Applications multilinéaires Exercice 1
Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K -espace vectoriel E . Soit f une forme linéaire sur E , p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id− p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E ×E → K définie par ϕ (x , y ) = f (p (x )) f (q (y )) − f (p (y )) f (q (x )) est une forme bilinéaire alternée sur E .
ϕ : E ×E → K .
ϕ (y , x ) = f (p (y )) f (q (x )) − f (p (x )) f (q (x )) = −ϕ (x , y ) . Il suffit d’étudier la linéarité en la 1ère variable. ϕ (λx + µx ′, y ) = f (p (λx + µx ′)) f (q (y )) − f (p (y )) f (q (λx + µx ′)) or f , p et q sont linéaires donc ϕ (λx + µx ′, y ) = (λ f (p (x )) + µ f (p (x ′))) f (q (y )) − f (p (y )) (λ f (q (x )) + µ f (q (x ′))) puis en développant et en réorganisant : ϕ (λx + µx ′, y ) = λϕ (x , y ) + µϕ (x ′, y ) . ϕ est donc une forme bilinéaire antisymétrique donc alternée.
Déterminant d’un endomorphisme Exercice 2
Soit E un ℝ -espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E vérifiant
f 2 = − Id . Montrer que dim E est pair. Posons n = dim E . Comme det( f 2 ) = det(−I n ) on a det( f ) 2 = (−1)n ≥ 0 , donc n est pair.
Exercice 3
Soit V = {x ֏ ex P (x ) | P ∈ ℝ n [X ]} . a) Montrer que V est un sous-espace vectoriel de F ( ℝ, ℝ ) dont on déterminera la dimension. b) Montrer que l’application D : f ֏ f ′ est un endomorphisme de V dont on calculera le déterminant.
a) Il est clair que V est un sous-espace vectoriel de F ( ℝ, ℝ ) . On pose fk : ℝ → ℝ définie par fk (x ) = x k ex .
B = ( f0 ,…, fn ) forme une base de V , donc dimV = n + 1 . b) Pour ε3 = e1 − 2e2 + e3 on a D ( f )(x ) = f ′(x ) = (P (x ) + P ′(x ))ex . D est bien une application de V dans V . De plus la linéarité de D découle de la linéarité de la dérivation et on peut donc conclure D ∈ L(V ) . 1 1 ⋱ ⋱ k x k k −1 x Puisque (x e ) ′ = (x + kx )e on a D ( fk ) = fk + kfk −1 donc a Mat B (D ) = . ⋱ n 1 Par suite det D = 1×1×⋯×1 = 1 .
0
0
Exercice 4
Soit n ∈ ℕ∗ , E un K -espace vectoriel de dimension n , f ∈ L(E ) et B = (e1 ,...,en ) une base de n
E . Montrer que pour tout (x1 ,..., x n ) ∈ E n :
∑ det (x ,..., f (x B
1
j
),..., x n ) = tr( f ) det B (x1 ,..., x n ) .
j =1
n
L’application ϕ : E n → K définie par ϕ (x1 ,…, x n ) = ∑ det B (x1 , …, f (x j ), …, x n ) est une forme n -linéaire j =1
alternée, donc ∃λ ∈ K tel que ϕ =λ.det B . n
n
On a ϕ (e1 , …,en ) = λ et par suite : λ = ∑ det B (e1 ,…, f (e j ),…,en ) = ∑ a jj = tr( f ) en A = (ai , j ) = Mat B ( f ) . j =1
j =1
Déterminant d’une matrice Soit A = (ai , j ) ∈ M n (C) . On note A = (ai , j ) ∈ M n (K ) .
Exercice 5
Former une relation liant det(A) et det(A) et det A . n
det A =
∑ ε(σ )∏a
σ (i ),i
= det A .
i =1
σ ∈Sn
Soit A ∈ Mn (ℂ) telle que t A = A . Montrer que det A ∈ ℝ .
Exercice 6
Ici t A = A , donc det(A) = det(t A) = det A . n
Comme det A =
n
∑ ε(σ )∏a
σ (i ),i
i =1
σ ∈Sn
=
∑ ε(σ )∏a
σ ∈Sn
σ (i ),i
= det A , on peut conclure det A ∈ ℝ .
i =1
Soit A une matrice antisymétrique d’ordre 2n + 1 . Montrer que det A = 0 . Ce résultat est-il encore vrai lorsque A est d’ordre pair ?
