Corrige Nombres réels

Rationnels et irrationnels Exercice 1

Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

Soit x un rationnel et y un irrationnel.

Par l’absurde : Si z = x + y est rationnel alors y = z − x est rationnel par différence de deux nombres rationnels. Or y est irrationnel. Absurde.

Exercice 2

Montrer que

Par l’absurde supposons

2 n’est pas un nombre rationnel 2 ∈ ℚ . On peut alors écrire

2 = p q avec p ,q ∈ ℕ∗ et, quitte à simplifier, p et q

de parités différentes. On a alors 2q 2 = p 2 .

p est nécessairement pair car p 2 est pair. Cela permet d’écrire p = 2k avec k ∈ ℕ puis q 2 = 2k 2 .

Mais alors q est pair. Par suite p et q ont même parité. Absurde.

2

Exercice 3 2   2   

Si

2

2

2

2  Calculer  2  . En déduire l’existence d’irrationnels a ,b > 0 tels que a b soit rationnels.  

2

= 2 =2. est rationnel, c’est gagné avec a = b = 2 . Sinon, on prend a = 2

Exercice 4

2

et b = 2 .

Soit f : ℚ → ℚ telle que ∀x , y ∈ ℚ, f (x + y ) = f (x ) + f (y ) . a) On suppose f constante égale C quelle est la valeur de C ?

On revient au cas général. b) Calculer f (0) . c) Montrer que ∀x ∈ ℚ, f (−x ) = −f (x ) . d) Etablir que ∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ ℚ, f (nx ) = nf (x ) et généraliser cette propriété à n ∈ ℤ . e) On pose a = f (1) . Montrer que ∀x ∈ ℚ, f (x ) = ax .

a) La relation f (x + y ) = f (x ) + f (y ) avec f constante égale à C donne C = C +C d’où C = 0 . b) Pour x = y = 0 , la relation f (x + y ) = f (x ) + f (y ) implique f (0) = 0 . c) Pour y = −x , la relation f (x + y ) = f (x ) + f (y ) donne 0 = f (−x ) + f (x ) d’où f (−x ) = −f (x ) . d) Par récurrence : ∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ ℚ, f (nx ) = nf (x ) .

Pour n ∈ ℤ− , n = −p avec p ∈ ℕ et f (nx ) = f (−px ) = −f (px ) = −pf (x ) = nf (x ) . e) On peut écrire x = p q avec p ∈ ℤ et q ∈ ℕ∗ .

1 1 1 1 1 a ap f (x ) = f (p × ) = pf ( ) or a = f (1) = f (q × ) = qf ( ) donc f ( ) = puis f (x ) = = ax . q q q q q q q

Nombres réels Exercice 5

Montrer ∀a ,b ∈ ℝ , ab ≤

1 2 (a +b 2 ) .

2

(a −b )2 ≥ 0 donne 2ab ≤ a 2 + b 2 Exercice 6

Montrer ∀a ,b , c ∈ ℝ , ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 .

1 1 1 Sachant 2xy ≤ x 2 + y 2 : ab + bc + ca ≤ (a 2 + b 2 ) + (b 2 + c 2 ) + (c 2 + a 2 ) = a 2 + b 2 + c 2 .

2 2 2

Exercice 7

Soit a ∈ [1, +∞[ . Simplifier

a + 2 a − 1 + a − 2 a −1 .

Posons x = a + 2 a −1 + a − 2 a −1 .

On a x 2 = 2a + 2 a −1 + 2 a 2 − 4(a −1) = 2a + 2 (a − 2) 2 .

Si a ∈ [1, 2] alors x 2 = 2a + 2(2 −a ) = 4 donc x = 2 .

Si a ∈ [ 2, +∞[ alors x 2 = 4(a −1) puis x = 2 a −1 .

