ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ by MICHAEL MAGKOS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΑΓΚΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

2014

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενιζέλου 205 Ν. Σμύρνη -2109311913–www.kentromel etis.edu.gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

1 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Θ 1.1 Τι ονομάζουμε σύνολο C των μιγαδικών αριθμών;

Απάντηση Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου R των πραγματικών αριθμών στο οποίο : ∙Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και έχουν τους ίδιους κανόνες λογισμού όπως στο R. ∙Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i2 = -1 . ∙Κάθε στοιχείο z  C γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με μορφή z = α + βi , μ ε α , β R .

► Παρατηρήσεις

1) Ο πραγματικός αριθμός α καλείται πραγματικό μέρος του z και συμβολίζεται Re(z) , δηλαδή α = Re(z). 2) Ο πραγματικός αριθμός β καλείται φανταστικό μέρος του z και συμβολίζεται Im(z) , δηλαδή β = Im(z). 3) Κάθε αριθμός z του οποίου το πραγματικό μέρος είναι 0 , δηλαδή της μορφής z = βi , βR, λέγεται φανταστικός αριθμός . Το σύνολο των φανταστικών αριθμών συμβολίζεται συνήθως με I .

Θ 1.2

Πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι;

Απάντηση Δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι αν και μόνο αν τα πραγματικά τους μέρη είναι ίσα και τα φανταστικά τους μέρη είναι επίσης ίσα . Άρα αν z1 = α1 + β1i και z2 = α2 + β2i τότε : z1 = z2  α1 = α2 και β1 = β2

2 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Θ 1 . 3 Πώ ς π α ρ ι σ τά ν ου μ ε γε ω μ ε τ ρ ι κ ά τ ο υ ς μ ι γα δ ι κ ού ς α ρ ι θ μ ού ς ;

Απάντηση Σε κάθε μιγαδικό z = α + βi μπορούμε να αντιστοιχίσουμε το σημείο Μ(α,β) ενός καρτεσιανού επιπέδου . Αντίστροφα σε κάθε σημείο Μ(α,β) ενός καρτεσιανού επιπέδου μπορούμε να αντιστοιχίσουμε το μιγαδικό αριθμό z = α + βi . Το σημείο Μ λέγεται εικόνα του μιγαδικού αριθμού z , έτσι πολλές φορές αντί για Μ(α,β) γράφουμε Μ( z) . Το επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών , ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο . Ο x΄x λέγεται πραγματικός άξονας και o y΄y λέγεται φανταστικός άξονας . Ένας μιγαδικός αριθμός z = α + βi παριστάνεται και με τη διανυσματική 

α κ τ ί ν α ΟΜ

του σημείου Μ(α,β) (σχ.1) . Μ(z)

β Ο

σχ.1

Θ 1 . 4 Πώ ς ο ρ ί ζ ε τ α ι η π ρ ό σ θ εσ η , η α φ α ί ρ ε σ η κα ι τ ο γ ι ν ό μ εν ο δύ ο μ ι γ α δ ι κώ ν α ρ ι θ μ ώ ν ;

Απάντηση α) Αν z1 = α + βi , z2 = γ + δi τυχαίοι μιγαδικοί αριθμοί , ονομάζουμε άθροισμα αυτών το μιγαδικό αριθμό : z1 + z2 = (α + βi) + (γ + δi) = (α + γ) + (β + δ)i . β) Από τον ορισμό της πρόσθεσης έχουμε ότι το ουδέτερο στοιχείο της είναι ο μηδενικός μιγαδικός 0 + 0i και ο αντίθετος του μιγαδικού z = α + βi είναι ο μιγαδικός - z = - (α + βi) = - α - βi με z + (- z) = 0 . Αν z1 = α + βi , z2 = γ + δi τυχαίοι μιγαδικοί αριθμοί , ονομάζουμε διαφορά του z2 από τον z1 το μιγαδικό αριθμό : z1 - z2 = z1 + (- z2) = (α + βi) + (- γ - δi) = (α - γ) + (β - δ)i . γ) Αν z1 γινόμενο z1z2 = (α αγ + αδi

= α + βi , z2 = γ + δi τυχαίοι μιγαδικοί αριθμοί , ονομάζουμε αυτών το μιγαδικό αριθμό : + βi) (γ + δi) = α(γ + δi) + βi(γ + δi) = + βγi + βδi2 = (αγ - βδ) + (αδ + βγ) i .

3 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Θ 1 . 5 Π ο ι α ε ί ν αι η γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ή ε ρ μ η ν ε ί α τ η ς π ρ ό σ θ εσ η ς κ α ι τ η ς α φ α ί ρ ε σ η ς μ ι γ αδι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν ;

Απάντηση 



Έ σ τ ω ΟΜ1 , ΟΜ2 ο ι δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ έ ς α κ τ ί ν ε ς τ ω ν σ η μ ε ί ω ν Μ 1 ( z 1 ) κ α ι Μ 2 ( z 2 ) αντίστοιχα. Η διανυσματική ακτίνα του σημείου Μ( z1+z2) 



είναι το άθροισμα των

δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ώ ν α κ τ ί ν ω ν ΟΜ1 και ΟΜ2 π ο υ β ρ ί σ κ ε τ α ι μ ε τ ο ν κ α ν ό ν α τ ο υ παραλληλογράμμου (σχ.2). Η διανυσματική ακτίνα του σημείου Μ( z1 - z2) βρίσκεται αν προσθέσουμε τη

διανυσματική

ακτίνα



 ΟΜ2 του Μ2 (z2 )

στη

διανυσματική

ακτίνα



ΟΜ1 του Μ1 (z1 ) ( σ χ . 3 ) .

M1(z1)

M2(z2)

M(z1+z2) O

M2(z2) O

x σχ.2

M1(z1) M(z1-z2)

M2΄(-z2) σχ.3

4 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Θ 1.6

Π ώ ς ο ρ ί ζ ον τ α ι ο ι δ υ ν άμ ε ι ς στ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ού ς α ρ ι θ μ ού ς ;

Απάντηση Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ορίζουμε z1 = z , zν = zν-1 z ακέραιος και ν  2 .

με ν

θετικός

Ακόμα για κάθε μη μηδενικό αριθμό μιγαδικό αριθμό z ορίζουμε : 1 z 0 = 1 κ α ι z-ν = ν μ ε ν θ ε τ ι κ ό α κ έ ρ α ι ο . z

Θ 1.7

Δυνάμεις του i

Ιδιαίτερη σημασία πρέπει να δώσουμε στις δυνάμεις του i . Αν ν = 4ρ + υ , με ρ,υΝ και 0 ≤ υ < 4 τότε:

iν = i4ρ + υ = i4ρ  iυ =  i4  





iυ = iυ =

        

1 , αν υ = 0 i , αν υ = 1 - 1 , αν υ = 2 - i , αν υ = 3

Παραδείγματα

1. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις:

i1925

1 i

2016

2. Άσκηση Β4 σελίδα 96 σχολικού

5 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Θ 1.8

α ) Τ ι ο ν ο μ ά ζ ου μ ε σ υ ζυ γ ή εν ό ς μ ι γ αδ ι κ ο ύ α ρ ι θ μ ού ; β ) Π ώ ς ο ρ ί ζ ε τ α ι η δ ι α ί ρ ε σ η δ ύ ο μ ι γα δ ι κ ών α ρ ι θ μ ών ;

Απάντηση α) Αν z = α + βi είναι ένας μιγαδικός αριθμός, τότε ο συζυγής του z συμβολίζεται με z κ α ι ε ί ν α ι : z    i β) Για να διαιρέσουμε δύο μιγαδικούς, πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με το συζυγή του παρονομαστή . Αν z1 = α + βi , z2 = γ + δi τυχαίοι μιγαδικοί αριθμοί με z2  0 , τότε :

z1 α + βi (α + βi) (γ - δi) (αγ + βδ) + (βγ - αδ)i αγ + βδ βγ - αδ = = = = 2 + 2 i . z2 γ + δi (γ + δi) (γ - δi) γ 2  δ2 γ  δ2 γ  δ2

Θ 1.9 Αν

Ιδιότητες συζυγών

z = α + βi

τότε :

z=z

z  z = α2 + β 2

(δηλαδή

z  z  R)

z + z = 2α

(δηλαδή

z + z = 2Re(z)

Re(z) =

z+z 2

)

z - z = 2βi

(δηλαδή

z - z = 2i Im(z)

Im(z) =

z-z 2i

)

z1 + z2 = z1 + z2

και

γενικά

z1  z2  ...  zν  z1  z2  ...  zν

z1  z2 = z1  z2

και

γενικά

z1  z2    z ν = z1  z2  z ν





z 7)  1  z   2

z1 , z2  0 z2

8) ν z = ν z 9)

 zν  = (z)ν 6

Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Απόδειξη 5) Αν z1 = α + βi και z2



     i            i  i   i      i   z1  z2

z  z   i  1 2 = γ + δi :            



► ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ: 1 ) Η π α ρ ά σ τ α σ η zw  zw γ ρ ά φ ε τ α ι :

      

zw  zw  zw  zw .

zw + zw = zw + zw = 2Re  zw 

zw - zw = zw - zw = 2Ιm  zw   i

z z   w w 3)  z z w  w 



 z z z     2Re   w w w



 z z z     2Im    i w w w

4 ) Α ν ε ί ν α ι z  z1  z2i μ ε z1 , z2  C τ ό τ ε : Είναι λάθος να πούμε ότι:

z  z1  z2i  z1  z2 i

z  z1  z2i δ ι ό τ ι ο z δ ε ν ε ί ν α ι σ ε κ α ν ο ν ι κ ή

μορφή.

Παραδείγματα

iz  ......

z  ........ i

2. Να βρείτε το συζυγή του μιγαδικού:

w  (2  3i)  i21  3i 2. Να δείξετε ότι ο αριθμός:

zwi z w  είναι πραγματικός. w wi

7 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Θ 1.10 Επίλυση της εξίσωσης: αz2 + βz + γ = 0 με α ,β ,γR και α0

Βρίσκουμε τη διακρίνουσα Δ = β 2 – 4αγ.  Α ν Δ > 0 τ ό τ ε η ε ξ ί σ ω σ η έ χ ε ι δ ύ ο π ρ α γ μ α τ ι κ έ ς λ ύ σ ε ι ς : z1,2 

   . 2

 Αν Δ = 0 τότε έχει μια διπλή πραγματική λύση : z 

 . 2

 Αν Δ < 0 τότε έχει δύο συζυγείς μιγαδικές λύσεις :

z1,2     i  2

Να προσέξεις τα α , β , γ να είναι πραγματικ οί αριθμοί! Παρατήρηση Ισχύουν οι σχέσεις:

z1  z2   και z1  z2   . ( Τ ύ π ο ι V i e t a )   Παραδείγματα

1. Άσκηση Α14 σελίδα 96 σχολικού. 2. Να λυθεί η εξίσωση: z2 – i z + 2 = 0 , zC.

8 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Π 1.1

Όταν μας ζητούν να βρούμε τις τιμές των α , β R για τις οποίες είναι συζυγείς δύο μιγαδικοί , με τα πραγματικά και τα φανταστικά τους μέρη να είναι συναρτήσεις των α και β

Τρόπος εργασίας Θα απαιτούμε να είναι ίσα τα πραγματικά και αντίθετα τα φανταστικά μέρη των δύο μιγαδικών και θα καταλήγουμε σε ένα σύστημα με αγνώστους τα α και β . Παράδειγμα Ν α β ρε θ ο ύν τ α x , y R γ ι α τ α ο π ο ί α ο ι μ ι γαδ ι κο ί : z1= (x2 - xy) + (y - 6)i , z2 = (4 + xy - y2) + xi είναι συζυγείς .

Π 1.2

Όταν μας ζητούν να εκφράσουμε έναν μιγαδικό w με πραγματικό και φανταστικό μέρος συναρτήσεις του α και β R , ως συνάρτηση του z = α + βi και του συζυγή του

Τρόπος εργασίας Θα χρησιμοποιούμε τους τύπους

Π 1.3

α =

z+z 2

και

β =

z-z . 2i

Για να δείξουμε ότι ο z είναι πραγματικός

Τρόπος εργασίας τον γράφουμε στη μορφή z = α + βi και αποδεικνύουμε ότι: β = 0 ή ότι: z = z δηλαδή Im(z) = 0 ή z = z. Π 1.4

Για να δείξουμε ότι ο z είναι φανταστικός

Τρόπος εργασίας τον γράφουμε στη μορφή z = α + βi και αποδεικνύουμε ότι: α = 0 ή ότι: z = - z δηλαδή Re(z) = 0 ή z = - z. Παραδείγματα α. Άσκηση Β8 σελίδα 96 σχολικού 9 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

β . Α ν z , w μ ι γ α δ ικ ο ί μ ε z  z  w  w  3 , ν α δ ε ίξ ε τε ό τ ι ο α ρ ι θ μ ό ς z1 

zw 3  zw

είναι φανταστικός.

Π 1.5

Παρατήρηση

Αν z = α + βi , τότε κ z = κ α + κ β i με κR. Άρα : Re(κz) = κ Re(z) και Ιm(κz) = κ Ιm(z)

Π 1.6 ΘΥΜΑΜΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΥΣ ΤΥΠΟ ΥΣ Αριθμητική Πρόοδος

Γεωμετρική Πρόοδος

Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού.

Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό.

αν+1 = αν + ω

αν+1 = αν  λ

αν+1 - αν = ω

 1  

αν = α1 + (ν – 1)ω

αν = α1  λν-1

α , β , γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν

α , β , γ ≠ 0 διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν



S 

  2

    1       21     1   2 2

2    

S   1 

  1 ,λ 1  1

Παραδείγματα α. Ε φ α ρ μ ο γ ή 1 σ ε λ ί δ α 9 3 σ χ ο λ ι κο ύ β. Α ν 1 + z + z 2 + … + z 2 0 0 9 = 0 μ ε z ≠ 1 κ α ι z  C , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z2010 = 1.

10 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Π 1.7

Προσοχή!

Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών μπορεί να αληθεύει μια ισότητα της μορφής u2 + v2 = 0 και όταν u  0 και v  0 . Π.χ αν u = 1≠0 και v = i≠0 , τότε u2 + v2 = 12 + i2 = 1 – 1 = 0 .

Π 1.8

Αντισυζυγής

Αν z = α + βi , α , β R τότε ως αντισυζυγής του z ορίζεται ο μιγαδικός: w = β – αi (ή w = -β + αi). Παρατηρούμε ότι: β – αi = -i(α + βi) α + βi = i(β – αi) -β + αi = i(α + βi)

Επίσης:    i  i 

4  2

  i 

    i 

4  2



i4  2   i     i 

    i 

4  2

4  2 4  2

    i 

 

4  2

 0

 Οι διανυσματικές ακτίνες των z=α+βi και w=β-αi (δηλαδή του z και του αντισυζυγή του) είναι κάθετες. Παραδείγματα α. Να δείξετε ότι: (3-i)2010 + (1+3i)2010 = 0. Πράγματι: (3-i)2010 + (1+3i)2010 = (3-i)2010 + [i(3-i)]2010 = (3-i)2010 + i2010 (3-i)2010 = (3-i)2010 + i2 (3-i)2010= (3-i)2010 - (3-i)2010 = 0. β. Άσκηση Β7 σελίδα 96 σχολικού .

11 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Π 1.9

Δυνάμεις του 1±i , α±αi , α±α 3 i , α 3 ± αi

Π αρ ατ η ρ ο ύ μ ε ό τ ι :

1  i   2i 2 1  i   2i 2 2     i   2 1 i   22 i 2 2     i   2 1 i   2 2 i 2

 3   i    3 i

 3  i   8 i   1  3 i   8 3

 3

Ε κ φ ρ άζ ο υ μ ε τ ι ς δ υ ν άμ ε ι ς τ ω ν : 1 ± i , α± α i , α± α 3 i , α 3 ± α i μ ε τ η β ο ή θ ε ι α τ ω ν π αρ απ ά ν ω .

Παράδειγμα

1  i 



 1  i 

Π 1.10



2 10

  2i   210  i10  210  (1)  210 10

Για την επίλυση εξισώσεων στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών

α. Αν η εξίσωση περιέχει μόνο τον μιγαδικό z και είναι δευτεροβάθμια με πραγματικούς συντελεστές , χρησιμοποιούμε τους τύπους της δευτεροβάθμιας ,ενώ αν είναι μεγαλυτέρου βαθμού κάνουμε παραγοντοποίηση. β . Α ν η ε ξ ί σ ω σ η π ε ρ ι έ χ ε ι τ ο υ ς z , z ή δ υ ν ά μ ε ι ς τ ο υ z ( π . χ . z 2 , z3 ) , τότε θέτουμε z = x + y i και βρίσκουμε τα x , y. Παραδείγματα α. Άσκηση Α13 σελίδα 96 σχολικού. β. Άσκηση Β5 σελίδα 96 σχολικού.

12 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Π 1.11

Προσοχή!

α. Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών το άθροισμα δύο τετραγώνων μπορεί να γραφτεί ως διαφορά τετραγώνων: Ό τ α ν δ ί ν ε τ α ι η σ χ έ σ η z12  z22  0 , τ ό τ ε μ π ο ρ ο ύ μ ε ν α τ η γ ρ ά ψ ο υ μ ε ω ς ε ξ ή ς :

z12  z22  0  z12  z22  z12  i2 z22  z12  i2 z22  0  (z1  iz2 )(z1  iz2 )  0  z1  iz2  0 ή z1  iz2  0  z1  iz2 ή z1  iz2 Άρα στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών το άθροισμα τετραγώνων μπορούμε να το μετατρέψουμε σε διαφορά τεραγώνων ! z12  z22 = (z1  iz2 )(z1  iz2 )

β . Δ εν ι σ χύ ε ι η δ ι ά τ α ξ η σ τ ο υ ς μ ι γ αδ ι κ ο ύ ς . Επομένως αν μου δοθεί η ανισότητα : z2 – 3z +2 > 0 σημαίνει ότι: z2 – 3z +2 R.

