2 WSTĘP Człowiek od zarania dziejów porządkuje przestrzeń i czas za pomocą liczb, ale jak uporządkowane są same liczby, to postaram się ukazać w tym artykule „Na śladach liczb”. Spójrzmy krótko na poniższą tabelę liczb pierwszych i ich iloczynów do 1000. Na pierwszy rzut oka dostrzegamy powtarzający się wyraźny ukośny wzór z 10 liczb takich samych prostokątów /47-67-89-107-127-145-125-103-85-65-/. Jaki to ma wpływ na rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynów dowiemy się już za chwilę.
3 PODSTAWOWY PORZĄDEK
Jak się mają wszystkie liczby nawzajem do siebie wynika z tego jak następują jedna po drugiej. Dodając jedną do drugiej otrzymujemy coraz większe liczby trójkątne 1 = (1*1), 1 + 2 = 3 = (2*1,5), 1 + 2 + 3 = 6 = (3*2), 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = (4*2,5), które można przedstawić jako iloczyn kolejnych liczb i czynnika stale o 0,5 większego/2*1,5 = 3, 3*2 = 6/.
Jak wiadomo, każdą liczbę naturalną można zapisać, jako sumę pewnej ilości jedynek, ale także, jako sumę dwóch składników. Jeżeli liczby parzyste są po prostu podwojeniem kolejnych liczb naturalnych 2(1,2,3,4,5,..) = 2k, to liczby nieparzyste stanowiące połowę liczb naturalnych, są sumą skrajnych par liczb poprzedzających, jako składników mających zdolność do tworzenia identycznych sum pośrednich. [1 + (2 + 3) + 4] = 5 = (1 + 4) = (2 + 3)
Według addytywnej teorii liczb, każdą liczbę nieparzystą, można przedstawić, jako sumę dwóch różnych składników poprzedzających ją liczb, więc takich rozkładów tworzących
4
identyczne sumy pośrednie w tym przypadku jest trzy: (n – 1)/2, (7 – 1)/2 = 3, 7 = {6 + [5 + (4 + 3) + 2] + 1} = (6 + 1) + (5 + 2) + (4 + 3) = 21/3 = 7
Takie malejące i rosnące ciągi liczb naturalnych /9-8-7-6-5-4-3-2-1-2-3-4-5-6-7-8-9=89/ tworzą 17 par skrajnych składników/1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-7-6-5-4-3-2-1=81/, które użyte, jako czynniki (9*1) = 9, (8*2) = 16, (7*3) = 21, (6*4) = 24, (5*5) = 25 dają iloczyny rosnące według malejących liczb nieparzystych /9 + 7 = 16 + 5 = 21 + 3 = 24 + 1 = 25/, co dowodzi, że te czynniki, czyli wszystkie liczby naturalne tworzą identyczne sumy pośrednie/17(10) = 170/.
5 Ta parabola liczb ukazuje wyraźnie jaka jest wzajemna zależność pomiędzy pięcioma liczbami /1 3 5 7 9/ a liczbami na jej łuku /9 + 7 = 16 + 5 = 21 + 3 = 24 + 1 = 25/, oraz równania Pitagorasa 3² + 4² = 5², a także liczbami równań 25 + 9 = 34 i 25 – 9 = 16 mówiących, że suma i różnica liczb o tej samej parzystości jest liczbą parzystą. Te prawa działają w całym zbiorze liczb naturalnych.
Świadczy to o doskonałym porządku panującym w całym ciągu liczb naturalnych, składającym się w 50% z liczb parzystych i nieparzystych, czyli liczb pierwszych i ich iloczynów. Tak podstawowe liczby nie są określane przez naturę metodą przypadkowego rzutu monetą, czy kostką „Bóg nie gra ze światem w kości”, lecz oparte na zdolności do tworzenia identycznych sum pośrednich z skrajnych par liczb poprzedzających daną wielkość. Przypadek i chaos są dla matematyki po prostu nie do przyjęcia.
