Corrige Nombres complexes

Nombres complexes Exercice 1

Soit z ∈U \ {1} . Montrer que

z +1 ∈ iℝ . z −1

 z + 1 z + 1 1 z + 1 1 + z z +1 z +1 Puisque z ∈U , on a z = 1 z donc  puis ∈ iℝ . = = = =−  z −1 z −1 1 z −1 1− z z −1 z −1 Exercice 2

Soit P = {z ∈ ℂ | Im z > 0} , D = {z ∈ ℂ | z < 1} et f : ℂ \ {−i } → ℂ définie par f (z ) =

z −i . z +i

Montrer que tout élément de P à son image par f dans D .

Montrer que tout élément de D possède un unique antécédent par f dans P .

2

Posons x = Re(z ) et y = Im(z ) . f (z ) = 2

2

2

z −i

2

z +i

2

x 2 + (y −1)2 . x 2 + (y + 1) 2

=

2

Si y > 0 alors x + (y −1) < x + (y + 1) donc f (z ) < 1 . Ainsi, ∀z ∈ P , f (z ) ∈ D .

1− Z z −i 1+ Z 1+ Z 1 + Z − Z − ZZ 2 Im(Z ) Soit Z ∈ D . Z = ⇔ z =i avec i =i = +i 2 2 1− Z z +i 1− Z 1− Z 1− Z 1− Z

2 2

∈P .

Ainsi, ∀Z ∈ D , ∃!z ∈ P , f (z ) = Z .

Exercice 3

a) Déterminer le lieu des points M d’affixe z qui sont alignés avec I d’affixe i et M ′ d’affixe iz . b) Déterminer de plus le lieu des points M ′ correspondant.

a) M = I est solution.

iz − i Pour M ≠ I , I , M , M ′ sont alignés ssi ∃λ ∈ ℝ tel que IM ′ = λIM i.e. ∈ℝ. z −i 2 2  iz − i   1   1  1  Posons x = Re(z ) et y = Im(z ) . Im  = 0 ⇔ ( − 1) + ( − 1) = 0 ⇔ − + − x x y y x y     = .   z − i   2   2  2 2 Finalement le lieu des points M solutions est le cercle de centre Ω 1 1 2 et de rayon 1 2 . b) Le point M ′ est l’image de M par la rotation de centre O et d’angle π 2 .

Le lieu des points M ′ est donc le cercle de centre Ω′ 1−12 2 et de rayon 1 n

Exercice 4

n

Calculer pour θ ∈ ℝ et n ∈ ℕ , C n = ∑ cos(kθ ) et Sn = ∑ sin(kθ ) . k =0

k =0

n

C n et Sn sont les parties réelles et imaginaires de

∑e k =0

nθ Ainsi C n = cos 2

Exercice 5

2

sin

ik θ

ei (n +1) θ −1 = = ein θ 2 iθ e −1

sin

(n + 1)θ 2 . θ sin 2

(n + 1)θ (n + 1)θ sin nθ 2 2 et Sn = sin . θ θ 2 sin sin 2 2

n n n  n  Calculer pour θ ∈ ℝ et n ∈ ℕ , C n = ∑   cos(k θ ) et Sn = ∑   sin(k θ ) . k   k  k =0 k =0

nθ i n  ik θ θ iθ n n 2  e = (1 + e ) = 2 e cosn .  ∑ k  2 k =0 nθ θ nθ θ Ainsi C n = 2n cos cosn et Sn = 2n sin cosn .

2 2 2 2 n

C n et Sn sont les parties réelles et imaginaires de

Module et argument Exercice 6

Déterminer module et argument de z = 2 + 2 + i 2 − 2 .

2

z = 2 + 2 + 2 − 2 = 4 donc z = 2 . Posons θ un argument de z qu’on peut choisir dans [0, π 2] car Re(z ), Im(z ) ≥ 0 . On a cos θ =

1 2 1 2 + 2 donc cos(2θ ) = 2 + 2 −1 = avec 2θ ∈ [0, π ] donc 2 2 2

(

)

2θ = π 4 puis θ = π 8 .