Π 1.12

Γεωμετρικοί τόποι

Σ ε α σκ ή σ ε ι ς π ο υ μ α ς ζ η τ ού ν ν α β ρ ο ύ μ ε τ ο γ εωμ ε τ ρ ι κ ό τ ό π ο τω ν ε ι κ ό ν ω ν ε ν ό ς μ ι γα δ ι κ ο ύ α ρ ι θ μο ύ z ο ο π ο ί ο ς ι κ αν οπ ο ι ε ί μ ι α σ χ έσ η ή σ υ ν δ έ ε τ α ι μ ε μ ι α σ χ έ σ η μ ε έ ν α ά λ λο μ ι γ α δ ι κ ό w . Τρόπος εργασίας Θ έ τ ο υμ ε σ τ η σ χ έ σ η μ α ς ό π ο υ z = x + y i το μ ι γ α δ ικ ό το υ ο π ο ί ο υ το γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τό π ο τω ν ε ι κ ό νω ν θ έλ ο υμ ε ν α β ρ ο ύ μ ε κ α ι w = κ + λ i το μ ι γ α δ ι κό γ ι α τ ο ν ο π ο ί ο σ υ ν ήθ ω ς γ ν ω ρ ί ζ ο υμ ε σ ε π ο ι α γ ρ α μ μ ή α ν ή κο υ ν ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ο υ , ά ρ α γ ν ω ρ ί ζ ο υ μ ε μ ια σ χ έ σ η π ο υ ι κ α ν ο π ο ιο ύ ν τ α κ κ α ι λ . Σ τ ό χο ς μ α ς ε ί ν α ι ν α ε κ φ ρ ά σ ο υ μ ε τ α κ , λ σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι τ ω ν x κ α ι y κ α ι ν α τ α α ν τ ι κ α τ α σ τ ή σ ο υμ ε σ τ η σ χ έ σ η π ο υ ι κ α ν ο π ο ι ο ύ ν τ α κ κ α ι λ . Παραδείγματα α. Εφαρμογή 2 σελίδα 93 σχολικού βιβλίου . β . Α ν γ ι α τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς z κ α ι w ι σ χ ύ ο υ ν z  z  4 κ α ι w = 2z + z , τ ό τ ε ν α βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w. 13 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Α 1.1 Ισότητα μιγαδικών – Re(z) – Im(z) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α , β για τους οποίους ισχύει:

α) α + βi = (2 + i) (3 - i)(2 - i) β) α + βi = (5 + i)2 γ) α2 + 3βi = (6 - αβ) + (7 - 2α)i δ) α + βi = (2 - i)3 ε) α + βi = (4 - 3i) i στ) α + βi = (1 - i)2 (2 + 3i) Να βρεθεί το πραγματικό και το φανταστικό μέρος των μιγαδικών:

4 + 2i 3-i 2 3 β) z2 =  3+i 2  i 1 1  γ) z3 = x + yi x - yi 12 + 8i 52 + 13i δ) z4 =  2 - 3i 13i α) z1 =

Nα βρείτε τους x ,y R , για τους οποίους ισχύει : 3.

α) (2 – 3i)2 –i(x – 2yi) = x + yi β) (1-2i)(x- yi) = (1 – i)2-xi 2

 2  3i  1 γ)   2  3i   x  yi  3  2i 









2(x  ix) 1  3i  . 2i 5

Ν α β ρ ε θ ε ί ο x   0,  γ ι α τ ο ν ο π ο ί ο ε ί ν α ι 2

Να βρεθούν τα x ,y R ώστε οι μιγαδικοί z1 = x + 2y – i και z2 = 11 – (4x –y)i να είναι συζυγείς.

Δίνονται οι μιγαδικοί: z1 = (2x –y) +(1+i)(x-y) και z2 = x + (2 + 3i)2y + 38. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x,y για τους οποίους ισχύει η σ χ έ σ η z1  z2 . 14

Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Α 1.2 Συζυγείς μιγαδικοί – Πράξεις

Στις παρακάτω περιπτώσεις να εκτελέσετε τις πράξεις που σημειώνονται και να γράψετε το αποτέλεσμα στη μορφή α + β i. A = (1+ i)3 + 7.

1  i 

B = (1 + i)(3-2i)2 + (1-i)(2-3i)2, Γ =

1  2i

(  i)3  (  i)3 (  i) 2  (  i) 2

Να βρεθούν οι αντίστροφοι των μιγαδικών και να γραφτούν στη μορφή z = α + βi α) z = i β) z = - 5i γ) z = 5 – i δ) z =

1 i 3i

Να βρεθεί στη μορφή α + βi α) z = 6 β) z = 2i γ) z = - i δ) z = 9.

, ο συζυγής του μιγαδικού z όταν :

1 i

ε) z = -3 + 4i στ) z = i (2 - 3i) 3i 1+i 1  3i 1 η) z =  1 i i

ζ) z =

Ν α β ρε θο ύν τα x , y R γ ι α τα ο πο ί α ο ι μ ι γαδ ι κο ί : 10. α) z1= (x2 - xy) + (y - 6)i , z2 = (4 + xy - y2) + xi β) z3 = x2 + (y+3)i , z4 = xy - 2(i + x)i είναι συζυγείς.

α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

α + βi , α , β , γ, δ  R κ α ι γ + δi

γ + δ  0 είναι

α β

11. πραγματικός αριθμός αν και μόνο αν γ δ = 0 . β) Αν

x 4 + i(x-1)2 x + 1 + i(x-1)

, ν α π ροσδ ιο ρ ίσε τ ε το ν x R , ώ στ ε I m(z )= 0 .

15 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Να δείξετε ότι για τους μιγαδικούς z1 , z2 ισχύουν: 1 2 . α . z1 z2  z1z2  2 Re  z1 z2   2 Re  z1z2  . β . z1 z2  z1z2  2 Im  z1 z2   i  2 Im  z1z2   i .

13.

Α ν z = x + yi κα ι w = (x 2 - y 2 + 2x) + (2xy + 2y )i μ ε x , y R να εκφραστεί ο w συναρτήσει του z .

Α 1.3 Γεωμετρική παράσταση μιγαδικού

Να παραστήσετε στο μιγαδικό επίπεδο τους μιγαδικούς : α) z1 = 3 - i , z2 = - 4 + 3i , z1 + z2 , z1 - z2 . β) z με Re(z) = - 1 . γ) z με Im(z) = 3 . δ) z με Re(z) < Im(z) . 14. ε) z με - 1  Re(z)  1 . στ) z = x + 2i , x  R . ζ) z = - 2 + (y+4)i , y  R . η ) z = 1 + i ημ θ , θ [ 0 , 2 π ) . θ) z = (x2 + 1) + i , x  R . Έστω Α , Β , Γ , Δ οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z3 , z4 αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο αν και μόνο αν z1 - z2 = z4 - z3 . 15. β) Αν οι κορυφές Α , Β , Γ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι εικόνες των z1 = 1 + i , z2 = 2 + 3i , z3 = - 1 + 4i , να βρείτε το μιγαδικό z4 του οποίου η εικόνα είναι η κορυφή Δ.

16 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Α 1.4 Δυνάμεις του i και δυνάμεις του 1+i και του 1-i Δυνάμεις του z Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων : Α = i1996 + i1997 + i1998 + i2000 + i2004 + i2007 16. B = 1 + i + i 2 + i 3 + . . . . . . + i ν , ν Ν * . Γ = i κ + i κ + 1 + i κ + 2 + i κ + 3 , κ Z . Για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου ν να υπολογιστεί το 17. άθροισμα S = 1 – i + i2 – i3 +…+(-1)νiν.

18.

Να δείξετε ότι αν ο 4 δεν διαιρεί τον φυσικό αριθμό ν ,τότε: A = (1 + i2ν)(1+iν) = 0.

2

 1 i   1 i  19. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α =     1  i   1 i  .

20.

Έστω ο μιγαδικός f (ν) = iν , νΝ. Να υπολογίσετε τους μιγαδικούς f (55) , f (-25), f (3ν).

Έστω zC και f (z) = z 3ν, νΝ*. 21. α) Για ν = 4 να υπολογίσετε την παράσταση f (1+i) + f (1-i). β) Να βρείτε το ν ώστε : f (2+3i) + f (3-2i) = 0.

2 2 . Α ν z = 1 + i , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z31  215 z .

2 3 . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : i  i1  i 2  i3 

2 4 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : 1  i 

2004

1 1 1 1 .    i i1 i 2 i 3

 1  i 

2004

 1  i 

2005

 1  i 

2005

17 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

25.

1 Έ σ τ ω z  0 μ ε z   1. z α) Να βρεθεί ο z3 και ο z6. β) Να δείξετε ότι: z6ν+7

1 z

6 1

= 1.

Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: α) 26.

3  3i 

2012



β ) 1 3 i γ)



3i



1821



1453

δ ) 1  3i  1  3i  7

Α 1.5 Αντισυζυγείς

 7  2i  1939  2  7i 

1940

27. Να βρείτε την τιμή της παράστασης :

28.

Να βρείτε την τιμή της παρ άστασης: (2 + 3i) 2014 + (3 – 2i) 2014.

29.

Θεωρούμε τους μιγαδικούς z1 = α + βi, z2 = - β + αi με α2 + β2 Ν α β ρε θο ύν τα ν Ν * γ ι α τ α ο π ο ία έ χο υ μ ε z 1 ν + z2 ν = 0 .

Δίνονται οι μιγαδικοί z1 και z2 . 30. Αν Re(z1) = - Im(z2) και Im(z1) = Re(z2) να z 2 4 ν + 2 = 0 , ν Ν *

3 1 . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : 1994  2012i 

2010

  2012  1994i 

2010

 0.

αποδείξετε ότι : z14ν+2 +

0.

18 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Α 1.6 Βρες τον w ώστε: w2 = z

Να βρεθεί ο wC ώστε w2 = z, όπου : α) z = 3 - 4i β) z = - 4 32. γ) z = 4i δ) z = 5 - 12i ε) z = -1 + 2 2 i

33.

Αν z1 , z2 C ώστε w2 = z, wC με w  0, να δείξετε ότι: z1 + z2 = 0 και z1 z2 = - w . Αν z1 , z2 C ώστε w2 = z με w = 3 - i να βρεθεί το

πραγματικό και

3 4 . τ ο φ α ν τ α σ τ ι κ ό μ έ ρ ο ς τ ο υ μ ι γ α δ ι κ ο ύ : z = z1  z 2  (3 - i) z z . 1 2 z 2 z1

Α 1.7 Εξισώσεις

Nα λυθούν οι εξισώσεις : 35. α) z2 = -8 + 6i β) z2 = 5 – 12i .

Nα λυθούν στο C οι εξισώσεις: 3 6 . α ) z2  2z  1  0 β ) 5(z  z)  zz  61  50i

37. Αν z

38.

+ z + 1 = 0 , να βρεθεί ο μιγαδικός z

2001

1 z2001

Aν η μία ρίζα της εξίσωσης 3x2 + βx + γ = 0 , β ,γR , είναι 2 – 3i , να βρείτε τις τιμές των β ,γ.

Έστω η συνάρτηση f (z) = z2 -2z + 3 , zC. α) Να λύσετε την εξίσωση f (z) = 0. 39. β) Αν ο μιγαδικός 1 + i 3 είναι ρίζα της εξίσωσης f (z) = κz + λ , κ , λR , να βρείτε τα κ, λ.

19 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Να βρείτε το μιγαδικό z , όταν 5 + z + i(1 + 2z) = 0 . Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση (5+ x)2 + (1+2x)2 = 0 : 40. α) στο R β) στο C .

Να λύσετε τις εξισώσεις : 41. α) z + 2 z = - 3 + 4 i β ) z2 + z 2 + z - z = 2 i

Α 1.8 Δείχνω ότι: zR

Δείχνω ότι: z:φανταστικός

α) Αν z = (2 – 3i)ν + (2 + 3i)ν , νΝ* , να δείξετε ότι zR. 42.

β) Αν z =

5  i 2 

123



 5i 2



123

, να δείξετε ότι o z είναι φανταστικός.

43. Δείξτε ότι ο αριθμός w = (2 +3i)

44.

2004

+ (3 +2i)

2004

είναι πραγματικός.

Αν z είναι τυχαίος μιγαδικός αριθμός ,να δείξετε ότι ο αριθμός : w = 2zz - z2 - z2 - 6 ε ί ν α ι π ρ α γ μ α τ ι κ ό ς .

Αν z είναι ένας μιγαδικός αριθμός με τις ιδιότητες: 45. (z - i)( z + i) = 1 και z

1

+ i , να δείξετε ότι ο αριθμός w =

z + (1 - i) (1  i)  z

είναι φανταστικός. Έστω ο μιγαδικός z = α + βi με α ,βR και α + β 0. z  iz και w2 46. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί w1 = z  iz φανταστικοί.

iz  z 2z  2iz

είναι

Έστω ο μιγαδικός z = α + βi με α ,βR και β 3. z  3i 47. Να αποδείξετε ότι: w ί ό  z ί ό . iz  3 Αν z1 , z2  C , να αποδείξετε ότι : 4 8 . α ) ο z1 z2  z1z 2 ε ί ν α ι π ρ α γ μ α τ ι κ ό ς . β ) ο (z1 + z2 )3 - (z1 + z 2 )3 ε ί ν α ι φ α ν τ α σ τ ι κ ό ς .

20 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

zi . 1 i 49. Aν η εικόνα του w2 κινείται στον άξονα των τετμημένων να αποδειχθεί ότι η εικόνα του z κινείται σε δύο κάθετες ευθείες. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z ,w με w =

50.

Να βρεθεί η μορφή γνωρίζουμε ότι: z1 - z2R και

των

μη

μηδενικών

μιγαδικών

όταν

z1 R . z2

Έστω Μ1 , Μ2 , Μ3 οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των μιγαδικών z1 , z2 , z3 αντίστοιχα . 51. Να αποδείξετε ότι τα Μ1 , Μ2 , Μ3 είναι συνευθειακά αν και μόνο αν ο α ρ ι θ μ ό ς z1z2 + z2 z3 + z3 z1 ε ί ν α ι π ρ α γ μ α τ ι κ ό ς .

Α 1.9 Γεωμετρικοί τόποι

Nα βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z για τους οποίους ισχύει : α) z z  3 5 2 . β ) z  z  2i γ ) z2  z 2  0 δ ) z3  z 3  0 ε ) z3  z 3

53.

Αν zC και w =

2z  1 , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z iz  1

για τους οποίους ισχύει : wR.

Δ ίνο ν τα ι ο ι μ ιγαδ ικ ο ί z , u = α z + β , w = βz + α , α , β R . 54. Αν α + β = 1 , να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z , u και w βρίσκονται στην ίδια ευθεία .

55.

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ που είναι εικόνες των μιγαδικών z , όταν Re(1 + z2) = 0 .

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z για τους οποίους ισχύει : α) z = 2λ + (3λ – 1)i , λR 56. β) z = ημθ + συνθi , θR γ) z = (ημθ – 1) + (συνθ + 2)i , θR δ) z = 3ημθ + 2συνθi , θR 21 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

2(1   2 ) , λR*. 1  i

Έστω οι μιγαδικοί z , z1 = ( λ – i) z + 3λRe(z) και z2 = 57.

N α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι α ν τ ο λ μ ε τ α β ά λ λ ε τ α ι σ τ ο R * κ α ι ι σ χ ύ ε ι z 1 = z2 , τ ό τ ε η εικόνα Μ του z στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε μια έλλειψη.

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του 5 8 . ε π ί π ε δ ο α ν ο α ρ ι θ μ ό ς w = z  2i ε ί ν α ι π ρ α γ μ α τ ι κ ό ς .

z στο μιγαδικό

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του

z στο μιγαδικό

z 1

z2  z2 59. επίπεδο για τους οποίους ισχύει Im    Re  .  z6  z6

60.

 z 1  1 δείξτε ότι οι εικόνες των z ανήκουν σε ευθεία.  zi 

Α ν Re 

Έστω Μ η εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο του z = x + yi . 61.

Αν

w =

z z2

να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του Μ ,όταν :

α) ο w είναι φανταστικός . β) ο w είναι πραγματικός .

Έστω Μ η εικό να το υ μ ιγαδ ικο ύ z = 1 + συνθ + i( 3+ημθ ) ,θ R . 62. Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ ανήκει σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ρ( x,y) του μιγαδικού 63. επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση x - 4λ2 + (y - 4λ)i = 0 για κ ά θ ε λ R . Θεωρούμε το μιγαδικό z = x + yi και έστω: 3 x(1 -i)-λy (1- i) = y -2λ γ ια κ άθ ε λ R . Ν α δ ε ίξ ετ ε ό τι κ α θώ ς το λ 64. μεταβάλλεται στο R η εικόνα Ρ(z) του μιγαδικού z = x + yi κινείται στο μιγαδικό επίπεδο σε παραβολή της οποίας να βρεθεί η εσ τία και η διευθετούσα. Θεωρούμε τους μιγαδικούς z , w με w =

z - zi . z-4

65. Έστω Ρ(z) η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ρ αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός w είναι φανταστικός και ότι Re(z)  0 . 22 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Θεωρούμε τους μιγαδικούς z , w και w1 τέτοιους, ώστε: 66.

w = z - zi

και

w1 =

1 + αi , α R * . α

Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι , α ν τ ο α μ ε τ α β ά λ λ ε τ α ι σ τ ο R * κ α ι ι σ χ ύ ε ι w = w1 , τ ό τ ε

η εικόνα Ρ του z στο μιγαδικό επίπεδο, κινείται σε μια υπερβολή . Θέμα 1ης Δέσμης 1994

Αν z  C και z1 = z + 3 , z2 = z + 1 - 2i , να βρεθεί ο γεωμετρικός 67. τόπος των εικόνων του z πάνω στο μιγαδικό επίπεδο όταν ο μιγαδικός z1z2 είναι φανταστικός αριθμός. Α ν ο μ ι γ α δ ι κ ό ς z ι κ α ν ο π ο ι ε ί τ η σ χ έ σ η zz  2z  4z  2i  Im(z) ν α δ ε ί ξ ε τ ε 68. ότι η εικόνα Ρ του z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκει σε κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα. Δ ί ν ε τα ι η σ υν ά ρτ ησ η f ( z) = z 2 + z , z C . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ που είναι εικόνα του z, 69. όταν: α) f(z) = f( z ) . β) f(z) = f(- z ) .

70.

Θεωρούμε τους μιγαδικούς z , w . Αν w = (z + i) z ,να βρεθεί στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z , όταν η εικόνα του w πάνω στο

μιγαδικό επίπεδο κινείται στην ευθεία x =

Θεωρούμε τους μιγαδικούς z , w . Αν w =

z+i z

3. 4

να βρεθεί στο μιγαδικό

71. επίπεδο

ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z , όταν η εικόνα του 1 . w πάνω στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στην ευθεία y = 2

72.

Θεωρούμε τους μιγαδικούς z = x + yi και w =

z  2i . z2

Να βρείτ ε το γεω μετ ρικό τόπο τω ν σημείω ν Μ( x ,y) ότ αν w R . Έστω z C - {- 1} . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ που 73. είναι η

74.

εικόνα του z , όταν ο αριθμός

3z + i είναι φανταστικός. z+1

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z πάνω στο μιγαδικό επίπεδο όταν: 4 z

α ) Im(z - 1 + ) = 0 . 23

Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

z - 2

β ) Re   =0.  z  1   =0. z   z + 3i  δ ) Re   =0. z+4-i

γ ) Re  z -

Θεωρούμε τους μιγαδικούς z , w . 75.