ZBIÓR LICZB NATURALNYCH Liczby naturalne zapisane kolejno od 1 do 102 w sześciu kolumnach i siedemnastu wierszach dzielą ten układ liczb dokładnie na 51 liczb parzystych, to znaczy 2(17) = 34 liczb podzielnych przez 2 i 17 liczb podzielnych przez 2 i 3,(6,12,18,24,30,36,42,..), oraz 51 liczb nieparzystych, to znaczy 2(17) = 34 liczb podzielnych tylko przez 1 i samą siebie, oraz 5 i 7, a także 17 liczb podzielnych przez 3. (3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,..). Co ciekawe wielokrotności liczby 17 (34,51,68,85) tworzą główną przekątną tego prostokątnego zbioru 102 = 17(6) liczb. Liczby 6 i 17 są bardzo ważne dla tego zbioru. Rozbijają one ten zbiór na 2 grupy liczb uszeregowanych w 3 kolumnach po 17 wierszy 3(17) = 51, stale o 6 od siebie większych. To oznacza, że w 100 liczbach mamy (99 – 3)/6 = 16 iloczynów liczby 3, sześć (25 + 95)/20 = 6 iloczynów liczby 5, oraz trzy iloczyny liczby 7 (49,77,91). Sumując 16 + 6 + 3 = 25 otrzymujemy, że ilość iloczynów liczb pierwszych (3,5,7) równa jest 25 liczbom pierwszym do 100.
W tabeli ułożonej z liczb w naturalnej kolejności(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,..) widzimy, że liczby pierwsze i ich iloczyny podlegają tu ścisłym regułom: 1) Suma dwóch liczb o tej samej parzystości, jest liczbą parzystą (9 + 25 = 34, 25 - 9 = 16), a o różnej nieparzystą (14 + 9 = 23, 14 - 9 = 5), oraz iż od liczby 59, która jest 17 liczbą pierwszą, stale będzie ich przybywać o 17 (34,51,68,85,102,119,136,..) w odpowiednim stosunku do ilości ich iloczynów, która jeżeli jest tej samej parzystości co ilość liczb pierwszych, uzupełnia liczby pierwsze w parzystym przedziale do połowy danej wielkości (17+33= 50), gdy różnej w nieparzystym przedziale do połowy danej wielkości (17 + 28 = 45) zgodnie z równaniem π(x) + ∑p(p’) = ½N - połowa danej wielkości jest sumą ilości liczb pierwszych i ich iloczynów jakie
6 występują do danej wielkości. I tak jak przeciwprostokątna w trójkącie zależna jest od przyprostokątnych, tak połowa danej wielkości zależy od parzystej lub nieparzystej wielokrotności liczby 17 /34, 51, 68, 85, 102/ uzupełnioną przez parzystą lub nieparzystą ilość iloczynów liczb pierwszych /38, 66, 103, 136,177/ do parzystej lub nieparzystej połowy danej wielkości /72, 117, 171, 221, 279/.
Odtąd w sposób naturalny liczb pierwszych będzie przybywać zawsze o kolejną wielokrotność liczby 17 (25-9-34-17-51-17-68-17-85-17-102), gdy przy 85 = 5(17) liczba iloczynów liczb pierwszych osiąga wartość 136 = 8(17),co w sumie daje 221 = 13(17) liczb pierwszych i ich iloczynów w 442 liczbach.
7 Czyli 85 liczb pierwszych + 136 ich iloczynów = 221, stanowią połowę sekwencji 442 liczb wśród której występują w ściśle określonym stosunku 5 + 8 = 13, 5 : 8 : 13. Jeżeli sekwencja liczb pierwszych przestrzega tak surowych reguł, jak ścisły stosunek liczb pierwszych do swoich iloczynów, który w systemie dziesiętnym przybiera ściśle określone wartości według zasady 17, 34, 51, 68 liczb pierwszych są dopełniane przez swe iloczyny do pełnej dziesiątki np.: 17 + (23, 33, 43, 63, 73, 83, 93), 34 + (86, 96, 106, 116, 126, 136, 146, 156, 166, 176), 51 + (119, 139, 169, 179, 199, 209, 229), 68 + (202, 222, 232, 272, 312), w zależności od tego na przestrzeni jakiej rozmieszczone są wielkości. Jednak zawsze zachowana jest zasada, że suma liczb pierwszych i ich iloczynów tworzy połowę danej wielkości. π(x) + ∑[p(p’)] = ½N, 68 + 102 = 170, (2 : 3 : 5). I to jest dowód na to, że liczby pierwsze nie są rozmieszczone chaotycznie, lecz według surowych zasad.