Exercice 7
Comme t A = −A on a det A = det t A = det(−A) = (−1) 2n +1 det A = − det A , donc det A = 0 .
0 1 A = fournit un contre-exemple au second problème posé. −1 0 Comparer det(ai , j ) et det((−1)i + j ai , j ) où (ai , j )1≤i , j ≤n ∈ Mn (K ) .
Exercice 8
Notons A = (ai , j ) et B = ((−1)i + j ai , j ) . n
n
det B =
∑σ ε(σ )∏ (−1)
σ∈
n
σ (i ) +i
a σ (i ),i =
i =1
∑ ε(σ )(−1)
σ ∈Sn
∑ σ (i )+i i =1
n
∏a
n σ (i ),i
=
i =1
∑ ε(σ )(−1)
n (n +1)
σ ∈Sn
∏a
σ (i ),i
i =1
Ainsi det B = (−1)n (n +1) det A = det A car n (n + 1) est pair.
Calcul de déterminants Exercice 9
Calculer sous forme factorisée les déterminants suivants : 0 a b a b c a) a 0 c b) c a b b c 0 b c a
a a d) a a
a b b b
a b c c
a b c d
a c e) c b
c a b c
c b a c
b c c a
a +b b +c c +a c) a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 a 3 +b 3 b 3 + c 3 c 3 + a 3 1 f) cos a sin a
1 1 cos b cos c . sin b sin c
→ 0 a b a c a 0 a) a 0 c = −a +b = abc + abc = 2abc . b 0 b c b c 0 a b c 1 b c a −b b − c b) c a b = (a + b + c ) 1 a b = (a + b + c ) = (a + b + c )(a 2 + b 2 + c 2 − (ab + bc + ca )) c − a a −b b c a 1 c a donc D = (b −a )(c −a )(ac + c 2 −ab −b 2 ) = (b −a )(c −a )(c −b )(a + b + c )
a +b b +c c +a a +b c −a c −b 2c c −a c −b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c) D = a + b b + c c + a = a + b c −a c −b = 2c c −a c 2 −b 2 a 3 +b 3 b 3 + c 3 c 3 + a 3 a 3 + b 3 c 3 − a 3 c 3 −b 3 2c 3 c 3 −a 3 c 3 −b 3
−a −a 2 −a 3
c donc D = 2 c 2 c3
−b 1 1 1 1 1 1 −b 2 = 2abc c a b = 2abc 0 a −c b −c −b 3 c2 a 2 b2 0 a 2 −c 2 b 2 −c 2
puis D = 2abc (a −c )(b −c )
a b c c
1 1 = 2abc (a −c )(b −c )(b −a ) . a +c b +c
a a d) D = a a
a b b b
donc D = a
b −a b −a b −a c −b c −b 0 c −b c −b = a (b −a ) = a (b −a )(c −b )(d −c ) . c −b d −b 0 c −b d −b
a c e) D = c b
c a b c
c b a c
a a a a a b −a b −a b −a b 0 b −a b −a b −a = = a b −a c −a c −a c 0 b −a c −a c −a b −a c −a d −a d 0 b − a c − a d −a
b a + b + 2c c a + b + 2c = c a + b + 2c a a + b + 2c
donc D = (a + b + 2c )(a −b )
c a b c
c b a c
b 1 c 1 = (a + b + 2c ) c 1 a 1
c a b c
c b a c
b 1 c c b c 0 a − c b − c c −b = (a + b + 2c ) c 0 b − c a − c c −b a 0 0 0 a −b
a −c b −c = (a + b + 2c )(a −b )((a −c ) 2 − (b −c )2 ) b −c a −c
puis D = (a + b + 2c )(a −b ) 2 (a + b − 2c )
1 f) D = cos a sin a
1 1 1 cos b cos c = cos a sin b sin c sin a
donc D = −4sin
0 cos b − cos a sin b − sin a
b +a 0 sin b −a c −a 2 cos c − cos a = −4sin sin 2 2 cos b + a sin c − sin a 2
c +a 2 c +a cos 2 sin
b −a c −a b −c sin sin 2 2 2
Exercice 10 Soit a1 , …, an ∈ ℂ . Calculer det(a max(i , j ) ) . En déduire det(max(i , j )) et det(min(i , j )) .
