Exercices Fractions rationnelles

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Les fractions rationnelles Exercice 1

Montrer qu’il n’existe pas de fraction rationnelle F telle que F 2 = X .

Exercice 2

Déterminer un supplémentaire de K [X ] dans K (X ) .

Exercice 3

Soit F ∈ K (X ) . Montrer que deg F ′ < deg F −1 ⇒ deg F = 0 .

Exercice 4

Soit F ∈ K (X ) de représentant irréductible P Q . Montrer que F est paire ssi P et Q sont tous deux pairs ou impairs.

Exercice 5

Soit n ∈ ℕ∗ et ω = e n . a) Soit P ∈ ℂ [X ] un polynôme vérifiant P (ωX ) = P (X ) .

i

Montrer qu’il existe un polynôme Q ∈ ℂ [X ] tel que P (X ) = Q (X n ) .

X + ωk . k k =0 X − ω n −1

b) En déduire la réduction au même dénominateur de la fraction rationnelle F = ∑

Racines et pôles Exercice 6

Soit p et q deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Déterminer les racines et les pôles de F =

Exercice 7

X p −1 en précisant les multiplicités respectives. X q −1

Soit F ∈ K (X ) . a) Soit a un zéro d’ordre α ≥ 1 de F . Montrer que a est zéro d’ordre α −1 de F ′ . b) Comparer les pôles de F et de F ′ , ainsi que leur ordre de multiplicité.

Exercice 8

Montrer qu’il n’existe pas de F ∈ ℂ(X ) telle que F ′ =

1 . X

Décomposition en éléments simples Exercice 9

Montrer que l’application Ent : K (X ) → K [X ] est linéaire et déterminer son noyau.

Exercice 10 Effectuer la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles suivantes : X 2 + 2X + 5 X 2 +1 1 a) 2 b) c) (X −1)(X − 2)(X − 3) X − 3X + 2 X (X −1) 2 d)

2X X 2 +1

e)

1 X + X +1

f)

4 (X + 1) 2

g)

3X −1 X 2 (X + 1)2

h)

1 X 4 + X 2 +1

i)

3 . (X 3 −1) 2

2

Exercice 11 Soit n ∈ ℕ . Former la décomposition en éléments simples de F =

2

n! . X (X −1) … (X − n )


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