STOSUNEK LICZB PIERWSZYCH DO ICH ILOCZYNÓW W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych uzależnione, jest od ścisłego stosunku do swoich iloczynów, a ten wynika ze zdolności do tworzenia identycznych sum pośrednich do danej wielkości. Do 10-ciu mamy 4 liczby pierwsze (2 + 3 + 5 + 7) = 17, tworzą one 4 identyczne sumy pośrednie do 10 [2 + 8 = 10, 3 + 7 = 10, 5 + 5 = 10, 7 + 3 = 10, (8 + 7 + 5 + 3) = 23, 17 + 23 = 40/4 = 10]. Według tego schematu będzie się kształtował stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów, to znaczy na 40 liczb nieparzystych w danym przedziale może być 17 liczb pierwszych i 23 ich iloczynów. A tak to wygląda na wykresie liniowym. Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 = 17), dopełniona sumą różnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23), pokazuje, jaki jest stosunek 17 liczb pierwszych /od 20 – 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 do 100/ do 23 ich iloczynów /21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 65, 69, 75, 77, 81, 85, 87, 91, 93, 95, 99/ w 17 + 23 = 40 liczbach, czyli w połowie danej wielkości. π(x) + Σ[p(p’)] = ½N.
8
Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary, czyli 8 liczb pierwszych (2, 3)(5, 7)(11, 13)(17, 19), a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15), (8 + 2 = 10). W dalszych rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = (4 + 5 + 5 + 3) = 17 + 8 = 25, liczb pierwszych do (6 + 5 + 5 + 7) = 23 + 2 = 25 ich iloczynów, a więc w piątym rzędzie stosunek ten się wyrównuje, jak i w szóstym rzędzie dochodzi równo po 5 liczb pierwszych i ich iloczynów wyrównując do 30, czyli liczby pierwsze do swoich iloczynów są w stosunku 1 : 1. Do N 20 mamy 8 liczb pierwszych /π(20) = 8/ i tylko 2 iloczyny liczby 3 /9,15/, a w następnych N 80 przybędzie ich równo 17 liczb pierwszych, by przy N 100 - π(100) równa się 8 + 17 = 25, uzupełnione do pełnej dziesiątki przez 23 iloczyny liczb 3,5,7 (21,25,27,33,35,39,45,49,51,55,57,63,65,69,75,77, 81,85,87,91,93,95,99) /17 + 23 = 40/, co stanowi połowę 80 liczb wśród których się znajdują i wyrównują liczbę iloczynów z liczbą liczb pierwszych 2 + 23 = 25, 25 + 25 = 50 do połowy danej wielkości.
W dalszych rzędach 6 do 11 stosunek ten wynosi 17/33, to znaczy, że w przedziale 50 liczb (50 = 17 + 33), jest 17 liczb pierwszych i 33 ich iloczynów, czyli liczby pierwsze są
9
rozmieszczone pośród swoich iloczynów w ściśle określonym stosunku. Jednak zawsze zachowana jest zasada, że suma liczb pierwszych i ich iloczynów tworzy połowę danej wielkości /π(x) + Σ[p(p’)] = ½N, 68 + 102 = 170, 2:3:5/. W następnych rzędach/34 – 46/ stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów ulega podwojeniu z 17/43 do 34/86 ponieważ, obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb. Mamy tu jeszcze zakres 17 + 43 = 60 liczb, 17 + 53 = 70 liczb, 34 + 66 = 100 liczb, 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb.
