Structures algébriques

Déf : Une loi de composition interne ⊻ sur E est dite commutative ssi tous les

Structures algébriques (11h)

éléments de E commutent deux à deux. Le magma (E , ⊻ ) est alors dit commutatif. b) associativité Déf : Une loi de composition interne ⊻ sur E est dite associative ssi

I. Loi de composition interne E désigne un ensemble.

1°) Définition Déf : On appelle loi de composition interne (l.c.i.) ou opération sur E toute application de E ×E vers E .

Lorsque cette loi de composition interne est notée ⊻ , on note x ⊻ y

∀a ,b ,c ∈ E , (a ⊻ b ) ⊻ c = a ⊻ (b ⊻ c ) .

Le magma (E , ⊻ ) est alors dit associatif.

4°) Eléments particuliers

l’image du couple (x , y ) par l’application précédente.

L’élément x ⊻ y est appelé composé de x par y via ⊻ .

Les l.c.i. sont généralement notées ⊻ , ⊤ , ⊥ , +,×, ,...

Soit (E , ⊻ ) un magma a) élément régulier Déf : On appelle élément régulier de (E , ⊻ ) tout élément x de E tel que ∀a ,b ∈ E , x ⊻ a = x ⊻ b ⇒ a = b (régularité à gauche) et a ⊻ x = b ⊻ x ⇒ a = b (régularité à droite).

Déf : On appelle magma tout couple (E , ⊻ ) formé d’un ensemble E et d’une loi de composition interne ⊻ sur E .

b) élément neutre Déf : On appelle élément neutre de (E , ⊻ ) tout élément e de E tel que ∀x ∈ E e ⊻ x = x (neutre à gauche) et x ⊻ e = x (neutre à droite).

2°) Partie stable Déf : On appelle partie stable d’un magma (E , ⊻ ) toute partie A de E telle que

∀x , y ∈ A, x ⊻ y ∈ A .

Prop : Si (E , ⊻ ) possède un élément neutre celui-ci est unique.

Déf : Soit A une partie stable d’un magma (E , ⊻ ) .  A×A → A définit une loi de composition L’application restreinte     (x , y ) ֏ x ⊻ y

Déf : On appelle monoïde tout magma (E , ⊻ ) associatif et possédant un élément neutre.

Si de plus ⊻ est commutative, le monoïde (E , ⊻ ) est dit commutatif.

interne sur A appelée loi de composition interne induite par ⊻ .

c) élément symétrisable Soit (E , ⊻ ) un monoïde d’élément neutre e .

On la note ⊻|A ou plus couramment ⊻ et on peut ainsi donner un sens au magma (A, ⊻ ) .

Déf : On appelle élément symétrisable de (E , ⊻ ) tout élément x de E tel qu’il existe y ∈ E pour lequel x ⊻ y = e (symétrisabilité à gauche) et y ⊻ x = e (symétrisabilité à droite).

Prop : Si x est symétrisable alors ∃!y ∈ E tel que x ⊻ y = y ⊻ x = e .

3°) Propriétés d’une loi de composition interne a) commutativité Déf : Soit ⊻ une loi de composition interne sur E . On dit que deux éléments a et b de E commutent pour la loi ⊻ ssi a ⊻ b = b ⊻ a .

Déf : Si x est symétrisable, l’unique élément y de E tel que x ⊻ y = y ⊻ x = e est appelé symétrique de x et on le note y = sym(x ) .

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Prop : Si x est symétrisable alors sym(x ) l’est aussi et sym(sym(x )) = x .

De plus, un élément x = (x1 ,…, x n ) est symétrisable ssi ∀i ∈ {1,…, n } , x i

Prop : Si x et y sont symétrisables alors x ⊻ y l’est aussi et

l’est, et si tel est le cas, sym(x ) = (sym(x1 ),…,sym(x n )) .

sym(x ⊻ y ) = sym(y ) ⊻ sym(x ) .

b) structure sur F (X , E )

Prop : Si x est un élément symétrisable de (E , ⊻ ) alors x est régulier.

Soit (E , ⊻ ) un magma et X un ensemble non vide.

5°) Itéré d’un élément

Déf : On définit une loi de composition interne, encore notée ⊻ , sur F (X , E ) par ∀f , g ∈ F (X , E ) on pose ∀x ∈ X , ( f ⊻ g )(x ) = f (x ) ⊻ g (x ) .

