Nombres complexes Exercice 1
Soit z ∈U \ {1} . Montrer que
z +1 ∈ iℝ . z −1
z + 1 z + 1 1 z + 1 1 + z z +1 z +1 Puisque z ∈U , on a z = 1 z donc puis ∈ iℝ . = = = =− z −1 z −1 1 z −1 1− z z −1 z −1 Exercice 2
Soit P = {z ∈ ℂ | Im z > 0} , D = {z ∈ ℂ | z < 1} et f : ℂ \ {−i } → ℂ définie par f (z ) =
z −i . z +i
Montrer que tout élément de P à son image par f dans D . Montrer que tout élément de D possède un unique antécédent par f dans P . 2
Posons x = Re(z ) et y = Im(z ) . f (z ) = 2
2
2
z −i
2
z +i
2
x 2 + (y −1)2 . x 2 + (y + 1) 2
=
2
Si y > 0 alors x + (y −1) < x + (y + 1) donc f (z ) < 1 . Ainsi, ∀z ∈ P , f (z ) ∈ D .
1− Z z −i 1+ Z 1+ Z 1 + Z − Z − ZZ 2 Im(Z ) Soit Z ∈ D . Z = ⇔ z =i avec i =i = +i 2 2 1− Z z +i 1− Z 1− Z 1− Z 1− Z
2 2
∈P .
Ainsi, ∀Z ∈ D , ∃!z ∈ P , f (z ) = Z . Exercice 3
a) Déterminer le lieu des points M d’affixe z qui sont alignés avec I d’affixe i et M ′ d’affixe iz . b) Déterminer de plus le lieu des points M ′ correspondant.
a) M = I est solution.
iz − i Pour M ≠ I , I , M , M ′ sont alignés ssi ∃λ ∈ ℝ tel que IM ′ = λIM i.e. ∈ℝ. z −i 2 2 iz − i 1 1 1 Posons x = Re(z ) et y = Im(z ) . Im = 0 ⇔ ( − 1) + ( − 1) = 0 ⇔ − + − x x y y x y = . z − i 2 2 2 2 Finalement le lieu des points M solutions est le cercle de centre Ω 1 1 2 et de rayon 1 2 . b) Le point M ′ est l’image de M par la rotation de centre O et d’angle π 2 . Le lieu des points M ′ est donc le cercle de centre Ω′ 1−12 2 et de rayon 1 n
Exercice 4
n
Calculer pour θ ∈ ℝ et n ∈ ℕ , C n = ∑ cos(kθ ) et Sn = ∑ sin(kθ ) . k =0
k =0
n
C n et Sn sont les parties réelles et imaginaires de
∑e k =0
nθ Ainsi C n = cos 2
Exercice 5
2
sin
ik θ
ei (n +1) θ −1 = = ein θ 2 iθ e −1
sin
(n + 1)θ 2 . θ sin 2
(n + 1)θ (n + 1)θ sin nθ 2 2 et Sn = sin . θ θ 2 sin sin 2 2
n n n n Calculer pour θ ∈ ℝ et n ∈ ℕ , C n = ∑ cos(k θ ) et Sn = ∑ sin(k θ ) . k k k =0 k =0
nθ i n ik θ θ iθ n n 2 e = (1 + e ) = 2 e cosn . ∑ k 2 k =0 nθ θ nθ θ Ainsi C n = 2n cos cosn et Sn = 2n sin cosn . 2 2 2 2 n
C n et Sn sont les parties réelles et imaginaires de
Module et argument Exercice 6
Déterminer module et argument de z = 2 + 2 + i 2 − 2 .
2
z = 2 + 2 + 2 − 2 = 4 donc z = 2 . Posons θ un argument de z qu’on peut choisir dans [0, π 2] car Re(z ), Im(z ) ≥ 0 . On a cos θ =
1 2 1 2 + 2 donc cos(2θ ) = 2 + 2 −1 = avec 2θ ∈ [0, π ] donc 2 2 2
(
)
2θ = π 4 puis θ = π 8 . Exercice 7
Soit z ∈ ℂ∗ et z ′ ∈ ℂ . Montrer que : z + z ′ = z + z ′ ⇔ ∃λ ∈ ℝ + , z ′ = λ.z .
(⇐) ok (⇒) Si z + z ′ = z + z ′ alors, en divisant par z : 1 + x = 1 + x avec x = z ′ z ∈ ℂ . Ecrivons x = a + ib avec a ,b ∈ ℝ . 2
2 1 + x = (a + 1) 2 + b 2 =1+a 2 +b 2 +2a et (1+ x ) = (1 + a 2 + b 2 )2 = 1 + a 2 + b 2 + 2 a 2 + b 2
1 + x = 1 + x donne alors a = a 2 + b 2 d’où b = 0 et a ≥ 0 . Par suite x ∈ ℝ + et on conclut. Exercice 8
Etablir : z + z / ≤ z + z / + z − z / . Interprétation géométrique et précision du cas d’égalité
1 1 (z − z ′) + (z + z ′) + (z ′ − z ) + (z ′ + z ) ≤ z + z ′ + z − z ′ . 2 2 Interprétation : Dans un parallélogramme la somme des longueurs de deux côtés est inférieure à la somme des longueurs des diagonales. z +z ′ z +z ′ Il y a égalité ssi : z − z ′ = 0 (i.e. z = z ′ ) ou ∈ ℝ + et ∈ ℝ + ce qui se résume à z ′ = −z . z −z ′ z ′ −z z + z′ =
Exercice 9
Déterminer module et argument de eiθ + 1 et de eiθ −1 pour θ ∈ ℝ .
