Polynômes en une indéterminée by Ech-charafi adil

Polynômes en une indéterminée K désigne ℝ ou ℂ . I. Construction de l’anneau des polynômes 1°) Polynômes Déf : On appelle polynôme à coefficients dans K en l’indéterminée X tout objet noté +∞

P = ∑ an X n = a 0 + a1X + ... + an X n + ... où (an )n ∈ℕ est une suite d’éléments de K nulle à partir d’un n =0

certain rang, appelée suite des coefficients de P . On note K [X ] l’ensemble de ces éléments. +∞

+∞

Déf : Deux polynômes P = ∑ an X n et Q = ∑ bn X n ∈ K [X ] sont dits égaux ssi ils ont les mêmes n =0

n =0

coefficients. Ainsi : P = Q ⇔ ∀n ∈ ℕ,an = bn . Déf : Soit C ∈ K . On appelle polynôme constant égal à C le polynôme C + 0.X + ⋯ = C . Déf : On appelle monôme, tout polynôme de la forme : 0 + 0.X + ⋯ + 0.X n −1 + aX n + 0.X n +1 + ⋯ = aX n avec a ∈ K , n ∈ ℕ . +∞

Déf : Soit P = ∑ an X n ∈ K [X ] . On dit que P est un polynôme pair (resp. impair) ssi ∀p ∈ ℕ,a 2 p +1 = 0 n =0

(resp. a 2 p = 0 ).

2°) L’espace vectoriel des polynômes +∞

+∞

Déf : Soit P = ∑ an X n ∈ K [X ] et Q = ∑ bn X n ∈ K [X ] . n =0

n =0

+∞

On définit le polynôme P +Q ∈ K [X ] par : P +Q = ∑ (an + bn )X n . n =0

+∞

Déf : Soit P = ∑ an X n ∈ K [X ] et λ ∈ K . n =0

+∞

On définit le polynôme λ.P ∈ K [X ] par : λ.P = ∑ (λ.an )X n . n =0

Théorème : (K [X ], +,.) est un K -espace vectoriel dont l’élément nul est le polynôme nul. 3°) Degré +∞

Déf : On appelle degré de P = ∑ an X n ∈ K [X ] polynôme non nul le plus grand n ∈ ℕ tel que an ≠ 0 n =0

On le note n = deg P .

Déf : Le coefficient an est alors appelé coefficient dominant de P . Convention : Si P = 0 , on pose deg P = −∞ .

deg P si λ ≠ 0 Prop : ∀P ∈ K [X ], ∀λ ∈ K , deg(λ.P ) =  .  −∞ si λ = 0 Prop : ∀P ,Q ∈ K [X ],deg(P +Q ) ≤ max(deg P , degQ ) avec égalité lorsque deg(P ) ≠ deg(Q ) .

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4°) Le sous-espace vectoriel Kn [X ] Déf : Pour n ∈ ℕ , on note Kn [X ] l’ensemble des polynômes de K [X ] de degré inférieur à n . Ainsi

Kn [X ] = {P ∈ K [X ] / deg P ≤ n } . Théorème : Kn [X ] est un sous-espace vectoriel de K [X ] de dimension n + 1 dont la famille B = (1, X ,..., X n ) est une base, dite base canonique.

Cor : Il en découle que dim K [X ] = +∞ . 5°) L’anneau des polynômes On définit une multiplication sur K [X ] en imitant le principe de multiplication des expressions polynomiales. +∞

+∞

Déf : Soit P = ∑ an X n ∈ K [X ] et Q = ∑ bn X n ∈ K [X ] . n =0

n =0

+∞

On définit le polynôme PQ par : PQ = ∑ cn X n avec n =0

cn = ∑ akbn −k = k =0

∑ab

k ℓ

= a 0bn + a1bn −1 + ⋯ + anb0 .

k + ℓ =n

Théorème : (K [X ], +,×) est un anneau commutatif d’élément nul le polynôme nul et d’élément unité le polynôme constant égal à 1 .