Exercice 7

Soit z ∈ ℂ∗ et z ′ ∈ ℂ . Montrer que : z + z ′ = z + z ′ ⇔ ∃λ ∈ ℝ + , z ′ = λ.z .

(⇐) ok (⇒) Si z + z ′ = z + z ′ alors, en divisant par z : 1 + x = 1 + x avec x = z ′ z ∈ ℂ .

Ecrivons x = a + ib avec a ,b ∈ ℝ .

2

2 1 + x = (a + 1) 2 + b 2 =1+a 2 +b 2 +2a et (1+ x ) = (1 + a 2 + b 2 )2 = 1 + a 2 + b 2 + 2 a 2 + b 2

1 + x = 1 + x donne alors a = a 2 + b 2 d’où b = 0 et a ≥ 0 . Par suite x ∈ ℝ + et on conclut.

Exercice 8

Etablir : z + z / ≤ z + z / + z − z / .

Interprétation géométrique et précision du cas d’égalité

1 1 (z − z ′) + (z + z ′) + (z ′ − z ) + (z ′ + z ) ≤ z + z ′ + z − z ′ .

2 2 Interprétation : Dans un parallélogramme la somme des longueurs de deux côtés est inférieure à la somme des longueurs des diagonales. z +z ′ z +z ′ Il y a égalité ssi : z − z ′ = 0 (i.e. z = z ′ ) ou ∈ ℝ + et ∈ ℝ + ce qui se résume à z ′ = −z . z −z ′ z ′ −z z + z′ =

Exercice 9

Déterminer module et argument de eiθ + 1 et de eiθ −1 pour θ ∈ ℝ .

θ z = eiθ + 1 = 2 cos ei θ 2 .

2 θ θ θ θ Si cos > 0 alors z = 2cos et arg(z ) = [ 2π ] , si cos = 0 alors z = 0 .

2 2 2 2 θ θ θ et si cos < 0 alors z = −2 cos et arg(z ) = + π [ 2π ] .

2 2 2 θ z ′ = eiθ −1 = 2i sin ei θ 2 et la suite est similaire.

2 Exercice 10 Simplifier

eiθ −1 pour θ ∈ ]−π, π[ . eiθ + 1

eiθ −1 i sin θ 2 θ = = i tan . iθ 2 e + 1 cos θ 2 ′

Exercice 11 Déterminer module et argument de ei .θ + ei .θ pour θ , θ ′ ∈ ℝ .

′

i

eiθ + eiθ = e

θ +θ ′ 2

i

(e

θ −θ ′ 2

selon le signe de cos

−i

+e

θ −θ ′ 2

′

) = 2cos

θ − θ ′ i θ +2θ e ce qui permet de préciser module et argument en discutant 2

θ −θ′ .

2

Racines de l’unité Exercice 12 Calculer le produit des racines de l’unité n −1

∏e k =0

2ik π n

 n −1 2ik π   2i π n −1  = exp ∑  = exp  k  = exp(i (n −1)π ) = (−1)n −1 .   k =0 n   n ∑ k =0 

Exercice 13 Soit n ∈ ℕ∗ . On note U n l’ensemble des racines n Calculer

ème

de l’unité.

