Logarithmes Exercice 1
1 Etablir, pour tout x ≥ 0 , l’encadrement : x − x 2 ≤ ln(1 + x ) ≤ x . 2
1 L’étude des variations des fonctions x ֏ x − ln(1 + x ) et x ֏ ln(1 + x ) − x + x 2 montre que celles-ci sont 2 croissantes sur ℝ + , puisqu’elles s’annule en 0, on peut conclure. Exercice 2
a) Montrer que, pour tout x > −1 : ln(1 + x ) ≤ x . −n
1 1 b) En déduire que pour tout n ∈ ℕ : 1 + ≤ e ≤ 1− . n n n
∗
a) Posons f : ]−1, +∞[ → ℝ définie par f (x ) = x − ln(1 + x ) . f est dérivable, f (0) = 0 et f ′(x ) =
x . 1+ x
Le tableau de variation de f donne f positive. −n
1 1 n ln(1+ ) n× 1 1 n b) 1 + = e ≤ e n ≤ e et 1− n n n
Exercice 3
=e
1 −n ln(1− ) n
Montrer que pour tout a ,b > 0 , on a
1 1 1 ≥ e car ln 1− ≤ − donc −n ln 1− ≥ 1 . n n n
1 a +b . (ln a + ln b ) ≤ ln 2 2
2 2 a + b 1 a +b a +b − ln a + ln b ) = ln or a + b = a + b ≥ 2 ab donc ln ≥0. ln 2 2 ( 2 ab 2 ab
Exercice 4
f ′(x ) =
ln(1 + ax ) définie sur ℝ +∗ . ln(1 + bx ) a b 2 Etudier la monotonie de f et en déduire que ln 1 + ln 1 + ≤ (ln 2) . b a Soit 0 < a ≤ b . On pose f : x ֏
g (x ) avec g (x ) = a (1 + bx ) ln(1 + bx ) −b (1 + ax ) ln(1 + ax ) . (1 + ax )(1 + bx ) ln(1 + bx )2
1 + bx ≥ 0 donc g est positive et par suite f croissante. 1 + ax 1 1 1 1 ≤ donc f ≤ f ce qui donne l’inégalité voulue. b a b a
g (0) = 0 et g ′(x ) = ab ln
Exercice 5
Montrer que le nombre de chiffres dans l’écriture décimale d’un entier n > 0 est E (log10 n ) + 1 .
Notons m le nombre de décimale dans l’écriture de n . On a 10m −1 ≤ n < 10m donc m −1 ≤ log10 n < m puis m = E (log10 n ) + 1 .
Puissances et exponentielles Exercice 6
(exp x 2 )
ln x 1 x x
Simplifier a b pour a = exp x 2 et b =
=x .
1 ln x 1 x . x
Exercice 7
Parmi les relations suivantes, lesquelles sont exactes : a) (a b )c = a bc b) a ba c = a bc c
d) (ab )c = a c 2bc 2
e) (a b )c = a (b
c) a 2b = (a b ) 2 f) (a b )c = (a c )b ?
)
a) c) f) Exercice 8
Comparer lim+ x (x
x
)
x →0
x
et lim+ (x x ) . x →0
Quand x → 0 + x
x
x (x ) = exp(x x ln x ) = exp(exp(x ln x ) ln x ) → 0 et (x x ) = exp(x ln x x ) = exp(x 2 ln x ) → 1 Exercice 9
Déterminer les limites suivantes : a) lim x 1 x
b) lim x
x →+∞
a) lim x 1 x = 1 b) lim x x →+∞
c) lim+ x 1 x .
x
x →0
x
x →0
x →0
= 1 c) lim+ x 1 x = 0 . x →0
Exercice 10 Résoudre les équations suivantes : a) ex + e1−x = e + 1
b) x
x
= ( x )x
c) 2 2x − 3x −1/ 2 = 3x +1/ 2 − 2 2x −1 .
a) S = {0,1} b) S = {0,1, 4} c) Obtenir 2 2x −3 = 3x −3 2 puis S = {3 2} .