Exercice 8

1) ∀ (x , y ) ∈ ℝ 2 , f (x + y ) = f (x ) + f (y )  Soit f : ℝ → ℝ une application telle que : 2) ∀ (x , y ) ∈ ℝ 2 , f (xy ) = f (x ) f (y )  3) ∃x ∈ ℝ, f (x ) ≠ 0 a) Calculer f (0) , f (1) et f (−1) . b) Déterminer f (x ) pour x ∈ ℤ puis pour x ∈ ℚ . c) Démontrer que ∀x ≥ 0, f (x ) ≥ 0 . En déduire que f est croissante. d) Conclure que f = Id ℝ .

a) f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) donc f (0) = 0 .

∀x ∈ ℝ , f (x ) = f (1.x ) = f (1) f (x ) . Comme f est non nulle, on a f (1) = 1 . f (1) + f (−1) = f (0) = 0 donc f (−1) = −1 . b) Par récurrence sur n ∈ ℕ : f (n ) = n . De plus f (−n ) = f ((−1)×n ) = f (−1) × f (n ) = −f (n ) = −n donc p 1 1 avec p ∈ ℤ,q ∈ ℕ∗ , f (x ) = f (p × ) = f (p ) × f ( ) . Or f (p ) = p et q q q 1 1 1 1 1 1 = f (1) = f (q × ) = f (q )× f ( ) = q × f ( ) donc f ( ) = . Par suite f (x ) = x . q q q q q

∀x ∈ ℤ, f (x ) = x . Pour x ∈ ℚ , x =

2

c) ∀x ≥ 0, f (x ) = f ( x x ) = ( f ( x )) ≥ 0 .

Pour x , y ∈ ℝ , si x ≤ y alors f (y ) = f (x + y − x ) = f (x ) + f (y − x ) ≥ f (x ) . Ainsi f est croissante.

E (nx ) E (nx ) + 1 ≤x < n n E (nx ) E (nx ) + 1 E (nx ) E (nx ) + 1 Comme f est croissante : f ( ) ≤ f (x ) < f ( ) puis ≤ f (x ) < . n n n n A la limite, quand n → +∞ , on obtient x ≤ f (x ) ≤ x i.e. f (x ) = x . Finalement f = Id ℝ . d) Pour x ∈ ℝ et n ∈ ℕ :

Partie entière Exercice 9

Montrer que la fonction partie entière est croissante.

Soit x ≤ y ∈ ℝ . E (x ) ≤ x donc E (x ) ≤ y or E (x ) ∈ ℤ donc E (x ) ≤ E (y ) car E (y ) est le plus grand entier inférieur à y .

Exercice 10 Montrer que ∀x , y ∈ ℝ , E (x ) + E (y ) ≤ E (x + y ) ≤ E (x ) + E (y ) + 1 .

E (x ) + E (y ) ≤ x + y donc E (x ) + E (y ) ≤ E (x + y ) .

E (x + y ) ≤ x + y < E (x ) + 1 + E (y ) + 1 donc E (x + y ) ≤ E (x ) + E (y ) + 1 .

Exercice 11 Montrer que, pour x , y ∈ ℝ , E (x ) + E (x + y ) + E (y ) ≤ E (2x ) + E (2y ) .

Si E (x ) ≤ x < E (x ) + 1 2 et E (y ) ≤ y < E (y ) + 1 2 alors

E (x + y ) = E (x ) + E (y ), E (2x ) = 2E (x ) et E (2y ) = 2E (y ) puis la relation voulue.

Si E (x ) + 1 2 ≤ x < E (x ) + 1 et E (y ) ≤ y < E (y ) + 1 2 alors

E (x + y ) ≤ E (x ) + E (y ) + 1, E (2x ) = 2E (x ) + 1 et E (2y ) = 2E (y ) puis la relation voulue Si E (x ) ≤ x < E (x ) + 1 2 et E (y ) + 1 2 ≤ y < E (y ) + 1 : idem.

