Operaciones

En estos casos, no solo la escala de la graduación, sino también, los números dados como datos –y, en particular, la distancia entre los números– harán más fácil o difícil la tarea.

Completar los números correspondientes a estas marcas supone identificar cuál es la graduación dada a la recta. Si se quisiera ofrecer más puntos de apoyo para poder establecerlos, se podrían presentar más actividades como la 38, donde la recta aparece con los números correspondientes a las graduaciones todos completos, y que las y los niños deban decidir de a cuánto avanzan las marcas.

Se trata de ayudar a comprender que se trata de una representación que servirá de soporte o base para ubicar otros números tomando la graduación como referencia. • Encuadrar números en una graduación dada, es decir, elegir el intervalo en el que se encuentran. Esta tarea es parte de la ubicación de números en la recta numérica. Frente a algunas de las rectas trabajadas, se les puede pedir que pinten el intervalo donde ubicarían un número. Por ejemplo, en la primera, colorear entre qué números ubicarían el 52, el 98, el 124, etc. Será importante detenerse a analizar en qué se basan para identificar el intervalo correspondiente: 124 como un número que se encuentra entre 120 y 130. Como este intervalo es finito y reducido, incluso, es posible enumerar todos los números que se encontrarían en él junto con su orden. • Ubicarlos (aproximadamente o con mayor precisión) dentro del intervalo correspondiente. Nos proponemos que las y los alumnos comprendan los procesos que llevan a determinar la ubicación de un número en la recta o, de manera recíproca, el número correspondiente a un punto de la recta. En el caso del 124, por ejemplo, sabiendo que se encuentra entre 120 y 130, establecer que se trata de uno antes de la mitad del intervalo. En este caso, es difícil dividir esa medida en 10 partes, así que solo se podrá dar una ubicación aproximada. Se podría mostrar, si no, la construcción de una “lupa” o ampliación de ese intervalo que permita ubicar el número. • Identificar números correspondientes a puntos señalados en la recta. Esta tarea sigue un proceso similar al de la ubicación de puntos: decidir entre qué números se encuentra el número a reconocer y, a partir de su posición relativa respecto de otro u otros números como son los extremos del intervalo, establecer de qué número se trata.

En la página 14 pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones.

Páginas 147 y 153. Juego inicial y actividades 42 a 44.

Operaciones: Problemas de multiplicación. Introducir escrituras multiplicativas en problemas que refieren a series proporcionales.

Al inicio del Capítulo 2, se propone un juego de elaboración de mensajes destinado a la introducción del signo “x” para hacer referencia a colecciones organizadas en grupos de igual cantidad de elementos. Si bien, para algunos pueda ser un objeto conocido a partir de experiencias escolares o extraescolares, las circunstancias actuales requieren considerarlo como un asunto para ser introducido ante la mayoría de la clase.

Al plantear una tarea centrada en la comunicación, el problema está vinculado a la producción e interpretación de los mensajes. La intención es que, en forma progresiva, puedan ir reconociendo las características de esas colecciones (en términos de tipo y cantidad de ladrillitos iguales por tarjeta) y qué mensaje permitirá identificarlas en cada caso. Posiblemente, los primeros mensajes

intenten describir la tarjeta que les ha tocado mediante palabras con la mayor precisión posible, por ejemplo, “4 ladrillitos de 3 puntos” o directamente consideren que, con solo mencionar la cantidad de unidades, la tarjeta queda identificada, por ejemplo, “tiene 4 ladrillitos”.

Se sugiere que puedan jugar varias veces, para ir comparando los mensajes en lo que respecta a su claridad, economía, pertinencia, etc., y para posibilitar que entren en juego las relaciones entre las cantidades (en términos de ladrillitos y puntos por ladrillitos) que se presentan. Estas colecciones pueden ser modelizadas a partir de sumas de sumandos iguales y, también, mediante la multiplicación. El docente, desde sus intervenciones, podrá ir progresivamente favoreciendo estas identificaciones, por ejemplo, “Este mensaje dice 3 + 3 + 3 + 3, ¿permite identificar a cuál tarjeta se refiere? ¿Por qué?”.

Las actividades 42, 43 y 44 remiten al juego y permiten avanzar en las condiciones que debe cumplir el mensaje para que dé lugar a una única tarjeta. En el caso de que no haya surgido, a partir de esas producciones, resultará una oportunidad para relacionar esos mensajes con su escritura mediante el signo “x” (aspecto en el que se centra la actividad “Para pensar entre todos”). En tal sentido, se pueden copiar alguno de los mensajes y propiciar que vuelvan a ser escritos como multiplicaciones, por ejemplo, “¿Cómo podemos hacer referencia a la tarjeta de 4 ladrillitos con 3 puntitos en cada uno usando el signo “x“? Martín escribió 4 x 3, ¿Es correcto?”. Del mismo modo, en forma gradual, se sugiere la posibilidad de que esa escritura pueda compararse con los procedimientos aditivos, por ejemplo, “Lucas escribió 4 + 3, ¿es correcto? ¿Por qué no corresponde ese mensaje? ¿Cómo tendría que ser la tarjeta para que corresponda el mensaje que escribió?”.

