Exercices Suites numériques

Exosup - Suites numériques.doc

Convergence d’une suite numérique Exercice 1

Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles convergeant vers ℓ et ℓ ′ avec ℓ < ℓ ′ .

Montrer qu’à partir d’un certain rang : un < vn .

ℓ + ℓ′ . On a un → ℓ < m et donc ∃n 0 ∈ ℕ, ∀n ≥ n 0 , un < m et ∃n1 ∈ ℕ, ∀n ≥ n1 , vn > m .

2 Pour tout n ≥ max(n1 , n 2 ) on a un < m < vn .

Posons m =

Exercice 2

Soit (un ) ∈ ℤ ℕ . Montrer que (un ) converge si et seulement si (un ) est stationnaire.

Si (un ) est stationnaire, il est clair que cette suite converge.

Inversement, supposons que (un ) converge et notons ℓ sa limite.

Montrons ℓ ∈ ℤ . Par l’absurde, si ℓ ∉ ℤ alors E (ℓ ) < ℓ < E (ℓ ) + 1 donc à partir d’un certain rang

E (ℓ ) < un < E (ℓ ) + 1 . Or un ∈ ℤ . Absurde. Ainsi ℓ ∈ ℤ .

Puisque un → ℓ et ℓ −1 < ℓ < ℓ + 1 , à partir d’un certain rang ℓ −1 < un < ℓ + 1 .

Or un ∈ ℤ et ℓ ∈ ℤ donc un = ℓ . Finalement (un ) est stationnaire égale à ℓ .

Exercice 3

n ∈ ℕ, un ≤ a et vn ≤ b Soit (a ,b ) ∈ ℝ 2 , (un ) et (vn ) deux suites telles que :  un + vn → a + b Montrer que un → a et vn → b .

a ≥ un = un + vn − vn ≥ un + vn −b et un + vn −b → a donc un → a .

De plus vn = (un + vn ) − un → (a + b ) −a = b .

Exercice 4

Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles telles que (un + vn ) et (un − vn ) convergent.

Montrer que (un ) et (vn ) convergent.

Supposons un + vn → ℓ et un − vn → ℓ ′ .

1 1 ℓ + ℓ′ ℓ − ℓ′ un = (un + vn ) + (un − vn ) → et de même vn → .

2 2 2 2 Exercice 5

Soit (un ) et (vn ) deux suites convergentes. Etudier lim max(un , vn ) . n →+∞

max(un , vn ) = Exercice 6

1 ((un + vn ) + un − vn ) → max(lim un ,lim vn ) .

2

Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles telles que un2 + un vn + vn2 → 0 .

Démontrer que (un ) et (vn ) convergent vers 0.

0 ≤ (un + vn ) 2 = un2 + 2un vn + vn2 ≤ 2(un2 + un vn + vn2 ) → 0 . Ainsi un + vn → 0 puis un vn = (un + vn ) 2 − (un2 + un vn + vn2 ) → 0 et donc un2 + vn2 → 0 qui permet de conclure un , vn → 0 .

Exercice 7

Soit (un ) et (vn ) deux suites telles que 0 ≤ un , vn ≤ 1 et un vn → 1 .

Que dire de ces suites ?

un vn ≤ un , vn ≤ 1 . Par le théorème des gendarmes : lim un = lim vn = 1 .

Exosup - Suites numériques.doc

Calculs de limites Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites (un ) suivantes :

Exercice 8

 1 a) un = 1 +   n 

b) un =

c) un = n 2 + n + 1 − n 2 − n + 1

d) un =

n

1 n2

e) un =

n

∑k

3n − (−2)n 3n + (−2)n n − n 2 +1 n + n 2 −1

f) un = n n 2

k =1

 1 1  1  ln(1 + x ) a) un = en (ln(1+1 n )) or n ln 1 +  = ln 1 + → 1 car  →1 . Par suite un → e . x →0  n  1 n  n  x b) un =

1− (−2 3)n →1.

1 + (−2 3)n

2n

c) un =

d) un = e) un =

n + n +1 + n − n +1 2

2

1− 1 + 1 n 2

=

2 1 1 1 1 1 + + 2 + 1− + 2 n n n n

→1.

→0.

1 + 1 +1 n 2 (n + 1) 1 → 2n 2 2

f) un = e n

ln n

Exercice 9

 1 a) sin   n 

1n

ln n →0. n

→ 1 car

Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants : 1n n  n −1 1  1 b) un =  c) un = n 2 + n + 1 − n 2 − n + 1 a) un = sin    n + 1 n  n  1

=e n



 1 1  1  1 1 ln sin  ∼ ln → 0 donc sin     n n  n n n

1n

1 ln(sin ) n

or

→1.



2   n ln 1−  n −1   n −1 2   n +1 −2 b)  or n ln 1− ∼ −2 → −2 donc  = e   →e .  n + 1  n + 1  n + 1 2n c) n 2 + n + 1 − n 2 − n + 1 = or n 2 + n + 1 + n 2 − n + 1 = n + o (n ) + n ∼ 2n 2 n + n +1 + n 2 − n +1

n

d’où

n

n 2 + n + 1 − n 2 − n +1 → 1 .

Exercice 10 Déterminer par comparaison, la limite des suites (un ) suivantes : a) un =

sin n n + (−1)n +1

d) un =

en nn n

1 g) un = ∑ 2 2 k =1 n + k 1 → 0 donc un → 0 . n −1 1.2 …n 1 b) 0 ≤ un ≤ ≤ → 0 donc un → 0 . n.n …n n a) un ≤

b) un =

n! nn

c) un =

e) un = n 2 + (−1)n

n − (−1)n n + (−1)n n

f) un = ∑ k k =1

n

h) un = ∑ k =1

1 k

n

n . k =1 n + k

i) un = ∑

2

Exosup - Suites numériques.doc

n −1 n +1 n −1 n + 1 ≤ un ≤ avec , → 1 donc un → 1 . n +1 n −1 n + 1 n −1 ee e d) 0 ≤ un ≤ ×1×⋯×1× → 0 donc un → 0 .

12 n c)

1

e) 1 ≤ un ≤ n 3 = e n

ln 3

→ 1 donc un → 1 .

n

f) un ≥ ∑ 1 = n → +∞ donc un → +∞ . k =1

n

1 n = 2 → 0 donc un → 0 .

2 n + 1 n +1 k =1 n 1 n h) un ≥ ∑ = = n → +∞ donc un → +∞ . n n k =1 n n n n n n2 i) ∑ 2 ≤ un ≤ ∑ 2 donc ≤ un ≤ 2 puis un → 1 . n +1 n +1 k =1 n + n k =1 n + 1 g) 0 ≤ un ≤ ∑

Exercice 11 Déterminer les limites de : n 1 a) Sn = ∑ . k k =1 n

n

d) Sn = ∑

k =0

n

k =1

b) 0 ≤ Sn ≤

1

1

k =n +1

c) Sn = ∑ (−1)n −k k ! a) Sn ≥ ∑

2n

∑k

b) Sn =

k =1

2

1 n +k 2

.