a1 a 2 a 3 a2 a2 a3 det(a max(i , j ) ) = a 3 a 3 a 3 ⋮ ⋮ ⋮ an an an
… an a1 −a 2 a 2 −a3 a 3 −a 4 … an ⋯ an 0 a 2 − a 3 a 3 − a 4 ⋯ an … an = 0 0 a 3 −a 4 … an = (a1 −a 2 )(a 2 −a3 )(an −1 −an )an ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ … an 0 ⋯ ⋯ 0 an
Pour ai = i , det(a max(i , j ) ) = (−1)n −1 n . Pour ai = n + 1− i , det(a min(i , j ) ) = 1 .
a1 Exercice 11 Soit a1 , a 2 , …, an ∈ K . Calculer
a1
a 2 ⋯ an ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ a2
a1
a1
a1 −a 2 a 2 ⋯ an C1 ← C 1 −C 2 ⋱ ⋱ ⋮ C 2 ← C 2 −C 3 ⋱ * n −1 = = a1 (a1 −a 2 ) via . a1 −a 2 ⋮ a1 ⋱ a 2 C n −1 ← C n −1 −C n a1 0 a1
S1 S1 S1 S 2 Exercice 12 Soit n ∈ ℕ∗ . Calculer S1 S 2 ⋮ ⋮ S1 S 2
S1 S2 S3 ⋮ S3
⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯
S1 S2 S3 ⋮ Sn
k
où pour tout 1 ≤ k ≤ n on a : Sk = ∑ i i =1
.
S1 S1 S1 S 2 S1 S 2 ⋮ ⋮ S1 S 2
S1 S2 S3 ⋮ S3
⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯
S1 S1 ⋯ ⋯ S1 S1 Ln ← Ln − Ln −1 2 ⋯ ⋯ 2 S2 Ln −1 ← Ln −1 − Ln −2 3 ⋯ 3 = n ! via . S3 = ⋮ L3 ← L3 − L2 ⋮ ⋱ ⋮ Sn L2 ← L2 − L1 n
0
Exercice 13 Calculer de deux façons :
a −b c −d . b a d c
a −b c −d = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) . b a d c a −b c −d ac −bd −(ad + bc ) = = (ac −bd ) 2 + (ad + bc )2 . b a d c ad + bc ac −bd a b c d − b a − d c avec a ,b ,c ,d ∈ ℝ . Exercice 14 Soit A = a −b −c d a −d −c b a) Calculer t A.A . En déduire det A . b) Soit a ,b ,c ,d ,a ′,b ′,c ′, d ′ ∈ ℝ . Montrer qu’il existe a ′′,b ′′,c ′′,d ′′ ∈ ℝ tels que : (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )(a ′ 2 + b ′ 2 + c ′ 2 + d ′ 2 ) = a ′′ 2 + b ′′ 2 + c ′′ 2 + d ′′ 2 . a) t AA = diag(δ , δ , δ , δ ) avec δ = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 . Par suite det A = ±(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 2 . b) Avec des notations immédiates : AA′ = A′′ avec : a ′′ = aa ′ −bb ′ −cc ′ −dd ′ , b ′′ = ab ′ + b ′a + cd ′ − dc ′ , c ′′ = ac ′ −bd ′ + ca ′ + db ′ et d ′′ad ′ + bc ′ − cb ′ + da ′ . Par égalité des déterminants et considération de signes : (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 2 (a ′ 2 + b ′ 2 + c ′ 2 + d ′ 2 ) 2 = (a ′′ 2 + b ′′ 2 + c ′′ 2 + d ′′ 2 ) 2 et les quantités suivantes étant positives : (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )(a ′ 2 + b ′ 2 + c ′ 2 + d ′ 2 ) = a ′′ 2 + b ′′ 2 + c ′′ 2 + d ′′ 2 .
