Fonctions usuelles

Fonctions usuelles I. Bijection I et J désignent des intervalles non singuliers de ℝ .

1°) Définition Déf : Soit f : I → ℝ . On dit que f réalise une bijection de I vers J ssi ∀y ∈ J , ∃!x ∈ I tel que y = f (x ) . On pose alors x = f −1 (y ) ce qui définit une application f −1 au départ de J . f −1 est appelée application réciproque de f .

Prop : f −1 est une bijection de J vers I et ( f −1 )−1 = f .

Prop : ∀x ∈ I , f −1 ( f (x )) = x et ∀y ∈ J , f ( f −1 (y )) = y .

2°) Propriétés Théorème : Soit f une bijection de I vers J .

Les graphes de f et f −1 sont symétriques par rapport à la droite y = x .

Cor : Si f est impaire alors f −1 l’est aussi.

Cor : Si f est une bijection continue et strictement monotone alors f −1 est aussi continue et de même monotonie que f .

Prop : Si f est dérivable en x et f ′(x ) ≠ 0 alors f −1 est dérivable en y = f (x ) et 1 1 = ( f −1 )′(y ) = . −1 ′ ′ f (x ) f ( f (y )) 3°) Radicaux Soit n ∈ ℕ tel que n ≥ 2 .

Posons I = ℝ + si n est pair et I = ℝ si n est impair Considérons la fonction f : I → ℝ définie par f (x ) = x n .

f est continue, dérivable, f ′(x ) > 0 sauf pour x = 0 donc f est strictement croissante.

Si n est pair :

Si n est impair

x 0 +∞ , f (x ) 0 ր +∞ x −∞ 0 +∞ f (x ) −∞ ր 0 ր +∞

Dans les deux cas f est une bijection de I vers I .

Déf : On note x ֏ n x l’application réciproque de la bijection x ֏ x n de I vers I .

Théorème : x ֏ n x est définie et continue sur I . n

x ֏ n x est strictement croissante, lim

x →+∞

x = +∞ et pour x ≠ 0 ,

Cas n impair : y

1 1

O

x

1

1

O

1

-1/7-

x

n −1

n( x ) n

De plus, quand n est impair, x ֏ n x est impaire.

Allure : Cas n pair : y

( n x )′ =

.

II. Puissances et logarithmes 1°) Logarithme népérien Déf : On note ln : ℝ + * → ℝ la primitive de x ֏ Ainsi ∀x > 0, ln x = ∫

x

1

1 qui s’annule en 1 . x

dt . t

Théorème : ln est définie, continue, strictement croissante sur ℝ + * et (ln x ) ′ = 1 x .

Prop : ∀x , y > 0, ln(xy ) = ln x + ln y ,

∀x > 0, ln(1 x ) = − ln x , ∀x > 0, ∀n ∈ ℤ, ln(x n ) = n ln x .

Prop : lim ln x = +∞ et lim ln x = −∞ . x →+∞

x → 0+

2°) Exponentiel népérien Déf : On note x ֏ exp x l’application réciproque de la bijection x ֏ ln x de ℝ + * vers ℝ .

Théorème : exp est définie, continue, strictement croissante sur ℝ , lim exp x = +∞ , lim exp x = 0+ et x →+∞

x →−∞

(exp x ) ′ = exp x .

Prop : ∀x , y ∈ ℝ ,exp(x + y ) = exp(x ) exp(y ) ,

∀x ∈ ℝ, exp(−x ) =

1 , exp x

∀x ∈ ℝ, ∀n ∈ ℤ, exp(nx ) = exp(x )n .

Déf : On appelle nombre de Neper, le nombre e = exp(1) = 2, 71828 à 10−5 près.

3°) Logarithme en base a Déf : Soit a ∈ ℝ +∗ \ {1} .

On appelle logarithme en base a l’application ℝ +∗ → ℝ  loga :  . x ֏ ln x  ln a En particulier ln = log e .

y a >1

x

Prop : ∀x , y > 0, loga (xy ) = loga (x ) + loga (y ) et loga (a ) = 1 .

