Exercices Arithmétique dans Z

Divisibilité Exercice 1

Résoudre dans ℤ les équations suivantes : b) x + 2 | x 2 + 2 . a) x −1| x + 3

Exercice 2

Résoudre dans ℤ 2 les équations suivantes : a) xy = 2x + 3y

Exercice 3

b)

1 1 1 + = x y 5

c) x 2 − y 2 − 4x − 2y = 5 .

Soit a ∈ ℤ et b ∈ ℕ∗ , on note q le quotient de la division euclidienne de a −1 par b .

Déterminer ∀n ∈ ℕ , le quotient de la division euclidienne de (ab n −1) par b n +1 .

Calcul en congruence Exercice 4

Montrer que 11| 2123 + 3121 .

Exercice 5

Quel est le reste de la division euclidienne de 1234 4321 + 43211234 par 7 ?

Exercice 6

Montrer que pour tout n ∈ ℕ : a) 6 | 5n 3 + n

b) 7 | 32n +1 + 2n + 2

c) 5 | 22n +1 + 32n +1

d) 11| 38n ×54 + 56n × 73

e) 9 | 4n −1− 3n

f) 152 |16n −1−15n .

Exercice 7

Trouver les entiers n ∈ ℤ tel que 10 | n 2 + (n + 1)2 + (n + 3) 2 .

Exercice 8

Montrer que 7 | x et 7 | y ⇔ 7 | x 2 + y 2 .

PGCD et PPCM Exercice 9

Déterminer le pgcd et les coefficients de l’égalité de Bézout (1730-1783) des entiers a et b suivants : b) a = 37 et b = 27 c) a = 270 et b = 105 . a) a = 33 et b = 24

Exercice 10 Soit a ,b ,d ∈ ℤ . Montrer l’équivalence : (∃u , v ∈ ℤ, au + bv = d ) ⇔ pgcd(a ,b ) | d .

Exercice 11 Montrer que le pgcd de 2n + 4 et 3n + 3 ne peut être que 1, 2,3 ou 6.

Exercice 12 a) Montrer que si r est le reste de la division euclidienne de a ∈ ℕ par b ∈ ℕ∗ alors 2r −1 est le reste de la division euclidienne de 2a −1 par 2b −1 . b) Montrer que pgcd(2a −1, 2b −1) = 2pgcd(a ,b ) −1 .

Exercice 13 Soit d , m ∈ ℕ . Donner une condition nécessaire et suffisante pour que le système

x ,y) = d possède un couple (x , y ) ∈ ℕ {pgcd( ppcm(x , y ) = m

2

solution.

Exercice 14 Résoudre dans ℕ 2 l’équation : pgcd(x , y ) + ppcm(x , y ) = x + y .

Exercice 15 Résoudre dans ℕ 2 les systèmes : pgcd(x , y ) = 5 a) ppcm(x , y ) = 60

{

b)

+ y = 100 {xpgcd( x , y ) = 10

Nombres premiers entre eux Exercice 16 Soit a et b premiers entre eux.

Montrer que a ∧ (a + b ) = b ∧ (a + b ) = 1 puis (a + b ) ∧ ab = 1 .

Exercice 17 Soit a ,b ∈ ℤ . a) On suppose a ∧ b = 1 . Montrer que (a + b ) ∧ ab = 1 . b) On revient au cas général. Calculer pgcd(a + b , ppcm(a ,b )) .

Exercice 18 Montrer que pour tout n ∈ ℕ∗ on a : a) (n 2 + n ) ∧ (2n + 1) = 1

b) (3n 2 + 2n ) ∧ (n + 1) = 1

Exercice 19 Montrer que pour tout entier n ∈ ℕ∗ , n + 1 et 2n + 1 sont premiers entre eux.

En déduire que n + 1| 2nn .

( )

Exercice 20 Soit a et b premiers entre eux et c ∈ ℤ .

Montrer que pgcd(a ,bc ) = pgcd(a ,c ) .

Exercice 21 Soit a et b deux entiers premiers entre eux non nuls.

Notre but est de déterminer tous les couples (u , v ) ∈ ℤ 2 tels que au + bv = 1 . a) Justifier l’existence d’au moins un couple solution (u0 , v 0 ) . b) Montrer que tout autre couple solution est de la forme (u0 + kb , v 0 − ka ) avec k ∈ ℤ . c) Conclure.

Exercice 22 Pour n ∈ ℕ , montrer qu’il existe un couple unique (an ,bn ) ∈ ℕ 2 tel que (1 + 2)n = an + bn 2 avec an ∧ bn = 1 .

Exercice 23 Soit a et b deux entiers relatifs premiers entre eux et d ∈ ℕ un diviseur de ab .

Montrer que ∃!(d1 ,d 2 ) ∈ ℕ 2 tel que d = d1d 2 , d1 | a et d 2 | b .

Exercice 24 On note div(n ) l’ensemble des diviseurs positifs d’un entier n ∈ ℤ .

Soit a ,b ∈ ℤ premiers entre eux et ϕ : div(a )× div(b ) → ℕ définie par ϕ (k , ℓ ) = k ℓ .

Montrer que ϕ réalise une bijection de div(a ) × div(b ) vers div(ab ) .

Exercice 25 Soit a et b deux entiers relatifs tels que a 2 | b 2 . Montrer que a | b .

Exercice 26 Soit x ∈ ℚ . On suppose qu’il existe n ∈ ℕ∗ tel que x n ∈ ℤ . Montrer que x ∈ ℤ .

Exercice 27 Soit a ,b ∈ ℕ∗ . On suppose qu’il existe m , n premiers entre eux tels que a m = b n .