Exercice 11 Résoudre les systèmes suivants : 8x = 10y a) x 2 = 5y a) x = 1 2, y =
ex e2y = a b) . 2xy = 1
2 b) Obtenir un système somme/produit en x et 2y puis le résoudre. 5
Fonctions trigonométriques Exercice 12 Etablir que pour tout x ∈ ℝ + , on a sin x ≤ x et pour tout x ∈ ℝ , cos x ≥ 1−
x2 . 2
Posons f (x ) = x − sin x définie sur ℝ + . f est dérivable, f ′ ≥ 0 et f (0) = 0 donc f est positive.
x2 définie sur ℝ . g est deux fois dérivable, g ′′ ≥ 0 , g ′(0) = g (0) = 0 permet de 2 dresser les tableaux de variation et de signe de g ′ puis de g . On conclut g positive. Posons g (x ) = cos−1 +
Exercice 13 Développer : a) cos 3a
b) tan(a + b + c ) .
a) cos 3a = 4 cos 3 a − 3cos a . b) tan(a + b + c ) =
tan a + tan b + tan c . 1− tan a tan b − tan b tan c − tan c tan a + tan a tan b tan c
Exercice 14 Calculant cos
π π π en observant 2× = . 8 8 4
cos 2a = 2 cos 2 a −1 donc 2 cos 2
π 2 π 2 +2 π −1 = donc cos 2 = puis cos = 8 2 8 4 8
2 +2 . 2
Exercice 15 Simplifier
cos p − cos q π . En déduire la valeur de tan . 24 sin p + sin q
p −q sin cos p − cos q 2 = − tan p −q . =− p −q sin p + sin q 2 cos 2 3 2 − π π π 2 = 3− 2 . Pour p = et q = on obtient tan = 2 4 24 6 2 1 2 +1 + 2 2 Exercice 16 Linéariser : a) cos 2 x d) cos a cos b
b) cos x sin 2 x e) cos a cos b cos c .
c) cos 2 x sin 2 x
1 1 a) cos 2 x = cos 2x + . 2 2 1 1 b) cos x sin 2 x = cos x − cos 3x . 4 4 1 2 1 2 2 c) cos x sin x = sin 2x = (1− cos 4x ) 4 8 1 d) cos a cos b = (cos(a + b ) + cos(a −b )) 2 1 e) cos a cos b cos c = (cos(a + b + c ) + cos(a + b −c ) + cos(a −b + c ) + cos(a −b −c )) . 4 Exercice 17 Ecrire sous la forme A cos(x − ϕ ) les expressions suivantes : a) cos x + sin x
b) cos x − 3 sin x .
a) cos x + sin x = 2 cos(x − π 4) . b) cos x − 3 sin x = 2 cos(x + π 3) .
Exercice 18 Pour a ,b ∈ ℝ tels que b ≠ 0 [ 2π ] , calculer simultanément
n
∑ cos(a + kb ) k =0
n
et
∑ sin(a + kb ) . k =0
(n + 1)b 2 cos(a + kb ) + i ∑ sin(a + kb ) = ∑ e . ∑ b k =0 k =0 k =0 sin 2 (n + 1)b (n + 1)b sin sin n n nb nb 2 2 Par suite ∑ cos(a + k .b ) = cos(a + ) et ∑ sin(a + k .b ) = sin(a + ) . b b 2 2 k =0 k =0 sin sin 2 2 n
n
n
i .(a +kb )
ei (n +1)b −1 =e = ei (a +nb 2) eib −1
sin
i .a
Exercice 19 Soit x ≠ 0 [ 2π ] . a) Montrer que sin x + sin 2x + ⋯ + sin nx =
n∈ℕ . b) En exploitant les nombres complexes.
sin
(n + 1)x nx sin 2 2 en procédant par récurrence sur x sin 2
a) L’hérédité de la récurrence s’obtient via : (n + 1)x nx x (n + 1)x nx (n + 1)x x sin sin + sin(n + 1)x sin = sin + 2 cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 (n + 1)x (n + 2)x = sin sin 2 2 p −q p +q (n + 2)x nx en exploitant sin p − sin q = 2sin cos avec p = et q = . 2 2 2 2 (n +1)x sin nx ix i (n +1) x n i e − e = Im e 2 2 . b) sin x + sin 2x + ⋯ + sin nx = Im(∑ eikx ) = Im ix x 1− e k =1 sin 2
Exercice 20 Résoudre les équations suivantes d’inconnues x ∈ ℝ . a) cos(2x − π 3) = sin(x + 3π 4) b) cos 4 x + sin 4 x = 1 d) sin x + sin 2x + sin 3x = 0 a) x =
e) 3cos x − 3 sin x = 6
c) sin x + sin 3x = 0 f) 2sin x .cos x + 3 cos 2x = 0 .