1 a <1

4°) Exponentielle en base a Déf : Soit a ∈ ℝ + * . On appelle exponentielle ℝ → ℝ + * en base a l’application expa :  .  x ֏ exp(x ln a )

y a <1

En particulier exp = exp e .

a =1

Déf : Pour x ∈ ℝ et a > 0 , on note a x = expa (x ) .

x

Prop : ∀x , y ∈ ℝ , ∀a ,b > 0 : a 0 = 1,1x = 1 ,

a  ax ax , y = a x −y , (a x )y = a xy , (ab )x = a x b x et   = x .  b  a b x

a .a = a x

y

x +y

a >1

-2/7-

y

5°) Fonctions puissances Déf : Pour α ∈ ℝ , on appelle fonction puissance d’exposant α ℝ +∗ → ℝ l’application : f :  .  x ֏ x α = eα ln x 

α >1

α =1 0 <α <1 α =0 α <0 x

Prop : Si α > 0 alors lim x α = +∞ et lim x α = 0 . x →+∞

x →0

Si α < 0 alors lim x α = 0 et lim x α = +∞ . x →+∞

x →0

6°) Limites de référence Prop : lim

x →+∞

ln x = 0+ . x ex = +∞ et lim x α e−x = 0+ . x →+∞ x α x →+∞

Prop : ∀α > 0, lim

y

III. Fonctions trigonométriques 1°) Fonctions sinus et cosinus

M

sint

Soit t ∈ ℝ et M t le point du cercle trigonométrique déterminé par

(i ,OM ) = t [ 2π ] .

t cost

O

x

Déf : L’abscisse et l’ordonné de M sont notées : cost et sint .

On définit ainsi deux fonctions cos et sin de ℝ vers [−1,1] .

OM t2 = 1 donne cos 2 t + sin 2 t = 1 M t +2 π = M t donne cos(t + 2π ) = cos t et sin(t + 2π ) = sin t .

M −t = s (Ox ) (M t ) donne cos(−t ) = cos t et sin(−t ) = − sin t .

M π −t = s (Oy ) (M t ) donne cos(π − t ) = − cos t et sin(π − t ) = sin t .

M t +π = sO (M t ) donne cos(π + t ) = − cos t et sin(π + t ) = − sin t .

M π 2−t = s ∆ (M t ) donne cos(π 2 − t ) = sin t et sin(π 2 − t ) = cos t .

Les fonctions sin et cos sont C ∞ et ∀t ∈ ℝ , (cos t ) ′ = − sin t et (sin t ) ′ = cos t .

t

0

cos t

1

sin t

0

π 6 3 2 12

π 4 2 2 2 2

π3

π 2

π

3π 2

12

0

−1

0

1

0

−1

3 2

y

2°) Fonctions tangente et cotangente Déf : La fonction tan est définie pour tout t ≠ π 2 [π ] par tan t =

sin t . cos t

Prop : tan est une fonction impaire, π périodique et C ∞ avec 1 (tan t ) ′ = = 1 + tan 2 t . cos 2 t Déf : La fonction cot est définie pour tout t ≠ 0 [ π ] par cot t =

-3/7-

tant t O

π  cos t = tan  − t  .  2  sin t

Prop : cot est une fonction impaire, π périodique et C ∞ avec (cot t ) ′ =

cott

−1 = −1− cot 2 t . sin 2 t

x

3°) Formules de trigonométrie a) développement Pour tout a ,b ∈ ℝ : cos(a + b ) = cos a cos b − sin a sin b , cos(a −b ) = cos a cos b + sin a sin b ,

sin(a + b ) = sin a cos b + sin b cos a , sin(a −b ) = sin a cos b − sin b cos a , tan a tan b (sous réserve d’existence), 1− tan a tan b tan a − tan b tan(a −b ) = (sous réserve d’existence), 1 + tan a tan b cos 2a = 2 cos 2 a −1 = cos 2 a − sin 2 a = 1 − 2sin 2 a , 2 tan a sin 2a = 2sin a cos a , tan 2a = (sous réserve d’existence).

1− tan 2 a tan(a + b ) =

b) factorisation

cos p + cos q = 2 cos

p +q p −q cos .

2 2

De même :

p +q p −q sin , 2 2 p +q p −q sin p + sin q = 2sin cos et 2 2 p −q p −q sin p − sin q = 2sin cos .

2 2 x x En particulier 1 + cos x = 2cos 2 et 1− cos x = 2sin 2 .

2 2 c) formules d’Euler et de Moivre cos p − cos q = −2sin

eit + e−it eit − e−it et sin t = .

2 2i ∀n ∈ ℤ, (cos t + i.sin t )n = cos nt + i.sin nt . ∀t ∈ ℝ , eit = cos t + i.sin t d’où cos t =

d) linéarisation On veut transformer une expression comportant des produits de sin et/ou cos de sorte de faire disparaître ceuxci. Pour cela on remplace cos et sin en exponentielles imaginaires, on développe puis on recombine les exponentielles imaginaires en cos et sin . e) formules de l’angle moitié Prop : Soit x ≠ π [ 2π ] et t = tan x 2 . cos x = Si de plus x ≠ π 2 [ π ] : tan x =

1− t 2 2t ,sin x = .

