tabel pĂĽ baggrund af nogle, i opgaven, givne oplysninger. Man udvĂŚlger to søjler i tabellen; ĂŠn hvor man kender begge vĂŚrdier og ĂŠn, hvor der er en ukendt vĂŚrdi. Man skal nu have opstillet en ligning til at beregne forholdet mellem indekstallet og den oprindelige størrelse i de to søjler. Det kan gøres pĂĽ to mĂĽder; enten ved at tage forholdet mellem størrelserne lodret eller vandret. Det vil sige, man skal opstille ĂŠn af følgende to ligninger: đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘˜đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™1 đ?‘ đ?‘ĄĂ¸đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘™đ?‘ đ?‘’1

=

đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘˜đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™2 đ?‘ đ?‘ĄĂ¸đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘™đ?‘ đ?‘’2

⇒

đ??ź1 = đ?‘ 1 ¡

đ??ź2 đ?‘ 2

(kaldet �Lodret�)

eller đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘˜đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™1 đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘˜đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™2

=

đ?‘ đ?‘ĄĂ¸đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘™đ?‘ đ?‘’1 đ?‘ đ?‘ĄĂ¸đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘™đ?‘ đ?‘’2

⇒

đ??ź1 = đ??ź2 ¡

đ?‘ 1 đ?‘ 2

(kaldet �Vandret�)

-

Tallene for basisüret behøver ikke indgü i opgaven.

-

Man mĂĽ KUN arbejde enten vandret eller lodret i tabellen givet i opgaver med indekstal, ALDRIG pĂĽ kryds og tvĂŚrs! Hvis man regner pĂĽ kryds og tvĂŚrs, altsĂĽ blander forholdene, vil man altid fĂĽ de forkerte vĂŚrdier.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Eksempel: Fuldførte ungdomsuddannelser I Danmark siger vi ofte at vi skal leve af at vÌre førende indenfor forskning. Det er derfor relevant at se pü, hvor mange der fuldfører en ungdomsuddannelse. Vi vil undersøge udviklingen fra 2014 (basisüret) til 2018.1

2014

Ă…rstal

2016

Vi kender antallet af studerende i

Fuldført ungdomsuddannelse 314 618 330 646

2016 og vil gerne udtrykke vĂŚksten

Indekstal

100

đ?‘‹

2018 đ?‘Œ 106,64

som et indekstal, đ?‘‹. For 2018 har vi et indekstal og vil gerne udregne, hvad det svarer til af studerende der har fuldført en ungdomsuddannelse, đ?‘Œ. For at kunne beregne đ?‘‹ og đ?‘Œ skal vi have opstillet nogle ligninger, hvor de er de eneste ukendte. Vi vil først beregne đ?‘‹ pĂĽ de to forskellige mĂĽder, og se at metoden er underordnet, og herefter vil vi gøre det samme med đ?‘Œ. Beregning af đ?‘ż: Lodret: đ?‘‹ 100 = 330 646 314 618

⇔

100 ) = 105,10 đ?‘‹ = 330 646 ¡ ( 314 618

đ?‘‹ 330 646 = 100 314 618

⇔

330 646 ) = 105,10 đ?‘‹ = 100 ¡ ( 314 618

Vandret:

Vi ser, at det er ligegyldigt om vi gĂĽr vandret eller lodret for at beregne đ?‘‹. Forholdet mellem tallene giver den samme vĂŚrdi af đ?‘‹. Beregning af đ?’€: Lodret: đ?‘Œ 314 618 = 106,64 100

⇔

314 618 ) = 335 508,64 đ?‘Œ = 106,64 ¡ ( 100

đ?‘Œ 106,64 = 314 618 100

⇔

đ?‘Œ = 314 618 ¡ (

Vandret: 106,64 ) = 335 508,64 100

Vi ser, at det er ligegyldigt om vi gĂĽr vandret eller lodret for at beregne đ?‘Œ. Forholdet mellem tallene giver den samme vĂŚrdi af đ?‘Œ.

1

Fra Danmarks Statistik: https://www.dst.dk/da/Statistik/emner/uddannelse-og-viden/befolkningens-uddannelsesstatus/ungdomsuddannelser#

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

2.15 Formelsamling

Procentvis ĂŚndring: đ?‘?=(

đ?‘›đ?‘Ś đ?‘ŁĂŚđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘–−đ?‘”đ?‘Žđ?‘šđ?‘šđ?‘’đ?‘™ đ?‘ŁĂŚđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘– đ?‘”đ?‘Žđ?‘šđ?‘šđ?‘’đ?‘™ đ?‘ŁĂŚđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘–

Fremskrivningsfaktor: đ??š =1Âą

đ??š=

) ¡ 100 = procentvis Ìndring

đ?‘? 100

đ?‘ đ?‘™đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘ŁĂŚđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘– đ?‘† = đ?‘?đ?‘’đ?‘”đ?‘Śđ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘™đ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘ŁĂŚđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘– đ??ľ

Udregning af đ?‘ş, đ?‘Š og đ?’‘: đ?‘† = đ??ľ ¡ (1 Âą đ??ľ=

đ?‘? )=đ??ľÂˇđ??š 100

�

đ?‘† đ?‘? =đ??š (1 Âą ) 100

đ?‘† đ?‘? = ( − 1) ¡ 100 đ??ľ Renteformlen: đ??žđ?‘› = đ??ž0 ¡ (1 +

đ?‘? đ?‘› ) 100

đ??žđ?‘› đ?‘? = ( √ − 1) ¡ 100 đ??ž0 đ?‘›

đ??ž0 =

đ??žđ?‘› đ?‘? đ?‘› (1 + ) 100

đ??žđ?‘› ) đ??ž0 đ?‘›= đ?‘? ) log (1 + 100 log (

Gennemsnitlig procent: Kender procentsatserne đ?‘›

đ?‘?đ?‘”đ?‘›đ?‘ = ( √(1 Âą

đ?‘?1 đ?‘?2 đ?‘?3 đ?‘?đ?‘› ) ¡ (1 Âą ) ¡ (1 Âą ) ¡ ‌ ¡ (1 Âą ) − 1) ¡ 100 100 100 100 100

Kender BegyndelsesvĂŚrdi og SlutvĂŚrdi đ?‘›

đ?‘?đ?‘”đ?‘›đ?‘ = ( √

đ?‘†đ?‘™đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘ŁĂŚđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘– − 1) ¡ 100 đ??ľđ?‘’đ?‘”đ?‘Śđ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘™đ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘ŁĂŚđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘–

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Indekstal (se s. XXX) Principper i forhold til indekstal: -

BasisĂĽret kan vĂŚlges frit og sĂŚttes altid til indekstal 100.

-

Ændringer i indekstallet ses büde i forhold til basisüret, men ogsü ürene omkring.

Beregninger med indekstal: I opgaver med indekstal für man enten opgivet en tabel eller skal selv opstille en tabel pü baggrund af nogle, i opgaven, givne oplysninger. Man udvÌlger to søjler i tabellen; Ên hvor man kender begge vÌrdier og Ên, hvor der er en ukendt vÌrdi. Man skal nu have opstillet en ligning til at beregne forholdet mellem indekstallet og den oprindelige størrelse i de to søjler. Det kan gøres pü to müder; enten ved at tage forholdet mellem størrelserne lodret eller vandret. Det vil sige, man skal opstille Ên af følgende to ligninger:

đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘˜đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™1 đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘˜đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™2 đ??ź2 = ⇒ I1 = đ?‘ 1 ¡ đ?‘ đ?‘ĄĂ¸đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘™đ?‘ đ?‘’1 đ?‘ đ?‘ĄĂ¸đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘™đ?‘ đ?‘’2 đ?‘ 2 eller đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘˜đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™1 đ?‘ đ?‘ĄĂ¸đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘™đ?‘ đ?‘’1 = đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘˜đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™2 đ?‘ đ?‘ĄĂ¸đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘™đ?‘ đ?‘’2