2π . 3
7π π [ 2π ] ou x = 12 36
b) x = 0 [π 2] c) x = 0 [π 2]
2π 2π [ 2π ] ou x = − [ 2π ] . 3 3 5π [ 2π ] ou x = [ 2π ] . 12 π [π ] ou x = − [ π ] . 6
d) x = 0 [π 2] ou x =
π 12 π f) x = 3 e) x =
Exercice 21 Résoudre l’équation tan x tan 2x = 1 . Pour x ≠
π π [π ] et x ≠ 2 4
π π , tan x tan 2x = 1 ⇔ sin x sin 2x − cos x cos 2x = 0 ⇔ cos 3x = 0 ⇔ x = 2 6
π . 3
Fonctions trigonométriques inverses Exercice 22 Simplifier les expressions suivantes : a) cos(2 arccos x ) d) cos(2arctan x )
b) cos(2arcsin x )
c) sin(2 arccos x )
e) sin(2 arctan x )
f) tan(2 arcsin x ) .
a) cos(2arccos x ) = 2 cos 2 (arccos x ) −1 = 2x 2 −1 . b) cos(2 arcsin x ) = 1− 2sin 2 arcsin x = 1− 2x 2 . c) sin(2 arccos x ) = 2x 1− x 2
2 1− x 2 −1 = . 2 1+ x 1+ x 2 2x e) sin(2 arctan x ) = 2sin(arctan x ) cos(arctan x ) = . 1+ x 2 d) cos(2 arctan x ) = 2 cos 2 arctan x −1 =
f) tan(2 arcsin x ) =
2 tan(arcsin x ) 2x 1− x 2 . = 2 1− tan (arcsin x ) 1− 2x 2
Exercice 23 Simplifier la fonction x ֏ arccos(4x 3 − 3x ) sur son intervalle de définition.
f : x ֏ arccos(4x 3 − 3x ) est définie sur [−1,1] . Pour x ∈ [−1,1] , posons θ = arccosx , on a alors f (x ) = arccos(4 cos 3 θ − 3cos θ ) = arccos(cos 3θ ) . Si θ ∈ [ 0, π 3] i.e. x ∈ [1 2,1] alors f (x ) = 3θ = 3arccos x . Si θ ∈ [ π 3, 2π 3] i.e. x ∈ [−1 2,1 2] alors f (x ) = 2π − 3θ = 2π − 3arccos x . Si θ ∈ [ 2π 3, π ] i.e. x ∈ [−1, −1 2] alors f (x ) = 3θ − 2π = 3arccos x − 2π .
x
Exercice 24 Simplifier arcsin
La fonction x ֏
x 1+ x
′ arcsin x = 1 + x 2
2
1+ x 2
est dérivable et à valeurs dans ]−1,1[ donc x ֏ arcsin
1
(
.
1
)
32
2
=
x 1+ x 2 En évaluant en x = 0 , on obtient C = 0 . 1+ x 2
1−
x 1+ x 2
est dérivable et
1 x donc arcsin = arctan x +C . 1+ x 2 1+ x 2
Exercice 25 Montrer que la courbe représentative de la fonction arccos est symétrique par rapport au point de coordonnées (0, π 2) . Calculons arccos(x ) + arccos(−x ) . On a cos(arccos(x ) + arccos(−x )) = x 2 − (1− x 2 ) = −1 et arccos(x ) + arccos(−x ) ∈ [0, 2π ] donc
arccos(x ) + arccos(−x ) = π ce qui permet de justifier la symétrie avancée. Exercice 26 Déterminer lim
arccos(1− x )
x → 0+
Quand x → 0+ : Or 1− cos(y ) ∼
arccos(1− x ) x
x =
à l’aide d’un changement de variable judicieux.
y 1− cos(y )
avec y = arccos(1− x ) → 0+ .
