ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
► ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
1
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
2
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
1. ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 1. Να λυθούν γραφικά τα συστήματα:
x y 5 α. 2 x y 1
3x y 5 β. 2 x 3 y 4
2x y 3 δ. 4 x 2 y 6
ε.
ζ.
y x 2 2 3y 3 x 0 2
x y 2 x y 2
5 2x y η. 3 10 6 y 4 x
x 3y 2 γ. 5 x 3 y 10 3x y 2 στ. 1,5 x 0,5 y 1
2 1 5 x 5 y 2 θ. x2 y0 2
2. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 2. Να λυθούν με τη μέθοδο της αντικατάστασης, τα συστήματα: 2x y 4 α. 3x y 1
3x 4 y 2 β. 5 x 2 y 12
3 x y 2 x y 2 γ. x y 4 x y 14
3 x y 2 y 1 0 δ. 22 x y 2 x 4
2x 5 y 3 ε. 5 5 7x y 4 2
3x y x y 1 5 στ. 4 x 2y x y 3 4 3
3. Να λυθούν με τη μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών, τα συστήματα:
4 x 3 y 5 α. 2x y 1
0,1x 2 y 0,5 β. 0,5 x 10 y 1,5
2x 3y 2 γ. 5 x 2 y 5 2
x y x y 5 3 δ. x y x y y2 3 2 2
2 x y 4 ε. 7 x 2 y 2
3x 2 y 1 στ. 5x 4 y 1
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
3
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
ζ.
22 x 3 y 32 x 3 y 10 5x 2 y 7 η. 4 x 3 y 46 y 2 x 3 15 x 6 y 12
4. Να λυθούν τα συστήματα:
5x y 0 α. 7 x 2 y 17
5 3 β. 2 7 6
3 1 γ. 3 0 2
32 4 43 1 26 δ. 2 3 2 16
22 x y 4 y 2 x 48 ε. 35 x y 5 x y 40
x y x y 5 3 3 στ. 2 x y x y 3 4 3
ζ.
x 2 y 4 5x y 3 4 4 2y x x y x 1 6 4
x 4 5x 4 y 0 3 6 θ. x 2 y 1 5x 9 y 4 6 10
3x 2 y x 4 y y2 6 η. 2 x y x5 2x 3 2
ι.
y2 3x 2 y x y x 1 2 5 3 x y x6 x 1 y 2 3
3 x y 3 5. Να βρεθούν τα α, β ώστε το σύστημα να έχει λύση την 3 x y 1
(x, y)=(1, –2). 6. Να βρεθούν δύο αριθμοί με άθροισμα 19 και διαφορά 3. 7. Να βρεθεί διψήφιος αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων του είναι 12 και αν εναλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του προκύπτει αριθμός κατά 18 μεγαλύτερος του αρχικού. 8. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(4, 2) και Β(2, 3).
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
4
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
9. Να βρεθεί ένα κλάσμα τέτοιο ώστε, αν προσθέσουμε και στους δύο όρους το 1, να γίνεται ίσο με γίνεται ίσο με
2 , ενώ αν αφαιρέσουμε και από τους δύο όρους του το 2 να 3
1 . 2
10. Δύο κινητά τα οποία απέχουν μεταξύ τους 36km ξεκινούν συγχρόνως από δύο σημεία Α και Β και κινούνται πάνω στην ευθεία ΑΒ. Αν κινούνται με την ίδια φορά θα συναντηθούν μετά από 8 ώρες, ενώ αν κινούνται με αντίθετη φορά θα συναντηθούν μετά από 4 ώρες. Να βρεθούν οι ταχύτητες των δύο κινητών. 11. Αν ελαττώσουμε τη βάση ενός τριγώνου κατά 2m και αυξήσουμε το ύψος κατά 2m, τότε το εμβαδόν του μειώνεται κατά 1m2. Αν αυξήσουμε τη βάση και το ύψος κατά 2m, τότε το εμβαδόν αυξάνεται κατά 9m2. Να βρεθεί η βάση και το ύψος του τριγώνου. 12. Να λυθούν τα συστήματα: 3 x 2 y , ( 0) α. x 3 y 4
x y 1 β. , ( 0, ) x y 1
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
5
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
3. ΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ x y Για να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα κάνουμε τα εξής: x y
Υπολογίζουμε τις ορίζουσες: D
, Dx , D y . Dy Dx και y . D D
Αν D 0, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση x
Αν D = 0, τότε: – Αν Dx 0, ή Dy 0 το σύστημα είναι αδύνατο. – Αν Dx = Dy = 0 το σύστημα είναι αόριστο, εκτός αν α = α΄ = β = β΄ = 0 και γ 0 ή γ΄ 0, οπότε το σύστημα είναι αδύνατο. 13. Να υπολογιστούν οι ορίζουσες: α.
γ.
2
1
β.
3 4
1 3 2 1
2 1 3
ε.
ζ.
1 2 3 1
1
1
1
δ.
στ.
η.
5
8
1 2
3 2
1
1
1
1
1 2 1 1 2 1
14. Να λυθούν οι εξισώσεις: α.
x 1 4 2
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
0
β.
x 2 x x
0
6
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
γ.
ε.
2 3
1
0
2
3
2
0
δ.
1 2 0
στ.
2 1 2 1 0 1 1
15. Να λυθούν τα συστήματα με τη μέθοδο των οριζουσών:
x 3y 2 α. 2 x 9 y 3
β.
x 1 y 2 x 1 y 3 5 2 x 1 y 1 x 3 2 y 3 2
3 5 7 γ. 1
δ.
z 3 z z4 7 2 22 z 3 z 2 6 z
στ.
x 2y 8 x y 6 x 4 3 2 3 3x x 3y 5 4
η.
8 x 16 y 3 0 2x 4 y 1 0
ι.
4x 6 y 1 14 x 12 y 2
5 y 3 3x ε. 2 x 3 y 4 6 ζ.
3x 5 y 7 6 x 10 y 7
x y 3 θ. 2 x 2 y 6
16. Να λυθούν τα συστήματα: x y 2 α. x y 2
β.
x y 1 x 2 y 3
x y 2 γ. x y 1
δ.
x y 1 3x 2 y 5
x y 2 ε. x y 2
στ.
x y 1 x y 1
η.
x y 1 x 3 y 2 3
ι.
1x y 2 x y 1
ζ.
x 2 y 1x y 1
x y 1 θ. 2 2 x y
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
7
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
17. Να λυθούν τα συστήματα: 2x y 1 α. 3x 2 y 1
β.
2 x y 4 4x 3 2 y 8 7
2x 7 3 y 35 γ. x 3 y
δ.
2 1x y 1 2 x y 1
1x y 2 ε. 2 x y 1
στ.
5x 2 3 y 3 2 3 10x 5 6 y 2 4
η.
2y 3 x y 2 5 x 1 2y 3 y 0
ι.
x y 0 x 2 y 0
x y 2 α. 2 x y
β.
x y 2 x 4 y 3
x y 1 γ. 2x y 3
δ.
1x y x 1 y
ζ.
x 2 y x 2 2x y 1 1 y
2x 5 y 0 θ. x 2 y 0
18. Να λυθούν τα συστήματα:
2x 7 y 7 19. Να βρεθεί το λR ώστε το σύστημα να είναι αδύνατο. 4x 5 y 8 x 4 y 20. Όμοια για το σύστημα: . 18 x 2y 12 x y 1 21. Να βρεθεί το αR ώστε το σύστημα να είναι αόριστο. 3x 2 y 2 2 3x y 3 2 22. Όμοια για το σύστημα: . 5 x 2 3 y 5
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
8
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
1x 2 1 y 12 23. Να βρεθεί το μR ώστε το σύστημα 2 2 1x 1 y 1
να έχει
ακριβώς μία λύση. x y 3 24. Δίνεται το σύστημα . Να βρεθεί ο μR ώστε: 2 x 1 y 4
i)
Το σύστημα να είναι αδύνατο.
ii) Το σύστημα να είναι αόριστο. iii) Το σύστημα να έχει μοναδική λύση (x0, y0) τέτοια ώστε y0 = 2x0. 2 3x 4 y 1 25. Να βρεθούν τα λ, μR ώστε το σύστημα να έχει άπειρες 2 x 1 y 4
λύσεις τις οποίες και να βρείτε.
26. Να βρεθούν τα λ, μR ώστε τα συστήματα
2 1x 10 y 3 2x 4 y 5
και
2x 1 y 7 να είναι συγχρόνως αδύνατα. 3x 6 y 5 x y 1 x 1 y 2 27. Όμοια για τα συστήματα: και . x 2y 5 2x y 3 x y 28. Δίνεται το σύστημα με αβγα΄β΄γ΄0. Να δειχθεί ότι: x y
Αν το σύστημα είναι αόριστο, τότε
.
ii) Αν το σύστημα είναι αδύνατο, τότε
.
i)
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
9
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟΥΣ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Θεωρούμε ένα σύστημα 3 γραμμικών εξισώσεων με 3 αγνώστους:
1 x 1 y 1 1 2 x 2 y 2 2 . x y 3 3 3 3 Δύο βασικές μέθοδοι επίλυσης είναι οι παρακάτω: 1) Μέθοδος της αντικατάστασης:
Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε τον άγνωστο αυτό στις άλλες 2 εξισώσεις.
Λύνουμε κατά τα γνωστά το σύστημα των 2 εξισώσεων.
Αντικαθιστούμε τις τιμές των 2 αγνώστων στην αρχική εξίσωση και βρίσκουμε και τον τρίτο άγνωστο.
Παράδειγμα: 2x y 5 2x y 5 2 x y 5 x 3 y 6 x 3 y 2 x y 5 6 3x 2 y 1 3x 4 y 3 8 3x 4 y 32 x y 5 8 9 x 7 y 23 2y 1 x 3x 2 y 1 x 1 3 2y 1 9 x 7 y 23 y 2 9 7 y 23 3 2 x y 5 2 1 2 5 1. Άρα (x, y, ω)= (1, 2, –1). 2) Μέθοδος της απαλοιφής:
Απαλείφουμε έναν άγνωστο (π.χ. το x) από την 2η και την 3η εξίσωση. Δηλαδή πολλαπλασιάζουμε την 1η και τη 2η εξίσωση με κατάλληλους αριθμούς ώστε να δημιουργήσουμε αντίθετους συντελεστές στο x και μετά αντικαθιστούμε την 2η εξίσωση με το άθροισμα 1η+2η. Το ίδιο κάνουμε ανάμεσα στην 1η και την 3η εξίσωση.
Λύνουμε το σύστημα των 2 εξισώσεων, με αγνώστους τα y και ω που προκύπτει.
Αντικαθιστούμε στην 1η εξίσωση και βρίσκουμε το x.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
10
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
Παράδειγμα: 3x 2 y 11 2 6 x 4 y 2 22 2 x 5 y 2 3 (3) 6 x 15 y 6 9 5 x y 2 33 5 x y 2 33 3x 2 y 11 (5) 15 x 10 y 5 55 3x 2 y 11 11y 4 13 11y 4 13 11y 4 13 . 5 x y 2 33 3 15 x 3 y 6 99 13 y 44 Λύνουμε τώρα το σύστημα: 11y 4 13 11y 4 13 52 y 4 176 13x 44 4 63 y 189 y 3. 13 y 44 13 3 44 5. 3x 2 y 11 3x 2 3 5 11 x 4. Άρα (x, y, ω)= (4, 3, –5).
29.
Να λυθούν τα συστήματα:
3x y 7 11 α. 2 x 4 y 5 5 x 3 y 2 16
x y 2 1 β. x 2 y 3 0 2x y 5
2 x y 3 11 γ. 3x y 2 4 . x 3 y 3 2
2 x 3 y 12 5 x 2 y 2 15 δ. x 5 y 3 13 ε. x 4 y 3 24 3x 7 y 2 29 3x 5 y 4 30.
2 x 3 y 4 στ. x 5 y 3 3 . 5 x y 41
Να λυθούν τα συστήματα:
x y z 1 α. 2 x 4 z 3 2 y 2z 5
3x 4 y 4 111 β. 4 x 4 y 6 11 6x 6 y 3
3x 6 y 3 8 δ. x 5 y 2 10 4 x y 5 6
3x y 7 z 14 ε. 2 x 4 y 5 z 5 x 3 y 2 z 16
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
γ.
y 3 2 x 3 2 10 x y 5 2x y 3 6 2 3
x 2 y 3 14 στ. 3x 8 y 4 20 2x 6 y 6
11
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
31.
Να λυθούν τα συστήματα:
3x 2 y 3 0 α. 2 x y 0 5 x y 7 0 32.
2 x 5 y 3 z 0 γ. 3x y z 0 x 6 y 2z 0
Να λυθούν τα συστήματα:
4 x 3 10 5 y 4 1 α. 3 y 17 x 2 y 3 25
33.
x 2 y 3 0 β. 3x y 5 0 2 x y 4 0
4 x 3 z 24 5 y 4 z 18 β. . 3 y 14 x 2 y 3 38
2x y 5 3x y 3 x 3y 1 Να λυθεί το σύστημα: y 2 1 x y 1 2x y
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
12
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
5. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 34.
Nα λυθούν αλγεβρικά και γεωμετρικά τα συστήματα :
i. ii. iii. 35.
Nα λυθούν αλγεβρικά και γεωμετρικά τα συστήματα : i. ii.
36.
Nα λυθούν τα συστήματα : i. ii.
37.
Nα λυθούν τα συστήματα : 2x y 3 i. 2 x 2 xy 6 y 6 ii.
2 yx 2 y 2 2 xy 8 y 0 iii. y x 2 3x 2 iv. v. 38. Για τις διάφορες τιμές του λ, να προσδιοριστεί το πλήθος των ριζών του συστήματος : 2 y x 2 . y x 39. Να βρεθεί ο 0 , ώστε ο κύκλος με εξίσωση x 2 y 2 2 και η ευθεία με εξίσωση x y 2 να έχουν : (i) κανένα κοινό σημείο ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
13
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
(ii) δύο κοινά σημεία (iii) ένα κοινό σημείο το οποίο και να βρεθεί. 40. Έστω η ευθεία y x 2 και η παραβολή y=4x2. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ , ώστε η ευθεία να έχει με την παραβολή : (i) ένα κοινό σημείο (ii) δύο κοινά σημεία (iii) κανένα κοινό σημείο. 41. i. ii.
iii.
iv. v. vi. vii.