∑ z −1 .

z ∈U n

Notons ωk =e

2ik π n

avec k ∈ ℤ . ωk −1 = 2 sin

kπ . n

π cos  n −1 i k π    kπ 1 2n = 2 cot π .  = 2 z −1 = ∑ 2sin = 2 Im ∑ e n  = 4 Im  iπ n     π  n 2n 1−e   k =0  k =0 sin 2n n −1

∑

z ∈U n

n −1

Exercice 14 Soit ω une racine n

ème

de l’unité différente de 1. On pose S = ∑ (k + 1) ω k . k =0

En calculant (1− ω )S , déterminer la valeur de S . n −1

n

n −1

(1− ω )S = ∑ (k + 1)ω k − ∑ k ω k = ∑ ω k − n ω n = −n donc S = k =0

k =1

k =0

n . ω −1

Exercice 15 Simplifier : a) j ( j + 1)

a) j ( j + 1) = j 2 + j = −1 . b) c)

b)

j j +1 2

c)

j +1 . j −1

j j = = −1 j 2 + 1 −j

j + 1 ( j + 1)( j −1) ( j + 1)( j 2 −1) j 3 + j 2 − j −1 −1− 2 j = = = = . j −1 ( j −1)( j −1) ( j −1)( j 2 −1) j 3 − j 2 − j + 1 3

Exercice 16 Soit n ∈ ℕ∗ . Résoudre l’équation (z + 1)n = (z −1)n . Combien y a-t-il de solutions ?

Notons ωk =e

2ik π n

avec k ∈ ℤ les racines n

ème

de l’unité. n

 z + 1 z +1 Si z est solution alors nécessairement z ≠ 1 et  = 1 donc ∃k ∈ {0,1,…, n −1} tel que = ωk ce qui  z −1 z −1 donne (ωk −1)z = ωk + 1 .

Si k = 0 alors ce la donne 0 = 2 donc nécessairement k ∈ {1, …, n −1} et ωk ≠ 1 .

kπ 2cos ωk + 1 n = −i cot k π .

Par suite z = = ωk −1 2i sin k π n n Inversement, en remontant le calcul : ok

kπ   Finalement S = −i cot / k ∈ {1, …, n −1} .   n Puisque la fonction cot est injective sur ]0, π[ , il y a exactement n −1 solutions.

Exercice 17 Soit n ∈ ℕ∗ . Résoudre dans ℂ l’équation z n + 1 = 0 . i

π

z n + 1 = 0 ⇔ z n = eiπ , z 0 = e n est solution particulière de l’équation et donc

 i (2k +1) π  S = {z 0 ωk / k ∈ {0,…, n −1}} = e n / k ∈ {0,…, n −1} .   Exercice 18 Soit n ∈ ℕ∗ . Résoudre dans ℂ l’équation (z + i )n = (z − i )n .

Observer que celle-ci admet exactement n −1 solutions, chacune réelle.

z = i n’est pas solution. n

2ik π  z + i  z +i n Pour z ≠ i , (z + i )n = (z − i )n ⇔  1 0, … , 1 , ω en notant ω = e . = ⇔ ∃ k ∈ n − = { }  k k  z − i  z −i

z +i = ωk n’a pas de solution. z −i ω +1 z +i Pour k ∈ {1, …, n −1} , ωk ≠ 1 et l’équation = ωk a pour solution z k = i k . z −i ωk −1 Pour k = 0 , ωk = 1 et l’équation

kπ

kπ i n e kπ n Ainsi S = {z1 , …, z n −1 } avec z k = i = cot ∈ ℝ deux à deux distincts car cot est strictement kπ i n kπ n 2i sin e n kπ décroissante sur l’intervalle ]0, π[ où évoluent les pour 1 ≤ k ≤ n −1 . n 2 cos

Exercice 19 Soit ω =e

i

2π 7

. Calculer les nombres : A = ω + ω 2 + ω 4 et B = ω 3 + ω 5 + ω 6 .

On a 1 + A + B = 0 , AB = 2 et Im(A) > 0 , A = B =

−1 + i 7 .

2

Résolution d’équations et de systèmes Exercice 20 Pour quels a ∈ ℝ l’équation x 3 + 2x 2 + 2ax − a 2 = 0 possède x = 1 pour solution ?

Quelles sont alors les autres solutions de l’équation ?

x = 1 est solution de l’équation ssi a 2 − 2a − 3 = 0 ce qui donne a = −1 ou a = 3 . −3 + 5 3 + 5 ,− .

