Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη 2014 by MICHAEL MAGKOS

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Α. Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ

-1-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

-2-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Ν α δ ι α β ά σ ε τ ε κ α λ ά ό λ ο υ ς το υ ς ο ρ ι σ μ ο ύ ς , τ ι ς α π ο δ ε ί ξ ε ι ς , τ α σ χ ό λ ι α κ α ι τ α π λ α ί σ ι α π ο υ υ π ά ρ χ ο υ ν σ τ ο σ χ ο λ ι κό β ι β λ ί ο . Κ ά π ο ι α απ ό α υ τ ά θα ε ί ν α ι τ ο 1 ο Θ έ μ α τ ο υ δ ι α γ ω ν ί σ μ α το ς! Μέρος α΄ ΑΛΓΕΒΡΑ Κ εφ ά λ α ι ο 2 ο (Μ ι γ α δ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί ) Σ ε λ . 8 6 : Ο ρ ι σ μ ό ς ( Το σ ύ ν ο λ ο C τ ω ν μ ι γα δ ι κ ώ ν α ρ ι θμ ώ ν) Σ ε λ . 8 7 : Ο ρ ι σ μ ο ί ( Ισ ό τ η τ α μ ι γ αδ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν , Γ ε ω μ ε τ ρ ικ ή π α ρ ά σ τ α σ η μιγαδικών) Σ ε λ . 8 8 - 9 0 : Π ρ άξ ε ι ς σ τ ο C . Π ρ ο σ έ χ ω τ ι ς 2 π ρ ο τ ά σ ε ι ς σ τ η σ ε λ . 8 9 μ ε τ α έντονα γράμματα Σ ε λ . 9 0 : Ο ρ ι σ μ ό ς ( Δ ύ ν α μ η μ ι γ α δ ι κο ύ ) Σελ.90: Απόδειξη (Δυνάμεις του i) Σ ε λ . 9 1 : Ι δ ι ό τ η τ ε ς συ ζ υ γ ώ ν ( Ό λ η τ η σ ε λί δ α ) Σ ε λ . 9 1 : Α π ό δ ε ι ξ η : ( z1 +z2 = z1 +z2 ) Σελ.92: Σελ.93: Σελ.97: Σελ.97: Σελ.98: Σελ.98:

Απόδειξη (Επίλυση της α z2 + βz + γ = 0) Π α ρ α τ ή ρ η ση Ο ρ ι σ μ ό ς ( Μ έ τ ρ ο μ ι γ α δ ι κο ύ ) Τι ς ι δ ι ό τ η τ ε ς π ο υ β ρ ί σ κ ο ν τ α ι σ τ ο δ ε ύ τ ε ρ ο μ π λ ε π λ α ί σ ι ο όλα τα μπλε πλαίσια Α π ό δ ε ι ξ η : z1  z 2 = z 1  z 2

Σ ε λ . 9 9 : Ο ι ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς : z - z 0 = ρ , ρ > 0 και z - z1 = z - z 2 Σελ.124-5: τις ερωτήσεις κατανόησης

Μ έ ρ ο ς β ΄ Α Ν Α Λ Υ ΣΗ Κ εφ ά λ α ι ο1 ο ( Ό ρ ι ο – Σ υ ν έ χ ε ι α σ υ ν άρ τ η σ η ς ) Σελ.133: Ορισμός (συνάρτηση) Σελ.141: Ορισμός (ισότητα συναρτήσεων) Σελ.142: Ορισμός (Πράξεις συναρτήσεων) Σελ.143: Ορισμός (Σύνθεση συναρτήσεων) Σελ.149: Ορισμός (γνησίως αύξουσα , γνησίως φθίνουσα) Σελ.150: Ορισμός (Ακρότατα συνάρτησης) Σελ.151: Ορισμός (Συνάρτηση 1 -1) Σελ.152: το μπλε πλαίσιο + σχόλια Σ ε λ . 1 5 3 - 1 54 : Ο ρ ι σ μ ό ς ( α ντ ί σ τ ρ ο φ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς ) Σελ.155: το μπλε πλαίσιο Σελ.160: το μπλε πλαίσιο Σ ε λ . 1 6 1 : τ ο δ ε ύ τ ε ρο μ π λ ε π λ α ί σ ι ο Σελ.162: το μπλε πλαίσιο -3-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Σ ε λ . 1 6 5 : τ ο Θ εώ ρ ημ α 1 ο Σελ.166: τα μπλε πλαίσια P(x) = P(x 0 ) και lim xx  Σελ.167: Αποδείξεις:  P(x) P(x 0 )  lim  x  x Q(x) Q(x 0 ) 0

Σ ε λ . 1 6 9 : τ ο Θ εώ ρ ημ α ( Κ ρ ι τ ή ρ ι ο π α ρ εμ β ο λ ή ς ) Σ ε λ . 1 7 0 : τ ο μ π λ ε π λ α ί σ ι ο ( η α π ό δ ε ιξ η ε ί ν α ι ε κ τ ό ς ύ λ η ς ) Σ ε λ 1 7 1 : τ α μ π λ ε π λ α ί σ ι α ( ο ι α π ο δ ε ί ξ ει ς ε ί ν α ι ε κ τ ό ς ύ λ η ς ) Σελ.173: Όριο σύνθετης συνάρτησης « Με τι ς ιδιότητες… έως lim f  g(x) = lim f(u) » x x0

uu0

Σ ε λ . 1 7 8 : ό λ η τ η σ ελ ί δ α π ο λ ύ κ αλ ά Σ ε λ . 1 7 9 : ό λ η τ η σ ελ ί δ α π ο λ ύ κ αλ ά Σ ε λ . 1 8 3 : π ο λ ύ κ α λ ά τ α β α σ ι κ ά ό ρ ι α σ τ ο τ έ λο ς τ η ς σ ε λ ί δ ας ( μ ε τ α π ι ο έ ν τ ο ν α γ ρ ά μ μ α τ α) Σελ.184: το μπλε πλαίσιο Σελ.185: τα μπλε πλαίσια Σελ.186: τα μπλε πλαίσια Σελ.188: Ορισμός (Συνέχεια συνάρτησης στο x0) Σελ.189: Από «Μια συνάρτηση f που είναι συνεχής….» έως το τέλος της σελίδας. Σελ.190: τα μπλε πλαίσια Σελ.191: Ορισμός Σ ε λ . 1 9 2 : τ ο Θ εώ ρ ημ α B o l z a no ( π ά νω α π ό το μ π λ ε π λ α ί σ ι ο ε ί ν α ι η γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ή ε ρ μ η ν εί α τ ο υ Θ ε ω ρ ήμ α το ς ) Σ ε λ . 1 9 2 : τ ο Σ χό λ ι ο ( ε ί ν α ι η δ ι α τ ή ρ η σ η π ρ ο σ ή μ ο υ ) Σ ε λ . 1 9 4 : Α π ό δ ε ι ξ η ( τ ο υ Θ ε ω ρ ήμ α το ς ε ν δ ι α μ έ σ ω ν τ ιμ ώ ν) Σ ε λ . 1 9 4 : τ ο Σ χό λ ι ο + τ ο μ π λ ε π λ α ί σ ι ο Σ ε λ . 1 9 5 : τ ο μ π λ ε π λ α ί σ ι ο ( Θ εώ ρ η μ α Μ έ γ ι σ τ η ς κ α ι ε λ ά χ ι σ τ η ς τ ι μ ή ς ) + τ ο Σ χ ό λ ιο Σ ε λ . 1 9 6 : τ ο μ π λ ε π λ α ί σ ι ο ( Σ ύ ν ο λ ο τ ιμ ώ ν ) Σ ε λ . 2 0 1 - 0 3 : τ ι ς ε ρ ω τ ή σ ε ι ς κ α τ α ν ό η σ ης

Κ εφ ά λ α ι ο 2 ο ( Δ ι αφ ο ρ ι κ ό ς Λ ο γ ι σ μός ) Σελ.212: Ορισμός Σ ε λ . 2 1 3 : Ο ρ ι σ μ ό ς ( Π α ρ ά γ ω γο ς τ η ς f σ τ ο x 0 ) Σ ε λ . 2 1 3 : τ ο δ ε ύ τ ε ρο μ π λ ε π λ α ί σ ι ο + ό , τ ι υ π ά ρ χ ε ι α ν ά μ ε σ α σ τ α δ ύ ο μ π λ ε πλαίσια Σελ.214: τα Σχόλια Σ ε λ . 2 1 7 : Α π ό δ ε ι ξ η ( Θ εώ ρ η μ α Π α ρ ά γ ω γο ς κ α ι σ υ ν έ χ ε ι α ) Σ ε λ . 2 1 8 : τ ο Σ χό λ ι ο Σ ε λ . 2 2 2 : Ο ρ ι σ μ ο ί . Α π ό «  Έ σ τ ω f μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η … . » έ ω ς τ ο τ έ λο ς τ η ς σελίδας -4-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Σελ.223: Αποδείξεις των ( c )΄=0 και (x)΄=1  χ  Σ ε λ . 2 2 4 : Α π ο δ ε ί ξ ε ι ς τ ω ν : ( x ν ) ΄ = νx ν - 1 ,

 

1 2 x

Σελ.226: τα μπλε πλαίσια Σ ε λ . 2 2 9 : Α π ό δ ε ι ξ η ( τ ο υ Θ ε ω ρ ήμ α το ς ) Σ ε λ . 2 3 0 : τ ο μ π λ ε π λ α ί σ ι ο ( η α π ό δ ε ιξ η ε ί ν α ι ε κ τ ό ς ύ λ η ς ) + τ η ν α π ό δ ε ι ξ η τ η ς π α ρ α γ ώ γο υ τ ο υ γ ι ν ο μ έ ν ο υ τ ρ ι ώ ν σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν σ τ ο κ άτ ω μ έ ρο ς της σελίδας Σ ε λ . 2 3 1 : τ ο μ π λ ε π λ α ί σ ι ο ( το Θ εώ ρ η μ α ) Σ ε λ . 2 3 1 : Α π ό δ ε ι ξ η τ ο υ ( x - ν ) ΄ = - νx - ν - 1 1 Σελ.232: Απόδειξη (εφx)΄= + το τελευταίο μπλε πλαίσιο συν 2 x Σ ε λ . 2 3 4 : τ ο Θ εώ ρ ημ α + Α π ο δ ε ί ξ ε ι ς τ ω ν ( x α ) ΄ = α x α - 1 κ α ι ( α x ) ΄ = α x l n α Σ ε λ . 2 3 5 : Α π ό δ ε ι ξ η τ ο υ  ln χ  

1 x

+ τ ο ν π ί ν α κ α α ν α κ ε φ αλ α ί ω σ η ς

Σελ.241: Ορισμός (Ρυθμός μεταβολής) Σ ε λ . 2 4 1 - 2 42 : Α π ό « Γ ι α π α ρ ά δ ε ι γ μ α … … . » έ ω ς « . . ο ρ ι α κ ό κ έ ρ δ ο ς σ τ ο x 0 » Σ ε λ . 2 4 6 : Θ ε ώ ρ ημ α R o l l e + τ η γ ε ω μ ε τ ρι κ ή ε ρ μ η ν ε ί α τ ο υ Θ ε ω ρ ή μ α το ς Σ ε λ . 2 4 6 : Θ . Μ . Τ + τ η γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ή ε ρ μ ην ε ί α τ ο υ Θ ε ω ρ ή μ α το ς Σ ε λ . 2 5 1 : Α π ό δ ε ι ξ η τ ο υ Θ εω ρ ή μ α το ς Σ ε λ . 2 5 1 : Α π ό δ ε ι ξ η τ ο υ π ο ρ ί σ μ α το ς Σ ε λ . 2 5 2 : τ ο Σ χό λ ι ο Σ ε λ . 2 5 3 : Α π ό δ ε ι ξ η τ ο υ Θ εω ρ ή μ α το ς Σ ε λ . 2 5 4 : τ ο Σ χό λ ι ο Σ ε λ . 2 5 8 : Ο ρ ι σ μ ό ς ( Το π ι κ ό μ έ γ ι σ τ ο ) Σ ε λ . 2 5 9 : Ο ρ ι σ μ ό ς ( Το π ι κ ό ε λ ά χ ι σ τ ο ) - το π ι κ ά α κ ρό τ α τα Σελ.260: Σχόλια Σ ε λ 2 6 0 -1 : Α π ό δ ε ι ξ η τ ο υ Θ ε ω ρ ήμ α το ς ( Fe r m a t ) Σ ε λ . 2 6 1 : Σ χ ό λ ιο ( Π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ο π ι κώ ν α κ ρ ο τ άτ ω ν - κ ρ ί σ ι μ α σ η μ ε ί α ) Σ ε λ 2 6 2 : Α π ό δ ε ι ξ η το υ Θ ε ω ρ ήμ α το ς Σελ.264: τα Σχόλια Σ ε λ . 2 7 3 : Ο ρ ι σ μ ό ς ( κ υ ρ τ ή - κ ο ί λ η) Σ ε λ . 2 7 4 : τ α δ ύ ο Σ χό λ ι α κ α ι τ ο θ εώ ρ η μ α Σελ.275: Ορισμός (Σημεία καμπής) Σ ε λ . 2 7 5 : τ ο θ εώ ρ η μ α κ α ι α π ό κ ά τ ω τ ις π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω ν κ α μ π ή ς Σελ.276: το μπλε πλαίσιο Σ ε λ . 2 7 9 : Ο ρ ι σ μ ό ς ( κ α τ α κό ρ υ φ η α σ ύ μ π τ ω τ η ) Σ ε λ . 2 8 0 : τ ο υ ς δ ύ ο ο ρ ι σ μ ο ύ ς κ α ι τ ο θ εώ ρ η μ α Σελ.281: τα Σχόλια Σ ε λ . 2 8 2 : τ ο θ εώ ρ η μ α Σ ε λ . 2 8 3 : τ ο θ εώ ρ η μ α κ α ι τ α Σ χ ό λ ι α Σελ.287: όλη Σελ.295-9: τις ερωτήσεις κατανόησης

-5-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Κ εφ ά λ α ι ο 3 ο ( Ο λοκ λ η ρ ω τ ι κ ό ς Λ ο γ ι σ μ ό ς ) Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σ ε λ . 3 0 4 : Α π ό δ ε ι ξ η τ ο υ Θ εω ρ ή μ α το ς Σ ε λ . 3 2 9 - 3 30 : Η έ ν ν ο ι α τ ο υ ο ρ ι σ μ έ νο υ ο λ ο κ λ η ρώ μ ατ ο ς Σελ.330: τα μπλε πλαίσια Σελ.332: όλη Σελ.334: όλη Σ ε λ . 3 3 4 - 5 : Α π ό δ ε ι ξ η τ ο υ Θ ε ω ρ ήμ α το ς Σελ.336: το μπλε πλαίσιο Σελ.337: το μπλε πλαίσιο Σ ε λ . 3 4 2 - 3 45 : α ν ά γ ν ω σ η Σ ε λ . 3 4 6 : τ ο Σ χό λ ι ο Σ ε λ . 3 4 8 : Η ε φ α ρμ ο γ ή ε ί ν α ι ε κ τ ό ς ύ λ η ς Σελ.354-9: τις ερωτήσεις κατανόησης

-6-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Β. Κατηγορίες Ασκήσεων στο σχολικό βιβλίο

-7-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

-8-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

ΜΙΓΑΔ ΙΚΟ Ι Α ΡΙΘΜΟ Ι Διαβάζω ορισμούς, αποδείξεις, μπλε πλαίσια, σχόλια, έντονα γράμματα από το σχολικό βιβλίο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Διαβάζω τις 2 εφαρμογές σελ.93-94 και τις 2 εφαρμογές σελ. 99-100 σχολικού Δυνάμεις 8Α/95, 3Β/96, 4Β/96, 7Β/96 Εξισώσεις- Τύποι Vieta 14A/96 z: πραγματικός 11Α/96, 6Β/96, 8Β/96 z : φανταστικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ιδιότητες μέτρων 9Α/101, 1Β/101, 7Β/102, 10Β/102 ΣΧΟΛΙΚΟΥ Γεωμετρικοί τόποι 12Α/96, 9Β/97, 4Α/101, 5Α/101, 6Α/101, 8Α/101, Εύρεση γραμμής που κινούνται 2Β/101, 3Β/101, 4Β/102, 5Β/102, 6Β/102, 9Β/102, οι εικόνες μιγαδικού 1Γ/123, 6Γ/103 Μέγιστο – Ελάχιστο μέτρο 7Α/101, 8Β/102, 3Γ/123 ΘΕΩΡΙΑ

Α ΝΑ ΛΥ ΣΗ Διαβάζω ορισμούς, αποδείξεις, μπλε πλαίσια, σχόλια, έντονα γράμματα από το σχολικό βιβλίο Διαβάζω τις 2 εφαρμογές σελ.226-227 , τις 3 εφαρμογές σελ. 247-248, την εφαρμογή ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ σελ.252, τις 2 εφαρμογές σελ.254-256 , τις 3 εφαρμογές σελ. 265-267, την εφαρμογή σελ.335-336και τις εφαρμογές 1 και 2 σελ.346-347 σχολικού Σύνθεση - Αντίστροφη 6Β/148, 2Α/156 2Β/176, 4Β/176, 3Β/182, 4Β/182, 1Β/187, 3Β/187, Όρια + Ασύμπτωτες 4Β/187, 3/102, 1Β/285, 2Β/286 Συνέχεια 2Β/199, 3Β/199, 6B/286 Bolzano + Ύπαρξη τουλ. μιας 4B/199, 5B/200,8B/200 ρίζας + Μοναδική ρίζα Σύνολο τιμών 6Β/200, 4Β/257 Διατήρηση προσήμου 7Β/200 Θεώρημα Μέγιστης – Ελάχιστης 9Β/200 Τιμής 3A/220, 2B/220, 4B/220, 6B/221, 7B/221, 8B/221, Παράγωγος στο x0 1B/228, 5B/286, 7Β/240 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2Β/228, 3Β/228, 4Β/228, 5Α/238, 7Α/239, ΣΧΟΛΙΚΟΥ Εφαπτομένη 10Α/239, 11Α/239, 1Β/240, 2Β/240, 3Β/240, 4Β/240, 6Β/240, 8Β/24011Β/241, 12Β/241 Παράγωγος σύνθετης 12Β/239, 14Β/239 Ρυθμός μεταβολής 1Β/244, 2Β/144, 4Β/244, 5Β/244 3Α/249, 1Β/249, 3Β/250, 4Β/250, 5Β/250, 6Β/250, Θ.Rolle – Θ.Μ.Τ 7Β/250 Σταθερή συνάρτηση + Βασικό 1Α/256, 1Β/257, 11Γ/293, 4Α/308, 1Β/308, 3Β/309, Πόρισμα + Παράγουσα 4Β/309, 11Β/351 Μονοτονία 2Β/257, 6Β/257, 2Γ/291 Ανισώσεις 7Β/258, 8Β/258, 3Β/269 Πλήθος ριζών εξίσωσης 6Α/256, 7Α/ 256, 5Β/257, 2Α/267, 1Β/269, 2Β/269 Ακρότατα , 8Α/268, 4Β/269, 6Β/270, 8Β/270 ΘΕΩΡΙΑ

-9-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ. Fermat Κυρτότητα-Σημεία Καμπής Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος + Μέθοδοι ολοκλήρωσης + Θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού Πεδίο ορισμού της συνάρτησης ολοκλήρωμα Παράγωγος της συνάρτησης ολοκλήρωμα Ανισώσεις με ολοκληρώματα Εμβαδά

5Α/268, 5B/270, 7Γ/292 3Β/278, 4Β/278, 5Β/279, 8Γ/292 1Α/338, 7Β/339, 8Β/3399Β/339, 3Α/338, 4Α/338, 6Α/339, 11Β/340, 12Β/340

6Γ/352 5Α/338, 1Β/339, 2Β/339, 3Β/339, 4Β/339, 5Β/339, 6Β/339, 5Γ/352 10Γ/353 3Α/349, 5Α/349, 1Β/349, 3Β/350, 5Β/350, 8Β/351, 9Β/351, 10Β/351, 12Β/3518Γ/351,9Γ/351

- 10 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Γ. Ερωτήσεις τύπου Σωστό - Λάθος

- 11 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

- 12 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Π Ρ Ο Τ Α Σ Ε ΙΣ

Σ - Λ

Η δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ή α κ τ ί ν α τ ο υ α θ ρ ο ίσ μ α το ς τ ω ν μ ι γ αδ ι κ ώ ν α + β i κ α ι γ + δ i ε ί ν α ι ί σ η μ ε τ ο άθ ρ ο ισ μ α τω ν δ ι α ν υ σ μ ατι κ ώ ν ακτίνων τους.

Η δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ή ακ τ ί ν α τ η ς δ ι α φ ο ρ άς τ ω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν α + β i κ α ι γ + δ i ε ί ν α ι ε ί ν α ι ί σ η μ ε τ η δ ι α φ ο ρ ά τω ν δ ι α ν υ σ μ α τι κ ώ ν ακτίνων τους.

Αν z είναι μιγαδικός αριθμός, τότε:

Αν z είναι μιγαδικός αριθμός, τότε: z

 zz

Αν z είναι μιγαδικός αριθμός, τότε: z

 z2

Ο σ υ ζ υ γ ή ς τ ο υ z = 3 i – 7 ε ί ν α ι ο z = 3i +7 .

Αν z1 , z2C με

Αν z είναι μιγαδικός αριθμός, τότε:

Αν z 

, τ ό τ ε z  z  2Im(z)

Αν z 

, τ ό τ ε z  z  2Re(z)

 z  = (z) ν

z12 +z 22 = 0 , τ ό τ ε : z 1 = z 2 = 0 .

νz=νz

iz  z , z  Το μ έ τ ρ ο τ η ς δ ι αφ ο ρ ά ς δ ύ ο α π ό σ τα σ η τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ο υ ς .

μ ι γ α δ ικ ώ ν

είναι

ίσο

με την

- 13 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Α ν z 1 , z 2 ε ί ν α ι μ ι γ α δ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί , τ ό τε :

z1 - z 2  z1 - z 2  z1 + z 2

z - z1 = z - z 2 π α ρ ι σ τ ά ν ε ι τ η μ ε σ ο κά θ ε τ ο το υ Η εξίσωση: Μ1Μ2 , όπου Μ1 , Μ2 είναι οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα .

Η ε ξ ί σ ω σ η : z - z 0 = ρ , ρ > 0 π α ρ ι σ τ ά ν ε ι κ ύ κ λ ο μ ε κ έ ντ ρ ο τ η ν εικόνα Ρ(x0,y0) του z0 και ακτίνα ρ .

z =0  z =0,z C

z1 = z2  z1 = z2 με z1 , z2  C

Α ν z  C , τ ό τ ε iz

2014

 z2014

z  z , ό π ο υ z  C .

Αν f , g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g◦f και f◦g, τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες

Αν f , g , h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h ◦ (g◦f) , τότε ορίζεται και η (h ◦ g)◦f και ισχύει h ◦ (g◦f)= (h ◦ g)◦f

Μια συνάρτηση f : ΑR είναι συνάρτηση 1 – 1 , όταν για ο π ο ι α δ ήπ ο τ ε x 1 , x 2  A ι σ χ ύ ε ι η σ υ ν ε π α γ ω γ ή : α ν f ( x 1 ) = f ( x 2 ) , τ ό τε x 1 = x 2

Μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι 1 - 1 α ν κ α ι μ ό ν ο α ν γ ι α κ ά θ ε σ το ι χ ε ί ο y το υ σ υ ν ό λ ο υ τ ι μ ώ ν τ η ς η ε ξ ί σω σ η f( x ) = y έ χ ε ι α κ ρ ι β ώ ς μ ι α λύση ως προς x.

Μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι 1 - 1 α ν κ α ι μ ό νο α ν δ ε ν υ π ά ρχ ο υ ν σημεία της γραφικής παράστασης με την ίδια τεταγμένη.

- 14 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Αν μια συνάρτηση συνάρτηση 1-1.

είναι

γνησίως

μονότονη,

τότε

είναι

Μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f π ο υ ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς μ ο ν ό το ν η έ χ ε ι π ά ν τ α μ ί α ρίζα.

Έ σ τ ω μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f : Α  R . Τό τ ε

Έ σ τ ω μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f : Α  R . Τό τ ε f f 1 ( y) = y , y  f ( A)

Ο ι γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α στ ά σ ε ι ς τ ω ν f κ α ι f προς την ευθεία y = x.

Οι γραφικές παραστάσεις των f και f στην ευθεία y = x.

Η α ν τ ί σ τ ρ ο φ η σ υ ν ά ρ τ η σ η τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f(x) = 10 ε ί ν α ι η g(x) = logx.

Αν μια συνάρτηση είναι συνάρτηση 1 -1 τότε είναι γνησίως μ ο νό το ν η .

Αν μια συνάρτηση f είναι 1-1 , τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ μία ρίζα.

Έστω μια συνάρτηση f :

f 1  f ( x)   x , x  A





-1

ε ί ν α ι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ ές ω ς

τ έ μ ν ο ν τ α ι π ά ν τα π ά ν ω

-1







1 . Τό τ ε f f ( y) = y , y  A

Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής 36

( , x )  ( x ,  ) κ α ι l έ ν α ς π ρ α γ μ α τ ι κ ό ς α ρ ι θ μ ό ς . 0

Τό τ ε ι σ χ ύ ε ι η ι σ ο δ υ ν αμ ί α : lim f(x)  l  lim(f(x)  l)  0 . x x0

x x0

Α ν lim f ( x)  0 , τ ό τ ε f ( x ) > 0 κ ο ν τ ά σ τ ο x 0 . x  x0

- 15 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Α ν lim f ( x)  0 , τ ό τ ε f ( x ) < 0 κ ο ν τ ά σ τ ο x 0 .

Α ν f ( x ) < 0 κ ο ν τ ά σ τ ο x 0 ι σ χ ύ ε ι π ά ν τ α lim f(x)  0 .

x  x0

x x0

Α ν υ π ά ρ χ ε ι τ ο ό ρ ι ο τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f σ τ ο x 0 κ α ι lim f ( x )  0 , 40

x  x0

τ ό τ ε lim f ( x )  0 . x  x0

Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν όριο στο x0 και ισχύει: f ( x ) ≤ g ( x ) κο ν τ ά σ τ ο x 0 , τ ό τ ε lim f ( x)  lim g ( x) . x  x0

lim( f ( x )  g ( x )) , τ ό τ ε κ α τ ΄ α ν ά γ κ η υ π ά ρ χ ο υ ν τ α

Αν υπάρχει το 42

x  x0

lim f ( x ) κ α ι x  x0

lim g(x) .

x x0

 x  1

1

Ι σ χ ύ ε ι : . lim

Ι σ χ ύ ε ι : lim

Α ν lim f ( x)   , τ ό τ ε f ( x ) > 0 κ ο ν τ ά σ τ ο χ 0 .

Α ν lim f ( x)   , τ ό τ ε f ( x ) < 0 κ ο ν τ ά σ τ ο χ 0 .

Α ν lim f(x)   , τ ό τ ε lim   f ( x)   

Α ν lim f ( x)   , τ ό τ ε lim   f ( x)   

Α ν lim f ( x)   , τ ό τ ε lim

x 0

x 

 x x

1

x  x0

x x0

x  x0

1 0 f ( x) - 16 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Α ν lim f ( x)  0 κ α ι f ( x ) > 0 κο ν τά σ τ ο x 0 , τ ό τ ε lim

1   f ( x)

Α ν lim f ( x)  0 κ α ι f ( x ) < 0 κο ν τά σ τ ο x 0 , τ ό τ ε lim

1   f ( x)

Α ν lim f(x)   , τ ό τ ε lim f ( x)  

x  x0

x x0

lim

1 4 1

x  x0

 

x  0

lim

1 = 0 , με νΝ*. xν

x 

Αν α > 1 τότε: lim α x  

 Ρ(x)= x   1 x 1  ...  1 x  a0 , α ν  0 τότε: lim ( x)  lim  x 

x 

lim ln x  

x 0

1 lim ln      x

x 0

7x = 7. x 0 x

lim

Η ε ι κ ό ν α f ( Δ ) ε ν ό ς δ ι α σ τ ή μ ατ ο ς Δ μ έ σω μ ι α ς σ υ ν ε χ ο ύ ς κ α ι μ η σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα.

Η ε ι κ ό ν α f ( Δ ) ε ν ό ς δ ι α σ τ ή μ ατ ο ς Δ μ έ σω μ ι α ς σ υ ν ε χ ο ύ ς συνάρτησης f είναι διάστημα.

- 17 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ

f ( x)  0 γ ι α κ ά θ ε x   τ ό τ ε η f ( χ ) > 0 σ τ ο Δ .

και

Μια συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα δ ι α σ τ ή μ ατ α σ τ α ο π ο ί α ο ι δ ι α δ ο χ ι κ έ ς ρ ί ζ ε ς τ η ς f χ ω ρ ί ζ ο υ ν τ ο πεδίο ορισμού της.

Το σ ύ ν ο λ ο τ ι μ ώ ν μ ια ς σ υ ν ε χ ο ύ ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ το [ α , β ] ε ί ν α ι τ ο κ λ ε ι σ τ ό δ ιά σ τ η μ α [ m , M ] ό π ο υ m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α , β] και f(α)  f(β) > 0 τότε η f δεν έχει ρίζα στο (α , β).

Α ν η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α [ α , β ] κ α ι υπάρχει x0(α , β) τέτοιο ώστε f(x0) = 0, τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει f(α) f(β) < 0.

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του π ε δ ί ο υ ο ρ ι σ μ ο ύ τ ης , τ ό τ ε θ α ε ί ν α ι κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο x 0 .

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και μια συνάρτηση g είναι συνεχής στο f(x0 ), τότε η σύνθεσή τους g f είναι συνεχής στο x0.

Α ν μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο x 0 κ α ι μ ι α σ υ ν άρ τ η σ η g ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο x 0 , τό τ ε η σ ύ ν θ ε σ ή τ ο υ ς g f ε ί ν α ι συνεχής στο x0.

Ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f κ α ι f ΄ έ χ ο υ ν π ά ν τ α τ ο ί δ ι ο π εδ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ .

Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 τ ο υ π ε δ ίο υ ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς , τ ό τ ε δ ε θ α ε ί ν α ι κ α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο x 0 .

Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του π ε δ ί ο υ ο ρ ι σ μ ο ύ τ ης , τ ό τ ε δ ε θ α ε ί ν α ι κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο x0.

- 18 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Α ν γ ι α μ ι α γ ν η σ ί ω ς μ ο νό τ ο ν η σ υ ν ά ρ τ ησ η f ι σ χ ύ ο υ ν ο ι π ρ ο ϋ π ο θ έ σ ε ι ς τ ο υ θ ε ω ρ ή μ α τ ο ς Bo l z an o , τ ό τ ε η f έ χ ε ι μ ο ν αδ ι κ ή ρ ί ζ α .

Α ν η f έ χ ε ι δ ε ύ τ ε ρ η π α ρ ά γ ω γ ο σ το x 0 , τ ό τ ε η f ΄ ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς στο x0.

Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο x0, τότε η συνάρτηση f  g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και ισχύει ( f  g )( x )  f ( x ) g ( x ) . 0

Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο x0 και

f g

g ( x0 )  0 , τ ό τ ε η σ υ ν ά ρ τ η σ η 76

 f  ( x  g

ισχύει: 

Για κάθε

) 0

x0

είναι παραγωγίσιμη στο x0 και

f ( x0 ) g  ( x0 )  f  ( x 0 ) g ( x 0 )

 g ( x )

ισχύει

 ln x 



x x 1 (7 )  x  7 , γ ι α κ ά θ ε x  R .

Ισχύει ότι:

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και δεν είναι α ν τ ι σ τ ρ έ ψ ι μ η , τ ό τ ε υ π ά ρ χ ε ι κ λ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ ημ α [ α , β ] , σ τ ο ο π ο ίο η f ι κ α ν ο π ο ι ε ί τ ι ς π ρ ο ϋ π ο θ έ σ ε ι ς τ ο υ θ ε ω ρ ή μ α το ς Rolle. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [0,1] , τότε

υ π ά ρ χ ε ι ε φ α π το μ έ νη τ η ς C f π α ρ άλ λ ηλ η σ τ η ν ε υ θ ε ί α ε , π ο υ

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και έχει δύο π ρ α γ μ ατ ι κ έ ς ρ ί ζ ε ς , τ ό τ ε η f ΄ έ χ ε ι μ ί α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν π ρ α γ μ ατ ι κ ή ρ ί ζ α .

δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό τ α ση μ ε ί α μ ε   0, f (0)  ,  1, f (1)  .

- 19 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου τ ο υ 2 δ ε ν έ χ ο υ ν α σ ύ μ π τω τ ε ς .

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α , β) μ ε ε ξ α ί ρ ε σ η ί σ ω ς έ ν α σ η μ ε ί ο τ ο υ x 0 , σ τ ο ο π ο ίο ό μ ω ς η f ε ί ν α ι συνεχής. Αν η f ΄(x) διατηρεί πρόσημο στο (α , x0)  (x0 , β), τότε το f ( x 0 ) δ ε ν ε ί ν α ι τ ο π ι κ ό α κ ρ ό τ α το κ α ι η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς μ ο νό το ν η σ τ ο ( α , β ) .

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ , τότε f ΄(x) < 0 σε κ ά θ ε ε σ ωτ ε ρ ι κό σ η μ ε ί ο x το υ Δ .

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο το υ Δ . Α ν η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το x 0 κ α ι f ΄ ( x 0 ) = 0 , τ ό τ ε η f π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά το π ι κό α κ ρ ό τ ατ ο σ το x 0 .

Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο x τ ο υ Δ . Α ν η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α σ τ ο Δ τ ό τ ε f ( x )  0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ.

Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ . Α ν f (x)  0 σ ε κ ά θ ε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο x τ ο υ Δ , τ ό τ ε η f ε ί ν α ι γ ν ή σ ι α φ θ ί ν ο υ σ α σ ε ό λ ο το Δ .

Έστω δύο συναρτήσεις f , g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Α ν ο ι f , g ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ε ί ς σ τ ο Δ κ α ι f (x)  g (x) σ ε κ ά θ ε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε ισχύει f(x) = g(x) για κάθε xΔ.

Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σ η μ ε ί α ε ν ό ς δ ι α σ τ ή μ α το ς Δ , σ τ α ο π ο ί α η f δ ε ν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το 0, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.

Έστω συνάρτηση 90

ο ρ ι σ μ έ ν η κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το

δ ι ά σ τ η μ α [ α , β ] κ α ι σ η μ ε ί ο x 0  [ α , β ] σ τ ο ο π ο ίο η f π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι τ ο π ι κ ό μ έ γ ι σ το . Τό τ ε π ά ν τ α ι σ χ ύ ε ι ό τ ι f ΄ ( x 0 ) = 0 . - 20 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α , β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0, στο οποίο όμως η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς . Α ν f ΄ ( x 0 ) > 0 σ το ( α , x 0 ) κ α ι f ΄ ( x 0 ) < 0 σ τ ο ( x 0 , β ) , τ ό τ ε τ ο f ( x 0 ) ε ί ν α ι τ ο π ι κό ε λ ά χ ι σ τ ο .

Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν f΄΄(x)>0 για κ ά θ ε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο x το υ Δ , τ ό τ ε η f ε ί ν α ι κ υ ρ τ ή σ τ ο Δ .

Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ τότε f ΄ ΄ ( x ) > 0 γ ι α κ ά θ ε ε σ ωτ ε ρ ι κό σ ημ ε ί ο x το υ Δ .

Σ τ α σ η μ ε ί α κ α μ π ή ς η ε φ απ τ ο μ έ νη τ η ς C f « δ ι α π ε ρ ν ά » τ η ν καμπύλη.

Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ , τότε η ε φ α π τ ο μ έ ν η τ ης C f σ ε κ ά θ ε σ η μ ε ί ο τ ο υ Δ β ρ ί σ κ ε τ α ι « π ά ν ω » α π ΄ τ η C f μ ε ε ξ α ί ρ ε σ η τ ο σ η μ ε ί ο ε π α φ ή ς το υ ς .

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α , β) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του χ 0. Αν η f είναι κυρτή στο (α , x0) και κοίλη στο ( x0 , β) ή αντιστρόφως , τ ό τ ε τ ο σ η μ ε ί ο Α ( x 0 , f ( x 0 ) ) ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά σ ημ ε ί ο κ α μ π ή ς της cf.

 3 f(x)dx   f(3)  f(2)  2   

5 1   2 7  x dx   ln  x  72 5

Για κάθε συνάρτηση f , παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, 99

ισχύει





f ( x)dx 

f (  )  f ( ) .

Αν η συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] και λ R , τότε ισχύει 100









 f ( x)dx    f ( x)dx . 

- 21 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

101

Α ν η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γί σ ι μ η σ τ ο [ α , β ] μ ε σ υ ν ε χ ή πρώτη παράγωγο, τότε





f ( x) dx   f (  )   f ( )   xf ( x)dx .



102



Α ν f , g δ ύ ο σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς μ ε σ υ ν ε χ ή π ρ ώ τ η π α ρ ά γω γ ο σ το R , τότε ισχύει:



f ( x)  g ( x)dx   f ( x ) g ( x ) 













f ( x)  g ( x)dx .

Αν η f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και α , β , γ Δ τότε 103



ισχύει:

f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx .

Αν f συνάρτηση συνεχής στο [α , β] και για κάθε χ [α , β] 104

105

ισχύει f(x) ≥ 0 τότε



Αν











f ( x) dx  0 .

f ( x) dx  0 , τ ό τ ε κ α τ ’ α ν ά γ κ η θ α ε ί ν α ι f ( x ) ≥ 0 γ ι α κ ά θ ε

x[α , β].

106

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α , β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α , β] , τότε







107

f (t ) dt  G ( )  G (  ) .

Ισχύει η σχέση



f(x)g(x)dx  f(x)g(x)β   f (x)g(x)dx , ό π ο υ α

f΄ , g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α , β]. Αν f , g , g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α , β]

108

109

, τότε







f ( x ) g ( x ) dx 







f ( x ) dx 







g ( x ) dx .

Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ κ α ι α ε ί ν α ι έ ν α σ η μ ε ί ο τ ο υ Δ , τ ό τε ι σ χ ύ ε ι :





f (t ) dt

  f ( x)  f ( )

για κάθε xΔ.

- 22 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

110

Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε ισχύει :

  f (t )dt   f ( x) x



για κάθε xΔ.

Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και 111

α είναι ένα σημείο του Δ, τότε



g(x)



f (t ) dt

  f ( g ( x))  g ( x)

μ ε τ η ν π ρ ο ϋ π ό θ ε σ η ό τ ι τ α χ ρ η σ ι μ ο π ο ι ο ύμ ε ν α σ ύ μ β ο λ α έ χ ο υ ν νόημα.

Το ο λ ο κ λ ή ρω μ α 112







f ( x ) dx

ε ί ν α ι ί σ ο μ ε τ ο ά θ ρ ο ι σ μ α τω ν

ε μ β α δ ώ ν τ ω ν χω ρ ί ω ν π ο υ β ρ ί σ κ ο ν τ α ι π ά ν ω α π ό το ν ά ξ ο ν α x ΄ x μ ε ί ο ν τ ο ά θ ρ ο ισ μ α τ ω ν ε μ β αδ ώ ν τ ω ν χ ω ρ ί ω ν π ο υ β ρ ί σ κ ο ν τ α ι κ ά τ ω α π ό το ν ά ξ ο ν α x ΄ x .

- 23 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

- 24 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Γ. ΘΕΜΑΤΑ

- 25 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

- 26 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

ΘΕΜΑ Α

- 27 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

- 28 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Α.1.

A1.Aν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x0 του π ε δ ί ο υ ο ρ ι σ μ ο ύ τ ης , ν α γ ρ α φ ε ί η ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π το μ έ ν η ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ ασ η ς τ η ς f σ τ ο σ η μ ε ί ο Α ( x 0 , f ( x 0 ) ) . Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' έ ν α σ η μ ε ί ο x 0 το υ π ε δ ί ο υ ο ρ ι σ μ ο ύ τ ης , τ ό τ ε ε ί ν α ι κ α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο σημείο αυτό. Α 3 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ετ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν γ ρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ η ν έ ν δ ε ιξ η Σ ω σ τ ό ή Λ ά θ ο ς δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε π ρότ ασ η . α . Α ν η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο x 0 , τό τ ε η f ΄ ε ί ν α ι π ά ν τ ο τ ε συνεχής στο x0. β . Α ν η f δ ε ν ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο x 0 , τ ό τε η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο x0. γ . Α ν η f έ χ ε ι δ ε ύ τ ε ρ η π α ρ ά γ ω γ ο σ το x 0 , τ ό τ ε η f ΄ ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο x0. Α 4 . Ν α γ ρ άψ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ ο γρ άμ μ α τ η ς σ τ ή λ η ς Α κ αι δ ί π λ α τ ο ν αρ ι θ μ ό τ η ς σ τ ή λη ς Β που αν τ ι στ οι χ εί στ η ν ε φ απ τ ο μ έ ν η τ η ς κ άθ ε σ υ ν άρ τ η σ η ς σ τ ο σ η μ ε ί ο x 0 . Στήλη Α

Στήλη Β

συναρτήσεις

ε φ απ τ ό μ εν ε ς

α . f ( x ) = 3x 3 ,

x0=1

β . f ( x ) = ημ 2x , x 0 = γ. f(x)=3 x ,

δ. f(x)=

π 2

x0=0

x0=4

1 . y = - 2x + π

2. y=

1 x+1 4

3. y=9x-6

4 . y = - 9x + 5

5. δεν υπάρχει

- 29 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Α.2.

Α 1 . Ν α δ ι α τ υ π ώ σ ε τε τ ο θ ε ώ ρ ημ α τ ο υ Fe r m a t . Α2. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ κ α ι ι σ χ ύ ε ι f ' x  0 γ ι α κ ά θ ε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο τ ο υ Δ . Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Α 3 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν μ ε τ ην έ νδ ε ιξ η Σ ω σ τ ό ή Λ άθ ο ς . 1 . Α ν γ ι α μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f : A   ι σ χ ύ ε ι f  x   ό π ο υ    γ ι α κάθε x, τότε το κ είναι η μέγιστ η τιμή της f.

2 . Α ν υ π ά ρ χ ε ι τ ο lim f  x   0 , τ ό τ ε υ π ά ρ χ ε ι τ ο ό ρ ιο τ η ς f  x  σ τ ο x0 x  x0

κ α ι ε ί ν α ι lim f  x   0 . x  x0

3 . Α ν γ ι α μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ι σ χ ύ ο υ ν f a  f     0 κ α ι f  x  0 γ ι α κ ά θ ε x   a,   , τ ό τ ε η f δ ε ν ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο  ,   . 4.Αν για δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημα Δ ισχύει f '  x   g '  x  γ ι α κ ά θ ε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο x το υ Δ , τ ό τ ε f  x   g  x  γ ι α κάθε x . 5 . Α ν γ ι α μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f υ π ά ρ χ ε ι π α ρ ά γ ο υ σ α σ τ ο δ ι ά στ η μ α Δ , τ ό τ ε γ ι α κ ά θ ε   ι σ χ ύ ε ι :   f  x  dx   f  x  dx .



6.Αν οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο

f  x   g  x  γ ι α κ ά θ ε x   ,   , τ ό τ ε

 a,  



και ισχύει



 f  x  dx  g  x  . a

Θ.Α.3.  

Α 1 . Έ σ τ ω δ ύο σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f , g σ ε έ ν α δ ι ά σ τ η μ α Δ . Α ν οι f , g είναι συνεχείς στο Δ και

f '  x   g '  x  γ ι α κ ά θ ε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο το υ Δ ,

ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υπ ά ρ χ ε ι σ τ α θ ε ρ ά c τ έ τ ο ι α , ώ σ τ ε γ ι α κ ά θ ε x   ν α ι σ χ ύ ε ι : f  x  g  x  c v Α 2 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f  x  x , v 

π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το  κ α ι ι σ χ ύ ε ι : f '  x   v x

v 1

 0, 1 ε ί ν α ι

Α 3 . Έ σ τ ω ο ι μ ι γ α δ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί z1 , z2 . Ν α χ α ρ α κ τ η ρ ί σ ε τ ε κ α θ ε μ ι ά α π ό τ ι ς ε π ό μ ε ν ε ς π ρ ο τ ά σ ε ι ς ω ς Σ ω σ τ ή ( Σ ) ή Λ α νθ α σ μ έ ν η ( Λ ) . α . Η δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ή α κ τ ί ν α τ ο υ α θ ρ ο ί σμ α το ς τ ω ν z1 κ α ι z2 ε ί ν α ι τ ο ά θ ρ ο ι σ μ α τω ν δ ι α νυ σ μ α τ ι κ ώ ν το υ ς α κ τ ι ν ώ ν . β . Ε ί ν α ι : z1  z2  z1  z2 γ . Ε ί ν α ι : z1  z2  z1  z2  z1  z2

- 30 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

δ . Η ε ξ ί σ ω σ η z  z1  z  z2 μ ε z1  z2 π α ρ ι σ τ ά ν ε ι τ η μ ε σ ο κ ά θ ε τ ο το υ τ μ ήμ α το ς μ ε ά κ ρ α τ α σ η μ ε ί α   z1  κ α ι B  z2  .

Α 4 . Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η F  x 

 f t  dt , x

ό π ο υ f η σ υ ν ά ρ τ η σ η τ ο υ δ ι π λα ν ο ύ σχήματος που η γραφική της π α ρ ά σ τ α σ η α π ο τ ελ ε ί τ α ι α π ό τ α ε υ θ ύ γ ρ α μ μ α τμ ή μ ατ α Ο Α κ α ι Α Β . Το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου χωρίου Ω ε ί ν α ι      36 .. . Ν α σ υ μ π λη ρ ώ σ ε τ ε τις ισότητες: α . F  0  β . F  4  γ . F 10   Θ.Α.4.

Α 1 . Έ σ τ ω μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ο ρ ι σ μ έ ν η σ ε έ ν α δ ι ά σ τ η μ α Δ κ α ι x0 έ ν α ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο υ τ ο υ . Α ν η f π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι τ ο π ι κ ό ακ ρ ό τ α το σ τ ο x0 κ α ι ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο σ η μ ε ί ο α υ τ ό , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι :

f '  x0   0 .

Α 2 . Π ό τ ε η ε υ θ ε ί α    x   λ έ γ ε τ α ι α σ ύ μ π τ ω τη τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f σ τ ο  ; Α3. Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα  ,   ; Α 4 . Ν α χ α ρ α κ τ η ρ ί σ ε τ ε κ α θ ε μ ι ά α π ό τ ι ς ε π ό μ ε ν ε ς π ρ ο τ ά σε ι ς ω ς Σ ω σ τ ή ( Σ ) ή Λ α ν θασ μ έ ν η ( Λ ) ; 1. Ι σ χ ύ ε ι lim f  x   l  lim f  x0  h   l . h 0

x  x0

Α ν 0  a  1 τ ό τ ε lim a  0 .

