Corrige Fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques Soit f : ℝ → ℝ telle que f f est croissante tandis que f f f est strictement décroissante.

Montrer que f est strictement décroissante.

Exercice 1

Soit x < y ∈ ℝ . f (x ) ≤ f (y ) ⇒ f f f (x ) ≤ f f f (y ) ⇒ y ≤ x car f f et croissante et f f f strictement décroissante.

Par contraposée x < y ⇒ f (y ) < f (x ) et donc f est strictement décroissante.

Etudier la parité de la fonction f définie par f (x ) = ln

Exercice 2

(

)

x 2 +1 + x .

∀x ∈ ℝ, x 2 + 1 > x 2 = x ≥ x donc f est définie sur ℝ , intervalle symétrique par rapport à 0. f (−x ) = ln

Exercice 3

(

 x 2 + 1− x 2   = − ln x 2 + 1 − x = ln   x 2 + 1 + x 

)

(

)

x 2 + 1 + x = −f (x ) donc f est impaire.

On rappelle que pour tout x ∈ ℝ , on a sin x ≤ x .

Montrer que la fonction x ֏ sin x est 1 lipschitzienne.

sin x − sin y = 2sin Exercice 4

x −y x −y x +y x −y cos ≤ 2 sin ≤2 = x − y donc sin est 1 lipschitzienne.

2 2 2 2

Soit f : ℝ → ℝ une fonction k lipschitzienne (avec k ∈ [0,1[ ) telle que f (0) = 0 .

Soit a ∈ ℝ et (un ) la suite réelle déterminée par u 0 = a et ∀n ∈ ℕ, un +1 = f (un ) .

Montrer que un → 0 .

Montrons par récurrence sur n ∈ ℕ : un ≤ k n a .

Pour n = 0 : ok Supposons la propriété établie au rang n ≥ 0 .

un +1 = f (un ) − f (0) ≤ k un − 0 = k un ≤ k n +1 a .

HR

Récurrence établie.

Puisque k ∈ [0,1[ , k n → 0 et donc un → 0 .

Exercice 5

Soit f : [0,1] → [ 0,1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe.

{x ∈ [0,1] / f (x ) ≥ x }

est non vide (0 y appartient) et est majoré (par 1).

On peut donc poser α = sup {x ∈ [0,1] / f (x ) ≥ x } .

∀x > α , on a f (x ) < x donc f (α ) ≤ f (x ) < x . D’où f (α ) ≤ α . (α majorant) ∀x < α , il existe t ∈ ]x , α ] tel que f (t ) ≥ t donc f (α ) ≥ f (t ) ≥ t ≥ x . D’où f (α ) ≥ α . ( α plus petit majorant).

Finalement f (α ) = α . On peut aussi procéder par dichotomie.

Limites d’une fonction numérique Exercice 6

Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent : a) lim x →0

1 + x − 1− x x

d) lim ln x .ln(ln x ) . x →1+

b) lim

x →+∞

x− x ln x + x 1x

e) lim (1 + x ) x →0

c) lim x x x →0+

f) lim x →1

1− x . arccos x

a) Quand x → 0 :

1 + x − 1− x 1 + x − (1− x ) 2 = = →1. x 1 + x + 1− x x 1 + x + 1− x

(

)

x− x 1 −1 x = →1. ln x ln x + x +1 x c) Quand x → 0+ : x x = ex ln x = eX avec X = x ln x → 0 donc x x → 1 . d) Quand x → 1+ : ln x .ln(ln x ) = X ln X avec X = ln x → 0 donc ln x .ln(ln x ) → 0 b) Quand x → +∞ :

1

ln(1 + x ) 1x → 0 donc (1 + x ) → e . x 1− x 1− cos y 2sin 2 y sin y f) Quand x → 1 : = = = 2sin y avec y = arccos x → 0 donc sin y → 0 et arccos x y y y sin y 1− x → 1 puis → 0. y arccos x 1x

e) Quand x → 0 : (1 + x ) = e x

Exercice 7

ln(1+x )

= eX avec X =

Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent : 1 x cos ex a) lim x .sin   b) lim 2  x  x →0 x →+∞ x + 1 1 x + arctan x d) lim e) lim xE    x  x →+∞ x → 0 x

a) Quand x → 0 : x sin b) Quand x → +∞ :

c) lim ex −sin x x →+∞

1 f) lim xE   .  x  x →+∞

1 ≤ x →0. x

x cos ex x ≤ 2 →0.

2 x +1 x +1

c) Quand x → +∞ : ex −sin x .ln x ≥ ex −1 → +∞ . x + arctan x arctan x π d) Quand x → +∞ : −1 ≤ ≤ →0. x x 2x e) Quand x → 0 : 1 x −1 ≤ E (1 x ) ≤ 1 x donc E (1 x ) −1 x ≤ 1 puis xE (1 x ) −1 ≤ x → 0 . f) Quand x → +∞ : 1 x → 0 donc E (1 x ) = 0 puis xE (1 x ) = 0 → 0 .

