Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου by MICHAEL MAGKOS

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

● Σύνολα αριθμών α) Το σύνολο των φυσικών αριθμών : Ν = { 0 , 1 , 2 , ... , ν , .... } . β) Το σύνολο των ακεραίων αριθμών: Ζ = { ..., - ν , ... , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , ... , ν , ... } . γ) Το σύνολο των ρητών αριθμών : Q={

α / α , β  Ζ και β  0 } . β

δ) Το σύνολο των πραγματικών αριθμών: R ( είναι η ένωση των συνόλων των ρητών και των άρρητων αριθμών ) .

N  Z  Q  R.

Τα σύνολα Ν - {0} , Ζ - {0} , Q - {0} , R - {0} συμβολίζονται συντομότερα : Ν *, Ζ *, Q *, R * . ● Διαστήματα [ α , β ] = { x  R / α  x  β } ( κλειστό διάστημα ) ( α , β ) = { x  R / α < x < β } ( ανοικτό διάστημα ) [ α , β ) = { x  R / α  x < β } ( κλειστό - ανοικτό διάστημα ) ( α , β ] = { x  R / α < x  β } ( ανοικτό - κλειστό διάστημα )

( α , + ) = { x  R / x > α }  [ α , + ) = { x  R / x  α }  Μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α (- ,α)={x  R/x<α} ( -  , α ] = { x  R / x  α } R=(-,+). ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

α) α ν = α  α      α , α1 = α , α0 = 1 ( με α  0 ) . ν - παράγοντες

β) α- ν =

1 ,α0 . αν

γ) αμ  α ν = αμ + ν ,

αμ = αμ - ν . ν α

δ) ( α  β ) ν = α ν  β ν , (

α ν αν ) = ν . β β

ε) ( αμ ) ν = αμν .

 1 , αν ν : άρτιος - 1 , αν ν : περιττός

στ) 1ν = 1 , ( - 1 ) ν = 

ζ) Αν α = β , τότε : α ν = β ν , ν  Ζ . η) Αν ν : περιττός , τότε : α ν = β ν  α = β . Αν ν : άρτιος , τότε : αν = βν  α = β . θ) Αν 0 < α  1 , τότε : α κ = α μ  κ = μ . ● ΠΡΟΣΟΧΗ α2 + β2 + γ2 +...+ ν2 = 0  α = 0 και β = 0 και γ = 0 ... και ν = 0.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

( α + β )2 = α2 + 2αβ + β2 ( α - β )2 = α2 - 2 αβ + β2 α 2 - β2 = ( α + β ) ( α - β ) ( α + β + γ )2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ ( α + β )3 = α3 + 3α2β +3αβ2 + β3 ( α - β )3 = α3 - 3α2β + 3αβ2 - β3 α3 + β3 = ( α + β ) ( α2 - αβ + β2 ) α3 - β3 = ( α - β ) ( α2 + αβ + β2 ) αν - βν = (α - β) (αν-1+ αν-2β + αν-3β2 + ...... + αβν-2 + βν-1) α2κ+1 + β2κ+1 = (α + β) (α2κ - α2κ-1β + ........ - αβ2κ-1 + β2κ)

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

α)

α>β  α-β>0 , α  β  α-β  0 , α<β  α-β<0 , α  β  α-β  0.

β)

α2  0

γ)

δ)

ε)

α > β  , τότε α > γ . και β > γ 

Αν

α>β  α γ>β γ.

α > β  αγ > βγ  Αν γ > 0 , τότε :  α β . α > β  >  γ γ  α > β  αγ < βγ  Αν γ < 0 , τότε :  α β . α > β  <  γ γ 

στ)

Αν α , β ομόσημοι , τότε : α > β 

ζ)

Αν α , β > 0 , τότε : α > β  α2 > β2 . Αν α , β < 0 , τότε : α > β  α2 < β2 .

η)

α > β  α3 > β3 .

θ)

ι)

1 1 < . α β

Αν α > β   , τότε : α + γ > β + δ . και γ > δ  Αν α , β , γ , δ > 0 με

α > β  , τότε : αγ > βδ . γ > δ

● ΠΡΟΣΟΧΗ Δεν αφαιρούμε ούτε διαιρούμε ανισότητες κατά μέλη .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

 α , αν α  0 .  - α , αν α < 0

α) α = 

β)

α = -α , α

 0 , για καθε α  R .

x-y = y-x

γ) α

= α2 ,

α2 = α .

δ) α + β = 0  α = 0 και β = 0 . ε)  α  α  α για καθε α  R . στ) Αν α > 0 και x = α  x =  α . ζ) x = α  x =  α . η) x  y = x  y θ)

ι)

και

x x = για y  0 . y y

x+y  x + y x-y

 x + y

x  θ  - θ  x  θ , με θ > 0 x  θ  x  - θ ή x  θ , με θ > 0

● ΠΡΟΣΟΧΗ

α + β + γ = 0  α = 0 και β = 0 και γ = 0 .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

α = β  α = β2 ,

α) ν

β)

α 

ε)

στ)

α > νβ α,β  0 .

α ν = α , α  0 και

ν μ

νρ

μ ν

α =

α α  0 και β > 0 β

γ) α > β  δ)

α = β  α = β ν , α , β  0 και ν  Ν* .

β = να  β ,α,β  0

α = ν β

νμ

2κ

α2κ = α , α R .

α , α  0. .

αμρ = ν αμ .

ζ) α =

αμ , α  0 και μ , ν  Ν*. .

● ΠΡΟΣΟΧΗ

α + β + γ = 0  α = 0 και β = 0 και γ = 0 .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

α) Ανισώσεις 1ου βαθμού ( α x > β ή α x < β ) Παράδειγμα

3x-1 1-2x  2 3 ( 3 x - 1 )  12 - 2 ( 1 - 2 x )  2 3 13 9 x - 3  12 - 2 + 4 x  5 x  13  x  5 β) Ανισώσεις 2ου βαθμού (α x 2 + β x + γ > 0 ή α x 2 + β x + γ < 0) Παραδείγματα 1) x2 - 4x < - 3  x2 - 4x + 3 < 0 . Ρίζες : x1 = 1 , x2 = 3 . Πίνακας προσήμων :



- 0

x2 - 4x + 3

 +

Άρα x  ( 1 , 3 ) ή 1 < x < 3 .

2) - x2 + 4x - 4 < 0 . Δ = 0 , διπλή ρίζα : x = 2 . Πίνακας προσήμων : x



- x2 + 4x - 4 Άρα x  ( 





,2)

 (2,  

3) x2 - x + 1 > 0 . Δ = - 3 < 0 .

Πίνακας προσήμων : x   2 x -x+1 + Άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε x R .

γ) Ανισώσεις με βαθμό  3 . Μεταφέρουμε όλους τους όρους σε ένα μέλος. Αναλύουμε σε γινόμενο το μέλος αυτό. Φτιάχνουμε πίνακα προσήμων . ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Παράδειγμα x3



3x - 2



x3 - 3x + 2

Σχήμα Horner 1 0 -3 2 1





( x - 1 ) ( x2 + x - 2 )



x x-1



1 -2 x2 + x - 2

-2



1 -2

0 Γιν .

Άρα x [ - 2 ,



δ) Ρητές ανισώσεις

f(x)  0  f (x)  g (x)  0 και g (x)  0 . g(x) Παραδείγματα

3x - 6  0  x - 4x + 3 1) ( 3x - 6 ) ( x 2 - 4x + 3 )  0 και x 2 - 4x + 3  0  2

( 3x - 6 ) ( x 2 - 4x + 3 )  0 και x  1 και x  3 . x



3x - 6

x2 - 4x + 3

Γιν . Άρα x  ( 



,1)



0 +

+ 0

+ +

 [2,3).

2x 2x 2x - x + 1 <1  -1<0  <0  x-1 x-1 x-1 2) x+1 < 0  ( x + 1 ) ( x - 1 ) < 0  x2 - 1 < 0 . x-1 10

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

x x2 - 1 Άρα



-1 +

0 -



1 0

x ( - 1 , 1 ) .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Εκθετική συνάρτηση : f(x) = α x , 0 < α  1 .

αx > 0 για κάθε x R . Αν α x1 = α x2 , τότε x1 = x 2 . Αν α > 1

, τότε : α x1 < α x2  x1 < x 2 .

Αν 0 < α < 1 , τότε : α x1 < α x2  x1 > x 2 . Ο αριθμός e είναι άρρητος και είναι e

f(x) = αx , α > 1

 Πεδίο ορισμού : R  Σύνολο τιμών : (0 , +)  Είναι γνησίως αύξουσα στο R δηλ για κάθε x1 , x2 R ισχύει: αν x1 < x2 , τότε  x1   x2  Γραφική παράσταση:

Α(0,1)

 2 , 71828.....

f(x) = αx , 0 < α < 1

 Πεδίο ορισμού : R  Σύνολο τιμών : (0 , +)  Είναι γνησίως φθίνουσα στο R δηλ για κάθε x1 , x2 R ισχύει: αν x1 < x2 , τότε  x1   x2  Γραφική παράσταση:

Α(0,1)

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Λογαριθμική συνάρτηση : f(x) = logαx . Θα πρέπει : x > 0 και 0 < α  1 . Ο log  είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να βρούμε το θ.

 x    x  log  , 1    0    0 Αν 1    0   ,1,2  0     log  x  x 1. log 12   log 1  log 2  alog     log 1  0   2. log  1   log 1  log  2  log   1  2  3. log     log  Δεκαδικοί λογάριθμοι

Φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι

log  x  10 x  

ln  x  e x  

Αλλαγή βάσης

  ,   0   ,   1 ,  ό   ά   0 : log   

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

log  log 

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

f ( x)  log x ,   1

f ( x)  log x , 0<  1

 Πεδίο ορισμού : (0 , +)  Σύνολο τιμών : R  Είναι γνησίως αύξουσα στο R δηλ για κάθε x1 , x2 R ισχύει: αν x1 < x2 , τότε log x1  log x2

 Πεδίο ορισμού : (0 , +)  Σύνολο τιμών : R  Είναι γνησίως φθίνουσα στο R δηλ για κάθε x1 , x2 R ισχύει: αν x1 < x2 , τότε log x1  log x2

