Les fractions rationnelles I. Le corps des fractions rationnelles 1°) Construction Déf : On appelle fraction rationnelle à coefficients dans K et en l’indéterminée X tout élément représenté par un rapport A B formé par A, B ∈ K [X ] avec B ≠ 0 . On note K (X ) l’ensemble de ces éléments. Déf : Deux fractions rationnelles A B et C D sont dites égales ssi AD = BC . Déf : Tout polynôme P ∈ K [X ] est dit égal à la fraction rationnelle P 1 ∈ K (X ) . En ce sens K [X ] ⊂ K(X ) . Déf : Soit F = A B et G = C D deux éléments de K (X ) et λ ∈ K . On définit les fractions rationnelles λ.F , F +G , FG par : λ.F =
λ.A AD + BC AC , F +G = , FG = . B BD BD
Théorème :
(K (X ), +,.) est un K -espace vectoriel et (K (X ), +,×) est un corps. 2°) Représentant irréductible Théorème : ∀F ∈ K (X ), ∃!(P ,Q ) ∈ K [X ] tel que : 2
(1) Q est unitaire (2) F = P Q . (3) P et Q sont premiers entre eux. La fraction P Q est appelée représentant irréductible de F . 3°) Degré Déf : Soit F ∈ K (X ) de représentant irréductible P Q . On appelle degré de F le nombre : deg F = deg P − degQ ∈ ℤ ∪ {−∞} . Prop : Soit F = A B ∈ K (X ) . On a deg F = deg A − deg B . Prop : Soit F ,G ∈ K (X ) et λ ∈ K . deg F si λ ≠ 0 deg λ.F = , deg(F +G ) ≤ max(deg F , degG ) et deg FG = deg F + degG . −∞ si λ =0 4°) Dérivation Déf : Soit F ∈ K (X ) de représentant irréductible P Q . On appelle fraction rationnelle dérivée de F la fraction F ′ = Prop : Soit F = A B ∈ K (X ) . On a F ′ =
P ′Q − PQ ′ . Q2
A′ B − AB ′ . B2
Prop : Soit F ,G ∈ K (X ) et λ ∈ K . (λF ) ′ = λF ′, (F +G ) ′ = F ′ +G ′, (FG ) ′ = F ′G + FG ′ et
F ′ F ′G − FG ′ lorsque G ≠ 0 : = G G2 Prop : Soit F ∈ K (X ) tel que F ≠ 0 . On a deg F ′ ≤ deg F −1 . 5°) Racines et pôles d’une fraction rationnelle Déf : Soit F ∈ K (X ) de représentant irréductible P Q . On appelle racine de F toute racine de P . On appelle pôle de F toute racine de Q .
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Déf : Soit F ∈ K (X ) de représentant irréductible P Q et a ∈ K . Si a est racine de F (resp. pôle de F ), la multiplicité de a en tant que racine de P (resp. racine de Q ) est appelée multiplicité de la racine a dans F (resp. du pôle a dans F ). Prop : Soit F = A B ∈ K (X ) − {0} et a ∈ K . Posons α, β ∈ ℕ les multiplicités de a en tant que racine de A, B . Si α > β alors a est racine de F de multiplicité α − β . Si α = β alors a n’est ni racine, ni pôle de F . Si α < β alors a est pôle de F de multiplicité β − α . 6°) Evaluation Déf : Soit F ∈ K (X ) de représentant irréductible P Q et a ∈ K . On dit que F est définie en a ssi Q (a ) ≠ 0 . On pose alors F (a ) =
P (a ) appelée valeur de F en a . Q (a )
Prop : Soit F ∈ K (X ) de représentant A B et a ∈ K . Si B (a ) ≠ 0 alors F est définie en a et F (a ) = A(a ) B (a )
Prop : Soit a ∈ K, F ,G ∈ K (X ) et λ ∈ K . Si F et G sont définies en a alors λF , F +G , FG et F ′ le sont aussi.
7°) Fonctions rationnelles Déf : Soit F ∈ K (X ) . On appelle ensemble de définition de F , l’ensemble DF formé des a ∈ K tels que F définie en a . Déf : Soit F ∈ K (X ) P Q et D une partie incluse dans DF .
D → K On appelle fonction rationnelle associée à F définie sur D l’application Fɶ : . a ֏ Fɶ (a ) = F (a ) Quand D = DF , on parle simplement de fonction rationnelle associée à F . Prop : Soit F ,G ∈ K (X ) et D une partie infinie de K . Si ∀x ∈ D ∩ D ∩ D , Fɶ (x ) = Gɶ (x ) alors F = G . F
G
II. Décomposition en éléments simples 1°) Partie entière Théorème : ∀F ∈ K (X ), ∃!(E ,G ) ∈ K [X ]× K(X ) tel que : 1) F = E +G , 2) degG < 0 .
E est alors appelé partie entière de F , on la note E = Ent(F ) . 2°) Partie polaire Théorème : Soit F ∈ K (X ) et a un pôle de multiplicité α ∈ ℕ * de F .
∃!(R,G ) ∈ K [X ]× K (X ) tel que : R , (X −a )α 2) a n’est pas pôle de G , 3) deg R ≤ α −1 .
