Généralités sur les fonctions numériques Soit f : ℝ → ℝ telle que f f est croissante tandis que f f f est strictement décroissante. Montrer que f est strictement décroissante.
Exercice 1
Soit x < y ∈ ℝ . f (x ) ≤ f (y ) ⇒ f f f (x ) ≤ f f f (y ) ⇒ y ≤ x car f f et croissante et f f f strictement décroissante. Par contraposée x < y ⇒ f (y ) < f (x ) et donc f est strictement décroissante. Etudier la parité de la fonction f définie par f (x ) = ln
Exercice 2
(
)
x 2 +1 + x .
∀x ∈ ℝ, x 2 + 1 > x 2 = x ≥ x donc f est définie sur ℝ , intervalle symétrique par rapport à 0. f (−x ) = ln
Exercice 3
(
x 2 + 1− x 2 = − ln x 2 + 1 − x = ln x 2 + 1 + x
)
(
)
x 2 + 1 + x = −f (x ) donc f est impaire.
On rappelle que pour tout x ∈ ℝ , on a sin x ≤ x . Montrer que la fonction x ֏ sin x est 1 lipschitzienne.
sin x − sin y = 2sin Exercice 4
x −y x −y x +y x −y cos ≤ 2 sin ≤2 = x − y donc sin est 1 lipschitzienne. 2 2 2 2
Soit f : ℝ → ℝ une fonction k lipschitzienne (avec k ∈ [0,1[ ) telle que f (0) = 0 . Soit a ∈ ℝ et (un ) la suite réelle déterminée par u 0 = a et ∀n ∈ ℕ, un +1 = f (un ) . Montrer que un → 0 .
Montrons par récurrence sur n ∈ ℕ : un ≤ k n a . Pour n = 0 : ok Supposons la propriété établie au rang n ≥ 0 .
un +1 = f (un ) − f (0) ≤ k un − 0 = k un ≤ k n +1 a . HR
Récurrence établie. Puisque k ∈ [0,1[ , k n → 0 et donc un → 0 . Exercice 5
Soit f : [0,1] → [ 0,1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe.
{x ∈ [0,1] / f (x ) ≥ x }
est non vide (0 y appartient) et est majoré (par 1).
On peut donc poser α = sup {x ∈ [0,1] / f (x ) ≥ x } .
∀x > α , on a f (x ) < x donc f (α ) ≤ f (x ) < x . D’où f (α ) ≤ α . (α majorant) ∀x < α , il existe t ∈ ]x , α ] tel que f (t ) ≥ t donc f (α ) ≥ f (t ) ≥ t ≥ x . D’où f (α ) ≥ α . ( α plus petit majorant). Finalement f (α ) = α . On peut aussi procéder par dichotomie.
Limites d’une fonction numérique Exercice 6
Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent : a) lim x →0
1 + x − 1− x x
d) lim ln x .ln(ln x ) . x →1+
b) lim
x →+∞
x− x ln x + x 1x
e) lim (1 + x ) x →0
c) lim x x x →0+
f) lim x →1
1− x . arccos x
a) Quand x → 0 :
1 + x − 1− x 1 + x − (1− x ) 2 = = →1. x 1 + x + 1− x x 1 + x + 1− x
(
)
x− x 1 −1 x = →1. ln x ln x + x +1 x c) Quand x → 0+ : x x = ex ln x = eX avec X = x ln x → 0 donc x x → 1 . d) Quand x → 1+ : ln x .ln(ln x ) = X ln X avec X = ln x → 0 donc ln x .ln(ln x ) → 0 b) Quand x → +∞ :
1
ln(1 + x ) 1x → 0 donc (1 + x ) → e . x 1− x 1− cos y 2sin 2 y sin y f) Quand x → 1 : = = = 2sin y avec y = arccos x → 0 donc sin y → 0 et arccos x y y y sin y 1− x → 1 puis → 0. y arccos x 1x
e) Quand x → 0 : (1 + x ) = e x
Exercice 7
ln(1+x )
= eX avec X =
Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent : 1 x cos ex a) lim x .sin b) lim 2 x x →0 x →+∞ x + 1 1 x + arctan x d) lim e) lim xE x x →+∞ x → 0 x
a) Quand x → 0 : x sin b) Quand x → +∞ :
c) lim ex −sin x x →+∞
1 f) lim xE . x x →+∞
1 ≤ x →0. x
x cos ex x ≤ 2 →0. 2 x +1 x +1
c) Quand x → +∞ : ex −sin x .ln x ≥ ex −1 → +∞ . x + arctan x arctan x π d) Quand x → +∞ : −1 ≤ ≤ →0. x x 2x e) Quand x → 0 : 1 x −1 ≤ E (1 x ) ≤ 1 x donc E (1 x ) −1 x ≤ 1 puis xE (1 x ) −1 ≤ x → 0 . f) Quand x → +∞ : 1 x → 0 donc E (1 x ) = 0 puis xE (1 x ) = 0 → 0 .