2 2 −3 + i 3 3 3 + i 3 3 Lorsque a = 3 , les solutions de l’équation sont 1, ,− .

2 2 Lorsque a = −1 , les solutions de l’équation sont 1,

Exercice 21 Résoudre dans ℂ , les équations : a) z 2 − 2iz −1 + 2i = 0 b) z 4 − (5 −14i )z 2 − 2(12 + 5i ) = 0 . a) S = {1, −1 + 2i } , b) S = {−1 + i , −3 + 2i ,1− i ,3 − 2i } .

Exercice 22 a) Déterminer les racines carrées complexes de 5 −12i . b) Résoudre l’équation z 3 − (1 + 2i )z 2 + 3(1 + i )z −10(1 + i ) = 0 en commençant par observer l’existence d’une solution imaginaire pure. c) Quelles particularités a le triangle dont les sommets ont pour affixe les solutions de l’équation précédente ? a) ±(3 − 2i ) b) a = −2i ,b = −1 + 3i et c = 2 + i c) c −b = c −a = 13 et b −a = 26 . Le triangle est rectangle isocèle.

Exercice 23 Résoudre dans ℂ le système :

{x +xyy == 12+−ii

Système somme produit. S = {(1 + 2i , −i ), (−i ,1 + 2i )} .

Exercice 24 Résoudre dans ℂ l’équation z 3 = 4 2(1 + i ) . i

4 2(1 + i ) = 8e

π 4

i

π

donc z 0 = 2e 12 est solution particulière de l’équation et donc S = {z 0 , z 0 j , z 0 j 2 } .

Exercice 25 Déterminer l’ensemble des points M (z ) tels que z + z = z .

Soit M (z ) solution avec z = a + ib et a ,b ∈ ℝ .

On a 2a = a 2 + b 2 donc a ≥ 0 et b = ± 3a .

Ainsi M se situe sur les demi-droites d’origine O dirigée par les vecteurs u 1 3 et v 1− 3 .

Inversement : ok.

Exercice 26 Soit Z ∈ ℂ∗ . Résoudre l’équation ez = Z d’inconnue z ∈ ℂ .

Posons ρ = Z et θ = arg Z

[ 2π ] . ez = Z ⇔ z = ln ρ + iθ + 2ik π avec k ∈ ℤ .

Exercice 27 Résoudre l’équation z + 1 = z + 1 d’inconnue z ∈ ℂ .

2

2

2

z + 1 = z + 2 Re(z ) + 1 et ( z + 1)2 = z + 2 z + 1 donc z + 1 = z + 1 ⇔ Re(z ) = z ⇔ z ∈ ℝ + . n

Exercice 28 Soit n ∈ ℕ . Résoudre, lorsqu’elle a un sens, l’équation :

cos(kx ) =0. k k = 0 cos x

∑

π [π ] .

2 i (n +1) x  n  n eikx   n +1 cos kx 1  = 0 ⇔ cosn +1 x = cos(n + 1)x .   cos x −e  = Re = Re ∑ ∑ k   k n ix  k =0 cos x  cos x  cos x −e  k = 0 cos x

L’équation à un sens pour x ≠

eix ≠ 1 et cos x n eikx 1 cosn +1 x −ei (n +1)x 1 cosn +1 x − cos(n + 1)x − i sin(n + 1)x = = ∑ k n ix −i sin x cos x cos x −e cosn x k = 0 cos x

Si x ≠ 0 [π ] alors

n

donc

cos kx = 0 ⇔ sin(n + 1)x = 0 ⇔ x = 0 [π n ] . k x k =0

∑ cos

n

cos kx = n +1 . k x k =0 k π  Finalement S =  / k ∈ ℤ et n |k  .  n  Si x = 0 [π ] alors

∑ cos

david Delaunay http://mpsiddl.free.fr