Nie możemy powiedzieć, że liczby pierwsze występują zawsze co 20 liczb, ale jest pewne, że przybywa ich w ścisłym stosunku do ich iloczynów w grupach po, 17 + ( 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93) liczb, po 34 + (66, 86, 96, 106, 116, 126, 136, 146, 156, 166, 176) liczb, po 51 + (119, 139, 169, 179, 199, 229), po 68 + 202 = 270 liczb, po 68 + 222 = 290 liczb, po 68 + 232 = 300 liczb, po 68 + 272 liczb, jak to widzimy w poniższej tabeli do 10960 liczb.
10 Σ[p(p')]
π(x)
½N
2
8
10
23
17
40
25
25
50
30
30
60
33
17
50
63
47
110
66
34
100
129
81
210
135
85
220
43
17
60
178
102
280
184
106
290
33
17
50
217
123
340
86
34
120
303
157
460
86
34
120
389
191
580
139
51
190
528
242
770
33
17
50
561
259
820
106
34
140
667
293
960
53
17
70
720
310
1030
43
17
60
763
327
1090
53
17
70
816
344
1160
43
17
60
859
361
1220
63
17
80
922
378
1300
86
34
120
1008
412
1420
53
17
70
1061
429
1490
73
17
90
1134
446
1580
11 53
17
70
1187
463
1650
43
17
60
1230
480
1710
96
34
130
1326
514
1840
106
34
140
1432
548
1980
53
17
70
1485
565
2050
116
34
150
1601
599
2200
106
34
140
1707
633
2340
73
17
90
1780
650
2430
222
68
290
2002
718
2720
2009
721
2730
63
17
80
2072
738
2810
2080
740
2820
43
17
60
2123
757
2880
43
17
60
2166
774
2940
2174
776
2950
73
17
90
2247
793
3040
179
51
230
2426
844
3270
53
17
70
2479
861
3340
2487
863
3350
53
17
70
2540
880
3420
53
17
70
2593
897
3490
63
17
80
2656
914
3570
2664
916
3580
12 136
34
170
2800
950
3750
43
17
60
2843
967
3810
2851
969
3820
116
34
150
2967
1003
3970
2975
1005
3980
73
17
90
3048
1022
4070
3057
1023
4080
116
34
150
3173
1057
4230
3181
1059
4240
232
68
300
3413
1127
4540
169
51
220
3582
1178
4760
63
17
80
3645
1195
4840
126
34
160
3771
1229
5000
179
51
230
3950
1280
5230
199
51
250
4149
1331
5480
Trudno wyobrazić sobie bardziej równomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynów niż te, wynikające z tego jak następują jedne po drugich w stałych odległościach, co 20 liczb,/3 – 23 – 43 – 63 - 83 – 103, 131 – 151 – 171 - 191 – 211 – 231 - 251 – 271 – 291/, dopełniając się wzajemnie w ściśle określonym stosunku (17/23, 17/33, 17/43,..) do połowy danej wielkości /½N/. Tworzą one wtedy 16 kolumn, czyli 4 razy 4 dla każdej charakterystycznej dla nich liczby jedności / 1 – 3 – 7 – 9/ po 16 i 17 liczb i 2 razy dwie czyli 4 kolumny dla iloczynów liczby 5 po 16 + 17 = 33(2) = 66. Jak łatwo można policzyć w sumie w 13 kolumnach po 17 liczb jest ich /13(17) = 221/ plus 1 = 222 z 16 liczbowej kolumny iloczynów liczby 5 i 7 kolumn po 16 liczb /7(16) = 112 + 222 = 334 liczby. W tym jest samych liczb pierwszych /7(10) + 6(11) + 2(12) + 8 = 168/, a iloczynów liczb większych od 3, jest /4(7) + 9(6) + 66 + 9 + 5 + 4 = 166/.