Soit (E , ⊻ ) un monoïde de neutre e .

Prop : Si (E , ⊻ ) est un monoïde (resp. commutatif) d’élément neutre e alors

Soit x ∈ E . Pour n ∈ ℕ * , on note x ⊻ n = x ⊻ x ⊻ … ⊻ x ( n termes) Ainsi x

⊻1

= x ,x

⊻2

= x ⊻ x . De plus on pose x

⊻0

(F (X , E ), ⊻ ) est un monoïde (resp. commutatif) d’élément neutre ε :x ֏e .

De plus, un élément f ∈ F (X , E ) est symétrisable ssi ∀x ∈ X , f (x ) l’est, et si tel est le cas, (sym f )(x ) = sym( f (x )) .

=e .

Ainsi on donne un sens à x ⊻ n pour n ∈ ℕ .

Déf : x ⊻ n est appelé itéré d’ordre n de l’élément x .

Prop : ∀p , q ∈ ℕ, x ⊻ p ⊻ x ⊻ q = x ⊻ ( p +q ) et (x ⊻ p ) ⊻ q = x ⊻ ( pq ) .

7°) Notation additive et multiplicative Déf : Un monoïde est dit noté additivement (resp. multiplicativement) ssi sa loi de composition interne est notée + (resp. × )

Supposons que x soit symétrisable.

Pour n ∈ ℕ * , on note x ⊻ (−n ) = sym(x ) ⊻ sym(x ) ⊻ … ⊻ sym(x ) ( n termes) Ainsi x ⊻ (−1) = sym(x ) , x ⊻ (−2) = sym(x ) ⊻ sym(x ) ,...

Lorsqu’on adopte la notation additive ou multiplicative d’un monoïde, on adopte les conventions de notations du tableau ci-dessous : Notation par défaut Notation additive Notation multiplicative ⊻ + × ou .

On donne ainsi un sens à x ⊻ n avec n ∈ ℤ lorsque x est symétrisable.

Prop : Soit x un élément symétrisable de E . ∀n ∈ ℤ, x ⊻ n est symétrisable et sym(x ⊻ n ) = x ⊻ (−n ) .

∀p , q ∈ ℤ, x ⊻ p ⊻ x ⊻ q = x ⊻ ( p +q ) et (x ⊻ p ) ⊻ q = x ⊻ ( pq ) .

6°) Structures produits a) structure sur E n Soit (E , ⊻ ) un magma et X un ensemble non vide.

e x ⊻y

0 x +y

1 xy ou x .y

sym(x )

−x

x −1

n

⊻ xi

i =1

Déf : On définit une loi de composition interne, encore notée ⊻ , sur E n par

x ⊻n

∀ (x1 ,…, x n ),(y1 ,…, yn ) ∈ E n on pose (x1 ,…, x n ) ⊻ (y1 ,…, yn ) = (x1 ⊻ y1 ,…, x n ⊻ yn ) .

Prop : Si (E , ⊻ ) est un monoïde (resp. commutatif) d’élément neutre e alors

(E n , ⊻ ) est un monoïde (resp. commutatif) d’élément neutre ε = (e ,…,e ) .

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n

∑x i =1

n .x

n i

∏x i =1

xn

i

II. Groupes

b) groupe des racines nème de l’unité

1°) Définition

Soit n ∈ ℕ * et U n = {z ∈ ℂ / z n = 1} .

Prop : (U n ,×) est un groupe abélien.

Déf : On appelle groupe tout magma (G , ⊻ ) tel que 1) ⊻ est associative,

Pour n = 1,U 1 = {1} .

2) (G , ⊻ ) possède un élément neutre e , 3) tout élément de (G , ⊻ ) est symétrisable.

×

1

−1

Pour n = 2,U 2 = {1, −1} . On a 1

1

−1 .

Si de plus ⊻ est commutative, le groupe (G , ⊻ ) est dit commutatif ou plus couramment abélien.

−1 −1

×

1

j

j2

1

1

j

j2

j

j

j2

1

j2

j2 ×

1 1

j i

−1 −i

1

1

i

−1 −i

Pour n = 4,U 4 = {1, i , −1, −i } . On a i

i

n

Prop : Si (G , ⊻ ) est un groupe alors (G , ⊻ ) l’est aussi.

Pour n = 3,U 3 = {1, j , j 2 } . On a

Prop : Si (G , ⊻ ) est un groupe alors (F (X ,G ), ⊻ ) l’est aussi.

