Μαθηματικά Κατ Β Λυκείου Η Ευθεία στο Επίπεδο by MICHAEL MAGKOS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

Η ευθεία στο επίπεδο

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

1. Τι ονομάζεται εξίσωση γραμμής ; Απάντηση Μια εξίσωση με δύο αγνώστους x , y θα λέμε ότι είναι η εξίσωση μιας γραμμής C ή αλλιώς ότι παριστάνει τη γραμμή C , όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C και μόνο αυτές την επαληθεύουν .

2. Πότε λέμε ότι η ευθεία ε σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία ω ; Απάντηση Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο Ρ. (σχ.1) Τη γωνία ω που διαγράφει ο άξονας x΄x στρεφόμενος γύρω απ’ το Ρ κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ε , την ονομάζουμε ΄΄γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα x΄x ΄΄. Αν ε // x΄x , τότε ορίζουμε ως γωνία που σχηματίζει η ε με τον x´x τη γωνία ω = 0 . Σε κάθε περίπτωση ισχύει : 0  ω < π

y ε

ω Ο ε

x σχ.1

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

3. Τι ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας ε ; Απάντηση Έστω ευθεία ε που σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία ω .  Αν η ε δεν είναι παράλληλη προς τον άξονα y΄y , δηλαδή ω 

π θα ονομάζουμε 2

συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ε την εφω και θα τον συμβολίζουμε με λ . Συνεπώς:

Αν ω 

π τότε 2

λ = εφω

 Αν η ευθεία ε είναι παράλληλη προς τον άξονα y΄y , δηλαδή ω = ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε .

π , τότε δεν 2

4. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας ε είναι ίσος με το συντελεστή διεύθυνσης οποιουδήποτε διανύσματος παράλληλου προς την ε .

Απάντηση Έστω μια ευθεία ε που σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα x΄x και δ = (α , β) διάνυσμα παράλληλο προς την ε που σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα x΄x . (σχ.2) Τότε : φ = ω (σχ.2α) ή φ = π + ω (σχ.2β) . Άρα εφφ = εφω . Όμως εφφ =

β β , όπου είναι ο συντελεστής διεύθυνσης του δ και α α

εφω = λ Συνεπώς :

, όπου λ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ε .

Αν ε // δ , με δ = (α , β) τότε

λε =

β α

β δ Ο

Ο δ

σχ.2α

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

x σχ.2β

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

5. Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης λ μιας ευθείας ε όταν είναι γνωστές οι συντεταγμένες δύο σημείων αυτής .

Απάντηση Έστω Α ( x1,y1 ) και Β ( x2,y2 ) δύο διαφορετικά σημεία της ευθείας ε με x1  x 2 . (σχ.3) 



Τότε ΑΒ = ( x 2 - x1 , y 2 - y1 ) και AB // ε . Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της ε θα είναι ίσος με το συντελεστή διεύθυνσης του 

διανύσματος AB . Συνεπώς :

y - y1 λ= 2 x 2 - x1

B(x2,y2) .

. A(x1,y1) x

σχ.3

6. Να διατυπώσετε τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών .

Απάντηση Έστω ε1 , ε2 δύο διαφορετικές ευθείες του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ1 και λ2 αντίστοιχα και δ1 , δ2 δύο διανύσματα παράλληλα προς αυτές . Τότε : δ1 // δ2 ⇔ λ1 = λ2

Άρα :

και

δ1  δ2 ⇔ λ1λ2 = -1

ε1 // ε2 ⇔ λ1 = λ2

και

ε1 ⊥ ε2 ⇔ λ1 λ2 = -1

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

7. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α ( x0 , y0 ) και έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης λ . Απάντηση Έστω σημείο Μ(x , y) διαφορετικό του Α(x0 , y0) . σχ.4 

Το Μ ανήκει στην ευθεία ε αν και μόνο αν το διάνυσμα AM = (x - x 0 , y - y 0 )

είναι



παράλληλο προς την ε ή αν και μόνο αν ο συντελεστής διεύθυνσης του AM είναι ίσος με το συντελεστή διεύθυνσης της ε 

y - y0 = λ  y - y 0 = λ ( x - x 0 ) (1). x - x0

Η εξίσωση (1) επαληθεύεται και από τις συντεταγμένες του σημείου Α(x0 , y0) . Άρα η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας θα είναι : y - y0 = λ ( x - x 0 )

. Μ (x , y) O ε

. A (x0 , y0) σχ.4

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

Παρατηρήσεις (Ειδικές περιπτώσεις ευθειών)  Αν η ευθεία ε είναι παράλληλη προς τον άξονα y΄y ( δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης ) (σχ.5) και διέρχεται από το σημείο Α(x0 , y0) , θα έχει εξίσωση : x = x0 . Πράγματι ένα σημείο Μ(x , y) ανήκει στην ε αν και μόνο αν έχει την ίδια τετμημένη με το σημείο Α(x0 , y0) δηλαδή x = x0 . σχ.5

y ε

σχ.6 A(x0 , y0) Μ(x , y)

Α(0 , β)

x = x0

y = λx + β

 Η εξίσωση της ευθείας ε που τέμνει τον y΄y στο σημείο Α(0 , β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ (σχ.6) είναι : y - β = λ ( x - 0 )  y = λx + β .  Η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ (σχ.7) είναι : y - 0 = λ ( x - 0 )  y = λx .  Η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται απ’ το σημείο Α(x0 , y0) και είναι παράλληλη προς τον x΄x (σχ.8) είναι : y - y0 = 0 ( x - x0)  y = y0 .

y = y0

ε y0 O

y = λx σχ.7

Α(x0 , y0) x

σχ.8

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

8. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από δύο σημεία Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) .

Απάντηση (α) Αν x1  x2 . Τότε ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε (σχ.9α) που είναι : λ=

y 2 - y1 x 2 - x1

. Άρα η ευθεία ε αφού διέρχεται και απ’ το σημείο Α(x1 , y1) έχει

εξίσωση :

y - y1 =

y2 - y1 ( x - x1 ) x 2 - x1

(β) Αν x1 = x2 . Τότε η ευθεία ε είναι παράλληλη προς τον άξονα y΄y (σχ.9β) . Άρα η ε έχει εξίσωση : x = x1 . ε

Β(x1,y2)

B(x2,y2)

A(x1,y1)

A(x1,y1) O

x σχ.9α

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

x σχ.9β

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

9. Να αποδείξετε ότι : ΄΄ κάθε ευθεία ε του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Αx + By + Γ = 0 , με Α  0 ή Β  0 (1) και αντίστροφα, κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή΄΄.

Απάντηση (  ) Έστω μια ευθεία ε του επιπέδου.  Αν η ε τέμνει τον y΄y στο σημείο Σ(0,β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ , τότε έχει εξίσωση y = λx + β  λx + (-1)y + β = 0 δηλαδή γράφεται στη μορφή Αx + By + Γ = 0 με Α = λ , Β = -1 και Γ = β .  Αν η ε είναι παράλληλη προς τον άξονα y΄y και Α(x0,y0) ένα σημείο της , τότε έχει εξίσωση x = x0  x + 0y + (-x0) = 0 δηλαδή γράφεται στη μορφή Αx + By + Γ = 0 με Α = 1 , Β = 0 και Γ = - x0 . (  ) Έστω η εξίσωση Αx + By + Γ = 0 , με Α  0 ή Β  0 . A Γ , η οποία παριστάνει xB Β A ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = και τέμνει τον y΄y στο σημείο B Γ Σ(0, - ) . Β

 Αν Β  0 , τότε η εξίσωση (1) γράφεται : y = -

 Αν Β=0 , τότε η εξίσωση (1) γράφεται : Αx + Γ = 0

Α 0

x= -

Γ Α

, που παριστάνει ευθεία παράλληλη προς τον y΄y

και τέμνει τον x΄x στο σημείο P( -

Γ , 0) . Α

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

10.

Να δείξετε ότι : α) Η ευθεία με εξίσωση Αx + By + Γ = 0 είναι παράλληλη προς το διάνυσμα: δ = ( Β , - Α) . β) Η ευθεία με εξίσωση Αx + By + Γ = 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα: δ΄ = ( Α , Β) .

Απάντηση (α) ∙Αν B  0 , τότε : Συντελεστής διεύθυνσης της ε : λ = -

Α . Β

 Συντελεστής διεύθυνσης του δ = ( Β , - Α )

: -

Α . Β

 Άρα: ε // δ .

