Eléments d'analyse

Eléments d’analyse I. Borne supérieure, borne inférieure 1°) Définition Déf : Si elle existe, on appelle borne supérieure d’une partie A de ℝ le plus petit des majorants de A , on la note supA . On appelle borne inférieure de A le plus grand des minorants de A , on la note inf A .

Théorème : Si A est une partie de ℝ non vide et majorée alors supA existe dans ℝ .

Si A est une partie de ℝ non vide et minorée alors inf A existe dans ℝ .

2°) Propriétés calculatoires Prop : Soit A, B des parties de ℝ non vides et majorées (resp. minorées) Si A ⊂ B alors sup A ≤ sup B (resp. inf B ≤ inf A ) Prop : Soit A une partie de ℝ non vide et majorée et λ ∈ ℝ + .

En notant λA = {λa / a ∈ A} , on a sup λA = λ sup A .

Prop : Soit A et B des parties de ℝ non vides et majorées.

En notant A + B = {a + b / a ∈ A,b ∈ B } , on a sup(A + B ) = sup A + sup B .

3°) Extension à ℝ .

Déf : Soit A une partie de ℝ non vide.

Si A n’est pas majorée alors on pose sup A = +∞ .

Si A n’est pas minorée alors on pose inf A = −∞ .

Déf : Si A = ∅ , on pose sup A = −∞ et inf A = +∞ .

Théorème : Si A est une partie non vide de ℝ alors il existe deux suites (an ) et (bn ) d’éléments de A telle que

an → inf A et bn → sup A .

4°) Extension aux applications à valeurs réelles Déf : Pour f : D → ℝ , on pose sup f = sup f (x ) := sup {f (x ) / x ∈ D } . x ∈D

Prop : Soit f , g : D → ℝ . Si f ≤ g alors sup f ≤ sup g .

D

D

Prop : Soit f : D → ℝ et λ ≥ 0 . On a sup λ f = λ sup f .

D

D

Prop : Soit f , g : D → ℝ . On a sup( f + g ) ≤ sup f + sup g .

D

D

D

II. Limite 1°) Définitions quantifiées Déf : Soit f : I → ℝ et a un élément de I ou une extrémité éventuellement infinie de I .

Cas a ∈ ℝ : f (x )  → ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I , x −a ≤ α ⇒ f (x ) − ℓ ≤ ε , x →a

f (x )  →+∞ ⇔ ∀M ∈ ℝ, ∃α > 0, ∀x ∈ I , x −a ≤ α ⇒ f (x ) ≥ M , x →a Cas a = +∞ : f (x )  → ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃A ∈ ℝ, ∀x ∈ I , x ≥ A ⇒ f (x ) − ℓ ≤ ε , x →+∞

f (x )  →+∞ ⇔ ∀M ∈ ℝ , ∃A ∈ ℝ , ∀x ∈ I , x ≥ A ⇒ f (x ) ≥ M . x →+∞ Théorème : Toute fonction monotone sur ]a ,b[ admet des limites en a + et b − qui sont inf f et sup f .

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Déf : Le concept de limite fini s’étend aux fonctions à valeurs complexes.

2°) Comparaison de fonctions a) domination

f =O (g ) := f g borné au voisinage de a . a

b) négligeabilité f =o (g ) := f g → 0 . On note encore f ≪ g . a

a

a

1 1 1 ≪ ≪ ≪ 1 ≪ ln x ≪ x ≪ x ≪ x 2 ≪ ex . x2 x ln x 1 1 1 1 Quand x → 0 : x 2 ≪ x ≪ x ≪ ≪ 1 ≪ ln x ≪ ≪ ≪ 2. ln x x x x Quand x → +∞ : e−x ≪

c) équivalents f ∼ g := f = g + o (g ) , f et g ont alors même limite en a et même signe au voisinage de a . a

a

Prop : Soit f , g fonctions réelles strictement positives.

Si f ∼ g → ℓ ≠ 1 alors ln f ∼ ln g . a

a

3°) Développements limités Déf : Développement limité de f en a : f (x ) = a 0 + a1 (x −a ) + a 2 (x −a ) 2 + ⋯ + an (x −a )n + o ((x −a )n ) au voisinage de a . Il y a unicité des coefficients.

4°) Développement asymptotiques Déf : Développement asymptotique de f en a : f (x ) = a 0g 0 (x ) + a1g1 (x ) + ⋯ + an gn (x ) + o (gn (x )) au voisinage de a avec g 0 ,…, g n des fonctions « simples » telles que g n ≪ gn −1 ≪ ⋯≪ g 0 .

III. Continuité Soit I un intervalle. K = ℝ ou ℂ 1°) Définition Déf : Une fonction f : I → K est dite continue en a ∈ I ssi f (x )  → f (a ) . x →a Une fonction f : I → K est dite continue ssi elle l’est en tout a ∈ I .