y2 arccos(1− x ) y donc = → 2. 2 x 1− cos(y )
Exercice 27 Etudier les fonctions suivantes afin de les représenter : a) f : x ֏ arcsin(sin x ) + arccos(cos x ) ,
1 b) f : x ֏ arcsin(sin x ) + arccos(cos 2x ) , 2 1 + cos x c) f : x ֏ arccos , 2 d) f : x ֏ arctan
1− cos x . 1 + cos x
a) f est 2π périodique. Sur [− π 2, 0] : arcsin(sin x ) = x et arccos(cos x ) = −x donc f (x ) = 0 . Sur [0, π 2] : arcsin(sin x ) = x et arccos(cos(x )) = x donc f (x ) = 2x . Sur [π 2, π ] : arcsin(sin x ) = π − x et arccos(cos x ) = x donc f (x ) = π . Sur [−π, −π 2] : arcsin(sin x ) = −x − π et arccos(cos(x )) = −x donc f (x ) = −2x − π . b) f est 2π périodique. Sur [0, π 2] , f (x ) = x + x = 2x . Sur [π 2, π ] , f (x ) = π − x + π − x = 2π − 2x . Sur [− π 2, 0] , f (x ) = x − x = 0 . Sur [−π, − π 2] , f (x ) = −x − π + π + x = 0 .
c) f (x ) = arccos
1 + cos x = arccos cos(x 2) . f est 2π périodique, paire, sur [0, π ] f (x ) = x 2 . 2
1− cos x = arctan tan x 2 . f est 2π périodique, paire. Sur [0, π[ , f (x ) = x 2 . On retrouve la 1 + cos x fonction ci-dessus. d) f (x ) = arctan
Exercice 28 Simplifier : 1 1 1 a) arctan + arctan + arctan , 2 5 8 b) arctan 2 + arctan 3 + arctan(2 + 3) ,
4 5 16 c) arcsin + arcsin + arcsin 5 13 65 1 1 1 a) Posons θ = arctan + arctan + arctan . 2 5 8 1 On a 0 ≤ θ < 3arctan = π 2 et tan θ = 1 donc θ = π 4 . 3
(
)
b) Posons θ = arctan 2 + arctan 3 + arctan 2 + 3 .
3π 3π 1 7π ≤θ< et tan θ = donc θ = . 4 2 6 3 π 4 5 3 12 4 5 16 16 16 16 c) cos arcsin + arcsin = − = et cos − arcsin = sin arcsin = . 2 5 13 5 13 5 13 65 65 65 65 4 5 π π 16 π 4 5 16 π Or arcsin + arcsin ∈ 0, et − arcsin ∈ 0, d’où l’égalité arcsin + arcsin + arcsin = 5 13 2 2 65 2 5 13 65 2 On a 3arctan1 =
Exercice 29 Résoudre les équations suivantes d’inconnue x réelle : 4 5 a) arcsin x = arcsin + arcsin b) arcsin tan x = x 5 13 c) arccos x = arcsin 2x e) arcsin
2x = arctan x 1+ x 2
a) S = {63 65} . b) S = {0} . c) S = {1
d) arctan x + arctan x 3 = f) arcsin
7π . 12
tan x =x 2
{
}
{
}
5 } d) S = {1} e) S = 0, 3, − 3 f) S = 0, 3, − 3 .
Exercice 30 On appelle argument principal d’un complexe z non nul, l’unique θ ∈ ]−π, π ] tel que z = z eiθ . Montrer que si z ∈ ℂ \ ℝ− alors θ = 2 arctan
y x + x 2 +y2
Posons θ l’argument principal de z ∈ ℂ \ ℝ− . On a θ ∈ ]−π, π[ , cos θ = Posons α = 2 arctan
cos α =
y x + x +y 2
2
. On a α ∈ ]−π, π[ , t = tan
avec x = Re(z ) et y = Im(z ) .
x x +y 2
2
et sin θ =
y x +y2 2
.
α y = , 2 x + x 2 +y2
x 2 +x x 2 +y2 y (x + x 2 + y 2 ) 1− t 2 x 2t y = = et sin α = = = donc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1+ t 1 + t x +x x +y +y x +y x +x x +y +y x +y2
α=θ. Exercice 31 Simplifier arctan a + arctan b pour a ,b ≥ 0 .
a + b a +b donc arctan a + arctan b = arctan [π ] . 1−ab 1−ab Si ab = 1 alors arctan a + arctan b = π 2 . a + b Si ab < 1 alors arctan a + arctan b = arctan . 1−ab a + b Si ab > 1 alors arctan a + arctan b = arctan +π . 1−ab On a tan(arctan a + arctan b ) =
Exercice 32 Soit p ∈ ℕ . Calculer arctan(p + 1) − arctan(p ) . n
Etudier la limite de la suite (Sn ) de terme général : Sn = ∑ arctan p =0
1 . p + p +1 2
Posons θ = arctan(p + 1) − arctan(p ) . Comme 0 ≤ arctan p ≤ arctan(p + 1) < π 2 on a θ ∈ [0, π 2[ .