13
Jednakowa odległość /20/ od siebie wszystkich liczb ułożonych zygzakowato w poniższej tabeli /9, 29, 49, 69, 89, 109/ sprawia, że w pierwszym rzędzie na 20 kolumn jest miejsce dla 8 liczb pierwszych i 2 iloczynów liczby 3. /8 + 2 = 10/ W następnych rzędach będzie miejsce na 6 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, oraz 4 iloczyny liczby 3 /6 + 4 = 10/, dalej na 7 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, oraz 3 iloczyny liczby 3 /7 + 3 = 10/ i jeszcze raz na 7 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, oraz 3 iloczyny liczby 3 /7 + 3 = 10/ i dalej na 6 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, oraz 4 iloczyny liczby 3 /6 + 4 = 10/. Dodając 8 + 6 + 7 + 7 + 6 = 34 otrzymujemy 34 miejsc, które zajmują liczby pierwsze i ich iloczyny większe niż 3, oraz 2 + 4 + 3 + 3 + 4 = 16, ilość miejsc które zajmują iloczyny liczby 3. 34 + 16 = 50, czyli do liczby 100 mamy 34 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, oraz 16 iloczynów liczby 3. 34/16/50 i 33/17/50 to podstawowe stosunki iloczynów liczby 3 do liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, które będą się powtarzały co 50 liczb aż do nieskończoności. Tu do 1000 widzimy ich 10/16 + 16 + 17 + 17 + 16 + 17 + 17 + 16 + 17 + 17/ = 166 iloczynów liczby 3, oraz 10 /34 + 34 + 33 + 33 + 34 + 33 + 33 + 34 + 33 + 33/ = 334 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3. Z tego stałego stosunku iloczynów liczby 3 do pozostałych liczb wynika, że mają one bezpośredni wpływ na ilość liczb pierwszych do danej wielkości /34 = 9 + 25 – 9 = 16/. To właśnie stała ilość iloczynów liczby 3 w danym rzędzie 16 = 3 + 3 + 4 + 3 + 3 i 17 = 4 + 3 + 3 + 4 + 3 sprawia, że dopełniane są przez stałą ilość (34) liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 w pięciu kolejnych rzędach 34 = 7 + 7 + 6 + 7 + 7 i 33 = 6 + 7 + 7 + 6 + 7
14
Te podstawowe stosunki iloczynów liczby 3 (16/34 i 17/33) do liczb pierwszych i ich iloczynów znajdują swoje odbicie w ścisłym stosunku liczb pierwszych do ich iloczynów. Jak tam w rzędzie 6 czy
15 7 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 nie mogło być iloczynów liczby 3 więcej niż 4 czy 3, jako dopełnienia do połowy danej wielkości (20/2 = 10), tak podobnie tu na 8 liczb pierwszych są 2 iloczyny liczby 3, na 4 liczby pierwsze jest 6 ich iloczynów, na 5 liczb pierwszych jest 5 ich iloczynów, na 3 liczby pierwsze jest 7 ich iloczynów, co w sumie 8 + (4 + 5 + 5 + 3) = 8 + 17 = daje 25 liczb pierwszych uzupełnionych przez 2 + (6 + 5 + 5 + 7) = 2 + 23 = 25 ich iloczynów do 25 + 25 = 50 połowy danej wielkości.
A tak to wygląda na konkretnych liczbach nieparzystych jakie znajdujemy do 100.
Do takiego zrównania ilości liczb pierwszych z ich iloczynami 25/25 = 1 : 1 już więcej nie dojdzie. Rozmieszczone pośród swoich iloczynów w ściśle określonym stosunku 17/23, 33, 43, 53,.. hołdują
16 tendencji, że ich iloczynów jest coraz więcej π(340) = 68/102/170 = 2:3:5, również w innych stosunkach π(910) = 280/630/910 = 4:9:13, π(4220) = 1055/3165/4220 = 1:3:4. Takie zrównanie stosunku 34/16 do 25/25 odbywa się kosztem odjęcia i dodania tej samej liczby 34 = 9 + 25 – 9 = 16 do połowy sumy liczb 34 + 16 = 50/2 = 25, czyli odjęcia od 34 tego co za dużo i dodaniu tego do 16 /34 – 9 = 25 = 9 + 16/.
Podobnie jest w następnej setce liczb od 120 do 220, tu liczby pierwsze występują w ścisłym stosunku 17/33/50
17 A tak wygląda to na konkretnych liczbach nieparzystych jakie znajdujemy do 200.
A oto przykład podstawowego stosunku 16 liczb pierwszych do 34 swoich iloczynów.