= n → +∞ .

n 2n

1 n ≤ →0.

2 n n ( + 1) ( + 1)2 k =n +1

∑

c) Sn = n !− (n −1)!+ (n − 2)!+ ⋯ + (−1)n . Par regroupement de termes.

Si n est pair alors Sn ≥ n !− (n −1)! et si n est impair Sn ≥ n !− (n −1)!−1 .

Puisque n !− (n −1)! = (n −1).(n −1)! → +∞ , on a Sn → +∞ . d)

n n +n 2

n

=∑ k =1

1 n +n 2

n

≤ Sn ≤ ∑ k =1

1 n +1 2

=

n n 2 +1

par le théorème des gendarmes : Sn → 1 .

 1  1  1 Exercice 12 Comparer lim lim 1−  , lim lim 1−  et lim 1−  .   n  m →+∞ n →+∞  n →+∞ m →+∞ n →+∞  n  n m

m

n

 1  1 lim 1−  = 1m et lim lim 1−  = 1 .  n  n n →+∞  m →+∞ n →+∞  m

m

 1  1 lim 1−  = 0 et lim lim 1−  = 0 .  n  n m →+∞  n →+∞ m →+∞  m

m





1 n ln 1−   1  1−  =e  n  →e−1 .  n  n

Exercice 13 Soit (un ) une suite de réels strictement positifs. On suppose

n

un → ℓ .

a) Montrer que si ℓ < 1 alors un → 0 . b) Montrer que si ℓ > 1 alors un → +∞ . c) Montrer que dans le cas ℓ = 1 on ne peut rien conclure.

ℓ +1 de sorte que ℓ < ρ < 1 .

2 Comme n un → ℓ < ρ , il existe un rang N au delà duquel a) Soit ρ =

n

un ≤ ρ donc 0 < un ≤ ρ n . On a alors un → 0 .

Exosup - Suites numériques.doc

b) Même démarche mais par minoration. c) un = n , un = 1 et un = 1 n sont des exemples prouvant qu’on ne peut rien dire.

Exercice 14 Soit (un ) une suite de réels strictement positifs. On suppose

un +1 →ℓ. un

a) Montrer que si ℓ < 1 alors un → 0 . b) Montrer que si ℓ > 1 alors un → +∞ . c) Montrer que dans le cas ℓ = 1 on ne peut rien conclure. a) Soit ρ = Comme

ℓ +1 de sorte que ℓ < ρ < 1 .

2

un +1 u → ℓ < ρ , il existe un rang N au delà duquel n +1 ≤ ρ . un un

un un −1 uN +1 ⋯ uN ≤ ρ n −N uN → 0 donc un → 0 . un −1 un −2 uN b) Même démarche mais par minoration. c) un = n , un = 1 et un = 1 n sont des exemples prouvant qu’on ne peut rien dire.

On a alors 0 ≤ un =

n 1 (−1)k −1 et Sn′ = ∑ k k =1 n + k k =1 p +1 dx p dx 1 a) Etablir que pour tout p > 1 , ∫ ≤ ≤∫ . En déduire la limite de (Sn ) . p p −1 x x p b) Etablir que S 2′n = Sn . En déduire la limite de (Sn′ ) . n

Exercice 15 Pour tout n ∈ ℕ , on pose Sn = ∑

p +1 dx dx 1 1 1 ≤∫ = car la fonction décroissante x ֏ est majorée par sur [ p , p + 1] . p p x x p p p p dx p dx 1 1 1 ∫p−1 x ≥ ∫p−1 p = p car la fonction décroissante x ֏ x est minorée par p sur [p −1, p ] .

2n +1 dx 2n dx n +k +1 dx n +k dx 1 Pour n ≥ 1 , ∫ ≤ ≤∫ donne en sommant ∫ ≤ Sn ≤ ∫ . n +1 n n +k n +k −1 x x x x n +k 2n dx 2n +1 dx 2n + 1 Or ∫ = ln → ln 2 et ∫ = ln 2 donc Sn → ln 2 . n n +1 x x n +1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 S 2′n = − + − + ⋯ + − =  + + ⋯ +  − 2  + + ⋯ +    1 2 3 4 2n −1 2n 1 2 2n   2 4 2n  b) 2n n 2n n 1 1 1 1 = ∑ −∑ = ∑ = ∑ = Sn k =1 k k =1 k k =n +1 k k =1 n + k

a)

∫

p +1

Par suite S 2′n → ln 2 . De plus S 2′n +1 = S 2n +

1 → ln 2 donc Sn′ → ln 2 .

2n + 1 n

Exercice 16 Soit a ∈ ℝ et pour n ∈ ℕ , Pn = ∏ cos k =1

a .

2k

a  1 Montrer que sin  n  Pn = n sin a et déterminer lim Pn . n∞ 2  2 a a a a a 1 a a a 1 Pn = sin n cos n cos n −1 ⋯ cos = sin n −1 cos n −1 ⋯ cos = … = n sin a . n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Si a = 0 alors Pn = 1 → 1 . sin

Si a ≠ 0 alors, pour n assez grand, sin

a sin a sin a a a ≠ 0 et Pn = car 2n sin n ∼ 2n n = a . → n a 2 a 2 2 2n sin n 2

Exosup - Suites numériques.doc

−1

n + p  Exercice 17 Soit p ∈ ℕ \ {0,1} . Pour n ∈ ℕ∗ on pose un =    n 

n

et Sn = ∑ uk . k =1

a) Montrer que ∀n ∈ ℕ , (n + p + 2)un + 2 = (n + 2)un +1 .

1 (1− (n + p + 1)un +1 ) . p −1 c) On pose ∀n ∈ ℕ∗ vn = (n + p )un . Montrer que (vn ) converge vers 0.

b) Montrer par récurrence Sn =

d) En déduire lim Sn en fonction de p .

n + p + 2 n + p + 2 n + p + 1  a)  =  d’où la relation.  n + 2  n + 2  n + 1  b) Par récurrence sur n ∈ ℕ : 1 1 2 1 Pour n = 1 : S1 = et (1− (p + 2) )= ok p + 1 p p p p − 1 ( + 2)( + 1) + 1   1  Supposons la propriété établie au rang n ≥ 1 .

1 1 1 Sn +1 = Sn + un +1 = (1− (n + p + 1)un +1 ) + un +1 = (1− (n + 2)un +1 ) = (1− (n + p + 2)un + 2 ) .

