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Geometría
2 En una gomería, van a cambiar todas las gomas de 5 autos. ¿Cuántas gomas necesitan?
3 Una repisa tiene 9 estantes. En cada estante, se ubicaron 4 diccionarios. ¿Cuántos diccionarios pusieron?
4 Un chupetín cuesta $12. Romina compró 3 chupetines. ¿Cuánto gastó?
5 Lucrecia vende bolsas de 4 vinchas en la feria. Completen esta tabla en la que registra las vinchas que necesita de acuerdo con las bolsas que arma.
Bolsas 1 2 3 4 5
Vinchas
6 Rodrigo vende velas artesanales en la feria. Ofrece cajas que traen 9 velas cada una. Completen esta tabla con las velas que necesita en cada caso.
Cajas 1 2 4 5 8 10
Velas
7 Si cada paquete trae 9 velas. ¿Cuáles de estos cálculos permite averiguar cuántas velas hay en 4 cajas? Rodéenlos.
9 + 9 + 9 + 9 4 x 9 4 + 9 9 – 4 9 + 4
8 Una distribuidora de gaseosas recibió un pedido de 846 botellas de un supermercado. Luego, les solicitaron que agreguen otras 315 botellas. ¿Cuántas botellas les pidieron en total?
9 De otro supermercado, recibieron un pedido de 1.400 botellas de gaseosa. Actualmente tienen en stock 625 botellas. ¿Cuántas botellas le faltan para cubrir ese pedido?
10 Martina desea comprar una bicicleta que vale $10.000. Tenía ahorrado $4.000 y consiguió otros $850 que le regalaron. ¿Cuánto dinero le falta aún para comprar la bicicleta?
En la página 18, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Geometría.
Página 157. Actividad 59.
Geometría: La circunferencia como conjunto de puntos que cumplen ciertas condiciones.
En este capítulo, si bien continuamos con copiados de figuras con circunferencias y algunas construcciones que las incluyen, se pondrá el acento en dos aspectos: • en la construcción de la definición de circunferencia y de sus elementos a través de la resolución de problemas en los que es necesario tenerlas disponibles;
• en la elaboración de mensajes donde no solo pondrán en juego sus conocimientos para resolver, sino que tendrán que comunicar el trabajo realizado con la inclusión gradual de un vocabulario matemático cada vez más preciso.
En la actividad 59, se presenta una propuesta en un contexto que puede ser familiar para los alumnos, ya que se trata de una plaza, pero será necesario tener en cuenta antes de comenzar con la tarea que se hace referencia a un plano.
Es probable, teniendo en cuenta la situación del año anterior en todo momento, que los niños del primer ciclo no hayan tenido la posibilidad de resolver problemas relacionados con el espacio, especialmente con planos. Entonces, se sugiere comenzar, indagando cuáles son los diferentes conocimientos que los alumnos tienen sobre este contenido: elaboración e interpretación de planos.
No estamos pensando en que profundicen en el tema en este momento, pero sí que realicen algún acercamiento, ya que para muchos será la primera aproximación al contenido.
Volviendo al problema, los alumnos tendrán información en algunos carteles, en los que encontrarán los datos necesarios para poder avanzar con la consigna. Por un lado, la escala utilizada en el plano: un metro en la realidad está representado por un lado de cuadradito; por el otro, las condiciones y restricciones del Municipio. Esta información será necesaria para dar respuesta a lo pedido. Algunos procedimientos posibles pueden ser: • Marcar algunos de los puntos pedidos sin identificar que pueden utilizar el compás para marcarlos todos. • Utilizar el compás con la abertura correspondiente para trazar “los puntos de espera”. • Utilizar la regla para verificar si se cumple la distancia pedida entre los juegos. • Utilizar el compás para verificar si se cumple la distancia pedida entre los juegos.
En la actividad “Para pensar entre todos”, se propone la reflexión y el intercambio de ideas acerca de las respuestas del problema anterior, que se relacionan, por un lado, con la idea de que el trazado de la circunferencia para marcar los puntos que están a una misma distancia de un punto determinado es la estrategia más conveniente para que no queden puntos sin marcar; y por otro lado, la idea de que para verificar las distancias entre los juegos puedo utilizar la regla y también el compás con la abertura correspondiente.