Montrer qu’il existe c ∈ ℕ ∗ tel que a = c n et b = c m .

Exercice 28 On divise un cercle en n arcs égaux et on joint les points de division de p en p jusqu’à ce qu’on revienne au point de départ. Quel est le nombre de côtés du polygone construit ?

Exercice 29 On considère la suite (ϕn )n ∈ℕ définie par ϕ0 = 0, ϕ1 = 1 et ∀n ∈ ℕ , ϕn + 2 = ϕn +1 + ϕn . a) Montrer que ∀n ∈ ℕ∗ , ϕn +1ϕn −1 − ϕn2 = (−1)n . b) En déduire que ∀n ∈ ℕ∗ , ϕn ∧ ϕn +1 = 1 . c) Montrer que ∀n ∈ ℕ, ∀m ∈ ℕ ∗ , ϕn +m = ϕm ϕn +1 + ϕm −1ϕn . d) En déduire que ∀m , n ∈ ℕ∗ , pgcd(ϕn , ϕm +n ) = pgcd(ϕn , ϕm ) , puis pgcd(ϕm , ϕn ) = pgcd(ϕn , ϕr ) où r est le reste de la division euclidienne de m par n . e) Conclure que : pgcd(ϕm , ϕn ) = ϕpgcd(m ,n ) .

Systèmes chinois x = 2 [10] Exercice 30 Résoudre le système :  .  x = 5 [13] Exercice 31 Soit a ,b ,a ′,b ′ ∈ ℤ avec b et b ′ x = a Montrer que le système   x = a ′  elles modulo bb ′ .

premiers entre eux.

[b ] b ′  

possède des solutions et que celles-ci sont congrus entres

Exercice 32 Une bande de 17 pirates dispose d'un butin composé de N pièces d'or d'égale valeur. Ils décident de se le partager également et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui ci reçoit 3 pièces.

Mais une rixe éclate et 6 pirates sont tués. Tout le butin est reconstitué et partagé entre les survivants comme précédemment; le cuisinier reçoit alors 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seul le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauvés. Le butin est à nouveau partagé de la même manière et le cuisinier reçoit 5 pièces. Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer le cuisinier lorsqu'il décide d'empoisonner le reste des pirates ?

Décomposition primaire d’un entier Exercice 33 Montrer que les nombres suivants sont composés : a) 4n 3 + 6n 2 + 4n + 1 avec n ∈ ℕ∗

b) n 4 − n 2 + 16 avec n ∈ ℤ .

Exercice 34 Soit a et p deux entiers supérieurs à 2.

Montrer que si a p −1 est premier alors a = 2 et p est premier.

Exercice 35 Soit p > 3 un nombre premier. Montrer que 24| p 2 −1 .

Exercice 36 Soit p un nombre premier.

()

a) Montrer que ∀k ∈ {1, 2, …, p −1} on a p | kp . b) En déduire que ∀n ∈ ℤ on a n p = n [ p ] .

Ce dernier résultat est connu sous le nom de petit théorème de Fermat (1601-1665)

Exercice 37 Soit E = {4k −1/ k ∈ ℕ ∗ } . a) Montrer que ∀n ∈ E , il existe p ∈ P ∩ E tel que p | n . b) En déduire qu’il y a une infinité de nombre premier p tel que p = −1 [ 4] .

Exercice 38 Justifier l’existence de 1000 entiers consécutifs sans nombres premiers.

n ∈ ℚ ⇔ ∃m ∈ ℕ tel que n = m 2 .

Exercice 39 Soit n ∈ ℕ , montrer que En déduire que

2 ∉ ℚ et

3∉ℚ

Exercice 40 Pour p ∈ P et n ∈ ℤ , on note v p (n ) l’exposant de la plus grande puissance de p divisant n . a) Montrer que v 2 (1000!) = 994 .

 E (px )  b) Plus généralement, calculer v p (n !) . On rappelle que ∀x ∈ ℝ , E   = E (x ) .  p  Exercice 41 Soit n ∈ ℕ \ {0,1} . Montrer que n est le produit de ses diviseurs non triviaux ssi n = p 3 avec

p ∈ P ou n = p1p 2 avec p1 , p2 ∈ P distincts.

Exercice 42 Soit p ∈ P et α ∈ ℕ∗ . Déterminer les diviseurs positifs de p α .

N

Exercice 43 Soit n ∈ ℕ \ {0,1} et n = ∏ pkαk sa décomposition primaire. k =1

Quel est le nombre de diviseurs positifs de n ?

N

Exercice 44 Soit n ∈ ℕ \ {0,1} dont la décomposition primaire est n = ∏ pi αi . i =1

On note d (n ) le nombre de diviseurs supérieurs ou égaux à 1 de n et σ (n ) la somme de ceux-ci.

N

piαi +1 −1 . i =1 pi −1 N

Montrer que d (n ) = ∏ (αi + 1) et σ (n ) = ∏ i =1

Exercice 45 Soit σ : ℤ → ℕ qui à n ∈ ℤ associe la somme de diviseurs positifs de n . a) Soit p ∈ P et α ∈ ℕ∗ . Calculer σ (p α ) . b) Soit a ,b ∈ ℤ premiers entre eux.

Montrer que tout diviseur positif d du produit ab s’écrit de manière unique d = d1d 2 avec d1 et

d 2 diviseurs positifs de a et b . c) En déduire que si a et b sont premiers entre eux alors σ (ab ) = σ (a )σ (b ) . d) Exprimer σ (n ) en fonction de la décomposition primaire de n . david Delaunay http://mpsiddl.free.fr