∙Αν B=0 , τότε :   ε // y΄y και δ = ( Β , - Α ) παράλληλο με τον y΄y αφού Β=0. Άρα : ε // δ .   (β) Το διάνυσμα δ΄ = ( Α , Β ) είναι κάθετο στο δ = ( Β , - Α ) , διότι :     δ  δ΄ = ΑΒ - ΑΒ = 0 . Επειδή ε // δ έχουμε : ε  δ΄ .  Παρατήρηση Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ευθεία ε σε αυτό με εξίσωση : Αx + By + Γ = 0 , με Α  0 , Β  0 (1) . Γ Για x = 0 η (1) γίνεται y =  , αν Β  0 , δηλ. η ε τέμνει τον y΄y στο σημείο Β Γ Σ(0,  ) . (σχ10) Β Γ Για y = 0 η (1) γίνεται x =  , αν Α  0 , δηλ. η ε τέμνει τον x΄x στο σημείο Α Γ Ρ(  ,0) . Α Γ Γ Οι αριθμοί α =  και β =  λέγονται συντεταγμένες επί την αρχή της Α Β ευθείας ε . Ειδικότερα : Γ  Οα=  τετμημένη επί την αρχή . Α Γ  Οβ=  τεταγμένη επί την αρχή . Β Με τη βοήθεια των συντεταγμένων επί την αρχή η εξίσωση της ε γράφεται : Αx + By + Γ = 0  Αx + By = - Γ

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

Ax Βy + = 1 , αν Γ  0 -Γ -Γ x y  + = 1 , αν Α , Β , Γ  0             

Γ ) Β

x y + =1 α β

σχ.10

y Σ(0, -



 Γ  ,0   Α 

Ρ(  -

11.

Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, ε μια ευθεία με εξίσωση Αx+By+Γ=0 και Μ(x1,y1) ένα σημείο εκτός αυτής. Ποια είναι η απόσταση του σημείου Μ απ’ την ευθεία ε;

Απάντηση d(M, ε) =

Αx1 + By1 + Γ Α 2 + Β2

M(x1,y1)

x σχ.11

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

12. Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και

Α(x1,y1) , B(x2,y2) , Γ(x3,y3) τρία μη συνευθειακά σημεία αυτού . Να γράψετε με τι είναι ίσο το εμβαδόν (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ .

Απάντηση   1 det ( BΓ , ΒΑ) 2   1 (ΑΒΓ) = det ( ΑB , ΑΓ) 2   1 (ΑΒΓ) = det ( ΓΑ , ΓΒ) 2

(ΑΒΓ) =

A(x1,y1)

B(x2,y2)

Γ(x3,y3) Ο

x σχ.12

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

158. Κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή ή λάθος .

Αν είναι σωστή κυκλώστε το Σ αν είναι λάθος κυκλώστε το Λ . α) Η ευθεία ε : y = 5 είναι παράλληλη στον άξονα x΄x . β) Η ευθεία ε : y = 15x + 2012 σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα x΄x. γ) Η ευθεία ε : x = 6 είναι κάθετη στον άξονα y΄y . δ) Οι ευθείες ε1 : x = 3 και ε2 : y = -2 είναι κάθετες . ε) Οι ευθείες ε1 : y = 3x + 2 και ε2 : 3y = 9x - 1 είναι παράλληλες . στ) Οι ευθείες ε1 : y = 2x και ε2 : y = -2x είναι κάθετες . ζ) Το σημείο Α(-2 , 3) ανήκει στην ευθεία ε : 2y - 3x = 12 . η) Οι ευθείες ε1 : y = 3x και ε2 : y = 3x + 1 τέμνονται . θ) Οι ευθείες ε1 : y = 2010x+2 και ε2 : x = 1τέμνονται στο Α(1,2012) ι) Το σημείο Α(0,-2) ανήκει στην ευθεία ε : y + 2 = 0 . κ) Η εξίσωση μx+(μ-2)y+μ2-2μ = 0 παριστάνει ευθεία για κάθε μ  R . λ) Αν η ευθεία ε : x + y + 1 = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = (κ,2) τότε κ = -2 . μ) Αν η ευθεία ε : 2x - 3y + 1 = 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα δ = (λ,3) τότε λ=2. ν) Έστω ευθεία ε και Μ ένα σημείο του 4ου τεταρτημορίου. Τότε d(M,ε) < 0 . ξ) Η απόσταση του σημείου Α(3,2) από την ευθεία ε : y + 3x - 2 = 0 είναι ίση με 4 . ο) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,2) , Β(3,4) και Γ(2,1) . Τότε (ΑΒΓ) = 6 .

159. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις . α) Η εξίσωση y = 3 παριστάνει ευθεία η οποία είναι .......................... στον άξονα y΄y και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = ........ β) Η εξίσωση x = α παριστάνει ................ η οποία είναι .......................... στον άξονα ....... και ο συντελεστής διεύθυνσής της ................................... γ) Η εξίσωση 2x + y + 3 = 0 παριστάνει ευθεία που σχηματίζει με τον άξονα x΄x ................ γωνία . Η ευθεία αυτή τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο ......... και τον άξονα y΄y στο σημείο ............... και έχει συντελεστή διεύθυνσης ................ δ) Έστω η ευθεία y = λx + β . Να βάλετε το κατάλληλο σύμβολο < ή > ή = στις παρακάτω προτάσεις :  λ ..... 0 και β ..... 0 i) Η ε δε διέρχεται από το 1ο τεταρτημόριο ο  λ ..... 0 και β ..... 0 ii) Η ε δε διέρχεται από το 2 τεταρτημόριο ο  λ ..... 0 και β ..... 0 iii) Η ε δε διέρχεται από το 3 τεταρτημόριο  λ ..... 0 και β ..... 0 iv) Η ε δε διέρχεται από το 4ο τεταρτημόριο ο ο  λ ..... 0 και β ..... 0 v) Η ε βρίσκεται στο 1 και το 2 τεταρτημόριο ε) Η εξίσωση Αx + By + Γ = 0 παριστάνει ευθεία γραμμή όταν είναι ........... ή ............ Η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία : ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

i) παράλληλη στον άξονα x΄x όταν ................... ii) παράλληλη στον άξονα y΄y όταν ................... iii) που διέρχεται από την αρχή των αξόνων όταν ................ Τα διανύσματα δ = (Β , -Α) , η = (-Β , Α) και ε = (-λΑ , λΒ) με λ  0 ...................... σ’ αυτήν την ευθεία . Τα διανύσματα α = (Α,Β) , β = (-Α , -Β) και γ = (λΑ , λΒ) με λ  0 ....................... σε αυτήν την ευθεία . στ) Η απόσταση των ευθειών ε1 : 2x - 3y = 1 και ε2 : x -

είναι είναι

3 y = 3 είναι ίση με 2

............... ζ) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,3) , Β(2,4) και Μ(3,4) όπου Μ το μέσο της ΒΓ. Τότε (ΑΒΓ) = ..............

160.

Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις : α) Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(1,2) και είναι κάθετη στην ευθεία ζ : 2y + x = 3 έχει εξίσωση : Α. y = 2x + 1 Β. 2y = 3x + 1 Γ. y = 2x Δ. 3y + x = 7 β) Αν το διάνυσμα δ = (2 , -6) είναι παράλληλο στην ευθεία ε τότε ο λε είναι: Α.2

Β. -6

Γ. -3

Δ. -

1 3

γ) Δίνονται τα σημεία Α(-1,1) , Β(0,4) . Αν η ευθεία ε : y = (α+β)x + γ + 2 διέρχεται από τα σημεία Α και Β και έχει συντελεστή διεύθυνσης 3 , τότε το α + β + γ είναι ίσο με : Α. 1 Β. 2 Γ. 3 Δ. 4 Ε. 5 δ) Αν Α(1,3) και Β(5,3) , το συμμετρικό του μέσου του ΑΒ ως προς τον άξονα x΄x είναι το: Α. (2,3) Β. (2, -3) Γ. (3 , -3) Δ. (-3,3) Ε. (-3 , -3) ε) Τα σημεία Α(1,1) , Β(3,3) και Γ(5,κ) είναι συνευθειακά . Η τιμή του κ είναι: Α. -4 Β. 3 Γ. 1 Δ. -1 Ε. 5 στ) Έστω η ευθεία ε : 3x - 4y = -24 και η ευθεία (ζ) που είναι παράλληλη στην (ε) και απέχει από αυτήν 4κ .Μια πιθανή εξίσωση για τη (ζ) είναι η : Α. 3x-4y+4=0 B. 3x-4y=0 Γ. 4y=3x+4 Δ. 12y=9x-8 Ε. 4y=3x+8 ζ) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Το εμβαδόν του είναι ίσο με : Α. Δ.