θ z = eiθ + 1 = 2 cos ei θ 2 . 2 θ θ θ θ Si cos > 0 alors z = 2cos et arg(z ) = [ 2π ] , si cos = 0 alors z = 0 . 2 2 2 2 θ θ θ et si cos < 0 alors z = −2 cos et arg(z ) = + π [ 2π ] . 2 2 2 θ z ′ = eiθ −1 = 2i sin ei θ 2 et la suite est similaire. 2 Exercice 10 Simplifier
eiθ −1 pour θ ∈ ]−π, π[ . eiθ + 1
eiθ −1 i sin θ 2 θ = = i tan . iθ 2 e + 1 cos θ 2 ′
Exercice 11 Déterminer module et argument de ei .θ + ei .θ pour θ , θ ′ ∈ ℝ .
′
i
eiθ + eiθ = e
θ +θ ′ 2
i
(e
θ −θ ′ 2
selon le signe de cos
−i
+e
θ −θ ′ 2
′
) = 2cos
θ − θ ′ i θ +2θ e ce qui permet de préciser module et argument en discutant 2
θ −θ′ . 2
Racines de l’unité Exercice 12 Calculer le produit des racines de l’unité n −1
∏e k =0
2ik π n
n −1 2ik π 2i π n −1 = exp ∑ = exp k = exp(i (n −1)π ) = (−1)n −1 . k =0 n n ∑ k =0
Exercice 13 Soit n ∈ ℕ∗ . On note U n l’ensemble des racines n Calculer
ème
de l’unité.
∑ z −1 .
z ∈U n
Notons ωk =e
2ik π n
avec k ∈ ℤ . ωk −1 = 2 sin
kπ . n
π cos n −1 i k π kπ 1 2n = 2 cot π . = 2 z −1 = ∑ 2sin = 2 Im ∑ e n = 4 Im iπ n π n 2n 1−e k =0 k =0 sin 2n n −1
∑
z ∈U n
n −1
Exercice 14 Soit ω une racine n
ème
de l’unité différente de 1. On pose S = ∑ (k + 1) ω k . k =0
En calculant (1− ω )S , déterminer la valeur de S . n −1
n
n −1
(1− ω )S = ∑ (k + 1)ω k − ∑ k ω k = ∑ ω k − n ω n = −n donc S = k =0
k =1
k =0
n . ω −1
Exercice 15 Simplifier : a) j ( j + 1)
a) j ( j + 1) = j 2 + j = −1 . b) c)
b)
j j +1 2
c)
j +1 . j −1
j j = = −1 j 2 + 1 −j
j + 1 ( j + 1)( j −1) ( j + 1)( j 2 −1) j 3 + j 2 − j −1 −1− 2 j = = = = . j −1 ( j −1)( j −1) ( j −1)( j 2 −1) j 3 − j 2 − j + 1 3
Exercice 16 Soit n ∈ ℕ∗ . Résoudre l’équation (z + 1)n = (z −1)n . Combien y a-t-il de solutions ? Notons ωk =e
2ik π n
avec k ∈ ℤ les racines n
ème
de l’unité. n
z + 1 z +1 Si z est solution alors nécessairement z ≠ 1 et = 1 donc ∃k ∈ {0,1,…, n −1} tel que = ωk ce qui z −1 z −1 donne (ωk −1)z = ωk + 1 . Si k = 0 alors ce la donne 0 = 2 donc nécessairement k ∈ {1, …, n −1} et ωk ≠ 1 .
kπ 2cos ωk + 1 n = −i cot k π . Par suite z = = ωk −1 2i sin k π n n Inversement, en remontant le calcul : ok
kπ Finalement S = −i cot / k ∈ {1, …, n −1} . n Puisque la fonction cot est injective sur ]0, π[ , il y a exactement n −1 solutions. Exercice 17 Soit n ∈ ℕ∗ . Résoudre dans ℂ l’équation z n + 1 = 0 . i
π
z n + 1 = 0 ⇔ z n = eiπ , z 0 = e n est solution particulière de l’équation et donc
i (2k +1) π S = {z 0 ωk / k ∈ {0,…, n −1}} = e n / k ∈ {0,…, n −1} . Exercice 18 Soit n ∈ ℕ∗ . Résoudre dans ℂ l’équation (z + i )n = (z − i )n . Observer que celle-ci admet exactement n −1 solutions, chacune réelle.
