1.3 KVANTKOSMOLOOGIA ALUSED JA SISSEJUHATUS KVANTVÄLJADE TEOORIASSE

lõpmatusele:

siis saame tiheduste suhteks:

mis tähendab seda, et piisavalt varajases Universumi staadiumis on ainetihedus „peaaegu“ võrdne kriitilise tihedusega.

1.3 Kvantkosmoloogia alused ja sissejuhatus kvantväljade teooriasse

Eespool tuletatud Universumi aine ja energia tiheduse ρ võrrandis

võrdus ( Universumi „pindsingulaarsuse“ korral r = R ) Universumi aine ja energia tihedus lõpmatusega ρ = ∞, mille korral oli ka Universumi kosmoloogiline aeg ja ruum teisenenud lõpmatuseni. Kui aga Universum on paisunud lõpmata suureks r = ∞, siis Universumi tihedus avaldub võrrandis võrdusena = . Täpselt samasugune analüüs kehtis ka teise tuletatud võrrandi korral:

Näiteks kui viimases võrrandis kehtis võrdus = , siis on Universum paisunud lõpmata suureks ehk r3 = ∞. Selline analüüs tõestas, et viimane võrrand on eespool oleva Universumi tiheduse võrrandiga füüsikaliselt täpselt identsed. Kuid ainus erinevus seisnes kordaja y2 väärtuses. Näiteks kui Universumi tiheduse ρ võrrandi korral:

on tegemist Universumi pindsingulaarsusega r = R, siis kordaja y2 väärtus on sellisel juhul lõpmatu y = ∞:

See tähendab seda, et kui kordaja y2 võrdub lõpmatusega, siis on tegemist Universumi pindsingulaarsusega ja Universumi paisumiskiirus H võrdus sellisel juhul nulliga. Küsimus on selles, et millega võrdub siis Universumi ruumala r = R Universumi pindsingulaarsuse korral? Selle teada saamiseks pöördusimegi võrrandite süsteemi teise võrrandi poole: 224

Viimase võrrandi y 2 kordaja peab sellisel juhul ehk Universumi pindsingulaarsuse korral võrduma samuti lõpmatusega:

Viimane tähendab seda, et = korral saame r3 = R3 = ∞ ehk Universumi ruumala on lõpmata suur. See tähendab seda, et sellise analüüsi järgi on Universumi pindsingulaarsus lõpmata suur, Universumi aine ja energia tihedus samuti lõpmata suur = = ning Universumi paisumiskiirus võrdus nulliga H = 0.

Universumi mateeria põhivormideks on AINE ja VÄLI. Kvantväljade teooria järgi koosneb aine „aineosakestest“ ja väli „väljaosakestest“. Kui Universumi pindsingulaarsuse „ajal“ oli Universumi ruumala ja massi/energia tihedus mõlemad lõpmata suured, siis ainuvõimalik füüsikaline tõlgendus oleks sellele see, et see võib näidata mingisugust energiavälja olemasolu Universumi pindsingulaarsuse ajal, mille korral ei eksisteerinud praegu tuntavat vaakumit. Energiaväljaga kaasneb ka aine eksisteerimine, kuna aine ja väli ei saa eksisteerida üksteisest lahus ( mõnes mõttes välja arvatud elektromagnetlaine korral ).

Kui aine osakeste ehk elementaarosakeste ( mitte aatomite või molekulide ) vahekaugused lähenevad lõpmatusse, siis aine tihedus võrdub nulliga. Kui aga aine osakeste vahekaugused lähenevad nullile, siis aine tihedus läheneb lõpmatusele.

Kui aine osakeste vahekaugused lähenevad nullile, siis aineosakeste vaheline ruumala läheneb nullile. Näiteks praegusel ajal on kõige suurem aine tihedus aatomituumal.

Kuna Universumi ruumala V on kohe pärast inflatsioonilist paisumist ehk pindsingulaarsuse korral lõpmata suur ja seega selles sisalduv massi/energia kogus on samuti lõpmata suur ( NÄITEKS galaktikaid oleks Universumis lõpmata palju ), siis seega on Universumi aine-energia tihedus ρ igal kosmoloogilisel ajahetkel tegelikult konstantne ( väljaarvatud Universumi alg- ehk punktsingulaarsuse korral ):

See näib olevat kooskõlas üldise massi/energia jäävuse seadusega. Kui aga viimases Universumi tiheduse võrrandis käsitleksime massi/energiat suvalises Universumi asukohas eksisteeriva punkti suhtes, siis saame Universumi aine-energia tiheduseks:

milles vaadeldav ruumala V Universumis võrdub nulliga ehk tegemist on Universumi aegruumis eksisteeriva/vaadeldava punktiga:

ja selle punkti suhtes ei võrdu mass/energia enam lõpmatusega:

225

ega isegi mitte nulliga, vaid mingi kindla arvväärtusega:

Näiteks võib mass M võrduda:

= Sellisel juhul ei saa mass M võrduda lõpmatusega ega nulliga, kuna see pole antud juhul füüsikaliselt reaalne ega usutav. See tähendab seda, et lõpmata suure ruumalaga Universumi suhtes on ka selle mass M lõpmata suur ( näiteks galaktikaid oleks Universumis lõpmata palju ), kuid Universumi aegruumis eksisteeriva/vaadeldava punkti suhtes ei ole mass/energia enam lõpmata suur ega isegi mitte null. Sellest tulenevalt võrdub massi/energia tihedus lõpmata suure ruumalaga Universumi suhtes ühega, kuid Universumi aegruumis eksisteeriva lõpmata väikese punkti suhtes aga lõpmatusega. Punktil ei ole mõõtmeid ehk see võrdub füüsikalises mõttes lõpmata väikese ruumalaga. Massi/energia tiheduse klassikalise valemi järgi saaksime aegruumi punkti suhtes mistahes massi/energia arvväärtuse korral ( väljaarvatud nulli korral ) tiheduseks ikkagi lõpmata suure väärtuse, mis eespool oleva analüüsi järgi esines vahetult kohe pärast Universumi inflatsioonilist paisumist ehk Universumi pindsingulaarsuse „ajal“.

Lühidalt võib järeldada seda, et eespool tuletatud Universumi ruumala ja tiheduse suhet kirjeldavast võrrandite süsteemist

= = tuleneb omakorda Universumi pindsingulaarsust kirjeldav võrrandite süsteem:

= = milles me näeme väga selgelt seda, et Universumi pindsingulaarsuse korral oli Universumi ruumala lõpmata suur ja Universumi massi/energia tihedus samuti lõpmata suur. Selline pealtnäha füüsikaliselt ebareaalne tulemus viitab tegelikult väga selgelt mingisuguse energiavälja olemasolule, mis antud juhul eksisteeris Universumi pindsingulaarsuse ajal. Näiteks viimasest võrrandite süsteemist võib välja lugeda selle, et lõpmata suure ruumalaga Universumi korral peab massi/energiat olema samuti lõpmata hulk ja see annab massi/energia tiheduseks lõpmata suure Universumi ruumala suhtes ühe:

Kuid samas Universumi aegruumis eksisteeriva punkti suhtes ei saa massi/energiat olla lõpmata hulk ega isegi mitte null ja sellest tulenevalt saame punkti suhtes oleva massi/energia tiheduse lõpmata suure väärtuse:

Sellest on võimalik otseselt järeldada, et Universumi pindsingulaarsuse „ajal“ eksisteeris „ürgne energiaväli“, mis täitis ühtlaselt kogu Universumi aegruumi ( mille tõttu praegu tuntavat vaakumit ei eksisteerinud ) ja ei olnud tsentraalsümmeetriline ( nagu seda on näiteks elektriväli ). Seepärast võib „ürgset energia-välja“ mõista ka kui „energia-ruumina“. Tähelepanuväärne „matemaatiline 226

vastuolu“ on viimase võrrandi juures see, et kui me viime 0 võrrandi

teisele poole võrdusmärki, siis x ei saa kuidagi võrduda nulliga:

vaid selle asemel peab kehtima seos:

Nulliga korrutamine annab meile tulemuseks alati nulli. Kogu Universumi aegruumi täitev energiaväli omab energiat ja massi vastavalt seisuenergia valemile:

See energiaväli ei olnud tsentraalsümmeetriline nii nagu seda on näiteks tsentraalsümmeetriline elektrostaatiline väli. See tähendab, et ürgsel energiaväljal puudus ruumis allikas. Energiaväli täitis kogu Universumi aegruumi, mis oli lõpmatu ulatusega. Sellest tulenevalt oli lõpmata suure Universumi suhtes massi/energiat samuti lõpmata palju. Näiteks elektrivälja kui energiavälja analoogiat kasutades annaks elektrivälja energia E võrrand meile sellisel juhul järgmise lahendi:

milles

Kuid Universumi aegruumis eksisteeriva punkti suhtes ei ole mass/energia lõpmata suur ega isegi mitte null. Sama on näiteks ka klassikalise elektriväljaga, mille korral näitab väljapotentsiaal φ

potentsiaalset energiat mingis kindlas välja punktis. Sellest tulenevalt läheb massi/energia tihedus mistahes välja punktis lõpmata suureks:

kuna tegemist on klassikalise väljaga.

Klassikalise välja „loob“ kvantväli. Matemaatilises füüsikas kirjeldab klassikalist välja u EulerLagrange`i võrrand:

milles olevat liiget

defineeritakse „summa konventsioonina“ ja L on lagranžiaani tihedus, mis on 4-skalaar. Hamiltoniaani tihedus avaldub võrrandina: ( =

Hamiltoni funktsioon ehk hamiltoniaan tähistab füüsikas koguenergiat. Klassikalist välja u kirjeldavas Euler-Lagrange`i võrrandis on defineeritud kanoonilised impulsid:

energia-impulsstensor:

ja energia-impulssvektor:

= milles energia on omakorda määratud avaldisega:

= = Väljavõrrand on relativistlikult kovariantne, mis tähendab seda, et see on kujul 4-skalaar =0 või 4vektor =0.

Kuna mistahes energiaväli omab energiat

siis seega peab energiavälja saama kirjeldada ka tuntud energia jäävuse seadusega. Klassikalises mehaanikas ehk Newtoni mehaanikas on mehaanilise energia jäävuse seaduse võrrandi kuju järgmine:

ehk

Universumi pindsingulaarsuse ajal oli Universumi paisumiskiirus H võrdne nulliga:

Sellest tulenevalt oli kogu Universumit täitval energiaväljal ainult potentsiaalne energia:

= = = mille tõttu kineetiline energia võrdus nulliga. Potentsiaalset energiat märgitaksegi füüsikas tavaliselt negatiivsena ja sellest tulenevalt võrdub energiavälja koguenergia antud juhul negatiivse lõpmatusega. Energia jäävuse seadusega see vastuollu ei lähe, kuna Universumi paisumiskiirus H võrdus nulliga ainult lõpmata väikese ajaperioodi jooksul:

Seetõttu ei lähe see vastuollu mehaanilise energia jäävuse seadusega. See tähendab füüsikaliselt seda, et Universum hakkas uuesti paisuma „kohe pärast inflatsioonilise paisumise lõppu“:

Kui Universumi paisumiskiirus H on nullist erinev, siis tuleb kogu Universumit täitva energiavälja kineetiliseks energiaks samuti lõpmata suur väärtus:

= = = milles potentsiaalne energia võrdub seekord nulliga ja koguenergia võrdub positiivse lõpmatusega. Kineetilise ja potentsiaalse energia lõpmata suured väärtused tulenevad just sellest, et energiaväli täitis kogu Universumi aegruumi, mille ulatus oli lõpmatu ja seega oli lõpmata suure Universumi suhtes energiat/massi samuti lõpmata palju.

Energiavälja potentsiaalne energia:

= = = muutus Universumi paisumise tõttu kineetiliseks energiaks:

= = = Sellest tulenevalt võime moodustada võrrandite süsteemi:

ehk

= = = = = = = = mis kirjeldabki energiate muutust. Tähelepanuväärne asjaolu on selle juures see, et selline muutus toimus lõpmata väikese ajaperioodi jooksul ehk seega sisuliselt 0 sekundiga

ja seetõttu saame viimasest võrrandite süsteemist omakorda energiavälja kaks võrdväärset olekut, mis avaldub järgmise võrrandite süsteemina:

= = See tähendab seda, et energiavälja kineetiline ja potentsiaalne energia võivad põhimõtteliselt võrduda korraga nii nulliga kui ka lõpmatusega. Välja koguenergia mõlemal juhul võrduvad nulliga:

mis on kooskõlas mehaanilise energia jäävuse seadusega. Kuna energiaväli tekkis vahetult kohe pärast Universumi inflatsioonilist paisumist ehk sisuliselt „mitte-millegist“, siis seega energiavälja kineetilise energia ja potentsiaalse energia „summa“ ehk koguenergia peakski võrduma nulliga:

= = Eelnevalt „tuletatud“ võrrandite süsteemist ehk energiavälja kahest võrdväärsest olekust

realiseerub tegelikkuses

kuna Universumi pindsingulaarsuse „ajal“ eksisteeris energiaväli, mis omas massi/energiat. Sellest võib omakorda järeldada seda, et „enne“ Universumi pindsingulaarsust oli energiavälja olek järgmine:

mis tähendab sisuliselt energiavälja mitte-eksisteerimist. See aga vastab Universumi punktsingulaarsusele, mille korral ei eksisteerinud aegruumi ega energiavälja ( s.t. massi/energiat ) ning Universumi punktsingulaarsus „paisus“ pindsingulaarsuseks lõpmata väikese ajaperioodi jooksul ehk sisuliselt 0 sekundiga.

Selline analüüs viitab üsna selgelt sellisele reaalsusele, et Universumi punktsingulaarsuse korral:

= = mil Universumi ruumala oli lõpmata väike ehk sisuliselt null ja massi/energia tihedus samuti null, oli energiavälja olek

Viimane näitab sisuliselt energiavälja mitte-eksisteerimist. Kuid Universumi pindsingulaarsuse korral

= = mil Universumi ruumala on lõpmata suur ja massi/energia tihedus samuti lõpmata suur, on energiavälja olek sellisel juhul

See näitab juba energiavälja eksisteerimist. Universum paisus punktsingulaarsusest pindsingulaarsuseks 0 sekundiga, mis on kooskõlas ka eelnevalt leitud energiavälja kahe erineva olekuvahelise „ajaperioodiga“:

milleks on samuti 0 sekundit.

Eespool esitatud analüüs näitas, et Universumi punktsingulaarsuse korral

= = mil Universumi ruumala oli lõpmata väike ja massi/energia tihedus võrdus nulliga, oli Universumi paisumiskiirus lõpmata suur:

Sellest tulenevalt paisus Universum lõpmata suureks 0 sekundiga ehk Universumi punktsingulaarsus „eksisteeris“ kõigest 0 sekundit:

ja seetõttu ei saanud olemas olla Universumi kvantfluktuatsioone ega muid kvantkosmoloogilisi 230