Exercice 15 Soit A, B ∈ M n ( ℝ ) . a) Montrer que
A B = det(A + B ) det(A − B ) . B A
b) Justifier que
A −B ≥0 . B A
a)
A B A+B B A+B B = = . B A A+B A 0 A −B
b)
2 A −B A − iB −B A − iB −B = = = A + iB ≥ 0 B A B + iA A 0 A + iB
λ1 + x b +x Exercice 16 Soit a ≠ b et λ1 , λ2 ,..., λn . On pose ∆n (x ) = ⋮ b +x a) Montrer que ∆n (x ) est une fonction affine de x . b) Calculer ∆n (x ) et en déduire ∆n (0) .
a +x ⋯ λ2 + x ⋱ ⋱ ⋱ ⋯ b +x
a +x ⋮ . a +x λn + x [n ]
λ1 + x a − λ1 ⋯ a − λ1 b + x λ2 −b a −b a) ∆n (x ) = = αx + β (en développant selon la première colonne). ⋮ ⋱ b +x 0 λn −b [n ] n
n
b) ∆n (−a ) = ∏ (λi −a ) et ∆n (−b ) = ∏ (λi −b ) i =1
i =1
n
n
n
∏ (λi −a ) − ∏ (λi −b ) donc α =
i =1
i =1
et β =
b −a
n
b∏ (λi −a ) −a ∏ (λi −b ) i =1
i =1
b −a
.
Calcul par relation de récurrence 0 1 ⋯ 1 −1 ⋱ ⋱ ⋮ Exercice 17 Calculer en établissant une relation de récurrence : Dn = ⋮ ⋱ ⋱ 1 −1 ⋯ −1 0
[n ]
Par les opérations élémentaires : C1 ← C 1 +C n et L1 ← L1 + Ln puis en développant par rapport à la première colonne, puis par rapport à la première ligne : 0 0 ⋯ 0 1 0 1 ⋯ 1 0 0 1 ⋯ 1 −1 ⋱ ⋱ ⋮ Dn = = ⋮ −1 ⋱ ⋱ ⋮ = (−1)n +1 (−1)(−1)n Dn −2 = Dn −2 . ⋮ ⋱ ⋱ 1 0 ⋮ ⋱ ⋱ 1 −1 ⋯ − 1 0 [ n ] −1 −1 ⋯ −1 0 [ n ] Comme D1 = 0 et D2 = 1 , on a Dn =
1 + (−1)n . 2
1 ⋯ Exercice 18 Calculer en établissant une relation de récurrence : Dn = ⋮ ⋱
1
Dn =
→
1 ⋯
1
⋮ ⋱
0
1
0
1
=− [n ]
0
1
0 1
. [n ]
1 ⋯ 1 ⋱ ⋮ + Dn −1 = −1 + Dn −1 .
0
1
Comme D1 = 1 on a Dn = 2 − n .
a +b b ⋯ b a ⋱ ⋱ ⋮ Exercice 19 Calculer en établissant une relation de récurrence : Dn = ⋮ ⋱ ⋱ b a ⋯ a a +b a +b Dn = a
a 0 ⋯ 0 b b ⋯ b a a +b b a a +b b ⋱ = + = aDn −1 + b n . ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ a + b [n ] a a a +b a a a +b b
Par récurrence, Dn =
a n +1 −b n +1 . a −b
. [n ]
C 00 C 11 ⋯ C nn C 0 C 21 ⋯ C nn+1 Exercice 20 Calculer Dn +1 = 1 ⋮ ⋮ ⋮ C n0 C n1 +1 ⋯ C 2nn
C 00 C 11 ⋯ C nn C 0 C 21 ⋯ C nn+1 Dn +1 = 1 ⋮ ⋮ ⋮ C n0 C n1 +1 ⋯ C 2nn 0 1
n −1 n
n n! en désignant par C nk = = k k !(n − k )! [n +1]
C 00 C11 ⋯ C nn 0 C 10 ⋯ C nn −1 = ⋮ ⋮ ⋮ 0 n −1 0 C ⋯ C n 2n −1 [n +1]
Ln ← Ln − Ln −1 ⋮ L2 ← L2 − L1 [n +1]
.
n −1 n −1
0 0
C ⋯ C C ⋯ C C n ← C n −C n −1 = ⋮ ⋮ = ⋮ ⋮ ⋮ C n0 ⋯ C 2nn−−11 [n ] C n0−1 C 2nn−−12 C 2 ← C 2 −C 1 Ainsi Dn +1 = Dn , puis Dn = 1 .