 Γραφική παράσταση:

Α(1,0)

Ισχύει η ισοδυναμία:

Α(1,0)

log x1  log x2  x1  x2

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Αντίθετες γωνίες ημ(-x) = -ημx συν(-x) = συνx εφ(-x) = - εφx σφ(-x) = - σφx

Παραπληρωματικές γωνίες ημ(π-x) = ημx συν(π-x) = -συνx εφ(π-x) = -εφx σφ(π-x) = -σφx

Συμπληρωματικές γωνίες

Γωνίες που διαφέρουν κατά π ημ(π+x) = -ημx συν(π+x) = -συνx εφ(π+x) = εφx σφ(π+x) = σφx

π   x  = συνx 2  π  συν   x  = ημx 2  π  εφ   x  = σφx 2  π  σφ   x  = εφx 2  ημ 

Τριγωνομετρικές ταυτότητες ημ2x + συν2x = 1 σφx =

συνx ημx

εφx =

ημx συνx

εφx σφx = 1

1 + εφ2x =

1 συν 2 x

Οι συναρτήσεις f(x) = ρ ημωx , g(x) = ρ συνωx Είναι περιοδικές με περίοδο Τ = Μέγιστη τιμή : ρ

2π ω

Ελάχιστη τιμή : -ρ

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Τριγωνομετρικές Εξισώσεις ημx = ημα  x = 2κπ + α ή x = 2κπ + π – α ,κ Z συνx = συνα  x = 2κπ + α ή x = 2κπ – α ,κ  Z εφx = εφα  x = κπ + α , κ Z σφx = σφα  x = κπ + α , κ Z Ειδικές περιπτώσεις ημx = 0  x = κπ , κ  Ζ συνx = 0  x = κπ +

π , κ Ζ 2

ημx = -ημα  ημx = ημ(-α)  …….. συνx = -συνα  συνx = συν(π-α)  .. εφx = -εφα  εφx = εφ(-α)  …….. σφx = -σφα  σφx = σφ(-α)  …….

      ..... 2    εφx = σφα  εφx=εφ      ....... 2  ημx = συνα  ημx=ημ 

Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί Σε Σε rad ημω συνω εφω μοίρες

σφω

Δεν ορίζεται

300 450 600 900 1800

 6  4  3  2

1 2

3 2 2 2 1 2

Δεν ορίζεται

-1

Δεν ορίζεται

2 2 3 2

3 3

3 1

3 3

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Αριθμητική Πρόοδος

Γεωμετρική Πρόοδος

Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού.

Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό.

αν+1 = αν + ω ή

αν+1 = αν  λ

αν+1 - αν = ω

 1  

αν = α1 + (ν – 1)ω

αν = α1  λν-1

α , β , γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής

α , β , γ  0 διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν  2  

προόδου αν και μόνο αν  

S 

 2

1    =



  2

 21    1  2

  1 S  1  ,  1  1

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

1. Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας α. λ = εφω, όπου ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξοινα x΄x,

ω

π . 2

β. Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2): λ =

y 2 - y1 x 2 - x1

2. Συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας ευθειών ε1 // ε2 ⇔ λ1 = λ2

και

ε1 ⊥ ε2 ⇔ λ1λ2 = -1

3. Εξίσωση ευθείας α. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(x0 , y0) και έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y - y0 = λ ( x - x 0 ) β. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) είναι: y - y1 =

y2 - y1 ( x - x1 ) x 2 - x1

γ. Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας Αx + By + Γ = 0 , με Α ≠ 0 ή Β ≠ 0 με λ = -

A (αν Β ≠ 0) B

γ1. Η ευθεία με εξίσωση Αx + By + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα: δ = ( Β , - Α) .

γ2. Η ευθεία με εξίσωση Αx + By + Γ = 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα: δ΄ = ( Α , Β) .

4. Απόσταση του σημείου Μ(x1 , y1) απ’ την ευθεία ε: Ax+By+Γ=0: d(M, ε) =

Αx1 + By1 + Γ Α 2 + Β2

5. Εμβαδόν (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ:    =

  1 det ( ΑB , ΑΓ) 2

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Α. Ο ΚΥΚΛΟΣ Κέντρο κύκλου

Εξίσωση κύκλου

Εξίσωση εφαπτομένης στο Α(x1 , y1)

O(0 , 0)

C : x2 + y2 = ρ2

ε : xx1 + yy1 = ρ2

Μ(x,y)

Α(x1,y1) ε

Κ(x0 , y0)

C : (x – x0)2 + (y – y0)2 = ρ2

Έστω Μ(x , y) σημείο της ε , τότε:         0 

(x1-x0 , y1-y0)(x-x1,y-y1)=0  (x1-x0)(x-x1)+(y1-y0)(y-y1)=0 η τελευταία είναι και η εξίσωση της εφαπτομένης.

  ,    2  2



C : x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 με Α2 + Β2 – 4Γ > 0 Α +Β -4Γ 2

Ακτίνα : ρ=

Η εξίσωση της εφαπτομένης βρίσκεται με τον ίδιο τρόπο όπως παραπάνω.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Σχετική θέση σημείου - κύκλου

Μ Μ

(ΚΜ) > ρ

(ΚΜ) = ρ (ΚΜ) < ρ

Σχετική θέση ευθείας - κύκλου ε

ε ε Κ

Κ Κ

d(K,ε) < ρ

d(K,ε) = ρ

d(K,ε) > ρ

Σχετική θέση δύο κύκλων Κ

(KΛ) > R+ρ

R-ρ

(ΚΛ) = R+ρ

< (ΚΛ) < R+ρ

Κ Λ Λ

(ΚΛ) =

R-ρ

(ΚΛ) <

R-ρ

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Β. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ 2

y =2px p>0 , x  0

,0) , δ:x= 

p 2

) , δ:y= 

,0),δ:x= 

E(0,

y =2px p<0 , x  0 Ε(

x =2py p>0 , y  0

p 2

x =2py p<0 , y  0 E(0,

),δ:y= 

Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής y =2px στο Α(x 1 , y 1 )είναι: y y 1 =p(x + x 1 ) 2

Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής x =2py στο Α(x 1 , y 1 ) είναι: x x 1 =p(y + y 1 ) .

Γ. Η ΕΛΛΕΙΨΗ πλάγια Β(0,β) Ε΄ Α(α,0)

Α(α,0)

Β΄(0,-β)

Α(0,α) 2

x y  2 1 2 α β

Ε Β΄(-β,0)

E(γ,0) Ε΄(-γ,0) 2

β =α -γ

Ε΄

Β(β,0)

Α΄(0,-α)

ορθή

x 2 y2  1 β2 α2 Ε(0,γ) Ε΄(0,-γ) 2

β =α -γ

Αν ο α , που είναι ο μεγαλύτερος απ’ τους παρονομαστές , βρίσκεται κάτω απ’ το x , τότε η έλλειψη είναι 2

πλάγια , ενώ αν βρίσκεται κάτω απ’ το y είναι ορθή.

Εκκεντρότητα έλλειψης

ε=

γ α

 Δύο ελλείψεις με την ίδια εκκεντρότητα είναι όμοια σχήματα και λέγονται όμοιες .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Εφαπτομένη έλλειψης Η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης

Η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης

xx1 yy1 x 2 y2 στο Μ(x ,y ) είναι:  2 1   1 1 1 α2 β2 α2 β x 2 y2 xx1 yy1  2  1 στο Μ(x 1 ,y 1 ) είναι:  2 1 2 β α β2 α

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Δ. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ x 2 y2  1 α2 β2

ε=

, β =γ - α



β α

x , y=-

ε=

Ε΄

β2 γ α

(αφού ε =

, β =γ - α

α β

x , y=-

Αν α = β η υπερβολή λέγεται ισοσκελής και έχει εξίσωση : x2 - y2 = α2 Έχει ασύμπτωτες τις y = x , y = - x δηλαδή τις διχοτόμους των αξόνων. Έχει εκκεντρότητα ε =

1

ασύμπτωτες



Ε(0,γ) Ε΄(0,-γ)

Α΄

ασύμπτωτες

α2

E(γ,0) Ε΄(-γ,0) Ε΄

α β

ή y2 - x2 = α2

2 α  β

= = = 2 2 α α α Το ορθογώνιο βάσης είναι τετράγωνο .

2α α

2).

Εκκεντρότητα υπερβολής γ ε=

>1.

Εφαπτομένη υπερβολής Η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής

Η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής

Α΄

Ο Μ

x 2 y2   1 στο Α(x 1 ,y 1 ) είναι: α2 β2 y2 x 2  1 στο Α(x 1 ,y 1 ) είναι: α2 β2

xx1 yy1  2 1 α2 β yy1 xx1 - 2 1 α2 β

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΒΑΣΗΣ Κ(α , β) , Λ(-α , β) , Μ(-α , -β) , Ν(α , -β) (ΟΑ) = α , (ΑΚ) = β , (ΟΚ) = γ

συνω =

α γ

1 ε

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

► Συνάρτηση είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. ► Πεδίο ορισμού συνάρτησης - Μεθοδολογία  Ό τ α ν μ α ς δ ο θ ε ί μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η το π ρ ώ τ ο π ο υ κ άν ο υ μ ε ε ί ν α ι ν α βρούμε το πεδίο ορισμού της . 1 . Ο ι π ο λ υ ω ν υ μ ι κ έ ς σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς έ χ ο υ ν π ε δ ί ο ο ρ ισ μ ο ύ τ ο R .

g(x) , μ ε g ( x ) , h ( x ) σ υ ν αρ τ ή σ ε ι ς , h(x) θα πρέπει : h(x)  0 (και x Dg  Dh) 2. Αν f(x) =



g ( x) μ ε g ( x ) ο π ο ι α δ ή π ο τ ε σ υ ν ά ρ τ η σ η , θα πρέπει : g(x)  0 και xDg 3. Αν f(x) =

4. Αν f(x) = ln(g(x)) ή f(x) = log(g(x)) θα πρέπει : g(x) > 0 και xDg 5. Αν f(x) = εφ(g(x)) θα πρέπει : g(x)  κπ +

