ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
-2-
Επανάληψη - Μεθοδολογία
1. ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ = ΑΔ
- ΑΒ = ΒΑ 2.
Σημείο αναφοράς
ΑΒ = ΑΟ + ΟΒ ή 3.
ΑΒ = ΟΒ - ΟΑ , όπου Ο σημείο αναφοράς
Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Δ
ΑΒ = ΔΓ , ΑΔ = ΒΓ
Γ
ΑΒ + ΑΔ = ΑΓ , ΑΒ - ΑΔ = ΔΒ Α
Β
4.
Γωνία διανυσμάτων
0 α , β π Αν α , β = 0 τοτε α β Αν α , β = π τοτε α β
β α
5. Μέτρο αθροίσματος διανυσμάτων
α - β α+β α + β 6.
Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα
αν λ > 0 , τότε λ α α λ α αν λ < 0 , τότε λ α α αν λ = 0 ή α = 0 , τότε λ α = 0 λα = λ α Προσοχή
Αν λ α = λ β και λ 0 , τότε α = β
Αν λ α = μ α και α 0 , τότε λ = μ
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
-3
7. Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων α , β
μορφής v = κ α + λ β .
8.
είναι κάθε διάνυσμα της
Διανυσματική ακτίνα μέσου Α
ΑΒ + ΑΓ ΑΒ + ΑΓ = 2ΑΜ ΑΜ = 2
Β
Μ
Γ
9.
Βαρύκεντρο τριγώνου (εκτός ύλης)
∙ Αν G βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ , τότε : GA + GB + GΓ = 0
∙ Για οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει : ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ = 3 ΟG ∙ Για να δείξουμε ότι δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο , ονομάζουμε G και G΄ τα βαρύκεντρα των ΑΒΓ και ΔΕΖ αντίστοιχα και αφού αποδείξουμε μια από τις σχέσεις :
ΑΔ + ΒΕ + ΓΖ = 3GG΄ ή ΑΕ + ΒΖ + ΓΔ = 3GG΄ ή ΑΖ + ΒΔ + ΓΕ = 3GG΄ δείχνουμε ότι :
ΑΔ + ΒΕ + ΓΖ = 0 ή ΑΕ + ΒΖ + ΓΔ = 0 ή ΑΖ + ΒΔ + ΓΕ = 0
10.
Συγγραμμικά διανύσματα Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά αρκεί να δείξουμε ένα απ’ τα παρακάτω:
α // β α = λ β x α yα x α yα α // β = 0 , όπου det(α , β) x β yβ x β yβ yβ y α // β λ α = λ β , οπου λ α = α , λ β = , όταν xα , xβ 0 xα xβ
Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα είναι ομόρροπα αρκεί να δείξουμε ότι:
α = λ β με λ > 0 ή α , β = 0 ή α + β = α + β
*
ή αβ= α β
Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα είναι αντίρροπα αρκεί να δείξουμε ότι:
α = λ β με λ < 0 ή α , β = π ή α + β = α - β
* Να χρησιμοποιούνται με απόδειξη.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
*
ή αβ=- α β
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
11.
-4-
Συνευθειακά σημεία Για να δείξουμε ότι τρία σημεία π.χ Α , Β , Γ είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουμε ότι:
ΑΒ // ΒΓ ΑΒ = λ ΒΓ ή
ΑΒ // ΑΓ ΑΒ = ρ ΑΓ
ή
ΑΓ // ΒΓ ΑΓ = μ ΒΓ
12. Βασική πρόταση
Αν α // β και κ α + λ β = 0 κ = λ = 0 (Να χρησιμοποιείται με απόδειξη)
13.