Página 158. Actividad 60.
Geometría: La circunferencia y el círculo como conjunto de puntos que cumplen ciertas condiciones.
En la actividad 60, se propone reinvertir la tarea de realizar una construcción a partir de un instructivo y avanzar hacia el concepto de círculo. Se espera poder discutir, además, que una circunferencia delimita tres espacios: el de todos los puntos que están a una distancia dada de un punto llamado centro, el de todos los puntos que están a una distancia menor de ese punto y el de todos los puntos que están a una distancia mayor del centro. Algunas posibles estrategias podrían ser: • Marcar solo algunos puntos de los pedidos al azar. • Intentar cubrir las zonas pedidas con la mayor cantidad de puntitos. • Pintar en forma completa las regiones pedidas.
Respecto de las intervenciones del docente para este problema, será necesario tener en cuenta los tiempos que necesitan los alumnos para comenzar a elaborar estas ideas y la importancia de los intercambios entre pares antes de realizar alguna intervención.
Frente a algunas estrategias descriptas, como las dos primeras, se podrá ofrecer que continúen marcando puntos, por ejemplo: “Los que marcaste están muy bien, pero otros compañeros marcaron otros en diferentes lugares, ¿está bien? ¿Por qué? ¿Habrá más posibilidades?
A partir de este problema, se espera esbozar entre todos una definición de círculo para luego contrastarla con la ofrecida en la página siguiente.
Aparecerán definiciones como: “Son todos los puntos que están adentro de la circunferencia”.
Páginas 159 y 160. Actividades 61 a 63.
Geometría: Reproducción y comunicación de figuras que contienen circunferencias.
En la actividad 61, se propone un nuevo copiado de una figura combinada que incluye circunferencias en hoja cuadriculada; el problema, también, pide elaborar un mensaje para que, otro compañero que no ve la figura pueda realizar una reproducción idéntica.
Si se dispone de un tiempo de puesta en común presencial o virtual sincrónico, sería interesante retomar estos mensajes para analizar si están completos como para reproducir la misma figura. Del mismo modo, será interesante reflexionar acerca de la sobreabundancia de información en algunos mensajes y marcar que es conveniente limitarse solo a la información necesaria para simplificar la comunicación.
Otra cuestión para analizar y comparar son los diferentes procedimientos. Por ejemplo, por dónde inició cada uno la copia y cómo la continuó, y acordar entre todos, si fuera necesario, cuáles son los pasos más convenientes para realizar este copiado.
Con la intención de seguir profundizando en las características de la elaboración de mensajes en Matemática, señaladas en la actividad 62, se ofrece una nueva figura y un mensaje incompleto para su reproducción. Se espera que puedan reinvertir o avanzar en las primeras ideas construidas hasta el momento acerca de la confección de mensajes.
La actividad 63 hace explícita, frente a la resolución de un problema en Matemática, la posibilidad de poder elegir diferentes caminos o procedimientos y que no hay solo uno válido.
Nuevamente, en este aspecto, las intervenciones docentes son indispensables para que los alumnos se involucren progresivamente en este tipo de actividad matemática.
En la actividad “Para pensar entre todos”, se espera que, en pequeños grupos o con el total de la clase, se puedan dejar registradas estas ideas, que consideramos tan fundantes dentro de las concepciones de los lineamientos curriculares actuales y que esperamos que los alumnos las apropien a lo largo de su recorrido escolar.
Algunas ideas, entre otras, que podrían circular: “Para resolver un problema en Matemática, no hay un solo camino ni uno que sea el mejor. Lo importante es que encontremos alguna estrategia que nos permita llegar a responder lo propuesto o acercarnos lo más posible a la respuesta”. “Muchas veces compartir ideas con otros compañeros nos permite mejorar nuestras producciones, avanzar desde donde nos quedamos detenidos”.
Actividades extra - Capítulo 2 - Geometría
Propuestas para aquellos alumnos que, por diferentes motivos, necesitan resolver problemas sobre los asuntos de la geometría, útiles para disponer de ellas al iniciar los problemas de este
capítulo o para volver a repasar los conceptos más relevantes tratados para seguir avanzado en su construcción.
