Nombres entiers Exercice 1
Soit P = {2k | k ∈ ℤ} et I = {2k + 1| k ∈ ℤ} les ensembles formés respectivement des entiers pairs et impairs. Montrer que P ∩ I = ∅ .
Par l’absurde. Si P ∩ I ≠ ∅ , considérons x ∈ P ∩ I . Comme x ∈ P : ∃k ∈ ℤ, x = 2k . Comme x ∈ I : ∃ℓ ∈ ℤ, x = 2ℓ + 1 . Par suite 2k = 2ℓ + 1 puis 1 2 = (ℓ − k ) ∈ ℤ . Absurde L’erreur de raisonnement classique est de décrire x comme un nombre pair et impair en prenant le même entier k. Exercice 2
Montrer qu’il n’existe pas de suite strictement décroissante d’entiers naturels.
Par l’absurde, supposons que (un ) soit une telle suite.
A = {un / n ∈ ℕ} est une partie non vide de ℕ , elle possède donc un plus petit élément m . Puisque m ∈ A , il existe n ∈ ℕ tel que m = un . Mais alors un +1 < un ≤ m = min A . Absurde.
Principe de récurrence Exercice 3
1 Soit (un ) une suite réelle telles que u 0 = 1 et ∀n ∈ ℕ, un +1 = 1 + u . n + 1 n Donner l’expression du terme général un de cette suite.
u 0 = 1 , u1 = 2 , u 2 = 3 ,... Par récurrence, on montre aisément ∀n ∈ ℕ, un = n + 1 . Exercice 4
Soit (un ) la suite réelle déterminée par u 0 = 2, u1 = 3 et ∀n ∈ ℕ, un +2 = 3un +1 − 2un . Montrer que ∀n ∈ ℕ, un = 2n + 1 .
Par récurrence double. Pour n = 0 et n = 1 : ok Supposons la propriété établie aux rangs n et n + 1 (avec n ≥ 0 ). un + 2 = 3un +1 − 2un = 3.2n +1 + 3 − 2.2n − 2 = 2n + 2 + 1 . HR
Récurrence établie Exercice 5
Montrer que ∀n ∈ ℕ \ {0,1} ,1 +
1 1 3n +⋯+ 2 > . 2 2 n 2n + 1
Par récurrence sur n ≥ 2 . Pour n = 2 ok. Supposons la propriété établie au rang n ≥ 2 . 1 1 3n 1 3(n + 1) 1+⋯+ 2 + ≥ + ≥ . 2 2 (n + 1) HR 2n + 1 (n + 1) ? 2n + 3 n Vérifions l’inégalité proposée : 3n 1 3(n + 1) n 2 + 2n + − = ≥0 . 2 2n + 1 (n + 1) 2n + 3 (2n + 1)(n + 1) 2 (2n + 3) Récurrence établie. Exercice 6
Montrer que ∀n ∈ ℕ ∗ ,1!3!… (2n + 1)! ≥ ((n + 1)!)n +1 .
Par récurrence sur n ≥ 1 . Pour n = 1 : ok Supposons la propriété établie au rang n ≥ 1 .
1!3!… (2n + 1)!(2n + 3)! ≥ ((n + 1)!)n +1 (2n + 3)!≥((n + 2)!)n + 2 . HR
?
Vérifions l’inégalité proposée : ((n + 1)!)n +1 (2n + 3)! (2n + 3)! (n + 2)(n + 3) … (2n + 3) = = ≥1 . n +2 n +2 (n + 2)(n + 2) … (n + 2) ((n + 2)! (n + 1)!(n + 2) Récurrence établie. Exercice 7
Le raisonnement suivant est erroné : « Montrons, par récurrence sur n ∈ ℕ∗ , la propriété : P (n ) = « n points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés »: Pour n = 1 et n = 2 , la propriété est vraie. Supposons la propriété établie au rang n ≥ 2 . Considérons alors n + 1 points deux à deux distincts A1 , A2 , …, An , An +1 . (HR) Les points A1 , A2 , …, An sont alignés sur une droite D . (HR) Les points A2 ,…, An , An +1 sont alignés sur une droite D ′ . Or D et D ′ contiennent les deux points distincts A2 et An , donc D = D ′ . Par suite A1 , A2 , …, An , An +1 sont alignés sur la droite D = D ′ . Récurrence établie. » Où est l’erreur ?