Αν w =

z2 , να βρεθεί στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των z 1

εικόνων του z , όταν η εικόνα του w κινείται πάνω στον άξονα x΄x και ο z δεν είναι πραγματικός.

Δίνεται ο μιγαδικός z , για τον οποίο ισχύει : (z + z)2 (z - z)2 + = 1 , όπου w σταθερός μη μηδενικός μιγαδικός (w + w)2 (w - w)2 76. αριθμός. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι έλλειψη της οποίας να προσδιορίσετε τις εστίες και την κορυφή .

Δίνεται η συνάρτηση f(z) = α) Να δείξετε ότι : f(-

(z - 1) (z + 1) , z  C και Re(z)  0 . z+z

1 ) = f(z) . z

77. β) Να βρείτε το είδος της καμπύλης , στην οποία ανήκουν τα σημεία Μ(x,y) για τα οποία ο αριθμός z = αx + βyi ικανοποιεί τη σχέση: Re [ f( z) ] = 0 , α , β , x , y R . Θέμα 1ης Δέσμης 1993

24 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Θ 2.1

Τ ι ο ν ομ ά ζ ου μ ε μ έ τ ρ ο ε ν ό ς μ ι γ α δ ι κ ού α ρ ι θ μο ύ ;

Απάντηση Μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z του οποίου η εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο είναι το σημείο Μ , λέγεται η απόσταση (ΟΜ) και συμβολίζεται με z . (σχ.4) 

Ά ρ α α ν z = α + β i , τ ό τ ε z = OM = α 2 + β2 y Μ(z) z

Σχ.4 O

Θ 2.2

Ν α α π ο δε ί ξ ε τ ε ό τ ι α ν z 1 , z 2 ε ί ν α ι μ ι γ α δ ι κο ί α ρ ι θ μ ο ί , τ ό τ ε :

α)

z = z = z

β) z

δ)

1 1 = z z

ε)

=z  z

z z1 = 1 z2 z2

γ)

z1 z 2 = z 1  z 2

, z2  0

Απόδειξη Αν z = α + β i , τότε z = α - β i. Άρα : α ) z = α - β i = α2 + (-β)2 = α 2 + β 2 = z - z = - α - β i = (- α)2 + (- β)2 = α 2 + β 2 = z

β ) zz = (α + β i) (α - β i) = α2 + β2 = z

γ ) z1z2 = z1 z 2  z1z 2

z1z2 z1 z2 = z1 z1z 2 z2

= z1

 (z1z 2 )(z1z 2 ) = z1 z1z 2 z2 

, που ισχύει .

δ)

1 1 1 1 =   z =1   z =1  1=1 z z z z

ε)

z z1 = 1 z2 z2

z  1 z2



z1 z2

2 2



, που ισχύει .

z1  z1  z1 z1 zz zz  1 1 = 1 1 , που ισχύει.  = z 2  z 2  z 2 z2 z 2 z2 z 2 z2

Παρατήρηση Α π ο δ ε ι κ ν ύ ε τ α ι ό τ ι : z1z2  z ν = z1 z 2     z ν , ν  2 . 25 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Θ 2.3

ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Αν z1 , z2 είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί , τότε για τα μέτρα τους ισχύει η γνωστή από τη Γεωμετρία τριγωνική ανισότητα , δηλαδή: z1 - z2  z1 + z2  z1 + z2

(σχ.5)

y M(z1+z2) M1(z1) (σχ.5)

M2(z2) O

Επίσης ισχύει το εξής: (δες z1 - z2  z1 - z2  z1 + z2

και

παρακάτω

στο

μέτρο

διαφοράς

δύο

μιγαδικών)

Θ 2.4 Μέτρο διαφοράς δύο μιγαδικών

 Αν z1 , z2 είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί και Μ 1 , Μ2 οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο αντίστοιχα , τότε:

z1 - z 2 = M1M2 y

(σχ.6)

M2(z2) (σχ.6)

M1(z1) O x M(z1 - z2) M2΄(-z2)

 Για το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών ισχύει επίσης: z1  z2  z1   z 2  . Ά ρ α : z1  (z2 )  z1  (z 2 )  z1  (z 2 ) . Συνεπώς:

z1 - z2  z1 - z2  z1 + z2

Θα κάνεις πάντα την παραπάνω απόδειξη για να το χρησιμοποιήσεις 26 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Θ 2.5

Η Ε Ξ Ι Σ Ω Σ Η : z - z0 = ρ , ρ > 0

Αν δοθεί ένας μιγαδικός αριθμός z0 = x0 + y0 i του οποίου η εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο είναι Ρ και ρ είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός , τότε : η ε ξ ί σ ω σ η z - z0 = ρ , ρ > 0 π α ρ ι σ τ ά ν ε ι κ ύ κ λ ο μ ε κ έ ν τ ρ ο τ ο σ η μ ε ί ο Κ(x 0,y0) και ακτίνα ρ .

(σχ.7)

ρ Κ(z0) (σχ.7) O

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΣΧΕΣΗ z - z0 = ρ , ρ > 0 z - z0  ρ , ρ > 0 z - z0 < ρ , ρ > 0

z - z0 > ρ , ρ > 0 z - z0  ρ , ρ > 0

ΠΑΡΙΣΤΑΝΕΙ Κύκλο με κέντρο το σημείο Κ( x0,y0) και ακτίνα ρ Κυκλικό δίσκο με κέντρο το σημείο Κ( x0,y0) και ακτίνα ρ Τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(x0,y0) και ακτίνα ρ Τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(x0,y0) και ακτίνα ρ Τα σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(x0,y0) και ακτίνα ρ και τα σημεία που βρίσκονται εξωτερικά αυτού του κύκλου

27 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Θ 2.6

Η ΕΞΙΣΩΣΗ :

z- z1 = z- z2

Παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος Μ 1Μ2 όπου Μ1 , Μ2 είναι οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 αντίστοιχα. (σχ.8)

Μ2 σχ.8 Μ1 Ο

Θ 2.7

Η ΕΞΙΣΩΣΗ :

z - z1 + z - z2 = 2α , α > 0

Παριστάνει έλλειψη με εστίες Μ 1 , Μ2 όπου Μ1 , Μ2 είναι οι εικόνες 

τ ω ν z 1 , z 2 α ν τ ί σ τ ο ι χ α κ α ι ε σ τ ι α κ ή α π ό σ τ α σ η : 2 γ = M1M 2 = z1 - z 2 < 2 α .

Θ 2.8

Η ΕΞΙΣΩΣΗ :

z - z1 - z - z 2 = 2α , α > 0

Παριστάνει υπερβολή με εστίες

Μ1 , Μ2 όπου Μ1 , Μ2 είναι οι εικόνες 

τ ω ν z 1 , z 2 α ν τ ί σ τ ο ι χ α κ α ι ε σ τ ι α κ ή α π ό σ τ α σ η : 2 γ = M1M 2 = z1 - z 2 > 2 α .

28 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Π 2.1 α) β)

Βασικές παρατηρήσεις Αν

z1 = z2 τότε

z1 = z 2

Δεν ισχύει το αντίστροφο.

z=0  z =0 2

z = z2  z  R

γ)

z = - z2  z  Ι z =1  z=

δ)

Π 2.2

(Να χρησιμοποιούνται με απόδειξη)

1 , z0 z

Ασκήσεις όπου μας ζητούν να αποδείξουμε ότι:

  z1  z 2   ή   z1  z 2  

, κ,λR με κ,λ>0

α) Θα το αποδεικνύουμε γεωμετρικά με τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού ή με τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς μιγαδικών (δες παρακάτω Π 2.4 , Π 2.5 , Π 2.9) β) Χρήσιμη είναι και η τριγωνική ανισότητα. Να παρατηρήσετε ότι : αν στην τριγωνική ανισότητα θέσετε όπου z2 το - z2 θ α π ά ρ ε τ ε : z1 - z2  z1 - z 2  z1 + z 2 , α φ ο ύ z2 = - z2 . Παραδείγματα α) Εφαρμογή 2 σελ.99 σχολικού βιβλίου β)

ασκήσεις Α7 σελ.101, Β8 σελ.102 και Γ3 σελ.123 σχολικού βιβλίου

Π 2.3

Ασκήσεις όπου μας ζητούν να δείξουμε μια ισότητα ή ανισότητα μεταξύ των μέτρων κάποιων παραστάσεων με μιγαδικούς.

► Συνήθως τετραγωνίζουμε και τα δύο μέλη της ισότητας ή της 2 ανισότητας, θα χρησιμοποιούμε την ιδιότητα z = z  z και με ισοδυναμίες καταλήγουμε σε κάτι που ισχύει. ► Για την απόδειξη ανισοτικής σχέσης μεταξύ των μέτρων μιγαδικών χρήσιμη είναι και η τριγωνική ανισότητα.

29 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Π 2.4

Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού που η εικόνα του κινείται σε κύκλο

Αν για τον μιγαδικό z ισχύει: z  z0   δηλαδή η εικόνα το υ κινείται σε κύκλο και μας ζητο ύν να βρούμε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z , τότε: max z = (ΟΑ) = (KO) + ρ min z = (ΟΒ) = (KO) – ρ  , όπου Κ η εικόνα του z 0 και ρ η ακτίνα του κύκλου με κέντρο το Κ .

Β Κ Α Ο

► Αν επιπλέον θέλουμε να βρούμε και τους μιγαδικούς με το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο, θα λύνουμε το σύστημα της εξίσωσης της ευθείας ΟΚ και της εξίσωσης του κύκλου.

Π 2.5

Ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού που η εικόνα του κινείται σε ευθεία

Όταν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε ευθεία (ε), τότε έχει μόνο ελάχιστο μέτρο . Για να βρούμ ε το μιγαδικό μ ε το ελάχιστο μέτρο, φέρνουμε κάθετη από την αρχή των αξόνων στην ευθεία ( ε)

ΟΜ = min z = d(O , ε)

► Αν επιπλέον θέλουμε να βρούμε και το μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο, θα λύνουμε το σύστημα της εξίσωσης της ε και της ευθείας που είναι κάθετη στην ε και διέρχεται από το Ο.

30 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Π 2.6

Θυμάμαι: Απόσταση σημείου

απ ό ευ θ ε ί α

Α ν Μ 1 ( x 1 , y 1 ) κ α ι ε : Α x + By + Γ = 0 τ ό τ ε : d(M1,ε) =

Π 2.7

Αx1 + By1 + Γ Α2 + Β2

Θυμάμαι: Εξίσωση κύκλου

Κέντρο κύκλου

Εξίσωση κύκλου

O(0 , 0)

C: x2 + y2 = ρ2

Κ(x0 , y0)

Β  Α Κ - , -  2  2

Π 2.8

C: (x – x0)2 + (y – y0)2 = ρ2

C: x2 + y2 + Ax + By + Γ= 0 με Α2 + Β2 – 4Γ > 0 2 2 Ακτίνα : ρ = Α + Β - 4Γ

Μιγαδικοί και διάταξη

ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν ισχύει η διάταξη στους μιγαδικού ς. Επομένως αν μου δ οθεί η ανισότητα: z 2 – 3z +2 > 0 σημαίνει ότι z 2 – 3z +2 R Δηλαδή: z2  3z  2  z2  3z  2

31 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Π 2.9 Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς Αν Μ , Ν είναι οι εικόνες των μιγαδικών z , w τότε:

α) Αν ο μιγαδικός z κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και ο w είναι σταθερός, τότε μέγιστη τιμή του z  w ,

μιγαδικών.

y B A

είναι η ΝΒ=ΝΚ+ρ και ε λ ά χ ι σ τ η η Ν Α =    .

N x

Αν ο w κινείται και αυτός στον κύκλο (Κ,ρ) τότε η μέγιστη τιμή του z  w , είναι 2ρ και η ελάχιστη μηδέν. ε

β) Αν ο μιγαδικός z κινείται σε ευθεία ε και ο w είναι σταθερός, τότε ελάχιστη τιμή της z  w , είναι η d(, ) ( μ έ γ ι σ τ η τ ι μ ή δ ε ν υ π ά ρ χ ε ι ) .

Ν x

y Ν

γ) Αν οι μιγαδικοί z , w κινούνται σε κύκλο (Κ,ρ), με z ≠ w, τότε: μέγιστη τιμή της z  w , είναι η ΜΝ=2ρ. (ελάχιστη τιμή

δεν υπάρχει).

δ) Αν ο μιγαδικός z κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και ο w σε ευθεία ε ,τότε η ελάχιστη τιμή τ η ς z  w , ε ί ν α ι η Ν Α = d(, )  

ε Κ

(μέγιστη τιμή δεν υπάρχει). x

ε) Αν ο μιγαδικός z κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και ο w σε κύκλο (Λ,R), τότε η ελάχιστη τιμή της z  w , είναι η ΚΛ-ρ-R και η μέγιστη ΚΛ+ρ+R.

y Κ Λ Ο

32 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

στ) Αν οι μιγαδικοί z , w με z≠w κινούνται σε έλλειψη τότε

x y  2  1, 2  

μέγιστη τιμή της z  w ,

Α΄

είναι η ΑΑ΄=2  ,δηλ. ο μεγάλος άξονας Παραδείγματα Εφαρμογή 2 σελ.99 σχολικού, ασκήσεις Α7 σελ.101, Β8 σελ.102 και Γ3 σελ.123 σχολικού

Π 2.10

f(z,w)  0  f(z,w)  0

δηλαδή αν μια παράσταση με μιγαδικούς είναι ίση με μηδέν ,τότε και η συζυγής παράστασης αυτής είναι ίση με μηδέν. Παράδειγμα Α ν z 1 + z 2 = z 3 κ α ι ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν α υ τ ώ ν κ ι ν ο ύν τ α ι σ ε κ ύ κ λ ο μ ε κ έ ν τ ρ ο τ ο Ο ( 0 , 0) κα ι α κ τ ί ν α 2 , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z2z3 + z1z3 = z1z2

Π 2.11

f(z,w)  f(z,w)

δηλαδή μια παράσταση μιγαδικών και η συζυγής της έχουν ίσα μέτρα. Παράδειγμα Α ν ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν z 1 , z 2 , z 3 κ ι ν ο ύ ν τ α ι σ ε κ ύ κ λ ο μ ε κ έ ν τ ρο τ ο 1 Ο ( 0 , 0) κ α ι α κ τ ί ν α 2 , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z1  2 z 2  3 z3  z 2 z3  2 z1 z3  3 z1 z 2 2

33 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Π 2.12

Όταν έχουμε μια ισότητα μιγαδικών, σε πολλές περιπτώσεις χρησιμοποιούμε ότι και τα μέτρα των μιγαδικών είναι ίσα (χωρίς να ισχύει το αντίστροφο)

Μετά υψώνουμε στο τετράγωνο τα δύο μέλη και χρησιμοποιούμε την 2

ιδ ιότ η τα z  zz . Δ η λαδ ή : 

α) Αν

z ,w C  z  w  z  w  z   w .

β) Αν

z ,w C  z  w  z  w  z  w  z  w



 zz  ww .

γ ) Γ ε ν ι κ ά : f (z)  g(z)  f (z)  g(z)  f (z)  g(z)  f (z)  g(z)  







 f (z)  f (z)  g(z)  g(z) Παραδείγματα 1 . ά σ κ η σ η Γ 6 σ ε λ ί δ α 1 2 3 σ χ ο λ ι κο ύ β ι β λ ί ο υ 2. Αν (1 + iz)ν = (1 – iz)ν να δείξετε ότι zR.

Π 2.13

Σε τρίγωνο

Αν Α,Β,Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z , w , u,τότε: α) το τρίγωνο ΑΒΓ ισόπλευρο  ΑΒ=ΒΓ=ΓΑ  z w  w u  u z . β) το τρίγωνο ΑΒΓ ισοσκελές  ΑΒ=ΒΓ  z  w  w u . 

γ ) τ ο τ ρ ί γ ω ν ο Α Β Γ ο ρ θ ο γ ώ ν ι ο μ ε   900  2  2  2  zw  zu  wu 2

Παράδειγμα Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z3 ισχύουν οι σχέσεις : z 1 + z 2 + z 3 = 0 κ α ι z1 = z 2 = z3 = 1 , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν z 1 , z 2 , z 3 ε ί ν α ι κ ο ρ υ φ έ ς ι σ ο π λ ε ύ ρ ο υ τ ρ ι γ ώ νο υ ε γ γ ε γ ρ α μ μ έ ν ο υ σ ε κ ύ κ λ ο α κ τ ί ν α ς 1 .

34 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Π 2.14

Για να βρούμε το μέτρο ενός μιγαδικού z :

α ) Γ ρ ά φ ο υ μ ε τ ο ν μ ι γ α δ ι κ ό σ τ η μ ο ρ φ ή z  x  yi μ ε x , y  R κ α ι χ ρ η σ ι μ ο π ο ι ο ύ μ ε τ ο ν τ ύ π ο : z  x 2  y2 . β) Αν ο μιγαδικός βρίσκεται σε μια παράσταση με πράξεις μιγαδικών τότε χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του μέτρου. γ) Βρίσκουμε πρώτα το z 2

z  2  z  z   2  z 

κάνοντας χρήση της ιδιότητας:

2 2 z και μετά βρίσκουμε το μέτρο του z. z z

δ) Αν έχουμε μια ισότητα μέτρων ,τότε υψώνουμε και τα δύο μέλη στο 2

τ ε τ ρ ά γ ω ν ο , κ ά ν ο υ μ ε χ ρ ή σ η τ η ς ι δ ι ό τ η τ α ς z  2  z  z   2  z  και μετά βρίσκουμε το μέτρο του z

2 2 z z z

Π 2.15

Γεωμετρικοί τόποι

σε ασκήσεις που μας ζητούν να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων ενός μιγαδικού αριθμού z ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση ή συνδέεται με μια σχέση με ένα άλλο μιγαδικό w 1. Προσπαθώ να καταλήξω σε μια σχέση της μορφής: z - z1 = z - z2 ή z - z0 = ρ , ρ > 0 κ α ι ε π ο μ έ ν ω ς γ ν ω ρ ί ζ ω σ ε π ο ι α γ ρ α μ μ ή κινούνται οι εικόνες του z. Παράδειγμα Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=(- 3 +i)iz, τότε να βρείτε το γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w. 2. Αν δεν μπορεί να συμβεί το 1. τότε θέτουμε στη σχέση μας όπου z = x+yi το μιγαδικό του οποίου το γεωμετρικό τόπο των εικόνων θέλουμε να βρούμε και w= κ+λi το μιγαδικό για τον οποίο συνήθως γνωρίζουμε σε 35 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

ποια γραμμή ανήκουν οι εικόνες του, άρα γνωρίζουμε μ ια σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ. Στόχος μας είναι να εκφράσουμε τα κ , λ συναρτήσει των x και y και να τα αντικαταστήσουμε στη σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ. Παράδειγμα Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=2z+ z , τότε να βρείτε τ η γ ρ α μ μ ή σ τ η ν ο π ο ί α α ν ή κ ο υ ν ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν μ ι γ α δ ι κώ ν w .