  1 det( AB , AΓ) 2   1 det( BΓ , ΒΑ ) 2



Β. det( BΓ , ΒΑ )

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Γ.

  1 det( ΓΑ , ΓΒ ) 2

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

161. Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε ευθεία της στήλης Α με το συντελεστή διεύθυνσής της που βρίσκεται στη στήλη Β .

Στήλη Α 2x + y + 2 = 0 -2x + 3y + 5 = 0

Στήλη Β δεν ορίζεται 

4 3

2x + 3 = 0 8y + 4 = 0

0 -2

x y + =1 3 4



x-3=0

1 2 2 3

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Εξίσωση γραμμής 1) Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της . 2) Για να βρούμε τα κοινά σημεία δύο γραμμών ( αν υπάρχουν ) λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους . 3) Για να δείξουμε ότι μια γραμμή C έχει άξονα συμμετρίας τον y΄y αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε σημείο Μ(x,y) της C και το Μ΄(-x,y) ανήκει στη C. Αν η εξίσωση είναι στη μορφή y = f(x) αρκεί να δείξουμε ότι η f είναι άρτια . 4) Για να δείξουμε ότι μια γραμμή C έχει άξονα συμμετρίας τον x΄x αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε σημείο Μ(x,y) της C και το Μ΄(x,-y) ανήκει στη C. 5) Για να δείξουμε ότι μια γραμμή C έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε σημείο Μ(x,y) της C και το Μ(-x,-y) ανήκει στη C. Αν η εξίσωση είναι στη μορφή y = f(x) αρκεί να δείξουμε ότι η f είναι περιττή. 6) Για να βρούμε την εξίσωση της συμμετρικής μιας γραμμής C ως προς τον άξονα x΄x αρκεί να αντικαταστήσουμε όπου x το x και όπου y το -y στην εξίσωση της C . 7) Για να βρούμε την εξίσωση της συμμετρικής μιας γραμμής C ως προς τον άξονα y΄y αρκεί να αντικαταστήσουμε όπου x το -x και όπου y το y στην εξίσωση της C . 8) Για να βρούμε την εξίσωση της συμμετρικής μιας γραμμής C ως προς την αρχή των αξόνων Ο αρκεί να αντικαταστήσουμε όπου x το -x και όπου y το -y στην εξίσωση της C .

162. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραμμών με εξισώσεις : α) β) γ) δ)

(C1) (C3) (C5) (C7)

: : : :

2x - 3y = 0 2x - 3y = 0 x2 + y2 = 10 2x2 + y2 = 9

και και και και

(C2) : x2 + y2 - 2x + 3y = 0 (C4) : x2 + y2 = 25 (C6) : (x - 4)2 + y2 = 2 (C8) : 3x2 - 2y2 = 10

163. Να δείξετε ότι η γραμμή (C) : x2 + y2 = 25 έχει άξονες συμμετρίας τους x΄x και y΄y και κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων .

164. Να βρεθεί ο λ  R ώστε το σημείο Α(6,3) να είναι σημείο της γραμμής (C) : y2 + 3λx + (9 + λ)y + 27 = 0 .

165. Δίνεται η γραμμή (C) : x2 - y2 + 3x - 5y = 1 .

Να βρείτε την εξίσωση της συμμετρικής της γραμμής (C΄) α) ως προς τον άξονα x΄x β) ως προς τον άξονα y΄y γ) ως προς την αρχή των αξόνων

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

Β. Εύρεση συντελεστή διεύθυνσης 1) Αν ω = 0 , τότε ε // x΄x .  Αν ε  Αν ω =

y΄y (δηλ. ω 

π ) τότε λ ε = εφω 2

π (δηλ. ε // y΄y) δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης της ε . 2

2) Αν δ = (α , β) και δ // ε τότε λ ε =

β . α

3) Αν Α(x1,y1) και Β(x2,y2) σημεία της ε , τότε :  αν χ1  χ2 τότε: λ =

y 2 - y1 . x 2 - x1

 αν χ1 = χ2 τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης της ε . 4) ε1 // ε 2  λ ε1  λ ε2 και ε1  ε 2  λ ε1  λ ε2  - 1 .

166. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε) , η οποία διέρχεται από τα σημεία : α) Α(4,2), Β(3,1)

β) Α(-1,-3), Β(-2,3)

γ) Α(3,5), Β(3,4) δ) Α(2,1) , Β(-4,1)

167. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε) , η οποία σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία : α)

π 3

β)

π 4

γ)

π 6

δ)

2π 3

ε)

3π 4

στ)

5π 6

168. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε) , όταν η (ε) : α) είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = (-2 , 3) . β) είναι κάθετη στο διάνυσμα α = (3 , -1) . γ) είναι παράλληλη στην ευθεία (ζ) : 3x +2y - 1 = 0 . δ) είναι κάθετη στην ευθεία (η) : 3y - x - 6 = 0 . ε) είναι παράλληλη στην ευθεία (ε1) : x = 1 . ζ) είναι κάθετη στην ευθεία (ε2) : y - 3 = 0 .

169. Δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 διέρχονται από τα σημεία Α(5,0) και

Β(-5,0) αντίστοιχα και τέμνουν την ευθεία : (ε3) : 4x + 3y - 25 = 0 στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα ώστε: (ΓΔ) = 5. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης των ε1 και ε2.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

Γ. Εύρεση εξίσωσης ευθείας 1) Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από γνωστό σημείο Α(x0,y0) και έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης λ : y - y0 = λ (x - x0) . Αν ε // y΄y ,τότε : x = x0 ενώ αν ε // x΄x τότε : y = y0 . Αν η ε τέμνει τον άξονα y΄y στο Α(0,β) τότε : y = λ x + β . Αν η ε διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων τότε : y = λ x . 2) Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία Α(x1,y1) και Β(x2,y2) α) Αν x1  x2 , τότε : (ε): y - y1 =

y 2 - y1 ( x - x1 ) x2 - x1

β) Αν x1 = x2 , τότε (ε): x = x1 . 3) Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας της οποίας είναι γνωστός ο συντελεστής διεύθυνσης λ και μια ιδιότητα που έχει αυτή η ευθεία Γράφουμε την εξίσωση της ευθείας στη μορφή y = λ x + β ( λ : γνωστό ) . Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα της ευθείας και βρίσκουμε και το β . 4) Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας της οποίας είναι γνωστό ένα σημείο της Α(x0,y0) και μια ιδιότητά που έχει αυτή η ευθεία α) Εξετάζουμε αν η ευθεία x = x0 έχει ή όχι την ιδιότητα της ζητούμενης ευθείας οπότε θα είναι ή όχι λύση της άσκησης . β) Γράφουμε την εξίσωση της ευθείας στη μορφή y - y0 = λ (x - x0) (x0 και y0 : γνωστά) . Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα της ευθείας και βρίσκουμε το λ . 5) Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας ζ που διέρχεται από γνωστό σημείο Α(x0,y0) και είναι παράλληλη σε γνωστή ευθεία ε : y = λε x + β έχουμε : λ ε  λ ζ και άρα (ζ) : y - y0 = λζ (x - x0) . 6) Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας ζ που διέρχεται από γνωστό σημείο Α(x0,y0) και είναι κάθετη σε γνωστή ευθεία ε λ ε  λ ζ = -1  λζ = -

1 λε

και άρα (ζ):y - y0 = 

1 (x - x0) . λε

Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να βρούμε τις εξισώσεις των υψών και τις εξισώσεις των μεσοκαθέτων ενός τριγώνου του οποίου γνωρίζω τις συντεταγμένες των κορυφών του . 7) Για να βρούμε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης δύο παράλληλων ευθειών (ε1) : A1x + B1y + Γ1 = 0 και (ε2) : Α2x + B2y + Γ2 = 0 α΄ τρόπος α) Βρίσκουμε πρώτα ένα σημείο Α(x1,y1) και ένα σημείο Β(x2,y2) της ε2 . β) Βρίσκουμε το μέσο Μ του ΑΒ : Μ(

x1 + x 2 y 1 + y 2 ). , 2 2

γ) Η μεσοπαράλληλη έχει τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης με τις ε1 , ε2 ,έστω λ . δ) Η εξίσωσή της είναι : y -

y1 + y 2 x + x2 =λ(x- 1 ). 2 2

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

β΄ τρόπος Αν Μ(x,y) σημείο της μεσοπαράλληλης τότε : d(M,ε1) = d(M,ε2) 