Α ν η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο  ,   τ ό τ ε η f έ χ ε ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά

x 

ο λ ι κ ά α κ ρό τ α τ α τα f  a  κ α ι f    . 4. στο

Για τις συναρτήσεις f και g που έχουν συνεχείς παραγώγους

 a,  



ισχύει:







f  x  g '  x  dx   f '  x  g  x  dx   f  x  g  x   a 

Α ν γ ι α κ ά θ ε σ τ ο ι χ ε ί ο ψ τ ο υ σ υ ν ό λο υ τι μ ώ ν τ η ς f  x  , η

f  x   έ χ ε ι λ ύ σ η ω ς π ρ ο ς x τ ό τ ε η f ε ί ν α ι ‘ ‘ 1 - 1 ’ ’ . - 31 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Έστω f μία συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μία 

παράγουσα της f στο [α,β], τότε

Θ.Α.5.



f (t )dt  G(  )  G(a ).

Α1. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σ η μ ε ί ο x0 τ ο υ π εδ ί ο υ ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς . Α 2 . Ν α δ ώ σ ε τ ε τ η ν γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ή ε ρ μ η ν εί α τ ο υ π α ρ ά γ ω γο υ α ρ ι θ μ ο ύ σ τ ο σ η μ ε ί ο M x 0 , f ( x 0 ) τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ ης τ η ς f . Α 3 . Ν α χ α ρ α κ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς π ρ ο τ ά σ ε ι ς π ο υ α κ ο λ ο υ θο ύ ν γ ρ ά φ ο ν τα ς σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ α ς τ η ν έ ν δ ε ι ξ η Σ ω σ τ ό ή Λ ά θ ο ς δ ί π λ α σ τ ο γ ρ ά μ μ α που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 2

α ) Α ν z 1 z 2  0 κ α ι z 1, z 2 C α ν α γ κ α σ τ ι κ ά z 1 z 2  0. β ) Α ν g ( x )  a κ ο ν τ ά σ τ ο x 0 μ ε lim g ( x )  a κ α ι x x0

im f ( y )  l τ ό τ ε

y a

im f ( g ( x))  l.

xx0

γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] και f (β) μέγιστη τιμή της σ υ ν ά ρ τ η σ η ς , τ ό τ ε κ α τ ’ α ν ά γ κ η θ α ε ί ν α ι f ' (  )  0. δ ) Α ν μ ί α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι κ υ ρ τ ή κ α ι δ ύ ο φ ο ρ έ ς π α ρ αγ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α Δ , τ ό τ ε f ' ' ( x )  0. ε ) Α ν μ ί α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο [ 2 , 5] κ α ι f ( x )  0 σ τ ο 2

[2,5], τότε



f ( x )dx  0.

Θ.Α.6.

Α1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κ λ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ ημ α  ,   . Α ν :  

Η f συνεχής στο

 ,  

και

f    f   

τ ό τ ε , γ ι α κ ά θ ε α ρ ι θ μ ό η μ ε τα ξ ύ τ ω ν f   κ α ι f    υ π ά ρ χ ε ι έ ν α ς , τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν x0   a,   τ έ τ ο ι ο ς , ώ σ τ ε f  x0    . Α 2 . Π ό τ ε η ε υ θ ε ί α x  x0 λ έ γ ε τ α ι κ α τ α κ ό ρ υφ η α σ ύ μ π τ ω τ η τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ ασ η ς μ ι α ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f ; Α 3 . Ν α δ ώ σ ε τ ε τ η ν γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ή ε ρ μ η ν εί α τ ο υ θ ε ω ρ ή μ ατ ο ς τ ο υ Rolle. Α 4 . Ν α χ α ρ α κ τ η ρ ί σ ε τ ε κ α θ ε μ ι ά α π ό τ ι ς ε π ό μ ε ν ε ς π ρ ο τ ά σε ι ς ω ς σ ω σ τ ή ( Σ) ή λ α ν θ α σμ έ ν η ( Λ ) . - 32 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

1 . Για κ ά θ ε μ ιγα δ ικ ό α ριθ μό z είνα ι z  z  2 R e z . 2. Είναι

im e x    .

x 

3 . Γ ι α ο π ο ι ε σ δ ήπ ο τε σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς : f : A  R κ α ι g : B  R , α ν

f , τότε έχει πεδίο ορισμού την τομή  . g 4 . Α ν μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f δ ε ν ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο σ η μ ε ί ο x0 τ ο υ π ε δ ί ο υ ορίζεται η συνάρτηση

ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς , τ ό τ ε δ ε ν ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο x0 . 5.



 f  x   g '  x  dx   f  x   g  x    f '  x   g  x  dx

ό π ο υ f ', g ' ε ί ν α ι

σ υ ν ε χ ε ί ς σ τ ο  ,   . Θ.Α.7.

Α1. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ ' έ ν α σ η μ ε ί ο x 0 , τ ό τ ε εί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο σ η μ ε ί ο αυτό. A 2 . Π ό τ ε μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ Α π α ρο υ σ ι ά ζ ε ι ο λ ι κ ό μέγιστο στο x0A; A3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = αx, α>0 είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το R κ α ι ι σ χ ύ ε ι f ( x ) = α x l n α . A 4 . Ν α β ρ ε ί τ ε π ο ι ο ι α π ό τ ο υ ς ε π ό μ ε νο υ ς ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ύ ς ε ί ν α ι αληθείς και ποιοι ψευδείς: i . Μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η ε ί ν α ι 1 - 1 α ν κ α ι μ ό ν ο α ν δ ε ν υ π ά ρ χ ο υν σ η μ ε ί α της γραφικής της παράστασης με ίδια τεταγμένη. 4v 3  i , για κάθε νΝ. ii. i

lim f (x)  0

i i i . Α ν x x 0 , τότε f(x)>0 κοντά στο x0 . i v . Α ν δ ύ ο μ ε τ α βλ ητ ά μ ε γ έ θ η x , y σ υ ν δ έ ο ν τα ι μ ε τ η σ χ έ σ η y = f(x), όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x0, τότε o ρ υ θ μ ό ς μ ε τα β ο λ ή ς τ ο υ y ω ς π ρο ς x σ το σ η μ ε ί ο x 0 ε ί ν α ι η π α ρ ά γ ω γο ς y = f ΄ ( x 0 ) . v. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, τότε τα εσωτερικά σημεία x0 του Δ, στα οποία f΄(x0)≠0, δεν είναι θέσεις τ ο π ι κώ ν α κ ρ ό τ α τω ν τ η ς f .

Θ.Α.8.

Α1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σ ε ένα διάστημα Δ. α . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι α ν f ΄ ( x )  0 σ ε κ ά θ ε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ίο x το υ Δ , τ ό τ ε η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α σ ε ό λο τ ο δ ι ά σ τ ημ α Δ .

- 33 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

β . Α ν f ΄ ( x )  0 σ ε κ ά θ ε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ίο x το υ Δ , τ ι σ υ μ π ε ρ α ί ν ε τ ε γ ι α τ η μ ο ν ο το ν ί α τη ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f ; Α 2 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ετ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν γ ρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ η ν έ ν δ ε ιξ η Σ ω σ τ ό ή Λ ά θ ο ς δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε π ρότ ασ η . α . Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) =e 1 - x ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α σ τ ο σ ύ ν ο λο τ ω ν π ρ α γ μ ατ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν . β. Η συνάρτηση f με f´(x) = -2ημx+

1 π + 3 , ό π ο υ x  , π ) ε ί ν α ι 2 ημ x 2

γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α α υ τ ό . γ. Αν f´(x) = g´(x) + 3 για κάθε xΔ, τότε η συνάρτηση h(x)=f(x)g(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Α 3 . Σ το π α ρ α κ άτ ω σ χ ή μ α δ ί ν ε τ α ι η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τη ς π α ρ α γ ώ γο υ μ ι α ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f σ τ ο δ ι ά σ τ η μ α  -2 , 6 . Ν α π ρ ο σδ ι ο ρ ί σ ε τ ε τ α δ ι α σ τ ή μ α τα σ τ α ο π ο ί α η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

-2

6 x

Θ.Α.9.

A1. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z2. Να αποδείξετε ότι: z1  z2 = z1  z2.

Α 2 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ η ν έ νδ ε ιξ η Σ ω στ ό ή Λ ά θ ο ς δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε π ρότ ασ η . Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει:

- 34 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

α.

 z z β.

z2  z2 γ .

z  - z

δ.

z  z

ε.

iz  z

Α 3 . Α ν z1  3  4 i και z 2  1 -

3 i, ν α γ ρ ά ψ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ιό σ α ς

τ ο υ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς τ η ς Σ τ ή λ η ς Α κ α ι δ ί π λα σ ε κ ά θ ε α ρ ι θ μ ό το γ ρ ά μ μ α της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα. Στήλη Α

Στήλη Β

α. 4

z1  z 2 2.

z12

 z1

δ.–5

i z2

ε.–2

β. 2 2

γ.25

στ. 5 ζ.10

Α 4 . Α ν γ ι α τ ο μ ι γ αδ ι κ ό α ρ ι θ μ ό

z 

Θ.Α.10.

z ισχύει

z  1, ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι

1 . z

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)= αχ , α>0 είναι

π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το R κ α ι γ ι α κ ά θ ε x  R ι σ χ ύ ε ι f ΄ ( x ) = α χ l n α .

A2. Έστω μία συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα ∆. Να διατυπώσετε τον ορισμό της αρχικής συνάρτησης ή παράγουσας της f στο ∆. - 35 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

A 3 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας δ ίπ λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε π ρ ό τ ασ η τ η λ έξ η Σ ω σ τ ό , αν η π ρό τ ασ η ε ί ν αι σ ω σ τ ή, ή Λ ά θ ο ς , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . α. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z = α + βi, α, β ∈ℝ ισχύει z – z =2β β . Μ ί α σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ Α θ α λ έ μ ε ό τ ι π α ρο υ σ ι ά ζ ε ι σ τ ο x 0 ∈ A ( ο λ ι κ ό ) μ έ γ ι σ τ ο τ ο f ( x 0 ) , ό τ αν f ( x ) ≤ f ( x 0 ) γ ι α κ άθ ε x ∈ A γ . Α ν μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς μ ο νό το ν η σ ε έ ν α δ ι ά σ τ η μ α Δ , τ ό τ ε ε ί ν α ι κ α ι 1 - 1 σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α α υ τ ό .

δ.Αν

lim f(x)  0

x x 0

1   x x0 f(x) κ α ι f ( x ) > 0 κο ντ ά σ τ ο x 0 , τ ό τ ε . lim

ε.Κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα σημείο x 0 του π ε δ ί ο υ ο ρ ι σ μ ο ύ τ ης ε ί ν α ι κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο σ η μ ε ί ο α υ τ ό . Θ.Α.11.

A1.Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0

έ ν α ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο τ ο υ Δ . Α ν η f π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι τ ο π ι κ ό α κ ρ ό τ ατ ο σ τ ο x 0 κα ι ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο σ η μ ε ί ο α υ τ ό , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ότι: f′(x0) = 0. A 2 . Δ ί ν ε τ α ι σ υ ν ά ρ τ η σ η f ο ρ ι σ μ έ ν η σ τ ο ℝ . Π ό τ ε η ε υ θ ε ί α y = λx + β λ έ γ ε τ α ι α σ ύ μ π τω τ η τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f σ τ ο + ∞ ; A 3 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας δ ίπ λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε π ρ ό τ ασ η τ η λ έξ η Σ ω σ τ ό , αν η π ρό τ ασ η ε ί ν αι σ ω σ τ ή, ή Λ ά θ ο ς , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . α ) Γ ι α κ ά θ ε μ ι γ α δ ι κ ό α ρ ι θ μ ό z ≠ 0 ο ρί ζ ο υ μ ε z 0 = 1 β) Μια συνάρτηση f:A→ ℝ λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για ο π ο ι α δ ήπ ο τ ε x 1 , x 2 ∈ A ι σ χ ύ ε ι η σ υ ν ε π α γ ω γ ή : α ν x 1 ≠ x 2 , τό τ ε f(x1) ≠ f(x2) γ ) Γ ι α κ ά θ ε x ∈ ℝ 1 = ℝ – {x / σ υ ν x = 0 } ι σ χ ύ ε ι : δ ) Ι σ χ ύ ε ι ό τ ι : lim

x 

 εφx   

1 . συν2x

ημx 1 . x

ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f κ αι f-1 ε ί ν α ι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ έ ς ω ς π ρ ο ς τ η ν ε υ θ ε ί α y = x π ο υ δ ι χ ο το μ ε ί τ ι ς - 36 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

γωνίες xOy και x΄Oy΄. Θ.Α.12. A1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f΄(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ό τ ι η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α σ ε ό λ ο το Δ . A2. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; A 3 . Έ σ τ ω σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ Α . Π ό τ ε λ έ μ ε ό τι η f παρουσιάζει στο x 0∈A τοπικό μέγιστο; A 4 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ν τ ας σ τ ο τ ετ ρ άδ ι ό σ ας , δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ιχ ε ί σ ε κ άθ ε π ρ ό τ ασ η , τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό , αν η π ρ ότ ασ η ε ί ν αι σ ω σ τ ή , ή Λ ά θ ο ς , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . α . Σ τ ο μ ι γ αδ ι κ ό επ ί π ε δ ο ο ι ε ι κ ό ν ε ς δ ύ ο σ υ ζ υ γ ώ ν μ ι γ α δ ικ ώ ν ε ί ν α ι σ η μ ε ί α σ υ μ μ ε τ ρ ι κ ά ω ς π ρ ο ς τ ο ν π ρ α γμ α τ ι κό ά ξ ο ν α β . Μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι 1 - 1 , α ν κ α ι μ ό νο α ν γ ι α κ ά θ ε στ ο ι χ ε ί ο y τ ο υ σ υ ν ό λ ο υ τ ι μ ώ ν τ η ς η ε ξ ί σ ω σ η f ( x ) =y έ χ ε ι α κ ρ ι β ώ ς μ ί α λ ύ σ η ω ς προς x. γ . Α ν ε ί ν α ι lim f(x) =  , τ ό τ ε f ( x ) < 0 κο ν τ ά σ το x 0 xx0

δ . (σφx) =

1 ημ2 x

, x ∈ ℝ - { x | ημ x ≠ 0 }

β β ε . α f(x)g(x)dx =[f(x)g(x)]βα  α f (x)g(x)dx , ό π ο υ f ΄ , g ΄ ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ε ί ς σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς σ τ ο [ α, β ] .

Θ.Α.13.

A1. Να αποδείξετε ότι:

ln x   1x

για κάθε χR*.

A 2 . Π ό τ ε λ έμ ε ό τ ι μ ί α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ ε έ ν α κ λ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ ημ α [ α , β ] ; A3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι σ τ ο x 0 ∈ A ο λ ι κό μ έ γ ι σ τ ο ; A 4 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ν τ ας σ τ ο τ ετ ρ άδ ι ό σ ας , δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ιχ ε ί σ ε κ άθ ε π ρ ό τ ασ η , τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό , αν η π ρ ότ ασ η ε ί ν αι σ ω σ τ ή , ή Λ ά θ ο ς , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . α . Σ τ ο μ ι γ α δ ι κό ε π ί π ε δ ο ο ι ε ι κ ό ν ε ς δ ύ ο α ν τ ί θ ε τ ω ν μ ι γ αδ ι κ ώ ν ε ί ν α ι σ η μ ε ί α σ υ μ μ ε τ ρ ι κ ά ω ς π ρ ο ς τ ο ν π ρ α γμ α τ ι κό ά ξ ο ν α . β . Α ν μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι 1 - 1 σ το R , τ ό τ ε θ α έ χ ε ι τ ο π ο λ ύ μ ι α ρίζα στο R. γ . Α ν ε ί ν α ι lim f(x)= 7 , τ ό τ ε f ( x ) < 0 κο ν τ ά σ το x 0 . xx0

δ . Α ν δ ύ ο σ υ ν α ρ τ ήσ ε ι ς f , g ε ί ν α ι ο ρ ι σ μ έ ν ε ς κ α ι σ υ ν ε χ ε ί ς σ ε έ ν α δ ι ά σ τ η μ α Δ κ α ι ι σ χ ύ ε ι ό τ ι f ΄ ( x ) = g ΄ ( x ) γ ι α κ ά θ ε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ είο x τ ο υ Δ , τ ό τ ε ι σ χ ύ ε ι π ά ν τ α f ( x ) =g ( x ) γ ι α κ ά θ ε x 0 ∈ Δ . - 37 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

ε . Έ ν α τ ο π ι κό μ έ γ ισ τ ο μ π ο ρ ε ί ν α ε ί ν α ι μ ι κ ρ ό τ ε ρ ο απ ό έ να τ ο π ι κό ελάχιστο. Θ.Α.14. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x 0, στο οποίο όμως η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς . Α ν f ΄ ( x ) > 0 σ το ( α , x 0 ) κ α ι f ΄ ( x ) < 0 σ το ( x 0 , β ) , τ ό τ ε ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι το f ( x 0 ) ε ί ν α ι τ ο π ι κ ό μ έ γ ι σ τ ο τ η ς f . Α2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; Α 3 . Ν α δ ι α τ υ π ώ σ ε τε τ ο θ ε ώ ρ ημ α R o l l e . Α 4 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ν τ ας σ τ ο τ ετ ρ άδ ι ό σ ας , δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ιχ ε ί σ ε κ άθ ε π ρ ό τ ασ η , τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό , αν η π ρ ότ ασ η ε ί ν αι σ ω σ τ ή , ή Λ ά θ ο ς , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . α . Η γ ρ αφ ι κ ή π α ρ άσ τ α σ η τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς - f ε ί ν α ι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ ή , ω ς π ρ ο ς τ ο ν άξ ο ν α x ΄ x , τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f . β . Η δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ή α κ τ ί ν α τ ο υ α θ ρο ί σ μ α το ς τ ω ν μ ι γ α δ ικ ώ ν α + β i κ α ι γ + δ i ε ί ν α ι τ ο ά θ ρ ο ι σ μ α τω ν δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ώ ν α κ τ ί νω ν το υ ς . γ . Α ν ε ί ν α ι 0 < α < 1 τ ό τ ε lim αx =  . x

δ . Α ν μ ι α σ υ ν ά ρ τ ησ η f δ ε ν ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ ε έ ν α σ η μ ε ί ο x 0 , τό τε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο x 0. ε . Έ σ τ ω f μ ι α σ υ ν ε χ ή ς σ υ ν ά ρ τ η σ η σ ε έ ν α δ ι ά σ τ η μ α [ α , β] . β Α ν G ε ί ν α ι μ ι α π α ρ ά γ ο υ σ α τ η ς f σ τ ο [ α , β ] , τ ό τ ε α f(t)dt =G(α)  G(β) . Θ.Α.15. A1. Αν z1 , z2 είναι ότι:|z1∙z2|=|z1|∙|z2|.

μ ι γ α δ ι κο ί

αριθμοί,

να

α π ο δ ε ί ξ ετ ε

Α2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; Α 3 . Ν α δ ι α τ υ π ώ σ ε τε τ ο θ ε ώ ρ ημ α R o l l e . Α 4 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ν τ ας σ τ ο τ ετ ρ άδ ι ό σ ας , δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ιχ ε ί σ ε κ άθ ε π ρ ό τ ασ η , τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό , αν η π ρ ότ ασ η ε ί ν αι σ ω σ τ ή , ή Λ ά θ ο ς , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . α . Η γ ρ αφ ι κ ή π α ρ άσ τ α σ η τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς - f ε ί ν α ι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ ή , ω ς π ρ ο ς τ ο ν άξ ο ν α x ΄ x , τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f . β . Η δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ή α κ τ ί ν α τ ο υ α θ ρο ί σ μ α το ς τ ω ν μ ι γ α δ ικ ώ ν α + β i κ α ι γ + δ i ε ί ν α ι τ ο ά θ ρ ο ι σ μ α τω ν δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ώ ν α κ τ ί νω ν το υ ς . γ . Γ ι α τ η ν π ο λ υ ω ν υ μ ι κ ή σ υ ν ά ρ τ η σ η P ( x ) =α ν x ν + α ν - 1 x ν - 1 + … α 1 x + α 0 μ ε α ν ≠ 0 ι σ χ ύ ε ι : lim P(x)  α0 . x 

δ . Α ν μ ι α σ υ ν ά ρ τ ησ η f δ ε ν ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ ε έ ν α σ η μ ε ί ο x 0 , τό τε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο x 0 ε . Έ σ τ ω μ ι α σ υ ν ά ρτ η σ η f π α ρ α γω γ ί σ ι μ η σ ε έ ν α δ ι ά σ τ η μ α ( α , β ) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x 0, στο οποίο όμως η f είναι σ υ ν ε χ ή ς . Α ν f ΄ ( x ) >0 σ τ ο ( α , x 0 ) κ α ι f ΄ ( x ) < 0 σ τ ο ( x 0 , β ) , τό τ ε τ ο f ( x 0 ) ε ί ν α ι τ ο π ι κ ό μ έ γ ι σ το τ η ς f - 38 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Α.16.

α Α1. Έστω η συνάρτηση f x  x , α R  Z .

Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο ( 0 , + ) κ α ι ι σ χ ύ ε ι : f '  x   αx α-1 . Α2. Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς σε ένα διάστημα Δ για τις ο π ο ί ε ς ι σ χ ύ ε ι : f ΄ ( x ) = g ΄ ( x ) γ ι α κ ά θ ε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ίο x το υ Δ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε να ισχύει: f  x  g x  c γ ι α κ ά θ ε x  Δ . Α 3 . Έ σ τ ω μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ Α . Ν α δ ώ σ ετ ε τ ο ν ο ρ ι σ μ ό : Π ό τ ε η f π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι σ τ ο x0   τ ο π ι κ ό ε λ ά χ ι σ τ ο . Α 4 . Ν α χ α ρ α κ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς π ρ ο τ ά σ ε ι ς π ο υ α κ ο λ ο υ θο ύ ν μ ε τ η ν έ ν δ ε ι ξ η Σ ω σ τό ή Λ άθ ο ς . α ) Α ν μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f :A   έ χ ε ι α ν τ ί σ τ ρ ο φ η σ υ ν ά ρ τ η σ η f 1 , τ ό τ ε η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς μ ο νό το ν η σ τ ο Α . β ) Α ν μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο x 0 κ α ι f  x0   0 , τ ό τ ε

f  x   0 γ ι α τ ι ς τ ι μ έ ς τ ο υ x κ ο ν τ ά σ τ ο x0 . γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο α,β τ ό τ ε υ π ά ρ χ ε ι x 0   α,β  τ έ τ ο ι ο ς ώ σ τ ε ν α ι σ χ ύ ε ι f '  x 0   0 . δ) Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο διάστημα Δ και δ ύ ο φ ο ρ έ ς π α ρ α γω γ ί σ ι μ η σ ε α υ τ ό . Τό τ ε ι σ χ ύ ε ι f ''  x   0 γ ι α κ ά θ ε

x Δ . ε) Αν f συνεχής στο

α,β

με f x  0 και ισχύει

υ π ά ρ χ ε ι x0   a,   τ έ τ ο ι ο ς ώ σ τ ε f  x0   0 .



 f  x  dx  0 ,

τότε



στ) Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση με μηδέν στο

α,β



και ισχύει

 f  x  dx  0 ,

τότε η f παίρνει δύο τουλάχιστον



ετερόσημες τιμές. Θ.Α.17.

v A . Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f  x   x , v  IN  0, 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η

σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το

 κ α ι ι σ χ ύ ε ι f '  x   v x v1 .

B . Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f , π ο υ η γ ρ α φ ι κ ή τ η ς π α ρ ά σ τ α σ η φ α ί ν ε τα ι σ τ ο σχήμα,

- 39 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

ε ί ν α ι δ ύ ο φ ο ρ έ ς π αρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο π εδ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς μ ε σ υ ν ε χ ή δ ε ύ τ ε ρ η π α ρ ά γ ω γο . Ν α β ρ ε ί τ ε , α ν η τ ι μ ή τ ω ν ο λο κλ η ρ ω μ ά τω ν I1 , I2 , I3 ε ί ν α ι θ ε τ ι κ ή ή αρνητική.

I1   f  x  dx 3

0 3

I 2   f '  x  dx 0 3

I3   f ''  x  dx 0

Γ. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα όρια της στήλης Α με την τ ι μ ή τ ο υ τ η ς σ τ ή λ ης Β . ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

ημ x x 0 x

1 . lim

 

2 . lim  x ημ x 0 3.

lim ln x

x 0

α . 

1  x

β. 0 γ. 1 δ . 

1 x  e x lim

Θ.Α.18. A. Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο x0 , τότε η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και ισχύει: (f + g)΄(x0) = f΄(x0) + g΄(x0). Β . Έ σ τ ω μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε π ε δ ί ο ο ρ ισ μ ο ύ τ ο Α . Τι ο ν ο μ ά ζ ο υ μ ε π ρ ώ τ η π α ρ ά γ ω γο τη ς f ; - 40 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Γ . Ν α α π α ν τ ή σ ε τ ε α ν ε ί ν α ι Σ ω σ τ ή ή Λ ά θ ο ς κ ά θ ε μ ι α απ ό τ ι ς π α ρ α κ ά τω π ρο τ ά σ ει ς . 1. Μια συνάρτηση f: ΑR είναι 1 - 1 αν και μόνο αν για κάθε x1, x 2  Α ι σ χ ύ ε ι η σ υ ν ε π α γ ω γ ή α ν x1  x 2 τ ό τ ε f  x1   f  x 2  . 2 . Α ν lim f  x   lim g  x  τ ό τ ε f  x   g  x  κ ο ν τ ά σ τ ο x 0 . x x 0

x x 0

α,β κ α ι υ π ά ρ χ ε ι x0   a,   τ έ τ ο ι ο ώ σ τ ε f  x0   0 , τ ό τ ε f  a   f     0 . 4 . Α ν η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο  α,β  κ α ι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α , τ ό τ ε υ π άρ χ ε ι x0   a,   τ έ τ ο ι ο ώ σ τ ε f '  x 0   0 . 3. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο

α f  x  dx  0

5. Αν

και η συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση με

μ η δ έ ν σ το  ,   , τ ό τ ε f  x   0 γ ι α κ ά θ ε x   a,   .

Θ.Α.19.

Α1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και x0 έ ν α ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο τ ο υ Δ . Α ν η f π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι τ ο π ι κ ό

α κ ρ ό τ ατ ο σ το x 0 κ α ι ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο σ η μ ε ί ο α υ τ ό , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : f '  x0   0 .

Α 2 . Π ό τ ε η ε υ θ ε ί α x  x0 λ έ γ ε τ α ι α σ ύ μ π τ ω τη τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς παράστασης μιας συνάρτησης f; Α 3 . Ν α χ α ρ α κ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς π ρ ο τ ά σ ε ι ς π ο υ α κ ο λ ο υ θο ύ ν μ ε τ η ν έ ν δ ε ι ξ η Σ ω σ τό ή Λ άθ ο ς . α . Μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f :A   ε ί ν α ι < < 1 - 1 > > ό τα ν γ ι α κ ά θ ε x1 , x 2  Α ι σ χ ύ ε ι η σ υ ν ε π α γ ω γ ή : f  x1   f  x 2  τ ό τ ε x1  x 2 .

β . Α ν υ π ά ρ χ ε ι τ ο lim  f  x   g  x   τ ό τ ε κ α τ ’ α ν ά γ κ η υ π ά ρ χ ο υ ν τ α x  x0

lim f  x  κ α ι lim g  x  .

x  x0

γ . Α ν lim f  x    ή  τ ό τ ε f  x   0 γ ι α τ ι ς τ ι μ έ ς τ ο υ x κ ο ντ ά σ τ ο x x 0

x0 . δ . Α ν μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι δ ύ ο φ ο ρ ές π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ ’ έ ν α διάστημα Δ και δεν παρουσιάζει καμπή σε κανένα σημείο του Δ, τότε f΄΄(χ)≠0 για κάθε x . 

ε. Αν

 f  x  dx  0

κ α ι    τ ό τ ε κ ατ ’ α ν ά γ κ η ι σ χ ύ ε ι f  x   0 γ ι α

κ ά θ ε x   a,   .

- 41 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Α.20.

A.1 Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα

διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι: • Αν f΄(x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σ ε όλο το Δ. • Αν f΄(x)<0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. Α.2 Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είνα ι κυρτή στο Δ; B . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς π ρ ο τ άσ ε ι ς π ο υ ακ ο λ ο υ θ ο ύ ν , γ ρ άφ ο ν τ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό ή Λ ά θ ο ς δ ί π λ α σ τ ο γ ρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ ε ί σ ε κ άθ ε π ρ ό τ ασ η . α . Γ ι α κ ά θ ε μ ι γ α δ ι κ ό α ρ ι θ μ ό z ι σ χ ύ ε ι z  z2 . 2

β . Α ν υ π ά ρ χ ε ι τ ο lim f (x)  0 τ ό τ ε f (x)  0 κ ο ν τ ά σ τ ο x 0 . x  x0

γ. H εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα.



δ. Ισχύει ο τύπος

3 

ε. Ισχύει η σχέση

α f (x)g(x)dx  f (x)g(x)α  α f (x)g(x)dx , ό π ο υ f ,g

 x  3x 1 , γ ι α κ ά θ ε x ∈ I R .

είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β].

Θ.Α.21.

Α1. Να αποδείξετε ότι:

 εφx  

1 γ ι α κ ά θ ε x R - { x / σ υ ν x = 0} . συν2x

A2. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο (α , β), με εξαί ρεση ί σ ω ς έ ν α σ η μ ε ί ο x 0 . Π ό τ ε τ ο σ η μ ε ίο Α ( x 0 , f ( x 0 ) ) θ α ο ν ο μ άζ ε τ α ι σ η μ ε ί ο κ α μ π ή ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ ασ η ς τ η ς f ; A3. Αν z = α + β i με α, β  R, είναι ένας μιγαδικός αριθμός, να γ ρ ά ψ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ α ς τ α γ ρ ά μ μ α τα τ η ς Σ τ ή λ η ς Ι τ ο υ - 42 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

ε π ό μ ε ν ο υ π ί ν α κ α , κ α ι δ ί π λ α σ ε κ ά θ ε γ ρ ά μ μ α το ν α ρ ι θ μ ό τ η ς Σ τ ή λ η ς Ι Ι π ο υ α ν τ ισ τ ο ι χ ε ί σ τ η σ ω σ τ ή α π ά ν τ η σ η . Στήλη Ι A.

R e ( z)

Β.

Im(z)

Στήλη ΙΙ 1. -α - βi 2. α - βi 3. α + β

Γ.

-z

Δ.

Ε. ΣΤ.

Θ.Α.22.

4. α 5.

z z z

α2  β2

6. α2 + β2 7. β

A1.Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα [α, β].

Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να δείξετε ότι



β α

f (t) dt  G(β)  G(α) .

Α2. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ο ν ο μ ά ζ ε τ α ι α ρ χ ι κ ή ή π α ρ ά γ ο υ σ α τ η ς f σ τ ο Δ ;

Α 3 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ η ν έ νδ ε ιξ η Σ ω στ ό ή Λ ά θ ο ς δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε π ρότ ασ η . α. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α, β] και συνεχής στο (α, β ] , τ ό τ ε η f π α ί ρ ν ε ι π ά ν τ ο τ ε σ το [ α , β ] μ ί α μ έ γ ι σ τ η τ ι μ ή . β . Κ ά θ ε σ υ ν ά ρ τ η σ η , π ο υ ε ί ν α ι 1 - 1 σ τ ο π ε δ ί ο ο ρ ι σμ ο ύ τ η ς, ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς μ ο ν ό το ν η . γ . Α ν υ π ά ρ χ ε ι τ ο ό ρ ι ο τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f σ τ ο x 0 κ α ι lim f (x) = 0 , τ ό τ ε x x0

lim f(x)  0 .

x  x0

- 43 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

δ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR, τότε



f (x)dx   xf (x)α   xf΄(x)dx , ό π ο υ f ΄ σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο [ α , β ] . β

ε. Αν

Θ.Α.23.

lim f(x)

x  x0

0τ ό, τ ε f ( x ) > 0 κο ν τ ά σ τ ο x 0 .

Α 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι , α ν μ ί α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η

σ’ ένα σημείο x0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Α 2 . Τι σ η μ α ί ν ε ι γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ά το Θ εώ ρ ημ α Μ έ σ η ς Τι μ ή ς τ ο υ Δ ι α φ ο ρ ι κο ύ Λ ο γ ι σ μ ο ύ ;

Α 3 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ η λ έ ξ η Σ ω στ ό ή Λ ά θ ο ς δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε π ρότ ασ η . α. Αν z ένας μιγαδικός αριθμός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει

z  z  z . β. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φ ο ρ έ ς π α ρ α γω γ ί σ ι μ η σ τ ο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό το υ Δ . Α ν

f΄΄(x)>0 για κάθε

εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ. γ . Γ ι α κ ά θ ε σ υ ν ά ρ τ η σ η f , μ ε σ υ ν ε χ ή π α ρ ά γ ω γ ο σ ε έ ν α δ ι άσ τ η μ α β

[α , β], ισχύει

 f ΄(x)dx  f (x) . α

δ. Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η ε φ α π τ ο μ έ ν η τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ ης τ η ς f σ ε κ ά θ ε σ η μ ε ί ο τ ο υ Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση. ε. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x0 ένα ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο το υ Δ . Α ν η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το x 0 κ α ι f ΄ ( x 0 ) = 0 , τ ό τ ε η f π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά τ ο π ι κό α κ ρ ό τα τ ο σ τ ο x0.

Θ.Α.24.

Α1.Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ.

Αν F είναι μία παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι: - 44 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

α . ό λ ε ς ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς τ η ς μ ο ρ φ ή ς G ( x ) = F(x)  c , c  Ι R ε ί ν α ι παράγουσες της f στο Δ β . κ ά θ ε ά λ λ η π α ρ άγ ο υ σ α G τ η ς f σ τ ο Δ π α ί ρ ν ε ι τ η μ ο ρ φ ή G ( x ) = F(x)  c , c  Ι R .

Α 2 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ η λ έ ξ η Σ ω στ ό ή Λ ά θ ο ς δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε π ρότ ασ η . α . Α ν z 1 , z 2 ε ί ν α ι μ ι γ α δ ι κο ί α ρ ι θ μ ο ί , τ ό τ ε ι σ χ ύ ε ι π ά ν τ α





z1  z 2





β. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ΄ (x) > 0 στο (α, x0) και f ΄ (x) < 0 στο (x0, β), τότε το f (x0) ε ί ν α ι τ ο π ι κ ό ε λ ά χ ισ τ ο τ η ς f . γ . Μ ί α σ υ ν ά ρ τ η σ η f : Α  Ι R ε ί ν α ι σ υ ν ά ρ τ η σ η 1 - 1 , α ν κ α ι μ ό νο α ν γ ι α ο π ο ι αδ ή π ο τ ε x 1 , x 2  A ι σ χ ύ ε ι η σ υ ν ε π α γ ω γ ή : α ν x 1 = x 2 , τ ό τ ε f(x1) = f(x2) δ . Α ν f , g ε ί ν α ι δ ύ ο σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς μ ε σ υ ν ε χ ή π ρ ώ τ η π α ρ άγ ω γ ο , τ ό τ ε ισχύει:



f(x)  g ΄ (x) dx  f(x) g(x)β   f ΄ (x) g(x) dx . α

Α3. Πότε μία ευθεία y = λ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ ασ η ς μ ι α ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f σ τ ο +  ;

Θ.Α.25.

Α1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα ∆ και x 0

έ ν α ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο τ ο υ ∆ . Α ν η f π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι τ ο π ι κ ό α κ ρ ό τ ατ ο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι f΄(x0)=0. Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ε ένα σ η μ ε ί ο x 0 τ ο υ π εδ ίο υ ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς ;

- 45 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Α 3 . Ν α χ α ρ α κ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς π ρ ο τ ά σ ε ι ς π ο υ α κ ο λ ο υ θο ύ ν γ ρ ά φ ο ν τα ς σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ α ς τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό ή Λ άθ ο ς δ ί π λ α σ τ ο γ ρ άμ μ α π ο υ αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α . Η δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ή α κ τ ί ν α τ ο υ α θ ρ ο ί σ μ α το ς δ ύ ο μ ι γ αδ ι κώ ν α ρ ι θ μ ώ ν ε ί ν α ι τ ο ά θ ρ ο ι σ μ α τω ν δ ι α ν υ σ μ α τ ι κώ ν α κ τ ί ν ω ν τ ο υ ς . β . lim f (x)  l , α ν κ α ι μ ό ν ο αν x  x0

lim f (x)  lim f (x)  l

x  x 0

x  x0

γ . Α ν ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f , g ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ ε ς σ τ ο x 0 , τ ό τε η συνάρτηση f⋅g είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει: (f⋅g)΄(x0) = f΄(x0) g΄(x0). δ. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα ∆ . Α ν f ΄ ( x ) >0 σ ε κ ά θ ε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ίο x το υ ∆ , τ ό τ ε η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς φ θ ί ν ο υ σ α σ ε ό λ ο το Δ . ε. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [α,β ]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β],τότε

Θ.Α.26.



β α

f(t)dt  G(β)  G(α) .

A 1 . Α ν z 1 , z 2 ε ί ν α ι δ ύ ο μ ι γ α δ ι κο ί , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι :

z1  z2  z1  z2 . Α 2 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ η λ έ ξ η Σ ω στ ό ή Λ ά θ ο ς δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε π ρότ ασ η . α. Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα σημείο x 0 του πεδίου ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς , τ ό τ ε εί ν α ι κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο σ η μ ε ί ο α υ τό . β . Το μ έ τ ρ ο τ η ς δ ια φ ο ρά ς δ ύ ο μ ι γ αδ ι κ ώ ν ε ί ν α ι ί σ ο µ ε τ η ν α π ό σ τα σ η τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ο υ ς . γ. Αν f , g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισμού IR και ορίζονται ο ι σ υ ν θ έ σ ε ι ς f o g κ αι g of , τό τ ε α υ τ έ ς ο ι σ υ ν θ έ σ ε ι ς ε ί ν α ι υποχρεωτικά ίσες. δ. Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και f –1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x΄Oy΄. ε . Α ν υ π ά ρ χ ε ι τ ο ό ρ ι ο τ η ς f σ τ ο x 0 , τ ό τ ε lim k f(x)  x  x0

lim f(x) , ε φ ό σ ο ν

x  x0

f ( x ) ≥ 0 κ ο ν τ ά σ το x 0 , µ ε k ∈ Ι Ν κ α ι k ≥ 2 . - 46 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Α 3 . Ν α ο ρ ί σ ε τ ε π ό τε λ έ μ ε ό τ ι μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ ε έ ν α α ν ο ι κ τ ό δ ι ά σ τ ημ α ( α , β ) κ α ι π ό τ ε σ ε έ ν α κ λ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ η μ α [α, β]. Θ.Α.27.

Α1. Αν α + βi, γ+δi είναι μιγαδικοί αριθμοί, όπου

α, β, γ, δ ∈ IR και γ+δi ≠0, να αποδείξετε ότι:

α  βi αγ  βδ βγ  αδ   i. γ  δi γ 2  δ2 γ 2  δ2 Α 2 . Σ τ ο ν π αρ ακ άτ ω π ίν ακ α, κ άθ ε μ ι γ αδ ι κ ό ς αρ ι θ μ ό ς τ η ς Σ τ ήλ η ς Ι ε ί ν αι ί σ ο ς µ ε έ ν α µ ό ν ο αρ ι θ μ ό τ η ς Σ τ ήλ η ς Ι Ι ( δ ύ ο αρ ι θ μ ο ί στ η Σ τ ήλ η Ι Ι π ερ ισ σ εύ ο υ ν) . Στήλη Ι

Στήλη ΙI

Α.

– i

+ 1

Γ.

Δ.

– 1

Ν α γ ρ ά ψ ε τ ε σ τ ο τ ε τρ ά δ ι ό σ α ς τ α γ ρ ά μ μ α τ α τ η ς Σ τ ή λ η ς Ι τ ο υ π α ρ α π ά ν ω π ί ν α κ α κ α ι α κ ρ ι β ώ ς δ ί π λ α σ ε κ ά θ ε γ ρ ά μ μ α το ν α ρ ι θ μ ό της Στήλης ΙΙ, ώστε να δημιουργείται η σωστή αντιστοιχία. Α 3 . Γ ι α κ αθ ε μ ι ά απ ό τ ι ς π αρ ακ άτ ω π ρο τ άσ ε ι ς 1 , 2 , 3 κ αι 4 , ν α γ ρ άψ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ ο γρ άμ μ α τ η ς κ αι , ακ ρ ι β ώ ς δ ίπ λα, τ η ν έ ν δ ε ιξ η ( Σ ) , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι σ ω στ ή, ή ( Λ ), αν αυ τ ή ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . 1 . Έ σ τ ω δ ύο σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f , g ο ρ ι σ μ έ ν ε ς σ ε έ ν α δ ι ά σ τ η μ α Δ . Αν οι f, g είναι συνεχείς στο ∆ και f΄(x) = g΄(x) για κάθε εσωτερικό σ η μ ε ί ο x το υ ∆ , τ ό τ ε υ π ά ρ χ ε ι σ τ α θ ε ρ ά c τ έ τ ο ι α , ώ σ τ ε γ ι α κ ά θ ε x ∈ ∆ να ισχύει: f(x) = g(x) + c. 2. Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα ∆ τ ο υ π ε δ ίο υ ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς , ό τ α ν γ ι α ο π ο ι α δ ή π ο τ ε x 1 , x 2 ∈ ∆ µ ε x1 < x2 ισχύει: f(x1) < f(x2). - 47 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

3. Έστω η συνάρτηση f(x) =

x . H συνάρτηση f είναι

π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το ( 0 , + ∞ ) κ α ι ι σ χ ύ ε ι f (x) 

2 . x

4. Ο συντελεστής διεύθυνσης, λ, της εφαπτομένης στο σημείο Α ( x 0 , f ( x 0 ) ) , τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ ης C f μ ι α ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f , π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η ς σ τ ο σ η μ ε ί ο x 0 τ ο υ π εδ ί ο υ ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς ε ί ν α ι λ = f΄(x0).

Θ.Α.28.

Α1. Να αποδείξετε ότι:

 x   2 1 x

, x   0,   .

A2. Πότε μια συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε ένα διάστημα Δ; A 3 . Γ ι α κ αθ ε μ ι ά απ ό τ ι ς επ όμ ε ν ε ς π ροτ άσ ε ι ς Β , Γ , Δ , Ε κ αι Σ Τ ν α γ ρ άψ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ ο ν αρ ι θ μ ό τ ης κ αι ακ ρ ι β ώ ς δ ί π λ α τ η ν έ ν δ ε ιξ η ( Σ ) , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι σ ω σ τ ή, ή ( Λ ) , αν αυ τ ή ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . 1. Αν Μ1(α, β) και Μ2(γ, δ) είναι οι εικόνες των α + βi και γ + δi α ν τ ι σ τ ο ί χ ω ς σ τ ο μ ιγ α δ ι κ ό ε π ίπ ε δ ο , τ ό τ ε η δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ή α κ τ ί ν α τ η ς δ ι α φ ο ρ ά ς τ ω ν μ ι γ αδ ι κ ώ ν α + β i κ α ι γ + δ i ε ί ν α ι η δ ι α φ ο ρ ά τω ν δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ώ ν α κτι ν ώ ν τ ο υ ς . 2. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z = -α + βi, όπου α,β ∈ IR, ισχύει

z = α - βi . 3. Έστω η συνάρτηση f(x) = συνx , όπου x ∈ IR . H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f ΄(x) = − ημx. 4. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα R*. Αν • η f είναι συνεχής στο R* και • f΄(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του R*, τ ό τ ε η f ε ί ν α ι σ τ α θ ε ρ ή σ ε ό λ ο τ ο δ ι ά σ τη μ α R * . 5. Έστω μία συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάσ τημα Δ . Α ν f ΄ ( x ) < 0 σ ε κ ά θ ε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ ημ ε ί ο x τ ο υ Δ , τ ό τ ε η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α σ ε ό λ ο το Δ .

- 48 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Α.29.

Α2.

Α1. Να αποδείξετε ότι:

 x    x

Πότε η ευθεία y = λx + β



 1

,   *  x  R* .

λ έ γ ε τ α ι α σ ύ μ π τω τ η τ ης γ ρ α φ ι κ ή ς

παράστασης μιας συνάρτησης f στο +∞; A 3 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ η λ έ ξ η Σ ω στ ό ή Λ ά θ ο ς δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε π ρότ ασ η . α. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f(α) < 0 και υπάρχει ξ ∈ (α, β ) ώ σ τ ε f ( ξ ) = 0 , τ ό τε κ α τ ’ α ν ά γ κ η f ( β ) > 0 . β . Α ν υ π ά ρ χ ε ι τ ο lim  f(x)  g(x)  τό τ ε κ α τ ’ α ν ά γ κ η υ π ά ρ χ ο υ ν τ α x  x0

lim  f(x)  κ α ι lim  g(x) 

x  x0

γ. Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f-1 και η γραφική παράσταση τ η ς f έ χ ε ι κ ο ι ν ό σ η μ ε ί ο Α μ ε τ η ν ε υ θ ε ί α y = x , τ ό τ ε τ ο σ ημ ε ί ο Α α ν ή κ ε ι κ α ι σ τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ ης f - 1 . δ . Α ν lim  f(x)  = 0 κ α ι f ( x ) > 0 κ ο ν τ ά σ τ ο x 0 , τ ό τ ε x  x0

 1  lim     x  x 0 f(x)  

ε. Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε ισχύει



 f(t) dt  f(x)  f(α) γ ι α κ ά θ ε



x∈Δ. στ. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x ∈ Δ ή είναι αρνητική για κάθε x ∈ Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ.

Θ.Α.30.

Α1.

Ν α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι α ν Ρ ( x ) ε ί ν α ι έ ν α π ο λ υ ώ ν υμ ο τό τ ε:

lim P( x)  P( x0 ) . x  x0

Α2.

Πότε μια συνάρτηση f: A → IR λέγεται “1 -1”;

- 49 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

A 3 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ η λ έ ξ η Σ ω στ ό ή Λ ά θ ο ς δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε π ρότ ασ η . α . Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σ η μ ε ί α τ ο υ δ ι α σ τ ήμ α το ς Δ , σ τ α ο π ο ί α η f δ ε ν π α ρ α γ ω γ ί ζ ε τ α ι ή η π α ρ ά γ ω γό ς τ η ς ε ί ν α ι ί σ η μ ε τ ο 0 , λ έ γ ο ν τ α ι κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ. β. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x o. Αν η f είναι κυρτή στο (α, x o) και κ ο ί λ η σ τ ο ( x o , β ) ή α ν τ ι σ τ ρ ό φ ω ς , τ ό τ ε το σ η μ ε ί ο Α ( x o f ( x o ) ) ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά σ ημ ε ί ο κ α μ π ή ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f . γ . Το μ έ τ ρ ο τ η ς δ ι α φ ο ρά ς δ ύ ο μ ι γ αδ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν ε ί ν α ι ί σ ο μ ε τ η ν α π ό σ τα σ η τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ο υ ς . δ. Αν για δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι fog και gof, τότε είναι υποχρεωτικά fog ≠ gof. ε. Οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών z , z είναι σημεία σ υ μ μ ε τ ρ ι κ ά ω ς π ρο ς τ ο ν ά ξ ο ν α x ΄ x . στ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α , β] και λ ∈ IR, τότε ισχύει:



λf(x)dx  λ  f(x)dx .