⇒

đ??ź1 = đ??ź2 ¡

đ?‘ 1 đ?‘ 2

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

KAPITEL 3

Sandsynlighedregning og kombinatorik

© L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

Indhold KAPITEL 3

Sandsynlighedsregning og kombinatorik

3.1 Hvor møder vi sandsynlighedsregning? .................................................................................................. 2 3.2 Ord og begreber vi ofte bruger ............................................................................................................... 2 3.3 Komplementære hændelser og sandsynlighedsfelter generelt .............................................................. 5 3.4 ”Enten-eller-sætningen”.......................................................................................................................... 8 3.5 Uafhængige hændelser og ”Både-og-sætningen” ................................................................................... 9 3.6 At regne med sandsynligheder .............................................................................................................. 14 3.7 Sandsynligheder med og uden tilbagelægning ..................................................................................... 15 3.8 Permutationer ....................................................................................................................................... 16 3.9 Kombinatorik og binomialkoefficienten ................................................................................................ 17 3.10 Binomialkoefficienten og Pascals trekant ........................................................................................... 18 3.11 Hvordan man kan opstille, løse og konkludere på en eksamensopgave ............................................ 20 3.12 Formelsamling ..................................................................................................................................... 21

LÆSEPRØVE - foreløbig udgave

3.1 Hvor møder vi sandsynlighedsregning? Sandsynlighedsregning bruger vi, nĂĽr vi ikke kan forudsige udfaldet at et â€?eksperimentâ€?, men i stedet prøver at sige noget om, hvilke mulige resultater der er, og hvor sandsynligt det er, at forskellige resultater forekommer. Der er flere eksempler pĂĽ hverdagseksperimenter, som vi ikke kender udfaldet af. • • • •

Det kan for eksempel vÌre, nür vi slür med en terning. Sü ved vi ikke, hvilket antal øjne vi für i nÌste kast. Et andet eksempel er, nür man slür plat eller krone med en mønt. Der ved vi heller ikke, hvilken side der vender opad efter nÌste kast. Eller hvem vinder den helt store gevinst i lotto? Bliver det en varm sommer eller bliver den skyllet vÌk af regn?

3.2 Ord og begreber vi ofte bruger I forbindelse med sandsynlighedsregning er der nogle ord, som vi ofte bruger. Nedenunder bliver de først forklaret meget generelt, og derefter vil de blive forklaret i forhold til eksperimentet, hvor vi kaster med â€?en ĂŚrlig terningâ€?, dvs. en terning, hvor der er lige stor sandsynlighed for at terningen lander pĂĽ en af de seks sider. Eksperiment: Den ting, vi undersøger. Det kan for eksempel vĂŚre det at kaste med en ĂŚrlig terning. Udfald (u): Er de mulige resultater af eksperimentet. NĂĽr man kaster med en terning, kan man enten slĂĽ en 1’er, en 2’er, en 3’er, en 4’er, en 5’er eller en 6’er. Det vil sige, at đ?‘˘1 = 1, đ?‘˘2 = 2, đ?‘˘3 = 3, đ?‘˘4 = 4, đ?‘˘5 = 5 og đ?‘˘6 = 6 Udfaldsrum (U): Er den samlede mĂŚngde af de mulige udfald af eksperimentet. Udfaldsrummet har fĂĽet symbolet U, og det angives med krøllede parenteser (tuborgklammer) omkring udfaldene. I terningekast eksperimentet er udfaldsrummet đ?‘ˆ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Symmetrisk sandsynlighedsrum: I et symmetrisk sandsynlighedsrum er sandsynligheden for alle udfald den samme. I terningekast eksperimentet ville det svare til at sandsynligheden for at slĂĽ en đ?&#x;?’er, en đ?&#x;?’er, en đ?&#x;‘’er, en đ?&#x;’’er, en đ?&#x;“’er eller en đ?&#x;”’er er den samme. Ikke-symmetrisk sandsynlighedsrum: I et ikke-symmetrisk sandsynlighedsrum er sandsynligheden for udfaldene forskellige. I en pose med m&m’s er der đ?&#x;” forskellige farver. Hvis man tager ĂŠn m&m op af posen kan der vĂŚre đ?&#x;‘đ?&#x;Ž% chance for at den er grøn, mens der mĂĽske kun er đ?&#x;?đ?&#x;Ž% chance for at den er rød. Sandsynlighederne er derfor ikke de samme for hver farve. I den virkelige verden vil man oftere støde pĂĽ ikke-symmetriske udfaldsrum end symmetriske.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

HĂŚndelse (H): En hĂŚndelse er en delmĂŚngde af udfaldsrummet U. Det er altsĂĽ en andel af de mulige udfald af eksperimentet. At resultatet af det nĂŚste eksperiment er en đ?&#x;‘’er, đ?‘Ż = {đ?&#x;‘} At resultatet af det nĂŚste eksperiment er et lige tal, đ?‘Ż = {đ?&#x;?, đ?&#x;’, đ?&#x;”} UafhĂŚngige hĂŚndelser: Udfaldet af et eksperiment har ikke indflydelse pĂĽ det nĂŚste eksperiment. Hvis vi først kaster en terning og derefter slĂĽr plat eller krone med en mønt, sĂĽ vil udfaldet af terningekastet ikke have nogen indflydelse pĂĽ, om vi fĂĽr plat eller krone med mønten. AfhĂŚngige hĂŚndelser: Udfaldet af et eksperiment har indflydelse pĂĽ det nĂŚste eksperiment. Vi kan se pĂĽ to hĂŚndelser: At det er overskyet, og at det regner. Hvis man fĂĽr at vide, at det en dag er overskyet, sĂĽ er der større sandsynlighed for at det regner end hvis der ikke er overskyet. Derfor er de to hĂŚndelser ikke uafhĂŚngige. Dette lĂŚgger sig op ad â€?Betingede sandsynlighederâ€? og er uden for pensum pĂĽ C-niveau. Sandsynlighed: Sandsynligheden for et udfald eller en hĂŚndelse angives enten som et tal mellem 0 og 1, som en brøk eller som et procenttal mellem 0 % og 100 %. Sandsynligheden siger noget om, hvor ofte et udfald forekommer, og lĂŚgger man alle sandsynlighederne for udfaldsrummet sammen, fĂĽr man 1 eller 100 %. 1

Sandsynligheden for at slü en 6’er med en Ìrlig terning er . 6

1

At terningen er ĂŚrlig, vil sige, at sandsynligheden for alle udfaldene er . 6

SĂĽ dette udfaldsrum er symmetrisk. 1

Vi skriver đ?‘ƒ(6) = = 0,1667. 6

Man bruger bogstavet đ?‘ƒ til at angive sandsynligheder. Det gør man, fordi đ?‘ƒ stĂĽr for probability, der betyder sandsynlighed pĂĽ engelsk. Ofte opstilles sandsynlighederne for udfaldsrummet i en sandsynlighedstabel eller et sandsynlighedsfelt. Udfald (u) Sandsynlighed P(u)

1 1 6

2 1 6

3 1 6

4 1 6

5 1 6

Vi kan se, at sandsynlighederne opfylder de to betingelser omkring sandsynligheder: 1. At de alle er mellem 0 og 1 2. At hvis vi lÌgger alle sandsynlighederne sammen, sü für vi 1. 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + =6¡ =1 6 6 6 6 6 6 6

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

6 1 6

KomplementĂŚre (eller disjunkte) hĂŚndelser: To hĂŚndelser er komplementĂŚre eller disjunkte, hvis de ikke overlapper. Vi kunne igen bruge eksemplet med den ĂŚrlige terning fra før. Her kunne hĂŚndelse đ??´ vĂŚre: At slĂĽ et lige antal øjne, og hĂŚndelse đ??´â€˛ vĂŚre: At slĂĽ et ulige antal øjne. De to hĂŚndelser har intet overlap. Grafisk kunne det se ud som pĂĽ tegningen.