2°) Sous-groupe a) définition Soit (G , ⊻ ) un groupe d’élément neutre e .

Déf : On appelle sous-groupe de (G , ⊻ ) toute partie H de G telle que : 1) e ∈ H , 2) ∀x ∈ H ,sym(x ) ∈ H (stabilité par passage au symétrique),

1

.

−1 −i

1 .

−1 −1 −i

1

i

−i

i

−1

−i

1

c) groupes géométrique P le plan géométrique de direction P .

tu : translation de vecteur u .

3) ∀x , y ∈ H , x ⊻ y ∈ H (stabilité).

Théorème : Si H est un sous-groupe de (G , ⊻ ) alors (H , ⊻ ) est un groupe.

HO ,λ : homothétie de centre O et de rapport λ .

Si de plus (G , ⊻ ) est abélien alors (H , ⊻ ) l’est aussi.

RotO ,θ : rotation de centre O et d’angle θ .

Prop : T = {tu / u ∈ P } est un sous-groupe de (S(P ), ) .

Prop : (Caractérisation rapide des sous-groupes) Soit H une partie de G . On a équivalence entre : (i) H est un sous-groupe de (G , ⊻ ) ,  H ≠ ∅ (ii)  .    ∀x , y ∈ H , x ⊻ sym(y ) ∈ H

Prop : Soit O ∈ P . HO = {HO ,λ / λ ∈ ℝ *} est un sous-groupe de (S(P ), ) .

Prop : Soit H 1 , H 2 deux sous-groupes de (G , ⊻ ) .

On appelle isométrie du plan tout f ∈ S(P ) telle que ∀A, B ∈ P ,

Prop : Soit O ∈ P . RO = {RotO ,θ / θ ∈ ℝ } est un sous-groupe de (S(P ), ) .

H 1 ∩ H 2 est un sous-groupe de (G , ⊻ ) .

f (A) f (B ) = AB .

Prop : L’ensemble I des isométries du plan est un sous-groupe de (S(P ), ) .

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Déf : Soit f : G → G ′ un morphisme de groupes.

On appelle image de f , l’ensemble Im f = f (G ) . C’est un sous-groupe de

3°) Morphisme de groupes Soit (G , ⊻ ) , (G ′, ⊤ ) et (G ′′, ⊥) trois groupes d’éléments neutres e ,e ′ et e ′′ . a) définition

(G ′, ⊤ ) .

Déf : On appelle morphisme du groupe (G , ⊻ ) vers (G ′, ⊤ ) toute application

On appelle noyau de f , l’ensemble ker f = f −1 ({e ′}) . C’est un sousgroupe de (G , ⊻ ) .

ϕ :G → G ′ telle que : ∀x , y ∈G , f (x ⊻ y ) = f (x ) ⊤ f (y ) . (image de la composée est la composée des images).

Si f est bijective, on dite que f est un isomorphisme.

Si (G ′, ⊤ ) = (G , ⊻ ) , on dit que f est un endomorphisme.

Théorème : Soit f : G → G ′ un morphisme de groupes. + f est surjective ssi Im f = G , + f est injective ssi ker f = {e } .

Si (G ′, ⊤ ) = (G , ⊻ ) et f est bijective on dit que f est un automorphisme.

d) morphisme géométrique P le plan géométrique

ℤ → G  Prop : Soit a ∈ G . ϕ :  est un morphisme de groupes.  ⊻n   n ֏ a b) propriétés

Prop : Soit O ∈ P . λ ֏ HO ,λ est un morphisme de ( ℝ*,×) vers (S(P ), ) d’image HO et de noyau {1} .

Prop : Soit f : G → G ′ un morphisme de groupes. f (e ) = e ′ , ∀x ∈ G , f (sym(x )) = sym( f (x )) ,

∀x ∈ G , ∀p ∈ ℤ, f (x n

⊻p

) = ( f (x ))

⊤p

Prop : Soit O ∈ P . θ ֏ RotO ,θ est un morphisme de ( ℝ , +) vers (S(P ), ) d’image RO et de noyau 2πℤ .

et

n

Et si le temps le permet on parle des translations.

∀x1 ,…, x n ∈ G , f ( ⊻ x i ) = ⊤ f (x i ) . i =1

i =1

III. Etude du groupe symétrique

Prop : Si f : G → G ′ et g : G ′ → G ′′ sont deux morphismes de groupes alors g f : G → G ′′ est aussi un morphisme de groupes.

