Logarithmes Exercice 1
1 Etablir, pour tout x ≥ 0 , l’encadrement : x − x 2 ≤ ln(1 + x ) ≤ x . 2
1 L’étude des variations des fonctions x ֏ x − ln(1 + x ) et x ֏ ln(1 + x ) − x + x 2 montre que celles-ci sont 2 croissantes sur ℝ + , puisqu’elles s’annule en 0, on peut conclure. Exercice 2
a) Montrer que, pour tout x > −1 : ln(1 + x ) ≤ x . −n
1 1 b) En déduire que pour tout n ∈ ℕ : 1 + ≤ e ≤ 1− . n n n
∗
a) Posons f : ]−1, +∞[ → ℝ définie par f (x ) = x − ln(1 + x ) . f est dérivable, f (0) = 0 et f ′(x ) =
x . 1+ x
Le tableau de variation de f donne f positive. −n
1 1 n ln(1+ ) n× 1 1 n b) 1 + = e ≤ e n ≤ e et 1− n n n
Exercice 3
=e
1 −n ln(1− ) n
Montrer que pour tout a ,b > 0 , on a
1 1 1 ≥ e car ln 1− ≤ − donc −n ln 1− ≥ 1 . n n n
1 a +b . (ln a + ln b ) ≤ ln 2 2
2 2 a + b 1 a +b a +b − ln a + ln b ) = ln or a + b = a + b ≥ 2 ab donc ln ≥0. ln 2 2 ( 2 ab 2 ab
Exercice 4
f ′(x ) =
ln(1 + ax ) définie sur ℝ +∗ . ln(1 + bx ) a b 2 Etudier la monotonie de f et en déduire que ln 1 + ln 1 + ≤ (ln 2) . b a Soit 0 < a ≤ b . On pose f : x ֏
g (x ) avec g (x ) = a (1 + bx ) ln(1 + bx ) −b (1 + ax ) ln(1 + ax ) . (1 + ax )(1 + bx ) ln(1 + bx )2
1 + bx ≥ 0 donc g est positive et par suite f croissante. 1 + ax 1 1 1 1 ≤ donc f ≤ f ce qui donne l’inégalité voulue. b a b a
g (0) = 0 et g ′(x ) = ab ln
Exercice 5
Montrer que le nombre de chiffres dans l’écriture décimale d’un entier n > 0 est E (log10 n ) + 1 .
Notons m le nombre de décimale dans l’écriture de n . On a 10m −1 ≤ n < 10m donc m −1 ≤ log10 n < m puis m = E (log10 n ) + 1 .
Puissances et exponentielles Exercice 6
(exp x 2 )
ln x 1 x x
Simplifier a b pour a = exp x 2 et b =
=x .
1 ln x 1 x . x