Si E (x ) + 1 2 ≤ x < E (x ) + 1 et E (y ) + 1 2 ≤ y < E (y ) + 1 alors

E (x + y ) = E (x ) + E (y ) + 1, E (2x ) = 2E (x ) + 1 et E (2y ) = 2E (y ) + 1 puis la relation voulue.  E (nx )  Exercice 12 Soit n ∈ ℕ∗ et x ∈ ℝ . Montrer que E   = E (x ) .  n   E (nx )  E (nx ) ≤ x , or x ֏ E (x ) est croissante donc E   ≤ E (x ) .  n  n E (x ) ≤ x donc nE (x ) ≤ nx puis nE (x ) ≤ E (nx ) car nE (x ) ∈ ℤ .  E (nx )  E (nx ) E (nx ) Par suite E (x ) ≤ puis E (x ) ≤ E ( ) et finalement E (x ) = E  .  n  n n On a E (nx ) ≤ nx puis

n −1

Exercice 13 Montrer que ∀x ∈ ℝ , ∀n ∈ ℕ∗ ,



k

∑ E x + n  = E (nx ) k =0

Posons m = E (nx ) et réalisons la division euclidienne de m par n : m = nq + r avec 0 ≤ r ≤ n −1 .

On a nq + r ≤ nx < nq + r + 1 donc pour tout k ∈ {0, …, n −1} : q +

k +r k k + r +1 ≤ x + <q + n n n

  k k Si k + r < n alors E x +  = q et si k + r ≥ n alors E x +  = q + 1 .    n n n −1   n −r −1   n −1   k k k Par suite ∑ E x +  = ∑ E x +  + ∑ E x +  = nq + r = m = E (nx ) .  n  k =0  n  k =n −r  n k =0 Exercice 14 Soit a ≤ b ∈ ℝ . Etablir Card([a ,b ] ∩ ℤ) = E (b ) + E (1−a ) .

Si a ∉ ℤ alors [a ,b ] ∩ ℤ = {E (a ) + 1, E (a ) + 2, …, E (b )} donc Card([a ,b ] ∩ ℤ) = E (b ) − E (a ) .

Or E (1−a ) = 1 + E (−a ) = −E (a ) car a ∉ ℤ donc Card([a ,b ] ∩ ℤ) = E (b ) + E (1−a ) Si a ∈ ℤ alors [a ,b ] ∩ ℤ = {a , a + 1,…, E (b )} donc Card([a ,b ] ∩ ℤ) = E (b ) −a + 1 = E (b ) + E (1−a ) car 1−a ∈ ℤ .

Exercice 15 Soit n ∈ ℕ∗ . a) Montrer qu’il existe (an ,bn ) ∈ ℕ∗2 tel que (2 + 3)n = an + bn 3 et 3bn2 = an2 −1 . b) Montrer que la partie entière de (2 + 3)n est un entier impair. a) Par récurrence sur n ∈ ℕ∗ .

Pour n = 1 , a1 = 2 et b1 = 1 conviennent.

Supposons la propriété établie au rang n ≥ 1 .

(2 + 3)n +1 = (2 + 3)(2 + 3)n = (2 + 3)(an + bn 3) = an +1 + bn +1 3 avec an +1 = 2an + 3bn et bn +1 = an + 2bn de sorte que 3bn2+1 −an2+1 = −an2 + 3bn2 = −1 .

Récurrence établie. b) an −1 ≤ bn 3 < an donc 2an −1 ≤ (2 + 3)n < 2an donc E ((2 + 3)n ) = 2an −1 .

Borne supérieure, borne inférieure 1   Exercice 16 Soit A = (−1)n + / n ∈ ℕ . n +1   Montrer que A est bornée, déterminer inf A et supA .

1 ≤ 2 donc A est bornée. n +1 A est une partie de ℝ non vide et bornée donc inf A et sup A existent. ∀n ∈ ℕ, −1 ≤ (−1)n +

0 1 2 3 …

1 1 1 1 . −1 + … (−1) + 2 −1 + 1+ n +1 2 3 4 2 est plus grand élément de A et donc sup A = max A = 2 .

1 A est clairement minorée par −1 et (−1) 2 p +1 + → −1 donc il existe une suite d’éléments de A qui 2p + 2 converge vers −1 donc inf A = −1 . n

n

Exercice 17 Soit A et B deux parties non vides et bornées de ℝ telles que A ⊂ B .

Comparer inf A,sup A,inf B et sup B .

