Mιγαδικοί Αριθμοί Λύσεις Ασκήσεων

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Απ α ντ ήσ εις – Υ πο δεί ξεις γι α τ η λύ σ η τω ν α σκ ήσ εων

Α 1.1 Ισότητα μιγαδικών – Re(z) – Im(z) α) α=15 , β=-5 β) α=24 , β=10 1.

γ) α=2,β=1 ή α=-9 , β=

25 3

δ) α=2 , β=-11 ε) α=3 , β=4 στ) α=6 , β=-4 Να βρεθεί το πραγματικό και το φανταστικό μέρος των μιγαδικών: α) Re(z1 )=1 , Im(z1)=1 2.

9 4 , Im(z2) = 5 5 2y )=0 , Im(z3) = 2 x  y2

β) Re(z2 )= γ) Re(z3

δ) Re(z4 )= 1 , Im(z4) = 0 α) x=-19 , y=7 3.

4 2 , y= 3 3 1 1 γ) x=  , y= 6 6 β) x=

π 4

4.

x=

5.

x=1 , y=5

6.

x=22 , y=-2

7.

A = 3 

5 3α 2 1 i , B = -14i , Γ = 2α 2

2 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 9 31 19 13 – ken tr o m el et is @ o ten e t . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Απ α ντ ήσ εις – Υ πο δεί ξεις γι α τ η λύ σ η τω ν α σκ ήσ εων

Α 1.2 Συζυγείς μιγαδικοί – Πράξεις 8.

α) - i , β)

1 5 1 i , γ)  i , δ) 1-2i 5 26 26

α) 6+0i , β) 0-2i , γ) 0+i , δ) i , ε) -3-4i , στ) 3-2i , ζ) 9. η)

10.

3 3  i 2 2

1 3 2  3  i 2 2

α) χ=4 y=2 ή x=2 y=4 β) x=1 y=-1 ή x=2 y=1

11. β) x=1

13. w = z2 + 2z

Α 1.3 Γεωμετρική παράσταση μιγαδικού 14. β) z4=-2 + 2i

Α 1.4 Δυνάμεις του i και δυνάμεις του 1+i και του 1-i Δυνάμεις του z

1 1  i  Α = 2 , B = 16.  i 0 0 1  i  17. S =  i 0

1 9 . A = 2  1

, αν ν = 4π , αν ν = 4π+1 , Γ = 0 , αν ν = 4π+2 , αν ν = 4π+3

, αν ν = 4π , αν ν = 4π+1 , αν ν = 4π+2 , αν ν = 4π+3

ν

3 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 9 31 19 13 – ken tr o m el et is @ o ten e t . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Απ α ντ ήσ εις – Υ πο δεί ξεις γι α τ η λύ σ η τω ν α σκ ήσ εων

1 i  20. f (55)=-i , f (-25)=-i, f (3ν)=  1 i 21.

, αν ν = 4π , αν ν = 4π+1 . , αν ν = 4π+2 , αν ν = 4π+3

α) -128 β) ν = 4π+2 , πΝ

25. α) Να βρεθεί ο z3 = -1 και z6 = 1

Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: 2 6 . α ) 181006

β ) 21821

γ)

 3  i  2

1452

δ)

107

Α 1.5 Αντισυζυγείς 2 7 . 2  7i .

28. 0

29. ν = 4π + 2 , πΝ

Α 1.6 Βρες τον w ώστε: w2 = z

Να βρεθεί ο wC ώστε w2 = z, όπου : 32. α) w=2-i ή w=-2+i , β) w=2i ή w=-2i , γ) w  2  2 i ή w   2  2 i δ ) w = 3 - 2 i ή w = - 3 + 2 i , ε ) w  1  2 i ή w  1  2 i

34. Χρησιμοποιώντας την άσκηση 33 z = 6-6i .

4 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 9 31 19 13 – ken tr o m el et is @ o ten e t . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Απ α ντ ήσ εις – Υ πο δεί ξεις γι α τ η λύ σ η τω ν α σκ ήσ εων

Α 1.7 Εξισώσεις

35.

α) z = 1 + 3i ή z = -1 - 3i β) z = 3 – 2i ή z = -3 + 2i

36.

α) z = -1 ή z = 1 + 2i ή z = 1-2i β) z = 6 + 5i ή z = -6 + 5i

37. Δείξε πρώτα ότι z3 = 1 και μετά ότι: z

2001

+

1 =2.

2001

z

38. β =-12 , γ=39

39.

α ) z  1 2 i β) κ = 0 , λ = -1

7 9 z  i 5 5 40.

α) αδύνατη στο R β) στο C η λύση είναι ο z.

41.