Θ.Α.31. Α 1. Να 1 , i , -1 , -i.

απ ο δ ε ί ξ ε τ ε

ότι

δύναμη

iν

παίρνει

τις

τιμές

Α 2 . Έ σ τ ω Μ ( x ,y ) η ε ι κ ό ν α τ ο υ μ ι γ α δ ι κο ύ α ρ ι θ μ ο ύ z = x + yi σ τ ο μ ι γ α δ ι κό ε π ί π ε δ ο . Τι ο ρ ί ζ ο υ μ ε ω ς μ έ τ ρ ο τ ο υ z ;

Α 3 . Γ ι α κ αθ ε μ ι ά απ ό τ ι ς ε πό μ ε ν ε ς πρ οτ άσ ε ι ς ν α γ ρ άψ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ ο ν αρ ι θ μ ό τ η ς κ αι ακ ρ ι β ώ ς δ ί π λ α τ η ν έ νδ ε ιξ η ( Σ ) , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι σ ωσ τ ή, ή ( Λ ), αν αυ τ ή ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . 1. Μία συνάρτηση f : Α→ ΙR. λέγεται συνάρτηση 1 -1, όταν για ο π ο ι α δ ήπ ο τ ε x 1 , x 2 ∈ Α ι σ χ ύ ε ι η σ υ ν ε π α γ ω γ ή : αν x1 ≠ x2, τότε f(x1) ≠ f (x2).

- 50 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

2 . Μ ί α σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ Α θ α λ έ μ ε ό τ ι π α ρο υ σ ι ά ζ ε ι σ τ ο x ο ∈ A ( ο λ ι κό ) ε λ ά χ ι σ τ ο , τ ο f ( x ο ) , ό τα ν f ( x ) < f ( x ο ) γ ι α κ ά θ ε x ∈ A . 3. Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο x ο και ισχύει f(x) ≤ g (x) κ ο ν τ ά σ το x ο , τ ό τ ε lim f(x) > lim g(x) . x  x0

x  x0

4 . Α ν z 1 κ α ι z 2 ε ί ν α ι μ ι γ α δ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί , τ ό τ ε z1  z 2  z1  z 2 . 5 . Α ν μ ί α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο κ λ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ ημ α [ α , β ] κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο α ν ο ι κ τό δ ι ά σ τ ημ α

(α, β) τότε υπάρχει ένα,

τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν , ξ ∈( α , β ) τ έ τ ο ι ο , ώ στ ε : f ΄ ( ξ ) =

f(β) - f(α) . βα

Θ.Α.32.

Α1. Να αποδείξετε ότι: (χ)΄= 1.

Α 2 . Έ σ τ ω Α έ ν α υ π ο σ ύ ν ο λο το υ Ι R . Τι ο ν ο μ ά ζο υ μ ε π ρ α γμ α τ ι κ ή συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α;

Α 3 . Γ ι α κ αθ ε μ ι ά απ ό τ ι ς ε πό μ ε ν ε ς πρ οτ άσ ε ι ς ν α γ ρ άψ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ ο ν αρ ι θ μ ό τ η ς κ αι ακ ρ ι β ώ ς δ ί π λ α τ η ν έ νδ ε ιξ η ( Σ ) , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι σ ωσ τ ή , ή ( Λ ) , αν αυ τ ή ε ίν αι λ αν θ α σ μ έ ν η . 1 . Α ν z = x + y i , μ ε x , y ∈ Ι R . , τ ό τ ε : z  z .

z  z  α , για κάθε α, β ∈ ΙR .

2 . Α ν z = α + β i , τ ό τε :

3 . Α ν x ≠ 0 , τό τ ε ι σ χ ύ ε ι

lim x 0

1   . x2

4 . Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) = ε φ x . Η σ υν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το R

f (x) 

= ΙR. – {x / συνx = 0} και ισχύει:

1 . συν 2 x

5. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο x ∈ ΙR, τότε: 0

lim

x  xo

Θ.Α.33.

 k f(x)   k xlim  f(x)  x

για κάθε σταθερά k∈ ΙR .

A 1 . ΄ Ε σ τω f μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η ο ρ ι σ μ έ ν η σ ε έ ν α δ ι ά σ τ η μ α Δ .

Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι:

- 51 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

ό λ ε ς ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς τ η ς μ ο ρ φ ή ς : G ( x ) =F ( x ) + C , C  Ι R ε ί ν α ι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ π α ί ρ ν ε ι τ η μ ο ρ φ ή : G ( x ) =F ( x ) +C , C  Ι R .

Α 2 . Ν α σ υ μ π λ η ρώ σε τ ε σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ιό σ α ς τ ι ς π α ρ α κ ά τ ω σ χ έ σ ε ι ς ώ σ τ ε ν α π ρ ο κ ύ ψ ο υ ν γ ν ω σ τ έ ς ι δ ι ό τ η τ ε ς τ ο υ ο ρ ι σ μ έ ν ο υ ο λ ο κ λ η ρώ μ ατ ο ς . α.



λf (x)dx = . . . . β .

  f (x)  g(x)  dx α

= .... γ.

 λf (x)  μg(x)dx = β

....

όπου λ,μΙR και f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β]. Α 3 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ α π α ρ α κ ά τω ο λο κ λ η ρ ώ μ α τ α : α. β.

γ.

Θ.Α.34.

 e 1



 x  dx

3x 2 dx x

π 2 0

  2ημx  3συνx  dx A1.

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα

( α , β ) , μ ε ε ξ α ί ρ ε σ η ί σ ω ς έ ν α σ η μ ε ί ο τ ο υ x 0 , σ τ ο ο π ο ίο ό μ ω ς η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι: Αν f΄(x) > 0 στο (α , x0) και f΄(χ) < 0 στο (χ0 , β), τότε το f(χ0) είναι τ ο π ι κό μ έ γ ι σ το τ η ς f . Α2. Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ο ν ο μ ά ζ ο υμ ε α ρ χ ι κ ή σ υ ν ά ρ τ η σ η ή π α ρ ά γ ο υ σ α τ η ς f σ τ ο Δ ; Α 3 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ η λ έ ξ η Σ ω στ ό ή Λ ά θ ο ς δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε π ρότ ασ η . α. Αν z1, z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει:

z1  z 2  z1  z 2 .

- 52 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

β. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x ο και g(xο)≠0, τότε η συνάρτηση

f είναι παραγωγίσιμη στο x ο και ισχύει: g

f   f(x o )g(x o )  f (x o )g(x o ) .    xo   2 g(x o ) g 1 γ . Γ ι α κ ά θ ε x ≠ 0 ι σ χ ύ ε ι ln x    x

δ. Μια συνάρτηση f:Α→R είναι 1 –1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x. ε. Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β]. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο [α, β], τότε

Θ.Α.35.



f(t)dt  G(α)  G(β) .

A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ( α , β ) , μ ε ε ξ α ί ρ ε σ η ί σ ω ς έ ν α σ η μ ε ί ο τ ο υ x 0 , σ τ ο ο π ο ίο ό μ ω ς η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι: Α ν η f ΄ ( χ ) δ ι α τ η ρ ε ί π ρ ό σ ημ ο σ το ( α , x 0 ) ( χ 0 , β ) , τ ό τ ε τ ο f ( x 0 ) δ ε ν ε ί ν α ι τ ο π ι κ ό α κ ρό τα τ ο κ α ι η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς μ ο ν ό τ ο ν η σ το ( α , β ) . Α 2 . Ν α δ ι ατ υ π ώ σ ε τ ε τ ο Θ εώ ρ ημ α τ η ς Μ έ σ η ς Τι μ ή ς τ ο υ Δ ι α φ ο ρ ι κο ύ Λ ο γ ι σ μ ο ύ κ α ι ν α δ ώ σ ε τ ε τ η γ ε ω μ ε τ ρ ι κή ε ρ μ η ν ε ί α τ ο υ Θ ε ω ρ ή μ ατ ο ς . Α 3 . Γ ι α κ αθ ε μ ι ά απ ό τ ι ς ε πό μ ε ν ε ς πρ οτ άσ ε ι ς ν α γ ρ άψ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ ο ν αρ ι θ μ ό τ η ς κ αι ακ ρ ι β ώ ς δ ί π λ α τ η ν έ νδ ε ιξ η Σ , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι Σ ω στ ή , ή Λ, αν αυ τ ή ε ί ν αι Λ α ν θ α σμ έ νη . 1 . Έ σ τ ω f π ρ α γ μ ατ ι κ ή σ υ ν ά ρ τ η σ η μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ τ ο Δ κ α ι x 0 ∈ Δ . Έ σ τ ω ε π ί σ η ς f ( x ) ≠ 0 γ ι α κ ά θ ε x ∈ Δ . Α ν lim f(x)   τ ό τ ε lim x  x0

x  x0

1   . f(x)

2 . Έ σ τ ω α , β π ρ α γ μ α τ ι κο ί α ρ ι θ μ ο ί . Στ ο μ ι γ αδ ι κ ό ε π ίπ ε δ ο ο ι ε ι κ ό ν ε ς Μ ( α , β ) κ α ι Μ ΄ ( α , – β ) τ ω ν σ υ ζ υ γ ώ ν μ ι γ α δ ι κώ ν z  α  βi κ α ι

z  α  βi ε ί ν α ι σ η μ ε ί α σ υ μ μ ε τ ρ ι κ ά ω ς π ρ ο ς τ ο ν π ρ α γ μ α τ ι κό ά ξ ο ν α. 3 . Α ν μ ι α π ρ α γμ α τ ικ ή σ υ ν ά ρ τ η σ η f δ ε ν ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ ε έ ν α σημείο x0, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο x 0.

- 53 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

4 . Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f(x) 

f (x) 

x με πεδίο ορισμού Δ = [0, +∞), τότε

1 για κάθε x ∈ (0, +∞). x

5 . Α ν έ ν α τ ο υ λ ά χ ι στ ο ν α π ό τ α ό ρ ι α lim f(x) , lim f(x) ε ί ν α ι + ∞ ή – ∞ , x  x0

x  x0

τ ό τ ε η ε υ θ ε ί α x  x0 λ έ γ ε τ α ι ο ρ ι ζ ό ν τ ι α α σ ύ μ π τ ω τ η τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς παράστασης της f. 6 . Έ σ τ ω δ ύο σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f , g ο ρ ι σ μ έ ν ε ς σ ε έ ν α δ ι ά σ τ η μ α Δ . Α ν • ο ι f , g ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ε ί ς σ τ ο Δ κ α ι • f ΄ ( x ) = g΄ ( x ) γ ι α κ ά θ ε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο x το υ Δ , τ ό τε υ π ά ρ χ ε ι σ τ α θ ε ρ ά c τ έ τ ο ι α , ώ σ τ ε γ ι α κ ά θ ε x ∈ Δ ισχύει: f(x) = g(x) + c.

Θ.Α.36.

A1.

Αν z1 , z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι:

z1  z 2 = z1  z 2 .

Α2. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες;

Α3. Πότε η ευθεία y 

λ έ γ ε τ α ι ο ρ ι ζ ό ν τ ι α α σ ύ μ π τω τ η τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς

παράστασης της f στο +∞; A 4 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας δ ίπ λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε π ρ ό τ ασ η , τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό , αν η π ρό τ ασ η ε ί ν αι σ ω σ τ ή, ή Λ ά θ ο ς , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . α . Α ν f σ υ ν ά ρ τ η σ η σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α [ α , β ] κ α ι γ ι α κ ά θ ε x ε [α, β] ισχύει f(x) ≥ 0 τότε



f(x)dx  0 .

β. Έστω f μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα ∆ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ ε κ ά θ ε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ ημ ε ί ο x το υ ∆ . Α ν η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α σ τ ο ∆ τό τ ε f ΄ ( x ) > 0 σ ε κ ά θ ε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο x το υ ∆ . - 54 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

γ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο x0 , τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο x 0 . δ. Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα ∆ και α είναι ένα σημείο του ∆, τότε



g(x)

f(t)dt=f  g(x)   g(x) μ ε τ η ν π ρ ο ϋ π ό θ ε σ η

ό τ ι τ α χ ρ η σ ι μ ο π ο ι ο ύ μ ε ν α σ ύ μ β ο λ α έ χο υ ν ν ό η μ α . ε . Α ν α > 1 τ ό τ ε lim α x  0 . x 

Θ.Α.37.

A.1 Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

σ’ ένα σημείο x , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. 0

Α . 2 Π ο ι ε ς ε ί ν α ι ο ι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ο π ι κ ώ ν α κ ρο τ ά τ ω ν συνάρτησης f η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ;

μιας

Β . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ετ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς πο υ ακ ο λ ο υ θ ο ύ ν , γ ρ άφ ο ν τ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ η λ έ ξ η Σ ω στ ό ή Λά θ ο ς δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε π ρότ ασ η . α . Η ε ι κ ό ν α f ( Δ ) ε νό ς δ ι α σ τ ή μ ατ ο ς Δ μ έ σ ω μ ι α ς σ υ ν ε χ ο ύ ς συνάρτησης f είναι διάστημα. β . Α ν f , g , g ΄ ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ε ί ς σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς σ τ ο δ ι ά σ τ η μ α [ α, β ] , τ ό τ ε β

 f(x)g'(x)dx   f(x)dx   g'(x)dx . γ. Αν f είναι μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι /

x  έ ν α σ η μ ε ί ο τ ο υ Δ , τ ό τ ε   f(t)dt   f(x) γ ι α κ ά θ ε x ∈ Δ . α  δ. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα α ν ο ι κ τ ό δ ι ά σ τ η μ α ( α , β ) , τ ό τ ε τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ι μ ώ ν τ η ς σ τ ο δ ιά σ τ η μ α α υ τ ό ε ί ν α ι τ ο δ ι ά σ τη μ α ( Α , Β ) ό π ο υ Α = lim f  x  κ α ι Β = lim f  x  . x α

x β

ε . Έ σ τ ω δ ύ ο σ υ ν α ρτ ή σ ε ι ς f , g ο ρ ι σ μ έ ν ε ς σ ε έ ν α δ ι ά σ τ η μ α Δ . Α ν ο ι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f΄(x) = g΄(x) για κάθε εσωτερικό σ η μ ε ί ο x το υ Δ , τ ό τε ι σ χ ύ ε ι f ( x ) = g ( x ) γ ι α κ ά θ ε x ∈ Δ .

- 55 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Α.38.

ν Α 1. Έστω η συνάρτηση f x  x ,ν∈Ν –{0,1}.

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παρα γωγίσιμη στο R και ν 1 ισχύει f x  ν  x .

A 2 . N α ο ρ ί σ ε τ ε π ό τε μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f λ έ γ ε τ α ι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α σ ’ έ ν α δ ι ά σ τ η μ α Δ τ ο υ π ε δ ί ο υ ο ρ ι σ μ ο ύ τ ης .

A 3 . Γ ι α κ αθ ε μ ι ά απ ό τ ι ς ε πό μ ε ν ε ς πρ οτ άσ ε ι ς ν α γ ρ άψ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ ο ν αρ ι θ μ ό τ η ς κ αι ακ ρ ι β ώ ς δ ί π λ α τ η ν έ νδ ε ιξ η ( Σ ) , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι σ ωσ τ ή, ή ( Λ ), αν αυ τ ή ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . 1. Για κάθε μιγαδικό z ισχύει z  z  z . 2 . Μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι 1 - 1 , α ν κ α ι μ ό νο α ν κ ά θ ε ο ρ ι ζ ό ν τ ι α ε υ θ ε ί α ( π α ρ ά λ λ η λ η σ τ ο ν x x ΄ ) τ έμ ν ε ι τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ ασ ή τ η ς τ ο πολύ σε ένα σημείο. 3 . Α ν υ π ά ρ χ ε ι τ ο ό ρ ι ο τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f σ τ ο x ∈ R κ α ι lim f  x   0 , 0

x  x0

τ ό τ ε f ( x ) < 0 κο ν τ ά στ ο x . 0

4. Aν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β], τότε η f παίρνει στο [ α , β ] μ ι α μ έ γ ι σ τ η τι μ ή Μ κ α ι μ ι α ε λ άχ ι σ τ η τ ι μ ή m . 5 . Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) = ημ x μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ το R , τ ό τ ε μ ι α παράγουσα της f είναι η g(x) = –συνx + 7.

Θ.Α.39.

Α1. Να αποδείξετε ότι: αν οι συναρτήσεις f , g είναι

παραγωγίσιμες στο x , τότε η συνάρτηση f + g είναι πα ραγωγίσιμη 0

σ τ ο x κα ι ι σ χ ύ ε ι : ( f + g ) ΄ ( x ) = f ΄ ( x ) + g ΄ ( x ) . 0

Α 2 . Π ό τ ε δ ύ ο σ υ ν αρ τ ή σ ε ι ς f κ α ι g λ έ γ ο ν τ α ι ί σ ε ς ;

Α 3 . Γ ι α κ αθ ε μ ι ά απ ό τ ι ς ε πό μ ε ν ε ς πρ οτ άσ ε ι ς ν α γ ρ άψ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ ο ν αρ ι θ μ ό τ η ς κ αι ακ ρ ι β ώ ς δ ί π λ α τ η ν έ νδ ε ιξ η ( Σ ) , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι σ ωσ τ ή , ή ( Λ ) , αν αυ τ ή ε ίν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . - 56 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

1 . Γ ι α δ ύ ο ο π ο ι ο υ σδ ή π ο τ ε μ ι γ αδ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς α + β i κ α ι γ + δ i η δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ή α κ τ ίν α τ ο υ α θ ρ ο ί σ μ ατ ό ς τ ο υ ς ι σ ο ύ τ α ι μ ε τ η δ ι α φ ο ρά τ ω ν δ ι α ν υ σ μ α τ ι κώ ν α κ τ ι ν ώ ν τ ο υ ς . 2 . Η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ άσ τ α σ η τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς – f ε ί ν α ι σ υ μ μ ετ ρ ι κ ή , ω ς π ρ ο ς τ ο ν άξ ο ν α x ΄ x , τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f . 3. Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h (g f), τότε ορίζεται και η (h g) f και ισχύει h (g f) = (h g) f. 4 . Ο ι π ο λ υ ω ν υμ ι κ έ ς σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς β α θ μ ο ύ μ ε γ αλ ύ τ ε ρ ο υ ή ί σ ο υ τ ο υ 2 έχουν ασύμπτωτες.

Θ.Α.40.

A1.

Ν α α π ο δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f (x)  ln x , x ∈ I R * ε ί ν α ι

π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το I R * κ α ι ι σ χ ύ ε ι :



 ln x 



1 . x

A2. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; Α 3 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ ά φ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας δ ίπ λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε π ρ ό τ ασ η , τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό , αν η π ρό τ ασ η ε ί ν αι σ ω σ τ ή, ή Λ ά θ ο ς , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . α. Αν μια συνάρτηση f:A→ IR είναι 1−1, τότε για την αντίστροφη 1

1

σ υ ν ά ρ τ η σ η f - 1 ι σ χ ύ ε ι : f (f (x))  x , x  A κ α ι f (f (y))  y , y  f ( A ) . β. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα δ ι α σ τ ή μ ατ α σ τ α ο π ο ί α ο ι δ ι α δ ο χ ι κ έ ς ρ ί ζ ε ς τ η ς f χ ω ρ ί ζ ο υ ν τ ο π ε δ ίο ορισμού της. γ . Ό τ α ν η δ ι α κ ι ν ο ύσ α Δ τ η ς ε ξ ί σ ω σ η ς α z 2 + β z + γ = 0 μ ε α , β , γ ∈ I R κ α ι α ≠ 0 ε ί ν α ι α ρ ν η τ ι κ ή , τ ό τ ε η ε ξ ί σ ω σ η δ ε ν έ χ ε ι ρ ί ζ ε ς σ τ ο σ ύ ν ο λο C τ ω ν μ ι γ α δ ι κώ ν . δ . Α ν μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι δ ύ ο φ ο ρ ές π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο I R κ α ι σ τ ρ έ φ ε ι τ α κ ο ί λ α π ρ ο ς τ α ά ν ω , τ ό τ ε κα τ ’ α ν ά γ κ η θ α ι σ χ ύ ε ι f ΄ ΄ ( x ) > 0 γ ι α κ ά θ ε π ρ α γ μ α τ ι κό α ρ ι θ μ ό x .

- 57 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

ε. Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α,β,γ ∈Δ τότε ισχύει



Θ.Α.41.

f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx . A1.

Έστω μία συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [α, β]. Αν

G ε ί ν α ι μ ι α π α ρ ά γ ο υ σ α τ η ς f σ τ ο [ α , β ] , τ ό τ ε ν α α π ο δ ε ί ξ ε τε ό τ ι



f(t)dt  G(β) - G(α) .

Α 2 . Τι σ η μ α ί ν ε ι γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ά το Θ εώ ρ ημ α Μ έ σ η ς Τι μ ή ς τ ο υ Δ ι α φ ο ρ ι κο ύ Λ ο γ ι σ μ ο ύ ; Α 3 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γ ρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας δ ί π λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ιχ ε ί σ ε κ άθ ε π ρό τ ασ η τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό , αν η π ρ ότ ασ η ε ί ν αι σ ω στ ή, ή Λά θ ο ς , αν η πρό τ ασ η ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . α. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1 –1, αλλά δεν είναι γνησίως μ ο νό το ν ε ς . β. Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η ε φ α π τ ο μ έ ν η τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ ης τ η ς f σ ε κ ά θ ε σ η μ ε ί ο τ ο υ Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σ η μ ε ί ο ε π αφ ή ς τ ο υς . γ . Το ο λ ο κλ ή ρ ω μ α



f(x)dx ε ί ν α ι ί σ ο μ ε τ ο ά θ ρ ο ι σ μ α τω ν ε μ β α δ ώ ν

τ ω ν χ ω ρ ί ω ν π ο υ β ρ ί σ κ ο ν τ α ι π ά ν ω απ ό τ ο ν ά ξ ο ν α x ΄ x μ ε ί ο ν τ ο ά θ ρ ο ι σ μ α τω ν ε μ β αδ ώ ν τω ν χ ω ρ ί ω ν π ο υ β ρ ί σ κ ο ν τ α ι κ ά τ ω α π ό το ν άξονα x΄x. δ . Α ν α , β π ρ α γ μ α τι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί , τ ό τ ε : α + β i = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0 ε . Έ σ τ ω μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η ο ρ ι σ μ έ ν η σ ’ έ ν α σ ύ ν ο λ ο τ η ς μ ο ρφ ή ς (α, x0)  (x0, β) και

έ ν α ς π ρ α γ μ α τ ι κό ς α ρ ι θ μ ό ς . Τό τ ε ι σ χ ύ ε ι η

ι σ ο δ υ ν α μ ί α : lim  f (x)    lim (f (x)  )  0 . x  x0

Θ.Α.42.

x x0

Α 1 . Α ν z 1 = α + β i κ α ι z 2 = γ + δ i ε ί ν α ι δ ύ ο μ ι γ αδ ι κ ο ί α ρ ι θμ ο ί ,

ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι z1  z 2  z1  z 2 .

- 58 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Α 2 . Έ σ τ ω f μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η κ α ι x ο έ ν α σ η μ ε ί ο τ ο υ π εδ ί ο υ ο ρ ι σ μ ο ύ της. Πότε λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x ο ; Α 3 . Γ ι α κ αθ ε μ ι ά απ ό τ ι ς επ όμ ε ν ε ς π ροτ άσ ε ι ς ν α γ ρ άψ ε τ ε σ τ ο τ ετ ρ άδ ι ό σ ας τ ο ν αρ ι θ μ ό τ η ς κ αι ακ ρ ι β ώ ς δ ίπ λ α τ η ν έν δ ει ξ η Σ , αν η π ρό τ ασ η ε ί ν αι Σ ω σ τ ή , ή Λ , αν αυ τ ή ε ί ν αι Λ α ν θ α σ μ έν η . 1 . Α ν z 1 , z 2 ε ί ν α ι μ ι γ α δ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί , τ ό τ ε ι σ χ ύ ε ι : z1  z 2  z1  z2 . 2. Για κάθε x ∈IR ισχύει: (ημx)΄ = – συνx. 3. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x ∈Δ ή είναι α ρ ν η τ ι κ ή γ ι α κ ά θ ε x ∈ Δ , δ η λ αδ ή δ ι α τ ηρ ε ί π ρ ό σ η μ ο σ το δ ιά σ τ η μ α Δ . 4. Αν μια συνάρτηση f είναι 

σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο κ λ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ ημ α [ α , β ]



π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το α ν ο ι χ τ ό δ ι ά σ τ ημ α ( α , β ) κ α ι



f(α) = f(β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε: f΄ (ξ) = 0.

Θ.Α.43.

Α1. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα ∆.

Αν η f είναι συνεχής στο ∆ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆ ι σ χ ύ ε ι f ΄ ( x ) = 0 , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η f ε ί ν α ι σ τ α θ ε ρ ή σ ε ό λ ο το διάστημα ∆. Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x

τ ο υ π ε δ ίο υ ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς ; Α 3 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας δ ίπ λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε πρ ό τ ασ η τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό , αν η π ρό τ ασ η ε ί ν αι σ ωσ τ ή, ή Λ ά θ ο ς , αν η π ρότ ασ η ε ί ν αι λ άθ ο ς . α. Αν z , z 1

ε ί ν α ι μ ι γ α δ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί , τ ό τ ε ι σ χ ύ ε ι z1z 2  z1  z 2

β . Μ ί α σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ Α λ έ μ ε ό τ ι π α ρ ο υ σι ά ζ ε ι ( ο λ ι κ ό ) ε λ ά χ ι σ τ ο σ το x ∈ A , ό τ α ν f ( x ) ≥ f( x ) γ ι α κ ά θ ε x ∈ A . 0

γ.

συνx  1  1. x 0 x

lim

- 59 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

δ . Κ ά θ ε σ υ ν ά ρ τ η σ η f σ υ ν ε χ ή ς σ ε έ ν α σ η μ ε ί ο τ ο υ π εδ ί ο υ ο ρ ι σ μ ο ύ της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ε. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και ι σ χ ύ ε ι f ( x ) < 0 γ ι α κ ά θ ε x ∈ [ α , β ] , τ ό τ ε τ ο ε μ β α δ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ Ω π ο υ ο ρ ί ζ ε τ α ι α π ό τη γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ ασ η τ η ς f , τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς x = α , x = β κ α ι τ ο ν ά ξ ο ν α ε ί ν α ι : Ε(Ω) 

Θ.Α.44.



β α

f (x)dx .

A1. Έστω η συνάρτηση f(x) =

x . Να αποδείξετε ότι η f είναι

π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το ( 0 , + ∞ ) κ α ι ι σ χ ύ ε ι :

Α2. Έστω μια συνάρτηση f και x

f (x) 

1 2 x

έ ν α σ η μ ε ί ο τ ο υ π εδ ί ο υ ο ρ ι σ μ ο ύ

τ η ς . Π ό τ ε θ α λ έμ ε ό τ ι η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο x ; o

Α 3 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας δ ίπ λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε πρ ό τ ασ η τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό , αν η π ρό τ ασ η ε ί ν αι σ ωσ τ ή, ή Λ ά θ ο ς , αν η π ρότ ασ η ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . α . Α ν z ε ί ν α ι έ ν α ς μ ι γ α δ ι κό ς α ρ ι θ μ ό ς τ ό τ ε γ ι α κ ά θ ε θ ε τ ι κό α κ έ ρ α ι ο ν ισχύει

z    z  ν

β . Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι 1 - 1 , α ν κ α ι μ ό ν ο α ν κ ά θ ε ο ρ ι ζ ό ν τ ια ε υ θ ε ί α τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολ ύ σε ένα σημείο. γ . Α ν lim f (x)  0 κ α ι f ( x ) < 0 κ ο ν τ ά σ το x τ ό τ ε x  xo

1   . x  x o f (x) lim

δ . Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) = ε φ x . H σ υν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το R1  R  x / συνx  0 κ α ι ι σ χ ύ ε ι f (x)  

1 . συν 2 x

ε. Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ∆, ισχύει



Θ.Α.45.

f (x)dx  f (x) , x ∈ ∆ .

Α1. Πότε η ευθεία x = x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη

της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ; - 60 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Α2. Αν

οι

συναρτήσεις

είναι

παραγωγίσιμες

στο

x0, να

αποδείξετε ότι η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει:(f+g)΄(x0)=f΄(x0)+g΄(x0). Α3. Για καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό ένδειξη

σας τον Σ,

αν

αριθμό

της

και

η πρόταση είναι

ακριβώς

Σωστή,

δίπλα Λ,

αν

την αυτή

ε ί ν α ι Λα ν θ α σ μ έ ν η . 2

1 . z = z2 , γ ι α κ ά θ ε μ ι γ α δ ι κ ό α ρ ι θ μ ό z . 2. Η ε ι κ ό ν α τ ο υ μ ι γ α δ ι κ ο ύ α ρ ι θ μ ο ύ α + β i , α , β ∈ ℝ σ τ ο μ ι γ α δ ι κ ό επίπεδο είναι το σημείο Μ (α ,β). 3.

lim x0

ημx =0 . x

4. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής [α, β]

σ τ ο κλ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ η μ α

και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β),τότε

υ π ά ρ χ ε ι έ ν α τ ο υ λ ά χ ι στ ο ν ξ ∈ ( α , β ) τ έ τ ο ι ο , ώ σ τ ε : f (ξ) =

Θ.Α.46.

f(β) - f(α) . β- α

A1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα ∆.

Αν F είναι μια παράγουσα της f στο ∆, τότε να αποδείξετε ότι: 

ό λ ε ς ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς τ η ς μ ο ρ φ ή ς G(x)  F(x)  c, c 

είναι

παράγουσες της f στο ∆ 

κάθε άλλη παράγουσα G της f στο ∆ παίρνει τη μορφή

G(x)  F(x)  c, c 

A 2 . Π ό τ ε η ε υ θ ε ί α x = x 0 λ έ γ ε τ α ι κ α τ α κό ρ υ φ η α σ ύ μ π τ ω τ η τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ ασ η ς μ ι α ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f ; A3. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα ∆ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το ε σ ω τ ε ρ ι κ ό το υ ∆ . Π ό τ ε λ έμ ε ό τ ι η f σ τ ρ έ φ ε ι τ α κ ο ί λ α π ρο ς τ α κ ά τω ή ε ί ν α ι κ ο ί λ η σ τ ο ∆ ;

- 61 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Α 4 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας δ ίπ λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε πρ ό τ ασ η τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό , αν η π ρό τ ασ η ε ί ν αι σ ωσ τ ή, ή Λ ά θ ο ς , αν η π ρότ ασ η ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . α ) Η δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ή α κ τ ί ν α τ η ς δ ι α φ ο ρ άς τ ω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν α ρι θ μ ώ ν α + β i κ α ι γ + δ i ε ί ν α ι η δ ι α φ ο ρ ά τω ν δ ι αν υ σ μ α τ ι κ ώ ν α κ τ ί ν ω ν τ ο υ ς . β) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα ∆ και παραγωγίσιμη σ τ ο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό το υ ∆ . Α ν η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α σ τ ο ∆ , τ ό τ ε η π α ρ ά γ ω γό ς τ η ς δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά θ ε τ ι κ ή σ τ ο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό τ ο υ ∆ . γ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα α ν ο ι κ τ ό δ ι ά σ τ η μ α ( α , β ) , τ ό τ ε τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ι μ ώ ν τ η ς σ τ ο δ ιά σ τ η μ α α υ τ ό ε ί ν α ι τ ο δ ι ά σ τη μ α ( Α , Β ) , ό π ο υ A  lim f (x) κ α ι x α

B  lim f (x) x β

δ ) ( σ υ ν x ) ΄ = ημ x , x  ε ) Α ν lim f (x)  0 , τ ό τ ε f (x)  0 κ ο ν τ ά σ τ ο x 0 x  x0

Θ.Α.47.

A1. Να αποδείξετε ότι:

 x    x 

 1

,   R  Z  x  0 .

A 2 . Π ο ι α σ η μ ε ί α ο ν ο μ ά ζο ν τ α ι κ ρ ί σ ι μ α σ η μ ε ί α μ ι α ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f σε ένα διάστημα Δ; A 3 . Π ό τ ε λ έ μ ε ό τ ι μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σμ ο ύ Α παρουσιάζει στο x 0A (ολικό) μέγιστο, το f( x0); Α 4 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας δ ίπ λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε πρ ό τ ασ η τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό , αν η π ρό τ ασ η ε ί ν αι σ ωσ τ ή, ή Λ ά θ ο ς , αν η π ρότ ασ η ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . α) Αν f(x) = αx, α > 0, τότε ισχύει (αx) ′ =xαx−1 . β ) Α ν ο ρ ί ζ ο ν τ α ι ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f o g κ α ι g o f , τ ό τ ε π ά ν το τ ε ι σ χ ύ ε ι fog = gof γ ) Α ν lim f (x)   ή –  , τ ό τ ε x x 0

1 0. x  x 0 f (x) lim

- 62 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

δ ) Α ν μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο κ λ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ ημ α [ α , β ] β

και ισχύει f(x) ≥ 0 για κάθε x [α,β], τότε

 f(x)dx  0 .

ε) Για κάθε zC ισχύει |z|2 =z∙ z . Θ.Α.48.

Α 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι , α ν μ ί α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η

σ’ ένα σημείο x0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Α 2 . Έ σ τ ω f μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η κ α ι Α ( x 0 , f ( x 0 ) ) έ ν α σ η μ ε ί ο τ ης C f . Τι ο ν ο μ ά ζ ο υμ ε ε φ απ τ ο μ έ ν η τ η ς C f σ τ ο σ η μ ε ί ο Α ; Α 3 . Γ ι α κ αθ ε μ ι ά απ ό τ ι ς ε πό μ ε ν ε ς π έντ ε (5 ) π ροτ άσ ε ι ς , α . έ ω ς ε . , ν α γ ρ άψ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας τ ο γρ άμ μ α τ η ς κ αι ακ ρ ι β ώ ς δ ί π λα τ η ν έ ν δ ε ιξ η Σ , αν η π ρ ό τ ασ η ε ί ν αι Σ ω σ τ ή , ή Λ , αν αυ τ ή ε ί ν αι Λ α ν θ α σμ έν η . α . Το π ε δ ί ο ο ρ ι σμ ο ύ μ ι α ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f ε ί ν α ι τ ο σ ύ ν ο λ ο Α τ ω ν τ ε τ μ ημ έ ν ω ν τω ν σ η μ ε ί ω ν τ η ς γ ρ α φ ι κ ής π α ρ ά σ τ α σ η ς C f τη ς συνάρτησης. β. Για κάθε συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ∆ και για κ ά θ ε π ρ α γ μ ατ ι κ ό αρ ι θ μ ό c , ι σ χ ύ ε ι ό τ ι :

 cf (x)   f (x) ,

για κάθε x∈∆.

γ. Αν z1, z2 μιγαδικοί αριθμοί με z 2≠0, τότε ισχύει ότι:

z z1  1 z2 z2

δ . Το σ ύ ν ο λ ο τ ι μ ώ ν μ ι α ς σ υ ν ε χ ο ύ ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ τ ο κ λ ε ι σ τό δ ι ά σ τ η μ α [ α , β ] ε ί ν α ι τ ο κ λ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ η μ α [ m , M ] , ό π ο υ m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της. ε . Α ν lim f (x)   τ ό τ ε f ( x ) < 0 κο ν τ ά σ τ ο x 0 . x  x0

Θ.Α.49.

Α1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα

κ λ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ ημ α [ α , β ] . Α ν η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο [ α , β ] κ α ι f ( α ) ≠ f ( β ) , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι γ ι α κ ά θ ε α ρ ι θ μ ό η μ ε τ αξ ύ τ ω ν f ( α ) κ α ι f ( β ) υ π ά ρ χ ε ι έ ν α ς τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν α ρ ι θ μ ό ς x ∈ ( α , β ) τ έ τ ο ι ο ς ώ σ τε f ( x ) = η . 0

- 63 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε έ να δ ι ά σ τ η μ α Δ το υ π εδ ί ο υ ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς ; Α 3 . Ν α χ αρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ οτ άσ ε ι ς π ου ακ ο λ ο υ θο ύ ν , γρ άφ ο ντ ας σ τ ο τ ε τ ρ άδ ι ό σ ας δ ίπ λ α σ τ ο γρ άμ μ α π ο υ αν τ ι σ τ ο ι χ εί σ ε κ άθ ε πρ ό τ ασ η τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό , αν η π ρό τ ασ η ε ί ν αι σ ωσ τ ή, ή Λ ά θ ο ς , αν η π ρότ ασ η ε ί ν αι λ αν θ ασ μ έ ν η . α) Αν α,β,γ,δ∈ℝ ισχύει: α+βi=γ+δi ⇔ α=γ και β=δ β) Για κάθε συνάρτηση f η γραφική παράσταση της f αποτελείται α π ό τ α τμ ήμ α τ α τ ης C f , π ο υ β ρ ί σ κ ο ν τ α ι π ά ν ω α π ό τ ο ν άξ ο ν α x ΄ x , κ α ι α π ό τ α σ υ μ μ ε τρ ι κ ά , ω ς π ρ ο ς τ ο ν ά ξ ο ν α x ΄ x , τ ω ν τμ ημ ά τω ν τ η ς C f , π ο υ β ρ ί σ κ ο ν τ α ι κ ά τ ω α π ό το ν ά ξ ο να x ΄ x . γ ) Α ν ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f , g έ χ ο υ ν ό ρ ι ο σ τ ο x o , κ α ι ι σ χ ύ ε ι f ( x ) ≤ g( x ) κ ο ν τ ά σ το x o , τ ό τ ε ι σ χ ύ ε ι : lim f (x)  lim g(x) . x x 0

x x 0

δ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x o και g(xo)≠0, τότε και η συνάρτηση

f g

είναι παραγωγίσιμη στο x o και ισχύει:

 f  x  f  x 0  g  x 0   f   x 0  g  x 0  .    0 2 g  g  x 0  ε ) Έ σ τ ω P ( x ) , Q ( x ) π ο λ υ ώ ν υ μ α δ ι ά φ ο ρα τ ο υ μ η δ ε ν ι κο ύ . Ο ι ρ η τ έ ς συναρτήσεις

P(x) Q(x)

, μ ε β α θ μ ό τ ο υ α ρ ι θ μ ητ ή P ( x ) μ ε γ α λ ύ τ ε ρο

τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν κ ατ ά δ ύ ο τ ο υ β α θ μ ο ύ τ ο υ π α ρ α ν ο μ α σ τ ή , έ χ ο υ ν π λ ά γ ι ε ς α σ ύ μ π τω τ ες . Θ.Α.50.

A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα ∆ και

x 0 έ ν α ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σ η μ ε ί ο τ ο υ ∆ . Α ν η f π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι τ ο π ικ ό α κ ρ ό τ ατ ο σ το x 0 κ αι

ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο σ η μ ε ί ο α υ τό , ν α

αποδείξετε ότι: f ′ (x0) = 0. A2. ∆ίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο R. Πότε η ευθεία y=λ x+β λ έ γ ε τ α ι α σ ύ μ π τω τ η τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f σ τ ο + ∞ ;

- 64 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

A 3 . Ν α χ α ρ α κ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς π ρ ο τ ά σ ε ι ς π ο υ α κο λο υ θ ο ύ ν , γ ρ ά φ ο ντ α ς στο

τ ε τ ρ ά δ ι ό σ α ς δ ί π λα σ τ ο γ ρ ά μ μ α π ο υ α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ί σ ε κ ά θ ε

π ρ ό τα σ η τ η λ έ ξ η Σω σ τ ό , α ν η π ρ ό τ α ση ε ί ν α ι σ ω σ τ ή , ή Λ ά θ ο ς , α ν η π ρ ό τα σ η ε ί ν α ι λ α ν θ α σ μ έ ν η . α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ≠ 0 ορίζουμε z0=1 β ) Μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f : A → R λ έ γ ε τ α ι σ υ ν ά ρ τ η σ η 1 - 1 , ό τ αν γ ι α ο π ο ι α δ ήπ ο τ ε x 1 , x 2 ∈ A ι σ χ ύ ε ι η σ υ ν ε π α γ ω γ ή : αν x1≠ x2, τότε f(x1) ≠ f(x2) γ) Για κάθε x ∈ R1= R –{x | συν x=0} ισχύει : (εφx)΄= 

1 σ υ ν2 x

ημx  1. x  x

δ ) Ι σ χ ύ ε ι ό τ ι : lim

ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και f–1 ε ί ν α ι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ έ ς ω ς π ρ ο ς τ η ν ε υ θ ε ί α y = x π ο υ δ ι χ ο το μ ε ί τ ι ς γωνίες xOy και x΄Oy΄ .

- 65 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

- 66 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

ΘΕΜΑ Β

- 67 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

- 68 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

 





Δ ί ν ε τ α ι ο μ ι γ α δ ι κ ό ς z  2ημθ  1  3  2συνθ i , θ R .

Θ.Β.1.

Β1. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του z ανήκουν σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα . Β2. Να αποδείξετε ότι 3  z 2 i 7 . Β 3 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς z μ ε τ ο ε λ άχ ι σ τ ο κ α ι μ έ γ ι σ τ ο μέτρο. Θ.Β.2.

Ν α β ρ ε θ ε ί τ ο σ ύ ν ο λ ο τω ν μ ι γ α δ ι κώ ν z γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ε ι : z  6  3i  8. Α ν f ( z ) = z  6  2i , ό π ο υ z μ ιγ α δ ι κ ό ς το υ π α ρ α π ά ν ω σ υ ν ό λο υ : Β1. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του f(z). Β2. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του f(z). Β 3 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε λ ά χ ι σ τ η κ α ι τ η μ έ γ ι σ τ η τ ι μ ή τ ο υ μ έ τρ ο υ τ ο υ z .

Δ ί ν ε τ α ι ο μ ι γ α δ ι κ ό ς : z1

Θ.Β.3.

1  i  

 2 1  i 

4  1  i 

Β 1 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ α α , β R γ ι α τ α ο π ο ί α ι σ χ ύ ε ι : z1   3   3  i . Β2. Έστω z2 = α + βi , όπου α και β οι τιμές που βρήκατε στο ερώτημα Β1. Α π ό τ ο υ ς μ ι γ αδ ι κ ο ύ ς z , γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ε ι : z  z1  z2 , ν α β ρ ε ί τ ε π ο ι ο ς έ χ ε ι τ ο ε λ ά χ ι σ τ ο κ α ι π ο ι ο ς τ ο μ έ γ ι σ το δ υ ν ατ ό μ έ τ ρο . Θ.Β.4.

Δ ί ν ε τ α ι σ υ ν ά ρ τ η σ η f σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο δ ι ά σ τ η μ α [ 0 ,π ] , μ ε



f(x)dx  2 κ α ι F ε ί ν α ι μ ι α α ρ χ ι κ ή τ η ς f .

Β 1 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ν α ρ ι θ μ ό F( 0 ) - F ( π ) . Β2 . Ν α α πο δ είξ ετ ε ό τ ι υπ ά ρχει ξ ( 0 ,π) τ έτ ο ιο ώ στ ε f( ξ) = ημ ξ . Θ.Β.5.

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) = α x - x , μ ε 0 <α < 1 . Β 1 . Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τ η ν f ω ς π ρ ο ς τ η μ ο ν ο το ν ί α . Β 2 . Ν α λ ύ σ ε τ ε τ η ν α ν ί σ ω σ η :  x2  x2   x2  ( x  2). 2 Β 3 . Ν α λ ύ σ ε τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η :  x 4  a x2  ( x2  4)  ( x  2).

Θ.Β.6.

Μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f : R R ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο [ α , β ] κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το ( α , β ) μ ε f ( α ) = β κ α ι f ( β ) = α . Να αποδείξετε ότι: Β 1 . Υ π ά ρ χ ε ι ξ ( α , β ) τ έ τ ο ι ο ώ σ τ ε f (ξ ) = ξ. Β 2 . Υ π ά ρ χο υ ν μ , ν  ( α , β ) τ έ τ ο ι α ώ σ τ ε f ΄ ( μ )  f ΄ ( ν ) = 1 .

Θ.Β.7.

Έστω συνεχής συνάρτηση f στο διάστημα [0,1] . i ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν π α ρ ά γ ω γ ο τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς : h(x) 

x x  f(t)dt

, - 69 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

χ [ 0 , 1 ] . i i ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι ξ  ( 0 , 1) τ έ τ ο ι ο ώ στ ε Θ.Β.8.

ξ f(x)dx  ξ  f(ξ) .

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0 , 1] και παραγωγίσιμη σ τ ο ( 0 , 1 ) μ ε f ( 0) = 2 0 1 1 κ α ι f ( 1 ) = 0 . α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 (0 , 1) , ώστε f(x0) = 2011x0. β ) Ν α α π οδ είξ ετ ε ό τ ι υπ ά ρχο υν x 1 , x 2 ( 0 , 1 ) ώ στ ε 2

f ΄ ( x 1 )  f ΄ ( x 2 ) = 2011 . Θ.Β.9.

Έ σ τ ω f μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η δ ύ ο φ ο ρ έ ς π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο [ 1 , 3] μ ε f ΄ ΄ ( x ) < 0 γ ι α κ ά θ ε x  [ 1 , 3 ] , f ( 2) = 0 κ α ι f ( 3 ) = 1 . Β 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι έ ν α μ ό ν ο ξ  ( 2 , 3 ) τ έ το ι ο ώ σ τ ε ν α είναι f ΄(ξ) = 1. Β 2 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο π ρ ό σ η μ ο τ η ς δ ι α φ ο ρά ς : f ΄ ( x ) – 1 σ τ ο [ 1, 3 ] . Β3. Να αποδείξετε ότι f(x) < x -2 για κάθε x[1,2) και f(x) > x -2 για κάθε x(2,3).

Θ.Β.10. Ν α β ρ ε θ ο ύ ν ό λ ε ς ο ι σ υ ν ε χ ε ί ς σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f : R R μ ε τ η ν ι δ ι ό τ η τ α : f 2  x  2exf  x , γ ι α κ ά θ ε x R . Θ.Β.11.

Έστω συνάρτηση f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο

δ ι ά σ τ η μ α [ 0 , 4 ] , μ ε f( 0 ) = 5 κ α ι f ( 4 ) = 1 . Β 1 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ιμ ώ ν τ η ς f . Β 2 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο π λ ή θ ο ς τω ν ρ ι ζ ώ ν τ η ς ε ξ ί σ ω σ η ς f ( x ) = α , ό τ α ν α [ 1 , 5 ] . Β 3 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι ξ  ( 0 , 4 ) τ έ τ ο ιο ώ σ τ ε :

f ( ) 

f (1)  2 f (2)  3 f (3) . 6

Θ.Β.12. Έστω οι f ,g συνεχείς στο (0,+)R για τις οποίες για κάθε x > 0 ισχύουν: f(x) =

x e

g (t )

x e

dt κ α ι g ( x ) =

f (t )

dt .