Να λυθούν τα συστήματα: x ² y ² xy 3 x y 1 y x² ( y 1)( y 4 x 4) 0
1 1 1 20 x y x y 1
x y 9 x y 41 ( x y )² 2( x y ) 3 0 x y 5 (3x 2)( x y ) 0 x y 2 ( x 2)( y 3) 0 (2 x 1)( y 5) 0
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
14
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ xy 1) , xy 0. ΄ ΄ ΄ y x
Θέτουμε
1 1 , . Οπότε το σύστημα γίνεται: x y
΄ ΄ ΄
x y , x 0, και y 0 . 2) ΄ x ΄ y ΄ Θέτουμε
x ,
y . Οπότε το σύστημα γίνεται:
΄ ΄ ΄
2x 3y 8 2 x 3 y 8 3) (Σ). x 2 y 5 x 2 y 5 x 2y 5 Το (Σ) είναι ισοδύναμη με τα συστήματα:
2 x 3 y 8 2x 3y 8 (Σ1) , (Σ2) , τα οποία λύνουμε: x 2 y 5 x 2y 5 2x 3y 8 2x 3y 8 ( 1 ) : x 2 y 5 2 2 x 4 y 10 y 2.
x 2 y 5 x 2 2 5 x 4 5 x 1 . Οπότε (x, y)=(1, –2). 2x 3y 8 2x 3y 8 ( 2 ) : 2 x 4 y 10 x 2 y 5 2 y 18. x 2 y 5 x 2 18 5 x 36 5 x 31 . Οπότε (x, y)=(31, 18).
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
15
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
x y 1 2 4) 3 9 5 x y 3 2
Θέτουμε
x y 1 2 . Οπότε: 3 9 5
x x 3 3 y 1 y 9 1 9 2 5 2 5
Αντικαθιστούμε στην 2η εξίσωση του συστήματος και έχουμε:
x y 3 2 3 9 1 35 2 3 9 1 15 6 2 9 9 1. Επομένως x 3 1 3, y 9 1 1 10, 5 1 2 3. Άρα (x, y, ω) = (–3, –10, –3).
x y 5 5) y 2 x 1
(συμμετρικό σύστημα).
Προσθέτουμε όλες τις εξισώσεις κατά μέλη: 2 x 2 y 2 8 x y 4 .
Χρησιμοποιούμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος:
x y 4 x y 4 5 4 1 . Όμοια τη δεύτερη εξίσωση:
x y 4 x y 4 x 2 4 x 2 . Όμοια την τρίτη εξίσωση:
x y 4 y x 4 y 1 4 y 3 . Άρα (x, y, ω) = (2, 3, –1).
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
16
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
3x 2 y z 42 3 y 2 z x 44 6) 3 2 z x y 46 3z 2 x y 48 Θέτουμε x y z . Οπότε έχουμε:
y z x, z x y, z x y , x y z . Το σύστημα γίνεται:
3x 2 x 42 3x 2 2 x 42 x 42 2 3 y 2 y 44 3 y 2 2 y 44 y 44 2 3 2 46 3 2 2 46 46 2 3z 2 z 48 3z 2 2 z 48 z 48 2 x y z 42 2 44 2 46 2 48 2
Επομένως:
180 8 9 180 20 . Τώρα βρίσκουμε
x 42 2 42 2 20 2 .
y 44 2 44 2 20 4 .
46 2 46 2 20 6 . z 48 2 48 2 20 8 . Άρα (x, y, ω, z) = (2, 4, 6, 8).
5x 4 y 5x 4 y 1 xy 5 4 1 6 6 5x 4 y yx6 xy xy xy 6 y 3 y 2 3 y 2 1 3 2 1 6 6 7) 3 y 2 y y y 6 y 6 x 8 2 3x 8 2 3x 1 2 3 1 2 3x x x x 8 x 8 Θέτουμε
1 1 1 , , . Οπότε το σύστημα γίνεται: x y
1 1 30 5 4 6 26 30 24 1 1 1 12 3 2 18 12 1 6 18 16 24 1 1 2 3 16 24 1 8
Αντικαθιστούμε τα α, γ στην τρίτη εξίσωση και έχουμε:
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
17
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
2
1 6
1 30 4 1 12 2 60 4 48 2 4 1 1 2 4 3 1 8 3 3 3
2 60 4 48 3 108 3
Οπότε:
1 . 36
1 1 1 12 1 36 36 1 . και 24 144 18 27
1 30
Επομένως:
1 1 1 x 144 , x x 144
1 1 1 y 36 , y y 36 1
1
1 27 . 27
Άρα (x, y, ω) = (144, 36, 27). 42.
i)
Να λυθούν τα συστήματα: 1 3 x y 5 3 7 17 x y
1 1 x y x y 3 iii) 1 1 1 x y x y
43.
i)
44. i)
2 3 5 ii) 5 7 31 2 7 3 x y 1 2 x 3 y 5 20 iv) 4 1 37 x y 1 2 x 3 y 5 40
Να λυθούν τα συστήματα: 2 1 3 x y 0 2 3 2 y 1 1 4 x 3
1 1 1 x y 9 2 3 4 ii) 11 x y 3 1 2 1 x y
x y 1 iii) . x y x y
Να λυθούν τα συστήματα: x 3 y 1 5 x 8 y 12
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
3x 2 5 y 2 2 ii) 2 2 10 x 3 y 7
x 2 y 3 12 iii) 3 2 2 y 4 x 0
18
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
2x y 5 iv) x 3 y 1
45. i)
Να λυθούν τα συστήματα:
2 x 3 y 3 x y 2
x 2y 1 iii) x y x y 0
46. i)
x y 7 v) 2 3 x y 4 6 4
2 x 5 y 8 ii) 3x y 5 2x 3y 1 iv) 3 y 5 7 2 x 5 11
Να λυθούν τα συστήματα: x y 1 2 ii) 3 9 5 x y 3 2
x y 3 4 2 2 x 3 y 1
2 x 5 y 8 1 2 iii) 3 4 5 x y 1
47.
i)
48.
i)
x y iv) x y 1
Να λυθούν τα συστήματα:
x y 9 y 15 x 12
x y ii) y x
x y 15 y z 20 iii) z x 18 z x y 16
Να λυθούν τα συστήματα: 1 1 1 x y 12 1 1 1 y 20 1 1 1 x 15
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
1 1 1 x y 1 1 1 ii) y 1 11 x
1 1 1 1 x y 3 1 1 1 2 iii) x z 3 1 1 1 4 z x 5 1 1 1 6 z x y 5
19
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Συστήματα
49.
i)
50.
i)
51. i)
Να λυθούν τα συστήματα:
x 2 y 3 2 y 3 x 6 5 4 x y 6 10 8 x y 38
2 x 3 y z 20 2 y 3 z x 14 ii) 2 2 z x y 24 2 z 3 x y 32
Να λυθούν τα συστήματα: xy 5x 4 y 3 y 7 3 y 5 x 6 2 3 x
18 y y 5 36 x ii) x 13 xy 12 x y 5
Να λυθούν τα συστήματα:
2 x 3 y 5 1 1 1 10 x y
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
x y ii) 1 1 1 1 x y
20
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
► ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
21
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
22
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2.1. Μονοτ ονί α – Ακρ ότ ατ α – Συμμετ ρ ί ες συ νάρ τη ση ς ● Μια σ υνάρτηση f λέγεται: γνησίω ς αύ ξου σα σε ένα διάστημ α Δ του πεδίου ορ ισμού της , όταν για κάθ ε x 1 , x 2 Δ μ ε x 1 < x 2 ισχύει f ( x 1 ) < f (x 2 ) και γνησίω ς φ θίνουσα σε ένα διάστη μα Δ του πεδίου ο ρισμού της , όταν για κάθ ε x 1 , x 2 Δ μ ε x 1 < x 2 ισχύει f ( x 1 ) > f (x 2 ). ► Μι α συν άρ τ ηση π ου είν αι γνησίω ς αύξουσ α ή γνησί ω ς φθ ίνουσ α στ ο Δ λέ γε τ αι γνη σίω ς μονότ ονη στ ο Δ. ● Η σ υ νάρ τ η ση f(x ) = αx +β με α>0 εί ναι γνη σί ως αύ ξ ου σα στ ο R. ● Η σ υ νάρ τ η ση f(x ) = αx +β με α<0 εί ναι γνη σί ως φθ ί νου σα στ ο R.
● Μια σ υνάρτηση f μ ε π ε δίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει: ολ ικό μέγιστ ο στο x 0 A , όταν f(x ) f(x 0 ) για κάθ ε x A Το x 0 ονομάζεται θ έση μεγίστου και το f (x 0 ) ολι κό μέγι σ το της f Μια σ υνάρ τηση f με π ε δίο ορ ι σ μού το Α λέμε ότι π αρ ουσ ι άζει : ολ ικό ελ άχιστ ο στο x 0 A , όταν f (x ) f (x 0 ) για κάθ ε xA . Το x 0 ονομάζεται θ έση ελαχίστου και το f (x 0 ) ολι κό ελάχι σ το της f ● Ά ρ τ ι α σ υ νάρ τ ηση Μια σ υνάρ τηση f μ ε π ε δίο ορισ μού το Α, λέγεται άρ τ ι α , όταν για κάθ ε x A ισ χ ύει: - x A και f (-x ) = f(x ) Η γρ αφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έ χει άξονα συμμετρίας τον y ΄ y. ● Περ ι τ τ ή συ νάρτ η ση Μια σ υνάρ τηση f μ ε π ε δίο ορισ μού το Α, λέγεται πε ρ ι ττ ή , όταν για κάθ ε xA ισχύει: - x A και f( -x ) = -f( x ) Η γρ αφική παράσταση μιας περιττή ς συνάρτηση ς έχε ι κέντρο σ υμμετρ ίας την α ρχή των αξόνων.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
23
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 2 . Ν α μελ ε τήσε τε ως π ρος τη μονοτονί α τι ς σ υναρ τήσ ει ς : α. f( x ) = 7 - x β. φ( x) = 2 - x -1 γ. γ. 5 3 . Να α. β. γ. δ.
1 στα διαστήματα ( - , 0) και (0 , +) x4 1 h ( x) = x 3 - 3 στα διαστήματα ( - , 0) και (0 , + ) x g (x ) =
βρείτε τα ακρότατα των συναρτ ήσεων: f( x) = 2x 6 – 7 g ( x) = -3( x – 3) 2 + 7 φ ( x) = x 2 -2x + 3 h ( x) = -x 2 + 4x - 3
5 4 . Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση που φαίνεται σ το παρακάτω σχήμα είναι α) γνησίως αύξουσα, β) γνησ ίως φθ ίνουσα και γ) ν α προσδιορίσετε το ολικό ακρότατο: y
Ο
x
5 5 . Tο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι το ( - , 2) ∪ (2 , + ). Θα μπορούσε αυτή η συ νάρτησ η να είναι άρτι α ή περιττή; Ν α δ ι καιολ ογήσε τ ε την απάντησ ή σας. 5 6 . Μια συνάρτηση f μ ε π εδί ο ορ ι σ μού το R είναι περιττή. α . Να υπολογίσετ ε το f( 0). β . Να υπολογίσετε την τιμή τη ς πα ράστασης: Α = f (1) + f (-1).
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
24
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
5 7 . Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες είναι περιττ ές: α. f( x ) = 7x 2 0 0 8 + 3x 1 9 4 0 β. g (x ) = 7 x + 192 5 γ. h (χ) = x 7 – 77 x δ. ε. στ.
3x 2 x -2 4χ φ(χ) = x 4 f( x ) = x f( x ) =
ζ.
κ( x ) = 2x - 4 + 2 x + 2
η.
λ (x ) = 3 x 1
θ.
4 -x g(x) = 4 x
,χ < 0 ,χ 0
5 8 . Ποιες από τις γραφικές πα ραστάσεις των παρακάτω σ υναρτήσεων έ χο υν άξονα σ υμμετ ρίας τον y΄y και ποιες έχου ν κέντρο συμμετρία ς την αρχή τω ν αξ όνων Ο(0 , 0): α. β.