Ikke-komplementĂŚre hĂŚndelser: To hĂŚndelser er ikke komplementĂŚre, hvis de har et overlap. Vi kunne igen bruge eksemplet med den ĂŚrlige terning fra før. Her kunne hĂŚndelse đ??´ vĂŚre: At slĂĽ et lige antal øjne, og hĂŚndelse đ??´â€˛ vĂŚre: At slĂĽ 4, 5 eller 6. De to hĂŚndelser har et overlap i at slĂĽ 4 eller 6. Grafisk kunne det se ud som pĂĽ tegningen.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

3.3 KomplementĂŚre hĂŚndelser og sandsynlighedsfelter generelt SĂŚtning 1: KomplementĂŚre hĂŚndelser To hĂŚndelser er komplementĂŚre, hvis de ikke lapper over hinanden, og de tilsammen udgør hele udfaldsrummet. Lad os antage, at hĂŚndelsen đ??´ er en del af udfaldsrummet đ?‘ˆ. SĂĽ vil đ??´â€˛ vĂŚre den komplementĂŚre hĂŚndelse til đ??´- Tilsammen vil đ??´ og đ??´â€˛ udgøre hele udfaldsrummet. Da hĂŚndelserne đ??´ og đ??´â€˛ udgør hele udfaldsrummet er đ?‘ƒ (đ??´) + đ?‘ƒ(đ??´â€˛ ) = 1 Man kan beregne sandsynligheden for den komplementĂŚre hĂŚndelse đ??´â€˛ ved đ?‘ƒ(đ??´â€˛ ) = 1 − đ?‘ƒ (đ??´)

SĂŚtning 2: Sandsynlighedsfelter Sandsynligheden for en hĂŚndelse đ?‘Ż, der er sammensat af đ?’Œ udfald, đ?‘Ż = {đ?’–đ?&#x;? , đ?’–đ?&#x;? , ‌ , đ?’–đ?’Œ }, findes ved at lĂŚgge sandsynlighederne for de enkelte udfald sammen. Dette kan kun gøres hvis hĂŚndelserne ikke lapper over hinanden, altsĂĽ at de er komplementĂŚre/disjunkte. đ?‘ˇ(đ?‘Ż) = đ?‘ˇ(đ?’–đ?&#x;? ) + đ?‘ˇ(đ?’–đ?&#x;? ) + â‹Ż + đ?‘ˇ(đ?’–đ?’Œ )

Eksempel 1: En skÌv terning (Ikke-symmetriske sandsynlighedsfelt) En terning er slidt skÌv, og gennem mange forsøg har man fundet frem til, at sandsynlighederne for at den lander pü hver af de seks sider fordeler sig pü følgende müde: Udfald (u) Sandsynlighed P(u)

1

2

3

4

5

6

0,23

0,20

0,12

0,10

0,19

0,16

LĂŚg mĂŚrke til, at udfaldsrummet stadig er đ?‘ˆ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, og at sandsynlighedsfeltet opfylder de to betingelser: -

Alle sandsynligheder skal vĂŚre mellem 0 og 1 Summen af alle sandsynlighederne er 1 đ?‘ƒ(đ?‘ˆ) = 0,23 + 0,20 + 0,12 + 0,10 + 0,19 + 0,16 = 1

NĂĽr man kaster med den skĂŚve terning, er sandsynligheden for at fĂĽ 3 øjne đ?‘ƒ(3) = 0,12 = 12 %. a) Hvis vi skal beregne sandsynligheden for at slĂĽ et lige antal øjne, skal vi lĂŚgge sandsynlighederne for at fĂĽ enten đ?&#x;?, đ?&#x;’ eller đ?&#x;” sammen đ?‘ƒ(đ?‘™đ?‘–đ?‘”đ?‘’ đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ øđ?‘—đ?‘›đ?‘’) = đ?‘ƒ(2) + đ?‘ƒ(4) + đ?‘ƒ(6) = 0,20 + 0,10 + 0,16 = 0,46 Sandsynligheden for at slĂĽ et lige antal øjne er altsĂĽ đ?‘ƒ(đ?‘™đ?‘–đ?‘”đ?‘’ øđ?‘—đ?‘›đ?‘’) = 46 %.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

b) Hvis vi ønsker at beregne sandsynligheden for at fĂĽ et ulige antal øjne, nĂĽr vi kaster terningen, kan vi udnytte, at hĂŚndelserne â€?lige antal øjneâ€? og â€?ulige antal øjneâ€? er komplementĂŚre hĂŚndelser. Vi kan derfor beregne sandsynligheden for at fĂĽ et ulige antal øjne ved at sige đ?‘ƒ(đ?‘˘đ?‘™đ?‘–đ?‘”đ?‘’ đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ øđ?‘—đ?‘›đ?‘’) = 1 − đ?‘ƒ(đ?‘™đ?‘–đ?‘”đ?‘’ đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ øđ?‘—đ?‘›đ?‘’) đ?‘ƒ(đ?‘˘đ?‘™đ?‘–đ?‘”đ?‘’ đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ øđ?‘—đ?‘›đ?‘’) = 1 − 0,46 đ?‘ƒ(đ?‘˘đ?‘™đ?‘–đ?‘”đ?‘’ đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ øđ?‘—đ?‘›đ?‘’) = 0,54 Sandsynligheden for at slĂĽ et ulige antal øjne med den skĂŚve terning er altsĂĽ đ?‘ƒ(đ?‘˘đ?‘™đ?‘–đ?‘”đ?‘’ øđ?‘—đ?‘›đ?‘’) = 54 %.

Eksempel 2: En hundehvalp og farvede bolde (Ikke-symmetrisk sandsynlighedsfelt) En hundehvalp leger i en kurv med bolde i fire forskellige farver. Hver gang hvalpen har hentet en bold lĂŚgger ejeren bolden tilbage igen – og da han er matematiklĂŚrer, giver han sig pĂĽ et tidspunkt til at udregne sandsynligheden for, at hunden henter henholdsvis en rød, en blĂĽ eller en grøn bold. Han indsĂŚtter sandsynlighederne i følgende tabel Boldens farve Sandsynlighed

Rød 0,34

BlĂĽ 0,22

Gul

Grøn 0,27

Dagen efter bruger matematiklĂŚrerens elever deres viden om sandsynlighedsfelter til at udregne sandsynligheden for, at hundehvalpen hentede en gul bold. Udfaldsrummet đ?‘ˆ har fire udfald: đ?‘ˆ = {đ?‘&#x;øđ?‘‘, đ?‘?đ?‘™ĂĽ, đ?‘”đ?‘˘đ?‘™, đ?‘”đ?‘&#x;øđ?‘›} Sandsynlighederne er alle mellem 0 og 1, og summen af sandsynlighederne er lig 1 đ?‘ƒ(đ?‘&#x;øđ?‘‘ ) + đ?‘ƒ(đ?‘?đ?‘™ĂĽ) + đ?‘ƒ(đ?‘”đ?‘&#x;øđ?‘›) + đ?‘ƒ(đ?‘”đ?‘˘đ?‘™ ) = 1 0,34 + 0,22 + 0,27 + đ?‘ƒ(đ?‘”đ?‘˘đ?‘™ ) = 1 0,83 + đ?‘ƒ(đ?‘”đ?‘˘đ?‘™ ) = 1 đ?‘ƒ(đ?‘”đ?‘˘đ?‘™ ) = 1 − 0,83 đ?‘ƒ(đ?‘”đ?‘˘đ?‘™ ) = 0,17 Sandsynligheden for, at hundehvalpen kommer med en gul bold, er altsĂĽ đ?‘ƒ(đ?‘”đ?‘˘đ?‘™ ) = 0,17 = 17 %.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

SĂŚtning 3: Symmetrisk sandsynlighedsfelt Hvis sandsynlighedsfeltet er symmetrisk, er sandsynlighederne for de enkelte udfald ens. Sandsynligheden for et bestemt udfald i et symmetrisk sandsynlighedsfelt med đ?’? mulige udfald kan beregnes ved at sige đ?&#x;? đ?&#x;? đ?‘ˇ(đ?’–) = = đ?’? đ?’‚đ?’?đ?’•đ?’‚đ?’? đ?’Žđ?’–đ?’?đ?’Šđ?’ˆđ?’† đ?’–đ?’…đ?’‡đ?’‚đ?’?đ?’… Sandsynligheden for at en hĂŚndelse med đ?’‰ udfald sker, kan beregnes ved hjĂŚlp af formlen đ?‘ˇ(đ?‘Ż) =