Β 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι ο ι f , g ε ί ν α ι ί σ ε ς . Β2. Να αποδείξετε ότι η h (x) = e -f (x) – x , x>0 είναι σταθερή και να βρείτε τον τύπο της f . Β 3 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ α ό ρ ι α : lim

x 

Θ.Β.13.

f ( x) x x

, lim x 0

f ( x) x x

Έ σ τ ω σ υ ν ά ρ τ η σ η f π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το R , ώ σ τ ε : 2014

1996 f  (x) [f(x)]

dx = 0 .

Να δείξετε ότι η εξίσωση

f  (x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο - 70 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

(1996,2014). Θ.Β.14.

Έστω f συνεχής στο R και για κάθε x ισχύει:

ex +

 0 f(t) dt

- λ2 x - 1  0.

Ν α β ρ ε θ ε ί ο λ R α ν ε ί ν α ι γ ν ω σ τ ό ό τ ι η c f δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ’ τ η ν α ρ χ ή των αξόνων . Θ.Β.15. Έ σ τ ω σ υ ν ά ρ τ η σ η f σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο δ ι ά σ τ η μ α [ 0 , 2π ] , μ ε f(0) = f(2π). Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι ξ [ 0 , π ] τ έ τ ο ι ο ώ στ ε f ( ξ ) = f ( π + ξ ) . Θ.Β.16.

Να βρεθούν τα όρια:



i ) lim

x 1 0

Θ.Β.17.

t dt et

i i ) li m



x   0

t dt et

Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων:

i) F(x)=

 x2  2 x

1

i i i ) H(x) 



3x 1 2

 t t

dt .

ii) G(x) =

2 x3

x2 1

t 2  4 dt .

1 dt . lnt

Θ.Β.18. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσει ς f , g : [ 0 , 1]  R , μ ε f ( x) <0 , g (x ) >0 για κάθε x [ 0 , 1] . Να δ είξ ετε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι μ ο ν αδ ι κ ό ς ξ  ( 0 , 1 ) τ έ τ ο ιο ς ώ σ τ ε :



0



f (t )dt   g (t )dt . 1

Θ.Β.19. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g οι οποίες είναι παραγωγίσιμες σ τ ο R κ α ι γ ι α τ ι ς ο π ο ί ε ς ι σ χ ύ ε ι : f ( x ) – g ( x ) = x γ ι α κ ά θ ε x R . Αν α , β είναι ρίζες της g με α < 0 < β να δείξετε ότι: α) Η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α , β). β ) Η ε ξ ί σ ω σ η f ΄ ( x ) = 1 έ χ ε ι μ ί α τ ο υ λ άχ ι σ τ ο ν ρ ί ζ α σ τ ο ( α , β ) .





1 x 3x . 2 i) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού

Θ.Β.20.

Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η : f(x) 

τ η ς f 1 . ii) Να λυθεί η εξίσωση:

f 1( x)  64.

i i i ) Α ν ε π ι π λ έο ν γ ν ω ρ ί ζ ο υ μ ε ό τ ι η f - 1 ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η , ν α

  (1) .

υπολογίσετε την τιμή: f Θ.Β.21.

1

Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f : R R έ χ ε ι σ υ ν ε χ ή π α ρ ά γ ω γ ο κ α ι ι κ α ν ο π ο ι ε ί τ η ν

ισότητα

α f΄(x)e

f(x)

dx  0, ό π ο υ α , β R μ ε α < β . - 71 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Να αποδείξετε ότι: i) f(α) = f(β). i i ) Η ε ξ ί σ ω σ η f ΄ ( x ) = 0 έ χ ε ι μ ί α τ ο υ λ άχ ι σ τ ο ν ρ ί ζ α σ τ ο δ ι ά σ τ η μ α (α,β). Θ.Β.22. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R με f(1) = 0 και f ΄(1)  0. Δίνονται και οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει: e f ( x) 1  z f ( x) για κάθε x  R . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ετ ρ ι κ ό τ ό π ο τω ν ε ι κ ό ν ω ν το υ μ ι γ α δ ι κο ύ α ρ ι θ μ ο ύ z στο επίπεδο.

4 , x  0. x i ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τι τ ο ε μ β α δ ό Ε ( λ ) το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τ η γ ρ αφ ι κ ή π αρ ά σ τ α σ η τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f , τ ο ν ά ξ ο ν α x ΄ x κ α ι

Θ.Β.23.

Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η : f(x)  2x 

τις ευθείες x = λ, x = λ+1, όπου λ>0, είναι Ε(λ)=2λ+1+4ln(1+ 1 ).  i i ) Ν α π ρ ο σ δ ιο ρ ί σ ε τ ε τ η ν τ ι μ ή τ ο υ λ ώ σ τ ε τ ο ε μ β α δ ό ν Ε ( λ) ν α γίνεται ελάχιστο. Θ.Β.24.

Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f :[ ,  ]  , η ο π ο ί α ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο [ α , β ] ,

π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το ( α , β ) κ α ι f ( α ) = 2 β , f ( β ) = 2 α . i ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τι η ε ξ ί σ ω σ η f(x)  2x έ χ ε ι μ ί α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ρ ί ζ α στο (α , β) . i i ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ο υ ν ξ 1 , ξ 2  ( ,  ) τ έ τ ο ι α ώ σ τ ε : f ΄(ξ1) f ΄(ξ2)=4. Θ.Β.25.

Έ σ τ ω σ υ ν ά ρ τ η σ η f π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το R μ ε f '(0)  1 κ α ι τ έ τ ο ι α

ώστε να ισχύει:

0 f(t)dt  x  e

x

, γ ι α κ ά θ ε x R .

Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π το μ έ ν η ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς της f στο σημείο Α(0,f(0)). Θ.Β.26.

Α ν η σ υ ν ά ρ τ η σ η f : [0,1]  (0, ) έ χ ε ι σ υ ν ε χ ή π α ρ ά γ ω γ ο κ α ι

f ( 0 ) = 1 , f ( 1 ) = 2 ν α βρ ε θ ε ί τ ο ο λο κ λ ή ρω μ α : Ι =

0 f

f (x) dx . (x)  f(x)

e x. x α ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς μ ο νό το ν η . 1 β ) Ν α λ ύ σ ε τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η : f (x)  x .

Θ.Β.27.

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η : f(x)  ln x 

- 72 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Β.28. Μια συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R με f ( 0 ) = 2 κ α ι γ ι α κ ά θ ε x  R , ι σ χ ύ ε ι : ex  1 f(x)  ln x 2  1  4.









Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π το μ έ ν η ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς της f στο σημείο με τετμημένη x0 = g ΄(0) , όπου: g(x) = Θ.Β.29.

xf (t)dt .

Να βρεθεί η συνάρτηση f για την οποία ισχύουν f(1) = 1,

f(x) > 0 και Θ.Β.30.



Αν

0 f(xt)dt  2004f(x) γ ι α

κ ά θ ε x [ 0 , + ) .

f :[α,β]  R π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ υ ν ά ρ τ η σ η μ ε f ( x ) > 0 κ α ι

f ΄(x)  2004 f(x) . f(x) Α ν f ( β ) = 2 0 0 4 f ( α ) ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ο λ ο κλή ρ ω μ α I =

α f ( x )dx.

1 2 x . 2 Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π άρ χ ε ι έ ν α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν σ η μ ε ί ο Μ ( ξ , f ( ξ ) ) , ξ(1 , 2) , της Cf , τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της Cf στο Μ(ξ , f(ξ)) , να είναι κάθετη στην ευθεία ε: x + 2y = 1.

Θ.Β.31.

Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η : f(x)  e x 

Θ.Β.32.

Α ν η ε ξ ί σ ω σ η z 2 + α z + β = 0 , ό π ο υ α,β  R , έ χ ε ι ρ ί ζ ε ς τ ο υ ς

μ ι γ α δ ι κο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z 1 = 3 + 2 i κ α ι z 2 , τ ό τ ε : α) Να βρείτε τους α , β , z2. β) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή της παράστασης f(z)=z-z1+z-z2 , zC. Θ.Β.33. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο [α , β] και οι μιγαδικοί 2 α ρ ι θ μ ο ί z1  f(β)  iβ κ α ι z2  f (α)  iα2 . Α ν z 2  z1  z2  z1 ν α δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν έ ν α ξ  [ α , β ] τέτοιο ώστε f(ξ) = 0. Θ.Β.34. Έστω f , g συναρτήσεις συνεχείς στο [α , β] και παραγωγίσιμες σ τ ο ( α , β ) μ ε g(x)  g΄(x)  0 γ ι α κ ά θ ε χ  ( α , β ) . Αν για τους μιγαδικούς z1 = f(α) + ig(β) και z2 = g(α) + if(β) ι σ χ ύ ε ι : z1  z2  z1  z2 ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι ξ  (α,β) τ έ τ ο ι ο ώ σ τ ε

f ΄(ξ) f(ξ)   0. g΄(ξ) g(ξ) Θ.Β.35.

Η εξίσωση

(z  2)ν  zν  0 , ν 



έ χ ε ι ρ ί ζ α τ ο ν μ ι γ α δ ι κό z1 .

Να δειχθεί ότι Re(z1) = -1. - 73 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Β.36. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ακριβώς ένα x0 > 0 το οποίο και ν α β ρ ε θ ε ί , ώ σ τ ε τ ο γ ι ν ό μ ε ν ο τω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν z1  ex  i , z2  ln x  i ν α είναι φανταστικός . Θ.Β.37.

Αν zC και

z 1

ν α υ π ο λο γ ί σ ε τ ε τ ο ε λ ά χ ι σ τ ο κ α ι τ ο μ έ γ ι σ το

τ η ς π α ρ ά σ τ α σ η ς z 1  2i . Θ.Β.38.

Έ σ τ ω σ υ ν ά ρ τ η σ η f τ έ τ ο ι α ώ σ τ ε f(x  y)  f(x)  f(y)  2xy γ ι α

κ ά θ ε x, y  R κ α ι

f (x) 4. x x 0

lim

Β1. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο Β 2 . Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τ η μ ο νο το ν ί α τ η ς f . Β 3 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f (1)  f (1)  0 .

Θ.Β.39.

Α ν η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο R κ α ι f (x)   e t f (x  t)dt 0

,για κάθε xR. Να βρείτε τον τύπο της f . Θ.Β.40.

Δ ί ν ε τ α ι ο μ ι γ α δ ι κ ό ς z ώ σ τ ε z  1  2i 

2 . 2

α ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό τό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τω ν w  2z 1 i . β ) Ν α β ρ ε θ ο ύ ν ο ι μ ι γ α δ ι κ ο ί w1 , w 2 α π ό τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κο ύ ς τ ο υ α ) ε ρ ω τ ή μ ατ ο ς π ο υ έ χ ο υ ν τ ο ε λ ά χ ι σ τ ο κ αι μ έ γ ι σ τ ο μ έ τ ρ ο α ν τί σ τ ο ι χ α . Θ.Β.41.

Έ σ τ ω z  (λ 1)  (λ  2)i , λ  R .

Ν α β ρ ε θ ε ί ο γ ε ω μ ε τρ ι κ ό ς τ ό π ο ς τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν το υ z κ α ι ν α υ π ο λ ο γ ι σ τ ε ί ε κ ε ί ν ο ς π ο υ έ χ ε ι τ ο ε λ ά χ ι σ τ ο μ έ τ ρο . Θ.Β.42. Δίνεται η εξίσωση: z2 + (β-4)z + (γ+5) = 0. (1) με β , γ  R . Α ν z 1 ε ί ν α ι μ ι α α π ό τ ι ς λ ύ σ ε ι ς τ η ς ( 1 ) κ α ι z1  z1  2 κ α ι z1  2 , τότε: Β 1 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο υ ς π ρ α γ μ α τ ι κο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς β κ α ι γ . Β2. Να βρείτε τους z1 και z2. Β 3 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z1100  z 2100  251 . Θ.Β.43.

Έ σ τ ω f : R  R μ ε f 3 (x)  f (x)  x  5  0 γ ι α κ ά θ ε x  R .

α) Να δειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί ο τύπος της αντίστροφης. β ) Ν α υ π ο λ ο γ ι σ τ ε ί τ ο ό ρ ι ο : lim e x  f 1 ( x) . x 





- 74 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Β.44. α ) Ν α δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι ο γ ε ω μ ετ ρ ι κ ό ς τ ό π ο ς τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν μ ι γ α δ ι κώ ν z ο ι ο π ο ί ο ι ε π α λ η θ ε ύο υ ν τ η ν ε ξ ί σ ω σ η : z 1  2i  z  7  2i είναι ευθεία. β ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ α α,β  R ώ σ τ ε η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς

f (x) 

αx 2  5βx 10 ν α έ χ ε ι σ τ ο  π λ ά γ ι α α σ ύ μ π τω τ η τ η ν π α ρ α π ά ν ω x 1

ευθεία. Θ.Β.45.

Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι μ ι γ α δ ι κο ί :

z  λ  3  (2λ 1)i , λ  R .

α ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό τό π ο τω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν μ ι γ α δ ι κώ ν z . β ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο μ ι γ α δ ι κ ό ε κ ε ί ν ο π ο υ έ χ ε ι τ ο ε λ ά χ ι σ τ ο μ έ τρ ο . Θ.Β.46.

Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] με

α > 0 και





f ( x)dx  2α .

Αν f(x) > 1 , για κάθε x α + β +

 f(t)dt = x

(α , β) να αποδείξετε ότι η εξίσωση :

έχει ακριβώς μία λύση στο (α , β).

Θ.Β.47. Η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τα σ η μ ι α ς γ ν η σ ί ω ς μ ο νό το ν η ς κ α ι σ υ ν ε χ ο ύ ς συνάρτησης f : R  R διέρχεται από τα σημεία Α(2 , 5) , Β( -1 , 3). Β1. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Β 2 . Ν α ε ξ ε τ ά σ ε τ ε αν η f α ν τ ι σ τ ρ έ φ ε τ α ι . Β 3 . Ν α λ ύ σ ε τ ε τ ι ς ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς : f(2x  1)  f(5) κ α ι f ( f ( x ) ) = f ( 5 ) . . Β4. Να βρεθούν οι αριθμοί: f-1(5) , f-1(3). Β5. Να λύσετε την εξίσωση: f(3+f-1(x+1)) = 5. Β 6 . Α ν η C f δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό το σ η μ ε ί ο Γ ( 9 , 9 ) ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι κ α ι η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ ασ η τ η ς f - 1 δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό το Γ . Θ.Β.48. Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = αx + xe-x. Β 1 . Ν α β ρ ε θ ε ί τ ο α ώ σ τ ε η γ ρ α φ ι κ ή π αρ ά σ τ α σ η τ η ς Cf ν α έ χ ε ι σ τ ο σ η μ ε ί ο (0, f (0)) ε φ α π το μ έ ν η π α ρ ά λλ η λ η σ τη ν ε υ θ ε ί α 2x – y + 7 = 0. Β2. Αν α = 1,να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ε υ θ ε ί α y = x ε ί ν α ι α σ ύ μ π τω τ η τ η ς C f σ τ ο  .

και η

Β 3 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ε μ β α δ ό ν Ε(λ) τ ο υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ ο ρ ί ζ ε τ α ι α π ό τη Cf ,την ευθεία y = x και τις ευθείες x = 0 , x = λ με λ > 0 , α = 1. Β 4 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ό ρ ι ο : lim E(λ) . λ 

Θ.Β.49. Α. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (0,+  ) και f(x) > 0 για κάθε x >0. Να βρεθεί η συνάρτηση f , όταν x γ ι α κ ά θ ε x > 0 ι σ χ ύ ε ι : e +  f(t)dt = f(x) . 1

- 75 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Β . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : 1  i  Θ.Β.50.

2004

 1 i 

2004

 1 i 

2005

 1 i 

2005

Δίνεται η συνάρτηση:

f(x) =



ln x

t  et dt , x  0. 1 + et

α ) Ν α β ρ ε θ ο ύ ν τ α δ ι α σ τ ή μ α τ α μ ο νο το ν ί α ς κ α ι τ α α κ ρ ό τ α τα τ η ς f .

f(x) . x 1 x  1

β ) Ν α υ π ο λ ο γ ι σ τ ε ί τ ο ό ρ ι ο : lim Θ.Β.51.

Αν η συνάρτηση f :R  R είναι παραγωγίσιμη και

0 f (t)dt  xf (2004) ,x  R

ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π άρ χ ε ι έ ν α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν

ξ  (0,2004) ώ σ τ ε f ΄(ξ)  0. Θ.Β.52. Έστω f παραγωγίσιμη στο [1 , 3]. α) αν f(1) = f(3) , να αποδείξετε ότι υπάρχουν x1 , x2 με 1<x1<x2<3 τέτοιοι ώστε: f ΄(x1) + f ΄(x2) = 0. β) αν f(1) = -1 και f(3) = 1 να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ 1 , ξ2 με 1 1 1 < ξ1 < ξ2 < 3 τέτοιοι ώστε:  2.

f ΄(1)

f ΄(2 )

Θ.Β.53. Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ι σ χ ύ ε ι : f 3 ( x)  f ( x)  e x 1 γ ι α κ ά θ ε x  R . Ν α λ ύ σ ε τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η : f ( l nx ) = f ( 1 – x ) γ ι α x > 0 . Θ.Β.54.

Δίνεται η συνάρτηση f με:

 x3  x 2   x  1 , x 1  3  . x  x f ( x)    a  ln x , 0  x 1  x

α) Να βρείτε τα α , β  για τα οποία η f είναι συνεχής. β ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λ ο κ λ ή ρω μ α : 2 f ( x)dx . 1 2

Θ.Β.55. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [3 , 7]. Α ν f ( x ) > 2 γ ι α κ ά θ ε x  [ 3 , 7 ] ν α δ ε ί ξ ε τε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η x

3 f(t)dt  x  1 έ χ ε ι

τουλάχιστον μία ρίζα στο (3 , 7).

Θ.Β.56. Δ ί ν ε τ α ι ο μ ι γ α δ ι κ ό ς z μ ε z  0 κ α ι z1003  z1004 . Να αποδείξετε ότι: z2007 = 1 . Θ.Β.57. Α. Δίνονται οι μιγαδικοί: z = 1 + iαημx και w = (1 + ημx) + i με α > 0 και xR. - 76 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Αν z  w  z  w για κάθε xR, να δείξετε ότι: α = e. Β. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f και οι συναρτήσεις g

 g ( x)  f ( x)  f (2 x) .  ( x)  f ( x)  f (4 x)

και φ για τις οποίες ισχ ύουν: 

Α ν g ΄ ( 1 ) =5 κ α ι g ΄ ( 2) = 7 , ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν τ ι μ ή φ ΄ ( 1) . Θ.Β.58.

Μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι ο ρ ι σ μ έ ν η κ α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο 0,1 κ α ι

ι σ χ ύ ε ι f  0   f 1 . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η :

 1 α . f  x   f  x   έ χ ε ι μ ί α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν π ρ α γ μ ατ ι κ ή ρ ί ζ α . 2 

 

1

β . f  x   f  x   έ χ ε ι μ ί α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν π ρ α γ μ ατ ι κ ή ρ ί ζ α .

3

Θ.Β.59. Α. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και κοίλη στο [α , β] και το x0 (α , β) είναι μια λύση της εξίσωσης f(x) = 0, να αποδειχθεί ότι:

f(α) f(β)   0. x0  α β  x0

Β. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο κοίλη στο f(x) 

 0,  ,

 0,  κ α ι

η f είναι

να αποδειχθεί ότι για κάθε x>1 ισχύει:

f  x  1  f  x  1 2

Θ.Β.60. Έ σ τ ω η π α ρ α γ ω γ ί σ ιμ η σ υ ν ά ρ τ η σ η f : R  R μ ε f ( 1 ) = 0 , f ΄ ( 1 )  0 κ α ι ο ι μ ιγ α δ ι κ ο ί z  C γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ε ι 2e f ( x)  2  z f ( x) γ ι α κ ά θ ε x  R . Β 1 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ο υ z σ τ ο μ ι γ α δ ι κό επίπεδο. Β 2 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν w =

z

4 στο z

μ ι γ α δ ι κό ε π ί π ε δ ο .

 yi μ ε x , y  R κ α ι y > 0 ex  1 ώ σ τ ε ο z 2 ν α ε ί ν α ι φ α ν τ α σ τ ι κό ς α ρ ι θ μ ό ς . α) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x β ) Α ν η π α ρ α π ά νω σ υ ν ά ρ τ η σ η ε ί ν α ι y : R → R τ ό τ ε ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η y ( x ) α ν τ ι σ τ ρ έ φ ετ α ι κ α ι ν α ο ρ ί σ ε τ ε τ η ν y - 1 ( x ) .

Θ.Β.61.

Δίνεται ο μιγαδικός z =

Θ.Β.62. Έστω f πραγματική συνάρτηση συνεχής στο R τέτοια, ώστε f ( x ) ≥ 2 γ ι α κ ά θ ε x R . - 77 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ ε ω ρο ύ μ ε τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η g ( x)  x 2  5 x  1 

x2 5 x

0

f (t )dt , x  R.

Να αποδείξετε ότι: α. g(-3) g(0) < 0. β . Η ε ξ ί σ ω σ η g ( x ) = 0 έ χ ε ι μ ί α μ ό ν ο ρ ίζ α σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α ( -3 , 0 ) . ( Θ Ε Μ Α 4 η ς Δ Ε ΣΜ ΗΣ 1 99 7 ) Έ σ τ ω h : [ 1 , +  )  R σ υ ν ε χ ή ς σ υ ν ά ρ τ η σ η π ο υ ι κ α ν ο π ο ι εί τ η x h(t) dt γ ι α κ ά θ ε χ ≥ 1 . σ χ έ σ η : h(x)  1999(x  1)   1 t Να αποδείξετε ότι: α. h(x) = 1999x lnx , x ≥ 1. β. Η h είναι γνησίως αύξουσα στο [1 , + ). ( Θ Ε Μ Α 1 η ς Δ Ε ΣΜ ΗΣ 1 99 9 )

Θ.Β.63.

Θ.Β.64.

Έστω f συνεχής συνάρτηση στο R. Να δείξετε ότι η συνάρτηση

1 2 I ( x)    f (t )   2 xt 2 f (t )  x 2t 4  dt , χ  R π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι ε λ ά χ ι σ τ ο σ τ ο 0



1 2 t 0



σημείο x0 = 5

f ( t ) dt.

( Θ Ε Μ Α 1 η ς Δ Ε ΣΜ ΗΣ 2 00 0 )

Θ . Β . 6 5 . Έ σ τ ω σ υ ν ά ρ τ η σ η f σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο δ ι ά σ τ η μ α [ α , β ] π α ρ α γω γ ί σ ι μ η στο (α ,β) και οι μιγαδικοί Αν

ισχύει

Re(z- w )

z = eα

2f(β),

να

– β

f (α) + 3i

απ ο δ ε ί ξ ετ ε

και w = -f(β) – i. ότι

υ π άρ χ ε ι

ένα

τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν x o  ( α , β ) τ έ τ ο ιο ώ σ τ ε να ε ί ν α ι f ΄ ( x o ) + f ( x o ) = 0 . Θ . Β . 6 6 . Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς z κ α ι w γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ο υ ν :

z  2  z  2  4 κ α ι iw  3  2i  w  2  3i  2 . 2

Β . 1 Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν μ ι γ αδ ι κ ώ ν z . B . 2 N α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν μ ι γ αδ ι κ ώ ν w . Β . 3 Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ η ν ε λ ά χ ι σ τ η κ α ι τ η μ έ γ ι σ τ η τ ι μ ή τ ο υ | w | . Β . 4 Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε λ ά χ ι σ τ η κ α ι τ η μ έ γ ι σ τ η δ υ ν α τ ή α π ό στ α σ η τ ω ν εικόνων των z , w.

ex  1 , x R . Θ.Β.67. Δίνεται η συνάρτηση f x  x e 1 α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη σ υ ν ά ρ τ η σ η f 1 . - 78 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

β. Να δείξετε ότι η εξίσωση

f 1 ( x ) = 0 έ χ ε ι μ ο ν α δ ι κ ή ρ ί ζ α τ ο

μηδέν. γ . Ν α υ π ο λ ο γ ι σ τ ε ί τ ο ο λ ο κ λ ή ρω μ α Θέμα 2ο

Θ.Β.68.

1 2 1  2



f  x  dx .

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 2

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z=α+βi, όπου α,βIR και

w = 3 z – iz + 4 , ό π ο υ z ε ί ν α ι ο σ υ ζ υ γ ή ς τ ο υ z . α . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι R e ( w ) =3 α – β + 4 , Ι m ( w ) = 3 β – α . β . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι , α ν ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ο υ w σ τ ο μ ι γ α δ ι κό ε π ί π ε δ ο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x–12, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x–2. γ . Ν α β ρ ε ί τ ε π ο ι ο ς α π ό το υ ς μ ι γ α δ ι κο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z , ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν ο π ο ίω ν κ ι ν ο ύ ν τα ι σ τ η ν ε υ θ ε ί α μ ε ε ξ ί σ ω σ η y = x –2 , έ χ ε ι τ ο ε λ ά χ ι σ τ ο μ έ τ ρο . Θ έ μ α 2 ο Π α ν ε λ λ ήν ι ε ς 2 00 3 Θ.Β.69.

α . Ν α π ε ρ ι γ ρ ά ψ ε τ ε γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ά το σ ύ ν ο λ ο ( Σ ) τω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν

μ ι γ α δ ι κώ ν α ρ ι θ μ ώ ν z π ο υ ι κ α ν ο π ο ι ο ύ ν τ ι ς σ χ έ σ ε ι ς :

 2

και

Ιm (z)  0 . β. Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z κ ι ν ε ί τ α ι σ τ ο σ ύ ν ο λ ο ( Σ ) , τ ό τ ε η ε ι κ ό ν α τ ο υ μ ι γ α δ ι κο ύ α ρ ι θ μ ο ύ

w 

1  4  z   κ ι ν ε ί τ α ι σ ε ε υ θ ύ γ ρ α μ μ ο τμ ή μ α το ο π ο ί ο 2  z

βρίσκεται στον άξονα x΄x . Θέμα 2ο Θ.Β.70.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 3

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f µ ε τ ύ π ο f ( x ) =x 2 l n x .

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, να μελετήσετε τ η ν μ ο νο το ν ί α τ η ς κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ α α κ ρ ό τ α τ α . β . Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τη ν f ω ς π ρ ο ς τ η ν κ υ ρ τ ό τ η τ α κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ α σημεία καμπής. γ . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ ύ ν ο λο τ ι μ ώ ν τ η ς f . - 79 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ ε ω ρο ύ μ ε τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η f : I R → I R µ ε f ( x ) = 2 x + m x – 4 x – 5 x , όπου m ∈ IR , m > 0. Θέμα 2ο Θ.Β.71.

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 4

α. Να βρείτε τον m ώστε f(x) ≥ 0 γι α κάθε x ∈ IR .

β . Α ν m = 1 0 , ν α υ π ο λ ο γ ι σ θ ε ί τ ο ε μ β αδ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τη γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ ασ η τ η ς f , τ ο ν ά ξ ο ν α x ΄ x κ α ι τις ευθείες x = 0 και x = 1. Θέμα 2ο

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 4

Θ.Β.72. Θ ε ω ρο ύ µ ε τ ο υ ς μ ι γα δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z = + y i , ό π ο υ x , y π ρ α γ μ ατ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί , γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υς υ π ά ρ χ ε ι α ∈ I R ώ σ τ ε ν α 2

zz zz ισχύει:   2    2i  i  α  (1  α)i . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι :     α. αν Im(z) = 0, τότε α = 1. β. αν α = 0, τότε z2 + 1 = 0. γ . γ ι α τ ο ν π ρ α γ μ α τι κ ό α ρ ι θ μ ό α ι σ χ ύ ε ι : 0 ≤ α ≤ 1 . δ . ο ι ε ι κ ό ν ε ς Μ τ ω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν α υ τώ ν α ρ ι θ μ ώ ν z σ τ ο μ ι γ α δ ι κ ό ε π ί π ε δ ο α ν ή κ ο υ ν σε κ ύ κ λ ο , τ ο υ ο π ο ίο υ ν α β ρ ε ί τ ε τ ο κ έ ν τ ρ ο κ α ι τ η ν ακτίνα. Θ.Β.73.

Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι μ ι γ α δ ι κο ί α ρ ι θ μ ο ί

z1 

α. Δείξτε ότι:

Θέμα 2ο

Θ.Β.74.

μ ε z1  z 2  z3  3 .

9 . z1

β . Δ ε ί ξ τ ε ό τ ι ο α ρ ι θμ ό ς

z1 z 2  ε ί ν α ι π ρ α γ μ α τι κ ό ς . z 2 z1

z1  z 2  z3 

γ. Δείξτε ότι:

z1 z 2

1 z1  z 2  z 2  z3  z3  z1 . 3

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 5

α . Α ν z1 , z 2 ε ί ν α ι μ ι γ α δ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ε ι

z1 + z 2 = 4 + 4 i κ α ι 2 z1 - z2 = 5 + 5 i , ν α β ρ ε ί τ ε τ ο υ ς z1 , z 2 . β. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z,w ισχύουν z – 1 – 3i

≤

2 και

w –3–i

≤

i . ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ο υ ν μ ο ν αδ ι κ ο ί μ ι γ α δ ι κο ί α ρ ι θ μ ο ί z , w έ τ σ ι , - 80 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

ώστε z = w . ii. να βρείτε τη μέγιστη τιμή του Θέμα 2ο

z – w

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 5

Θ.Β.75.

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) =2+(x -2) με x ≥ 2.

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1. β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f -1 της f και να βρείτε τον τύπο της. γ.

i. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και f -1 με την ευθεία y = x. ii. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίο υ που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f -1. Θέμα 2ο

Πανελλήνιες 2006

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f(x) 

Θ.Β.76.

1  ex , x∈IR . 1  ex 1

α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία της στο IR . β . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λ ο κ λ ή ρω μ α

 f(x) dx .

γ. Για κάθε x<0 να αποδείξετε ότι: f(5 x)+f(7x)<f(6x)+f(8x). Θέμα 2ο

Θ.Β.77.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 6

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z 

2  αi α  2i

με α∈ℝ.

α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο μ ε κ έ ν τ ρ ο Ο ( 0 , 0 ) κα ι α κ τ ί ν α ρ = 1 . β. Έστω z1 , z2

z

ο ι μ ι γ α δ ι κο ί π ο υ π ρο κ ύ π τ ο υ ν α π ό το ν τ ύ π ο

2  αi για α = 0 και α=2 αντίστοιχα. α  2i

i . Ν α β ρ ε θ ε ί η α π ό σ τ α σ η τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν μ ι γ α δ ι κώ ν α ρ ι θμ ώ ν z 1 κ α ι z2. ii. Να αποδειχθεί ότι ισχύει

 z1 

  z 2 

για κάθε φυσικό αριθμό

ν. - 81 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θέμα 2ο

Θ.Β.78.

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 7

ημ3x  ,x  0  x  Δίνεται η συνάρτηση f x   . 2  x  αx  βσυνx , x  0  

α . Ν α α π ο δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι lim f  x   3 . x 0

π   π κ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο σ η μ ε ί ο x 0 = 0, 2

β . Α ν f '

να αποδειχθεί ότι α = β = 3. π

γ . Α ν α = β = 3 , ν α υ π ο λο γ ι σ θ ε ί τ ο ο λο κ λ ή ρω μ α

 f(x)dx . 0

Θέμα 2ο

Θ.Β.79.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 7

Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z = ( λ - 2) + 2λ i , ό π ο υ λ ∈ R .

α . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν μ ι γ α δ ικ ώ ν z .

1 z

β . Α ν ι σ χ ύ ε ι z  z  2 ν α β ρ ε ί τ ε τ ο Re   . γ. Αν z  2 και Im(z)≠0, να βρείτε το λ.

Θ.Β.80.

Δίνεται η συνάρτηση f x 

α. Να βρείτε τα όρια:

i ) lim

x 

4 , με x>0. x

f ' x  f x

i i ) lim x 2

xf  x 

 x  2

β . N α β ρ ε ί τ ε τ ο σ η μ ε ί ο Μ τ η ς γ ρ α φ ι κή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f π ο υ α π έ χ ε ι α π ό το σ η μ ε ί ο Ο ( 0 , 0 ) τ η μ ι κ ρ ό τ ε ρ η απ ό σ τ α ση . γ . N α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι μ ο ν α δ ι κό σ η μ ε ί ο τ η ς γ ρ α φ ικ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f , σ τ ο ο π ο ί ο η ε φ απ το μ έ ν η εί ν α ι π α ρ ά λ λ η λ η π ρ ο ς τη ν ε υ θ ε ί α y = - 2 x + 6 .

Θ.Β.81.

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο R. Aν για

κ ά θ ε x ≠ 0 ι σ χ ύ ε ι x f ( x ) =x + 2 ημ x , τό τ ε : - 82 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

α. Να βρείτε το f(0).

 

π 2

β . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f ( x ) < 3 γ ι α κ ά θ ε x ∈  0,  . γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=2 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο

π   ,π . 2 

Θ.Β.82.

Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς

ι σ χ ύ ε ι z  1  i  iz . α . i ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν M τ ω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν z . i i ) Ν α β ρ ε ί τ ε π ο ι α α π ό τ α σ ημ ε ί α Μ απ έ χ ο υ ν α π ό τ η ν α ρ χ ή Ο ( 0 , 0 ) α π ό σ τα σ η ί σ η μ ε

5 .

β . Α ν Re ( z) = 0 , τ ό τ ε ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι z = – i .

Θ.Β.83.

 1 2 1  8x  2, x  2  Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η : f(x)   2 .  x  5x  6 , x  2  2  x  1

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το x = 2 . 0

β . Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π το μ έ ν η ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Μ (0,f(0)). γ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y =

1 x - 2 ε ί ν α ι α σ ύ μ π τ ω τ η τ ης 2

γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ ασ η ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f σ τ ο + ∞ . Θ.Β.84.

Δίνεται μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο R, για την οποία

ι σ χ ύ ε ι f 3  x   f  x   8x 3 12x 2  8x  2 , γ ι α κ ά θ ε x ∈ R . α. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1 -1. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μια μόνο ρίζα στο (0, 1).





γ . Α ν γ ι α τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η g : R → R ι σ χ ύ ε ι ό τ ι f  g  x   3x   f x 2  2 , γ ι α

- 83 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

κάθε x∈R , να βρείτε το x

Θ.Β.85.

στο οποίο η g παρουσιάζει ελάχιστο.

Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύουν

(i  2 2)z  6 κ α ι w  (1  i)  w  (3  3i) τ ό τ ε ν α β ρ ε ί τ ε : α . τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό τό π ο τω ν ε ι κ ό ν ω ν τω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν z . β . τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό τό π ο τ ω ν ε ι κ ό νω ν τ ω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν w . γ. την ελάχιστη τιμή του w . δ. την ελάχιστη τιμή του z  w . Θέμα 2ο

Θ.Β.86.

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 8

Δ ί ν ε τ α ι ό τ ι ο μ ι γ α δ ι κ ό ς α ρ ι θ μ ό ς z1 

1 i 3 είναι ρίζα της 2

ε ξ ί σ ω σ η ς z 2 + β z + γ = 0 , ό π ο υ β κ α ι γ π ρ α γ μ α τ ι κο ί α ρ ι θ μ ο ί . α. Να αποδείξετε ότι β=–1 και γ=1. β . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι z1  1 . 3

γ . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ν γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ο υ μ ι γ αδ ικ ο ύ α ρ ι θ μ ο ύ w , γ ι α τ ο ν ο π ο ί ο ι σ χ ύ ε ι : w  z1  z1 . Θέμα 2ο Θ.Β.87.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 8

Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z = ( 2 λ + 1) + ( 2λ − 1) i , λ ∈ R .

Α . α . Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε υ θ ε ί α ς π ά ν ω σ τ η ν ο π ο ία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, για τις διάφορες τιμές του λ∈R. β . Α π ό τ ο υ ς π α ρ απ ά ν ω μ ι γ α δ ι κο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς ν α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι ο μ ι γ α δ ι κό ς α ρ ι θ μ ό ς z 0 = 1 - i έ χ ε ι τ ο μ ι κ ρ ό τ ε ρ ο δ υ ν α τ ό μ έ τ ρο . Β . Ν α β ρ ε θ ο ύ ν ο ι μ ι γ α δ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί w ο ι ο π ο ί ο ι ι κ α ν ο π ο ιο ύ ν τ η ν ε ξ ί σ ω σ η w  w  12  z o , ό π ο υ z o ο μ ι γ α δ ι κό ς α ρ ι θ μ ό ς π ο υ 2

α ν α φ έ ρ ε τ α ι σ τ ο π ρο η γ ο ύμ ε ν ο ε ρ ώ τ ημ α . Θέμα 2ο Θ.Β.88.

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 9

Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς

ι σ χ ύ ε ι : (2  i)z  (2  i)z  8  0 . - 84 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

α . N α β ρ ε ί τ ε τ ο ν γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν μ ι γ α δ ικ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν z = x + y i ο ι ο π ο ίο ι ι κ α ν ο π ο ι ο ύ ν τ η ν π α ρ α π ά ν ω εξ ί σ ω σ η . β . N α β ρ ε ί τ ε τ ο ν μ ο ν α δ ι κό π ρ α γμ α τ ι κό α ρ ι θ μ ό z1 κ α ι τ ο ν μ ο ν αδ ι κ ό φ α ν τ α σ τ ι κό α ρ ι θ μ ό z 2 ο ι ο π ο ίο ι ι κ α ν ο π ο ι ο ύ ν τ η ν π α ρ α π ά νω εξίσωση. γ . Γ ι α τ ο υ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς π ο υ β ρ έ θ η κ α ν σ τ ο π ρο η γ ο ύμ ε ν ο ερ ώ τ η μ α ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι z1  z 2  z1  z 2  40 . 2

Θέμα 2ο

Θ.Β.89.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 9

Δίνεται η εξίσωση z 

2  2 όπου z  z

με z  0 .

B1. Να βρείτε τις ρίζες z1 και z2 της εξίσωσης. B2. Να αποδείξετε ότι z12010 +z22010 =0. B 3 . Α ν γ ι α τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς w ι σ χ ύ ε ι w  4  3i  z1  z 2 τ ό τ ε ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό τ ό π ο τω ν ε ι κ ό ν ω ν τω ν w σ τ ο μ ι γ α δ ι κ ό επίπεδο. B 4 . Γ ι α τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς w το υ ε ρ ω τ ή μ α τ ο ς Β 3 , ν α αποδείξετε ότι Θέμα 2ο Θ.Β.90.

3 w  7.

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 01 0

Έ σ τ ω ό τ ι ο ι μ ι γ αδ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί z 1 , z 2 ε ί ν α ι ο ι ρ ί ζ ε ς ε ξ ί σ ω σ η ς

δ ε υ τ έ ρ ο υ β α θ μ ο ύ μ ε π ρ α γ μ α τ ι κο ύ ς σ υ ν τ ε λ ε σ τ έ ς γ ι α τ ι ς ο π ο ί ε ς ισχύουν z1 + z2 = –2 και z1⋅z2 = 5 . B1. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z 1, z2 B2. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση | w – z 1 | 2 + | w – z 2 | 2 = | z 1 − z 2 | 2 ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό ς τ ό π ο ς τ ω ν ε ι κ ό νω ν τ ω ν w σ τ ο μ ι γ α δ ι κό ε π ί π ε δ ο ε ί ν α ι ο κ ύ κ λ ο ς μ ε ε ξ ί σ ω σ η ( x + 1) 2 + y 2 = 4 . B 3 . Α π ό το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς w τ ο υ ε ρ ω τ ή μ ατ ο ς Β2 ν α β ρ ε ί τ ε ε κ ε ί ν ο υ ς γ ι α τ ο υ ς ο π ο ίο υ ς ι σ χ ύ ε ι 2 ⋅ R e ( w) + I m ( w ) = 0 . B 4 . Α ν w 1 , w 2 ε ί ν αι δ ύ ο α π ό τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κο ύ ς w τ ο υ ε ρ ω τ ή μ ατ ο ς Β 2

με την ιδιότητα |w1 – w2|=4, να αποδείξετε ότι

|w1 + w2|=2. - 85 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θέμα 2ο

Θ.Β.91.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 01 0

Έ σ τ ω ο μ ι γ αδ ι κ ό ς α ρ ι θ μ ό ς z  x  yi μ ε x, y 

B 1 . Α ν ι σ χ ύ ε ι ό τ ι 2z  i z  3 , τ ό τ ε ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ν μ ι γ α δ ι κ ό α ρ ι θ μ ό z . B 2 . Α ν z  2  i , τ ό τ ε ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ν γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό νω ν τ ω ν μ ι γ α δ ι κώ ν α ρ ι θ μ ώ ν w γ ι α τ ο υ ς ο π ο ίο υ ς ι σ χ ύ ε ι ό τ ι : w  z  z 2 . B 3 . Α ν z  2 i κ α ι u 

Θ.Β.92.

z  iz , τ ό τ ε ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : u 2010  1 . z 1

Δίνεται η συνάρτηση f: [α, β]→ ℝ, όπου α, β∈ℝ με α<0<β, η

οποία είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β). Αν ισχύει f(α)=5β και f(β)=5α, να αποδείξετε ότι: B1. Η εξίσωση f(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α, β). B2. Υπάρχει σημείο Μ(ξ, f(ξ)) της γραφικής παράστασης C f της f, σ τ ο ο π ο ίο η ε φ α π τ ο μ έ ν η τ η ς C f ε ί ν α ι κ ά θ ε τ η σ τ η ν ε υ θ ε ί α ε: x–5y+2010=0 B3. Η συνάρτηση f παίρνει την τιμή

Θ.Β.93.

5 2

(α+β).

Έ σ τ ω ο ι μ ι γ αδ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί z κ α ι w μ ε z ≠ 3 i , ο ι ο π ο ί ο ι

ι κ α ν ο π ο ι ο ύ ν τ ι ς σ χ έ σ ε ι ς : z  3i  z  3i  2 και w  z  3i 

1 . z  3i

B 1 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν μ ι γ αδ ι κ ώ ν αριθμών z. B 2 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι z  3i 

1 . z  3i

B 3 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο w ε ί ν α ι π ρ α γ μ α τ ι κό ς α ρ ι θ μ ό ς κα ι ό τ ι -2≤ w ≤2 B4. Να αποδείξετε ότι: z  w  z . Θέμα 2ο Θ.Β.94.

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 01 1

Έ σ τ ω ο ι μ ι γ αδ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί z , w , ο ι ο π ο ί ο ι ι κ α ν ο π ο ι ο ύ ν τ ις



 

σ χ έ σ ε ι ς : z -i =1+Ιm(z) ( 1 ) κ α ι w w  3i  i 3w  i



(2) - 86 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Β 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τό π ο ς τ ω ν ε ι κ ό νω ν τω ν

1 4

μ ι γ α δ ι κώ ν α ρ ι θ μ ώ ν z ε ί ν α ι η π α ρ α β ο λή μ ε ε ξ ί σ ω σ η y = x2 . Β 2 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τό π ο ς τ ω ν ε ι κ ό νω ν τω ν μ ι γ α δ ι κώ ν α ρ ι θ μ ώ ν w ε ί ν α ι ο κ ύ κ λ ο ς μ ε κ έ ν τ ρ ο το σ η μ ε ί ο Κ ( 0 , 3 ) και ακτίνα ρ=2

Β 3 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ α σ η μ ε ί α Α κ α ι Β τ ο υ μ ι γ α δ ι κο ύ ε π ι π έ δ ο υ , τ α ο π ο ί α είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, w με z =w. Β 4 . N α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι τ ο τ ρ ί γ ω νο Κ Α Β ε ί ν α ι ο ρ θ ο γ ώ ν ι ο κα ι ι σ ο σ κ ε λ έ ς κ α ι , σ τ η σ υ ν έ χ ε ι α , ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ν μ ι γ α δ ι κό α ρ ι θ μ ό u μ ε ε ι κ ό ν α σ τ ο μ ι γ αδ ι κ ό ε π ί π εδ ο το σ η μ ε ίο Λ , έ τ σ ι ώ σ τ ε τ ο τ ετ ρ ά π λ ε υ ρο με κορυφές τα σημεία Κ, Α, Λ, Β να είναι τετράγωνο. Θέμα 2ο Θ.Β.95.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 01 1

Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γα δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z κ α ι w γ ι α τ ο υ ς ο π ο ίο υ ς

ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: |z - 1|2 + |z + 1|2 = 4

(1)

|w – 5 w |= 12

(2)

Β 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τό π ο ς τ ω ν ε ι κ ό νω ν τω ν μ ι γ α δ ι κώ ν α ρ ι θ μ ώ ν z σ τ ο ε π ί π ε δ ο ε ί ν α ι κ ύ κ λ ο ς μ ε κ έ ν τ ρ ο τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α ξ ό ν ω ν κ α ι α κ τί ν α ρ = 1 . Β 2 . Α ν z 1 , z 2 ε ί ν α ι δ ύ ο α π ό το υ ς π α ρ απ ά ν ω μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς αρ ι θ μ ο ύ ς z με |z1 - z2|= 2 , τότε να βρείτε το |z1+ z2|. Β 3 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τό π ο ς τ ω ν ε ι κ ό νω ν τω ν μ ι γ α δ ι κώ ν α ρ ι θ μ ώ ν w σ τ ο ε π ί π εδ ο ε ί ν α ι η έ λ λ ε ι ψ η μ ε ε ξ ί σ ω σ η :

x2 y2  1 και στη συνέχεια να βρείτε τη μέγιστ η και την ελάχιστη 9 4

τιμή του |w|. Β 4 . Γ ι α τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z , w π ο υ ε π αλ η θ ε ύο υ ν τ ι ς σ χ έ σ ε ι ς ( 1 ) κ α ι ( 2) ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : 1 ≤ | z - w | ≤ 4 . Θ έ μ α 2 ο Π α ν ε λ λ ήν ι ε ς 2 01 2

Θ.Β.96.

Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z , μ ε z ≠ - 1 γ ι α τ ο υ ς

οποίους ο αριθμός w =

z1 είναι φανταστικός. z 1

Να αποδείξετε ότι: Β1. |z|=1 4

 1 Β 2 . O α ρ ι θ μ ό ς  z   ε ί ν α ι π ρ α γ μ α τ ι κό ς .  z - 87 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

1

Β3. 

 z1



1   z  z   4 ό π ο υ z 1 , z 2 δ ύ ο α π ό τ ο υ ς π α ρ απ άν ω z2  1 2

μ ι γ α δ ι κο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z . Β4. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών u, για τους οποίους ισχύει

i u  ui =  w , w ≠ 0 α ν ή κ ο υ ν σ τ ην υ π ε ρ β ο λ ή x 2 -y 2 = 1 . w Θέμα 2ο

Θ.Β.97. π 4 0



Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 01 2

  Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο  0,  κ α ι ι σ χ ύ ε ι  4

f ( x)dx 

2 32



2 . 2    τέτοιο, ώστε  4

α ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι έ ν α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ξ   0, να είναι f(ξ) = ξ – συνξ. β ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο lim x 

Θ.Β.98.

x  f ( x) . ( x   )2

Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς

ισχύει: (z − 2)(

z−

2) +

z2 =

B 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τό π ο ς τ ω ν ε ι κ ό νω ν τω ν μ ι γ α δ ι κώ ν z , ε ί ν α ι κ ύ κ λ ο ς μ ε κ έ ν τ ρ ο K ( 2 , 0 ) κ α ι α κ τ ί ν α ρ = 1 . Σ τ η σ υ ν έ χ ε ι α , γ ι α κ ά θ ε μ ι γ α δ ι κό z π ο υ α ν ή κ ε ι σ τ ο ν π α ρ α π ά ν ω γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο , να α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι

z  3.

B 2 . Α ν ο ι μ ι γ α δ ι κο ί α ρ ι θ μ ο ί z 1 , z 2 π ο υ α ν ή κ ο υ ν σ τ ο ν π α ρ α π ά ν ω γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο ε ίν α ι ρ ί ζ ε ς τ η ς ε ξ ί σ ω σ η ς w 2 + β w + γ = 0 , μ ε w μ ι γ α δ ι κό α ρ ι θ μ ό , β , γ

R

, και

Im(z1)  Im(z2 )  2

τότε να

αποδείξετε ότι: β = − 4 και γ = 5 B 3 . Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς α o , α 1 , α 2 ο ι ο π ο ί ο ι α ν ή κ ο υ ν σ τ ο ν γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό τ ό π ο το υ ε ρ ω τ ήμ α το ς Β 1 . Α ν ο μ ι γ αδ ι κ ό ς α ρ ι θ μ ό ς v ι κ α ν ο π ο ι ε ί τ η σ χ έ σ η : v3 + α2 v2 + α1 v + α0 = 0 τότε να αποδείξετε ότι:

v  4.

Θ έ μ α 2 ο Π α ν ε λ λ ήν ι ε ς 2 01 3 - 88 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Β.99.

Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z κ α ι w γ ι α τ ο υ ς ο π ο ίο υ ς

ι σ χ ύ ο υ ν η ε ξ ί σ ω σ η 2x - w - 4 - 3i x = -2 z , x  R έ χ ε ι μ ι α δ ι π λ ή ρ ί ζ α , τ η ν 2

x = 1 Β 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο γ ε ω μ ετ ρ ι κ ό ς τ ό π ο ς τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν z σ τ ο μ ι γ α δ ι κό ε π ί π ε δ ο εί ν α ι κ ύ κ λ ο ς μ ε κ έ ν τ ρ ο τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α ξ ό νω ν κ α ι α κ τ ί ν α ρ 1 = 1 , κ α θ ώ ς ε π ί σ η ς ό τ ι ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τό π ο ς τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν w σ τ ο μ ι γ α δ ι κό ε π ί π ε δ ο ε ί ν α ι κ ύ κ λ ο ς μ ε κ έ ν τ ρο Κ ( 4 ,3 ) κ α ι ακτίνα ρ2= 4. Β 2 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι μ ο ν α δ ι κό ς μ ι γ α δ ι κ ό ς α ρ ι θ μ ό ς, η ε ι κ ό ν α τ ο υ ο π ο ίο υ α ν ή κ ε ι κ α ι σ τ ο υ ς δ ύ ο π α ρ α π ά ν ω γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ύ ς τόπους. Β 3 . Γ ι α τ ο υ ς π α ρ α π ά ν ω μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z , w τ ο υ ε ρ ω τ ή μ α το ς Β 1 ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z - w  10 κ α ι z + w  10 . Β4.

Α π ό τ ο υ ς π α ρ απ ά νω μ ι γ α δ ι κο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z τ ο υ ε ρ ω τ ήμ α τ ο ς 2

Β 1 ν α β ρ ε ί τ ε ε κ ε ί ν ο υ ς , γ ι α τ ο υ ς ο π ο ίο υ ς ι σ χ ύ ε ι : 2z - 3z + 2zz = 5 . Θέμα 2ο Θ . Β . 1 00 .

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 01 3

Έστω η συνάρτηση f x 

ln  α x  x

, α  0.

A . Α ν η ε φ α π το μ έ νη τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f σ τ ο σ η μ ε ί ο Μ (1, f 1) ε ί ν α ι π α ρ ά λ λ η λ η σ τ η ν ε υ θ ε ί α x  y  0 , ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν τ ι μ ή τ ο υ α. B. Για α = 1: α . Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τη μ ο νο τ ο ν ί α κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ α α κ ρ ό τ α τ α τ η ς f . β . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ι μ ώ ν κ α ι τ ι ς α σ ύ μ π τω τ ε ς . γ. Να αποδείξετε ότι: Θέμα 2ο

 κ

κ 1





κ 1



για κάθε θετικό ακέραιο κ  8.

ΟΕΦΕ 2003

Θ . Β . 1 01 . Ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f , g ε ί ν α ι ο ρ ι σ μ έ ν ε ς κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ ε ς σ τ ο  μ ε f '  x   g '  x  1, f '  x   1 γ ι α κ ά θ ε x  .

g  x  2 ε φ α ρ μ ό σ ο υμ ε τ ο ν κ α ν ό ν α τ ο υ ο ρ ί ο υ x  f  x   x  2 0 π η λ ί κο υ , π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε τ α ι α π ρ ο σδ ι ο ρ ι σ τί α τ η ς μ ο ρ φ ή ς . 0 Α ν σ τ ο ό ρ ιο L  lim

α. i) Να υπολογίσετε το όριο L. i i ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ι ς α σ ύ μ π τω τ ε ς τ ω ν γ ρ α φ ι κ ώ ν π α ρ α σ τ ά σ ε ω ν τ ω ν σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν f κ α ι g σ τ ο  . β. Να αποδείξετε ότι η g έχει το πολύ μια ρίζα στο  . γ . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : f  x   g  x   x  4 γ ι α κ ά θ ε x  . Θέμα 2ο

ΟΕΦΕ 2004

- 89 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ . Β . 1 02 .

Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f  x   2 x   ln x  2  , x  0 .

α ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : f ' x   β ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο lim f '  x  .

ln x x

, x  0.

x 0

γ ) Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τα κ ο ί λ α τ η ς f κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ η μ ε ί ο τ η ς κ α μ π ή ς της. δ ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ε μ β αδ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α ση τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς g  x   τις ευθείες x  Θέμα 2ο Θ . Β . 1 03 .

ln x x

, τ ο ν ά ξ ο να x ' x κ α ι

1 κ α ι x  e2 . e

ΟΕΦΕ 2005

Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι μ ι γ α δ ι κο ί z κ α ι w 

α) Να αποδείξετε ότι:

z i όπου z  i . 1 i z

wi  z. wi

β ) Α ν z  1 κ α ι Μ η ε ι κ ό ν α τ ο υ w σ το μ ι γ αδ ι κ ό ε π ίπ ε δ ο , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι τ ο ση μ ε ί ο Μ α ν ή κ ε ι σ τ ο ν ά ξ ο ν α x ' x . γ ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε τη ν ι σ ο δ υ ν α μ ί α w φ α ν τ α σ τ ι κό ς  z φ α ν τ α σ τ ι κ ό ς . δ ) Θ ε ω ρ ο ύμ ε σ υ ν ά ρ τ η σ η f σ υ ν ε χ ή σ τ ο  ,   μ ε f  a   1 κ α ι έ σ τ ω

z  f  a   i κ α ι z  f     i . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η f  x   0 έ χ ε ι μ ι α τ ο υ λ ά χ ι σ το ν λ ύ σ η σ τ ο Θέμα 2ο Θ . Β . 1 04 .

 ,   .

ΟΕΦΕ 2006





Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f  x   x 2  a  e x , x  . Α ν η ε υ θ ε ί α y  2 x  2



ε φ ά π τ ε τ α ι σ τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ ης f σ τ ο σ η μ ε ί ο  0, f  0  α) β) γ) i.



τότε:

Να αποδείξετε ότι:   2 . Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τη μ ο νο τ ο ν ί α τ η ς f . Να υπολογίσετε τα όρια:

lim f  x 

x 

i i . lim f  x  . x 

δ ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η f  x   2007 έ χ ε ι α κ ρ ι β ώ ς μ ι α λ ύ σ η στο  . Θέμα 2ο

Θ . Β . 1 05 .

ΟΕΦΕ 2007

 x  0  x   , μ ε  ,   .    1 x  1,  x  0

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε f  x  

α. Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε η f να είναι συνεχής. β. Να βρείτε την τιμή του μ, ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο - 90 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

x0  0 . γ. Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι 1-1. δ . Γ ι α   1 κ α ι   2 , ν α υ π ο λο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λ ο κλή ρ ω μ α Θέμα 2ο

2 f  x  dx .

ΟΕΦΕ 2008

Δίνεται η εξίσωση z 

Θ . Β . 1 06 .



1  1, z  C κ α ι z1 , z2 ο ι ρ ί ζ ε ς τ η ς . z

Να αποδείξετε ότι: 3 Α . z1  z2  1 κ α ι z1 1 . Β.

z

2009 1

8 Γ . z1 

 z22009   .

1 1  0 z10 2

Δ . Α ν f  x  σ υ ν ά ρ τ η σ η π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το

f 1 

0, 1

μ ε f  0  2 

z1 z2  και z2 z1

1 1 3   τ ό τ ε υ π ά ρ χ ε ι έ ν α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν x0  0,1 ώ σ τ ε 2 z1 2 z2 2

f  x0   3x0  2 .

Ε . Α ν Γ ε ί ν α ι η ε ι κ ό ν α τ ο υ μ ι γ αδ ι κ ο ύ w  2 z1  2 z2 κ α ι Α , Β ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν z1 κ α ι z2 α ν τ ί σ τ ο ι χ α , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι τ ο τ ρ ί γ ω ν ο Α Β Γ ε ί ν α ι ισοσκελές. Θέμα 2ο ΟΕΦΕ 2009

1  2w 1 w κ α ι η ε ι κ ό ν α τ ο υ w α ν ή κ ε ι σ τ ο ν κ ύ κ λ ο μ ε κ έ ν τ ρ ο Κ ( - 1 , 0) κ α ι α κ τ ί ν α ρ=1. α) Να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο με κέντρο το Ο ( 0 , 0) κ α ι α κ τ ί ν α ρ = 1 . β ) Α ν z  1 (1) κ α ι z 1 , z 2 , z 3 ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ρ ι ώ ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν γ ι α

Θ . Β . 1 07 .

Ο ι μ ι γ α δ ι κο ί α ρ ι θ μ ο ί z , w σ υ ν δ έ ο ν τ α ι μ ε τ η σ χ έ σ η z 

τους οποίους ισχύει η σχέση (1) να δείξετε ότι: i) Ο αριθμός α 

z 1 z 2 z 2 z 3 z 1 z 3   ε ί ν α ι π ρ α γ μ ατ ι κ ό ς . z3 z1 z2

i i ) Α ν ε π ι π λ έ ο ν z 1 z 2  z 3  0 τ ό τ ε ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τι :

z z z  3 Re  1  2  3    . 2  z 2 z3 z1  γ ) Δ ί ν ε τ α ι η ε υ θ ε ί α ( ε ) : 3x  4 y  12  0. Ν α β ρ ε θ ε ί η μ έ γ ι σ τ η κ α ι η ε λ ά χ ι σ τ η α π ό σ τ α σ η τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν το υ μ ι γ α δ ι κ ο ύ w α π ό τ ην ε υ θ ε ί α (ε). Θέμα 2ο ΟΕΦΕ 2010

- 91 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ . Β . 1 08 .

Δίνεται η συνάρτηση f :

3 2 μ ε : f  x   4 x  12  x     1 x , γ ι α



κ ά θ ε x  R ό π ο υ  R η ο π ο ία π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι σ τ ο x0  1 κ α μ π ή . α. i. Να αποδείξετε ότι λ=1. i i . Ν α β ρ ε ί τ ε τ α δ ι α σ τ ή μ α τ α σ τ α ο π ο ία η f ε ί ν α ι κ υ ρ τ ή ή κ ο ί λ η . β. Να βρείτε το όριο:

 f  x 

x3

f  x

γ. i. Να βρείτε την αρχική της f της οποίας η γραφική παράσταση δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό το σ η μ ε ί ο  0, 1 . i i . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ε μ β αδ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τ η ν γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α ση τ η ς f κ α ι τ ο ν ά ξ ο ν α x ' x . Θέμα 2ο ΟΕΦΕ 2011 Θ . Β . 1 09 .

Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f ( x ) = e x - 2 κ α ι g ( x ) = l nx + 2 .

B1. Να βρείτε τις συνθέσεις f g και g f και να εξετάσετε αν είναι ίσες. B 2 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ετε ό τ ι η f έ χ ε ι α ν τ ί σ τ ρ ο φ η κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν f - 1 . B3.

x 2 Ν α α π ο δ ε ί ξ ετε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η e  lnx  2 έ χ ε ι μ ί α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ,

ρίζα στο διάστημα

e

2

,2 

f(x) g(x)  lim 0 x   g f  (x) x   f g  (x) lim

B4. Να αποδείξετε ότι: Θέμα 2ο ΟΕΦΕ 2012 Θ . Β . 1 10 .

Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς z κ α ι w γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ο υ ν

ο ι ε π ό μ ε ν ε ς σ χ έ σ ε ι ς : z  z  2   1  i  z  3 κ α ι w = 2 z – i , 2

Β 1 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν μ ι γ αδ ι κ ώ ν z . Π ο ιο ς ε ί ν α ι ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τ ό π ο ς τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ο υ z ; Β2. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του z  z και τις τιμές του z για τις οποίες επιτυγχάνεται. Β3. Αν για τους μιγαδικούς z των προηγούμενων ερωτημάτων ισχύει

z z  z  z  2 κ α ι I m ( z ) > 0 , τ ό τ ε ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τη ν τ ι μ ή τ ο υ :    2 

2013

Β 4 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τ ω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν w κ α ι να α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η α π ό σ τ α σ η τω ν ε ι κ ό νω ν τ ω ν z κ α ι w ε ί ν α ι ί σ η μ ε τ η ν α π ό σ τα σ η τ η ς ε ι κ ό ν α ς τ ο υ z α π ό τ ο ση μ ε ί ο Α ( 0 , 1 ) . Θέμα 2ο

ΟΕΦΕ 2013

- 92 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

ΘΕΜΑ Γ

- 93 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

- 94 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Γ.1. Έστω Α,Β,Γ οι εικόνες τριών μιγαδικών z,w,u διαφορετικών μ ε τ α ξ ύ το υ ς , ο ι ο π ο ί ο ι έ χ ο υ ν ί σ α μ έ τ ρ α κ α ι ά θ ρ ο ι σ μ α μ η δ έ ν . Γ1. Να αποδείξετε ότι: z  w  w  u  z  u . Γ 2 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ ι ς γ ω ν ί ε ς τ ο υ τ ρ ι γ ώ ν ο υ Α Β Γ . Γ3. Να αποδείξετε ότι: α. z w2  z  w2  2 z 2  2 w2. β.

zw  z 3 . Θ ε ω ρο ύ μ ε τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η : f ( x)  ( 1) x  6 μ ε x ( - 1 , + ) κ α ι α ,

Θ.Γ.2.

x

β R , η ο π ο ί α έ χ ε ι α σ ύ μ π τω τ ε ς τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς y = 2 κ α ι x = - 1 . 2x  6 Γ 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο τ ύ π ο ς τ η ς f ε ί ν α ι : f(x)  , x  1 . x 1 Γ 2 . Ν α β ρ ε ί τ ε σ υ ν ά ρ τ η σ η G ( x ) τ έ το ι α ώ σ τ ε G ΄ ( x ) = f ( x ) , γ ι α κ ά θ ε x > - 1 , τ η ς ο π ο ί α ς η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ ασ η δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό τ ο σ η μ ε ί ο Μ ( 0 , 2) . Γ 3 . Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τ η μ ο νο το ν ί α κ α ι τ α α κ ρ ό τ α τα τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς

G(x) , x >-1. x 1

h(x)  Θ.Γ.3. Γ1. Γ2. Γ3. Γ4. των

Δίνεται η συνάρτηση: f(x)=

et   t dt , x  R. t   x 1 e x

Να βρείτε την f ΄. Να αποδείξετε ότι f(x)= x + ημx για κάθε xR. Nα αποδείξετε ότι ορίζεται η f –1:[0,π] [0,π]. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι τ ο ε μ β αδ ό τ ο υ χ ω ρ ί ο υ μ ε τ α ξ ύ τω ν C f , C f - 1 κ α ι ευθειών x = 0, x = π είναι Ε = 4τ.μ.

Θ.Γ.4. Θ ε ω ρο ύ μ ε τ η σ υ ν ε χ ή σ υ ν ά ρ τ η σ η f σ τ ο δ ι ά σ τ η μ α [ 0 , α ] . Να δείξετε ότι : Γ1. Γ2.



f(x)dx 

0

1 α f(x)  f(α-x) dx . 2 0

2011x α dx = . (α - x ) x 2 2011  2011

Θ.Γ.5. Έστω F μια αρχική της συνεχούς συνάρτησης f :RR τέτοια ώ σ τ ε γ ι α κ ά θ ε x  R ν α ι σ χ ύ ε ι : 2 F ( x2 )   2  F 2 ( x), ό π ο υ α  0 . Να αποδείξετε ότι: Γ 1 . F ( 0) = F ( 1 ) = α. Γ 2 . η ε ξ ί σ ω σ η f ( x ) = 0 έ χ ε ι μ ι α τ ο υ λ άχ ι σ τ ο ν ρ ί ζ α σ τ ο R . Θ.Γ.6. Δ ί ν ε τ α ι έ ν α ς μ η μ η δ ε ν ι κ ό ς μ ι γ α δ ι κό ς z κ α ι μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f συνεχής στο R. Αν τα όρια : zf(x)  3  3 zf(x)  1  1 lim , lim x 0 x  1 x x 1 υπάρχουν στο R να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα - 95 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

θ  [ 0 , 1 ] ώ σ τ ε f ( θ) = 0 . Θ.Γ.7. Έ σ τ ω f : ( 0 , +  )  R σ υ ν ε χ ε ί ς γ ι α τ η ν ο π ο ί α υ π ο θ έ το υ μ ε ό τ ι lnt  f(t)  t –1. Nα αποδείξετε ότι: Γ1. f ΄(1) = 1 x

Γ2.

lim

x1

2 f (t )dt  x 2  1  2e x 1 1

( x  1)2

Γ3. Η εξίσωση 2 +

1

1

f (t )dt  2 ln x  x 2 έ χ ε ι α κ ρ ι β ώ ς μ ι α ρ ί ζ α σ τ ο

(1 ,e). Θ.Γ.8. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] , καθώς και το σ ύ ν ο λ ο τω ν μ ι γ α δ ι κώ ν α ρ ι θ μ ώ ν z x = x + i f ( x ) , x  [ α , β ] . Ε ά ν ι σ χ ύ ε ι I m z α = I m z , ν α α π ο δ ε ίξ ε τ ε ό τ ι ε ί τ ε η ε ξ ί σ ω σ η f ( x ) = 0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (α , β ) , είτε η συνάρτηση f έχει τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν έ ν α κ ρί σ ι μ ο σ η μ ε ί ο σ τ ο ( α , β ) . Θ.Γ.9. Δ ί ν ε τ α ι μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο [ α , β ] κ α ι δ ύ ο φ ο ρέ ς π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το ( α , β ) , κ α θ ώ ς κ α ι έ ν α ς α ρ ι θ μ ό ς γ  ( α , β ) . Δ ί ν ο ν τ α ι ε π ι π λ έο ν κ α ι ο ι μ ι γ α δ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί : z 1 = α + f(α) i , z 2 = β + f (β) i , z 3 = γ +

f (γ) i .

Α ν ε ί ν α ι γ ν ω σ τ ό ό τ ι: z1  z 2  z 3 , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν έ ν α θ  ( α , β ) ώ σ τ ε ν α ι σ χ ύ ε ι : f ΄ ΄ ( θ) = - 2 . Θ.Γ.10.

Δίνεται η συνάρτηση: F(x)=

1 2 x ( 2l nx -3 ) -x ( l nx - 2) γ ι α κ ά θ ε 4

x > 0. Γ 1 . Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τ η ν F ω ς π ρ ο ς τ η μ ο ν ο το ν ί α κ α ι τ α α κρ ό τ α τ α κ α ι να αποδείξετε ότι η εξίσωση F(x) = 0 δεν έχει ρίζα στο (0 , +  ).

3x 2  x2  g(x)   2x Γ 2 . Δ ί ν ο ν τ α ι : f(x)    x  ln x κ α ι 4 2   Να αποδείξετε ότι: Θ.Γ.11.

f ( x)

g ( x) t 2004 1 dt

>0 για κάθε x >0.

Α ν η f ' ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς φ θ ί ν ο υ σ α σ τ ο R , ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε ω ς π ρο ς

τ η μ ο νο το ν ί α σ τ ο R τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η : Θ.Γ.12.

g ( x)  

x5

f (t )dt  5 f ( x).

Α ν f : R * R ε ί ν α ι μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η 1 - 1 κ α ι

f

f  (x)  f(x)  α γ ι α

κ ά θ ε x R * , ό π ο υ α  0 , τ ό τ ε : Γ 1 . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι  f f  (x)  χ γ ι α κ ά θ ε x  0 . Γ2. Να βρείτε τον τύπο της f. - 96 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Γ 3 . Ν α β ρ ε θ ε ί η μ ο ν ο το ν ί α τ η ς f . Γ 4 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ιμ ώ ν τ η ς f . Γ 5 . Ν α ο ρ ί σ ε τ ε τ η ν f 1 .

x  για κάθε y

Έ σ τ ω σ υ ν ά ρ τ η σ η f : (0, )  R μ ε f(x)  f(y)  f 

Θ.Γ.13. x, y Γ1. Γ2. Γ3.

> 0. Αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα, τότε: Να αποδείξετε ότι η f να είναι 1-1. 2 2 Ν α λ ύ σ ε τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η : f(x  3)  f(x)  f(x  1)  f(x  1) . Α ν f (x)  0 γ ι α κ ά θ ε x > 1 ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς

αύξουσα. Θ.Γ.14. Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f : R  R ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς μ ο ν ό το ν η κ α ι έ χ ε ι τ η ν ι δ ι ό τ η τ α f ( x + f ( y ) ) = f ( x + y ) + 2 γ ι α κ ά θ ε x, y  R . Να αποδείξετε ότι : α) f(x) = x + f(0). β ) f ( x ) = x + 2 γ ι α κ ά θ ε x R . Θ.Γ.15. Δίνεται η συνάρτηση f : R→R , για την οποία ισχύει: f ΄(lnx) = x για κάθε x>0 και f(0) = 0. Γ1. Να βρείτε τη συνάρτηση f. Γ2. Να δείξετε ότι: f(x) > x – 2 για κάθε x R. 3

Γ 3 . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : 2 f(x)dx  Θ.Γ.16.

1 2

Έστω συνάρτηση f : R  R με την ιδιότητα f )(x)  x 2  (2α 1)x  α2 γ ι α κ ά θ ε x  R , ό π ο υ α σ τ α θ ε ρ ό ς α ρ ι θ μ ό ς .

Αν η

f είναι παραγωγίσιμη στο α με

f '(α)  1 ν α β ρ ε θ ε ί η ε ξ ί σ ω σ η

τ η ς ε φ α π το μ έ ν η ς τη ς C f σ τ ο σ η μ ε ί ο Μ ( α , f ( α ) ) . Θ.Γ.17.

Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f : R  R με την ιδιότητα:

x  f(xt)dt  f(x)  1 γ ι α κ ά θ ε x  R . 0

Θ.Γ.18.

Δίνεται η συνάρτηση:

f (x)  2x  ημx,x [0,π].

Γ 1 . Ν α α π ο δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι ο ρ ί ζ ε τ α ι η f 1 κ α ι ν α β ρ ε θ ε ί τ ο π ε δ ί ο ορισμού της. 1 Γ 2 . Ν α λ υ θ ε ί η ε ξ ί σ ω σ η f (x)  x. Γ 3 . Ν α β ρ ε θ ε ί τ ο ο λ ο κλ ή ρ ω μ α Ι =

2π 1

0

f (x)dx .

- 97 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Γ.19.

Γ1. Να αποδείξετε ότι:

1 1 1 dy  1 1  y 2 1x 1  y 2 dy  0 γ ι α κ ά θ ε

x  (0, ) . Γ 2 . Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x) 

1 . Ν α υ π ο λ ο γί σ ε τ ε τ η ν ε υ θ ε ί α μ ε 1  x2

ε ξ ί σ ω σ η x = α , η ο π ο ί α χ ω ρ ί ζ ε ι τ ο χ ω ρ ί ο π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τα ι α π ό τ η Cf , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 1 , x = 2 σε δύο ισεμβαδ ικά 2 χωρία.

i . xi Γ 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι α κ ρ ι β ώ ς έ ν α x0  z να είναι φανταστικός. Γ 2 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ό ρ ι ο : lim Im(z)  ημx  . Έ σ τ ω ο μ ι γ αδ ι κ ό ς z  x 

Θ.Γ.20.

ώστε ο μιγαδικός

x 

Γ3. Αν Θ.Γ.21.

Re(z)  Im(z) ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ν θ ε τ ι κ ό α κ έ ρ α ι ο ν ώ σ τ ε z ν  29  i .

Έ σ τ ω σ υ ν ά ρ τ η σ η f σ υ ν ε χ ή ς κ α ι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α σ τ ο ( 0 , ) 4

 f (x)dx  1 κ α ι

με

5 f (x)dx  3.

Δ ί ν ε τ α ι κ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η : g(x) 

x 2

x1 f(t)dt ,

χ>0.

Γ1. Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία. Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (2 , 3) ώστε f(ξ+2) – f(ξ+1) = -4. Γ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε μ , ν 

Θ.Γ.22. 1

0 x



ισχύει ότι :

(1  x) ν dx   x ν (1  x)μ dx . 0

Γ 2 . Α ν f (x)  x(1 x)2004 , g(x)  x(1 x)2003 ν α υ π ο λο γ ί σ ε τ ε τ ο ε μ β α δ ό το υ χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f , g. x2

Θ.Γ.23.

Α. Να υπολογίσετε το όριο:

lim x 1

1 συν( 2

t)dt

(1  x) 2

Β. Δίνεται η συνάρτηση g(x) = x lnx. i ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο : lim g(x) . x 0

i i ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λ ο κ λ ή ρω μ α : I 

Θ.Γ.24.

Γ1. Δίνεται η συνάρτηση:

e ln x  1

2

g(x)

dx .



α ,x0 f (x)  eημx x  συνx , x  0 .

α ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο α ώ σ τ ε η ν α ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο x0  0 . - 98 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

β ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ε μ β α δ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι απ ό τ η

π . 2 Γ 2 . Γ ι α τ η τ ι μ ή τ ο υ α π ο υ β ρ ή κ α τ ε σ το α ) ε ρ ώ τ η μ α ν α απ α ν τ ή σ ε τ ε σ τ α π α ρ α κ ά τω ε ρ ω τή μ α τ α : π π α ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ α f( ) , f( ) ,f(π) . 2 2 β) Να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται. γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α ση τ η ς f κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς x = 0 , x =

γ) Να υπολογίσετε το όριο:

Θ.Γ.25.

lim f (x) .

x 

5 3   2i   z  z  i , z  α+βi , α , β  R . 2 2 

Δίνεται ο μιγαδικός: ω = 

α ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ α Re(ω) , Im(ω). β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών ω στο

1 x. 3 γ ) Α π ό τ ο υ ς μ ι γ α δ ικ ο ύ ς ω ν α β ρ ε θ ε ί α υ τ ό ς π ο υ έ χ ε ι τ η μ ι κ ρ ό τ ε ρ η α π ό σ τα σ η α π ό τ η ν ε ι κ ό ν α τ ο υ μ ι γ α δ ι κο ύ 3  i . μ ι γ α δ ι κό ε π ί π ε δ ο βρ ί σ κ ο ν τ α ι σ τ η ν ε υ θ ε ί α y  

δ ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ω  10 ε) Αν ω 

α-3β . 2

10 ν α α π ο δ ε ί ξ ετε ό τ ι ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν μ ι γ α δ ι κ ώ ν z  α  βi 2

σ τ ο μ ι γ α δ ι κό ε π ί π εδ ο β ρ ί σ κ ο ν τ α ι σ τ η ν ε υ θ ε ί α x  3y  1 , ή x  3y  1 . (Ε.Μ.Ε) Θ.Γ.26.

Δίνεται η συνάρτηση:

f (x)  αx   βxtdt 14 , α,β  ,x  0. 2

Γ 1 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ α α,β 

ώ σ τ ε f ( x )  f ( 2) κ α ι η Cf ν α π ε ρ ν ά α π ό τ ο

σημείο M(2 , 6). Γ 2 . Γ ι α τ ι ς τ ι μ έ ς τ ω ν α , β τ ο υ ε ρ ω τ ή μ α το ς Γ 1 . α ) Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α ση β ρ ί σ κ ε τ α ι π ά ν τ ο τε π ά ν ω α π ό τ η ν ε φ α π το μ έ ν η σ ε ο π ο ι ο δ ή π ο τ ε σ η μ εί ο τ η ς . β ) Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο ρ υ θ μ ό ς μ ε τα β ο λ ή ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς σ υ ν ε χ ώ ς αυξάνεται. γ) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης. Θ.Γ.27.

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε f  x  ln  x  1  x3  x  e , x > - 1 .

Γ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f-1. Γ2. Να λύσετε την εξίσωση f-1(x) = 0. Γ 3 . Α ν η f 1 ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς , ν α β ρ ε ί τ ε - 99 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

 

 τ η ν τ ι μ ή f 1  e  .

Θ.Γ.28. x

1

Οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο R και ισχύει: 1

f (t )dt   g (t )dt = x 2 - 2 x + 1 γ ι α κ ά θ ε x  R . x

Έστω Cf ,Cg οι γραφικές παραστάσεις και ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει δύο λύσεις ρ 1 , ρ2 με ρ1 < 1 < ρ2. Γ1. Να αποδείξετε ότι i ) H ε ξ ί σ ω σ η g ( x ) = 0 έ χ ε ι μ ι α τ ο υ λ άχ ι σ τ ο ν λ ύ σ η σ τ ο ( ρ 1 , ρ 2 ) . ii) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (ρ1 , ρ2) τέτοιο ώστε g΄(ξ) = -2. Γ 2 . Α ν η σ υ ν ά ρ τ η σ η g ε ί ν α ι κ υ ρ τ ή σ τ ο R ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τι i) Η συνάρτηση f είναι κυρτή. i i ) H f έ χ ε ι έ ν α μ ό ν ο ε λ ά χ ι σ τ ο σ τ ο R , τ ο ό π ο ιο π α ρ ο υ σ ι άζ ε τ α ι σ τ ο σ η μ ε ί ο x o = ξ τ ο υ ε ρ ω τ ήμ α το ς α ) i i ) . i i i ) N α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ε μ β α δ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τ ι ς C f , C g κ α ι τ ο ν ά ξ ο ν α τω ν y . Θ.Γ.29. Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f δ ύ ο φ ο ρ έ ς π α ρα γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο R κ α ι η ε υ θ ε ί α ( ε ) π ο υ τ έ μ νε ι τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς f σ ε τ ρ ί α δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ ά σ η μ ε ία : Α ( α , f ( α ) ) , Β ( β , f ( β ) ) κ α ι Γ ( γ , f ( γ ) ) . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 R τέτοιο ώστε f ΄΄(x0) = 0. Θ.Γ.30. Δίνεται η συνάρτηση f με f: (0 , +  ) (0 , +  ) με f(1) = 1 η οποία ικανοποιεί τ η σχέση:

1 1 xf    για κάθε x > 0.  x  f ΄(x) f ΄΄(x) 1 f ΄(x)   Γ1. Να αποδείξετε ότι: ,x > 0. f ΄(x) x f(x) Γ 2 . Ν α π ρ ο σδ ι ο ρ ί σε τ ε τ ο ν τ ύ π ο τ η ς f .

Θ.Γ.31.

Δίνεται η συνάρτηση

 f g  (x)  x2  x  4

, xR κ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η

g(x) = 2x – 1 , x  R . Γ1. Να βρείτε τη συνάρτηση f. Γ 2 . Α ν h(x) 

1 t   f g  (x) dt

να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

τ η ς C h σ τ ο σ η μ ε ί ο Α ( 1 , h ( 1) ) . Γ 3 . Το ε μ β α δ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι μ ε τ α ξ ύ τω ν γ ρ α φ ι κ ώ ν παραστάσεων της f g και της f.

- 100 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

-x

Θ.Γ.32. Δίνεται η συνάρτηση : f(x) = x e + λ x . Γ 1 . Ν α β ρ ε θ ε ί ο λ R , ώ σ τ ε η c f ν α έ χ ε ι σ τ ο ( 0 , f ( 0 ) ) ε φ α π το μ έ ν η παράλληλη στην ευθεία ( ε ) : 2 y - 4x - 5 = 0 . Γ2. Για την τιμή του λ που βρήκατε να μελετηθεί η f ως προς τη μ ο νο το ν ί α . Γ3. Να εξεταστεί αν η διχοτόμος της πρώτης και τρίτης γωνίας των α ξ ό νω ν ε ί ν α ι π λ ά γ ι α α σ ύ μ π τω τ η τ η ς c f . Γ 4 . Ν α ε ξ ε τ α σ τ ε ί η f ω ς π ρ ο ς τ η ν κ υ ρ τ ό τ η τα . Θ.Γ.33.

ln x . x2 τ ι ς α σ ύ μ π τω τ ε ς τ η ς C f . τ α δ ι α σ τ ή μ α τ α μ ο νο το ν ί α ς κ α ι τ α α κ ρ ό τ α τ ά τ η ς . α ln x  β τ α α , β ώ σ τ ε η g(x)  να είναι αρχική της f. x τ ο lim E(κ) ό π ο υ Ε ( κ) τ ο εμ β α δ ό ν τ ο υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε f(x) 

Γ1. Να βρείτε Γ2. Να βρείτε Γ3. Να βρείτε Γ4. Να βρείτε

κ 

π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τη C f κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς x = 1 , x = κ μ ε κ > 1 κ α ι y = 0 . Θ.Γ.34. Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο R , ώστε f (3)(x) > 0 για κ ά θ ε x R . Γ1. Να αποδείξετε ότι η Cf έχει το πολύ ένα σημείο καμπής. Γ 2 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι δ ε ν υ π ά ρ χ ε ι ε υ θ ε ί α π ο υ ν α ε φ ά π τε τ α ι σ ε δ ύ ο δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ ά σ η μ ε ία Α ( x 1 , f ( x 1 ) ) κ α ι Β ( x 2 , f ( x 2 ) ) τ η ς C f . Θ.Γ.35.

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο R για την οποία ισχύουν:

f2(x) – 4 ex f(x) = 1 για κάθε x  R και f(0) = 2 - 5 . Γ1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο και να το π ρ ο σδ ι ο ρ ί σ ε τ ε . Γ2. Να βρείτε τον τύπο της f. Γ 3 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ ο ό ρ ι ο : lim f  x  . x 

Θ.Γ.36.

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο [2 , 5].

Αν f(x) < 0 για κάθε x [2 , 5] και Γ 1 . η g( x ) Γ2. 0 

2

2 f (x)dx  6

να δείξετε ότι:

f (t ) dtέ χ ε ι μ ο ν α δ ικ ή ρ ί ζ α σ τ ο [ 2 , 5 ] .

5 g(x)dx  18 .

Θ.Γ.37. Έστω μια συνεχής συνάρτηση f: R  R και F μια παράγουσα της f στο R. Α ν F ΄ ΄ ( x )  0 κ α ι F ( x ) = F ( 2 – x ) γ ι α κ άθ ε x  R , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τι η ε ξ ί σ ω σ η f ( x ) = 0 έ χ ε ι μ ο ν α δ ι κ ή ρ ί ζ α τη ν ο π ο ί α κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε . Θ.Γ.38.

Δίνεται μια συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 4] με

 f  0   7    f  4  7  2

 0. - 101 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Γ1. Να δείξετε ότι η f δεν είναι αντιστρέψιμη. Γ 2 . Ν α δ ε ίξ ε τ ε ό τ ι υπ ά ρ χε ι ξ [ 0 , 4 ] τ έ τ ο ιο , ώ στ ε :       2 f  1   3 f  1   4 f  1  2  3  4 . f      9

Γ3. Αν επιπλέον ισχύει ότι f(x) ≠ 0 για κάθε x[0 , 4] να υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο : lim f(3)  1  x 7  2x 2  1 . x 

Θ.Γ.39.





Α. Δίνεται η συνάρτηση f:RR με f(x)  0 για κάθε xR.

Α ν f ( 5 ) + f ( 6 ) + f ( 7 ) = 0 , ν α ε ξ ε τ ά σ ε τ ε α ν η f θ α μ π ο ρ ο ύ σε ν α ε ί ν α ι μια συνεχής συνάρτηση. Β . Δ ί ν ε τ α ι μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f δ ύ ο φ ο ρ ές π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο R μ ε f(1) = f(7) και f(x7)  f(7x) για κάθε xR. Να δείξετε ότι η f ΄΄(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1 , 7). Θ.Γ.40. Έστω η συνάρτηση f : R  R , η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη: f(1 – x) + 2 = x f(x) , για κάθε x  R. Γ1. Να αποδείξετε ότι η f παίρνει στο R μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Γ2. Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα: Θ.Γ.41.

1

f ( x)dx  ln  e2  e  1 .

Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R* για την οποία 1

ι σ χ ύ ο υ ν : xf ΄(x) - f ( x)  e x , γ ι α κ ά θ ε x  R * κ α ι f ( 1 ) = e . Γ1. Να βρείτε τον τύπο της f. Γ 2 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ ο ο λο κλ ή ρ ω μ α :

1/ e

1/e2

f ( x) dx. x3

Θ.Γ.42. Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f : ( 0 , +  )  R π αρ α γ ω γ ί σ ι μ η μ ε f ( x )  0 για κάθε x > 0 . Δίνονται και οι μιγαδικοί αριθμοί: 1 1 2 2 2  i , α , β > 0 μ ε z1  z 2  z1  z 2 . z1 = f(α) + iα , z2 = f ()  Να δείξετε ότι: Γ 1 . Re  z1  z2   0 . Γ 2 . υ π ά ρ χ ε ι τ ο υ λ άχ ι σ τ ο ν έ ν α x 0  ( α , β ) τ έ τ ο ι ο , ώ σ τ ε η ε φ α π τ ο μ έ ν η τ η ς C f ν α δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό τη ν α ρ χ ή τ ω ν α ξ ό ν ω ν . Γ 3 . α ν ε π ι π λ έο ν f ( 1 ) = 3 , ν α υ π ο λ ο γ ίσ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο :

3x 2006  2x  1 lim . x  f 1988 x 2005  3 Θ.Γ.43.

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f (x) 

x2  x 1 . x 1

Γ 1 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ε μ β α δ ό ν Ε ( λ) το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ εί ε τ α ι α π ό τ η Cf , την ασύμπτωτη της Cf στο + και τις ευθείες x = 2 και x =λ με λ>2. - 102 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Γ 2 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ ο

lim E() .



Γ 3 . Α ν τ ο λ α υ ξ ά ν ε ι μ ε ρ υ θ μ ό 3 μ ο ν άδ ε ς α ν ά δ ε υ τ ε ρ ό λ επ τ ο , ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ρ υ θ μ ό μ ετ α β ο λ ή ς το υ ε μ β α δ ο ύ τ ο υ π α ρ απ ά ν ω χω ρ ί ο υ ω ς π ρ ο ς τ ο χ ρ ό νο t τ η χ ρ ο ν ι κ ή σ τ ι γ μ ή ό π ο υ λ = 4 . Θ.Γ.44. Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x2 – (α + β)x + αβ , α < β. Φέρνουμε τις εφαπτόμενες της Cf στα σημεία τομής της Α και Β με τον άξονα x΄x. Γ 1 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ η μ ε ί ο τ ο μ ή ς Γ τ ω ν π α ρ α π ά ν ω ε φ απ τό μ ε ν ω ν . Γ2. Αν Ε1 είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ και Ε 2 το εμβαδόν τ ο υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ερ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τ η C f κ α ι τ ο ν ά ξ ο ν α x ΄ x , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : E1  3 .

Θ.Γ.45.

Δίνεται η συνάρτηση f : RR , η οποία είναι συνεχής στο R

xf(x)  1988ημx  18 κ α ι x 0 x

κ α ι γ ι α τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ ο υ ν : lim

ημx . x 2006 Γ1. να βρείτε το f(0) . Γ2. να βρείτε το f(-7) . Γ 3 . ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η γ ρ α φ ι κ ή π α ρά σ τ α σ η τ η ς f τ έ μ ν ε ι τ η ν ε υ θ ε ί α y = - x σ ε τ ο υ λ ά χ ι σ το ν έ ν α σ η μ ε ί ο μ ε τε τ μ η μ έ ν η π ο υ α ν ήκ ε ι σ τ ο (-7 , 0). lim f(x)  lim

x 7

Θ.Γ.46.

x 

Α. Δίνεται μια συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 1].





Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι ξ  ( 0 , 1 ) τ έ τ ο ι ο ώ στ ε :   2 f ()  Β. Δίνεται μια συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] με





0 tf (t)dt .

 f (x)dx    

Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι ξ  ( α , β ) τ έ τ ο ι ο ώ στ ε f ( ξ ) = α . Γ. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο R με



2003

2002

f(x)dx 



2005

2004

f(x)dx .

Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι ξ  ( 2 0 0 2 , 2 0 0 4 ) τ έ το ι ο ώ σ τ ε f ( ξ + 1 ) = f ( ξ ) . Θ.Γ.47.

Δίνεται μια συνάρτηση f συνεχής στο [1 , 3].

Γ 1 . Α ν lim

f  x  3

 

x 1 f x  2

Γ 2 . Α ν f 3 

  ν α υ π ο λο γ ί σ ε τ ε τ ο f ( 1 ) .

ln x x dx , ν α α π ο δ εί ξ ε τ ε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η : f  x   έ χ ε ι x 9 μ ι α τ ο υ λ ά χ ι σ το ν ρ ί ζ α σ τ ο ( 1 , 3 ) . Γ 3 . Α ν ε π ι π λ έ ο ν ι σ χ ύ ε ι : 3  f   x   4 γ ι α κ ά θ ε x  1 , 2  ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι :

1

1  f  2  2 .

Θ.Γ.48. Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f : R  R , δ ύ ο φ ο ρέ ς π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η γ ι α τ η ν οποία ισχύουν: - 103 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

f ΄ ΄ ( x ) > 0 γ ι α κ ά θ ε x  R κ α ι δ ε ν ε ί ν α ι α ν τ ι σ τ ρ έ ψ ι μ η σ τ ο R. Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο. Θ.Γ.49.

Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε D f   0,   κ α ι τ ι μ έ ς σ τ ο R .

x  f  x για κάθε x  0 και η ευθεία (ε) : y = 2x − e x ε φ ά π τ ε τ α ι τ η ς C f σ τ ο σ η μ ε ί ο Μ  x0 , y0  , τ ό τ ε : Α ν f  x 

Γ 1 . Ν α π ρ ο σ δ ιο ρ ί σ ε τ ε τ ο σ η μ ε ί ο Μ . Γ2. Να βρείτε τον τύπο της f . Γ 3 . Α ν f  x   x  ln x , ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τ η μ ο ν ο τ ο ν ί α τ η ς f . Γ 4 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ιμ ώ ν τ η ς f . Γ 5 . Ν α α π ο δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η ln x  λ ύ σ η γ ι α x   0,   .

1  0 δεν έχει πραγματική 2x

Θ.Γ.50. Α . Δ ί ν ε τ α ι σ υ ν ά ρ τ η σ η f δ ύ ο φ ο ρ έ ς π α ρα γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο [ 1 , 7 ] για την οποία ισχύει: f(2) < f(1) < f(7) < f(5). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (1 , 7) τέτοιο, ώστε f ΄΄(ξ) = 0. Β . Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) = x e - ν x , x  R ό π ο υ ν μ η μ ηδ εν ι κ ό ς φυσικός αριθμός. α . Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τη μ ο νο τ ο ν ί α τ η ς f κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ α α κ ρ ό τ α τ α κ α ι τα σημεία καμπής της. 2/ 

β . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : 2  e22 1/  xex dx  e . (Θέμα 4ης

Δ έ σμ η ς 1 9 93 )

Θ.Γ.51. Δίνεται ο μιγαδικός z = ex + (x – 1) i , xR. Γ 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : R e ( z ) > I m ( z ) γι α κ ά θ ε x  R . Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον x0 (0 ,1) τέτοιος, ώστε ο αριθμός w = z2 + z + 2i να είναι πραγματικός. Γ 3 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο μ ι γ α δ ι κ ό z τ ο υ ο π ο ίο υ τ ο μ έ τ ρο ν α γ ί ν ε τ α ι ελάχιστο. Θ.Γ.52.

Δίνεται η συνάρτηση f: R  R , παραγωγίσιμη για την οποία

1 f (x)  f (x) για κάθε xR και f(0) = 0. e 1 x Γ 1 . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : xf (x)  f (x)  για κάθε x >0. 2 ισχύουν:

Γ2. Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α ση τ η ς f , τ ο ν ά ξ ο ν α x ΄ x κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς x = 0 κ α ι x = 2 ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι: Ε > f ( 2 ) .

- 104 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (0 , + ) με

Θ.Γ.53.

e f( 1 ) = 1 κ α ι Γ1. Να κάθε x Γ2. Να Γ3. Nα

f x x2

 f x γ ι α κ ά θ ε x > 0 .

δείξετε ότι η συνάρτηση φ( x) = f(x) e1/x είναι σταθερή για > 0. βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f. υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ ο ε μ β α δ ό ν τ ο υ χω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ εί ε τ α ι α π ό

h x 

τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τα σ η τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς

f x x3

, του άξονα x΄x

και τις ευθείες x = 1 και x = 2. Θ.Γ.54. Έστω f , g δύο συναρτήσεις που ορίζονται στο R με τις ιδιότητες: α ) f ( x 1 + x 2 ) = f ( x 1 ) f ( x 2 ) γ ι α κ ά θ ε x 1 , x 2 R . β ) f ( x ) = 1 + x g ( x ) γ ι α κ ά θ ε x R . γ ) lim g  x   1 . x 0

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R. β. Έστω f(x) = ex. Να εξετάσετε αν η f ικανοποιεί τις ιδιότητες α) και γ). ( N e w Y o r k U n i v e rs i t y )

e x α . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε f x  2 , λ>1 είναι x  2 γνησίως αύξουσα.

Θ.Γ.55.