4 - x2 2x g (x ) = 4 x +4 f( x ) =
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
25
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
2 . 2 . Κα τ α κ όρ υ φη – Ορ ι ζόντ ι α μετ ατ όπι ση καμπύ λη ς Α. Κατ ακόρ υ φη μετ ατ όπι ση ● Η γρ αφική παρ άσταση της συνάρ τησης f με f( x ) = φ( x ) + c , c > 0 πρ οκύπτει από μια κατ ακόρ υ φη μετ ατ όπι ση της γραφικής παρ άσ τασ ης τ η ς φ κατ ά c μονάδες πρ ος τ α πάνω
● Η γρ αφική παρ άσταση της συνάρ τησης f με f( x ) = φ( x ) - c , c > 0 πρ οκύπτει από μια κατ ακόρ υ φη μετ ατ όπι ση της γραφικής παρ άσ τασ ης τ η ς φ κατ ά c μονάδες πρ ος τ α κάτ ω
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
26
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
Β. Ορ ι ζ όντι α μετατ όπι ση ● Η γρ αφική παρ άσταση της συνάρ τησης f με f( x ) = φ( x - c ) , c > 0 πρ οκύπτει από μια ορ ι ζόντι α μετ ατ όπι ση της γραφικής παράστασης τ η ς φ κατ ά c μονάδες πρ ος τ α δεξ ι ά
● Η γρ αφική παρ άσταση της συνάρ τησης f με f( x ) = φ( x + c) , c > 0 πρ οκύπτει από μια ορ ι ζόντι α μετ ατ όπι ση της γραφικής παράστασης τ η ς φ κατ ά c μονάδες πρ ος τ α αρ ι στ ερ ά
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
27
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 9 . Στο ίδιο σύστημα συντεταγμέ νων ν α παραστήσετε γ ραφικά τις σ υναρτήσεις: φ (x ) = x , f(x ) = x + 1 , g(x) = x - 1 6 0 . Στο ίδιο σύστημα συντεταγμέ νων ν α παραστήσετε γ ραφικά τις σ υναρτήσεις: φ (x ) = x , f(x ) = x 1 , g(x) = x 1 61. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένω ν να παραστήσετε γραφικά τις σ υναρτήσεις: φ (x ) = x , f(x ) = x 1 + 2 , g(x) = x 1 -2 6 2 . Δίνεται η συνάρτ η ση f( x) = 3x 2 – 2. Να βρείτε τον τύπ ο της συνάρτ ησης g της οποίας η γ ραφική παρ άσταση προκύπτει από δύο διαδ οχικές μετατοπίσε ις της γρ αφικής παράστ ασης της f : α ) κατά 1 μονάδα προς τα δεξιά και κατά 2 μονάδες προς τα πάνω. β ) κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά κ αι κατά 3 μονάδε ς προς τα κάτω. γ ) κατά 1 μονάδα προ ς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα πάνω. δ ) κατά 2 μονάδε ς προς τα αριστερά και κατά 3 μονάδες προς τα κάτω.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
28
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
► ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
29
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
30
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
3.1. Οι Τριγωνομετρικοί Αριθμοί
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Γ ημΒ =
συνΒ =
εφΒ =
σφΒ =
α
β Α γ
Β
2. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω , 0 ≤ ω ≤ 3600 ημω =
y ρ
συνω =
x ρ
εφω =
y , x0 x
σφω =
x , y0 y
Μ(x , y) ω Ο
όπου x 2 y 2 0
3. Γωνίες μεγαλύτερες των 3600 – Αρνητικές γωνίες ημ(κ 3600 + ω) = ημω
συν(κ 3600 + ω) = συνω
εφ(κ 3600 + ω) = εφω
σφ(κ 3600 + ω) = σφω
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
31
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
4. Ο Τριγωνομετρικός κύκλος Σ(xΣ , 1) Μ(x , y)
1
ρ=1
συνω = x
ημω = y
εφω = yE
σφω = xΣ
ω Ο
-1
1
-1
-1 ≤ συνω ≤ 1 -1 ≤ ημω ≤ 1
Ε(1 , yΕ)
5. Πρόσημα τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω 1ο ημω συνω εφω σφω
+ + + +
Τεταρτημόρια 2ο 3ο + + +
4ο + -
Η
Ο
Ε
Σ
6. Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών Αν μ είναι το μέτρο μιας γωνίας σε μοίρες και α το μέτρο της σε ακτίνια τότε: 0 1800
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
32
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
7. Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών Γωνία ω Σε Σε rad μοίρες 00 300 450 600 900 1800
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
ημω
Τριγωνομετρικοί αριθμοί συνω εφω
σφω
0
0
1
0
Δεν ορίζεται
6 4 3 2
1 2
3 2
3 3
3
2 2
1
1
3 2
2 2 1 2
3
3 3
1
0
Δεν ορίζεται
0
0
-1
0
Δεν ορίζεται
π
33
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να εκφράσετε σε rad γωνία:
63.
00
α) β) 1500 γ) 1200 δ) 3000 ε) 2400 στ) 4200 ζ) – 4320 64.
Να μετατρέψετε σε μοίρες γωνία:
3 rad 2 2 β) rad 3
α)
rad 18 4 δ) rad 9 3 ε) rad 4 5 στ) rad 36
γ)
65.
Η διαφορά δύο γωνιών είναι 300 και το άθροισμά τους
2 rad. 3
Πόσα ακτίνια είναι κάθε γωνία; Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας: α) 11250 β) 14700 γ) 25800 δ) 11700 ε) 37800 στ) 39600
66.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
34
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας :
67.
31 3
rad. Αν x
68.
3 να βρείτε το πρόσημο της παράστασης: 2
Α = - εφx + 2ημx – 3 σφx + 7συνx. Αν
69.
4
x<
π να βρείτε το πρόσημο της παράστασης: 2
Β = - εφ2x + ημ2x + συνx – συν2x – σφ2x Να υπολογίσετε σχήματος:
τις
70.
πλευρές
του
τριγώνου
του
παρακάτω
Α
600
300 Γ
Β
4
Στο παρακάτω σχήμα αν ΑΔ ΒΓ , να υπολογίσετε τα μήκη x , y καθώς και τη γωνία B.
71.
Α 8 3 3
Β
8 x 300
Γ
Δ
y
Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α = ημ300 – συν300 + ημ600 – συν600 + εφ300 – σφ300 + εφ600 – σφ600. Β = ημ00 + συν00 + εφ00 + σφ900 – ημ900 + συν900 + ημ450 – συν450.
72.
Γ =
2
Δ = 2
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
2
4
4
2 2
3
3
6
6
2
2
3
4
.
2
.
35
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
Υπάρχει γωνία ω με ημω = 2 ;
73.
Να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών παίρνουν τιμές οι παρακάτω παραστάσεις: Α = 2ημx – 3συνx + 8 B = 5 x 3 x 1
74.
75.
ημ2ω
Να εξετάσετε αν υπάρχει γωνία ω ώστε να ισχύει: – 4ημω + 3 < 0. Να δείξετε ότι το τρίγωνο του παρακάτω σχήματος είναι ισόπλευρο:
76.
Α
3 30
0
600
Β 77.
Α
Δ
Γ
Δύο άνθρωποι Α , Β βλέπουν το φως μιας λάμπας Λ που φωτίζει το δρόμο με γωνία 450 και 300 αντίστοιχα , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αν οι άνθρωποι απέχουν μεταξύ τους 16 μέτρα και η ευθεία ΑΒ διέρχεται απόΛτη βάση της λάμπας Λ , να βρείτε το ύψος ΛΔ της λάμπας.
450
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
300 Δ
Β
36
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
3.2. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τριγωνομετρικές ταυτότητες
2. Βασικές εφαρμογές
ημ2ω + συν2ω = 1
εφω = σφω =
συν2ω =
1 , συνω 0 1+εφ2ω
ημ2ω =
εφ2ω , συνω 0 1+εφ2ω
ημω , συνω 0 συνω συνω , ημω 0 ημω
εφω σφω = 1 , ημω∙συνω 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 78.
Αν
συνx
=
-
3 5
και
2
x
,
να
βρείτε
τους
άλλους
να
βρείτε
τους
άλλους
τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad. 79.
Αν
ημx
=
-
3 4
και
x
3π 2
,
τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad. 80.
Αν εφx = -
3
και
3 x 2 2
, να βρείτε τους άλλους
τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad. 81.
Αν
σφx
=
2 3 3
και
0 x<
π 2
,
να
βρείτε
τους
άλλους
τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
37
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
82.
Αν σφ2x = 3 και x
3π , να βρείτε τους άλλους 2
τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad. 83.
Αν εφx = - 1 και
2
x να υπολογίσετε την τιμή των
παραστάσεων: 7 x x α) Α = 2 5 x β) Β = 7συνx – 10 σφx + 5εφxσφx – 5ημ2x Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος: α) Υπάρχουν τιμές του x για τις οποίες να ισχύει ημx = συνx = 0.
84.
β) Υπάρχουν τιμές του x για τις οποίες να ισχύει: ημx = συνx =
1 . 2
γ) Υπάρχουν τιμές του x για τις οποίες να ισχύει: ημx + συνx = 2 . δ) Ισχύει : ημ21300 + συν21300 = 1. Να δείξετε ότι τα σημεία Μ(x , y) του επιπέδου με x = 7συνθ και y = 7ημθ , είναι σημεία κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ = 7.
85.
86.
Αν x = 4συνθ και y = 3ημθ , να δείξετε ότι: 9x2 + 16y2 = 144.
Να αποδείξετε ότι: 1 α) . 1 β) σφ2α – συν2α = σφ2α συν2α.
87.
Να αποδείξετε ότι: α) – συν4α = 2ημ2α – 1. β) ημ4α + συν4α = 1 – 2ημ2α συν2α.
88.
ημ4α
Να αποδείξετε ότι: 1 2 α) . 1 2 β) . 1 1
89.
Να αποδείξετε ότι: α) .
90.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
38
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
β)
. 1 1
91.
Να αποδείξετε ότι: 1 1
92.
Να αποδείξετε ότι:
93.
Αν
94.
Αν 0 x
2
x<
2
1 .
1 1 1 .
π να αποδείξετε ότι: 2
να αποδείξετε ότι:
1 x 1 x 2 . 1 x 1 x x
1 x 1 x 1 x 1 x
x . 1 x
Αν ημα , συνα είναι ρίζες της εξίσωσης x2 – λx – λ2 = 0 , να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει ο πραγματικός αριθμός λ.
95.
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός ω τέτοιος , ώστε ημω = 2λ + 3 και συνω = λ -1 με λ R.
96.
Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού κ υπάρχει γωνία ω ώστε: ημω = κ + 1 και συνω = 2κ ;
97.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
39
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
3.3. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αντίθετες γωνίες
Παραπληρωματικές γωνίες
ημ(-x) = -ημx
ημ(π - x) = ημx
συν(-x) = συνx
συν(π - x) = -συνx
εφ(-x) = - εφx
εφ(π - x) = -εφx
σφ(-x) = - σφx
σφ(π - x) = -σφx
Συμπληρωματικές γωνίες π ημ x = συνx 2 π συν x = ημx 2 π εφ x = σφx 2 π σφ x = εφx 2
Γωνίες που διαφέρουν κατά π
ημ(π + x) = -ημx συν(π + x) = -συνx εφ(π + x) = εφx σφ(π + x) = σφx
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας: α) -11250 β) -14700 γ) -25800 δ) -11700 ε) -37800 στ) -39600
98.
99.
α) β) γ) δ) ε)
Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας:
7 6 5 4 4 3 5 6 3 4
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
40
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
στ)
2 3
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι: α) ημΒ = ημ(Α + Γ) β) συνΒ + συν(Α + Γ) = 0
100.
= συν 2 2 δ) 2 2 1 2 2 ε) 1 2 2
γ) ημ
Να αποδείξετε ότι σε κάθε τετράπλευρο ισχύουν: α) ημ(Α+Β) + ημ(Γ+Δ) = 0 β) συν(Α+Β) – συν(Γ+Δ) = 0
101.
= ημ 2 2 δ) συν + συν =0 2 2
γ) ημ
Να απλοποιήσετε την παράσταση: ( ) 1800 900 Α= . ( ) 1800 900
102.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 13 x x x 2 2 2 . Α= 41π (17 x) συν(2π-x) σφ x
103.
2
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 4050 (28500 ) 4050 (28500 ) Α= . (28500 ) 4050
104.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = συν2(π-x) + ημ(π-x) ημ(2π-x) + 2συν2 2 x .
105.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
41
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
106.
Να αποδείξετε ότι:
5 2 1. 3 (5 ) 2 2
(3 ) ( 2 )
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ημ30 – συν870 + εφ50 – σφ850 + ημ250 – ημ1550 + συν330 + συν1470.
107.
Να αποδείξετε ότι: α) 10 20 30 870 880 890 1 . β) ημ00+ ημ10 + ημ20 + … + ημ3570 + ημ3580 + ημ3590=0. γ) συν10 + συν20 + συν30 + … + συν1780 + συν1790 = 0.
108.
Να αποδείξετε ότι: α) ημ(α-β) + ημ(β-α) = 0 β) 2 x 2 x 1
109.
4
4
3 7 x 2 να αποδείξετε ότι : εφ(5π – α) + εφ 2 . 2 2
110.
Αν
111.
α) Να αποδείξετε ότι : 2
β) Αν σφα= 3 και
1 1 2
3 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 2
2 3 ( ) 2 2
( )
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
42
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
3.4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 112.
Β.
Κάθε στοιχείο της στήλης Α αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο της στήλης Να γράψετε στο τετράδιό σας τη σωστή αντιστοίχιση.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με 900 : ΣΤΗΛΗ Α Α. ημΒ + συνΒ Β. εφΓ + σφΓ Γ. ημ2Γ + συν2Γ Δ. ημΒ συνΒ Ε. συνΑ ημΑ
113.
Α. 1
ΣΤΗΛΗ Β 1. 1 2. 2 3. 0 4. 2 5.
Αν ΑΒΓΔ είναι κυρτό τετράπλευρο , τότε το ημ(Α + Β + Γ + Δ) = Β. -1
Γ. 0
Δ.
1 2
Ε.
3 2
114.
Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ανισότητες:
115.
Υπάρχει γωνία ω με συνω =
.... 2 x 5 .... .... 8 νx-1 ....
3 1 ημω = και ανήκει στο πρώτο 2 2
τεταρτημόριο; 116.
α. ημ3900 = συν300 β. συν36820 = συν820 γ. ημ(-ω) = - ημω = ημ(π + ω) = συν
. 2
117.
Σ Σ
Λ Λ
Σ
Λ
Υπάρχει γωνία ω για την οποία να ισχύει:
ημ2ω = 0 και συνω = -
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
1 ; 2
43
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
Αν ημω + συνω =
118.
2 τότε η τιμή της παράστασης Α = εφω + σφω 1 Β. 2 Γ. 3 Δ. Ε. 2 2 2
είναι ίση με: Α. 1 119.
Να αποδείξετε την ταυτότητα : εφ2ω = ημ2ω + ημ2ω εφ2ω.
120.
Αν εφω = 1 2 τότε η σφω είναι ίση με:
Α.
121.
Β. 1
2
Αν ημω =
Γ.
2 1
Δ.