đ?’‰ đ?’‚đ?’?đ?’•đ?’‚đ?’? đ?’ˆđ?’–đ?’?đ?’”đ?’•đ?’Šđ?’ˆđ?’† đ?’–đ?’…đ?’‡đ?’‚đ?’?đ?’… = đ?’? đ?’‚đ?’?đ?’•đ?’‚đ?’? đ?’Žđ?’–đ?’?đ?’Šđ?’ˆđ?’† đ?’–đ?’…đ?’‡đ?’‚đ?’?đ?’…

Eksempel 3: Et terningekast (Symmetrisk sandsynlighedsfelt) a) Bestem sandsynligheden for at fĂĽ et lige antal øjne, nĂĽr du kaster en ĂŚrlig terning. Der er i dette eksempel tale om et symmetrisk sandsynlighedsfelt, da dĂŠt, at terningen er ĂŚrlig, betyder, at sandsynligheden for alle udfaldene er ens. Sandsynligheden for et hvilket som helst muligt udfald, đ?‘˘, beregnes som đ?‘ƒ(đ?‘˘) =

1 ����� ������ ������

1

= , 6

og vi har sandsynlighedstabellen Antal øjne (u) Sandsynlighed P(u)

1 1 6

2 1 6

3 1 6

4 1 6

5 1 6

6 1 6

Vi skal beregne sandsynligheden for hĂŚndelsen â€?at slĂĽ et lige antal øjneâ€?, det vil sige đ??ť = {2, 4, 6}. Der er altsĂĽ 3 gunstige udfald ud af de 6 mulige, og sandsynligheden beregnes derfor som đ?‘ƒ(đ?‘™đ?‘–đ?‘”đ?‘’ đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ øđ?‘—đ?‘›đ?‘’) = đ?‘ƒ(2 đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; 4 đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; 6) = =

đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘”đ?‘˘đ?‘›đ?‘ đ?‘Ąđ?‘–đ?‘”đ?‘’ đ?‘˘đ?‘‘đ?‘“đ?‘Žđ?‘™đ?‘‘ đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘šđ?‘˘đ?‘™đ?‘–đ?‘”đ?‘’ đ?‘˘đ?‘‘đ?‘“đ?‘Žđ?‘™đ?‘‘ 3 6 1

= = 0,5 2

= 50 % Det kan til tider vĂŚre svĂŚrt at overskue sit eksempel og hvad man skal regne pĂĽ. Til at hjĂŚlpe sig kan man tegne et tĂŚlletrĂŚ. TĂŚlletrĂŚer: Et tĂŚlletrĂŚ bruges ofte i sandsynlighedsregning til at gøre et eksperiment mere overskueligt og skabe overblik over en udregning. Man starter med at tegne en prik ved sit startpunkt (roden). Herfra tegnes en â€?grenâ€? for hvert af de mulige udfald. Hvis eksperimentet fortsĂŚttes, kan man for enden af hver af disse grene tegne nye grene for hvert nyt udfald, disse vil blive omtalt som â€?kvisteâ€?.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Eksempel 3 (fortsat): Et tĂŚlletrĂŚ kan hjĂŚlpe med at illustrere dette: NĂĽr man tegner et tĂŚlletrĂŚ, markeres eksperimentet med et punkt i venstre side, og de mulige udfald angives som punkter placeret over hinanden til højre. Der trĂŚkkes linjer ud fra det fĂŚlles udgangspunkt, og langs disse â€?udfaldsgreneâ€? skriver man sandsynligheden for det pĂĽgĂŚldende udfald. Ud fra tĂŚlletrĂŚet kan vi se, at sandsynligheden for at fĂĽ et lige antal øjne er đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘&#x;øđ?‘‘đ?‘’ đ?‘˘đ?‘‘đ?‘“đ?‘Žđ?‘™đ?‘‘ 3 đ?‘ƒ(2, 4 đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; 6) = = = 0,5 = đ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™đ?‘’ đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘˘đ?‘‘đ?‘“đ?‘Žđ?‘™đ?‘‘

6

50 %. Resultatet kan ogsĂĽ beregnes ved at lĂŚgge sandsynligheden for de enkelte udfald sammen. 1 1 1 đ?‘ƒ(2 đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; 4 đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; 6) = + + 6 6 6 1 3 = 3 ¡ = = 0,5 = 50 % 6 6

3.4 â€?Enten-eller-sĂŚtningenâ€? SĂŚtning 4: â€?Enten-eller-sĂŚtningen" Hvis man skal finde sandsynligheden af to eller flere udfald, der ikke lapper over hinanden, skal man lĂŚgge sandsynlighederne for de enkelte udfald sammen. Det vil sige, at hvis man skal finde sandsynligheden for at fĂĽ enten đ??ť1 eller đ??ť2 i udfaldsrummet đ?‘ˆ = {đ??ť1 , đ??ť2 , đ??ť3 , ‌ , đ??ťđ?‘› }, skal man skrive đ?‘ƒ(đ??ť1 đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; đ??ť2 ) = đ?‘ƒ (đ??ť1 ) + đ?‘ƒ(đ??ť2 ) Sprogligt kan man ofte genkende denne type eksempler ved, at der stĂĽr â€?ellerâ€? imellem udfaldene i den første sandsynlighedsparentes eller i opgaveteksten. PĂĽ et tĂŚlletrĂŚ svarer det til at lĂŚgge sandsynligheden for flere â€?greneâ€? sammen (se eks. 3a ovenfor).

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Eksempel 3 (fortsat): b) Bestem sandsynligheden for at fü enten 2 eller 3 øjne, nür du kaster med en Ìrlig terning. 2

Vi kan her gøre som ovenfor: đ?‘ƒ(2 đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; 3 øđ?‘—đ?‘›đ?‘’) = đ?‘ƒ(2 đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; 3) = = 0,33 = 33 %. 6

Vi kan ogsĂĽ se, at sandsynligheden for at fĂĽ â€?alt andet end 2 eller 3â€? er đ?‘ƒ(đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ą đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą đ?‘’đ?‘›đ?‘‘ 2 đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; 3) = đ?‘ƒ (1 đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; 4 đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; 5 đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; 6) =

4 = 0,67 = 67 % 6

Vi kunne ogsĂĽ have beregnet det pĂĽ denne mĂĽde: đ?‘ƒ(đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ą đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą đ?‘’đ?‘›đ?‘‘ 2 đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; 3) = 1 − đ?‘ƒ (2 đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; 3) = 1 − 0,33 = 0,67 = 67 % Dette kan vi gøre, fordi de to hĂŚndelser {2, 3} og {1, 4, 5, 6} er komplementĂŚre.

3.5 UafhĂŚngige hĂŚndelser og â€?BĂĽde-og-sĂŚtningenâ€? SĂŚtning 5: UafhĂŚngige hĂŚndelser eller â€?BĂĽde-og-sĂŚtningenâ€? Hvis man har to uafhĂŚngige hĂŚndelser đ?‘Żđ?&#x;? og đ?‘Żđ?&#x;? vil det sige, at udfaldet af den første hĂŚndelse đ?‘Żđ?&#x;? ikke pĂĽvirker udfaldet af den nĂŚste hĂŚndelse đ?‘Żđ?&#x;? . Hvis et eksperiment bestĂĽr af to uafhĂŚngige hĂŚndelser, đ?‘Żđ?&#x;? og đ?‘Żđ?&#x;? , vil sandsynligheden for, at bĂĽde hĂŚndelse đ?‘Żđ?&#x;? og hĂŚndelse đ?‘Żđ?&#x;? forekommer, vĂŚre đ?‘ˇ(đ?‘Żđ?&#x;? đ?’?đ?’ˆ đ?‘Żđ?&#x;? ) = đ?‘ˇ(đ?‘Żđ?&#x;? ) ¡ đ?‘ˇ(đ?‘Żđ?&#x;? ) Man ganger altsĂĽ sandsynlighederne sammen for de uafhĂŚngige hĂŚndelser. Sprogligt kan man ofte genkende denne type eksempler ved at der stĂĽr â€?ogâ€? imellem hĂŚndelserne i den første sandsynlighedsparentes eller i opgaveteksten. PĂĽ et tĂŚlletrĂŚ svarer det til at man ganger sandsynligheden for en â€?grenâ€? med sandsynligheden for en â€?kvistâ€? (se eksempel 4a nedenfor).

