Exercices Fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques Exercice 1

Soit f : ℝ → ℝ telle que f f est croissante tandis que f f f est strictement décroissante.

Montrer que f est strictement décroissante.

Exercice 2

Etudier la parité de la fonction f définie par f (x ) = ln

Exercice 3

On rappelle que pour tout x ∈ ℝ , on a sin x ≤ x .

(

)

x 2 +1 + x .

Montrer que la fonction x ֏ sin x est 1 lipschitzienne.

Exercice 4

Soit f : ℝ → ℝ une fonction k lipschitzienne (avec k ∈ [0,1[ ) telle que f (0) = 0 .

Soit a ∈ ℝ et (un ) la suite réelle déterminée par u 0 = a et ∀n ∈ ℕ, un +1 = f (un ) .

Montrer que un → 0 .

Exercice 5

Soit f : [0,1] → [ 0,1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe.

Limites d’une fonction numérique Exercice 6

Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent : a) lim x →0

1 + x − 1− x x

b) lim

x →+∞

c) lim x x x →0+

1x

e) lim (1 + x )

d) lim ln x .ln(ln x ) . x →1+

Exercice 7

x− x ln x + x

f) lim x →1

x →0

Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent : 1 x cos ex a) lim x .sin   b) lim 2  x  x →0 x →+∞ x + 1 1 x + arctan x d) lim e) lim xE    x  x →+∞ x → 0 x

c) lim ex −sin x x →+∞

1 f) lim xE   .  x  x →+∞

Exercice 8

Déterminer les limites suivantes : lim E (1 x ) , lim xE (1 x ) et lim x 2E (1 x ) .

Exercice 9

Soit a < b ∈ ℝ et f : ]a ,b[ → ℝ une fonction croissante.

x →0+

x →0

1− x . arccos x

x →0

Montrer que l’application x ֏ lim f est croissante. + x

Exercice 10 Soit f : ℝ → ℝ une fonction T périodique (avec T > 0 ) telle que lim f existe dans ℝ . +∞

Montrer que f est constante.

Exercice 11 a) Soit g : ℝ → ℝ une fonction périodique convergeant en +∞ . Montrer que g est constante. b) Soit f , g : ℝ → ℝ telles que f converge en +∞ , g périodique et f + g croissante.

Montrer que g est constante.

Continuité des fonctions numériques Exercice 12 Soit f : ℝ → ℝ continue en 0 telle que ∀x ∈ ℝ , on a f (2x ) = f (x ) .

Montrer que f est une fonction constante.

Exercice 13 Soit f : ℝ → ℝ une fonction continue en 0 et en 1 telle que ∀x ∈ ℝ, f (x ) = f (x 2 ) .

Montrer que f est constante.

Exercice 14 Soit f : ℝ → ℝ une fonction continue et prenant la valeur 1 en 0.

On suppose que ∀x ∈ ℝ, f (2x ) = f (x ) cos x , déterminer f .

Exercice 15 Etudier la continuité sur ℝ de l’application f : x ֏ E (x ) + x − E (x ) .

Exercice 16 Etudier la continuité de x ֏ E (x ) + (x − E (x )) 2 .

Exercice 17 Soit f : ℝ → ℝ définie par f (x ) =

x ∈ℚ . {10 sisinon

Montrer que f est totalement discontinue.

Exercice 18 Soit f : ℝ +∗ → ℝ une fonction telle que x ֏ f (x ) est croissante et x ֏

f (x ) est décroissante. x

Montrer que f est continue.

Exercice 19 Soit f : I → ℝ et g : I → ℝ deux fonctions continues.

Montrer que sup( f , g ) est une fonction continue sur I .

Exercice 20 Soient f : ℝ → ℝ continue telle que ∀x , y ∈ ℝ , f (x + y ) = f (x ) + f (y ) . a) Calculer f (0) et montrer que pour tout x ∈ ℝ , f (−x ) = −f (x ) . b) Justifier que pour tout n ∈ ℤ et tout x ∈ ℝ , f (nx ) = nf (x ) . c) Etablir que pour tout r ∈ ℚ , f (r ) = ar avec a = f (1) . d) Conclure que pour tout x ∈ ℝ , f (x ) = ax .

 x + y  1 Exercice 21 On cherche les fonctions f : ℝ → ℝ continues telles que ∀x , y ∈ ℝ , f   = ( f (x ) + f (y )) .  2  2 a) On suppose f solution et f (0) = f (1) = 0 .

Montrer que f est périodique et que ∀x ∈ ℝ , 2 f (x ) = f (2x ) . En déduire que f est nulle. b) Déterminer toutes les fonctions f solutions.

Théorème des valeurs intermédiaires Exercice 22 Soit f : [0,1] → [ 0,1] continue. Montrer que f admet un point fixe.

Exercice 23 Montrer que les seules applications continues de ℝ vers ℤ sont les fonctions constantes.

Exercice 24 Soit f : [a ,b ] → ℝ continue et p ,q ∈ ℝ + .

Montrer que ∃c ∈ [a ,b ] tel que p.f (a ) + q .f (b ) = (p + q ).f (c ) .

Exercice 25 Soit f : ℝ → ℝ continue telle que lim f = −1 et lim f = 1 . Montrer que f s’annule. −∞

+∞

Exercice 26 Soit f : I → ℝ et g : I → ℝ deux fonctions continues telles que : ∀x ∈ I , f (x ) = g (x ) ≠ 0 .

Montrer que f = g ou f = −g .

