Γ΄ Λυκείου Μαθηματικά Κατ Διαγώνισμα 2ο Κεφάλαιο Ανάλυση

Βαθμός (κλίμακα του 100)

Διαγώνισμα

Υπογραφή καθηγητή

Μαθηματικά Κατ. Εξεταζόμενο μάθημα

Γ΄ Λυκείου Επώνυμο

Όνομα

Τμήμα

Ημερομηνία

Τάξη

Μ ά γ κο ς Μ ιχ ά λη ς καθηγητές

ΘΕΜΑ Α Α . 1 Πό τ ε θ α λ έ μ ε ό τ ι μ ι α σ υ ν ά ρ τη σ η π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι σ τ ο x 0  A τ ο π ι κό ε λ ά χ ι σ το ;

f μ ε π ε δ ίο ο ρ ι σ μ ο ύ τ ο Α Μ ον ά δ ε ς 3

Α . 2 Π ο ι α σ η μ ε ί α ο ν ο μ ά ζο ν τ α ι κ ρ ί σ ι μ α σ ημ ε ί α μ ι α ς σ υν ά ρ τ η σ η ς f σ ε ένα διάστημα Δ; Μ ον ά δ ε ς 3 Α . 3 Έ σ τ ω f μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η η ο π ο ί α ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ ε έ ν α δ ι ά σ τ η μ α Δ. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : α ν f ΄ ( x ) > 0 σ ε κ ά θε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο x τ ο υ Δ , τ ό τ ε η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α σ ε ό λο τ ο Δ. Μ ον ά δ ε ς 9 Α . 4 Ν α χ α ρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς π ρ ο τ ά σ ε ι ς π ο υ α κο λο υ θο ύ ν , γ ρ ά φ ο ν τ α ς τη λ έ ξ η Σω σ τ ό ή Λ άθ ο ς δ ίπ λ α σ το γ ρά μ μ α π ο υ α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ί σ ε κ ά θ ε π ρ ό τα σ η . α . Α ν η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι π α ρ αγ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο R κ α ι δ ε ν ε ί ν α ι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α , β] , στο οποίο η f ι κ α ν ο π ο ι ε ί τ ι ς π ρ ο ϋ π ο θ έ σ ε ι ς τ ο υ θ ε ω ρ ή μ ατ ο ς R o l l e . Μ ον ά δ ε ς 2 β. Έ σ τ ω σ υ ν ά ρ τ ησ η f ο ρ ι σ μ έ ν η κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το δ ι ά σ τ ημ α [ α , β ] κ α ι σ η μ ε ίο x 0  [ α , β ] σ το ο π ο ί ο η μ έ γ ι σ τ ο . Τό τ ε π ά ν τα ι σ χ ύ ε ι ό τ ι f ΄ ( x 0 ) = 0 .

f π α ρο υ σ ι ά ζ ε ι τ ο π ι κ ό

Μ ον ά δ ε ς 2 γ. Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ , τότε f ΄(x) < 0 σε κάθε ε σ ω τ ερ ι κό σ η μ ε ί ο x τ ο υ Δ . Μ ον ά δ ε ς 2 δ. Έστω δύο συναρτήσεις f , g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Α ν ο ι f , g ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ε ί ς σ τ ο Δ κ α ι f  ( x )  g ( x ) σ ε κ ά θ ε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο x το υ Δ , τ ό τε ι σ χ ύ ε ι f ( x ) = g ( x ) γ ι α κ ά θ ε x  Δ . Μονάδες 2 ε. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R*. Α ν f ΄ ( x ) = 0 γ ι α κ ά θ ε ε σ ωτ ε ρι κ ό ση μ ε ί ο x τ ο υ R * , τό τ ε η f ε ί ν α ι σ τ α θ ε ρ ή σ ε ό λ ο το R * . Μονάδες 2 Σελίδα 1 από 3

ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο [1 , 4] , για την ο π ο ί α ι σ χ ύ ο υ ν f ( x ) ≠ 0 γ ι α κ ά θ ε x  [ 1 , 4 ] , f ( 1 ) > 0 κ α ι f ( 1 ) f ( 2 ) = f ( 3) f ( 4 ) . Να αποδείξετε ότι: Β.1 f(x) > 0 για κάθε x[1 , 4].