Exercice 8

Déterminer les limites suivantes : lim E (1 x ) , lim xE (1 x ) et lim x 2E (1 x ) . x →0+

x →0

x →0

1 Quand x → 0+ : E (1 x ) ≥ −1 → +∞ . x Quand x → 0 : 1 x −1 ≤ E (1 x ) ≤ 1 x puis en séparant les cas x → 0+ et x → 0− : xE (1 x ) → 1 .

Quand x → 0 : x 2E (1 x ) ≤

Exercice 9

1 → 0. x

Soit a < b ∈ ℝ et f : ]a ,b[ → ℝ une fonction croissante.

Montrer que l’application x ֏ lim f est croissante. + x

L’application x ֏ lim f est bien définie car f est croissante ce qui assure l’existence de lim f . + + x

x

Soit x , y ∈ ]a ,b[ tels que x < y .

Pour t ∈ ]x , y[ , on a f (t ) ≤ f (y ) . Quand t → x + , on obtient lim f ≤ f (y ) or f (y ) ≤ lim f donc lim f ≤ lim f. + + + + y

x

x

Exercice 10 Soit f : ℝ → ℝ une fonction T périodique (avec T > 0 ) telle que lim f existe dans ℝ . +∞

Montrer que f est constante.

y

Posons ℓ = lim f . +∞

Pour tout x ∈ ℝ et tout n ∈ ℤ , on a f (x ) = f (x + nT ) .

Quand n → +∞ , x + nT → +∞ et donc f (x + nT ) → ℓ .

Or f (x + nT ) = f (x ) → f (x ) donc par unicité de la limite ℓ = f (x ) .

Finalement f est constante.

Exercice 11 a) Soit g : ℝ → ℝ une fonction périodique convergeant en +∞ . Montrer que g est constante. b) Soit f , g : ℝ → ℝ telles que f converge en +∞ , g périodique et f + g croissante.

Montrer que g est constante.

Notons T une période strictement positive de g . a) Notons ℓ la limite de g en +∞ . ∀x ∈ ℝ, g (x ) = g (x + nT ) → ℓ donc par unicité de la limite : g (x ) = ℓ . Ainsi g est constante. n∞

b) Notons ℓ la limite de f en +∞ .

Puisque f + g est croissante f + g  → ℓ ′ ∈ ℝ ∪ {+∞} . x →+∞ Si ℓ ′ = +∞ alors g  → +∞ . La démarche du a., montre l’impossibilité de ceci. x →+∞ Si ℓ ′ ∈ ℝ alors la démarche du a., permet de conclure.

Continuité des fonctions numériques Exercice 12 Soit f : ℝ → ℝ continue en 0 telle que ∀x ∈ ℝ , on a f (2x ) = f (x ) .

Montrer que f est une fonction constante.

x   x x  On a f   = f 2  = f (x ) . Par récurrence, on montre ∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ ℝ , f (x ) = f  n  .  2   2   2  x  x Quand n → +∞ , n → 0 et donc f  n  → f (0) .  2  2  x  Or f  n  = f (x ) → f (x ) donc par unicité de la limite f (x ) = f (0) .  2  Finalement f est constante égale à f (0) .

Exercice 13 Soit f : ℝ → ℝ une fonction continue en 0 et en 1 telle que ∀x ∈ ℝ, f (x ) = f (x 2 ) .

Montrer que f est constante.

∀x ∈ ℝ, f (−x ) = f ((−x ) 2 ) = f (x 2 ) = f (x ) donc f est paire. n

n

n

n −1

∀x > 0 , x 1 2 → 1 donc f (x 1 2 ) → f (1) or f (x 1 2 ) = f (x 1 2 ) = ⋯ = f (x ) donc f (x ) = f (1) . n∞ n∞ De plus f (0) = lim+ f (x ) = f (1) donc ∀x ∈ ℝ , f (x ) = f (1) . x →0

Exercice 14 Soit f : ℝ → ℝ une fonction continue et prenant la valeur 1 en 0.

On suppose que ∀x ∈ ℝ, f (2x ) = f (x ) cos x , déterminer f .

Soit f solution. x  x  x  x  x  x  x  x  f (x ) = f   cos   = f   cos   cos   = … = f  n  cos  n … cos   .  4   4   2   2   2   2   2   2  x  x  x  1 x  sin x  x  Or sin  n  cos  n … cos   = n sin x donc sin  n  f (x ) = n f  n  .  2   2   2  2  2   2  2 x   x  sin x sin x Pour x ≠ 0 , quand n → +∞ : on a sin  n  ≠ 0 puis f (x ) = f  n  → f (0) .  2   x   2  x 2n sin  n   2 

Ainsi ∀x ∈ ℝ, f (x ) =

sin x (avec prolongement par continuité par 1 en 0). x

Inversement : ok.