Déterminants tridiagonaux 2a a 0 a ⋱ ⋱ Exercice 21 Calculer Dn = pour a ∈ K . ⋱ ⋱ a 0 a 2a En développant par rapport à la première colonne, puis par rapport à la première ligne dans le second déterminant on obtient : 2a a 0 a ⋱ ⋱ = 2aDn −1 −a 2Dn −2 d’où Dn − 2aDn +1 + a 2Dn = 0 Dn = ⋱ ⋱ a 0 a 2a
D1 = 2a , D2 = 3a 2 . puis Dn = (n + 1)a n . 1+ x 2 x x ⋱ ⋱ Exercice 22 Soit x ∈ ℂ et n ∈ ℕ∗ . Calculer Dn = ⋱ ⋱
0
x
0 x
.
1+ x 2
Pour n ≥ 2 , on a Dn = (1 + x 2 )Dn −1 − x 2Dn −2 . (Dn ) est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique r 2 − (1 + x 2 )r − x 2 = 0 de racines 1 et x 2 .
λ + µ = 1 µ = 1− λ λ = 1 (1− x 2 ) 1 − x 2n + 2 Si x 2 ≠ 1 alors Dn = λ + µx 2n avec . 2 2 2 2 2 . Ainsi Dn = 1− x 2 λ + µx = 1 + x λ (1− x ) = 1µ = −x (1− x ) µ =1 λ =1 Si x 2 = 1 alors Dn = (λn + µ) avec . Ainsi Dn = n + 1 λ +µ = 2 µ =1
{
{
2 cos α 1 1 ⋱ ⋱ Exercice 23 Soit θ ∈ ℝ et n ∈ ℕ . Calculer Dn = 1 ⋱ 1 1 2 cos α [n ] ∗
Pour n ≥ 2 , on a Dn = 2 cos θDn −1 − Dn −2 . (Dn ) est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique r 2 − 2 cos θr + 1 = 0 de racines eiθ et e−iθ . λ =1 λ =1 Si θ ≠ 0 [π ] alors Dn = λ cos n θ + µ sin n θ avec . λ cos θ + µ sin θ = 2 cos θ µ = tan θ
{
{
Ainsi Dn =
sin(n + 1)θ . sin θ
{λµ +=µ1 = 2{λµ ==11 . Ainsi D = n +1 . µ =1 λ =1 [ 2π ] alors D = (λn + µ)(−1) avec {−(λ + µ) = −2 {µ = 1 . Ainsi D = (−1) (n + 1) .
Si θ = 0 [ 2π ] alors Dn = λn + µ avec Si θ = π
n
n
n
n
n
a + b ab 1 ⋱ ⋱ Exercice 24 Soit a ,b ∈ ℂ distincts. Calculer Dn = . ⋱ ⋱ ab 1 a +b ∗
Pour n ≥ 2 , on a Dn = (a + b )Dn −1 −abDn −2 . (Dn ) est une suite récurrente linéaire d’ordr2 d’équation caractéristique r 2 − (a + b )r + ab = 0 de racines a et b .