6°) Degré d’un produit Théorème : ∀P ,Q ∈ K [X ] , deg PQ = deg P + degQ Cor : Les polynômes inversibles sont les polynômes constants non nuls. Cor : ∀P ,Q ∈ K [X ], PQ = 0 ⇒ P = 0 ou Q = 0 . Ainsi, dans K [X ] , il n’y a pas de diviseurs de zéro.

7°) Fonctions polynomiales a) valeur d’un polynôme en un point Déf : Soit P = a 0 + a1X + ⋯ + an X n ∈ K [X ] et x ∈ K . On appelle valeur de P en x le scalaire P (x ) = a 0 + a1x + ⋯ + an x n .

Prop : Soit P ,Q ∈ K [X ] , λ , µ ∈ K et x ∈ K .

(λ.P + µ.Q )(x ) = λP (x ) + µQ (x ) , (PQ )(x ) = P (x )Q (x ) et (P Q )(x ) = P (Q (x )) . Déf : On appelle racine (ou zéro) d’un polynôme P ∈ K [X ] tout x ∈ K tel que P (x ) = 0 . Déf : On appelle équation algébrique, tout équation de la forme P (x ) = 0 d’inconnue x ∈ K et où P ∈ K [X ] . Le degré de P est alors appelé degré de l’équation P (x ) = 0 .

b) fonction polynomiale Déf : On appelle fonction polynomiale associée à P ∈ K [X ] définie sur D ⊂ K l’application :

D → K Pɶ :  . x ֏ Pɶ (x ) = P (x ) Lorsque D = K , on parle de fonction polynomiale associée à P .

+ µ.Q

, P

×Q

. Prop : Soit P ,Q ∈ K [X ] et λ , µ ∈ K . λ .P + µ.Q = λ.P ×Q = P

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8°) Composition de polynômes +∞

Déf : Soit P = ∑ an X n ∈ K [X ] et Q ∈ K [X ] . n =0

+∞

On définit le polynôme composé P Q (aussi noté P (Q ) ) par : P Q = P (Q ) = ∑ anQ n ∈ K [X ] . n =0

Prop : ∀P ,Q , R ∈ K [X ] et ∀λ, µ ∈ K :

(λ.P + µ.Q ) R = λ.P R + µ.Q R et (PQ ) R = (P R )× (Q R ) . II. Dérivation 1°) Dérivée première +∞

Déf : Soit P = ∑ an X n = a 0 + a1X + ... + an X n + ... ∈ K [X ] . n =0

On appelle polynôme dérivé de P , le polynôme noté P ′ défini par : +∞

+∞

P ′ = a1 + 2a 2 X + ⋯ + nan X n −1 + ⋯ = ∑ nan X n −1 = ∑ (n + 1)an +1X n . n =1

n =0

Prop : Soit P ∈ K [X ] . Si P est constant : P ′ = 0 . Si P non constant : deg P ′ = deg P −1 et coeff(P ′ ) = deg P .coeff(P ) . Dans les deux cas : deg P ′ ≤ deg P −1 .

Cor : P ′ = 0 ⇔ P polynôme constant. Prop : ∀λ, µ ∈ K , ∀P ,Q ∈ K [X ] , (λP + µQ ) ′ = λP ′ + µQ ′ et (PQ ) ′ = P ′Q + PQ ′ . n

Cor : (P1P2 ...Pn ) ′ = ∑ (P1 ...Pˆi ...Pn )Pi ′ et (P n ) ′ = nP ′P n −1 . i =1

Prop : ∀P ,Q ∈ K [X ] , (P Q ) ′ = Q ′ ×P ′ Q . Déf : Soit P ∈ K [X ] . On appelle polynôme primitif de P tout polynôme Q tel que Q ′ = P . 2°) Dérivée d’ordre supérieur Soit D : K [X ] → K [X ] défini par D (P ) = P ′ .