A l’avant dernière ligne, pour que A2 et An soit distincts, il est nécessaire que n ≥ 3 . L’hérédité de la récurrence ne s’enchaîne alors plus avec l’initialisation. Exercice 8
On se propose d’établir ∀n ∈ ℕ∗ , ∃(p ,q ) ∈ ℕ 2 tel que n = 2p (2q + 1) en procédant de deux manières : a) 1ère méthode : Pour n ∈ ℕ∗ fixé, on pose A = {m ∈ ℕ / 2m | n } . Montrer que A admet un plus grand élément p et que pour celui-ci on peut écrire n = 2p (2q + 1) avec q ∈ ℕ . b) 2ème méthode : Procéder par récurrence forte sur n ∈ ℕ∗
a) A est une partie de ℕ , non vide car m = 0 ∈ A et majorée car 2m | n ⇒ 2m ≤ n ⇒ m ≤ log 2 n donc A possède un plus grand élément p . Puisque p ∈ A , 2p | n ce qui permet d’écrire n = 2p k . Puisque p + 1 ∉ A , 2 |k et donc k est impair de la forme 2q + 1 avec q ∈ ℕ . b) Pour n = 1 : p = q = 0 conviennent. Supposons la propriété établie au rang n ≥ 1 . Si n + 1 est impair alors l’écriture est directement obtenue avec p = 0 et n + 1 = 2q + 1 . Si n + 1 est pair alors on peut écrire n + 1 = 2k avec 1 ≤ k ≤ n . Par l’hypothèse de récurrence, on peut écrire k = 2p (2q + 1) puis n + 1 = 2p +1 (2q + 1) . Récurrence établie.
Sommes Exercice 9
Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies : n
a)
n
i =1
i =1
n
d)
n
∑ α + ai = α + ∑ ai n
i =1
i
i =1
i =1
n
i =1
n i
i =1
n
n
∑ ai +bi = ∑ ai + ∑bi
n
∑ a b = ∑ a ∑b i i
b)
e)
∑a i =1
α i
i =1
n
∑ αai = α∑ ai i =1
α
= ∑ ai i =1 n
c) n
f)
n
∑∑ a j =1 i =1
i =1
n i,j
n
= ∑∑ ai , j ? i =1 j =1
b) c) f) Exercice 10 Etablir l’une des trois formules suivantes : n n n (n + 1) n (n + 1)(2n + 1) a) ∑ k = b) ∑ k 2 = 2 6 k =1 k =1
n
c)
∑k k =1
3
=
n 2 (n + 1) 2 4
Par récurrence. n
Exercice 11 A partir des valeurs connues de
∑ k et k =1
n
∑k
2
, calculer :
k =1
n
a)
∑ k (k +1)
b) 1.n + 2.(n −1) + ⋯ + (n −1).2 + n .1 .