1°) Permutation de ℕ n = {1, 2,..., n }

Prop : Soit f : G → G ′ .

Déf : Pour n ∈ ℕ * , on note Sn l’ensemble des permutations de ℕ n .

Si f est un isomorphisme alors f −1 : G ′ → G l’est aussi.

(Sn , ) est un groupe d’élément neutre Id ℕ n = Id appelé groupe

c) noyau et image

symétrique d’ordre n .

Prop : Soit f : G → G ′ un morphisme de groupes.

Si H est un sous-groupe de (G , ⊻ ) alors f (H ) est un sous-groupe de

(G ′, ⊤ ) .

 1 2 ... n   pour visualiser l’action Déf : Pour σ ∈ Sn , on note σ =  σ (1) σ (2) ... σ (n ) de σ .

Si H ′ est un sous-groupe de (G ′, ⊤ ) alors f −1 (H ) est un sous-groupe de

Prop : Pour n ≥ 3 le groupe (Sn , ) n’est pas commutatif.

(G , ⊻ ) .

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2°) Cycles Soit p ∈ ℕ tel que 2 ≤ p ≤ n .

Soit a1 ,...,a p une liste de p éléments deux à deux distincts de ℕ n .

Théorème : L’application ε : Sn → {−1,1} est un morphisme du groupe (Sn , ) sur

Soit c : ℕ n → ℕ n définie par :

Par suite I (σ ′ σ ) à même parité que I (σ ) + I (σ ′) ,

({−1,1} ,×) .

c (a1 ) = a 2 ,c (a 2 ) = a 3 ,...,c (a p −1 ) = a p , c (a p ) = a1 et ∀x ∈ ℕ n \ {a1 ,..., a p } ,c (x ) = x .

′

Ainsi ε est un morphisme de groupes.

Déf : c est appelée cycle de longueur p (ou p cycle).

On le note c = (a1 a 2

′

puis ε(σ ′ σ ) = (−1)I (σ σ ) = (−1)I (σ )+I ( σ ) = ε(σ ′)ε(σ ) .

c est une permutation de ℕ n .

Cor : Ainsi ε(σ1 ⋯ σp ) = ε(σ1 ) ×⋯× ε(σp ) .

... a p ) .

∀p ∈ ℤ, ε(σ p ) = ε(σ ) p et en particulier ε(σ −1 ) = ε(σ ) .

L’ensemble S = {a1 ,...,a p } est appelé support du cycle c .

Prop : La signature d’un p cycle est (−1)p−1 .

Déf : Les cycles de longueur 2 sont appelés transpositions.

Une transposition τ = (i j ) a pour effet d’échanger i et j .

La suite est optionnelle :

Déf : Une permutation de signature 1 est dite paire.

Une permutation de signature −1 est dite impaire.

On note An l’ensemble des permutations paires de Sn .

Prop : Si c est un cycle de longueur p alors c p = Id .

Prop : An est un sous-groupe de (Sn , ) .

Déf : (An , ) est appelé groupe alterné d’ordre n .

3°) Décomposition d’une permutation en produit de transpositions Prop : Tout cycle de longueur p peut se décomposer en un produit de p −1 transpositions.

Théorème : Toute permutation de ℕ n peut se décomposer en un produit d’au plus n −1 transpositions.

Prop : Pour n ≥ 2 , Card An = n ! 2 .

IV. Anneaux 1°) Définition Déf : Soit ⊤ et ⊻ deux lois de composition internes sur un ensemble E .

On dit que ⊤ est distributive sur ⊻ ssi ∀a ,b , c ∈ E :

Prop : Toute permutation de ℕ n peut se décomposer en un produit de transpositions de la forme (1 k ) avec 2 ≤ k ≤ n .

a ⊻ (b ⊤ c ) = (a ⊤ b ) ⊻ (a ⊤ c ) (distributivité à gauche) et (b ⊤ c ) ⊻ a = (b ⊤ a ) ⊻ (c ⊤ a ) (distributivité à droite).

4°) Signature d’une permutation

Déf : On appelle anneau tout triplet (A, ⊤, ⊻ ) formé d’une ensemble A et deux loi de composition internes ⊤ et ⊻ tels que : 1) (A, ⊤) est un groupe abélien,

Déf : Soit σ ∈ Sn et un couple (i , j ) avec 1 ≤ i < j ≤ n .