1 Estos segmentos son los radios de tres circunferencias.
a. Dibujalas en la carpeta.
b. Hacé un nuevo dibujo de las tres circunferencias de forma que sus centros estén sobre una misma línea.
c. Volvé a dibujarlas de manera que las tres tengan el mismo centro.
2 Mateo y Ana copiaron esta figura. Escriban un mensaje que ayude a un compañero, que no puede ver las figuras, para que las pueda dibujar y le queden iguales.
3 Este es el mensaje incompleto que escribió Manuel para una nueva figura. Intenten completarlo para que al leerlo se pueda reproducir la figura completa.
• Dibujá un cuadrado en el que la medida de los lados sea 4 cuadraditos. • Marcá los puntos en el medio de cada lado.
Recursos TIC
Acerca de la enseñanza de la Matemática a través de las TIC
Entendemos la utilización de las TIC como un medio para la enseñanza de contenidos curriculares y hacemos hincapié, en que el núcleo de nuestra propuesta es el análisis de las prácticas de enseñanza. Muchas veces se analiza a secas el papel de las herramientas tecnológicas. Dicho análisis, entonces, suele limitarse al uso de dispositivos y apuntan a un saber técnico con escasa reflexión sobre el “tipo” de uso que se realiza. Buscamos, por el contrario, comunicar la utilización de las tecnologías en una discusión que se encuentre centrada en la gestión de los materiales y de la clase que cada recurso en particular pone en juego. El análisis de la clase, como sabemos, supone un análisis del contenido –de los conceptos y de las prácticas de la Matemática– y de las interacciones entre los alumnos y el docente a propósito de los problemas. ¿Qué significa aprender en este contexto? Adherimos fuertemente a la construcción social del conocimiento, a aprender construyendo el conocimiento junto a los otros, gracias a los aportes de todos y en colaboración. Pero a la vez, reconocemos que es necesario que el alumno tome decisiones acerca de cómo resolver y qué reglas utilizar.
En este mismo movimiento, entonces, es necesario asumir el estudio de los nuevos problemas de enseñanza que la inclusión de las TIC plantea. Problemas definidos por condiciones inéditas generadas en el aula: tiempos diferentes, agrupamientos distintos que atiendan varios niveles de conocimiento, disponibilidad de la herramienta para un alumno o para un grupo de alumnos, comunicaciones mediadas por la máquina, otra jerarquización del saber que se construye mejor en colaboración con otros, etcétera.
Nuestra intencionalidad es que las situaciones seleccionadas sean un plus que le aportan las TIC a los recursos habituales de la enseñanza. Por esto, las propuestas deben estar diseñadas de manera que permitan la identificación y el análisis de los usos educativos de las TIC. Las tomamos en consideración como herramientas para que los alumnos puedan pensar, resolver, comparar con lo producido, decidir, argumentar, solos y con otros.
Seguramente, ustedes habrán tenido y tendrán que adaptar las propuestas disponibles en documentos curriculares, libros, etc., a las trayectorias en el uso de las TIC que tengan las escuelas en las que trabajan y a ustedes mismos en su práctica profesional. ¿La escuela tiene equipamiento tecnológico? ¿Computadora, Tablet, celular? ¿Conectividad? ¿Lo usan ustedes? ¿Con qué frecuencia? ¿En la enseñanza de la Matemática? ¿Para qué contenidos de enseñanza? ¿Sus alumnos han trabajado en años anteriores utilizando la tecnología como medio para aprender matemática? ¿Cuántos disponen de algún equipo que permita la realización de trabajo en sus casas? ¿Qué participación en las clases virtuales han tenido? ¿Las actividades que han realizado con las máquinas fueron planificadas? ¿De qué manera se podrían relacionar con los otros medios didácticos que utilizan? ¿Qué evaluación hacen de lo trabajado?, etcétera.