Exercice 8
Déterminer les limites suivantes : lim E (1 x ) , lim xE (1 x ) et lim x 2E (1 x ) . x →0+
x →0
x →0
1 Quand x → 0+ : E (1 x ) ≥ −1 → +∞ . x Quand x → 0 : 1 x −1 ≤ E (1 x ) ≤ 1 x puis en séparant les cas x → 0+ et x → 0− : xE (1 x ) → 1 . Quand x → 0 : x 2E (1 x ) ≤
Exercice 9
1 → 0. x
Soit a < b ∈ ℝ et f : ]a ,b[ → ℝ une fonction croissante. Montrer que l’application x ֏ lim f est croissante. + x
L’application x ֏ lim f est bien définie car f est croissante ce qui assure l’existence de lim f . + + x
x
Soit x , y ∈ ]a ,b[ tels que x < y . Pour t ∈ ]x , y[ , on a f (t ) ≤ f (y ) . Quand t → x + , on obtient lim f ≤ f (y ) or f (y ) ≤ lim f donc lim f ≤ lim f. + + + + y
x
x
Exercice 10 Soit f : ℝ → ℝ une fonction T périodique (avec T > 0 ) telle que lim f existe dans ℝ . +∞
Montrer que f est constante.
y
Posons ℓ = lim f . +∞
Pour tout x ∈ ℝ et tout n ∈ ℤ , on a f (x ) = f (x + nT ) . Quand n → +∞ , x + nT → +∞ et donc f (x + nT ) → ℓ . Or f (x + nT ) = f (x ) → f (x ) donc par unicité de la limite ℓ = f (x ) . Finalement f est constante.
Exercice 11 a) Soit g : ℝ → ℝ une fonction périodique convergeant en +∞ . Montrer que g est constante. b) Soit f , g : ℝ → ℝ telles que f converge en +∞ , g périodique et f + g croissante. Montrer que g est constante. Notons T une période strictement positive de g . a) Notons ℓ la limite de g en +∞ . ∀x ∈ ℝ, g (x ) = g (x + nT ) → ℓ donc par unicité de la limite : g (x ) = ℓ . Ainsi g est constante. n∞
b) Notons ℓ la limite de f en +∞ . Puisque f + g est croissante f + g → ℓ ′ ∈ ℝ ∪ {+∞} . x →+∞ Si ℓ ′ = +∞ alors g → +∞ . La démarche du a., montre l’impossibilité de ceci. x →+∞ Si ℓ ′ ∈ ℝ alors la démarche du a., permet de conclure.
Continuité des fonctions numériques Exercice 12 Soit f : ℝ → ℝ continue en 0 telle que ∀x ∈ ℝ , on a f (2x ) = f (x ) . Montrer que f est une fonction constante.
x x x On a f = f 2 = f (x ) . Par récurrence, on montre ∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ ℝ , f (x ) = f n . 2 2 2 x x Quand n → +∞ , n → 0 et donc f n → f (0) . 2 2 x Or f n = f (x ) → f (x ) donc par unicité de la limite f (x ) = f (0) . 2 Finalement f est constante égale à f (0) . Exercice 13 Soit f : ℝ → ℝ une fonction continue en 0 et en 1 telle que ∀x ∈ ℝ, f (x ) = f (x 2 ) . Montrer que f est constante.
∀x ∈ ℝ, f (−x ) = f ((−x ) 2 ) = f (x 2 ) = f (x ) donc f est paire. n
n
n
n −1
∀x > 0 , x 1 2 → 1 donc f (x 1 2 ) → f (1) or f (x 1 2 ) = f (x 1 2 ) = ⋯ = f (x ) donc f (x ) = f (1) . n∞ n∞ De plus f (0) = lim+ f (x ) = f (1) donc ∀x ∈ ℝ , f (x ) = f (1) . x →0
Exercice 14 Soit f : ℝ → ℝ une fonction continue et prenant la valeur 1 en 0. On suppose que ∀x ∈ ℝ, f (2x ) = f (x ) cos x , déterminer f . Soit f solution. x x x x x x x x f (x ) = f cos = f cos cos = … = f n cos n … cos . 4 4 2 2 2 2 2 2 x x x 1 x sin x x Or sin n cos n … cos = n sin x donc sin n f (x ) = n f n . 2 2 2 2 2 2 2 x x sin x sin x Pour x ≠ 0 , quand n → +∞ : on a sin n ≠ 0 puis f (x ) = f n → f (0) . 2 x 2 x 2n sin n 2
Ainsi ∀x ∈ ℝ, f (x ) =
sin x (avec prolongement par continuité par 1 en 0). x
Inversement : ok.