π , κ Ζ 2

και xDg

Α ν f ( x ) = σ φ ( g ( x ) ) θ α π ρ έ π ε ι : g ( x )  κ π , κ Ζ κ α ι x  D g 6 . Α ν ο τ ύ π ος τ η ς f ( x ) ε ί ν α ι κ ά π οι ο ς σ υ ν δ υ α σ μ ό ς τ ω ν π α ρ α π ά ν ω περιπτώσεων τότε βρίσκουμε χωριστά τους πραγματικούς α ρ ι θ μ ο ύ ς x γ ι α το υ ς ο π ο ί ο υ ς κ άθ ε π α ρ ά σ τ α σ η έ χ ε ι ν ό η μ α π ρ α γ μ α τ ι κ ο ύ α ρ ι θ μ ο ύ κ α ι κ ά ν ο υ μ ε σ υ ν α λ ή θ ε υ σ η.

 f1 ( x) , x  A1 , τ ό τ ε : D f  1  2  f 2 ( x) , x   2

7 . Α ν f ( x)  

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

► Γραφική παράσταση συνάρτησης Γραφική παράσταση ή καμπύλη μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy λέγεται το σύνολο των σημείων Μ(x,f(x)) για κάθε x  A. 1. Πώς βρίσκουμε ότι μια καμπύλη παριστάνει συνάρτηση Αν μια ευθεία κάθετη στον άξονα x΄x τέμνει την καμπύλη σε δύο τουλάχιστον σημεία, τότε η καμπύλη δεν παριστάνει συνάρτηση (διότι σε ένα x αντιστοιχίζονται δύο τουλάχιστον y). 2. Πότε ένα σημείο Μ(α,β) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f Ένα σημείο Μ(α , β) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f , μόνο όταν f(α) = β. 3. Σημεία τομής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f με τους άξονες 1. Με τον x΄x : Λύνουμε την εξίσωση f(x) = 0. (Προσοχή οι λύσεις να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f) 2. Με τον y΄y : Λύνουμε την εξίσωση y = f(0). 4. Σημεία τομής δύο καμπυλών Αν f και g είναι δύο συναρτήσεις , τότε η επίλυση της εξίσωσης f(x) = g(x) θα μας δώσει τα κοινά σημεία των δύο καμπυλών. (Προσοχή οι λύσεις να ανήκουν στα κοινά σημεία των πεδίων ορισμού των f και g) 5. Για να βρούμε πότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x : λύνουμε την ανίσωση f(x) > 0 και x  Df . Για να βρούμε πότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x : λύνουμε την ανίσωση f(x) < 0 και x  Df . 6. Για να βρούμε πότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική της g : λύνουμε την ανίσωση f(x) > g(x) και x Df  Dg

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

► ΘΥΜΑΜΑΙ: Μια συνάρτη ση f λ έγεται άρτια στο Α αν και μ όνο αν -x  A

για κ άθε x A ισχ ύει: και

f(-x) = f(x) 

Μια συνάρτη ση f λέγετ αι περιττή στ ο Α αν και μό νο αν για κ άθε x Aισχύει:

-x  A  και f(-x) = - f(x) 

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

► Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων Α) f(x) = c

y=c

Β) f(x) = αx + β , α  0

y = αx + β α>0

y = αx + β α<0

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Γ) f(x) = αx2 , α  0

O y = αx α>0

y = αx2 α<0

Δ) f(x) = αx3 , α  0

y = αx3 α>0 O

y = αx3 α<0 O

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

f(x) =

α , α  0 και x  0 x

Ζ)

,α>0

,α<0

f ( x)  x , x  0 y

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Η) f(x) = ημx

y = ημx 1

0 -2π

2π

-π -1

Θ) f(x) = συνx

y = συνx 1

-2π

-π

2π

-1

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Ι) f(x) = εφx , x  κπ +

π ,κ Z 2

y = εφx

-π

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

► Ισότητα συναρτήσεων Δύο συναρτήσεις f και g θα είναι ίσες όταν: ● έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και ● για κάθε x  A ισχύει : f(x) = g(x) ► Πράξεις με συναρτήσεις α) Άθροισμα δύο συναρτήσεων Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδία ορισμού τα Df και Dg αντίστοιχα τότε η συνάρτηση f + g έχει πεδίο ορισμού το Df Dg και τύπο (f +g)(x) = f(x) + g(x). β) Διαφορά δύο συναρτήσεων Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδία ορισμού τα Df και Dg αντίστοιχα τότε η συνάρτηση f - g έχει πεδίο ορισμού το Df Dg και τύπο (f -g)(x) = f(x) - g(x). γ) Γινόμενο δύο συναρτήσεων Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδία ορισμού τα Df και Dg αντίστοιχα τότε η συνάρτηση f ·g έχει πεδίο ορισμού το Df Dg και τύπο (f ·g)(x) = f(x)·g(x). δ) Πηλίκο δύο συναρτήσεων Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδία ορισμού τα Df και Dg αντίστοιχα τότε η συνάρτηση

f έχει πεδίο ορισμού το Df  Dg – {x R / g(x) = 0} και τύπο g

f  f(x)  g  (x) = g(x)  

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

► Σύνθεση συναρτήσεων Αν f , g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Af και Ag αντίστοιχα τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g και τη συμβολίζουμε με g○f τη συνάρτηση με πεδίο ορισμού: Dg○f = {xAf / f(x)Ag} και τύπο: (g◦f)(x) = g(f(x)) ● Προσοχή Η g○f ορίζεται όταν Dg○f ≠  ► Στις ασκήσεις μ ε σύνθεση όπου: Α. Γνωρίζω την gof κα ι την f και ζη τάω τη g , τότε: 1. 2. 3.

Θέτω f(x) = ω και παίρνω περ ιορισμό αν χ ρειαστεί. Λύνω τη ν f(x) = ω ως πρ ος x. Αντικαθι στώ στο ν τύπο τη ς gof τη ν f(x) και το x.

Β. Γνωρίζω την gof και τη g και ζητάω τη ν f , τότε: 1. Θέτω στο ν τ ύπο της g όπου x το f(x ) . 2. Λύνω ως πρ ο ς f( x) και βρίσκω τ ον τ ύπο τη ς f . Π.χ Α6 σ ελ.148 σχολικού

Γ. Ψάχνω τη σ ύνθ εση f g δύο συνα ρτήσεων με κλάδους :  f (x) , x  A1  g (x) , x  B1 f (x)   1 και g(x)   1 f 2 (x) , x  A 2 g 2 (x) , x  B2 

Βρίσκω τις f1og1 ,f1og2 ,f 2og1 ,f 2og2 και ορί ζω τη f g αν όμως τα πεδία ορισμο ύ D f1og1 D f1og 2 D f 2 og1 D f 2 og 2 είναι διάφορ α το υ



ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

1.1 Πεδίο ορισμού συνάρτησης 1. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = 2x2 - 3x + 1 . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. β) Να υπολογίσετε τις τιμές f(-1) , f(0) , f(1) , f(2) , f(2x) και f(x + h). γ) Για ποιες τιμές του x είναι f(x) = 0 ; δ) Για ποιες τιμές του x είναι f(x) < 0 ; 2. Η εξίσωση x2 + y2 = 9 ορίζει συνάρτηση ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας . 3. Αν φ(θ) = ημ2θ - συν2θ , α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης φ.

π π  και φ   2 4

β) Να υπολογίσετε τις τιμές φ(0) , φ 

γ) Για ποιες τιμές της γωνίας θ  [0,2π] είναι φ(θ) = 0 ; 4. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ( x)  x5  3x  1

2 x7 iii) f ( x)  2 x  7 x  12 9x  2 v) f ( x)  2 x  x6 3 vii) κ(x) = 2 x +1 2 ix) f(x) = 1 - ημx

3x x2  1 5 iv) f ( x)  2 x  6x  9 x2 + 1 vi) g(x) = x -2 x6 viii) f(x) = x +x 2000 x) f(x) = 2 συνx - 1 ii) f ( x) 

5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού καθεμιάς από τις παρακάτω συναρτήσεις: i) f(x) = iii) f(x) = v) f(x) =

2-x 3

ii) f(x) = x 2 - 2x

x 2 - 3x + 2

iv) f(x) =

5-3x

vi) f(x) =

x+1- x 4 xx

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

vii) f(x) =

1 - x2 + x2 - 1

ix) f(x) =

2- x-1

xi) f(x) =

x+2 x-2

-x x+2 x) f(x) = x-2 x-1 xii) f(x) = -1 x+1 viii) f(x) =

6. Να βρείτε το πεδίο ορισμού καθεμιάς από τις παρακάτω συναρτήσεις: i) f(x) = ln(3 - x) ii) f(x) = lnx2

3-x   3 + x

iii) f(x) = ln(4 - |x|)

iv) f(x) = ln 

v) f(x) = ln(lnx) vii) f(x) = ln (4x - x 2 )

vi) f(x) = ln(x2 + 2x + 5) viii) f(x) = ln x - 2 - 4

ix) f(x) =



1 - lnx

xi) f(x) = lnx +

x) f(x) =

1 1-x



ex + 2e- x - 3

xii) f(x) = (x + 1)x

7. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i) f ( x) 

1821 1940  x7 4 12  x  2 x

4 x 2  16 x ii) f ( x)  x  3 1 iii) f ( x)  1  e x  ln( x  2)

(1  x 2 ) x iv) f ( x)  2 x  x 1





 5 x   2 x

v) f ( x)  ln 6  x  3  ln 

8. Να βρείτε το πεδίο ορισμού καθεμιάς από τις παρακάτω συναρτήσεις:

x 1

x 1 i) f ( x)  ln  4  x 

1  ii) f ( x)   x   x 

iii) f ( x)  ex + 2e- x - 3

iv) f ( x)  ln x  2  7





ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

v) f ( x) 

2 x x  x 1  7  x x 3

9. Δίνεται η συνάρτηση f(x) =

vi) f ( x) 

x +5 7    x  4 x - 5 x 3

7 x

1 . x

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

α +β  = 2f(α + β) .  2 

β. Να αποδείξετε ότι: f 

10. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f(x) = lnxκ κ  * , όταν: α. κ : άρτιος β. κ: περιττός 11. Για ποιες τιμές του α R η συνάρτηση f(x) =

1997x - 2015 έχει πεδίο ορισμού x2  α

το σύνολο R των πραγματικών αριθμών; 12. Για ποιες τιμές του α R η συνάρτηση f(x) =

1925x - 7 έχει πεδίο x 2 - 4x  (α  2)

ορισμού το σύνολο R των πραγματικών αριθμών;

1 x   1 x 

13. Έστω η f ( x)  log 

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

 x1  x2   για κάθε x1, x2 του πεδίου 1  x x  1 2 

β) Να αποδείξετε ότι f ( x1 )  f ( x2 )  f  ορισμού τους.

