Nombres entiers Exercice 1
Soit P = {2k | k ∈ ℤ} et I = {2k + 1| k ∈ ℤ} les ensembles formés respectivement des entiers pairs et impairs. Montrer que P ∩ I = ∅ .
Exercice 2
Montrer qu’il n’existe pas de suite strictement décroissante d’entiers naturels.
Principe de récurrence Exercice 3
Exercice 4
1 Soit (un ) une suite réelle telles que u 0 = 1 et ∀n ∈ ℕ, un +1 = 1 + u . n + 1 n Donner l’expression du terme général un de cette suite. Soit (un ) la suite réelle déterminée par u 0 = 2, u1 = 3 et ∀n ∈ ℕ, un + 2 = 3un +1 − 2un . Montrer que ∀n ∈ ℕ, un = 2n + 1 .
1 1 3n +⋯+ 2 > . 22 n 2n + 1
Exercice 5
Montrer que ∀n ∈ ℕ \ {0,1} ,1 +
Exercice 6
Montrer que ∀n ∈ ℕ ∗ ,1!3!… (2n + 1)! ≥ ((n + 1)!)n +1 .
Exercice 7
Le raisonnement suivant est erroné : « Montrons, par récurrence sur n ∈ ℕ∗ , la propriété : P (n ) = « n points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés »: Pour n = 1 et n = 2 , la propriété est vraie. Supposons la propriété établie au rang n ≥ 2 . Considérons alors n + 1 points deux à deux distincts A1 , A2 , …, An , An +1 . (HR) Les points A1 , A2 , …, An sont alignés sur une droite D . (HR) Les points A2 ,…, An , An +1 sont alignés sur une droite D ′ . Or D et D ′ contiennent les deux points distincts A2 et An , donc D = D ′ . Par suite A1 , A2 , …, An , An +1 sont alignés sur la droite D = D ′ . Récurrence établie. » Où est l’erreur ?
Exercice 8
On se propose d’établir ∀n ∈ ℕ∗ , ∃(p ,q ) ∈ ℕ 2 tel que n = 2p (2q + 1) en procédant de deux manières : a) 1ère méthode : Pour n ∈ ℕ∗ fixé, on pose A = {m ∈ ℕ / 2m | n } . Montrer que A admet un plus grand élément p et que pour celui-ci on peut écrire n = 2p (2q + 1) avec q ∈ ℕ . b) 2ème méthode : Procéder par récurrence forte sur n ∈ ℕ∗