HR p −1 p −1 p −1 Récurrence établie. n+p n !p ! p! c) 0 ≤ vn = = ≤ →0. n + p  (n + p −1)! n + 1   n  d) Par opérations : Sn →

1 . p −1

Suites monotones et bornées Exercice 18 Soit (un ) une suite croissante de limite ℓ . On pose vn =

u1 + ⋯ + un . n

a) Montrer que (vn ) est croissante.

un + v n .

2 c) En déduire que vn → ℓ . b) Etablir que v 2n ≥

a) vn +1 − vn =

nun +1 − (u1 + ⋯ + un ) ≥ 0 donc (vn ) est croissante. n (n + 1)

u1 + ⋯ + un un +1 + ⋯ + u 2n vn un + ≥ + .

2n 2n 2 2 c) On a ∀n ∈ ℕ∗ , vn ≤ ℓ et (vn ) croissante donc (vn ) converge vers un réel ℓ ′ ≤ ℓ . b) v 2n =

La relation précédente, passée à la limite, donne 2ℓ ′ ≥ ℓ + ℓ ′ ce qui permet de conclure Sn → ℓ .

Exercice 19 Soit (un ) une suite réelle convergente. Etudier la limite de la suite vn = sup un . p ≥n

(un ) converge donc (un ) est bornée. La suite (vn ) est donc bien définie et elle-même bornée.

On a vn +1 ≤ vn donc (vn ) est décroissante et donc converge.

Posons ℓ = lim un et ℓ ′ = lim vn .

vn ≥ un donc à la limite ℓ ′ ≥ ℓ .

Exosup - Suites numériques.doc

ℓ′ + ℓ >ℓ.

2 ℓ + ℓ′ ℓ + ℓ′ A partir d’un certain rang vn > et un < . Impossible. Il reste ℓ ′ = ℓ .

2 2 Si ℓ ′ > ℓ alors ℓ ′ >

Exercice 20 Soit (un ) une suite réelle bornée. On pose vn = sup u p et wn = inf u p . p≥n

p≥n

Montrer que les suites (vn ) et (wn ) possèdent chacune une limite dans ℝ et comparer celles-ci.

On a vn +1 ≤ vn donc (vn ) est décroissante. On a wn +1 ≥ wn donc (wn ) est croissante. De plus wn ≤ vn .

La suite (vn ) est décroissante et minorée par w 0 donc elle converge vers une limite ℓ .

De même la suite (wn ) converge vers une limite m . Enfin wn ≤ vn donne à la limite m ≤ ℓ .

Exercice 21 Somme harmonique : n

1 . k =1 k 1 Montrer que ∀n ∈ ℕ ∗ , H 2n − H n ≥ . En déduire que lim H n = +∞ . n∞ 2 Pour tout n ∈ ℕ , on pose H n = ∑

H 2n − H n =

2n

2n 1 1 n 1 ≥ ∑ = = .

2n 2 k =n +1 k k =n +1 2n

∑

(H n ) est croissante car H n +1 − H n =

1 ≥0. n +1

Si (H n ) converge vers ℓ alors H 2n − H n → ℓ − ℓ = 0 . Ceci est impossible puisque H 2n − H n ≥

1 .

2

Par suite (H n ) diverge, et puisque (H n ) est croissante, (H n ) diverge vers +∞ .

Exercice 22 On pose un =

1×3×5×⋯× (2n −1) .

2× 4× 6×⋯× (2n )

a) Exprimer un à l’aide de factoriels. b) Montrer que (un ) converge. c) Soit vn = (n + 1)un2 . Montrer que (vn ) converge. Déterminer lim un . a) un = b)

(2n )! .

22n (n !) 2

un +1 (2n + 2)(2n + 1) 2n + 1 = = ≤ 1 donc (un ) est décroissante. un 2n + 2 4(n + 1) 2

Or (un ) est minorée par 0 donc (un ) converge.

vn +1 n + 2 un2+1 n + 2  2n + 1  2 3 = =  or (n + 2)(2n + 1) − 4(n + 1) = −3n − 2 < 0  vn n + 1 un2 n + 1  2n + 2  2

c)

donc vn +1 − vn ≤ 0 . (vn ) est décroissante et minorée par 0 donc (vn ) converge.

Nécessairement lim un = 0 car sinon vn = (n + 1)un2 → +∞ .

Suites adjacentes θ θ , vn = 2n tan n .

2n 2 Montrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes. Quelle est leur limite commune ?

Exercice 23 Soit θ ∈ ]0, π 2[ , un = 2n sin

Exosup - Suites numériques.doc

Via sin 2a = 2sin a cos a , un = 2n +1 sin

θ

θ

≤ un +1 .

2 2 tan a tan(θ 2n +1 ) n +1 Via tan 2a = donc v = 2 ≥ vn +1 . n 1− tan 2 a 1− tan 2 (θ 2n +1 ) n +1

2

cos

n +1

sin x ∼ x et tan x ∼ x donc un → θ et vn → θ d’où vn − un → 0 . x →0

x →0

Les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes de limite commune égale à θ . n

1 1 et Sn′ = S n + .

2 n k k =1 Montrer que les suites (Sn ) et (Sn′ ) sont adjacentes.

Exercice 24 Pour tout n ∈ ℕ∗ , on pose Sn = ∑

On peut montrer que leur limite commune est π 2 6 , mais c’est une autre histoire...

Sn +1 − S n =

1 1 1 1 1 1 1 , Sn′+1 − Sn′ = + − = − ≤ 0 et Sn′ − Sn = → 0 . n (n + 1) 2 (n + 1) 2 n + 1 n (n + 1) 2 n (n + 1)

Exercice 25 Critère spécial des séries alternées ou critère de Leibniz.

Soit (un ) une suite de réels décroissante et de limite nulle. n

Pour tout n ∈ ℕ , on pose Sn = ∑ (−1)k uk . k =0

Montrer que les suites extraites (S 2n ) et (S 2n +1 ) sont adjacentes et en déduire que (Sn ) converge.

S 2(n +1) − S 2n = u 2n + 2 − u 2n +1 ≤ 0 , S 2(n +1)+1 − S 2n +1 = −u 2n +3 + u 2n + 2 ≥ 0 et S 2n +1 − S 2n = −u 2n +1 → 0 .

Les suites (S 2n +1 ) et (S 2n ) étant adjacentes elles convergent vers une même limite et par suite (Sn ) converge aussi vers cette limite.

Exercice 26 Irrationalité du nombre de Néper. n n 1 1 1 1 et bn = ∑ + = an + .

Soit an = ∑ n.n ! n .n ! k =0 k ! k =0 k ! a) Montrer que (an ) et (bn ) sont strictement monotones et adjacentes.