k =1
n
a)
n
∑ k (k +1) = ∑ k k =1
n
2
k =1
+ ∑k = k =1
n (n + 1)(n + 2) . 3 n
n
n
b) 1.n + 2.(n −1) + ⋯ + (n −1).2 + n .1 = ∑ k (n + 1− k ) = (n + 1)∑ k − ∑ k 2 = k =1
k =1
k =1
n (n + 1)(n + 2) 6
n
Exercice 12 Calculer
∑ (−1) k . k
k =1
2n
2n +1
n
∑ (−1) k = ∑ −(2ℓ −1) + 2ℓ = n k
ℓ =1
k =1
et
∑ (−1) k = n − (2n +1) = −(n +1) k
k =1
n
1 est strictement croissante. k =1 n + k
Exercice 13 Montrer que la suite de terme général un = ∑ n +1
n 1 1 1 1 1 1 1 −∑ = + − = − >0. 2n + 2 2n + 1 n + 1 2n + 1 2n + 2 k =1 n + 1 + k k =1 n + k
un +1 − un = ∑
n
Exercice 14 Montrer que
∑ k ! ≤ (n +1)! k =0
Par récurrence sur n ∈ ℕ , sachant (n + 1)!+ (n + 1)! = 2.(n + 1)! ≤ (n + 2)! . n
Exercice 15 Calculer
k
∑ (k +1)! . k =1
n
n n n 1 (k + 1) −1 1 1 1 1 = ∑ − = 1− . = ∑ − ∑ (n + 1)! (k + 1)! k =1 k ! k =1 (k + 1)! k =1 (k + 1)! k =1 k ! n
k
∑ (k +1)! = ∑ k =1
p
Exercice 16 a) Calculer
∑ kk ! . k =1
b) Soit p ∈ ℕ . Montrer que ∀n ∈ 0, (p + 1)!−1 , il existe un (p + 1) uplet (n 0 , n1 , …, n p ) ∈ ℕ p +1 tel que : p
∀k ∈ 0, p , 0 ≤ nk ≤ k et n = ∑ nk k ! . k =0
c) Justifier l’unicité d’une telle suite. p
a)
p
∑ kk ! = ∑ (k + 1)!− k ! = (p +1)!−1 . k =1
k =1
b) Par récurrence forte sur p ≥ 0 . Pour p = 0 : ok
Supposons la propriété établie jusqu’au rang p ≥ 0 . Soit n ∈ 0, (p + 2)!−1 . Réalisons la division euclidienne de n par (p + 1)! : n = q (p + 1)!+ r avec 0 ≤ r < (p + 1)! . Puisque 0 ≤ n < (p + 2)! on a 0 ≤ q ≤ p + 1 . p +1
p
Par HR, on peut écrire r = ∑ nk k ! et en prenant n p +1 = q on a n = ∑ nk k ! . k =0
k =0
Récurrence établie. p
p
c) Supposons n = ∑ nk k ! = ∑ nk′k ! avec les conditions requises. k =0
k =0
p −1
p
p
∑ n k ! ≤ n p !+ ∑ k .k ! = (n
Si n p < n p′ alors
k
p
k =0
p
k =0
+ 1)p !−1 < n p′ p ! ≤ ∑ nk′k ! . k =0
Ceci est absurde donc nécessairement n p ≥ n p′ puis par symétrie n p = n p′ . On simplifie alors le terme n p p ! et on reprend le principe pour conclure à l’unicité.
Sommes géométriques n
Exercice 17 Calculer, pour tout θ ∈ ℝ , la somme
∑e
ik θ
.
k =0
ei (n +1)θ −1 (somme géométrique de raison eiθ ≠ 1 ) ei θ − 1
n
Si θ ≠ 0 [ 2π ] alors
∑ eik θ = k =0 n
Si θ = 0 [ 2π ] alors
n
∑e
ik θ
k =0
= ∑1 = n +1 . k =0
n
Exercice 18 Calculer, pour tout q ∈ ℂ , la somme
∑q
2k
.
k =0
n
Si q 2 ≠ 1 alors
∑q
q 2 n + 2 −1 (somme géométrique de raison q 2 ) q 2 −1
2k
=
2k
= n +1 .
k =0 n
Si q 2 = 1 alors
∑q k =0
n
Exercice 19 Pour q ∈ ℂ \ {1} et n ∈ ℕ , on pose Sn = ∑ kq k . k =0
En calculant qSn − Sn , déterminer la valeur de Sn . n
n
n +1
n
k =1
k =0
n
qS n − Sn = ∑ kq k +1 − ∑ kq k = ∑ (k −1)q k − ∑ kq k = nq n +1 − ∑ q k − 0 = k =0
Donc Sn =
nq
k =0
n +2
− (n + 1)q (q −1)2
n +1
+q
k =1
nq n +2 − (n + 1)q n +1 + q . q −1
.