α) z = -1 – 4i β) z = 1+i ή z = -1+i

Α 1.8 Δείχνω ότι: zR

Δείχνω ότι: z:φανταστικός

49. ε1: y = -x-1 , ε2: y = x - 1

Α 1.9 Γεωμετρικοί τόποι

52.

α) x 

3 2

β) y = 1

γ) x=0 ή y=0

δ) x=0 ή x  3 y  0 ή x  3 y  0

ε) y=0 ή y  3 x ή y   3 x

5 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 9 31 19 13 – ken tr o m el et is @ o ten e t . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Απ α ντ ήσ εις – Υ πο δεί ξεις γι α τ η λύ σ η τω ν α σκ ήσ εων

1

1

5

Κύκλος με κέντρο το K ,  και ακτίνα ρ = 53.

4 4 2 Α(0 , 1).

εκτός του σημείου

55. Ισοσκελής υπερβολή: y2 – x2 = 1.

α) η ευθεία: y 

3 x 1 β ) ο κ ύ κ λ ο ς : x 2 + y 2 = 1 2

56. γ) ο κύκλος: (x+1)2 + (y-2)2 = 1 δ) η έλλειψη:

5 7 . x2 

x 2 y2  1 9 4

y2 1 χωρίς το σημείο Α(0 , 2) 4

58. Η ευθεία: y = -2x-2 χωρίς το σημείο Α(-1 , 0)

59.

Ο κ ύ κ λ ο ς μ ε κ έ ν τ ρ ο Κ ( 4 , - 2 ) κ α ι α κ τ ί ν α ρ=2 2 , χ ω ρ ί ς τ ο σ η μ ε ί ο Α(6 , 0)

60. Η ευθεία: y = x – 1 χωρίς το σημείο Α(0 , -1) α) ο κύκλος με κέντρο Κ(-1 , 0) και ακτίνα ρ = 1 , χωρίς το σημείο 61. Α(-2 , 0) β) ο άξονας x΄x χωρίς το σημείο Α(-2 , 0) 62. Ο κύκλος με κέντρο το Κ(1 , 3) και ακτίνα ρ=1 63. Η παραβολή y2 = 4x

3 3  , 0  , δ: x   2 2 

64. C: y2 = 6x , E

65.

Τα σημεία του κύκλου με κέντρο K(2 , 2), ακτίνα ρ= 2 2 για τα οποία x0.

66. Η υπερβολή x2 – y2 = 1 6 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 9 31 19 13 – ken tr o m el et is @ o ten e t . gr

Μ α θη ματι κ ά Κατ εύ θυ ν σ ης Γ ΄ Λυ κεί ου Απ α ντ ήσ εις – Υ πο δεί ξεις γι α τ η λύ σ η τω ν α σκ ήσ εων

67. Κύκλος με κέντρο Κ(-2 , -1) και ακτίνα ρ =

2

68. Κύκλος με κέντρο Κ(3 , 0) και ακτίνα ρ = 3

α) Οι ευθείες ε1: y=0 , ε2: x   69.

1  1  , 0 και ακτίνα ρ = 2  2 

β) Κύκλος με κέντρο K

 

70. Κύκλος με κέντρο K0 , 

71.

1 2

1   και ακτίνα ρ = 2 

13 2

Κύκλος με κέντρο το Κ(1 , 0) και ακτίνα ρ = 1 χωρίς το σημείο Ο(0 , 0)

72. Η ευθεία ε: y = x + 2 χωρίς το σημείο Α(-2 , 0)

73.

1  1 ,   και ακτίνα ρ = 6  2

Κύκλος με κέντρο K

10 χωρίς το σημείο 6

Α(-1 , 0)

α) Η ευθεία y = 0 χωρίς το σημείο Ο(0 , 0) ή ο κύκλος με κέντρο Κ(0 , 0) και ακτίνα ρ=2 β) Ο κύκλος με κέντρο Κ(1 , 0) και ακτίνα ρ=1 χωρίς το σημείο 74. Ο(0 , 0) γ) Η ευθεία ε: x = 0 χωρίς το σημείο Ο(0 , 0) ή ο μοναδιαίος κύκλος. δ) Η γραμμή x2 – y2 + 4x + 4y – 3 = 0 χωρίς το σημείο Α(-4 , 1)

Αν Μ(α , β) η εικόνα του w, τότε ο ζητούμενος γ.τ είναι η έλλειψη: 2 76. x

y2  1 α2 β2

77.

β) Η έλλειψη:

x2 1   α

2



y2 1 β  

2

1

7 Κ ΕΝ ΤΡ Ο Μ Ε Λ Ε Τ ΗΣ – Ε λ . Β ενι ζέ λο υ 2 05 Ν. Σμύ ρν η -2 10 9 31 19 13 – ken tr o m el et is @ o ten e t . gr