λa + µb = a + b On a Dn = λa n + µb n avec 2 2 2 2 λa + µb = a + ab + b
λ = a n +1 n +1 a −b et D = a −b , . n b a −b µ = a −b
Système de Cramer Exercice 25 Soit a ,b , c et d des éléments de K deux à deux distincts. Résoudre sur K les systèmes suivants : x +y +z =1 x +y +z = 1 b) a) ax + by + cz = d ax + by + cz = d 2 3 2 2 2 3 3 3 a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d
1 1 1 a) a b c = (b −a )(c −a )(c −b ) ≠ 0 . a 2 b2 c2 Par les formules de Cramer : x =
(b −d )(c −d )(c −b ) (d −a )(c −a )(c −d ) (b −a )(d −a )(d −b ) ,y = et z = . (b −a )(c −a )(c −b ) (b −a )(c −a )(c −b ) (b −a )(c −a )(c −b )
1 1 1 b) a b c = (b −a )(c −a )(c −b )(a + b + c ) ≠ 0 . a 3 b3 c3 Par les formules de Cramer : x =
(b −d )(c −d )(c −b )(d + b + c ) et les autres par symétrie. (b −a )(c −a )(c −b )(a + b + c )
x + y + z = a 2 Exercice 26 Résoudre x + jy + j z = b en fonction de a ,b ,c ∈ ℂ . 2 x + j y + jz = c Le système est de Cramer via déterminant de Vandermonde. (1) + (2) + (3) donne x =
(1) + j 2 (2) + j (3) donne y =
a +b + c , 3
a + bj 2 + cj a + bj + cj 2 et (1) + j (2) + j 2 (3) donne z = . 3 3
x + ay + a 2z = 0 Exercice 27 Résoudre ax + y + az = 0 en fonction de a ∈ ℂ . 2 a x + ay + z = 0
a a2 a a2 1 1 1 a a2 2 2 2 2 a 1 a = 0 1− a a (1− a ) = 0 1− a a (1− a ) . 2 4 2 a2 a 1 0 a (1− a ) 1− a 0 0 1− a Si a ≠ 1 alors est le système est de Cramer et homogène : S = {(0, 0, 0)} . Si a = 1 alors le système équivaut à une seule équation x + ay + a 2z = 0 car les deux autres lui sont proportionnelles. S = {(−ay −a 2z , y , z ) / y , z ∈ ℂ} .
Exercice 28 Soit a ,b ,c ∈ ℂ distincts. x + ay + a 2z = a 3 a) Résoudre : x + by + b 2z = b 3 en introduisant : P = X 3 − (x + yX + zX 2 ) 2 3 x + cy + c z = c x + ay + a 2z = a 4 b) Même question pour x + by + b 2z = b 4 2 4 x + cy + c z = c a) Le système est de Cramer via déterminant de Vandermonde. Si a ,b ,c est sa solution alors P = (X −a )(X −b )(X −c ) donc x = abc , y = −(ab + bc + ca ) et z = a + b + c . b) Ici P = X 4 − (x + yX + zX 2 ) = (X −a )(X −b )(X −c )(X − (a + b + c )) car la somme des racines est nulle.
x = σ3σ1 , y = σ3 − σ1σ2 et z = σ12 − σ2 avec σ1 , σ2 , σ3 les expressions symétriques élémentaires en a ,b ,c .
Exploitation de déterminants Exercice 29 Soit E un K -espace vectoriel de dimension 3 et B = (e1 ,e 2 ,e3 ) une base de E .
3 −2 −3 Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans B est A = −2 6 6 . 2 −2 −2 a) Pour quelles valeurs de λ , a-t-on det (A − λI 3 ) = 0 ?
1 0 0 b) Déterminer une base C = (ε1 , ε2 , ε3 ) de E telle que Mat C ( f ) = 0 2 0 . 0 0 4 a) det(A − λI 3 ) = (1− λ )(4 − λ )(2 − λ ) .
det(A − λI 3 ) = 0 ⇔ λ = 1, 2 ou 4. b) ε1 = e1 − 2e 2 + 2e3 , ε2 = e1 −e 2 + e3 et ε3 = e1 − 2e2 + e3 forment une base qui convient. Exercice 30 Soit n ∈ ℕ∗ , A ∈ GLn ( ℝ ) et B ∈ Mn ( ℝ ) . Montrer qu’il existe ε > 0 tel que : ∀x ∈ [−ε, ε ], A + xB ∈ GLn ( ℝ ) . n
Notons A = (ai , j ) et B = (bi , j ) . det(A + xB ) =
∑ ε(σ )∏ (a
σ ∈Sn
σ (i ),i
+ xbσ (i ),i ) .
i =1
La fonction x ֏ det(A + xB ) est continue (car polynomiale), ne s’annule pas en 0 (car det(A) ≠ 0 ), donc ne s’annule pas sur un voisinage de 0.
