Logarithmes Exercice 1
1 Etablir, pour tout x ≥ 0 , l’encadrement : x − x 2 ≤ ln(1 + x ) ≤ x . 2
Exercice 2
a) Montrer que, pour tout x > −1 : ln(1 + x ) ≤ x . −n
1 1 b) En déduire que pour tout n ∈ ℕ∗ : 1 + ≤ e ≤ 1− . n n n
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Montrer que pour tout a ,b > 0 , on a
1 a +b . (ln a + ln b ) ≤ ln 2 2
ln(1 + ax ) définie sur ℝ +∗ . ln(1 + bx ) a b 2 Etudier la monotonie de f et en déduire que ln 1 + ln 1 + ≤ (ln 2) . b a Soit 0 < a ≤ b . On pose f : x ֏
Montrer que le nombre de chiffres dans l’écriture décimale d’un entier n > 0 est E (log10 n ) + 1 .
Puissances et exponentielles 1 ln x 1 x . x
Exercice 6
Simplifier a b pour a = exp x 2 et b =
Exercice 7
Parmi les relations suivantes, lesquelles sont exactes : a) (a b )c = a bc b) a ba c = a bc c
d) (ab )c = a c 2bc 2
e) (a b )c = a (b x
Comparer lim+ x (x
Exercice 9
Déterminer les limites suivantes :
x →0
f) (a b )c = (a c )b ?
)
x
Exercice 8
)
c) a 2b = (a b ) 2
et lim+ (x x ) . x →0
a) lim x 1 x
b) lim x
x →+∞
c) lim+ x 1 x .
x
x →0
x →0
Exercice 10 Résoudre les équations suivantes : a) ex + e1−x = e + 1 Exercice 11 Résoudre les systèmes suivants : 8x = 10y a) x 2 = 5y
b) x
x
= ( x )x
c) 2 2x − 3x −1/ 2 = 3x +1/ 2 − 2 2x −1 .
ex e2y = a b) . 2xy = 1
Fonctions trigonométriques Exercice 12 Etablir que pour tout x ∈ ℝ + , on a sin x ≤ x et pour tout x ∈ ℝ , cos x ≥ 1−
x2 . 2
Exercice 13 Développer : a) cos 3a
Exercice 14 Calculant cos
Exercice 15 Simplifier
b) tan(a + b + c ) .
π π π en observant 2× = . 8 8 4
cos p − cos q π . En déduire la valeur de tan . 24 sin p + sin q
Exercice 16 Linéariser : a) cos 2 x d) cos a cos b
b) cos x sin 2 x e) cos a cos b cos c .
c) cos 2 x sin 2 x
Exercice 17 Ecrire sous la forme A cos(x − ϕ ) les expressions suivantes : a) cos x + sin x
b) cos x − 3 sin x .
Exercice 18 Pour a ,b ∈ ℝ tels que b ≠ 0 [ 2π ] , calculer simultanément
n
∑ cos(a + kb ) k =0
n
et
∑ sin(a + kb ) . k =0
Exercice 19 Soit x ≠ 0 [ 2π ] . a) Montrer que sin x + sin 2x + ⋯ + sin nx =
sin
(n + 1)x nx sin 2 2 en procédant par récurrence sur x sin 2
n∈ℕ . b) En exploitant les nombres complexes. Exercice 20 Résoudre les équations suivantes d’inconnues x ∈ ℝ . a) cos(2x − π 3) = sin(x + 3π 4) b) cos 4 x + sin 4 x = 1 d) sin x + sin 2x + sin 3x = 0
e) 3cos x − 3 sin x = 6
c) sin x + sin 3x = 0 f) 2 sin x .cos x + 3 cos 2x = 0 .
Exercice 21 Résoudre l’équation tan x tan 2x = 1 .
Fonctions trigonométriques inverses Exercice 22 Simplifier les expressions suivantes : a) cos(2 arccos x ) d) cos(2 arctan x )
b) cos(2 arcsin x )
c) sin(2 arccos x )
e) sin(2 arctan x )
f) tan(2 arcsin x ) .
Exercice 23 Simplifier la fonction x ֏ arccos(4x 3 − 3x ) sur son intervalle de définition. Exercice 24 Simplifier arcsin
x 1+ x 2
.
Exercice 25 Montrer que la courbe représentative de la fonction arccos est symétrique par rapport au point de coordonnées (0, π 2) .