A et B sont des parties non vides et bornées de ℝ donc les bornes sup et inf considérées existent. ∀a ∈ A , on a a ∈ B donc a ≤ sup B . sup B majore A donc sup A ≤ sup B . ∀a ∈ A , on a a ∈ B donc inf B ≤ a . inf B minore A donc inf B ≤ inf A .

Enfin, puisque A ≠ ∅ , inf A ≤ sup A .

Exercice 18 Soit A et B deux parties non vides de ℝ telles que ∀ (a ,b ) ∈ A×B , a ≤ b .

Montrer que supA et inf B existent et que sup A ≤ inf B .

∀b ∈ B on a ∀a ∈ A , a ≤ b donc A est majorée par b .

A est une partie de ℝ non vide et majorée par b donc supA existe et supA ≤ b .

B est une partie de ℝ non vide et minorée par supA donc inf B existe et sup A ≤ inf B .

Exercice 19 Soit A et B deux parties de ℝ non vides et majorées.

Montrer que sup A,sup B et supA ∪ B existent et sup A ∪ B = max(sup A,sup B ) .

A, B , A ∪ B sont des parties de ℝ non vides et majorées donc sup A,sup B ,sup A ∪ B existent dans ℝ .

∀x ∈ A ∪ B on a x ≤ max(sup A,sup B ) donc sup(A ∪ B ) ≤ max(sup A,sup B ) .

Puisque A, B ⊂ A ∪ B on a sup A,sup B ≤ sup A ∪ B donc max(sup A,sup B ) ≤ sup A ∪ B puis l’égalité.

Exercice 20 Soit A et B deux parties non vides et majorées de ℝ .

On forme A + B = {a + b /(a ,b ) ∈ A×B } .

Montrer que A + B est majorée et sup(A + B ) = sup A + sup B .

A et B sont deux parties non vides et majorées de ℝ donc supA et sup B existent. ∀x ∈ A + B , on peut écrire x = a + b avec a ∈ A et b ∈ B .

On a x = a + b ≤ sup A + sup B , donc A + B est majorée par sup A + sup B A + B est une partie de ℝ non vide et majorée donc supA + B existe et sup A + B ≤ sup A + sup B . ∀b ∈ B , ∀a ∈ A , a = (a + b ) −b ≤ sup(A + B ) −b donc A est majorée par sup(A + B ) −b d’où sup A ≤ sup(A + B ) −b . Par suite b ≤ sup(A + B ) − sup A et B est donc majoré par sup(A + B ) − sup A et par suite sup B ≤ sup(A + B ) − sup A . Finalement sup A + sup B ≤ sup A + B puis l’égalité.

Exercice 21 Soit (un ) une suite réelle. Pour tout n ∈ ℕ , on pose vn = sup u p et wn = inf u p . p ≥n

Etudier les monotonies des suites (vn ) et (wn ) .

{u p / p ≥ n +1} ⊂ {up / p ≥ n } donc vn +1 ≤ vn

et wn +1 ≥ wn .

Ainsi (vn ) est décroissante et (wn ) est croissante.

p ≥n

Exercice 22 Pour n ∈ ℕ , on pose fn (x ) = x n (1− x ) . Déterminer lim sup fn (x ) n →+∞ x ∈[0,1]

fn est dérivable et fn′(x ) = nx n −1 (1− x ) − x n = nx n −1 − (n + 1)x n . x 0 xn fn (x ) 0 ր M n

n

 1 n 1  1 avec x n = ∈ [ 0,1] et M n = sup fn (x ) = 1− →0.   ց 1  n +1 x ∈[ 0,1] n + 1 n + 1

  1 1 Exercice 23 Déterminer inf  (x1 + ⋯ + x n )  + ⋯ +  / x1 ,…, x n > 0 .    x1 x n    On exploite

2 2 n 1 xi x j xi + x j x 1 + = ≥ 2 pour obtenir (x1 + ⋯ + x n )  + ⋯ +  = ∑ i ≥ n 2 .   x j xi xix j x n  i , j =1 x j  x1

1 1 Puisque que pour x1 = … = x n = 1 on obtient (x1 + ⋯ + x n )  + ⋯ +  = n 2 on peut conclure  x1 x n    1 1 inf (x1 + ⋯ + x n )  + ⋯ +  / x1 ,…, x n > 0 = n 2  x1  x n   

Equations et systèmes Exercice 24 Résoudre les équations suivantes d’inconnue x ∈ ℝ : b) 3x = 2 − x [ π ] a) x = 2x −1 [1]

c) nx = 0 [ π ] (avec n ∈ ℕ∗ ).

a) x = 2x −1 [1] ⇔ −x = −1 [1] ⇔ x = 1 [1] , S = ℤ .