Prop : Soit f : I → K .

Si pour tout [a ,b ] ⊂ I , f↾[a ,b ] est continue alors f est continue.

2°) Théorèmes de continuité Théorème : L’image d’un intervalle par une fonction continue réelle est un intervalle.

Théorème : Toute fonction réelle continue sur un segment [a ,b ] admet un minimum et un maximum. On dit qu’elle est bornée et qu’elle atteint ses bornes.

3°) Théorème de la bijection continue Théorème : Soit f : I → ℝ continue et strictement monotone. f réalise une bijection de I vers un intervalle J dont les extrémités sont les limites de f aux extrémités de I . De plus f −1 : J → I est continue et de même stricte monotonie que f .

IV. Dérivation I et J désignent des intervalles non singuliers (contenant au moins deux points).

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1°) Nombre dérivé Déf : Une fonction f : I → K est dite dérivable en a ∈ I ssi

1 ( f (a + h ) − f (a )) admet une limite finie notée h

f ′(a ) quand h → 0 .

Prop : f admet un DL1 (a ) ssi f est dérivable en a .

De plus ce DL1 (a ) est alors f (x ) = f (a ) + f ′(a )(x −a ) + o (x −a ) .

Prop : Soit f : I → K continue et dérivable sur I \ {a } .

Si f ′(x )  → ℓ ∈ K alors f est dérivable en a et f ′(a ) = ℓ ( f ′ est alors continue en a ). x →a

Prop : Si f : I → ℝ admet un extremum en a point intérieur à I et si f y est dérivable alors f ′(a ) = 0 .

2°) Théorème des accroissements finis Théorème : Soit a < b ∈ ℝ et f : [a ,b ] → ℝ continue sur [a ,b ] et dérivable sur ]a ,b[ .

Si f (a ) = f (b ) alors ∃c ∈ ]a ,b[ , f ′(c ) = 0 .

Théorème : Soit a < b ∈ ℝ et f : [a ,b ] → ℝ continue sur [a ,b ] et dérivable sur ]a ,b[ .

Il existe c ∈ ]a ,b[ tel que f (b ) − f (a ) = f ′(c )(b −a ) .

Cor : Soit f : I → K dérivable.

∀x ∈ I , f ′(x ) ≤ M ⇔ f est M lipschitzienne.

3°) Difféomorphisme Théorème : Soit ϕ : I → J une bijection continue et a ∈ I . Si ϕ est dérivable en a et ϕ ′(a ) ≠ 0 alors ϕ −1 est 1 dérivable en b = ϕ (a ) et (ϕ−1 )′ (b ) = . ′ ϕ (a ) Déf : Pour k ∈ ℕ∗ ∪ {∞} , on appelle C k -difféomorphisme de I vers J toute application ϕ : I → J bijective telle que ϕ et ϕ −1 soient de classe C k .

Prop : L’application réciproque d’un C k -difféomorphisme est un C k -difféomorphisme.

Prop : La composée de deux C k -difféomorphismes est un C k -difféomorphisme.

Théorème : Soit k ∈ ℕ∗ ∪ {∞} et ϕ : I → ℝ une fonction de classe C k .

On a équivalence entre : (i) ϕ réalise un C k difféomorphisme de I vers J = ϕ (I ) (ii) ϕ ′ ne s’annule pas.

4°) Convexité Déf :

f : I → ℝ est convexe ssi ∀a ,b ∈ I , ∀λ ∈ [ 0,1], f (λa + (1− λ )b ) ≤ λ f (a ) + (1− λ ) f (b ) .

Prop : f : I → ℝ dérivable est convexe ssi f ′ est croissante.

V. Intégration I désigne un intervalle non singulier de ℝ .

1°) Intégrale Déf : Une fonction f : [a ,b ] → K est dite continue par morceaux ssi il existe a 0 = a < a1 < ⋯ < an = b tel que pour tout i ∈ {1,…, n } , f est continue sur ]ai−1 ,ai [ et admet des limites finies en ai+−1 et ai− .

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Une fonction f : I → K est dite continue par morceaux ssi elle l’est sur tout segment [a ,b ] inclus dans I.

Déf :

∫

b

a

f (t )dt est définie pour f : I → K continue par morceaux et a ,b ∈ I .

2°) Primitive Théorème : Soit f : I → K continue et a ∈ I . Il existe une unique primitive à la fonction f s’annulant en a , c’est x

x ֏ ∫ f (t )dt . a

Cor : Soit a < b et f : [a ,b ] → ℝ continue.

Si

∫

b

a

f (t )dt = 0 alors f s’annule.

Si f ≥ 0 et

∫

b

a

f (t )dt = 0 alors f = 0 .