Exercice 15 Etudier la continuité sur ℝ de l’application f : x ֏ E (x ) + x − E (x ) . Par opération f est continue sur chaque I k = ]k , k + 1[ avec k ∈ ℤ . Il reste à étudier la continuité en a ∈ ℤ . Quand x → a + : f (x ) = E (x ) + x − E (x ) → a = f (a ) car E (x ) → a . Quand x → a − : f (x ) = E (x ) + x − E (x ) → a −1 + 1 = a = f (a ) car E (x ) → a −1 . Par continuité à droite et à gauche, f est continue en a . Finalement f est continue sur ℝ .
Exercice 16 Etudier la continuité de x ֏ E (x ) + (x − E (x )) 2 . Soit a ∈ ℝ . Si a ∉ ℤ alors, au voisinage de a , f (x ) = E (a ) + (x − E (a )) 2 donc f est continue en a . Si a ∈ ℤ alors : Quand x → a + , f (x ) → a = f (a ) . Quand x → a − , f (x ) → a −1 + (a − (a −1))2 = a = f (a ) . Donc f est continue en a . Finalement f est continue sur ℝ .
Exercice 17 Soit f : ℝ → ℝ définie par f (x ) =
x ∈ℚ . {10 sisinon
Montrer que f est totalement discontinue. Soit a ∈ ℝ . Il existe une suite (un ) de nombre rationnels et une suite (vn ) de nombres irrationnels telles que un , vn → a . On a f (un ) = 1 → 1 et f (vn ) = 0 → 0 donc f n’a pas de limite en a et est donc discontinue en a .
Exercice 18 Soit f : ℝ +∗ → ℝ une fonction telle que x ֏ f (x ) est croissante et x ֏
f (x ) est décroissante. x
Montrer que f est continue. Soit a ∈ ℝ +∗ . Puisque f est croissante lim− f (x ) et lim+ f (x ) existent, sont finies et lim− f (x ) ≤ f (a ) ≤ lim+ f (x ) . x →a
x →a
x →a
x →a
f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (a ) f (x ) Puisque x ֏ est décroissante lim− et lim+ existent, sont finies et lim+ ≤ ≤ lim− . x → a x → a x → a x → a x x x x a x f (x ) 1 f (x ) 1 Par opérations sur les limites lim+ = lim+ f (x ) et lim− = lim− f (x ) x →a x →a x a x →a x a x →a 1 1 1 donc lim+ f (x ) ≤ f (a ) ≤ lim− f (x ) puis lim+ f (x ) ≤ f (a ) ≤ lim− f (x ) car a > 0 . x →a x →a a x →a a a x →a Par suite lim+ f (x ) = f (a ) = lim− f (x ) et donc f est continue. x →a
x →a
Exercice 19 Soit f : I → ℝ et g : I → ℝ deux fonctions continues. Montrer que sup( f , g ) est une fonction continue sur I .
sup( f , g )(x ) = max( f (x ), g (x )) =
1 1 f (x ) − g (x ) + ( f (x ) + g (x )) est continue par opérations. 2 2
Exercice 20 Soient f : ℝ → ℝ continue telle que ∀x , y ∈ ℝ , f (x + y ) = f (x ) + f (y ) . a) Calculer f (0) et montrer que pour tout x ∈ ℝ , f (−x ) = −f (x ) .
b) Justifier que pour tout n ∈ ℤ et tout x ∈ ℝ , f (nx ) = nf (x ) . c) Etablir que pour tout r ∈ ℚ , f (r ) = ar avec a = f (1) . d) Conclure que pour tout x ∈ ℝ , f (x ) = ax . a) Pour x = y = 0 , la relation donne f (0) = 2 f (0) donc f (0) = 0 . Pour y = −x , la relation donne f (0) = f (x ) + f (−x ) donc f (−x ) = −f (x ) . b) Par récurrence, on montre pour n ∈ ℕ : f (nx ) = nf (x ) . L’extension à n ∈ ℤ− s’obtient par f (nx ) = −f (−nx ) = − (−n ) f (x ) = nf (x ) . n ∈ℕ
c) Soit r ∈ ℚ . On peut écrire r = p q avec p ∈ ℤ et q ∈ ℕ∗ .
p p f (r ) = pf (1 q ) = qf (1 q ) = f (1) = ar . q q d) Pour tout x ∈ ℝ il existe une suite (un ) telle que un → x et un ∈ ℚ . Par continuité f (un ) → f (x ) or puisque un ∈ ℚ f (un ) = aun → ax donc par unicité de la limite f (x ) = ax .