A1x + B1y + Γ1 Α12 + Β12

Α 2 x + B2 y + Γ2 Α 22 + Β22

Η τελευταία είναι και η εξίσωσή της . 8) Για να βρούμε την εξίσωση της διχοτόμου δ δύο τεμνόμενων ευθειών ε1 : Α1x + Β1y + Γ1 = 0 και ε2 : Α2x + B2y + Γ2 = 0 κάνουμε τα εξής : Αν Μ(x,y) σημείο της δ θα ισχύει : d(M,ε1) = d(M,ε2)  

A1x + B1y + Γ1 Α12 + Β12

Α 2 x + B2 y + Γ2 Α 22 + Β22



Α x + B2 y + Γ2  Α1x + B1 y + Γ1 = 2  Α12 + Β12 Α 22 + Β22    Α1x + B1y + Γ1 = - Α 2 x + B2 y + Γ 2  Α12 + Β12 Α 22 + Β22 

Οι τελευταίες είναι οι εξισώσεις των διχοτόμων . 



Για να εξετάσουμε ποιών γωνιών ( ε1 ,ε 2 ) ή ( ε 2 ,ε1 ) είναι οι διχοτόμοι, κάνουμε σχήμα και το ελέγχουμε γεωμετρικά .

170. Δίνονται τα σημεία Α(1,1) , Β(-1,3) και Γ(2,-4) . α) β) γ) δ)

Να Να Να Να

βρεθεί βρεθεί βρεθεί βρεθεί

η εξίσωση του ύψους του ΑΒΓ που διέρχεται από το Α. η εξίσωση της διαμέσου του ΑΒΓ που διέρχεται από το Β. το σημείο τομής των παραπάνω ευθειών. η εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ.

171. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (η) που διέρχεται από το Α(-1,2) και : α) είναι παράλληλη στην ευθεία y = 3x + 1 β) είναι κάθετη στην y = -2x + 3 γ) σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία ω = 120 δ) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x ε) είναι κάθετη στον άξονα x΄x.

172. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή Β(1,2). Το ύψος και η διάμεσος από μια

κορυφή είναι x – 2y + 1 = 0 και x – y = 0 αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του και του βαρύκεντρου.

173. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3,6) , Β(1,2) , Γ(5,4) . Να βρείτε: α) τις εξισώσεις της διαμέσου ΑΜ και του ύψους ΑΔ .



β) τις συντεταγμένες του σημείου G του τριγώνου ώστε AG 

2  AM . 3

γ) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το G και τέμνει την πλευρά 



ΑΒ στο Ρ , ώστε ΑΡ = 2 ΡΒ .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

174. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) , η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών (ζ): x + 2y - 4 = 0 , τμήματος ΑΒ με Α(2,3) και Β(4,-5) .

(η): x - y - 1 = 0 και από το μέσο του

175. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται απ’ το σημείο Μ(3,0) και

τέμνει τις ευθείες (ε1) : 2x - y - 3 = 0 , (ε2) : x + y + 3 = 0 στα Α , Β ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ .

176. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών , που διέρχονται από το σημείο Α(-2,3) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο .

177. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων

και το μεταξύ των ευθειών (ε1) : 2x - y + 5 = 0 , (ε2) : 2x - y + 10 = 0 τμήμα της έχει μέτρο 5 .

178. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ’ το σημείο Κ(1,-1) και τέμνει τις ευθείες (ε) : x + y - 1 = 0 και (η) : x + y + 3 = 0 σε δύο σημεία Α , Β αντίστοιχα , ώστε (ΑΒ) = 4 .

179. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-10,2) , Β(6,4) και ορθόκεντρο Η(5,2) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του Γ και τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου .

180. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ με Α(1,3) αν x - y + 1 = 0, y - 1 = 0 είναι οι εξισώσεις δύο διαμέσων του .

181. Δύο ύψη του τριγώνου ΑΒΓ έχουν εξισώσεις : 2 x - 3 y + 1 = 0 και x + y =0 . Αν Α(1,2) να βρείτε τις εξισώσεις των άλλων πλευρών του .

182. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν Α(4,1) και ένα ύψος του και μια διάμεσός του έχουν εξισώσεις αντίστοιχα : y = - x + 1 και 3y = -2x + 2 .

183. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ αν Α(1 , 2) και οι εξισώσεις του ύψους και της διαμέσου που φέρνουμε από την ίδια κορυφή είναι αντίστοιχα : y = 2x + 4 και y = - x + 1 .

184. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ με Α(4,-1) αν x - 1 = 0 και x - y - 1 = 0 είναι οι εξισώσεις δύο διχοτόμων του .

185. Στο τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή του Γ(8,-2) , το ύψος του ΑΔ : 6x - 5y + 18 = 0 και η διχοτόμος του ΑΕ : 3x + y - 12 = 0 . Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του .

186. Στο τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή του Α(4,-1) και οι εξισώσεις :

14x - 13y - 9 = 0 και x - 1 = 0 μιας διαμέσου του και μιας διχοτόμου του

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

αντίστοιχα , οι οποίες άγονται από διαφορετική κορυφή. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του .

187. Τρίγωνο ΑΒΓ έχει κορυφή Α(3,1) , ορθόκεντρο Η(6,2) και εξίσωση

μεσοκάθετης της ΑΒ την ευθεία x + 3y – 26 = 0. Να βρεθούν το σημείο Β , η εξίσωση της ΑΓ και της ΒΓ.

188. Τρίγωνο ΑΒΓ έχει κορυφή Α(1,2) , ύψος ΒΕ με εξίσωση x +3y = 3 και διάμεσο ΓΜ με εξίσωση y – x + 11 = 0. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ.

189. Τρίγωνο ΑΒΓ έχει κορυφή Α(1,2) , διχοτόμο ΒΕ με εξίσωση x + y = 6 και ύψος ΓΖ με εξίσωση x + 2y + 3 = 0. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ.

190. Δίνονται οι ευθείες 4x – y + 14 = 0 και x – 4y – 4 = 0. Να βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόμων τους.

191. Αν τα σημεία Δ(-1,2) , Ε(0,5) και Ζ(4,-3) είναι τα μέσα των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ , να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ .

192. Δίνεται η ευθεία (ε) : y = x + 2 και το σημείο Α(2,3) . Να βρείτε :

α) την εξίσωση της ευθείας (ζ) που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε) β) την προβολή του Α πάνω στην (ε) . γ) τις συντεταγμένες του συμμετρικού του σημείου Α ως προς την (ε) .

193. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ του οποίου οι δύο πλευρές έχουν εξισώσεις :

ε1 : y = x + 1 και ε2 : y = - x + 2 . Αν Α(1 , 3) να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του και της διαγωνίου του ΑΓ .

194. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ και οι ευθείες ΑΒ και ΑΔ έχουν εξισώσεις :

x + 2y - 1 = 0 και 2x - y + 3 = 0 αντίστοιχα . Αν το κέντρο Κ του ΑΒΓΔ έχει  

συντεταγμένες 1 ,

3  , να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών ΒΓ και ΓΔ . 4

195. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών : (ε) : 2x - y + 3 = 0 και (η) : 2x - y - 3 = 0 .

196. α) Να δείξετε ότι τα σημεία Α(2,9) , Β(-3,12) , Γ(-8,15) και Δ(7,6) είναι

συνευθειακά . β) Να βρεθεί ο x  R ώστε τα σημεία Α(-1,2) , Β(-2,-3) και Γ(x,-2) να είναι συνευθειακά .

197. Η υποτείνουσα ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ορίζεται από τα σημεία Β(1,3) και Γ(-3,1) . Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του και τις

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

συντεταγμένες της κορυφής Α .

198. Δίνονται οι ημιευθείες y = λx και y = -λx με λ>0 , x>0 και η ευθεία (ε) η

οποία τις τέμνει στα Α και Β αντίστοιχα . Να βρείτε τις συντεταγμένες των Α και Β συναρτήσει των συντεταγμένων του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ . 1 2

199. Να βρείτε την ευθεία που είναι κάθετη στην y =  x + 2 και τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα ώστε η τετμημένη του Α και η τεταγμένη του Β να έχουν άθροισμα ίσο με 3.