Sommes doubles n
Exercice 20 A partir des valeurs connues de
k =1
a)
∑
1≤i , j ≤n
(i + j ) 2
n
n
∑k , ∑k
2
k =1
b)
et
∑k
3
, calculer :
k =1
∑
1≤i < j ≤n
ij .
c)
∑
1≤i , j ≤n
min(i , j ) .
n
∑
a)
1≤i , j ≤n
n
n
n
n
n
(i + j ) 2 = ∑∑ (i 2 + 2ij + j 2 ) = n ∑ i 2 + 2∑∑ ij + n ∑ j 2 = i =1 j =1
i =1
i =1 j =1
i =1
n 2 (n + 1)(7n + 5) . 6
b)
n + i +1 n (n −1)(n + 1)(3n + 2) . (n − i ) = ij = ∑ ∑ ij = ∑ i ∑ j = ∑ i 2 24 1≤i< j ≤n i =1 j =i +1 i =1 j =i +1 i =1
c)
n i n n i (i + 1) n (n + 1)(2n + 1) . min(i , j ) = ∑ ∑ j + ∑ i = ∑ i + i (n − i ) = 2 6 i =1 j =1 j =i +1 i =1 1≤i , j ≤n
n −1
n −1
n
n −1
n
∑
∑
n
∑
Exercice 21 Soit n ∈ ℕ∗ . Calculer C n =
(p + q ) en remarquant que
1≤p <q ≤n
∑
1≤ p ,q ≤n
p + q = 2C n + 2∑ p . p =1
n
∑
Après réorganisation des termes :
1≤ p ,q ≤n n
n
2∑ p = n (n + 1) et p =1
p + q = 2C n + 2∑ p . p =1
n
∑ ∑ p +q = n
2
(n + 1) d’où C n =
p =1 q =1
(n −1)n (n + 1) . 2
Produits Exercice 22 Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies : n
a)
n
n
∏ αai = α∏ai i =1
b)
i =1
n
n
∏aibi = ∏ai ∏bi i =1
i =1
n
c)
i =1
n
n
∏ai +bi = ∏ai + ∏bi ? i =1
i =1
i =1
b) n
Exercice 23 Calculer
1
∏1 + k . k =1
n
1
n
k +1 2 3 n + 1 = ⋯ = n +1 . 12 n k =1 k
∏1 + k = ∏ k =1
Exercice 24 On désire calculer le produit P (x ) =
∏
cos(2k x ) pour tout x ∈ ℝ .
0≤k ≤n
a) Commencer par traiter le cas x = 0 [π ] . b) Pour x ≠ 0 [π ] , simplifier sin(x )P (x ) et exprimer P (x ) . a) Si x = 0 [ 2π ] alors P (x ) = 1 . Si x = π [ 2π ] alors P (x ) = −1 .
1 1 b) sin(x )P (x ) = sin x .cos x .cos 2x … cos 2n x = sin 2x cos 2x … cos 2n x = n +1 sin 2n +1 x 2 2 sin(2n +1 x ) donc P (x ) = n +1 . 2 sin(x ) n
k
Exercice 25 Soit a ∈ ℝ et P = ∏ (1 + a 2 ) . k =0
a) Calculer P quand a = 1 . b) Calculer (1−a )P quand a ≠ 1 et en déduire la valeur de P . n
a) Si a = 1 alors P = ∏ 2 = 2n +1 . k =0
n
n
b) Si a ≠ 1 alors (1−a )P = (1−a )(1 + a )(1 + a 2 ) ⋯(1 + a 2 ) = (1−a 2 )(1 + a 2 ) ⋯ (1 + a 2 ) donc en reprennant le n +1
processus (1−a )P = (1−a 2 ) puis la valeur de P .
Nombres factoriels Exercice 26 Exprimer 2× 4×⋯× (2n ) puis 1×3×⋯× (2n + 1) à l’aide de factoriels
1.2.3.4.5.6×⋯× (2n ) × (2n + 1) (2n + 1)! = . 2.4.6×⋯× (2n ) 2n n !