z = i n’est pas solution. n
2ik π z + i z +i n Pour z ≠ i , (z + i )n = (z − i )n ⇔ 1 0, … , 1 , ω en notant ω = e . = ⇔ ∃ k ∈ n − = { } k k z − i z −i
z +i = ωk n’a pas de solution. z −i ω +1 z +i Pour k ∈ {1, …, n −1} , ωk ≠ 1 et l’équation = ωk a pour solution z k = i k . z −i ωk −1 Pour k = 0 , ωk = 1 et l’équation
kπ
kπ i n e kπ n Ainsi S = {z1 , …, z n −1 } avec z k = i = cot ∈ ℝ deux à deux distincts car cot est strictement kπ i n kπ n 2i sin e n kπ décroissante sur l’intervalle ]0, π[ où évoluent les pour 1 ≤ k ≤ n −1 . n 2 cos
Exercice 19 Soit ω =e
i
2π 7
. Calculer les nombres : A = ω + ω 2 + ω 4 et B = ω 3 + ω 5 + ω 6 .
On a 1 + A + B = 0 , AB = 2 et Im(A) > 0 , A = B =
−1 + i 7 . 2
Résolution d’équations et de systèmes Exercice 20 Pour quels a ∈ ℝ l’équation x 3 + 2x 2 + 2ax − a 2 = 0 possède x = 1 pour solution ? Quelles sont alors les autres solutions de l’équation ?
x = 1 est solution de l’équation ssi a 2 − 2a − 3 = 0 ce qui donne a = −1 ou a = 3 . −3 + 5 3 + 5 ,− . 2 2 −3 + i 3 3 3 + i 3 3 Lorsque a = 3 , les solutions de l’équation sont 1, ,− . 2 2 Lorsque a = −1 , les solutions de l’équation sont 1,
Exercice 21 Résoudre dans ℂ , les équations : a) z 2 − 2iz −1 + 2i = 0 b) z 4 − (5 −14i )z 2 − 2(12 + 5i ) = 0 . a) S = {1, −1 + 2i } , b) S = {−1 + i , −3 + 2i ,1− i ,3 − 2i } .
Exercice 22 a) Déterminer les racines carrées complexes de 5 −12i . b) Résoudre l’équation z 3 − (1 + 2i )z 2 + 3(1 + i )z −10(1 + i ) = 0 en commençant par observer l’existence d’une solution imaginaire pure. c) Quelles particularités a le triangle dont les sommets ont pour affixe les solutions de l’équation précédente ? a) ±(3 − 2i ) b) a = −2i ,b = −1 + 3i et c = 2 + i c) c −b = c −a = 13 et b −a = 26 . Le triangle est rectangle isocèle.
Exercice 23 Résoudre dans ℂ le système :
{x +xyy == 12+−ii
Système somme produit. S = {(1 + 2i , −i ), (−i ,1 + 2i )} .
Exercice 24 Résoudre dans ℂ l’équation z 3 = 4 2(1 + i ) . i
4 2(1 + i ) = 8e
π 4
i
π
donc z 0 = 2e 12 est solution particulière de l’équation et donc S = {z 0 , z 0 j , z 0 j 2 } .
Exercice 25 Déterminer l’ensemble des points M (z ) tels que z + z = z . Soit M (z ) solution avec z = a + ib et a ,b ∈ ℝ . On a 2a = a 2 + b 2 donc a ≥ 0 et b = ± 3a .
Ainsi M se situe sur les demi-droites d’origine O dirigée par les vecteurs u 1 3 et v 1− 3 . Inversement : ok. Exercice 26 Soit Z ∈ ℂ∗ . Résoudre l’équation ez = Z d’inconnue z ∈ ℂ . Posons ρ = Z et θ = arg Z
[ 2π ] . ez = Z ⇔ z = ln ρ + iθ + 2ik π avec k ∈ ℤ .
Exercice 27 Résoudre l’équation z + 1 = z + 1 d’inconnue z ∈ ℂ . 2
2
2
z + 1 = z + 2 Re(z ) + 1 et ( z + 1)2 = z + 2 z + 1 donc z + 1 = z + 1 ⇔ Re(z ) = z ⇔ z ∈ ℝ + . n
Exercice 28 Soit n ∈ ℕ . Résoudre, lorsqu’elle a un sens, l’équation :
cos(kx ) =0. k k = 0 cos x
∑
π [π ] . 2 i (n +1) x n n eikx n +1 cos kx 1 = 0 ⇔ cosn +1 x = cos(n + 1)x . cos x −e = Re = Re ∑ ∑ k k n ix k =0 cos x cos x cos x −e k = 0 cos x
L’équation à un sens pour x ≠
eix ≠ 1 et cos x n eikx 1 cosn +1 x −ei (n +1)x 1 cosn +1 x − cos(n + 1)x − i sin(n + 1)x = = ∑ k n ix −i sin x cos x cos x −e cosn x k = 0 cos x
Si x ≠ 0 [π ] alors
n
donc
cos kx = 0 ⇔ sin(n + 1)x = 0 ⇔ x = 0 [π n ] . k x k =0
∑ cos
n
cos kx = n +1 . k x k =0 k π Finalement S = / k ∈ ℤ et n |k . n Si x = 0 [π ] alors
∑ cos
david Delaunay http://mpsiddl.free.fr