1+ t 2 1+ t 2

2t .

1− t 2

4°) Equations trigonométriques Pour x , θ ∈ ℝ : x = θ [ 2π ] x = θ [ 2π ]   cos x = cos θ ⇔ ou , sin x = sin θ ⇔  et tan x = tan θ ⇔ x = θ [ π ] . ou   x = −θ [ 2π ] x = π − θ [ 2π ]   Soit a ,b , c ∈ ℝ , on veut résoudre l’équation a cos x + b sin x = c .

Prop : ∀a ,b ∈ ℝ , on peut transformer a cos x + b sin x en A cos(x − ϕ ) avec A = a 2 + b 2 et ϕ ∈ ℝ bien choisi.

-4/7-

IV. Fonctions trigonométriques réciproques 1°) Fonction arc sinus

x −π 2 π 2 sin x −1 ր 1 L’application sin : [− π 2, π 2] → [−1,1] est une bijection donc

x

arcsin x

∀x ∈ [−1,1], ∃!t ∈ [− π 2, π 2],sin t = x .

O

Déf : On note arcsin x = t ce qui définit arcsin : [−1,1] → [− π 2, π 2] application réciproque de la bijection sin : [− π 2, π 2] → [−1,1] .

Ainsi ∀x ∈ [−1,1],arcsin x est l’angle de [− π 2, π 2] dont le sinus vaut x .

Tableau de valeurs :

−1

x

− 3 2 − 2 2

arcsin x − π 2

−π 3

−1 2

−π 4

0 12

−π 6 0 π 6

2 2 π 4

3 2 π3

1 π 2

Théorème : La fonction arcsin est impaire, strictement croissante, continue sur [−1,1] , C ∞ sur ]−1,1[ et

(arcsin x ) ′ =

1 1− x 2

.

Prop : ∀x ∈ [−1,1],sin(arcsin x ) = x

∀x ∈ [−1,1], cos(arcsin x ) = 1− x 2 , ∀x ∈ ]−1,1[ , tan(arcsin x ) =

x 1− x 2

.

Prop : ∀t ∈ [− π 2, π 2],arcsin(sin t ) = t .

2°) Fonction arc cosinus

x

π

0

cos x

1 ց −1 arccos x

L’application cos : [ 0, π ] → [−1,1] est une bijection donc

∀x ∈ [−1,1], ∃!t ∈ [0, π ],cos t = x .

Déf : On note arccosx = t ce qui définit arccos : [−1,1] → [0, π ] application réciproque de la bijection cos : [ 0, π ] → [−1,1] .

Ainsi ∀x ∈ [−1,1], arccos x est l’angle de [0, π ] dont le cosinus vaut x .

Tableau de valeurs :

−1 − 3 2 − 2 2 −1 2

x arccos x

π

5π 6

3π 4

0

12

2 2

2π 3 π 2 π 3

π 4

3 2 1 π 6

0

Théorème : La fonction arccos est strictement décroissante, continue sur [−1,1] C ∞ sur ]−1,1[ et

(arccos x ) ′ = −

1 1− x 2

.

Prop : ∀x ∈ [−1,1], cos(arccos x ) = x .

∀x ∈ [−1,1],sin(arccos x ) = 1− x 2 , ∀x ∈ [−1,1] \ {0} , tan(arccos x ) =

1− x 2 . x

-5/7-

O x

Prop : ∀t ∈ [0, π ],arccos(cos t ) = t .

Prop : ∀x ∈ [−1,1] on a : arcsin x + arccos x = π 2 .

3°) Fonction arc tangente

−∞

x

+∞

arctan x − π 2 ր

π 2

arctanx L’application tan : ]− π 2, π 2[ → ℝ est une bijection donc

∀x ∈ ℝ , ∃!t ∈ ]− π 2, π 2[ , tan t = x .

O

Déf : On note arctan x = t ce qui définit arctan : ℝ → ]− π 2 , π 2[ application réciproque de la bijection tan : ]− π 2, π 2[ → ℝ .

Ainsi ∀x ∈ ℝ , arctan x est l’angle de ]− π 2, π 2[ dont la tangente vaut x .