On dit σ réalise une inversion sur le couple (i , j ) ssi σ (i ) > σ ( j ) .

On note I (σ ) le nombre de couples (i , j ) (avec 1 ≤ i < j ≤ n ) sur lesquels σ réalise une inversion.

2) (A, ⊻ ) est un monoïde, 3) ⊻ est distributive sur ⊤ .

Si de plus ⊻ est commutative, l’anneau (A, ⊤, ⊻ ) est dit commutatif.

Déf : On appelle signature d’une permutation σ de Sn le réel ε(σ ) = (−1)I (σ ) .

Prop : La signature d’une transposition est −1 .

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Prop : Si (A, +,×) est un anneau et n ∈ ℕ * alors (An , +,×) est un anneau.

4°) Eléments inversibles

Prop : Si (A, +,×) est un anneau et X un ensemble alors (F (X , A), +,×) est un anneau.

Déf : Un élément a ∈ A est dit inversible ssi il est symétrisable pour × i.e. ssi il existe b ∈ A tel que ab = ba = 1A .

Cet élément b est alors unique, on l’appelle inverse de a , on le note a −1 .

2°) Sous-anneau

Prop : Si x est inversible alors x −1 est inversible et (x −1 )−1 = x .

Déf : On appelle sous-anneau d’un anneau (A, +,×) toute partie B incluse dans A telle que : 1) 1A ∈ B ,

Prop : Si x et y sont inversibles alors xy est inversible et (xy )−1 = y −1x −1 .

5°) Diviseurs de zéro

2) ∀x , y ∈ B , x − y ∈ B , 3) ∀x , y ∈ B , xy ∈ B .

Soit (A, +,×) un anneau a) définition Déf : Soit a ∈ A tel que a ≠ 0A . On dit que a est diviseur de zéro ssi

Théorème : Si B est un sous-anneau de (A, +,×) alors (B , +,×) est un anneau.

∃b ∈ A \ {0A } tel que ab = 0A ou ba = 0A .

Si de plus (A, +,×) est commutatif alors (B , +,×) l’est aussi.

Prop : Un diviseur de zéro est non régulier pour × .

3°) Règles de calculs dans un anneau Soit (A, +,×) un anneau de neutres 0 et 1.

Prop : Les éléments inversibles de A ne sont pas diviseurs de zéro. b) anneau sans diviseurs de zéro

Prop : ∀a ∈ A, 0 ×a = a × 0 = 0 .

Prop : Si (A, +,×) ne possède pas de diviseurs de zéro alors

Prop : ∀a ,b ∈ A, (−a )b = −(ab ) = a (−b ) .

∀a ,b ∈ A, ab = 0A ⇒ a = 0A ou b = 0A (implication d’intégrité)

Prop : ∀a ,b ∈ A, ∀p ∈ ℤ, (p.a )b = p.(ab ) = a (p.b ) .

2

2

2

Prop : Dans un anneau (A, +,×) sans diviseurs de zéro tout élément non nul est régulier. c) idempotent et nilpotent

3

Prop : ∀a ,b ∈ A, (a + b ) = a + ab + ba + b , (a + b ) = ...

Théorème : (Formule du binôme de Newton) Soit a ,b ∈ A tels que a et b commutent. n

Déf : Un élément a ∈ A est dit idempotent ssi a 2 = a .

Déf : Un élément a ∈ A est dit nilpotent ssi ∃n ∈ ℕ*, a n = 0A .

()

∀n ∈ ℕ, (a + b )n = ∑ n a n −kb k . k k =0

V. Corps

Théorème : Soit a ,b ∈ A tels que a et b commutent.

1°) Définition

n −1

∀n ∈ ℕ,a −b = (a −b )∑ a n

n

n −1−k k

Déf : On appelle corps tout anneau commutatif (K , +,×) non réduit à {0K }

b

k =0

dont tous les éléments, sauf 0K , sont inversibles.

= (a −b )(a n −1 + a n −2b + ... + ab n −2 + b n −1 )

Prop : Un corps n’a pas de diviseurs de zéro.

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2°) Sous-corps Soit (K , +,×) un corps.

Déf : On appelle sous-corps d’un (K , +,×) toute partie L de K telle que : 1) L est un sous-anneau de (K , +,×) , 2) ∀x ∈ L \ {0K } , x −1 ∈ L .

Théorème : Si L est un sous-corps de (K , +,×) alors (L , +,×) est un corps.

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