Arithmétique dans Z

Arithmétique dans Z I. Divisibilité 1°) Divisibilité dans Z Déf : Soit a ,b ∈ ℤ . On dit que a divise b ssi ∃k ∈ ℤ tel que b = ak .

On note alors a | b et on dit que a est un diviseur de b et que b est un multiple de a .

Prop : ∀a ,b ∈ ℤ, a | b ⇒ (−a ) | b ,a | (−b ) et (−a ) | (−b ) .

Prop : ∀a ,b ∈ ℤ avec b ≠ 0 . a | b ⇒ a ≤ b .

Déf : Pour a ∈ ℤ on note Div(a ) l’ensemble des diviseurs de a et Mul(a ) l’ensemble des multiples de a .

Ainsi : Div(a ) = {k ∈ ℤ / k | a } et Mul(a ) = {ak / k ∈ ℤ} (aussi noté a ℤ ).

Prop : a | b et b | c ⇒ a | c , a | b et b | a ⇒ a = b ,

a | b et a | c ⇒ a | (b + c ) , a | b et c | d ⇒ ac | bd , a | b ⇒ ∀p ∈ ℕ, a p | b p .

2°) Division euclidienne Théorème :

a = bq + r ∀a ∈ ℤ, ∀b ∈ ℕ ∗ , ∃!(q , r ) ∈ ℤ 2 tel que  .  0 ≤ r < b q et r sont respectivement appelés quotient et reste de la division euclidienne de a par b . (visualisation dans la barre de division).

Prop : ∀a ∈ ℤ et ∀b ∈ ℕ∗ , on a équivalence entre : (i) b | a , (ii) le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

3°) Calculs en congruence Déf : Soit a ,b ∈ ℤ . On dit que a est congru à b modulo n ssi n | (a −b ) . On note alors a = b [n ] . Ainsi

a = b [n ] ⇔ ∃k ∈ ℤ, a = b + k .n .

Prop : ∀a ∈ ℤ, ∃!r ∈ {0,1,…, n −1} tel que a = r [n ] .

De plus r correspond au reste de la division euclidienne de a par n .

Prop : a = b [n ] ⇔ b = a [n ]

a = b [n ] et b = c [n ] ⇒ a = c [n ] .

Prop : Soit a ,a ′,b ,b ′ ∈ ℤ vérifiant a = a ′ [n ] et b = b ′ [n ] . On a

a + b = a ′ + b ′ [n ] , ab = a ′b ′ [n ] , −a = −a ′ [n ] et ∀p ∈ ℕ,a p = a ′ p

[n ] .

II. PGCD et PPCM 1°) PGCD de deux entiers Déf : Soit a ,b ∈ ℤ . Tout d ∈ ℤ tel que d | a et d | b est appelé diviseur commun à a et b .

On note Div(a ,b ) l’ensemble des diviseurs communs à a et b . Ainsi Div(a ,b ) = Div(a ) ∩ Div(b ) .

Prop : ∀a ,b ∈ ℤ tels que (a ,b ) ≠ (0, 0) l’ensemble Div(a ,b ) possède un plus grand élément.

Déf : Soit a ,b ∈ ℤ tels que (a ,b ) ≠ (0, 0) . Le plus grand élément de Div(a ,b ) est appelé pgcd de a et b . On le note pgcd(a ,b ) ou encore a ∧ b .

Convention : On pose pgcd(0, 0) = 0 .

Prop : ∀a ,b ∈ ℤ , pgcd(a ,b ) ∈ ℕ , pgcd(a ,b ) = pgcd(b , a ) et pgcd(a ,b ) = pgcd( a , b ) .

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Prop : ∀a ,b ∈ ℤ,a | b ⇒ pgcd(a ,b ) = a .

Prop : Soit a ∈ ℤ , b ∈ ℕ ∗ et r le reste de la division euclidienne de a par b .

On a pgcd(a ,b ) = pgcd(b , r ) .

On peut calculer le pgcd de deux entiers par une succession de division euclidienne diviseur par reste : c’est l’algorithme d’Euclide.

2°) Egalité de Bézout Théorème : ∀a ,b ∈ ℤ, ∃u , v ∈ ℤ , pgcd(a ,b ) = au + bv . Une telle relation est appelée égalité de Bézout.

3°) Propriété arithmétique du pgcd Théorème : ∀a ,b ∈ ℤ, ∀d ∈ ℤ , d | a et d | b ⇔ d | pgcd(a ,b ) .

Cor : Div(a ,b ) = Div(pgcd(a ,b )) .

Prop : ∀a ,b ∈ ℤ, ∀λ ∈ ℕ, pgcd(λa , λb ) = λ pgcd(a ,b ) .

4°) PPCM de deux entiers Déf : Soit a ,b ∈ ℤ . Tout m ∈ ℤ tel que a | m et b | m est appelé multiple commun à a et b . L’ensemble des multiples communs à a et b est noté Mul(a ,b ) . Ainsi Mul(a ,b ) = Mul(a ) ∩ Mul(b ) .

Prop : ∀a ,b ∈ ℤ∗ , l’ensemble Mul(a ,b ) ∩ ℕ∗ possède un plus petit élément.

Déf : Soit a ,b ∈ ℤ tels que a ≠ 0 et b ≠ 0 , le plus petit élément de Mul(a ,b ) ∩ ℕ∗ est appelé ppcm de a et b .

On le note ppcm(a ,b ) ou a ∨ b .

Convention : Si a = 0 ou b = 0 , on pose ppcm(a ,b ) = 0 .

Prop : ∀a ,b ∈ ℤ , ppcm(a ,b ) ∈ ℕ , ppcm(a ,b ) = ppcm(b ,a ) et ppcm(a ,b ) = ppcm( a , b ) .