On admet que leur limite commune est e . On désire montrer que e ∉ ℚ et pour cela on raisonne

p avec p ∈ ℤ,q ∈ ℕ∗ . q b) Montrer que aq < e < bq puis obtenir une absurdité.

par l’absurde en supposant e =

a) an +1 −an =

bn +1 −bn =

1 > 0 donc (an ) est strictement croissante. (n + 1)!

1 1 1 n (n + 2) − (n + 1)2 + − = < 0 donc (bn ) est strictement décroissante. (n + 1)! (n + 1)(n + 1)! n.n ! n (n + 1)(n + 1)!

1 →0. n.n ! b) On a aq < aq +1 ≤ e ≤ bq +1 < bq .

Enfin bn −an =

p 1 < aq + puis q .q !aq < p.q ! < q .q !aq + 1 . q q .q ! n q!

Or p.q ! ∈ ℤ et q .q !.aq = q ∑ ∈ ℤ . Absurde. k =0 k !

Par suite aq <

Exercice 27 Moyenne arithmético-géométrique. a) Pour (a ,b ) ∈ ℝ +2 , établir : 2 ab ≤ a + b . b) On considère les suites de réels positifs (un ) et (vn ) définies par : u 0 = a , v 0 = b et

Exosup - Suites numériques.doc

un + vn .

2 Montrer que, pour tout n ≥ 1 , un ≤ vn , un ≤ un +1 et vn +1 ≤ vn . ∀n ∈ ℕ, un +1 = un vn , vn +1 =

c) Etablir que (un ) et (vn ) convergent vers une même limite.

Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique de a et b et est notée M (a ,b ) . d) Calculer M (a ,a ) et M (a , 0) pour a ∈ ℝ + . e) Exprimer M (λa , λb ) en fonction de M (a ,b ) pour λ ∈ ℝ + . a)

(

a− b

)

2

≥ 0 donne l’inégalité demandée.

un −1 + vn −1 = vn en vertu de a.

2 u + vn 2vn un +1 = un vn ≥ un2 = un et vn +1 = n ≤ = vn .

2 2 c) La suite (un )n ≥1 est croissante et majorée par v1 donc elle converge vers une limite notée ℓ . b) Pour n ≥ 1 , un = un −1vn −1 ≤

La suite (vn )n ≥1 est décroissante est minorée par u1 donc elle converge vers une limite notée ℓ ′ .

un + v n ℓ + ℓ′ à la limite, on obtient ℓ ′ = d’où ℓ = ℓ ′.

2 2 d) Si b = a alors les deux suites (un ) et (vn ) sont constantes égales à a et donc M (a ,a ) = a .

Si b = 0 alors la suite (un )n ≥1 est constante égale à 0 et donc M (a , 0) = 0 .

En passant la relation vn +1 =

e) Notons (un′ ) et (vn′ ) les suites définies par le procédé précédent à partir de u 0′ = λa et v 0′ = λb .

Par récurrence, un′ = λun et vn′ = λvn donc M (λa , λb ) = λM (a ,b ) .

Suites extraites Exercice 28 On suppose que (un ) est une suite réelle croissante telle que (u 2n ) converge.

Montrer que (un ) converge.

(un ) étant croissante, elle admet une limite, (u 2n ) qui en est extraite a la même limite. Puisque (u 2n ) converge, il en est de même de (un ) .

Exercice 29 Soit (un ) une suite complexe telle que (u 2n ), (u 2n +1 ) et (u3n ) convergent. Montrer que (un ) converge.

u 2n → ℓ, u 2n +1 → ℓ ′ et u3n → ℓ ′′ . (u6n ) est extraite de (u 2n ) et (u3n ) donc u 6n → ℓ et u 6n → ℓ ′′ . Par suite ℓ = ℓ ′′ . (u6n +3 ) est extraite de (u 2n +1 ) et (u3n ) donc u 6n +3 → ℓ ′ et u 6n +3 → ℓ ′′ . Par suite ℓ ′ = ℓ ′′ .

Il en découle ℓ = ℓ ′ et donc un → ℓ .

Exercice 30 Justifier que la suite (cos n ) diverge.

Par l’absurde, supposons que (cos(n )) converge et notons ℓ sa limite.

Puisque cos(2n ) = 2 cos 2 n −1 , à la limite : ℓ = 2ℓ 2 −1 donc ℓ = 1 ou ℓ = −1 2 .

Puisque cos(3n ) = 4 cos3 n − 3cos n à la limite ℓ 3 = ℓ donc ℓ = 1 .

sin n = 1− cos 2 n → 0 puis cos(n + 1) = cos(n ) cos(1) − sin(n )sin(1) donne 1 = cos1 . Absurde.

Exercice 31 Soit (un ) une suite réelle telle que ∀n , p ∈ ℕ∗ , 0 ≤ un +p ≤

n +p . Montrer que un → 0 . np

Exosup - Suites numériques.doc

0 ≤ u 2n ≤

2n 2 2n + 1 = → 0 et 0 ≤ u 2n +1 ≤ → 0 donc un → 0 .

2 n (n + 1) n n

Comparaison de suites numériques Exercice 32 Classer les suites, dont les termes généraux, sont les suivants par ordre de négligeabilité : 1 1 ln n ln n 1 n2 a) , 2 , , 2 , b) n , n 2 , n ln n , n ln n , . n n n n n ln n ln n a)

1 ln n 1 1 ln n ≪ 2 ≪ ≪ ≪ . b) 2 n ln n n n n n

n ln n ≪ n ≪ n ln n ≪

n2 ≪ n2 . ln n

Exercice 33 Trouver un équivalent simple aux suites (un ) suivantes et donner leur limite : a) un =

n 3 − n 2 +1 ln n − 2n 2

b) un =

d) un = (n + 3ln n )e−(n +1)

2n 3 − ln n + 1 n 2 +1

e) un =

ln(n 2 + 1) n +1

c) un =

n !+ en 2n + 3n

f) un =

n 2 + n +1 3

n 2 − n +1

1 2 ln n a) un ∼ − n → −∞ b) un ∼ 2n → +∞ c) un ∼ →0 2 n n e−n n! d) un = → 0 e) un ∼ n → +∞ f) un ∼ n 1 3 → +∞ . e 3 Exercice 34 Trouver un équivalent simple aux suites (un ) suivantes :

1 1 − n −1 n + 1 1 d) un = sin n +1 a) un =

a) un = b) un =

2 2 ∼ 2. n −1 n 2

b) un = n + 1 − n −1

c) un = ln(n + 1) − ln(n )

 1 e) un = ln sin   n 

f) un = 1− cos

1 . n

2

n + 1 + n −1

=

2 n +o( n ) + n +o( n )

=

1

∼

n +o( n )

1 n

.