Μ ον ά δ ε ς 5

Β . 2 Η σ υ ν ά ρ τ η σ η g(x)  f 2 (x)  f(1)  f(2) έ χ ε ι μ ί α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ρ ί ζ α x 0 σ τ ο [1 , 2]. Μ ον ά δ ε ς 6 Β . 3 Υ π ά ρ χ ε ι τ ο υ λ άχ ι σ τ ο ν έ ν α ξ  ( 1 , 4 ) τ έ τ ο ιο , ώ σ τ ε η ε φ α π το μ έ ν η τ η ς Cf να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x. Μονάδες 7 Β . 4 Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f δ ε ν μ π ο ρ ε ί ν α ε ί ν α ι μ ι α γ ν η σ ί ω ς μ ο ν ό το ν η συνάρτηση. Μ ον ά δ ε ς 7

ΘΕΜΑ Γ Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:RR, μ ε f ( 0 ) = f ΄ ( 0) = 1 , γ ι α τ η ν ο π ο ί α γ ι α κ ά θ ε x  R ι σ χ ύ ε ι :

 f(x)

2

 f(x)  f(x)  2f(x)  f(x).

Γ.1. Να δείξετε ότι για κάθε xR ισχύει: α . f(x)  f(x)  e2x . Μ ον ά δ ε ς 4 β . f ( x ) >0 . Μ ον ά δ ε ς 3 γ . f(x)  e . x

Μ ον ά δ ε ς 4 Γ.2. Δίνεται και η συνάρτηση g:RR, για την οποία ισχύει: g(x)  f(x  g(x)) γ ι α κ ά θ ε x  R . α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα. Μ ον ά δ ε ς 4 1 β. Να βρείτε την αντίστροφη g της g. Μ ον ά δ ε ς 3 γ. Να δείξετε ότι g(1) = 1. Μ ον ά δ ε ς 2 δ . Α ν ε π ι π λ έο ν η g ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο R κ α ι α < β < γ , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ότι:

g(β) - g(α) g(γ) - g(β)  . β-α γ-β Μ ον ά δ ε ς

5

Σελίδα 2 από 3

ΘΕΜΑ Δ Έ σ τ ω f , g : R  R δ ύ ο σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς , δ ύ ο φ ο ρ έ ς π α ρ α γ ω γ ί σι μ ε ς σ τ ο R κ α ι α έ ν α ς α ρ ν η τ ι κ ό ς α ρ ι θ μ ό ς , ώ σ τ ε γ ι α κ ά θ ε π ρ α γ μ ατ ι κ ό α ρ ι θ μ ό x ν α ισχύει: f(x) = g(x) + α. Αν η συνάρτηση g είναι περιττή και υπάρχει ρ > 0 ώστε: g ΄ ( ρ ) = 0 , g ( ρ ) < α κ α ι lim g(x)   , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : x 

Δ.1. f΄(ρ) = f΄(-ρ) = 0. Μ ον ά δ ε ς Δ . 2 . Η ε ξ ί σ ω σ η f ( x ) = 0 έ χ ε ι τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν τ ρ ε ι ς π ρ α γ μ α τ ι κέ ς ρ ί ζ ε ς . Μ ον ά δ ε ς Δ . 3 . f ΄ ΄ ( 0) = 0 . Μ ον ά δ ε ς Δ.4. Αν Α(ρ , f(ρ)) , Β(-ρ , f(-ρ)) και Γ(0 , f(0)) , τότε: α. τα σημεία Α , Β είναι συμμετρικά ως προς το Γ. Μ ον ά δ ε ς β . υ π ά ρ χ ε ι ξ  ( 0 , ρ ) ώ σ τ ε η ε φ α π τ ο μ έ νη τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς g σ τ ο σ η μ ε ί ο μ ε τ ε τμ η μ έ ν η ξ , ν α ε ί ν α ι π α ρ ά λλ η λ η σ τ η ν ε υ θ ε ί α π ο υ δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό τ α ση μ ε ί α Α , Β , Γ . Μ ον ά δ ε ς

4 7 6

4 της

4

Ν α έ χ ε τ ε επ ι τ υ χ ία

Επιμέλεια:

Σελίδα 3 από 3