3°) Somme de Riemann Théorème : Soit f : [a ,b ] → K continue par morceaux. On a

b 1 n  b −a  f a + k  → ∫ f (t )dt . ∑  a n k =1  n 

4°) Formules de Taylor Théorème : (Taylor-Young) Soit f : I → K et a ∈ I . n

Si f est de classe C n alors f admet un DLn (a ) : f (x ) = ∑ k =0

f (k ) (a ) (x −a )k + o ((x −a )n ) .. k!

Théorème : (Taylor-Laplace) Soit f : I → K et a ∈ I . n

Si f est de classe C n+1 alors pour tout x ∈ I : f (x ) = ∑ k =0

x (x − t )n f (k ) (a ) (x −a )k + ∫ f (n +1) (t )dt . a k! n!

Théorème : (Taylor-Lagrange) Soit f : I → K de classe C n+1 . On suppose que ∃M ∈ ℝ, ∀x ∈ I , f (n +1) (x ) ≤ M . n

Pour tout x ,a ∈ I : f (x ) − ∑ k =0

n +1

M x −a f (k ) (a ) (x −a )k ≤ k! (n + 1)!

.

VI. Suites numériques 1°) Limites Déf : Soit (un ) une suite réelle ou complexe : un → ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ, ∀n ≥ N , un − ℓ ≤ ε .

Déf : Soit (un ) une suite réelle : un → +∞ ⇔ ∀M ∈ ℝ , ∃N ∈ ℕ, ∀n ≥ N , un ≥ M .

Théorème : Si (un ) est une suite réelle croissante alors (un ) admet une limite qui est sup(un ) .

Théorème :

(Césaro)

Si (un ) est une suite numérique convergeant vers ℓ alors vn =

u1 + ⋯ + un →ℓ. n

2°) Critère de Cauchy Déf : On dit qu’une suite (un ) satisfait le critère de Cauchy ssi ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ, ∀m , n ≥ N , um − un ≤ ε .

Prop : Si (un ) est de Cauchy alors (un ) est bornée.

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Théorème : Soit (un ) une suite réelle ou complexe. On a équivalence entre : (i) (un ) est convergente, (ii) (un ) est de Cauchy.

3°) Développement asymptotique Déf : Un développement asymptotique d’une suite est la décomposition de son terme général en somme de termes simples ordonné en négligeabilité croissante.

4°) Accélération de convergence (non fait) Déf : On dit qu’une suite (vn ) converge plus vite vers ℓ qu’une suite (un ) ssi

vn − ℓ →0. un − ℓ

Théorème : u −ℓ un un +2 − un2+1 Si n +1 → α ∈ [−1,1[ alors (vn ) définie par vn = tend plus vite vers ℓ que la suite un − ℓ un +2 − 2un +1 + un

(un ) .

VII. Suites récurrentes 1°) Vocabulaire Soit D une partie non vide de K et f : D → K .

Déf : On appelle suite récurrente d’ordre 1 de fonction itératrice f toute suite (un ) ∈ D ℕ vérifiant

∀n ∈ ℕ, un +1 = f (un ) .

Théorème : Si f (D ) ⊂ D (i.e. ∀x ∈ D , f (x ) ∈ D ) alors pour tout a ∈ D il existe une unique suite (un ) ∈ D ℕ telle

u 0 = a que  .  ∀n ∈ ℕ, un +1 = f (un ) 2°) Outils d’étude Pour étudier (un ) donnée par un +1 = f (un ) : 1) On précise et on étudie la fonction itératrice f (domaine de définition, tableau de variation,…)

2) On justifie l’existence de (un ) et on localise le terme général un 3) On détermine les limites finies possibles en passant la relation de récurrence un +1 = f (un ) à la limite 4) On exploite l’un des outils qui suivent :

Prop : Si un +1 − ℓ ≤ ρ un − ℓ avec ρ ∈ [0,1[ alors un → ℓ .

2

Prop : Si un +1 − ℓ ≤ k un − ℓ alors un → ℓ si u 0 est assez proche de ℓ .

Prop : Si la fonction itératrice f est croissante : α ) Si f (u 0 ) − u 0 ≥ 0 alors (un ) est croissante.

β ) Si f (u 0 ) − u 0 ≤ 0 alors (un ) est décroissante. γ ) Si u 0 ≤ α avec α point fixe de f alors (un ) est majorée par α .

δ ) Si u 0 ≥ α avec α point fixe de f alors (un ) est minorée par α .

3°) Théorème du point fixe Théorème : Soit f : [a ,b ] → [a ,b ] de classe C 1 telle que ∀x ∈ [a ,b ], f ′(x ) < 1 .

f admet un unique point fixe α et toute suite récurrente (un ) ∈ [a ,b ] de fonction itératrice f converge ℕ

vers α .

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