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Eksempel 4: Kast med skĂŚv terning (igen) I eksempel 1 kiggede vi pĂĽ en terning der er slidt skĂŚvt, og sandsynlighederne for de forskellige slag var som i nedenstĂĽende tabel: Udfald (u) Sandsynlighed P(u)

1

2

3

4

5

6

0,23

0,20

0,12

0,10

0,19

0,16

a) Bestem sandsynligheden for først at slĂĽ en 2´er og derefter en 5´er. Vi skal altsĂĽ bruge â€?BĂĽde-og-sĂŚtningenâ€? da vi har et og imellem de to uafhĂŚngige hĂŚndelser đ??ť1 = {2} og đ??ť2 = {5} đ?‘ƒ (2 đ?‘œđ?‘” 5) = đ?‘ƒ(2) ¡ đ?‘ƒ (5) = 0,20 ¡ 0,19 = 0,038 = 3,8 % Der er altsĂĽ kun 3,8 % chance for første at slĂĽ en 2´er og derefter en 5´er med denne terning.

PĂĽ et tĂŚlletrĂŚ vil det sĂĽ sĂĽdan ud: Man kan se pĂĽ tĂŚlletrĂŚet, at man skal følge udfaldsgrenen for 2 og derefter kvisten for 5 og gange de to sandsynligheder sammen. đ?‘ƒ(2'er đ?‘œđ?‘” 5´đ?‘’đ?‘&#x;) = 0,20 ¡ 0,19 = 3,8 %

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Eksempel 5: Hundehvalpen (igen) I eksempel 2 kiggede vi pĂĽ hundehvalpen der hentede farvede bolde. Sandsynligheden for at den hentede en bestemt farve bold ses i nedenstĂĽende tabel: Boldens farve Sandsynlighed

Rød 0,34

BlĂĽ 0,22

Gul Grøn 0,17 0,27

a) Bestem sandsynligheden for at hun først kommer med en rød bold, sĂĽ en blĂĽ bold og til sidst en grøn bold. Vi skal igen bruge â€?BĂĽde-og-sĂŚtningenâ€?, men denne gang har vi et eksperiment med tre uafhĂŚngige hĂŚndelser. Vi skal derfor gange de tre sandsynligheder sammen. đ?‘ƒ(đ?‘&#x;øđ?‘‘, đ?‘?đ?‘™ĂĽ đ?‘œđ?‘” đ?‘”đ?‘&#x;øđ?‘›) = đ?‘ƒ(đ?‘&#x;øđ?‘‘ ) ¡ đ?‘ƒ(đ?‘?đ?‘™ĂĽ) ¡ đ?‘ƒ(đ?‘”đ?‘&#x;øđ?‘›) = đ?&#x;Ž, đ?&#x;‘đ?&#x;’ ¡ đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;? ¡ đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;• = 0,020196 = 2,02 % Sandsynligheden for at hvalpen kommer med denne kombination er altsĂĽ 2,02 %. Hvilket er meget lidt sandsynligt. Et (ufĂŚrdigt) tĂŚlletrĂŚ for dette eksperiment ville se sĂĽdan ud:

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Eksempel 6: Kast med en terning og derefter en mønt a) Bestem sandsynligheden for først at fĂĽ en 1’er ved et kast med en ĂŚrlig terning og derefter fĂĽ plat ved et kast med en mønt. 1

Fra eksempel 3 ved vi, at sandsynligheden for at fĂĽ en 1’er er đ?‘ƒ(1) = = 0,1667 = 16,67 %. 6

Nür man slür plat og krone med en mønt, er der lige som ved terningekast tale om et symmetrisk sandsynlighedsfelt. Sandsynligheden for de to mulige udfald (plat eller krone) er lige store. Derfor er 1

đ?‘ƒ(đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘Ą) = = 0,5 = 50 %. 2

I dette eksempel er eksperimentet sammensat af to uafhĂŚngige hĂŚndelser, da antallet af øjne pĂĽ terningen ikke har indflydelse pĂĽ, hvilken side mønten lander pĂĽ. Sandsynligheden for først at fĂĽ en 1’er, nĂĽr man kaster med en terning, og derefter fĂĽ plat, nĂĽr man kaster en mønt, kan derfor beregnes pĂĽ følgende mĂĽde đ?‘ƒ(1'er đ?‘œđ?‘” plat) = đ?‘ƒ(1′đ?‘’đ?‘&#x;) ¡ đ?‘ƒ (đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘Ą) 1

1

6

2

= ¡

= 0,1667 ¡ 0,5 = 0,0833 = 8,33 % PĂĽ et tĂŚlletrĂŚ vil det se sĂĽdan ud: Man kan se pĂĽ tĂŚlletrĂŚet, at man skal følge udfaldsgrenene og gange de to sandsynligheder sammen. đ?‘ƒ(1'er đ?‘œđ?‘” plat) =

1 1 1 ¡ = 6 2 12

Da vi har et symmetrisk udfaldsrum for alle slut-hĂŚndelserne, kan man ogsĂĽ bruge sĂŚtning 3 til at finde sandsynligheden for først en 1’er og derefter plat. đ?‘ƒ(1’er đ?‘œđ?‘” plat) = =

đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘”đ?‘˘đ?‘›đ?‘ đ?‘Ąđ?‘–đ?‘”đ?‘’ đ?‘˘đ?‘‘đ?‘“đ?‘Žđ?‘™đ?‘‘ đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘šđ?‘˘đ?‘™đ?‘–đ?‘”đ?‘’ đ?‘˘đ?‘‘đ?‘“đ?‘Žđ?‘™đ?‘‘ 1 12

= 0,0833 = 8,33%

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Eksempel 7: Kast med en uĂŚrlig terning og mønt (svĂŚrt eksempel) Dette eksempel er anderledes end de foregĂĽende, da vi her skal kombinere â€?Enten-ellerâ€? sĂŚtningen og â€?BĂĽde-ogâ€? sĂŚtningen. Hvilket gør det svĂŚrere at holde styr pĂĽ, og gennemskue hvad der skal regnes pĂĽ. Hvis udregningerne deles lidt op, bliver det nemmere at følge. a) Bestem sandsynligheden for først at slĂĽ en đ?&#x;?’er eller en đ?&#x;?’er med den uĂŚrlige terning fra eksempel 1 og derefter fĂĽ krone efter man har kastet en mønt. Da de to begivenheder er uafhĂŚngige, skal vi først bestemme sandsynligheden for hver af dem. đ?‘ƒ(1′ đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; 2′ đ?‘’đ?‘&#x;) = 0,23 + 0,20 = 0,43 đ?‘ƒ(đ?‘˜đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘›đ?‘’) = 0,5 Vi kan nu beregne den samlede sandsynlighed đ?‘ƒ ("1′er eller 2´er" đ?‘œđ?‘” "đ?‘˜đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘›đ?‘’") = đ?‘ƒ(1′ đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; 2′ đ?‘’đ?‘&#x;) ¡ đ?‘ƒ(đ?‘˜đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘›đ?‘’) = 0,43 ¡ 0,50 = 0,215 = 21,5 % PĂĽ tĂŚlletrĂŚet ser det sĂĽdan her ud: Fordi begivenhederne er uafhĂŚngige og komplementĂŚre kan vi ogsĂĽ beregne sandsynligheden for hvert udfald og derefter lĂŚgge dem sammen. Vi følger derfor først grenen der giver os en 1’er og derefter krone. Herefter følger vi grenen der giver en 2’er og derefter krone. Sandsynlighederne for disse fĂĽr vi ved at bruge â€?BĂĽde-og-sĂŚtningenâ€? đ?‘ƒ(1 đ?‘œđ?‘” đ?‘˜đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘›đ?‘’) = 0,23 ¡ 0,5 = 0,115 đ?‘ƒ(2 đ?‘œđ?‘” đ?‘˜đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘›đ?‘’) = 0,20 ¡ 0,5 = 0,10 Herefter skal vi bruge â€?Enten-ellersĂŚtningenâ€? og lĂŚgge de to sandsynligheder sammen: đ?‘ƒ('1 og krone' đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’đ?‘&#x; ′2 og krone') = đ?‘ƒ(1 đ?‘œđ?‘” đ?‘˜đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘›đ?‘’) + đ?‘ƒ(2 đ?‘œđ?‘” đ?‘˜đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘›đ?‘’) = 0,115 + 0,10 = 0,215 = 21,5 %