β. Να δείξετε ότι για κάθε x0 ισχύει: e

x

x  1   , λ > 1 . λ

( Π α ν ε π ι σ τ . Β ου κ ου ρ ε σ τ ί ο υ ) Θ.Γ.56.

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε f x 





1 ln x 2  2x  1 , α   0 , 2π  . 2

Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Να μελετήσετε την f για α = π. ( Π α ν ε π ι σ τ . Β ου κ ου ρ ε σ τ ί ο υ ) Θ.Γ.57.

Α. Nα βρεθεί η παραγωγίσιμη f , τέτοια ώστε για κάθε x R να

ι σ χ ύ ε ι : f ( x ) = 2x 3 +

x u

0 e

f ( x  u )du .

Β. Έστω η f συνεχής στο R. α) Aν α<β να αποδείξετε ότι η g(x) =





f ( x  t )dt ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η .

β ) Α ν ε π ι π λ έο ν η f ε ί ν α ι ά ρ τ ι α ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι ξ  ( α , β ) μ ε f ΄(ξ) = 0. - 105 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η 1 x2

0 e

Γ. Να αποδειχθεί ότι: 2 e 

dx   e1 x dx  1  e . 2

Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής και παραγωγίσιμη στο [1 , + )

Θ.Γ.58.

για την οποία ισχύει f(1) = 1 και 1 < f΄(χ) <

2008 x  1 για κάθε x > 1. 2007

Να δείξετε ότι: χ < f(x) <

x 1

Α . Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς : f(x)  2

Θ.Γ.59.

2008 για κάθε x > 1. 2007

 ln2 κ α ι g(x)  ln  2x  .

Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο ι γρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ει ς τ ω ν σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν τ έ μ ν ο ν τ α ι α κ ρ ι β ώ ς σ ε δ ύ ο σ η μ ε ί α , σ τ α Α ( 1 , l n 2 ) κ α ι Β ( 2 , l n 4) . Β. Έστω η f που είναι συνεχής στο [ -α,α] και ισχύει: f΄(x)1 για κάθε x (-α,α) με α>0. Α ν f ( α ) = α κ α ι f ( - α) = - α ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f ( 0 ) = 0 . Έστω η συνεχής συνάρτηση f :R  R με f (1) = 1. Aν z C και

Θ.Γ.60.

για κάθε x R ισχύει 2

z  5i f (t )dt  

1

z  5i et 1dt  12( x  1) .

Γ 1 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο C τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν το υ z σ τ ο μ ι γ αδ ι κ ό επίπεδο. Γ2. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης h που έχει γραφική π α ρ ά σ τ α σ η τ η ν κ αμ π ύ λ η C . Γ 3 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο Ε ε μ β α δ ό ν τ ο υ χ ω ρ ί ο υ Ω π ο υ π ε ρ ι κλ ε ί ε τ α ι α π ό τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α ση τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς Η ( x ) =

1 h(t )dt ,

τους άξονες x΄x

, y΄y και την ευθεία x = 1. Θ.Γ.61.

Δίνεται η συνεχής στο R συνάρτηση f, για την οποία ισχύουν:

f(x)≠0 για κάθε χR και



f(x) dx  0 , α , β  R .

Γ1. Να δείξετε ότι: α = β. Γ2. Αν zC με z ≠ -1 και

w

1

t

2010



 et dt  0 ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο

z 1 είναι φανταστικός. z 1

Θ.Γ.62. N α π ρ ο σδ ι ο ρ ί σ ε τ ε τ ο ν γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τ ω ν σ η μ ε ί ω ν Μ ό τα ν τ α π α ρ α κ ά τω ό ρ ι α υ π ά ρ χ ο υ ν σ τ ο R . α ) lim

z  i x3  z  1 x  (5 x  5)

x 1 z 1  i x  2x2  8 β ) lim x 1 x2 x 1

- 106 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Γ.63. Έ σ τ ω z 1 , z 2 δ ύ ο μ ι γ α δ ι κ ο ί δ ι ά φ ο ρο ι τ ο υ μ η δ ε νό ς κ α ι ι σ χ ύ ε ι ( z 1 + z 2 ) 2 0 0 1 = ( z 1 - z 2 ) 2 0 0 1 . Θ ε ω ρ ο ύ μ ε τη ν f ( x ) = xz1  z2 , x  R . Nα αποδείξετε ότι: Γ 1 . z1 z2  z1 z2 = 0 . Γ2. η f είναι παραγωγίσιμη στο R Γ 3 . υ π ά ρ χ ε ι x o  ( - 1 , 1 ) τ έ το ι ο ώ σ τ ε f ΄ ( x o ) = 3 x o 2 – 1 . Γ 4 . η f έ χ ε ι ε λ ά χ ι σ τ ο τ ο z2 . Θ.Γ.64. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει: 2 f (x) +2f (x)ημx = x2 + συν2x για κάθε xR και f (0) = 1. Γ1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση: g ( x ) = f ( x ) + η μ x , x  R δ ι α τ η ρ ε ί σ τ α θ ε ρ ό π ρ ό σ ημ ο . Γ2. Να βρείτε τον τύπο της f . Γ 3 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ α ό ρ ι α lim

x 0

f ( x)  1 κ α ι lim f ( x) . x x

Θ.Γ.65. Έ σ τ ω σ υ ν ά ρ τ η σ η f σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο [ 2 , 3 ] , π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το ( 2 , 3 ) κ α ι f ΄ ( x )  0 γ ι α κ ά θ ε x  ( 2 , 3 ) . Ν α δ εί ξ ε τ ε ό τ ι : Γ1. f (2)  f (3) Γ 2 . υ π ά ρ χ ε ι ξ  ( 2 , 3 ) τ έ τ ο ιο ώ σ τ ε : 5f (ξ) = 2f (2) + 3f (3). Γ 3 . υ π ά ρ χ ο υ ν ξ 1 , ξ 2  ( 2 , 3 ) τ έ τ ο ι α ώ σ τ ε: f ΄ ( ξ 1 ) f ΄ ( ξ 2 ) > 0 . Θ.Γ.66. Έ σ τ ω η f : R R π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η γ ι α τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ ο υ ν f ΄ ( x ) = - 4 x 3 e f ( x ) γ ι α κ ά θ ε x R κ α ι f ( 0 ) = - 1 . Γ1. Nα βρείτε τον τύπο της f. Γ2. Nα μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία.  ym

Γ 3 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ ο ο λο κλ ή ρ ω μ α :

 0

1 x 1 2

dx ό π ο υ y m η μ έ γ ι σ τ η

τιμή της f . Θ.Γ.67. Έ σ τ ω η π α ρ α γ ω γ ί σ ιμ η f : R R γ ι α τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ ο υ ν : ( x 2 + x + 1 ) f ΄ ( x ) = e x – ( 2 x + 1 ) f ( x ) γ ι α κ ά θ ε x R κ α ι f ( 0 ) = 1 . Γ1. Nα βρείτε τον τύπο της f. Γ 2 . N α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τ η ν f ω ς π ρ ο ς τ η μ ο ν ο το ν ί α κ α ι τ α α κρ ό τ α τ α . Γ3. Να αποδείξετε ότι ισχύει:

y

0

f (e x  y )dx 

1 1e f ( x)dx ό π ο υ y M e 1

τ ο τ ο π ι κό μ έ γ ι σ τ ο τη ς f .

- 107 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : R  R και η συνάρτηση

Θ.Γ.68.

0  1 x

g(x) =



f (t )dt du  e x  1 , x  R . A ν ι σ χ ύ ε ι g ( x ) ≥ 0 γ ι α κά θ ε x  R ,

να δείξετε ότι : Γ1.

0 f (t )dt  1

Γ2. υπάρχει xo (0,1) τέτοιο ώστε

x0 

0

1   3 f (t )   dt  1 . t 1 

Γ 3 . υ π ά ρ χ ε ι ξ  ( 0 , 1 ) τ έ τ ο ιο ώ σ τ ε f ( ξ ) = 4 ξ - 1 .

Θ.Γ.69.

Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) =

1 x



x tf (t )

dt , x  0 κ α ι η f ε ί ν α ι

συνεχής στο (0,+∞). Γ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη .

1  ln x ,x  0. x β ρ ε ί τ ε τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ιμ ώ ν τ η ς f . β ρ ε ί τ ε τ ι ς α σ ύ μ π τω τ ε ς τ η ς f . β ρ ε ί τ ε τ ο ε μ β α δ ό ν π ο υ π ε ρ ι κ λε ί ε τ α ι α π ό τ η ν C f τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς = e και τον άξονα x΄x.

Γ2. Να αποδείξετε ότι f(x) = Γ3. Να Γ4. Να Γ5. Να x =1, x

Θ.Γ.70. Γ ι α τ η ν σ υ ν ά ρ τ η σ η f ι σ χ ύ ε ι f ΄ ΄ ( x ) = 4e 2 x γ ι α κ ά θ ε x  R . Γ1. Nα δείξετε ότι υπάρχουν C 1 , C2 τέτοια ώστε f(x) = e 2x + C1x + C2. Γ 2 . lim f ( x)  2 κ α ι x 0

Γ3. Να δείξετε Γ4. Να δείξετε Γ5. Nα βρεθεί Γ6. Να βρεθεί x =0 , x = -1 Θ.Γ.71.

lim

x 

f ( x) x

 2 , ν α β ρ ε θ ε ί ο τ ύ π ο ς τ η ς f .

ότι e 2x –2x –1  0 για κάθε xR ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η e 2 x – 2 x = 2 x 2 + 1 έ χ ε ι μ ο να δ ι κ ή ρ ί ζ α η α σ ύ μ π τω τ η τ η ς C f σ τ ο -  , η ε υ θ ε ί α ( ε ) τ ο ε μ β α δ ό ν π ο υ π ε ρ ι κ λε ί ε τ α ι α π ό τ η ν C f , τ η ν ( ε ) , τ η

Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο κ λ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ ημ α [ 0 , 1 ]

κ α ι ι σ χ ύ ε ι f ΄ ( x ) > 0 γ ι α κ ά θ ε x ( 0 , 1 ) . A ν f ( 0 ) = 2 κ α ι f ( 1 ) = 4 , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ότι: α. η ευθεία y=3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σ η μ ε ί ο μ ε τ ε τμ η μ έν η x 0  ( 0 , 1) .

β. υπάρχει x1(0,1), τέτοιο ώστε f(x1)=

1  2  3  4 f   f   f   f   5 5 5 5 4

γ . υ π ά ρ χ ε ι x 2  ( 0 , 1 ) , ώ σ τ ε η ε φ α π το μ έν η τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς - 108 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

τ η ς f σ τ ο σ η μ ε ί ο Μ ( x 2 , f ( x 2 ) ) ν α ε ί ν α ι π α ρ ά λ λ ηλ η σ τ η ν ε υ θ ε ί α y = 2 x + 20 0 0 . Θ έ μ α 3 ο Π α ν ε λ λ ήν ι ε ς 2 00 0 Θ.Γ.72.

Γ ι α μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f , π ο υ ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο σ ύ ν ο λο τ ω ν

π ρ α γ μ ατ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν Ι R , ι σ χ ύ ε ι ό τ ι : f3(x) + β f2(x) + γ f(x) = x3 – 2x2 + 6x –1 για κάθε x ΙR,όπου β, γ π ρ α γ μ ατ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί μ ε β 2 < 3 γ . α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα. β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. γ . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι μ ο ν αδ ι κ ή ρ ί ζ α τ η ς ε ξ ί σ ω σ η ς f ( x ) = 0 σ τ ο ανοικτό διάστημα (0,1). Θ έ μ α 3 ο Π α ν ε λ λ ήν ι ε ς 2 00 1

Θ.Γ.73.

x  α,   Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f (x)    x 1 ln(x  1),  1  e





x 1 x  1, 2

όπου

αΙR.

1  e x 1 α . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο lim . x 1 x 1 β. Να βρείτε το αΙR ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο xo=1. γ . Γ ι α α = - 1 ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι έ ν α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ξ ( 1 , 2 ) τ έ τ ο ιο , ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη προς τον άξονα x΄x. Θέμα 3ο Θ.Γ.74.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 1

Έ σ τ ω ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f , g μ ε π ε δ ί ο ο ρ ισ μ ο ύ τ ο Ι R .

Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεση ς fog είναι 1-1. α. Να δείξετε ότι η g είναι 1-1. β. Να δείξετε ότι η εξίσωση: g(f(x) + x3 - x) = g(f(x) + 2x -1) έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα. Θέμα 3ο

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 2

- 109 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Γ.75.

Δίνεται η συνάρτηση f, ορισμένη στο ΙR , με τύπο:

xz  x z 2

f (x) 

x2  z

ό π ο υ z σ υ γ κ ε κ ρ ι μ έ ν ο ς μ ι γ α δ ι κ ό ς α ρ ιθ μ ό ς z = α + β i , α , β  Ι R , μ ε α0. α . Ν α β ρ ε ί τ ε τ α ό ρ ι α lim f  x  , lim f (x) . x 

x 

β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f, εάν z 1

 z 1 .

γ . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ι μ ώ ν κ α ι τ ο π λ ή θο ς τ ω ν ρ ι ζ ώ ν τη ς f . Θ έ μ α 3 ο Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 2 Θ.Γ.76.

Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) = x 5 +x 3 + x .

α . Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τη ν f ω ς π ρ ο ς τ η ν μ ο ν ο το ν ί α κ α ι τ α κ ο ίλ α κ α ι ν α αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη συνάρτηση. β . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f ( e x ) ≥ f ( 1 +x ) γ ι α κ ά θ ε x  I R . γ . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η ε φ α π τ ο μ έ ν η τ ης γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f σ τ ο σ η μ ε ί ο ( 0 , 0) ε ί ν α ι ο ά ξ ο ν α ς σ υ μ μ ετ ρ ί α ς τ ω ν γ ρ α φ ι κ ώ ν π α ρ α σ τ ά σ ε ω ν τ η ς f κ α ι τ η ς f 1 . δ . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ε μ β αδ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α ση τ η ς f – 1 , τ ο ν ά ξ ο ν α τ ω ν x κ α ι τ η ν ε υ θ ε ί α μ ε εξίσωση x=3. Θέμα 3ο

Θ.Γ.77.

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 3

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f(x) = x 2  1 - x .

α. Να αποδείξετε ότι

lim f(x)  0 .

x 

β . Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν π λ ά γ ι α α σ ύ μ π τω τ η τη ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f , ό τ α ν τ ο x τ ε ί ν ε ι σ τ ο - . γ . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f ΄ (x)  δ. Να αποδείξετε ότι: Θέμα 3ο Θ.Γ.78.



x 2  1  f(x)  0 .

1 0

x  1 2

dx  ln





2  1

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 3

Δίνεται

συνάρτηση

g ( x ) =e x f ( x ) , ό π ο υ f σ υ ν ά ρ τ η σ η

π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το I R κ α ι f ( 0 ) = f (

3 ) = 0. 2 - 110 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈(0,

3 ) τ έ το ι ο ώ σ τ ε 2

f΄(ξ)=−f(ξ). β . Ε ά ν f ( x ) = 2x 2 − 3x , ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λ ο κ λ ή ρω μ α Ι( α ) =



0 α

g(x)dx ,

α∈IR. γ . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ό ρ ι ο lim Ι(α) . α 

Θ έ μ α 3 ο Π α ν ε λ λ ήν ι ε ς 2 00 4 Θ.Γ.79.

Δ ί ν ε τ α ι μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f : [ α , β ] → I R σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α

[α, β] µε f(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ [α, β] και μιγαδικός αριθμός z µε R e ( z ) ≠ 0 , Ι m ( z ) ≠ 0 κ α ι R e ( z)  > I m ( z ) . Αν z 

1 1  f (α) κ α ι z 2  2  f 2 (β) , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z z

α. z= 1 . β. f2(β) < f2(α). γ. η εξίσωση x3f(α) + f(β) = 0 έχει τουλάχιστον µία ρίζα στο διάστημα (–1, 1). Θέμα 3ο Θ.Γ.80.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 4

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = eλχ, λ > 0.

α. Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα . β . Δ ε ί ξ τ ε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π το μ έ ν η ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f , η ο π ο ί α δ ι έ ρχ ε τ α ι α π ό τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α ξ ό νω ν , ε ί ν α ι η y = λ e x . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ. γ . Δ ε ί ξ τ ε ό τ ι τ ο ε μ βα δ ό ν Ε( λ) τ ο υ χ ω ρ ίο υ , τ ο ο π ο ίο π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι μ ε τ α ξ ύ τ η ς γ ρ α φ ι κή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f , τ η ς ε φ α π το μ έ ν ης τ η ς σ τ ο σ η μ ε ί ο Μ κ α ι τ ο υ άξ ο ν α y΄ y , ε ί ν α ι Ε ( λ ) = δ. Υπολογίστε το

lim

λ  

λ 2  Ε(λ) 2  ημλ

e2 . 2λ

Θ έ μ α 3 ο Π α ν ε λ λ ήν ι ε ς 2 00 5 Θ.Γ.81.

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f , η ο π ο ί α ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το I R μ ε

f΄(x)≠0 για κάθε x ∈ IR . - 111 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

α. Να δείξετε ότι η f είναι “1 -1”. β . Α ν η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η C f τ η ς f δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό τ α ση μ ε ί α





Α ( 1 , 2 0 05 ) κ α ι Β ( - 2, 1 ) , ν α λ ύ σ ε τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η f 1 -2004  f(x 2  8)  2 . γ. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ τη ς C , στο f

ο π ο ί ο η ε φ απ το μ έ νη τ η ς C ε ί ν α ι κ ά θ ε τ η σ τ η ν ε υ θ ε ί α ( ε ) : f

y

1 x  2005 . 668

Θέμα 3ο

Θ.Γ.82.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 5

Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι μ ι γ α δ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί z1 ,z 2 ,z3 μ ε z1  z 2  z3  1 κ α ι

z1  z 2  z3  0 . α. Να αποδείξετε ότι: i . z1  z 2  z3  z1  z 2  z3 . i i . z1  z 2  4 κ α ι Re(z1 z 2 )  1 . 2

β . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν z1 ,z 2 ,z3 σ τ ο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν. Θέμα 3ο Θ.Γ.83.

Πανελλήνιες 2006

Έ σ τ ω ο ι μ ι γ αδ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί z , π ο υ ι κ αν ο π ο ι ο ύ ν τ η ν ι σ ό τ ητ α 2

( 4 – z ) 1 0 = z 1 0 κ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε τ ύ π ο f ( x ) = x +x + α , α ∈ I R . α. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν στην ευθεία x=2. β . Α ν η ε φ α π τ ο μ έ νη ( ε ) τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f σ τ ο σ η μ ε ί ο το μ ή ς τη ς μ ε τ η ν ε υ θ ε ί α x = 2 τ έ μ ν ε ι τ ο ν ά ξ ο ν α y ΄ y σ το yο=–3, τότε i. να βρείτε το α και την εξίσωση της εφαπτομένης (ε). i i . ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ε μ β αδ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι μ ε τ α ξ ύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, της εφαπτομένης (ε), τ ο υ ά ξ ο ν α x ΄ x κ α ι τη ς ε υ θ ε ί α ς x 

3 . 5

- 112 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θέμα 3ο

Θ.Γ.84.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 6 x

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) = e − e l nx , x > 0 .

α. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (1, +∞). β. Να αποδειχθεί ότι ισχύει f(x) ≥ e για κάθε x > 0. x2  2

γ. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση



x2  2

f(t)dt =

x 2 1



x2 3

f(t)dt   f(t)dt έ χ ε ι α κ ρ ι β ώ ς 2

μ ί α ρ ί ζ α σ τ ο δ ι ά σ τη μ α ( 0 , + ∞ ) . Θέμα 3ο

Θ.Γ.85.

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 7

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) = x 3 – 3 x – 2η μ 2 θ ό π ο υ θ  I R μ ι α

σ τ α θ ε ρ ά μ ε θ  κπ +

π ,κ ∈ Z. 2

α . Ν α α π ο δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι η f π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι έ ν α τ ο π ι κό μ έ γ ι σ τ ο , έ ν α τ ο π ι κό ε λ ά χ ι σ τ ο κ αι έ ν α σ η μ ε ί ο κ α μ π ή ς . β. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς τρεις π ρ α γ μ ατ ι κ έ ς ρ ί ζ ε ς . γ . Α ν x 1 , x 2 ε ί ν α ι ο ι θ έ σ ε ι ς τ ω ν τ ο π ι κώ ν α κ ρ ο τ ά τω ν κ α ι x 3 η θ έ σ η τ ο υ σ η μ ε ί ο υ κ α μ π ής τ η ς f , ν α α π ο δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι τ α σ η μ ε ί α Α ( x 1 , f ( x 1 ) ) , B(x2, f(x2)) και Γ(x3, f(x3)) βρίσκονται στην ευθεία y = –2x –2ημ2θ. δ . Ν α υ π ο λ ο γ ι σ θ ε ί τ ο ε μ β αδ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α ση τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f κ α ι τ η ν ε υ θ ε ί α y = –2x –2ημ2θ. Θέμα 3ο

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 7

Θ.Γ.86. Έ σ τ ω η π α ρ α γ ω γ ί σ ιμ η σ υ ν ά ρ τ η σ η f : R  R μ ε f ( x )  0 γ ι α κ ά θ ε x  R , η C f τ έ μ ν ε ι τ ο ν θ ε τ ι κ ό η μ ιά ξ ο ν α Ο y κ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η g(x) =

1

f (t ) f ( x)

dt .

α) Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g. β) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cg στο σημείο που η Cg τέμνει τον άξονα x΄x. γ) Αν ισχύει f ΄(x) < 0 για κάθε x R να δείξετε ότι

- 113 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

f ( x)   f (t )dt  xf ( x) γ ι α κ ά θ ε x  R . 1 Θ.Γ.87.

 x ln x, x  0 . x 0 0,

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f (x)  

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0. β . Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε ω ς π ρ ο ς τ η μ ο νο το ν ί α τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η f κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ιμ ώ ν τ η ς . γ . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο π λ ή θ ο ς τ ω ν δ ι αφ ο ρ ε τ ι κ ώ ν θ ε τ ι κ ώ ν ρ ι ζ ώ ν τ η ς α

εξ ίσω σης x  ex για ό λ ες τις π ραγμ ατικές τιμ ές το υ α. δ . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ι σ χ ύ ε ι f ΄ ( x + 1 ) > f ( x + 1) − f ( x ) , γ ι α κ ά θ ε x > 0 . Θ έ μ α 3 ο Π α ν ε λ λ ήν ι ε ς 2 0 0 8 Θ.Γ.88.

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) =x 2 – 2 l nx , x > 0 .

α. Να αποδείξετε ότι ισχύει: f(x)≥1 για κάθε x>0. β . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ι ς α σ ύ μ π τω τ ε ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς συνάρτησης f.

 ln x  f(x)  γ . Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η g(x)     k

x0

x0

i. Να βρείτε την τιμή του k έτσι ώστε η g να είναι συνεχής.

1 2

ii. Αν k   , τότε να αποδείξετε ότι η g έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α ( 0 ,e ) . Θέμα 3ο

Θ.Γ.89.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 8

∆ίνεται η συνάρτηση

f (x)  αx  ln(x  1),

x > -1 Ό π ο υ α > 0 κ α ι

α  1. A . Α ν ι σ χ ύ ε ι f (x)  1 γ ι α κ ά θ ε x > - 1 ν α α π ο δ εί ξ ε τ ε ό τ ι α = e . Β. Για α = e, α . ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι κ υ ρ τ ή . β . ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς φ θ ί ν ο υ σ α σ τ ο διάστημα

 1,0

και γνησίως αύξουσα στο διάστημα

0,  . - 114 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

γ . α ν β , γ ∈  1, 0    0 ,   , ν α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η

f (β)  1 f (γ)  1   0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1, 2). x 1 x2 Θέμα 3ο

Θ.Γ.90.

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 9 2

∆ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) = l n [ ( λ + 1) x +x + 1 ] - l n ( x +2 ) , x > – 1

όπου λ ένας πραγματικός αριθμός με λ -1. Α . Ν α π ρ ο σ δ ιο ρ ί σ ε τ ε τ η ν τ ι μ ή τ ο υ λ , ώ σ τ ε ν α υ π ά ρ χ ε ι τ ο ό ρ ι ο

lim f ( x κ ) αι να είναι πραγματικός αριθμός.

x  

Β. Έστω ότι λ = -1 α . Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε ω ς π ρ ο ς τ η μ ο νο το ν ί α τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η f κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ιμ ώ ν τ η ς . β . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ι ς α σ ύ μ π τω τ ε ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς συνάρτησης f 2

γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) + α = 0 έχει μοναδική λύση για κ ά θ ε π ρ α γ μ ατ ι κ ό αρ ι θ μ ό α μ ε α  0 . Θ έ μ α 3 ο Ε π α ν α λ η π τ ι κ έ ς 2 00 9

Θ.Γ.91.

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) = 2x + l n ( x 2 + 1 ) , x 

Γ1. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτησ η f.

  3x  2 2  1 Γ 2 . Ν α λ ύ σ ε τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η : 2  x  3x  2   ln  . 4  x  1  2

Γ 3 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι η f έ χ ε ι δ ύ ο σ η μ ε ί α κ α μ π ή ς κ α ι ό τ ι ο ι ε φ α π τ ό μ ε ν ε ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α ση ς τ η ς f σ τ α σ η μ ε ί α κ α μ π ή ς τ η ς τ έ μ ν ο ν τ α ι σ ε σ η μ ε ί ο τ ο υ άξ ο ν α ψ ΄ ψ . 1

Γ 4 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ ο ο λο κλ ή ρ ω μ α

 xf (x)dx .

1

Θέμα 3ο Θ.Γ.92.

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 01 0

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) = ( x – 2 ) l nx + x – 3 , x > 0

Γ 1 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ι ς α σ ύ μ π τω τ ε ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς συνάρτησης f. Γ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο - 115 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

δ ι ά σ τ η μ α ( 0 , 1 ] κ α ι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α [ 1 , + ∞ ) . Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο ακριβώς θετικές ρίζες. Γ4. Αν x1, x2 είναι οι ρίζες του ερωτήματος Γ3 με x1 < x2, να α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π άρ χ ε ι μ ο ν α δ ι κ ό ς α ρ ιθ μ ό ς ξ  ( x 1 , x 2 ) τ έτο ι ο ς , ώ σ τ ε ξ ⋅ f ΄ ( ξ ) – f ( ξ ) = 0 κ α ι ό τ ι η ε φ α π το μ έ ν η τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς συνάρτησης f στο σημείο Μ(ξ, f(ξ)) διέρχεται από την αρχή των α ξ ό νω ν . Θέμα 3ο Θ.Γ.93.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 01 0

∆ίνεται η συνάρτηση f : R → R , δύο φορές παραγωγίσιμη

στο R, με

f΄(0)=f(0)=0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση :

ex  f   x   f   x   1  f   x   xf   x  γ ι α

κάθε x ∈ R.



Γ 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : f  x   ln e x  x



x ∈ R.

Γ 2 . Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ω ς π ρ ο ς τ η μ ο νο το ν ί α κ α ι τ α α κ ρ ό τ ατ α . Γ 3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο

σημεία καμπής.





Γ 4 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η ln ex  x  συνx έ χ ε ι α κ ρ ι β ώ ς μ ί α

 

π 2

λ ύ σ η σ τ ο δ ι ά σ τ η μ α  0,  . Θέμα 3ο

Θ.Γ.94.

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 01 1

Έ ν α κ ι ν η τ ό Μ κ ι ν ε ί τ α ι κ α τ ά μ ή κο ς τ η ς κ α μ π ύ λ η ς

y = x , x≥0.

Έ ν α ς π α ρ α τ η ρ η τ ή ς β ρ ί σ κ ε τ α ι σ τ η θ έ σ η Π ( 0 , 1 ) ε ν ό ς σ υ σ τ ή μ α το ς συντεταγμένων Οxy και παρατηρεί το κινητό από την αρχή Ο, όπως φ α ί ν ε τ α ι σ τ ο π α ρ ακ ά τ ω σ χ ή μ α .

- 116 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Δ ί ν ε τ α ι ό τ ι ο ρ υ θ μ ό ς μ ε τ α β ο λ ή ς τ η ς τ ετ μ ημ έ ν η ς τ ο υ κ ι ν η τ ο ύ γ ι α κ ά θ ε χ ρ ο ν ι κ ή σ τ ι γ μ ή t , t ≥ 0 ε ί ν α ι x ΄ ( t) = 1 6 m / m i n . Γ 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η τ ε τ μ ημ έ ν η τ ο υ κ ι ν η τ ο ύ , γ ι α κ ά θ ε χ ρ ο ν ι κ ή σ τ ι γ μ ή t , t ≥ 0 δ ί ν ε τα ι α π ό τ ο ν τ ύπ ο : x ( t ) = 1 6 t . Γ 2 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι τ ο σ η μ ε ίο τ η ς κ α μ π ύλ η ς μ έ χ ρ ι τ ο ο π ο ί ο ο παρατηρητής έχει οπτική επαφή με το κινητό είναι το Α(4, 2 ) και, σ τ η σ υ ν έ χ ε ι α , ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε π ό σ ο χρ ό ν ο δ ι α ρ κ ε ί η ο π τι κ ή ε π α φ ή . Γ 3 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ ο ε μ β α δ ό ν τ ο υ χω ρ ί ο υ Ω π ο υ δ ι α γ ρ ά φ ε ι η ο π τ ι κ ή α κτ ί ν α Π Μ τ ο υ π α ρ α τ η ρ ητ ή α π ό τ ο σ η μ ε ίο Ο μ έ χ ρι τ ο σημείο Α.

 

1 4

Γ 4 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι χ ρ ο ν ι κ ή σ τ ι γ μ ή t 0 ∈  0,  κ α τ ά τ η ν ο π ο ί α η α π ό στ α σ η d = ( ΠΜ ) το υ π α ρ α τ ηρ η τ ή α π ό το κ ι ν η τ ό γ ί ν ε τ α ι ελάχιστη. Ν α θ ε ω ρ ή σ ε τ ε ό τ ι το κ ι ν η τ ό Μ κ α ι ο π α ρ α τ η ρ η τ ή ς Π ε ί ν α ι σ η μ ε ί α τ ο υ σ υ σ τ ή μ α το ς σ υ ν τ ε τ α γ μ έ ν ω ν Ο x y . Θέμα 3ο

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 01 1

Θ.Γ.95. Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x ) = ( x - 1 ) ℓ nx - 1 , x > 0 . Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ1=(0,1] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ 2=[1,+∞). Σ τ η σ υ ν έ χ ε ι α ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ιμ ώ ν τ η ς f . Γ 2 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η xx-1  e2013 , x > 0 έ χ ε ι α κ ρ ι β ώ ς δ ύ ο θετικές ρίζες. Γ 3 . Α ν x 1 , x 2 μ ε x 1 < x 2 ε ί ν α ι ο ι ρ ί ζ ε ς τ η ς ε ξ ί σ ω σ η ς τ ο υ ε ρ ω τ ήμ α το ς Γ 2 , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι x 0 ∈ ( x 1 , x 2 ) τ έ τ ο ι ο , ώ στ ε f ΄ ( x 0 ) + f ( x 0 ) = 2 0 12 . Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α ση τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς g ( x ) = f ( x ) + 1 μ ε x > 0 , τ ο ν άξονα x΄x και την ευθεία x=e. - 117 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θέμα 3ο Θ.Γ.96.

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 01 2

Έστω η συνεχής συνάρτηση f: ℝ→ℝ, για την οποία ισχύει:

xf(x)+1= ex, για κάθε x∈ℝ.

 e x 1  , x0 Γ 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f(x)=  x 1 , x =0 Γ2. Να αποδείξετε ότι oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f –1 και να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Γ 3 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π το μ έ ν η ς τ η ς γ ρ α φ ι κή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f σ τ ο σ η μ ε ί ο Α ( 0 , f ( 0) ) . Σ τ η σ υ ν έ χ ε ι α , α ν ε ί ν α ι γ ν ω σ τ ό ό τ ι η f ε ί ν α ι κ υ ρ τ ή , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η 2 f ( x ) =x + 2 , x∈ℝ έχει ακριβώς μία λύση. Γ 4 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο lim  x( nx) n  f(x) . x0

Θέμα 3ο Θ.Γ.97.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 01 2

Θ ε ω ρο ύ μ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η z 2 – 6 z + γ = 0 μ ε γ ∈ ℝ , η ο π ο ί α έ χ ε ι ρ ί ζ ε ς

τ ο υ ς μ ι γ α δ ι κο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z 1 , z 2 μ ε I m ( z 1 ) > 0 κ α ι | z 1 | = 5 . Γ1. Να αποδείξετε ότι γ=25. Γ 2 . Α ν γ = 2 5 , ν α β ρ ε ί τ ε τ ι ς ρ ί ζ ε ς τ η ς π α ρ α π ά ν ω εξ ί σ ω σ η ς . Γ 3 . Α ν γ ι α τ ο ν μ ι γ α δ ι κ ό α ρ ι θμ ό w ι σχ ύ ε ι | w – z 1 | = | w – z 2 | , ν α αποδείξετε ότι w∈ℝ. Γ 4 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ η ν τ ι μ ή τ η ς π α ρ ά σ τ α σ η ς : ( z 1 – 2 – 3 i ) 8 + ( z 2 – 4 +5 i ) 8 . Θ.Γ.98.

Θ ε ω ρο ύ μ ε τ ι ς σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f , g : R



R, με f παραγωγίσιμη

τέτοιες ώστε: •

(f (x) + x) (f′ (x) + 1) = x , για κάθε x

•

f (0) = 1 και

•

g (x) =

3x 2 2

R

– 1

Γ1. Να αποδείξετε ότι: f (x) =

x2  1

− x , x

R

Γ 2 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο π λ ή θ ο ς τω ν π ρ α γ μ α τι κ ώ ν ρ ι ζ ώ ν τ η ς ε ξ ί σ ω σ η ς f (g(x)) = 1 - 118 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Γ 3 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι τ ο υ λ ά χι σ τ ο ν έ ν α x

ώστε:

x  π f (t)dt o

= f (x0 −

ΘΕΜΑ 3ο

π ) 4

( 0 ,

π ) 4

τέτοιο,

εφx0

Π α ν ε λ λή ν ι ε ς 2 01 3

Θ.Γ.99. Έ σ τ ω η π α ρ α γ ω γ ί σ ιμ η σ υ ν ά ρ τ η σ η f : ℝ ⟶ ℝ γ ι α τ η ν ο π ο ί α ισχύουν: ● 2 x f ( x ) + x 2 ( f ′ ( x ) - 3 ) = - f ′ ( x ) γ ι α κ ά θε x ∈ ℝ ● f(1)=

1 2

Γ 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f(x) 

x3 , x∈ℝ και στη συνέχεια ότι η x2  1

συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ. Γ 2 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ι ς α σ ύ μ π τω τ ε ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς συνάρτησης f του ερωτήματος Γ1. Γ 3 . Ν α λ ύ σ ε τ ε σ τ ο σ ύ ν ο λ ο τω ν π ρ α γμ ατ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν τ η ν α ν ί σ ω σ η :

f 5(x2  1)3  8  f 8(x2  1)2  .

Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ∈(0, 1) τέτοιο, ώστε:

ξ3 -ξ

0

ΘΕΜΑ 3ο Θ . Γ . 1 00 .

f(t)dt  ξ(3ξ2  1)f(ξ3  ξ) . Ε π αν α λη π τ ι κ έ ς 2 01 3

α,β μ ε 0  α  β w  f  α   i  f β  μ ε f  β   0 .

Δίνονται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο

μ ι γ α δ ι κο ί α ρ ι θ μ ο ί z  α  βi κ α ι

και οι

Α. Να αποδείξετε ότι: 1 β  i z α . Ο α ρ ι θ μ ό ς z1  ε ί ν α ι π ρ α γ μ α τ ι κ ό ς α ν κα ι μ ό ν ο α ν f  α   α . 1  f β   i  w β . Α ν z   i w τ ό τ ε ο ι ε ι κ ό νε ς τ ω ν z , w σ τ ο μ ι γ α δ ι κ ό ε π ίπ ε δ ο κ α ι η α ρ χ ή 0 τ ω ν α ξ ό ν ω ν , ε ί ν α ι κ ο ρ υ φ έ ς ο ρ θο γ ω ν ίο υ κ α ι ι σ ο σ κ ε λ ο ύ ς τ ρ ι γ ώ ν ο υ . Β . Έ σ τ ω ό τ ι ι σ χ ύ ε ι z  i w  z  i w . Ν α α π ο δ ε ίξ ε τ ε ό τ ι: 2

α . α  f β   β  f  α   0 . β. Οι εικόνες των z, w και η αρχή 0 είναι συνευθειακά σημεία. γ . Υ π ά ρ χ ε ι έ ν α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν x 0   α,β  τ έ τ ο ι ο ώ στ ε , η ε φ α π τ ο μ έ ν η τη ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ ασ η ς τ η ς f σ τ ο σ η μ ε ί ο  ( x0 , f  x0 ) ν α δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό τ ο σ η μ ε ί ο 0  0, 0  . Θέμα 3ο

ΟΕΦΕ 2003

- 119 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ . Γ . 1 01 .

Γ ι α κ ά θ ε x  ο ρ ί ζ ο υμ ε τ η ν σ υ ν ά ρ τ η σ η g  x   

κ α ι τ ο ν μ ι γ α δ ι κό z  g  x   x i μ ε z  i  z  1 .

2 dt, α  0 α  et

Α. Να αποδείξετε, ότι i) η g αντιστρέφεται και 1

i i ) ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ο υ z α ν ή κ ο υ ν σ τ η ν γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ ης g . Β. Να αποδείξετε, ότι: α . Re  z   Im  z  , γ ι α κ ά θ ε x  . β.  1. 2 1 1 1 1 1 .  dt  dt  2 t t   0 0 1 e αe αe 1 e Θέμα 3ο ΟΕΦΕ 2004

γ.

Θ . Γ . 1 02 .

Η συνάρτηση f:RR είναι συνεχής και για κάθε xR ισχύει 1

2tf(t)dt 1  3α  f(x)  ex 2

Γ1.

, ό π ο υ α  R - { 0} . Ν α α π ο δ ε ί ξ ετε ό τ ι :

2  i . Η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η μ ε f (x)  2xf (x) γ ι α κ ά θ ε x  R .

ii.

f(x) 

1 x  3α2 γ ι α κ ά θ ε χ  R . 2

ο λο κ λ η ρώ μ α το ς 

tf(t)dt

0 Γ 2 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ετε ό τ ι η τ ι μ ή τ ο υ είναι α ν ε ξ ά ρ τ η τ η το υ α . Γ 3 . Ν α μ ελ ε τ ή σ ε τ ε κ α ι ν α π α ρ α σ τ ή σ ε τ ε γ ρ α φ ι κ ά τ η ν f . Γ 4 . Α ν Ε ε ί ν α ι τ ο ε μ β α δ ό το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ ο ρ ί ζ ε τ α ι α π ό το υ ς άξονες, τη γραφική παράσταση της f και την ευθεία x = α, να

1 1 E 4α 3α

αποδείξετε ότι: Θέμα 3ο ΟΕΦΕ 2005 Θ . Γ . 1 03 .

x Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f  x   e  a x 1 ό π ο υ   1 .

α ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π το μ έ ν η ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f σ τ ο σ η μ ε ί ο 0, f  0  .





β) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο το οποίο είναι αρνητικό. γ ) Έ σ τ ω    τ ο ε μ β α δ ό ν τ ο υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τη γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α ση τ η ς f , τ η ν ε φ α π τ ο μ έ ν η τ η ς σ τ ο

 0, f  0

και την

ε υ θ ε ί α x  a  1. a i . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τι : E  a   e 

i i . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο lim E  a  .

a2  a 1 . 2

a 

- 120 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θέμα 3ο Θ . Γ . 1 04 .

ΟΕΦΕ 2006

Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι μ ι γ α δ ι κο ί z, w μ ε z  w  0 γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ε ι :

zw  zw . Να αποδείξετε ότι: α ) Re z  w  0 .





β) Ο αριθμός

z είναι φανταστικός. w

γ ) Το τ ρ ί γ ω ν ο μ ε κ ο ρ υ φ έ ς τ ι ς ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν z, w σ τ ο μ ι γ αδ ι κ ό επ ί π ε δ ο κ α ι τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α ξ ό νω ν , ε ί ν α ι ο ρ θ ο γ ώ ν ι ο σ τ ο 0 . δ ) Α ν η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο  ,   μ ε 0     κ α ι

z  a  i  f a , w  f      i τ ό τ ε η ε ξ ί σ ω σ η x  f ' x  f  x έ χ ε ι μ ι α τουλάχιστον λύση στο Θέμα 3ο Θ . Γ . 1 05 .

 ,   .

ΟΕΦΕ 2007

x Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε f  x   e1e , x  .

α . i ) Ν α τ η ν μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε ω ς π ρ ο ς τ η ν μ ο νο το ν ί α . x i i ) Ν α α π ο δ ε ίξ ε τ ε ό τ ι f ''  x   e x 1  e1 xe , ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τ η ν f ω ς





π ρ ο ς τ η ν κ υ ρ τ ό τ ητα κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ η μ ε ί ο κ α μ π ή ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς παράστασης. β . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ι ς ο ρ ι ζ ό ν τ ι ε ς α σ ύ μ π τ ω τ ες τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς της f. γ. Να παραστήσετε γραφικά την f. δ . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ε μ β α δ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ ο ρ ί ζ ε τ α ι α π ό τη ν γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς f '  x  , τ ο υ ς ά ξ ο ν ε ς x ' x, y ' y κ α ι τ η ν ε υ θ ε ί α x  ln Θέμα 3ο Θ . Γ . 1 06 .

1 . 2

ΟΕΦΕ 2008

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f  x   x  2  2ln x .

Α . Ν α μ ε λ ε τ η θ ε ί ω ς π ρ ο ς τ η ν μ ο νο το ν ί α κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ α δ ι α σ τ ή μ ατ α στα οποία είναι κυρτή ή κοίλη. Β . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ι μ ώ ν κ α ι τ ο π λ ή θο ς τ ω ν ρ ι ζ ώ ν τη ς f . Γ . Α ν g  x 

x  ln x ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι x0  0 ώ σ τ ε : g  x   g  x0  γ ι α x2

κάθε x  0 . Δ . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι γ ι α κ ά θ ε x  2 ι σ χ ύ ε ι : f  x  2   2 f  x  1  f  x  4  . Θέμα 3ο Θ . Γ . 1 07 .

ΟΕΦΕ 2009

Έ σ τ ω η π α ρ α γ ω γ ί σ ιμ η σ υ ν ά ρ τ η σ η f : (0, ) 

τέτοια, ώστε

x 1 κ α ι f (1)  0 . e f ( x ) 1 x α ) Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η g ( x ) e  x ε ί ν α ι 1 - 1 . γ ι α κ ά θ ε x  0 ι σ χ ύ ο υ ν x  f ΄ ( x) 

- 121 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

β ) Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f ( x )  ln x γ ι α κ ά θ ε x > 0 .

f ( x)  1 ω ς π ρ ο ς τ η ν μ ο νο το ν ί α x

γ ) Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τη σ υ ν ά ρ τ η σ η h( x )  κ α ι ν α β ρ ε θ ε ί τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ιμ ώ ν τ η ς .

 x

  x    e 

δ) Να λύσετε την εξίσωση 

 x

  x    e 



   x   0,  . 2 



ε ) Ν α ε ξ ε τ α σ θ ε ί η h ω ς π ρ ο ς κ υ ρ τ ό τ ητ α κ α ι ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι κ ά θ ε x1 ,x 2 μ ε x 2 x1  0 ι σ χ ύ ε ι Θέμα 3ο

h(x 2 )  h(x 1) 1  5 . x 2 x 1 2e

ΟΕΦΕ 2010

Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : R  R για την οποία ισχύει:

Θ . Γ . 1 08 .

f  x   f  x   1 , γ ι α κ ά θ ε x  R . α. Να αποδείξετε ότι:

 2 1   κ α ι f  0   f 1  1 2   2

i. f  

i i . Υ π ά ρ χ ε ι x0  0, 1 τ έ τ ο ι ο , ώ σ τ ε : f  x0   x0  1 β . Έ σ τ ω , ε π ι π λ έο ν , ό τ ι η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η κ α ι f  x   2 x  κ ά θ ε x R .

1 , για 2

 2  κ α ι ν α γ ρ ά ψ ε τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς 2  

i . Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν f ' 

ε φ α π τ ο μ έ ν η ς τ η ς C f σ τ ο σ η μ ε ί ο τ η ς μ ε τ ε τ μ ημ έ ν η ii. Να υπολογίσετε το όριο: Θέμα 3ο Θ . Γ . 1 09 .

x 0

f 1  f  x  .  x

2 . 2

ΟΕΦΕ 2011

x Δ ί ν ε τ α ι ο μ ι γ α δ ι κ ό ς z  e   x  1 i, x   .

α ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : Re  z   Im  z  γ ι α κ ά θ ε x   . β ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι έ ν α ς τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν x 0   0, 1 τ έ τ ο ι ο ς ώ σ τ ε ο α ρ ι θ μ ό ς w  z  z  2i ν α ε ί ν α ι π ρ α γ μ α τ ι κ ό ς . γ ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο μ ι γ α δ ι κ ό z το υ ο π ο ί ο υ τ ο μ έ τ ρο ν α γ ί ν ε τ α ι ε λ ά χ ι σ τ ο . Θέμα 3ο ΟΕΦΕ 2012 2

Θ . Γ . 1 10 .

 x  Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f(x)   ex  1  lnα

, αν x  0

, αν x  0

Γ1. Βρείτε τον α(0 , +) ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη και δείξτε - 122 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

1 2

ό τ ι f (0)   . Γ2.

α . Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τη ν f ω ς π ρ ο ς τ η μ ο ν ο τ ο ν ί α . β . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ ύ ν ο λο τ ι μ ώ ν τ η ς κ α ι τ ι ς α σ ύ μ π τ ω τ ε ς τ ης γραφικής της παράστασης , εφόσον υπάρχουν. Γ 3 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η 2x 



1 1 έ χ ε ι μ ο ν αδ ι κ ή dt  f(t)  1 2013

ρίζα στο (0 , 1). Θέμα 3ο ΟΕΦΕ 2013

- 123 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

- 124 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

ΘΕΜΑ Δ

- 125 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

- 126 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Δ.1.