14. Για ποιες τιμές του λ  R η συνάρτηση f ( x)  2 x 2  x    3 έχει πεδίο ορισμού το R. 15. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: α) f ( x)  x3  27

β) f ( x)  x  3  4  x

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

 ex  1  γ) f ( x)  ln  x   e 1

δ) f ( x)  log( x 2  x  2)  log 

ε) f ( x)  e  1  1  ln x

 x2  5x  4  ζ) f ( x)  ln    x2 

 x 3   3 x 

16. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: α) f ( x) 

2 3x  7  x

β) f ( x)  ln( x  3)

γ) f ( x)  log x (4  x 2 )

δ) f ( x)  32 x  4  3x  3

ε) f ( x)  2ln x  ln 2 x

ζ) f ( x)  ( x  1) x1

1.2 Συναρτήσεις πολλαπλού τύπου

- x + 2 , x < 1 . 2x - 3 , x  1

17. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 

Να βρείτε τις τιμές : f(0) , f(1) , f(2) και f(-2) και το πεδίο ορισμού της f . 18. Να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής τον τύπο για κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις: i) f(x) = x - 1 ii) f(x) = 2 - x

iii) f(x) = - x 2 + x - 3

iv) f(x) = x 2 - 5x + 6

v) f(x) = x - x 3

vi) f(x) =

2x x-1

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

1.3 Γραφική παράσταση συνάρτησης 19. Ποιες από τις παρακάτω καμπύλες αποτελούν γραφικές παραστάσεις συνάρτησης f; Στις περιπτώσεις που αποτελούν συνάρτηση να βρείτε το πεδίο ορισμού Α και το σύνολο τιμών f(A) της συνάρτησης f. α) y

β) y

γ) y

δ) y 3

O -2 -1

2 4

y ε) 5

-1

20. Να παραστήσετε γραφικά την f , αν: i) f(x) = 3 x  1

x 2 ii) f(x) =  x

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

,x0 ,x>0

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

 x 2 +1 ,x0  iii) f(x) = 1 , -2  x < 0  2  x + 2  , x < -2

-x 3 , x  1 iv) f(x) =  x + 1 , x < 1

21. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 – 5x + 6. α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x΄x και y΄y . β) Για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x ; γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y = x – 2. 22. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x3 και g(x) = 6x – 5. α) Για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x ; β) Για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g ; 23. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 ex + 2x ex-3ex. Να βρείτε : α) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x΄x και y΄y . β) για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x ; 24. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:

e x , x0  α) f ( x)  1, 0 x2   x  2, x  2

 1 x, x0  β) f ( x)   ln x, 0  x  1  1 x 1  ,  x

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

1.4 Ισότητα συναρτήσεων 25. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f = g. Στις περιπτώσεις που είναι f  g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει: f(x) = g(x). α) f ( x) 

 x  1

β) f ( x) 

x3 x3

και

g ( x) 

και

g ( x) 

γ) f ( x)  x  x 2  7 και

g ( x) 

δ) f ( x)  ln x 2

1 ε) f ( x)  x

και και

x 1



x3 x3 7

x2  7  x g ( x)  2ln x

x2  1 g ( x)  3 x x

26. Να βρεθούν οι τιμές του λ 

f ( x) 



ώστε οι συναρτήσεις :

2 x    3  1 x   να είναι ίσες. και g ( x)  x   +1 x + 2

27. Δίνονται οι συναρτήσεις :

x 2  (  2) x  2κ-1 και . f ( x)  g ( x)  x  κ2 x  3  2 Να εξετάσετε αν υπάρχουν   ώστε f = g.

 x 2  3x  

28. Να βρείτε τη τιμή του  

g ( x) 

(  4) x 2  1 ώστε οι συναρτήσεις: f ( x)  και x 6

(  2) x 2  2  13 να είναι ίσες. 3x    2

29. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με κοινό πεδίο ορισμού το Α  για τις οποίες ισχύει:  f  g  x    f  g  x   2  4  f  g  x   2  f  g  x  για κάθε x  . Να δείξετε ότι: f = g.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

30. Αν για κάθε x 

1 2 ( f  g 2 )( x)  ( f  g )( x)  2 τότε να δείξετε ότι: 4

ισχύει ότι

f g.

 τέτοιες ώστε για κάθε x  f  g   x    f  g   x   4 x2  2  f  g  x    f  g  x   2x  .

31. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g: 2

να ισχύει:

Να δείξετε ότι: f = g. 32. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f = g. Στις περιπτώσεις που είναι f ( x)  g ( x) να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R για το οποίο ισχύει: f ( x)  g ( x) α) f ( x)  ( x  1) 2

και

g ( x)  ( x  1)2

και

g ( x)  1 

και

g ( x)  x  2

και

g ( x)  ln x  ln( x  1)

ε) f ( x)  x  1. x  2

και

g ( x)  ( x  1)( x  2)

στ) f ( x)  log x 2

και

g ( x)  2log x .

x2  4 β) f ( x)  2 x 2 x x4 γ) f ( x)  x 2 δ) f ( x)  ln( x 2  x)

2 x

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

1.5 Πράξεις με συναρτήσεις 33. Δίνονται οι συναρτήσεις : f(x) =

x και g(x) = 3x - 1 . f g 1 Να βρείτε τις συναρτήσεις : f + g , , και . g f g

34. Να ορίσετε τα S = f + g , P = f  g και Q = i) f(x) = x3 - 1

και

g(x) =

ii) f(x) = x2 + x + 1

και

g(x) =

1 x -4 iv) f(x) = x iii) f(x) =

και και

f των παρακάτω συναρτήσεων : g

1 x

x-2 x+2 g(x) = x-2 g(x) = 2 - x

35. Έστω f , g:  δύο συναρτήσεις. Να αποδείξετε ότι: α. Αν οι f , g είναι περιττές , τότε η f + g είναι περιττή και η f  g είναι άρτια. β. Αν οι f , g είναι άρτιες , τότε η f – g είναι άρτια και η

f είναι άρτια, για g(x)  0 g

για κάθε x  . γ. Αν η f είναι άρτια και η g περιττή , τότε η f  g είναι περιττή. ( Υπενθύμιση : Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται άρτια αν για κάθε x  Α ισχύει: - x A και f(-x) = f(x). Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιττή αν για κάθε x Α ισχύει: x A και f(-x) = -f(x) ).

1 x

36. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπους: f ( x)  ln x και g ( x)  ln( ) αντίστοιχα. α) Να ορίσετε τις συναρτήσεις:

f g , , 4f, - 4g g f f g  β) να ελέγξετε αν ισχύει: i) και ii) 4 f  4 g g f

f  g , f  g , f .g ,

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

2 x  1, x  2 0 x3 ln x, και g ( x)   .  2 x  3, x  2 x  3 x ,  

37. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x)   Να βρείτε τις συναρτήσεις: α) f + g β) f  g

f g δ) 2 f  3g γ)

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

1.6 Συναρτησιακές σχέσεις – Εύρεση τύπου συνάρτησης 38. Αν για κάθε x 

ισχύει: f(3-2x) = 5x2 – 7x + 3 , να βρείτε τη συνάρτηση f.

39. Αν για κάθε x 

ισχύει f (2 x  3)  2 x 2  4 x  7 να βρείτε τη συνάρτηση f .

40. Δίνεται η συνάρτηση f:  με την ιδιότητα: 3f(x) + f(2-x) = x2 +1 για κάθε x  . Να βρεθεί ο τύπος της f. 41. Δίνεται η συνάρτηση f:





1  x

με την ιδιότητα: f    2 x  3 f ( x) για κάθε x

. Να βρεθεί ο τύπος της f.

42. Δίνεται η συνάρτηση f:  με την ιδιότητα : f(x + y) – f(x – y) = 4xy για κάθε x , y και f(0)=3. Να βρεθεί ο τύπος της f. 43. Δίνεται η συνάρτηση f:  με την ιδιότητα : f(xy) + f(x) + f(y) + 3 = x + y + xy για κάθε x , y . Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και ο τύπος της συνάρτησης : g ( x) 

44. Μια συνάρ τηση

f : (0, )  R



f ( x)  1 . f 2 ( x)  3 x  5



έχει την ιδιότητα f  x   ln x  f (x) 1 για e

κάθε x >0. α) Να προσδιορ ιστε ί ο τύπος της f. β) Να γίνει η γρ αφικ ή παράσταση της f. 45. Μια συνάρτηση f : R  R έχει την ιδιότητα 2 f ( x)  f (1  x)  x 2  2 x  1 . α) Να προσδιοριστεί ο τύπος της f. β) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( x)  f ( x  2) . 46. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει: f ( x)  xf ( x)  x  1, για κάθε x  R , τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή. ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

47. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει: f ( x)  f (1  x)  x 2  5 με x  R .

1 x

48. Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε: 2 f ( x)  3 f ( )  x 2 για κάθε x  0 . α) Να προσδιοριστεί ο τύπος της f . β) Να βρεθεί το f(2). 49. Αν για τις συναρτήσεις f , g : R  R ισχύει η σχέση:

( f  g )( x)[( f  g )( x)  6]  25  2 g ( x)[1  f ( x)] . α) Να βρεθούν οι τύποι των f και g. β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A  [ f ( x)]5  [ g ( x)]5  [ f ( x)]6  8 . 1.7 Σύνθεση συναρτήσεων 50. Δίνονται οι συναρτήσεις : f ( x)  ln x και g ( x)  x  1 . Να βρείτε τις συναρτήσεις: α) g f β) f g γ) f f

δ) g

ε)  g

51. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x – 5 και g(x)= Να ορίσετε σύνθεση της f με την g.

f

9  x2 .