 1  1 1 1 1 1 c) un = ln 1 +  ∼ = car ln 1 +  ∼ puisque → 0  n    n n n n n 1 1 1 1 d) un = sin ∼ ∼ car →0. n +1 n +1 n n +1 1 1 1 e) sin ∼ → 0 ≠ 1 donc un ∼ ln = − ln n . n n n 1 2 f) un = 2sin 2 = 2 . n n Exercice 35 Déterminer la limite des suites (un ) suivantes :

 1  a) un = n ln 1 + 2  n + 1

 1 b) un = 1 + sin   n

n

c) un =

n

n +1

(n + 1)

n

.

Exosup - Suites numériques.doc

 1  1 1 1 a) ln 1 + 2 ∼ ∼ car 2 → 0 . Par suite un ∼ 1 → 1 .  n + 1 n 2 + 1 n 2 n +1 b) un = e

 1 n ln 1+sin   n

n +1 ln n −

c) un = e Or

(

  1 1 1 1 n ln 1 + sin  ∼ sin ∼ donc n ln 1 + sin  → 1 puis un → e .    n n n n  1 n ln(n +1) , n + 1 ln n − n ln(n + 1) = n + 1 − n ln n − n ln 1 +  .  n 

(

)

ln n

n + 1 − n ln n =

n +1 + n

=

ln n

)

∼

2 n +o( n )

ln n 2 n

 ln n   1 1 n ln 1 +  ∼ = o   donc  n    2 n  n

et

 ln n  + o   → 0 donc un → 1 .  2 n  2 n ln n

n + 1 ln n − n ln(n + 1) =

n

Exercice 36 Pour n ∈ ℕ , on pose un = 0!+ 1!+ 2!+ ⋯ + n ! = ∑ k ! . Montrer que un ~ n ! . k =0

n −2

un = n !+ (n −1)!+ ∑ k ! . k =0

n −2

∑k !

n −2 k ! n −2 (n − 2)! n −2 1 1 (n −1)! 1 = → 0 et 0 ≤ k =0 = ∑ ≤ ∑ =∑ ≤ → 0 donc n! n! n n! n k =0 n ! k =0 k = 0 n (n −1) n −2

un = n !+ (n −1)!+ ∑ k ! = n !+ o (n !) ∼ n ! . k =0

n

1

k =1

k 1

Exercice 37 On pose Sn = ∑

.

(

)

1 ≤ 2 n +1 − n ≤ . n +1 n b) Déterminer la limite de (Sn ) . a) Justifier que

c) On pose un = S n − 2 n . Montrer que (un ) converge. d) Donner un équivalent simple de (Sn ) . a) 2

(

)

n +1 − n = n

b) Sn ≥ ∑ 2 k =1

(

c) un +1 − un =

2 n +1 + n

donc

1 n +1

≤2

(

)

n +1 − n ≤

1 n

.

)

k + 1 − k = 2 n + 1 − 2 puis Sn → +∞ .

1 n +1

−2

(

)

n + 1 − n ≤ 0 donc (un ) est décroissante.

Or un = S n − 2 n ≥ 2 n + 1 − 2 − 2 n ≥ −2 donc (un ) est aussi minorée. Par suite (un ) converge. d) Sn = 2 n + un = 2 n + o ( n ) ∼ 2 n .

Exercice 38 Soit (un ), (vn ), (wn ), (tn ) des suites de réels strictement positifs tels que un ∼ vn et wn ∼ tn .

Montrer que un + wn ∼ vn + tn .

Supposons un ∼ vn et wn ∼ tn .

u − vn w −t un + w n (u − vn ) + (wn − tn ) u w −1 = n ≤ n + n n = n − 1 + n −1 → 0 . vn + tn v n + tn vn tn vn tn

Exosup - Suites numériques.doc

Exercice 39 Soit (un ) une suite décroissante de réels telle que un + un +1 ∼

1 . n

a) Montrer que (un ) converge vers 0+ . b) Donner un équivalent simple de (un ) . a) (un ) est décroissante donc admet une limite ℓ ∈ ℝ ∪ {−∞} .

1 → 0+ , on a ℓ + ℓ = 0 donc ℓ = 0 . n De plus, à partir d’un certain rang : 2un ≥ un + un +1 > 0 Puisque un + un +1 ∼

b) un +1 + un ≤ 2un ≤ un −1 + un avec un +1 + un ∼

1 1 1 1 1 et un −1 + un ∼ ∼ donc 2un ∼ puis un ∼ . n n −1 n n 2n

Etude de suites définies implicitement Exercice 40 Montrer que l’équation x ex = n possède pour tout n ∈ ℕ , une unique solution x n dans ℝ + .

Etudier la limite de (x n ) .

Soit f : ℝ + → ℝ définie par f (x ) = x ex .

f est dérivable et f ′(x ) = (x + 1)ex > 0 donc f est strictement croissante. f (0) = 0 et lim f = +∞ donc l’équation x ex = n possède une unique solution x n . +∞

x n = f −1 (n ) → +∞ .

Exercice 41 Soit n un entier naturel et En l’équation x + ln x = n d’inconnue x ∈ ℝ +∗ . a) Montrer que l’équation En possède une solution unique notée x n . b) Montrer que la suite (x n ) diverge vers +∞ . c) Donner un équivalent simple de la suite (x n ) . a) Le tableau de variation de f : x ֏ x + ln x permet d’affirmer que cette fonction réalise une bijection croissante de ℝ +∗ vers ℝ . L’équation En possède alors pour solution unique x n = f −1 (n ) . b) Le tableau de variation de f −1 donne lim f −1 = +∞ . Par suite x n → +∞ . +∞

c) x n → +∞ donne ln x n = o (x n ) . La relation x n + ln x n = n donne alors x n + o (x n ) = n et donc x n ∼ n .

Exercice 42 Soit n un entier naturel et En l’équation x + tan x = n d’inconnue x ∈ ]− π 2, π 2[ . a) Montrer que l’équation En possède une solution unique notée x n . b) Montrer que la suite (x n ) converge et déterminer sa limite. a) Le tableau de variation de f : x ֏ x + tan x permet d’affirmer que cette fonction réalise une bijection croissante de ]− π 2, π 2[ vers ℝ . L’équation En possède alors pour solution unique x n = f −1 (n ) . b) (1) Le tableau de variation de f −1 donne lim f −1 = +∞

π π . Par suite x n → .

2 2

(2) x n + tan x n = n donne x n = arctan(n − x n ) . Or n − x n → +∞ car (x n ) bornée donc x n →

π .