200. Δίνονται τα σημεία Α(8,0) και Β(0,4) του καρτεσιανού επιπέδου Οxy.

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από την αρχή των αξόνων Ο και το μέσο Δ του τμήματος ΑΒ. β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Δ και είναι κάθετη στην ευθεία ΟΔ. γ) Έστω Μ τυχαίο σημείο της παραπάνω ευθείας (ε). Να δείξετε ότι ισχύει η  2

 2

σχέση: ΜΑ  ΜΒ  2ΟΜ .

(Πανελλήνιες Εξετάσεις 1999)

Δ. Προσδιορισμός παραμέτρου ώστε μια εξίσωση να είναι εξίσωση ευθείας . Όταν μας δίνουν μια εξίσωση Αx + By + Γ = 0 σε παραμετρική μορφή και θέλουμε να βρούμε τις τιμές της παραμέτρου για τις οποίες η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία , κάνουμε το εξής :  Βρίσκουμε για ποιες τιμές της παραμέτρου ισχύει Α = 0 και Β = 0 ταυτόχρονα και εξαιρούμε αυτές από το R .  Αν χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας , θα πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας τις τιμές της παραμέτρου που μηδενίζουν τον παρονομαστή του συντελεστή διεύθυνσης . Εξαιρούμε στην αρχή τις τιμές αυτές και μετά τις εξετάζουμε ξεχωριστά .

201. Να προσδιοριστεί ο μ  R ώστε η εξίσωση: (μ2-1)x + (μ3+3μ2-μ-3)y+μ+3=0 να είναι εξίσωση ευθείας .

202. Να βρείτε τα κ , λ , ώστε η ευθεία (κ+λ-1)x + (2κ-λ) + λ +2 = 0 να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x και να τέμνει τον y΄y στο σημείο Α(0,-3) .

203. Δίνεται η εξίσωση (κ -1)x + (λ2 –κλ + 1)y + κ -2 = 0.

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε κ ,λ R . β) Να βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το Ο(0,0) και σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία ω = 135.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

204. Να προσδιορίσετε τον μ  R , ώστε η ευθεία: (ε):(μ+2)x + (μ2-9)y + (μ2-5μ+4)=0 α) να είναι παράλληλη στον x΄x . β) να είναι παράλληλη στον y΄y . γ) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων .

205. Να προσδιορίσετε τον μ  R , ώστε οι ευθείες (ε) : (μ-1)x + μy - 5 = 0 και (ζ) : μx + (2μ-1)y + 7 = 0 να τέμνονται σε σημείο του x ΄x .

206. Δίνεται η εξίσωση (λ – 1)x + (λ2 – 3)y + λ3 + 1 = 0 , λR . Να υπολογίσετε τα λR ώστε : α) η ευθεία που ορίζει η εξίσωση να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x. β) η ευθεία που ορίζει η εξίσωση να είναι παράλληλη στον άξονα y΄y. γ) η ευθεία που ορίζει η εξίσωση να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

207. Να προσδιορίσετε τον μ  R , ώστε οι ευθείες (ε) : (μ-1)x + μy + 3 = 0 και (ζ) : (μ+2)x +(1-μ2)y - 2μ+1 = 0 να είναι κάθετες .

208. Να προσδιορίσετε τον μ  R , ώστε οι ευθείες (ε) : (μ-2)x + μy +3 = 0 και (ζ) (μ-1)x + (μ2-2μ)y+3μ+1 = 0 να είναι παράλληλες .

209. Δίνονται οι ευθείες:

ε1 : (μ – 1)x – (μ – 2) y – μ = 0 και ε2 : (μ – 2)x – (μ + 1) y – 3 = 0 . Να βρείτε τις τιμές του μR όταν : α) Οι ε1 και ε2 τέμνονται β) Οι ε1 και ε2 είναι παράλληλες γ) Οι ε1 και ε2 είναι κάθετες.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

Ε. Υπολογισμός γωνίας δύο ευθειών Έστω οι ευθείες ε1 : Α1x + B1y + Γ1 = 0 και ε2 : Α2x + B2y + Γ2 = 0 και δ1 , δ2 τα παράλληλα προς αυτές διανύσματα .   Αν  ε1 ,ε 2  είναι η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ε1 και ε2 και  δ1 ,δ 2  η γωνία των





διανυσμάτων δ1 , δ2 ,τότε:              ε1 ,ε 2  =  δ1 ,δ 2  ή  ε1 ,ε 2  = π -  δ1 ,δ 2  .          Η οξεία γωνία  ε1 ,ε 2  θα υπολογίζεται από τον τύπο :  

δ1  δ2       συν  ε1,ε2  = συν  δ1,δ2  = δ1 δ2    

210. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών ε1 : x = 3 και ε2 : x + y + 1 = 0 . 211. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών y = -x και y =  2  3  x . 212. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών :

α) ε1 : x - 2y - 4 = 0 και ε2 : 2x - 4y + 6 = 0 β) ε3 : 5x - y = -7 και ε4 : 3x + 2y = -8 γ) ε5 : y = 2 και ε6 : y = 3 x - 1

213. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών :

ε : (συνα) x + (ημα) y = κ και ζ : (συνβ) x + (ημβ) y = λ .

214. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α(2,1) και σχηματίζει με τον άξονα x΄x οξεία γωνία θ ,τέτοια ώστε συνθ =

3 . 5

215. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α(-2,3) και σχηματίζει γωνία

π με την ευθεία ε : 3x + y + 5 = 0 . 4

216. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες : y - λx = 0 και (λ + 1) x + (λ - 1) y = 0 .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

ΣΤ. Προσδιορισμός συντεταγμένων σημείου α) Αν το ζητούμενο σημείο Ρ είναι το μέσο ενός τμήματος ΑΒ με Α(x1,y1) και Β(x2,y2) , τότε Ρ(

x1 + x 2 y1 + y 2 ). , 2 2

β) Αν το Ρ είναι κοινό σημείο δύο γραμμών C1 και C2 , τότε οι συντεταγμένες του Ρ είναι οι λύσεις του συστήματος των εξισώσεων των C1 , C2 . γ) Για να δείξουμε ότι τρεις ευθείες διέρχονται απ’ το ίδιο σημείο λύνουμε το σύστημα δύο απ’ αυτών και εξετάζουμε αν η λύση του ικανοποιεί και την τρίτη εξίσωση . δ) Για να προσδιορίσουμε το συμμετρικό Α΄(x΄,y΄) ενός σημείου Α(x,y) ως προς μια ευθεία (ε) : Αx + By + Γ = 0 κάνουμε τα εξής : i) Βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας ζ  ε που διέρχεται από το Α. ii) Βρίσκουμε το σημείο τομής Μ(xM,yM) των ε και ζ. Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του Α΄ από τις σχέσεις: xM 

x + x΄ y + y΄ και yM  ( διότι το Μ είναι το μέσο του ΑΑ΄). 2 2

217. Να εξετάσετε αν οι ευθείες (ε) : x+y-2=0 , (ζ) : 2x-3y+1=0 και (η) : x-2y+1= 0 διέρχονται απ’ το ίδιο σημείο .

218. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού του σημείου Α(2,1) ως προς

την ευθεία (ε) : 2x-2y+6=0 . β) Αν Α΄(x2,y2) είναι το συμμετρικό του A(x1,y1) ως προς την ευθεία (ε) : αx+βy+γ=0 , να δείξετε ότι : α(x1+x2) + β(y1+y2) + 2γ = 0 και β(x1-x2) = α(y1-y2) .

219. Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οxy δίνονται τα σημεία Α(1,2) , Β(2,-3) , Γ(3,2) . Να βρεθούν οι συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου Γ ως προς την ευθεία ΑΒ .

220. Δίνονται τα σημεία Α(1,-3) , Β(5,-1) , Γ(4,2) και η γραμμή (C) : x2+y2 =5 Να βρεθούν τα σημεία Ρ της (C) , για τα οποία είναι ΡΓ // ΑΒ .

221. Να βρεθούν οι συντεταγμένες της προβολής Ρ του σημείου Α(1,10) στην ευθεία (ε) : x+2y-1=0 .

222. Δίνεται η ευθεία (ε) : 5x-y-30=0 και τα σημεία Β(2,6) και Γ(-3,6) .

Να προσδιορίσετε σημείο Α της ευθείας (ε) , ώστε η διχοτόμος της γωνίας Α του τριγώνου ΑΒΓ να είναι κάθετη στην ευθεία (ε) .