Έ σ τ ω σ υ ν ά ρ τ η σ η f : R R σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο R γ ι α τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ ε ι

ότι f x 

10 0 1  3f 2  t  dt , γ ι α κ ά θ ε x R . x

Δ1. Να αποδείξετε ότι

f 3  x   f  x   10x

γ ι α κ ά θ ε x R κ α ι ό τ ι τ ο

σ ύ ν ο λ ο τ ιμ ώ ν τ η ς f ε ί ν α ι τ ο R . Δ 2 . Ν α β ρ ε θ ε ί η ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π το μ έ ν η ς τ η ς C f σ τ ο σ η μ ε ί ο τ η ς M(0 , f(0)). Δ 3 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ ο

0 1  3f  t  dt . 2

Δ 4 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι x 0 ( 0 , 1 ) τ έ τ ο ι ο ώ σ τ ε f ΄ ( x 0 ) = 4 x 0 . Δ 5 . Ν α μ ε λ ε τ ηθ ε ί η f ω ς π ρ ο ς τ η μ ο νο τ ο ν ί α κ α ι ν α β ρ ε θ ε ί τ ο π ρ ό σ ημ ό τ η ς . Δ 6 . Ν α μ ε λ ε τ ηθ ε ί η f ω ς π ρ ο ς τ α κ ο ί λα κ α ι ν α β ρ ε θ ε ί α ν υ π ά ρ χ ε ι τ ο σημείο καμπής της Cf. Δ7. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η f-1. Δ 8 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι γ ι α κ ά θ ε x R ι σ χ ύ ε ι

Θ.Δ.2. Θ.Δ.3.

Να δείξετε ότι για κάθε x > 0 , ισχύει:

0 f  t  dt  5x x/e

0

ln x t 2 e dt . 0

et dt   2

Δίνεται η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f για την οποία ισχύει :

f ΄ (x) = x 2 1 , γ ι α κ ά θ ε x  R μ ε f ( 0 ) = 3 . x e

Δ1. Να δείξετε ότι : f( 1988 ) < f( 2006 ). Δ 2 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι ξ  ( 0 , 2 0 0 6 ) τ έ το ι ο , ώ σ τ ε : f 1821  2f 1940   3f  2006  f ξ   . 6 Δ3. Να βρείτε τον τύπο της f. Δ4. Να δείξετε ότι η ευθεία y = 4 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ ε έ ν α α κ ρ ι β ώ ς σ η μ ε ί ο μ ε τ ε τμ η μ έ νη x 0  ( 0 , 1 ) . Δ 5 . Ν α λ υ θ ε ί η ε ξ ί σ ω σ η : f ( l nx ) = f ( - 2x + 2 ) γ ι α x > 0 .



Δ 6 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : f 1  e x  x 

 

Θ.Δ.4.

 x2  2  0 , x > 0 .  2 

Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f ΄΄ (x) > f ΄(x) για κάθε x  0. Α ν f ( 0 ) = f ΄ ( 0 ) = 0 κ α ι h ( x ) = f ( x ) e - x , ν α α π ο δ ε ίξ ε τ ε ό τ ι : Δ1. Η h είναι γνησίως αύξουσα. Δ2. Η f 2 είναι κυρτή. Δ3. x f (x) > 0 για κάθε x > 0. - 127 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Δ4. Θ.Δ.5.

0 f(x)dx  f(7) .

Δίνεται η συνάρτηση f : [α , β]  R παραγωγίσιμη και γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α [ α , β ] . Ν α α π ο δ ε ίξ ε τ ε ό τ ι: β

f(β) 1 f (x)dx . f(α)

Δ1.

α

Δ2.



Δ3.

1 2 1 1 e x dx  1 e  dx  1 ln x e





xf ΄(x)dx  

f ( x)dx  

f ( ) f (α)



f 1( x)dx   f ( )   f (α) 2e  e . e e

Δ4. Αν επιπλέον ισχύει ότι f(α) = α και f(β) = β τότε: f (β)

 f (α)

f 1( x)dx=  (2 x  f(x))dx . α

Δ 5 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ ο : Θ.Δ.6.

I

Δίνεται η συνάρτηση f :

ln xdx   ex dx . 0



, συνεχής για την οποία ισχύει:

x  f  xt dt  f  x  1 γ ι α κ ά θ ε x  R . 0

Δ1. Να βρείτε τη συνάρτηση f. Δ2. Να δείξετε ότι: f(x) > x – 2 για κάθε x R. Δ3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: 0 , x=0 είναι συνεχής στο 0. g  x    1 f(-x) ln x , 0 < x  1   

 

2 Δ4 . Δίνετ α ι κ α ι η σ υνά ρτ ηση: h x   f - t dt , α  R .

α. Να δείξετε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα στο R. β. Να δείξετε ότι:

Θ.Δ.7.

x2 1

0

 

f -t 2 dt 

lnx2 0

 

f -t 2 dt γ ι α κ ά θ ε x ≠ 0 .

Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) =



x 1 dt . e lnt

Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Δ2. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα και να βρείτε το πρόσημο της f. Δ3. Να δείξετε ότι η f είναι κοίλη. Δ 4 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π το μ έ ν η ς τ η ς C f σ τ ο x 0 = e κ α ι να δείξετε ότι: f(x)  x – e για κάθε x[e , +). Δ5. Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Cf κ α ι τ ο ν ά ξ ο να x ΄ x κ α ι τ η ν ε υ θ ε ί α x = 6 , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι :

 e  6 E 2

- 128 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Δίνεται η συνάρτηση f : R  R παραγωγίσιμη για την οποία x + 7x 2f (x)  7x  3 κ α ι f ( 5 ) = lim ι σ χ ύ ο υ ν : lim . x  x 2 x x2 Δ 1 . Ν α ε ξ ε τ ά σ ε τ ε αν η f α ν τ ι σ τ ρ έ φ ε τ α ι . Δ 2 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π το μ έ ν η ς τ η ς C f σ τ ο σ η μ ε ί ο Α ( 2 , f(2)). Δ3. Αν επιπλέον η f είναι κυρτή να δείξετε ότι: α . f ( x ) – 5x + 3  0 γ ι α κ ά θ ε x  R . β . Υ π ά ρ χ ε ι μ ο ν αδ ικ ό σ η μ ε ί ο ξ ( 2 , 5 ) σ τ ο ο π ο ί ο η f ν α π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι ελάχιστο.

Θ.Δ.8.

Θ.Δ.9. Δ 1 . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ ασ η τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f μ ε f ( x ) = l n x β ρ ί σ κ ε τ αι ΄ ΄ κ ά τω ΄ ΄ α π ό τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς συνάρτησης g(x) = x για κάθε x > 0. Δ 2 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ ο ε μ β α δ ό ν τ ο υ χω ρ ί ο υ Ε ( α ) π ο υ π ερ ι κ λ ε ί ε τ α ι από τις γραφικές παραστάσεις των f και g και τις ευθείες x = 1 και x = α , α > 1. Δ 3 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ό ρ ι ο : lim E() . 

Δ4. Να βρείτε το όριο:

lim f (x)x2 2x1 . x  

Θ.Δ.10. Δίνεται μια συνάρτηση f: [1 , 2]  R συνεχής με f(x)  0 για κάθε x[1 , 2]. x

Α ν ε π ι π λ έο ν

1 f  t  dt + 2 f  t  dt .

Δίνεται και η συνάρτηση F(x) =

1 x f  x  dx = 1 , 2

Δ 1 . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η f x 

1 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο x

(1 , 2). Δ2. Να δείξετε ότι η εξίσωση:

1

f  t  dt =

x f  t  dt 2

έχει ακριβώς μια

ρίζα στο (1 , 2). Δ 3 . Έ σ τ ω Ε τ ο ε μ βα δ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α ση τ η ς f , τ ο ν ά ξ ο ν α x ΄ x κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς x = 1 κ α ι x = 2 . Α ν Ε = 2 , ν α υ π ο λο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λο κ λ ή ρω μ α :

1 F(x) dx .

Θ.Δ.11. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g παραγωγίσιμες στο R με f(x) γνησίως αύξουσα στο R και g(x) γνησίως φθίνουσα στο R. 2 2 x 2 x Αν f t dt  g t dt κ α ι f t dt  g t dt  x 2  2x γ ι α κ ά θ ε x  R ,

0  

2



Δ1. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g τ έ μ νο ν τ α ι σ ε μ ο να δ ι κ ό σ η μ ε ίο μ ε τ ετ μ ημ έ ν η x 0  ( 0 , 2 ) . Δ 2 . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f ( 0 ) + f ( 2 ) = g ( 0 ) + g ( 2) . - 129 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Δ3. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ 1(0 ,2) τέτοιο, ώστε f(ξ1) = g(2 – ξ1). Δ 4 . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε υ π άρ χ ε ι ξ 2  ( 0 , 2 ) τ έ τ ο ι ο , ώ σ τ ε f ΄(ξ2) + g ΄(2 - ξ2) = 2. 1 1 f t dt  g t dt  1 , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η Δ 5 . Α ν ε π ι π λ έο ν 0 2

  x

0

συνάρτηση: Φ(x) =

 

f  t  dt +

2-x

2

g  t  dt π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι σ τ η θ έ σ η x 1 τ η ν

οποία και να βρείτε , ολικό ελάχιστο. Θ.Δ.12.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [κ , λ]  R για την



Δ1. Δ2. Δ3. Δ4.

Να Να Αν Να



1 2 f ( x) e  x 1 γ ι α κ ά θ ε x  [ κ , λ ] . 2

οποία ισχύει: f(x) =

δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η f δ ι α τ η ρ ε ί σ τ α θ ε ρ ό π ρ ό σ ημ ο σ τ ο [ κ , λ ] . δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς μ ο ν ό το ν η . f(κ)>0 να εξετάσετε την f ως προς την κυρτότητα. δείξετε ότι: κ ≥ 2.

 f ( x)dx   2 e

Δ5. Να δείξετε ότι:

2 f ( x)

 f ( x)e2 f ( x )  f 2 ( x) .

Θ.Δ.13. Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι μ ι γ α δ ι κο ί z 1 , z 2 , z 3 μ ε ε ι κ ό ν ε ς Α , Β , Γ αντίστοιχα. Αν z3+i2009z1=(1+i2009)z2 , τότε: α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο κα ι ισοσκελές. β.Αν

z2  2 2 2

γ . A ν z3  z1

, ν α α π ο δ ε ί ξ ε τε ό τ ι I m ( z 3 z1 )  4 . 2

 2 z2

σ υ ν ά ρ τ η σ η g(x) 

, όπου z1=α+f(α)i , z3=β+f(β)i με α,β>0 και η

f(x)

, x≠0, είναι παραγωγίσιμη , να αποδείξετε ότι:

1 ) Ο α ρ ι θ μ ό ς z 3 z1 ε ί ν α ι π ρ α γ μ α τ ι κ ό ς . 2 ) Υ π ά ρ χ ε ι τ ο υ λ ά χ ισ τ ο ν μ ι α ε φ απ το μ έν η τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f ( x ) η ο π ο ί α δ ιέ ρ χ ε τ α ι α π ό τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α ξ ό νω ν . Θ.Δ.14.

Έστω οι συναρτήσεις:

g x  e

1x

, x  0 και f  x   e

,x  0 2 α . Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τ ην g ω ς π ρ ο ς τ η μ ο ν ο το ν ί α .

β.Να δείξετε ότι για κάθε x  0 ισχύει

g x  0 , πότε ισχύει η

ισότητα; γ.Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης. δ.Να δείξετε ότι

e 0

dx  

ln x dx  e . - 130 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η 1

ε . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι :  e x dx  2

Θ.Δ.15.

e . 2



Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f (x) 

ln t

dt . t 1 f (x)(x  1) α . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε το ό ρ ι ο lim . x 1 (x  1) 2 1

β . Ν α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τι :



1 2

ln t t 1

dt 



ln t t 1

dt .

1 x δ . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ε μ β α δ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ , π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τ η C g , τον άξονα χ΄χ και τις ευθείες x = 1 και x = e. ε . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τι : f (x)  x  1 , γ ι α κ ά θ ε x  1 . γ . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τη σ υ ν ά ρ τ η σ η g(x)  f (x)  f ( ) .

Θ.Δ.16.

Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η : g(x)  

2 dt α  et

μ ε α , β π ρ α γ μ α τ ι κο ύ ς κ α ι α > 0 . Θ ε ω ρο ύ μ ε το ν μ ι γ αδ ι κ ό α ρ ι θ μ ό z = g( x ) + x i γ ι α τ ο ν ο π ο ί ο ι σ χ ύ ε ι : z  i  z 1 γ ι α κ ά θ ε χ  R . α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g αντιστρέφεται. β. Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z ανήκου ν στη γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α ση τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς g - 1 . γ . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι R e ( z) ≤ I m ( z ) . δ. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α. ε. Να αποδείξετε ότι: 2 1 1 1 1 1  dt   dt  . t t 2 0 αe 0 αe 1e 1e

Θ.Δ.17. Δίνεται f : [α ,β] →R με f παραγωγίσιμη και 0 < α < β και z1 = α + f(α)i , z2 = β + f(β)i . Aν

z1  R να δείξετε : z2

α ) z1  iz2  z1  iz2 .

f ( x) . x γ ) Υ π ά ρ χ ε ι x o  ( α , β ) έ τ σ ι ώ σ τ ε η ε φ α π το μ έ ν η τ η ς C f σ τ ο Α ( x o , f ( x o ) ) ν α δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό το Ο ( 0 , 0 ) . β) Ισχύει το Θ.Rolle για την g(x) =

δ ) Α ν lim



x  a

f (x  a  t) dt  1 ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η f ΄ ( x ) = 1 έ χ ε ι λ ύ σ η σ τ ο ( x  a)( x  a  t )

(α ,β). - 131 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Δ.18. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με f: (0 , +)  R για την οποία ισχύουν: f(x) > 0 , x>0, f΄(x) + 2xf(x) = 0, x>0 και η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σή τ η ς δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό τ ο σ η μ ε ίο Α ( 1 , 1 ) . α . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η π α ρ ά γ ω γο ς τ η ς f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο ( 0 , +  ) κ α ι να βρείτε τη συνάρτηση f. x f(t) x 1 x 1 f(x)   dt  β. Να δείξετε ότι: , χ>1. 2 2 1 2t 2x 2



1 

x

γ . Ν α β ρ ε ί τ ε τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η : F(x)  1 1  2  f(t) dt , χ > 1 .  2t  x

δ . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : 2e e t dt  1 γ ι α κ ά θ ε χ > 1 . 2

( Θ Ε Μ Α 1 η ς Δ Ε ΣΜ ΗΣ 1 99 8 ) Θ.Δ.19.

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η : f(t) 

2t  3 , t[1,4]. t2 4

α . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λ ο κ λ ή ρω μ α : I   f(t) dt. 1

β . Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η g(x)   f(t) 1

1 x2

x  2 x2 e dt , χ > 0 . x 1 4 x2

t x2

i ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τι : e  e  e γ ι α κ ά θ ε t  [ 1 , 4 ] κ α ι χ > 0 . i i ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο : lim g(x). x 

(ΘΕΜΑ Θ.Δ.20. f(t) =

1ης

Δ Ε ΣΜ ΗΣ 1 99 9 )

Α . α ) Ν α μ ε λ ε τ η θ ε ί ω ς π ρ ο ς τ η μ ο ν ο το ν ί α η σ υ ν ά ρ τ η σ η :

1 t 1 2

β ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο : lim



x 1

x  x

1 t 1 2

dt .

Β. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 1]. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι ξ  ( 0 , 1 ) τ έ το ι ο , ώ σ τ ε : ξ f ( ξ ) = 2

 f (t )dt .

Γ.Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [1 , 2]. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι ξ ( 1 , 2 ) τ έ τ ο ι ο , ώ σ τ ε :



f (t )dt = ξ  l n ξ  f ( ξ ) .

Θ.Δ.21. A. Δίνεται η συνάρτηση g(x) = x3 + x. Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα, αντιστρέψιμη και να λ ύ σ ε τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η : g - 1 ( x + 1 ) = x +1 . B. Δίνεται και η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f για την οποία ισχύει:f3(x) + f(x) ≥ x για κάθε xR. Να αποδείξετε ότι:

0

f ( x)dx 

5 . 4

Θ.Δ.22. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: (0 , +)R για τις οποίες ισχύει: f ( 1 ) = g ( 1) = 0 κ α ι f ΄ ( x ) + e g ( x ) = g ΄ ( x ) + e f ( x ) = 0 γ ι α κ ά θ ε x > 0 . - 132 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

α. Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες. β . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η h ( x ) =e - f ( x ) – x , x > 0 ε ί ν α ι σ τ α θ ε ρ ή κ α ι ότι ισχύει: f(x) = - lnx. γ. Να δείξετε ότι: ex > 1 – f(1+x) για κάθε x>0. Θ.Δ.23.

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η g δ ύ ο φ ο ρ έ ς π α ρα γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο R , τ έ τ ο ι α

ώ σ τ ε g ( x ) >0 κ α ι g ( x) g ( x)   g ( x)   0 γ ι α κ ά θ ε x  R . 2

Να αποδείξετε ότι:

g είναι γνησίως αύξουσα. g  x  x2  β. Ισχύει: g  1   g ( x1 ) g ( x2 ) γ ι α κ ά θ ε x 1 , x 2  R .  2  α. η συνάρτηση

( Θ Ε Μ Α 1 η ς Δ Ε ΣΜ ΗΣ 1 99 7 ) Θ.Δ.24. Έ σ τ ω z 1 , z 2 δ ύ ο μ ι γ α δ ι κ ο ί δ ι ά φ ο ρο ι τ ο υ μ η δ ε νό ς κ α ι η f : R  R μ ε f ( x ) = xz1  z2 . α . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ε λ ά χ ι σ τ ο τ η ς g ( x ) = f ( x ) + f ( -x ) σ το R . β . A ν η π λ ά γ ι α α σ ύ μ π τω τ η τ η ς C f ό ταν x  +  , δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό το σ η μ ε ί ο Μ ( 0 , z 2 ) , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο w = z1 z2 ε ί ν α ι θ ε τ ι κ ό ς α ρ ι θ μ ό ς γ. Αν ισχύει 2 +

z1  z2 < 2 z 2 + z1  z2 , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η

εξίσωση f (x) =2x έχει λύση στο (0,1). δ. Αν z1 =1 , z2 = i , να αποδείξετε ότι

0 f (t )dt  ln( x 

x 2  1) , x  R .

Θ.Δ.25. Έ σ τ ω η f ( x ) = e x κ α ι Ε ( α ) τ ο ε μ β αδ ό ν τ ο υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ο τη ν C f , τ ο υ ς ά ξ ο ν ε ς κ α ι α π ό τ η ν ε υ θ ε ί α x = α , όπου α > 0. α) Να βρείτε το Ε(α). β) Να βρείτε τον xo(0,α) ώστε η x = xo να χωρίζει το χωρίο σε δύο ισοδύναμα χωρία. γ ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο lim a 0

x0 . a

 ex  1  δ ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λ ο κ λ ή ρω μ α :  e ln   dx . 0  2  1 x

Θ.Δ.26. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη f : [ 0 , +  )  R μ ε f ( 0) = f ΄ ( 0 ) = 0 , γ ι α τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ ε ι f ΄ ΄ ( x ) > f ΄ ( x ) γ ι α κ ά θ ε x  [ 0 ,+  ) . N α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : α) η h : [0,+)R με τύπο h(x) = f(x)e -x είναι γνησίως αύξουσα β) η f 2 είναι κυρτή στο [0,+). - 133 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

 1  f (1) γ) f    . 2 2

lim f ( x)   .

δ)

x

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (0,+ )R για την οποία ισχύει:

Θ.Δ.27. f(x) =

1

t 1 dt . t (e f (t )  1)

α) Nα αποδείξετε ότι για κάθε x>0 ισχύει: ef (x) +f(x) = x + lnx. β ) N α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f ( x ) = l nx , x > 0 .

e x

γ) Να βρείτε το μέγιστο της g(x) = f(x)f   , x >0. δ) Αν 0 < α<β<γ να αποδείξετε ότι:

f (  )  f ( )

 

 x ln x 0

f ( )  f (  )

 

,x 0

Θ ε ω ρο ύ μ ε τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η : f ( x )  

Θ.Δ.28.



,x 0

α ) Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τη ν f κ α ι ν α χ α ρ ά ξ ε τ ε τ η ν C f . 1

β) Αν α >

e-1

να συγκρίνετε τους αριθμούς



 1

, (  1) . 

γ ) Γ ι α κ ά θ ε x  ( 1 , e ) ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : e ( x - 1 ) > ( e - 1 ) x l nx . x f (t )dt , x  [0, ) ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ν τ ύ π ο τ η ς h σ τ ο [ ο , +  ) . δ) Aν h(x) =

1

ε) Βρείτε το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από την Cf και τον x΄x. x

0 

Θ.Δ.29.

Δίνoνται οι f(x) = 3

  tdt , x  0,  κ α ι g ( x ) = 3 η μ x – η μ 3 x  2

  ,   2 2  .

x 

 

α ) Δ ε ί ξ τ ε ό τ ι f ( x ) = g ( x ) γ ι α κ ά θ ε x  0,  κ α ι ό τ ι η g ε ί ν α ι π ε ρ ι τ τ ή  2 στο

  ,    2 2  .

β) i) Μελετήστε την f . ii) Δείξτε ότι ορίζεται η f –1 της f και βρείτε το πεδίο ορισμού της. i i i ) Σ τ ο ί δ ι ο σ ύ σ τ η μ α α ξ ό ν ω ν χ α ρ ά ξ ετε τ ι ς C f , C f – 1 . γ ) Υ π ο λ ο γ ί σ τ ε τ ο ε μ β α δ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι απ ό τ η ν C f , Cf –1 και τις x =2 και y =2.  11   δ) i) Δείξτε ότι το σημείο Α  ,  βρίσκεται στην Cf –1  8 6 - 134 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

ii) Θεωρώντας ότι η Cf –1 είναι παραγωγίσιμη στα εσωτερικά σημεία τ ο υ π ε δ ίο υ ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς , β ρ ε ί τ ε τ η ν κ λ ί σ η τ η ς C f – 1 σ τ ο Α . 1

Θ.Δ.30. Θ ε ω ρο ύ μ ε τ η σ υ ν ε χ ή f ο ρ ι σ μ έ ν η σ τ ο [ 0 , +  ) μ ε f ( x ) = x x γ ι α κάθε x(0,+). α) Bρείτε το f(0). β ) Μ ε λ ε τ ή σ τ ε τ η ν f ω ς π ρ ο ς τ η μ ο ν ο τ ο ν ί α κ α ι τ α α κ ρ ό τ α τα . 

 1

3,  ,   1 , ν > 3 . γ) Διατάξτε τους αριθμούς δ ) Ε ξ ε τ ά σ τ ε ε ά ν η C f έ χ ε ι ο ρ ι ζ ό ν τ ι α α σ ύ μ π τω τ η σ τ ο +  . ε ) Δ ε ί ξ τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι x o  ( 1 , e ) ώ σ τ ε , η ε φ α π το μ έ ν η τ η ς C f σ τ ο Α ( x o , f ( x o ) ) , ν α δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό τ ο σ ημ ε ί ο Β ( -1 , 0 ) . ζ ) Θ ε ω ρο ύ μ ε τ ο υ ς z = x + f ( x ) i , x  [ 0 ,1 ] . Β ρ ε ί τ ε τ ο μ ι γ α δ ικ ό μ ε το μ ε γ α λ ύ τ ε ρο μ έ τ ρο . Α ν Ε τ ο ε μ β α δ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρι κ λ ε ί ε τ α ι από τις εικόνες των z, την ευθεία x =1 και τον άξονα x΄x , δείξτε ότι Ε < 3

Θ.Δ.31. Δ ί ν ε τ α ι f : ( 0 , +  ) R π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η ώ στ ε x f ΄ ( x ) – ν f ( x ) = x ν γ ι α κάθε x >0 με ν>1 ακέραιο. α) Αν f(1) = 0 , να βρείτε τον τύπο της f.

1 για κάθε x >0. ev

β) Δείξτε ότι f(x)  -

3 ν2  ν

γ ) A ν η τ ε τ μ η μ έ ν η τ ο υ σ η μ ε ί ο υ κ α μ π ής τ η ς C f ε ί ν α ι η e βρείτε το ν. δ) Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την Cf , τον x´x και τις x= e , x =

1 3

γ ι α τ η ν τ ι μ ή τ ο υ ν π ο υ β ρ ή κ α τ ε σ τ ο 3ο

ερώτημα. Θ.Δ.32. Δίνεται f παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο [0,+ ) με f(0) = 1. α) Nα δείξετε ότι

0 xf (t )dt  0 tf (t )dt

για x  0. x

β ) Ν α μ ε λ ε τ η θ ε ί ω ς π ρ ο ς τ η μ ο νο το ν ί α η g ( x ) =

0 tf (t )dt , x  0 . x 0 f (t )dt

γ ) Ν α ο ρ ί σ ε τ ε κ α τ ά λ λ η λα η g ώ σ τ ε ν α ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο [ 0 , +  ) κ α ι να βρείτε αν υπάρχει η g΄(0). δ) Να δείξετε ότι:

0

tf (t )dt   f (t )dt   f (t )dt   tf (t )dt  0 .

- 135 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Δίνεται η παραγωγίσιμη f : R R για την οποία ισχύουν 2 lim f ( x)   , lim f ( x)   κ α ι f ΄ ( x ) = f ( x) , γ ι α κ ά θ ε x  R , μ ε

Θ.Δ.33.

x 

x 

1 e

f ΄(0) = 1. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και να βρείτε τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ι μ ώ ν τ ης , ό τ ι σ τ ρ έ φ ε ι τ α κ ο ί λ α κ ά τω σ τ ο R κ αι ό τ ι έ χ ε ι μ ο ν αδ ι κ ή ρ ί ζ α τ η ν x = 0 . β) Να αποδείξετε ότι: i) Ισχύει f(x) + e f(x) = 2x +1 ii) H f αντιστρέφεται και να ορίσετε την f –1 iii) Oι γραφικές παραστάσεις των f και f –1 έχουν κοινή εφαπτομένη σ τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α ξ ό νω ν . γ ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν π λ ά γ ι α α σ ύ μ π τω τ η τη ς C f σ τ ο -  κ α ι ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η C f δ ε ν έ χ ε ι π λ ά γ ι α α σ ύ μ π τω τ η στ ο +  . Θ.Δ.34. Δίνεται η f για την οποία ισχύει: 2 (x +1) f ΄΄(x) + 4xf ΄(x) + 2f (x) = 0 για κάθε x R. α ) Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η g ( x ) = 2 x f( x ) + ( x 2 + 1 ) f ΄ ( x ) ε ί ν α ι σ τ α θ ε ρ ή σ τ ο R . β ) Α ν η C f δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό τ ο Ο ( 0 , 0 ) κα ι η ε φ α π τ ο μ έ ν η σ το Ο ε ί ν α ι παράλληλη στην y – 2x +3 =0 να βρεθεί ο τύπος της f γ ) Ν α μ ε λ ε τ η θ ε ί η f ω ς π ρ ο ς τ η μ ο ν ο το ν ί α , τ α α κ ρ ό τ α τ α , τ α σ η μ ε ί α καμπής και τα κοίλα. δ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της ε ) Ν α β ρ ε θ ε ί τ ο ε μ β α δ ό ν π ο υ π ε ρ ι κ λ εί ε τ α ι α π ό τ η ν C f , τ ο ν x ΄ x κ α ι τ ι ς π α ρ ά λ λ ηλ ε ς σ τ ο y ΄ y απ ό τ α σ η μ ε ί α α κ ρ ό τ α τω ν . Θ.Δ.35. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [0, + ) για την οποία υ π ο θ έ το υ μ ε ό τ ι ι σ χ ύ ο υ ν f ( 0 ) = 0 , f ΄ σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο 0 κ α ι f ΄ ( x ) > 0 για κάθε x  0 .



A ν F ( x ) = 0 f (t )dt , x  0 , ν α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι : α)

1 x

F ( x)  F ( x) γ ι α κ ά θ ε x > 0

 F ( x)  β ) H σ υ ν ά ρ τ η σ η g ( x)   x 0

,x 0

είναι γνησίως αύξουσα στο

,x 0

[0, +) γ) Η g΄(x) είναι συνεχής στο 0. Θ.Δ.36.

f ( x) 

Έ σ τ ω η σ υ ν ε χ ή ς σ υ ν ά ρ τ η σ η f : (0, )  R γ ι α τ η ο π ο ί α ι σ χ ύ ε ι

x2  1 2



x

2 t

t  x

f   dt γ ι α κ ά θ ε x > 0 .

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη . - 136 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

β) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι ο f(x) = x 2lnx , x>0. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . δ) Να αποδείξετε ότι ισχύει

f ( x)  x x 1  x , x > 0 .

ε ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ε μ β α δ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α ση τ η ς f , τ ο ν ά ξ ο ν α x ΄ x κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς

x

και

x = e . Θ.Δ.37. α) Για την συνάρτηση f :R→R ισχύει ότι f(1) = 1 και για κάθε x R ι σ χ ύ ε ι : e x f ( x ) + e x f ΄ ( x ) + f ΄ ( x ) = 0 i) Να βρείτε τον τύπο της f i i ) N α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λ ο κ λ ή ρω μ α

0 f ( x)dx

β) Μια συνάρτηση f :R→R είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f(x) -

0 e f (t ) dt  1  0 .

i) Nα βρείτε τον τύπο της f και να αποδεί ξετε ότι f(x) > 0 για κάθε x R . ii) Bρείτε την παράγωγο της f. i i i ) A π ο δ ε ί ξ τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι ξ ( 0 ,

2 ) τ έ τ ο ιο ώ σ τ ε



i v ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λο κλ ή ρ ω μ α : 0 Θ.Δ.38.

2x x  2e 2

 2  2 2  2e  ln(1  e)  2  2e

dx .

Έ σ τ ω η π α ρ α γ ω γ ί σ ιμ η σ υ ν ά ρ τ η σ η f : ( 0 , + ∞ )  R μ ε f ( 1 ) =

1 e

γ ι α τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ ε ι γ ι α κ ά θ ε x > 0 , x f ( x)  f ( x) . 2

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) ex είναι σταθερή στο (0,+∞) β) Να βρείτε τον τύπο της f. γ) Να βρείτε τα διαστήματα που η f είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της Cf. δ) Να υπολογίσετε το

Θ.Δ.39.

1

f ( x) x3

dx .



Έστω συνάρτηση f :(0,+∞)  R με f (x) = e  1 

f (t ) t2

dt .

1 x

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) e είναι σταθερή. β) Να βρείτε τον τύπο της f. γ ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ α δ ι α σ τ ή μ α τ α μ ο νο το ν ί α ς κ α ι κ υ ρ τ ό τ η τ α ς τ η ς f . δ) Να δείξετε ότι :

e   f ( x)dx  e . 1

- 137 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

ε ) Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι έ ν α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν x o  ( 1 , 2 ) τ έ το ι ο ώ σ τ ε 2

1

f ( x)dx  e

Θ.Δ.40.

1 x0

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η g : R  R μ ε g(x) 

x 1

x

f(t) dt , ό π ο υ f : R  R

είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση , γνησίως φθίνουσα και κοίλη στο R. f(x)  2009 , τ ό τ ε : Α ν ε π ι π λ έο ν ι σ χ ύ ε ι : lim x 0 x α. Να δείξετε ότι: η g είναι ¨1-1¨. β . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : η g σ τ ρ έ φ ε ι τ α κ ο ί λ α π ρ ο ς τ α κ ά τω σ τ ο R . γ. Να λυθεί η εξίσωση:



x2 2009

x2 2008

f(t) dt +

2009

2010 f(t) dt = 0 .

δ. Να υπολογίσετε τα όρια:

f (2x)  ημ3x x 0 x2  x f (2x)  f (ημx) i i ) lim x 0 x i ) lim

Θ.Δ.41. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x + 1. α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. β. Αν η f-1 είναι παραγωγίσιμη να υπολογίσετε τον αριθμό:

 f  (1) . 1

γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο R. δ . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λ ο κ λ ή ρω μ α :

3 1

1 f

(x)dx .

f 1 (x)  1 . x 3 x 3

ε . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο : lim

Θ.Δ.42. Α. Έστω f συνεχής στο [α ,β] με α >0 και παραγωγίσιμη στο ( α , β ) . Έ σ τ ω ο ι μ ι γ αδ ι κ ο ί : z 1 = α + f ( α ) i κ α ι z 2 = β + f ( β ) i . Α ν ι σ χ ύ ε ι z1  z2 = z1  z2 ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι x 1  ( α , β ) ώ σ τ ε f (x1) = 0. Έ σ τ ω ο ι π ρ α γμ α τ ι κο ί Α κ α ι Β μ ε Α  Β κ α ι Α z1 z2 + Β z1 z 2 = 1 0 0 . Να δείξετε ότι: α ) ο z1 z2  R β) υπάρχει x1(α ,β) : f ΄(x1) =

f(x1 ) . x1

γ ) υ π ά ρ χ ε ι ε φ α π τ ο μ έ ν η τ η ς C f π ο υ δ ιέ ρ χ ε τ α ι α π ό τ η α ρ χ ή τ ω ν α ξ ό νω ν . Β . Δ ί ν ο ν τ α ι δ υ ο μ ιγ α δ ι κ ο ί α ρ ι θ μ ο ί z , w κ α θ ώ ς κ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f με τύπο f (x)= z x  w x  z  w . 3

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει τουλάχιστον μια λύση - 138 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α [ - 1 , 1] . Θ.Δ.43.

Η f ε ί ν α ι δ ύ ο φ ο ρ ές π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο R κ α ι η C f π ε ρ ν ά α π ό

τ ο σ η μ ε ί ο Α ( 0 , 2) κ α ι γ ι α κ ά θ ε x  R ι σ χ ύ ε ι f ( x ) =



1  0

f (t )dt  du . 

΄(x))ex

α) Να δείξετε ότι οι g(x) = (f(x) – f και h(x) = (f(x) + f ΄(x))e x είναι σταθερές , οι οποίες και να βρεθούν. β) Να βρεθεί ο τύπος της f. γ ) Ν α β ρ ε θ ε ί τ ο ε μ β α δ ό ν Ε ( λ ) π ο υ π ερ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τ ι ς C f κ α ι C f ΄ και τις ευθείες x = 0 και x = λ >0. δ ) Ν α β ρ ε θ ε ί τ ο lim ( ) .  

Θ.Δ.44.

Έστω η συνάρτηση:

 3 1  x    x , x  0 1 f (x) =  με |λ| < . x π 0 , x =0 α) Να βρείτε την f ΄. β ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο lim f ( x) . x

γ) Να δείξετε ότι η f ΄ είναι συνεχής.

 1,1  τέτοιο ώστε   

δ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα xo    f ΄(xo) = 0. Θ.Δ.45. α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση: f (x) = 2 ( x-1) + lnx ως προς τη μονοτονία. β) Ομοίως

τη

σ υ ν ά ρ τ η σ η : g(x) 

x

ln x , χ > 0. 2 x

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης:

  x  x 

ln x , x  1, 4. 2 x

δ ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ε μ β α δ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τ ι ς γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σε ι ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f , τ ο ν ά ξ ο ν α O x κα ι τ ι ς ευθείες x = 1 , x = 4. Θ.Δ.46.

e  ln x x ,x 0. Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = x

α ) Ν α ε ξ ε τ ά σ ε τ ε τ η μ ο νο το ν ί α τ η ς f . x

x x e β) Να αποδείξετε ότι αν ισχύει    a για κάθε x > 0 τότε α = e. e

- 139 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

γ) Nα αποδείξετε ότι αν 0< α <β τότε υπάρχουν ξ 1, ξ2 (α, β) τέτοια e 1  ώστε να είναι: f ΄ (ξ 1) + .



2

Κ α τ ό π ι ν ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι α ν ο ξ 1 ε ί ν α ι ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς μ έσ ο ς τ ω ν α , β τότε είναι ξ1 = ξ2. Θ.Δ.47.

Έ σ τ ω η σ υ ν ε χ ή ς σ υ ν ά ρ τ η σ η f : R R γ ι α τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ ε ι :

f(x) = x -

   f (u)du  dt γ ι α κ ά θ ε x R . x

α ) α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f ΄ ΄ ( x ) = - f ( x ) γ ι α κ ά θ ε x R . β ) α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η h : R R μ ε τ ύ π ο : h ( x ) = ( f ( x ) – ημ x ) 2 + ( f ΄ ( x ) – σ υ ν x ) 2 ε ί ν α ι σ τ α θ ε ρ ή . γ) Να βρείτε τον τύπο της f. f ( x) δ ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ό ρ ι ο lim  , ν Ν * . x 0 x Θ.Δ.48. Έστω η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει x f e – e (x) = ex + f (x) για κάθε xR. α) Βρείτε τον τύπο της f. β) Βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) Να αποδείξετε ότι f(α) – f(β)< α -βγια κάθε α ,β R α  β. δ ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λ ο κ λ ή ρω μ α :

Θ.Δ.49.

α . Μ ε λ ε τ ή σ τ ε τ η ν g( x ) =

β. Δίνεται η f(x) =



e 2 x 1 x2

0 e

f ( x ) x

dx .

μ ε x  0 ω ς π ρ ο ς τ η μ ο νο το ν ί α .

g (t ) dt μ ε x > 0 .

Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι 4e 3 < 4 f ( 2 ) < e 5 . γ. Να δείξετε ότι η Ch της h(x) = f(x 2 – x +2) έχει ένα τουλάχιστον

 e5   e3  x  e 3 τ ο υ ο π ο ί ο υ η  4 

κ ο ι ν ό σ η μ ε ί ο μ ε τη ν ε υ θ ε ί α ( ε ) : y =  τ ε τ μ ημ έ ν η β ρ ί σ κ ε τ α ι σ τ ο ( 0 , 1 ) .

Θ.Δ.50. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R →R για την οποία ισχύουν: f(0) = f ΄(0) = 1 και ( x 2 + 1 ) f ΄ ΄ ( x ) +4 x f ΄ ( x ) + 2 f ( x ) = e x , x  R α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να λύσετε την ανίσωση e x > x2 +1 δ ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λ ο κ λ ή ρω μ α :

3 f ( x)(1  e

x

)

dx .

- 140 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Δ.51. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη f :R R , για την οποία ι σ χ ύ ε ι : x 2 f ΄ ΄ ( x ) + 4x f ΄ ( x ) + 2 f ( x ) > 0 γ ι α κ ά θ ε x  R . Nα αποδείξετε ότι : α ) g : R  R μ ε g ( x ) = x 2 f ( x ) σ τ ρ έ φ ε ι τ α κ ο ί λ α π ρο ς τ α ά ν ω σ τ ο R . β) η g έχει ελάχιστο. γ) f(x) > 0 για κάθε x R .

Θ.Δ.52.

   x Έστω f(x) =  2x 0

,x  0

,x 0

α) Nα αποδείξετε ότι για την f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle 1   σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α 0 , . 2001   β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

 2001 ,    .  2 

συνx + xημx = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο  γ ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λ ο κ λ ή ρω μ α :

1

1   dx . 2 x 2x

Θ.Δ.53.

Έστω η συνάρτηση f : R  R τέτοια , ώστε να ισχύει 2 2 f ( x)  f ( y )  x  y για κάθε x , y  R .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R. β) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0. 1 1 1   f ( x)dx  f (0)  . 0 3 3 δ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγί σιμη στο R ,να βρείτε το όριο:

γ ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : f (0) 

lim

x 

f ( x) x2

Θ.Δ.54. Έστω οι f ,g : [0,1] R , με f(0) = f(1) , ώστε η f να είναι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το [ 0 , 1 ] κ α ι γ ι α κ ά θ ε x  [ 0 , 1 ] ν α ι σ χ ύ ε ι : f ΄ ( x ) g ( x ) + f ( x ) = 20 0 4 . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : α ) υ π ά ρ χ ε ι x 1  ( 0 , 1 ) , τ έ τ ο ι ο ώ στ ε f ( x 1 ) = 2 0 0 4 β ) H f π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι μ έ γ ι σ τ ο Μ κ α ι ε λ ά χι σ τ ο m , κ α ι ι σ χ ύ ε ι m  2004  M γ) Αν ο τύπος της g(x) = x , τότε η f είναι σταθερή δ ) Α ν f ( 1 ) = 2 0 0 4 , τ ό τ ε f ( x ) = 2 0 0 4 κ αι γ ι α κ ά θ ε x  [ 0 , 1 ] Θ.Δ.55.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0,+∞) →R για 1 x

τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ ο υ ν x 3 f ΄ ΄ ( x ) = e γ ι α κ ά θ ε x > 0 , f ( 1 ) = e κα ι f ΄(1) = 0. α) Να βρείτε τον τύπο της f. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. - 141 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

γ) Να αποδείξετε ότι

x 1    e e

για κάθε x >0.

δ) Να αποδείξετε ότι f(10) + f(12 ) > 2f(11). Θ.Δ.56.

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο R για την οποία ισχύουν 1

f ( x ) ≠ 0 κ ά θ ε x R , κ α ι f ( x ) = 1 - 2 x 2  tf ( xt )dt γ ι α κ ά θ ε x R . 2

Έ σ τ ω α κ ό μ η g η σ υ ν ά ρ τ η σ η π ο υ ο ρ ί ζ ε τα ι α π ό τ ο ν τ ύπ ο

g(x) =

f ( x)

 x 2 γ ι α κ ά θ ε x R .

α) Να αποδείξετε ότι η f ΄(x) = -2xf 2(x). β) Nα δειχθεί ότι η g είναι σταθερή γ) Να δείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(x) = δ) Να βρείτε το όριο: Θ.Δ.57.

lim  xf ( x) 2 x  .

1 . 1  x2

x 

Για τη παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R  R ισχύει: x

f ( x)   et  f (t ) dt  ln  e  1 , γ ι α κ ά θ ε x  R . 0

 

1 . ex  Δ . 2 . Ν α β ρ ε θ ε ί τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ιμ ώ ν τ η ς f ( x) . Δ . 3 . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f ( x) ε ί ν α ι α ν τ ι σ τ ρ έ ψ ι μ η κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν Δ . 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f ( x)  ln  e 

f 1 ( x) . Δ . 4 . Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( x) ω ς π ρ ο ς τ α κ ο ίλ α . Δ . 5 . Α ν  ,   R μ ε    , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : f ( )  f    1  f     f   1 .

Θ.Δ.58.

Δ1. Δίνεται η συνάρτηση

F (x) =

x  t 2 1

0  0

 eu du  dt , u2 1 

x R.

i ) N α α ι τ ι ο λ ο γ ή σ ε τε ό τ ι η F ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο R . i i ) Ν α μ ε λ ε τ η θ ε ί η F ω ς π ρ ο ς τ α κο ί λ α κ α ι τ α σ η μ ε ί α κ α μ π ή ς . Δ2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = g 2(x) + g(x) + 1 που είναι συνεχής στο R i) Nα λυθεί η εξίσωση



ii) Nα δειχθεί ότι

0

f (t )dt  0 . e

f ( x)dx   f ( x)dx . 0

- 142 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Δ.59. Δ ί ν ε τ α ι η δ ύ ο φ ο ρ ές π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η f σ τ ο R μ ε f ΄ ΄ ( x ) > 0 γ ι α κ ά θ ε x R . Έστω g(x) =



1 x

5 x

f (t )dt , x R .

Nα αποδείξετε:

α ) η g ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο R κ α ι γ ι α κ ά θ ε x R ι σ χ ύ ε ι g΄(2+x) = g΄(2-x). β) η εξίσωση f(1+x) + f(5-x)=

1 x

5 x

1 x

f (t )dt έ χ ε ι λ ύ σ η σ τ ο ( 0 , 2 ) .

γ ) η C g έ χ ε ι έ ν α μ ό ν ο σ η μ ε ίο κ α μ π ή ς τ ο ο π ο ίο κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε . Θ.Δ.60.

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ τ ο δ ι ά σ τ ημ α

τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ ε ι xf '  x  





σ η μ ε ί ο τ η ς  1, f 1 .

 0,  

για

x 1 για κάθε χ > 0 και η cf έχει κλίση 2 στο f x e 

Δ.1. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Δ.2. Να δείξετε ότι η f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο

 0,  

και να

π ρ ο σδ ι ο ρ ί σ ε τ ε τ ο π ρ ό σ η μ ο τ η ς f . Δ.3. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (1 , 2) τέτοιο ώστε ξ + 1= f(2)(ξ2 + ξlnξ). Δ.4. Δίνεται και η συνάρτηση g ορισμένη και παραγωγίσιμη στο

 0,  

γ ι α τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ ε ι : e x g ( x)  f ( x)  f ( x) γ ι α κ ά θ ε χ > 0 . Α ν g ( 1) = 0 ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ν τ ύ π ο τ η ς g . Θ.Δ.61. Δ ί ν ε τ α ι η ε ξ ί σ ω σ η z2  2z  1  2  0 ( 1 ) , λ  R . Δ.1. Για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση (1) έχει μιγαδικές ρίζες; Δ.2. Αν η εξίσωση (1) έχει μιγαδικές ρίζες z1 και z2 με εικόνες A και B α ν τ ί σ τ ο ι χ α κ α ι τ ο ε μ β α δ ό ν τ ο υ τ ρ ι γ ώ νο υ Ο Α Β ε ί ν α ι ί σ ο μ ε 3 , ό π ο υ Ο ( 0 , 0) και Im(z1)>0, τότε: i) Να βρείτε τα: λ , z1 , z2. i i ) Ν α λ ύ σ ε τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η : w 3  7w 2  7w  z13  0 . i i i ) Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z12016  22016 . Θ.Δ.62.

Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R  R για την οποία ισχύει:

f (x)  

1 dt γ ι α κ ά θ ε x R . f (t)  1 4

Δ.1 Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1. Δ.2 Να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης της f καθώς και το σύνολο τιμών της f. Δ.3 Να αποδείξετε ότι η Cf έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής, το οποίο και να βρείτε. Δ . 4 Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο π λ ή θ ο ς τω ν π ρ α γ μ α τι κ ώ ν ρ ι ζ ώ ν τ η ς ε ξ ί σ ω σ η ς : f ( 2 x + 1) = x . Δ . 5 Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ ο ε μ β α δ ό ν τ ο υ χω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ εί ε τ α ι α π ό τ η C f - 143 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

, τ ο ν ά ξ ο ν α x ΄ x κ α ι τι ς ε υ θ ε ί ε ς x = 0 κ α ι x =

6 . 5

 6  5

Δ . 6 Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ η ν τ ι μ ή f     . Θ.Δ.63. Δίνονται η συνάρτηση f : R→R, η οποία είναι 3 φορές παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε: i ) lim x 0

f (x)  1  f (0) i i ) f ΄ ( 0 ) < f ( 1 ) - f ( 0 ) κ α ι i i i ) f ΄ ΄ ( x ) ≠ 0 γ ι α κ ά θ ε x ∈ R x

Δ . 1 Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π το μ έ ν η ς τ η ς γ ρ α φ ι κή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f σ τ ο σ η μ ε ί ο τ η ς μ ε τ ε τ μ η μ έν η x 0 = 0 . Δ.2 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R. Α ν ε π ι π λ έο ν g ( x ) = f ( x ) - x , x ∈ℝ τό τ ε : Δ . 3 Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η g π α ρ ο υ σ ι ά ζε ι ο λ ι κ ό ε λ ά χ ι σ τ ο κα ι ν α

x x 0 xg(x)

β ρ ε ί τ ε τ ο : lim

Δ.4 Να αποδείξετε ότι:



f (x)dx  2 .

Δ . 5 Α ν τ ο ε μ β αδ ό ν τ ο υ χ ω ρ ί ο υ Ω π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τη γ ρ α φ ι κ ή παράσταση της συνάρτησης g, τον άξονα x΄x και τις ευθείες με

5 τ ό τ ε ν α υ π ο λο γ ί σ ε τ ε τ ο 2

εξισώσεις x=0 και x=1 είναι Ε(Ω) = e -

(1, 2)

Θ.Δ.66.

 f (x)dx κ α ι σ τ η σ υ ν έ χ ε ι α τ έ τ ο ιο , ώ σ τ ε  f (t)dt  2 .