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

3.6 At regne med sandsynligheder

Beregning af manglende sandsynlighed i tabel Hvis man har et udfaldsrum đ?‘ˆ = {đ?‘˘1 , đ?‘˘2 , đ?‘˘3 , ‌ , đ?‘˘đ?‘› } og kender sandsynlighederne đ?‘ƒ(đ?‘˘2 ), đ?‘ƒ(đ?‘˘3 ), ‌ , đ?‘ƒ(đ?‘˘đ?‘› ), men IKKE đ?‘ƒ(đ?‘˘1 ), kan man beregne sandsynligheden for đ?‘ƒ(đ?‘˘1 ) ved at trĂŚkke alle kendte sandsynligheder fra 1. đ?‘ƒ(đ?‘˘1 ) = 1 − đ?‘ƒ(đ?‘˘2 ) − đ?‘ƒ(đ?‘˘3 ) − ‌ − đ?‘ƒ(đ?‘˘đ?‘› )

Enten-eller-sĂŚtningen Hvis man har to hĂŚndelser đ??ť1 og đ??ť2 , og man skal finde sandsynligheden for, at enten đ??ť1 eller đ??ť2 forekommer, skal man lĂŚgge de to sandsynlighederne for de to hĂŚndelser sammen. Det vil sige, at man skal skrive đ?‘ƒ(đ??ť1 đ?’†đ?’?đ?’?đ?’†đ?’“ đ??ť2 ) = đ?‘ƒ(đ??ť1 ) + đ?‘ƒ(đ??ť2 ) Sprogligt kan man ofte genkende denne type eksempler ved at der stĂĽr â€?ellerâ€? imellem udfaldene i den første sandsynlighedsparentes eller i opgaveteksten. PĂĽ et tĂŚlletrĂŚ svarer det til at man lĂŚgger sandsynligheden for flere â€?greneâ€? sammen.

BĂĽde-og-sĂŚtningen Hvis man har to hĂŚndelser đ??ť1 og đ??ť2 , og man skal finde sandsynligheden for, at bĂĽde đ??ť1 og đ??ť2 forekommer lige efter hinanden, skal man gange sandsynligheden for de to hĂŚndelser med hinanden. Det vil sige, at man skal skrive đ?‘ƒ(đ??ť1 đ?’?đ?’ˆ đ??ť2 ) = đ?‘ƒ(đ??ť1 ) ¡ đ?‘ƒ (đ??ť2 ) Sprogligt kan man ofte genkende denne type eksempler ved at der stĂĽr â€?ogâ€? imellem hĂŚndelserne i den første sandsynlighedsparentes eller i opgaveteksten. PĂĽ et tĂŚlletrĂŚ svarer det til at man ganger sandsynligheden for en â€?grenâ€? med sandsynligheden for en â€?kvistâ€?.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

3.7 Sandsynligheder med og uden tilbagelĂŚgning Indtil videre har vi beskĂŚftiget os med eksempler hvor udfaldsrummet ikke ĂŚndrer sig. Vi vil her arbejde med hvad man skal gøre hvis udfaldsrummet faktisk ĂŚndrer sig undervejs. I eksempel 2 kiggede vi pĂĽ hvalpen der hentede bolde fra en kurv, hvorefter ejeren lagde boldene tilbage igen. Dermed er der ikke ĂŚndret i udfaldsrummet. Men hvis vi nu ĂŚndrede pĂĽ eksemplet og ejeren derved ikke lagde bolden tilbage i kurven. SĂĽ ville der nĂŚste gang hvalpen tog en bold vĂŚre ĂŠn fĂŚrre at vĂŚlge. Dermed er udfaldsrummet blevet ĂŚndret. Vi kalder dette at arbejde med eller uden tilbagelĂŚgning. NĂĽr man bruger â€?BĂĽde-og-sĂŚtningenâ€? pĂĽ hĂŚndelser, der bestĂĽr af to begivenheder, skal man dermed vĂŚre ekstra opmĂŚrksom, nĂĽr man beregner sandsynligheden for den sidste hĂŚndelse.

Eksempel 8: Frugtkurv uden tilbagelÌgning Anton für en kurv med 19 stykker frugt til sin fødselsdag. Der er 5 Ìbler, 3 pÌrer, 4 bananer og 7 blommer. Det vil sige vi kan opstille sandsynlighedstabellen: Udfald (u) Sandsynlighed (P)

Æble 5 19

PĂŚre 3 19

Banan 4 19

Blomme 7 19

a) Hvad er sandsynligheden for at Anton først tager en pĂŚre, spiser den, og derefter tager en blomme? Umiddelbart ligner dette eksempel mange af den andre â€?BĂĽde-ogâ€? eksempler vi har kigget pĂĽ fordi vi skal beregne đ?‘ƒ(đ?‘?ĂŚđ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘œđ?‘” đ?‘?đ?‘™đ?‘œđ?‘šđ?‘šđ?‘’). Men forskellen her er, at Anton faktisk har spist en pĂŚre, og der er dermed ĂŠt stykke frugt mindre i skĂĽlen nĂĽr han efterfølgende skal tage en blomme op. Dermed har sandsynligheden for at tage en blomme ĂŚndret sig og blevet lidt større. SĂĽ udregningen kommer til at se sĂĽledes ud: đ?‘ƒ(đ?‘?ĂŚđ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘œđ?‘” đ?‘?đ?‘™đ?‘œđ?‘šđ?‘šđ?‘’) = đ?‘ƒ(đ?‘?ĂŚđ?‘&#x;đ?‘’) ¡ đ?‘ƒ (đ?‘?đ?‘™đ?‘œđ?‘šđ?‘šđ?‘’) =

3 7 ¡ = 0,061 = 6,1 % 19 18

b) Anton er lidt mere sulten og vĂŚlger at spise endnu en blomme. Vi skal altsĂĽ have beregnet đ?‘ƒ(đ?‘?ĂŚđ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘œđ?‘” đ?‘?đ?‘™đ?‘œđ?‘šđ?‘šđ?‘’ đ?‘œđ?‘” đ?‘?đ?‘™đ?‘œđ?‘šđ?‘šđ?‘’). Vi har samme problematik med at der nu er to stykker frugt mindre i skĂĽlen. Men yderligere er der ogsĂĽ den forskel at han vĂŚlger at spise to blommer, sĂĽ antallet af blommer tilbage i skĂĽlen har ogsĂĽ ĂŚndret sig. Udregningen kommer nu til at se sĂĽdan ud: đ?‘ˇ(đ?’‘ĂŚđ?’“đ?’† đ?’?đ?’ˆ đ?’ƒđ?’?đ?’?đ?’Žđ?’Žđ?’† đ?’?đ?’ˆ đ?’ƒđ?’?đ?’?đ?’Žđ?’Žđ?’†) =

đ?&#x;‘ đ?&#x;• đ?&#x;” ¡ ¡ = 0,02167183 = 2,17 % đ?&#x;?đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;– đ?&#x;?đ?&#x;•