1 2 1
Ε. -1
5 και 900 < ω < 1800 να βρείτε τους άλλους 13
τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. τότε: 2 Α. εφα εφβ = 1 Β. ημα + ημβ = 3 Δ. ημα + συνβ = 0
122.
Αν α + β =
Γ. συνα = - 2
Να συμπληρώσετε τα παρακάτω: 13 α) ημ = ……
123.
6 10 β) συν = ….. 3 2005 γ) εφ = ….. 4
124.
Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημ
= ………. 2
Η παράσταση: σφ100 σφ200 σφ300 … σφ700 σφ800 είναι ίση με: Α. 1 Β. -1 Γ. 0 Δ. 3 Ε. 4
125.
126.
Α=
127.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3 21 17 x x x 2
2 1821π (19 x) συν(8π-x) σφ x 2
Αν π < ω <
2
3 και το ημω είναι λύση της εξίσωσης : 2
2x2 – x – 1 = 0 , να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
44
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
γωνίας ω. 128.
Αν εφx =
2 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3
4 3 Α= 2 x συνx
x x
129.
1 2004 x 1 x Να δείξετε ότι: 1 2004 x 1 x
130.
Αν ημ120 =
2004
2004 x .
1 3 να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς 4
της γωνίας: 780 .
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
45
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
3.5. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Περιοδικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική , όταν υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος , ώστε για κάθε x A να ισχύει: α) x + T A , x – T A και β) f(x + T) = f(x – T) = f(x). Ο αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης f. 2. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις α. Η συνάρτηση f(x) = ημx x
ημx
2 1
0
0
3 2
π
μέγ.
0
2π
0 -1 ελάχ.
y = ημx 1 -2π
3 2
-π
0
2
-1
2
π
3 2
2π
H συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2π και είναι περιττή δηλαδή η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο (0, 0).
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
46
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
H συνάρτηση ημίτονο είναι:
3 γνησίως αύξουσα στα διαστήματα 0, και ,2 2 2 3 γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ,
2 2
H συνάρτηση ημίτονο παρουσιάζει: μέγιστο για x = το ημ =1 και 2
ελάχιστο για x =
2
3 3 το ημ = -1 2 2
Η μελέτη της συνάρτησης ημίτονο γίνεται σε διάστημα πλάτους 2π.
β. Η συνάρτηση f(x) = συνx x
2
0
3 2
π
1 μέγ συνx
2π 1 μέγ.
0
0 -1 ελάχ. y = συνx 1
-2π
3 2
-π
0
2
2
π
3 2
2π
-1
H συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2π και είναι άρτια δηλαδή η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον y΄y. H συνάρτηση συνημίτονο είναι: γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα ,2 H συνάρτηση συνημίτονο παρουσιάζει: μέγιστο για x = 0 το συν0 = 1 και ελάχιστο για x = π το συνπ = -1 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
47
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
Η μελέτη της συνάρτησης συνημίτονο γίνεται σε διάστημα πλάτους 2π.
γ. Η συνάρτηση f(x) = εφx
y = εφx
3 2
-π
2
0
π
2
3 2
Η συνάρτηση εφαπτομένη συμβολίζεται με εφ, και ορίζεται με τον τύπο x , x R - , x x 2
H συνάρτηση εφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο Τ = π και είναι περιττή δηλαδή η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο(0,0). H συνάρτηση εφαπτομένη είναι: γνησίως αύξουσα στο διάστημα ,
Η x=
2 2
είναι κατακόρυφη εφαπτομένη της γραφικής παράστασης 2
της f(x) = εφx Η μελέτη της συνάρτησης εφαπτομένη γίνεται σε διάστημα πλάτους π.
Παρατήρηση Οι συναρτήσεις f(x) = ρημωx και g(x) = ρσυνωx , ω > 0 Έχουν: ▪ Μέγιστη τιμή : ρ ▪ Ελάχιστη τιμή: -ρ 2 ▪ Περίοδο Τ =
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
48
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων: 0 x 2 f(x) = 3ημx , g(x) = 2ημx , h(x) = -3ημx
131.
Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων: 0 x 2 f(x) = 3συνx , g(x) = 2συνx , h(x) = -3συνx
132.
Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων: f(x) = συνx , g(x) = 1 + συνx , h(x) = -1 + συνx
παρακάτω
Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων: 0 x 2 f(x) = ημx , g(x) = ημ4x ,
των
παρακάτω
Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων: 0 x 2 f(x) = συνx , g(x) = συν4x ,
των
παρακάτω
Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων: 0 x 2 f(x) = ημx , g(x) = 2ημ3x ,
των
παρακάτω
Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων: 0 x 2 f(x) = συνx , g(x) = 2συν3x ,
των
παρακάτω
Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων:
των
παρακάτω
των
παρακάτω
των
παρακάτω
133.
134.
135.
136.
137.
138.
f(x) = ημx
,
g(x) = 3ημ
x 2
0 x 2
,
Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων:
139.
f(x) = συνx
,
g(x) = 2συν
x 3
,
0 x 2
Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων:
140.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
49
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
f(x) = εφx
,
g(x) = 2 + εφx
,
h(x) = -2 + εφx
Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων: f(x) = σφx , g(x) = 1 + εφx , h(x) = -1 + εφx
των
141.
142.
παρακάτω
Δίνεται η συνάρτηση : f ( x) x x . 2
α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι: f(x) = 2ημx. β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x). 143.
3 Δίνεται η συνάρτηση : f ( x) 3x 3x . 2
2
α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι: f(x) = 2συν3x. β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x). γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = - f(x). Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α ημβx , α , β>0. Αν η f έχει μέγιστο το 2 και περίοδο Τ = 4π να βρείτε τα α και β και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x).
144.
Να παρασταθούν γραφικά οι παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2ημx β) f (x) = ημ4x
145.
γ) f (x) = 2συν δ) f (x) = εφ
x 2
x 2
ε) f (x) = 1 + ημx στ) f (x) = ημ x
4 x ζ) f (x) = -1 + 3ημ 2 η) f (x) = ημ x 4 θ) g(x) = 1 + 2συν x 3
146.
Nα βρείτε την περίοδο και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων
f(x) = 3συν
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
x και f(x) = 5ημ(-2πx) 5
50
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
147.
το 148.
Aν η συνάρτηση f(x) = (2 – α)ημβx , α > 2 και β > 0 έχει περίοδο
και μέγιστη τιμή το 3 να βρείτε τα α ,β. 2
Έστω η συνάρτηση f(x) =
3 x 2 3
α) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f . β) Να λύσετε γραφικά την εξίσωση f(x) = 0 και την ανίσωση f (x) > 0 στο [0,6π] 149.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 2ημ
x x + συν έχει περίοδο 2 3
Τ = 12π. 150.
Να βρείτε τις εξισώσεις των παρακάτω ημιτονοειδών καμπυλών:
2
0
4
2
3 4
2π
3π
π
-2
2 3
0 π
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
4π
2 3
51
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
Αν α ,β,γ,δ , με α < β< γ < δ να διατάξετε σε μια σειρά από 2 τον μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς συνα , συνβ , ημγ , ημδ.
151.
152.
Aν x (2,3) να δείξετε ότι ημ3 < ημx < ημ2 και εφ2 < εφx < εφ3
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
52
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
3.6. Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Τριγωνομετρικές Εξισώσεις ημx = ημθ x = 2κπ + θ ή x = 2κπ + π – θ ,κ Z συνx = συνθ x = 2κπ + θ ή x = 2κπ – θ ,κ Z εφx = εφθ x = κπ + θ , κ Z σφx = σφθ x = κπ + θ , κ Z Ειδικές περιπτώσεις ημx = 0 x = κπ , κ Ζ συνx = 0 x = κπ +
π , κ Ζ 2
ημx = -ημθ ημx = ημ(-θ) …….. συνx = -συνθ συνx = συν(π-θ) .. εφx = -εφθ εφx = εφ(-θ) …….. σφx = -σφθ σφx = σφ(-θ) ……. ημx = συνθ ημx = ημ ..... 2 ....... 2
εφx = σφθ εφx = εφ
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
53
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 153.
Να λύσετε τις εξισώσεις:
α) ημx =
1 2
2 2 3 γ) ημx = 2
β) ημx =
δ) ημx = 1 ε) ημx = 0 154.
Να λύσετε τις εξισώσεις:
α) συνx =
1 2
2 2 3 γ) συνx = 2
β) συνx =
δ) συνx = 1 ε) συνx = 0 155.
Να λύσετε τις εξισώσεις:
α) ημx = -
1 2
2 2 3 γ) ημx = 2
β) ημx = -
δ) ημx = -1 156.
Να λύσετε τις εξισώσεις:
α) συνx = -
1 2
2 2 3 γ) συνx = 2
β) συνx = -
δ) συνx = -1
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
54
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
Να λύσετε τις εξισώσεις: α) εφx = 0 β) εφx = 1
157.
3 3 δ) εφx = 3
γ) εφx =
Να λύσετε τις εξισώσεις: α) σφx = 0 β) σφx = 1
158.
3 3 δ) σφx = 3
γ) σφx =
Να λύσετε τις εξισώσεις:
159.
3 3 β) εφx = - 3
α) εφx = -
γ) εφx = -1 Να λύσετε τις εξισώσεις:
160.
3 3 β) σφx = - 3
α) σφx = -
γ) σφx = -1 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (2 x) 2 x 2 0
161.
β) 2 x 3 1 x 0 γ) 2 x 1
2 x 1 0
δ) 4 2 x 3 2 x 5 0 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (1 x) 3 x 3 0
162.
β) 3 x 3 1 x 0 γ) 2 x 1 2 x 3 0 δ) 4 2 x 1 x 0
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
55
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 2ημ4x + 1 = 0
163.
x + 3 =0 3 2x γ) 9 2 3 3
β) 2συν
δ) σφ24x – 3 = 0 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 2ημ x + 3 = 0
164.
2
β) 2συν 2 x - 1 = 0 3
γ) 2 x 0 4
Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 2ημ2ω + 3ημω = 2 β) 2συν2x + συνx = 1 γ) σφ2t + 3 1 σφt - 3 = 0
165.
δ) 3 εφ2x – 4εφx + 3 = 0 ε) συν2ω – 3συνω + 2 = 0 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) – συν2ω + ημω = 0 β) x 3x 1 γ) συν2t + 5 ημ2t = 2
166.
ημ2ω
Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 2ημx + 2 = 0 στο διάστημα [0 , 2π). β) 3 σφx – 3 = 0 στο διάστημα (3π , 5π). γ) εφ2ω – 1 = 0 στο διάστημα [0 , 2π)
167.
Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ημx – συνx = 0 στο διάστημα (5π , 6π). β) συνx - ημ x = 0.
168.
6
γ) ημ2x + συνx = 0. δ) εφ3x - σφ 2 x = 0 στο διάστημα [0 , 2π). 4
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
56
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
169.
α)
Να λύσετε τις εξισώσεις: 1
+ 2εφx = 0. 2 x β) εφx συν2x + 1 = εφx + συν2x. γ) ημx – συνx + ημxσυνx = 1. δ) συν23x – συν2 x = 0.
4
ε) εφx x 3 = 2. στ)
x 1 x 2 στο διάστημα [0 , 2π). x 2 x 1 1 2
ζ) 5 x . η) 2 2 x 2 3x 0 .
3
1 . 2
θ) ημ4x + συν4x =
Να βρείτε για ποιες τιμές του x , καθεμιά από τις επόμενες συναρτήσεις έχει τη μέγιστη και για ποιες την ελάχιστη τιμή της: α) f(x) = 5ημ x , 0 x 2π .
170.
3
β) g(x) = 2συν 2 x , 0 x 2π .
4
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (ημ4x + συν4x)(εφx + σφx)2. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. β) Να αποδείξετε ότι: f(x) = εφ2x + σφ2x. γ) Να λύσετε την εξίσωση: f(x) = 2. (Εξετάσεις 2000)
171.
Να λυθούν οι εξισώσεις : α) εφ 2 x x
172.
3
4
β) 1 + 3 = 3 εφx + σφx γ) ημx = συνx δ) εφx - σφ 2 x 0 στο [0,2π) 6
ε) 2 ημx + 1 = 0 στο διάστημα [-π ,π] στ) ημ2x – 3|ημx| + 2 = 0 ζ) συν3x = ημ x
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
4
57
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
η) σφ 2 x - εφ x 0 3 3
θ) συνx(1 + ι)
3
εφ2x)
– εφx = συνx
2 3 1 x
x ια) 3εφx = ημx ιβ) εφ2x – (1 - 3 )εφx ιγ) 8συν3x + 1 = 0 ιδ) 9εφ4x – 1 = 0 ιε) εφ2x = 4συν2x – 1
ιστ)
2
1 2 2 x
3 =0
3 x 1
ιζ) ημx = ιη) 173.
3 συνx x 2 1 0, x [1,3] 2
Nα λυθεί η εξίσωση εφ5x σφ10x = 1
Δίνεται η f(x) = -3 – συν2x + 3ημ5x – (1- ημx)2. α) Nα αποδείξετε ότι f(x) = 2ημx + 3ημ5x – 5. β) Nα λύσετε την εξίσωση f (x) = 0.
174.
175.
Να λυθεί η εξίσωση ημ7x + συν2x = -2.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
58
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Αντίθετες γωνίες
Παραπληρωματικές γωνίες
ημ(-x) = -ημx
ημ(π-x) = ημx
συν(-x) = συνx
συν(π-x) = -συνx
εφ(-x) = - εφx
εφ(π-x) = -εφx
σφ(-x) = - σφx
σφ(π-x) = -σφx
Τριγωνομετρικές ταυτότητες ημ2x + συν2x = 1 ημx εφx = συνx συνx σφx = ημx εφx σφx = 1
Συμπληρωματικές γωνίες π ημ x = συνx 2 π συν x = ημx 2 π εφ x = σφx 2 π σφ x = εφx 2
Γωνίες που διαφέρουν κατά π ημ(π+x) = -ημx συν(π+x) = -συνx εφ(π+x) = εφx σφ(π+x) = σφx
Οι συναρτήσεις f(x) = ρ ημωx , g(x) = ρ συνωx Είναι περιοδικές με περίοδο Τ =
2π ω
Μέγιστη τιμή : ρ Ελάχιστη τιμή : -ρ
Τριγωνομετρικές Εξισώσεις ημx = ημα x = 2κπ + α ή x = 2κπ + π – α ,κ Z συνx = συνα x = 2κπ + α ή x = 2κπ – α ,κ Z
ημx = -ημα ημx = ημ(-α) ………. συνx = -συνα συνx = συν(π-α) …. εφx = -εφα εφx = εφ(-α) ………
εφx = εφα x = κπ + α , κ Z
σφx = -σφα σφx = σφ(-α) …….