x + y 1 Exercice 21 On cherche les fonctions f : ℝ → ℝ continues telles que ∀x , y ∈ ℝ , f = ( f (x ) + f (y )) . 2 2 a) On suppose f solution et f (0) = f (1) = 0 . Montrer que f est périodique et que ∀x ∈ ℝ , 2 f (x ) = f (2x ) . En déduire que f est nulle. b) Déterminer toutes les fonctions f solutions. a) f (2 − x ) + f (x ) = 0 et f (−x ) + f (x ) = 0 donc f (x ) = f (x + 2) donc f est périodique.
f (x 2) = f (x ) 2 donc f (2x ) = 2 f (x ) . Puisque f est continue et périodique, f est bornée. Or la relation f (2x ) = 2 f (x ) implique que f n’est pas bornée dès qu’elle prend une valeur non nulle. Par suite f est nulle. b) Pour a = f (1) − f (0) et b = f (0) , on observe que g (x ) = f (x ) − (ax + b ) est solution du problème posé et s’annule en 0 et 1 donc f est nulle.
Théorème des valeurs intermédiaires Exercice 22 Soit f : [0,1] → [ 0,1] continue. Montrer que f admet un point fixe. Soit ϕ : [0,1] → ℝ définie par ϕ(x ) = f (x ) − x . Un point fixe de f est une valeur d’annulation de ϕ .
ϕ est continue, ϕ(0) = f (0) ≥ 0 et ϕ (1) = f (1) −1 ≤ 0 donc, par le TVI, ϕ s’annule. Exercice 23 Montrer que les seules applications continues de ℝ vers ℤ sont les fonctions constantes. Soit f : ℝ → ℤ continue. Par l’absurde : Si f n’est pas constante alors il existe a < b tel que f (a ) ≠ f (b ) . Soit y un nombre non entier compris entre f (a ) et f (b ) . Par le TVI, il existe x ∈ ℝ tel que y = f (x ) et donc f n’est pas à valeurs entière. Absurde.
Exercice 24 Soit f : [a ,b ] → ℝ continue et p ,q ∈ ℝ + . Montrer que ∃c ∈ [a ,b ] tel que p.f (a ) + q .f (b ) = (p + q ).f (c ) . Si p = q = 0 , n’importe quel c fait l’affaire. pf (a ) + qf (b ) Sinon posons y = . p +q pf (a ) + qf (a ) pf (b ) + qf (b ) Si f (a ) ≤ f (b ) alors f (a ) = ≤y ≤ = f (b ) . p +q p +q
Si f (b ) ≤ f (a ) alors, comme ci-dessus f (b ) ≤ y ≤ f (a ) . Dans les deux cas, y est une valeur intermédiaire à f (a ) et f (b ) donc par le TVI, il existe c ∈ [a ,b ] tel que
y = f (c ) et on conclut. Exercice 25 Soit f : ℝ → ℝ continue telle que lim f = −1 et lim f = 1 . Montrer que f s’annule. +∞
−∞
Puisque lim f = −1 , f prend des valeurs négatives, puisque lim f = 1 , f prend des valeurs positives. +∞
−∞
En appliquant le TVI entre celles-ci, f s’annule.
Exercice 26 Soit f : I → ℝ et g : I → ℝ deux fonctions continues telles que : ∀x ∈ I , f (x ) = g (x ) ≠ 0 . Montrer que f = g ou f = −g . Posons ϕ : I → ℝ définie par ϕ (x ) = f (x ) g (x ) .
ϕ est continue et ∀x ∈ ℝ, ϕ(x ) = 1 . Montrons que ϕ est constante égale à 1 ou −1 ce qui permet de conclure. Par l’absurde, si ϕ n’est pas constante égale à 1 ni à −1 alors il existe a ,b ∈ I tel que ϕ(a ) = 1 ≥ 0 et
ϕ(b ) = −1 ≤ 0 . Par le TVI, ϕ s’annule. Absurde. Exercice 27 Soit f : [ 0,1] → ℝ continue telle que f (0) = f (1) . Montrer que ∀n ∈ ℕ∗ , ∃α ∈ [ 0,1−1 n ] tel que f (α + 1 n ) = f (α ) . Posons ϕ : [0,1−1 n ] → ℝ définie par ϕ(x ) = f (x + 1 n ) − f (x ) . ϕ est continue. n −1
n −1
Si ϕ est de signe strictement constant alors f (1) − f (0) = ∑ f (k + 1 n ) − f (k n ) = ∑ ϕ(k n ) ne peut être nul k =0
k =0
absurde. Puisque ϕ prend une valeur positive et une valeur négative, par le TVI, ϕ s’annule.
Exercice 28 Soit f : ℝ → ℝ continue et décroissante. Montrer que f admet un unique point fixe. Unicité : Soit g : x ֏ f (x ) − x . g est strictement décroissante donc injective et ne peut donc s’annuler qu’au plus une fois. Existence : Par l’absurde, puisque g est continue, si elle ne s’annule par elle est strictement positive ou négative. Si ∀x ∈ ℝ, g (x ) > 0 alors f (x ) > x →+∞ ce qui est absurde puisque lim f = inf f . x →+∞ +∞
ℝ
Si ∀x ∈ ℝ, g (x ) < 0 alors f (x ) < x →−∞ ce qui est absurde puisque lim f = sup f . x →−∞ −∞
Exercice 29 Soit f : [0, +∞[ → ℝ continue, positive et telle que lim
x →+∞
ℝ
f (x ) = ℓ <1. x
Montrer qu’il existe α ∈ [ 0, +∞[ tel que f (α ) = α . Si f (0) = 0 alors α = 0 convient.
f (x ) , g est définie et continue sur ℝ +∗ . x Puisque f (0) > 0 , par opérations sur les limites lim g (x ) = +∞ . Sinon, considérons g : x ֏
x →0
De plus lim g (x ) = ℓ . x →+∞
Puisque g est continue et qu’elle prend des valeurs inférieures et supérieures à 1, on peut conclure, en vertu dy TVI : ∃α ∈ ℝ +∗ , g (α ) = 1 d’où f (α ) = α .
Exercice 30 Notre objectif dans cet exercice est d’établir la proposition : « Toute fonction f : I → ℝ continue et injective est strictement monotone. » Pour cela on raisonne par l’absurde et on suppose :
∃(x1 , y1 ) ∈ I 2 , x1 < y1 et f (x1 ) ≥ f (y1 ) et ∃(x 2 , y 2 ) ∈ I 2 , x 2 < y 2 et f (x 2 ) ≤ f (y 2 ) Montrer que la fonction ϕ : [0,1] → ℝ définie par ϕ (t ) = f ((1− t )x1 + tx 2 ) − f ((1− t )y1 + ty 2 ) s’annule. Conclure. La fonction ϕ est continue, ϕ (0) = f (x1 ) − f (y1 ) ≥ 0 et ϕ (1) = f (x 2 ) − f (y 2 ) ≤ 0 donc par le TVI, ϕ s’annule en un certain t . Posons x 0 = (1− t )x1 + tx 2 et y 0 = (1− t )y1 + ty 2 .
ϕ (t ) = 0 donne f (x 0 ) = f (y 0 ) or x 0 < y 0 donc ϕ n’est pas injective. Absurde. Exercice 31 Soit f : [0, +∞[ → ℝ continue. On suppose que f →+ ∞ . Montrer que f →+ ∞ ou f →−∞ . +∞
+∞
+∞
Pour a assez grand, f (x ) ≥ 1 sur [a , +∞[ donc f ne s’annule pas sur [a , +∞[ . Etant continue, f est alors de signe constant sur [a , +∞[ et la relation f = ± f permet alors de conclure.
Continuité sur segment Exercice 32 Soit f , g : [a ,b ] → ℝ continues telles que ∀x ∈ [a ,b ], f (x ) < g (x ) . Montrer : ∃α > 0 tel que ∀x ∈ [a ,b ], f (x ) ≤ g (x ) − α . Posons ϕ : [a ,b ] → ℝ définie par ϕ (x ) = g (x ) − f (x ) .
ϕ est continue sur le segment [a ,b ] donc y admet un minimum en un certain c ∈ [a ,b ] . Posons α = ϕ (c ) = g (c ) − f (c ) > 0 . Pour tout x ∈ ℝ , ϕ (x ) ≥ α donc f (x ) ≤ g (x ) − α .
Exercice 33 Soit f : ℝ → ℝ continue telle que : lim f = lim f = +∞ . +∞
−∞
Montrer que f admet un minimum absolu. Posons M = f (0) + 1 . Puisque lim f = lim f = +∞ , il existe A, B ∈ ℝ tels que ∀x ≤ A, f (x ) ≥ M et ∀x ≥ B , f (x ) ≥ M . +∞
−∞
On a A ≤ 0 ≤ B car f (0) < M . Sur [A, B ] , f admet un minimum en un point a ∈ [A, B ] car continue sur un segment. On a f (a ) ≤ f (0) car 0 ∈ [A, B ] donc f (a ) ≤ M . Pour tout x ∈ [A, B ] , on a f (x ) ≥ f (a ) et pour tout x ∈ ]−∞, A] ∪ [B , +∞[ , f (x ) ≥ M ≥ f (a ) . Ainsi f admet un minimum absolu en a .
Exercice 34 Soit f : ℝ → ℝ bornée et g : ℝ → ℝ continue. Montrer que g f et f g sont bornées. Soit M ∈ ℝ tel que ∀x ∈ ℝ, f (x ) ≤ M . Pour tout x ∈ ℝ , f (g (x )) ≤ M donc f g est bornée. Puisque g est continue sur le segment [−M , M ] , il y est borné par un certain M ′ . Pour tout x ∈ ℝ , g ( f (x )) ≤ M ′ car f (x ) ∈ [−M , M ] ainsi g f est bornée.
Exercice 35 Montrer qu’une fonction continue et périodique définie sur ℝ est bornée. Soit T > 0 une période de f . Sur [0,T ] , f est bornée par un certain M car f est continue sur un segment. Pour tout x ∈ ℝ , x − nT ∈ [0,T ] pour n = E (x T ) donc f (x ) = f (x − nT ) ≤ M . Ainsi f est bornée par M sur ℝ .
Exercice 36 Soit f , g : [0,1] → ℝ continue. On pose ϕ(t ) = sup ( f (x ) + tg (x )) . x ∈[ 0,1]
Montrer que ϕ est bien définie sur ℝ et qu’elle y est lipschitzienne. L’application x ֏ f (x ) + tg (x ) est définie et continue sur le segment [0,1] elle y est donc bornée et atteint ses bornes. Par suite ϕ(t ) est bien définie et plus précisément, ∃x t ∈ [0,1] tel que ϕ(t ) = f (x t ) + tg (x t ) . Puisque g est continue sur [0,1] elle y est bornée par un certain M : On a ϕ(t ) − ϕ(τ ) = f (x t ) + tg (x t ) − ( f (x τ ) + τg (x τ )) , or f (x t ) + τg (x t ) ≤ f (x τ ) + τg (x τ ) donc :
ϕ(t ) − ϕ(τ ) ≤ tg (x t ) − τg (x τ ) = (t − τ )g (x t ) ≤ M t − τ De même ϕ(τ ) − ϕ (t ) ≤ M t − τ et finalement ϕ est M lipschitzienne.
Exercice 37 Soit f : ℝ → ℝ continue. On suppose que chaque y ∈ ℝ admet au plus deux antécédents par f . Montrer qu’il existe un y ∈ ℝ possédant exactement un antécédent. Soit y une valeur prise par f . Si celle-ci n’a qu’un antécédent, c’est fini. Sinon, soit a < b les deux seuls antécédents de y .
f est continue sur [a ,b ] donc y admet un minimum en c et un maximum en d , l’un au moins n’étant pas en une extrémité de [a ,b ] . Supposons que cela soit c . Si f (c ) possède un autre antécédent c ′ que c . Si c ′ ∈ [a ,b ] alors f est constante entre c et c ′ et il y a contradiction. Si c ′ ∉ [a ,b ] alors une valeur strictement intermédiaire à y et f (c ) possède au moins 3 antécédents. Impossible.
Bijection continue Exercice 38 Montrer que f : ℝ → ℝ définie par f (x ) =
x . 1+ x
a) Montrer que f réalise une bijection de ℝ vers ]−1,1[ . b) Déterminer, pour y ∈ ]−1,1[ une expression de f −1 (y ) analogue à celle de f (x ) .
x 1 = 1− est continue et strictement croissante, f (0) = 0 et lim f = 1 . +∞ 1+ x 1+ x Ainsi f réalise une bijection de [0,+∞[ vers [0,1[ . a) Sur [0,+∞[ , f (x ) =
x 1 = −1 + est continue et strictement croissante, lim f = 0 et lim f = −1 . 0 −∞ 1− x 1− x Ainsi f réalise une bijective de ]−∞, 0[ vers ]−1, 0[ . Sur ]−∞, 0[ , f (x ) =
Finalement, f réalise une bijective de ℝ vers ]−1,1[ .
x y ⇔x = . 1+ x 1− y x y Pour y ∈ ]−1, 0[ , son antécédent x = f −1 (y ) appartient à ]−∞, 0[ . y = f (x ) ⇔ y = ⇔x = . 1− x 1+ y y Finalement, ∀y ∈ ]−1,1[ , f −1 (y ) = . 1− y b) Pour y ∈ [0,1[ , son antécédent x = f −1 (y ) appartient à [0,+∞[ . y = f (x ) ⇔ y =
Exercice 39 Soit a < b ∈ ℝ et f : ]a ,b[ → ℝ une fonction strictement croissante. Montrer que f est continue ssi f (]a ,b[) = lim f , lim f . b a
Notons que lim f et lim f existent car f est croissante. a
b
(⇒) Supposons f continue. Puisque f est continue et strictement croissante, f réalise une bijection de ]a ,b[ sur lim f , lim f d’où le b a résultat. (⇐) Supposons f (]a ,b[) = lim f , lim f . b a Soit x 0 ∈ ]a ,b[ . On a lim f < f (x 0 ) < lim f . a
b
∀ε > 0 , soit y ∈ ]f (x 0 ), f (x 0 ) + ε ] ∩ lim f , lim f . Il existe x + ∈ ]a ,b[ tel que f (x + ) = y + . b a − soit y ∈ [ f (x 0 ) − ε, f (x 0 )[ ∩ lim f , lim f . Il existe x − ∈ ]a ,b[ tel que f (x − ) = y − . b a Puisque f est croissante : x − < x 0 < x + . Posons α = min(x + − x 0 , x 0 − x − ) > 0 . +
∀x ∈ ]a ,b[ , si x − x 0 ≤ α alors x − ≤ x ≤ x + donc y − ≤ f (x ) ≤ y + d’où f (x ) − f (x 0 ) ≤ ε . Ainsi f est continue en x 0 puis f continue sur ]a ,b[ .
Uniforme continuité Exercice 40 Montrer que x ֏ x est uniformément continue sur ℝ + . Pour y ≥ x ≥ 0 , ( y − x ) 2 = y + x − 2 xy ≤ y − x donc
y − x ≤ y −x .
Par suite, ∀x , y ≥ 0, y − x ≤ y − x . Pour tout ε > 0 , considérons η = ε 2 > 0 . Pour tout x , y ≥ 0 , si y − x ≤ η alors
y − x ≤ y −x ≤ η = ε .
Exercice 41 Montrer que x ֏ ln x n’est pas uniformément continue sur ℝ +∗ . Par l’absurde supposons que x ֏ ln x soit uniformément continue sur ℝ +∗ . Pour ε = 1 , il existe η > 0 tel que ∀x , y > 0 , y − x ≤ η ⇒ ln y − ln x ≤ ε .
x + η Pour y = x + η , ln y − ln x = ln + →+∞ . Absurde. x x → 0 Exercice 42 Montrer que x ֏ x ln x est uniformément continue sur ]0,1] .
f : [ 0,1] → ℝ définie par f (x ) =
x si x ≠ 0 est continue sur le segment [0,1] , donc uniformément continue {x0 lnsinon
sur [0,1] et donc a fortiori sur ]0,1] .
Comparaison de fonctions numériques Exercice 43 Déterminer un équivalent simple aux fonctions suivantes aux points considérés : a)
x 3 +1 3
2
en +∞
x 2 + 1 + x 2 −1 en +∞
e)
ln(x + 1) − ln(x ) en +∞
c)
1 + x 2 − 1− x 2 en 0
x +1
d) ln(1 + sin x ) en 0+ g)
b)
ln(1 + x ) sin x
en 0+
h) x ln(x + 1) − (x + 1) ln x en +∞ .
−
f) ln cosx en π 2
a) Quand x → +∞ : b) Quand x → +∞ :
x 3 +1 3
x 2 +1
∼
x3 2 = x5 6 . 23 x
x 2 + 1 + x 2 −1 = x + o (x ) + x + o (x ) = 2x + o (x ) ∼ 2x .
1 + x 2 − 1− x 2 =
c) Quand x → 0 :
2x 2
∼
2x 2 = x2 2
1 + x 2 + 1− x 2 d) Quand x → 0 : ln(1 + sin x ) ∼ sin x car sin x → 0 et donc ln(1 + sin x ) ∼ x car sin x ∼ x . +
1 1 1 1 ln(x + 1) − ln(x ) = ln 1 + ∼ car ln 1 + ∼ . x x x x − π π π f) Quand x → : cos x = cos − h = sin h avec h = − x → 0+ donc sin h ∼ h puis 2 2 2 π π cos x ∼ − x → 0+ ≠ 1 donc ln cos x ∼ ln − x . 2 2 1 g) Quand x → +∞ : x ln(x + 1) − (x + 1) ln x = x ln 1 + − ln x = 1 + o (1) − ln x ∼ − ln x . x e) Quand x → +∞ :
Exercice 44 Déterminer les limites suivantes : x e−x + x 2 a) lim x →+∞ x − ln x
b) lim+ x →0
x + sin x x ln x ln x
x ln x − x d) lim x →+∞ x + cos x ln x x →1 x 2 −1
g) lim
x x e) lim x →+∞ ln x h) lim
x →+∞
x ex − x 2 ex + e−x
x e−x + x 2 x 2 ∼ = x → +∞ . x − ln x x x + sin x x + x + o (x ) 2 b) Quand x → 0+ : = ∼ → 0. x ln x x ln x ln x 2 2 2 x ln x c) Quand x → +∞ : = e(ln x ) −ln ln x = e(ln x ) +o (ln x ) → +∞ . ln x x ln x − x x ln x d) Quand x → +∞ : ∼ = ln x → +∞ . x + cos x x a) Quand x → +∞ :
ln x
ln x ln x ln x − ln ln x x x x e) Quand x → +∞ : =e x =e ln x
(ln x )2 (ln x )2 +o x x
→1.
f) Quand x → 0 :
ln x + x 2 ln x ∼ =1→1. 2 ln(x + x ) ln x
g) Quand x → 1 :
ln x ln(1 + h ) = ∼ 1 → 1 en posant h = x −1 → 0 . x 2 −1 h +h 2
h) Quand x → +∞ : i) Quand x → +∞ :
x ex − x 2 ∼ x e−x 2 → 0 . ex + e−x argsh x ln(x + x 2 + 1) ln(2x + o (x )) ln 2 + ln x = = ∼ ∼ 1 → 1. ln x ln x ln x ln x
Exercice 45 Déterminer un équivalent simple au fonctions proposées : ln(x + 1) a) −1 quand x → +∞ , ln x b) ln(1 + x ) 2 − ln(1− x )2 quand x → 0 , c)
ln(x + 1) − ln(x −1) quand x → +∞ ,
x ln x x →+∞ ln x
c) lim
ln x + x 2 x → 0 ln(x + x 2 )
f) lim
i) lim
x →+∞
argsh x . ln x
d) tan x − sin x quand x → 0 . e) ln(1 + ln(1 + x )) quand x → 0 .
ln(x + 1) ln(1 + 1 x ) 1 −1 = ∼ . +∞ x ln x ln x ln x b) ln(1 + x ) 2 − ln(1− x ) 2 = (ln(1 + x ) + ln(1− x ))(ln(1 + x ) − ln(1− x )) = ln(1− x 2 )(2x + o (x )) ∼− 2x 3 . a)
0
c)
ln(x + 1) − ln(x −1) =
x + 1 ln x −1 ln(x + 1) + ln(x −1)
=
2 ln 1 + x −1 2 ln x + o
(
ln x
)
∼
+∞
1
.
x ln x
x x3 ∼ . 2 0 2 e) ln(1 + ln(1 + x )) ∼ ln(1 + x ) ∼ x car ln(1 + x ) → 0 . d) tan x − sin x = tan x (1− cos x ) = 2 tan x sin 2
Exercice 46 Soit f : ℝ → ℝ une fonction décroissante telle que f (x ) + f (x + 1) ∼
+∞
1 . x
a) Etudier la limite de f en +∞ . b) Donner un équivalent de f en +∞ . a) f est décroissante donc possède une limite ℓ en +∞ . Quand x → +∞ , f (x ) → ℓ et f (x + 1) → ℓ donc f (x ) + f (x + 1) → 2ℓ or f (x ) + f (x + 1) ∼
1 → 0 donc x
ℓ=0. b) Quand x → +∞ , on a f (x + 1) + f (x ) ≤ 2 f (x ) ≤ f (x ) + f (x −1) donc 2 f (x ) ∼
1 1 puis f (x ) ∼ . x 2x
Etude de branches infinies de fonctions Exercice 47 Etudier les branches infinies de f (x ) =
(x + 1) ln(x + 1) . ln x
f est définie et continue sur ]0,1[ ∪ ]1, +∞[ . f (x ) x ln x ln(x + 1) + x ln(1 + 1 x ) ln x ∼ = 1 , f (x ) − x = ∼ = 1 et x x ln x ln x ln x (x + 1) ln(1 + 1 x ) 1 f (x ) − (x + 1) = ∼ → 0+ . ln x ln x La droite d’équation y = x + 1 est asymptote en +∞ et la courbe y = f (x ) est au dessus. Quand x → +∞ :
Quand x → 1+ : f (x ) → +∞ , la droite d’équation x = 1 est asymptote. Quand x → 1− : f (x ) → −∞ , la droite d’équation x = 1 est asymptote. Quand x → 0 : f (x ) → 0 , on prolonge par continuité en posant f (0) = 0 .
Exercice 48 Etudier les branches infinies de f (x ) =
x 2 + 2x . x −1 + x
f est définie et continue sur ℝ . Quand x → +∞ : f (x ) =
1 x 2 + 2x f (x ) 1 1 2x + 1 2 32 , → , f (x ) − x = → 1 et f (x ) − x + 1 = → 0+ . 2 2x −1 2x −1 x 2 2 2x −1
Quand x → −∞ : f (x ) = x 2 + 2x , il y a une branche parabolique verticale. david Delaunay http://mpsiddl.free.fr