π  (2k + 1)π    , S =  / k ∈ ℤ .

4  4    k π  S =  / k ∈ ℤ .  n 

b) 3x = 2 − x [ π ] ⇔ 4x = 2 [π ] ⇔ x =

π c) nx = 0 [π ] ⇔ x = 0   ,  n 

1 2

Exercice 25 Observer que x = 3 20 + 14 2 + 3 20 −14 2 est solution d’une équation de la forme

x 3 = αx + β avec α, β ∈ ℝ . Résoudre cette dernière et déterminer x . x 3 = 6x + 40 . 4 est solution apparente de cette équation. x 3 − 6x − 40 = (x − 4)(x 2 + 4x + 10) Les solutions de l’équation sont 4, −2 + i 6, −2 − i 6 . On conclut x = 4 .

Exercice 26 Résoudre les systèmes d’inconnue (x , y ) ∈ ℝ 2 :

x 2 + 2y 2 = 1 a)   2  x + xy = 0

x 2 = y c)   2 y = x

x 2 + y 2 = 1 b)    2xy = 1

a) Si (x , y ) est solution alors (2) ⇒ x (x + y ) = 0 donc x = 0 ou y = −x .

Si x = 0 alors (1) donne y = ±1

2.

Si y = −x alors (1) donne x = ±1 Inversement : ok

{

Finalement : S = (0,1

2), (0, −1

3.

}

2), (1 3, −1 3), (−1 3 ,1

3) .

b) Si (x , y ) est solution alors (1) − (2) donne (x − y ) 2 = 0 d’où x = y puis (1) donne x = y = ±

{

Inversement : ok. Finalement S = (1

2 ,1

2), (−1 4

2 , −1

}

2) .

c) Si (x , y ) est solution alors (1) et (2) donnent x = x d’où x = 0 ou x = 1 .

1 2

.

Si x = 0 alors y = 0 . Si x = 1 alors y = 1 .

Inversement : ok. Finalement S = {(0, 0), (1,1)} .

Exercice 27 Résoudre les systèmes suivants d’inconnue (x , y , z ) ∈ ℝ 3 :

x + 2y − z = 1 a)   x −y + z = 2  xyz = 0 

x + 2y − z = 1 b)  x − y + 2z = 2   3x − y + z = 3

 x + y + z = 1 c)  x − y + 3z = 2 .  2x − y + z = 3

a) Si (x , y , z ) est solution alors (3) donne x = 0, y = 0 ou z = 0 .

3 1 5 1 Si x = 0 alors y = 3, z = 5 . Si y = 0 alors x = , z = . Si z = 0 alors x = , y = − .

2 2 3 3 3 1 5 1   Inversement : ok. Finalement S = (0,3,5), ( , 0, ), ( , − , 0) .  2 2 3 3   8 7 4   5 3 1  b) S =   , ,  . c) S =  , − ,  .  9 9 9   4 8 8  x −ay + z = 2  3 Exercice 28 Résoudre le système  x + (a + 1)z = 3 d’inconnue (x , y , z ) ∈ ℝ , a désignant un paramètre réel.  x + ay + 3z = 4 x −ay + z = 2  x −ay + z = 2 x −ay + z = 2 x + (a + 1)z = 3x + (a + 1)z = 3 x + 2z = 3    x + 2z = 3 (a −1)z = 0 x + ay + 3z = 4  Si a = 0 ou 1 le système n’a pas de solution.

Si a ≠ 1 et a ≠ 0 le système a pour solution x = 3, y = 1 a , z = 0 . david Delaunay http://mpsiddl.free.fr