σφx = σφα x = κπ + α , κ Z
ημx=συνα ημx=ημ ....... 2 εφx=σφα εφx=εφ ........ 2
Ειδικές περιπτώσεις ημx = 0 x = κπ , κ Ζ π συνx = 0 x = κπ + , κ Ζ 2
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
59
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Τριγωνομετρία
Γωνία ω Σε μοίρες Σε rad 00 300 450 600 900 1800
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
ημω
Τριγωνομετρικοί αριθμοί συνω εφω
σφω
0
0
1
0
Δεν ορίζεται
6 4 3 2
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
3
1
1
3
3 3
1
0
Δεν ορίζεται
0
0
-1
0
Δεν ορίζεται
π
60
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
► ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
61
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
2 .1 Π ολυ ώ νυ μα
1. Πολυώνυμο του x ‣ Είναι κάθε παράσταση της μορφής: P(x) = α ν x ν + α ν - 1 x ν - 1 + … + α 1 x + α 0 , με ν : φυσικός αριθμός και α ν , α ν - 1 , … , α 1 , α 0 : πραγματικοί αριθμοί που λέγονται συντελεστές του πολυωνύμου. ‣ Ο α 0 λέγεται στ αθερός όρος του πολυωνύμου . ‣ Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. 2. Ίσα πολυώνυμα Αν P(x) = α ν x ν + α ν - 1 x ν - 1 + … + α 1 x + α 0 και Q(x) = β μ x μ + β μ - 1 x μ - 1 + … + β 1 x + β 0 με μ ν , τότε: P(x) = Q(x) ότ αν: α 0 = β 0 , α 1 = β 1 , … , α μ = β μ κ αι α μ + 1 = α μ + 2 = … = α ν = 0 3. Βαθμός πολυωνύμου Αν P(x) = α κ x κ + α κ - 1 x κ - 1 + … + α 1 x + α 0 με α κ ≠0 , ο αριθμός κ λέγεται βαθμός του πολυωνύμου P(x). ‣ Κάθε στ αθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει β αθ μό 0. ‣ Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζετ αι β αθμός. 4. Αριθμητική τιμή πολυωνύμου Έστω P(x) = α ν x ν + α ν - 1 x ν - 1 + … + α 1 x + α 0 και ρ . Για x = ρ , ο πραγματικός αριθμός: P(ρ) = α ν ρ ν + α ν - 1 ρ ν - 1 + … + α 1 ρ + α 0 λέγεται αριθμητική τιμή ή τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. 5. Ρίζα πολυωνύμου Έστω P(x) = α ν x ν + α ν - 1 x ν - 1 + … + α 1 x + α 0 και ρ . Αν P(ρ) = 0 , τότε το ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
62
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
2 .1 ΑΣΚΗ ΣΕΙΣ 176. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ τα παρακάτω πολυώνυμα είναι το μηδενικό πολυώνυμο: α) P(x) = (4λ 2 – 1)x 2 + (2λ – 1)x + 2λ 2 – λ. β) Ρ(x) = (4λ 2 – 9)x 2 + (9λ – λ 2 )x + 3 – 2λ. γ) Ρ(x) = (λ 3 + 8)x 3 + (λ 2 + 2λ)x +
+ 1. 2
δ) P(x) = (λ 2 – 1) x 4 + (λ 2 + λ – 2)x 2 + λ 2 – 4λ + 3. 177. Να βρείτε τις τιμές του μ για τις οποίες τα πολυώνυμα Ρ( x) και Q(x) είναι ίσα: α) P(x) = -8x 3 + 4x 2 + μ 2 – 2μ – 8 , Q(x) = μ 2 x 2 – 8x 3 . β) P(x) = (μ 2 – 5μ)x 4 + 4x 3 + μ , Q(x) = -6x 4 + μ 2 x 3 + (μ 3 – 8)x + 2. γ) P(x) = 2x 3 + μ 2 x 2 – μ 2 + 9 , Q(x) = 2x 3 + (μ + 12) x 2 + (μ 2 – 9)x. 178. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το -1 είναι ρίζα του πολυώνυμου Ρ(x) = x 3 + 8x 2 + 6λx + λ 2 + 1. 179. Να βρείτε τις τιμές των α , β ώστε το πολυώνυμο: Ρ(x) = x 3 + αx 2 + (β – 2)x + 6 να έχει ρίζες τις : 2 , -1. 180. Για ποιες τιμές των λ , μ το πολυώνυμο : P(x) = x 3 + λx 2 + μx + 4 έχει ρίζα το 2 και η τιμή του για x = 1 είναι ίση με 8. 181. Για ποιες τιμές των λ , μ το πολυώνυμο: P(x) = 2x 3 + λx 2 – μx + 12 έχει ρίζες τις -2 και 3. 182. Να βρείτε πολυώνυμο P(x) δευτέρου βαθμού με ρίζες το -1 και το
1 και για το οποίο να ισχύει: P(0) = 7. 2 183. Να δείξετε ότι αν το πολυώνυμο P(x) = (α – 1)x 3 + βx – 1 έχει ρίζα το 1 , τότε το πολυώνυμο Q(x) = (α – 1)x 3 + βx + 1 έχει ρίζα το -1. 184. Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του λ πολυωνύμων: α) P(x) = (λ 3 – λ)x 4 + (λ 2 – λ)x 3 + 1 – λ. β) Q(x) = (λ + 1) x 2 + 2λx + 3. γ) R(x) = (λ 5 – 16λ)x 2 + (4 – λ 2 )x + 2 –λ. 185. Να βρείτε τις τιμές των α , β , γ ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
το βαθμό των παρακάτω
ώστε το πολυώνυμο 63
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
Q(x) = 2x 2 – 1 να παίρνει τη μορφή: α(x – 3)(x + 3) + (α – β)x + βx 2 + γ. 186. Να βρείτε το πολυώνυμο P(x) για το οποίο ισχύει: (x 2 + 2)P(x) = 3x 4 + 4x 3 + 8x – 12. 187. α) Να βρείτε τα α , β ισχύει:
1 2
x +x
=
α x
+
β x +1
ώστε για κάθε x
με x 0 και x -1 να
.
β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: S =
1 1 2
+
1 2 3
+
1
1 + ... + . 3 4 ν(ν +1)
188. Να βρεθεί η τιμή του λ για την οποία το πολυώνυμο : P(x) = (λ+2) x 3 – (λ 2 +λ-2) x +λ 2 - 4 να είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 189. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x) = 2x 2 – x + 1 και Q(x) =1 – x. Να βρεθούν τα: i) Q [Q(x)] ii) Q [P(x)] iii) P [Q(x)] iv) Q [1- Q(x)] v) Q [2- Q(x-1)] 190. Αν α 3 + β 3 + γ 3 =3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυμο P(x)= (α+β) x 2 +(β-γ) x +γ-α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 191. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο P(x)= (κ-2) x 2 + (2λ+6) x + κ +λ -3 είναι διάφορο του μηδενικού. 192. Να βρεθεί για ποιες τιμές των κ ,λ ,μ είναι ίσα τα πολυώνυμα: P(x)= λx 2 – (λ-κ) x + μ-2λ Q(x)= (μ-λ) x 2 + 4x + κ + λ 193. Να προσδιοριστεί ο α ώστε το πολυώνυμο: P(x)= 9x 3 – 3x 2 + 8x + 27 να παίρνει την μορφή: α(x 3 + x)–3x 2 +(x-3)(x 2 +3x+9) 194. Να βρεθεί πολυώνυμο Κ(x) τέτοιο ώστε το τετράγωνο του να ισούται με το: P(x)= x 4 + 2x 3 – 3x 2 - 4x + 4 195. Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο: P(x)= (κ-1) x 5 + (3κ 2 +2) x 3 + κx
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
δεν έχει ρίζα το
1 . 2 64
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
196. Αν το πολυώνυμο P(x)= x 2 + (α-1) x +2α έχει ρίζα το -1 αποδείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για το Κ(x)= x 3 + 4x 2 + (α 2 -1) x. Το αντίστροφο ισχύει; 197. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)= x 2 +2x +5. Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός α αν ισχύει: P(α -1) = 13. 198. Αν η διαφορά δύο πολυωνύμων βαθμού ν είναι το μηδενικό πολυώνυμο, δείξτε ότι τα πολυώνυμα είναι ίσα. 199. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα f(x)= κx 2 + λx +μ , κ 0 , τα οποία επαληθεύουν τη σχέση f(x+1) – f(-x) =0. 200. Να βρεθεί πολυώνυμο P(x) τρίτου βαθμού , το οποίο να έχει ρίζα το 0 και να ικανοποιεί τη σχέση P(x -1) = P(x) – x 2 . 201. Aν ο αριθμός -2 είναι ρίζα ενός πολυωνύμου P(x) , να αποδειχθεί ότι ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x)= 3x – 3 – P(3x-5). 202. Nα βρείτε πολυώνυμο P(x) πρώτου βαθμού ώστε: i) P(P(x)) = x – 1 ii) P(x) + P(P(x)) =12x 203. Να βρείτε πολυώνυμο P(x) τέτοιο ώστε : P(x) + [P(x)] 2 = 2x(2x+3)+2. 204. Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P(x) για τα οποία είναι: [P(x)] 2 = x 4 + 6x 3 +5x 2 – 12x +4. 205. Να αποδειχθεί ότι το πολυώνυμο P(x) = 6x 3 – x 2 + 1 δεν μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο πολυωνύμων με ένα παράγοντα το 3x 2 – x + 1. 206. Να βρείτε πολυώνυμο P(x) τέτοιο ώστε: i) P(x-1) = (x-1) 2 ii) P(x-1) = 2x-3 iii) P(2x-3) = x-1 iv) P(x) = 3x 2 –x 207. Υπάρχει μη σταθερό πολυώνυμο P(x) τέτοιο ώστε (P(x)) 2 = P(x); Βρείτε όλα τα πολυώνυμα P(x) για τα οποία ισχύει [P(x)] 2 = P(x). 208. α) Να βρείτε πολυώνυμο P(x) ελάχιστου βαθμού τέτοιο , ώστε: P(x) – P(x – 1) = x. β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: S = 1 + 2 + 3 + … + ν. 209. Να βρείτε πολυώνυμο P(x) πρώτου βαθμού για το οποίο να ισχύει: ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
65
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
P(P(x)) = 4x – 1. 210. Να βρείτε πολυώνυμο P(x) τέτοιο , ώστε: P(x)+ P(x) = 9x + 21x +12 . 2
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
2
66
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
2.2 Δι αί ρ εση πολυ ωνύ μων Θεώρημα 1 ο (Ταυτότητα της διαίρεσης) Για οποιαδήποτε πολυώνυμα Δ( x) και δ(x) με δ(x) 0 υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα π( x) και υ(x) τέτοια , ώστε: Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x) όπου το υ(x): ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ( x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο Παρατηρήσεις 1) Σχηματικά η διαίρεση των πολυωνύμων παριστάνεται ως εξής: Δ(x)
δ(x) π(x)
υ(x) Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x) 2) Το Δ(x) λέγεται Διαιρετέος Το δ(x) λέγεται διαιρέτης Το υ(x) λέγεται υπόλοιπο 3) Αν υ(x) = 0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται: Δ(x) = δ(x) π(x) Τότε λέμε ότι το δ( x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το Δ(x) Θεώρημα 2 ο Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x – ρ είναι ίσο με το P(ρ) Σχηματικά: Ρ(x) x - ρ π(x) υ = P(ρ) Θεώρημα 3 ο Ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x – ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
67
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
2.2 ΑΣΚΗ ΣΕΙΣ 211. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης σε κάθε περίπτωση: α) (-3x 4 + x 2 – 2x + 4) : (x 2 – x + 1) β) (4x 3 – 5x 2 + 2x + 3) : (x 2 + 3x + 2) γ) (-2x 5 – 3x 4 + 3x 2 -2x + 3) : (2x 2 + 3x + 1) δ) (3x 4 – 4x 3 – 6x 2 – 5x + 2) : (x 4 +2) ε) x 5 : (x – 1) 3 στ) (3x 3 – 5αx 2 + 3α 2 x – 2α 3 ) : (3x 2 – 2αx + α 2 ) ε) (x 3 + αx 2 – α 2 x – α 3 ) : (x + α) 212. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού κ για τις οποίες το x – 2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου P(x) = -
3 4
x 4 - 2κx 2 + 4κ 2 .