En relación con lo anterior, las propuestas deben permitir la producción de conocimientos por parte de los alumnos. No se trata solo de la aplicación de conocimientos ya construidos. No se trata solo de reproducir lo realizado por otro. Las propuestas tienen que permitir la anticipación por parte de los alumnos y, además, contemplar posibilidades de validar lo producido. Nos referimos al cuidado particular que hay que tomar para que las propuestas que se seleccionen promuevan el mismo tipo de quehacer, el mismo tipo de trabajo matemático en los alumnos que cuando trabajan en otros medios didácticos. Por un lado, la toma de decisión al tener que
seleccionar de todo lo que saben qué van a usar como estrategia de resolución (anticipación) y, por el otro, la actividad argumentativa que, también, debe estar a cargo de los alumnos (validación).
Creemos que es importante decir que ningún recurso didáctico es bueno o malo en sí mismo, sino que se inscribe dentro de un entramado complejo de decisiones que toma el docente para llevar adelante un proyecto de enseñanza. El recurso TIC que el docente seleccione no debería ser el centro de la propuesta, sino que debería cobrar sentido dentro de ella en la medida que permita colaborar en el logro de los propósitos que se persiguen, optimizando la propuesta de enseñanza y aportando una riqueza singular que, tal vez, otro recurso no podría ofrecer. En este sentido, cuidamos que los recursos ofrecidos aporten un plus a otros medios posibles de enseñanza de esos mismos temas.
Uno de los riesgos es el de convertir el recurso en la finalidad. Es decir, que se produzca un desvío en el que los medios de enseñanza ocupen el lugar de los contenidos. Un primer criterio que orienta la selección e inclusión de asistentes digitales en las clases sería, que no desplacen los contenidos de enseñanza y que la complejidad tecnológica que implica el uso del recurso no requiera de tanto esfuerzo que los contenidos que pretendemos enseñar se desdibujen.
Como en toda la enseñanza de la Matemática, más allá del medio didáctico que se utilice, sugerimos la construcción de una memoria didáctica de los alumnos, es decir, proponemos modos de cuidar la relación y la memoria entre conocimientos viejos y nuevos. Esto porque todo conocimiento nuevo se construye apoyándose sobre los conocimientos previos, a los que, al mismo tiempo, modifica. Por otro lado, tanto para favorecer el seguimiento que va a poder efectuar el maestro del progreso y de las dificultades de los alumnos, como también, el seguimiento que van a poder realizar los alumnos de su propio proceso de aprendizaje.
Para esto, en el caso de una enseñanza presencial, si la escuela cuenta con un equipamiento móvil (“carrito”), le sugerimos la numeración de las máquinas y el registro del uso de cada una por los alumnos. De ese modo, cada uno utilizará siempre el mismo equipo y podrá guardar sus producciones en una carpeta personal; de ese modo, podrá volver sobre lo producido, ya sea para estudiar, consultar, comparar sus producciones, apoyarse en lo que hizo, etc. Otra opción, si fuera posible, es el guardado en la nube o en la plataforma institucional.
Con el mismo propósito y en el caso de que se cuente con este recurso, la impresión de lo producido en la máquina para ser guardado luego en el cuaderno o carpeta es otro modo de volver sobre esos conocimientos a la hora de resolver problemas afines, en la puesta en común, como un registro para estudiar, etcétera.
Nuestra propuesta de enseñanza digital se circunscribe a problemas de geometría a través del programa Geogebra. Con independencia de si se trata de las propuestas del libro en papel o de los recursos digitales, el propósito de la enseñanza de la geometría en la escuela primaria es que los alumnos se apropien de un conjunto de conocimientos sobre las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos y, también, del modo de pensar propio de la disciplina. A lo largo del segundo ciclo, es necesario que el docente plantee propuestas de trabajo que permitan que los alumnos aprendan que las propiedades de las formas permiten realizar afirmaciones sin necesidad de apelar a la constatación empírica. Se trata de que, a largo plazo puedan realizar afirmaciones como: “Puedo estar seguro, sin medir, de que este ángulo mide 40º porque entre los otros dos ángulos de este triángulo suman 140º”.
Asimismo, es necesario considerar que los alumnos ingresan al trabajo en soporte digital por tando sus experiencias y conocimientos sobre esos mismos contenidos construidos a través del “lápiz y el papel”. Intentamos que ambos contextos dialoguen y se enriquezcan mutuamente.