ο λο κ λ ή ρω μ α

να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈



A. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και f(x) < 0, για κάθε

x  R , ν α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι :



 f(x) x     dx  4 . f(x)  3 x

B . Έ σ τ ω f π α ρ α γ ω γί σ ι μ η κ α ι κ υ ρ τ ή σ υ ν ά ρ τ η σ η σ τ ο R γ ι α τ η ν ο π ο ί α ισχύει f (x) > 0 για κάθε x R και Αν g(x) =

0

f ( x)dx  1 .

0  f (t )  f (2  t ) dt x

α) Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g. β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η g είναι κυρτή ή κοίλη και τις θέσεις των σημείων καμπής της g. γ ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ε μ β α δ ό ν Ε τ ο υ χ ω ρ ί ο υ Ω π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τα ι α π ό τ η ν Cg΄ τους άξονες x΄x , y΄y και την ευθεία x = 2. Θ.Δ.67. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο [1 , 4] , για την οποία ισχύουν f(x)≠0 για κάθε x[1 , 4], f(1)>0 και f ( 1 ) f ( 2) = f ( 3) f ( 4 ) . Να αποδείξετε ότι: - 144 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Δ.1 f(x) > 0 για κάθε x[1 , 4]. Δ . 2 Η σ υ ν ά ρ τ η σ η g(x)  f 2 (x)  f(1)  f(2) έ χ ε ι μ ί α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ρ ί ζ α x 0 σ τ ο [1 , 2]. Δ . 3 Υ π ά ρ χ ε ι τ ο υ λ άχ ι σ τ ο ν έ ν α ξ  ( 1 , 4 ) τ έ τ ο ιο , ώ σ τ ε η ε φ α π το μ έ ν η τ η ς C f ν α ε ί ν α ι π α ρ ά λ λ ηλ η σ τ ο ν ά ξ ο ν α x ΄ x . Δ . 4 Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f δ ε ν μ π ο ρ ε ί ν α ε ί ν α ι μ ι α γ ν η σ ί ω ς μ ο ν ό το ν η συνάρτηση. Θ.Δ.68. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:RR, μ ε f ( 0 ) = f ΄ ( 0) = 1 , γ ι α τ η ν ο π ο ί α γ ι α κ ά θ ε x  R ι σ χ ύ ε ι :

 f(x)

 f(x)  f(x)  2f(x)  f(x).

Δ.1. Να δείξετε ότι για κάθε xR ισχύει: α . f(x)  f(x)  e2x . β . f ( x ) >0 . γ . f(x)  ex . Δ.2. Δίνεται και η συνάρτηση g:RR, για την οποία ισχύει: g(x)  f(x  g(x)) γ ι α κ ά θ ε x  R . α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα. β . Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν α ν τ ί σ τ ρ ο φ η g 1 τ η ς g . γ. Να δείξετε ότι g(1) = 1. δ . Α ν ε π ι π λ έο ν η g ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο R κ α ι α < β < γ , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ότι:

g(β) - g(α) g(γ) - g(β) .  β-α γ-β

Θ.Δ.69. Έ σ τ ω f , g : R  R δ ύ ο σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς , δ ύ ο φ ο ρ έ ς π α ρ α γ ω γ ί σι μ ε ς σ τ ο R κ α ι α έ ν α ς α ρ ν η τ ι κ ό ς α ρ ι θ μ ό ς , ώ σ τ ε γ ι α κ ά θ ε π ρ α γ μ α τ ι κό αριθμό x να ισχύει: f(x) = g(x) + α. Αν η συνάρτηση g είναι περιττή και υπάρχει ρ > 0 ώστε: g ΄ ( ρ ) = 0 , g ( ρ ) < α κ α ι lim g(x)   , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : x 

Δ.1. f΄(ρ) = f΄(-ρ) = 0. Δ . 2 . Η ε ξ ί σ ω σ η f ( x ) = 0 έ χ ε ι τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν τ ρ ε ι ς π ρ α γ μ α τ ι κέ ς ρ ί ζ ε ς . Δ . 3 . f ΄ ΄ ( 0) = 0 . Δ.4. Αν Α(ρ , f(ρ)) , Β(-ρ , f(-ρ)) και Γ(0 , f(0)) , τότε: α. τα σημεία Α , Β είναι συμμετρικά ως προς το Γ. β . υ π ά ρ χ ε ι ξ ( 0 , ρ ) ώ σ τ ε η ε φ α π τ ο μ έ νη τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς g σ τ ο σ η μ ε ί ο μ ε τ ε τ μ η μ έ ν η ξ , ν α ε ί ν α ι π α ρ ά λ λ η λ η σ τη ν ε υ θ ε ί α που διέρχεται από τα σημεία Α , Β , Γ.

Θ.Δ.70.

Δίνεται η συνάρτηση f : R  R με f (x)  ex  x  2 .

Δ.1 Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Δ . 2 Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ω ν μ ι γ αδ ι κ ώ ν z γ ι α - 145 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

 

τους οποίους ισχύει: f  z  i 

1   e 1 . 2

Δ . 3 Α ν ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ω ν μ ι γ α δ ι κώ ν z 1 , z 2 β ρ ί σ κ ο ν τ α ι σ τ ο ν π α ρ α π ά ν ω γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο το υ ε ρ ω τ ή μ α το ς Δ . 2 , ν α υ π ο λο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο : lim  z1  z 2  2   f (x)  f (x)  .



x 



Δ ί ν ο ν τ α ι κ α ι ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς h(x) 

ln x  1 κ α ι φ ( x ) =f ( x ) +2 . ln x  2

Δ . 4 Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η h α ν τ ι σ τ ρ έ φ ε τα ι κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν h 1 . 1 Δ . 5 Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ α ό ρ ι α : lim h(x) κ α ι lim h (x) . x 

x 0

Δ . 6 Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η φ α ν τ ι σ τ ρ έ φ ε τα ι κ α ι σ τ η σ υ ν έ χ ε ι α ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο ι γ ρ α φ ικ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς τ ω ν σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν φ κ α ι φ 1 δ ε ν έχουν κοινό σημείο. Δ.7 Να βρείτε τις τιμές του κ>0, ώστε η εξίσωση:

eκx

2  κx 1



κx 2  κx  1  1 ν α έ χ ε ι δ ύ ο α κ ρ ι β ώ ς π ρ α γ μ ατ ι κ έ ς ρ ί ζ ε ς . e2013x

Θ.Δ.71. Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f : [ 1 , 2 ] R , η ο π ο ί α ε ί ν α ι δ ύ ο φ ο ρ ές παραγωγίσιμη και για την οποία ισχύουν: f ΄ ΄ ( x ) <0 γ ι α κ ά θ ε x  [ 1 , 2 ] κ α ι f ( 1 ) = 0 , f ( 2 ) = 2 κ α ι f ΄ ( 2 ) =1 . Δ.1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο [ 1 , 2 ] κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ ο σ ύ ν ο λ ο τ ιμ ώ ν τη ς . Δ.2. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = x εφάπτεται στη Cf. Δ . 3 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι τ ο υ λ άχ ι σ τ ο ν έ ν α x 0  ( 1 , 2 ) ώ σ τ ε f΄΄ (x0) < -1. Δ.4. Να αποδείξετε ότι: i)

2  f(x) f(x) για κάθε x(1 , 2).  2 x x 1

i i ) f ( x )  2( x – 1 ) γ ια κ ά θ ε x  [ 1 , 2 ] . iii)



f(x)dx  1 .

Δ.5. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε: y = - x + 2 τέμνει σε ένα ακριβώς σημείο τη Cf.

Θ.Δ.72.

Έ σ τ ω μ ι α π ρ α γμ α τ ικ ή σ υ ν ά ρ τ η σ η f , σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο σ ύ ν ο λ ο τω ν

π ρ α γ μ ατ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν Ι R , γ ι α τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ o υ ν ο ι σ χ έ σ ε ι ς : i) f(x)  0, για κάθε xΙR. ii) f(x) = 1 - 2 x



1 0

t f 2 (xt)dt , γ ι α κ ά θ ε

x ΙR. Έ σ τ ω α κ ό μ η g η σ υ ν ά ρ τ η σ η π ο υ ο ρ ί ζ ε τα ι α π ό τ ο ν τ ύπ ο

- 146 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

g(x) 

1 - x2 , γ ι α κ ά θ ε x  Ι R . f(x)

α. Να δείξετε ότι ισχύει

f (x)  - 2 x f 2 (x) .

β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή. γ . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο τ ύ π ο ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f ε ί ν α ι : f(x)  δ. Να βρείτε το όριο : Θέμα 4ο Θ.Δ.73.

1 . 1 x2

lim ( x f ( x ) ημ 2 x ) .

x  

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 1

Έ σ τ ω μ ι α π ρ α γμ α τ ικ ή σ υ ν ά ρ τ η σ η f , σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο ( 0 , + ∞ ) γ ι α τ η ν

x t f t 1 dt με x  0 . οποία ισχύει: f x    x 1 x2

α . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο ( 0 , +∞ ) . β . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ο τ ύ π ο ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f ε ί ν α ι : f (x) 

1  ln x , x 0 . x

γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. δ . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ι ς α σ ύ μ π τω τ ε ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f . ε . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ε μ β αδ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α ση τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f , τ ο ν ά ξ ο ν α x ΄ x κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς x = 1 , x =e . Θέμα 4ο

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 1

Θ.Δ.74. α . Έ σ τ ω δ ύο σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς h , g σ υ ν ε χ ε ί ς σ τ ο [ α , β ] . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι α ν h ( x ) > g ( x ) γ ι α κά θ ε x  [ α , β ] , τ ό τ ε κ α ι



β α

h(x)dx   g(x)dx . α

β. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο Ι R συνάρτηση f, που ικανοποιεί τις σχέσεις:

f (x)  e f (x)  x 1, x  Ι R κ α ι f ( 0 ) = 0 .

i) Να εκφραστεί η f΄ ως συνάρτηση της f. ii) Να δείξετε ότι

x  f(x) < x f΄(x) , γ ι α κ ά θ ε x > 0 . 2

iii) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α ση τ η ς f , τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς x = 0 , x = 1 κ α ι τ ο ν ά ξ ο ν α

1 1  E  f (1) . 4 2 Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 2

x΄x, να δείξετε ότι Θέμα 4ο

- 147 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Δ.75. Έστω η συνάρτηση f, ορισμένη στο ΙR με δεύτερη συνεχή π α ρ ά γ ω γο , π ο υ ι κ αν ο π ο ι ε ί τ ι ς σ χ έ σ ε ι ς : f ΄ ΄ ( x ) f( x ) + ( f ΄ ( x ) ) 2 = f ( x ) f ΄ ( x ) , x Ι R κ α ι f ( 0 ) = 2 f ΄ ( 0 ) = 1 . α . Ν α π ρ ο σδ ι ο ρ ί σ ε τε τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η f . β. Αν g είναι συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τ ι μ ώ ν το δ ι ά σ τ ημ α [ 0 , 1 ] , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τι η ε ξ ί σ ω σ η : 2x 

gt

0 1  f 2  t  dt  1

έχει μία μοναδική λύση στο διάστημα [0, 1]. Θ έ μ α 4 ο Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 2 Θ.Δ.76.

Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα [α, β] που

έ χ ε ι σ υ ν ε χ ή δ ε ύ τ ε ρ η π α ρ ά γ ω γο σ τ ο ( α , β ) . Α ν ι σ χ ύ ε ι f ( α ) = f ( β ) = 0 κ α ι υ π ά ρ χ ο υ ν α ρ ι θ μ ο ί γ ( α , β ) , δ ( α , β ) , έ τ σ ι ώ σ τ ε f ( γ ) · f ( δ ) < 0 , ν α αποδείξετε ότι: α . Υ π ά ρ χ ε ι μ ί α τ ο υλ ά χ ι σ τ ο ν ρ ί ζ α τ η ς ε ξ ί σ ω σ η ς f ( x ) = 0 σ το δ ι ά σ τ ημ α (α, β). β . Υ π ά ρ χ ο υ ν σ η μ ε ία ξ 1 , ξ 2  ( α , β ) τ έ τ ο ι α ώ σ τ ε f ΄ ΄ ( ξ 1 ) < 0 κ α ι f΄΄(ξ2) > 0. γ . Υ π ά ρ χ ε ι έ ν α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν π ι θ α νό σ η μ ε ί ο κ αμ π ή ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς παράστασης της f. Θέμα 4ο Θ.Δ.77.

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 3

Δ ί ν ε τ α ι μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f ο ρ ι σ μ έ ν η σ τ ο I R μ ε σ υ ν ε χ ή π ρ ώ τη

π α ρ ά γ ω γο , γ ι α τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ ο υ ν ο ι σ χ έ σ ε ι ς : f(x) = - f(2 – x) και f ΄(x)  0 για κάθε x  IR . α . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς μ ο νό τ ο ν η . β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα. γ . Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η g(x) 

f(x) . f ΄ (x)

Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η ε φ α π το μ έ ν η τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ ασ η ς τ η ς g σ τ ο σ η μ ε ί ο σ το ο π ο ί ο α υ τ ή τ έ μ ν ε ι τ ο ν ά ξ ο ν α x ΄ x , σ χ η μ α τ ίζ ε ι μ ε αυτόν γωνία 45ο . Θέμα 4ο Θ.Δ.78.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 3

Έ σ τ ω η σ υ ν ε χ ή ς σ υ ν ά ρ τ η σ η f : I R → I R τ έ τ ο ι α ώ σ τ ε f ( 1 ) =1 . Α ν

γ ι α κ ά θ ε x ∈ I R , ι σ χ ύ ε ι g(x) 



x3 1

z f (t)dt  3 z 

1 (x  1)  0 ό π ο υ z - 148 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

z=α+βi∈C, µε α, β∈R*, τότε: α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο IR και να βρείτε τη g΄. β. Nα αποδείξετε ότι z  z 

1 . z

γ . Μ ε δ ε δ ο μ έ ν η τ η σ χ έ σ η τ ο υ ε ρ ω τ ή μ ατ ο ς β ν α α π ο δ ε ί ξ ετε ό τ ι Re(z2) = 

1 . 2

δ . A ν ε π ι π λ έο ν f ( 2 ) = α > 0 , f ( 3 ) = β κ α ι α > β , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι x 0 ∈ ( 2 , 3 ) τ έ τ ο ιο ώ στ ε f ( x 0 ) = 0 . Θέμα 4ο Θ.Δ.79.

f(x) 

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 4

Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [0, +∞) → IR τέτοια, ώστε 1 x2   2 2x f(2xt) dt . 0 2

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, +∞). β. Να αποδείξετε ότι f(x) = e x – (x + 1). γ. Να αποδείξετε ότι η f(x) έχει μοναδική ρίζα στο [0, +∞). δ . Ν α β ρ ε ί τ ε τ α ό ρ ι α lim f(x) κ α ι lim f ( x ). x  

x 

Θέμα 4ο Θ.Δ.80.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 4

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο IR τέτοια, ώστε να

ισχύει η σχέση 2 f΄(x) = e x

– f(x)

για κάθε x ∈ IR και f(0) = 0.

 1  ex   .  2 

α . Ν α δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι : f ( x ) = ln 

β. Να βρεθεί το:

 lim

f(x  t) dt

ημx

x 0

γ. Δίδονται οι συναρτήσεις: h(x) =



x

2005

x 2007  f(t) dt κ α ι g ( x ) = 2007

Δείξτε ότι h(x) = g(x) για κάθε x ∈ IR . δ. Δείξτε ότι η εξίσωση



x

t 2005  f(t) dt =

1 έχει ακριβώς μία λύση 2008

στο (0 , 1). - 149 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θέμα 4ο Θ.Δ.81.

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 5

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: IR →IR ,για την οποία ισχύει

f(x)  x  2005 . x 0 x2

lim

α. Να δείξετε ότι: i. f(0)=0 . ii. f΄(0)=1. β. Να βρείτε το λ ∈ IR έτσι, ώστε:

lim x 0

x 2  λ  f(x) 

2x 2   f (x) 

3 .

γ . Α ν ε π ι π λ έο ν η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η μ ε σ υ ν ε χ ή π α ρ ά γ ω γ ο σ το I R και f΄(x)>f(x) για κάθε x ∈ IR , να δείξετε ότι: i.

xf(x)>0 για κάθε x≠0. 1

ii.

 f(x)dx  f(1) . 0

Θέμα 4ο

Θ.Δ.82.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 5

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f(x) 

x 1  ln x . x-1

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς 2 ρίζες στο πεδίο ορισμού της. γ. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g(x)=lnx στο σημείο Α(α,lnα) με α>0 και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h(x)=e x στο σημείο Β(β,e β) με β ∈ IR ταυτίζονται, τότε να δείξετε ότι ο αριθμός α είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0. δ. Να αιτιολογήσετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες. Θέμα 4ο Θ.Δ.83.

Πανελλήνιες 2006

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f(x)  xln(x  1)  (x  1)lnx μ ε x > 0 .

α . i . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : ln(x  1)  lnx 

1 , x0 . x - 150 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

i i . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η f ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς φ θ ί ν ο υ σ α σ τ ο δ ι ά στ η μ α (0,+∞).

1 x

β . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο lim xln(1  ) . x 

γ . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι μ ο ν α δ ι κό ς α ρ ι θ μ ό ς α ∈ ( 0 , +∞ ) τ έ το ι ο ς ώ σ τ ε ( α + 1) α = α α + 1 . Θέμα 4ο

Θ.Δ.84.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 6

Έστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο

διάστημα [0, 1] για την οποία ισχύει f(0) > 0. Δίνεται επίσης σ υ ν ά ρ τ η σ η g σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο δ ι ά σ τ η μ α [ 0, 1 ] γ ι α τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ ε ι g(x) > 0 για κάθε x ε [0, 1]. Ορίζουμε τις συναρτήσεις:



F(x) =

f(t)g(t)dt , x  [ 0 , 1 ] , G ( x ) =  g(t)dt , x  [ 0 , 1 ] . 0

α . Ν α δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι F ( x ) > 0 γ ι α κ ά θ ε x σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α ( 0 , 1 ] . β . Ν α α π ο δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι : f ( x ) ⋅ G ( x ) > F ( x ) γ ι α κ ά θ ε x σ τ ο δ ι άσ τ η μ α (0, 1]. γ. Να αποδειχθεί ότι ισχύει:

F(x) F(1)  γ ι α κ ά θ ε x σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α G(x) G(1)

(0, 1].





 x ημt 2dt  f(t)g(t)dt   0  0  . δ . Ν α β ρ ε θ ε ί τ ο ό ρ ι ο : lim x x 0 5  g(t)dt  x Θέμα 4ο Θ.Δ.85.





Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 7

Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι μ ι γ α δ ι κο ί α ρ ι θ μ ο ί z 1 = α + β i κ α ι z 2 

2  z1 όπου α,β 2  z1

∈IR με β ≠ 0. Δίνεται επίσης ότι z − z ∈IR . 2

α. Να αποδειχθεί ότι z − z = 1. 2

β . Ν α β ρ ε θ ε ί ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό ς τό π ο ς τ ω ν ε ι κ ό ν ω ν τ ο υ z 1 σ το μ ι γ α δ ι κό επίπεδο. 2

γ . Α ν ο α ρ ι θ μ ό ς z1 ε ί ν α ι φ α ν τ α σ τ ι κ ό ς κ αι α β > 0 , ν α υ π ο λο γ ι σ θ ε ί ο

- 151 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η



z1 κ α ι ν α δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι  z1  1  i   z1  1  i 20

Θέμα 4ο Θ.Δ.86.



 0.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 7

Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο για την οποία ισχύει 2

f (x)  (10x 3  3x)  f (t)dt  45 . 0

α . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f ( x ) = 2 0x 3 + 6x − 4 5 . β . Δ ί ν ε τ α ι ε π ί σ η ς μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η g δ ύ ο φ ο ρ έ ς π α ρ α γ ω γ ί σι μ η σ τ ο I R .

g(x)  g(x  h) . h 0 h

Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι g(x)  lim

γ . Α ν γ ι α τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η f τ ο υ ε ρ ω τ ή μ ατ ο ς ( α ) κ α ι τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η g

g(x  h)  2g(x)  g(x  h)  f (x)  45 κ α ι h 0 h2

τ ο υ ε ρ ω τ ήμ α το ς ( β ) ι σ χ ύ ε ι ό τ ι lim g ( 0) = g ΄ ( 0) = 1 , τ ό τ ε

i . ν α α π ο δ ε ίξ ε τ ε ό τι g ( x ) = x 5 +x 3 + x + 1 . i i . ν α α π ο δ ε ίξ ε τ ε ό τ ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η g ε ί ν α ι 1 − 1 . Θέμα 4ο Θ.Δ.87.

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 8

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [0, +∞) για την

οποία ισχύει f(x) > 0 για κάθε x ≥ 0.Ορίζουμε τις συναρτήσεις:

F(x)

F(x)   f(t)dt , x ∈ [ 0 , + ∞ ) , h(x)  0



α. Να αποδείξετε ότι



,x∈(0,+∞)

tf (t)dt

et 1[f (t)  F(t)]dt  F(1) .

β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (0, +∞). γ . Α ν h ( 1) = 2 , τ ό τ ε : i . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τι ii. Να αποδείξετε ότι Θέμα 4ο



f (t)dt  2 t f (t)dt .



1 0

F(t)dt 

1 F(1) . 2

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 00 8

- 152 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ.Δ.88.

Έ σ τ ω f μ ί α σ υ ν ε χ ή ς σ υ ν ά ρ τ η σ η σ τ ο δ ι ά σ τ η μ α [ 0 , 2 ] γ ι α τ ην

οποία ισχύει

  t  2 f (t)dt  0 . Ο ρ ί ζ ο υ μ ε 2

H(x)   tf (t)dt, x  0,2  x

τις συναρτήσεις:

x  H(x)   f (t)dt  3, x   0,2  0  x και G(x)   2 6 lim 1  1  t , x=0  t2  t o

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση G είναι συνεχής στο διάστημα [0, 2]. β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση G είναι παραγωγίσιμη στο δ ι ά σ τ η μ α ( 0 , 2 ) κ α ι ό τ ι ι σ χ ύ ε ι G(x)  

H(x) , 0<x<2 . x2

γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός α ∈(0, 2) τ έ τ ο ι ο ς ώ στ ε ν α ι σ χ ύ ε ι Η ( α ) = 0 . δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας αρι θμός ξ∈(0, α) τ έ τ ο ι ο ς ώ στ ε ν α ι σ χ ύ ε ι α Θέμα 4ο

Θ.Δ.89.



ξ 0

tf(t)dt=ξ 2  f(t)dt . 0

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 00 9

∆ ί ν ε τ α ι μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f : [ 0 , 2 ]  R η ο π ο ία ε ί ν α ι δ ύ ο φ ο ρ έ ς

παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες

f (x)  4f (x)  4f (x)  kxe2x , 0  x  2 ,

f ΄ ( 0 ) = 2 f ( 0) , f ΄ ( 2 ) = 2 f ( 2 ) + 1 2 e ,

f(1) = e όπου kR. α . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η : g(x)  3x 2 

f (x)  2f (x) , 0x2 e2x

ι κ α ν ο π ο ι ε ί τ ι ς υ π ο θ έ σ ε ι ς τ ο υ θ ε ω ρ ή μ α τ ο ς τ ο υ R o l l e στ ο δ ι ά σ τ η μ α [0,2]. β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈(0,2) τέτοιο, ώστε να ισχύει

f (ξ)  4f (ξ) = 6 ξ e

2ξ

+ 4f΄(ξ) .

γ. Να αποδείξετε ότι k = 6 και ότι ισχύει g(x) = 0 για κάθε x ∈ [0,2]. δ . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f (x)  x e , 0  x  2. 3 2x

ε . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λ ο κ λ ή ρω μ α



2 1

f(x) dx . x2 - 153 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

Θ έ μ α 4 ο Ε π α ν α λ η π τ ι κ έ ς 2 00 9

Θ.Δ.90.



Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :

η οποία για κάθε x 

ι κ α ν ο π ο ι ε ί τ ι ς σ χ έ σ ε ι ς : f (x)  x κ α ι f (x)  x  3 



t dt . f (t)  t

Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σ το

f (x) , x f (x)  x

f (x) 

με παράγωγο

Δ 2 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η g(x)   f (x)   2xf (x) , x  2

, είναι

σταθερή. Δ 3 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f (x)  x  x 2  9, x  Δ4. Να αποδείξετε ότι Θέμα 4ο

Θ.Δ.91.

x 1

x2

x 1

 f (t)dt   f (t)dt,

x .

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 01 0

Έστω συνάρτηση f: IR → IR η οποία είναι παραγωγίσιμη και

κ υ ρ τ ή σ τ ο I R μ ε f ( 0 ) = 1 κ α ι f ΄ ( 0) = 0 . Δ1. Να αποδείξετε ότι f(x) ≥ 1 για κάθε x ∈ℝ. 1

Δ 2 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι lim

x   f (xt)dt  x 3 0

ημ 3 x

x 0

  .

Α ν ε π ι π λ έο ν δ ί ν ε τ αι ό τ ι f ΄ ( x ) + 2 x = 2x ⋅ ( f ( x ) + x 2 ) , x ∈ ℝ , τ ό τ ε : Δ 3 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f (x)  ex  x 2 , x ∈ ℝ . 2

Δ4. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση x+2

h(x) =  f(t)dt , χ  0 κ α ι ν α λ ύ σ ε τ ε σ τ ο ℝ τ η ν α ν ί σ ω σ η x

x 2 +2x+3



f(t)dt +  f(t)dt < 0 6

x 2 +2x+1

Θέμα 4ο Θ.Δ.92.

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 01 0

∆ ί ν ο ν τ α ι ο ι σ υ ν ε χ ε ί ς σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f , g : R → R , ο ι ο π ο ίε ς γ ι α

κάθε x ∈ R

ι κ α ν ο π ο ιο ύ ν τ ι ς σ χ έ σ ε ι ς : - 154 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

i) f(x) > 0 και g(x) > 0

iii)

1 gx e2x



x 0

ii)

1 f x e2x



x 0

e2t dt gx  t

e2t dt f x  t

Δ 1. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες και ότι f(x) = g(x) για κάθε x ∈ R .

στο R

Δ 2. Να αποδείξετε ότι: f(x) = ex, x∈ R. Δ 3 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο : lim x 0

ln f  x  . 1 f  x

Δ 4 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ε μ β αδ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λε ί ε τ α ι α π ό x

  

2 τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς F  x   f t dt τ ο υ ς ά ξ ο ν ε ς 1

x΄x και y΄y και την ευθεία με εξίσωση x=1. Θέμα 4ο

Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 01 1

Δ ί ν ο ν τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f : ℝ → ℝ , η ο π ο ία ε ί ν α ι 3 φ ο ρ έ ς

Θ.Δ.93.

παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε:

f(x) = 1  f(0) x 0 x

i ) li m

i i ) f ΄ ( 0 ) < f ( 1 ) – f ( 0) κ α ι i i i ) f ΄ ΄ ( x ) ≠ 0 γ ι α κ άθ ε x ∈ ℝ Δ 1 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π το μ έ ν η ς τ η ς γ ρ α φ ι κή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f σ τ ο σ η μ ε ί ο τ η ς μ ε τ ε τ μ η μ έν η x 0 = 0 . Δ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο ℝ. Α ν ε π ι π λ έο ν g ( x ) = f ( x ) – x , x ∈ℝ τό τ ε : Δ 3 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η g π α ρ ο υ σ ι ά ζ ει ο λ ι κ ό ε λ ά χ ι σ τ ο κα ι ν α β ρ ε ί τ ε

ημx . x 0 x  g(x)

τ ο : lim

Δ 4 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι  f  x dx > 2 . 0

Δ 5 . Α ν τ ο ε μ β αδ ό ν τ ο υ χ ω ρ ί ο υ Ω π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τη γ ρ α φ ι κ ή παράσταση της συνάρτησης g, τον άξονα x΄x και τις ευθείες με ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς x = 0 κ α ι x = 1 ε ί ν α ι Ε ( Ω ) =e –

5 τό τ ε ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο 2 - 155 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

ο λο κ λ ή ρω μ α

 f  x dx κ α ι σ τ η σ υ ν έ χ ε ι α ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι ξ ∈

( 1 , 2 ) τ έ τ ο ιο , ώ σ τ ε Θέμα 4ο

0 f (t)dt  2 .

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 01 1

Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+ ∞)⟶ℝ, η οποία για κάθε x>0

Θ.Δ.96.

ικανοποιεί τις σχέσεις: ● f(x) ≠ 0 ●



x 2 - x +1

f (t)d  t

x - x2 e

 x lnt-t  dt+e   f(x)  1 f(t)  

● lnx - x = - 

Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της. Α ν ε ί ν α ι f ( x ) = e - x ( ℓn x - x ) , x > 0 , τ ό τ ε :





 f(x) . Δ 2 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ ο ό ρ ι ο : lim  f(x) ημ f(x) x0   Δ 3 . Μ ε τ η β ο ή θ ε ι α τ η ς α ν ι σ ό τ η τ α ς l nx ≤ x - 1 , π ο υ ι σ χ ύ ε ι γ ι α κ ά θ ε 2

x > 0 , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η F(x) 



f(t)dt

, x>0 όπου α>0,

είναι κυρτή (μονάδες 2). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: F ( x ) + F ( 3x ) > 2 F ( 2x ) , γ ι α κ ά θ ε x > 0 ( μ ο ν ά δ ε ς 4 ) Δ 4 . Δ ί ν ε τ α ι ο σ τ α θ ε ρ ό ς π ρ α γ μ α τ ι κό ς α ρ ι θ μ ό ς β > 0 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι μ ο ν αδ ι κ ό ξ ∈ ( β , 2 β ) τ έ το ι ο ώ σ τ ε : F ( β ) + F( 3 β ) = 2 F ( ξ ) . Θ έ μ α 4 ο Π α ν ε λ λ ή ν ι ε ς 2 01 2 Θ.Δ.97. Έ σ τ ω η π α ρ α γ ω γ ί σ ιμ η σ υ ν ά ρ τ η σ η f : A ⟶ ℝ μ ε A =( 0 , + ∞ ) γ ι α τ η ν οποία ισχύουν σχέσεις: ● f ( Α ) = ( -∞ , 0 ] ● η π α ρ ά γ ω γο ς τ η ς f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο ( 0 , + ∞ ) , κ α ι x 1 1 ) ● 2f(x)  x  ef ( x )=  e f f( t(t) t  dt 2 1 x t

 

Θ ε ω ρο ύ μ ε ε π ί σ η ς τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η F(x) 



x 1

f(t)dt , x > 0

2x Δ 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f(x)  n  2  , x > 0  x  1 Δ 2 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η γ ρ α φ ι κ ή π α ρά σ τ α σ η τ η ς F έ χ ε ι μ ο ν αδ ι κ ό σ η μ ε ί ο κ α μ π ή ς Σ ( x 0 , F ( x 0 ) ) , x 0 > 0 , τ ο ο π ο ίο κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε . Σ τ η σ υ ν έ χ ε ι α ν α α π ο δ ε ίξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι μ ο ν α δ ι κό ξ ∈ ( x 0 , β ) μ ε β > x 0 , τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής π αράστασης της F στο - 156 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

σ η μ ε ί ο M ( ξ , F( ξ ) ) ν α ε ί ν α ι π α ρ ά λ λ η λ η π ρ ο ς τ η ν ε υ θ ε ί α ε : F ( β ) x - ( β - 1) y + 2 0 12 ( β - 1 ) = 0 Δ 3 . Α ν β > 1 , ν α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η F(β) 1 β)f(β) x5 β 1)  x 13   0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα, ως προς x 1 x 3 x , σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α ( 1 ,3 ) Δ4. Να αποδείξετε ότι Θέμα 4ο



x2 x

x t f   dt   tf  t  dt , γ ι α κ ά θ ε x > 0 1 x

Ε π αν α λ ηπ τ ι κ έ ς 2 01 2

Θ.Δ.98. Έστω f : (0, + ∞) R μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν: • Η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ∞) • f (1) = 1 •

f (1  5h)  f (1  h) 0 h 0 h lim

Θ ε ω ρο ύ μ ε ε π ί σ η ς τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η

x f (t)  1

α

g (x) =

t 1

x  (1, + ∞) και α > 1 Να αποδείξετε ότι: Δ1. f′ (1) = 0, καθώς επίσης ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 = 1 . Δ 2 . η g ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς α ύ ξ ο υ σ α ( μ ο ν άδ ε ς 3 ) , κ α ι σ τ η σ υ ν έ χ ε ι α , ν α λύσετε την ανίσωση στο R

8x 2 6

2x 4 6

8x 5 g(u)du  2x 5 g(u)du 2

Δ3. η g είναι κυρτή, καθώς επίσης ότι η εξίσωση ( α – 1)

x f (t)  1

α

λύση. Θέμα 4ο

t 1

dt =

(f( α) – 1) (x – α) , x > 1 έχει ακριβώς μια

Π α ν ε λ λή ν ι ε ς 2 01 3

Θ . Δ . 9 9 . Δ ί ν ε τ α ι σ υ ν ά ρ τ η σ η f : [ 0 , + ∞ ) ⟶ ℝ , δ ύο φ ο ρ έ ς π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η, μ ε σ υ ν ε χ ή δ ε ύ τ ε ρ η π α ρ ά γ ω γ ο σ το [ 0 , + ∞ ) , γ ι α τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ ο υ ν : ● f(x) =x +

x

1 1   

 f (t)

f(t)

1



dt  du  

●f(x)f΄(x) ≠ 0 για κάθε x > 0 και f (0) = 0 Θ ε ω ρο ύ μ ε ε π ί σ η ς τ ι ς σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς :

g(x) 

3 f (x) μ ε x > 0 κ α ι h(x)   f (x)  μ ε x ≥ 0 f(x)

Δ 1 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι

f(x)f (x) +1   f (x) γ ι α κ ά θ ε x > 0 2

Δ 2 . α . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο π ρ ό σ ημ ο τ ω ν σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν f κ α ι f ′ σ τ ο ( 0 , +∞ ) - 157 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

β. Να αποδείξετε ότι f΄(0) = 1 Δ3. Δεδομένου ότι η συνάρτηση g είναι κυρτή στο (0, + ∞) , να αποδείξετε ότι: α. g(x) ≥ 2 -x για κάθε x∈(0, + ∞) β.

0 (2  x)f(x)dx  1 1

Δ 4 . Ν α β ρ ε ί τ ε το ε μ β α δ ό ν το υ χω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ετ α ι α π ό τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τασ η τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς h , τ ο ν άξ ο ν α x ′ x κα ι τ ι ς ευθείες x = 0 και x = 1. Θέμα 4 ο Επαναληπτικές 2013 Θ . Δ . 1 00 .

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε f ''  x  σ υ ν ε χ ή σ τ ο  τ έ τ ο ι α ώ σ τ ε ν α

ισχύουν: x

2   t  1  f ''  t  dt  2  t  f   t  dt  4 x  t  f  x  dt γ ι α κ ά θ ε x  , μ ε f  0  0 κ α ι

f '  0  2 .

2x , x  . x 1 β ) Έ σ τ ω Ε  α  τ ο ε μ β αδ ό ν τ ο υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τη γ ρ α φ ι κ ή α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της είναι f x 

παράσταση της f, τον άξονα x 'x και τις ευθείες x  0 και x  α  0 . Α ν τ ο α μ ε τα β ά λ λ ε τα ι μ ε ρ υ θ μ ό

10 cm / sec , ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ρ υ θ μ ό 3

μ ε τ α β ο λ ή ς τ ο υ ε μ βα δ ο ύ Ε  α  , τ η χ ρ ο ν ι κ ή σ τ ι γ μ ή κ α τ ά τ η ν ο π ο ί α α  3cm . γ ) Θ ε ω ρ ο ύμ ε σ υ ν ε χ ή σ υ ν ά ρ τ η σ η g γ ι α τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ ε ι : g x  x  2  f x για κάθε x  . i . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τι η ε υ θ ε ί α y   x  2 ε ί ν α ι α σ ύ μ π τω τ η τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς g ό τ α ν x   . i i . Α ν Ε ε ί ν α ι τ ο ε μ β α δ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι απ ό τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς g , τ η ν π λ ά γ ι α α σ ύ μ π τω τ η τ η ς σ τ ο  κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς x  0 κ α ι x  2 , ν α α π ο δ ε ίξ ε τε ό τ ι :   ln 5 . Θέμα 4ο

ΟΕΦΕ 2003

Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο  με g  0   1 κ α ι f '  x   g 2  x   0 , f 2  x   g 2  x   1 γ ι α κ ά θ ε x  .

Θ . Δ . 1 01 .

α. Να αποδείξετε ότι: i ) g '  x   g  x   f  x  , x  . i i ) Η g ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς μ ο νό το ν η σ ε κ α θ έ ν α α π ό τ α δ ι α σ τ ήμ α τ α  , 0 , 0,    κ α ι έ χ ε ι α κ ρ ό τ α τ ο τ ο 1 . β . i ) Ν α μ ε λ ε τ ή σ ε τε τ η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ω ς π ρ ο ς τ η ν κ υ ρ τ ό τ ητ α κ α ι ν α βρείτε τα σημεία καμπής της. - 158 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

i i ) Ν α γ ρ ά ψ ε τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π το μ έ ν η ς τ η ς γ ρ α φ ι κή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f σ τ ο σ η μ ε ί ο τ η ς   0, 0  . γ . Α ν Ε ε ί ν α ι τ ο ε μ β α δ ό ν το υ χ ω ρ ί ο υ , π ο υ ο ρ ί ζ ε τ α ι α π ό τη ν γ ρ α φ ι κ ή παράσταση της f και τις ευθείες y  x , x 1, να δείξετε ότι E  Θέμα 4ο Θ . Δ . 1 02 .

1  ln g 1  . 2

ΟΕΦΕ 2004

Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο  για την οποία

1 κ α ι ex f  x   f '  x   ημ x   f '  x  γ ι α κ ά θ ε x   . 2 συν x α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f x  , x  κ α ι ό τ ι 1  ex ι σ χ ύ ε ι f  x   f  x   συν x γ ι α κ ά θ ε x   . ι σ χ ύ ο υ ν f  0 

β) Να βρείτε το

lim f  x  .

x 

γ ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ο λ ο κ λ ή ρω μ α I 

π/2

 f  x  dx .

 π/2  /2

δ) Να αποδείξετε ότι: 0

  f  x  dx  4 . 0

Θέμα Θ . Δ . 1 03 .

4ο

ΟΕΦΕ 2005

Έ σ τ ω σ υ ν ά ρ τ η σ η f σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο  μ ε f  x  0 κ α ι έ σ τ ω 1

g  x    t  f  xt  dt , t , x . 0

Να αποδείξετε ότι: α ) g  x 

1 t  f  t  dt γ ι α κ ά θ ε x  0 . x 2 0

β ) Η g ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο x0  0 . γ ) x  g  x 

 f t  dt

για κάθε x  0 .

δ) Αν

 t  f t  dt  3 t  f t  dt τ ό τ ε υ π ά ρ χ ε ι έ ν α ς τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν   1, 2

τ έ τ ο ι ο ς ώ στ ε : 2 g    f   . Θέμα 4ο Θ . Δ . 1 04 .

ΟΕΦΕ 2006

Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η g  x 

 1 t

dt ό π ο υ t , x  .

α) Να μελετήσετε ως προς τα κοίλα τη συνάρτηση g.

x  g  x  x γ ι α κ ά θ ε x  0 . 1  x2 γ ) Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : g  x   g   x   0 γ ι α κ ά θ ε x  . β) Να αποδείξετε ότι:

- 159 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

δ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τα σ η τ η ς g , τ ο ν ά ξ ο να x ' x κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς x  0, x  1

1 ln 2 .. 2 ΟΕΦΕ 2007

ε ί ν α ι E  g 1  Θέμα 4ο

Θ . Δ . 1 05 . Ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f , g :   ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ε ί ς κ α ι γ ι α κ ά θ ε π ρ α γ μ ατ ι κ ό α ρ ι θ μ ό x ι σ χ ύ ο υ ν :



f  t  dt  2  x  g  t  dt (1) κ α ι g  x   0 (2) x

Να αποδείξετε ότι: α . Η f π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο x0  0 κ α ι f '  0   2 g  0  . β . g  x   0 γ ι α κ ά θ ε x  . γ.

 f t  dt   f t  dt x

γ ι α κ ά θ ε x  .

δ . Η ε ξ ί σ ω σ η f  x   2 g  x   2 έ χ ε ι τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν μ ι α ρ ί ζ α σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α

 0 , 1 . Θέμα 4ο Θ . Δ . 1 06 .

ΟΕΦΕ 2008

Έ σ τ ω σ υ ν ά ρ τ η σ η f ο ρ ι σ μ έ ν η κ α ι π α ρ αγ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο

1 x

τ η ν ο π ο ί α ι σ χ ύ ο υ ν ο ι σ χ έ σ ε ι ς : f '   1/ x Α . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι f  x  x  e .

 0,   

για

x 1 1 κ α ι f 1  . x e e

Β. 1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f  x  σ τ ο σ η μ ε ί ο μ ε τ ε τ μ ημ έ ν η x  1 . 2

2. Να δείξετε ότι

 f  x  dx  e , 1

f  x Γ . Α ν g  x   3 , ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ε μ β αδ ό ν E  t  τ ο υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ x π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι α π ό τη C g , τ ο ν x ' x κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς x  1 κ α ι x  t μ ε t  1. Δ . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο lim E  t  . t 

Θέμα Θ . Δ . 1 07 .

4ο

ΟΕΦΕ 2009

Έστω συνάρτηση f :    η οποία είναι παραγωγίσιμη και 

τέτοια, ώστε

 3

u    f (t )dt du  2 x  6 γ ι α κ ά θ ε xe . Ν α α π ο δ ε ί ξ ετε ό τ ι :   1 

α)



f (t )dt  2.

β ) Α ν η ε φ α π το μ έ ν η τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f σ τ ο σ η μ ε ί ο Α ( 0 , f ( 0 ) ) ε ί ν α ι η ε υ θ ε ί α 4 x  y  3  0 ν α υ π ο λο γ ί σ ε τε τ ο ό ρ ι ο : - 160 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η x

lim



t 2 f (t )dt  x 3

x 0

γ ) Α ν γ ι α κ ά θ ε x  1 ι σ χ ύ ε ι f΄ ( x )  0 κ α ι h( x ) 



f (t )dt , ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε

ό τ ι γ ι α κ ά θ ε x  1 ι σ χ ύ ε ι h΄(x) 

h(x) . x 1

δ ) Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι έ ν α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν   (1,3) τ έ τ ο ι ο , ώ στ ε

f (ξ)  3  2ξ. Θέμα 4ο

ΟΕΦΕ 2010

Α . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι e x  x  1 , γ ι α κ ά θ ε x R .

Θ . Δ . 1 08 .

Π ό τ ε ι σ χ ύ ε ι η ι σ ό τ η τ α e x  x  1; Β . Έ σ τ ω μ ι α σ υ ν ε χ ή ς σ υ ν ά ρ τ η σ η f :0,    0,    . Γ ι α κ ά θ ε x  0 θ ε ω ρ ο ύμ ε τ ο μ ι γ α δ ι κ ό z , μ ε : x f t 1 f x  xt z   e   dt  i x  e   dt κ α ι 0

x z    f  t   et  dt  f  a   1 , ό π ο υ   0 . 2 0

Να αποδείξετε ότι:

z  Re z   Im z   0 , γ ι α κ ά θ ε x  0 . 1 i f  x ii. e  f  x   ex , γ ι α κ ά θ ε x  0 . α. i.

β. Η f είναι γνησίως αύξουσα. γ. Η f έχει αντίστροφη και να βρείτε την αντίστροφή της. δ . Α ν η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο δ ι ά στ η μ α  0,    , τ ό τ ε υ π ά ρ χ ε ι έ ν α , τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ,   0,   τ έ τ ο ι ο , ώ σ τ ε α f '  ξ   1 . Θέμα 4ο Θ . Δ . 1 09 .

ΟΕΦΕ 2011

Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι δ ύ ο φ ο ρ έ ς π α ρ αγ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο R μ ε

f(x)  2ex 2 lim f ( 0 ) = 2 , x 2 x  2

κ α ι f ΄ ΄ ( χ) < 0 γ ι α κ ά θ ε x  R .

Να αποδείξετε ότι: Δ1. f΄(-2)=1και f(x)  x + 4, για κάθε χR. Δ2. Η f παρουσιάζει μέγιστο σε σημείο x0(-2 , 0). Δ3. Η εξίσωση x=5.

f



2(x 5)



f(t  x)dt  f (0)

έχει μοναδική λύση στο R την

Δ4. Ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει είναι φανταστικός. Θέμα 4ο ΟΕΦΕ 2012

f  z  i   f  z  1

Θ . Δ . 1 10 . Δ ί ν ο ν τ α ι ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f , G κ α ι F , ο ι ο π ο ί ε ς ε ί ν α ι ο ρ ι σ μ έ ν ε ς σ τ ο δ ι ά σ τ ημ α [ 0 , +  ) μ ε f π α ρ α γω γ ί σ ι μ η κ α ι G δ ύ ο φ ο ρ ές - 161 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ το ί δ ι ο δ ι ά σ τ ημ α . Έστω ότι ισχύουν : f(0)=1, G(0)=0 και για κάθε x0 είναι f΄(χ)>0, G΄(χ)>1 και F(x)=



f (t)dt.

Δ1. Να αποδείξετε ότι F(x)0 και G(x)  x για κάθε x0. Δ 2 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τε τ ο ό ρ ι ο limF(x)lnx  κ α ι ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι x 0

υ π ά ρ χ ε ι ξ  ( 0 , 1 ) τ έ τ ο ι ο , ώ σ τ ε f(ξ) lnξ +

F(ξ) 0. ξ

Δ3. Δίνεται επιπλέον ότι: α. F(x) = G(x) – x για κάθε x0. β . Γ ι α κ ά θ ε x 0 > 0 ο ι ε φ α π τ ό μ ε ν ε ς τ ω ν γ ρ α φ ι κ ώ ν π α ρ α σ τ άσ ε ω ν C F , C G σ τ α σ η μ ε ί α τ ο υ ς Β ( x 0 , F ( x 0 ) ) κ α ι Γ ( x 0 , G ( x 0 ) ) α ν τ ί σ το ι χ α , τ έ μ ν ο ν τα ι σ ε σ η μ ε ί ο Α το υ ά ξ ο ν α y ΄ y κ α ι τ ο τ ρ ί γ ω ν ο Α Β Γ ε ί ν α ι ισεμβαδικό με το χωρίο, που ορίζεται από τις CF , CG και την ευθεία x = x0. Θέμα 4ο ΟΕΦΕ 2013

- 162 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

- 163 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ε παν άληψ η

- 164 -