213. Να βρείτε τις τιμές των α , β για τις οποίες το πολυώνυμο: 3 2 P(x) = αx + 2x – βx + 4 έχει παράγοντες τα x – 1 και x – 2. 214. Να βρείτε τις τιμές των α , β για τις οποίες το πολυώνυμο: 4 3 2 P(x) = x + 2x - 7x + αx + β έχει παράγοντες τα x – 1 και x + 3. 215. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο των παρακάτω διαιρέσεων: α) (-2x 4 + 4x 3 – x + 4) : (x – 2) β) (x 8 + 3x 2 + 1) : (x – 1) γ) (2x 5 – 7x 3 – 3x 2 + 2x – 5) : ((x + 2) δ) (-6x 4 + 5x 3 + 38x 2 + 17x – 12) : (x – 3) ε) (3x 3 + 5x 2 – 6x – 2) : (x +
1 ) 2
στ) (5x 4 – 3α 2 x 2 + α 4 ) : (x + α)
216. Για ποια τιμή του λ το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) = 3x 4 – x 3 – λx + 2 με το x – 1 είναι ίσο με 3; 217. Αν το x + α είναι παράγοντας του πολυωνύμου : P(x) = x 3 + αx 2 + x + β , να δείξετε ότι το x + β είναι επίσης παράγοντας του P(x). 218. Να βρεθεί ο α ώστε το x – α να είναι παράγοντας του πολυωνύμου : P(x) = x 3 – α 2 x 2 + 3α 2 x – α 3 . 219. Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών κ , λ ώστε το πολυώνυμο: ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
68
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
P(x) = 3x 4 + κx 3 + 5x 2 + 9x – λ να διαιρείται με το x 2 – 1. 220. Αν το x – α είναι παράγοντας του P(x) , να δείξετε ότι το x + α + 1 είναι παράγοντας του P(-x – 1). 221. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x – 2)(x – 3) αν είναι γνωστό ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x – 2 είναι 10 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x – 3 είναι 15. 222. Τα υπόλοιπα της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι ίσο με 3 και με το x – 3 είναι ίσο με 15. Να βρείτε το υπόλοιπο της δι αίρεσης του P(x) με το x 2 – 2x – 3. 223. Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων του P(x) με τα x + 2 και 2x – 1 είναι αντίστοιχα -1 και 4. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το ( x + 2)(2x – 1). 224. Αν f(x) = x 2 – 3x + 2, να γίνει η διαίρεση: [ f(x) + f(x – 1) – f(x + 2)] : (x – 8) 225. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυώνυμου P(x) με το πολυώνυμο x 2 + 5x +6 είναι 5x + 1 , να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x + 2). 226. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 + λx 2 – 20x + 6. i) Να βρεθεί το λ ώστε το P(x) να έχει παράγοντα το x – 3 . ii) Για ποια τιμή του λ το υπόλοιπο της διαίρεσης : P(x) : (x – 2) είναι το 2 ; 227. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 – 2x 2 – 5x + 6. i) Να βρείτε το υπόλοιπο υ 1 της διαίρεσης του P(x) με το x – 2 και το υπόλοιπο υ 2 της διαίρεσης του P(x) με το x + 1. ii) Να εξετάσετε αν το P(x) έχει παράγοντα το x – 3 . iii) Να γράψετε το P(x) ως γινόμενο τριών πρωτοβάθμιων πολυωνύμων. 228. Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης : P(x) : (x – α + β) , όπου P(x) = x 3 + 3αβx – α 3 + β 3 . 229. Αν τα πολυώνυμα P(x) = x 3 – αx + 30 και Q(x) = αx 4 + 2x – 2 δίνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το x + 2 , να βρεθεί η τιμή του α . 230. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς κ ,λ ώστε αν το πολυώνυμο P(x) = x 4 + 1 διαιρεθεί με το πολυώνυμο x 2 + κx + λ να ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
69
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
αφήνει υπόλοιπο 0. 231. Αν το πολυώνυμο f(x) = x 3 + αx 2 + βx + 4 διαιρείται ακριβώς με το x – 2 και εάν επιπλέον f(1) = 8, να προσδιοριστούν τα α , β. 232. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = 2x 3 + αx 2 +-13x + β. Αν το P(x) διαιρείται με το x 2 - x – 6, τότε να προσδιοριστούν τα α , β. 233. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = λ 2 x 2 + 2 (λ 2 – 3λ +1) x - 3 (4λ + 1). Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x + 2) είναι ανεξάρτητο του λ. 234. Έστω P(x) ένα πολυώνυμο. Να αποδείξετε ότι οι διαιρέσεις : P(x + 1) : (x – 1) και P(2x + 3) : (x + 3) έχουν το ίδιο υπόλοιπο. 235. Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x – 5, τότε το πολυώνυμο P(2x – 3) , έχει παράγοντα το x – 4. 236. Να προσδιοριστούν ο ι πραγματικοί αριθμοί κ , λ ώστε το πολυώνυμο P(x) = x 3 – κx 2 + (λ – 1) x + 5 να έχει για παράγοντα το (x – 1)(x + 2). 237. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α , β ώστε το πολυώνυμο P(x) = x 3 – x 2 – (3 + α) x + β + 10 να έχει για παράγοντα το (x – 2) 2 . 238. Το πολυώνυμο P(x) διαιρούμενο με x – 2 αφήνει υπόλοιπο 10 και διαιρούμενο με το x + 3 αφήνει υπόλοιπο 5. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το ( x – 2 )( x + 3 ). 239. Το πολυώνυμο P(x) διαιρούμενο με x + 2 αφήνει υπόλοιπο 3 και διαιρούμενο με x 2 – 4x + 3 αφήνει υπόλοιπο 2x + 7. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x): (x + 2)(x 2 – 4x +3). 240. Να βρεθεί η τιμή του λ για την οποία το υπόλοιπο της διαίρεσης [2λx 3 – (λ + 1)x – 3] : (2x + 3) είναι ίσο με 9. 241. Να βρεθεί για ποια τιμή του λ R * το πολυώνυμο: f(x) = x 3 – 5x 2 +
6 λ
διαιρείται με το λx – 1.
242. Να βρεθεί πολυώνυμο 2 ο υ βαθμού ώστε οι διαιρέσεις του με τα x – 1 , x και x + 2 να δίνουν υπόλοιπο 4, 3 και 13 αντίστοιχα. 243. Να αποδείξετε ότι: i) ένα πολυώνυμο P(x) διαιρείται με το (x – α)(x – β) αν και μόνο ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
70
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
αν διαιρείται με καθένα από τα x – α , x – β (όπου α , β R με α β) ii) το πολυώνυμο (x – 1) 2 ν + x ν – 1 διαιρείται με το x 2 – x . 244. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β ώστε το πολυώνυμο P(x) = x 4 – x 3 + (α + β)x 2 + (α + β)x + 4 να διαιρείται με τη μεγαλύτερη δυνατή δύναμη του x + 1. Ποιος είναι σε αυτή την περίπτωση ο εκθέτης του x + 1; 245. Nα εξεταστεί για ποιες τιμές του φυσι κού αριθμού ν το x + 2 είναι παράγοντας του x ν + 2 ν . Για αυτές τις τιμές του ν, το x ν + 2 ν να γίνει γινόμενο δύο πολυωνύμων. 246. Αν το πολυώνυμο P(x) = αx ν + 1 + βx ν + 1 έχει παράγοντα το ( x – 1 ) 2 αποδείξτε ότι το πολυώνυμο Q(x) = ( ν + 1 ) αx ν + νβx ν . 247. Αν το πολυώνυμο P(x) = (ν + 1) x ν – νx ν + 1 + α διαιρείται με το x – 1 , τότε αποδείξτε ότι διαιρείται και με το ( x – 1 ) 2 .
– 1
248. Αν το πολυώνυμο φ(x) διαιρεί τα πολυώνυμα f(x) και g(x), να αποδείξετε ότι διαιρεί και το λf(x) + μg(x), όπου λ , μR.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
71
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
2 .3 Πολ υ ωνυ μ ι κές εξ ι σώ σει ς - ανι σώσει ς Θεώρημα (ακεραίων ριζών) Έστω η πολυωνυμική εξίσωση α ν x ν + α ν - 1 x ν - 1 + … + α 1 x + α 0 = 0 με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης , τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0 . 2 .3 ΑΣΚΗ ΣΕΙΣ 249. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 9x 4 = 4x 2 β) x 3 + 7x 2 – 2x -14 = 0 γ) 5x 5 + 3x 4 = 5x 3 + 3x 2 δ) x 5 – 32 = 0 ε) x 3 – 5x – 6 = 0 στ) 4x 3 – 4x 2 – x + 1 = 0 ζ) x 4 + x 3 + x + 1 = 0 η) (x + 2)(x 2 – 2x + 4) + 3(x 2 – 4) = 0 250. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x 3 – x 2 = x – 1 β) x 3 – 2x 2 – x + 2 = 0 γ) 2x 3 – x 2 + 2x – 1 = 0 δ) 2x 4 – x 3 + 3x 2 – 2x = 2 251. Να λυθούν οι εξισώσεις: 1 3 1 2 1 x + x + x +1 = 0 α) 10 5 2 1 3 1 2 7 x + x + x +1 = 0 β) 6 3 6 252. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) ω 6 – 9ω 3 + 8 = 0 β)
x + 7
6
- 9 x + 7 + 8 = 0 3
253. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παρακάτω συναρτήσεων με τον άξονα x΄x: α) f(x) = 4x 4 – 9x 2 – 2x + 3 β) g(x) = 6x 3 – 5x 2 – 44x + 15
παραστάσεων
των
254. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ακέραιες ρίζες: α) x 3 + 5x – 3 = 0 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
72
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
β) 5x 2 0 0 6 + 3x 2 0 0 4 + 4x 2 + 1 = 0 255. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) 2x 3 + 5x 2 + x – 2 > 0 β) – x 3 + 6x 2 + 6x + 7 < 0 γ) x 5 – 4x 3 x 2 - 4 δ) x 4 – 3x 3 + 5x 2 – 9x - 6 256. Να βρείτε τα διαστήματα , στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων βρίσκονται πάνω από τον άξονα x΄x: α) f(x) = x 3 + 5x 2 + 2x – 8 β) g(x) = x 4 - 3x 3 – 2x 2 + 12x – 8 257. Να βρείτε τα διαστήματα , στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων βρίσκονται κάτω από τον άξονα x΄x: α) f(x) = x 3 + x 2 + 8x + 8 β) g(x) = 2x 3 – x 2 + x – 2 258. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x 3 και g(x) = 3x – 2. α) Για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x ; β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και g. γ) Για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g ; 259. Να βρείτε τον πραγματικ ό αριθμό λ ώστε το x – 1 να είναι παράγοντας του πολυωνύμου: P(x) = λ x 3 + 2 λ 3 x 2 – λ 2 x – 2. Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση: Ρ( x) = 0. 260. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α , β , γ ώστε το πολυώνυμο :P(x) = αx 4 + βx 3 + x 2 + γx – 6 να έχει παράγοντες τους x – 2 και x + 1 και αν διαιρεθεί με το x – 1 δίνει υπόλοιπο -8. Μετά να λύσετε την ανίσωση: P(x) 0. 261. Αν υ είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου: Ρ(x) = 2001x 2 0 0 4 + x 1 0 0 2 + 2 με το x – ρ , τότε: α) Να δείξετε ότι υ > 0. β) Να λύσετε την ανίσωση: Ρ(1) x 3 – P(0) x – 2002 > 0. 262. Να βρείτε τα α , β R ώστε το πολυώνυμο: Ρ(x) = x 3 + 5x 4 – αx 3 – βx 2 + 5x + 1 διαιρούμενο με το x 2 – 3 δίνει υπόλοιπο υ(x)=32x + 64. Για τις τιμές των α και β που βρήκατε να λύσετε την εξίσωση: P(x) = 0 καθώς και την ανίσωση: Ρ(χ) < 0 . 263. Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3 ο υ βαθμού, το οποίο διαιρείται με το πολυώνυμο x 2 +1, έχει ρίζα το 0 και του οποίου το άθροισμα των ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
73
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
συντελεστών είναι ίσο με 2. α) Να αποδείξετε ότι Ρ( x) = x 3 + x . β) Να λύσετε την ανίσωση: (Ρ( x) – 2) 3 + (Ρ(x) –2) 2 + Ρ(x) > 2. 264. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις και ανισώσεις: i) x 4 – 5x 3 + 6x 2 + x – 2 = 0 ii) x 4 – 2x 3 – 7x 2 + 8x +12 = 0 iii) (x 3 – 2x) x + x + 2 = 0 iv) (x – 1) (x 4 + 4) – 3 (x + 4) = 0 v) x 6 – 9x 3 + 8 = 0 vi) (x + 2) 8 – 3 (x + 2) 4 – 4 = 0 vii) (x 2 + 3x – 2) 6 – 9 (x 2 + 3x – 2) 3 + 8 = 0 viii) (x 3 – 11x +12) 4 – 3(x 3 – 11x + 12) 2 – 4=0
x -1 x -1 ix) - + 6 =0 x x 2
x) (2ημx – 1) 4 + 6(2ημx – 1) 2 – 7 = 0 xi) 2συν 4 x – 5συν 3 x + 5συνx – 2 = 0 265. Να λυθούν οι ανισώσεις : i) x 3 – 2x 2 – x + 2 > 0 ii) x 3 + 3x 5x 2 – 9 iii) 3x 4 – x 3 – 9x 2 + 9x - 2 0 iv) x 4 (3x – 4) 10x 2 ( 2x – 1) + 6 – 17x
x 3 + 2x - 4 v) 1 x-2 vi) 3x + 7 < x + 3 266. Αν κ ακέραιος αριθμός να δειχθεί ότι η εξίσωση: 5x 2 ν + 9κx – 1 = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. 267. Αν κ, λ ακέραιοι αριθμοί να δειχθεί ότι η εξίσωση: 8λx 2 ν – 2 (κ – 1)x + 1 =0 δεν έχει ακέραια λύση. 268. Δίνεται η εξίσωση x 5 – αx 3 + βx 2 + x – 1 = 0. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε η εξίσωση να έχει το ανώτερο δυνατό πλήθος ακέραιων ριζών. 269. Δίνεται η εξίσωση x 5 + x 4 + κx + λ = 0. Να προσδιοριστούν οι κ, λ ώστε το πολυώνυμο να έχει ρίζα το -1 με πολλαπλότητα 2 (διπλή ρίζα). Μετά να βρεθούν και οι ά λλες ρίζες της εξίσωσης. 270. Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του κ για τις οποίες η εξίσωση: x 3 + κx 2 + x–3 =0 έχει: i) μια τουλάχιστον ακέραια ρίζα, ii) μια ακριβώς ακέραια ρίζα. ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
74
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
2.4 Εξ ι σώσει ς που ανάγοντ αι σε πολυ ωνυ μι κές 271. Να λυθούν οι εξισώσεις:
1
α)
-
2
=
3 2
x - 2 x +1 x - x - 2 3x 2 -1 2 x 2 - 3x + 2 β) = x -1 x 2 - x x 6 5 1 - 8x γ) = 2x -1 2x +1 1- 4x 2 x 3 1 δ) 2 = 2 3 x + 2x +1 x +1 x 2 - x +1 x +1
272. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 4συν 4 x – 37συν 2 x + 9 = 0 β) 2ημ 3 x – 3συν 2 x – 11ημx – 3 = 0 γ)
2ημx -1 4
+ 6 2ημx -1 - 7 = 0
4
2
3
2
δ) εφ x - 2εφ x - 2εφ x + 6εφx - 3 = 0 273. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) β) γ)
3
x 5 = -4x 3x - 2 = 4
3x - 2 = -4
δ) 1 + ε)
x =
3(x - 1)
3x +1 + x -1 = 7x +1
στ) 1+ x =
x-2
ζ)
x +2 - x -6 =2
η)
3x + 4 + x + 5 = 7
274. Να λυθούν οι ανισώσεις: α)
5-x >x-3
β)
x -5 >2- x
γ)
x - 5 4 - x
δ)
x + x - 12 x + 4
ε)
-x + x + 2 > x - 4
στ)
2
2
2x +1 < 4 - 3x
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
75
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα
275. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x - 3 x + 2 = 0 β) x + x - 2 = 0 γ)
3
x 2 + 3 x - 12 = 0
δ)
5
x2 + 5 x - 6 = 0
276. Αντίστροφες Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 2x 4 + 5x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0 β) 2x 3 + 7x 2 + 7x + 2 = 0 γ) x 4 – 4x 3 + 6x 2 – 4x + 1 = 0 δ) 6x 4 + 25x 3 + 12x 2 – 25x + 6 = 0
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
76
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
► ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
77
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
Α. Στοιχεία Θεωρίας f(x) = αx , α > 1 Πεδίο ορισμού : R Σύνολο τιμών : (0 , +) Είναι γνησίως αύξουσα στο R δηλ για κάθε x1 , x2 R ισχύει: αν x1 < x2 , τότε x x Γραφική παράσταση: 1
2
f(x) = αx , 0 < α < 1 Πεδίο ορισμού : R Σύνολο τιμών : (0 , +) Είναι γνησίως φθίνουσα στο R δηλ για κάθε x1 , x2 R ισχύει: αν x1 < x2 , τότε x x Γραφική παράσταση: 1
2
Α(0,1) Α(0,1)
Νόμος εκθετικής μεταβολής
Q(t) = Q0 ect
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
78
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Γραφική παράσταση Να παραστήσετε γραφικά στο ίδιο σύστημα αξόνων τις συναρτήσεις:
277.