2.4.6×⋯× (2n ) = 2n1.2.3×⋯×n = 2n n ! et 1.3.5×⋯× (2n + 1) = n
Exercice 27 Montrer de deux manières
n
∏ (4k − 2) = ∏ (n + k ) k =1
k =1
(1) Par récurrence sur n ∈ ℕ : Pour n = 0 : ok Supposons la propriété établie au rang n ≥ 0 . n +1
n
n
∏ (4k − 2) = ∏ (4k − 2)×(4n + 2) = ∏ (n + k )× (4n + 2) . k =1
HR
k =1
k =1
n +1
n
∏ (n +1 + k ) = (n + 2)(n + 3)…(2n + 2) = ∏ (n + k )× k =1
k =1
n (2n + 1)(2n + 2) = ∏ (n + k ) × (4n + 2) . n +1 k =1
Récurrence établie. (2) Directe : n
n
∏ (4k − 2) = 2 ∏ (2k −1) = 2 n
k =1
n
(1×3×…× (2n −1)) =
k =1
n
(2n )! et n!
∏ (n + k ) = (n +1)(n + 2) …(2n ) = k =1
(2n )! . n!
Coefficients binomiaux
() (
)
n −1 Exercice 28 Montrer que pour tout n ∈ ℕ et tout p ∈ ℤ : p n p = n p −1 . En déduire que
()
(
n
n
p =0
p =1
) ∑ p (np ) = n ∑ np −−11 = n (1+1)
n! (n −1)! −1 . p np = p =n = n np − 1 p !(n − p )! (p −1)!(n − p )!
n −1
n
∑ p (np ) = n 2
n −1
.
p =0
= n 2n −1 .
Exercice 29 Calculer pour tout n ∈ ℕ∗ : n
n
()
a) S 0 = ∑ n k k =0
()
b) S1 = ∑ k n k k =0
n
()
c) S 2 = ∑ k 2 n k . k =0
a) S 0 = (1 + 1)n = 2n . n
b) ((1 + x )n ) ′ = n (1 + x )n −1 donne
∑ k (nk )x
k −1
= n (1 + x )n −1 donc S1 = n 2n −1 .
k =1
c) (x ((1 + x )n ) ′) ′ = (nx (1 + x )n −1 ) ′ = n (1 + x )n −1 + n (n −1)(1 + x )n −2 donne n
∑k k =1
2
(nk )x
k −1
= n (1 + x )n −1 + n (n −1)(1 + x )n −2 donc S 2 = n 2n −1 + n (n −1)2n −2 = n (n + 1)2n −2 . E (n / 2)
Exercice 30 Pour n ∈ ℕ∗ , calculer A =
∑( k =0
)
n 2k et B =
E ((n −1) / 2)
∑ k =0
(2kn+1) en formant un système dont A et
B seraient solutions. n
()
n
()
n n p n n n n −1 A+B = ∑ n p = (1 + 1) = 2 et A − B = ∑ (−1) p = (1−1) = 0 = 0 , donc A = B = 2 . p =0
p =0
n
Exercice 31 Soit n ∈ ℕ . Calculer
∑ (np ) j
p
.
p =0
E (n 3)
En déduire : A =
∑( k =0
n
∑ (np ) j
p
i
= (1 + j )n = 2n e
nπ 3
cosn
p =0
)
n 3k , B =
∑ k =0
(
)
n 3k + 1 et C =
E (n −2 3)
∑ k =0
(3kn+ 2) .
π . 3 i
A + B +C = 2n , A + jB + j 2C = 2n e Par suite A =
E ((n −1) 3)
nπ 3
2n nπ π cosn , 1 + 2cos 3 3 3
π 3 2n B= 3
cosn
nπ 3
π (par conjugaison). 3 n 1 + 2 cos (n − 2)π cosn π , C = 2 1 + 2 cos (n + 2)π cosn π . 3 3 3 3 3 −i
et A + j 2B + jC = 2n e
cosn
Exercice 32 Soit n , p ,q ∈ ℕ tels que n ≤ p + q . n
En développant de deux manières (1 + x )p × (1 + x )q , établir :
∑ (kp )(n −q k ) = (p n+ q ) . k =0
(
)
+q . Le coefficient de x n dans (1 + x )p × (1 + x )q = (1 + x ) p +q est p n Lorsqu’on développe le produit (1 + x ) × (1 + x ) , on obtient un x en croisant un x k de (1 + x )p par un x n −k p
q
n
() q est ∑ (kp )(n − k ) d’où l’égalité.