D est un endomorphisme de K [X ] . On note D 0 = Id, D 1 = D , D 2 = D D , …, D n = D D … D ( n termes)

Déf : Soit n ∈ ℕ et P ∈ K [X ] . Le polynôme P (n ) = D n (P ) est appelé polynôme dérivé d’ordre n de P . Prop : Soit P ∈ K [X ] et n ∈ ℕ . Si deg P < n alors deg P (n ) = −∞ . Si deg P ≥ n alors deg P (n ) = deg P − n .

Prop : ∀λ, µ ∈ K , ∀P ,Q ∈ K [X ] : n

()

(λP + µQ )(n ) = λP (n ) + µQ (n ) et (PQ )(n ) = ∑ n P (k )Q (n −k ) . k k =0 3°) Formule de Taylor Théorème :

P (n ) (a ) (X −a )n . n! n =0 +∞

∀P ∈ K [X ] , ∀a ∈ K , P = ∑

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III. Arithmétique des polynômes 1°) Divisibilité a) polynômes associés Déf : Soit P ,Q ∈ K [X ] . On dit que P et Q sont associés ssi ∃λ ∈ K *,P = λQ . Prop : Si P et Q sont associés et ont mêmes coefficients dominants alors P = Q . Déf : Un polynôme P ∈ K [X ] est dit unitaire (ou normalisé) ssi son coefficient dominant est égal à 1. Prop : Tout polynôme P ∈ K [X ] non nul est associé à unique polynôme unitaire. b) relation de divisibilité Déf : Soit A, B ∈ K [X ] . On dit que A divise B ssi ∃U ∈ K [X ] , B = AU . On note alors A | B .

Déf : Soit A ∈ K [X ] . On note Div(A) l’ensemble des diviseurs et Mul(A) l’ensemble des multiples de A . Prop : Soit A et B des polynômes respectivement associés à C et D . On a A | B ⇔ C | D . c) propriétés de la divisibilité Prop : ∀A, B ,C ∈ K [X ]

A | B et A | C ⇒ A | B +C , A | B et C | D ⇒ AC | BD , A | B ⇒ ∀n ∈ ℕ, An | B n . 2°) Division euclidienne a) énoncé Théorème : 2

∀A, B ∈ K [X ] avec B ≠ 0 , ∃!(Q , R ) ∈ K [X ] tel que : A = BQ + R et deg R < deg B Les polynômes Q et R sont appelés quotient et reste de la division euclidienne de A par B .

b) applications Prop : Soit A, B ∈ K [X ] tels que B ≠ 0 . On a :

B | A ⇔ le reste de la division euclidienne de A par B est nul. Prop : Soit P ∈ K [X ] et a ∈ K . a est racine de P ⇔ (X −a ) | P . 3°) Pgcd et ppcm de deux polynômes a) pgcd Déf : On note Div(A, B ) = Div(A) ∩ Div(B ) l’ensemble des diviseurs communs à A et B . Prop : Si A = BQ + R alors Div(A, B ) = Div(B , R ) . Théorème : Soit A, B ∈ K [X ] , il existe un unique polynôme D ∈ K [X ] unitaire ou nul, tel que Div(A, B ) = Div(D ) . Déf : Ce polynôme D est appelé pgcd des polynômes A et B . On note D = pgcd(A, B ) ou D = A ∧ B .

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Théorème : (Egalité de Bézout) Si D = pgcd(A, B ) alors ∃U ,V ∈ K [X ] tels que D = AU + BV . Prop : pgcd(A, B ) = pgcd(B , A) . Si A | B alors pgcd(A, B ) est associé à A .

Prop : Si C est unitaire alors pgcd(AC , BC ) = pgcd(A, B )×C . b) ppcm Déf : On note Mul(A, B ) = Mul(A) ∩ Mul(B ) l’ensemble des multiples communs à A et B . Théorème : Soit A, B ∈ K [X ] , il existe un unique polynôme unitaire ou nul tel que Mul(A, B ) = Mul(M ) . Déf : M est alors appelé ppcm de A et B . On note M = ppcm(A, B ) ou A ∨ B . Prop : ppcm(A, B ) = ppcm(B , A) Si A | B alors ppcm(A, B ) est associé à B .