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

3.8 Permutationer Vi skal nu til at beskĂŚftige os med en del af matematikken som hedder â€?Kombinatorikâ€?. Kombinatorik er lĂŚren om at tĂŚlle kombinationer. Kombinatorik er en matematisk disciplin indenfor sandsynlighedsregning, hvor man undersøger, pĂĽ hvor mange mĂĽder nogle elementer kan kombineres. Tager vi udgangspunkt i eksemplet fra før med frugtkurven kunne man stille spørgsmĂĽlet â€?PĂĽ hvor mange mĂĽder kunne man tage to forskellige frugter ud af de fire forskellige slags?â€? Efterfølgende kunne man spørge â€?Hvad er sandsynligheden for at vĂŚlge et ĂŚble og en banan?â€? For at kunne svare pĂĽ dette skal vi have opbygget noget matematik omkring kombinatorik. Først skal vi indføre begrebet â€?Permutationerâ€?. Permutation betyder at ombytte eller omstille. SĂĽ vi skal se pĂĽ, pĂĽ hvor mange mĂĽder man kan ombytte forskellige elementer. AltsĂĽ se ĂĽ hvor mange forskellige rĂŚkkefølger kan man lave af de samme elementer. NĂĽr man i matematik arbejder med kombinatorik bruger vi udrĂĽbstegnet ! pĂĽ en ny mĂĽde og 4! lĂŚses som â€?4 fakultetâ€?. Definition 1: Fakultet og Permutation Ved tallet đ?’?! forstĂĽs đ?&#x;? ¡ đ?&#x;? ¡ đ?&#x;‘ ¡ ‌ (đ?’? − đ?&#x;?) ¡ đ?’?. AltsĂĽ produktet af alle hele tal mellem đ?&#x;? og đ?’?. n! beskriver, hvor mange mĂĽder man kan arrangere de đ?’? elementer pĂĽ, nĂĽr rĂŚkkefølgen har betydning AltsĂĽ hvor mange permutationer der er.

Eksempel 9: 1! = 1 2! = 1 ¡ 2 = 2 4! = 1 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 4 = 24 7! = 1 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 4 ¡ 5 ¡ 6 ¡ 7 = 5040 Vi ser, at jo flere elementer man har, jo flere müder kan de opstilles pü, altsü jo flere forskellige rÌkkefølger er der. Eksempel 10: Pü hvor mange müder kan man opstille lys i tre forskellige farver, rød, blü og grøn, nür rÌkkefølgen har betydning og vi kun mü bruge hvert lys Ên gang? Pü den første plads er der tre valgmuligheder, pü den anden plads er der to valgmuligheder og pü den sidste er der kun en. Der er altsü 3 ¡ 2 ¡ 1 = 3! = 6 müder man kan opstille de tre lys pü. Vi kan vise det ved hjÌlp af trÌet til højre.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

3.9 Kombinatorik og binomialkoefficienten Hvis vi har en gruppe pĂĽ fire elever (Anne, Birthe, Clara og Dorthe), og vi skal udtage to elever, er der følgende muligheder: {đ??´, đ??ľ}, {đ??´, đ??ś }, {đ??´, đ??ˇ}, {đ??ľ, đ??ś }, {đ??ľ, đ??ˇ}, {đ??ś, đ??ˇ} NĂĽr {đ??´, đ??ľ} er det samme som {đ??ľ, đ??´}. Vi ser, at der er seks forskellige kombinationer af de to ud af fire elever. Det vi har gjort kan generelt beskrives som at vi har udvalgt đ?&#x;? elementer fra en større gruppe pĂĽ đ?&#x;’ elementer. Indenfor kombinatorik kan vi udregne antallet af mĂĽder hvorpĂĽ man kan udtage en mindre gruppe pĂĽ đ?‘&#x; elementer ud af en større gruppe pĂĽ đ?‘› elementer, dette antal kaldes binomialkoefficienten. Binomialkoefficienten skrives som: đ??ž (4, 2) = 6 Hvis vi efter samme princip vil udtage tre elever fra en større gruppe pĂĽ fem elever (Anna, Birthe, Clara, Dorthe og Ellen) er der i stedet for følgende 10 muligheder {đ??´, đ??ľ, đ??ś }, {đ??´, đ??ľ, đ??ˇ}, {đ??´, đ??ľ, đ??¸ }, {đ??´, đ??ś, đ??ˇ}, {đ??´, đ??ś, đ??¸ } {đ??´, đ??ˇ, đ??¸ }, {đ??ľ, đ??ś, đ??ˇ}, {đ??ľ, đ??ś, đ??¸ }, {đ??ľ, đ??ˇ, đ??¸ }, {đ??ś, đ??ˇ, đ??¸ } Matematisk kan vi skrive đ??ž (5, 3) = 10. Ud fra disse eksempler vil det ret hurtigt vĂŚre klart, hvor uoverskueligt det vil vĂŚre, hvis man fra en stor gruppe pĂĽ 12 elever skulle udvĂŚlge en mindre gruppe pĂĽ 4. Vi har derfor følgende formel til at udregne binomialkoefficienten. SĂŚtning 6: Binomialkoefficienten đ?‘˛(đ?’?, đ?’“) Hvis man ud af en stor gruppe pĂĽ đ?‘› elementer skal udvĂŚlge en mindre gruppe pĂĽ đ?‘&#x; elementer kan man beregne antallet af mĂĽder at gøre det, ved hjĂŚlp af følgende formel: đ??ž(đ?‘›, đ?‘&#x;) =

đ?‘›! đ?‘&#x;! ¡ (đ?‘› − đ?‘&#x;)!

Eksempel 11: Ud af en stor gruppe pĂĽ 12 elementer skal du udtage en mindre gruppe pĂĽ 4 elementer. Hvor mange gange kan det gøres pĂĽ? đ??ž (12, 4) =

12! 12! = = 495 4! ¡ (12 − 4)! 4! ¡ 8!

Regnet i hĂĽnden đ??ž(12, 4) =

1 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 4 ¡ 5 ¡ 6 ¡ 7 ¡ 8 ¡ 9 ¡ 10 ¡ 11 ¡ 12 1 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 4 ¡ 5 ¡ 6 ¡ 7 ¡ 8 ¡ 9 ¡ 10 ¡ 11 ¡ 12 = 1¡2¡3¡4¡1¡2¡3¡4¡5¡6¡7¡8 1¡2¡3¡4¡1¡2¡3¡4¡5¡6¡7¡8 =

9 ¡ 10 ¡ 11 ¡ 12 9 10 12 11 = ¡ ¡ ¡ = 3 ¡ 5 ¡ 3 ¡ 11 = 45 ¡ 11 = 495 1¡2¡3¡4 3 2 4 1

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

3.10 Binomialkoefficienten og Pascals trekant Pascals trekant er opkaldt efter den franske matematiker Blaise Pascal (1623 - 1662) og er en geometrisk opstilling af tal i en trekantsform. Trekanten er bygget op süledes, at der øverst i trekanten stür et ettal, og hver rÌkke herunder starter og slutter ligeledes med et et-tal. De resterende tal fremkommer ved at tage summen af de to tal, der stür umiddelbart over. (ses figuren) En af egenskaberne ved Pascals trekant er, at hvis vi angiver rÌkkerne, og tallene i rÌkkerne, pü en bestemt müde, sü kan vi direkte aflÌse binomialkoefficienterne ud af Pascals trekant. Figur 1: Pascals trekant

Hvis vi angiver den øverste rĂŚkke som đ?‘› = 0 den nĂŚste rĂŚkke som đ?‘› = 1 og sĂĽ videre, og derefter tager hvert tal i rĂŚkken og benĂŚvner fra venstre mod højre som đ?‘&#x; = 0, đ?‘&#x; = 1 og sĂĽ videre, sĂĽ har vi Pascals trekant bygget op af binomialkoefficienter. 0. rĂŚkke n = 0 1. rĂŚkke n = 1 2. rĂŚkke n = 2 3. rĂŚkke n = 3

r=0r=1

Vi kunne ogsĂĽ tilsvarende have bygget trekanter op direkte af binomialkoefficienterne đ??ž(đ?‘›, đ?‘&#x;) pĂĽ denne mĂĽde:

Hvis man for eksempel skal bestemme hvor mange gange man kan udtage 2 elementer af en større gruppe pĂĽ 4 elementer, skal vi altsĂĽ bestemme binomialkoefficienten đ??ž(4,2). Hvis vi bruger Pascals trekant, skal vi altsĂĽ ned til rĂŚkke 4:

Vi ser altsĂĽ, at đ??ž(4, 2) = 6 ud fra sammenligning af de to rĂŚkker i trekanterne.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Eksempel 12: a) PĂĽ hvor mange mĂĽder kan man udtage 4 kort fra et kortspil, nĂĽr det er lige meget hvilken farve de har? Der er 52 kort i et kortspil. NĂĽr vi skal udtage 4 af dem er der følgende muligheder: đ??ž(52, 4) =

52! = 270725 4! ¡ (52 − 4)!