2

Exercice 43 Soit n un entier naturel non nul et En l’équation : x n ln x = 1 d’inconnue x ∈ ℝ +∗ . a) Montrer que l’équation En admet une unique solution x n , et que x n ≥ 1 . b) Montrer que la suite (x n ) est décroissante et converge vers 1.

Exosup - Suites numériques.doc

a) Le tableau de variation de fn : x ֏ x n ln x permet d’affirmer que l’équation fn (x ) = 1 possède une unique solution x n sur ℝ +∗ et que de plus x n ∈ [1, +∞[ . b) 1 = x nn++11 ln x n +1 = x n +1 fn (x n +1 ) donc fn (x n +1 ) =

1 ≤ 1 = fn (x n ) donc x n +1 ≤ x n car f est strictement x n +1

croissante sur [1,+∞[ .

La suite (x n ) est décroissante et minorée par 1 donc elle converge. Posons ℓ sa limite, on a ℓ ≥ 1 Si ℓ > 1 alors x nn ln x n ≥ ℓn ln ℓ → +∞ ce qui est absurde car x nn ln x n = 1 . Il reste ℓ = 1 .

Exercice 44 Soit n ∈ ℕ∗ et En : x n + x n −1 + ⋯ + x = 1 .

1  a) Montrer que l’équation En possède une unique solution x n dans ℝ + et que x n ∈  ,1  2  b) Montrer que (x n ) converge. c) Déterminer la limite de (x n ) . a) f : x ֏ x n + ⋯ + x est continue, strictement croissante, f (0) = 0 et lim f (x ) = +∞ . x →+∞

Par suite l’équation En possède une unique solution x n ∈ ℝ + .

f (1 2) =

1 1−1 2n < 1 et f (1) = n ≥ 1 .

2 1 −1 2

b) x nn +1 + ⋯ + x n2 + x n = x n (x nn + ⋯ + x n ) + x n = 2x n ≥ 1 donc x n +1 ≤ x n .

La suite (x n ) est décroissante et minorée, donc elle converge. c) Posons ℓ = lim x n . Puisque x 2 < 1 , x n ≤ x 2 donne à la limite ℓ < 1 .

1 = x nn + ⋯ + x n = x n

1− x nn ℓ donne à la limite 1 = car 0 ≤ x nn ≤ ℓn → 0 et finalement ℓ = 1 2 .

1− x n 1− ℓ

Expression du terme général d’une suite récurrente Exercice 45 Donner l’expression du terme général et la limite de la suite récurrente réelle (un )n ≥0 définie par : a) u 0 = 0 et ∀n ∈ ℕ, un +1 = 2un + 1 b) u 0 = 0 et ∀n ∈ ℕ, un +1 =

un + 1 .

2

a) Posons vn = un + 1 . (vn ) est géométrique de raison 2 et v 0 = 1 donc un = 2n −1 → +∞ . b) Posons vn = un −1 . (vn ) est géométrique de raison 1 2 et v 0 = −1 donc un = 1−

1 →1 .

2n

x n − yn x + yn et yn +1 = n .

2 2 En introduisant la suite complexe de terme général z n = x n + i.yn , montrer que les suites (x n ) et (yn ) convergent et déterminer leurs limites.

Exercice 46 Soit (x n ) et (yn ) deux suites réelles telles que ∀n ∈ ℕ, x n +1 =

1 + i  1+ i 1+ i z n donc z n =  z . Or < 1 donc z n → 0 puis x n , yn → 0 .  2  0 2 2 n

On a z n +1 =

1 Exercice 47 Soit (z n ) une suite complexe telle que ∀n ∈ ℕ, z n +1 = (z n + 2z n ) .

3 Montrer que (z n ) converge et exprimer sa limite en fonction de z 0 .

Exosup - Suites numériques.doc

Introduisons x n = Re(z n ) et yn = Im(z n ) . On a x n +1 = x n et yn +1 = −

yn .

3

x n → x 0 et yn → 0 donc z n → Re(z 0 ) .

Exercice 48 Soit (un ) et (vn ) les suites déterminées par u 0 = 1 , v 0 = 2 et pour tout n ∈ ℕ :

un +1 = 3un + 2vn et vn +1 = 2un + 3vn . a) Montrer que la suite (un − vn ) est constante. b) Prouver que (un ) est une suite arithmético-géométrique. c) Exprimer les termes généraux des suites (un ) et (vn ) . a) un +1 − vn +1 = un − vn et u 0 − v 0 = −1 donc (un − vn ) est constante égale à −1 . b) vn = un + 1 donc un +1 = 5un + 2 . La suite (un ) est arithmético-géométrique. c) un +1 −a = 5(un −a ) + 4a + 2 . Pour a = −1 2 , (un −a ) est géométrique de raison 5 et de premier terme

3 2 . Ainsi un =

3.5n −1 3.5n + 1 et vn = .

2 2

Exercice 49 Soit ρ > 0 et θ ∈ ]0, π[ .

On considère la suite complexe (z n ) définie par z 0 = ρ eiθ et ∀n ∈ ℕ, z n +1 =

zn + z n 2

.

a) Exprimer z n sous forme d’un produit. b) Déterminer lim z n . n →+∞

θ

a) z1 = ρ i

b) e

n 1 +eiθ θ iθ θ θ iθ θ in = ρ cos e 2 , z 2 = ρ cos cos e 4 ,..., z n = ρ∏ cos k e 2 .

2 2 2 4 2 k =1

θ

2n

→ 1,

n

θ

∏ cos 2 k =1

k

=

sin θ θ 2n sin n 2

∼

sin θ sin θ donc z n → ρ . θ θ

Suites récurrentes linéaire d’ordre 2 Exercice 50 Donner l’expression du terme général de la suite récurrente complexe (un )n ≥0 définie par :

u 0 = 0, u1 = 1 + 4i et ∀n ∈ ℕ, un + 2 = (3 − 2i )un +1 − (5 − 5i )un . un = (2 + i )n − (1− 3i )n Exercice 51 Donner l’expression du terme général des suites récurrentes réelles suivantes : a) (un )n ≥0 définie par u 0 = 1, u1 = 0 et ∀n ∈ ℕ, un + 2 = 4un +1 − 4un b) (un )n ≥0 définie par u 0 = 1, u1 = −1 et ∀n ∈ ℕ, 2un + 2 = 3un +1 − un c) (un )n ≥0 définie par u 0 = 1, u1 = 2 et ∀n ∈ ℕ, un + 2 = un +1 − un . a) un = 2n (1− n ) b) un = −3 + 22−n c) un = 2 cos

(n −1)π .

3

Exercice 52 Soit θ ∈ ℝ . Déterminer le terme général de la suite réelle (un ) définie par :

u 0 = u1 = 1 et ∀n ∈ ℕ, un + 2 + 2cos θun +1 + un = 0 . (un ) est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique : r 2 + 2 cos θr + 1 = 0 de solutions r =eiθ et r =e−iθ . Par suite il existe α, β ∈ ℝ tels que ∀n ∈ ℕ, un = α cos n θ + β sin n θ .

