Nombres entiers Exercice 1
Soit P = {2k | k ∈ ℤ} et I = {2k + 1| k ∈ ℤ} les ensembles formés respectivement des entiers pairs et impairs. Montrer que P ∩ I = ∅ .
Exercice 2
Montrer qu’il n’existe pas de suite strictement décroissante d’entiers naturels.
Principe de récurrence Exercice 3
Exercice 4
1 Soit (un ) une suite réelle telles que u 0 = 1 et ∀n ∈ ℕ, un +1 = 1 + u . n + 1 n Donner l’expression du terme général un de cette suite. Soit (un ) la suite réelle déterminée par u 0 = 2, u1 = 3 et ∀n ∈ ℕ, un + 2 = 3un +1 − 2un . Montrer que ∀n ∈ ℕ, un = 2n + 1 .
1 1 3n +⋯+ 2 > . 22 n 2n + 1
Exercice 5
Montrer que ∀n ∈ ℕ \ {0,1} ,1 +
Exercice 6
Montrer que ∀n ∈ ℕ ∗ ,1!3!… (2n + 1)! ≥ ((n + 1)!)n +1 .
Exercice 7
Le raisonnement suivant est erroné : « Montrons, par récurrence sur n ∈ ℕ∗ , la propriété : P (n ) = « n points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés »: Pour n = 1 et n = 2 , la propriété est vraie. Supposons la propriété établie au rang n ≥ 2 . Considérons alors n + 1 points deux à deux distincts A1 , A2 , …, An , An +1 . (HR) Les points A1 , A2 , …, An sont alignés sur une droite D . (HR) Les points A2 ,…, An , An +1 sont alignés sur une droite D ′ . Or D et D ′ contiennent les deux points distincts A2 et An , donc D = D ′ . Par suite A1 , A2 , …, An , An +1 sont alignés sur la droite D = D ′ . Récurrence établie. » Où est l’erreur ?
Exercice 8
On se propose d’établir ∀n ∈ ℕ∗ , ∃(p ,q ) ∈ ℕ 2 tel que n = 2p (2q + 1) en procédant de deux manières : a) 1ère méthode : Pour n ∈ ℕ∗ fixé, on pose A = {m ∈ ℕ / 2m | n } . Montrer que A admet un plus grand élément p et que pour celui-ci on peut écrire n = 2p (2q + 1) avec q ∈ ℕ . b) 2ème méthode : Procéder par récurrence forte sur n ∈ ℕ∗
Sommes Exercice 9
Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies : n
a)
n
∑ α +a
i
i =1
b)
i =1
n
d)
n
= α + ∑ ai n
i
i =1
n
i i
i
n
i =1
α i
i =1
i =1
n
∑k
n
∑ αa
i
i =1
α
Exercice 10 Etablir l’une des trois formules suivantes : n n n (n + 1) n (n + 1)(2n + 1) a) ∑ k = b) ∑ k 2 = 2 6 k =1 k =1 Exercice 11 A partir des valeurs connues de
n
c)
i =1
= ∑ ai i =1 n
∑a
e)
i
n
+ bi = ∑ ai + ∑ bi
i =1
∑ a b = ∑ a ∑b i =1
n
∑a
n
f)
n i,j
j =1 i =1
∑k k =1
n
= ∑∑ ai , j ? i =1 j =1
n
c)
i =1
n
∑∑ a
= α ∑ ai
3
=
n 2 (n + 1) 2 4
n
et
k =1
∑k
2
, calculer :
k =1
n
a)
∑ k (k +1)
b) 1.n + 2.(n −1) + ⋯ + (n −1).2 + n .1 .
k =1
n
Exercice 12 Calculer
∑ (−1) k . k
k =1
n
1 est strictement croissante. n + k k =1
Exercice 13 Montrer que la suite de terme général un = ∑ n
Exercice 14 Montrer que
∑ k ! ≤ (n +1)! k =0
n
Exercice 15 Calculer
k
∑ (k +1)! . k =1
p
Exercice 16 a) Calculer
∑ kk ! . k =1
b) Soit p ∈ ℕ . Montrer que ∀n ∈ 0, (p + 1)!−1 , il existe un (p + 1) uplet (n 0 , n1 , …, n p ) ∈ ℕ p +1 tel que : p
∀k ∈ 0, p , 0 ≤ nk ≤ k et n = ∑ nk k ! . k =0
c) Justifier l’unicité d’une telle suite.