En el caso de que lo considere necesario y de acuerdo con las experiencias e interacciones que se den en la clase con estos problemas, el docente puede sugerir un trabajo previo con problemas de proporcionalidad (como los que están en la página siguiente) del tipo “En una caja hay 3 lápices. ¿Cuántos lápices hay en 4 cajas como esa?” con la intención de que los alumnos puedan resolverlos empleando diferentes procedimientos: dibujando, haciendo marcas, empleando cálculos, etc. Para luego centrarse más puntualmente en el reconocimiento de la multiplicación y la comparación con respecto a las colecciones analizadas en el juego.

Página 154. Actividades 45 a 49.

Operaciones: Problemas de multiplicación. Resolver problemas que refieren a series proporcionales empleando diferentes procedimientos.

En continuidad, se proponen otros problemas que involucran una relación de proporcionalidad directa y se plantean con la intención de que puedan reconocer las particularidades que presentan (cantidades que se repiten) y, también, como así también emplear diferentes procedimientos de resolución, entre ellos, la multiplicación.

Los procedimientos de resolución podrán estar apoyados en estos recursos: • El rol de los dibujos y la necesidad de producirlos o no. Por ejemplo, la representación que propone la actividad 45 puede resultar un importante apoyo para contar, a partir de ella, los emoticones que corresponderían a los 6 mensajes o reproducirlos, dibujando los que faltan, y luego contarlos. • Recurrir a marcas. Por ejemplo, en la actividad 46, pueden dibujar los emoticones u optar por reemplazarlos por marcas (es decir, centrarse en los aspectos cuantitativos), lo cual puede ser una opción interesante para reflexionar con la clase sobre la economía de estas representaciones para resolver estos problemas. Otro asunto interesante tiene que ver con la manera en que sugieren para organizar esas marcas o dibujos, posiblemente, disponerlos de tal manera que se

identifiquen con claridad los 8 grupos de 4 elementos cada uno (por ejemplo 8 filas de 4) puede simplificar la tarea de conteo o cálculo posterior. • Usar solo números. Por ejemplo, escribir 8 veces el 4 e ir sumando de 4 en 4, emplear sumas de sumandos iguales, la multiplicación, etcétera.

En cada una de estas resoluciones, se presentan diferentes relaciones con los conocimientos en juego por lo que será un asunto de la enseñanza reconocerlos, propiciar que se identifiquen de manera colectiva sus semejanzas y diferencias y, también, permitir hacerlos avanzar.

En la puesta en común, el docente podrá favorecer que los alumnos expliciten los diferentes procedimientos de resolución que emplearon y que los relacionen con los datos del problema (por ejemplo, “¿Por qué Joaquín suma 6 veces 5 si en el enunciado el 5 se menciona una sola vez?; Rita escribió 6 x 5, ¿es correcto lo que hizo? ¿Cómo obtuvo el 30 que escribió en el resultado?; ¿Qué similitudes y diferencias encuentran entre estos problemas y los que surgieron a partir del juego de mensajes con los ladrillitos?; ¿Pueden proponer otro problema que se resuelva mediante una multiplicación?”. Estas podrán ser algunas de las intervenciones al respecto.

Antes de continuar con las actividades 47 y 48 que introducen tablas de proporcionalidad, se puede, si fuera necesario, sugerir otros problemas similares (como por ejemplo, los que se anexan en este libro). Las tablas de proporcionalidad, si bien presentan una misma estructura que las situaciones anteriores en cuanto a la relación entre las cantidades (se mantiene constante el número de elementos por grupo), presentan una dificultad mayor, derivada específicamente de la lectura de este tipo de representación y la organización de los datos que propone. Esta cuestión requerirá de intervenciones puntuales del docente, previa al trabajo con la resolución, para propiciar que cada alumno/a pueda interactuar con la tabla, por ejemplo, “¿Por qué se usará una tabla en estos problemas? ¿Qué nos permite anotar? ¿Qué información da la primera fila? ¿Y la segunda? Si quisiera saber a cuántos clientes llamó el día 5, ¿dónde debo buscar ese dato en la tabla? Si bien corresponde a problemas multiplicativos, no se espera que usen esta operación, sino que puedan recurrir al abanico de opciones que surgieron a partir de los problemas anteriores. Las tablas tienen un valor aparte vinculado a las relaciones entre resultados que pueden promover, por ejemplo, “¿Cómo puedo completar la columna del 4 conociendo la columna del 2? Esta tarea se les puede asignar a los grupos que hayan tenido menos dificultades para completar esas tablas, mientras que otros trabajan con las diferentes estrategias que permitan hacerlo.