Comatrice Exercice 31 Soit A = (ai , j ) une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans ℤ . a) Justifier que det A ∈ ℤ . b) Montrer que l’inverse de A existe et est à coefficients entiers si et seulement si det A = ±1 . n
a) Pour A = (ai , j ) ∈ M n (C) on a det A =
∑ ε(σ )∏a
σ ∈Sn
i ,σ (i )
.
i =1
Par suite si tous les ai , j sont entiers, det A l’est aussi. b) ( ⇒ ) Si A et A−1 sont à coefficients entiers alors det A ∈ ℤ et det A−1 ∈ ℤ . Or det A.det A−1 = det(AA−1 ) = det I n = 1 Donc det A = det A−1 = ±1 . ( ⇐ ) Si det A = ±1 alors A est inversible car de déterminant non nul 1 t Son inverse est A−1 = com A = ± t com A . det A Or la comatrice de A est formée des cofacteurs de A qui sont des entiers car égaux à des déterminants de matrices à coefficients entiers (car extraites de A ). Ainsi A−1 est une matrice à coefficients entiers
Exercice 32 Soit n un entier supérieur à 2 et A ∈ Mn (K ) .
rg(A) = n a) Etablir rg(A) = n −1 rg(A) ≤ n − 2
⇒ rg (com(A)) = n ⇒ rg (com(A)) = 1 . ⇒ rg (com(A)) = 0 n −1
b) Montrer que det (com(A)) = (det A)
.
c) En déduire com (com(A)) . a) Si rg(A) = n alors A est inversible et sa comatrice l’est alors aussi donc rg(com(A)) = n . Si rg(A) ≤ n − 2 alors A ne possède pas de déterminant extrait d’ordre n −1 non nul. Par suite com(A) = On et donc rg(com(A)) = 0 . Si rg(A) = n −1 , exploitons la relation At com(A) = det(A).I n = On . Soit f et g les endomorphismes de K n canoniquement associés aux matrices A et t com(A) . On a f g = 0 donc Im g ⊂ ker f . Comme rg( f ) = n −1 , dim ker f = 1 et par suite rg(g ) ≤ 1 . Ainsi rg(com(A)) ≤ 1 . Comme rg(A) = n −1 , il existe un déterminant extrait non nul d’ordre n −1 et par suite com(A) ≠ On . Finalement rg(com(A)) = 1 . b) Comme At com(A) = det(A).I n on a det(A) det com(A) = (det A)n . Si det A ≠ 0 alors det com(A) = (det A)n −1 . Si det A = 0 alors rg(com(A)) = 1 < n donc det(com(A)) = 0 . c) Si rg(A) = n alors t com(com(A)).com(A) = det(com(A)).I n = det(A)n −1 .I n . Donc t com(com(A)) = det(A)n −1 com(A)−1 . Or t com(A).A = det(A).I n donc t com(A) = det(A).A−1 , puis sachant t (B )−1 = (t B )−1 on a :
com(com(A)) = det(A)n −2 I n . Si rg(A) ≤ n −1 et n ≥ 3 alors com(com(A)) = On . Si rg(A) ≤ 1 et n = 2 alors com(com(A)) = A .
Calcul de rang 1 α 0 ⋱ ⋱ ∈ M n ( ℂ) . Exercice 33 Soit α ∈ ℂ et M = 1 α 0 α 0 1 a) Calculer det M . b) Déterminer, en fonction de α le rang de M . sous-jacente. a) En scindant la première colonne en 2 : det M = 1− (−1)n αn . b) Si det M ≠ 0 alors M est inversible et rg(M ) = n . Si det M = 0 alors M n’est pas inversible donc rg(M ) < n . Or M possède une matrice extraite de rang n −1 donc rg(M ) = n −1 .
a b Exercice 34 Soit a ,b ∈ ℂ . Déterminer, en fonction de a et b le rang de la matrice M (a ,b ) = ⋱ . b a
1 b ⋯ b 1 b ⋯ b 1 a b 0 a −b 0 det M (a ,b ) = (a + (n −1)b ) = (a + (n −1)b ) = (a + (n −1)b )(b −a )n −1 . ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋱ 1 a 0 ⋯ 0 a −b Si a ≠ b et a + (n −1)b ≠ 0 alors rg(M (a ,b )) = n . Si a + (n −1)b = 0 et a ≠ 0 alors rg(M (a ,b )) = n −1 car M (a ,b ) possède une matrice de rang n −1 inversible car a ≠ b et a + (n − 2)b ≠ 0 . Si a = b ≠ 0 alors rg(M (a ,b )) = 1 . Si a = b = 0 alors rg(M (a ,b )) = 0 . david Delaunay http://mpsiddl.free.fr