Prop : Si C est unitaire alors ppcm(AC , BC ) = ppcm(A, B )×C . 4°) Polynômes premiers entre eux a) définition Déf : Deux polynômes A et B sont dits premiers entre eux ssi leurs seuls diviseurs communs sont les polynômes constants non nuls. Ceci signifie encore pgcd(A, B ) = 1 . On note alors A ∧ B = 1 . b) théorème de Bézout Théorème : On a équivalence entre : (i) A et B sont premiers entre eux, (ii) ∃U ,V ∈ K [X ] tels que AU + BV = 1 . Cor : A ∧ B et A ∧C = 1 ⇒ A ∧ (BC ) = 1 ,

d) produit du pgcd et du ppcm Théorème : ∀A, B ∈ K [X ], pgcd(A, B )× ppcm(A, B ) est associé à AB . 5°) Décomposition en produit de facteurs irréductibles Déf : Soit P ∈ K [X ] un polynôme non constant. On dit que P est irréductible dans K [X ] ssi ses seuls diviseurs sont ses diviseurs triviaux. Sinon, P est dit composé.

Prop : Soit A ∈ K [X ] et P un polynôme irréductible de K [X ] . Si P /| A alors P ∧ A = 1 .

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Prop : Soit A, B ∈ K [X ] et P un polynôme irréductible dans K [X ] .

P | AB ⇒ P | A ou P | B . Théorème : Soit A un polynôme non constant de K [X ] .

∃λ ∈ K *, ∃N ∈ ℕ*, ∃P1 ,..., PN polynômes irréductibles de K [X ] unitaires et deux à deux distincts et ∃α1 ,..., αN ∈ ℕ * tels que : A = λP1α1 P2α2 ...PNαN . De plus cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs, on l’appelle décomposition primaire de A. IV. Racines d’un polynôme 1°) Racines et degré Prop : Soit P ∈ K [X ] . Si a1 ,...,an sont des racines deux à deux distinctes de P alors (X −a1 )...(X −an ) | P

Théorème : Si P est un polynôme non nul alors P ne peut avoir plus de racines que son degré. Cor : Un polynôme de degré n possède au plus n racines. Une équation algébrique de degré n ∈ ℕ possède au plus n solutions. Cor : Soit P ∈ Kn [X ] . Si P possède au moins n + 1 racines alors P = 0 .

Cor : Soit P ∈ K [X ] . Si P possède une infinité de racines alors P = 0 .

2°) Polynôme et fonction polynomiale Soit D une partie infinie de K . Déf : On note P (D , K ) l’ensemble des fonctions polynomiales de D vers K . Théorème : L’application qui à P associe Pɶ est un isomorphisme du K -espace vectoriel K [X ] vers P (D, K ) . Cor : Si deux fonctions polynomiales prennent les mêmes valeurs une infinité de fois, c’est qu’elles sont issues du même polynôme. Ainsi : ( ∀x ∈ D, a 0 + a1x + a 2x 2 + ⋯ = b0 + b1x + b2x 2 + ⋯) ⇒ ∀n ∈ ℕ,a n = bn . C’est le principe d’identification des coefficients des fonctions polynomiales. 3°) Multiplicité des racines Déf : Soit P ∈ K [X ] tel que P ≠ 0 et a ∈ K . On appelle ordre de multiplicité de a en tant que racine de P le plus grand α ∈ ℕ tel que (X −a )α | P . Si α = 0 alors a n’est pas racine de P . Si α = 1 on parle de racine simple. Si α ≥ 2 on parle de racine multiple (double, triple,…)

Convention : Si P = 0 alors tout a ∈ K est dit racine de multiplicité +∞ de P . Prop : Soit P ∈ K [X ] non nul, a ∈ K et α ∈ ℕ . On a équivalence entre : (i) a est racine de multiplicité α de P , (ii) (X −a )α | P et (X −a )α+1 |P , (iii) ∃Q ∈ K [X ] tel que P = (X −a )αQ et Q (a ) ≠ 0 .