Występuje on w obrębie 100 liczb pomiędzy liczbą 200 i 300, gdzie na 17 iloczynów liczby 3 w podstawowym stosunku przypada 33 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 i po uszeregowaniu tworzy podstawowy stosunek 16 liczb pierwszych do 34 swoich iloczynów.
18
FUNKCJA ILOŚCI LICZB PIERWSZYCH π(x) Dotąd wydawało się, że liczby pierwsze są zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami. Jednak liczb pierwszych jest stale mniej im dalsze obszary rozpatrujemy, a ilość ich jest w stosunku malejącym zarówno, co do połowy ilości liczb w danej wielkości, jak i ich iloczynów 25:25:50 1/1/2, 68 : 102 : 170, 2/3/5, 85 : 136 : 221, 5/8/13. Liczby pierwsze gdy chodzi o ich rozmieszczenie, podlegają bowiem jednej zasadzie, że suma liczb pierwszych i ich iloczynów tworzą połowę danej wielkości /π(x) + ∑[p(p’)] = ½N/, czyli są wzajemnie od siebie zależne. Co ciekawe liczba ilości ich iloczynów /∑ p(p’)/, jest liczbą zawsze o tej samej parzystości, co liczba ilości liczb pierwszych π(x). Suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości, jest zawsze liczbą parzystą, a więc podzielną przez dwa. Reguła połowy sumy i różnicy liczb pierwszych i ich iloczynów, pozwala nam obliczyć ilość liczb pierwszych do połowy danej wielkości, bo ta połowa składa się z połowy sumy i różnicy liczb o tej samej parzystości. Twierdzenie: Jeżeli liczba ilości ich iloczynów /∑ p(p’)/, jest tej samej parzystości co liczba ilości liczb pierwszych π(x), to połowa ich sumy i różnicy dodana, gdy ich iloczynów, jest więcej niż liczb pierwszych, lub odjęta gdy liczb pierwszych jest mniej niż ich iloczynów daje dokładną wartość π(x) do połowy danej wielkości. Dowód: Do 1000 mamy 168 liczb pierwszych i 332 ich iloczynów. Połowa sumy i różnicy liczb o tej samej parzystości zsumowana, gdy ich iloczynów, jest więcej niż liczb pierwszych [332 + 168]/2 + [332 – 168]/2 = 250 + 82 = 332, lub odjęta, gdy liczb pierwszych jest mniej niż ich iloczynów [332 + 168]/2 – [332 – 168]/2 = 250 – 82 = 168, daje dokładną wartość π(x) do połowy danej wielkości. Długi na 168 liczb ciąg liczb pierwszych od 2 – 997, dopełniony jest przez 166 iloczynów liczby 3 (9 – 999), oraz 166 iloczynów liczb większych niż 3 [168 + (166 + 166)] = 168 + 332 = 500, do połowy danej wielkości. Z tego układu graficznego jasno wynika, że to iloczyny liczby 3 rosnące tak jak połowa danej
19 wielkości w przewidywalnym postępie geometrycznym 16, [166 = 16(10) + 6, 1666 = 166(10) + 6], mają wpływ na ilość liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3. To znaczy według podstawowego stosunku na 166 iloczynów liczby 3 przypada 334 = 168 liczb pierwszych plus 166 ich iloczynów większych niż 3. 166 + 334 = 500 = 168 + 332 Takie zrównanie tych dwóch stosunków 334/166 i 332/168 odbywa się kosztem odjęcia i dodania tej samej liczby 332 = 82 + 250 – 82 = 168 do połowy sumy liczb 332 + 168 = 500/2 = 250, czyli odjęcia od 332 tego co za dużo i dodania tego do 168 /332 – 82 = 250 = 82 + 168/.