1) F = G +
La fraction
R est appelée partie polaire de F en a . (X −a )α
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Prop : (décomposition de la partie polaire) Soit a ∈ K, α ∈ ℕ∗ et R ∈ K α −1 [X ] .
∃!(λ1 ,..., λα ) ∈ K α tel que
λα λ2 λ R = +⋯+ + 1 . α α 2 X −a (X −a ) (X − a ) (X −a )
3°) Décomposition en éléments simples dans C(X) Théorème : Toute fraction rationnelle de ℂ(X ) est égale à la somme de sa partie entière et de ses différentes parties polaires. Cor : Pour F ∈ ℂ(X ) de représentant irréductible P Q . Si la factorisation de Q dans ℂ [X ] est : Q = (X −a1 )α1 … (X −an )αn avec a1 ,...,an deux à deux distincts. n
αi
Les pôles de F sont les ai de multiplicité αi et on peut écrire : F = Ent(F ) + ∑∑ i =1 j =1
λi , j (X − a i ) j
avec
λi , j ∈ ℂ . Cette écriture, qui est unique, est appelée décomposition en éléments simples de F dans ℂ(X ) .
4°) Techniques de DES a) démarche Soit F ∈ ℂ(X ) . Pour former la DES de F :
•
On exprime F sous forme irréductible P Q .
•
On détermine Ent(F ) en réalisant la division euclidienne de P par Q .
•
On factorise Q dans ℂ(X ) de sorte de déterminer les pôles de F ainsi que leurs multiplicités.
•
On exprime la DES de F à l’aide de coefficients inconnus : a ,b , c ,d ,...
• On détermine ces coefficients par diverses méthodes b) détermination de la partie polaire relative à un pôle simple Soit F ∈ ℂ(X ) de représentant irréductible P Q et a un pôle simple de F . Q = (X −a )Qˆ avec Qˆ (a ) ≠ 0 . La DES de F permet d’écrire : F =
P (X −a )Qˆ
=G +
λ avec G n’ayant pas de pôle en a . X −a
P En multipliant par X −a puis en évaluant en a on obtient λ = (a ) . Qˆ c) détermination de la partie polaire relative à un pôle double Soit F ∈ ℂ(X ) de représentant irréductible P Q et a un pôle double de F . Q = (X −a ) 2Qˆ avec Qˆ (a ) ≠ 0 . La DES de F permet d’écrire : F =
P (X −a ) 2Qˆ
=G +
λ µ + (X − a ) 2 X − a
P En multipliant par (X −a ) 2 puis en évaluant en a on obtient λ = (a ) . Qˆ P ′ En dérivant la relation précédente puis en évaluant en a : µ = (a ) . Qˆ d) démarche générale Soit F ∈ ℂ(X ) de représentant irréductible P Q et a un pôle de multiplicité α de F . Q = (X −a )αQˆ avec
Qˆ (a ) ≠ 0 . La DES de F est de la forme : F =
P (X −a )αQˆ
=G +
avec G n’ayant pas de pôle en a .
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λα λ + ⋯+ 1 . (X − a ) α X −a
En multipliant par (X −a )α puis en évaluant en a : On reprend alors le processus avec G = F −
P P (a ) = 0 + λα + 0 . Ainsi λα = (a ) . Qˆ Qˆ (a )
λα qui présente en a un pôle d’ordre < α . (X −a )α
e) astuces de calculs exploitation de la parité, évaluation en un point, multipliant le relation de DES par x et faire x → +∞ . III. Primitives de fonctions rationnelles
dx
1°) Détermination de
∫ x −a
Soit a ∈ ℂ déterminons
∫ x −a .
Si a ∈ ℝ alors
ave c a ∈ ℂ
dx
dx
∫ x −a = ln x −a +C
te
.
Si a ∈ ℂ \ ℝ alors on peut écrire a = α + i β avec α, β ∈ ℝ et β ≠ 0 . 1 x − α + iβ x −α β = = +i x −a (x − α )2 + β 2 (x − α ) 2 + β 2 (x − α ) 2 + β 2 donne
1
∫ x −a dx = ln x −a + i arctan
2°) Détermination de
∫x
2
x −α . β
αx + β dx sur ℝ + px + q
Soit α, β ∈ ℝ et p ,q ∈ ℝ tels que p 2 − 4q < 0 . L’équation x 2 + px + q = 0 n’a pas de racines réelles.
α (2x + p ) + λ αx + β α (2x + p ) dx 2 d x = ∫ x 2 + px + q ∫ x 2 + px + q dx = 2 ∫ x 2 + px + q dx + λ ∫ x 2 + px + q 2x + b dx .∫ 2 dx = ln(x 2 + px + q ) +C te , reste à déterminer : ∫ 2 x + px + q x + px + q p 4q − p 2 p On écrit : x 2 + px + q = x + + = x + + δ 2 . 2 4 2 On réalise le changement de variable : u = x + p 2 2
∫x
2
2
dx dx du 1 2x + p = =∫ 2 = arctan +C te 2 2 δ 2 δ + px + q ∫ u + δ p x + + δ 2 2
3°) Primitivation de fonctions rationnelles Soit F ∈ K (X ) , on veut déterminer
∫ F (x )dx
sur les intervalles où x ֏ F (x ) est définie.