Exercice 15 Etudier la continuité sur ℝ de l’application f : x ֏ E (x ) + x − E (x ) .

Par opération f est continue sur chaque I k = ]k , k + 1[ avec k ∈ ℤ .

Il reste à étudier la continuité en a ∈ ℤ .

Quand x → a + : f (x ) = E (x ) + x − E (x ) → a = f (a ) car E (x ) → a .

Quand x → a − : f (x ) = E (x ) + x − E (x ) → a −1 + 1 = a = f (a ) car E (x ) → a −1 .

Par continuité à droite et à gauche, f est continue en a .

Finalement f est continue sur ℝ .

Exercice 16 Etudier la continuité de x ֏ E (x ) + (x − E (x )) 2 .

Soit a ∈ ℝ .

Si a ∉ ℤ alors, au voisinage de a , f (x ) = E (a ) + (x − E (a )) 2 donc f est continue en a .

Si a ∈ ℤ alors : Quand x → a + , f (x ) → a = f (a ) .

Quand x → a − , f (x ) → a −1 + (a − (a −1))2 = a = f (a ) .

Donc f est continue en a . Finalement f est continue sur ℝ .

Exercice 17 Soit f : ℝ → ℝ définie par f (x ) =

x ∈ℚ . {10 sisinon

Montrer que f est totalement discontinue.

Soit a ∈ ℝ .

Il existe une suite (un ) de nombre rationnels et une suite (vn ) de nombres irrationnels telles que un , vn → a .

On a f (un ) = 1 → 1 et f (vn ) = 0 → 0 donc f n’a pas de limite en a et est donc discontinue en a .

Exercice 18 Soit f : ℝ +∗ → ℝ une fonction telle que x ֏ f (x ) est croissante et x ֏

f (x ) est décroissante. x

Montrer que f est continue.

Soit a ∈ ℝ +∗ .

Puisque f est croissante lim− f (x ) et lim+ f (x ) existent, sont finies et lim− f (x ) ≤ f (a ) ≤ lim+ f (x ) . x →a

x →a

x →a

x →a

f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (a ) f (x ) Puisque x ֏ est décroissante lim− et lim+ existent, sont finies et lim+ ≤ ≤ lim− . x → a x → a x → a x → a x x x x a x f (x ) 1 f (x ) 1 Par opérations sur les limites lim+ = lim+ f (x ) et lim− = lim− f (x ) x →a x →a x a x →a x a x →a 1 1 1 donc lim+ f (x ) ≤ f (a ) ≤ lim− f (x ) puis lim+ f (x ) ≤ f (a ) ≤ lim− f (x ) car a > 0 . x →a x →a a x →a a a x →a Par suite lim+ f (x ) = f (a ) = lim− f (x ) et donc f est continue. x →a

x →a

Exercice 19 Soit f : I → ℝ et g : I → ℝ deux fonctions continues.

Montrer que sup( f , g ) est une fonction continue sur I .

sup( f , g )(x ) = max( f (x ), g (x )) =

1 1 f (x ) − g (x ) + ( f (x ) + g (x )) est continue par opérations.

2 2

Exercice 20 Soient f : ℝ → ℝ continue telle que ∀x , y ∈ ℝ , f (x + y ) = f (x ) + f (y ) . a) Calculer f (0) et montrer que pour tout x ∈ ℝ , f (−x ) = −f (x ) .

b) Justifier que pour tout n ∈ ℤ et tout x ∈ ℝ , f (nx ) = nf (x ) . c) Etablir que pour tout r ∈ ℚ , f (r ) = ar avec a = f (1) . d) Conclure que pour tout x ∈ ℝ , f (x ) = ax . a) Pour x = y = 0 , la relation donne f (0) = 2 f (0) donc f (0) = 0 .

Pour y = −x , la relation donne f (0) = f (x ) + f (−x ) donc f (−x ) = −f (x ) . b) Par récurrence, on montre pour n ∈ ℕ : f (nx ) = nf (x ) .

L’extension à n ∈ ℤ− s’obtient par f (nx ) = −f (−nx ) = − (−n ) f (x ) = nf (x ) . n ∈ℕ

c) Soit r ∈ ℚ . On peut écrire r = p q avec p ∈ ℤ et q ∈ ℕ∗ .

p p f (r ) = pf (1 q ) = qf (1 q ) = f (1) = ar . q q d) Pour tout x ∈ ℝ il existe une suite (un ) telle que un → x et un ∈ ℚ .

Par continuité f (un ) → f (x ) or puisque un ∈ ℚ f (un ) = aun → ax donc par unicité de la limite f (x ) = ax .

 x + y  1 Exercice 21 On cherche les fonctions f : ℝ → ℝ continues telles que ∀x , y ∈ ℝ , f   = ( f (x ) + f (y )) .  2  2 a) On suppose f solution et f (0) = f (1) = 0 .

Montrer que f est périodique et que ∀x ∈ ℝ , 2 f (x ) = f (2x ) . En déduire que f est nulle. b) Déterminer toutes les fonctions f solutions. a) f (2 − x ) + f (x ) = 0 et f (−x ) + f (x ) = 0 donc f (x ) = f (x + 2) donc f est périodique.

f (x 2) = f (x ) 2 donc f (2x ) = 2 f (x ) .

Puisque f est continue et périodique, f est bornée. Or la relation f (2x ) = 2 f (x ) implique que f n’est pas bornée dès qu’elle prend une valeur non nulle. Par suite f est nulle. b) Pour a = f (1) − f (0) et b = f (0) , on observe que g (x ) = f (x ) − (ax + b ) est solution du problème posé et s’annule en 0 et 1 donc f est nulle.

Théorème des valeurs intermédiaires Exercice 22 Soit f : [0,1] → [ 0,1] continue. Montrer que f admet un point fixe.

Soit ϕ : [0,1] → ℝ définie par ϕ(x ) = f (x ) − x . Un point fixe de f est une valeur d’annulation de ϕ .

ϕ est continue, ϕ(0) = f (0) ≥ 0 et ϕ (1) = f (1) −1 ≤ 0 donc, par le TVI, ϕ s’annule.

Exercice 23 Montrer que les seules applications continues de ℝ vers ℤ sont les fonctions constantes.

Soit f : ℝ → ℤ continue.

Par l’absurde : Si f n’est pas constante alors il existe a < b tel que f (a ) ≠ f (b ) .

Soit y un nombre non entier compris entre f (a ) et f (b ) .

Par le TVI, il existe x ∈ ℝ tel que y = f (x ) et donc f n’est pas à valeurs entière. Absurde.

Exercice 24 Soit f : [a ,b ] → ℝ continue et p ,q ∈ ℝ + .

Montrer que ∃c ∈ [a ,b ] tel que p.f (a ) + q .f (b ) = (p + q ).f (c ) .

Si p = q = 0 , n’importe quel c fait l’affaire. pf (a ) + qf (b ) Sinon posons y = . p +q pf (a ) + qf (a ) pf (b ) + qf (b ) Si f (a ) ≤ f (b ) alors f (a ) = ≤y ≤ = f (b ) . p +q p +q

Si f (b ) ≤ f (a ) alors, comme ci-dessus f (b ) ≤ y ≤ f (a ) .

Dans les deux cas, y est une valeur intermédiaire à f (a ) et f (b ) donc par le TVI, il existe c ∈ [a ,b ] tel que

y = f (c ) et on conclut.

Exercice 25 Soit f : ℝ → ℝ continue telle que lim f = −1 et lim f = 1 . Montrer que f s’annule. +∞

−∞

Puisque lim f = −1 , f prend des valeurs négatives, puisque lim f = 1 , f prend des valeurs positives. +∞

−∞

En appliquant le TVI entre celles-ci, f s’annule.

Exercice 26 Soit f : I → ℝ et g : I → ℝ deux fonctions continues telles que : ∀x ∈ I , f (x ) = g (x ) ≠ 0 .

Montrer que f = g ou f = −g .

Posons ϕ : I → ℝ définie par ϕ (x ) = f (x ) g (x ) .

ϕ est continue et ∀x ∈ ℝ, ϕ(x ) = 1 .

Montrons que ϕ est constante égale à 1 ou −1 ce qui permet de conclure.

Par l’absurde, si ϕ n’est pas constante égale à 1 ni à −1 alors il existe a ,b ∈ I tel que ϕ(a ) = 1 ≥ 0 et

ϕ(b ) = −1 ≤ 0 . Par le TVI, ϕ s’annule. Absurde.

Exercice 27 Soit f : [ 0,1] → ℝ continue telle que f (0) = f (1) .

Montrer que ∀n ∈ ℕ∗ , ∃α ∈ [ 0,1−1 n ] tel que f (α + 1 n ) = f (α ) .

Posons ϕ : [0,1−1 n ] → ℝ définie par ϕ(x ) = f (x + 1 n ) − f (x ) . ϕ est continue. n −1

n −1

Si ϕ est de signe strictement constant alors f (1) − f (0) = ∑ f (k + 1 n ) − f (k n ) = ∑ ϕ(k n ) ne peut être nul k =0

k =0

absurde. Puisque ϕ prend une valeur positive et une valeur négative, par le TVI, ϕ s’annule.

Exercice 28 Soit f : ℝ → ℝ continue et décroissante.

Montrer que f admet un unique point fixe.

Unicité : Soit g : x ֏ f (x ) − x . g est strictement décroissante donc injective et ne peut donc s’annuler qu’au plus une fois.

Existence : Par l’absurde, puisque g est continue, si elle ne s’annule par elle est strictement positive ou négative.

Si ∀x ∈ ℝ, g (x ) > 0 alors f (x ) > x  →+∞ ce qui est absurde puisque lim f = inf f . x →+∞ +∞

ℝ

Si ∀x ∈ ℝ, g (x ) < 0 alors f (x ) < x  →−∞ ce qui est absurde puisque lim f = sup f . x →−∞ −∞

Exercice 29 Soit f : [0, +∞[ → ℝ continue, positive et telle que lim

x →+∞

ℝ

f (x ) = ℓ <1. x

Montrer qu’il existe α ∈ [ 0, +∞[ tel que f (α ) = α .

Si f (0) = 0 alors α = 0 convient.

f (x ) , g est définie et continue sur ℝ +∗ . x Puisque f (0) > 0 , par opérations sur les limites lim g (x ) = +∞ .

Sinon, considérons g : x ֏

x →0

De plus lim g (x ) = ℓ . x →+∞

Puisque g est continue et qu’elle prend des valeurs inférieures et supérieures à 1, on peut conclure, en vertu dy TVI : ∃α ∈ ℝ +∗ , g (α ) = 1 d’où f (α ) = α .

Exercice 30 Notre objectif dans cet exercice est d’établir la proposition : « Toute fonction f : I → ℝ continue et injective est strictement monotone. » Pour cela on raisonne par l’absurde et on suppose :

∃(x1 , y1 ) ∈ I 2 , x1 < y1 et f (x1 ) ≥ f (y1 ) et ∃(x 2 , y 2 ) ∈ I 2 , x 2 < y 2 et f (x 2 ) ≤ f (y 2 ) Montrer que la fonction ϕ : [0,1] → ℝ définie par ϕ (t ) = f ((1− t )x1 + tx 2 ) − f ((1− t )y1 + ty 2 ) s’annule. Conclure.

La fonction ϕ est continue, ϕ (0) = f (x1 ) − f (y1 ) ≥ 0 et ϕ (1) = f (x 2 ) − f (y 2 ) ≤ 0 donc par le TVI, ϕ s’annule en un certain t . Posons x 0 = (1− t )x1 + tx 2 et y 0 = (1− t )y1 + ty 2 .

ϕ (t ) = 0 donne f (x 0 ) = f (y 0 ) or x 0 < y 0 donc ϕ n’est pas injective. Absurde.

Exercice 31 Soit f : [0, +∞[ → ℝ continue. On suppose que f →+ ∞ . Montrer que f →+ ∞ ou f →−∞ . +∞

+∞

+∞

Pour a assez grand, f (x ) ≥ 1 sur [a , +∞[ donc f ne s’annule pas sur [a , +∞[ . Etant continue, f est alors de signe constant sur [a , +∞[ et la relation f = ± f permet alors de conclure.

Continuité sur segment Exercice 32 Soit f , g : [a ,b ] → ℝ continues telles que ∀x ∈ [a ,b ], f (x ) < g (x ) .

Montrer : ∃α > 0 tel que ∀x ∈ [a ,b ], f (x ) ≤ g (x ) − α .

Posons ϕ : [a ,b ] → ℝ définie par ϕ (x ) = g (x ) − f (x ) .

ϕ est continue sur le segment [a ,b ] donc y admet un minimum en un certain c ∈ [a ,b ] .

Posons α = ϕ (c ) = g (c ) − f (c ) > 0 . Pour tout x ∈ ℝ , ϕ (x ) ≥ α donc f (x ) ≤ g (x ) − α .

Exercice 33 Soit f : ℝ → ℝ continue telle que : lim f = lim f = +∞ . +∞

−∞

Montrer que f admet un minimum absolu.

Posons M = f (0) + 1 .

Puisque lim f = lim f = +∞ , il existe A, B ∈ ℝ tels que ∀x ≤ A, f (x ) ≥ M et ∀x ≥ B , f (x ) ≥ M . +∞

−∞

On a A ≤ 0 ≤ B car f (0) < M .

Sur [A, B ] , f admet un minimum en un point a ∈ [A, B ] car continue sur un segment.

On a f (a ) ≤ f (0) car 0 ∈ [A, B ] donc f (a ) ≤ M .

Pour tout x ∈ [A, B ] , on a f (x ) ≥ f (a ) et pour tout x ∈ ]−∞, A] ∪ [B , +∞[ , f (x ) ≥ M ≥ f (a ) .

Ainsi f admet un minimum absolu en a .

Exercice 34 Soit f : ℝ → ℝ bornée et g : ℝ → ℝ continue.

Montrer que g f et f g sont bornées.

Soit M ∈ ℝ tel que ∀x ∈ ℝ, f (x ) ≤ M .

Pour tout x ∈ ℝ , f (g (x )) ≤ M donc f g est bornée.

Puisque g est continue sur le segment [−M , M ] , il y est borné par un certain M ′ .

Pour tout x ∈ ℝ , g ( f (x )) ≤ M ′ car f (x ) ∈ [−M , M ] ainsi g f est bornée.

Exercice 35 Montrer qu’une fonction continue et périodique définie sur ℝ est bornée.

Soit T > 0 une période de f .

Sur [0,T ] , f est bornée par un certain M car f est continue sur un segment.

Pour tout x ∈ ℝ , x − nT ∈ [0,T ] pour n = E (x T ) donc f (x ) = f (x − nT ) ≤ M .

Ainsi f est bornée par M sur ℝ .

Exercice 36 Soit f , g : [0,1] → ℝ continue.

On pose ϕ(t ) = sup ( f (x ) + tg (x )) . x ∈[ 0,1]

Montrer que ϕ est bien définie sur ℝ et qu’elle y est lipschitzienne.

L’application x ֏ f (x ) + tg (x ) est définie et continue sur le segment [0,1] elle y est donc bornée et atteint ses bornes. Par suite ϕ(t ) est bien définie et plus précisément, ∃x t ∈ [0,1] tel que ϕ(t ) = f (x t ) + tg (x t ) .

Puisque g est continue sur [0,1] elle y est bornée par un certain M : On a ϕ(t ) − ϕ(τ ) = f (x t ) + tg (x t ) − ( f (x τ ) + τg (x τ )) , or f (x t ) + τg (x t ) ≤ f (x τ ) + τg (x τ ) donc :

ϕ(t ) − ϕ(τ ) ≤ tg (x t ) − τg (x τ ) = (t − τ )g (x t ) ≤ M t − τ De même ϕ(τ ) − ϕ (t ) ≤ M t − τ et finalement ϕ est M lipschitzienne.

Exercice 37 Soit f : ℝ → ℝ continue. On suppose que chaque y ∈ ℝ admet au plus deux antécédents par f .

Montrer qu’il existe un y ∈ ℝ possédant exactement un antécédent.

Soit y une valeur prise par f . Si celle-ci n’a qu’un antécédent, c’est fini.

Sinon, soit a < b les deux seuls antécédents de y .

f est continue sur [a ,b ] donc y admet un minimum en c et un maximum en d , l’un au moins n’étant pas en une extrémité de [a ,b ] . Supposons que cela soit c .

Si f (c ) possède un autre antécédent c ′ que c .

Si c ′ ∈ [a ,b ] alors f est constante entre c et c ′ et il y a contradiction.

Si c ′ ∉ [a ,b ] alors une valeur strictement intermédiaire à y et f (c ) possède au moins 3 antécédents. Impossible.

Bijection continue Exercice 38 Montrer que f : ℝ → ℝ définie par f (x ) =

x .

1+ x

a) Montrer que f réalise une bijection de ℝ vers ]−1,1[ . b) Déterminer, pour y ∈ ]−1,1[ une expression de f −1 (y ) analogue à celle de f (x ) .

x 1 = 1− est continue et strictement croissante, f (0) = 0 et lim f = 1 . +∞ 1+ x 1+ x Ainsi f réalise une bijection de [0,+∞[ vers [0,1[ . a) Sur [0,+∞[ , f (x ) =

x 1 = −1 + est continue et strictement croissante, lim f = 0 et lim f = −1 .

0 −∞ 1− x 1− x Ainsi f réalise une bijective de ]−∞, 0[ vers ]−1, 0[ .

Sur ]−∞, 0[ , f (x ) =

Finalement, f réalise une bijective de ℝ vers ]−1,1[ .

x y ⇔x = .

1+ x 1− y x y Pour y ∈ ]−1, 0[ , son antécédent x = f −1 (y ) appartient à ]−∞, 0[ . y = f (x ) ⇔ y = ⇔x = .

1− x 1+ y y Finalement, ∀y ∈ ]−1,1[ , f −1 (y ) = .

1− y b) Pour y ∈ [0,1[ , son antécédent x = f −1 (y ) appartient à [0,+∞[ . y = f (x ) ⇔ y =

Exercice 39 Soit a < b ∈ ℝ et f : ]a ,b[ → ℝ une fonction strictement croissante.

Montrer que f est continue ssi f (]a ,b[) =  lim f , lim f  . b  a 

Notons que lim f et lim f existent car f est croissante. a

b

(⇒) Supposons f continue.

Puisque f est continue et strictement croissante, f réalise une bijection de ]a ,b[ sur  lim f , lim f  d’où le b  a  résultat. (⇐) Supposons f (]a ,b[) =  lim f , lim f  . b  a  Soit x 0 ∈ ]a ,b[ . On a lim f < f (x 0 ) < lim f . a

b

∀ε > 0 , soit y ∈ ]f (x 0 ), f (x 0 ) + ε ] ∩  lim f , lim f  . Il existe x + ∈ ]a ,b[ tel que f (x + ) = y + . b  a  −   soit y ∈ [ f (x 0 ) − ε, f (x 0 )[ ∩  lim f , lim f  . Il existe x − ∈ ]a ,b[ tel que f (x − ) = y − . b  a  Puisque f est croissante : x − < x 0 < x + . Posons α = min(x + − x 0 , x 0 − x − ) > 0 . +

∀x ∈ ]a ,b[ , si x − x 0 ≤ α alors x − ≤ x ≤ x + donc y − ≤ f (x ) ≤ y + d’où f (x ) − f (x 0 ) ≤ ε .

Ainsi f est continue en x 0 puis f continue sur ]a ,b[ .

Uniforme continuité Exercice 40 Montrer que x ֏ x est uniformément continue sur ℝ + .

Pour y ≥ x ≥ 0 , ( y − x ) 2 = y + x − 2 xy ≤ y − x donc

y − x ≤ y −x .

Par suite, ∀x , y ≥ 0, y − x ≤ y − x .

Pour tout ε > 0 , considérons η = ε 2 > 0 .

Pour tout x , y ≥ 0 , si y − x ≤ η alors

y − x ≤ y −x ≤ η = ε .

Exercice 41 Montrer que x ֏ ln x n’est pas uniformément continue sur ℝ +∗ .

Par l’absurde supposons que x ֏ ln x soit uniformément continue sur ℝ +∗ .

Pour ε = 1 , il existe η > 0 tel que ∀x , y > 0 , y − x ≤ η ⇒ ln y − ln x ≤ ε .

 x + η  Pour y = x + η , ln y − ln x = ln    + →+∞ . Absurde.  x  x → 0 Exercice 42 Montrer que x ֏ x ln x est uniformément continue sur ]0,1] .

f : [ 0,1] → ℝ définie par f (x ) =

x si x ≠ 0 est continue sur le segment [0,1] , donc uniformément continue {x0 lnsinon

sur [0,1] et donc a fortiori sur ]0,1] .

Comparaison de fonctions numériques Exercice 43 Déterminer un équivalent simple aux fonctions suivantes aux points considérés : a)

x 3 +1 3

2

en +∞

x 2 + 1 + x 2 −1 en +∞

e)

ln(x + 1) − ln(x ) en +∞

c)

1 + x 2 − 1− x 2 en 0

x +1

d) ln(1 + sin x ) en 0+ g)

b)

ln(1 + x ) sin x

en 0+

h) x ln(x + 1) − (x + 1) ln x en +∞ .

−

f) ln cosx en π 2

a) Quand x → +∞ : b) Quand x → +∞ :

x 3 +1 3

x 2 +1

∼

x3 2 = x5 6 .

23 x

x 2 + 1 + x 2 −1 = x + o (x ) + x + o (x ) = 2x + o (x ) ∼ 2x .

1 + x 2 − 1− x 2 =

c) Quand x → 0 :

2x 2

∼

2x 2 = x2 2

1 + x 2 + 1− x 2 d) Quand x → 0 : ln(1 + sin x ) ∼ sin x car sin x → 0 et donc ln(1 + sin x ) ∼ x car sin x ∼ x . +

 1  1 1 1 ln(x + 1) − ln(x ) = ln 1 +  ∼ car ln 1 +  ∼ .  x   x  x x − π  π π f) Quand x → : cos x = cos  − h  = sin h avec h = − x → 0+ donc sin h ∼ h puis  2  2 2 π  π cos x ∼ − x → 0+ ≠ 1 donc ln cos x ∼ ln  − x  .    2 2  1 g) Quand x → +∞ : x ln(x + 1) − (x + 1) ln x = x ln 1 +  − ln x = 1 + o (1) − ln x ∼ − ln x .  x  e) Quand x → +∞ :

Exercice 44 Déterminer les limites suivantes : x e−x + x 2 a) lim x →+∞ x − ln x

b) lim+ x →0

x + sin x x ln x ln x

x ln x − x d) lim x →+∞ x + cos x ln x x →1 x 2 −1

g) lim

 x  x e) lim   x →+∞   ln x  h) lim

x →+∞

x ex − x 2 ex + e−x

x e−x + x 2 x 2 ∼ = x → +∞ . x − ln x x x + sin x x + x + o (x ) 2 b) Quand x → 0+ : = ∼ → 0. x ln x x ln x ln x 2 2 2 x ln x c) Quand x → +∞ : = e(ln x ) −ln ln x = e(ln x ) +o (ln x ) → +∞ . ln x x ln x − x x ln x d) Quand x → +∞ : ∼ = ln x → +∞ . x + cos x x a) Quand x → +∞ :

ln x

ln x ln x ln x − ln ln x  x  x x e) Quand x → +∞ :  =e x =e    ln x 

 (ln x )2  (ln x )2  +o   x  x 

→1.

f) Quand x → 0 :

ln x + x 2 ln x ∼ =1→1.

2 ln(x + x ) ln x

g) Quand x → 1 :

ln x ln(1 + h ) = ∼ 1 → 1 en posant h = x −1 → 0 . x 2 −1 h +h 2

h) Quand x → +∞ : i) Quand x → +∞ :

x ex − x 2 ∼ x e−x 2 → 0 . ex + e−x argsh x ln(x + x 2 + 1) ln(2x + o (x )) ln 2 + ln x = = ∼ ∼ 1 → 1. ln x ln x ln x ln x

Exercice 45 Déterminer un équivalent simple au fonctions proposées : ln(x + 1) a) −1 quand x → +∞ , ln x b) ln(1 + x ) 2 − ln(1− x )2 quand x → 0 , c)

ln(x + 1) − ln(x −1) quand x → +∞ ,

x ln x x →+∞ ln x

c) lim

ln x + x 2 x → 0 ln(x + x 2 )

f) lim

i) lim

x →+∞

argsh x . ln x

d) tan x − sin x quand x → 0 . e) ln(1 + ln(1 + x )) quand x → 0 .

ln(x + 1) ln(1 + 1 x ) 1 −1 = ∼ . +∞ x ln x ln x ln x b) ln(1 + x ) 2 − ln(1− x ) 2 = (ln(1 + x ) + ln(1− x ))(ln(1 + x ) − ln(1− x )) = ln(1− x 2 )(2x + o (x )) ∼− 2x 3 . a)

0

c)

ln(x + 1) − ln(x −1) =

 x + 1 ln   x −1 ln(x + 1) + ln(x −1)

=

 2  ln 1 +  x −1 2 ln x + o

(

ln x

)

∼

+∞

1

.

x ln x

x x3 ∼ .

2 0 2 e) ln(1 + ln(1 + x )) ∼ ln(1 + x ) ∼ x car ln(1 + x ) → 0 . d) tan x − sin x = tan x (1− cos x ) = 2 tan x sin 2

Exercice 46 Soit f : ℝ → ℝ une fonction décroissante telle que f (x ) + f (x + 1) ∼

+∞

1 . x

a) Etudier la limite de f en +∞ . b) Donner un équivalent de f en +∞ . a) f est décroissante donc possède une limite ℓ en +∞ .

Quand x → +∞ , f (x ) → ℓ et f (x + 1) → ℓ donc f (x ) + f (x + 1) → 2ℓ or f (x ) + f (x + 1) ∼

1 → 0 donc x

ℓ=0. b) Quand x → +∞ , on a f (x + 1) + f (x ) ≤ 2 f (x ) ≤ f (x ) + f (x −1) donc 2 f (x ) ∼

1 1 puis f (x ) ∼ . x 2x

Etude de branches infinies de fonctions Exercice 47 Etudier les branches infinies de f (x ) =

(x + 1) ln(x + 1) . ln x

f est définie et continue sur ]0,1[ ∪ ]1, +∞[ . f (x ) x ln x ln(x + 1) + x ln(1 + 1 x ) ln x ∼ = 1 , f (x ) − x = ∼ = 1 et x x ln x ln x ln x (x + 1) ln(1 + 1 x ) 1 f (x ) − (x + 1) = ∼ → 0+ . ln x ln x La droite d’équation y = x + 1 est asymptote en +∞ et la courbe y = f (x ) est au dessus.

Quand x → +∞ :

Quand x → 1+ : f (x ) → +∞ , la droite d’équation x = 1 est asymptote.

Quand x → 1− : f (x ) → −∞ , la droite d’équation x = 1 est asymptote.

Quand x → 0 : f (x ) → 0 , on prolonge par continuité en posant f (0) = 0 .

Exercice 48 Etudier les branches infinies de f (x ) =

x 2 + 2x . x −1 + x

f est définie et continue sur ℝ .

Quand x → +∞ : f (x ) =

1  x 2 + 2x f (x ) 1 1 2x + 1 2 32 , → , f (x ) − x = → 1 et f (x ) −  x + 1 = → 0+ .  2  2x −1 2x −1 x 2 2 2x −1

Quand x → −∞ : f (x ) = x 2 + 2x , il y a une branche parabolique verticale. david Delaunay http://mpsiddl.free.fr