Der er altsĂĽ 270 725 mĂĽder man kan udtage 4 kort fra et spil kort b) PĂĽ hvor mange mĂĽder kan man udtage 4 kort fra et kortspil, nĂĽr de alle skal vĂŚre â—Š? Hvis alle 4 kort skal vĂŚre â—Š, skal de tages ud af de 13 â—Š-kort. Der er altsĂĽ đ??ž (13, 4) =

13! = 715 4! ¡ (13 − 4)!

Der er altsĂĽ 715 kombinationsmuligheder for at udtage de 4 â—Š. c) Nu vil vi gerne beregne sandsynligheden for at udtage 4 â—Š ud af en helt kortspil. Først er det vigtigt at se, at sandsynlighedsfeltet er symmetrisk, da sandsynligheden for at trĂŚkke 4 kort er lige stor uanset hvilke 4 kort det er. Vi kan altsĂĽ bruge sĂŚtning 3, hvor vi beregnede sandsynligheder i et symmetrisk sandsynlighedsfelt. đ?‘ˇ(đ?‘Ż) =

đ?‘ƒ (4 â—Š ) =

=

đ?’‚đ?’?đ?’•đ?’‚đ?’? đ?’ˆđ?’–đ?’?đ?’”đ?’•đ?’Šđ?’ˆđ?’† đ?’–đ?’…đ?’‡đ?’‚đ?’?đ?’… đ?’‚đ?’?đ?’•đ?’‚đ?’? đ?’Žđ?’–đ?’?đ?’Šđ?’ˆđ?’† đ?’–đ?’…đ?’‡đ?’‚đ?’?đ?’…

đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘šĂĽđ?‘‘đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘Łđ?‘– đ?‘˜đ?‘Žđ?‘› đ?‘˘đ?‘‘đ?‘ŁĂŚđ?‘™đ?‘”đ?‘’ 4 â—Š đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘šĂĽđ?‘‘đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘Łđ?‘– đ?‘˜đ?‘Žđ?‘› đ?‘˘đ?‘‘đ?‘ŁĂŚđ?‘™đ?‘”đ?‘’ 4 đ?‘˜đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ą 715 = 0,002641 = 0,26 % 270725

Sandsynligheden for at trĂŚkke 4 â—Š fra et spil kort er altsĂĽ ikke mere end đ?‘ƒ(4 â—Š) = 0,26 %.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

3.11 Hvordan man kan opstille, løse og konkludere pĂĽ en eksamensopgave Nedenfor er gennemgĂĽet tre type-opgaver indenfor sandsynlighedsregning og kombinatorik. Opgave 1: (2019, 6. december, hf C, opg. 10) GemmebrĂŚttet pĂĽ billedet har 9 lĂĽger. Tobias ĂĽbner 2 lĂĽger helt tilfĂŚldigt. a) Gør rede for, at Tobias kan vĂŚlge de 2 lĂĽger pĂĽ 36 forskellige mĂĽder. Vi beregner đ??ž(9,2) đ??ž (9,2) =

9! 2!¡(9−2)!

=

1¡2 ¡3¡4¡5¡6¡7¡8¡9 1¡2¡1¡2¡3¡4¡5¡6¡7

=

8¡9 1¡2

=

72 2

= 36

SĂĽ Tobias kan vĂŚlge 2 ud af de 9 lĂĽger pĂĽ 36 forskellige mĂĽder. Bag i alt 5 af lĂĽgerne gemmer der sig et dyr. b) Bestem sandsynligheden for, at Tobias finder et dyr bag begge lĂĽger. đ?‘ƒ(đ?‘‘đ?‘Śđ?‘&#x; đ?‘?đ?‘Žđ?‘” đ?‘?đ?‘’đ?‘”đ?‘”đ?‘’ đ?‘™ĂĽđ?‘”đ?‘’đ?‘&#x;) = đ?‘ƒ(đ?‘‘đ?‘Śđ?‘&#x; đ?‘?đ?‘Žđ?‘” 1. đ?‘™ĂĽđ?‘”đ?‘’) ¡ đ?‘ƒ(đ?‘‘đ?‘Śđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Žđ?‘” 2. đ?‘™ĂĽđ?‘”đ?‘’) =

5 4 ¡ ≈ 0,2777778 9 8

= 27,78 % eller đ?‘ƒ(2 đ?‘‘đ?‘Śđ?‘&#x;) =

đ??ž(5,2) 10 = = 27,78 % đ??ž(9,2) 36

Der er altsĂĽ 27,78 % chance for at han finder et dyr bag begge lĂĽger. Opgave 2: (2020, 25. maj, hf C, opg. 11) I et spil kan man fĂĽ 0, 1, 2 eller 3 point. Tabellen viser sandsynlighederne for at opnĂĽ pointene. 0 0,44

Point Sandsynlighed

1 0,33

2 0,20

a) Bestem sandsynligheden đ?‘? Vi har, at đ?‘? = 1 − 0,44 − 0,33 − 0,20 = 0,03 = 3 % Der er 3 % chance for at pĂĽ 3 point i spillet. Spillet spilles nu to gange. b) Bestem sandsynligheden for at fĂĽ 3 point bĂĽde i det første spil og i det andet spil. Vi har đ?‘ƒ(3 đ?‘œđ?‘” 3) = đ?‘ƒ(3) ¡ đ?‘ƒ(3) = 0,03 ¡ 0,03 = 0,0009 = 0,09 % Det er altsĂĽ meget usandsynligt at fĂĽ 3 point i bege spil.

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

3 đ?‘?

3.12 Formelsamling

Beregning af manglende sandsynlighed i tabel: Hvis man kender alle sandsynligheder, undtagen ĂŠn, i en tabel, kan man finde den sidste ved:

đ?‘ƒ(đ?‘˘1 ) = 1 − đ?‘ƒ(đ?‘˘2 ) − đ?‘ƒ(đ?‘˘3 ) − ‌ − đ?‘ƒ(đ?‘˘đ?‘› ) Enten-eller-sĂŚtningen: Sandsynligheden for at enten hĂŚndelse 1 eller hĂŚndelse 2 finder sted: đ?‘ƒ(đ??ť1 đ?’†đ?’?đ?’?đ?’†đ?’“ đ??ť2 ) = đ?‘ƒ(đ??ť1 ) + đ?‘ƒ(đ??ť2 ) BĂĽde-og-sĂŚtningen: Sandsynligheden for at bĂĽde hĂŚndelse 1 og hĂŚndelse 2 finder sted: đ?‘ƒ(đ??ť1 đ?’?đ?’ˆ đ??ť2 ) = đ?‘ƒ (đ??ť1 ) ¡ đ?‘ƒ(đ??ť2 ) Fakultet og permutationer: đ?‘›! = 1 ¡ 2 ¡ 3 ¡ ‌ ¡ (đ?‘› − 2) ¡ (đ?‘› − 1) ¡ đ?‘› 0! = 1 1! = 1 2! = 1 ¡ 2 = 2 3! = 1 ¡ 2 ¡ 3 = 6 4! = 1 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 4 = 24 5! = 1 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 4 ¡ 5 = 120 ‌‌ Kombinatorik og binomialkoefficienten đ?‘˛(đ?’?, đ?’“): Stor gruppe đ?‘› Lille gruppe đ?‘&#x; đ??ž(đ?‘›, đ?‘&#x;) =

đ?‘›! ( đ?‘&#x;! ¡ đ?‘› − đ?‘&#x;)!

Pascals trekant:

Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K

LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.