Contar con una nueva herramienta, muchas veces, implica una modificación en los modos de resolución de los problemas, en particular, de los modos de representación –ampliando posibilidades o encontrando sus límites–; y esto, por supuesto, puede provocar la necesidad de hacer cambios en la gestión de la clase, como también, abrir la posibilidad de la aparición de nuevos errores e ideas.
En cuanto a la utilización del GeoGebra, consideramos importante que los alumnos se familiaricen con “los básicos” de su uso: la Barra de Herramientas y Mover. La Barra de Herramientas puede variar según la versión de GeoGebra que se utiliza o dependiendo del escenario determinado previamente, pero es necesario que sepan que cada botón orienta con su nombre y que, al apoyarse en él, una etiqueta indica cómo utilizarlo. En lo que se refiere a la herramienta Mover, se trata de activarla al terminar de utilizar otras herramientas y esto le permitirá mover los objetos que no están fijos con diferentes intencionalidades: para analizar las características de un objeto geométrico y/opara poder verificar (validar) la construcción de una figura, por ejemplo; ya que al moverla, si se han puesto en juego sus propiedades, no se “deformará”.
Un detalle que nos parece importante es diferenciar dibujo y construcción. En estas páginas, llamaremos dibujo al producto de utilizar las herramientas en forma directa. Por ejemplo, consideraremos que la circunferencia de radio 2 cm (circunferencia dado un punto y la longitud del radio) o el cuadrado de lado 5 cm, hechos ambos con las herramientas correspondientes, son dibujos. Llamaremos construcción a la que se realiza utilizando propiedades de las figuras. Por ejemplo, construimos cuadrados a partir de rectas perpendiculares, porque tenemos en cuenta que los lados del cuadrado son perpendiculares.
Consideramos un aspecto enriquecedor el que dialoguen de manera permanente las situaciones del libro papel con las digitales, ya que los problemas en Geogebra han sido diseñados de manera secuenciada con la propuesta del libro papel.
Recursos TIC por capítulo
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Página 143
estrada.pub/b9c GeoGebra ofrece varias herramientas para dibujar circunferencias: dibujar una circunferencia a partir del centro y de la medida del radio; dibujar una circunferencia dados tres puntos; dibujar una circunferencia dados el centro y un punto de la circunferencia; dibujar una circunferencia utilizando un compás (que funciona desde el centro y no desde un punto de la circunferencia, como el compás mecánico que utilizamos en el aula). Es importante que los alumnos las utilicen, reconozcan los elementos que necesitan para ello (recordemos que está indicado en cada botón, al apoyar el cursor) y sepan en qué casos se utiliza cada una. En la propuesta, aparecen varias preguntas que se refieren a los dibujos hechos por los alumnos, sugerimos volver a realizar en forma oral o escrita este tipo de preguntas para cada una de las herramientas. Como siempre, es importante que los alumnos comparen sus producciones y sus respuestas con los pares.
Página 144
estrada.pub/0zl En este recurso, se parte del dibujo de una circunferencia dada la medida de su radio y se pide la medición del radio dibujado (con la herramienta Longitud). Las intenciones de esta propuesta se relacionan con la medida del radio de la circunferencia (uso para el dibujo de la circunferencia, trazado del segmento, medición de la longitud del radio, relacionar que el radio es un segmento del que se mide su longitud), la invariabilidad de la circunferencia si el dibujo se hace a partir de la medida del radio (la circunferencia no se agranda ni se achica, el radio sigue midiendo 3 –lo que vincula a esta herramienta de dibujo como una herramienta que “fija” y hace única a la circunferencia–), la existencia de muchos radios con la misma medida en una circunferencia determinada (al dibujar varios radios y medirlos “se ve” que miden lo mismo, aunque estén en distintas ubicaciones), y la confirmación de la definición de radio (por ejemplo, “el radio de una circunferencia es un segmento cuyos extremos son el centro y un punto cualquiera de la circunferencia”, más allá de la ofrecida por el libro papel). Sugerimos repetir este dibujo y responder a las mismas preguntas con circunferencias de otros radios con el fin de afianzar el uso de las herramientas y con el interés de acercar al alumno a las generalizaciones “por observación” y sin exhaustividad, simplemente ostensibles.