223. Δίνεται η ευθεία 3x + y = 3 και το σημείο Α(1,2) .

Να βρείτε τις συντεταγμένες της προβολής του Α στην ευθεία αυτή .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

Ζ. Σχετική θέση δύο ή περισσοτέρων ευθειών α) Για να προσδιορίσουμε τη σχετική θέση δύο ευθειών , δηλαδή αν τέμνονται , αν είναι παράλληλες ή αν ταυτίζονται , τότε θεωρούμε το σύστημά τους (Σ) και :  αν D  0  το (Σ) έχει μοναδική λύση και οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Ρ(

Dx Dy , ). D D

 αν D = 0 και Dχ  0 ή Dy  0 , τότε το (Σ) είναι αδύνατο και οι ευθείες είναι παράλληλες .  αν D = 0 και Dx = Dy = 0 , τότε το (Σ) έχει άπειρες λύσεις και οι ευθείες ταυτίζονται . β) Για να προσδιορίσουμε τη σχετική θέση τριών ή περισσοτέρων ευθειών (ε1) , (ε2) , (ε3) , ..... , βρίσκουμε τη σχετική θέση των ευθειών (ε 1) , (ε2) και προσδιορίζουμε κάθε φορά τη θέση των υπολοίπων ευθειών ως προς αυτές .

224. Να βρεθεί η σχετική θέση των ευθειών (ε) : μx+y-2μ=0 , (ζ) : x+μy-(μ+1)=0 για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ .

225. Να βρεθεί η σχετική των ευθειών (ε) : κx +y+1=0 , (ζ) : x+κy+1=0 , (η) : x+y+κ=0 για τις διάφορες πραγματικές τιμές του κ .

226. Να βρεθεί η σχετική θέση των ευθειών (ε) : μx+y+2=0 και (ζ) :4x+μy+4μ=0, όταν μ  R . Στην περίπτωση που είναι ε // ζ να βρεθεί η μεταξύ τους απόσταση.

227. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ , ώστε οι ευθείες

(ε) : x+y-2=0 , (ζ) : λx-y+3=0 , (η) : 2x+(λ+1)y-1=0 να περνούν από το ίδιο σημείο .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

Η. Ζεύγη ευθειών Για να δείξουμε ότι μια εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες: α) θα θεωρούμε την εξίσωση δευτεροβάθμια ως προς y και από την επίλυσή της θα προκύπτουν οι εξισώσεις των δύο ευθειών ή β) μετά τις απαραίτητες αλγεβρικές πράξεις θα δημιουργούμε μια διαφορά τετραγώνων ίση με το μηδέν.

228. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση y2+xy-6x2=0 παριστάνει δύο ευθείες των οποίων να βρείτε τη γωνία τους .

229. Να βρείτε τις ευθείες που παριστάνε η εξίσωση : y2-(α2+1)xy+α2x2=0 και να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του α , ώστε οι ευθείες να είναι κάθετες μεταξύ τους .

230. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3x2-3y2+8xy-7x+9y-6=0 παριστάνει δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους .

231. Δίνεται η εξίσωση x2 – y2 + 6x + 9 = 0.

α) Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες ε1 και ε2. β) Να δείξετε ότι οι ευθείες ε1 και ε2 είναι κάθετες. γ) Να βρείτε ένα σημείο Μ(κ,λ) με κ>0 και λ>0 τέτοιο , ώστε το διάνυσμα α = (3,κ) να είναι παράλληλο προς τη μια από τις δύο ευθείες ε1 και ε2 και το διάνυσμα β = (-16,4λ) να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία. δ) Να γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων Ο , άξονα συμμετρίας τον άξονα x΄x και διέρχεται από το σημείο Μ. (Πανελλήνιες Εξετάσεις 2001)

232. Να δείξετε ότι η εξίσωση x2 – 3y2 – 2x + 1 = 0 παριστάνει δύο ευθείες και να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών αυτών.

233. Δίνεται η εξίσωση 6x2 – y2 = xy .

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες και να βρείτε την οξεία γωνία τους. β) Να βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ(0,1) και τέμνει τις δύο ευθείες στα σημεία Α και Β ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ.

234. Να προσδιορίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ, ώστε η εξίσωση x 2 +λy 2 -4xy+3x-5y+λ-1=0 να παριστάνει δυο ευθείες οι οποίες και να προσδιοριστούν.

235. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : x2  y 2  2 x  2 y  3  0 εκφράζει δύο ευθείες που είναι κάθετες μεταξύ τους.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

Θ. Διέλευση μεταβλητής ευθείας από σταθερό σημείο Όταν μας δίνεται η εξίσωση μιας ευθείας ε που περιέχει παράμετρο μ και μας ζητείται να αποδείξουμε ότι αυτή διέρχεται από σταθερό σημείο Κ(x,y) κάνουμε τα εξής :  Εξετάζουμε για ποιες τιμές του μ η παραπάνω είναι εξίσωση ευθείας .  Γράφουμε την εξίσωση της ε υπό μορφή πολυωνύμου ως προς μ .  Αφού η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα ως προς μ μηδενίζουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου και από τη λύση του συστήματος που προκύπτει βρίσκουμε τις συντεταγμένες του Κ .

236. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που παριστάνει η εξίσωση :

(1+3λ-2λ2)x+(2-λ+5λ2)y+5+λ+8λ2=0 για τις διάφορες πραγματικές τιμές του λ διέρχονται από σταθερό σημείο .

237. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που παριστάνει η εξίσωση :

(2λ2-λ-1)x-(λ2-3λ+1)y-(λ2+2λ-2)=0 στρέφεται γύρω από σταθερό σημείο , το οποίο και να προσδιορίσετε .

238. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : (μ2-1)x+(3μ2-2μ-1)y-5μ2+4μ+1=0 , για κάθε πραγματική τιμή του μ , εκτός από μία , είναι εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σταθερό σημείο .

239. Δίνεται η εξίσωση (2λ2+λ+1)x+(-λ2+λ-1)y+(-2λ2-4λ)=0 . Να αποδείξετε ότι για κάθε λ  R η εξίσωση παριστάνει ευθεία και όλες αυτές διέρχονται από σταθερό σημείο .

240. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xσυν2

θ θ + yημ2 + συνθ - 1 = 0 , θ  [0,π] 2 2

παριστάνει ευθεία , η οποία διέρχεται από σταθερό σημείο.

241. Στους θετικούς ημιάξονες Οx και Οy παίρνουμε τα μεταβλητά σημεία Α(α,0) και Β(0,β) τέτοια ώστε:





1  . Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΒ διέρχεται  4

από σταθερό σημείο.

242. Οι κορυφές Α , Β μεταβλητού τριγώνου ΟΑΒ κινούνται στους ημιάξονες Οx , Oy αντίστοιχα , ώστε να ισχύει :

1 1 1 = ,όπου κ>0 γνωστός αριθμός. (ΟΑ) (ΟΒ) κ

Να αποδείξετε ότι η μεταβλητή ευθεία ΑΒ περνά από σταθερό σημείο .

243. Θεωρούμε τα μεταβλητά σημεία Α , Β που κινούνται στους ημιάξονες Οx και Οy αντίστοιχα ,ώστε (ΟΑ) + (ΟΒ) = c = σταθερό . Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος του τμήματος ΑΒ περνά από σταθερό σημείο .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

244. Μεταβλητό ορθογώνιο ΟΑΓΒ έχει σταθερή περίμετρο 2c , ενώ τα Α , Β κινούνται στους ημιάξονες Οx , Oy αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του ορθογωνίου η ευθεία που περνά από την κορυφή Γ και είναι κάθετη στη διαγώνιο ΑΒ περνά από σταθερό σημείο .

245. Να δείξετε ότι η εξίσωση (λ + 1)x + (λ – 1)y + 2λ = 0 με λR διέρχεται από το ίδιο σημείο. Να βρείτε την ευθεία που ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση και που είναι κάθετη στην ευθεία y = 2x. Ι. Απόσταση σημείου από ευθεία - Εμβαδόν τριγώνου Αν Μ1(x1,y1) και ε:Αx+By+Γ = 0 τότε : d(M1 , ε) = Εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ : (ΑΒΓ) =

Αx1 + By1 + Γ Α 2 + Β2

  1 det ( BΓ , ΒΑ) 2

246. Δίνεται το σύνολο των ευθειών που παριστάνει η εξίσωση:

(x+y+1)+μ(2x-y+2)=0 . Να βρείτε εκείνη την ευθεία από την οποία ισαπέχουν τα Α(3,1) και Β(1,-5) .