36 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Α 2.1 Εύρεση Μέτρου

Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού z , όταν : α) z = -3 + 4i β) z = i  1 3 γ ) z =   - i  2   2 78. (2 + i)101 δ) z = (2 - i)99

ε) z = στ)

79.

2ημα , α  (0,π) 1 - συν2α + i ημ2α

1 1 1 = , α,β,γ  R. z α - βi α - γi

Αν για το μιγαδικό z ισχύει : (z2 - 3) i = 4 - 3 z2 , να βρείτε το μέτρο του z.

Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών

 2  i i 1  i 3  3

z = 80. v =

1  i 

(1  2i)

και

(3  i)3

w = (1  i)3 

1  2i

1  i 

Α 2.2 Σχέσεις με μέτρα

81.

Να δείξετε ότι : α) z + i = z - i αν και μόνο αν z  R. β ) z +3 = z - 3 α ν κ α ι μ ό ν ο α ν z : φ α ν τ α σ τ ι κ ό ς . γ ) z = z2 2

δ ) z = - z2 2

αν και μόνο αν z  R. αν και μόνο αν z: φανταστικός.

37 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

82.

Δ ί ν ε τ α ι ο μ ι γ α δ ι κ ό ς z γ ι α τ ο ν ο π ο ί ο ι σ χ ύ ε ι : z + 25 = 5 z + 1 . Να αποδείξετε ότι : z = 5 .

Αν για το μιγαδικό z ισχύει ότι z  z  83. Re(z2) = -

84.

1 να αποδείξετε ότι: z

1. 2

Α ν z  C κ α ι ι σ χ ύ ε ι : z + 4i = z + 4 = z , ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ν z κ α ι τ ο μ έ τ ρ ο τ ο υ z .

Ν α α πο δ ε ί ξε τε γ ι α κ άθ ε z 1 , z 2 C ι σ χ ύο υ ν ο ι πα ρ ακ άτω σχ έ σ ε ι ς : α) (Ταυτότητα παραλληλογράμμου) 2

z1  z 2  z 1  z 2  2 z 1  2 z 2

8 5 . β ) z1  z2  z1  z2  2Re(z1z 2 ) 2 2 2 γ ) z1  z2  z1  z2  2Re(z1z 2 ) 2

δ ) z1 z2  z1z2  z1 + z 2 ε ) z1 z2  z1z2  2 z1z 2 2

1 . z = z3 = 1 ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι :

α) Αν z = 1 να αποδείξετε ότι : z = 86.

β ) Α ν z 1 , z 2 , z 3  C μ ε z1 = z2 i)

z1 + z 2 + z3 =

1 1 1   . z1 z 2 z3

i i ) z1 + z2 + z3 = z1z2  z2 z3  z3z1

8 7 . Α ν z C ν α α π ο δ ε ίξ ε τ ε τ η ν ι σο δ υ ν α μ ί α : z + z + z - z = 2 z  z R .

z  z

1 2 8 8 . Α ν z 1 , z 2  C μ ε z1 = z2 = 1 και z1z2  - 1 , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z = 1 + z z  R . 1 2

89. Αν ο αριθμός w =

z-i ε ί ν α ι φ αν τα στ ι κό ς ( z C) , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z+i

z 1 .

38 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

9 0 . Α ν z  C κ α ι ι σ χ ύ ε ι : z - 10 = 3 z - 2 ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z - 1 = 3 .

9 1 . Α ν z C κ α ι ι σ χ ύε ι :

z-9 = 3 να δείξετε ότι: z = 3 . z-1

Α ν γ ι α τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς z 1 , z 2 ι σ χ ύ ε ι : z1 + z 2 92. z1 + z 2 = z1 - z 2 . 2

= z1 - z 2

να δείξετε ότι:

α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z1 , z2 ισχύει: 2 2 2 z1  z 2 = z1 - z 2 α ν κ α ι μ ό ν ο α ν R e ( z1 z2 ) = 0 . 93.

β) Έστω μια συνάρτηση f : [α , β]  R συνεχής στο [α , β] και οι μιγαδικοί αριθμοί z = α2 + i f(α) , w = f(β) + i β2 με αβ  0 . 2 2 2 Αν w  z = w - z , να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια

τουλάχιστον ρίζα στο [α , β]. Θέμα 1ης Δέσμης 1995

A ν z 1 , z 2  C μ ε z 2  0 , z 2  z2 ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι :  z1  Re(z1z 2 )  2 z2  z2 

α ) Re  94. β)

1  z 22  z 2  z2 1  z 22  z 2  z2

 1  z2   1 z 2 

2 2

   

Είναι σωστό ή λάθος ότι : 2 2 2010 2  1  i  i 2  ...  i 2010  ; 9 5 . α ) 1  i  i  ...  i β ) z  5  5  z  5 ;

Αν z1,z2 C* να δείξετε τις ισοδυναμίες : α ) z1  z 2  z1  z 2 

z1  R z2 z

 1 9 6 . β ) z1  z 2  z1  z 2  z  R 2

γ ) z1  z 2  z1  z 2 

z1  R z2

39 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

97.

Έστω z = α +βi με α ,βR και β0. Ποιοί από τους επόμενους συμβολισμούς έχουν νόημα: α) 3 z β) γ) δ)

zz z

Έστω οι μιγαδικοί z1 , z2 με | z1| = | z2| = 1 . 98.

Να δείξετε ότι ο μιγαδικός w =

 z1  z 2  z15  z52

είναι πραγματικός.

9 9 . Α ν γ ι α τ ο μ ι γ α δ ι κ ό z ι σ χ ύ ε ι z  16  4 z  1 , ν α δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι z  4 .

100.

Δίνεται ο μη πραγματικός μιγαδικός z με την ιδιότητα: z = (1 + i)|z|-2-i. α) Να βρείτε τον z β) Να βρείτε τον αριθμό (z – 3)100.

101.

α) Nα βρείτε τα α,β R αν ισχύει α +2i = (β + i) i 2001 . β) Aν οι μιγαδικοί z , z2 , z2-z , z  0 έχουν εικόνες τα σημεία Α ,Β , Γ αντίστοιχα τότε: i) Aν το ΑΒΓ είναι ισοσκελές στο Γ να δείξετε ότι z-2=1. ii) Aν το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές στο Γ να υπολογίσετε το z.

102.

Αν οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των μιγαδικών z1,z2 ανήκουν στο μοναδιαίο κύκλο. α) να δείξετε ότι: z1 + z2 - z1 z2 + 1 = 0  z1 + z2 + z1 z2 - 1 = 0. β) να βρείτε τους z1,z2 για τους οποίους ισχύει z1 + z2 - z1 z2 + 1 = 0. γ) να δείξετε ότι | z1 + z2 - z1 z2 + 1| = | z1 + z2 + z1 z2 – 1|.

α ) Έ σ τ ω ο ι μ ι γ α δ ι κ ο ί z 1 , z 2 , z 3 ώ σ τ ε z 1 + z 2 + z 3 = 0 κ α ι z12  z22  z32  0 . N α δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι : z1  z2  z3 . 103.

β) Στο μιγαδικό επίπεδο θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ , όπου οι κορυφές του Α ,Β ,Γ είναι οι κορυφές των w1 , w2 , w3 αντίστοιχα , για τους ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ε ι η σ χ έ σ η : w12  w 22  w32  w1w 2  w 2 w3  w1w3 . Να δειχτεί ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο . 40

Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = x +yi , z  0

104.

και w = z +

4 . z

Nα βρείτε το σύνολο των σημείων Μ(z) του επιπέδου όταν w  R.Αν Α(z1) , B(z2) , Γ(z3) τρία σημεία του συνόλου των σημείων του πρώτου ερωτήματος με Ιmz 1 Ιmz2 Ιmz3  0, να αποδείξετε ότι ισχύουν : 1 1 1     9 και  z1 z 2 z3 

α) (z1 + z2 + z3)  β)

z1z2  z2 z3  z1z3  2, z1 + z2 + z3  0 . z1  z2  z3

Α 2.3 Εξισώσεις

Δίνεται η εξίσωση: z2 + (β-4)z + (γ+5) = 0. (1) με β , γ R . Α ν z 1 ε ί ν α ι μ ι α α π ό τ ι ς λ ύ σ ε ι ς τ η ς ( 1 ) κ α ι z 2 η ά λ λ η κ α ι z1  z1  2 , 105.

z1  2 , τ ό τ ε : α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς β και γ. β) Να βρείτε τους z1 και z2. γ ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z1100  z2100  251 .

106.

Να λύσετε στο C την εξίσωση :|z|+i z = 2 +4i.

107.

Να λύσετε το σύστημα : 

  z 1 i  2 .   z  3  z 1

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει α  R-{1} τέτοιο , ώστε η εξίσωση: 

 1 + α i , ν  Ν , z  C , ν α έ χ ε ι π ρ α γ μ α τ ι κ ή λ ύ σ η . α+i

108.

1 iz

109.

Αν η εξίσωση (iz – 2)ν = w(z + 2i)ν με άγνωστο τον z και νΝ*, έχει πραγματική ρίζα , να αποδείξετε ότι | w| = 1.

41 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

42 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Α 2.4 Ανισώσεις – Μέγιστη , ελάχιστη τιμή μέτρου

110.

Α ν zC κ α ι | z | = 1 ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ε λ ά χ ισ τ ο κ α ι τ ο μ έ γ ι σ τ ο τ η ς παράστασης |z-1+2i|.

111.

Α ν z C κ α ι |z - 1- i |< 5 να δ ε ίξ ε τ ε ό τ ι : 1 0 <| z- 1 0 - 1 3i |< 20 .

112.

Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : α ν | z 1 | < | z 2 | < 1 τ ό τ ε | z 1 - z 2 | < | 1 - z1 z 2 | .

113.

Α ν γ ι α τ ο ν μ ι γ α δ ι κ ό z ι σ χ ύ ε ι | z – 2 + i | = 6 ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι 1  z  1  3i  11 .

114.

Αν z1 = 4 + 5i , |z2|=20, να βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή των παραστάσεων : α) |z1+z2|. β) |z2-1|. γ) |z|, αν |z-z1|=1.

115.

Αν για τον μιγαδικό z ισχύει |z-i|=1, να δειχθεί ότι:4|z+4+2i|6.

116.

Αν |z-1|1, |z-2|=1 να δείξετε ότι 1|z|

117.

Έστω z1 = 5i και z2 ένας μιγαδικός με |z2|=2. α) Να βρείτε για ποιες τιμές του z2 η παράσταση |z1 – z2|γίνεται: i) μέγιστη ii) ελάχιστη . β) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τα παραπάνω αποτελέσματα .

118.

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε τ ύ π ο f ( x ) = x 2 + α2 , α  R . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι γ ι α κ ά θ ε x 1 , x 2  R ι σ χ ύ ε ι : f(x1 ) - f(x 2 )  x1 - x 2

43 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί



Έ σ τ ω Π ( x ) = x 2 + 2 z1 - z 2 x + 1 + z1 119.

 1 + z  2

, z1 , z 2  C.

α ) Να αποδ ε ίξε τ ε ότ ι : Π ( x)  0 γ ια κ άθε x R . β) Να βρείτε πότε μπορεί να ισχύει Π( x) = 0 .

Θεωρούμε

τη

συνάρτηση

f(z)

z

,

με

C

και

τους

f (z)  2 (1). μιγαδικούς για τους οποίους f (z) 5 3

α. Να δείξετε ότι z  i 

120.

4 για κάθε zC που ικανοποιεί την (1). 3

β. Ποιος από τους μιγαδικούς για τους οποίους ισχύει η (1) έχει το μεγαλύτερο μέτρο και ποιος το μικρότερο; γ. Να βρείτε τη γραμμή στην οποία κινούνται οι εικόνες του μιγαδικού w = z – 3. δ. Αν z1 = 2 – i να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μ έ τ ρ ο υ w  z1 . ε. Αν z2 = λ -1 + (λ – 2) i , λ  R να βρείτε την ελάχιστη τιμή του μ έ τ ρ ο υ z  z2 .

121.

Α ν η ε ξ ί σ ω σ η z2  z    0 , ό π ο υ ,   , έ χ ε ι ρ ί ζ ε ς τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z1  3  2i κ α ι z 2 , τ ό τ ε : α) Να βρείτε τους α , β , z2. β) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή της παράστασης : f (z)  z  z1  z  z2 ,z  C .

122.

A. Για κάθε μιγαδικό z να δείξετε ότι ισχύουν: α. z  Re(z) β.z Im(z). Β. Για κάθε z1 , z2  C με z1 + z2 = 1 να δείξετε ότι: z1 + z2  1 .

123.

124.

Αν

z6  2

να

βρείτε

την

ελάχιστη

και

τη

μέγιστη

τιμή

της

π α ρ ά σ τ α σ η ς z  8i .

Να δείξετε ότι για κάθε z C ισχύει: α ) z  3 + z  4 - z 1 - z  2  8 κ α ι β) z5 

z  z 1  9 2

44 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

125.

Α ν γ ι α τ ο ν μ ι γ α δ ι κ ό z ι σ χ ύ ο υ ν z2  1  1 κ α ι z  1  1 , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z  1.

126.

Να αποδείξετε ότι για κάθε z C ισχύει : |z + 1| + |z + 2|  |z| + |z + 3|.

127.

Αν |z1 + 3i| =1 και |z2 - 4| =2 να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τ ι μ ή τ ο υ z1  z 2 .

128.

Αν zC και z2 – 3z + 2 > 0 να δείξετε ότι: zR ή Re(z) =

3 . 2

Α 2.5 Παράσταση στο μιγαδικό επίπεδο

129.

Να παραστήσετε στο μιγαδικό επίπεδο τους μιγαδικούς για τους οποίους ισχύει : α) z = 3 β ) z - 1 + 3i = 1 γ ) z -5  5 δ) z + 2 + i > 2 ε ) iz - 2 - 3i = 1 στ)

1  1 z-2

ζ ) iz + 1 > 1 .

45 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Α 2.6 Γεωμετρικοί τόποι

130.

Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι μ ι γ α δ ι κ ο ί : z    3  (2 1)i ,  R . α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z. β) Να βρείτε το μιγαδικό εκείνο που έχει το ελάχιστο μέτρο.

131.

Στο μιγαδικό επίπεδο δίνεται το σημείο Α που είναι εικόνα του μιγαδικού:α = 13 - i . Να βρεθούν οι μιγαδικοί z = x + 3xi αν γνωρίζουμε ότι :  = 10 2 , ό π ο υ Μ ε ί ν α ι η ε ι κ ό ν α τ ο υ z σ τ ο μ ι γ α δ ι κ ό ε π ί π ε δ ο .

132.

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z όταν α) z 3  z 5 β ) z  i  z  5i γ)

z 1 1 z

δ) 3 zi  4

Δ ί ν ε τ α ι ο μ ι γ α δ ι κ ό ς z ώ σ τ ε z  1  2i  133.

2 . 2

α ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν w  2z  1  i β ) Ν α β ρ ε θ ο ύ ν ο ι μ ι γ α δ ι κ ο ί w1 , w 2 α π ό τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς τ ο υ α ) ερωτήματος που έχουν το ελάχιστο και μέγιστο μέτρο αντίστοιχα.

Δίνονται οι μιγαδικοί z , w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις: 2 2 2 w  i  w  i  17 . και z  12  6i  z  4 134.

135.

α) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του z κινούνται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του w κινούνται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση. γ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του μέτρου z  w .

Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z3 ισχύουν οι σχέσεις : z 1 + z 2 + z 3 = 0 κ α ι z1 = z2 = z3 = 1 , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν z 1 , z2 , z3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 1 .

46 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

136.

137.

138.

Αν για τους μιγαδικούς z ισχύει |z-1| = 2, να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w με w = 3z – 2 .

Aν η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ = 1, να δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του μιγαδικού w =

3z  i . iz  3

Στο μιγαδικό επίπεδο δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ . Αν οι κορυφές Α , Β , Γ είναι εικόνες των μιγαδικών z1 = 1 + 2i , z2 = 4 - 2i , z3 = 1 6i αντίστοιχα , να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές και να βρείτε το μήκος της βάσης του.

Να αποδείξετε ότι για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει : 139.

  . z - αi = z - βi , α , β  R και α  β αν κ αι μ ό ν ο αν Im  z   2

Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά την παραπάνω πρόταση .

140.

Αν z , w  C , να αποδείξετε την ταυτότητα:

+ z-w

w =2z2

w 2

Ποια γεωμετρική πρόταση εκφράζει ;

141.

Δ ίν ε τα ι ο μ ιγαδ ικός z = ( 2x - 3) + (2 y - 1) i μ ε x , y R . Α ν 2z - 1 + 3i = 3 , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τ ό π ο ς τ ω ν σ η μ ε ί ω ν

Μ(x , y) είναι κύκλος ,του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. Θέμα 1ης Δέσμης 1986

142.

143.

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z που ε π α λ η θ ε ύ ο υ ν τ η ν ι σ ό τ η τ α 4z - i = 2 z + i β) Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 ισχύουν οι σχέσεις : 4z1 - i = 2 z1 + i κ α ι 4z2 - i = 2 z2 + i ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z1 - z 2  1 .

Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z 2 z 2 + z 2 - 2 z - 4(z + z) = 0 που επαληθεύουν την εξίσωση είναι μια παραβολή ,της διευθετούσα .

οποίας

να

προσδιορίσετε

την

εστία

και

τη

47 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

144.

145.

Αν Α , Β είναι οι εικόνες των μιγαδικών z1 = - 1 + 2i και z2 = 3 + 2i αντίστοιχα , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(z) όταν ο λόγος των αποστάσεών τους από τους z1 και z2 είναι

3 . 1

Έστω Ρ(z) η εικόνα πάνω στο μιγαδικό επίπεδο του μιγαδικού z που ικανοποιεί τη σχέση z - 3 + i = 4 και Μ(w) η εικόνα του μιγαδικού w π ο υ ι κ α ν ο π ο ι ε ί τ η σ χ έ σ η w - 3 - i = w - 3 - 5i . Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των z είναι κύκλος ενώ ο γεωμετρικός τόπος των w είναι ευθεία , η οποία εφάπτεται στον κύκλο.

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z , w που συνδέονται με τη σχέση: w = 2z + 146.

3 . z

Αν οι αριθμοί αυτοί παριστάνονται στο μιγαδικό επίπεδο με τα σημεία Z, Ω αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι όταν το Ζ κινείται σε κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας 1 , τότε το Ω κινείται σε έλλειψη.

147.

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α = 1 - 3i , β = 5 + 3i και γ = 3 - 5i. Αν Α , Β , Γ είναι οι εικόνες τους πάνω στο μιγαδικό επίπεδο αντίστοιχα , να βρεθεί ο μιγαδικός που έχει εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.

148.

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z ώστε να ι σ χ ύ ε ι : z  7  z  7  18 .

149.

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z ώστε να ι σ χ ύ ε ι : z  2i  z  2i  2 .

150.

Έστω ο μιγαδικός z = (1+2συνθ – ημθ) + (3 +συνθ +2ημθ)i . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z. N α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : 10  5  z  10  5 .

48 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

151.

Δίνεται το πολυώνυμο f (z) = z 2 – αz + 4 όπου α > 0 και z μιγαδικός. Αν για τους μιγαδικούς w 1,w2 με w1 ≠ w2 ισχύει:f (w1) = f (w2) , τότε: α ) Α ν w1 = 1 , ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς κ α μ π ύ λ η ς π ά ν ω σ τ η ν οποία ανήκει η

εικόνα του w 2 .

β) Αν ο αριθμός

w1  w 2 είναι ρίζα του f(z) , να υπολογίσετε το α. 2

A ν γ ι α τ ο μ ι γ α δ ι κ ό w = 2 x + ( 2 y - 1 ) i , x , y  R ι σ χ ύ ε ι w 1  i  2 5 ν α 152.

153.

βρείτε : α) το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z=x+yi επίπεδο. β) τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του | z|.

Aν είναι

z 9 3 z 1

στο

μιγαδικό

(z  1), να αποδείξετε ότι η εικόνα του z στο

μιγαδικό επίπεδο γράφει κύκλο.

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ( z) των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: 154.

β)

155.

1  2i  3. 1 i z 1  2. z2

α) z

α) Nα βρείτε το γεωμετρικό τόπο C1 των εικόνων του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει : |(1-2i)z – 2 | = 2. β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C2 των εικόνων του μιγαδικού w για τον οποίο ισχύει:

w  2i  1. w  2  4i

γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του | z – w|.

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει 156.

1 1 10   2 . z  3i z  3i z 9

β) Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1,z2 ανήκουν στο C και είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων Ο να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του | z1-z2|.

49 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει 157.

158.

Έστω ότι για το μιγαδικό z ισχύει |z - 4i| - |z + 4i| = 6 (1). α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει η (1). β) Να βρείτε ποιος z έχει ελάχιστο δυνατό μέτρο.

Έστω z = 159.

160.

1 1 10   2 . z  3i z  3i z 9

3  i , λR ,να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων 1  i

των z. Aν z1, z2 δύο τυχαίοι μιγαδικοί από τους παραπάνω να α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι z1  z 2  4 .

Θεωρούμε τους μιγαδικούς z ,w οι οποίοι συνδέονται με τη σχέση: (1+2i)z = (3 +4i)w +6 +2i . Αν η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκει σε κύκλο με κέντρο Κ(1,0) και ακτίνα ρ = 5 να δείξετε ότι η εικόνα του w ανήκει σε κύκλο.

2

Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι μ ι γ α δ ι κ ο ί z 1 , z 2 γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ε ι : z12 

161.

όπου ν είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1. α ) Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι z1 z 2  1 β ) Α ν ο z1 κ ι ν ε ί τ α ι σ ε κ ύ κ λ ο κ έ ν τ ρ ο υ ( 0 , 1 ) κ α ι α κ τ ί ν α ς 1 , ν α βρείτε την εξίσωση της γραμμής πάνω στην οποία κινείται η εικόνα τ ο υ z 2 . γ) Αν

162.

z  1  2 1  , 2 z2  z2 

z1 + z 2 =

2 , ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο υ ς z1 , z 2 .

Δίνονται οι μιγαδικοί z ,w για τους οποίους ισχύει: z = ημ2θ + 2iσυν2θ και wz = 4. Nα αποδείξετε ότι όταν το θ μεταβάλλεται στο R , τότε : α) η εικόνα του z κινείται σε κύκλο. β) η εικόνα του w κινείται σε ευθεία.

50 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Έστω z ,w δύο μη μηδενικοί με εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο τα σ η μ ε ί α Α κ α ι Β α ν τ ί σ τ ο ι χ α ώ σ τ ε Α Ο Β = 3 0 ο κ α ι έ σ τ ω α = ln z  i ln w . 163.

α ) Α ν w  z , ν α δ ε ίξ ετ ε ό τ ι : α 2 Ι  ( Ο Α Β) =

1 . 4

β ) Α ν w  z κ α ι α 2 R , ν α β ρ ε ί τε το γ εω μ ετρ ι κό τό πο τω ν σ ημ ε ί ω ν Α ,B.

Δίνονται οι μιγαδικοί z ,w για τους οποίους ισχύει : 164.

165.

166.

και zw = 1. α) Να δείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού w ανήκει σε έλλειψη. β) Να δείξετε ότι για οποιεσδήποτε τιμές w 1 , w2 του παραπάνω μ ι γ α δ ι κ ο ύ w ι σ χ ύ ε ι : w1  w 2  4 .

Nα βρείτε την εξίσωση της καμπύλης στην οποία κινούνται οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης w 2 -2συνθw + συν2θ + συν22θ = 0, 



ό τ α ν η γ ω ν ί α θ μ ε τ α β ά λ λ ε τ α ι σ τ ο  0,  .  2

Δίνεται η εξίσωση κz 2 + λz + μ = 0 (1) όπου κ ,λ, μ είναι τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λ > 0. α) Να βρείτε τις εξισώσεις των γραμμών πάνω στις οποίες ανήκουν οι εικόνες των ριζών z 1 , z2 της (1). β ) Α ν z 1 z 2 + z 1 + z 2 = 0 , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z1  z2  1 .

Δ ί ν ε τ α ι ο μ ι γ α δ ι κ ό ς z μ ε z  1 κ α ι η υ π ε ρ β ο λ ή C : 167.

z i  z i 4 z  0

x2 y2  1 με z 1 z 1

μια εστία το σημείο Ε(2 ,0). α) Να βρείτε την εξίσωση C1 της κωνικής τομής πάνω στην οποία βρίσκεται η εικόνα του z . β) Αν οι κωνικές τομές C και C 1 έχουν ίδιο μήκος μεγάλου και μικρού άξονα , να υπολογίσετε τους μιγαδικούς z . Αν λ>0 και z1 , z2 μιγαδικοί αριθμοί, να δείξετε ότι:

168.

2 2  1 2 z1  z 2  1  λ  z1  1   z 2 .  λ

51 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

ΜΙΓΑΔ ΙΚΟ Ι Α ΡΙΘΜΟ Ι Διαβάζω ορισμούς, αποδείξεις, μπλε πλαίσια, σχόλια, έντονα γράμματα από το σχολικό βιβλίο. Συγκεκριμένα:

ΘΕΩΡΙΑ

Σ ε λ . 8 6 : Ο ρ ι σ μ ό ς ( Το σ ύ ν ο λο C τ ω ν μ ι γα δ ι κ ώ ν α ρ ι θμ ώ ν) Σ ε λ . 8 7 : Ο ρ ι σ μ ο ί ( Ισ ό τ η τ α μ ι γ αδ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν , Γ ε ω μ ε τ ρ ικ ή παράσταση μιγαδικών) Σ ε λ . 8 8 - 9 0 : Π ρ άξ ε ι ς σ τ ο C . Π ρ ο σ έ χ ω τ ι ς 2 π ρ ο τ ά σ ε ι ς σ τ η σ ε λ . 8 9 με τα έντονα γράμματα Σ ε λ . 9 0 : Ο ρ ι σ μ ό ς ( Δύ ν α μ η μ ι γ α δ ι κο ύ ) Σελ.90: Απόδειξη (Δυνάμεις του i) Σ ε λ . 9 1 : Ι δ ι ό τ η τ ε ς συ ζ υ γ ώ ν ( Ό λ η τ η σ ε λί δ α ) Σ ε λ . 9 1 : Α π ό δ ε ι ξ η : ( z1 +z2 = z1 +z2 ) Σελ.92: Σελ.93: Σελ.97: Σελ.97: Σελ.98: Σελ.98:

Απόδειξη (Επίλυση της α z2 + βz + γ = 0) Π α ρ α τ ή ρ η ση Ο ρ ι σ μ ό ς ( Μ έ τ ρ ο μ ι γ α δ ι κο ύ ) Τι ς ι δ ι ό τ η τ ε ς π ο υ β ρ ί σ κ ο ν τ α ι σ τ ο δ ε ύ τ ε ρ ο μ π λ ε π λ α ί σ ι ο όλα τα μπλε πλαίσια Α π ό δ ε ι ξ η : z1  z 2 = z 1  z 2

Σ ε λ . 9 9 : Ο ι ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς : z - z 0 = ρ , ρ > 0 και z - z1 = z - z 2 Σελ.124-5: τις ερωτήσεις κατανόησης

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Διαβάζω τις 2 εφαρμογές σελ.93-94 και τις 2 εφαρμογές σελ. 99-100 σχολικού Δυνάμεις 8Α/95, 3Β/96, 4Β/96, 7Β/96 Εξισώσεις- Τύποι Vieta 14A/96 z: πραγματικός 11Α/96, 6Β/96, 8Β/96 z : φανταστικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ιδιότητες μέτρων 9Α/101, 1Β/101, 7Β/102, 10Β/102 ΣΧΟΛΙΚΟΥ Γεωμετρικοί τόποι 12Α/96, 9Β/97, 4Α/101, 5Α/101, 6Α/101, Εύρεση γραμμής που κινούνται 8Α/101, 2Β/101, 3Β/101, 4Β/102, 5Β/102, οι εικόνες μιγαδικού 6Β/102, 9Β/102, 1Γ/123, 6Γ/103 Μέγιστο – Ελάχιστο μέτρο 7Α/101, 8Β/102, 3Γ/123

Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; 2 α ) z = - z2  z: φανταστικός . β ) Η ε ξ ί σ ω σ η z - z1 + z - z2 = 2α , α>0 π α ρ ι σ τ ά ν ε ι υ π ε ρ β ο λ ή μ ε ε σ τ ί ε ς Μ 1 169.

, Μ2 τις εικόνες αντίστοιχα των z1 και z2 και εστιακή απόσταση 

2 γ = M1M 2 = z1 - z 2 . γ ) Α ν z 1 , z 2  C μ ε z12  z 22  0 , τ ό τ ε : z 1 = z 2 = 0 . 52 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

δ ) z  z2 . ε ) Α ν z1 = z 2 , τ ό τ ε z 1 = z 2 . 2

σ τ ) z 2005  z

2005

ζ ) z 2  zz . η ) Η ε ξ ί σ ω σ η 2z  3  2i  3 π α ρ ι σ τ ά ν ε ι κ ύ κ λ ο μ ε κ έ ν τ ρ ο Κ(3, –2) και ακτίνα ρ = 3. θ ) Ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν z , z , -z , -z ε ί ν α ι κ ο ρ υ φ έ ς τ ε τ ρ α γ ώ ν ο υ . ι) Aν για τον zC ισχύει : z2 =

2 z τότε zR.

Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; 2 α) Για κάθε zC ισχύει z z2. β) Αν z, wC και ισχύει z  w  0 τότε κατ’ ανάγκη είναι z = w =0. γ ) Υ π ά ρ χ ο υ ν ά π ε ι ρ ο ι z  C π ο υ ι κ α ν ο π ο ι ο ύ ν τ η σ χ έ σ η z 1  i  2 δ ) Α ν κ  ( 0 , 1 ) κ α ι z  1 τ ό τ ε ε ί ν α ι z  (1  )z  1 170.

ε ) Γ ι α κ ά θ ε z  C ι σ χ ύ ε ι z 1  z 1 σ τ ) Γ ι α κ ά θ ε z 1 , z 2  C ι σ χ ύ ε ι z1  z2  z1  z2 ζ) Για κάθε z1,z2C ισχύει

z 1 = z 2  z1  z 2

η ) Α ν z 1  0 , z 2  C , τ ό τ ε z1  z 2  z1  z 2 θ) Αν για τον μιγαδικό z ισχύει z = z2 , τότε z3 0 ι) Είναι σωστό ή λάθος ότι 150 + 160i > 2 + 3i ;

171.

Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: α) Η τιμή της παράστασης (1+i)2004 – (1-i)2004 είναι………………… β ) Η ε ξ ί σ ω σ η z  3  7i  25 π α ρ ι σ τ ά ν ε ι … … … … … … … … … … … … … … … γ) Αν z = 2(συνθ + i ημθ) , τότε z = …………. δ ) Η ε ξ ί σ ω σ η z  1  3i  z  3  2i π α ρ ι σ τ ά ν ε ι … … … … … … … … … … … … ε) Οι ρίζες της εξίσωσης: 3z2 – 6z + 6 = 0 είναι:………………………

Έστω z , z1, z2 C με z1= z2 = 1. 172.

Aν είναι zo = α) zo2 > 0

173.

z1  z 2  z1z 2 z  z με z1+z2  0 τότε : z1  z 2

β) zo2  0

γ) zo2 = 1

Έστω η εξίσωση αx2 + 2βx +α =0 , με α >β>0, που έχει ρίζες τις x 1, x2 . Nα σημειώσετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. α) x1, x2R β) x1+ x2 = -4 x1 x2 γ) x1 x2 δ) x1= x2 = 1 ε) τίποτε από τα προηγούμενα.

53 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Αν ισχύει x1+ x2 = 174.

175.

x1  x 2 2

τότε να βρεθούν:

α) οι ρίζες x1, x2 β) οι θετικοί ακέραιοι ν , για τους οποίους ισχύει (x 1+ x2)ν > 0

Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : 1  i 

2004

 1  i 

2004

 1  i 

2005

 1  i 

2005

Α ν γ ι α τ ο μ ι γ α δ ι κ ό z ι σ χ ύ ε ι : 2z  6  2i  4 , ν α β ρ ε ί τ ε : 176.

177.

178.

179.

α) το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z. β) τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z .

Έ σ τ ω ο ι μ ι γ α δ ι κ ο ί z , w γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ε ι : z2  w 2  0. α) Αν z =1 , να βρείτε το σύνολο των εικόνων των w. β ) Α ν z  1  2i  1 , ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν w .

Αν z  C και ισχύει :

z + 4i = z + 4 = z

, να βρείτε τον z και το μέτρο

του z .

Αν z είναι τυχαίος μιγαδικός αριθμός , να δείξετε ότι ο αριθμός w = 2zz - z2 - z 2 - 6 ε ί ν α ι π ρ α γ μ α τ ι κ ό ς .

Αν z είναι ένας μιγαδικός αριθμός με τις ιδιότητες: 180.

(z - i)( z + i) = 1 και z

1

+ i, να δείξετε ότι ο αριθμός w =

z + (1 - i) (1  i)  z

είναι φανταστικός.

181.

Έστω Ρ(z) η εικόνα πάνω στο μιγαδικό επίπεδο του μιγαδικού z που ικανοποιεί τη σχέση z - 3 + i = 4 και Μ(w) η εικόνα του μιγαδικού w που ικανοποιεί τη σχέση Να δείξετε ότι ο w - 3 - i = w - 3 - 5i . γεωμετρικός τόπος των z είναι κύκλος ενώ ο γεωμετρικός τόπος των w είναι ευθεία , η οποία εφάπτεται στον κύκλο .

182.

Α ν z  C κ α ι z - 1 - i < 5 ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : 10 < z - 10 - 13i < 20 .

54 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

183.

Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z1 , z2 ισχύει: 2 2 2 z1  z 2 = z1 - z 2 α ν κ α ι μ ό ν ο α ν R e ( z1 z2 ) = 0 .

1  i   2 1  i  Δ ί ν ε τ α ι ο μ ι γ α δ ι κ ό ς : z1  33 4  1  i  49

184.

α ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ α α , β  R γ ι α τ α ο π ο ί α ι σ χ ύ ε ι : z1  3  3  i . β)Έστω z2 = α + βi , όπου α και β οι τιμές που βρήκατε στο ερώτημα α). Από τους μιγαδικούς z , για τους οποίους ισχύει: z  z1  z 2 , ν α βρείτε ποιος έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο δυνατό μέτρο.

185.

Έστω z1 , z2  . Να δείξετε ότι:

z1  z 2  1  z1  1 ή z 2  1. 1  z1z 2

Να βρεθεί το σύνολο των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z  6  3i  8.

186.

Α ν f ( z ) = z  6  2i , ό π ο υ z μ ι γ α δ ι κ ό ς τ ο υ π α ρ α π ά ν ω σ υ ν ό λ ο υ : i) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του f(z). ii) Να βρείτε την μέγιστη τιμή του f(z).

187.

Έστω Α,Β,Γ οι εικόνες τριών μιγαδικών z,w,u διαφορετικών μεταξύ τους, οι οποίοι έχουν ίσα μέτρα και άθροισμα μηδέν. Να αποδείξετε ότι: i) zw  w u  zu . ii) To τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

Έ σ τ ω ρ > 0 κ α ι γ ι α τ ο μ ι γ α δ ι κ ό z ι σ χ ύ ε ι η σ χ έ σ η : z  ρ  z  ρ   2  2 ρ2 , 2

188.

ν>0 . Να δείξετε ότι: α) Η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκει σε κύκλο , του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. β) Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z3 είναι σημεία του παραπάνω κύκλου , τότε ο

w

z1  z 2 z 2  z3 z1  z3   z3 z1 z2

είναι πραγματικός

αριθμός.

55 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Δ ί ν ε τ α ι ο μ ι γ α δ ι κ ό ς z ώ σ τ ε z  1  2i  189.

2 . 2

α ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν w  2z  1  i . β ) Ν α β ρ ε θ ο ύ ν ο ι μ ι γ α δ ι κ ο ί w1 , w 2 α π ό τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς τ ο υ α ) ερωτήματος που έχουν το ελάχιστο και μέγιστο μέτρο αντίστοιχα.

Αν η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο C με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ = 1 , να δείξετε ότι: 190.

α) και η εικόνα του μιγαδικού w 

zi , z  i α ν ή κ ε ι σ τ ο ν κ ύ κ λ ο C . iz  1

zw , zw 1 είναι πραγματικός. 1  zw zw γ) ο αριθμός   , zw  1 ε ί ν α ι φ α ν τ α σ τ ι κ ό ς . 1  zw

β) ο αριθμός u 

Αν w 1 , να βρείτε: 191.

α) το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z αν: z – 5 = 2 2 w – 5i. β) τους μιγαδικούς με το μεγαλύτερο και το μικρότερο μέτρο , καθώς και τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του z .

