Généralités sur les fonctions numériques Exercice 1
Soit f : ℝ → ℝ telle que f f est croissante tandis que f f f est strictement décroissante. Montrer que f est strictement décroissante.
Exercice 2
Etudier la parité de la fonction f définie par f (x ) = ln
Exercice 3
On rappelle que pour tout x ∈ ℝ , on a sin x ≤ x .
(
)
x 2 +1 + x .
Montrer que la fonction x ֏ sin x est 1 lipschitzienne. Exercice 4
Soit f : ℝ → ℝ une fonction k lipschitzienne (avec k ∈ [0,1[ ) telle que f (0) = 0 . Soit a ∈ ℝ et (un ) la suite réelle déterminée par u 0 = a et ∀n ∈ ℕ, un +1 = f (un ) . Montrer que un → 0 .
Exercice 5
Soit f : [0,1] → [ 0,1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe.
Limites d’une fonction numérique Exercice 6
Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent : a) lim x →0
1 + x − 1− x x
b) lim
x →+∞
c) lim x x x →0+
1x
e) lim (1 + x )
d) lim ln x .ln(ln x ) . x →1+
Exercice 7
x− x ln x + x
f) lim x →1
x →0
Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent : 1 x cos ex a) lim x .sin b) lim 2 x x →0 x →+∞ x + 1 1 x + arctan x d) lim e) lim xE x x →+∞ x → 0 x
c) lim ex −sin x x →+∞
1 f) lim xE . x x →+∞
Exercice 8
Déterminer les limites suivantes : lim E (1 x ) , lim xE (1 x ) et lim x 2E (1 x ) .
Exercice 9
Soit a < b ∈ ℝ et f : ]a ,b[ → ℝ une fonction croissante.
x →0+
x →0
1− x . arccos x
x →0
Montrer que l’application x ֏ lim f est croissante. + x
Exercice 10 Soit f : ℝ → ℝ une fonction T périodique (avec T > 0 ) telle que lim f existe dans ℝ . +∞
Montrer que f est constante. Exercice 11 a) Soit g : ℝ → ℝ une fonction périodique convergeant en +∞ . Montrer que g est constante. b) Soit f , g : ℝ → ℝ telles que f converge en +∞ , g périodique et f + g croissante. Montrer que g est constante.
Continuité des fonctions numériques Exercice 12 Soit f : ℝ → ℝ continue en 0 telle que ∀x ∈ ℝ , on a f (2x ) = f (x ) . Montrer que f est une fonction constante.
Exercice 13 Soit f : ℝ → ℝ une fonction continue en 0 et en 1 telle que ∀x ∈ ℝ, f (x ) = f (x 2 ) . Montrer que f est constante. Exercice 14 Soit f : ℝ → ℝ une fonction continue et prenant la valeur 1 en 0. On suppose que ∀x ∈ ℝ, f (2x ) = f (x ) cos x , déterminer f . Exercice 15 Etudier la continuité sur ℝ de l’application f : x ֏ E (x ) + x − E (x ) . Exercice 16 Etudier la continuité de x ֏ E (x ) + (x − E (x )) 2 . Exercice 17 Soit f : ℝ → ℝ définie par f (x ) =
x ∈ℚ . {10 sisinon
Montrer que f est totalement discontinue. Exercice 18 Soit f : ℝ +∗ → ℝ une fonction telle que x ֏ f (x ) est croissante et x ֏
f (x ) est décroissante. x
Montrer que f est continue. Exercice 19 Soit f : I → ℝ et g : I → ℝ deux fonctions continues. Montrer que sup( f , g ) est une fonction continue sur I . Exercice 20 Soient f : ℝ → ℝ continue telle que ∀x , y ∈ ℝ , f (x + y ) = f (x ) + f (y ) . a) Calculer f (0) et montrer que pour tout x ∈ ℝ , f (−x ) = −f (x ) . b) Justifier que pour tout n ∈ ℤ et tout x ∈ ℝ , f (nx ) = nf (x ) . c) Etablir que pour tout r ∈ ℚ , f (r ) = ar avec a = f (1) . d) Conclure que pour tout x ∈ ℝ , f (x ) = ax .
x + y 1 Exercice 21 On cherche les fonctions f : ℝ → ℝ continues telles que ∀x , y ∈ ℝ , f = ( f (x ) + f (y )) . 2 2 a) On suppose f solution et f (0) = f (1) = 0 . Montrer que f est périodique et que ∀x ∈ ℝ , 2 f (x ) = f (2x ) . En déduire que f est nulle. b) Déterminer toutes les fonctions f solutions.
Théorème des valeurs intermédiaires Exercice 22 Soit f : [0,1] → [ 0,1] continue. Montrer que f admet un point fixe. Exercice 23 Montrer que les seules applications continues de ℝ vers ℤ sont les fonctions constantes. Exercice 24 Soit f : [a ,b ] → ℝ continue et p ,q ∈ ℝ + . Montrer que ∃c ∈ [a ,b ] tel que p.f (a ) + q .f (b ) = (p + q ).f (c ) .
Exercice 25 Soit f : ℝ → ℝ continue telle que lim f = −1 et lim f = 1 . Montrer que f s’annule. −∞
+∞
Exercice 26 Soit f : I → ℝ et g : I → ℝ deux fonctions continues telles que : ∀x ∈ I , f (x ) = g (x ) ≠ 0 . Montrer que f = g ou f = −g .