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Prop : Soit P ∈ K [X ] et a1 ,...,an des racines deux à deux distinctes de P de multiplicités respectives au moins égales à α1 ,..., αn . On a (X −a1 )α1 ...(X −an )αn | P .

Théorème : Si P est un polynôme non nul alors la somme des multiplicités de ses racines ne peut excéder son degré. Cor : Soit P ∈ Kn [X ] . Si P admet des racines dont la somme des multiplicités est au moins n + 1 alors P = 0 .

Cor : Soit P un polynôme de degré n ∈ ℕ . Si P admet au moins n racines distinctes alors il n’y en n’a pas d’autres et celles-ci sont simples. 4°) Multiplicité et dérivation Théorème : Si a est racine de multiplicité α ∈ ℕ∗ de P alors a est racine de multiplicité α −1 de P ′ . Cor : Les racines de P sont simples ssi P et P ′ n’ont pas de racines communes. Théorème : Soit P ∈ K [X ] non nul, a ∈ K et α ∈ ℕ∗ . On a équivalence entre : (i) a est racine d’ordre de multiplicité α de P , (ii) P (a ) = P ′(a ) = ... = P ( α−1) (a ) = 0 et P (α ) (a ) ≠ 0 .

V. Polynômes scindés 1°) Définition Déf : Un polynôme P ∈ K [X ] est dit scindé dans K [X ] ssi

∃λ ∈ K *, ∃n ∈ ℕ*, ∃x1 ,…, x n ∈ K , P = λ (X − x1 )...(X − x n ) . Théorème : Soit P ∈ K [X ] un polynôme non constant. On a équivalence entre : (i) P est scindé dans K [X ] , (ii) La somme des multiplicités des racines de P égale son degré.

2°) Polynôme complexe a) théorème de d’Alembert-Gauss Théorème : (admis) Tout polynôme non constant de ℂ [X ] admet au moins une racine. On dit que ℂ algébriquement clos.

Cor : Les polynôme irréductibles de ℂ [X ] sont ceux de degré 1 . Théorème : Soit P ∈ ℂ [X ] non constant.

∃λ ∈ K∗ , ∃N ∈ ℕ ∗ , ∃a1 ,...,aN ∈ ℂ deux à deux distincts et ∃α1 ,..., αN ∈ ℕ * tels que P = λ (X −a1 )α1 ...(X −a N )αN . De plus cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs. Cor : Tout polynôme non constant de ℂ [X ] est scindé. Tout polynôme de ℂ [X ] de degré n ∈ ℕ possède n racines comptées avec multiplicité. Toute équation algébrique complexe de degré n ∈ ℕ∗ possède n solutions complexes comptées avec multiplicité.

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b) arithmétique et racines Prop : Soit A, B ∈ ℂ [X ] . On a équivalence entre : (i) A | B , (ii) les racines de A sont aussi racines de B de multiplicité au moins égale.

Prop : Soit A, B ∈ ℂ [X ] . On a équivalence entre : (i) A ∧ B = 1 , (ii) A et B n’ont pas de racines en commun. c) polynôme conjugué

Déf : Soit P = an X n + ... + a1X + a 0 ∈ ℂ [X ] . On appelle polynôme conjugué de P le polynôme P = an X n + ... + a1X + a 0 ∈ ℂ [X ] .

Prop : Soit P ,Q ∈ ℂ [X ] .