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Capítulo 1
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Página 157
estrada.pub/e9m Esta propuesta se presenta en un contexto extramatemático y con un problema clásico para el uso del compás. La intención es volver a la idea de que el radio marca una distancia que se repite a lo largo de toda la circunferencia. En este caso, la circunferencia se convierte en esa línea imaginaria sobre la cual podrían estar sembrados los bulbos y es una idea que irá evolucionando en los siguientes años hasta que sea posible definir la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro. La segunda intención, es la determinación de dos puntos que son la intersección de dos circunferencias. Este asunto irá evolucionando para facilitar la construcción de otras figuras (triángulos isósceles, por ejemplo) y, mucho más adelante, para demostrar congruencias. En el caso puntual de este problema, es posible determinar los dos lugares en los que podrían estar los bulbos. Es necesario discutir que ambos puntos tienen la misma cantidad de chances de ser “el lugar” porque ambos puntos cumplen con la condición de estar a cinco metros del limonero y a dos metros del ciruelo a la vez.
Página 158
estrada.pub/z1k Esta situación es muy cercana a la anterior, pero incorpora las circunferencias del mismo centro y, en consecuencia, la idea intuitiva (no necesariamente definida) de las figuras circulares.
Página 158
estrada.pub/7td Esta propuesta invita a realizar el trabajo contrario: esta vez, es necesario dibujar las circunferencias dados el centro y un punto común a ambas. Los alumnos pueden utilizar la herramienta Compás (atinando a la circunferencia) o Circunferencia (centro, punto). También, pueden trazar los radios y utilizar Circunferencia (centro, radio) y hasta pueden, simplemente, trazar los segmentos y medirlos sin necesidad de trazar circunferencias. Conversar acerca de todas estas opciones, compararlas y comparar los problemas durante la puesta en común, aportará mayor conocimiento.
Página 159
estrada.pub/j94 La copia de figuras implica elegir el orden y las herramientas para el copiado. En este caso, el orden en el que se dibujan las circunferencias no hará que cambie el producto final. La elección de las herramientas, por el contrario, puede hacer variar el resultado final. Si los alumnos eligen la herramienta Circunferencia (centro, radio) pueden probar distintos radios o medirlos antes. Si deciden medirlos, primero, tendrán que dibujar los radios de cada una de las circunferencias usando la herramienta Segmento (es importante que no coincidan con la recta para evitar confusiones) y, luego, usar la herramienta Distancia o Longitud. Si eligen usar las herramientas Compás, tendrán opciones menos seguras para conseguir circunferencias de las mismas medidas y, posiblemente, tendrán que hacer varios intentos. El gran tema de esta copia de figuras aparece a la hora de validar la copia realizada, ya que es posible mover la figura original y superponerla a la conseguida.
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Capítulo 2
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Página 160
estrada.pub/5afb5 La propuesta es muy parecida a la anterior, aunque la figura que hay que copiar es mucho más compleja, ya que hay que definir el orden de copiado. Si bien sugerimos dibujar los dos círculos concéntricos, luego, el círculo grande y, al final, el más pequeño, es posible que los alumnos elijan otro orden y consigan la misma figura. Nuevamente, la posibilidad de superponer figuras ayuda a la validación.
Capítulo 3
Página 162
estrada.pub/ls0 Se ofrece un cuadrilátero y se pide que lo midan en una regla dibujada en el recurso, a partir de 3 (de tres en adelante) y a partir de 18 (de 18 para atrás). A posteriori, se pide que comparen ambas mediciones y que escriban las instrucciones para que otro chico mida de la misma manera. El tema presente en este recurso es la identificación del segmento a medir, la ubicación de ese segmento junto a la regla y, en especial, el conteo de los centímetros y milímetros a partir de un número que no es cero, no solo “de adelante para atrás” sino también, “de atrás para adelante”. En esta última cuestión, estamos reafirmando el concepto de medición de longitudes. Se han quitado todas las herramientas para evitar corrimientos, ampliaciones o disminuciones. Solo está disponible la herramienta Mover.
