Exercices Fonctions usuelles

Logarithmes Exercice 1

1 Etablir, pour tout x ≥ 0 , l’encadrement : x − x 2 ≤ ln(1 + x ) ≤ x .

2

Exercice 2

a) Montrer que, pour tout x > −1 : ln(1 + x ) ≤ x . −n

 1  1 b) En déduire que pour tout n ∈ ℕ∗ : 1 +  ≤ e ≤ 1−  .  n   n  n

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Montrer que pour tout a ,b > 0 , on a

1 a +b . (ln a + ln b ) ≤ ln 2 2

ln(1 + ax ) définie sur ℝ +∗ . ln(1 + bx )  a  b 2 Etudier la monotonie de f et en déduire que ln 1 +  ln 1 +  ≤ (ln 2) .  b   a  Soit 0 < a ≤ b . On pose f : x ֏

Montrer que le nombre de chiffres dans l’écriture décimale d’un entier n > 0 est E (log10 n ) + 1 .

Puissances et exponentielles 1 ln x 1 x . x

Exercice 6

Simplifier a b pour a = exp x 2 et b =

Exercice 7

Parmi les relations suivantes, lesquelles sont exactes : a) (a b )c = a bc b) a ba c = a bc c

d) (ab )c = a c 2bc 2

e) (a b )c = a (b x

Comparer lim+ x (x

Exercice 9

Déterminer les limites suivantes :

x →0

f) (a b )c = (a c )b ?

)

x

Exercice 8

)

c) a 2b = (a b ) 2

et lim+ (x x ) . x →0

a) lim x 1 x

b) lim x

x →+∞

c) lim+ x 1 x .

x

x →0

x →0

Exercice 10 Résoudre les équations suivantes : a) ex + e1−x = e + 1 Exercice 11 Résoudre les systèmes suivants : 8x = 10y a)   x 2 = 5y

b) x

x

= ( x )x

c) 2 2x − 3x −1/ 2 = 3x +1/ 2 − 2 2x −1 .

 ex e2y = a b)  .  2xy = 1

Fonctions trigonométriques Exercice 12 Etablir que pour tout x ∈ ℝ + , on a sin x ≤ x et pour tout x ∈ ℝ , cos x ≥ 1−

x2 .

2

Exercice 13 Développer : a) cos 3a

Exercice 14 Calculant cos

Exercice 15 Simplifier

b) tan(a + b + c ) .

π π π en observant 2× = .

8 8 4

cos p − cos q π . En déduire la valeur de tan .

24 sin p + sin q

Exercice 16 Linéariser : a) cos 2 x d) cos a cos b

b) cos x sin 2 x e) cos a cos b cos c .

c) cos 2 x sin 2 x

Exercice 17 Ecrire sous la forme A cos(x − ϕ ) les expressions suivantes : a) cos x + sin x

b) cos x − 3 sin x .

Exercice 18 Pour a ,b ∈ ℝ tels que b ≠ 0 [ 2π ] , calculer simultanément

n

∑ cos(a + kb ) k =0

n

et

∑ sin(a + kb ) . k =0

Exercice 19 Soit x ≠ 0 [ 2π ] . a) Montrer que sin x + sin 2x + ⋯ + sin nx =

sin

(n + 1)x nx sin 2 2 en procédant par récurrence sur x sin 2

n∈ℕ . b) En exploitant les nombres complexes.

Exercice 20 Résoudre les équations suivantes d’inconnues x ∈ ℝ . a) cos(2x − π 3) = sin(x + 3π 4) b) cos 4 x + sin 4 x = 1 d) sin x + sin 2x + sin 3x = 0

e) 3cos x − 3 sin x = 6

c) sin x + sin 3x = 0 f) 2 sin x .cos x + 3 cos 2x = 0 .

Exercice 21 Résoudre l’équation tan x tan 2x = 1 .

Fonctions trigonométriques inverses Exercice 22 Simplifier les expressions suivantes : a) cos(2 arccos x ) d) cos(2 arctan x )

b) cos(2 arcsin x )

c) sin(2 arccos x )

e) sin(2 arctan x )

f) tan(2 arcsin x ) .

Exercice 23 Simplifier la fonction x ֏ arccos(4x 3 − 3x ) sur son intervalle de définition.

Exercice 24 Simplifier arcsin

x 1+ x 2

.

Exercice 25 Montrer que la courbe représentative de la fonction arccos est symétrique par rapport au point de coordonnées (0, π 2) .