247. Δίνεται η ευθεία (ε) : 2x-y-4=0 και τα σημεία Α(1,1) , Β(2,5) . Να βρείτε την ευθεία ε΄ που είναι παράλληλη με την ε και ισαπέχει απ’ τα Α , Β .

248. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται απ’ το Ρ(-2,3) και απ’ τις οποίες ισαπέχουν τα Α(-6,1) , Β(2,7) .

249. Δίνονται τα σημεία Α(-2,0) και Β(5,-3) .

Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται απ’ το Α και απ’ τις οποίες η απόσταση του Β , είναι ίση με 3 .

250. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες προς την ευθεία (ε) :2x-3y+4=0 και απέχουν απ’ το σημείο Ρ(-1,1) απόσταση 5 μονάδες .

251. Δίνεται το σύνολο των ευθειών που παριστάνει η εξίσωση :

x+y-1+λ(2x-y+4)=0 . Να βρείτε εκείνη την ευθεία που απέχει απ’ το Ο(0,0) απόσταση ίση με 1 .

252. Δίνονται οι ευθείες (ε) : (λ+2)x-y-1=0 και (ζ) : λx+2y-κ=0 .

Να βρείτε τα λ , κ , ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες και να απέχουν μεταξύ τους απόσταση 2 .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

253. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά απ’ την αρχή των αξόνων και ισαπέχει απ’ τα σημεία Α(1,2) και Β(4,5) .

254. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ’ την τομή των ευθειών (ε): x-3y+1=0 και (ζ): 2x+5y-9=0 και η απόσταση της αρχής Ο απ’ αυτήν είναι 2 .

255. Δίνονται τα σημεία Α(-2,2) , Β(2,3) και Γ(-1,-2) .

α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές . β) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους του ΑΔ καθώς και το μήκος του ΑΔ .

256. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(-1,2) , Β(3,-2) και Γ(1,3).

α) Να βρείτε την απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ΒΓ. β) Να βρείτε την ευθεία που είναι παράλληλη στη ΒΓ και απέχει από το Α απόσταση ίση με 5. γ) Να βρείτε την ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και απέχει από το Α απόσταση ίση με 1.

257. Δίνονται οι ευθείες ε1 : (λ – 1) x + λy = 3λ και ε2 : λx + (λ + 1)y = 3λ + 1 . α) Να δείξετε ότι οι ευθείες τέμνονται για κάθε λR. β) Να βρείτε το σημείο τομής τους και να δείξετε ότι ανήκει σε ευθεία (η). γ) Αν Α(-1 ,2) να βρείτε σημείο Β της (η) που απέχει από την ευθεία ΟΑ απόσταση ίση με 5 . δ) Να βρείτε σημείο Ν της (η) έτσι ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΝΑΟ να ισούται με 2.

258. Να δείξετε ότι το σημείο Α(1,1) ισαπέχει απ’ τις ευθείες :

(ε) : 3x+4y=12 , (ζ) : 5x-12y+20=0 και (η) : 4x-3y-6=0 . Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του παραπάνω αποτελέσματος ;

259. Να αποδείξετε ότι η απόσταση των παράλληλων ευθειών : (ε1) : αx+βy+γ1=0 και (ε2) : αx+βy+γ2=0 είναι ίση με

γ1 - γ 2 α2 + β2

260. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 2  y 2  2 xy  2 x  2 y  3  0 παριστάνει δύο ευθείες παράλληλες, των οποίων να βρεθεί η απόσταση.

261. Δύο ευθείες παράλληλες απέχουν απόσταση ίση με 4 και έχουν ως μεσοπαράλληλο την ευθεία y =

4 x + 6, να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών 3

αυτών.

262. Θεωρούμε δύο ευθείες που σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων έχουν εξισώσεις : x+μy+1=0 και 2μx+2y+λ=0 αντίστοιχα . Να προσδιορίσετε για ποια ζεύγη τιμών λ , μ οι ευθείες είναι παράλληλες και

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

έχουν απόσταση μεταξύ τους 2 2 .

263. Να βρείτε την εξίσωση της διχοτόμου της οξείας γωνίας που σχηματίζουν οι ευθείες (ε1) : 3x+4y-5=0 και (ε2) : 5x-12y+3=0 .

264. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες (ε1) : 12x-5y-15=0 και 4x-3y+3=0 .

265. Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α(1,-2) , Β(2,3) και εμβαδόν 8 . Να βρεθούν οι συντεταγμένες του Γ αν αυτό βρίσκεται στην ευθεία (ε) : 2x+y-2=0 .

266. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ’ το Ρ(1,1) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 2 .

267. Να βρείτε τις ευθείες που είναι παράλληλες στην (ε) : 2x+3y+6=0 και ορίζουν με τους άξονες τρίγωνα εμβαδού 3 .

268. Να δείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές Α(α,γ-α) , Β(α,γ) και Γ(-α,-γ-α) είναι ισοδύναμο με τετράγωνο πλευράς α .

269. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες προς την ευθεία (ε) : 2x-3y-12=0 και ορίζουν με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 12 .

270. Το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ είναι Ε = 1 και Α(1,2) , Β(3,4) . Αν το βαρύκεντρο του τριγώνου βρίσκεται στην ευθεία x+y-5=0 , να βρείτε την κορυφή Γ .

271. Έστω η ευθεία ε: βσυνφ x + αημφ y = αβ και τα σημεία: Α( α2 - β2 , 0) και Β( - α2 - β 2 , 0). Να αποδείξετε ότι : d(Α , ε) d(Β , ε) = β2.

272. Δίνονται οι παράλληλες ευθείες:

ε1 : 3x + 4y + 6 = 0 και ε2 : 3x + 4y + 16 = 0. Α. Να βρείτε την απόσταση των παραλλήλων ευθειών ε1 και ε2 . Β. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των ε1 και ε2. Γ. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο τομής της ευθείας ε1 με τον άξονα x΄x και αποκόπτει απ’ την ευθεία ε2 χορδή μήκους d = 4 3. (Πανελλήνιες Εξετάσεις 2004)

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

Κ. Γεωμετρικές ασκήσεις - Γεωμετρικοί τόποι – Προβλήματα 1) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε μια σχέση ή ιδιότητα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας , τότε εκλέγουμε αρχικά ένα κατάλληλο σύστημα αξόνων . Η εκλογή αυτού του συστήματος γίνεται με βασικό στόχο να εκφράσουμε πιο εύκολα με συντεταγμένες και εξισώσεις τα γεωμετρικά στοιχεία που εμφανίζονται στο πρόβλημα . 2) Όταν σε ένα γεωμετρικό πρόβλημα με μεταβλητό στοιχείο (σημείο , ευθεία , τμήμα) θέλουμε να δείξουμε ότι π.χ η μεταβλητή ευθεία ε διέρχεται από σταθερό σημείο : Αρχικά εκλέγουμε ένα σύστημα αξόνων . Με τη βοήθεια μιας παραμέτρου λ εκφράζουμε τον τρόπο μεταβολής του μεταβλητού στοιχείου. Βρίσκουμε την εξίσωση της ε . Τότε το πρόβλημα ανάγεται στο Θ. 3) Όταν θέλουμε να βρούμε το γεωμετρικό τόπο ενός σημείου Μ : α) Αν μας δίνουν τις συντεταγμένες του Μ με τη βοήθεια παραμέτρων : Θέτουμε x την τετμημένη του Μ και y την τεταγμένη του και κάνουμε απαλοιφή της παραμέτρου . Καταλήγουμε σε μια εξίσωση με x , y η οποία είναι και η εξίσωση του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου . Τέλος θα πρέπει να ελέγξουμε τους περιορισμούς της παραμέτρου . β) Αν οι συντεταγμένες του Μ δε δίνονται αλλά δίνεται μια ιδιότητα που έχει το Μ: Εκφράζουμε τις συντεταγμένες του Μ με τη βοήθεια μιας παραμέτρου. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα του Μ και δουλεύουμε όπως στην προηγούμενη περίπτωση . γ) Σε μερικές ασκήσεις θέτουμε Μ(x,y) τις συντεταγμένες του τυχαίου σημείου του γεωμετρικού τόπου και προσπαθούμε χρησιμοποιώντας τη δοθείσα σχέση ή ιδιότητα του Μ να καταλήξουμε σε μια εξίσωση με x , y που θα είναι και η εξίσωση του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου .

273. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ . Αν Η είναι το συμμετρικό του σημείου Γ ως προς τυχαίο σημείο Ρ της διαγωνίου ΒΔ και Ε , Ζ οι προβολές του Η στις ΑΒ και ΑΔ αντίστοιχα , τότε τα σημεία Ρ , Ε , Ζ είναι συνευθειακά .

274. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) , το μέσο Μ της ΒΓ και το σημείο Δ της πλευράς του ΑΒ έτσι , ώστε να είναι (ΑΔ) =

1 (ΑΒ) . Αν Ε είναι η τομή των 3

ευθειών ΜΔ και ΑΓ , τότε ισχύει : ΕΒ  ΒΓ . 

275. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 900) , το ύψος του ΑΔ , η διάμεσός του ΑΜ και οι προβολές Ε , Ζ του Δ στις ευθείες ΑΒ , ΑΓ αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι : ΑΜ  ΕΖ .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

276. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και το μεταβλητό σημείο Μ της ΒΓ.

Αν Δ , Ε είναι οι προβολές του μ στις ΑΒ , ΑΓ αντίστοιχα να δείξετε ότι: α) Η ευθεία (ε) που άγεται απ’ το Μ και είναι κάθετη στη ΔΕ διέρχεται από σταθερό σημείο . β) Η μεσοκάθετος (η) του ΔΕ διέρχεται από σταθερό σημείο .

277. Δίνεται τετράγωνο πλευράς α . Στις πλευρές του ΑΒ και ΒΓ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ε , Ζ έτσι , ώστε να είναι ΑΕ = ΒΖ = λ . Φέρνουμε τη ΔΗ κάθετη στην ΕΖ που τέμνει τη διαγώνιο ΑΓ στο Μ . 

Να δείξετε ότι: ΕΜΖ = 900. 

278. Στις πλευρές Οx , Oy μιας ορθής γωνίας xOy κινούνται τα σημεία Α , Β έτσι ώστε (ΟΑ) + (ΟΒ) = α , α>0 . Αν ΟΑΓΒ είναι το ορθογώνιο το οποίο κατασκευάζεται με πλευρές τις ΟΑ , ΟΒ και η ε η ευθεία που διέρχεται απ’ το Γ και είναι κάθετη στην ΑΒ , τότε η ε διέρχεται από σταθερό σημείο .

279. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ(λ-1 , 2λ+3) , λ  R . 280. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ(2-λ,

λ+1 ) , λ1 . 3

281. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ(1-2λ,λ+1) , λ [-2,1) . 282. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ(λ-2,3) , λ  (, 1]  [3, ) . 283. Ένα σημείο Μ κινείται στο επίπεδο και η θέση του τη χρονική στιγμή t είναι: Μ(αt + 2, 2t + β). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ.

284. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου όταν α) Μ (λ – 1, 2λ – 3) , λR β) Μ (-3 , ημλ) , λR γ) Μ (3- συν2θ , 1 – ημ2θ) , θR.

285. Δίνονται οι ευθείες:

ε1 : λ x + (λ – 1) y – 2 = 0 και ε2 : (λ+1)x + λ y – 3 = 0 . Να δείξετε ότι οι ευθείες τέμνονται για κάθε λR , να βρείτε το σημείο τομής τους και το γεωμετρικό τόπο των εικόνων τους.

286. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ τομής των ευθειών (ε1) : x+2y=λ και (ε2) : 3x-y=2λ .

287. Να προσδιορίσετε τις τιμές του λ  R για τις οποίες οι ευθείες : (ε1) : λx+y=2λ και (ε2) : x+λy=λ+1 τέμνονται στο σημείο Μ και να βρεθεί ο γεωμετρικός

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

τόπος του σημείου Μ .

288. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΚ . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος 



των σημείων Μ , για τα οποία ισχύει: ΜΑ+ ΜΒ+ ΜΓ = λ ΑΚ με λ [-1, 2] .

289. Δίνονται οι ευθείες (ε1) : x+2y-1=0 και (ε2) : 4x+2y+1=0 . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει η σχέση : d(M,ε1) = d(M,ε2) .

290. Ευθεία ε στρέφεται περί το Α(6,-8) και τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο Β . Να δείξετε ότι το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ κινείται σε γνωστή ευθεία .

291. Μια ορθή γωνία στρέφεται περί την κορυφή της Ρ(3,1) . Αν οι πλευρές της

τέμνουν τους άξονες στα σημεία Α , Β , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου Μ του ΑΒ .

292. Δίνονται οι ευθείες (ε) : 2x+y-1=0 και (η) : x-y+1=0 . Να δείξετε ότι το σημείο Μ για το οποίο ισχύει : d(M,ε) = d(M,η) κινείται σε γνωστή ευθεία . Ποια είναι γεωμετρικά η ευθεία αυτή;

293. Οι συντεταγμένες δύο πλοίων Π1 , Π2 είναι Π1(t - 1, t+2) και Π2(3t , 3t -1) για κάθε χρονική στιγμή t , t>0 . α) Να βρεθούν οι γραμμές πάνω στις οποίες κινούνται τα δύο πλοία. β) Να εξεταστεί αν υπάρχουν τιμές του t που τα δύο πλοία θα συναντηθούν. γ) Να βρεθεί η απόσταση των δύο πλοίων τη χρονική στιγμή t = 3.

294. Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων η θέση ενός λιμανιού

προσδιορίζεται από το σημείο Α(2,6) και η θέση ενός πλοίου με το σημείο Π(λ-1 , 2+λ) , λ  R. α) Για ποιες τιμές του λ το σημείο Π έχει τετμημένη μικρότερη από την τετμημένη του Α ; β) Να εξετάσετε αν το πλοίο θα περάσει από το λιμάνι Α , όταν κινείται ευθύγραμμα. γ) Ποια θα είναι η ελάχιστη απόσταση της πορείας του πλοίου από το λιμάνι;

295. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy , η εξίσωση της ευθείας (λ-1) x + (λ+1) y – λ – 3 = 0 , όπου λ πραγματικός αριθμός , περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέμπει ένας περιστρεφόμενος φάρος Φ. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του φάρου Φ. β) Τρία πλοία βρίσκονται στα σημεία Κ(2,2) , Λ(-1,5) και Μ(1,3). Να βρείτε τις εξισώσεις των φωτεινών ακτίνων που διέρχονται από τα πλοία Κ , Λ και Μ. γ) Να υπολογίσετε ποιο από τα πλοία Κ και Λ βρίσκεται πλησιέστερα στη φωτεινή ακτίνα που διέρχεται από το πλοίο Μ. ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

Μαθηματικά Κατεύθυνσης B΄ Λυκείου Η Ευθεία στο επίπεδο

δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν της θαλάσσιας περιοχής που ορίζεται από το φάρο Φ και τα πλοία Λ και Μ. (Πανελλήνιες Εξετάσεις 2000)

296. Δίνεται ένα τρίγωνο με κορυφές Α(2λ –1, 3λ+2), Β(1,2) και Γ(2,3) όπου λIR με λ≠–2. Α. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α κινείται σε ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο IR. Β. Εάν λ=1, να βρείτε: α. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ β. την εξίσωση του κύκλου, που έχει κέντρο την κορυφή Α(1,5) και εφάπτεται στην ευθεία ΒΓ. (Πανελλήνιες Εξετάσεις 2003)

297. Δίνονται τα σημεία Α(2,3) και Β(4,5). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των

σημείων Μ(x,y) του επιπέδου, ώστε να σχηματίζεται τρίγωνο ΑΒΜ εμβαδού 9 τετραγωνικών μονάδων.

298. Δίνονται τα σημεία Α(4,0),Β(8,3) και Γ(5,7).

α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά είναι κορυφές ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ. β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) αν ισχύει:  2



 2

  2  .   2  .

299. Θεωρούμε τις ευθείες (ε 1 ):y=λx και (ε 2 ):y= -λx. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου των (ε 1 ) και (ε 2 ), ώστε ο λόγος των αποστάσεων τους από τις ευθείες να είναι σταθερός (λ  R*).

300. Δίνονται τα σημεία Α(5,6) και Β(-2,1). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των 



Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει:   2    , όπου λ  R. 1 7

301. Δίνονται οι ευθείες ε 1 : 3x + 4y +1=0 και ε 2 : - x  y  1  0 . Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x ,y) αν d  ,  =2d  ,  . 1

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr