Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Διαγώνισμα 190713

Βαθμός (κλίμακα του 100)

Διαγώνισμα

Υπογραφή καθηγητή

Μαθηματικά Κατ. Εξεταζόμενο μάθημα

Γ΄ Λυκείου Επώνυμο

Όνομα

Τάξη

Ζ α χ α ριά δη ς Γ ιώ ρ γ ο ς Μ ά γ κο ς Μ ιχ ά λη ς Μ πο ύρ α ς Θά ν ο ς

Παρασκε υ ή 1 9 /0 7 /2 0 1 3 Τμήμα

Ημερομηνία

καθηγητές

ΘΕΜΑ Α Α . 1 Έ σ τ ω z 1 , z 2  C . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : z1 + z 2 = z1 + z2 Μ ον ά δ ε ς 9 Α . 2 Έ σ τ ω ο μ ι γ αδ ι κ ό ς α ρ ι θ μ ό ς z . Τι ο ρ ί ζ ο υ μ ε ω ς μ έ τ ρ ο τ ο υ μ ι γ αδ ι κ ο ύ z ; Μονάδες 3 Α.3 Δίνονται οι μιγαδικοί z1 = α + βi και z2 = γ + δi.

z1 . z2

Να γράψετε στη μορφή κ + λi, κ,λR, το μιγαδικό:

Μ ον ά δ ε ς 3 Α . 4 Ν α χ α ρ ακ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς π ρ ο τ ά σ ε ι ς π ο υ α κο λο υ θο ύ ν , γ ρ ά φ ο ν τ α ς τη λ έ ξ η Σω σ τ ό ή Λ άθ ο ς δ ίπ λ α σ το γ ρά μ μ α π ο υ α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ί σ ε κ ά θ ε π ρ ό τα σ η . α . Α ν z 1 , z 2  C , τ ό τ ε z1  z 2 β. τη γ. δ.

2

 z12  2z1z 2  z 22

Μονάδες 2 Η δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ή α κ τ ί ν α τ η ς δ ι α φ ο ρά ς τ ω ν μ ι γ α δ ι κώ ν ε ί ν α ι ί σ η μ ε διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. Μονάδες 2 Α ν z C , τ ό τ ε z  z  2Im( z ) Μονάδες 2 z1 = z2  |z1| = |z2| με z1 , z2 C. Μονάδες 2 

ε . Α ν z ε ί ν α ι έ ν α ς μ ι γ α δ ι κό ς α ρ ι θ μ ό ς , τ ό τ ε : z   z . Μονάδες 2

ΘΕΜΑ Β Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς z , w κ α ι v γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ι σ χ ύ ο υ ν : (3 – 4i)z + (3 + 4i) z = 20 ,

1 w ε ί ν α ι φ α ν τ α σ τ ι κό ς κ α ι 1 w v    3  (2 1) i ,  R .

ο μ ι γ α δ ι κό ς

Σελίδα 1 από 3

Β . 1 Ν α β ρ ε ί τ ε το γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τό π ο τω ν ε ι κ ό νω ν τω ν z σ τ ο μ ι γ α δ ι κό επίπεδο. Μονάδες 6 Β . 2 Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τω ν ε ι κ ό ν ω ν τω ν w σ τ ο μ ι γ α δ ι κό επίπεδο. Μονάδες 6 Β . 3 Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο γ ε ω μ ε τ ρ ι κό τ ό π ο τω ν ε ι κ ό ν ω ν τω ν v σ τ ο μ ι γ α δ ικό επίπεδο. Μ ον ά δ ε ς 6 Β . 4 Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε λ ά χ ι σ τ η κ α ι τ η μ έ γ ι σ τ η τ ι μ ή τ ο υ : w  3  4i . Μονάδες 3,5 Β.5 Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του: v  w . Μ ον ά δ ε ς 3 ,5

ΘΕΜΑ Γ Έ σ τ ω z  C - { - i , i } κ αι w =

z . z +1 2

Γ.1 Να αποδείξετε ότι: αν ο w είναι πραγματικός , τότε ο z είναι π ρ α γ μ ατ ι κ ό ς ή ε ί ν α ι z = 1 . Μ ο ν ά δε ς 6 Γ . 2 Ν α λ ύ σ ε τ ε σ τ ο σ ύ ν ο λ ο τω ν μ ι γ α δ ι κώ ν α ρ ι θ μ ώ ν τ η ν ε ξ ί σ ω σ η :

z 3 . = z +1 3 2

Μονάδες 4

Γ . 3 Α ν z 1 , z 2 ε ί ν α ι ο ι ρ ί ζ ε ς τ η ς ε ξ ί σ ω σ η ς τ ο υ ε ρ ω τ ή μ α το ς Γ . 2 , ν α β ρ ε ί τ ε

 z1z 2  - i .

2 4 -  z1 + z 2  3

τ ο μ ι γ αδ ι κ ό v =

Μ ο ν ά δε ς 4 1006

v Γ.4 Να δείξετε ότι:   2

1006

i   v

. Μονάδες 5

Γ.5 Αν z = 1 να αποδείξετε ότι:

1 + 5i  7 . w Μ ο ν ά δε ς 6

Σελίδα 2 από 3

ΘΕΜΑ Δ Θ ε ω ρο ύ μ ε το υ ς μ ι γ α δ ι κ ο ύ ς α ρ ι θ μ ο ύ ς z , α κ α ι β γ ι α τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς ισχύει:

z2  z2  i

,

  z  iz

και

  z  iz

Δ.1 Να αποδείξετε ότι: i.

  2 z  2 Im( z 2 ) 2

2

Μ ο ν άδ ε ς 4 ii.

  4 z Μ ον ά δ ε ς 4

iii.

  2 2 z Μονάδες 4

Δ.2 Δίνεται και ο μιγαδικός v με v 

i.

ii.

να δείξετε ότι v 

α + β - zi και a  3 , 1 z  β

zi και ότι v ≠ - i.

1  iz

Μονάδες 4

να δείξετε ότι: v i  z  v  i . Μονάδες 4

i i i . ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ν γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ό τ ό π ο τω ν ε ι κ ό ν ω ν τω ν μ ι γ α δ ι κώ ν z . Μ ον ά δ ε ς 5

Να έχετε επιτυχία

Σελίδα 3 από 3