192.

Α ν η ε ξ ί σ ω σ η z2  z    0 , ό π ο υ ,   , έχει ρίζες τους μιγαδικούς α ρ ι θ μ ο ύ ς z1  3  2i κ α ι z 2 , τ ό τ ε : α ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο υ ς , , z 2 . β ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ η μ ι κ ρ ό τ ε ρ η τ ι μ ή τ η ς π α ρ ά σ τ α σ η ς : f (z)  z  z1  z  z2 , z  C .

193.

Γ ι α π ο ι ε ς τ ι μ έ ς τ ο υ θ ε τ ι κ ο ύ α κ έ ρ α ι ο υ ν ι σ χ ύ ε ι : i   i   2 ;

194.

Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο ν ώστε:

195.

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α . A = i + i 3 + i 5 + … + i 1 0 1 A  i  i3  i5  ...  i101 β. B =i6  i8  i10  …  i52

196.



 7  8i   8  7i  



0.

2z  1 Α ν zC κ α ι w  να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z

ώστε wR .

iz  1

56 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

197.

z  2z Α ν zC κ α ι w  2 να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z

z ώστε ο

να είναι φανταστικός.

198.

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z ώστε οι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν i , z , iz ν α ε ί ν α ι σ υ ν ε υ θ ε ι α κ ά σ η μ ε ί α .

199.

Δ ί ν ε τ α ι η ε ξ ί σ ω σ η z2  z  4  0 α , β  R ( 1 ) . α. Αν z1 = 1 + i είναι ρίζα της (1) να υπολογίσετε τα α , β. β . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο μ ι γ α δ ι κ ό z12006 .

200.

201.

Δίνεται ο μιγαδικός z = λ – 1 + (λ – 2)i , λ R . α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z. β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w 

2z . 1 i

Α ν z  1  2i  3 ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : 2  z  2  2i  8 .

α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ε ι : z  2  2i  1 . β. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z . 202.

203.

γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών w για τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ε ι : w  1  i  w  3  4i . δ. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του w . ε. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του z  w .

Αν

και

z1 , z 2  C

z1  z 2  1

να

δείξετε

ότι

w

 z1  z 2  z17  z 72

είναι

πραγματικός.

Α ν z  C* κ α ι z  z1  z2  2 ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : 204.

α. ο w  β. ο u 

z z z z

είναι φανταστικός.

z1  z 2 είναι πραγματικός. 4  z1z 2

57 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Έστω z1 , z2 οι ρίζες της εξίσωσης: z2 + αz + 1 = 0 με α(-2 , 2) και w  C μ ε w ≠ - 2 i . Α ν ι σ χ ύ ε ι : z  w  2i  1

2005

z

 w  2i 

2004

 0 , τότε:

1. Να δείξετε ότι: α . w  2i  1 κ α ι

β . w  2i 

w  2i

205.

2. Αν u 



z2 3 . Α ν v  z1

, να δείξετε ότι: u = α2 – 2.

 wi  2 

4009

, να δείξετε ότι: v= - i .

4 . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : w  uv  1   . 2

206.

Αν z1 + z2 = z3 και οι εικόνες των μιγαδικών αυτών κινούνται σε κ ύ κ λ ο μ ε κ έ ν τ ρ ο το Ο ( 0 , 0 ) κ α ι α κ τ ί να 2 , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z 2 z 3 + z 1 z 3 = z1z2 .

207.

Α ν ο ι ε ι κ ό ν ε ς τω ν μ ι γ α δ ι κώ ν z 1 , z 2 , z 3 κ ι νο ύ ν τ α ι σ ε κ ύ κ λ ο μ ε κέντρο το Ο(0,0) και α κ τ ίν α 2, να δείξετε ότι: 1 z  2 z  3z  z z  2 z z  3z z . 2 1

Α ν γ ι α τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς z 1 , z 2 , z 3 ι σ χ ύ ε ι : z1  z 2  z 3  1 κ α ι z1 + z2 + z3 = 1 , να δείξετε ότι: 208.

α)

1 z1



1 z2



1 z3

 1.

β ) z 1  2z 2  9 . 2

Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι μ ι γ α δ ι κο ί z 1 , z 2 ≠ 0 μ ε

209.

z1 z 2 + =1 . z 2 z1

Να δείξετε ότι: 3 3 α. z  z 1 2 β .

 z1     z2 

2010

 z2    z1 

+

2010 =2

58 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: α . z  7  z  7  14 β . z  7  z  7  12 γ. z  7  z  7  16 δ . z  7i  z  7i  20 210.

ε.

z  7  z  7  14

σ τ . z  7  z  7  12 ζ.

z  7  z  7  16

η . z  7  z  7  20 θ. z  7  Re(z)  7 ι. z 3i  2 κ . z  2  i  z 1 i

211.

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης: Α = z  1  z  1  i  z  1  3i  z  2  2i .

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: Ο α ρ ι θ μ ό ς z  1  3i    1  3i  ε ί ν α ι : 4

212.

Α. Φανταστικός

Β. Μηδέν

Γ. Πραγματικός

Δ . Τί π ο τ α α π ό τ α π ρο η γ ο ύ μ ε ν α .

Για κάθε μιγαδικό z=α+βi, α,β  ισχύει: 1.

|zi|= |z|

|z ||z|

z  z  z2

|z+2i|2=

213.

z2  4

z   2   i 

Σ Σ

Λ Λ

Σ Σ

Λ Λ

zz  z  z

z2  z2

zz  z

Αν η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο με ακτίνα 7, τότε |z|=7 Α ν | 1 - z | = 7 , τ ό τ ε η ε ι κ ό ν α το υ z αν ή κ ε ι σ ε κύκλο με κέντρο τo K(-1,0) και ακτίνα 7.

10.

59 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Σ ύ μ φ ω ν α μ ε τ η συ ν θ ή κ η π ο υ ι κ α νο π ο ι ο ύ ν ο ι μ ι γ αδ ι κ ο ί z που αναφέρεται στην πρώτη στήλη, να τους αντιστοιχίσετε στην ευθεία της δεύτερη στήλης που ανήκει η εικόνα τους: Σ υ ν θ ήκ η 214.

Ευθεία

A . z  i  z  3i

α. y  x

B. z 1  z  3

β. x=-1

Γ . z  2  z  2i

γ. y=-1 δ . y  x ε . xx

215.

Να λύσετε τις εξισώσεις: α. (z2+1)(z2-z+1)=0 . β. z2 – i z + 2 = 0. γ. z3 – 1 = 0. Δίνεται η εξίσωση: z2 + (β-4)z + (γ+5) = 0. (1) με β , γ 

Α ν z 1 ε ί ν α ι μ ι α α π ό τ ι ς λ ύ σ ε ι ς τ η ς ( 1 ) κ α ι z1  z1  2 κ α ι z1  216.

217.

2 , τότε:

α ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο υ ς π ρ α γ μ ατ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς β κ α ι γ . β) Να βρείτε τους z1 και z2. γ ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z1100  z 2100  251 . Δ ί ν ε τ α ι ο μ ι γ α δ ι κ ό ς z μ ε z  0 κ α ι z1003  z1004 . Να αποδείξετε ότι: z2007 = 1.

218.

Α ν γ ι α το υ ς μ ι γ αδ ικ ο ύ ς z κ α ι w ι σ χ ύ ο υ ν | z | = 2 κ α ι w =( - 3 + i ) z , τ ό τ ε ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ρ α μ μ ή σ τ η ν ο π ο ί α α ν ή κο υ ν ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν μ ι γ α δ ι κώ ν w .

219.

Α ν γ ι α τ ο υ ς μ ι γ αδ ι κ ο ύ ς z κ α ι w ι σ χ ύ ο υ ν | z | = 2 κ α ι w =2 z + z , τ ό τ ε να βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w.

220.

Α ν z 1 , z 2  C μ ε z1 = z 2 = 1 και z1z 2  - 1 , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z =

Δ ί ν ε τ α ι ο μ ι γ α δ ι κ ό ς :    221.

2

 

 2i  z 

z1  z 2 1 + z1 z 2

 R.

z i , z    i , ,  

α ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ α Re() , Im(). β ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τι ο ι ε ι κ ό ν ε ς τω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν ω σ τ ο μ ι γ α δ ι κό 60

Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία y   x . 3

γ ) Α π ό τ ο υ ς μ ι γ αδ ι κ ο ύ ς  ν α β ρ ε θ ε ί α υ τ ό ς π ο υ έ χ ε ι τ η μ ι κ ρ ό τ ε ρη α π ό σ τα σ η α π ό τ η ν ε ι κ ό ν α τ ο υ μ ι γ α δ ι κο ύ 3 + i . δ ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τι   10

  3

ε)Αν

 

ν α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν z    i σ το

μ ι γ α δ ι κό ε π ί π ε δ ο βρ ί σ κ ο ν τ α ι σ τ η ν ε υ θ ε ί α x  3y  1 , ή x  3y  1 .

222.

Α ν ο ι ε ι κ ό ν ε ς σ το μ ι γ α δ ι κό ε π ίπ ε δ ο τω ν μ ι γ α δ ι κώ ν z 1 , z 2 α ν ή κ ο υ ν στ ο μ ο ν αδ ι α ί ο κ ύ κ λ ο . α) να δείξετε ότι: z1 + z2 - z1 z2 + 1 = 0  z1 + z2 + z1 z2 - 1 = 0. β) να βρείτε τους z1,z2 για τους οποίους ισχύει z1 + z2 - z1 z2 + 1 = 0. γ) να δείξετε ότι: | z1 + z2 - z1 z2 + 1| = | z1 + z2 + z1 z2 – 1|.

α ) Α ν z = 2 ν α α π ο δ εί ξ ε τ ε ό τ ι : z = 223.

z1 + z 2 + z 3 = 4

1 z1



1 z2



1 z3

z = z3 = 2 ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι :

β ) Α ν z 1 , z 2 , z 3  C μ ε z1 = z 2 i)

i i ) 2 z1  z 2  z 3 = z1z 2  z 2 z 3  z 3 z1 .

224.

225.

Αν

z C

και

z  1να

υ π ο λο γ ί σ ε τ ε τ ο ελ ά χ ι σ τ ο κ α ι τ ο μ έ γ ι σ τ ο τ η ς

π α ρ ά σ τ α σ η ς z  1  2i . Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι μ ι γ α δ ι κο ί : z    3  (2  1)i ,   . α ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό τό π ο τω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν μ ι γ α δ ι κώ ν z . β ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο μ ι γ α δ ι κ ό ε κ ε ί ν ο π ο υ έ χ ε ι τ ο ε λ ά χ ι σ τ ο μ έ τρ ο .

Να βρεθεί το σύνολο των μιγαδικών

z για τους οποίους ισχύει:

z  6  3i  8.

226.

Α ν f ( z ) = z  6  2i , ό π ο υ z μ ιγ α δ ι κ ό ς το υ π α ρ α π ά ν ω σ υ ν ό λο υ : i) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του f(z). ii) Να βρείτε την μέγιστη τιμή του f(z).

Γ ι α τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύς z κ α ι w ι σ χ ύ ο υ ν α ν τ ι σ τ ο ί χ ω ς ο ι σ χ έ σ ε ι ς : 227.

zz  i(z  z )  1 κ α ι

 w  3



1  2i 2i

α ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο C 1 τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τω ν z σ τ ο μ ι γ αδ ι κό 61 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

επίπεδο. β ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ η γρ α μ μ ή C 2 π ο υ β ρί σ κ ο ν τ α ι ο ι ε ι κ ό ν ες τ ο υ w στ ο μ ι γ α δ ι κό ε π ί π ε δ ο . γ ) Α ν Μ ( z 1 )  C 1 κα ι Μ ( z 2 )  C 2 , ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε λ ά χ ι σ τ η κ α ι μ έ γ ι σ τ η τ ι μ ή τ ο υ μ έ τ ρο υ z1  z 2 .

228.

Α ν γ ι α τ ο ν μ ι γ α δ ι κό z ι σ χ ύ ε ι z  2  i  6 ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι 1  z  1  3i  11 .

229.

Α ν z C κ α ι z - 1 - i < 5 ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι :

230.

10 < z - 10 - 13i < 20

Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z3 ισχύουν οι σχέσεις : z 1 + z 2 + z 3 = 0 κ α ι z = z = z = 1 , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τι ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν z 1 1

, z 2 , z 3 ε ί ν α ι κ ο ρ υ φ έ ς ι σ ο π λ ε ύ ρο υ τ ρ ι γ ώ ν ο υ ε γ γ ε γ ρ α μ μ έ νο υ σ ε κ ύ κ λ ο ακτίνας 1 .

α ) Έ σ τ ω ο ι μ ι γ α δ ι κο ί z 1 , z 2 , z 3 ώ σ τ ε z 1 + z 2 + z 3 = 0 κ α ι

z1  z 2  z 3  0 . 2

N α δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι z1  z 2  z 3 . 231.

β ) Σ τ ο μ ι γ αδ ι κ ό ε π ί π ε δ ο θ εω ρο ύ μ ε τ ρ ί γ ω ν ο Α Β Γ , ό π ο υ ο ι κ ο ρ υ φ έ ς του Α , Β , Γ είναι οι εικόνες των w1 , w2 , w3 αντίστοιχα , για τους ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ε ι η σ χ έ σ η : w12  w 22  w 32  w1w 2  w 2 w 3  w1w 3 . Ν α δ ε ι χ τ ε ί ό τ ι τ ο τρ ί γ ω ν ο ε ί ν α ι ι σ ό π λε υ ρ ο .

Δ ί ν ε τ α ι ο μ ι γ α δ ι κ ό ς α ρ ι θ μ ό ς z μ ε z  16  4  z  1 . 232.

α) Να αποδείξετε ότι z = 4. β ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ετ ρ ι κ ό τ ό π ο τ η ς ε ι κό ν α ς τ ο υ z ό τ α ν :

 4  z 1

Δίνετ αι ο μ ιγαδ ικός αριθ μ ό ς z και έστ ω f z 

2  iz 1 z

, z  1.

α ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο μ έ τ ρ ο τ ο υ μ ι γ α δ ι κο ύ f ( 2 ) . β ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο α ρ ι θ μ ό ς w   f  2 

2008

233.

γ) Να αποδείξετε ότι

f z  2 f z  i

είναι πραγματικός.

 z .

δ ) Α ν z  1 κ α ι Μ ε ί ν α ι η ε ι κ ό ν α τ ο υ f ( z ) σ το μ ι γ α δ ι κό ε π ί π εδ ο , ν α αποδείξετε ότι το Μ ανήκει σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

234.

Α ν ( 1 + i z ) ν = ( 1 – i z ) ν ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι z R . 62

Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Έ σ τ ω ο μ ι γ αδ ι κ ό ς z κ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η : z i 3

f (z) = 235.

α) β) 3i γ)

, z  -i.

z i

Να δείξετε ότι f (z) = z 2 –iz – 1. Αν η εξίσωση f (z) = (α – i)z – β με α,βR έχει ρίζα το μιγαδικό 2 – , να βρείτε τα α και β. Α ν z = 1 ν α δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ο υ μ ι γ α δ ι κ ο ύ f ( z ) στ ο μ ι γ α δ ι κό

ε π ί π ε δ ο δ ε ν ε ί ν α ι ε ξ ω τ ε ρ ι κ ά σ η μ ε ί α τ ο υ κ ύ κ λ ο υ μ ε κ έ ν τ ρ ο Ο κ αι ακτίνα ρ = 3.

Γ ι α τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύς z , w ι σ χ ύ ε ι : w 

i z

α ) Α ν ι σ χ ύ ε ι w  1  w ( 1 ) ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z  i  1. 236.

β) Αν ισχύει w  i  2 (2) να δείξετε ότι: z  1  2 . γ ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο υ ς γ ε ω μ ε τ ρ ι κο ύ ς τ ό π ο υ ς C 1 κ α ι C 2 τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν Μ τ ω ν μ ι γ α δ ι κώ ν z γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ε ι α ν τ ί σ τ ο ι χ α η σ χ έ σ η ( 1 ) κ α ι ( 2 ) . δ ) Α ν ο ι ε ι κό ν ε ς Μ 1 κ α ι Μ 2 τω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν z 1 κ α ι z 2 κ ι νο ύ ν τ α ι σ το υ ς C1 και C2 αντίστοιχα να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μ έ τ ρ ο υ z1  z 2 .

Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι μ ι γ α δ ικ ο ί z , w γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ε ι

z  w 

 zw ,

να δείξετε ότι: α) z  w  z  w . 2

237.

β ) Re  zw   0 . γ)

z : ό . w

δ) z2 + w2 = 0.

63 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Β . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς π ρ ο τ άσ ε ι ς π ο υ ακ ο λ ο υ θ ο ύ ν , γ ρ άφ ο ν τ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ η ν έ ν δ ε ι ξ η Σ ω σ τ ό ή Λ άθ ο ς δ ί π λ α σ τ ο γ ρ άμ μ α π ο υ α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ί σ ε κ άθ ε π ρ ό τ ασ η . Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α.

β.

z2  z2

γ.

z  - z

δ.

z  z

ε.

iz  z

z z

Μονάδες 5 Β.1.

Β . 1 Α ν z1  3  4 i και z2  1 - 3 i, ν α γ ρ ά ψ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ό σ α ς τ ο υ ς αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα.

238.

Στήλη Α

Στήλη Β

z1  z 2

α.

z12

β.

γ.

 z1

δ.

–5

i z2

ε.

–2

στ. ζ.

5 10

Μονάδες 7,5 Β.2

Αν για το μιγαδικό αριθμό

z ισχύει

z  1,

να δείξετε ότι

1 . z Μονάδες 5 Πανελλήνιες εξετάσεις 2001 z 

64 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Έστω z ένας μιγαδικός αριθμός και f(ν) = iν z, ν  IN*. α. Να δείξετε ότι f(3) + f(8) + f(13) + f(18) = 0 . Μονάδες 7 β. Αν z= ρ και Arg(z) = θ, να δείξετε ότι: 

 

 

 

 

f ( 1 3 ) = ρ       i      . 2 2 

239.

Μονάδες 8 γ. Αν z= 2 και Arg(z) =

 , να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου με 3

κορυφές τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών 0, z και f(13). Μονάδες 10 Πανελλήνιες εξετάσεις 2002

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = α+βi, όπου α , βIR και w = 3 z – iz + 4 , ό π ο υ z ε ί ν α ι ο σ υ ζ υ γ ή ς τ ο υ z . α. Να αποδείξετε ότι Re(w)=3α–β+4 και Ιm(w)=3β–α. Μονάδες 6 β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x–12, τότε οι εικόνες του z 240. κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x–2. Μονάδες 9 γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς z, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x–2, έχει το ελάχιστο μέτρο. Μονάδες 10 Πανελλήνιες εξετάσεις 2003

α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις σχέσεις: z  2 και Ιm (z)  0 . 241.