Tableau de valeurs :

−∞

x

− 3

−1

−1

arcsin x − π 2 − π 3 − π 4

3 0 1

−π 6

3

+∞

π 4 π 3

π 2

3

π 6

0

1

Théorème : La fonction arctan est impaire, strictement croissante C ∞ sur ℝ et (arctan x ) ′ =

Prop : ∀x ∈ ℝ, tan(arctan x ) = x ,

∀x ∈ ℝ , cos(arctan x ) = ∀x ∈ ℝ,sin(arctan x ) =

1 1+ x 2 x

,

1+ x 2

Prop : ∀t ∈ ]− π 2, π 2[ ,arctan(tan t ) = t .

Prop : ∀x > 0, arctan x + arctan1 x = π 2

∀x < 0, arctan x + arctan1 x = − π 2 .

V. Fonctions hyperboliques 1°) Fonction cosinus et sinus hyperboliques Déf : On définit les fonctions cosinus et sinus hyperboliques par : ℝ → ℝ ℝ → ℝ   t −t et sh :  t −t . ch :   e + e t ֏ ch t = t ֏ sh t = e − e 2 2   Théorème : La fonction ch est paire, C ∞ et (ch t )′ = sh t .

La fonction sh est impaire, C ∞ et (sh t )′ = ch t .

Tableaux de variation :

t

−∞

0

+∞

sh t −∞ ր 0 ր +∞

et

t ch t

−∞

0

+∞

+∞ ց 1 ր +∞

2°) Trigonométrie hyperbolique Théorème : ∀t ∈ ℝ ,ch 2 t − sh 2 t = 1 .

Cor : ∀t ∈ ℝ ,ch t = 1 + sh 2 t .

-6/7-

.

1 .

1+ x 2

x

Prop : ∀a ,b ∈ ℝ : ch(a + b ) = ch(a ) ch(b ) + sh(a ) sh(b )

ch(a −b ) = ch(a ) ch(b ) − sh(a )sh(b ) sh(a + b ) = sh(a ) ch(b ) + sh(b ) ch(a ) sh(a −b ) = sh(a ) ch(b ) − sh(b ) ch(a ) ch(2a ) = ch 2 (a ) + sh 2 (a ) = 2 ch 2 a −1 = 1 + 2sh 2 a sh(2a ) = 2sh(a ) ch(a ) 3°) Fonction tangente hyperbolique

ℝ → ℝ  t −t 2t Déf : On définit la fonction tangente hyperbolique par : th :  . t ֏ th t = sh t = e − e = e −1 t −t 2t  ch t e + e e +1 Théorème : 1 La fonction th est impaire, C ∞ et (th t )′ = 1− th 2 t = 2 . ch t 4°) Fonctions hyperboliques réciproques a) fonction argument sinus hyperbolique L’application sh : ℝ → ℝ est une bijection croissante : ∀x ∈ ℝ , ∃!t ∈ ℝ tel que sht = x .

Déf : On note argsh x = t ce qui définit argsh : ℝ → ℝ application réciproque de la bijection sh : ℝ → ℝ .

Tableau de variation et allure Prop : ∀x ∈ ℝ ,argsh(x ) = ln(x + x 2 + 1) .

Prop : Pour tout x ∈ ℝ , (argsh x )′ =

1 1+ x 2

.

Prop : ∀x ∈ ℝ ,sh(argsh x ) = x , ch(argsh x ) = 1 + x 2 et th(argsh x ) =

x 1+ x 2

.

b) fonction argument cosinus hyperbolique L’application ch : ℝ + → [1, +∞[ est une bijection croissante : ∀x ∈ [1, +∞[ , ∃!t ∈ [ 0, +∞[ tel que cht = x .

Déf : On note argch x = t ce qui définit argch : [1,+∞[ → ℝ application réciproque de la bijection

ch : [0, +∞[ → [1, +∞[ Prop : ∀x ∈ [1, +∞[ ,argch(x ) = ln(x + x 2 −1) .

Prop : Pour x ∈ ]1, +∞[ , (argch x )′ =

1 x 2 −1

.

Prop : ∀x ∈ ℝ ,ch(argch x ) = x , sh(argch x ) = x 2 −1 et th(argch x ) =

1− x 2 . x

c) fonction argument tangente hyperbolique L’application th : ℝ → ]−1,1[ est une bijection croissante : ∀x ∈ ]−1,1[ , ∃!t ∈ ℝ tel que tht = x .

Déf : On note argthx = t ce qui définit argth : ]−1,1[ → ℝ application réciproque de la bijection

th : ℝ → ]−1,1[ .

1 1 + x  Prop : ∀x ∈ ℝ ,argth(x ) = ln  .

2 1− x  Prop : Pour x ∈ ]−1,1[ , (argth x )′ =

1 .

1− x 2

-7/7-