los Números racionales

oportunidades para comparar ese procedimiento con otros, les puede permitir reconocer y explicitar las razones por las cuales en esa técnica se siguen esos pasos.

En el libro, se propone trabajar con situaciones que refieren a los sentidos más sencillos de la suma y de la resta como unir, agregar, quitar, para luego introducir sentidos más complejos, como la búsqueda de complementos, comparaciones (más que y menos qué) y, también, problemas en los que los datos se organizan en tablas. Junto a estos problemas se propone abordar el estudio de diferentes estrategias de cálculo exacto y aproximado de sumas y restas. Considerando que, quizá, muchos alumnos lo requieran, se brindan nuevas instancias para explorar el algoritmo de la suma y el de la resta.

En relación con la multiplicación y la división, se propone continuar –o iniciar– el trabajo con problemas que refieren a cantidades organizadas en grupos de igual cantidad de elementos (Un paquete tiene 4 figuritas. ¿Cuántas figuritas hay en 5 paquetes?) y referidos a distribuciones (repartos y particiones equitativas). Otros de los problemas del campo multiplicativo son los que involucran organizaciones rectangulares y los de combinatoria. Se proponen, además, situaciones destinadas específicamente a la presentación del signo de la multiplicación y el de la división.

La tabla pitagórica constituye uno de los recursos centrales para el trabajo con repertorios multiplicativos, tanto para resolver multiplicaciones como para cálculos con divisiones. Estos y otros repertorios (como las multiplicaciones y divisiones con “números redondos”), junto a diversos procedimientos de cálculo mental se sugieren como insumos para construir y estudiar los algoritmos de estas operaciones.

El estudio de la proporcionalidad se introduce a partir de problemas que las y los alumnos han resuelto antes (como el del ejemplo referido a los paquetes de figuritas), propiciando que, mediante diferentes procedimientos, puedan completar tablas, reconocer, aunque sin explicitar, las propiedades y usarlas para resolver otros problemas.

Acerca del aprendizaje y la enseñanza de los Números racionales

Las fracciones y las expresiones decimales de números racionales aparecen como nuevos números que son introducidos en el segundo ciclo. En esta introducción, queremos describir, sintéticamente, parte de la complejidad que involucran, a la cual progresivamente se irán aproximando los alumnos. Desde la enseñanza, buscamos apelar, en un inicio, al sentido de los números racionales a partir de la insuficiencia de los números naturales para resolver situaciones en las que hay que continuar repartiendo el resto de una división o expresar una medida cuando la unidad no entra una cantidad entera de veces en el objeto que hay que medir.

En el aprendizaje de los números racionales, juega un papel central la relación con los conocimientos adquiridos hasta el momento a propósito de los números naturales. Estos últimos constituyen un punto de apoyo para estos nuevos aprendizajes. Desde allí, las y los alumnos abordarán las situaciones que ahora se presenten intentando extender hacia las fracciones y las expresiones decimales lo que saben sobre los naturales. En consecuencia, al mismo tiempo que permiten una base, este intento de generalización lleva a la producción de errores que son constitutivos de este proceso de desarrollo de los conocimientos porque, así como usan propiedades que son válidas también extienden otras que no lo son para los racionales. Así, por ejemplo, las y los alumnos

suelen afirmar que 1 3 es menor que 1 6 porque 3 es menor que 6 o que 1 2 es diferente de 2 4 o que 0,5 es diferente de 0,50 porque se anotan con números diferentes, que entre 2 5 y 3 5 no hay otro número porque piensan que los números racionales tienen sucesor como los naturales, que 0,3 es menor que 0,29879 porque tiene menos cifras, y así extienden el criterio de comparación de números basado en la cantidad de cifras que es válido para los naturales, que la multiplicación siempre “agranda” el número o que la división lo “achica” siguiendo una regularidad que venían observando para los naturales, etcétera.

Como señalamos, estos errores, manifestaciones de una concepción inicial que atribuye a los racionales las propiedades conocidas para los naturales, son parte del proceso de aprendizaje. Para los niños y las niñas es lógico pensar que, si son números, funcionan como los números que ya conocen. Como componentes del aprendizaje, son errores que persisten y su modificación requiere un trabajo de largo aliento que tiene que asumir la enseñanza.

Se busca proponer desde la enseñanza un recorrido acerca de los números racionales que lleve a alumnas y a alumnos a apropiárselos como herramientas a partir de una práctica matemática de resolución de problemas y de análisis acerca de lo realizado en torno a estos nuevos objetos de conocimiento. Supone un proyecto que abarque, en forma progresiva, los diferentes contextos (extra e intramatemáticos) en los que cobran sentido las fracciones y los decimales, en tareas que vayan poniendo de relieve los diferentes aspectos que los caracterizan. Las situaciones que se presentan apuntan, entonces, a hacer aparecer las fracciones en situaciones de repartos o medición para las cuales no bastan los enteros. En efecto, un primer sentido de las fracciones que se aborda es el de expresar resultados de repartos equitativos de magnitudes continuas (es decir, cuando se puede seguir repartiendo el resto). Este punto de partida intenta dar continuidad al trabajo con la división que se ha realizado desde primer ciclo e incluso en este cuarto grado. Permitirá una plataforma para enlazar a futuro la idea de fracción como cociente entre naturales.

La fracción como una relación con una unidad de medida es otro sentido que se aborda. A futuro, en el segundo ciclo y también en la escuela media, las fracciones funcionarán en otras clases de problemas que las hacen jugar como una relación de proporcionalidad directa. En algunos de estos casos, refieren a nociones particulares como escalas, porcentajes, probabilidades, velocidad, densidad, etc. Otras veces, las fracciones, también, aluden a relaciones entre partes que forman un todo (por ejemplo, una mezcla de pintura que se hace con una parte de negro y 4 partes de blanco, tenemos una relación de 1 4 del negro respecto del blanco). La definición inicial de fracción que se propone, parte de pensar las fracciones de forma 1 n (de numerador 1 como, por ejemplo, 1 4 , 1 5 , 1 8 , etc.) como la cantidad tal que repetida n veces equivale a 1. Así, por ejemplo, 1 4 de pizza es la parte que repetida 4 veces permitiría obtener la pizza entera; 1 8 es la parte que repetida 8 veces permitiría armar la unidad, etc. Apoyados en esta idea, se establece luego la definición general para cualquier fracción m n como la cantidad que repite m veces 1 n . Así, por ejemplo, 3 4 es la cantidad que repite 3 veces 1 4 . Esta definición, en algún momento del trabajo, se irá vinculando con aquella basada en subdividir la unidad en partes iguales según indica el denominador y permitirá tomar la cantidad de partes que indica el numerador. Como esta última definición –históricamente utilizada en la escuela– ha presentado numerosos inconvenientes porque se centra en un reconocimiento perceptivo y en que la unidad se encuentre efectivamente subdividida en partes iguales antes que en las relaciones que intervienen en el concepto de frac-