x
α. f(x) = 2 και
g(x) =
β. f(x) = γ. f(x) = δ. f(x) = ε. f(x) = ζ. f(x) =
g(x) g(x) g(x) g(x) g(x)
x
2x 2x 2x ex x
2
και και και και και
1 2 2x + 1 2x-1 2x-1 + 1 e-x +1
= = = = = 2 x
και και
h(x) = 2x - 1 h(x) = 2x+1
Β. Εξισώσεις Να λύσετε τις εξισώσεις:
278.
α. 3 81 0 x
x
1 1 β. 27 3 x
1 γ. 9 3 1 δ. 2 x 8 x
81 2 ε. 16 3 x στ. 16 4x 2 ζ. 12523x 25 x
η. 61x θ. ex
3
x 3
3x 2
1 0
1 x
ι. 43x 24 16 2 κ. 279.
α. β. γ. δ. ε.
3 1
x 4 5x2 4
1
Να λύσετε τις εξισώσεις: x 3
2 2x 2 2x1 48 3x 2 3x 1 2 3x 2 1 22x 3 2x 1 0 22x 1 3 2x 1 0 2 9x 3x1 135 0
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
79
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
στ. 3x1 31x 4 0 ζ. 4 2x1 4 2 x 33 0 η. 9 2 32 x2 1 19 3x 4 x 3 1 3 x x x ι. 0,1 0,01 0,001 1
θ. 3x 1
Να λύσετε τις εξισώσεις:
280.
α. 2 2 5x2 β. 7 3x1 18 3x1 6 2x 8 2x2 x 1
x
1 2
x
1 2
x
1 2
γ. 2 3 2 0 δ. 2008x 19252x 7 0 28
281.
Να λύσετε την εξίσωση: 52 54 56 ... 52 x 0,04
282.
Nα λύσετε την εξίσωση: 4ημx+1 - 9∙2ημx + 2 = 0.
283.
Nα λύσετε την εξίσωση: 2
284.
Να λύσετε στο 0, την εξίσωση: x 2
285.
Να λύσετε τις εξισώσεις:
ημ2 x
α. x2 3x 1
3x 5
β. x x
2
3x 1
+2
2
2ημ2x
, x
*
.
=3. x
x
x
.
1
x
γ. x 2 - 7x +10
2x2 -10x
=1
Να βρεθούν οι αριθμοί x , y , ω οι οποίοι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου , ο y είναι η ακέραια ρίζα της εξίσωσης 9 2 32 y 2 1 19 3y και το άθροισμα των αντιστρόφων τους είναι ίσο με
286.
11 . 6 α
β
γ
Αν οι αριθμοί 2 , 2 και 2 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α, β και γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.
287.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
80
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
Γ. Ανισώσεις Να λύσετε τις ανισώσεις:
288.
x3 3x 2
α. 4 1 x 2 2x 1 β. 3 9 1 γ. 2
2x 1
1 δ. 2
3 x
1 2
x2 1
1 16
3x 1
x2 2x
x
1 1 ε. 5 25 2 στ. 3x 81 7 2
ζ.
3 η. 1 θ. 2
2x x2
x 4 5x3 3x2
5 2
0
4 49 3
x 16
x
x+3
<8
x
2 16 ι. < 4 e e
Να λύσετε τις ανισώσεις:
289.
α. 4 6 2x 8 0 β. 27x 12x 2 8x 0 x
2x + 3 2 2x +1 3 2x -1 >1 δ. 2 4x ε. e2x ex1 0 στ. ex +3 ex -1 > 0
γ.
2 x+1
3 4x+1 + 2 3 2x - 4 0 η. x 2 -8
ζ.
290.
35 6x
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f(x) =
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
32x - 28 3x-1 +3 .
81
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
291.
1 συνάρτησης f με f(x) = e
x2 -2
- e x βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x.
Να λύσετε στο (0 , 2π) την ανίσωση: 81 x 912 2
292.
2
x
6.
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex – e και g(x) = e1-x –1 .Nα βρεθούν τα κοινά σημεία των f ,g και να βρείτε τις τιμές των x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από της g.
293.
Δ. Συστήματα Να λύσετε τα συστήματα:
294.
y 1 2 8 α. y x 9 9 3 x
2x -y = 256 β. 5x + 3y = 2(10 - y) x y 1 5 4 9 γ. x 1 y 2 5 4 69 x y 2 3 = 72 δ. y x 2 3 =108 2x 3y ε. x 3 2y x+1 y 3 + 5 =106 στ. x y+1 3 + 5 =152 3 x 3 y = 9 ζ. x y 1 3 = 27 x 2 25y η. x 5 4y 6 27x 81y 3 3 θ. 3 2x 5 8 y 2 x y 3 5 4 ι. x y 9 3 5 6 2
2
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
82
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
Ε. Ορισμός - Ιδιότητες εκθετικής συνάρτησης 295.
Nα βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων:
2 α. g(x)= 3α + α 5-α β. f(x) = α+4
296.
x
x
Δίνεται η εκθετική συνάρτηση f(x) = 3 - α . x
α. Να βρείτε τις τιμές του αR για τις οποίες ορίζεται στο R η συνάρτηση f. β. Για ποιες τιμές του α η f είναι: 1) γνησίως φθίνουσα και 2) γνησίως αύξουσα; 297.
1 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f(x) 1
x
α. Να βρείτε τις τιμές του αR για τις οποίες ορίζεται στο R η συνάρτηση f. β. Να βρείτε τις τιμές του αR για τις οποίες η f είναι εκθετική συνάρτηση. γ. Για ποιες τιμές του αR η f είναι γνησίως αύξουσα; δ. Για ποιες τιμές του αR η f είναι γνησίως φθίνουσα; 2
x
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f(x) . 1 α. Να βρείτε τις τιμές του αR για τις οποίες ορίζεται στο R η συνάρτηση f. β. Για ποιες τιμές του αR η f είναι γνησίως φθίνουσα;
298.
1 Δίνεται η συνάρτηση: f ( x) . 5 x
299.
α. Για ποιες τιμές του αR η f(x) είναι εκθετική συνάρτηση; β. Να λυθεί η ανίσωση f x 2 f x 6 όταν -1 < α < 5. 300.
Αν ισχύει: f(x) =
ex + e-x ex + e-x και g(x) = να αποδείξετε ότι 2 2
f 2 (x) - g2 (x) =1 .
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
83
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
ΣΤ. Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής Ένας βιολόγος μελετώντας την ανάπτυξη ενός είδους βακτηριδίων , παρατηρεί ότι: 2 ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης , τα βακτηρίδια ήταν 400 και 4 ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν 3200. Αν ο τύπος που δίνει τον αριθμό των βακτηριδίων είναι P(t ) P0 2 t , όπου P(t) ο αριθμός των βακτηριδίων σε χρόνο t , Ρ0 ο αρχικός αριθμός τους και κ σταθερά που εξαρτάται από το είδος των βακτηριδίων , τότε:
301.
α. να βρείτε τη σταθερά κ. β. να βρείτε τον αρχικό αριθμό των βακτηριδίων. γ. σε πόσα λεπτά ο αρχικός αριθμός των βακτηριδίων είχε διπλασιαστεί; Η ποσότητα αλκοόλ στο αίμα ενός οδηγού έπειτα από κατανάλωση αλκοόλ είναι 45mgr.Το αλκοόλ απορροφάται από τον οργανισμό σύμφωνα με τον τύπο Q(t) = Qoe-αt όπου Qo η αρχική ποσότητα αλκοόλ στο αίμα , t ο χρόνος σε ώρες και α σταθερά . Ο χρόνος απορρόφησης από τον οργανισμό της μισής ποσότητας αλκοόλ είναι 2 ώρες . Να υπολογίσετε τη σταθερά α . Πόσο χρόνο χρειάζεται να περιμένει ο οδηγός μέχρι να είναι σε θέση να οδηγήσει ώστε να μην πληρώσει πρόστιμο σε ενδεχόμενο αλκοτέστ , δεδομένου ότι το όριο αλκοόλ στον οργανισμό είναι 15mgr.
302.
Έστω η γεωμετρική πρόοδος με α1 = 4 και λόγο λ = ½ . Αν Q(t) είναι η τιμή ενός προϊόντος που ακολουθεί το νόμο της εκθετικής μεταβολής , όπου t ο χρόνος σε έτη κυκλοφορίας του προϊόντος στην αγορά και η αρχική τιμή είναι ογδονταπλάσια του α6 τότε:
303.
α) Να αποδείξετε ότι Q(t) = 10 4-t , δεδομένου ότι
Q(5) α8 . = Q(3) α 4
β) Να βρείτε το χρόνο υποδιπλασιασμού της αρχικής τιμής του προϊόντος γ) Να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για τον οποίο η τιμή του προϊόντος δεν υπερβαίνει τα 2/5 της αρχικής τιμής του. H θερμοκρασία Θ(t) (σε οC) σε μια πόλη t ώρες μετά την ανατολή του ηλίου δίνεται από τη συνάρτηση Θ(t) = 10 + α(1 – eβt) , t ≥ 0 . α) Να βρείτε τη θερμοκρασία της πόλης όταν ανατέλλει ο ήλιος. β) Αν 2 ώρες μετά την ανατολή του ηλίου η θερμοκρασία είναι 14 οC και μετά από άλλες 2 ώρες η θερμοκρασία είναι 16οC. i) Nα βρείτε τα α και β.
304.
t - 2 ii) Nα δείξετε ότι Q(t) = 10 + 8 1- 2 και να βρείτε τη θερμοκρασία μετά
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
84
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
από 6 ώρες από την ανατολή του ηλίου. iii) Να δείξετε ότι κατά τη διάρκεια της ημέρας η θερμοκρασία δε θα ξεπεράσει τους 18οC. Ο αριθμός των βακτηριδίων Q(t) που εμφανίζονται σε μια καλλιέργεια μετά από t ώρες αφότου άρχισε η παρατήρηση από ένα βιολόγο , δίνεται από τον τύπο lnQ(t) = lnQo + αt , t ≥ 0 , Qo > 0 , α > 0. Αν μετά από 3 ώρες ο αριθμός των βακτηριδίων είναι διπλάσιος και μετά από 9 ώρες είναι 80 τότε
305.
t
α) Να δείξετε ότι Q(t) = 10 23 β) Να βρείτε την αύξηση του αριθμού των βακτηριδίων από την 7η ώρα έως και την 12η ώρα γ) να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο που απαιτείται ώστε ο αριθμός των βακτηριδίων να μην είναι μικρότερος του 25. Μετά τον καθαρισμό δύο λιμνών την ίδια χρονική στιγμή ο πληθυσμός των ψαριών τους είναι ο ίδιος. Στην λίμνη Α ο πληθυσμός αυξάνει 10% από χρόνο σε χρόνο για τα πρώτα 10 χρόνια μετά τον καθαρισμό της και μετά από 3 χρόνια είναι 1331 χιλιάδες ψάρια . Στην λίμνη Β ο πληθυσμός σε χιλιάδες ψάρια δίνεται από τη συνάρτηση Π(t) = α + β(1 – eγt) , t ≥ 0 , γ < 0 , β > 0. Αν μετά από 2 χρόνια ο πληθυσμός στη λίμνη Β είναι κατά 200.000 περισσότερος και μετά από άλλα δύο χρόνια είναι κατά 300.000 περισσότερος από τον αρχικό πληθυσμό α) Να βρείτε τον πληθυσμό των λιμνών όταν άρχισε ο καθαρισμός β) Να βρείτε τα α ,β και γ
306.