εικόνων

των

Μονάδες 12 β. Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z κινείται στο σύνολο (Σ), τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w 

1  4 z   κινείται 2  z

σε ευθύγραμμο τμήμα το οποίο βρίσκεται

στον άξονα x΄x. Μονάδες 13 Επαναληπτικές εξετάσεις 2003

65 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι μ ι γ α δ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί z 1 , z 2 , z 3 μ ε z1  z2  z3  3. α . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z1 

9 . z1

Μονάδες 7 242.

β. Να δείξετε ότι ο αριθμός

z1 z 2  είναι πραγματικός. z 2 z1

Μονάδες 9 γ . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z1  z 2  z3 

1 z1  z 2  z 2  z3  z3  z1 . 3

Μονάδες 9 Πανελλήνιες εξετάσεις 2005

α. Αν z1, z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους z 1 + z 2 = 4 + 4 i κ α ι , 2z1 - z2 = 5 + 5i ν α β ρ ε ί τ ε τ ο υ ς z 1 , z 2 .

οποίους

ισχύει

Μονάδες 10 β. Aν για τους μιγαδικούς αριθμούς z,w ισχύουν: 243. z – 1 – 3i 2 και w – 3 – i 2 : i. να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί z, w έτσι, ώστε z = w και Μονάδες 10 ii. να βρείτε τη μέγιστη τιμή του z – w . Μονάδες 5 Επαναληπτικές εξετάσεις 2005

244.

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 , z3 με z1=z2=z3= 1 και z1 + z2 + z3 = 0. α. Να αποδείξετε ότι: i. z1 – z2= z3 – z1=z2 – z3 Μονάδες 9 i i .  z 1 – z 2  2  4 κ α ι R e  z1z2   1 .

Μονάδες 8 β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z 1 , z2 , z3 στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν. Μονάδες 8 Πανελλήνιες εξετάσεις 2006

66 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z 

2  i με αR.   2i

α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0 , 0) και ακτίνα ρ = 1. Μονάδες 9 β. Έστω z1 , z2 οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο: z  245.

2  i   2i

για α = 0 και α = 2 αντίστοιχα. i) Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z1 και z2. Μονάδες 8 ii) Να αποδειχθεί ότι ισχύει: ( z1)2ν = (-z2)ν για κάθε φυσικό αριθμό ν. Μονάδες 8 Πανελλήνιες εξετάσεις 2007

Δίνονται οι μιγαδικοί z1 = α + βi και z2 =

246.

2-z1 , όπου α , βR με 2+z1

β0. Δίνεται επίσης ότι z2 – z1R. α. Να αποδειχθεί ότι z2 – z1 = 1. Μονάδες 9 β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z1 στο μιγαδικό επίπεδο. Μονάδες 6 γ . Α ν ο α ρ ι θ μ ό ς z12 ε ί ν α ι φ α ν τ α σ τ ι κ ό ς κ α ι α β > 0 , ν α υ π ο λ ο γ ι σ τ ε ί ο z 1 κ α ι ν α δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι : z1 +1+i - z1 +1-i =0. 20

Μονάδες 10 Επαναληπτικές εξετάσεις 2007

Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύουν:

i+2 2 z = 6 κ α ι

w  1  i   w   3  3i  , τ ό τ ε ν α β ρ ε ί τ ε :

α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z. Μονάδες 6 247. β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w. Μονάδες 7 γ. την ελάχιστη τιμή του │w│. Μονάδες 6 δ. την ελάχιστη τιμή του │z - w│. Μονάδες 6 Πανελλήνιες εξετάσεις 2008

67 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός z1 =

248.

1 i 3 είναι ρίζα της εξίσωσης 2

z2+βz+γ=0, όπου β και γ πραγματικοί αριθμοί. α. Να αποδείξετε ότι β=–1 και γ=1. Μονάδες 9 β . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z13  1 . Μονάδες 8 γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων α ρ ι θ μ ο ύ w , γ ι α τ ο ν ο π ο ί ο ι σ χ ύ ε ι : w  z1  z1 .

του

μιγαδικού

Μονάδες 8 Επαναληπτικές εξετάσεις 2008

249.

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z=(2λ+1)+(2λ−1)i, λ R. Α.α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, για τις διάφορες τιμές του λ R . Μονάδες 9 β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός z0 = 1 - i έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο. Μονάδες 8 Β. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w οι οποίοι ικανοποιούν την 2 ε ξ ί σ ω σ η w  w  12  z0 ό π ο υ z 0 ο μ ι γ α δ ι κ ό ς α ρ ι θ μ ό ς π ο υ α ν α φ έ ρ ε τ α ι

στο προηγούμενο ερώτημα. Μονάδες 8 Πανελλήνιες εξετάσεις 2009

Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ε ι : (2i )z + (2 +i ) z 8 = 0 α . N α β ρ ε ί τ ε τ ο ν γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν μ ι γ α δ ικ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν z = x + y i ο ι ο π ο ί ο ι ι κ α ν ο π ο ι ο ύ ν τ η ν π αρ α π ά ν ω ε ξ ί σω σ η . 250. β . N α β ρ ε ί τ ε το ν μ ο ν αδ ι κ ό π ρα γ μ α τι κ ό α ρ ι θμ ό z 1 κ α ι τ ο ν μ ο ν αδ ι κό φ α ν τ α σ τ ι κό α ρ ι θ μ ό z 2 ο ι ο π ο ί ο ι ι κ α ν ο π ο ιο ύ ν τ η ν π α ρ α π άν ω ε ξ ί σ ω σ η . γ. Για τους αριθμούς z1, z 2 π ο υ β ρ έ θ η κ α ν σ τ ο π ρ ο η γ ο ύμ ε νο ε ρ ώ τ η μ α ν α απ ο δ ε ίξ ε τ ε ό τ ι  z 1 + z 2  2 +  z 1  z 2  2 = 4 0 . Επαναληπτικές εξετάσεις 2009

68 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Δίνεται η εξίσωση z 

2  2 , όπου z C με z≠0. z

α. Να βρείτε τις ρίζες z1 και z2 της εξίσωσης. Μονάδες 7 β . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z12010  z22010  0 . 251.

Μονάδες 6 γ . Α ν γ ι α τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς w ι σ χ ύ ε ι : w  4  3i  z1  z2

τότε

να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο. Μονάδες 7 δ. Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος γ. να αποδείξετε ότι: 3  w  7 . Μονάδες 5 Πανελλήνιες εξετάσεις 2010

Έ σ τ ω ό τ ι ο ι μ ι γ αδ ικ ο ί α ρ ι θμ ο ί z 1 , z 2 ε ί ν α ι ο ι ρ ί ζ ε ς ε ξ ί σ ω σ η ς δ ε υ τ έ ρ ο υ β α θ μ ο ύ μ ε π ρ α γ μ ατ ι κ ο ύ ς σ υ ν τ ε λ ε σ τ έ ς γ ι α τ ι ς ο π ο ί ε ς ι σ χ ύ ο υ ν : z1 + z2 = –2 και z1⋅z2 = 5. B1. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z 1, z2. Μ ον ά δ ε ς 5 B2. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση : |w – z1|2 +|w – z2|2 = | z1 − z2|2 ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό ς τ ό π ο ς τ ω ν ε ι κ ό νω ν τ ω ν w σ το 252. μ ι γ α δ ι κό ε π ί π ε δ ο εί ν α ι ο κ ύ κ λ ο ς μ ε ε ξ ί σ ω σ η ( x + 1) 2 + y 2 = 4 . Μ ον ά δ ε ς 8 B 3 . Α π ό τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς w το υ ε ρ ω τ ήμ α το ς Β 2 ν α β ρ ε ί τ ε ε κ ε ί ν ο υ ς γ ι α τ ο υ ς ο π ο ίο υ ς ι σ χ ύ ε ι 2 ⋅ R e ( w) + I m ( w ) = 0 . Μ ον ά δ ε ς 6 B 4 . Α ν w 1 , w 2 ε ί ν αι δ ύ ο α π ό τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κο ύ ς w τ ο υ ε ρ ω τ ή μ α το ς Β2 με την ιδιότητα |w1 – w2|=4, να αποδείξετε ότι |w1 + w2|=2. Μ ον ά δ ε ς 6 Επαναληπτικές εξετάσεις 2010

Έ σ τ ω ο μ ι γ αδ ι κ ό ς α ρ ι θ μ ό ς z = x + y i , x , y  R . B 1 . Α ν ι σ χ ύ ε ι ό τ ι : 2 z  i z  3 , τ ό τ ε ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ν μ ι γ α δ ι κ ό α ρ ι θμ ό z. Μ ον ά δ ε ς 8 B 2 . Α ν z  2  i , τ ό τ ε ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ν γ ε ω μ ε τ ρι κ ό τ ό π ο τω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν 253.

2 μ ι γ α δ ι κώ ν α ρ ι θ μ ώ ν w γ ι α τ ο υ ς ο π ο ίο υ ς ι σ χ ύ ε ι ό τ ι : w  z  z .

Μ ον ά δ ε ς 7 B3. Αν z  2  i και u 

z  iz z 1

, τ ό τ ε ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : u 2010  1 .

Μ ον ά δ ε ς 1 0 Πανελλήνιες εξετάσεις Εσπερινών 2010

69 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Θ ε ω ρο ύ μ ε τ η ν ε ξ ίσ ω σ η z 2 – 6 z + γ = 0 μ ε γ ∈ ℝ , η ο π ο ί α έ χ ε ι ρ ί ζ ε ς τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z 1 , z 2 μ ε I m ( z 1 ) > 0 κ α ι | z 1 | = 5 . Γ1. Να αποδείξετε ότι γ=25. Μ ον ά δ ε ς 8 Γ 2 . Α ν γ = 2 5 , ν α β ρ ε ί τ ε τ ι ς ρ ί ζ ε ς τ η ς π α ρ α π ά ν ω εξ ί σ ω σ η ς . 2 5 4 . Μ ον ά δ ε ς 5 Γ 3 . Α ν γ ι α τ ο ν μ ι γ α δ ι κ ό α ρ ι θμ ό w ι σχ ύ ε ι | w – z 1 | = | w – z 2 | , ν α αποδείξετε ότι w∈ℝ. Μ ον ά δ ε ς 6 Γ 4 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ η ν τ ι μ ή τ η ς π α ρ ά σ τ α σ η ς ( z 1 – 2 – 3 i ) 8 + ( z 2 – 4 + 5 i ) 8 . Μ ον ά δ ε ς 6 Επαναληπτικές εξετάσεις Εσπερινών 2010

Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με z≠3i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις:

z - 3i + z + 3i = 2 και w = z - 3i + Β1. Να βρείτε αριθμών z. Μονάδες 7 255.

το

1 . z - 3i

γεωμετρικό

Β 2 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z + 3i =

τόπο

των

εικόνων

των μιγαδικών

1 . z  3i

Μονάδες 4 Β3. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι: 2≤w≤2. Μονάδες 8 Β4. Να αποδείξετε ότι: z - w  z . Μονάδες 6 Πανελλήνιες Εξετάσεις 2011

Έ σ τ ω ο ι μ ι γ αδ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί z , w , ο ι ο π ο ί ο ι ι κ α ν ο π ο ι ο ύ ν τ ις σ χ έ σ ε ι ς : z-i =1+Ιm(z) ( 1 ) κ α ι w  w  3i   i  3w  i  ( 2 ) B 1 . Ν α απ ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό ς τό π ο ς τω ν ε ι κό ν ω ν τω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν αριθμών z είναι η παραβολή με εξίσωση 256.

Μ ον ά δ ε ς 7 B 2 . Ν α απ ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό ς τό π ο ς τω ν ε ι κό ν ω ν τω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν w ε ί ν α ι ο κ ύ κ λ ο ς μ ε κ έ ν τ ρ ο το σ η μ ε ί ο Κ ( 0 , 3 ) κα ι α κ τ ί ν α ρ = 2 2. Μ ον ά δ ε ς 7 B 3 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ α ση μ ε ί α Α κα ι Β το υ μ ι γ α δ ι κο ύ ε π ι π έδ ο υ , τ α ο π ο ί α 70

Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, w με z =w. Μ ον ά δ ε ς 5 B 4 . N α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι τ ο τ ρ ί γ ω νο Κ Α Β ε ί ν α ι ο ρ θ ο γ ώ ν ι ο κ α ι ι σ ο σ κ ε λ έ ς κ α ι , σ τ η σ υ ν έ χ ε ι α , ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ν μ ι γ α δ ι κ ό α ρ ι θμ ό u μ ε ε ι κ ό ν α σ τ ο μ ι γ α δ ι κό ε π ί π εδ ο το σ η μ ε ί ο Λ , έ τ σ ι ώ σ τ ε τ ο τ ε τ ρ άπ λ ε υ ρ ο μ ε κ ο ρ υ φ ές τα σημεία Κ, Α, Λ, Β να είναι τετράγωνο. Μ ον ά δ ε ς 6 Επαναληπτικές εξετάσεις 201 1

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: 2

257.

z 1  z  1  4

(1)

w  5w  12

(2)

Β1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = 1. Μονάδες 6 Β2. Αν z1 , z2 είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z μ ε z1  z 2  2 τ ό τ ε , ν α β ρ ε ί τ ε τ ο z1  z 2 . Μονάδες 7 Β3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη με εξίσωση

x 2 y2  1 και στη συνέχεια να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη 9 4 τιμή του w. Μονάδες 6 Β4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z , w που επαληθεύουν τις σχέσεις (1) και (2) να αποδείξετε ότι: 1≤ z - w≤4. Μονάδες 6 Πανελλήνιες Εξετάσεις 2012

Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z , μ ε z ≠ - 1 γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ο αριθμός w = 258.

z1 είναι φανταστικός. z 1

Να αποδείξετε ότι: Β1. |z|=1. Μ ον ά δ ε ς 7 4

 1 Β 2 . O α ρ ι θ μ ό ς  z   ε ί ν α ι π ρ α γ μ α τ ι κό ς .  z Μ ον ά δ ε ς 6

71 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

1

Β3. 

 z1



1   z  z   4 ό π ο υ z 1 , z 2 δ ύ ο α π ό το υ ς π α ρ α π άν ω μ ι γ α δ ι κο ύ ς z2  1 2

αριθμούς z. Μ ον ά δ ε ς 6 Β4. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών u, για τους οποίους ισχύει

i u  ui =  w , w ≠ 0 α ν ή κ ο υ ν σ τ ην υ π ε ρ β ο λ ή x 2 -y 2 = 1 . w Μ ον ά δ ε ς 6 Ε π αν α λ η π τ ι κ έ ς Ε ξ ε τ ά σ ε ι ς 2 0 12

Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ε ι : (z − 2)(

z−

2) +

z2 =

B 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τό π ο ς τ ω ν ε ι κ ό νω ν τω ν μ ι γ α δ ι κώ ν z , ε ί ν α ι κ ύ κ λ ο ς μ ε κ έ ν τ ρ ο K ( 2 , 0 ) κ α ι α κ τ ί ν α ρ = 1 . ( μ ο ν άδ ε ς 5 ) Σ τ η σ υ ν έ χ ε ι α , γ ι α κ ά θ ε μ ι γ α δ ι κό z π ο υ α ν ή κ ε ι σ τ ο ν π α ρ α π ά ν ω γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο , να α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι

259.

z  3.

( μ ο ν άδ ε ς 3 ) Μ ον ά δ ε ς 8 B 2 . Α ν ο ι μ ι γ α δ ι κο ί α ρ ι θ μ ο ί z 1 , z 2 π ο υ α ν ή κ ο υ ν σ τ ο ν π α ρ α π ά ν ω γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο ε ίν α ι ρ ί ζ ε ς τ η ς ε ξ ί σ ω σ η ς w 2 + β w + γ = 0 , μ ε w μ ι γ α δ ι κό α ρ ι θ μ ό , β , γ

 R , κ α ι Im(z1)  Im(z 2 )  2

τότε να αποδείξετε ότι: β = − 4 και γ = 5 Μ ον ά δ ε ς 9 B 3 . Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς α o , α 1 , α 2 ο ι ο π ο ί ο ι α ν ή κ ο υ ν σ τ ο ν γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό τ ό π ο το υ ε ρ ω τ ήμ α το ς Β 1 . Α ν ο μ ι γ αδ ι κ ό ς α ρ ι θ μ ό ς v ι κ α ν ο π ο ι ε ί τ η σ χ έ σ η : v 3 + α 2 v 2 + α 1 v + α 0 = 0 τ ό τ ε ν α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι :

v 4

Μ ον ά δ ε ς 8 Π α ν ε λ λ ήν ι ε ς Ε ξ ε τ ά σ ε ι ς 2 0 1 3

72 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Δίνεται η εξίσωση 2

+ (z +

z )i

- 4 - 2i = 0, z∈ℂ.

B1.

Ν α λ ύ σ ε τ ε τ η ν π α ρ α π ά ν ω εξ ί σ ω σ η . Μ ον ά δ ε ς 9 B 2 . Α ν z 1 = 1 + i κ α ι z 2 = 1 - i ε ί ν α ι ο ι ρ ί ζ ε ς τ η ς π α ρ α π ά νω ε ξ ί σ ω σ ης , τ ό τ ε 260.

να αποδείξετε ότι ο αριθμός

z  w  3 1   z2 

είναι ίσος με -3i

Μ ον ά δ ε ς 8 B 3 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ετ ρ ι κ ό τ ό π ο τω ν ε ι κ ό ν ω ν τω ν μ ι γ α δ ι κώ ν αριθμών u για τους οποίους ισχύει

u  w  4z1  z2  i

ό π ο υ w , z 1 , z 2 ο ι μ ι γ α δ ι κο ί α ρ ι θ μ ο ί τ ο υ ε ρ ω τ ήμ α το ς Β 2 . Μ ον ά δ ε ς 8 Π α ν ε λ λ ήν ι ε ς Ε ξ ε τ ά σ ε ι ς 2 0 1 4

Θεωρούμε τους μ ιγαδικούς αριθ μούς z και w για τους οποίους ισ χύουν:  

w

2z  i , 2z  i

z 

i 2

w φανταστικός

B 1 . Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθ μών z, είναι ο κ ύ κλος με κέν τρο τ ην αρχή των 261.