Exosup - Suites numériques.doc

n = 0 donne α = 1 et n = 1 donne α cos θ + β sin θ = 1 donc β =

1− cos θ 2sin 2 θ 2 θ = = tan . sin θ sin θ 2

θ Finalement ∀n ∈ ℕ, un = cos n θ + tan sin n θ .

2

Etude de suites récurrentes Exercice 53 Soit a ∈ ℝ +∗ . On définit une suite (un ) par u 0 = a et ∀n ∈ ℕ, un +1 =

n

∑u

k

.

k =0

a) Déterminer la limite de (un ) . b) Déterminer la limite de un +1 − un . a) Pour n ≥ 1 : un +1 − un =

n

∑u k =0

k

−

n −1

∑u

k

un

=

n

∑u

k =0

k =0

k

+

≥ 0 donc (un )n ≥1 est croissante.

n −1

∑u

k

k =0

Supposons un → ℓ ∈ ℝ . On a ℓ ≥ u1 = a > 0 En passant la relation précédente à la limite : 0 =

ℓ 1 = . C’est absurde. ℓ+ℓ 2

Par suite un → +∞ . b) un +1 − un =

u un 1 1 1 donc n +1 −1 = → 0 . Par suite un +1 ∼ un et un +1 − un = → . un +1 + un un un +1 + un un +1 un + 1 2

Exercice 54 On considère la suite (un ) définie pour n ≥ 1 par un = n + (n −1) + ⋯ + 2 + 1 . a) Montrer que (un ) diverge vers +∞ . b) Exprimer un +1 en fonction de un . c) Montrer que un ≤ n puis que un ≤ n + 2 n −1 . d) Donner un équivalent simple de (un ) . e) Déterminer lim un − n . n →+∞

a) un ≥ n → +∞ . b) un +1 = (n + 1) + un . c) Montrons par récurrence sur n ≥ 1 que un ≤ 2 n .

Pour n = 1 : ok Supposons la propriété établie au rang n ≥ 1 .

un +1 = (n + 1) + un ≤ (n + 1) + n ≤ n + 1 .

HR

Récurrence établie.

un = n + un −1 ≤ 2n puis un = n + un −1 ≤ n + 2 n −1 . d) 1 ≤

un n

≤ 1+

e) un − n =

2 n −1 → 1 donc un ∼ n . n

un −1 un + n

or un −1 ∼ n −1 ∼ n et un + n = n + o ( n ) + n ∼ 2 n donc un − n →

Exercice 55 Etudier la suite (un ) définie par u 0 = 1 et ∀n ∈ ℕ, un +1 = 1 + un .

1 .

2

Exosup - Suites numériques.doc

Pour tout n ≥ 1 : un +1 − un =

un − un −1 1 + un + 1 + un −1

. u1 − u 0 = 2 − 1 ≥ 0 donc (un ) est croissante.

Si (un ) converge vers ℓ alors un +1 = 1 + un donne à la limite ℓ = 1 + ℓ donc ℓ 2 − ℓ −1 = 0 et ℓ ≥ 0 .

1+ 5 =α.

2 Par récurrence on montre aisément que ∀n ∈ ℕ, un ≤ α et par suite (un ) converge vers α .

Par suite ℓ =

Exercice 56 Etudier la suite (un ) définie par u 0 = a ∈ ℝ et ∀n ∈ ℕ , un +1 = un2 . n

On a u 0 = a , u1 = a 2 , u 2 = a 4 , par récurrence un = a 2 .

Pour a < 1 alors un → 0 , pour a = 1 , un → 1 et pour a > 1 , un → +∞ .

Exercice 57 Etudier la suite (un ) définie par u 0 ∈ ℝ et ∀n ∈ ℕ, un +1 = un2 + 1 .

La suite (un ) est bien définie et supérieure à 1 à partir du rang 1 car la fonction itératrice f : x ֏ x 2 + 1 est définie sur ℝ et à valeurs dans [1,+∞[ .

un +1 − un = un2 − un + 1 ≥ 0 car le discriminant de x 2 − x + 1 est ∆ = −3 < 0 .

La suite (un ) est croissante.

Si celle-ci converge vers un réel ℓ alors en passant à la limite la relation d’itération : ℓ = ℓ 2 + 1 .

Or cette équation ne possède pas de racines réelles. Par suite (un ) diverge, or elle est croissante, donc (un ) diverge vers +∞ .

Exercice 58 Etudier la suite (un ) définie par u 0 ≥ 1 et ∀n ∈ ℕ, un +1 = 1 + ln un .

La suite (un ) est bien définie et à valeurs strictement supérieure à 1 car sa fonction itératrice f : x ֏ 1 + ln x est définie sur [1,+∞[ à valeurs dans [1,+∞[ .

Pour n ≥ 1 : un +1 − un = ln(un ) − ln(un −1 ) est du signe de un − un −1 .

La suite (un ) est monotone et de monotonie déterminée par le signe de u1 − u 0 = 1 + ln u 0 − u 0 .

Etudions la fonction g (x ) = x ֏ 1 + ln x − x définie sur [1,+∞[ .

g est dérivable, g ′(x ) =

1 −1 ≤ 0 ne s’annulant quand 1, g (1) = 0 donc g est strictement négative sur x

]1,+∞[ .

La suite (un ) est décroissante. De plus elle est minorée par 1, donc elle converge vers un réel ℓ ≥ 1 .

En passant la relation d’itération à la limite, on obtient ℓ = 1 + ln ℓ i.e. g (ℓ ) = 0 .

Par l’étude de la fonction g , on conclut ℓ = 1 .

Finalement (un ) converge vers 1.

Exercice 59 Etudier la suite (un ) définie par u 0 ∈ ℝ et ∀n ∈ ℕ, un +1 = eun −1 .

La suite (un ) est bien définie car sa fonction itératrice f : x ֏ ex −1 est définie sur ℝ .

Pour n ≥ 1 , un +1 − un = eun − eun−1 est du signe de un − un −1 .

La suite (un ) est monotone et de monotonie déterminée par le signe de u1 − u 0 = eu0 − u 0 −1 .

Etudions la fonction g (x ) = ex − x −1 définie sur ℝ .

g est dérivable et g ′(x ) = ex −1 du signe de x . g (0) = 0 donc g est du signe de x .

Si u 0 = 0 alors (un ) est constante égale à 1.

Si u 0 > 0 alors (un ) est croissante. Si (un ) converge vers un réel ℓ alors ℓ = e ℓ −1 donc ℓ = 0 .