1 1 donc θ = arctan 2 . p 2 + p +1 p + p +1 n 1 Sn = ∑ arctan 2 = ... = arctan(n + 1) → π 2 . p + p +1 p =0
De plus tan θ =
Exercice 33 a) Calculer
∫
1 0
dt . 1+ t 2
b) Etablir, pour tout n ∈ ℕ : 2n + 2
∫
1 n 0
∑ (−1)k t 2k dt = k =0
1 (−1)n t 2n + 2 π +∫ dt . 0 4 1+ t 2
t 1 dt ≤ ∫ t 2n + 2 dt = 0 1+ t 2 2n + 3 n (−1)k π d) En déduire ∑ → . n →∞ 4 k = 0 2k + 1 c) Justifier 0 ≤ ∫
1
1
0
dt π 1 = [arctan t ]0 = . 2 1+ t 4 1 n 1 1 + (−1)n t 2n + 2 1 (−1)n t 2n + 2 π b) ∫ ∑ (−1)k t 2k dt = ∫ d t = + dt . 0 0 1+ t 2 4 ∫0 1 + t 2 k =0 a)
∫
1
0
t 2n + 2 dt ≥ 0 par intégration d’une fonction positive sur [0,1] . 0 1+ t 2 1 t 2n + 2 1 1 1 De plus ∫ dt ≤ ∫ t 2n + 2 dt = car ≤1 . 0 1+ t 2 0 2n + 3 1+ t 2 n n 1 1 n 1 t 2n + 2 (−1)k π π d) ∑ = ∑ ∫ (−1)k t 2k dt = ∫ ∑ (−1)k t 2k dt = + (−1)n ∫ dt → car 0 0 0 1+ t 2 2 k + 1 4 4 k =0 k =0 k =0 c)
∫
1
∫
1 0
t 2n + 2 dt → 0 . 1+ t 2
Fonctions hyperboliques Exercice 34 Etablir que pour tout x ∈ ℝ + , on a sh x ≥ x et pour tout x ∈ ℝ , ch x ≥ 1 +
x2 . 2
Posons f (x ) = sh x − x définie sur ℝ + . f est dérivable, f ′ ≥ 0 et f (0) = 0 donc f est positive.
x2 définie sur ℝ . g est deux fois dérivable, g ′′ ≥ 0 , g ′(0) = g (0) = 0 permet de 2 dresser les tableaux de variation et de signe de g ′ puis de g . On conclut g positive. Posons g (x ) = ch x −1−
y π π π Exercice 35 Soit y ∈ − , . On pose x = ln tan + . 2 4 2 2 x y 1 Montrer que th = tan , th x = sin y et ch x = . 2 2 cos y y π y π π y π y sin + − cos + sin + − sin − sin y cos π 2 4 2 4 4 2 4 2 2 4 = tan y . = = = y π y π y π π y π y y π 2 tan + + 1 sin + + cos + sin + + sin − cos sin 2 4 4 2 2 4 2 4 2 4 4 2 y π tan 2 + −1 y π y π 2 4 π th x = = sin 2 + − cos 2 + = − cos y + = sin y . y π 2 4 2 4 2 tan 2 + + 1 2 4
x ex −1 th = x = 2 e +1
y π tan + −1 2 4
y π y π y π y π tan + + tan−1 + sin 2 + + cos 2 + 2 4 2 4 2 4 2 4 1 1 . ch x = = = = y π y π π 2 cos y sin(y + ) 2sin + cos + 2 4 2 4 2 Exercice 36 Pour n ∈ ℕ et a ,b ∈ ℝ , calculer
n
∑ ch (a +kb )
n
et
k =0
n
n
k =0
k =0
∑ sh (a +kb ) . k =0
Posons C = ∑ ch(a +kb ) et S = ∑ sh(a +kb ) . (n +1)a n eb 1− e ak +b = C +S = ∑ e 1− ea b k =0 (n + 1)e On en déduit C et S .