αξόνων και ακτί να ρ=

1 1 , εκτός απ ό το σημείο M(0 , - ), 2 2

το υ

κύκλου Μονάδ ες 10 B 2 . Από τους παρ απάνω μιγαδικο ύς αριθ μούς z, του ερ ωτήματος Β1, να βρείτε εκεί νο υς για τους οπο ίους ισχύει |w | = 1. Μονάδ ες 8 B 3 . Αν είναι z = Μονάδ ες 7

1 , τότε να αποδείξετε ότι w 4 + i w 7 = 0 2

Ε π αν α λ η π τ ι κ έ ς Ε ξ ε τ ά σ ε ι ς 2 0 1 4

73 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Α 1.1 Ισότητα μιγαδικών – Re(z) – Im(z) α) α=15 , β=-5 β) α=24 , β=10 1.

γ) α=2,β=1 ή α=-9 , β=

25 3

δ) α=2 , β=-11 ε) α=3 , β=4 στ) α=6 , β=-4 Να βρεθεί το πραγματικό και το φανταστικό μέρος των μιγαδικών: α) Re(z1 )=1 , Im(z1)=1 2.

9 4 , Im(z2) = 5 5 2y γ) Re(z3 )=0 , Im(z3) = 2 x  y2 β) Re(z2 )=

δ) Re(z4 )= 1 , Im(z4) = 0 α) x=-19 , y=7 3.

4 2 , y= 3 3 1 1 γ) x=  , y= 6 6 β) x=

π 4

x=1 , y=5

x=22 , y=-2

A = 3 

5 3α 2 1 i , B = -14i , Γ = 2α 2

74 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Α 1.2 Συζυγείς μιγαδικοί – Πράξεις 8.

α) - i , β)

1 5 1 i , γ)  i , δ) 1-2i 5 26 26

α) 6+0i , β) 0-2i , γ) 0+i , δ) i , ε) -3-4i , στ) 3-2i , ζ) 9. η)

10.

3 3  i 2 2

1 3 2  3  i 2 2

α) χ=4 y=2 ή x=2 y=4 β) x=1 y=-1 ή x=2 y=1

11. β) x=1

13. w = z2 + 2z

Α 1.3 Γεωμετρική παράσταση μιγαδικού 14. β) z4=-2 + 2i

Α 1.4 Δυνάμεις του i και δυνάμεις του 1+i και του 1-i Δυνάμεις του z

1 1  i  16. Α = 2 , B =  i 0 0 1  i  17. S =  i 0

1 9 . A = 2  1

, αν ν = 4π , αν ν = 4π+1 , Γ = 0 , αν ν = 4π+2 , αν ν = 4π+3

, αν ν = 4π , αν ν = 4π+1 , αν ν = 4π+2 , αν ν = 4π+3

75 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

1 i  20. f (55)=-i , f (-25)=-i, f (3ν)=  1 i 21.

, αν ν = 4π , αν ν = 4π+1 . , αν ν = 4π+2 , αν ν = 4π+3

α) -128 β) ν = 4π+2 , πΝ

25. α) Να βρεθεί ο z3 = -1 και z6 = 1

Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: 2 6 . α ) 181006

β ) 21821

γ)





3  i  21452 δ ) 107

Α 1.5 Αντισυζυγείς 2 7 . 2  7i .

28. 0

29. ν = 4π + 2 , πΝ

Α 1.6 Βρες τον w ώστε: w2 = z

Να βρεθεί ο wC ώστε w2 = z, όπου : 32. α) w=2-i ή w=-2+i , β) w=2i ή w=-2i , γ) w  2  2 i ή w   2  2 i δ ) w = 3 - 2 i ή w = - 3 + 2 i , ε ) w  1  2 i ή w  1  2 i

34. Χρησιμοποιώντας την άσκηση 33 z = 6-6i .

76 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Α 1.7 Εξισώσεις

35.

α) z = 1 + 3i ή z = -1 - 3i β) z = 3 – 2i ή z = -3 + 2i

36.

α) z = -1 ή z = 1 + 2i ή z = 1-2i β) z = 6 + 5i ή z = -6 + 5i

37. Δείξε πρώτα ότι z3 = 1 και μετά ότι: z

2001

1 =2.

2001

38. β =-12 , γ=39

39.

α ) z  1 2 i β) κ = 0 , λ = -1

7 9 z  i 5 5 40.

α) αδύνατη στο R β) στο C η λύση είναι ο z.

41.

α) z = -1 – 4i β) z = 1+i ή z = -1+i

Α 1.8 Δείχνω ότι: zR

Δείχνω ότι: z:φανταστικός

49. ε1: y = -x-1 , ε2: y = x - 1

Α 1.9 Γεωμετρικοί τόποι

3 β) y = 1 γ) x=0 ή y=0 2 52. ε) y=0 ή y  3 x ή y   3 x

α) x 

δ) x=0 ή x  3 y  0 ή x  3 y  0

77 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

1

1

Κύκλος με κέντρο το K ,  και ακτίνα ρ = 53. 4 4 2 Α(0 , 1).

εκτός του σημείου

55. Ισοσκελής υπερβολή: y2 – x2 = 1.

α) η ευθεία: y 

3 x 1 β ) ο κ ύ κ λ ο ς : x 2 + y 2 = 1 2

56. γ) ο κύκλος: (x+1)2 + (y-2)2 = 1

x 2 y2  1 δ) η έλλειψη: 9 4

5 7 . x2 

y2 1 χωρίς το σημείο Α(0 , 2) 4

58. Η ευθεία: y = -2x-2 χωρίς το σημείο Α(-1 , 0)

59.

Ο κ ύ κ λ ο ς μ ε κ έ ν τ ρ ο Κ ( 4 , - 2 ) κ α ι α κ τ ί ν α ρ=2 2 , χ ω ρ ί ς τ ο σ η μ ε ί ο Α(6 , 0)

60. Η ευθεία: y = x – 1 χωρίς το σημείο Α(0 , -1) α) ο κύκλος με κέντρο Κ(-1 , 0) και ακτίνα ρ = 1 , χωρίς το σημείο 61. Α(-2 , 0) β) ο άξονας x΄x χωρίς το σημείο Α(-2 , 0) 62. Ο κύκλος με κέντρο το Κ(1 , 3) και ακτίνα ρ=1 63. Η παραβολή y2 = 4x

3 3  , 0  , δ: x   2 2 

64. C: y2 = 6x , E

65.

Τα σημεία του κύκλου με κέντρο K(2 , 2), ακτίνα ρ= 2 2 για τα οποία x0.

66. Η υπερβολή x2 – y2 = 1 78 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

67. Κύκλος με κέντρο Κ(-2 , -1) και ακτίνα ρ =

68. Κύκλος με κέντρο Κ(3 , 0) και ακτίνα ρ = 3

α) Οι ευθείες ε1: y=0 , ε2: x   69.

1  1  , 0 και ακτίνα ρ = 2  2 

β) Κύκλος με κέντρο K

 

70. Κύκλος με κέντρο K0 , 

71.

1 2

1   και ακτίνα ρ = 1 2 

Κύκλος με κέντρο το Κ(1 , 0) και ακτίνα ρ = 1 χωρίς το σημείο Ο(0 , 0)

72. Η ευθεία ε: y = x + 2 χωρίς το σημείο Α(-2 , 0)

 1

1

Κύκλος με κέντρο K ,   και ακτίνα ρ = 73. 6  2 Α(-1 , 0)

10 χωρίς το σημείο 6

α) Η ευθεία y = 0 χωρίς το σημείο Ο(0 , 0) ή ο κύκλος με κέντρο Κ(0 , 0) και ακτίνα ρ=2 β) Ο κύκλος με κέντρο Κ(1 , 0) και ακτίνα ρ=1 χωρίς το σημείο 74. Ο(0 , 0) γ) Η ευθεία ε: x = 0 χωρίς το σημείο Ο(0 , 0) ή ο μοναδιαίος κύκλος. δ) Η γραμμή x2 – y2 + 4x + 4y – 3 = 0 χωρίς το σημείο Α(-4 , 1)

Αν Μ(α , β) η εικόνα του w, τότε ο ζητούμενος γ.τ είναι η έλλειψη: 2 76. x

α2

77.



y2 1 β2

β) Η έλλειψη:

x2 1   α



y2 1 β  

1

79 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Α 2.1 Εύρεση Μέτρου

α) |z| = 5 78.

στ) |z| =

79. |z| =

β) |z| =1

α

γ) |z| = 1

 β 2  α 2  γ 2 

δ) |z| = 5

ε) |z| =1

β-γ

10 2

3 3 4 1 80. |v| = 5 91 |w| = 2 |z| =

Α 2.2 Σχέσεις με μέτρα

α ) Ύψωσε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη και αξιοποίησε την ιδ ιότητα: 81.

z  z z 2

β ) Όμοια με το α)

82.

83.

Ύψωσε στο τετράγωνο και τα δύο μ έλη και αξ ιοποίησε την ιδ ιότητα:

z  z z 2

Ύψωσε στο τετράγωνο και τα δύο μ έλη και αξ ιοποίησε την ιδ ιότητα:

z  z z 2

84. z=-2-2i και |z|= 2 2

80 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

8 5 . Aξιοποίησε την ιδιό τητα: z  z  z 2

86.

β) i)

z1 + z 2 + z3 = z1 + z 2 + z3  z1 + z2 + z3  ... .

ii) Συνέχισε το προηγούμενο ερώτημα κάνοντας ομώνυμα…

87. Τετραγώνισε και τα δύο μέλη …

8 8 . z1 = z2 = 1 άρα z1  z και z2  z . Μ ε τ ά α ρ κ ε ί ν α δ ε ί ξ ε ι ς ό τ ι z  z . 1 2

8 9 . w  w  ...

90.

91.

Ύψωσε στο τετράγωνο και τα δύο μ έλη και αξ ιοποίησε την ιδ ιότητα:

z  z z 2

z - 9 = 3 z - 1 και μετά τετραγώνισε και τα δύο μέλη ... Σ υ ν έ χ ι σ ε τ η σ χ έ σ η z1 + z 2 2

9 2 . Σ τ η σ χ έ σ η : z1 + z2 = z1 - z2

= z1 - z 2

αξιοποιώντας την ιδιότητα: z  z  z . 2

τετραγώνισε και θα καταλήξεις σε κάτι που

ισχύει.

Είναι σωστό ή λάθος ότι : 95. α) Λάθος β) Λάθος

97. β)

γ)

9 8 . z1 = z2 = 1 άρα z1  z και z2  z . Μ ε τ ά α ρ κ ε ί ν α δ ε ί ξ ε ι ς ό τ ι : w  w 1 2

99.

Ύψωσε στο τετράγωνο και τα δύο μ έλη και αξ ιοποίησε την ιδ ιότητα:

z  z z 2

81 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

100.

α) z = 3+4i β ) 2200

101.

α) α =-1 και β = 2 β) ii) z=1.

z1 = z2 = 1 άρα z1  102.

1 1 και z2  z1 z2

α ) z 1 + z 2 - z 1 z 2 + 1 = 0 ά ρ α κ α ι z1  z 2  z1z 2  1  0...... β z1=i ,z2 = -i ή

z1=-i ,z2 = i

γ ) | z 1 + z 2 - z 1 z 2 + 1 | = z1  z 2  z1z 2  1 = … .

Ο άξονας x΄x χωρίς το σημείο Ο(0 , 0) ή ο κύκλος με κέντρο Ο(0 , 0) και ακτίνα ρ=2. 104.

1 1 1 z  1 z z      z1  z 2  z3   1  2  3    z1  z 2  z3  z1  z 2  z 3 .... z z z 4 4 4 4  2 3   1



α) (z1 + z2 + z3) 

β) Θέλεις να δείξεις ότι:



1 z z  z2z3  z1z3  z1  z2  z3 . Μ ε τ ά δ ο ύ λ ε ψ ε 2 1 2

όπως στην άσκηση 86

Α 2.3 Εξισώσεις

105.

α) β= 2 και γ=-3. β) z1 = 1 + i και z2 = 1 - i.

106.

z = 4 +3i.

107.

z = -1 + i ή z = -1 – 3i

Έστω ότι υπάρχει α  R-{1} τέτοιο , ώστε η εξίσωση:

 1 + α i , ν  Ν , z  C , ν α έ χ ε ι π ρ α γ μ α τ ι κ ή λ ύ σ η z = x  R . α+i 108.  1+αi Φ ό ρ ε σ ε μ έ τ ρ α σ τ η σ χ έ σ η 1 iz   και θα καταλήξεις σε άτοπο. α+i 

1 iz

82 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

109.

Φόρεσε μέτρα στην : (iz – 2)ν = w(z + 2i)ν ….

Α 2.4 Ανισώσεις – Μέγιστη , ελάχιστη τιμή μέτρου

110.

112.

114.

m a x { | z - 1 + 2 i | } = 5  1 κ α ι m i n { | z - 1 + 2 i | } = 5  1.

Τ ε τ ρ α γ ώ ν ι σ ε κ α ι τ α δ ύ ο μ έ λ η τ η ς : | z 1 - z 2 | < | 1 - z1 z 2 | κ α ι θ α καταλήξεις σε κάτι που ισχύει .

α ) m a x { | z 1 + z 2 | } = 2 0 + 41 κ α ι m i n { | z 1 + z 2 | } = 2 0 β) max{|z2-1|}=21 και min{|z2-1|}=19. γ) max{|z|}=

41 .

41 + 1 κ α ι m i n { | z | } = 41 - 1

116.

Βρες τα σημεία τομής του κυκλικού δίσκου και του κύκλου που σου δίνει στα δεδομένα , καθώς και το σημείο τομής με τον x΄x.

117.

α) i) max{|z2-5i|}=7 για z2=-2i ii) min{|z2-5i|}=3 για z2=2i

118.

Θεώρησε z1 = x1 + α i και z2 = x2 + α i. Τότε f(x1)=|z1| και f(x2)=|z2| ……..

α ) Δ = - 4 z1 z2  1  0....... 2

119.

β) -|z1 – z2|

β. z1 = 3i

και z2 =

1 i 3  

5 3

γ . Κ ύ κ λ ο ς μ ε κ έ ν τ ρ ο τ ο K  3,  κ α ι α κ τ ί ν α ρ = 120.

δ. max{|w-2+i|} = 7 και min{|w-2+i|} = ε . m i n { z  z2 } =

4 3





4 . 3

13 3

2 1 . 83

Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

121.

α) α=-6 , β=13 , z2= 3-2i. β) 4

122.

Β. Εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας

123.

m a x { z  8i } = 1 2 κ α ι m i n { z  8i } = 8 .

125.

2|z|=|2z|=|(z+1)2-(z2+1)| ……

126.

Τετραγώνισε και τα δύο μέλη, θα καταλήξεις σε κάτι που ισχύει.

127.

max{|z1 – z2|}=8 και min{|z1 – z2|}=2.

128.

Πρέπει z2 – 3z + 2 R , άρα….

Α 2.5 Παράσταση στο μιγαδικό επίπεδο

129.

α) Κύκλος με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=3 β) Κύκλος με κέντρο Κ(1,-3) και ακτίνα ρ=1 γ) Κυκλικός δίσκος με κέντρο Κ(5,0) και ακτίνα ρ=5 δ) Τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ( -2,-1) και ακτίνα ρ=2 ε) Κύκλος με κέντρο Κ(3,-2) και ακτίνα ρ=1 στ) Τα σημεία και τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ(2,0) και ακτίνα ρ=1 ζ) Τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ(0,1) και ακτίνα ρ=1

84 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

Α 2.6 Γεωμετρικοί τόποι

α) Η ευθεία ε:y=2x+7 130.

β) z  

131.

z=3+9i ή z=-1-3i

14 7  i 5 5

α) x  1 β) y  2 132.

γ) x 

1 εκτός του σημείου Α(1,0) 2

δ) Τα σημεία και τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ(0, 1) και ακτίνα ρ1=4 και τα σημεία και τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ(0,-1) και ακτίνα ρ2=3.

133.

α)Κύκλος με κέντρο Κ(3,-3) και ακτίνα ρ= 2 . β)w1=4-4i και w2=2-2i.

134.

α) ε: 4χ + 3y – 41 = 0. β) χ2 + (y+3)2 = 25 γ) min{|z-w|} = 5

135.

Αρκεί να δείξεις ότι |z1-z2|=|z2-z3|=|z3-z1|…..

136.

Κύκλος με κέντρο Κ(1,0) και ρ=6.

137.

Αρκεί να δείξεις ότι |w|=1.

141.

Κέντρο K ,  και ακτίνα ρ=

142.

α) Κύκλος με κέντρο Κ(0,0) και ακτίνα ρ=

7 4

1 4

3 4

1 2 85

Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

 1  2

 

143.

y2=-2x , εστία Ε   ,0 και δ ιευθετο ύσα δ : x 

144.

Κύκλος με κέντρο K  ,2 και ακτίνα ρ=

145.

C: (x-3)2 + (y+1)2 = 16 , ε: y = 3.

146.

x2  y2  1 25

147.

z

24 6  i 5 5

7 2

 

1 . 2

3 . 2

x 2 y2 148. Η έλλειψη:  1 81 32

149.

z  2i  z  2i

x2 1 , y-1.  2 , Η υπερβολή y  3 2

150.

Κύκλος με κέντρο Κ(1,3) και ακτίνα ρ=

151.

α) Ανήκει σε κύκλο με κέντρο Κ(α,0) και ακτίνα ρ=1. β) α=2.

1  2 

α ) Κ ύ κ λ ο ς μ ε κ έ ν τ ρ ο K  ,1 κ α ι α κ τ ί ν α ρ = 152. β) max{|z|} =

153.

3 5 και min{|z|} = 2

5 . 2

|z|=3 ….. 86

Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

154.

 1  2

3 2

α) Κύκλος με κέντρο K ,  και ακτίνα ρ=3. β) Κύκλος με κέντρο Κ(-3,0) και ακτίνα ρ=2 .

2 4 5 5

α) Κύκλος με κέντρο K ,  και ακτίνα ρ= 155.

β) Η ευθεία ε: x-y-4=0. γ) min{ |z – w|}=

156.

2 10 . 5

α) Η έλλειψη:

11 2  2 10 . 5

x 2 y2  1. 16 25

β) min{|z1-z2|}=10 , max{|z1-z2|}=8.

y2 x 2  1 με y  -3. α) Η υπερβολή 158. 9 7 β) z=-3i.

159.

Κύκλος με κέντρο Κ(0,-1) και ακτίνα ρ=2….

160.

Κύκλος με κέντρο K ,  και ακτίνα ρ=1.

162.

α) c: χ2 + (y-1)2 = 1 β) ε: y = -2

163.

β) |z|=1 , |w|=1 …...

164.

 3 4  5 5

α ) c:

x 2 y2   1. 3 4

β) max{|w1 – w2|}=2α=4

165.

y=2x2 – 1. 87

Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Μ ι γα δικο ί Αρι θμ οί

166.

α) Ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Κ( -2,0) και ακτίνα ρ=

x 2 y2   1. α) C1 : 4 3 167. 7 3 15 i β) z   4 4

88 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 93 1 19 13 – www .k e n tr om e let is .ed u . gr