de (1 + x )q (pour 0 ≤ k ≤ n ). Le coefficient de x k dans (1 + x )p est kp et le coefficient x n −k dans (1 + x )q est
(n −q k ) donc le coefficient de x
n
n
dans (1 + x )p × (1 + x )q
k =0
n
Exercice 33 Calculer, pour tout n , p ∈ ℕ , la somme
∑ (p +k k ) k =0
n
1 p+2 p +n p+2 p+2 p +n ∑ (p +k k ) = (p0) + (p + 1 ) + ( 2 ) + ⋯ + ( n ) = ( 1 ) + ( 2 ) + ⋯ + ( n ) donc k =0 n
∑ (p +k k ) = (p +2 2) + ⋯ + (p +n n ) = (p +nn +1) k =0
p ∑ ∏(i + j ) . n
Exercice 34 Calculer pour n , p ∈ ℕ∗ , la somme
i =0
n
p
n
∑ ∏(i + j ) = ∑ i =0
j =1
i =0
j =1
n p + n + 1 (p + n + 1)! (i + p )! = p !∑ i +i p = p ! . = n i! (p + 1)n ! i =0
(
)
Exercice 35 Développer (a + b + c )n . n k n! k n −k k −ℓ ℓ n k (a + b + c )n = ∑∑ n k ℓ a b c et k ℓ = (n − k )!(k − ℓ )!ℓ ! . k =0 ℓ =0
( )( )
( )( )
n
Exercice 36 a) Soit n ∈ ℕ . Calculer
∑ (−1) k =0
k
(nk ) .
( )( ) ( )( c) Soit (x ) une suite de réels. On pose ∀k ∈ ℕ, y = ∑ (kℓ )x .
)
k n n −ℓ b) Soit k , ℓ, n ∈ ℕ tels que ℓ ≤ k ≤ n . Comparer n k ℓ et ℓ k − ℓ . k
n
ℓ
k
ℓ =0
n
()
Montrer que ∀n ∈ ℕ, x n = ∑ (−1)n −k n k yk . k =0
n
a)
∑ (−1)
k
k =0
(nk ) = 0
n
=
n=0 . {10 sisinon
n! k! n! (n − ℓ )! k n n −ℓ b) n k ℓ = k !(n − k )! ℓ !(k − ℓ )! = ℓ !(n − ℓ )! (n − k )!(k − ℓ)! = ℓ k − ℓ .
( )( )
( )(
n
c)
∑ (−1)
n
n −k
( )( )
n
n
ℓ =0
k =ℓ
n
n
∑ (−1)
n −k
k =ℓ
( )( )
n −k n k k yk = ∑∑ (−1)n −k n k ℓ x ℓ = ∑ x ℓ ∑ (−1) k ℓ k = 0 ℓ =0
k =0
Or
k
)
n
ℓ=n . (nk )(kℓ ) = (−1) (nℓ ) ∑ (−1) (nk −−ℓℓ) or ∑ (−1) (nk −−ℓℓ) = {10 sisinon n −ℓ
k −ℓ
k −ℓ
k =ℓ
k =ℓ
n
Par suite :
∑ (−1)
n −k
yk = x n .
k =0
n (−1)k +1 n 1 =∑ . ∑ k k k k =1 k =1 n
Exercice 37 Montrer que pour tout n ∈ ℕ∗ ,
()
Par récurrence sur n ≥ 1 sachant : n +1 n +1 n n n +1 (−1)k +1 n + 1 (−1)k +1 n (−1)k +1 n 1 n +1 (−1)k +1 n + 1 1 1 1 . = + = + = + = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ k k k − 1 k k k k n + 1 k =1 k k =1 k =1 k =1 k =1 k k =1 n + 1 k =1 k n +1
(
)
()
( )
(
)
david Delaunay http://mpsiddl.free.fr