Sommes géométriques n
Exercice 17 Calculer, pour tout θ ∈ ℝ , la somme
∑e
ik θ
.
k =0
n
Exercice 18 Calculer, pour tout q ∈ ℂ , la somme
∑q
2k
.
k =0
n
Exercice 19 Pour q ∈ ℂ \ {1} et n ∈ ℕ , on pose Sn = ∑ kq k . k =0
En calculant qSn − Sn , déterminer la valeur de Sn .
Sommes doubles n
Exercice 20 A partir des valeurs connues de
n
∑k , k =1
a)
∑
n
∑ k 2 et k =1
(i + j ) 2
b)
1≤i , j ≤n
∑k
3
, calculer :
k =1
∑
ij .
c)
1≤i < j ≤n
∑
min(i , j ) .
1≤i , j ≤n
n
∑
Exercice 21 Soit n ∈ ℕ∗ . Calculer C n =
(p + q ) en remarquant que
1≤p <q ≤n
∑
1≤ p ,q ≤n
p + q = 2C n + 2∑ p . p =1
Produits Exercice 22 Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies : n
a)
n
∏ αa i =1
i
b)
i =1
n
Exercice 23 Calculer
n
= α∏ai
n
n
n
∏a b = ∏a ∏b i i
i
i =1
i =1
c)
i
i =1
∏a i =1
n i
n
+ bi = ∏ai + ∏bi ? i =1
i =1
1
∏1 + k . k =1
Exercice 24 On désire calculer le produit P (x ) =
∏ cos(2 x ) pour tout x ∈ ℝ . k
0≤k ≤n
a) Commencer par traiter le cas x = 0 [π ] . b) Pour x ≠ 0 [π ] , simplifier sin(x )P (x ) et exprimer P (x ) . n
k
Exercice 25 Soit a ∈ ℝ et P = ∏ (1 + a 2 ) . k =0
a) Calculer P quand a = 1 . b) Calculer (1−a )P quand a ≠ 1 et en déduire la valeur de P .
Nombres factoriels Exercice 26 Exprimer 2× 4×⋯× (2n ) puis 1×3×⋯× (2n + 1) à l’aide de factoriels n
Exercice 27 Montrer de deux manières
n
∏ (4k − 2) = ∏ (n + k ) k =1
k =1
Coefficients binomiaux
() (
)
n −1 Exercice 28 Montrer que pour tout n ∈ ℕ et tout p ∈ ℤ : p n p = n p −1 . En déduire que
n
∑ p (np ) = n 2
n −1
.
p =0
Exercice 29 Calculer pour tout n ∈ ℕ∗ : n
n
()
a) S 0 = ∑ n k k =0
k =0
E (n / 2)
Exercice 30 Pour n ∈ ℕ∗ , calculer A =
∑( k =0
B seraient solutions.
()
b) S1 = ∑ k n k
)
n 2k et B =
E ((n −1) / 2)
∑ k =0
n
()
c) S 2 = ∑ k 2 n k . k =0
(2kn+1) en formant un système dont A et
n
Exercice 31 Soit n ∈ ℕ . Calculer
∑ (np ) j
p
.
p =0
E (n 3)
En déduire : A =
∑( k =0
)
n 3k , B =
E ((n −1) 3)
∑ k =0
(
)
n 3k + 1 et C =
E (n −2 3)
∑ k =0
(3kn+ 2) .
Exercice 32 Soit n , p ,q ∈ ℕ tels que n ≤ p + q . n
En développant de deux manières (1 + x )p × (1 + x )q , établir :
∑ (kp )(n −q k ) = (p n+ q ) . k =0
n
∑ (p +k k )
Exercice 33 Calculer, pour tout n , p ∈ ℕ , la somme
k =0
n
Exercice 34 Calculer pour n , p ∈ ℕ∗ , la somme
p
∑ ∏(i + j ) . i =0
j =1
Exercice 35 Développer (a + b + c )n . n
Exercice 36 a) Soit n ∈ ℕ . Calculer
∑ (−1)
k
k =0
(nk ) .
( )( ) ( )( c) Soit (x ) une suite de réels. On pose ∀k ∈ ℕ, y = ∑ (kℓ )x .
)
k n n −ℓ b) Soit k , ℓ, n ∈ ℕ tels que ℓ ≤ k ≤ n . Comparer n k ℓ et ℓ k − ℓ . k
n
ℓ
k
ℓ =0
n
()
Montrer que ∀n ∈ ℕ, x n = ∑ (−1)n −k n k yk . k =0
n (−1)k +1 n 1 =∑ . k k k k =1 k =1 n
Exercice 37 Montrer que pour tout n ∈ ℕ∗ ,
∑
()
david Delaunay http://mpsiddl.free.fr