Prop : ∀a ,b ∈ ℤ , a | b ⇒ ppcm(a ,b ) = b .

5°) Propriété arithmétique du ppcm Théorème : ∀a ,b ∈ ℤ, ∀m ∈ ℤ,a | m et b | m ⇔ ppcm(a ,b ) | m .

Cor : Par suite : Mul(a ,b ) = Mul(ppcm(a ,b )) .

Prop : ∀a ,b ∈ ℤ, ∀λ ∈ ℕ, ppcm(λa , λb ) = λ ppcm(a ,b ) .

III. Nombres premiers entre eux 1°) Définition Déf : Soit a ,b ∈ ℤ . On dit que a et b sont premiers entre eux ssi ils n’ont pas d’autres diviseurs communs que 1 et −1 .

Prop : Soit a ,b ∈ ℤ . On a équivalence entre : (i) a et b sont premiers entre eux, (ii) pgcd(a ,b ) = 1 .

Prop : ∀a ,b ,a ′,b ′ ∈ ℤ , ( a ′ | a ,b ′ | b et a ∧ b = 1 ) ⇒ a ′ ∧ b ′ = 1 .

2°) Théorème de Bézout Théorème : Soit a ,b ∈ ℤ . On a équivalence entre : (i) a et b sont premiers entre eux, (ii) ∃u , v ∈ ℤ,au + bv = 1 .

Prop : ∀a ,b ,c ∈ ℤ , ( a ∧ b = 1 et a ∧ c = 1 ) ⇒ a ∧ bc = 1 .

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Prop : a ∧ b1 = … = a ∧ bn = 1 ⇒ a ∧ (b1 …bn ) = 1

a ∧ b = 1 ⇒ ∀n , m ∈ ℕ , a n ∧ b m = 1 .

3°) Théorème de Gauss Théorème : ∀a ,b ,c ∈ ℤ , ( a | bc et a ∧ b = 1 ) ⇒ a | c .

Théorème : ∀a ,b ,c ∈ ℤ , ( a | c ,b | c et a ∧ b = 1 ) ⇒ ab | c .

Prop : Si a1 | b ,…,an | b et a1 , …, an deux à deux premiers entre eux alors a1 …an | b .

4°) Applications a) factorisation du pgcd Théorème : ∀a ,b ∈ ℤ , en notant δ = pgcd(a ,b ) on peut écrire :

a = δa ′ et b = δb ′ avec a ′,b ′ ∈ ℤ tels que pgcd(a ′,b ′) = 1 . b) produit du pgcd et du ppcm de deux entiers Théorème : ∀a ,b ∈ ℤ , pgcd(a ,b ) ppcm(a ,b ) = ab . c) représentant irréductible d’un nombre rationnel Théorème : p ∀r ∈ ℚ, ∃!(p ,q ) ∈ ℤ × ℕ∗ , r = et p ∧ q = 1 . q p Le rapport est appelé représentant irréductible du nombre rationnel r . q IV. Décomposition primaire d’un entier 1°) Nombres premiers Déf : Soit p ∈ ℕ tel que p ≥ 2 . On dit que p est premier ssi ses seuls diviseurs positifs sont 1 et p .

Sinon, l’entier p est dit composé.

On note P l’ensemble des nombres premiers.

Prop : Soit n ≥ 2 , si n est composé alors n possède un diviseur d avec 2 < d ≤ n .

Déf : On appelle facteur premier d’un entier n tout p ∈ P tel que p | n .

Prop : Tout n ≥ 2 possède au moins un facteur premier.

Prop : P est infini.

2°) Propriétés arithmétiques des nombres premiers Prop : ∀a ∈ ℤ , ∀p ∈ P , p /| a ⇒ p ∧ a = 1 Théorème : (lemme d’Euclide) ∀a ,b ∈ ℤ , ∀p ∈ P , p | ab ⇒ p | a ou p | b .

Cor : ∀a1 , …, an ∈ ℤ, ∀p ∈ P , p | a1 …an ⇒ ∃1 ≤ i ≤ n , p | ai .

3°) Décomposition primaire Théorème : ∀n ∈ ℕ \ {0,1} , ∃N ∈ ℕ∗ , ∃p1 ,…, pN ∈ P distincts, ∃α1 ,…, αn ∈ ℕ∗ , n = p1α1 p2α2 … pNαN .

De plus cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.

Déf : Cette écriture est appelée décomposition primaire de l’entier n ≥ 2 .

Les p1 , …, pN correspondent alors aux facteurs premiers de n .

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4°) Diviseurs d’un entier Théorème : Soit n ∈ ℕ∗ s’écrivant n = p1α1 p2α2 … pNαN avec p1 , …, pN nombres premiers deux à deux distincts et

α1 , α2 ,…, αN ∈ ℕ . Les diviseurs positifs de n sont les entiers d pouvant s’écrire d = p1β1 p2β2 … pNβN avec

∀1 ≤ i ≤ N , 0 ≤ βi ≤ αi .

5°) Pgcd, ppcm et décomposition primaire Soit a ,b ∈ ℕ tels que a ,b ≥ 2 .

A partir des décompositions primaires de a et b on peut écrire simultanément : a = p1α1 … pNαN et b = p1β1 … pNβN avec p1 , …, pN nombre premiers deux à deux distincts et

α1 ,…, αN , β1 , …, βN ∈ ℕ .

Théorème : N

N

Avec les écriture ci-dessus : pgcd(a ,b ) = ∏ pimin( αi ,βi ) et ppcm(a ,b ) = ∏ pimax(αi ,βi ) . i =1

i =1

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