Les fractions rationnelles I. Le corps des fractions rationnelles 1°) Construction Déf : On appelle fraction rationnelle à coefficients dans K et en l’indéterminée X tout élément représenté par un rapport A B formé par A, B ∈ K [X ] avec B ≠ 0 . On note K (X ) l’ensemble de ces éléments. Déf : Deux fractions rationnelles A B et C D sont dites égales ssi AD = BC . Déf : Tout polynôme P ∈ K [X ] est dit égal à la fraction rationnelle P 1 ∈ K (X ) . En ce sens K [X ] ⊂ K(X ) . Déf : Soit F = A B et G = C D deux éléments de K (X ) et λ ∈ K . On définit les fractions rationnelles λ.F , F +G , FG par : λ.F =
λ.A AD + BC AC , F +G = , FG = . B BD BD
Théorème :
(K (X ), +,.) est un K -espace vectoriel et (K (X ), +,×) est un corps. 2°) Représentant irréductible Théorème : ∀F ∈ K (X ), ∃!(P ,Q ) ∈ K [X ] tel que : 2
(1) Q est unitaire (2) F = P Q . (3) P et Q sont premiers entre eux. La fraction P Q est appelée représentant irréductible de F . 3°) Degré Déf : Soit F ∈ K (X ) de représentant irréductible P Q . On appelle degré de F le nombre : deg F = deg P − degQ ∈ ℤ ∪ {−∞} . Prop : Soit F = A B ∈ K (X ) . On a deg F = deg A − deg B . Prop : Soit F ,G ∈ K (X ) et λ ∈ K . deg F si λ ≠ 0 deg λ.F = , deg(F +G ) ≤ max(deg F , degG ) et deg FG = deg F + degG . −∞ si λ =0 4°) Dérivation Déf : Soit F ∈ K (X ) de représentant irréductible P Q . On appelle fraction rationnelle dérivée de F la fraction F ′ = Prop : Soit F = A B ∈ K (X ) . On a F ′ =
P ′Q − PQ ′ . Q2
A′ B − AB ′ . B2
Prop : Soit F ,G ∈ K (X ) et λ ∈ K . (λF ) ′ = λF ′, (F +G ) ′ = F ′ +G ′, (FG ) ′ = F ′G + FG ′ et
F ′ F ′G − FG ′ lorsque G ≠ 0 : = G G2 Prop : Soit F ∈ K (X ) tel que F ≠ 0 . On a deg F ′ ≤ deg F −1 . 5°) Racines et pôles d’une fraction rationnelle Déf : Soit F ∈ K (X ) de représentant irréductible P Q . On appelle racine de F toute racine de P . On appelle pôle de F toute racine de Q .
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