Liczby pierwsze i ich iloczyny rozmieszczone są tak równomiernie, że ta sama liczba która jest różnicą pomiędzy ilością iloczynów a ¼ danej wielkości, określa ile liczb pierwszych jest mniej, a ich iloczynów więcej od ¼ danej wielkości. π(x) ∑ p(p’) – N/4 N/4 ∑ p(p’) – N/4 ∑ p(p’) 25 0 25 + 0 25 168 82 250 + 82 332 1 229 1 271 2 500 + 1 271 3 771 9 592 15 408 25 000 + 15 408 40 408 78 498 171 502 250 000 + 171 502 421 502 664 579 1 835 421 2 500 000 + 1 835 421 4 335 421 5 761 455 19 238 545 25 000 000 + 19 238 545 44 238 545 50 847 534 199 152 466 250 000 000 + 199 152 466 449 152 466 455 052 511 2 044 947 489 2 500 000 000 + 2 044 947 489 4 544 947 489 4 118 054 813 20 881 945 187 25 000 000 000 + 20 881 945 187 45 881 945 187 Na tej podstawie możemy stwierdzić, że liczb pierwszych do danej wielkości jest o tyle mniej, o ile więcej jest ich iloczynów od ¼ danej wielkości, czyli wszystkie liczby pierwsze leżą na linii pośrodku ¼ danej wielkości, a nadwyżką swoich iloczynów ponad ¼ danej wielkości. Stąd znając ilość iloczynów do danej wielkości odejmując od nich ¼ danej wielkości obliczamy o ile jest ich więcej, bo tym mniej będzie liczb pierwszych. Możemy więc napisać wzór: π(x) = N/4 – [∑ p(p’) – N/4],
168 = 250 – [332 – 250] = 250 - 82
20
Stąd wraz z wzrostem różnicy pomiędzy ich iloczynami a ¼ danej wielkości maleje ilość liczb pierwszych: 250 000 000 – 199 152 466 = 50 847 534
Na wykresie liniowym widać jak asymptotycznie maleje ilość liczb pierwszych w stosunku do w postępie geometrycznym rosnącej ¼ danej wielkości. f(¼N) 25 – 250 – 2500 [250 = 25(10), 2500 = 250(10)]
21
Widzimy, że prawa matematyczne wynikające z parzystości liczb mają zastosowanie i w tym równaniu (x)/2 - ∑[p(p’)] = π(x), gdy od połowy danej wielkości odejmujemy ilość zawartych w niej iloczynów liczb pierwszych, by otrzymać ilość liczb pierwszych do danej wielkości: gdzie suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości jest liczbą parzystą /500 – 332 = 168/, zaś o różnej parzystości liczbą nieparzystą /5000 – 3771 = 1229/. N/2 10/2 10²/2 10³/2 10⁴/2 10⁵/2 10⁶/2 10⁷/2 10⁸/2 10⁹/2 10¹⁰/2 10¹¹/2 10¹²/2 10¹³/2 10¹⁴/2 10¹⁵/2 10¹⁶/2 10¹⁷/2 10¹⁸/2 10¹⁹/2 10²⁰/2 10²¹/2 10²²/2 10²³/2 10²⁴/2 10²⁵/2 10²⁶/2 10²⁷/2
-
∑[p(p‘)] 1 25 332 3 771 40 408 421 502 4 335 421 44 238 545 449 152 466 4 544 947 489 45 881 945 187 462 392 087 982 4 653 934 463 161 46 795 058 249 198 470 155 429 577 331 4 720 761 658 966 075 47 376 442 842 345 767 475 260 045 712 259 140 4 765 942 332 723 655 393 47 779 180 397 439 081 160 478 872 730 513 981 268 072 4 798 532 713 310 684 093 710 48 074 679 608 393 196 031 077 481 564 400 232 650 799 132 134 4 823 153 690 600 856 230 588 320 48 300 753 249 127 562 858 672 397 483 647 701 979 341 780 276 720 534
= π(x) 4 25 168 1 229 9 592 78 498 664 579 5 761 455 50 847 534 455 052 511 4 118 054 813 37 607 912 018 346 065 536 839 3 204 941 750 802 29 844 570 422 669 279 238 341 033 925 2 623 557 157 654 233 24 739 954 287 740 860 234 057 667 276 344 607 2 220 819 602 560 918 840 21 127 269 486 018 731 928 201 467 286 689 315 906 290 1 925 320 391 606 803 968 923 18 435 599 767 349 200 867 866 176 846 309 399 143 769 411 680 1 699 246 750 872 437 141 327 603 16 352 298 020658 219 723 279 466
