Polynômes en une indéterminée K désigne ℝ ou ℂ . I. Construction de l’anneau des polynômes 1°) Polynômes Déf : On appelle polynôme à coefficients dans K en l’indéterminée X tout objet noté +∞
P = ∑ an X n = a 0 + a1X + ... + an X n + ... où (an )n ∈ℕ est une suite d’éléments de K nulle à partir d’un n =0
certain rang, appelée suite des coefficients de P . On note K [X ] l’ensemble de ces éléments. +∞
+∞
Déf : Deux polynômes P = ∑ an X n et Q = ∑ bn X n ∈ K [X ] sont dits égaux ssi ils ont les mêmes n =0
n =0
coefficients. Ainsi : P = Q ⇔ ∀n ∈ ℕ,an = bn . Déf : Soit C ∈ K . On appelle polynôme constant égal à C le polynôme C + 0.X + ⋯ = C . Déf : On appelle monôme, tout polynôme de la forme : 0 + 0.X + ⋯ + 0.X n −1 + aX n + 0.X n +1 + ⋯ = aX n avec a ∈ K , n ∈ ℕ . +∞
Déf : Soit P = ∑ an X n ∈ K [X ] . On dit que P est un polynôme pair (resp. impair) ssi ∀p ∈ ℕ,a 2 p +1 = 0 n =0
(resp. a 2 p = 0 ).
2°) L’espace vectoriel des polynômes +∞
+∞
Déf : Soit P = ∑ an X n ∈ K [X ] et Q = ∑ bn X n ∈ K [X ] . n =0
n =0
+∞
On définit le polynôme P +Q ∈ K [X ] par : P +Q = ∑ (an + bn )X n . n =0
+∞
Déf : Soit P = ∑ an X n ∈ K [X ] et λ ∈ K . n =0
+∞
On définit le polynôme λ.P ∈ K [X ] par : λ.P = ∑ (λ.an )X n . n =0
Théorème : (K [X ], +,.) est un K -espace vectoriel dont l’élément nul est le polynôme nul. 3°) Degré +∞
Déf : On appelle degré de P = ∑ an X n ∈ K [X ] polynôme non nul le plus grand n ∈ ℕ tel que an ≠ 0 n =0
On le note n = deg P .
Déf : Le coefficient an est alors appelé coefficient dominant de P . Convention : Si P = 0 , on pose deg P = −∞ .
deg P si λ ≠ 0 Prop : ∀P ∈ K [X ], ∀λ ∈ K , deg(λ.P ) = . −∞ si λ = 0 Prop : ∀P ,Q ∈ K [X ],deg(P +Q ) ≤ max(deg P , degQ ) avec égalité lorsque deg(P ) ≠ deg(Q ) .
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