Συντεταγμένες διανύσματος Αν α = (x α , y α ) κ καιβ = (x β , y β ) τότε : α) α + β = (xα + xβ , yα + yβ) β) λ α = (λ xα , λ yα) γ) Αν α // x΄x τότε yα = 0 ενώ αν α // y΄y τότε xα = 0 . δ) Συντεταγμένες μέσου τμήματος
xA + xB yA + yB , 2 2
Α(xA,yA)
M
B(xB,yB)
ε) Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα
Α(xA,yA)
ΑΒ = (xB - xA , yB - yA)
B(xB,yB)
στ) Μέτρο διανύσματος
Αν α = (x , y) , τότε α =
x2 + y2
ζ) Απόσταση δύο σημείων
(ΑΒ) = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2 η) Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος
α = (x,y)
Αν x 0 τότε λ α = y
φ Ο
x
y = εφφ x
Αν x = 0 τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος και α //y΄y
α // β λ α = λ β , όταν xα , xβ 0
α // x΄x y = 0
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
α // y΄y x = 0
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
14.
Εσωτερικό γινόμενο α β = α β συν α , β πραγματικός αριθμός
→
α) α β
β) Αν α = 0 ή β = 0 , τότε α β = 0 γ) α β = β α (Αντιμεταθετική ιδιότητα) δ) Αν α β , τότε α β = 0 και αντιστρόφως . ε) Αν α β , τότε α β = α β και αντιστρόφως . στ) Αν α β , τότε α β = - α β και αντιστρόφως . 2 2 ζ) α = α . η) i j = j i = 0 και i 2 = j 2 = 1 . θ) α β λ α λ β = - 1 , όταν xα , xβ 0 Προσοχή
∙Γενικά δεν ισχύει : α ( β γ ) = ( α β ) γ ∙ Γενικά δεν ισχύει ο νόμος της διαγραφής: τότε
∙ δεν ορίζεται διαίρεση διανυσμάτων. ∙ α β α β . Η ισότητα ισχύει όταν : α // β . ∙ ( α β )2 α 2 β 2
. Η ισότητα ισχύει όταν : α // β .
Αν α = (xα , yα) και β = (xβ , yβ) τότε:
α β = xα xβ + yα yβ
Γωνία δύο διανυσμάτων
αβ συν α , β = α β x α xβ + yα yβ συν α , β = x 2α + y 2α x β2 + y β2 Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα
α β = α προβαβ προβαβ // α προβαβ = λα
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
-5-
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
15.
-6-
Γεωμετρικοί τόποι Για να βρούμε το γεωμετρικό τόπο ενός μεταβλητού σημείου Μ μετασχηματίζουμε με πράξεις τη διανυσματική ισότητα που ικανοποιεί το Μ σε απλούστερη και καταλήγουμε σε έναν από τους παρακάτω βασικούς γεωμετρικούς τόπους:
α) Αν τα σημεία Α , Β είναι σταθερά και ΜΑ = λ ΜΒ , τότε το Μ κινείται στην ευθεία ΑΒ.
β) Αν τα σημεία Α , Β , Γ είναι σταθερά και ΜΑ = λ ΒΓ , τότε το Μ κινείται σε ευθεία παράλληλη με την ΒΓ που περνά απ’ το Α.
γ) Αν το σημείο Α είναι σταθερό και ΜΑ = λ , λ > 0 , τότε το Μ κινείται σε κύκλο με κέντρο Α και ακτίνα λ.
δ) Αν τα σημεία Α , Β είναι σταθερά και ΜΑ = ΜΒ , τότε το Μ κινείται στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ.
ΜΑ ε) Αν τα σημεία Α , Β είναι σταθερά και
= λ , λ > 0 , τότε το
ΜΒ Μ κινείται σε κύκλο με διάμετρο ΓΔ , όπου Γ , Δ είναι τα συζυγή αρμονικά των Α , Β. (Απολλώνιος κύκλος)
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
-7-
Επανάληψη - Ασκήσεις
1. Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ για το οποίο ισχύει:
2 , 4 και ΟΑ, . Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ, να 3 υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας: ΟΑ, .
2. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 2) , Β(2 , -1) , Γ(3 , κ) και Δ(4 , λ) με κ , λ . α. Να υπολογίσετε το , όπου Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ .
β. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ ώστε . γ. Αν Ε(λ , 9) να βρείτε το θετικό πραγματικό αριθμό λ ώστε // . δ. Αν α = 0 , 4 , να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα β = 2ΑΒ + α με τον άξονα x΄x.
ε. Αν γ 2,1 , 1. τότε γ , ΑΒ 900 2. να βρείτε την προβ γ .
Σ
Λ
3. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB 2 , A 3 , 1 και : 2 . , 3 α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: , (4 2 )2 , ( )2 . β) Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ να εκφράσετε τα διανύσματα , , συναρτήσει των , . γ) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων , .
4. Αν α 2 , β 3 , γ 5 καια β γ 0 , να δείξετε ότι: α) α β β γ γ α - 5 .
β) Το τρίγωνο με πλευρές τα μήκη των διανυσμάτων α , β , γ είναι ορθογώνιο.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
-8-
5. Aν AB 2, 2 , A 3,1 A 1,3, να εξετάσετε αν τα σημεία Β , Γ, Δ είναι συνευθειακά.
6. Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με = 60 0 , πλευρά 5cm και Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω σχέσεις:
α) AB AΔ ......
β) AΒ , ΓΔ
γ) προβ ΒΑ .....
.....
δ) προβ ΒΑ .....
ΒΔ
ΒΔ
7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Αν ισχύει:
0 , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ 2
2
είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
π 8. Αν για τα διανύσματα α και β ισχύει : α = 4 , β = 3 και α , β = , να 3 βρείτε τη γωνία 3α + 4β , 2β .
9. Αν για τα διανύσματα α και β ισχύει : α = βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων α και β .
3 3 β και α 2α - 3β , να 4
10. Δίνονται τα διανύσματα α = (14,4) , β = (2,1) και γ = (-1,-2) . Να εκφραστεί το α ως γραμμικός συνδυασμός των β και γ.
11. 1. Δίνονται τα διανύσματα α και v με π α = 2 , v = 4 και α , v = . 3 Να αποδείξετε ότι η προβολή του v πάνω στο α είναι ίση με το διάνυσμα α . 2. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x , ώστε το διάνυσμα α = (x,43) να έχει μέτρο ίσο με 2000x - 150 .
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
-9-
12. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του. Αν Μ και Ν είναι τυχαία σημεία της ευθείας ΑΔ, να δείξετε ότι η παράσταση: είναι σταθερή, ανεξ άρτητη δηλαδή από τη θέση των Μ , Ν.
13. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με A B 90 0 και ονομάζουμε Μ το μέσο του ΑΒ.
Να δείξετε ότι: α) MΔ ΜΓ ΑΔ ΒΓ .
2
β) ΜΔ ΜΓ ΑΔ ΒΓ - ΜΑ .
14. α) Αν κα = λβ , κ , λ R και α , β δεν είναι συγγραμμικά , τότε : Α. κ λ Β. κ = λ = 0 Γ. κ > 0 και λ < 0 Δ. κ , λ ομόσημοι β) Αν α , β είναι ομόρροπα διανύσματα, κ , λ 0 , 1 , -1 και Β. κ , λ αρνητικοί κα + λβ = 0 , τότε: Α. κ , λ θετικοί Γ. κ , λ αντίστροφοι Δ. κ , λ ετερόσημοι
15. Αν = = α=γ.
=
να , αποδείξετε ότι: 1002και α β + β γ = - 2004
3
16. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB 3 , AΓ 4 , AB, A
και Μ μέσο
της ΒΓ. Α. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο AB AM . Β. Να υπολογίσετε το άθροισμα: AB AM + . Γ. Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας AB, AM . 3 Δ. Να δείξετε ότι: . 13
17. Στο επίπεδο Οxy δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με :
ΑΒ = 3 i + 4 j , ΒΓ = 2 i + j
α. Να δείξετε ότι: AΓ = 5 , 5 . β. Να γράψετε το διάνυσμα α = -2 , 4 ως γραμμικό συνδυασμό των
ΑΒ και ΑΓ .
β. Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου, να βρείτε το μέτρο του ΑΔ .
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
- 10 -
18. Τα διανύσματα α , β , γ και x του επιπέδου ικανοποιούν τη σχέση : ( α x ) β = γ + x . (α) Να αποδείξετε ότι : ( β α - 1 ) ( α x ) = γ α . (β) Αν β α 1 , να εκφράσετε το διάνυσμα x ως συνάρτηση των α , β , γ .
19. Χρησιμοποιώντας τη σχέση α β α β να αποδείξετε ότι: 6 8 10 .
20. Έστω τα διανύσματα α και β με μέτρο 1. Αν τα διανύσματα : 2 , να βρείτε τη γωνία: 2 4 και σχηματίζουν γωνία 3
, .
21. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1 , 2) , Β( -1 , -2) και Γ(-3 , 4). α. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η διάμεσος ΑΜ με την πλευρά ΑΓ. β. Να βρείτε την .
π . 4 β) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα α) να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσ ες εκ των οποίων η μία να είναι παράλληλη με το .
22. α) Αν α = (λ , 2) και β = (3 , 1) να βρείτε τον λ R αν : α , β =
23. Δίνονται τα διανύσματα α = (-1 , 1) και β = (1 , -1) . α) Να υπολογίσετε τη γωνία α , β . β) Αν τα διανύσματα p και q ικανοποιούν τις σχέσεις : 2p + q = α και p + 2q = β , να υπολογίσετε τη γωνία p , q .
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
- 11 -
24. Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα α , β , γ με α β γ 0 και 3 α 4 β 12 γ .
1. Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: α β , β γ , γ α συναρτήσει του γ .
2. Να υπολογίσετε τα συνημίτονα : συν α, β , συν β, γ , συν γ, α . 3. Να δείξετε ότι : α β , β γ , α γ . 4 4. Να δείξετε ότι : α - β , β 3γ , α - 4γ . 3
25. Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α και β ισχύουν: 2 και , να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α και β είναι αντίρροπα.
26. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ) = (ΑΓ), η διάμεσός του ΑΜ και η προβολή Δ του Μ στην ευθεία ΑΓ. Αν Κ είναι το μέσο του ΜΔ, τότε ισχύει: ΑΚ ΒΔ.
27. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΗ το ύψος του. Αν ισχύει: 2
, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.
28. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ , τυχαίος κύκλος με κέντρο Ο που περνά απ’ το Α και τέμνει τις ΑΒ , ΑΓ , ΑΔ στα Β΄ , Γ΄ , Δ΄
αντίστοιχα . Να δείξετε ότι : ΑΒ ΑΒ΄ + ΑΔ ΑΔ΄ = ΑΓ ΑΓ΄ .
29. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ.
2
Αν ΓΕ ΑΒ και ΓΖ ΒΔ , να δείξετε ότι: ΒΖ ΒΔ - ΒΕ ΒΑ = ΒΓ .
30. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Ο κύκλος που έχει διάμετρο την ΑΔ τέμνει τις ΑΒ, ΑΓ στα Ε, Ζ αντίστοιχα. 2
Να αποδείξετε ότι: .
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
- 12 -
31. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη του ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ και τ α μέσα Κ, Λ , Μ των πλευρών του ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: 0 .
32. Οι χορδές ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου τέμνονται κάθετα. Να αποδείξετε ότι: 0 .
33. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Β(0 , 1) , Γ(2 , 0) , ΑΔ ύψος του και
5 . Να δείξετε ότι: 5
α) 1 β) Αν το άθροισμα των συντεταγμένων του Α είναι ίσο με 3 να βρείτε τις συντεταγμένες του Α.
34. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με 6 . Να αποδείξετε ότι το σύνολο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει: 10 , είναι κύκλος με κέντρο το μέσο Κ του ΑΒ. Να προσδιορίσετε την ακτίνα του κύκλου.
35. Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ με OA 2 , OB 4 600. Αν για το σημείο Μ ισχύει: 2 , να υπολογίσετε το , .
36. Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων Ο x y βρίσκονται τρία πλοία που προσδιορίζονται από τα σημεία Α , Β , Γ αντίστοιχα.
Αν τα Α , Β , Γ ισαπέχουν από το Ο και ισχύει : ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ = 0 , να δείξετε ότι:
α) ΟΑ ΟΒ = ΟΒ ΟΓ = ΟΓ ΟΑ . β) τα πλοία ισαπέχουν μεταξύ τους. γ) η απόσταση των πλοίων που προσδιορίζονται από τα σημεία Α και Β είναι μικρότερη του 2.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
37.
- 13 -
π α = 1 , β = 4 , α , β = 3 Αν για τα διανύσματα α και β ισχύει : , γ// α β και α β γ
να βρείτε το διάνυσμα γ συναρτήσει των α και β .
38. Να αποδείξετε ότι αν α β και γ δ , τότε α β γ δ .
39. Έστω Οxy ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και τα διανύσματα 2,1 , 1,3 2, 2 . Να βρείτε σημείο Ρ του άξονα y΄y , ώστε η παράσταση 2
2
Α= 2 να παίρνει ελάχιστη τιμή.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
- 14 -
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
40. Δίνονται τα διανύσματα α = ( λ , λ - 1) και β = (4 , λ) , με λ 0 .
Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα α και β είναι κάθετα : Α. λ = 1 Β. λ = 3 Γ. λ = 2 Δ. λ = - 2 Ε. λ = - 3 (Πανελλήνιες 1999)
41. Δίνονται τα διανύσματα u = (1 , - 3 ) , v = (2 , 2 3) και w = ( 3 , 1) . Να αντιστοιχίσ ετε κάθε γωνία που βρίσκεται στη στήλη Α με το μέτρο της που βρίσκεται στη στήλη Β. (Πανελλήνιες 1999) Στήλη Α 1. Γωνία των u και v 2. Γωνία των u και w 3. Γωνία των v και w
Στήλη Β Α. π/2 Β. π/6 Γ. π/4 Δ. 2π/3 Ε. 3π/4 Ζ. π/3
42. Για τα διανύσματα α και β ισχύουν οι σχέσεις:
2α 3β (4 , - 2) και α - 3β (- 7 , 8) . α) Να δείξετε ότι : α (-1 , 2) και β (2 , - 2) . β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ, ώστε τα διανύσματα κα β και 2α 3β να είναι κάθετα. γ) Να αναλυθεί το διάνυσμα γ (3 , - 1) σε δύο κάθετες συνιστώσες , από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα α . Πανελλήνιες 2000)
π 43. Για τα διανύσματα α , β δίνεται ότι α 1 και β 2 και α , β . 3 Έστω τα διανύσματα u 2α 3β , v α - 2β . Να υπολογίσετε: α. Το εσωτερικό γινόμενο α β . β. Τα μέτρα των διανυσμάτων u και v . γ. Το εσωτερικό γινόμενο u v . δ. Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u και v . (Πανελλήνιες 2001)
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
- 15 -
44. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Ένα διάνυσμα και μία ευθεία, αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης είναι παράλληλα. β.Αν det α, β είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων α , β , τότε ισχύει η ισοδυναμία: α // β det α, β 1 . (Πανελλήνιες 2002)
45. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α.Αν
δίπλα στο γράμμα που
(δηλαδή τα έχουν αντίθετη κατεύθυνση) τότε
– α β
και αντιστρόφως.
β. Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα AB έχουμε
AB = OA – OB . (Πανελλήνιες 2003)
46. Δίνονται τα διανύσματα (1, 2) και (2,3) . Α. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 5 3 . Β. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει τ ο με τον άξονα x΄x. Γ. Να βρείτε τον αριθμό κ , ώστε το διάνυσμα ( 2 , ) να είναι κάθετο στο . (Πανελλήνιες 2004)
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
- 16 -
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Να συμπληρώσετε τα κενά: α) Αν α β , τότε α β =
β) Αν α β , τότε α β = γ) Αν α β , τότε α β = δ) α β λ α λβ =
β λ α = λβ
ε) α στ)
α β
α β
ζ) ( α β ) 2
α2 β 2
η) α β = α προβα θ) α β = ι) β
προββ α =
προβ
α
κ) Αν Ο σταθερό σημείο και Μ μεταβλητό, τότε ο γ.τ των σημείων Μ
του επιπέδου για τα οποία ισχύει: 7 παριστάνει:
λ) Αν Ο σταθερό σημείο και Μ μεταβλητό, τότε ο γ.τ των σημείων Μ
του επιπέδου για τα οποία ισχύει: 7 παριστάνει:
μ) Αν Ο σταθερό σημείο και Μ μεταβλητό, τότε ο γ.τ των σημείων Μ
του επιπέδου για τα οποία ισχύει: 7 παριστάνει:
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
- 17
ν) Αν τα σημεία Α , Β είναι σταθερά και ΜΑ = ΜΒ , τότε ο γ.τ των
σημείων Μ του επιπέδου είναι:
ξ) Αν α
β τότε:
0 ή α , β =
α = λ β με λ
ή
α+β =
ή
ή
α+β =
ή
α β= ο) Αν α
β τότε:
0 ή α , β =
α = λ β με λ
α β=
π) Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με = 60 0 , πλευρά 6cm και Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω σχέσεις:
1. AB AΔ
2. AΒ , ΓΔ
3.
4. προβ ΒΑ
ΒΔ
5. AB AΟ
6. AΓ , ΟΒ
7. AΟ , ΓΒ
ρ) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με = 90 0 , Γ = 30 0 , (ΒΓ) = 8 και Μ το μέσο της ΒΓ . Τότε :
1. ΑΒ ΑΓ
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
2. ΑΒ ΑΜ
3. ΑΓ ΑΜ
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
4. ΑΒ ΜΑ
- 18 -
5. ΜΒ ΜΓ
σ1) Αν κα = λβ με κ λ, R και α , β μη συγγραμμικά,τότε κ = λ =
σ2) Τα διανύσματα α και β έχουν μέτρα 2 και 5 αντίστοιχα . Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:
a,
a
00 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 σ3) Τα διανύσματα α = (λ , 4) και β = (λ - 4 , 1) είναι κάθετα.
Ο πραγματικός αριθμός λ ισούται με : σ4) Τα διανύσματα α = (λ 2 , 2λ) και β = (1 , - 2) είναι παράλληλα .
Ο πραγματικός αριθμός λ ισούται με : σ5) Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 4 cm και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Τότε
Α. ΑΒ ΓΒ = Δ. ΑΒ ΓΔ =
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
Β. ΑΟ ΑΒ = Ε. ΟΒ ΒΑ =
Γ. ΑΒ ΑΓ =
.
Μαθηματικά Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Επανάληψη Διανύσματα
σ6) Αν α β > 0 , τότε η α , β
σ7) Αν
900 .
κ = 2 , v = 3 , κ v = - 3 και 0 θ = κ , v < π , τότε θ =
σ8) i j =
σ9) α - β
και i 2 j 2 =
α+β
.
α + β.
σ10) Αν α = β = 1, τότε α + β
.
σ11) Αν α = β = 1, τότε α - β
.
σ12) Αν α = β = 1, τότε
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
2
α-β
- 19 -
.
.