Fonctions numériques D et D ′ désignent des parties de ℝ . I. Fonctions réelles 1°) Définitions générales Déf : On appelle fonction réelle définie sur D toute application f : D → ℝ . D est alors appelé ensemble de définition de f , on note parfois D = Df . On note F (D , ℝ ) l’ensemble de ces applications. Déf : On appelle graphe (ou courbe représentative) d’une fonction f : D → ℝ l’ensemble Γ f = {M (x , y ) / x ∈ D et y = f (x )} . Déf : Une fonction f : D → ℝ est dite constante ssi ∃C ∈ ℝ , ∀x ∈ D , f (x ) = C . Une telle fonction est alors dite constante égale à C et est notée parfois C . Déf : On appelle valeur absolue d’une fonction f : D → ℝ la fonction f : D → ℝ définie par f (x ) = f (x ) . Prop : Soit f : D → ℝ . On a équivalence entre : (i) f est bornée, (ii) ∃M ∈ ℝ, ∀x ∈ D, f (x ) ≤ M , (iii) f est majorée. Prop : Soit f , g : D → ℝ . On définit les fonctions sup( f , g ) : D → ℝ et inf( f , g ) : D → ℝ par :
∀x ∈ D , sup( f , g )(x ) = max( f (x ), g (x )) et inf( f , g )(x ) = min( f (x ), g (x )) . 2°) Opérations sur les fonctions numériques Déf : Soit f , g : D → ℝ et λ ∈ ℝ . On définit les λ.f , f + g et fg de D vers ℝ par : ∀x ∈ D, (λ.f )(x ) = λ f (x ) , ( f + g )(x ) = f (x ) + g (x ) et ( fg )(x ) = f (x )g (x ) . Si de plus g ne s’annule pas, on définit les fonctions 1 g et f g de D vers ℝ par :
∀x ∈ D,(1 g )(x ) = 1 g (x ) et f g = f ×1 g . Prop : Soit f , g : D → ℝ et λ ∈ ℝ . Si f et g sont bornées alors λ.f , f + g et fg le sont aussi. 3°) Parité Déf : Une fonction f : D → ℝ est dite paire (resp. impaire) ssi : 1) D est symétrique par rapport à 0 i.e. : ∀x ∈ D, −x ∈ D . 2) ∀x ∈ D , f (−x ) = f (x ) (resp. f (−x ) = −f (x ) ). Prop : Soit Si f Si f Si f
f : D → ℝ et ϕ : D ′ → ℝ telles que f (D ) ⊂ D ′ . est paire alors ϕ f l’est aussi. est impaire et ϕ paire alors ϕ f est paire. est impaire et ϕ impaire alors ϕ f est impaire.
4°) Périodicité Déf : Une fonction f : D → ℝ est dite T périodique ssi : 1) D est T périodique i.e. ∀x ∈ D, x +T ∈ D , 2) ∀x ∈ D , f (x +T ) = f (x ) . Déf : Une fonction f est dite périodique ssi il existe T ≠ 0 telle qu’elle soit T périodique. Prop : Soit f : ℝ → ℝ . Si f est T périodique alors ∀x ∈ ℝ , ∀k ∈ ℤ, f (x + kT ) = f (x ) .
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