22
Jak równomiernie rozmieszczone są liczby pierwsze wśród swoich iloczynów wynika również z ich stosunku do danej wielkości, co widoczne jest od wielkości 1 000 000 w prawie jednakowej różnicy 2,3… z jaką wzrasta ich stosunek do danej wielkości. N 10 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹ 10¹⁰ 10¹¹ 10¹² 10¹³ 10¹⁴ 10¹⁵ 10¹⁶ 10¹⁷ 10¹⁸ 10¹⁹ 10²⁰ 10²¹ 10²² 10²³ 10²⁴ 10²⁵ 10²⁶ 10²⁷
π(x) 4 25 168 1 229 9 592 78 498 664 579 5 761 455 50 847 534 455 052 511 4 118 054 813 37 607 912 018 346 065 536 839 3 204 941 750 802
N/π(x) = Q 2,5 4 5,952380952 8,136696501 10,425354462 12,739178068 15,047120056 17,356726729 19,666637127 21,975485813 24,283309606 26,590149421 28,896260781 31,201815126
29 844 570 422 669 279 238 341 033 925 2 623 557 157 654 233 24 739 954 287 740 860 234 057 667 276 344 607 2 220 819 602 560 918840 21 127 269 486 018 731 928 201 467 286 689 315 906 290 1 925 320 391 606 803 968 923 18 435 599 767 349 200 867 866 176 846 309 399 143 769 411 680 1 699 246 750 872 437 141 327 603 16 352 298 020 658 219 723 279 466
33,506932277384 35,8117010829293 38.11618881953831 40.420446552543547 42.7245136481400161 45.02842098686713155 47.332193147901297933 49.6358498907123767384 51.9394072986177402967 54.242878594656482689695 56.5462747510885666811513 58.84960494916787034601609 61,153484283167900000000003
Q₂ - Q₁ = d 1,5 1,952380952 2,184315549 2,288657961 2,313823606 2,307941988 2,309606673 2,309910398 2,308848686 2,307823793 2,306839815 2,306111360 2,305554345 2,305117151 2,304768805545 2,304487736609 2,304257733005 2,304067095596 2,30390733872711 2,30377216103417 2,30365674281108 2,30355740790536 2,30347129603874 2,30339615643209 2,30333019807930 2,30387933400003
Obliczając średnią arytmetyczną z jedenastu ostatnich różnic (d) z jaką wzrasta ich stosunek do danej wielkości i dodając go do ostatniego stosunku N/π(x) = Q, otrzymamy nowy stosunek danej wielkości N/π(x), która podzielona przez ten stosunek da nam ilość liczb pierwszych jaka znajduje się do danej wielkości π(x) = N/Q.
23
Średnia arytmetyczna jedenastu ostatnich różnic (d) stosunku liczb pierwszych do danej wielkości wynosi 2,303879334 dodana do ostatniego stosunku Q (58,84960494916787034 601609) daje 61,1534842831679. Dzieląc daną wielkość 10²⁷/61,1534842831679 otrzymujemy π(x) = 16 352 298 020 658 219 723 279 466 i te dane wpiszemy do powyższej tabeli. Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana. Odtąd ciąg liczb pierwszych nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb, lecz do uporządkowanego asymptotycznie malejącego stosunku liczb pierwszych do połowy danej wielkości i ich iloczynów. W końcu poszukiwana od wieków przez matematyków tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynów została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność. Sprawdźmy jeszcze ile mniej jest liczb pierwszych do N/4, 250 000 000 000 000 000 000 000 000 16 352 298 020 658 219 723 279 466 = 233 647 701 979 341 780 276 720 534, a dodając do tego 250 000 000 000 000 000 000 000 000 otrzymujemy 483 647 701 979 341780 276 720 534, czyli ilość iloczynów liczb pierwszych.
Q
E
D
24 TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 - 13577
25
26
27
28
29
30
31
32