Exosup - Suites numériques.doc Or (un ) est minorée par u 0 > 0 donc ne peut converger vers 0. Par suite (un ) diverge vers +∞ .

Si u 0 < 0 alors (un ) est décroissante et par un raisonnement semblable, (un ) diverge vers −∞ .

Exercice 60 Etudier la suite (un ) définie par u 0 > 0 et ∀n ∈ ℕ, un +1 =

1 .

2 + un

La suite (un ) est bien définie et strictement positive car de fonction itératrice f : x ֏ à valeurs dans ℝ +∗ . Si la suite (un ) converge, sa limite ℓ vérifie ℓ =

un +1 − ℓ =

1 définie sur ℝ +∗ et 2 +x

1 et ℓ ≥ 0 donc ℓ = −1 + 2 .

2+ℓ

un − ℓ 1 1 1 − = ≤ un − ℓ .

2 + un 2 + ℓ (2 + un )(2 + ℓ ) 4

Par récurrence, on montre un − ℓ =

1 u0 − ℓ et on conclut un → ℓ .

4n

Exercice 61 Soit (un ) la suite réelle définie par u 0 = a ∈ [−2, 2] et ∀n ∈ ℕ, un +1 = 2 − un a) Justifier que la suite (un ) est bien définie et ∀n ∈ ℕ, un ∈ [−2, 2] . b) Quelles sont les limites finies possibles pour (un ) ? c) Montrer que ( un −1 ) converge puis que lim un −1 = 0 . En déduire lim un . a) L’application x ֏ 2 − x est définie de [−2, 2] vers [0, 2] ⊂ [−2, 2] . b) Supposons un → ℓ . Puisque ∀n ≥ 1, un ∈ [0, 2] , à la limite ℓ ∈ [0, 2] .

La relation un +1 = 2 − un donne à la limite ℓ = 2 − ℓ donc ℓ 2 + ℓ − 2 = 0 d’où ℓ = 1 ou ℓ = −2 .

Or ℓ ≥ 0 donc ℓ = 1 . un − 1 c) un +1 −1 = ≤ un −1 donc ( un −1 ) est décroissante et par suite converge vers α ≥ 0 .

1 + 2 − un Si α > 0 alors 1 + 2 − un =

un +1 −1 un − 1

→ 1 donc

2 − un → 0 puis un → 2 . C’est impossible.

Nécessairement un −1 → 0 et donc un → 1 .

Exercice 62 Soit a ∈ ℂ tel que 0 < a < 1 et (un ) la suite définie par ∀n ∈ ℕ, un +1 =

un .

2 − un

Montrer que (un ) est bien définie et un < 1 . Etudier la limite de (un ) .

Par récurrence montrons un existe et un < 1 .

Pour n = 0 : ok Supposons la propriété établie au rang n ≥ 0 .

Par HR, un existe et un < 1 donc 2 − un ≠ 0 d’où un +1 =

un un un existe et un +1 ≤ ≤ <1.

2 − un 2 − un 2 − un

Récurrence établie. un u un +1 ≤ ≤ un donc ( un ) est décroissante d’où un ≤ a puis un +1 ≤ n puis 2 − un 2− a

 1 un ≤   2 − a

  a → 0 . Par suite un → 0 .  n

Exosup - Suites numériques.doc

Exercice 63 Déterminer le terme général de la suite (un ) définie par :

u 0 = a > 0, u1 = b > 0 et ∀n ∈ ℕ, un + 2un = un2+1 .

A quelle condition (un ) converge ?

Par récurrence, on montre que un existe et un > 0 .

Posons vn = ln(un ) . On a vn + 2 − 2vn +1 + vn = 0 .

(vn ) est une suite récurrente linéaire d’ordre d’équation caractéristique (r −1) 2 = 0 . ∃λ, µ ∈ ℝ , vn = λn + µ . v 0 = ln a et v1 = ln b donc λ = ln b n ln + ln a a

Par suite : un =evn =e

b et µ = lna . a

b  = a   . La suite (un ) converge ssi b ≤ a . a  n

1 a  Exercice 64 Soit a > 0 et (un ) la suite définie par u 0 > 0 et ∀n ∈ ℕ, un +1 = un +  . un  2  a) Etudier la convergence de la suite (un ) . b) On pose ∀n ∈ ℕ, vn =

un − a un + a

. Calculer vn +1 en fonction de vn , puis vn en fonction de v 0 et

n. n

c) Montrer que, si u 0 > a , on a un − a ≤ 2u 0 .v 02 .

Ainsi, un réalise une approximation de

n

a à la précision 2u 0 .v 02 → 0 . n∞

On peut alors par des calculs élémentaires, déterminer une approximation de Cette méthode était exploitée par les Babyloniens 3000 ans avant notre ère.

a.

La suite (un ) est bien définie et à valeurs dans  a , +∞  à partir du rang 1 car de fonction itératrice   1 a f : x ֏ x +  définie sur ℝ +∗ et à valeurs dans  a , +∞  .   2  x

1 a Si (un ) converge vers un réel ℓ alors ℓ =  ℓ +  et ℓ ≥ 0 donc ℓ = a .   2 ℓ

(

un − a 1 a un +1 − a = un + − a = 2 un 2 un Pour n ≥ 1 ,

un − a un

=

)

2

=

un − a un − a 2

(un )

.

un − a 1 ≤ 1 donc un +1 − a ≤ un − a . un 2

Par récurrence : un − a ≤

1 n −1

2

u1 − a donc un → a .

 u − a  n  = vn2 donc vn = v 02 . = 2 =  n b) vn +1 =  un +1 + a un + 2 aun + a  un + a  un +1 − a

2

un2 − 2 aun + a

n

c) un − a ≤ vn un + a ≤ 2u 0vn = 2u0v 02 .

Exercice 65 On considère l’équation ln x + x = 0 d’inconnue x > 0 . a) Montrer que l’équation possède une unique solution α . b) Former, par l’algorithme de Newton, une suite récurrente réelle (un ) convergeant vers α . a) f : x ֏ ln x + x réalise une bijection strictement croissante de ℝ +∗ vers ℝ .

L’équation proposée possède une unique solution α = f −1 (0) . b) L’algorithme de Newton, propose de définir la suite (un ) par la relation :

Exosup - Suites numériques.doc

un +1 = un −

f (un ) ln un + un un (1− ln un ) = un − = . f ′(un ) un + 1 1 un + 1

1 1 + 1 et f ′′(x ) = − 2 ne s’annulent pas. x x Pour u 0 > 0 tel que f (u 0 ) f ′′(u 0 ) ≥ 0 , la suite converge vers α .

La fonction f est de classe C 2 , f ′(x ) =

david Delaunay http://mpsiddl.free.fr