Les fractions rationnelles Exercice 1
Montrer qu’il n’existe pas de fraction rationnelle F telle que F 2 = X .
Exercice 2
Déterminer un supplémentaire de K [X ] dans K (X ) .
Exercice 3
Soit F ∈ K (X ) . Montrer que deg F ′ < deg F −1 ⇒ deg F = 0 .
Exercice 4
Soit F ∈ K (X ) de représentant irréductible P Q . Montrer que F est paire ssi P et Q sont tous deux pairs ou impairs.
Exercice 5
Soit n ∈ ℕ∗ et ω = e n . a) Soit P ∈ ℂ [X ] un polynôme vérifiant P (ωX ) = P (X ) .
i
2π
Montrer qu’il existe un polynôme Q ∈ ℂ [X ] tel que P (X ) = Q (X n ) .
X + ωk . k k =0 X − ω n −1
b) En déduire la réduction au même dénominateur de la fraction rationnelle F = ∑
Racines et pôles Exercice 6
Soit p et q deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Déterminer les racines et les pôles de F =
Exercice 7
X p −1 en précisant les multiplicités respectives. X q −1
Soit F ∈ K (X ) . a) Soit a un zéro d’ordre α ≥ 1 de F . Montrer que a est zéro d’ordre α −1 de F ′ . b) Comparer les pôles de F et de F ′ , ainsi que leur ordre de multiplicité.
Exercice 8
Montrer qu’il n’existe pas de F ∈ ℂ(X ) telle que F ′ =
1 . X
Décomposition en éléments simples Exercice 9
Montrer que l’application Ent : K (X ) → K [X ] est linéaire et déterminer son noyau.
Exercice 10 Effectuer la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles suivantes : X 2 + 2X + 5 X 2 +1 1 a) 2 b) c) (X −1)(X − 2)(X − 3) X − 3X + 2 X (X −1) 2 d)
2X X 2 +1
e)
1 X + X +1
f)
4 (X + 1) 2
g)
3X −1 X 2 (X + 1)2
h)
1 X 4 + X 2 +1
i)
3 . (X 3 −1) 2
2
Exercice 11 Soit n ∈ ℕ . Former la décomposition en éléments simples de F =
2
n! . X (X −1) … (X − n )
Applications de la décomposition en éléments simples 1 . X (X + 1) a) Réaliser la décomposition en éléments simples de F . n 1 b) En déduire une simplification pour n ≥ 1 de ∑ . k ( k + 1) k =1
Exercice 12 Soit la fraction F =
n
c) Procéder de même pour calculer :
1
∑ k (k +1)(k + 2) . k =1
Exercice 13 Exprimer la dérivée d’ordre n de
1 . X (X 2 + 1)
1 ∈ ℂ(X ) . X +1 a) En réalisant la DES de F , exprimer F (n ) .
Exercice 14 Soit F =
2
b) Montrer qu’il existe Pn ∈ ℝ n [X ] tel que F (n ) =
Pn . (X 2 + 1)n +1
c) Déterminer les zéros de Pn .
1 . (X −1)3 (X + 1)3 a) Quelle relation existe entre la partie polaire de F en 1 et celle en −1 . b) Former la décomposition en éléments simples de la fraction F .
Exercice 15 Soit F =
2
c) En déduire un couple (U ,V ) ∈ ℝ [X ] tel que : (X + 1)3U + (X −1)3V = 1 . Exercice 16 On pose ωk = e 2ik π / n avec k ∈ {0, …, n −1} . n −1
1 . k = 0 X − ωk
Simplifier F = ∑
Exercice 17 Soit n ∈ ℕ tel que n ≥ 2 et p ∈ {0,1,…, n −1} . On pose pour k ∈ {0,1,…, n −1} ,
2ik π ωk = exp . Mettre sous forme irréductible : n
n −1
ωkp
∑ X −ω k =0
.
k
n
Exercice 18 Soit n ∈ ℕ∗ et z1 , z 2 ,…, z n ∈ ℂ deux à deux distincts. On pose Q = ∏ (X − z k ) . k =1
a) Pour p ∈ {0,1,…, n −1} , exprimer la décomposition en éléments simples de
Q ′(z k ) . z kp . ∑ k =1 Q ′ (z k ) n
b) En déduire, pour p ∈ {0,1,…, n −1} , la valeur de
Exercice 19 Soit P ∈ ℂ [X ] un polynôme scindé à racines simples : x1 ,…, x n . a) Former la DES de 1 P . n
b) On suppose P (0) ≠ 0 . Observer :
1
∑ x P ′(x k =1
k
k
)
=−
1 . P (0)
Xp à l’aide des Q
Exercice 20 Soit P ∈ ℂ [X ] un polynôme scindé à racines simples : x1 ,…, x n . a) Former la DES de P ′′ P . n P ′′(x k ) b) En déduire que ∑ =0. k =1 P ′ (x k ) Exercice 21 Soit a1 , …, an ∈ ℂ deux à deux distincts, α1 ,…, αn ∈ ℂ tels que ∀i , j ∈ {1, 2, …, n } ,ai + αj ≠ 0 .
x1 x2 xn + ⋯+ =1 a1 + α1 a 2 + α1 an + α1 x1 + x 2 ⋯ + x n = 1 a + α Résoudre le système a 2 + α2 a n + α2 2 1 ⋮ x1 x2 xn + ⋯+ =1 an + αn a1 + αn a 2 + αn david Delaunay http://mpsiddl.free.fr