Eléments d'analyse

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Eléments d’analyse I. Borne supérieure, borne inférieure 1°) Définition Déf : Si elle existe, on appelle borne supérieure d’une partie A de ℝ le plus petit des majorants de A , on la note supA . On appelle borne inférieure de A le plus grand des minorants de A , on la note inf A . Théorème : Si A est une partie de ℝ non vide et majorée alors supA existe dans ℝ . Si A est une partie de ℝ non vide et minorée alors inf A existe dans ℝ . 2°) Propriétés calculatoires Prop : Soit A, B des parties de ℝ non vides et majorées (resp. minorées) Si A ⊂ B alors sup A ≤ sup B (resp. inf B ≤ inf A ) Prop : Soit A une partie de ℝ non vide et majorée et λ ∈ ℝ + . En notant λA = {λa / a ∈ A} , on a sup λA = λ sup A . Prop : Soit A et B des parties de ℝ non vides et majorées. En notant A + B = {a + b / a ∈ A,b ∈ B } , on a sup(A + B ) = sup A + sup B . 3°) Extension à ℝ . Déf : Soit A une partie de ℝ non vide. Si A n’est pas majorée alors on pose sup A = +∞ . Si A n’est pas minorée alors on pose inf A = −∞ . Déf : Si A = ∅ , on pose sup A = −∞ et inf A = +∞ . Théorème : Si A est une partie non vide de ℝ alors il existe deux suites (an ) et (bn ) d’éléments de A telle que

an → inf A et bn → sup A . 4°) Extension aux applications à valeurs réelles Déf : Pour f : D → ℝ , on pose sup f = sup f (x ) := sup {f (x ) / x ∈ D } . x ∈D

Prop : Soit f , g : D → ℝ . Si f ≤ g alors sup f ≤ sup g . D

D

Prop : Soit f : D → ℝ et λ ≥ 0 . On a sup λ f = λ sup f . D

D

Prop : Soit f , g : D → ℝ . On a sup( f + g ) ≤ sup f + sup g . D

D

D

II. Limite 1°) Définitions quantifiées Déf : Soit f : I → ℝ et a un élément de I ou une extrémité éventuellement infinie de I . Cas a ∈ ℝ : f (x )  → ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I , x −a ≤ α ⇒ f (x ) − ℓ ≤ ε , x →a

f (x )  →+∞ ⇔ ∀M ∈ ℝ, ∃α > 0, ∀x ∈ I , x −a ≤ α ⇒ f (x ) ≥ M , x →a Cas a = +∞ : f (x )  → ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃A ∈ ℝ, ∀x ∈ I , x ≥ A ⇒ f (x ) − ℓ ≤ ε , x →+∞

f (x )  →+∞ ⇔ ∀M ∈ ℝ , ∃A ∈ ℝ , ∀x ∈ I , x ≥ A ⇒ f (x ) ≥ M . x →+∞ Théorème : Toute fonction monotone sur ]a ,b[ admet des limites en a + et b − qui sont inf f et sup f . -1/5-


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Eléments d'analyse by Ech-charafi adil - Issuu