γ) Αν α = 1000 , β = 400 και γ = -
ln2 , να βρείτε μετά από πόσα χρόνια 2
ο πληθυσμός της λίμνης Β θα είναι 1.350.000 ψάρια.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
85
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
► ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ►ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
86
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
Α. Στοιχεία Θεωρίας ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Ο log είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να βρούμε το θ.
x x log , 1 0 0
Αν 1 0 ,1 , 2 0 1. log 1 2 log 1 log 2
log x x a log log 1 0
1 log 1 log 2 2 3. log log
2. log
log 1
Δεκαδικοί λογάριθμοι
Φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι
log x 10 x
ln x e x
Αλλαγή βάσης , 0 , 1 , ό ά 0 : log
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
log log
87
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( x ) log x , 1 Πεδίο ορισμού : (0 , +) Σύνολο τιμών : R Είναι γνησίως αύξουσα στο R δηλ για κάθε x1 , x2 R ισχύει: αν x1 < x2 , τότε log x1 log x2 Γραφική παράσταση:
Α(1,0)
f ( x ) log x , 0< 1 Πεδίο ορισμού : (0 , +) Σύνολο τιμών : R Είναι γνησίως φθίνουσα στο R δηλ για κάθε x1 , x2 R ισχύει: αν x1 < x2 , τότε log x1 log x2
Γραφική παράσταση:
Α(1,0)
Ισχύει η ισοδυναμία:
log x1 log x2 x1 x2
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
88
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Ορισμός λογαρίθμου - Ιδιότητες 307. Να υπολογίσετε τους παρακάτω αριθμούς: α. log0,0001 β. log10000 γ. lne3 1 δ. ln e 1 ε. ln e στ. 102-3log2
ζ. e2-ln5 η. 103log100 θ. ln(-e)κ με κ:άρτιο θετικό ακέραιο 308.
Να βρείτε το x ώστε να ισχύει:
α. logx=-2 β. ln x 3 γ. ln2 x 1 δ. ln x2 1 ε. 2ln x 1 στ. ln x2 0 309.
Να αποδείξετε ότι:
α. 2log5 + 3log2 - log60 + log3 = 1 1 1 1 log25 log8 log32 1 log2 2 3 5 log 125 log 27 log 8 3 γ. log15 log2 2 log7 log x δ. x 7 , για x>0.
β.
α. Να υπολογίσετε το άθροισμα : log3 +log32 +log33 +...+log370. β. Να βρείτε το θετικό αριθμό x ώστε να ισχύει: logx +logx3 +logx5 +...+logx 2ν-1 = 2ν 2 .
310.
Να σημειώσετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: 1. Σε αριθμητική πρόοδο : α1 = log2 και α2 = log20. Ο ενδέκατος όρος της προόδου είναι: Α. 10log2 B. log20 Γ. log(2 1010) Δ. 1 + log2 E. 10 2 2. Σε γεωμετρική πρόοδο α1 = 1 και λ = e . Τότε: ln( 4 5 6 ... 48 )
311.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
89
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
είναι: Α. 2004
Β. 2002
Γ. 200
Δ. 100
Ε. 2250
Σε μια αριθμητική πρόοδο με α1 = ln2 και α2 = ln16 να δειχθεί ότι το άθροισμα των ν πρώτων όρων της δίνεται από τον τύπο Sν =
312.
ν(3ν -1) ln2 . 2
Σε μια γεωμετρική πρόοδο ο 1ος όρος είναι ο log2 και ο 2ος ο log8. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ν πρώτων όρων της προόδου δίνεται
313.
3ν - 1 log2 από τον τύπο: Sν = 2
Να δείξετε ότι:
314.
1 1 1 1 ln 1+ + ln 1+ +ln 1+ +…+ ln 1+ = ln(κ +1) –ln2. 2 3 4 κ
Να βρείτε το θετικό αριθμό x , ώστε να ισχύει : lnx + lnx4 + lnx7 + … + lnx100 = 3434.
315.
Β. Γραφική παράσταση Nα παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: α. f(x) = 2 + lnx β. f(x) = 2 + ln(x – 1) γ. f (x) = log(x + 2) – 1
316.
δ. f (x) = ln
1 x
ε. f(x) = lnx στ. f (x) =
1 lnx 4 2
Γ. Εξισώσεις Να λυθούν οι εξισώσεις: α. log(x+2) + log(x-2) = log5 β. log(x+2) - log(x-2) = log5 γ. lnx2 – ln(2x – 2) = ln2e -1
317.
1 log(x + 2) + log x - 3 = 1+ log 3 2 x lnx ε. ln = 3 3
δ.
στ. lnx = ln2x ζ. lnx2 = ln2x ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
90
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
η. ln x = ln2x θ. log3x = x ι. ln2x – 1 = x + 2 logx + 2 1 1 = logx + 4 logx 2 2 λ. ln2x = lnx + 1
κ.
318.
Να λυθούν οι εξισώσεις: 2x = 3 x 6x + 6 = 2x+1 + 3x+1 4x3x + 212x = 96x ln(ex + 9 – e) = 1 – x + ln9
α. β. γ. δ. ε. 4lnx - 2lnx - e2ln 1 1+ logx 2
2
=0 1
log(x-1)-1
στ. 100 +1000 3 =1 2x ζ. ln(e + 2) = x η. ln(e2x + 2) = x + ln3 θ. x + log(1 + 2x) = xlog5 + log6 ι. 5lnx – 3lnx -1 = 3lnx + 1 – 5lnx -1 κ. xlnx = e λ. x 2lnx =
x5 e2
Να λυθούν οι εξισώσεις:
319. 2
α. xln x =
x3 e2
β. xln x = e γ. 2lnx + 22-lnx = 5 δ. log 2x 3 log 2x 1 1 ε. log log log x 1 0 στ. log log x 2 4x 6 0
ζ.
2 log x 3 log x 5 2 log x 3 log x
η. xlog x 10 θ. log 5x 2 3x log27 log71 xlog3 ι. x log 1 2x xlog5 log6
Να λυθούν οι εξισώσεις : α. ln3x -6ln2x + 11lnx -6 = 0 β. 2lnx + 22-lnx = 5
320.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
91
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
Nα βρεθεί σε ποια σημεία η γραφική παράσταση της f(x) = ln[ln(x2-x+e)] τέμνει τον άξονα x΄x
321.
Να βρείτε το θετικό αριθμό x , ώστε να ισχύει : lnx + lnx4 + lnx7 + … + lnx100 = 3434.
322.
323.
Να λύσετε τις εξισώσεις ln(ημx) = 0 , x(0,π) και ln(συνx) = 0, π
x 0, . 2 Aν οι αριθμοί logx, log(x+6), log(2x+7) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να βρεθεί το x.
324.
325.
Για ποιες τιμές του x οι αριθμοί: log178 , log 81 2 x 2 3x , x log 3
είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου; Για ποιες τιμές του xΙR οι αριθμοί log(3 2x – 1), log(4 2x – 1), log(8 2x – 2) με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου; Εάν ο τέταρτος όρος της παραπάνω αριθμητικής προόδου είναι : α4 = – log2, να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου.
326.
327.
Δίνονται οι αριθμοί log
1 ,log 5x και 2. Να βρείτε τις τιμές του x +1
xώστε οι παραπάνω αριθμοί να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. 328.
Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α – ln2)x3 – (eα – β)x + ln
3 και 2
3 2
Q(x) = (1 – lnβ)x3 – (e – 2)x + ln . Αν τα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα: α) Να βρείτε τα α και β β) Να αποδείξετε ότι Ρ(-1) > 0.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
92
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
Δ. Ανισώσεις Να λύσετε τις ανισώσεις:
329. x
e -1 1 > e x +1 2 e2x -3 β. x <3 e -1
α.
γ. ln2x – 5lnx + 6 > 0 δ. ln2x > lnx ε. ln2x > 1 στ. 2lnx > 1 ζ. lnx2 > 1 η. log(x+1) – log(x-1) > log2 1 2 > lnx -1 3lnx +1 2lnx +1 >1 ι. lnx +1 lnx -1 1 κ. lnx 2
θ.
Δίνεται η f(x) =
330.
1 1 + . 1 + logx 1 - logx
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f . β. Να αποδείξετε ότι f(x) = f(1/x) και να λύσετε την ανίσωση: f(x) + f(1/x) > 4. α) Να δείξετε ότι αlnβ = βlnα για κάθε α ,β > 0
331.
ln
1
β) Να λυθεί η ανίσωση 2lnx - 2 x 2 <1 γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = αlnx . Nα βρείτε το α ώστε 5f(3) – 3f(5) > 0 Ε. Συστήματα Να λυθούν τα συστήματα:
332.
2 - 2 x = 4 y
α.
log(2x + 2) - log(3 + y) = 0 x + y = 25 β. logx + logy = 2 log2 x + log2 y = 1 γ. logy - logx = 1
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
93
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
x y 15 log x 2 log y
δ.
Να λυθούν τα συστήματα:
333.
5 - 2y = 1 α. xln5 + yln2 = ln20 ln x - 1 = 0 β. e lnx - ln2 y = -1 x
ln(x y) = 3ln3
γ.
2 lnx lny = 2ln 3 x 2 y 2 425 δ. log x log y 2
ΣΤ. Ορισμός λογαριθμικής συνάρτησης Nα βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α. f(x) = log(x2 – 1)
334.
β. f (x) = ln x-3 5-x
γ. f (x) = ln x - x 1
x e -1 δ. f (x) = ln x e-e x ε. f(x) = lnx - 2 στ. f(x) = lnx - 1
Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(5 – 3x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β. Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf με τους άξονες γ. Να λύσετε τη f(x) > 0
335.
Έστω η συνάρτηση f(x) = x2 – 2(1 + lnθ)x + 5 – ln2θ , θ > 0 α. Να βρείτε το θ ώστε η Cf να εφάπτεται στον άξονα x΄x β. Να βρείτε το θ ώστε η f να παρουσιάζει ελάχιστο στο 3 γ. Να βρείτε το θ ώστε η f να έχει ελάχιστη τιμή το 4
336.
Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(ln(x – 1)) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
337.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
94
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
β. Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf με τους άξονες γ. Να λύσετε τη f(x) < 0 338.
Δίνονται οι συναρτήσεις: f(x) = ln(e2x-2ex+3) και g(x) = ln3+ln(ex-
1). α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x). β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x). γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 2g(x). (Πανελλήνιες 2003) 339.
e2 x 1 . x e 5
Δίνεται η συνάρτηση f ( x) ln
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x). β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2 . γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 0. (Πανελλήνιες 2002) 340.
Δίνεται η συνάρτηση: f ( x) log
1 x . 1 x
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να υπολογίσετε το άθροισμα: Α = f 3
1 1 f ... f . 9 199 γ. Να δείξετε ότι: f ( ) f ( ) f , όπου κ , λ ανήκουν στο πεδίο 1 1
1 f 5
1 f 7
ορισμού της f. 341.
ex - 2 . x e + 4
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + ln
α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x). β. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = ln5 - ln3 . γ. Να λυθεί η ανίσωση f(x) > 0 . 342.
Δίνεται η συνάρτηση f με f(0) = f(1) = 0 και τύπο:
f x log 1 ex β x α , α , β R Α.
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
Β.
Να βρείτε τις τιμές των α , β.
Γ.
Να δείξετε ότι:
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
95
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
1 ex x 1 f x log 2 . x 1 e
343.
Να δειχθεί ότι:
xlog
x
10 0, 01 x 100 .
Δίνεται η συνάρτηση: f(x) lnx2 . α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να λύσετε την εξίσωση: f(x) = 0. γ. Να λύσετε την ανίσωση: f(x) – 2 > 0.
344.
345.
3 x . 3 x
Δίνεται η συνάρτηση: f ( x) ln
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β. Να λύσετε την εξίσωση: f(x) + ln2 = 0. γ. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x. δ. Να λύσετε την εξίσωση: f 3e x f (1) . 346.
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln
2x -3 και g(x) =
ln 2x - 3 .
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g. β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x). γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3). 347.
Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x - 54x) και η ευθεία ε : y = x +
log3. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε. 3 3 γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α ,f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β 2 2 3 με τετμημένη της ευθείας ε. 2 348.
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln x + x 2 +1 .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή. γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(-1). ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
96
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Λυκείου Εκθετική - Λογαριθμική συνάρτηση
δ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) > x + ln3. 349.
Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α – ln2)x3 – (eα – β)x + ln
3 και 2
3 Q(x) = (1 – lnβ)x3 – (e – 2)x + ln . Αν τα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα. 2 α) Να βρείτε τα α και β . β) Να αποδείξετε ότι Ρ(-1) > 0.
α) Να λύσετε την εξίσωση y3 + y – 2 = 0. 1 β) Αν η γραφική παράσταση της f (x) = 27x + 12xlnα2 - 28xlnα 2 διέρχεται από την αρχή των αξόνων, i) να αποδείξετε ότι α = e ii) να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x.
350.
Έστω f (x) = (3 - 2lnα)x. α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R. β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα. γ) Αν α = e να λύσετε την εξίσωση f(1 + συν2θ) – f (2ημ2θ) = 3.
351.
Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (2lnκ – 1)x4 + x3 + (e – 1)x2 – ex + 1 + 2ημθ , θ(0,2π) . Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x – 1’ α) Να βρείτε τα κ και θ. β) Να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) < 0 . γ) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της f με f(x) = e3x + (e – 1)e2x – ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x.
352.
2 . ln x 1 α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β. Να λύσετε την εξίσωση: f(x) = 2. γ. Να λύσετε την ανίσωση: f(x) < 2.
353.
Δίνεται η συνάρτηση f ( x)
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
97