52. Αν f ( x)  2 x 2  x  2 , g ( x)  4  x  1 ,να βρείτε τη g

53. Αν f(x) = 4x - 3 , x [-5,5] , g(x) = x + 1 , x [-2,7] ,να βρείτε , αν ορίζονται , τις συναρτήσεις: g

f,f

g, f

f ,g g .

9 . x 1 g 10  και  g f 100  .

54. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = logx και g(x) = Να βρείτε αν ορίζονται τις:

f

55. α) Αν f ( x)  2 x  1 και g ( x)  2  x να βρείτε τη τιμή  g

f  (1) .

β) Αν f ( x)   x και g ( x)  x 2 να βρείτε τις τιμές:

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

g

f  (0) ,  g

  f   ,  g 2

  f    και 4

f

  g   , f 2  

 3  g  . 3  

56. Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)  1  x , g ( x)  x και h( x)  1  x . Να βρείτε τη συνάρτηση: f

g

h .

57. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α = [-3 , 4]. Να βρείτε το πεδίο ορισμού: α) της συνάρτησης g με g(x) = f(6-2x). β) της συνάρτησης h με h(x) = f(1-2x) + f(3x). γ) της συνάρτησης φ με φ(x) = f 2 x .





58. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [0,4]. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) f ( x 2 ) β) f (3x  2) γ) f (4ln x) 59. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [-2 , 4] . Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) f (2  3 x ) β) g(x) = f (2 x)  f (2 x  3) 60. Να βρείτε συνάρτηση f τέτοια , ώστε να ισχύει: α)  f g  x   x 2  x  1 , αν g ( x)  2 x  1 . β)  g

f  x   1  x 2 , αν g(x)= x-5 .

61. Αν f(x) = αx-3 και g(x) = 5x – 3. Να βρείτε την τιμή του α  f gg f .

ώστε να είναι:

62. Δίνονται οι συναρτήσεις: g ( x)  7 x  4 , f ( x)   x    ,  

α. Να βρείτε τη συνάρτηση: g

g. β. Να βρείτε τα  ,  ώστε g g  f .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

63. α) Αν f , g είναι άρτιες συναρτήσεις ,τότε οι f

g,g

f είναι άρτιες. β) Αν η συνάρτηση f είναι άρτια και η g είναι περιττή τότε οι f g , g f είναι περιττές.

64. Δίνεται η συνάρτηση f:

g

f  x     f



και η σταθερή συνάρτηση g τέτοια , ώστε: g  x  για κάθε x .

Να αποδείξετε ότι: f(x) = - x για κάθε x 65. Δίνεται η συνάρτηση f:



και

f

f  x   4  x , x 

, να δείξετε ότι:

f(2) = 2.

xκ με κ , λ  * και κλ  -1 . x 1 1  f  x   x για κάθε x    .  

66. Δίνεται η συνάρτηση: f ( x)  Να δείξετε ότι :

f

67. Να προσδιορίσετε την συνάρτηση gοf αν: α) f ( x)  x 2  x

και g ( x)  x

β) f ( x)  2 x

και g ( x)  1  x 2

x 1 x2 x2  1 δ) f ( x)  x 1 γ) f ( x) 

ε) f ( x)   x

και g ( x) 

x2 x 1

και g ( x)  ln( x  1) και g ( x)  1  x 2

68. Να βρείτε την fog και την gof των παρακάτω συναρτήσεων: α) f ( x)  1  x 2 και g ( x)  ln x β) f ( x)  4  x 2 και g ( x)  1  x γ) f ( x) 

x x 1

και g ( x)  2 x  3

δ) f ( x)  x 2  16 και g ( x)  6 x  18  ( x  3)2 69. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα (0,1]. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 50

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

α) f (ln x) β) f ( x 2  6 x  9) γ) f (1  ln x) 70. Να εκφράστε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων, αν: α) f ( x)  ln( x 2  1) β) f ( x)  2 5 4 x γ) f ( x)   (e2 x  x)

 x 2  1, x  2  x2  x x3 71. Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)   και g ( x)   αν x3  x  1, x  2 2 x Να ορίσετε την συνάρτηση: α) fog β) gof . 72. Να βρείτε τη συνάρτηση f τέτοια ώστε να ισχύει: α) ( fog )( x)  x 2  5 x  1 αν g ( x)  x  2 β) ( fog )( x)  x 2  4 x  1

αν g ( x)  3x  2

γ) ( fog )( x)  1  x 2

αν g ( x)   x 2

δ) ( fog )( x)  2 x  x  1

αν g ( x)  x

73. Να βρείτε τη συνάρτηση g τέτοια ώστε να ισχύει: α) ( fog )( x)  x 2  1 αν f ( x)  e x1 β) f ( g ( x))  x 2  4 x  2

αν f ( x)  2 x  1

γ) f ( g ( x))   x

αν f ( x)  1  x 2

δ) f ( g ( x))  e x1  3

αν f ( x)  x  3

ε) f ( g ( x))  ln x

αν f ( x) 

2 x 2 x

74. Να προσδιορίσετε την συνάρτηση fog όταν:

1  e x2 , x  3 f ( x)   και g ( x)  ln x  2 . x 2 1  e , x  3 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

75. Για τις συναρτήσεις f, g ισχύει: f ( x)[2e x  f ( x)]  g ( x)[2ln x  g ( x)]  e2 x  ln 2 x . α) Να βρεθούν οι συναρτήσεις f(x) και g(x) β) Να βρείτε τις συναρτήσεις fog και gof και να δείξετε ότι ισχύει: ( fog )( x)  ( gof )( x) . 76. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g:R  R. Να αποδείξετε ότι: α) Αν η f είναι άρτια και η g περιττή τότε οι gof, fog είναι άρτιες. β) Αν οι f, g περιττές τότε οι fog, gof είναι περιττές. 77. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει:

1 3 f ( x)  4 f ( x)    (4 x) . 2 α) Να βρεθεί ο τύπος της f, β) Να δείξετε ότι είναι περιττή .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Α) Μονοτονία – Ακρότατα συνάρτησης α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της , όταν για κάθε x1 , x2 Δ με x1 < x2 ισχύει f(x1) < f(x2) και γνησίως φθίνουσα στο Δ , όταν για κάθε x1 , x2 Δ με x1 < x2 ισχύει f(x1) > f(x2). ► Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Δ λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ. β) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει: τοπικό μέγιστο στο x1 A , όταν f(x)  f(x1) για κάθε x σε μια περιοχή του x1 , και τοπικό ελάχιστο στο x2 A , όταν f(x)  f(x2) για κάθε x σε μια περιοχή του x2 . ● ΠΡ ΟΣΟ ΧΗ Αν μια συνάρ τηση έχε ι το ίδιο ε ίδος μονοτον ίας σε δύο διαστήμα τα Α και Β δεν έχε ι απαραίτητα το ίδιο είδος μον οτον ίας και στην έν ωση ΑΒ αυτών.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Β) Συνάρτηση 1 – 1 Μια συνάρτηση f :   λέγεται συνάρτηση 1 – 1 , όταν για οποιαδήποτε x1 , x2  A ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1  x2 , τότε f(x1)  f(x2) ή αποδεικνύεται: αν f(x1) = f(x2) , τότε x1 = x2 ● Παρατηρήσεις 1) αν βρούμε δύο αριθμούς x1 , x2 με: x1  x2 ώστε f(x1) = f(x2) τότε η f δε θα είναι 1 – 1. 2) Αν η f είναι 1 – 1 τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο. 3) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε είναι και 1 – 1. (Προσοχή: γενικά δεν ισχύει το αντίστροφο, δηλαδή αν μια συνάρτηση είν αι 1-1 δεν ε ίνα ι απαραίτητα και γν ησίως μονότονη )

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Γ) Αντίστροφη συνάρτηση Έστω μια συνάρτηση f:   η οποία είναι 1 – 1. Τότε ορίζεται η αντίστροφη της f , η f 1 που:  έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f(A) της f  έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f  κάθε y f(A) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό x  A για το οποίο ισχύει: f(x) = y.  Ισχύει η ισοδυναμία: f ( x)  y  f 1 ( y)  x





Άρα: f 1  f ( x)   x , x  A και f f 1 ( y) = y , y  f ( A) ● Παρατηρήσεις 1) Οι γραφικές παραστάσεις των f και f -1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x. 2) Για να βρούμε την f -1 : α) Εξετάζουμε αν η f είναι 1 – 1 (αν δεν είναι δεν υπάρχει αντίστροφη) β) Θέτουμε όπου f(x) το y και λύνουμε τον τύπο της f ως προς x. γ) Κατά την επίλυση θέτουμε τους περιορισμούς που προκύπτουν για το y , από τη συναλήθευση των οποίων προκύπτει το πεδίο ορισμού της f -1. δ) Για να βρούμε και τον τύπο της f -1 : κάνουμε εναλλαγή των μεταβλητών x και y στον τύπο που έχουμε βρει ως προς x στο β) ● ΠΡ ΟΣΟ ΧΗ Αν x = y τότε f(x) =f(y) Αν f(x) = f(y) κ αι η f είναι 1-1 τότε x = y Αν x > y και η f είναι γνησίω ς αύ ξουσα τότε f(x) > f(y) Αν f(x) > f(y) κ αι η f είναι γνη σίω ς αύξουσα τότε x > y. Αν x > y και η f είναι γνησίω ς φ θίνουσα τότε f(x) < f(y) Αν f(x) < f(y) κ αι η f είναι γνη σίω ς φθίν ουσα τότε x > y. ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

2.1 Μονοτονία συνάρτησης 78. Δίνεται η συνάρτηση f :  η οποία είναι γνησίως μονότονη. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f f είναι γνησίως αύξουσα. 79. Να αποδείξετε ότι: α) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R και η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο R τότε η συνάρτηση g f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. β) Αν f , g είναι γνησίως φθίνουσες στο R τότε η g

f είναι γνησίως αύξουσα

στο R. 80. Έστω δυο συναρτήσεις f, g: R  R τότε να δείξετε ότι: α) αν η f γνησίως αύξουσα και g γνησίως αύξουσα τότε gof γνησίως αύξουσα β) αν f γνησίως αύξουσα και g γνησίως φθίνουσα τότε gof γνησίως φθίνουσα γ) αν f γνησίως φθίνουσα και g γνησίως αύξουσα τότε gof γνησίως φθίνουσα δ) αν f γνησίως φθίνουσα και g γνησίως φθίνουσα τότε gof γνησίως αύξουσα 81. Αν f, g συναρτήσεις γνησίως αύξουσες (ή γνησίως φθίνουσες) στο διάστημα Δ τότε να δείξετε ότι και η f + g είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) στο Δ. Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης h με τύπο h( x)  2004 x  2004 x3 . Να λύσετε την ανίσωση: h( x  3 ( x3  3x))  h(2 x  3) 82. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και η g γνησίως φθίνουσα στο R να λύσετε την ανίσωση: ( fog )( x 2  2 x)  ( fog )( x  4) 83. Μια συνάρτηση f : R  R έχει την ιδιότητα f ( x  )  f ( x)  f ( ) για κάθε x, ψ  R . Αν f(x)> 0 για κάθε x >0 να αποδειχθεί ότι: α) f(0) = 0, β) η f είναι περιττή, γ) η f γνησίως αύξουσα. 84. Δίνεται η συνάρτηση f ( x)  x5  x3  x  3 . 56

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) Να λυθεί η εξίσωση: x5  x3  x  3 γ) Να λυθεί η ανίσωση: e5 x  e3 x  e x  3 85. Δίνεται η συνάρτηση f ( x)  a x  x με α > 1 α) Να δείξω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β) Να λυθεί η a

4

 a  2  2     2 .

86. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx - x ,με 0 < α < 1. i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii) Να λύσετε την ανίσωση:  x  x 2   x2  ( x  2). 2

iii) Να λύσετε την εξίσωση:  x

4

 a x2  ( x2  4)  ( x  2).

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

2.2 Συνάρτηση «1 – 1» - Αντίστροφη συνάρτηση 87. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι 1 – 1 και για καθεμία από αυτές να βρείτε την αντίστροφή της: α) f(x) = 3x – 2 β) f(x) = x2 – 3 γ) f(x) = (x – 7)2004(2x – 1)2005 + 2007 δ) f(x) = 5 3  x ε) f(x) = ln(4 – x) στ) f(x) = 2e-3x+1 – 3

e2 x  2 ζ) f(x) = 2 x e 6 η) f(x) = 3 + x  1 88. Δίνεται μια συνάρτηση f: R  R για την οποία ισχύει: f(3) = f(2) = 7. Να εξετάσετε αν η f θα μπορούσε να είναι γνησίως μονότονη στο R. 89. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x – 1. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. β) Να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της f. γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f -1. 90. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x – 2 , g(x) = 3 + h= g f .

x και

α) Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f , g , h αντιστρέφονται . β) Να αποδείξετε ότι: h1  f 1 g 1 . 91. Αν οι συναρτήσεις f :   συνάρτηση g f είναι 1 – 1.

και g :  

είναι 1 – 1 , να αποδείξετε ότι και η

92. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g και h οι οποίες ορίζονται στο R και η f είναι 1–1. Αν ισχύει f g  f h να αποδείξετε ότι: g = h. 93. Δίνονται οι συναρτήσεις f : ( f g )( x)  x για κάθε x . 58



και g :



για τις οποίες ισχύει:

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

α) Να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη της g. β) Να λυθεί η εξίσωση: g(e2x – 3ex) = g(-2)



94. Δίνονται οι συναρτήσεις f :

και g :



και η συνάρτηση f

g η

οποία ορίζεται στο R και είναι 1 – 1. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι 1 – 1. β) Να λύσετε την εξίσωση: g(3x3-1) = g(2x). 95. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R. Αν για κάθε x ισχύει: f 3 ( x)  f ( x)  e x  0 να δείξετε ότι η f έχει αντίστροφη συνάρτηση , η οποία και να βρεθεί.

 η οποία είναι 1 – 1 και για την οποία ισχύει: f  ( x  7) για κάθε x .

96. Να βρείτε τη συνάρτηση f :

f

f  (2 x  1)   f

97. Δίνεται η συνάρτηση f:  . Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και f = f -1, να δείξετε ότι f(x) = x για κάθε x  . 98. Δίνεται η συνάρτηση f : (0, ) 

. Αν υπάρχει η αντίστροφη της f , η οποία

έχει πεδίο ορισμού το R και ισχύει : f(xy) = f(x) + f(y) για κάθε x , y (0, ) , να δείξετε ότι: f 1 ( x  y)  f 1 ( x)  f 1 ( y) για κάθε x , y 99. Αν για κάθε x 

ισχύει: 6 f ( x 2 )  f 2 ( x)  9 , να αποδείξετε ότι η f δεν

αντιστρέφεται. 100. Δίνεται η συνάρτηση f:



για την οποία ισχύει: f  f ( x)   2014 x  f ( x)

για κάθε x  . Να αποδείξετε ότι: α) η f είναι 1 – 1 β) f(0) = 0. γ) f 1 ( x) 

1  f ( x)  x  , x  f ( ) . 2014

101. Δίνεται η συνάρτηση f:  για την οποία ισχύει ότι είναι 1 – 1 και  f f  ( x)  x2  2 x  2 για κάθε x . Να αποδείξετε ότι: f(1) + f(2) = 3.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

102. Δίνεται ότι οι συναρτήσεις f και f 1 είναι γνησίως αύξουσες στο R και ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(3 , 2) και Β(5 , 9).

 ff



α) Να λυθεί η εξίσωση: f 2  f 1 ( x 2  x)  9 . β) Να λυθεί η ανίσωση:

1

( x 2  8 x)  2   2 .

103. Δίνεται η συνάρτηση f : 0,+    0,+  για την οποία ισχύει: f  f ( x)   x 4 για κάθε x > 0. α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η f 1 .

 

β) Να δείξετε ότι: f x 4   f ( x) για κάθε x > 0. 4

104. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f είναι «1 – 1» και όποια είναι να βρεθεί η αντίστροφή της. α) f ( x)  5x  2 β) f ( x)  x3  1

3x  2 x 1 δ) f ( x)  2 x  3 γ) f ( x) 

ε) f ( x) 

1 x ex ζ) f ( x)  1  ex η) f ( x)  ln(2  x ) 2

θ) f (x) = e x ι) f (x) = ημx κ) f (x) = x3 – x λ) f (x) =

 x

μ) f (x) = 2

105. Ομοίως να εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1 και να βρεθεί η f 1 :

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

  x, x  0 2 x , x  0

α) f ( x) 

2 x  1, x  3  x  2, x  3

β) f ( x)  

106. Αν η συνάρτηση f : R  R είναι 1-1 τότε να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση

h( x)  2 f 3 ( x)  f ( x)  1είναι συνάρτηση 1-1. 107. Δίνεται η συνάρτηση f ( x)  x3  x  1. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λυθεί η εξίσωση: f 1 ( x)  f ( x) . 108. Αν για τη συνάρτηση f : R  R ισχύει ότι: ( fof )( x)  f ( x)  x τότε δείξτε ότι η f είναι 1-1. 109. Έστω f : R  R τέτοια ώστε: f  f ( x)   f 3 ( x)  2 x  3 για κάθε x  R α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β) Να λύσετε την εξίσωση f (2 x3  x)  f (4  x) 110. Έστω f ( x)  x  2 και g ( x)  x 2  4 . Να βρεθεί η gof και η ( gof )1 ( x) 111. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ορισμένη στο R με σύνολο τιμών το R για την οποία ισχύει: f 5 ( x)  f 3 ( x)  f ( x)  x  4 . Να δειχθεί ότι είναι 1-1 και να βρεθεί η f 1 . 112. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g για τις οποίες ισχύουν: f  f ( x)   g (e x )  f ( x) για κάθε x  R και η συνάρτηση g είναι 1-1. α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. β) Αν η f (2 g ( a

 2 )

)  f (2 g (2 ) ) τότε να δείξετε ότι α = β.

113. Αν η f : R  R είναι γνησίως μονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(5,9) και Β(2,3) τότε: ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β) Να λυθεί η εξίσωση: f (3  f 1 ( x 2  2 x))  9 . 114. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο Δ = (0, +  ) και f ()  R . Αν για κάθε

x,  ισχύει f ( x  )  f ( x)  f ( ) να αποδείξετε ότι: α) f (1)  0 1 β) f     f ( x) για κάθε x > 0.  x γ) Αν η f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα την x = 1 τότε η f είναι αντιστρέψιμη και ισχύει: f 1 ( x1  x2 )  f 1 ( x1 )  f 1 ( x2 ) για κάθε x1 , x2  R .