La actividad “Para pensar entre todos” se plantea a partir de la actividad 49. Se centra en la diferenciación entre los problemas aditivos y los multiplicativos. En la clase, podrán arribar a conclusiones como “para que se resuelva con la suma 14 + 8, tendría que tener una caja de 14 frascos y otra caja de 8 frascos, en cambio, 14 x 8 refiere a 14 cajas de frascos cada una”. Como se observa otra característica que diferencia los problemas aditivos de los multiplicativos tiene que ver con el universo empírico del contexto al que refieren; en los aditivos, ambos datos corresponden al mismo (frascos); en cambio, en los segundos, a universos diferentes (cajas y frascos).

Páginas 155 y 156. Actividades 50 a 58.

Operaciones: Problemas de suma y resta. Resolver problemas que refieren a unir, agregar, quitar y buscar complementos.

Las propuestas de las páginas 155 y 156 retoman y profundizan lo trabajado en el Capítulo 1 respecto a los problemas aditivos. Se continúa con situaciones que refieren a unir, agregar y qui-

tar y se incorpora la búsqueda de complementos. También, el contexto seleccionado (archivos en computadoras) permite y requiere realizar cálculos con números de mayor tamaño.

Como se mencionó en el primer capítulo, uno de los asuntos para reflexionar con los alumnos tendrá que ver con los procedimientos de cálculo, así, por ejemplo, los números que intervienen en las actividades 50 y 51, quizá, lleven a que los alumnos opten por el algoritmo de la suma; en cambio, en la actividad 52, la presencia de números redondos puede favorecer el trabajo con el cálculo mental. Se destaca nuevamente la importancia de que pueda ser sugerido por el docente, en caso de no haber surgido en la clase, como maneras posibles de resolver, las cuales podrán ser comparadas con las de los alumnos, en términos de economía, conveniencia, etcétera.

A partir de la consigna propuesta en “Para pensar entre todos”, se sugiere propiciar que los alumnos puedan reconocer las similitudes y diferencias de los problemas aditivos que han resuelto hasta aquí considerando los contextos y relaciones entre las cantidades que estos proponen, por ejemplo, “se trata de agregar o quitar una cantidad a otra y averiguar cuánto queda al final”, “refieren a juntar y obtener el total”podrán ser algunas de las afirmaciones que podrán surgir, entre otras.

La actividad 55 retoma el trabajo con tablas de doble entrada, pero ya no como medio para presentar la información, sino también, para completarlas, es decir, trabajar sobre ellas. Posiblemente, haya que volver a introducir intervenciones respecto a su organización, los datos que presenta cada fila, los que presenta cada columna, para luego avanzar y completarla.

Los problemas referidos a la búsqueda de complementos, es decir, ¿cuánto le falta a... para llegar a...? suelen resultar complejos para los alumnos, ya que involucran hallar la distancia o diferencia entre dos números. Si bien la herramienta canónica para resolverlos consiste en hacer una resta, en muchos casos, pueden apoyarse en la suma, es decir, buscar el sumando desconocido: “cuánto le tengo que sumar a... para llegar a...”. De hecho, en situaciones cotidianas, esto suele ser frecuente cuando se refiere a dar un vuelto de dinero, por ejemplo “¿Cuánto le falta a $365 para llegar a $400?” en lugar de hacer 400 – 365, por lo general, decimos “trescientos sesenta y cinco y cinco es trescientos setenta, luego, trescientos setenta y treinta es cuatrocientos, entonces le falta treinta y cinco”.

La actividad 57, si bien refiere a un contexto que puede resultar cotidiano, como lo es el aumento de precios, no obstante, la identificación de la relación que se da entre las cantidades en este tipo de problemas suele resultar un asunto complejo para las y los alumnos. En este caso, por ejemplo, suelen responder directamente que “el aumento es $12.578”. Una estrategia de intervención del docente puede ser introducir situaciones similares, pero con números más chicos, por ejemplo, “un paquete de pastillas valía $60, ahora vale $80, ¿cuánto aumentó?

Como se mencionó en Acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones de la página 14, muchas veces, se asocian directamente palabras claves (como juntar, ganar, aumentar, agregar, quitar, perder) con la operación que resuelve el problema. En “Para pensar entre todos” de la página 156, se propone reflexionar sobre esas asociaciones y los errores que pueden llevar a cometer.

Actividades extra - Capítulo 2 - Operaciones

1 Lucía necesita armar 8 centros de mesa con 3 flores en cada uno. ¿Cuántas flores necesita?