Exercice 27 Soit f : [ 0,1] → ℝ continue telle que f (0) = f (1) .

Montrer que ∀n ∈ ℕ∗ , ∃α ∈ [ 0,1−1 n ] tel que f (α + 1 n ) = f (α ) .

Exercice 28 Soit f : ℝ → ℝ continue et décroissante.

Montrer que f admet un unique point fixe.

Exercice 29 Soit f : [0, +∞[ → ℝ continue, positive et telle que lim

x →+∞

f (x ) = ℓ <1. x

Montrer qu’il existe α ∈ [ 0, +∞[ tel que f (α ) = α .

Exercice 30 Notre objectif dans cet exercice est d’établir la proposition : « Toute fonction f : I → ℝ continue et injective est strictement monotone. » Pour cela on raisonne par l’absurde et on suppose : ∃(x1 , y1 ) ∈ I 2 , x1 < y1 et f (x1 ) ≥ f (y1 ) et ∃(x 2 , y 2 ) ∈ I 2 , x 2 < y 2 et f (x 2 ) ≤ f (y 2 ) Montrer que la fonction ϕ : [0,1] → ℝ définie par ϕ (t ) = f ((1− t )x1 + tx 2 ) − f ((1− t )y1 + ty 2 ) s’annule. Conclure.

Exercice 31 Soit f : [0, +∞[ → ℝ continue. On suppose que f →+ ∞ . Montrer que f →+ ∞ ou f →−∞ . +∞

+∞

+∞

Continuité sur segment Exercice 32 Soit f , g : [a ,b ] → ℝ continues telles que ∀x ∈ [a ,b ], f (x ) < g (x ) .

Montrer : ∃α > 0 tel que ∀x ∈ [a ,b ], f (x ) ≤ g (x ) − α .

Exercice 33 Soit f : ℝ → ℝ continue telle que : lim f = lim f = +∞ . +∞

−∞

Montrer que f admet un minimum absolu.

Exercice 34 Soit f : ℝ → ℝ bornée et g : ℝ → ℝ continue.

Montrer que g f et f g sont bornées.

Exercice 35 Montrer qu’une fonction continue et périodique définie sur ℝ est bornée.

Exercice 36 Soit f , g : [0,1] → ℝ continue.

On pose ϕ(t ) = sup ( f (x ) + tg (x )) . x ∈[ 0,1]

Montrer que ϕ est bien définie sur ℝ et qu’elle y est lipschitzienne.

Exercice 37 Soit f : ℝ → ℝ continue. On suppose que chaque y ∈ ℝ admet au plus deux antécédents par f .

Montrer qu’il existe un y ∈ ℝ possédant exactement un antécédent.

Bijection continue Exercice 38 Montrer que f : ℝ → ℝ définie par f (x ) =

x .

1+ x

a) Montrer que f réalise une bijection de ℝ vers ]−1,1[ . b) Déterminer, pour y ∈ ]−1,1[ une expression de f −1 (y ) analogue à celle de f (x ) .

Exercice 39 Soit a < b ∈ ℝ et f : ]a ,b[ → ℝ une fonction strictement croissante.

Montrer que f est continue ssi f (]a ,b[) =  lim f , lim f  . b  a 

Uniforme continuité Exercice 40 Montrer que x ֏ x est uniformément continue sur ℝ + .

Exercice 41 Montrer que x ֏ ln x n’est pas uniformément continue sur ℝ +∗ .

Exercice 42 Montrer que x ֏ x ln x est uniformément continue sur ]0,1] .

Comparaison de fonctions numériques Exercice 43 Déterminer un équivalent simple aux fonctions suivantes aux points considérés : a)

x 3 +1 3

2

en +∞

x 2 + 1 + x 2 −1 en +∞

e)

ln(x + 1) − ln(x ) en +∞

c)

1 + x 2 − 1− x 2 en 0

x +1

d) ln(1 + sin x ) en 0+ g)

b)

ln(1 + x ) sin x

en 0+

−

f) ln cosx en π 2

h) x ln(x + 1) − (x + 1) ln x en +∞ .

Exercice 44 Déterminer les limites suivantes : x e−x + x 2 a) lim x →+∞ x − ln x

b) lim+ x →0

x ln x x →+∞ ln x

x + sin x x ln x

c) lim

ln x

x ln x − x d) lim x →+∞ x + cos x

ln x x →1 x 2 −1

g) lim

ln x + x 2 x → 0 ln(x + x 2 )

 x  x e) lim   x →+∞   ln x  h) lim

x →+∞

f) lim

x ex − x 2 ex + e−x

i) lim

x →+∞

Exercice 45 Déterminer un équivalent simple au fonctions proposées : ln(x + 1) a) −1 quand x → +∞ , ln x b) ln(1 + x ) 2 − ln(1− x )2 quand x → 0 ,

ln(x + 1) − ln(x −1) quand x → +∞ , d) tan x − sin x quand x → 0 . e) ln(1 + ln(1 + x )) quand x → 0 . c)

Exercice 46 Soit f : ℝ → ℝ une fonction décroissante telle que f (x ) + f (x + 1) ∼

+∞

1 . x

a) Etudier la limite de f en +∞ . b) Donner un équivalent de f en +∞ .

Etude de branches infinies de fonctions Exercice 47 Etudier les branches infinies de f (x ) =

(x + 1) ln(x + 1) . ln x

argsh x . ln x

Exercice 48 Etudier les branches infinies de f (x ) =

x 2 + 2x . x â&#x2C6;&#x2019;1 + x david Delaunay http://mpsiddl.free.fr