115. Έστω συνάρτηση f : (0, )  R με την ιδιότητα: f ( x)  f ( )  f ( ) για



κάθε x, ψ > 0. Αν η εξίσωση f ( x)  0 έχει μοναδική ρίζα: α) Να αποδείξετε ότι f (1)  0 . β) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1. γ) Να λύσετε την εξίσωση: f ( x 2  3)  f ( x)  f ( x 2  1)  f ( x  1) . δ) Αν ακόμη ισχύει f ( x)  0 για κάθε x > 1 τότε να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. 116. Έστω συνάρτηση f : R  R για την οποία υποθέτουμε ότι:

f ( x  )  f ( x)  f ( ) για κάθε χ , ψ  R . Να αποδειχθεί ότι: α) f(0) = 0 β) η f είναι περιττή γ) Αν η f έχει μοναδική ρίζα το 0 τότε η f είναι συνάρτηση 1-1 και για κάθε x , ψ  R ισχύει: f 1 ( x   )  f 1 ( x)  f 1 ( ) 117. Δίνεται η συνάρτηση f : R*  R * με την ιδιότητα f ( x  )  f ( x)  f ( ) για κάθε x, ψ  R * . Η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y = x το πολύ σ’ ένα σημείο. Να αποδείξετε ότι: α) αν η f(x) = 1 έχει μοναδική ρίζα, τότε η f είναι 1-1 β) η συνάρτηση g ( x) 

f ( x) , x  R * είναι αντιστρέψιμη. x

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

118. Δίνεται η συνάρτηση φ: R →R ώστε για κάθε x R να ισχύει: φ(x) + [φ(x)]1997 – ex = 0. α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την φ-1. β) Να λύσετε την ανίσωση: φ(x) < 1. 119. Δίνεται η συνάρτηση φ: R →R για την οποία ισχύει φ(3 – x2) = g(x4) – g(x2) όπου g πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο R . α) Να δείξετε ότι η φ δεν είναι «1-1» β) Αν g(x) = x -1 , να βρείτε την φ. γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της h(x) = φ(3 –x2) όταν την φ την περιορίσουμε στο διάστημα [-6 ,-1]. 120. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση g : R →R . α) Να δείξετε ότι η f(x) = g(x101) – g(x100) – 2014 δεν είναι «1-1». β) Να λύσετε στο (1,+∞) την ανίσωση: (x2 -100x)(f(x) + 2014) > 0. 121. Δίνεται η συνάρτηση φ(x) = x101 + x99 + 1. α) Να δείξετε ότι η φ είναι αντιστρέψιμη. β) Να λύσετε την ανίσωση φ(φ(x)) < -1. γ) Αν φ-1(φ-1(x)-1) = -1, να υπολογίσετε το x . 122. Έστω οι συναρτήσεις f , g : R R με g(x) = f 2(x) -5f (x) + 6. Aν η f είναι γνησίως μονότονη και τα σημεία Α(-1,2) , Β(1,3) ανήκουν στη Cf να βρείτε τη σχετική θέση της Cg με τον άξονα x΄x. 123. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x 3 – 6. α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της f -1. β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf και της Cf -1. 124. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = - x 3. α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της f -1. β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf και της Cf -1. 125. Έστω οι συναρτήσεις f , g , h με κοινό πεδίο ορισμού το R και τύπους: f(x) = αx + β , g(x) = x2 , h(x) = x 2  x   όπου α , β ,κ R σταθερές . α) Να βρεθεί η μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει ο κ.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

β) Να βρεθούν οι α , β ,κ , ώστε να ισχύει g  f ( x)   g  h( x)  για κάθε xR .

-x 2  126. Δίνεται η συνάρτηση f(x) =  1  x

,x0 ,x>0

α) Να παραστήσετε γραφικά την f . β) Η f είναι 1-1 ; Αν ναι , να βρείτε την f -1.

ˆ = 90 και ΑΔ ύψος του. 127. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ , με 

   , xR. x x        x

Θεωρούμε συνάρτηση με f(x) = Να δειχτεί ότι : α) Η f είναι άρτια β) H f δεν είναι αντιστρέψιμη γ) Η f έχει μέγιστο το f(0).

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Όριο Συνάρτησης στο x0R 1. Ιδιότητες Ορίων Αν lim f(x) = α και lim g ( x) = β με α , βR τότε: x x 0

x x0

α. lim  f ( x)  g ( x)  = α + β x x0

β. lim  f ( x)  = κ α x x0

γ. lim  f ( x)  g ( x)  = α β x x0

 f ( x)     g ( x)  

δ. lim  x  x0

ε. lim  f ( x)  = αν 

x  x0

στ. lim  f ( x)    x x0

Προσ έχουμ ε λοι πόν: Οι παραπά νω ιδι ότητες ι σχύουν μόν ο ότα ν f(x) και xlim g(x) υπάρχουν τα όρ ια: xlim x x 0

2. Αν P(x) και Q(x) είναι πολυώνυμα , τότε:

lim P( x)  P( x0 )

x  x0

α.

P( x) P( x0 )  x  x0 Q ( x ) Q( x0 ) lim

β. Μορφή

0 0 P( x) όταν : x  x0 Q ( x )

Για να υπολογίσουμε το lim

1) P(x0) = Q(x0) = 0 ,τότε παραγοντοποιούμε τους όρους του κλάσματος με στόχο να εμφανιστεί και στον αριθμητή και στον παρονομαστή η παράσταση x – x0 την οποία και απλοποιούμε. ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Τέλος υπολογίζουμε το όριο αντικαθιστώντας όπου x το x0. 2) στους όρους του κλάσματος υπάρχει παράσταση της μορφής:

 ( x)   ( x) ή  ( x)   ( x) με φ(x) , λ(x) πολυώνυμα και η παράσταση αυτή μηδενίζεται , τότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή της παράσταση . Δημιουργούμε έτσι διαφορά τετραγώνων η οποία εμφανίζει την παράσταση x – x0 την οποία και απλοποιούμε . 3) στους όρους του κλάσματος υπάρχει παράσταση της μορφής: 

g ( x)   h( x) ή



g ( x)  h( x) ή g ( x)   h( x) τότε εφαρμόζουμε την ταυτότητα:

        1     2   ...    2    1 4) στους όρους του κλάσματος υπάρχουν ρίζες διαφορετικής τάξης : 



g ( x)   h( x)+c ,τότε γράφουμε την παράσταση στη μορφή: 

 

g ( x)   



h( x )  



σε δύο κλάσματα μορφής

, όπου –μ + ν = c και κάνουμε διάσπαση του κλάσματος

0 . 0

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

1. Όριο και Διάταξη Α Προϋποθέσεις lim f ( x)  0 x x0

f ( x)  0 κοντά στο x0

Συμπέρασμα

2. Όριο και Διάταξη B Προϋποθέσεις lim f ( x)  0 x x0

f ( x)  0 κοντά στο x0

Συμπέρασμα

3. Όριο και Διάταξη Γ Προϋποθέσεις Oι συναρτήσεις f , g έχουν όριο στο x0 και f ( x)  g ( x) κοντά στο x0

lim f ( x)  lim g ( x)

Συμπέρασμα

x x0

4. Κριτήριο Παρεμβολής Προϋποθέσεις  h( x)  f ( x)  g ( x) κοντά στο x0  lim h( x)  lim g ( x)   x x0

x x0

lim f ( x)  

Συμπέρασμα

x x0

Τριγωνομετρικά όρια 1.  x  x για κάθε x  Η ισότητα ισχύει μόνο για x = 0. 2. lim x 0

3. lim x0

 x x

1

 x  1 x

0

Όριο σύνθετης συνάρτησης lim f  g ( x)   lim f (u ) , x x0

u u0

όπου u = g(x) και u0  lim g ( x) x x0

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

3.1 Απροσδιόριστη μορφή

0 0

128. Να υπολογίσετε τα όρια :

x+1 x 1 x 2 - 1 3-x ii) lim 2 x 3 x - 9 2x - 4 iii) lim x 2 4 - x 2 x 2 + 5x + 6 iv) lim x 2 x2 - 4 x3 + 1 v) lim x 1 x + 1 (x - 1) 2 vi) lim 2 x 1 x - 1 x 3 - 3x + 2 vii) lim 3 x 1 x - x 2 - x + 1 x4 - 1 viii) lim 3 x 1 x - 1 3x 2 - 2x - 8 ix) lim x 2 x-2 i) lim

129. Να υπολογίσετε τα όρια:

x- 2 x 2 x-2 1- x ii) lim x 1 1 - x 1+x -1 iii) lim x 0 x x 3 iv) lim x 9 3  x 1 - 2x - 1 + 2x v) lim x 0 x i) lim

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

x2 - x vi) lim x 1 x -1 5 x vii) lim 2 x 5 x  7 x  10 3.2 Ιδιότητες ορίων 130. Δίνεται μια συνάρτηση f με lim f ( x)  2 . Να βρείτε το lim g ( x) όταν: x3

x3

α) g(x) = 2(f(x)) – 1 β) g(x) = (f(x) – 1) (f(x) – 2) 3

γ) g ( x) 

4 f ( x)  30 f 4 ( x)  4

3.3 Όριο συνάρτησης πολλαπλού τύπου 131. Να βρείτε ,αν υπάρχει , το όριο της f στο x0 όταν:

 2 x 2  3x  1  α) f ( x)   x 1 ln x  1   x   x β) f ( x)   x e  5 x  1

, όταν x < 1 , όταν x  1 , όταν x  0 , όταν x < 0

, στο x0 = 1.

, στο x0 = 0 .

2  2 x   , όταν x  2 132. Αν f ( x)   . Να βρείτε τις τιμές των α , β  3  x   x , όταν x > 2   τις οποίες ισχύει: lim f ( x)  4.

, για

x2

133. Να υπολογίσετε τα α , β 

ώστε η συνάρτηση:

 x   x  β , όταν 0  x  2  f ( x)   x 2  1 , όταν 2 < x < 3 , να έχει όριο στα σημεία x1 = 2 και x2 = 3. 2 x  3β , όταν 3 < x  4  2

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

 (  2 x)  a 2 x ,x  0  x  134. Δίνεται η f(x) =   x  2 x ,0  x  1  x  x και το σημείο Μ(α ,β) του καρτεσιανού επιπέδου. Αν υπάρχει το lim f ( x) , να δείξετε ότι το Μ ανήκει σε κύκλο του οποίου να βρείτε x0

το κέντρο και την ακτίνα 3.4 Όριο συνάρτησης της οποίας ο τύπος έχει απόλυτα 135. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο μια τιμή του α συνάρτηση : f ( x) 

 x 1 x 1

 2x

για την οποία η

 4  έχει όριο στο x0 = 1.

136. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: α) lim x 2

x  1  3x 3 x

x  3  3 2 x  9  16 x 2 2 x 2 3 x  1  x  3  10 γ) lim x 2 x2  4 x 2  3x  2  x  2 δ) lim x 2 x2  5x  6 β) lim

137. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: α) lim

x 2  3x  x 2  4 x  3

x2  9 x 1 1 β) lim x 0 xx x3

x2  1  1 γ) lim x 0 x3 x x  4x  3  x2  2 x  3 2

δ) lim x3

x 1  2 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

x 2  5  11  x ε) lim

x2  4

x2

138. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

x 1

α) lim

x3x x  2 1 β) lim x 1 2 x  2  x  5 x 1

x  2  2x  1  4x  5 x  2  3x  2

γ) lim x 2

139. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: α) lim x1

x2  2 x  1 x 1

x  x  12  x  3 β) lim x3 x3 2 x x γ) lim 2 x 0 x  x 2

6  x  x 1  x  4 δ) lim

x  x2

x 1

ε) lim

x 1

x  1  2x x  5  2 x 1

στ) lim x 2

x  1  x  2  2x 2x  4

x  3  2x 1  x  8 ζ) lim x 3

x 1  x  7

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

140. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

x  3  x  2  2x2  1 α) lim x1 x 2  3x  2 x  2  x2  4  x  2 β) lim x 2 x2  x  6 141. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

x  2  x  1  x2  2x α) lim x1 x2  4 x  3 x2  9  x  3 β) lim x 3 x2 5

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

3.5 Τριγωνομετρικά όρια 142. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: α) lim

 5 x

x 0

x x β) lim x 0  x  5 x γ) lim x 0 10 x  2 x  1002 x  δ) lim   x 0 x   4 2 x x  ε) lim  2  x 0   x  1   2 x στ) lim x 0 x2 x  ημx ζ) lim x 0 x+ημx  7 x η) lim x 0  8 x  5 x θ) lim x 0 x 1 1 1   x  1   x ι) lim x 0 x ημ2x - συν2x - 1 κ) lim π συνx - ημx x 4

143. Να βρείτε το θετικό ακέραιο ν ώστε: lim

 x   2x+...+ημνx

x0

 36 .

144. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

 x  x   2 x 2

α) lim β) lim x 

1   x

  x 

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

γ) lim x

1   x

  2 x  2



145. Δίνεται η συνάρτηση f που ικανοποιεί τη σχέση: f(x – 1) = - 4x3 + 12x2 – 9x + 1 για κάθε x καθώς και η συνάρτηση g(x) =  f f  x  . α) Να βρείτε τον τύπο της f. β) Να βρείτε τον τύπο της g. (Δίνεται ότι: ημ3x = 3ημx – 4ημ3x). γ) Να υπολογίσετε το όριο: lim x 0

g ( x) . x

146. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: α) lim x 0

β) lim

 (2 x)

1  x3  1  ( x 2  1)

x2  3  2  ( x) γ) lim x 1 x      2  x 1

147. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: α) lim

 x   x

x3 x9 3 β) lim x 0  ( x ) x 0

γ) lim( x  2) x 2

x 4

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

3.6 Μορφή

0 - Όριο άρρητης ανώτερης τάξης 0

148. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

x 2 x 8 2 x  16 3 x  12  2 β) lim x 4 x 2  16 4 1 x  4 1 x γ) lim x 0 x 3

α) lim

x 2  5  3 x  25 δ) lim x 2 x 2 149. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

x 1 x 1 x 1 4 x 1 β) lim 3 x 1 x 1 x3x γ) lim 3 x 1 x4x 3 x7  x3 δ) lim x 1 x 1 α) lim 3

150. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 3

α) lim

x 1

x2  3  4 x x2  1 β) lim x 1 x  3 x 2 x 1

151. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

x  2  8 x  x 2  32 α) lim x 2 x2 3x  1  5 x  4  x β) lim x1 x 1 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

x2  x  2  2 γ) lim x 1 x2  4 x  3 δ) lim

1  2 x  1  6 x2

5  x2  7  x 4 x  1  3 x  25 ε) lim x 2 x2  4 x  3 x  4 x 3 στ) lim 5 x1 x x 3 x6 2 ζ) lim x 2 x7 3 x 2

3.7 Βοηθητική συνάρτηση 152. Να βρείτε το lim f ( x) , αν: x 4



α) lim  f ( x)  x 4

x 2 3  x4  4

 β) lim f ( x)  2 x 2  3x  1  7 x4

γ) lim x 4

f ( x) 5 x  16 2





g ( x) 3  να βρείτε το lim f ( x) g ( x) . x 2 4  x 2 x2 2

153. Αν lim x 2  5 x  6 f ( x)  6 και lim x2

154. Αν lim  3 f ( x)  2 g ( x)   7 και lim  3g ( x)  7 f ( x)   1 να υπολογίσετε τα: x10

x10

lim f ( x) , lim g ( x) .

x10

155. Αν για τις συναρτήσεις f : RR και g : RR ισχύει : lim  f ( x)  g ( x )  lim  f ( x) g ( x )   0 να υπολογιστούν τα lim f ( x) και lim g ( x) x1

x1

(αν υπάρχουν).

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

156. Έστω οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο R για τις οποίες ισχύει : lim g ( x)  0 x2

και 0  f ( x)  g 2 ( x)  g ( x)  2  g 2 ( x)  2 . Να υπολογιστεί το lim f ( x) . x 2

f ( x)  x x 2 f ( x)  1 157. Έστω ότι lim 2 .  2 . Να βρείτε τα όρια lim f ( x) και lim 2 x 1 x1 x 1 x  x  2 x 1 3.8 Αλλαγή μεταβλητής 158. Να υπολογίσετε τα όρ ια: 



 α. lim ln  3x 2  2x 1 x 0 









β. lim   2x 2  3x  1 x 1 

γ. lim

x 0





  x3  2x  

2x3  4x



159. Να υπολογίσετε το όρ ιο: lim x x 1 . x 1

1 x

160. Αν lim  f ( x)  3x  4   5 και f(x – 2)+3f(x) = 4x2 – 4x -32 για κάθε x  x2

να

βρείτε το : lim f ( x) . x0

161. Έστω ότι lim x 0

162. Αν lim

x0

xf (2 x)  f ( x) (3x) f ( x)  2 . Να βρείτε lim x0 2 x 2   2 x x

f (3x) f (243x)  2 , να υ πολογίσετε το lim . x0 f (3x) f ( x)

3.9 Κριτήριο παρεμβολής 163. Δίνεται η συνάρτηση f :  x  f(x)  x2 + x. α) Να αποδείξετε ότι f(0) = 0.

τέτοια ώστε για κάθε x 

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

να ισχύει:

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

β) Να υπολογίσετε τα όρια: lim f ( x) και lim x0

164. Δίνεται η συνάρτηση f :  x3 + 2x  f(x)  ημx + x. α) Να υπολογίσετε το f(0). β) Να υπολογίσετε το : lim f ( x) .

x0

f ( x) . x

τέτοια ώστε για κάθε x 

να ισχύει:

τέτοια ώστε για κάθε x 

να ισχύει:

x0

γ) Να υπολογίσετε το : lim

f ( x) . x

165. Δίνεται η συνάρτηση f :



x 0

f ( x)  2 x 4  3 x . Να υπολογίσετε το : lim f ( x) . x0

166. Δίνεται η συνάρτηση f τέτοια ώστε για κάθε x > -1 να ισχύει:

3x  3  ( x  2) f ( x)  3  3 x  7  6 . Να υπολογιστεί lim f ( x) . x 2

167. Δίνεται η συνάρτηση f : f ( x) x  2 x  x 2 .



τέτοια ώστε για κάθε x 

να ισχύει:

Να υπολογίσετε τα όρια: α. lim f ( x) x0

β. lim x 0

xf ( x)   x 2 x   x

168. Δίνε τα ι η συν άρτηση f: (- 1 , 1)R. Αν xf ( x)   7 x για κάθε x( -1 , 1) και γνωρίζ ουμε ότι υπάρχει το

lim f (x ), να υπολογίσετε το lim f ( x) . x0 x0 3.10 Μηδενική επί φραγμένη 169. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύει: g  x   κ , κ  R με κ > 0 και lim f(x) = 0 . x x 0

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Να δείξετε ότι: lim f(x)  g(x)  = 0. x x 0

170. Να αποδείξετε ότι:

1   =0 x  1   β) lim  x  συν  = 0 x 0 x   1   γ) lim  x - 7   ημ =0 x 7 x-7   1 1  δ) lim  xημ  x3   0 x0 x x  1   ε) Αν lim  2  x3  4 f ( x)   2 , τότε lim f ( x) = 0 x0 x0 x   1 στ) lim  x 2  3x  2  0 x 2 x2 g ( x) f ( x)   με κ , λ  , τότε : lim  f ( x) g ( x)   0 . ζ) Αν lim 2   και lim x 0 x 0 x x0 1  x α) lim  x  ημ x 0

171. Να υπολογίσετε τα όρια: α) lim x x 0

β) lim x3 x 0

1 x

2 x

3.11 Εύρεση παραμέτρων

2 x 2  3 x  5 172. Δίνεται η συνάρτηση f ( x)  . x2 Να βρείτε τα κ , λ  ώστε lim f ( x)  6 . x2

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

173. Δίνεται η συνάρτηση f ( x)  Να βρείτε τα κ , λ 

 x 2     1 x  4

x 1 ώστε lim f ( x)  2 .

x1

174. Aν f(x) =

a   2 x   x x και lim f ( x)  4 να προσδιορίσετε τους α ,β x0 x2

175. Αν f(x) =

ax 2  x  2   x και lim f ( x)  6 να βρείτε τους α , β. x1 x 1

176. Αν f(x) =

177. Αν f(x) =

a 1  x 2   9  x 2  3x  7 x2  4

και lim f ( x)   x 2

a x 2  4   1  x 2  21 x3

7 να βρείτε τους α ,β. 4

και lim f ( x)  18 να βρείτε τους α ,β. x3

x 2  ax  a 2  a 178. Να βρείτε το lim . x a x a

179. Να βρείτε το lim x 0

180. Να βρείτε το lim x 0

x 2  4a 2  2a

 2  x2  

x4 a . xx

a2  a2  x2 ,a  0 . 181. Να βρείτε το lim x 0  2 x

a x  2 x   . x 0 x

182. Να βρείτε το lim

x2  a 183. Να βρείτε το lim . x2 ( x  2)( x  7  3) 80

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr