Corrige Fonctions usuelles

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Logarithmes Exercice 1

1 Etablir, pour tout x ≥ 0 , l’encadrement : x − x 2 ≤ ln(1 + x ) ≤ x . 2

1 L’étude des variations des fonctions x ֏ x − ln(1 + x ) et x ֏ ln(1 + x ) − x + x 2 montre que celles-ci sont 2 croissantes sur ℝ + , puisqu’elles s’annule en 0, on peut conclure. Exercice 2

a) Montrer que, pour tout x > −1 : ln(1 + x ) ≤ x . −n

 1  1 b) En déduire que pour tout n ∈ ℕ : 1 +  ≤ e ≤ 1−  .  n   n  n

a) Posons f : ]−1, +∞[ → ℝ définie par f (x ) = x − ln(1 + x ) . f est dérivable, f (0) = 0 et f ′(x ) =

x . 1+ x

Le tableau de variation de f donne f positive. −n

1 1 n ln(1+ ) n×  1  1 n b) 1 +  = e ≤ e n ≤ e et 1−   n   n  n

Exercice 3

=e

1 −n ln(1− ) n

Montrer que pour tout a ,b > 0 , on a

 1  1 1 ≥ e car ln 1−  ≤ − donc −n ln 1−  ≥ 1 .  n   n  n

1 a +b . (ln a + ln b ) ≤ ln 2 2

2 2 a + b  1 a +b a +b − ln a + ln b ) = ln or a + b = a + b ≥ 2 ab donc ln ≥0. ln   2  2 ( 2 ab 2 ab

Exercice 4

f ′(x ) =

ln(1 + ax ) définie sur ℝ +∗ . ln(1 + bx )  a  b 2 Etudier la monotonie de f et en déduire que ln 1 +  ln 1 +  ≤ (ln 2) .  b   a  Soit 0 < a ≤ b . On pose f : x ֏

g (x ) avec g (x ) = a (1 + bx ) ln(1 + bx ) −b (1 + ax ) ln(1 + ax ) . (1 + ax )(1 + bx ) ln(1 + bx )2

1 + bx ≥ 0 donc g est positive et par suite f croissante. 1 + ax 1 1 1 1 ≤ donc f   ≤ f   ce qui donne l’inégalité voulue.  b  a  b a

g (0) = 0 et g ′(x ) = ab ln

Exercice 5

Montrer que le nombre de chiffres dans l’écriture décimale d’un entier n > 0 est E (log10 n ) + 1 .

Notons m le nombre de décimale dans l’écriture de n . On a 10m −1 ≤ n < 10m donc m −1 ≤ log10 n < m puis m = E (log10 n ) + 1 .

Puissances et exponentielles Exercice 6

(exp x 2 )

ln x 1 x x

Simplifier a b pour a = exp x 2 et b =

=x .

1 ln x 1 x . x


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