si a ≠ 0 si a = 0
n
et C − S = ∑ e
−(ak +b )
k =0
−b 1− e−(n +1)a e = 1− e−a −b (n + 1)e
si a ≠ 0 si a = 0
n x x Exercice 37 Pour n ∈ ℕ et x ∈ ℝ , simplifier Pn (x ) = ∏ ch k en calculant Pn (x ) sh n . 2 2 k =1
x 1 sh(x ) Si x = 0 alors Pn (x ) = 1 , sinon Pn (x )sh n = … = n sh(x ) donc Pn (x ) = n . 2 2 2 sh(x 2n ) Exercice 38 Pour n ∈ ℕ et x ∈ ℝ +∗ , observer th((n + 1)x ) − th(nx ) =
sh x . ch(nx ) ch((n + 1)x )
n
1 . ch ( kx ) ch(( k + 1)x ) k =0
Calculer Sn (x ) = ∑
th((n + 1)x ) − th(nx ) =
sh x se vérifier par calculs. ch(nx ) ch((n + 1)x )
1 th((n + 1)x ) = . ch( )ch(( 1) ) sh(x ) kx k + x k =0 n
Sn (x ) = ∑
Exercice 39 Soit a et α deux réels. Résoudre le système d’inconnues x et y :
{shchxx ++shchyy == 22aashchαα .
Si a < 1 alors S = ∅ . Si a = 1 alors S = {(α, α )} . Si a > 1 alors en faisant apparaître un système somme produit :
{
}
S = (ln(a − a 2 −1) + α, ln(a + a 2 −1) + α ),(ln(a + a 2 −1) + α, ln(a − a 2 −1) + α ) .
.
Fonctions hyperboliques inverses Exercice 40 Simplifier les expressions suivantes : a) ch(argsh x ) d) sh(argch x )
b) th(argsh x )
c) sh(2 argsh x )
e) th(argch x )
f) ch(argth x ) .
a) ch a = 1 + sh 2 a donc ch(argsh x ) = 1 + x 2 . b) th(argsh x ) =
x 1+ x 2
.
c) sh(2 argsh x ) = 2sh(argsh x ) ch(argch x ) = 2x 1 + x 2 . d) sh(argch x ) = x 2 −1 . e) th(argch x ) = f) th 2 a = 1−
x 2 −1 . x
1 1 donc ch(argth x ) = . 2 ch a 1− x 2
Exercice 41 Simplifier : a) argch(2x 2 −1)
b) argsh(2x 1 + x 2 ) .
a) Pour x ≥ 1 , posons α = argch x
argch(2x 2 −1) = ch(2 ch 2 argch(α ) −1) = argch(ch 2α ) = 2α = 2 argch x . Pour x ∈ ]−∞,1] ∪ [1, +∞[ , argch(2x 2 −1) = 2 argch x . b) Posons α = argsh x . 2x 1 + x 2 = 2sh α ch α = sh 2α donc argsh(2x 1 + x 2 ) = 2α = 2 argsh x . L’équation a un sens pour x ≥ 1 .
1 Exercice 42 Etablir : ∀x ∈ ℝ, arctan(sh x ) = arccos ch x 1 Soit f : ℝ + → ℝ définie par f (x ) = arctan(sh x ) − arccos . ch x f est dérivable et f ′(x ) =
ch x sh x − 1 + sh 2 x ch 2 x
ch x ch x −1 2
=
1 sh x 1 − =0. ch x ch x sh x
1 Donc f est constante et puisque f (0) = 0 , on peut conclure que ∀x ∈ ℝ + , arctan(sh x ) = arccos . ch x Par parité, le résultat se prolonge aussi à x ∈ ℝ + .
Exercice 43 Résoudre l’équation argsh x + argch x = 1 . La fonction f : x ֏ argsh x + argch x est continue et strictement croissante sur [1,+∞[ .
f (1) = argsh(1) et lim f = +∞ . Puisque sh1 ≥ 1 , argsh(1) ≤ 1 . +∞
L’équation possède donc une unique solution α . Déterminons-la.
sh(1) = sh(argsh a + argch a ) = a 2 + 1 + a 2 a 2 −1 = a 2 + a 4 −1 . donc
a 4 −1 = sh(1) −a 2 puis a 2 =
ch 2 1 ch1 et enfin a = . 2sh1 2sh1
π π Exercice 44 Soit G : − , → ℝ définie par G (t ) = argsh(tan t ) . 2 2 π π Montrer que G est dérivable et que pour tout t ∈ − , , G ′(t ) = chG (t ) . 2 2 G est dérivable par composition et G ′(t ) = 1 + tan 2 t . Or chG (t ) = 1 + sh 2 G (t ) = 1 + tan 2 t . david Delaunay http://mpsiddl.free.fr