Exercice 26 Déterminer lim
x → 0+
arccos(1− x ) x
à l’aide d’un changement de variable judicieux.
Exercice 27 Etudier les fonctions suivantes afin de les représenter : a) f : x ֏ arcsin(sin x ) + arccos(cos x ) ,
1 b) f : x ֏ arcsin(sin x ) + arccos(cos 2x ) , 2 1 + cos x c) f : x ֏ arccos , 2 1− cos x . 1 + cos x
d) f : x ֏ arctan
Exercice 28 Simplifier : 1 1 1 a) arctan + arctan + arctan , 2 5 8 b) arctan 2 + arctan 3 + arctan(2 + 3) ,
4 5 16 c) arcsin + arcsin + arcsin 5 13 65 Exercice 29 Résoudre les équations suivantes d’inconnue x réelle : 4 5 a) arcsin x = arcsin + arcsin b) arcsin tan x = x 5 13 c) arccos x = arcsin 2x e) arcsin
d) arctan x + arctan x 3 =
2x = arctan x 1+ x 2
f) arcsin
7π . 12
tan x =x 2
Exercice 30 On appelle argument principal d’un complexe z non nul, l’unique θ ∈ ]−π, π ] tel que z = z eiθ . Montrer que si z ∈ ℂ \ ℝ− alors θ = 2 arctan
y
avec x = Re(z ) et y = Im(z ) .
x + x 2 +y2
Exercice 31 Simplifier arctan a + arctan b pour a ,b ≥ 0 . Exercice 32 Soit p ∈ ℕ . Calculer arctan(p + 1) − arctan(p ) . n
Etudier la limite de la suite (Sn ) de terme général : Sn = ∑ arctan p =0
Exercice 33 a) Calculer
∫
1 0
1 . p 2 + p +1
dt . 1+ t 2
b) Etablir, pour tout n ∈ ℕ : 2n + 2
1 n
∫ ∑ (−1) t 0
k 2k
dt =
k =0
1 (−1)n t 2n + 2 π +∫ dt . 0 4 1+ t 2
t 1 dt ≤ ∫ t 2n +2 dt = 0 1+ t 2 2n + 3 n (−1)k π d) En déduire ∑ → . n →∞ 4 k = 0 2k + 1 c) Justifier 0 ≤ ∫
1
1
0
Fonctions hyperboliques Exercice 34 Etablir que pour tout x ∈ ℝ + , on a sh x ≥ x et pour tout x ∈ ℝ , ch x ≥ 1 +
x2 . 2
y π π π Exercice 35 Soit y ∈ − , . On pose x = ln tan + . 2 4 2 2 x y 1 Montrer que th = tan , th x = sin y et ch x = . 2 2 cos y Exercice 36 Pour n ∈ ℕ et a ,b ∈ ℝ , calculer
n
∑ ch (a +kb ) k =0
n
et
∑ sh (a +kb ) . k =0
n x x Exercice 37 Pour n ∈ ℕ et x ∈ ℝ , simplifier Pn (x ) = ∏ ch k en calculant Pn (x ) sh n . 2 2 k =1
Exercice 38 Pour n ∈ ℕ et x ∈ ℝ +∗ , observer th((n + 1)x ) − th(nx ) =
sh x . ch(nx ) ch((n + 1)x )
n
1 . ch ( kx ) ch(( k + 1)x ) k =0
Calculer Sn (x ) = ∑
Exercice 39 Soit a et α deux réels.
{shchxx ++shchyy == 22aashchαα .
Résoudre le système d’inconnues x et y :
Fonctions hyperboliques inverses Exercice 40 Simplifier les expressions suivantes : a) ch(argsh x ) d) sh(argch x )
b) th(argsh x )
c) sh(2 argsh x )
e) th(argch x )
f) ch(argth x ) .
Exercice 41 Simplifier : a) argch(2x 2 −1)
b) argsh(2x 1 + x 2 ) .
1 Exercice 42 Etablir : ∀x ∈ ℝ, arctan(sh x ) = arccos ch x Exercice 43 Résoudre l’équation argsh x + argch x = 1 .
π π Exercice 44 Soit G : − , → ℝ définie par G (t ) = argsh(tan t ) . 2 2 π π Montrer que G est dérivable et que pour tout t ∈ − , , G ′(t ) = chG (t ) . 2 2 david Delaunay http://mpsiddl.free.fr