Exercice 26 Déterminer lim

x → 0+

arccos(1− x ) x

à l’aide d’un changement de variable judicieux.

Exercice 27 Etudier les fonctions suivantes afin de les représenter : a) f : x ֏ arcsin(sin x ) + arccos(cos x ) ,

1 b) f : x ֏ arcsin(sin x ) + arccos(cos 2x ) , 2 1 + cos x c) f : x ֏ arccos , 2 1− cos x .

1 + cos x

d) f : x ֏ arctan

Exercice 28 Simplifier : 1 1 1 a) arctan + arctan + arctan , 2 5 8 b) arctan 2 + arctan 3 + arctan(2 + 3) ,

4 5 16 c) arcsin + arcsin + arcsin 5 13 65 Exercice 29 Résoudre les équations suivantes d’inconnue x réelle : 4 5 a) arcsin x = arcsin + arcsin b) arcsin tan x = x 5 13 c) arccos x = arcsin 2x e) arcsin

d) arctan x + arctan x 3 =

2x = arctan x 1+ x 2

f) arcsin

7π .

12

tan x =x 2

Exercice 30 On appelle argument principal d’un complexe z non nul, l’unique θ ∈ ]−π, π ] tel que z = z eiθ .

Montrer que si z ∈ ℂ \ ℝ− alors θ = 2 arctan

y

avec x = Re(z ) et y = Im(z ) .

x + x 2 +y2

Exercice 31 Simplifier arctan a + arctan b pour a ,b ≥ 0 .

Exercice 32 Soit p ∈ ℕ . Calculer arctan(p + 1) − arctan(p ) . n

Etudier la limite de la suite (Sn ) de terme général : Sn = ∑ arctan p =0

Exercice 33 a) Calculer

∫

1 0

1 . p 2 + p +1

dt .

1+ t 2

b) Etablir, pour tout n ∈ ℕ : 2n + 2

1 n

∫ ∑ (−1) t 0

k 2k

dt =

k =0

1 (−1)n t 2n + 2 π +∫ dt .

0 4 1+ t 2

t 1 dt ≤ ∫ t 2n +2 dt = 0 1+ t 2 2n + 3 n (−1)k π d) En déduire ∑  → . n →∞ 4 k = 0 2k + 1 c) Justifier 0 ≤ ∫

1

1

0

Fonctions hyperboliques Exercice 34 Etablir que pour tout x ∈ ℝ + , on a sh x ≥ x et pour tout x ∈ ℝ , ch x ≥ 1 +

x2 .

2

  y π   π π Exercice 35 Soit y ∈ − ,  . On pose x = ln  tan  +  .   2 4   2 2  x y 1 Montrer que th = tan , th x = sin y et ch x = .

2 2 cos y Exercice 36 Pour n ∈ ℕ et a ,b ∈ ℝ , calculer

n

∑ ch (a +kb ) k =0

n

et

∑ sh (a +kb ) . k =0

n x  x  Exercice 37 Pour n ∈ ℕ et x ∈ ℝ , simplifier Pn (x ) = ∏ ch  k  en calculant Pn (x ) sh  n  .   2  2  k =1

Exercice 38 Pour n ∈ ℕ et x ∈ ℝ +∗ , observer th((n + 1)x ) − th(nx ) =

sh x . ch(nx ) ch((n + 1)x )

n

1 . ch ( kx ) ch(( k + 1)x ) k =0

Calculer Sn (x ) = ∑

Exercice 39 Soit a et α deux réels.

{shchxx ++shchyy == 22aashchαα .

Résoudre le système d’inconnues x et y :

Fonctions hyperboliques inverses Exercice 40 Simplifier les expressions suivantes : a) ch(argsh x ) d) sh(argch x )

b) th(argsh x )

c) sh(2 argsh x )

e) th(argch x )

f) ch(argth x ) .

Exercice 41 Simplifier : a) argch(2x 2 −1)

b) argsh(2x 1 + x 2 ) .

 1  Exercice 42 Etablir : ∀x ∈ ℝ, arctan(sh x ) = arccos   ch x  Exercice 43 Résoudre l’équation argsh x + argch x = 1 .

 π π Exercice 44 Soit G :  − ,  → ℝ définie par G (t ) = argsh(tan t ) .  2 2   π π Montrer que G est dérivable et que pour tout t ∈ − ,  , G ′(t ) = chG (t ) .  2 2  david Delaunay http://mpsiddl.free.fr