INFORME DE TRABAJO ESTADร STICA
Trabajo realizado por: G. Aguilar M. Bravo M. Escobar P. Gonzรกlez Curso: 4ยบ E
Pregunta 1 a)
Cuando una canica choca contra un obstáculo debe tomar una decisión de si ir a la derecha o a la izquierda, no hay ninguna razón por la que debería privilegiar una respecto a la otra, así que se puede modelar como lanzar una moneda tal que si sale -1 la canica va hacia la izquierda y si sale 1 la canica va hacia la derecha. b) La cantidad de monedas lanzadas representa la cantidad de obstáculos contra los que choca, es decir, la “altura” de la máquina de Galton. La suma total, representa cuantas veces más se fue a la derecha que a la izquierda (si la suma es positiva), o cuantas veces se fue más a la izquierda que a la derecha (si la suma es negativa), es decir, la suma representa el cubículo en el que cae la canica. c) Notamos que X puede tomar 2 valores, así que Y, puede tomar a los más dos valores. Cuando X toma el valor 1, Y=2X-1=1, como esto es con probabilidad 0.5, Y toma el valor 1 con probabilidad a lo menos 0.5. Cuando X toma el valor 0, Y=2X-1=-1, como esto es con probabilidad 0.5, Y toma el valor -1 con probabilidad a lo menos 0.5. Como la probabilidad total es 1 y 1 = PሺY = 1oY = −1ሻ = PሺY = 1ሻ + PሺY = −1ሻ ⩾ 1, se tiene que P(Y=1)=0.5 y P(Y=-1)=0.5. d) Se tiene que PሺX > ݔሻ = 1 − PሺX ⩽ xሻ = 1 − Fሺxሻ. Además Pሺa < ܺ < ܾሻ = 1 − PሺX < ܾܽ > ܺሻ = 1 − PሺX < ܽሻ − PሺX > ܾሻ, luego utilizando la fórmula anterior Pሺa < ܺ < ܾሻ = 1 − Fሺaሻ − ൫1 − Fሺbሻ൯ = Fሺbሻ − Fሺaሻ. Pregunta 2 a) Usando la pregunta 1 c, basta escribir =2*ALEATORIO.ENTRE(0;1)-1. b) En archivo excel adjunto. c) En archivo excel adjunto. d) Las tablas resultantes fueron
Caso 1 Altura =10, canicas=20. Rango Real Rango <-2,1 (-2,1, -1,5] (-1,5, 0,9] (-0,9, 0,3] (-0,3, 0,3] (0,3, 0,9] (0,9, 1,5] (1,5, 2,1] >2,1
Frecuencia -2,1 -1,5 -0,9 -0,3 0,3 0,9 1,5 2,1
Proporción 0 0 0 7 8 3 2 0 0
0 0 0 0,35 0,4 0,15 0,1 0 0
Predicha
Error 0,02 0,05 0,12 0,20 0,24 0,20 0,12 0,05 0,02
0,02 0,05 0,12 0,15 0,16 0,05 0,02 0,05 0,02
Caso 2 - Altura=51, Canicas= 20 Rango Real Rango Frecuencia <-2,1 -2,1 (-2,1, -1,5] -1,5 (-1,5, 0,9] -0,9 (-0,9, 0,3] -0,35 (-0,3, 0,3] 0,35 (0,3, 0,9] 1,05 (0,9, 1,5] 1,75 (1,5, 2,1] 2,45 >2,1
Proporci贸n 0 0 3 1 6 5 4 1 0
0 0 0,15 0,05 0,3 0,25 0,2 0,05 0
Predicha
Error 0,02 0,05 0,12 0,18 0,27 0,22 0,11 0,03 0,01
0,02 0,05 0,03 0,13 0,03 0,03 0,09 0,02 0,01
Caso 3 - Altura=10, Canicas= 100 Rango Real Rango <-2,1 (-2,1, -1,5] (-1,5, 0,9] (-0,9, 0,3] (-0,3, 0,3] (0,3, 0,9] (0,9, 1,5] (1,5, 2,1] >2,1
Frecuencia -2,1 -1,5 -0,9 -0,3 0,3 0,9 1,5 2,1
2 9 12 15 28 25 5 2 2
Proporci贸n Predicha Error 0,02 0,02 0,09 0,05 0,12 0,12 0,15 0,20 0,28 0,24 0,25 0,20 0,05 0,12 0,02 0,05 0,02 0,02
0,00 0,04 0,00 0,05 0,04 0,05 0,07 0,03 0,00
Caso 4 - Altura=51, Canicas= 100 Rango Real Rango <-2,1 (-2,1, -1,5] (-1,5, 0,9] (-0,9, 0,3] (-0,3, 0,3] (0,3, 0,9] (0,9, 1,5] (1,5, 2,1] >2,1
Frecuencia -2,1 -1,5 -0,9 -0,3 0,3 0,9 1,5 2,1
3 4 14 23 18 22 12 0 4
Proporci贸n Predicha Error 0,03 0,02 0,04 0,05 0,14 0,12 0,23 0,20 0,18 0,24 0,22 0,20 0,12 0,12 0,00 0,05 0,04 0,02
0,01 0,01 0,02 0,03 0,06 0,02 0,00 0,05 0,02
Caso 5.-Altura=10, Canicas= 500
Rango Real Rango <-2,1 (-2,1, -1,5] (-1,5, 0,9] (-0,9, 0,3] (-0,3, 0,3] (0,3, 0,9] (0,9, 1,5] (1,5, 2,1] >2,1
Frecuencia -2,1 -1,5 -0,9 -0,3 0,3 0,9 1,5 2,1
4 20 54 103 119 117 63 16 4
Proporci贸n Predicha Error 0,01 0,02 0,04 0,05 0,11 0,12 0,21 0,20 0,24 0,24 0,23 0,20 0,13 0,12 0,03 0,05 0,01 0,02
Caso 6 - Altura=51, Canicas= 500
Rango Real Rango <-2,1 (-2,1, -1,5] (-1,5, 0,9] (-0,9, 0,3] (-0,3, 0,3] (0,3, 0,9] (0,9, 1,5] (1,5, 2,1] >2,1
-2,1 -1,5 -0,9 -0,3 0,3 0,9 1,5 2,1
Frecuencia Proporci贸n Predicha Error 11 0,02 0,02 26 0,05 0,05 59 0,12 0,12 89 0,18 0,20 107 0,21 0,24 99 0,20 0,20 66 0,13 0,12 29 0,06 0,05 15 0,03 0,02
e) Los gr谩ficos obtenidos fueron: Caso 1
0,00 0,00 0,00 0,02 0,02 0,00 0,01 0,01 0,01
0,01 0,01 0,01 0,01 0,00 0,04 0,01 0,02 0,01
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Caso 5
Caso 6
f) La proporción empírica se va pareciendo cada vez más a la proporción predicha a medida que aumenta el número de lanzamientos. El error no cambia demasiado cuando cambia el número de obstáculos, sin embargo, el error varía mucho con la cantidad de canicas lanzadas, yendo de 15% en el caso de 20 canicas a un 2~3% en el caso de 500 canicas. Según los resultados obtenidos podemos decir que los resultados de la máquina de Galton se pueden aproximar a una variable normal, incluso a una altura muy pequeña, pues sabemos que la probabilidad se puede calcular repitiendo muchas veces un experimento, por lo tanto, el caso de 500 canicas aproxima muy bien a la distribución de probabilidad real que tiene el resultado de la máquina de Galton, y éste está muy bien aproximado por la distribución normal.