P = P , P +Q = P +Q , PQ = PQ , P |Q ⇔ P |Q ,

∀a ∈ ℂ, P (a ) = P (a ) . Prop : Soit P ∈ ℂ [X ] , a ∈ ℂ et α ∈ ℕ . On a équivalence entre : (i) a est racine de multiplicité α de P , (ii) a est racine de multiplicité α de P .

3°) Polynôme réel Déf : Soit P ∈ ℝ [X ] . On appelle racine complexe de P toute racine de P vu comme polynôme complexe. Prop : Soit P ∈ ℝ [X ] un polynôme de degré n ∈ ℕ . P admet exactement n racines complexes comptées avec multiplicité.

Prop : Les racines complexes de P ∈ ℝ [X ] sont deux à deux conjuguées et deux racines conjuguées ont même multiplicité.

Prop : Les polynômes irréductibles de ℝ [X ] sont : + les polynômes de degré 1 , + les polynômes de degré 2 de discriminant < 0 (i.e. sans racines réelles).

Théorème : Soit P ∈ ℝ [X ] non constant. ∃ λ ∈ ℝ ∗ , ∃N , M ∈ ℕ , ∃a1 ,...,a N ∈ ℝ deux à deux distincts,

∃(p1 , q1 ),..., (pM ,q M ) ∈ ℝ 2 deux à deux distincts, tels que ∆ j = p j2 − 4q j < 0 , ∃α1 ,..., αN ∈ ℕ * et ∃β1 ,..., βM ∈ ℕ * tels que : N

P = λ∏ (X −ai )αi ∏ (X 2 + p j X + q j ) j . i =1

j =1

De plus cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs. Cor : Les polynômes de degré impair possèdent au moins une racine réelle.

4°) Relations entre racines et coefficients d’un polynôme scindé Soit P = an X n + ⋯ + a1X + a 0 un polynôme scindé de degré

n ∈ℕ∗ réel ou complexe.

Soit x1 ,..., x n les racines de P comptées avec multiplicité. On a P = an X n + ⋯ + a1X + a 0 = an (X − x1 ) … (X − x n ) . En développant le second membre, on peut exprimer les coefficients de P en fonction de ses racines.

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Déf : Soit n ∈ ℕ∗ et x1 ,…, x n ∈ K . On appelle expressions symétriques élémentaires des x1 ,..., x n les quantités suivantes : n

σ1 = ∑ x i , σ2 = i =1

∑

x i x j , σ3 =

1≤i < j ≤n

∑

x i x j x k , …, σ p =

∑

x i1 x i2 ...x ip (pour 1 ≤ p ≤ n ),

1≤i1 <i2 <...<ip ≤n

1≤i < j <k ≤n

…, σn = x1x 2 ...x n . Ainsi σp apparaît comme étant la somme de tous les produits possibles de p éléments d’indices distincts choisis dans x1 ,..., x n .

Prop : Soit n ∈ ℕ∗ , x1 ,…, x n ∈ K et σ1 , …, σn les expressions symétriques élémentaires en les x1 ,..., x n . On a

(X − x1 ) … (X − x 2 ) = X n − σ1X n −1 + ⋯ + (−1)k σk X n −k + ⋯ + (−1)n σn . Théorème : Soit P = an X n + ... + a1X + a 0 un polynôme de degré n ∈ ℕ * . et x1 ,..., x n ∈ K . On a équivalence entre : (i) x1 ,..., x n sont les racines de P comptées avec multiplicité, (ii) ∀1 ≤ k ≤ n , σk =

(−1)k an −k . an

En Particulier : Soit P = aX 2 + bX + c avec a ≠ 0 .

x + x 2 = −b a x1 et x 2 sont les racines de P comptées avec multiplicité ssi  1 . x1x 2 = c a En Particulier : Soit P = aX 3 + bX 2 + cX + d avec a ≠ 0 .

x1 + x 2 + x 3 = −b a  x1 , x 2 , x 3 sont les racines de P comptées avec multiplicité ssi  x1x 2 + x 2x 3 + x 3x1 = c a .  x1x 2x 3 = −d a

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