Página 162
estrada.pub/da748 Este recurso ofrece varias figuras que pueden moverse en el paño en diferentes sentidos. No se indica qué punto permite el movimiento para que los alumnos encuentren posiciones y relaciones sin disponer de pistas. Algunos de los lados de esas figuras tienen la misma medida. Se les pide que las reconozcan (medición por superposición, casi intuitiva, una precuela de la anticipación) y que verifiquen que la medida es la misma. Para verificarlo, pueden mover las figuras y acercarlas hasta confirmarlo. Finalmente, se menciona la herramienta que mide longitudes con el fin de permitirles buscarla en el panel de herramientas y utilizarla. La puesta en común podría organizarse en torno al reconocimiento de longitudes parecidas y a las formas de verificación.
Capítulo 4
Página 190
estrada.pub/vpg En este recurso, se ofrecen las medidas de tres segmentos que bien pueden ser los lados de un triángulo. Se presentan en una poligonal abierta que puede moverse para formar el triángulo. Para facilitar el trabajo de los alumnos, se presentan tres poligonales en las que los segmentos están dibujados en distinto orden. Se pueden cambiar de lugar con el punto verde y mover para formar el triángulo con los puntos azules. Se les pregunta si pueden formar, al menos, un triángulo y se les pide que comparen sus respuestas con las de otros alumnos. La puesta en común tendría que centrarse en las medidas de los segmentos y la relación que permite formar el triángulo. El triángulo que puede formarse es único (el mismo en distintas posiciones).
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Página 190
estrada.pub/aa02a Las longitudes de los segmentos que se ofrecen en este recurso no corresponden a un triángulo (la suma de dos de los segmentos es menor al tercero en, al menos, uno de los casos). La puesta en común girará en torno a las medidas que no permiten construir triángulos. Como siempre, consideramos muy enriquecedor establecer relaciones entre estas conclusiones y las que arribaron al resolver los problemas del libro papel.
Página 188
estrada.pub/e1356 En este recurso, se invita a construir un triángulo utilizando solo dos círculos y un segmento. Las herramientas disponibles son valiosas para encontrar el punto de intersección y para dar forma final al triángulo determinado por puntos intersección. Hay muchas maneras de resolver el problema, habida cuenta de que se pueden utilizar los puntos extremos del segmento o se puede elegir cualquier otro punto. Si los alumnos eligieran cualquier punto del segmento, una vez realizada la puesta en común y discutidos los pasos seguidos, seguramente, resultará interesante pedirles que vuelvan a abrir el recurso original y, esta vez, utilicen los puntos extremo del segmento. De esta manera, efectivamente, el triángulo construido será único (en diferentes posiciones, pero único).
Página 188
estrada.pub/1368b Este recurso es muy parecido al anterior, pero no se ofrecen las circunferencias dibujadas, sino la herramienta para dibujarlas. La puesta en común puede girar alrededor del uso de la circunferencia para determinar todos los puntos equidistantes a un punto (el extremo del segmento, que será vértice del triángulo, para el caso de la construcción).
Capítulo 5
Página 202
estrada.pub/d3w Para avanzar sobre el estudio de los ángulos, pensamos en dos sentidos: la clasificación y la medición. En el caso de la clasificación, avanzamos sobre ángulos en contexto y en movimiento. Una puerta que se abre, una pinza de cocina y una reposera reclinable son tres ejemplos de ángulos que se mueven en un contexto realista. La puerta que se abre define un ángulo de 0° (puerta cerrada) hasta 90° (puerta abierta). El movimiento que ofrece GeoGebra permite advertir el barrido que define el ángulo y toda su amplitud. En la pinza de cocina, hemos considerado la pinza cerrada o abierta para mostrar el barrido. Se puede discutir qué amplitud tiene la pinza si sujeta un objeto más grande o más chico. En el caso de la reposera, aparecen dos ángulos: el ángulo del asiento con el respaldo (de 90° a 180°) y el ángulo de la tercera pata (la que sostiene el respaldo cuando se apoya en el piso). Este último ángulo mide entre 0° y 90°. En este caso, entonces, nos centramos en el intervalo de amplitud y en la clasificación de los ángulos, es decir, en expresiones del tipo “el ángulo entre el asiento y el respaldo se mueve entre un recto y un llano, así que, en cualquier posición es un ángulo obtuso”.