•
On écrit F sous forme irréductible.
•
Si on peut écrire F (x ) = x n −1G (x n ) avec G ∈ ℂ(X ) et n ≥ 2 alors on réalise le changement de variable
t = x n car
∫ F (x )dx = ∫ x
n −1
G (x n )dx =
1 G (t )dt . n∫
•
On réalise la DES de F dans ℂ(X ) .
•
On primitive chacun des termes de la DES précédente.
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IV. Primitivation se ramenant à des fonctions rationnelles x
1°) Fonctions rationnelles en eαx avec α non nul Soit F ∈ ℝ (X ) , on veut déterminer
∫ F (e
αx
) dx sur les intervalles où cela a un sens.
On réalise le changement de variable u = eαx ,du = αu dx :
∫ F (e
αx
) dx =
1 F (u )du . α∫ u
2°) Fonctions rationnelles en cos x et sin x On appelle polynôme réels en deux indéterminées X et Y toute expression de la forme N
M
P (X ,Y ) = ∑∑ a p ,q X pY q avec a p ,q ∈ ℝ . p = 0 q =0
On note ℝ [X ,Y ] l’ensemble de ces polynômes. On appelle fraction rationnelle réelle en les indéterminées X et Y toute expression de la forme P (X ,Y ) R (X ,Y ) = avec P ,Q ∈ ℝ [X ,Y ],Q ≠ 0 . Q (X ,Y ) On note ℝ (X ,Y ) l’ensemble de ces fractions. Soit R ∈ ℝ (X ,Y ) , on veut déterminer
∫ R(cos x ,sin x )dx
sur tout intervalle où x ֏ R (sin x , cos x ) est définie.
On procède par changement de variable. a) règles de Bioche Théorème : (Règles de Bioche) Notons f (x ) = R (cos x ,sin x ) Si f (−x )d(−x ) = f (x )dx alors on pose t = cos x Si f (π − x )d(π − x ) = f (x )dx alors on pose t = sin x Si f (x + π )d(x + π ) = f (x )dx alors on pose t = tan x Le changement de variable proposé transforme alors la détermination de
∫ f (x )dx
en la primitivation
d’une fonction rationnelle en t . b) méthode systématique Lorsque les règles de Bioche échouent, on peut néanmoins réaliser le changement de variable : t = tan(x 2)
1 pour lequel dt = ... = (1 + t 2 )dx . 2 2 1− t 2t Sachant cos x = et sin x = on a : 1+ t 2 1+ t 2 2 1− t , 2t 2 dt et on sait poursuivre la détermination. R (cos x ,sin x )d x = R ∫ ∫ 1 + t 2 1 + t 2 1 + t 2 3°) Fonctions rationnelles en ch x et sh x Soit R ∈ ℝ (X ,Y ) , on veut déterminer
∫ R(ch x ,sh x )dx
sur tout intervalle où x ֏ R (ch x ,sh x ) est définie.
a) règles de Bioche On remplace ch x par cos x et sh x par sin x . Si les règles de Bioche s’appliquent à la fonction formée et si celles-ci invitent au changement de variable t = cos x , sin x ou tan x alors on effectue le changement de variable t = ch x , sh x ou th x . b) méthode systématique Si les règles de Bioche échouent, on écrit sh x et ch x sous forme exponentielle et on réalise le changement de variable : t = ex .
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4°) Fonctions rationnelles en x et
n
ax + b cx + d
Soit n ∈ ℕ tel que n ≥ 2 et a ,b ,c ,d ∈ ℝ tels que ad −bc ≠ 0 . ax + b Soit R ∈ ℝ (X ,Y ) , on veut déterminer ∫ R x , n dx sur les intervalles où cela est possible. cx + d
ax + b en commençant par exprimer x en fonction de t . cx + d b −dt n n (ad −bc )t n −1 ax + b R x , n , t dt . dx = ∫ R n n 2 cx + d ct −a (ct −a )
On effectue le changement de variable : t = n
x=
b −dt n n (ad −bc )t n −1 , d x = dt puis (ct n −a ) 2 ct n −a
∫
En particulier : c = 0 et d = 1 On détermine
∫ R(x ,
n
ax + b )dx via t = n ax + b .
5°) Fonctions rationnelles en x et ax 2 + bx + c Soit a ,b , c ∈ ℝ tels que a ≠ 0 et ∆ = b 2 − 4ac ≠ 0 . Soit R ∈ ℝ (X ,Y ) , on veut déterminer
∫ R(x ,
ax 2 + bx + c )dx sur tout intervalle où cela est possible.
2 ∆ b On écrit ax 2 + bx + c sous forme canonique : ax 2 + bx + c = a x + − 2 . 2a 4a
Par un changement de variable affine on peut alors transformer
ax 2 + bx + c sous l’une des formes
1 − u 2 , u 2 + 1 ou u 2 − 1 et on réalise alors les changements de variable respectifs : u = sin t , u = sh t , u = ± ch t .
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