Exercice 27 Soit f : [ 0,1] → ℝ continue telle que f (0) = f (1) . Montrer que ∀n ∈ ℕ∗ , ∃α ∈ [ 0,1−1 n ] tel que f (α + 1 n ) = f (α ) .
Exercice 28 Soit f : ℝ → ℝ continue et décroissante. Montrer que f admet un unique point fixe. Exercice 29 Soit f : [0, +∞[ → ℝ continue, positive et telle que lim
x →+∞
f (x ) = ℓ <1. x
Montrer qu’il existe α ∈ [ 0, +∞[ tel que f (α ) = α .
Exercice 30 Notre objectif dans cet exercice est d’établir la proposition : « Toute fonction f : I → ℝ continue et injective est strictement monotone. » Pour cela on raisonne par l’absurde et on suppose : ∃(x1 , y1 ) ∈ I 2 , x1 < y1 et f (x1 ) ≥ f (y1 ) et ∃(x 2 , y 2 ) ∈ I 2 , x 2 < y 2 et f (x 2 ) ≤ f (y 2 ) Montrer que la fonction ϕ : [0,1] → ℝ définie par ϕ (t ) = f ((1− t )x1 + tx 2 ) − f ((1− t )y1 + ty 2 ) s’annule. Conclure.
Exercice 31 Soit f : [0, +∞[ → ℝ continue. On suppose que f →+ ∞ . Montrer que f →+ ∞ ou f →−∞ . +∞
+∞
+∞
Continuité sur segment Exercice 32 Soit f , g : [a ,b ] → ℝ continues telles que ∀x ∈ [a ,b ], f (x ) < g (x ) . Montrer : ∃α > 0 tel que ∀x ∈ [a ,b ], f (x ) ≤ g (x ) − α .
Exercice 33 Soit f : ℝ → ℝ continue telle que : lim f = lim f = +∞ . +∞
−∞
Montrer que f admet un minimum absolu.
Exercice 34 Soit f : ℝ → ℝ bornée et g : ℝ → ℝ continue. Montrer que g f et f g sont bornées. Exercice 35 Montrer qu’une fonction continue et périodique définie sur ℝ est bornée. Exercice 36 Soit f , g : [0,1] → ℝ continue. On pose ϕ(t ) = sup ( f (x ) + tg (x )) . x ∈[ 0,1]
Montrer que ϕ est bien définie sur ℝ et qu’elle y est lipschitzienne.
Exercice 37 Soit f : ℝ → ℝ continue. On suppose que chaque y ∈ ℝ admet au plus deux antécédents par f . Montrer qu’il existe un y ∈ ℝ possédant exactement un antécédent.
Bijection continue Exercice 38 Montrer que f : ℝ → ℝ définie par f (x ) =
x . 1+ x
a) Montrer que f réalise une bijection de ℝ vers ]−1,1[ . b) Déterminer, pour y ∈ ]−1,1[ une expression de f −1 (y ) analogue à celle de f (x ) .
Exercice 39 Soit a < b ∈ ℝ et f : ]a ,b[ → ℝ une fonction strictement croissante. Montrer que f est continue ssi f (]a ,b[) = lim f , lim f . b a
Uniforme continuité Exercice 40 Montrer que x ֏ x est uniformément continue sur ℝ + . Exercice 41 Montrer que x ֏ ln x n’est pas uniformément continue sur ℝ +∗ . Exercice 42 Montrer que x ֏ x ln x est uniformément continue sur ]0,1] .
Comparaison de fonctions numériques Exercice 43 Déterminer un équivalent simple aux fonctions suivantes aux points considérés : a)
x 3 +1 3
2
en +∞
x 2 + 1 + x 2 −1 en +∞
e)
ln(x + 1) − ln(x ) en +∞
c)
1 + x 2 − 1− x 2 en 0
x +1
d) ln(1 + sin x ) en 0+ g)
b)
ln(1 + x ) sin x
en 0+
−
f) ln cosx en π 2
h) x ln(x + 1) − (x + 1) ln x en +∞ .
Exercice 44 Déterminer les limites suivantes : x e−x + x 2 a) lim x →+∞ x − ln x
b) lim+ x →0
x ln x x →+∞ ln x
x + sin x x ln x
c) lim
ln x
x ln x − x d) lim x →+∞ x + cos x
ln x x →1 x 2 −1
g) lim
ln x + x 2 x → 0 ln(x + x 2 )
x x e) lim x →+∞ ln x h) lim
x →+∞
f) lim
x ex − x 2 ex + e−x
i) lim
x →+∞
Exercice 45 Déterminer un équivalent simple au fonctions proposées : ln(x + 1) a) −1 quand x → +∞ , ln x b) ln(1 + x ) 2 − ln(1− x )2 quand x → 0 ,
ln(x + 1) − ln(x −1) quand x → +∞ , d) tan x − sin x quand x → 0 . e) ln(1 + ln(1 + x )) quand x → 0 . c)
Exercice 46 Soit f : ℝ → ℝ une fonction décroissante telle que f (x ) + f (x + 1) ∼
+∞
1 . x
a) Etudier la limite de f en +∞ . b) Donner un équivalent de f en +∞ .
Etude de branches infinies de fonctions Exercice 47 Etudier les branches infinies de f (x ) =
(x + 1) ln(x + 1) . ln x
argsh x . ln x
Exercice 48 Etudier les branches infinies de f (x ) =
x 2 + 2x . x â&#x2C6;&#x2019;1 + x david Delaunay http://mpsiddl.free.fr