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Página 203
estrada.pub/4198d Para la medición, se sostiene la idea de medir las amplitudes de los ángulos estrictamente con transportadores, por lo que se presenta un transportador fijo (quieto, que no puede moverse sobre el ángulo) y ángulos que se deben ubicar sobre el transportador. El objetivo no es solo medir. Se espera que los alumnos tengan en cuenta que, al trabajar en cualquier soporte, se mantiene la importancia: • del transportador como el “medidor” por excelencia de las amplitudes de los ángulos. • de los “puntos importantes” a la hora de vincular ángulo y transportador (punto o marca central en la que se apoya el vértice del ángulo; marca de 0° en la que se apoya uno de los lados del ángulo).
Página 207
estrada.pub/73f25 Las construcciones y las propiedades de las figuras van de la mano y permiten un fuerte trabajo geométrico. Estos recursos permiten analizar profundamente las propiedades y utilizarlas para construir cuadriláteros. En el primer caso, se ofrece una construcción similar a la trabajada en el libro papel. El tema central para discutir es el paralelismo y la perpendicularidad de los lados del rectángulo. El segundo recurso remite a un cuadrado. La puesta en común se refiere a las propiedades de los lados del cuadrado y sus diferencias con el rectángulo trabajado anteriormente. Es buena oportunidad para resaltar que todo cuadrado es rectángulo (definimos rectángulo como un cuadrilátero de lados consecutivos perpendiculares, y lados no consecutivos paralelos).
Página 208
estrada.pub/95206
Página 231
estrada.pub/13ced Este recurso es valioso para trabajar las actividades de la página 231. En este caso, se presentan todos los cuerpos mencionados en el cuadro y se pueden mover todos juntos para tener la oportunidad de contar vértices, aristas y caras, por ejemplo. El movimiento de todos los cuerpos juntos puede aportar una mirada general, una mirada de las caras o las bases en la misma posición, de los vértices para hacerlos corresponder o para realizar alguna comparación que sea necesaria. Se ha mantenido el color en todos los cuerpos para que los alumnos no puedan referirse a ellos por el color o el tamaño, sino para que los mencionen y reconozcan según sus elementos. Nuevamente, proponemos generar interacciones con lo producido en el libro papel.
Comentarios
Capítulo 6
Capítulo 7
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estrada.pub/5046b Si no fuera sencillo el trabajo de los cuerpos “en bloque”, como se propone en el recurso anterior, o si fuera necesario hacer una mirada específica, ofrecemos cada uno de los cuerpos en una pantalla independiente. En este caso, es posible mover el cuerpo en todos los sentidos y ubicarlo en diferentes lugares. Es posible moverlo a un lado, al otro, en círculos y, si fuera necesario, cambiar su tamaño (herramientas alejar y acercar) para verlo con más claridad y para moverlo con mayor precisión.
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estrada.pub/541d4
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estrada.pub/1cce5
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estrada.pub/d18a1
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estrada.pub/fe1f9
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estrada.pub/d2b87
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estrada.pub/650f2
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estrada.pub/fe65e Estos dos recursos muestran dos poliedros (un cubo, prisma de aristas iguales) y una pirámide y sus correspondientes desarrollos. Los desarrollos están “pegados” a los cuerpos originales, por lo que ambos (cuerpo y desarrollo) se mueven a la vez. También, es posible acercar el desarrollo hasta ver la superposición de desarrollo y cuerpo. Las preguntas se orientan a estudiar la cantidad de vértices y de aristas del cuerpo y la diferencia que hay con la cantidad en el desarrollo. Pero sin ninguna duda, se privilegia que los alumnos reconozcan la relación entre el desarrollo del poliedro y el poliedro mismo.
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estrada.pub/1e7a8
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estrada.pub/945 Este recurso utiliza GeoGebra como un simple soporte en el que no se utilizan las herramientas geométricas propias del programa. Se presentan cuatro situaciones vinculadas con las mediciones y cuatro instrumentos de medición. Al emparejarlos, se está vinculando una situación con el instrumento que lo resuelve. En este caso, no se les pide que midan ni que utilicen el instrumento.
